Trabajo Proyecto y Planeamiento

DOCENTE:

Salcedo Rebaza, Wilmer Alejandro

TRABAJO:

DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA

PRESENTADO POR:

Alaya Misahuamán, Jeanpierre

Malca Yopla, Miriam

Muñoz Sánchez, Oscar

Ramírez Delgado, Alithú

Saldaña Chávez, Rey

Vásquez Delgado, Manuel

Vásquez Villanueva, Ely

Cajamarca, 15 de septiembre del 2015

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

PROYECTO Y PLANEAMIENTO DE MINA Página 2

Contenido I. OBJETIVOS ................................................................................................................................................ 3

II. INTRODUCCION ........................................................................................................................................ 4

III. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................................. 5

DETERMINACION DE LA LEY MEDIA ....................................................................................................5

1. METODOS ESTADISTICOS PARA LA DETERMINACION DE LA LEY MEDIA ......................... 5

1.1. CARÁCTER NORMAL O LOGNORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS DATOS. ................ 5

1.1.1 Método de los histogramas ............................................................................................................. 5

1.1.2 Método de la recta de Henri ............................................................................................................ 6

1.2. DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA EN DISTRIBUCIONES NORMALES ......................... 11

1.3. DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA Y DISTRIBUCIONES LOGNORMALES .................... 12

1.3.2 Los Estimadores de Sichel ........................................................................................................... 15

1.4 CURVAS LEY MEDIA VERSUS TONELAJE ................................................................................. 18

2. MÉTODOS DE PONDERACIÓN PARA LA DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA. ......................24

IV. ANEXOS ...................................................................................................................................... 27

V. CONCLUSIONES ............................................................................................................................ 31

VI. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................... 32


I. OBJETIVOS

Determinar la ley media en un sondeo o grupo de muestras de una superficie a través

de teoría.

Indagar sobre los métodos estadísticos para la determinación de la ley media.

Demostrar a través de un ejercicio la ley media


II. INTRODUCCION

La determinación de la ley media en un sondeo o sondeos, o en un grupo de muestras distribuidas a

lo largo de una superficie o sección, o, por extensión, en un yacimiento completo, es un paso

imprescindible en la evaluación de las reservas de un depósito mineral. Además de la importancia

económica de este dato, de, que en el caso del yacimiento en su conjunto va a condicionar, al menos

en parte, la viabilidad económica de la explotación, el conocimiento de la ley media tiene numerosas

aplicaciones adicionales, como son su utilización para establecer los modelos ley- tonelaje(Bustillo y

López Jimeno, 1996), dar una visión rápida de la riqueza relativa del yacimiento, si se han establecido

sus valores por zonas, fijar secuencias de explotación en función de las fluctuaciones en el valor del

metal/ mineral útil, etc.

El concepto que muchas veces se tiene del significado de la ley media es erróneo, pues no

necesariamente se trata de la media aritmética de un conjunto de datos, como se verá más adelante.

Se debe tener en cuenta hacer un modelo apriori antes de explotar el yacimiento, para así poder

determinar la viabilidad económica de la mineralización. Si el estudio se hace a posteriori solo sería

con el fin de conocer la bondad del modelo geológico elaborado, lo cual no es poco, pero claramente

es insuficiente.

Basándose en lo dicho, es necesario estimar el valor de la citada ley media antes de comenzar la

explotación del depósito. Este hecho tan simple es, en muchas ocasiones sumamente complejo y ha

generado una gran cantidad de trabajos científicos, especialmente en el caso del oro, donde pequeñas

fluctuaciones en la ley media de este metal precioso pueden comprometer seriamente el desarrollo

económico de la explotación. En si la geoestadística y los trabajos anteriores de kriging tienen por

objetivo realizar esta estimación con la máxima fiabilidad posible.

Existen dos situaciones a la hora de calcular la ley media: en un sondeo o sondeos, o en un grupo de

datos tomados aleatoriamente y distribuidos uniformemente. En el primer caso se utilizarán los

métodos de ponderación (regularización), mientras que en el segundo será necesario llevar a cabo

estimaciones estadísticas. En muchas ocasiones no se trata de elegir uno de los dos métodos, pues

el propio carácter de los datos implica la forma de tratarlos.


III. MARCO TEÓRICO

DETERMINACION DE LA LEY MEDIA

1. METODOS ESTADISTICOS PARA LA DETERMINACION DE LA LEY MEDIA

1.1. CARÁCTER NORMAL O LOGNORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS DATOS.

El cálculo de la ley media por métodos estadísticos requiere que el conjunto de datos a tratar presente

una distribución normal o gaussiana. Esto no presenta problemas ya que los elementos químicos

presentan este tipo de distribución, caracterizada por poseer una distribución normal del logaritmo de

la variable.

Sin embargo, salvado el problema de la necesidad de tratar datos con distribución gaussiana, si es

imprescindible dilucidar si los valores presentan una distribución normal o Lognormal, pues los

métodos a seguir para el cálculo de la ley media son diferentes y, por tanto, los resultados también lo

son.

Por eso primero se debe saber si los datos presentan una distribución normal y, sino es aso, calcular

sus logaritmos y volver a repetir el proceso para testificar el posible carácter Lognormal de la

distribución. Existen tres grandes métodos a la hora de investigar so una distribución es normal:

histogramas, recta de Henri y Ji-cuadrado. Los 2 primeros son métodos visuales, es decir, no existe

ningún control matemático que permita definir el carácter normal de la distribución. Por el contrario, la

Ji- cuadrado establece dicho carácter según un estadístico y en función de un determinado nivel de

significancia, tal como se verá en el apartado correspondiente.

Al margen de estos métodos. Que serán tratados a continuación, existe también una forma rápida de

conocer la posible normalidad de una distribución. Se basa en el cálculo del coeficiente de variación y

el valor que este toma. Según Koch y Link (1970) el valor del coeficiente de variación debe ser inferior

a 0.5 para que una distribución pueda considerarse como gaussiana, mientras que valores superiores

indican un carácter Lognormal o un conjunto de datos con distribución errática. Carras (1984), por el

contrario, admite valores del coeficiente de variación de hasta uno.

1.1.1 Método de los histogramas

Es el método más sencillo y consiste en dividir el conjunto de datos en una serie de intervalos (no

menos de seis pero tampoco una gran cantidad de ellos) y representarlos en forma de histogramas de

frecuencias. La observación del conjunto de los histogramas y su posible similitud con una curva de

Gauss permite avanzar el posible carácter normal de la distribución. En la figura 4.1 se muestra un

histograma de frecuencias de un conjunto de datos cuya distribución podría semejarse a una

distribución normal.


1.1.2 Método de la recta de Henri

Si se establece la curva de frecuencias acumuladas de un conjunto de datos en los cuales se quiere

testificar su posible ajuste a una distribución normal y se utiliza en la escala acumulativa una

distribución de intervalos aritmética, es decir, la misma cantidad de espacios para cualquier intervalo,

la curva en la que es muy difícil aproximar visualmente su carácter normal. Ello es debido a que, como

es sabido la distribución normal presenta una mayor concentración de datos en los valores próximos

a la media, mientras que las zonas extremas poseen un menor número de valores. Por esta razón si

se dispone la escala acumulativa de tal forma que la distribución normal quede representada por una

recta, el ajuste visual de la distribución será más sencillo.

En la Fig. 4.2 se puede observar el mismo conjunto de datos que en la figura 4.1 aproximadamente

se ajustan a una recta, por lo que puede asignárseles el carácter de distribución normal. En dicha figura

también se puede observar, como se ha comentado anteriormente, como la escala de probabilidad

acumulada (eje X) presenta unos intervalos con tamaños diferentes en función del valor de la

probabilidad.


1.1.3 Método de la Ji- cuadrado

Este método constituye la única forma de testificar el carácter normal de una distribución con una

determinada fiabilidad estadística. Es un método más complejo y costoso en tiempo que los anteriores,

pero debe llevarse a cabo cuando la necesidad de conocer la normalidad de una distribución se hace

imprescindible. En sí, el método consiste en establecer una serie de rebanadas para la distribución

normal establecida estadísticamente y las mismas rebanadas para la distribución cuya justificación se

quiere llevar a cabo, para, a continuación, comparara ambos grupos de rebanada y comprobar su

parecido, comparación que se realiza con un estadístico definido como Ji- Cuadrado. Los pasos a

seguir para este proceso serían los siguientes.

a) Se calcula la media aritmética y la desviación estándar del conjunto de datos.

b) Se tipifican los valores, es decir, a cada valor se le resta la media y se divide este resultado por

la desviación estándar, con lo que los datos anteriores se convierten en un grupo de valores

que oscilan, en su mayor parte alrededor de -3 y +3. El valor cero correspondería, por definición,

a la media aritmética.

c) Se establece un número de intervalos (correspondiente a las rebanadas citadas anteriormente)

en los que se calcula la frecuencia relativa para los datos estudiados. El número de intervalos

es libre, siendo seis (tres valores de la desviación estándar a cada lado de la media) un valor

aceptable.

d) Se construye una tabla con las frecuencias obtenidas (las calculadas en el paso anterior) y las

esperadas, estas últimas correspondientes a las que serían de esperar si se tratase de una

distribución normal definida matemáticamente (tabla 4.1).

e) Se calcula el estadístico Ji- cuadrado (𝑥2), definido como:

𝑥2 = [(𝑜1 − 𝑒1)2

𝑒1] + [

(𝑜2 − 𝑒2)2

𝑒2] + ⋯ + [

(𝑜𝑛 − 𝑒𝑛)2

𝑒𝑛] = ∑

(𝑜𝑖 − 𝑒𝑖)2

𝑒𝑖

Dónde:

𝑥2 = Estadístico Ji- cuadrado.

𝑒1 − 𝑒2 … 𝑒𝑛 = Frecuencias esperadas.

𝑜1 − 𝑜2 … 𝑜𝑛 = Frecuencias obtenidas.

Este estadístico representaría la medida de la discrepancia entre ambas distribuciones (la que se

estudia y la normal).

f) Por último, se compara el valor de la Ji –cuadrado con otro obtenido en la tabla de este

estadístico (tabla 4.2), que se calcula entrando por dos valores: a) el número de grados de

libertad, que se define como el número de intervalos establecidos menos el valor 3 y b) el nivel

de significancia, que se define como la probabilidad máxima de cometer un error cuando se

rechaza una hipótesis que debería ser aceptada. Si el valor de la Ji- cuadrado es menor que el

valor de tabla, se puede asumir, entonces, que el conjunto de datos estudiado se ajusta a una

distribución normal. Hay que hacer constar que, en estadística, esta aseveración no es correcta,

es decir, nunca se puede llegar a afirmar que un conjunto de datos es una distribución normal.


De forma estricta, en estadística se plantea la hipótesis nula: no se ajusta a una distribución

normal, para, a continuación, rechazar la hipótesis nula: No hay razones para rechazar la

hipótesis nula. Aunque a efectos prácticos, lo que interesa es saber si un conjunto de datos

puede ser tratado como si fuese una distribución normal, es importante siempre tener en cuenta

esta matización de carácter estadístico.

Ejemplo Sean los valores mostrados a continuación las Leyes en Zn (%) de 33 muestras

tomadas en un yacimiento estratiforme de Pb- Zn. Comprobar, a través de los métodos

descritos anteriormente, si dichos valores se ajustan a una distribución normal.

6,4 5,4 4,7 8,2 6,8 6,2 6,3 3,9 6,2

7,1 4,9 5,7 6,1 6,2 7,4 7,5 6,1 5,6

5,4 7,5 5,8 2,8 5,9 9,1 7,3 3,3 5,1

5,9 5,8 5,8 4.6 4,9 6,2

Solución. En primer lugar, para la construcción del histograma de frecuencias se definen

intervalos. Puesto que las leyes oscilan, aproximadamente, entre el 2% y el 10%, se pueden

establecer 8 intervalos, de uno en uno por ciento. Con ello, las frecuencias absolutas obtener

el histograma serían:

2% - 3% = 1

3% - 4% = 2

4% - 5% = 4

5% - 6% = 10

6% - 7% = 9 7% - 8% = 5

8% - 9% = 1 9% - 10% = 1

En la Figura 4.3 se puede observar el histograma de frecuencias correspondiente. A su en la Figura

4.4 se muestra el conjunto de datos representados en escala probabilística ambas figuras se

pone de manifiesto que no se comete un error excesivo si se considera población como una

distribución normal.


Tabla 4.1. Probabilidades acumuladas para la distribución normal estandarizada.

DESVIACIONES

ESTANDAR DESDE

LA MEDIA

PROBABILIDA

D

ACUMULADA

DESVIACIONES

ESTANDAR DESDE LA

MEDIA

PROBABILI

DAS

ACUMULAD

A -3.0 0.0014 +0,0 0,5000 -2,9 0,0019 +0,1 0,5398 -2,8 0,0026 +0,2 0,5793 -2,7 0,0035 +0,3 0,6179 -2,6 0,0047 +0,4 0,6554 -2,5 0,0062 +0,5 0,6915 -2,4 0,0082 +0,6 0,7257 -2,3 0,0107 +0,7 0,7580 -2,2 0,0139 +0,8 0,7881 -2,1 0,0179 +0,9 0,8159 -2,0 0,0228 +1,0 0,8413 -1,9 0,0287 +1,1 0,8643 -1,8 0,0359 +1.2 0,8849 -1,7 0,0446 +1,3 0,9032 -1,6 0,0548 +1,4 0,9192 -1,5 0,0668 +1,5 0,9332 -1,4 0,0808 +1,6 0,9452 -1,3 0,0968 +1,7 0,9554 -1,2 0,1151 +1,8 0,9641 -1,1 0,1357 +1,9 0,9713 -1,0 0,1587 +2,0 0,9773 -0,9 0,1841 +2,1 0,9821

-0,8 0,2119 +2,2 0,9861

-0,7 0,2420 +2,3 0,9893

-0,6 0,2743 +2,4 0,9918

-0,5 0,3085 +2,5 0,9938

-0,4 0,3446 +2,6 0,9953

-0,3 0,3821 +2,7 0,9965

-0,2 0,4207 +2,8 0,9974

-0,1 0,4602 +2,9 0,9981

-0,0 0,5000 +3,0 0,9987


Tabla 4.2. Valores de la Ji-cuadrado para determinados grados de libertad y niveles de significancia.

Quedaría, por tanto, para completar el análisis, la testificación a través de la Ji - cuadrado. Para ello, y de acuerdo con los pasos a seguir descritos anteriormente, lo primero sería tipificar la variable (media = 5,94 y desviación estándar = 1,31). A continuación se muestran valores de las leyes tipificados.

+0,35 -0,41 -0,95 +1,73 +0,66 +0,20 +0,27 -1,56 +0,20

+0,89 -0,79 -0,18 +0,12 +0,20 +1,11 +1,19 +0,12 -0,26

-0,41 +1,19 -0,11 -2,40 -0,03 +2,41 +1,04 -2,02 -0,64 -0,03 -0,11 -0,11 -1,02 -0,79 +0,20

Posteriormente se define la tabla de frecuencias obtenidas y frecuencias esperadas (Tabla 4.3)


Tabla 4.3. Frecuencias obtenidas y esperadas para el ejemplo 4.1.

Las frecuencias esperadas se calculan a partir de la tabla correspondiente a las probabilidades

acumuladas de la distribución normal (Tabla 4 .1). Por ejemplo, para el primer intervalo, que

corresponde a los valores incluidos entre 0 y + 1o, en la Tabla 4.1 se buscaría el valor de 0

(0,5 en tanto por uno = 50%) Y el valor de + 1o (0,8413 en tanto por uno = 84,13 %).

Restando ambos (34,13 %) se obtendría el porcentaje de datos incluido entre la media y una

desviación estándar. Ahora bien, este valor sería para 100 datos, como en el problema se tienen

33, el nuevo valor sería 34,13 x 0,33 = 11,26, que es el que figura en la casilla de las

frecuencias esperadas, tanto para el intervalo antes citado como para el siguiente (entre cero

y menos una desviación estándar), pues la distribución normal es simétrica respecto a la media.

El resto de frecuencias se calcularían de forma similar.

A continuación se estima el valor del estadístico Ji-cuadrado utilizando la formula

correspondiente:

𝑋2 = ( (10−11,26)2

11.26+ (

(13−11,26)2

11.26+

(5−4,49)2

4,49+

(2−4,49)2

4,49+

(1−0,71)2

0.71+

(2−0,71)2

0.71= 0,14 + 0,30 + 0,06 +

1,38 + 0,12 + 2,34 = 4,34

Es decir, el valor de Ji-cuadrado es 4.34. Ahora se entra en la Tabla 4.2, considerando; 3

grados de libertad (6 intervalos - 3) y un nivel de significancia, por ejemplo, del 10 % tendría

el valor 6,25. Puesto que este valor es superior al de la Ji-cuadrado, se considerar la

población como una distribución normal.

1.2. DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA EN DISTRIBUCIONES NORMALES

Una vez comprobado el carácter normal de la distribución estudiada, el cálculo de la ley media resulta

sencillo, pues se define como la ley media aritmética, es decir:

𝐺𝑚 = ∑(𝐺/𝑛)

Donde: 𝐺𝑚: Ley media

𝐺: Valores de las diferentes leyes 𝑛: Número de datos En el caso del ejemplo 4.1. la ley media en Zn sería del 5.96%


1.3. DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA Y DISTRIBUCIONES LOGNORMALES

El cálculo de la ley media en distribuciones lognormales se lleva a cabo de forma diferente a si se

tratase de una distribución normal. La larga experiencia del tratamiento de datos en las minas de oro

en Sudáfrica, que suelen presentar casi siempre distribuciones lognormales, llevo a los mineros a

buscar una expresión que permitiese obtener, de forma más real, el valor de la ley media. La presencia

de una cierta cantidad de datos segados, e ocasiones de alto valor (efecto pepita o mamut), generaba

unas estimaciones de la ley media, obtenida simplemente como la media aritmética, que se alejaban,

posteriormente, de los valores que ofrecían los datos de producción. Aun más, estos datos de

producción siempre eran inferidos a la ley media, con lo que l error que se cometía era importante,

pues siempre se tenía a sobrevolar el yacimiento si se consideraba como la ley media de la media

aritmética.

Cuando al obtener el histograma de frecuencias se observa un cierto sesgo de los datos (fig. 4.5a), se

puede avanzar ya el carácter lognormal de la distribución. Por ello, no resulta necesario, incluso,

continuar con los siguientes métodos de testificación de la normativa y si transformar los valores a

logaritmos (p.e. tomado los logaritmos naturales, como se comentó anteriormente) y volver a obtener

el histograma de frecuencias, que, probablemente, ya mostrará el carácter normal de la nueva

distribución (fig.4.5b), por lo que se podrá considerar a la distribución como lognormal. También se

puede, para asegurarse, aplicar los otros métodos (recta de henri y Ji-cuadrado) a la nueva distribución,

se puede calcular la ley media a través de las fórmulas que se comenta a continuación.

1.3.1. formula general

Si los datos se asemeja a una distribucion lognormal, la poblacion se puede definir como una

poblacion lognormal de los parametros, siendo estos parámetros de media y la varianza de la

poblacion logaritmica. Entonces, el valor verdadero de la ley media se obtiene co la formula.

µ = е[𝛼+{𝛽2/2}

donde:

µ: valor estimado de la ley media

𝛼= madia de la distribucion de los logaritmos de las leyes 𝛽= desviacion estandar de la distribucion de los logaritmos de las leyes


Figura 4.5. Histograma de frecuencias. a) con los datos sin transformar y b) con los datos

trasformados en el logaritmo natural

Puede ocurrir que, al representar los datos logaritmos en un diagrama de probabilidad, no se ajusten

exactamente a una recta, mostrando una cierta curvatura en el ajuste (fig.4.6), lo que es indicativo de

la presencia de una población lognormal de tres parámetros. Este tercer parámetro, denominado

constante aditiva (α), se calcula como:

𝛼 = [𝑥50 − (𝑥75 ∗ 𝑥25)]/(𝑥25 + 𝑥75 − 2𝑥50)

Siendo 𝑥25 , 𝑥50 𝑦 𝑥75 los valores de los percentiles 25, 50 y 75.

Figura 4.6. Representación en un diagrama de probabilidad de una población logarítmica de tres

parámetros


Este valor α se añade a la población original de datos (sin transformar logarítmicamente) y, a

continuación, se realiza la transformación logarítmica, obteniéndose una nueva población In (X1+α)

que, representada en el papel probabilístico, si genera ya una línea recta.

Para calcular, en este caso, el valor se la ley media, se aplica el procedimiento descrito para la

población de dos parámetros, sustrayéndose el valor de la constante aditiva del resultado final.

Ejemplo 4.2.

Se ha realizado un muestreo en un posible yacimiento tipo placer de oro. El análisis de 181 muestras

ha generado una base de datos (expresada en g/t de oro), cuya transformación logarítmica ofrece unos

valores para la media y la desviación estándar de -1.606 y 1.733 respectivamente. Calcular el valor de

la ley media para el yacimiento utilizando la formula general del apartado 2.3.1.

Solución:

En primer lugar, y como ejemplo de la transformación que se genera al tomar los logaritmos

naturales de a variable ley en oro, en la figura 4.7b el mismo histograma pero con los valores ya

transformados. Se puede observar como el primer histograma presenta una disposición claramente

sesgada (sesgo =2.96), indicativa de un posible carácter lognormal de la población, mientras que el

segundo histograma está mucho más centrado (sesgo = -0.003), acercándose notablemente a una

distribución normal, aún más el valor del coeficiente de variación para el primer caso de 1.72

(expresado en tanto por uno) mientras que en el segundo es de 1.07, lo que corrobora lo antes

comentado.

Figura 4.7. Histograma de frecuencias del ejemplo 4.2. a) para el conjunto original de los datos y b)

para los datos logarítmicos transformados.

Lo mismo podría decirse de la representación en papel probabilístico (figs. 4.8a y b). En que el primer

caso (fig. 4.8a), datos originales, la curva apenas se ajusta a una recta, mientras que una vez

tomados los logaritmos (fig. 4.8b), su parecido con una recta es mucho mayor.


Fig. 4.8 Diagrama de probabilidad para los datos del ejemplo 4.2 a) para el conjunto original de las

leyes y b) para las leyes transformadas logarítmicamente.

Del análisis de las figuras. 4.7 y 4.8 se deduce que la población, a la hora de calcular su ley media,

debe ser tratada como una distribución lognormal de dos o tres parámetros, la de observación de la

figura 4.9b parece indicar una ausencia de curvatura, por lo que la población puede considerarse de

dos parámetros. Por ello, la fórmula a utilizar, para calcular la ley media, sería la expresada

anteriormente.

Por tanto, teniendo en cuenta los valores de la media y la desviación estándar ofrecido en el

enunciado del problema, se tendría:

1.3.2 Los Estimadores de Sichel

Cuando se tiene un número pequeño de datos, por ejemplo en los primeros estadios de viabilidad

económica de un yacimiento, y se presume que la población presenta una distribución lognormal, el

cálculo de la ley media también puede llevarse a cabo utilizando los estimadores de Sichel La gran

ventaja de los estimadores de Sichel reside no sólo en el método en sí, pues la ley media puede

también obtenerse por la formula general expuesta anteriormente, sino que ofrece, además tablas para

estimar el valor de la ley media con unos niveles de confianza, es decir se puede definir un intervalo

en el que existe un determinado nivel de confianza de la que la ley media esté incluida en dicho

intervalo, tal como se verá posteriormente.

La expresión del estimador de Sichel es el siguiente:

t=mx f (v)n

Dónde: t= Estimador de la ley media

m=𝑒 α, siendo α la media de los logaritmos de las leyes

f(V)n= Valor que se obtienen la tabla 4.4, entrando por n= número de muestras y V= varianza de los

logaritmos de las leyes.


4.4 Valores de la función de Sichel

Ejemplo 4.3. Se han tomado cinco muestras en un bloque de explotación de un yacimiento de oro,

cuyas leyes (g/t) han sido las siguientes: 4.8, 5,2, 6,1, 3,9, y 16,8. Calcular el valor de la ley media a

través del estimador de Sichel.

Solución. El primer paso será la transformación logarítmica de los datos. Tomando los logaritmos

naturales se tendrán los siguientes nuevos datos transformados: 1,569, 1,649, 1,808, 1,361 y 2,821.

Su media y varianza serán 1,842 y 0,260. Por tanto, aplicando el estimador de Sichel:

t= 𝑒 1,842 . 𝑓( 0.260)𝑠

Entrando en la tabla 4.4, por V=0,260 y n=5, el valor resultante será, interpolando 1,13, con lo que:

t= 6,309 x 1,13 = 7,13 g/t

Si se calculase la ley media como la media aritmética de las cinco leyes originales, se obtendría un

valor de 7,36. Como se puede observar, este valor es ligeramente superior al calculado con el

estimador de Sichel, siendo este hecho, como se comentó anteriormente, característico de las

distribuciones lognormales.

Para el cálculo de los niveles de confianza, el método a seguir es el siguiente.

Tomando como base las tablas 4.5 y 4.6, se define el intervalo para la ley media, con un nivel de

confianza del 90%, como:

𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = Ø95 = 𝑡. 𝑓(𝑉)n

𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = Ø5 = 𝑡. 𝑓(𝑉)n


Donde f (V)n para el límite superior se obtiene en la tabla 4.5 y f (V)n para el límite inferior en la tabla

4.6. Con estos valores, se podrá afirmar que existe un 90% (φ95- φ5) de probabilidad de que la ley

media está comprendida en este intervalo.

Tabla 4.5 Límite superior de confianza (φ95) para los estimadores de Sichel.

Tabla 4.6: Límite superior de confianza Ø5 para los estimadores de Sichel.


Calcular del ejemplo anterior el valor de la ley media con un nivel de confianza de 90%

En efecto:

Siendo V=2.6 y n=5 en la tabla 4.5 (límite superior, se tendrá que f (V)=2.3 y en la tabla 4.6 de límite

inferior, f(V)=0.69 , por lo tanto;

𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 7.13𝑥2.3 = 16.40

𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 7.13𝑥0.69 = 4.92

Es decir la ley media estará comprendida entre 4.92g/t y 16.40g/t con un nivel de confianza del 90%.

1.4 CURVAS LEY MEDIA VERSUS TONELAJE

Conocida la ley Media del yacimiento y su tonelaje asociado, se establece los diferentes tonelajes que

existen en función de unas determinadas leyes mínimas de explotación, esto permite afrontar posibles

oscilaciones en el precio de la materia prima, que inciden directamente en la calidad del material a

explotar.

El trabajo a desarrollar necesita llevar implícita la asunción de que las leyes se distribuyen

normalmente, lo que no supone un gran problema pues dicha asunción se suele cumplir con suma

frecuencia.

La mejor forma de revisar el método es con un ejemplo. Considérese la existencia de un posible

yacimiento de sulfuros masivos que posee 200 Mt extraíbles con una ley media del 3% en cobre y una

varianza de 0.90%. Se desea conocer que tonelajes explotables se tendrán para unas leyes mínimas

de corte del 1%, 2% y 2.5 % y que leyes medias poseerán esos tonelajes.

Puesto que las leyes se distribuyen normalmente, se establecen cuantas desviaciones estándar se

desvían de la media los valores solicitados (1%, 2% y 2.5%)

1% -(1-3)/0.95=2,11α

2% -(2-3)/0.95=-1,05α

2,5%-(2,5-3)/0,95=0,53 α

Luego se busca en la tabla de probabilidades de la distribución normal (tabla 4.1), eñ porcentaje para

esas desviaciones estándar y, puesto que se quiere saber el porcentaje que corresponde a los valores

por encima de 1%,2% y 2,5% de Cu, se le resta del 100%, es decir:

-2,11α- 1,75%-98,25%-196,5 Mt

-1,05α- 14%-86%-172 Mt

-0,53α-29%-71%-142 Mt

Estos tonelajes serían, pues, las toneladas para unas leyes mínimas de explotación del 1%, 2% y 2,5%,

respectivamente.


Como se desea sabes las leyes medias de estos tonelajes, se opera, para una ley mínima de

explotación del 3% se tiene un 71% del tonelaje, lo que supone una sustracción del total del 29% que,

centrándolo respecto a la media, correspondería a un 14,5 % en cada lado de la distribución normal ,

o como en la tabla (4.1)aproximadamente 0,38α. Este valor se le suma a la ley media del yacimiento

(3%): 3%+0,38.0, 95= 3,36%. Este valor sería la ley media de los 142 Mt existentes para una ley

mínima de explotación del 2,5% de Cu.

De igual forma se obtendría la ley media para las

leyes mínimas de explotación del 1% y 2% de Cu.

En concreto, los valores que salen son 3,18%y

3,02%. Es decir la relación tonelajes-leyes medias

para las leyes mínimas de explotación requeridas

seria la que se muestra en la tabla 4.7.

Tabla 4.7: Relación tonelaje-leyes medias para unas determinadas leyes mínimas de explotación.

En el ejemplo considerado se ha tomado en cuenta una población que es el yacimiento y unos

individuos que son los sondeos, de tal manera que el análisis llevado a cabo afirma que, si el depósito

s e dividiese en bloques del tamaño de los sondeos, se obtendrían, por ejemplo, 172 Mt para una ley

mínima de explotación del 2% de Cu. Sin embargo, si la mina se subdividiese en bloques de un tamaño

mucho mayor que el de los sondeos (lo que resultaría evidente), la ley media tendría un valor

semejante, pero disminuiría la varianza al aumentar el tamaño del soporte, con lo que los tonelajes a

recuperar se verían afectados, así como sus leyes medias asociadas.

Como ejemplo considérese que el valor de la varianza, en el ejemplo anterior, fuese de 0,45%2 en

lugar de 0,90%2, Entonces se tendría:

1% → (1-3)/0,67 = -2,99σ

2% → (2-3)/0,67 = 1,49σ

2,5% → (2,5-3)/0,67 = -0,75σ

Con lo que:

-2,99σ → 0,14% → 99,86% → 199,7 Mt

-1,49σ → 6,5% → 93,5% → 187 Mt

-0,75σ → 22,5% → 77,5% → 155 Mt

Como se puede observar, el tonelaje a recuperar sube notablemente al disminuir la varianza. De igual

forma, si se calculasen las leyes medias que corresponden a esos tonelajes, se tendría la Tabla 4.8:


Tabla 4.8. Relación tonelaje-ley medias para unas determinadas leyes mínimas de explotación.

Ley mínima (%) Tonelaje (𝟏𝟎𝟖.t) Ley media (%)

1 199,7 3,00

2 187 3,07

2,5 155 3,20

Es decir, las leyes medias bajarán ligeramente. Por tanto, se podría concluir con los siguientes

comentarios:

1) La definición del soporte (tamaño del bloque de explotación) resulta fundamental para llevar a

cabo la construcción de las curvas leyes medias versus tonelajes. Este aspecto es una de las

claves de la Geoestadística.

2) La disminución (aumento) de la varianza, al cambia el tamaño del bloque de explotación, lleva

consigo un aumento (disminución) de los tonelajes susceptibles de ser explotados, así como

una disminución (aumento) de sus leyes medias asociadas.

Estos aspectos pueden comprobarse también en el siguiente ejemplo, menos teórico y más real.

Considérese un yacimiento de Zn en rocas carbonáticas, en el que se va a proceder a explotar una

parte de él, definida en un total de 256 sondeos en una malla regular de dimensiones 25m x 25m.

Las leyes medias (% en Zn) de los citados sondeos se pueden observar en la Tabla 4.9. En la

Figura 4.10 se muestra el histograma de frecuencias de las leyes, pudiéndose observar que la

distribución de las leyes es una distribución normal. Por tanto, la ley media se puede calcular como

la ley media aritmética de las leyes (9,51%), teniendo la desviación estándar un valor de 2,41%. El

tonelaje total de la zona a explotar es de 4 Mt. Considerando unas leyes mínimas de explotación

del 5%, 8%, 11% y 14% de cinc, las relaciones leyes medias-tonelajes serían:

5% → (5-9,51)/2,41=-1,87σ → 3% → 97% → 3,88 Mt

8% → (8-9,51)/2,41=-0,63σ → 26,4% → 73,6% → 2,94 Mt

11% → (11-9,51)/2,41=+0,62σ → 73,2% → 26,8% → 1,07 Mt

14% → (14-9,51)/2,41=+1,86σ → 96,9% → 3,1% → 0,12 Mt

Y a estos tonelajes le corresponderían unas leyes medias en Zn de 9,61%; 10,33%; 12,19% y

14,72% respectivamente. Estos valores serían los correspondientes a una explotación por bloques

de 25m x 25m x 10m cada uno.


Tabla 4.9. Malla de 256 sondeos (25m x 25m) con los valores de las leyes medias (%) para cada

sondeo.

Determinación de la ley media


Ahora bien, supóngase que en vez de definir bloques de 25m x 25m x 10m, se definiesen bloques

de 50m x 50m x 10m. Las leyes medias para cada bloque, obtenidas a partir de la media aritmética

de las cuatro leyes que entran por bloque (lo cual es correcto matemáticamente dado el número

de datos y el tipo de distribución que presentan) serían las mostradas en la tabla 4.10. La ley media

de los 64 bloques sería, lógicamente, semejante al caso anterior, mientras que la desviación

estándar toma ahora un valor de 1,04%. El cálculo de los tonelajes y leyes medias para las mismas

leyes mínimas de explotación que el caso anterior arroja los resultados de la tabla 4.11.

Tabla 4.10. Valores de las leyes medias (%) para bloques de 50m x 50m x 10m.

Tabla 4.11. Relación tonelaje-leyes medias para unas determinadas leyes mínimas de explotación

(bloques de 50m x 50m x10m).

Ley mínima de explotación (%)

Tonelaje (10*6.Mt)

Ley media (%)

5 4 9.51

8 3.7 9.60

11 0.304 11.35

14 ……. ......

Por último, podría considerarse la opción de definir bloques de 100 m x 100 m x 10 m, en los que las

leyes medias por bloque, calculadas de forma semejante al caso anterior, serían las que se muestran

en la tabla 4.12, mientras que las relaciones tonelajes-leyes medias se observan en la tabla 4.13 (para

una ley media igual que en los casos anteriores y una desviación estándar de 0.50 %).


Tabla 4.12. Valores de las leyes medias (%) para bloques de 100 m x 100 m x10 m.

9,97 9,43 9,26 9,71

10,22 9,59 8,98 9,58

8,44 9,56 9,34 8,59

9,72 9,63 9,81 10,37

Tabla 4.13. Relación tonelaje- leyes medias para unas determinadas leyes mínimas de explotación

(bloques de 100 m x 100 m x 10 m).

Ley mínima de explotación (%)

Tonelaje (10*6,

Mt)

Ley media (%)

5 4 9,51

8 3,99 9,51

11 0,006 11,10

14% ……… ….

La observación y evolución de los datos, en los tres casos considerados, pone de manifiestos una

serie de aspectos interesantes de comentar:

1) Al aumentar el tamaño de los bloques, la ley media permanece constante, mientras que la

varianza (desviación estándar) va disminuyendo notablemente.

2) La disminución de la varianza genera un sucesivo aumento del tonelaje a explotar para leyes

mínimas de explotación inferiores a la ley media del yacimiento y una disminución de dicho

tonelaje para leyes mínimas de explotación superiores a la citada ley media.

3) Por el contrario, las leyes medias que corresponden a los tonelajes calculados siguen una pauta

diferente, disminuyendo para leyes mínimas de explotación inferiores a la ley media del

yacimiento, hasta llegar a valores semejantes a la propia ley media del yacimiento (para bloques

de 100 x 100 m x 10 m ).


Estas tendencias también se pueden observar gráficamente, tal como se muestra en la figura

4.11.

Figura 4.11. Relaciones tonelajes-leyes medias para los diversos tamaños de bloques y

diferentes leyes mínimas de explotación.

2. MÉTODOS DE PONDERACIÓN PARA LA DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA.

Cuando se posee un sondeo perfectamente testificado, con todos los valores de espesores,

leyes, etc., y se desea conocer el valor de la ley que es necesario aplicar, de forma puntual, a

dicho sondeo, es absurdo utilizar los métodos estadísticos, que tratan a todos los valores por

igual, pues, por ejemplo, grandes potencias con una ley determinada quedan infravaloradas

frente a pequeños niveles que poseen una ley similar, o por el contrario, leyes muy altas en

niveles muy finos pueden influir excesivamente frente a zonas de baja ley pero muy potentes.

Por todo ello, es necesario buscar un método de estimación de la ley media que permita tener

en cuenta estas particularidades. Estos métodos son los denominados métodos de ponderación

que, en ocasiones, también reciben el nombre de regularización.

Bien entendido que, si el muestreo en la testificación se ha llevado a cabo de forma sistemática

(una muestra cada metro), el cálculo de la ley media como simple media aritmética podría

acercarnos bastante al valor de la ley media del sondeo.

Este método es bastante utilizado en yacimientos masivos, potentes y con pequeños cambios

en las densidades aparentes del material. Por otro lado, no es ni más ni menos que el propio

método de ponderación pero teniendo en cuenta que la potencia es siempre la misma

(p.e. 1 metro) y que las densidades aparentes, como se acaba de comentar, varían muy poco.

En general, las leyes (o valores de la variable del mineral/ metal útil) se pueden ponderar

respecto a diversos factores:

Respecto al espesor.


Respecto al dominio de influencia

Siendo el dominio de influencia de cada muestra.

Respecto al espesor y el dominio de influencia.

Respecto a la densidad aparente más cualquiera de las anteriores:

Donde

d¡ = densidad aparente de las muestras ¡

x¡ = dominio de influencia, espesor o ambos.

Cuando se quiere calcular el valor ponderado en una única dirección (sería el caso de un sondeo), se

Pondera respecto al espesor y/o densidad aparente, mientras que si la situación es la de una superficie

(p.e. un papel con varios sondeos), se puede (debe) introducir la variable correspondiente al dominio

de influencia, que expresa la segunda dimensión de la situación. Este dominio de influencia es el que

viene representado, en la figura 4.12, por los valores A+B, B +C, C+D y D+E. Su significado es sencillo

y representa la zona hasta donde puede extrapolarse el valor del sondeo.

Como es lógico, dados dos sondeos, el límite de influencia de cada uno de ellos vendrá definido por la

mitad de la distancia entre ambos. Y de igual forma cuando se tienen varios sondeos (fig. 4.12).


Figura 4.12. Determinación de los dominios de influencia en un papel de sondeos.

Hay que hacer constar que la inclusión de la densidad aparente como factor de ponderación debe

llevarse a cabo únicamente si existe una adecuada correlación entre las leyes y las densidades

aparentes, lo que se puede comprobar ajustando una recta de regresión a los pares ley-densidad

aparente y calculando el coeficiente de correlación de la citada recta.

Ejemplo 4.5. se ha testificado un tramo mineralizado de un sondeo, obteniéndose los siguientes

valores de potencias y leyes de esas potencias. Calcular el valor de la ley media para ese tramo

mineralizado.

0,5 m – 8,0 %

1,0 m – 7,6 %

0,8 m – 8,2 %

0.3 m – 9,9 %

1,2 m – 6,5 %

Solución. La ley media del tramo mineralizado se obtendrá por ponderación de las leyes medias

respecto a los espesores. Es decir:

Gm = [(0,5 x 8) + (1 x 7,6) + (0,8 x 8,2) + (0,3 x 9,9) + (1,2 x 6,5)]/ (0,5 + 1 + 0,8 +0,3 + 1,2) = 7,61%


IV. ANEXOS

PROBLEMA GENERAL: Yacimiento Aluvial

Un yacimiento situado en una delta consta de los pozos A, B, C, D que adoptan en forma correlativa

un cuadrilátero con el pozo E en el centro. El cuadrilátero es recto en todos los vértices; el lado AB en

dirección E-W es 400m. y el lado AC en dirección N-S es 300m. En la intersección de los diagonales

del cuadrilátero se localiza el pozo E. Calcular la ley promedio ponderado y el volumen del yacimiento

formado por cuatro bloques, en base a los datos del cuadro adjunto.

SOLUCIÓN:


1. Cálculo de la Potencia promedio del Block:

2. cálculo del Área del Block


3. Calculo del volumen del Block

4. Calculo de la Ley del Block


5. Cálculo de la Ley X Volumen

6. Cálculo del Volumen del Yacimiento

7. Cálculo de la Ley promedio ponderado


V. CONCLUSIONES

Se determinó el concepto de la ley media a través de teoría como se nos propuso.

Se comprendió los métodos que son posibles y existentes para la determinación de la

ley media.

Se demostró a través de un ejercicio propuesto anteriormente la ley media.


VI. BIBLIOGRAFÍA

Manual de Evaluación y Diseño de explotaciones Mineras, M. Bustillo Revuelta, G.

López Jimeno

Trabajo Proyecto y Planeamiento

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