Trabajo Probabilidad

Probabilidad y Estadística.2012

Cátedra: Probabilidad y Estadística

Profesor: Valeria NepoteComisión: Común 4Año: 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

Tema del Trabajo Nro. de GrupoModelo de probabilidad y Variable aleatoria 14

Matricula Apellido y Nombre Calificación


INTRODUCCION:En el siguiente trabajo desarrollaremos un análisis de las variables:

1) Cantidad de urgencias debido a caja, embrague o diferencial que ocurren cada cincuenta urgencias

2) Cantidad de urgencias debidas a sistemas de refrigeración que ocurren cada cincuenta urgencias

3) Cantidad de urgencias debido a rodamientos que ocurren cada cincuenta urgencias

4) Cantidad de urgencias debido al sistema de Balancín - Elásticos que ocurren cada cincuenta urgencias

5) Cantidad de urgencias que se reciben por semana6) Tiempo en que ocurren treinta urgencias 7) Cantidad de Km. Recorridos por día

Para enfrentarnos a cada problema planteado, analizamos cada variable por separado, tratando en todas de: Identificar el tipo de variable a analizar, datos aportados por la empresa, determinar el modelo de probabilidad que se utilizará, aplicación del “Teorema del limite” central (siempre y cuando sea posible aplicarlo) y por ultimo el calculo de los limites de control.El análisis de la primera variable consistió en: caracterizarla, luego se le saco la probabilidad del espacio muestral, luego con estos datos y basándonos en el modelo binomial realizamos los cálculos pertinentes para obtener los intervalos. Resulto impracticable la aproximación del modelo por la normal mediante la aplicación del Teorema del límite central, por no cumplir con todos sus requisitos.Con respecto a la las dos siguientes variables, no presentaron el problema mencionado anteriormente, por lo que además de ser caracterizadas, calculadas sus probabilidades y tomados los valores limites de sus intervalos, se pudieron aproximar por el modelo de la normal haciendo uso del “Teorema del limite” central con el fin de comparar resultados y ver la efectividad del método.A la quinta variable, dadas sus características se tuvo que aplicar el modelo de Poisson. Esta variable se la aproximo a la normal como las anteriores para obtener los modelos intervalos de interés.La sexta variable fue analizada mediante el modelo exponencial.Por ultimo, la séptima variable se la caracterizo y se obtuvieron los valores de los intervalos a través de la propiedad “Reproductiva de la distribución normal”.Para finalizar el trabajo se realizó una conclusión que englobe y de cierre al trabajo.


DESARROLLO

Nos interesa poder controlar distintas variables que consideramos importantes, porque si toman valores poco usuales provocan dificultades tanto financieras como operativas. El control debe establecerse en base a las probabilidades de que sucede la falla, mediante el establecimiento de límites de control con baja probabilidad de ocurrencia.

Criterio adoptado: Consideramos usuales para este análisis, aquellos valores de una variable que se encuentran en el 99% central y extraordinarios a los que se posicionan fuera de ese intervalo.

Por ejemplo, supongamos que necesitamos controlar el consumo de combustible diario de un camión y que dicho consumo es una variable aleatoria normal con medios 60 litros y desvío 4 litros. En ese caso, dos valores simétricos respecto de la media que encierre entre sí una probabilidad de 0,99 son los siguientes.

Lci Lcs49,7 70,3

Si el consumo diario se encuentra entre estos valores, se considera razonable. Si escapa al intervalo merece ser analizado con atención, para determinar cuáles pueden ser los orígenes de ese alejamiento.

Estamos interesados en controlar las siguientes variables:

Cantidad de urgencias debidas a engranajes, embrague o diferencial, que ocurren cada cincuenta urgencias. Sabemos que la probabilidad de que una cierta urgencia se origine en el sistema de transmisión es 0,07.

Cantidad de urgencias debidas a los sistemas de refrigeración de ocurren cada cincuenta urgencias. Sabemos que la probabilidad de que una cierta urgencia se origine en el radiador es de 0,08 y que la probabilidad que sea en el circuito auxiliar independiente es de 0,09.

Cantidad de urgencias debidas a rodamientos que ocurren cada cincuenta urgencias. Hemos identificado las siguientes causas independientes debidas al sistema de rodamientos, con sus correspondientes probabilidades.

Causa del problema ProbabilidadRodamientos de distribución 0,15Rodamientos auxiliares 0,07Correas 0,10


Cantidad de urgencias debidas al sistema Balancín-Elásticos que ocurren cada cincuenta urgencias. Sabemos que si se rompe el balancín o se rompe el paquete de elásticos, pero no ambos, el camión puede seguir su tarea. Sólo en el caso en que se rompen ambos debe recurrirse a una reparación de urgencia. La probabilidad de rotura del balancines 0,10 y la probabilidad de rotura del paquete de elásticos es 0,06. Ahora bien, si no funciona el balancín, el paquete de elásticos de manera forzada de modo que su probabilidad de rotura es 0,2.

Cantidad de urgencias que se reciben por semana. Adoptamos una semana de seis días (consideramos que en ese tiempo no hay interrupción del servicio) y asumimos que la cantidad de urgencias diarias tiene una media de 1,5.

Tiempo (en horas) en el que ocurren cincuenta urgencias. Nuestro sistema informático totaliza tiempos cada cincuenta urgencias, por lo que deseamos aprovechar esa información para contrastarla con límites de control. Sabemos que en promedio pasan doce horas entre dos urgencias consecutivas y que el tiempo entre urgencias tiene distribución Exponencial.

Cantidad de kilómetros recorridos por día. Al final de la jornada, cada una de las unidades debe reportar por radio a la central la cantidad de kilómetros realizados. Necesitamos investigar las desviaciones de esta variable porque si esa cantidad es muy reducida, nuestros costos se elevan mucho. En tanto que, si es elevada, implica un riesgo para la carga, la unidad y sobre todo, el propio conductor. Consideremos que la jornada estipulada es de diez horas y que el recorrido por hora es una variable aleatoria con distribución normal, con media de 55 km y desvío de 9 km.

Debemos utilizar la información disponible para:o Determinar límites de control conformes al criterio adoptado para cada una de las

variables planteadas.


PRIMERA PARTE DEL TRABAJO:

Análisis de la variable aleatoria discreta(X): Esta variable tomará valores enteros lo que nos permitirá estudiarla mediante el modelo binomial.

X=Cantidad de urgencias debidas a caja, embrague o diferencial que ocurren cada cincuenta urgencias.

La probabilidad de que una cierta urgencia se origine en la transmisión es de 0,07 en términos de probabilidad.

Determinando T el evento “Roturas en la transmisión” P (T)=0,07

La cantidad de ensayos (n) son 50 urgencias.

Analizando la situación, se puede expresar como la suma de cincuenta experimentos Bernoulli con los siguientes resultados:

Éxito: la reparación de urgencia se origina por un desperfecto en caja embrague o diferencial.

Fracaso: la reparación se realiza por otro motivo.

Los intentos son independientes los unos de los otros y la probabilidad de éxito es constante por lo que este experimento se puede definir mediante el modelo de distribución de la probabilidad binomial X ~ B (50, 0.07).

Cantidad de Urgencias Probabilidad Probabilidad acumulada

0 0,026555068 0,0265550681 0,099938430 0,1264934982 0,184295062 0,3107885603 0,221946741 0,5327353014 0,196291607 0,7290269085 0,135926661 0,8649535696 0,076732792 0,9416863617 0,036303686 0,9779932218 0,014687378 0,9926805999 0,005159007 0,99783960610 0,001592080 0,99943168611 0,000435760 0,99986744612 0,000106597 0,999974043Del 13 al 50 0,000023453 1


Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil



















0 3 7 10 13 17 20 23 27 30 33 37 40 43 47 50

Cantidad de ensayos exitosos(engranajes, embrague o diferencial)

0,000

0,025

0,050

0,075

0,100

0,125

0,150

0,175

0,200

0,225

0,250

Pro

ba

bili

da

d

1° Grafíco de densidad de probabilidad: Binomial

Nuestro interés se basa en definir los valores limites que se encuentran dentro del 99% central ,es decir los valores simétricos de la media para los cuales la probabilidad acumulada entre esos dos valores sea el 99%.

Si bien este calculo se puede realizar de dos maneras (binomial o limite central), el teorema del limite central no es aplicable debido a no cumplir con la condición de n*p>5, por lo cual se determinan los valores acumulados por distribución binomial sabiendo que el primer limite se encontrara donde se acumule aproximadamente el 0,005 de la probabilidad y el segundo donde se acumule aproximadamente el 0,095.

Media: E(X)=n*p= 50*0.07=3.5

Siendo Li limite inferior y Ls limite superior,

Li=0.005<0,026555068 = 0

Ls=0.99>0,977993221 = 7

Podemos concluir entonces que el límite de control para la variable cantidad de reparaciones de urgencias debidas a la caja embrague o diferencial es de 7 urgencias debidas a la transmisión y cualquier sea el valor q exceda a dicho limite será considerado extraordinario.


SEGUNDA PARTE DEL TRABAJO:

Análisis de la variable aleatoria discreta:

X: Cantidad de urgencias debidas a los sistemas de refrigeración que ocurren cada cincuenta urgencias.

Teniendo en cuenta que la probabilidad de que una cierta urgencia se origine en el radiador es de 0,08 y que la probabilidad sea en el circuito auxiliar independiente es de 0,09, denominamos R al evento “Urgencias originadas en el radiador” y C “Urgencias debidas al circuito auxiliar.

Radiador = R

Circuito Auxiliar Independiente = C

Probabilidades:

P (R) = 0,08

P (C) = 0,09

P (R ∪ C) = p (R) + p (C) – p(R ∩ C)

P (R ∩ C) = 0,08 * 0,09 para variables independientes

Reemplazando:

P (R ∪ C) = 0,08 + 0,09 – (0,08 * 0,09)

P (R ∪ C) = 0,1628

Decidimos analizar esta variable mediante el modelo binomial ya que tenemos una probabilidad de 0,1628 que se mantiene constante de un ensayo a otro. Teniendo en cuenta las cincuentas repeticiones independientes y aplicando Bernoulli a cada una de ellas obtenemos los siguientes datos.

X ˜ B (50; 0,1628)


Este experimento se puede abordar a partir del modelo binomial y pero además, se puede aproximar la distribución binomial por una función normal según el teorema del limite central, normalizarla y encontrar los valores para los cuales el área central encierra el 99% de las probabilidades. Esto es posible debido a la comprobación de (n*P = 8,14) >5

Media = E(X) = n*P = 8,14

q = 0,92 * 0,91 = 0,83

σ² = n*p*q= 50*0,1628*0,83 = 6,75 u²

σ = 2,59

Por lo tanto:

P (xi≤ X ≤ xs)= 0,99

Cantidad de urgencias Probabilidad Probabilidad acumulada0 0,000138503 0,0001385031 0,001346654 0,0014851572 0,006415750 0,0079009073 0,019961473 0,027862384 0,045609535 0,073479155 0,081595959 0,1550678746 0,119002229 0,2740701037 0,145457096 0,4195271998 0,152033244 0,5715604439 0,137965508 0,70952595110 0,109996676 0,81952262711 0,077780736 0,89730336312 0,049156459 0,94645982213 0,027941262 0,97440108414 0,014359684 0,98876076815 0,006701643 0,99546241116 0,002850719 0,9983131317 0,001108688 0,9994218818 0,000395254 0,99981707219 0,000129448 0,9999465220 0,000039017 0,999985537Del 21 al 50 0,000010838 1


Normalizando lo anterior:

Obtenemos como resultado 0,99

Buscando los valores de zi y zs correspondientes se obtiene que:

zi= -2.57 zs = 2,57

Reemplazando en la normalización obtenemos

Zi= (xi – E(x))/V(x) ˄ (1/2)

Despejando xi se obtiene:

Xi= 1,48

Luego

Zs= (xs – E(x))/V(x) ˄ (1/2)

Despejando xs se obtiene:

Xs = 14,79

Conclusión: El límite de control conveniente para la variable cantidad de reparaciones de urgencia debidas al sistema de refrigeración tiene un máximo de quince urgencias y un minimo de una urgencia cada cincuenta. Es decir que si algún valor de X se excede de trece o esta debajo de uno se considera como valor extraordinario

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil



















0 4 8 13 17 21 25 29 33 38 42 46 50

Cant. de ensayos exitosos(radiador y circuito auxiliar)

0,000

0,019

0,038

0,057

0,076

0,094

0,113

0,132

0,151

0,170

Pro

ba

bili

da

d

2° Grafíco:Densidad de probabilidad binomial.


TERCERA PARTE DEL TRABAJO:

X: Cantidad de Urgencias debidas a Rodamientos que ocurren cada cincuenta urgencias.

Para el análisis de esta variable contamos con la siguiente información:

Causa de Problema Probabilidad (p) Complemento (q)Rodamientos de Distribución 0,15 0,85

Rodamientos Auxiliares 0,07 0,93Correas 0,1 0,9

Tenemos que la probabilidad que una urgencia no sea causada por ninguno de los motivos anteriores esté dada por:

q1*q2*q3 = 0,7745

Y la probabilidad de que una urgencia se deba por lo menos a uno de ellos:

p = 1 – 0,7745

p = 0,28855

La variable urgencias debido a rodamientos posee una distribución binomial porque repetimos varias veces un experimento Bernoulli, en este caso 50 ensayos y los resultados posibles son éxito (urgencias debidas a rodamientos) y fracaso (causadas por otros motivos).

Por lo tanto tenemos:

50 variables independientes, idénticamente distribuidas. Conocemos:

µ = n * p = 50 * 0,2855 = 14,4275

σ² = n * p * q = 50 * 0,28855 * 0,7745 = 11,14

σ = 3,34

X ~ B (50; 0,28855)


Para determinar los valores acumulados por la distribución binomial sabiendo que el primer límite se encontrará cuando se acumula aproximadamente el 0,005 de la probabilidad y el segundo cuando se acumule aproximadamente el 0,995 (la diferencia es 0,99).

Cantidad de Urgencias Probabilidad Probabilidad Acumulada Limites0 0 01 0,000000821 0,0000008212 0,000008157 0,0000089783 0,000052931 0,0000619094 0,000252244 0,0003141535 0,000941206 0,0012553596 0,002863007 0,004118366 Límite Inferior7 0,007298838 0,0114172048 0,015911418 0,0273286229 0,030115658 0,0574442810 0,050078684 0,10752296411 0,073857892 0,18138085612 0,09735471 0,27873556613 0,115418096 0,39415366214 0,123715549 0,51786921115 0,120423771 0,63829298216 0,106840763 0,74513374517 0,086664986 0,83179873118 0,06444093 0,89623966119 0,044018463 0,94025812420 0,027672174 0,96793029821 0,016033264 0,98396356222 0,008571838 0,992535423 0,004232343 0,996767743 Límite Superior24 0,001931124 0,99869886725 0,000814555 0,99951342226 0,000317661 0,99983108327 0,000114522 0,99994560528 0,000038154 0,99998375929 0,00001174 0,999995499






















0 8 17 25 33 42 50Cantidad de Urgencias

-0,01

0,02

0,04

0,06

0,08

0,11

0,13

Pro

babi

lidad

Cantidad de Urgencias (rodamientos): Binomial

Siendo el límite Inferior = Li y Límite Superior = Ls

Li = 6

Ls = 23

A continuación aplicamos el teorema de límite central debido a que el valor n es lo suficientemente grande, para así aproximar X a una distribución normal.

X ~ N (µ = 14,42; σ = 3,34)

Queremos encontrar dos valores simétricos respecto a µ (x1, x2), tales que encierren entre sí una probabilidad de 0,99, por lo tanto se tiene que:

P(x1 ≤ X ≤ x2) = 0,99


P (z1 ≤ Z ≤ z2) = P ((x1 – µ) * (1/σ) < Z < (x2 - µ) * (1/σ)) = 0,99

Buscando los valores de z1 y z2 en la tabla A.3 de la Guía de Actividades, Probabilidad y Estadística (2012).

z1 = -2,57 z2 = 2.57

Remplazamos en la normalización, obteniendo:


z1 = (x1 - µ) / σ

x1 = (z1 * σ + µ) = -2,57 * 3,34 + 14,42 = 5,85

z2 = (x2 - µ) / σ

x2 = (z2 * σ + µ) = 2,57 * 3,34 + 14,42 = 23

Por lo tanto:

x1 x26 23

Conclusión: Los valores obtenidos a partir del Teorema Central del Límite son muy cercanos a los valores que obtuvimos a través de la Binomial.

Valores usuales de la Variable Cantidad de Urgencias debidas a Rodamientos serán aquellas que se encuentren entre los valores 6 y 23, los valores que no se encuentren dentro de este intervalo serán considerados como valores extraordinarios.


CUARTA PARTE:

X: Cantidad de Urgencias debidas al Sistema de Balancín-Elásticos que ocurren cada cincuenta urgencias.

Datos suministrados para el análisis:

Sabemos que si se rompe el balancín o un paquete elástico, el camión puede seguir su tarea, pero si se rompen ambos no puede continuar. Entonces deberá recurrirse a una reparación de urgencia. La probabilidad de que se trabe el balancín es de 0,10 y la probabilidad de rotura del paquete elástico es de 0,06. Pero si se traba el balancín el paquete de elásticos trabaja de manera forzada de manera que su probabilidad de rotura es de 0,2.

Siendo:

B = Rotura de balancín.

E = Rotura de paquete elástico.

Pero por el estudio de probabilidades tenemos que:

P (E/B) = P (E ∩ B) / P (E/B)

Entonces:

P (B) = 0,1

P (E) = 0,06

P (E/B) = 0,2

P (B ∩ E) = P (B) * P (E/B)

Donde la intersección es igual a la ocurrencia de los dos eventos simultáneamente. Que es cuando se considera una urgencia para el camión.

P (B ∩ E) = 0,1 * 0,2

P (B ∩ E) = 0,02

La probabilidad de que una reparación de urgencia sea debida al sistema Balancín-Elásticos es de 0,02.


La variable urgencia debido a Balancín-Elástico posee una distribución binomial porque el experimento es el resultado de cincuenta ensayos iguales e independientes en el que se pueden obtener dos resultados diferentes: éxito (reparación de emergencia debida al sistema Balancín-Elásticos) y fracaso (reparación realizada por otro motivo).

X ~ B (50; 0,02)

Cantidad de Urgencias Probabilidad Probabilidad Acumulada Limites0 0,364169681 0,364169681 Límite Inferior1 0,371601714 0,7357713952 0,185800857 0,9215722533 0,060669668 0,98224192 Límite Superior4 0,014548339 0,9967902595 0,002731525 0,9995217846 0,000418091 0,9999398747 0,000053632 0,9995754168 0,000000034 0,99957545

Del 9 al 50 0 1

Siendo Li = Límite Inferior y Ls = Límite Superior

Li = 0 urgencias debidas al Sistema Balancín-Elásticos cada 50 urgencias.

Ls = 3 urgencias debidas al Sistema Balancín-Elásticos cada 50 urgencias.






















0 8 17 25 33 42 50

Cantidad de Urgencias

-0,02

0,05

0,12

0,19

0,25

0,32

0,39P

rob

ab

ilid

ad

Cantidad de Urgencias (Sistema Balancín-Elásticos): Binomial

Consideramos además que el valor de n es suficientemente grande aplicamos entonces el Teorema de Límite Central para aproximar X a una distribución normal:

µ = n * p = 50 * 0,02 = 1

σ ² = n * p * q = 50 * 0,02 * 0,98 = 0,98

σ = 0,98

Entonces:

P(x1 ≤ X ≤ x2) = 0,99


P (z1 ≤ Z ≤ z2) = P ((x1 – µ) * (1/σ) < Z < (x2 - µ) * (1/σ)) = 0,99


z1 = -2,57 z2 = 2.57


z1 = (x1 - µ) / σ


x1 = (z1 * σ + µ) = -2,57 * 0,98 + 1 = -1,54

z2 = (x2 - µ) / σ

x2 = (z2 * σ + µ) = 2,57 * 0,98 + 1 = 3,51

x1 x20 3

Conclusión: El límite de control conveniente para la variable cantidad de reparaciones de Sistema de Balancín-Elásticos es de tres urgencias cada cincuenta urgencias por dicho motivo, es decir que si algún valor de X toma un valor superior a éste se le considera extraordinario.


QUINTA PARTE DEL TRABAJO:

X: Cantidad de urgencias que se reciben por semana

Media de la cantidad de urgencias diarias μ = 1,5

Aplicamos el modelo de Poisson ya que contamos con repeticiones del evento durante una unidad de tiempo, la misma es de 6 días. Luego estandarizamos la variable para aproximarla por una distribución normal.

En este caso λ = 9 representa el promedio de las urgencias que suceden por semana.

Con la formula antes mencionada del modelo de Poisson calculamos:

X˜P (9)

X = x P(x,14) ΣP(x,14) Limites0 0,000123 0,00012301 0,001111 0,0001230 Limite Inferior2 0,004998 0,00512113 0,014994 0,02011544 0,033737 0,05385255 0,060727 0,11457946 0,091090 0,20566977 0,117116 0,32278598 0,131756 0,45454159 0,131756 0,5862971

10 0,118580 0,704877211 0,097020 0,801897312 0,072765 0,874662313 0,050376 0,925038114 0,032384 0,957422615 0,019431 0,976853216 0,010930 0,987783017 0,005786 0,9935693 Limite Superior18 0,002893 0,996462519 0,001370 0,997832920 0,000617 0,998449721 0,000264 0,998714022 0,000108 0,998822123 0,000042 0,998864424 0,000016 0,998880225 0,000006 0,9988860


Para determinar los valores de x1 y x2 (Limite inferior y superior respectivamente) buscamos en la tabla los valores que corresponden a las probabilidades acumuladas que se aproximan a 0,005 y 0,995 y tenemos entonces que:

X1 X2Nº de Limite 1u 17u

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil



















0 3 6 8 11 14 17 19 22 25 28 31 33 36 39 42 44 47 50

Cantidad de urgencias

0,000

0,015

0,030

0,045

0,060

0,075

0,090

0,105

0,120

0,135

0,150

Pro

ba

bili

da

d

Grafico de Densidad: Cantidad de urgencias por semana

De este grafico podemos decir que tiene un sesgo a derecha o positivo pero una distribución simétrica de los valores de las probabilidades. También podemos decir que entre las 6 y 14 urgencias son las más probables por semana.

Como en las demás variables, lo que nos interesa es el 99% central. Sabemos que el límite inferior se encontrara cuando se acumule el 0,005 de la probabilidad y el segundo cuando se acumule el 0,995 (la diferencia es 0,99)

P (xi ≤ X ≤ xs) = 0,99

E(x) = 1,5 (Diaria) = 9 semanal = λ

V(x) = λ˄ (1/2) = 3



Obtenemos como resultado 0,99

Buscando los valores de zi y zs correspondientes se obtiene que:

Zi= -2.75 Zs=2,75

Reemplazando en la normalización

Xi = Zi* σ+ μ

Xi = 1,29

Xs = Zs* σ+ μ

Xs = 17

Se puede comprobar ambos límites destacados en la tabla anterior.

Conclusión: Los valores que se tomaran como usuales, para la variable Cantidad de urgencias recibidas por semana, deberán estar entre 1 y 17. Mientras los que se ubican fuera de este intervalo se los considera extraordinarios.


SEXTA PARTE:

X: Tiempo en el que ocurren cincuenta urgencias.

Para este análisis los datos son:

El sistema informático totaliza tiempos cada treinta urgencias. Sabemos que en promedio pasan doce horas entre dos urgencias consecutivas y que la variable tiempo entre urgencias debe tener distribución exponencial.

En el modelo exponencial la media y la varianza toman los valores siguientes:

X = 49

µ = 12

E(x) = n * µ = 49 * 12 = 588

V(x) = E(x) ² = 345744

λ = 1 / E(x) = 1/588 = 0,0017

Por lo tanto:X ~ E(0,0017)

El tiempo entre dos reparaciones consecutivas es de doce horas, implica que el tiempo en el que transcurren “n” reparaciones será 12 *(n-1).Queremos calcular un intervalo que encasille el 99% de la probabilidad entonces igualamos la ecuación de la probabilidad acumulada de la distribución exponencial a 0,99 y despejamos X.

F(x) = 1 – e ˄(-λ*x) = 0,99x = -ln(1-0,99) / λ = 2707,84

Concluyendo, los valores usuales para X: Tiempo en el que ocurren cincuenta urgencias, serán aquellos que se encuentren dentro del intervalo 0 hs y 2707,84 hs, los que no entren dentro de dicho espacio serán considerados como valores extraordinarios.


SEPTIMA PARTE:

Y: Cantidad de kilómetros recorridos por día.

Para el siguiente análisis tenemos los siguientes datos:

Consideramos que la jornada estipulada es de diez horas y que el recorrido por hora es una variable con distribución normal con una media de 55 km y un desvío de 9 km.

Para la resolución de este problema hacemos uso de la propiedad reproductiva de la variable con distribución normal que nos permite a través de un conjunto de normales conocidas obtener otra normal.

X1 ~ N (E(x); V(x))

X2 ~ N (E(x); V(x))

…

Xn ~ (E(x)n; V(x)n)

Y se crea la variable aleatoria continua:

Y = X1 + X2 + … + Xn

Con:

Y ~ N (Σ E(x)1; Σ V(x)1)

Así obtenemos la variable Y que es la cantidad de kilómetros recorridos por día, como la suma de la variable x que es cantidad de kilómetros recorridos por hora, diez veces ya que la jornada cuenta de diez horas, por lo tanto por ser todas las X iguales y tener la misma media y desvío:

Y ~ N(n * E(x); n * V(x))

Con:

E(x) = 10 * 55 = 550

V(x) = 10 * 9 ² = 810


Y ~ N (550; 810)

Por lo tanto se tiene que:

P (y1 ≤ Y ≤ y2) = 0.99


P(z1 ≤ Z ≤ z2) = P( (y1 – n*E(x))*(1/(n*V(x))^1/2) ≤ Z ≤ (y2 – n*E(x))*(1/(n*V(x))^1/2) = 0,99


z1 = -2,57 z2 = 2.57


z1 = (x1 – n*E(x)) / (n*V(x))^1/2

y1 = (z1 * (n * V(x)) ^ 1/2 + n * E(x)) = -2,57 * 28,46 + 550 = 476,86

z2 = (y2 -– n*E(x)) / (n*V(x))^ 1/2

y2 = (z2 * (n * V(x)) ^ 1/2 + n * E(x)) = 2,57 * 28,46 + 550 = 623,14

Los valores límites que encierran el 99% de las probabilidades son 476,86 km, como límite inferior y 623,14 km, como límite superior. Si algún valor se encuentra fuera de dichos límites se tomará como valor extraordinario.

Concluimos que los límites de control convenientes para dicha variable serán 476,86 por día como mínimo y 623,14 como máximo, cualquier valor fuera de este intervalo se considerará extraordinario e implicaría costos elevados y cierto peligro para la carga transportada, camión y el conductor.


Conclusión:

La empresa puede considerar que tiene un control aceptable sobre todas las variables mencionadas y analizadas anteriormente. Para cada una de ellas se observa que los valores usuales se encuentran dentro del 99% establecido. Como se ha visto los valores que no pertenezcan a dicho intervalo generarán dificultades financieras y operativas para la misma y es justamente lo que se pretende evitar. Vale la pena destacar que la mayoría de dichos valores se obtuvieron en base a aproximaciones probabilísticas y por ello el control no es absoluto pero es suficiente para responder a los objetivos fijados por la empresa


BIBLIOGRAFIA:

J.Devore, “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias”, México, Thomson,1998

W.Navidi, “ Estadística para ingenieros”, México, Mc Gran Hill, 2006 R. Walpole, R. Myers, S. Myers, “Probabilidad y Estadística para ingenieros”.

Otras fuentes

www.wikipedia.com

http://www.wikipedia.com/

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