1

Alumna: Mendez Lourdes

Profesor: Lucas, Oscar

Ao: 2012

2

Instituto Superior del Profesorado

de Salta N 6005

Carrera: Profesorado de la EGB 3 y la Educacin

Polimodal en Matemtica

Materia: EDI. Computacin Aplicada a la

Matemtica

Profesor a cargo: Oscar Lucas

Alumna: Mendez Lourdes Milena

Fecha inicio y fin: Proyecto pensado para ser

ejecutado en 14 horas ctedra (7 clases de 2 hs

ctedra cada una)

Ao: 2012

3

El software utilizado para desarrollar el siguiente trabajo es Matemtica de Microsoft

3.0, a continuacin, se detallan sus caractersticas y aplicaciones ms importantes.

Matemticas de Microsoft

Matemticas de Microsoft contiene las caractersticas que se disean para ayudar a

solucionar matemticas, ciencia, y problemas tecnologa-relacionados, as como educar al

usuario. El uso ofrece las herramientas tales como una calculadora de representacin grfico

grficamente y un convertidor de la unidad. Tambin incluye un disolvente del tringulo, y a

un disolvente de ecuacin que proporcione soluciones graduales a cada problema, una

caracterstica beneficiosa a los estudiantes que intentan aprender destrezas.

La versin independiente de la matemticas 3,0 de Microsoft tambin tiene ayuda para

el clculo y la escritura de la tinta, permitiendo que el usuario ponga problemas en escrito a

mano y los haga reconocer por las matemticas de Microsoft.

Este grapher tambin se adapta al clculo multivariable. Por ejemplo, el modo

paramtrico del grapher permite que el estudiante represente funciones de vector grficamente

3D.

Matemticas 3.0 de Microsoft es una versin completamente equipada disponible

como producto adquirible independiente y una versin reducida llamaron la calculadora de

Encarta disponible como parte del estudiante 2008 de Microsoft. La versin independiente

completamente equipada incluye exclusivamente la ayuda del clculo, caractersticas digitales

del reconocimiento de la tinta y un modo de visualizacin especial para los proyectores video.

La versin independiente es tambin la primera versin de las matemticas de Microsoft para

requerir la activacin del producto.

Requisitos de sistema

Los requisitos de sistema para las matemticas de Microsoft incluyen:

Requisitos mnimos Requisitos recomendados

Procesador Pentium 600 megaciclos o

equivalente Pentium 1 gigahertz o equivalente

Sistema

operativo Microsoft Windows XP SP2 o ms adelante

RAM MB 256 MB 512

Impulsin dura Espacio libre de 450 MB

Grficos vdeo VGA-capaz o mejor

carde con la resolucin 640 x 480

vdeo VGA-capaz o mejor

carde con la resolucin 1024 x

768

Otros requisitos Marco 3,5 SP1 de .NET o arriba

4

MANUAL DE MATEMATICAS DE MICROSOFT 3.0

Familiarizarse con la interfaz

Al abrir por primera vez Matemticas Microsoft, ver los siguientes elementos:

1) La calculadora que incluye un teclado numrico y botones con los grupos siguientes: Estadstica, Trigonometra, lgebra Lineal, Clculo, Standard, y botones favoritos.

2) La hoja se muestra por defecto, y es donde se hacen la mayor parte de sus clculos numricos. Esta ficha incluye tanto una entrada como un panel de salida. El panel de

entrada le da la opcin de utilizar la entrada de la calculadora grfica, el teclado o la tinta. Al

hacer clic en los botones de la calculadora, se construye una expresin matemtica en el panel

de entrada de teclado.

3) La ficha Grficos se puede utilizar para crear grficos. Esta ficha incluye un panel de entrada para introducir la ecuacin de la funcin, la desigualdad, los conjuntos de

datos, o las ecuaciones paramtricas que desea representar.

4) Herramientas matemticas: En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, ver los botones de herramientas adicionales de matemticas:

Uso de la calculadora grfica

Resolucin de ecuaciones: resuelve

Ecuaciones sencillas o un sistema de ecuaciones.

Frmulas y ecuaciones: permite buscar

frmulas, ecuaciones y constantes de ciencias y

matemticas.

Resolucin de tringulos: utiliza lados y

ngulos conocidos para completar el tringulo.

Conversor de unidades: convierte datos

fcilmente de un sistema de unidades a otro.

Gua visual de Matemticas de

Microsoft: permite conocer los fundamentaos de

Matemticas de Microsoft en internet.

5

Ejemplo. Calcular el siguiente limite:

Desplegar la solapa Calculo, clicar en el botn .

Aparecer en el cuadro de entrada el lmite.

Introducir la expresin utilizando el botn de fraccin de la calculadora, ubicado en la solapa estndar

Dar clic en intro. Inmediatamente el programa arroja el resultado del lmite:

Resolucin de ecuaciones paso a paso Microsoft Matemticas proporciona instrucciones paso a paso las soluciones a muchos tipos

de problemas, desde la simplificacin de expresiones algebraicas para resolver sistemas de

ecuaciones. Si una solucin paso a paso est disponible para una expresin, podrs ver el

ttulo de "medidas de solucin" entre las expresiones de entrada y de salida en el panel de

salida.

1) Introduzca la ecuacin: -2x / 4 = 2

2) Pulse la tecla Enter.

3) Ver que la ecuacin se resuelve en el panel de salida

4) Para ver la solucin paso a paso, haga clic en Pasos de resolucin que aparece en la

solucin de la ecuacin en el panel de salida

La principal herramienta de Matemticas de

Microsoft es una calculadora cientfica con todas las

funciones con una amplia representacin grfica y la

capacidad de resolucin de ecuaciones. Se puede utilizar

como una calculadora de mano haciendo clic en los

botones, o puede usar el teclado para escribir las

expresiones matemticas que desea que la calculadora

evale.

6

Si una solucin paso a paso est disponible para una expresin, podrs ver el ttulo de

"Pasos de Resolucin" entre las expresiones de entrada y de salida en el panel de salida sin

tener en cuenta si se introduce la expresin que utiliza la calculadora, el teclado, o la opcin

de entrada de tinta.

Cmo crear un grfico?

Para crear los grficos matemticos, se utiliza la ficha grfica. La ficha grfica incluye un

panel de entrada que se utiliza para acceder a la funcin, la ecuacin, la desigualdad, conjunto

de datos, o ecuacin paramtrica que desea representar. Para trabajar con el grfico despus

de haberlo creado, la ficha grfica tambin incluye un panel que describe lo que se representa

en el grfico, y un panel grfico que muestra el grfico.

Medidas generales para la elaboracin de un grfico 1) Haga clic en la ficha grfica.

2) Ample el panel de entrada correspondiente: Ecuaciones y funciones, ecuaciones, conjuntos de datos, Paramtrico o desigualdades.

3) En la lista de dimensiones, haga clic en 2D o 3D.

4) En la lista de coordenadas, haga clic en cartesianas, coordenadas esfricas polares, o

cilndrica.

5) Escriba la expresin o los datos que desea trazar.

7

6) Haga clic en el grfico

Trazado de grficos 2D La forma ms sencilla es poner la ecuacin de la recta en forma pendiente-interseccin y el

argumento del lado derecho de la ecuacin como una funcin de y. Puede representar

cualquier forma de la lnea como una ecuacin, y tambin se pueden trazar dos puntos de

datos y trazar la lnea resultante.

La ecuacin de ejemplo: y = (2 / 3) x + 3

Trazar una lnea en funcin de y

1) Haga clic en la ficha grfica. 2) Ampliar las ecuaciones y funciones. 3) En el cuadro de la primera entrada, introduzca y = (2 / 3) x +3.

4) Haga clic en Enter 5) Haga clic en el grfico y vea los resultados

Herramientas Matemticas Microsoft Matemticas incluye una serie de herramientas para realizar determinados tipos de

clculos. En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, hay botones para las siguientes

herramientas:

Resolucin de ecuaciones Usted puede utilizar el solucionador de ecuaciones para resolver una o varias ecuaciones al

mismo tiempo. El editor de resolucin de ecuaciones le permite introducir una ecuacin o un

sistema de ecuaciones, y entonces la solucin se muestra en la hoja de clculo.

Frmulas y ecuaciones Puede utilizar las frmulas y las ecuaciones de la biblioteca para encontrar muchas frmulas

comunes, constantes y ecuaciones de una variedad de disciplinas matemticas y cientficas,

incluyendo lgebra, geometra, qumica y fsica. Puede hacer clic en una ecuacin para la

trama o resolverlo de una variable en particular.

8

Resolucin de tringulos Puede utilizar el Resolucin Tringulo para entrar secundarios conocidos y ngulos de un

tringulo y calcular los lados y ngulos restantes.

Conversor de unidades Usted puede utilizar el conversor de unidades para convertir los datos de un conjunto de

unidades a otro.

.Gua visual de Matemticas de Microsoft

Solucionador de ecuaciones El solucionador de ecuacin proporciona una manera fcil de entrar en una ecuacin o un

sistema de ecuaciones que desee resolver. La solucin a la ecuacin o sistema se muestra en la

hoja de trabajo.

Para utilizar el solucionador de ecuaciones 1. En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, haga clic en resolver ecuaciones.

2. En la lista en la parte superior de la Resolver Ecuacin, haga clic en el nmero de

ecuaciones que desea resolver.

Uso de frmulas y ecuaciones

Microsoft Matemticas incluye una biblioteca de frmulas y ecuaciones que contiene muchas

ecuaciones y frmulas comunes de las matemticas, la fsica y la qumica. Puede utilizar

frmulas y ecuaciones como un recurso cuando se trabaja en las tareas de su trabajo. Por

ejemplo, puede copiar las ecuaciones de la biblioteca en la hoja de trabajo y luego trazar las

ecuaciones, o resolverlos con alguna variable en particular. En frmulas y ecuaciones, se

puede encontrar de todo, desde la frmula cuadrtica, a la frmula para el rea de un

tringulo, a la ecuacin de la fuerza de gravedad.

Para resolver una ecuacin 1. En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, haga clic en frmulas y ecuaciones, y luego

haga clic en el tipo de ecuaciones que desea ver.

2. Las frmulas y ecuaciones aparecen en la lista. Seleccione uno de los temas, que van desde

lgebra, Geometra, Trigonometra, Fsica, Qumica, Derecho de los exponentes, Propiedades

de los logaritmos, o constantes.

3. Escriba una ecuacin en cada una de las casillas

correspondientes.

Nota: No pulse Intro en el teclado antes de entrar

en todas las ecuaciones.

4. Haga clic en Resolver.

Ejemplo

1. Haga clic en Resolver un sistema de dos

ecuaciones.

2. En la casilla que dice la ecuacin 1, escriba lo

siguiente:

3x - 4y = 2

3. En la casilla que dice la ecuacin 2, escriba lo

siguiente:

5x + 2y = 7

4. Haga clic en Resolver.

9

3. Haga clic derecho en una ecuacin, a continuacin, haga clic en resolver esta ecuacin.

Cajas de entrada para cada parmetro y variable de la ecuacin en la parte inferior de

frmulas y ecuaciones.

4. Introduzca los valores en todos menos en uno de los cuadros de entrada.

5. Haga clic en Aceptar. La ecuacin se resuelve para la variable restante o de los parmetros

y se muestra en la hoja de trabajo.

Utilice Resolucin de tringulos

3. En la lista Mostrar, haga clic en la informacin que desea ver:

Reglas para calcular muestra los teoremas y axiomas utilizados para calcular lado

Ayuda a explorar los tringulos y las

relaciones entre sus muchas partes.

Para utilizar el Resolucin Tringulo

1. En la ficha Inicio, en el grupo

Herramientas, haga clic en Resolucin

deTringulos.

2. El solucionador de tringulo.

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desconocido y medidas de los ngulos de la parte conocida y medidas de los ngulos de

entrada.

Tipo tringulo identifica el tipo de tringulo sobre la base de la informacin introducida.

Altitudes o rea muestran y las tres alturas y el rea del tringulo

4. Introduzca secundarios conocidos y medidas de los ngulos en las casillas

correspondientes.

5. Haga clic en Calcular.

Utilice el convesor de unidades

El conversor de unidad le ayuda a convertir las medidas de una unidad de medida a otra.

Para utilizar la herramienta de conversin de unidades 1. En la ficha Inicio, en el grupo Herramientas, haga clic en conversor de unidad.

El conversor de la unidad aparece.

2. En la lista Convertir, haga clic en el tipo de medicin que se est convirtiendo (por

ejemplo: longitud).

3. En la lista De, haga clic en la unidad que est convirtiendo. (Ejemplo: pies)

4. En la lista A, haga clic en la unidad que est convirtiendo. (Ejemplo: metros)

5. En el cuadro de entrada, escriba la medida que est convirtiendo.

6. Haga clic en Calcular.

11

Tema:

SISTEMAS DE

INECUACIONES

Y

PROGRAMACIN

LINEAL

12

Diagnstico inicial

El siguiente tema est destinado a alumnos de 1 de polimodal o alumnos de

tercer ao de la escuela secundaria. Para poder trabajar con el tema sistema de

inecuaciones, se considera, que los alumnos deben tener los conocimientos

detallados a continuacin:

Nocin de sistemas de ecuaciones; mtodos de resolucin

grafica, sustitucin, igualacin etc.; traduccin de situaciones problemticas al

lenguaje algebraico;

Sistema de referencia para la ubicacin de puntos en el plano;

nocin de Intervalos.

Operaciones entre conjuntos. Interseccin y unin. Concepto de

desigualdad.

A medida que surjan dudas durante el transcurso de las clases de los

conceptos previos se har lo posible por recordar los mismos sin salir de los temas a

ensear.

Los temas sern desarrollados utilizando como herramienta el programa

Matemticas de Microsoft 3.0, ya sea para la comprensin o resolucin de las

situaciones problematicas, y/o verificacion y visualizacion de los resultados.

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Fundamentacin

En un mundo donde los conocimientos matemticos se desarrollan

vertiginosamente y aumentan sus aplicaciones da a da, en el que las calculadoras

y computadoras forman parte del quehacer cotidiano, hay un consenso social , sobre

la importancia de la matemtica y la necesidad de su aprendizaje por todos los

estudiantes, lo que significa dotar a todos los alumnos y alumnas de una cultura que

les proporcione recursos para su vida utilizando estos avances tecnolgicos como

ventajas y herramientas que ofrece este nuevo mundo virtual. Enfrentar este reto

depende en gran medida de las competencias del profesorado, transformar el papel

del profesor, de manera que, sin dejar la direccin del proceso propicie un mayor

protagonismo de los estudiantes en el aprendizaje y los ensee a aprender por s

mismos, estimulando la bsqueda de nuevos conocimientos y la necesidad del

inters por la investigacin.

El uso de la computadora es altamente deseable en la enseanza y el

aprendizaje de las ciencias y de la Matemtica en particular. La Matemtica pensada

en razn de su enseanza escolar, debe ser considerada como un proceso de

pensamiento, es decir una actividad matemtica dinmica de conceptos

relacionados con una lgica implcita entre s, cuyo conocimiento permita elaborar,

utilizar algoritmos y aplicar una variedad de estrategias en las situaciones

problemticas que se le puedan presentar al estudiante. Cuando el alumno utiliza la

computadora se pretende lograr un ambiente que lo estimule hacia el

descubrimiento y que facilite la construccin de conceptos, en este caso

matemticos.

El tema principal que se abordara en esta secuencia de enseanza es el de

sistemas de inecuaciones si bien el alumno cuenta con la observacin de hechos

cotidianos como es la compra de ciertos artculos teniendo una cantidad de

dinero predeterminada, que permitiendo familiarizarse con las inecuaciones,

aunque hasta este punto de su formacin acadmica no sepan reconocerlas como

tales. Se trata ahora por tanto, de que el alumno sea capaz de expresar estos

hechos en lenguaje algebraico y resolverlo mediante el manejo de operaciones y

propiedades que hasta ahora ha hecho en casos fciles mentalmente.

Por lo que se pretende que el alumno sea capaz de dominar las

desigualdades entre nmeros, as como sus propiedades, para despus

servirse de estos conocimientos y traspasarlos a las a las situaciones

problemticas planteadas para poder trabajar con programacin lineal usando las

14

inecuaciones como restricciones y el uso del software para la realizacin de graficas,

en la obtencin de la solucin optima. Para lo cual las clases programadas en el

desarrollo de este trabajo tienen como meta utilizar la computadora, y en

consecuencia, un software matemtico, como una herramienta til para el proceso

de enseanza aprendizaje, a travs de la mediacin que realice el profesor. Con

este instrumento se pretende propiciar el inters y mayor grado de participacin

personal de los alumnos en las tareas de aprendizaje, de forma que puedan lograr

un dominio independiente de sus funciones, partiendo de lo que pueden hacer solos

y contribuyendo a su desarrollo a travs del aprendizaje. El sentido y significado de

su utilizacin permitir enriquecer la actividad docente y potenciar el aprendizaje de

los estudiantes.

15

Objetivos

Se pretende que los alumnos:

Usar lo visto sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con dos

incgnitas

Captar la idea de Programacin Lineal y sus posibilidades de aplicacin a

problemas prcticos.

Saber representar la regin factible generada por varias restricciones de

carcter lineal y calcular los vrtices de ella resolviendo sistemas de

inecuaciones y ecuaciones lineales.

Saber representar la funcin objetivo y comprender como aumentan o

disminuyen las rectas de nivel, para encontrar el mximo o el mnimo.

Saber plantear un problema de programacin lineal partiendo de un

enunciado en trminos generales.

Usar correcta y pertinentemente del software involucrado para la

interpretacin de los conceptos, como estmulo y facilitador en la resolucin

de ejercicios teniendo presente el marco terico.

Contenidos que se abordaran

Contenidos conceptuales

Inecuaciones de primer grado con dos variables.

Sistema de inecuaciones. Representacin grafica de una regin.

Introduccin a la Programacin Lineal

Definiciones: problema de programacin lineal, funcin objetivo, restricciones,

regin factible, solucin.

Solucin de un problema de Programacin Lineal

Contenidos procedimentales:

Reconocimiento, interpretacin y resolucin de situaciones problemticas que

involucren sistemas de inecuaciones.

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Representacin grfica. Anlisis de vrtices, reas, regiones factibles y

ptimas. Interpretacin y reconocimiento de las inecuaciones, descripcin en

lenguaje algebraico; as como su resolucin.

Evaluacin de cada uno de los vrtices en la funcin objetivo para determinar

el ptimo analticamente, aplicando el Teorema fundamental de la

Programacin Lineal.

Resolucin de varios casos con distintas situaciones sobre regiones factibles

y ptimas.

Resolucin de ejercicios de programacin lineal con enunciado empleando las

estrategias usuales para el planteamiento de problemas.

Contenidos actitudinales

Valoracin de la utilidad de las inecuaciones en la vida cotidiana.

Realizacin ordenada y sistemtica de los problemas.

Utilizacin de un lenguaje preciso para expresar los conocimientos

matemticos.

Valoracin del trabajo cooperativo en equipo. Seguridad ante la defensa de

sus argumentos y flexibilidad para modificarlos.

Inters por el uso del razonamiento intuitivo, lgico y la imaginacin para

encarar los problemas.

Estrategias didcticas

La estrategia que se llevara a cabo en este proyecto es hacer que el alumno pueda

a travs de diferentes actividades guiadas, recordar y construir el conocimiento en

cuestin, las clases se desarrollarn promoviendo la participacin activa y

beneficiosa de los alumnos. Para esto se utilizaran estrategias como:

Recoleccin, organizacin y observacin de la informacin en carpetas

individuales.

Revisin de ejercicios y situaciones problemticas en el pizarrn y la

computadora, comparando y discutiendo las soluciones.

Exposicin por parte del docente: De esta manera se presentar de manera

organizada la informacin a los alumnos y se los guiara en la toma de

17

conciencia de sus errores y aciertos, en la bsqueda de mejorar y afirmar

saberes.

Utilizacin de la computadora: Se les brindara a los alumnos una gua para

familiarizarse y utilizar un software de matemtica (Matemticas de Microsoft

3.0) como herramienta importante para la construccin del conocimiento

EVALUACIN

La evaluacin es: un proceso complejo y continuo de valoracin de las situaciones pedaggicas, de sus resultados y de los contextos y condiciones en que stas se producen. Forma parte intrnseca de los procesos de enseanza y aprendizaje y proporciona la comprensin de esos procesos, en contextos y condiciones particulares, para orientar la toma de decisiones que posibiliten su mejoramiento.

Criterios de evaluacin

Interpretar la utilizacin de los sistemas de inecuaciones para analizar y

resolver situaciones problemticas.

Definir las condiciones para optimizacin en situaciones problemticas.

Utilizar correctamente el software y las herramientas que brinda para graficar

y resolver correctamente los temas abordados.

Indicadores de logros

Realiza el pasaje del lenguaje coloquial al algebraico.

Resuelve sistemas de inecuaciones lineales utilizando los grficas

obtenidas.

Define e identifica correctamente las regiones factibles.

Conoce las condiciones para maximizar o minimizar.

Reconoce a partir de una situacin problemtica cual es la funcin

objetivo y las restricciones necesarias.

Interpreta y comprende los resultados obtenidos.

Utiliza correctamente el software de matemtica como herramienta para

realizar grficos, clculos y autocorrecciones.

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Instrumentos de la evaluacin

Observacin del comportamiento y participacin activa durante el desarrollo

de las clases.

Presentacin de trabajos prcticos en tiempo y forma.

Carpeta completa.

Evaluacin escrita de los temas desarrollados.

Bibliografa

PISANO, Juan Pablo (2011) Matemtica- Tomo III, Logikamente, Buenos Aires-

Argentina.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/matematicas-14.html

Alicia Tapia, Carlos Alberto Tapia (1987) Matematica 3, Tapia, Editorial Estrada,

Buenos Aires Argentina

Diseo Curricular de la Provincia de Salta para Educacin Secundaria (2006)

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PLAN DE CLASES DIARIOS CLASE N 1

Horas ctedras: 2

Subtema:

Presentacion del software de Matemticas de Microsoft 3.0 Repaso de Sistema de

Ecuaciones de primer grado con dos incognitas.

Objetivos:

Familiarizarce con el software para el logro de los aprendizajes.

Analizar los grficos obtenidos a partir de un sistema de ecuaciones lineales.

Traducir de lenguaje coloquial a simbolico para la resolcion de situaciones

problematicas.

Antes de dar inicio al desarrollo de la clase se explicar y presentar a los alumnos

el software de Matemticas de Microsoft 3.0 que utilizaran como herramienta, ya sea

para la comprensin o resolucin de las situaciones problematicas, y/o verificacion y

visualizacion de los resultados.

Actividades

Primeros pasos:

Presentacin: Software de Matemticas de Microsoft 3.

Al abrir por primera vez Matemticas Microsoft, ver los siguientes elementos:

Herramientas matemticas

Calculadora

Hoja de clculo

Graficas Herramientas matemticas

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Calculadora grfica

Luego de esta pequea presentacin trabajaremos con una introduccin en la

representacin grfica de rectas mediante el uso del software de Matemticas de

Microsoft 3.0 Para luego hacer hincapi en el tema de inecuaciones con dos

incgnitas, haciendo as que los alumnos recuerden y afiancen los

conocimientos adquiridos acerca de inecuaciones.

Resolucin de ecuaciones: resuelve ecuaciones sencillas o un sistema de ecuaciones.

Frmulas y ecuaciones: permite buscar frmulas, ecuaciones y constantes de ciencias y matemticas.

Resolucin de tringulos: utiliza lados y ngulos conocidos para completar el tringulo.

Conversor de unidades: convierte datos fcilmente de un sistema de unidades a otro.

La principal herramienta de Matemticas de Microsoft es una calculadora cientfica con todas las funciones con una amplia representacin grfica y la capacidad de resolucin de ecuaciones.

Se puede utilizar como una calculadora de mano haciendo clic en los botones, o puede usar el teclado para escribir las expresiones matemticas que desea que la calculadora evale.

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A modo de introduccin primero vamos a recordar la grfica de ecuaciones lineales

por lo que se pedir a los alumnos que grafiquen en el mismo plano las siguientes

rectas.

Para resolver esta actividad se seguirn los pasos mencionados a continuacin:

Abrir el software de Matemticas de Microsoft 3.0

Haga clic en la ficha grfica.

Ampliar las ecuaciones. En el cuadro de la primera entrada, introduzca y = 2x +1.

Haga clic en Intro. Haga clic en el grfico y vea los resultados

Hacer lo mismo con las dems ecuaciones. La grafica de las TRES

ecuaciones nos quedarn de la siguiente manera:

Actividad N1

Grafiquen las siguientes ecuaciones lineales en un plano de coordenadas x,y .

a) y= 2x+1

b) x=3

Responder

1. Cul es la coordenada de interseccin entre las rectas: y= 2x+1 y x = 3?

2. Cul es la coordenada de interseccin entre las rectas y = 2x + 1 y =

4?

3. Cul es la interseccin entre las rectas y = -4 y x= 3

c) y=-4

22

Ahora para resolver las preguntas que se nos presentan lo podemos hacer:

Resolviendo cada par de rectas como un sistema de dos ecuaciones.

Para resolver como un sistema de ecuaciones se debern realizar los siguientes

pasos.

Introducir de dos ecuaciones como un sistema, cada par de ecuaciones.

Ecuaciones y= 2x+1

x=3

Para introducir el sistema hacemos clic en el botn desplegable

, y seleccionamos la opcin Resolucin de ecuaciones

Se abrir la siguiente ventana, en la cual seleccionaremos la cantidad de ecuaciones con las que trabajaremos (en este caso dos).

23

Para introducir la primera ecuacin colocaremos el cursor en el panel de entrada de datos Ecuacin 1 y desplegaremos la solapa Estndar de la calculadora, all y contando con el teclado de la calculadora tendremos lo necesario para escribir la ecuacin.

De igual modo pero esta vez en el panel de entrada Ecuacin 2, introducimos la segunda ecuacin.

Luego de introducidas ambas ecuaciones hacemos clic en el botn , e inmediatamente el programa arroja el resultado en la hoja de clculo.

De igual modo pero esta vez con el otro par de ecuaciones nos quedara la solucin

de la siguiente manera.

Ecuaciones y= 2+1

y= -4

Ecuaciones y=-4

x=3

Por lo tanto las respuestas a las preguntas anteriores seran:

24

Para la siguiente actividad trabajaremos con un problema, partiendo de la traduccin adecuada de su enunciado, identificando incgnitas y sus condiciones, y para llegar al planteamiento del sistema.

Identificacin de incgnitas: Llamaremos: x a la edad de Ariel e y a la edad de Emiliano.

Planteamiento del sistema: Ariel tiene 14 aos menos que Emiliano:

14 yx

Sus edades suman 56:

56 yx

Resolucin del sistema:

Reunimos las dos ecuaciones:

Luego propondr utilizar el programa Matemticas de Microsoft 3.0 para verificar la resolucin el mismo sistema; siguiendo los pasos anteriormente ocupados.

Entonces la solucin ser la siguiente:

Solucin: Edad de Ariel 21 aos.

Edad de Emiliano 35 aos.

14 yx

56 yx

1. La coordenada de interseccin entre las rectas: y= 2x+1 y x = 3 es el punto P (3,7)

2. La coordenada de interseccin entre las rectas y = 2x + 1 y =4 el punto Q (-5/2, -4)

3. La coordenada de interseccin entre las rectas y=-4 y x=3 es el punto R (3, -4)

Actividad N2

Ariel tiene 14 aos menos que Emiliano y ambas edades suman 56 Qu

edad tiene cada uno?

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Si graficamos el sistema anterior nos queda:

Actividad N3

Dados los siguientes problemas, traduce su enunciado, identifica sus

incgnitas y sus condiciones, luego plantea el sistema. Utilizando el programa

Matemticas de Microsoft grafica y verifica el conjunto solucin encontrado.

Conclusin

Saber resolver una situacin problemtica en donde aparecen ecuaciones, es

encontrar el conjunto solucin de los nmeros reales que la hagan verdadera; este

conjunto solucin puede constar de un punto de interseccin, si el sistema es

compatible determinado, de un conjunto vacio, si el sistema es incompatible o de un

conjunto compuesto por todos los nmeros reales si es un sistema compatible

indeterminado.

Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las grficas realizadas en

el software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada Trabajos

Prcticos: Inecuaciones- Programacion lineal. Pasos para guardar:

Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.

Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio,

hacer clic en Enter.

Guardar

Problema 1 En una granja se cran gallinas y conejos. Si se cuentan las

cabezas, son 50, si las patas, son 134. Cuntos animales hay de cada clase?

Problema 2 En una lucha entre moscas y araas intervienen 42 cabezas y

276 patas. Cuntos luchadores haba de cada clase? (Recuerda que una

mosca tiene 6 patas y una araa 8 patas).

26

CLASE N 2

Horas Ctedras: 2

Subtema:

Presentacin del software de Matemticas de Microsoft 3.0 Inecuaciones de

primer grado con dos incognitas.

Objetivos:

Familiarizarce con el software para el logro de los aprendizajes.

Analizar las regiones obtenidadas a partir de una inecuacion lineal.

Identificar, describir su exprecin matemtica y utlilizarla para grficar

El entendimiento y comprensin de las inecuaciones de primer grado con dos

incgnitas est intrnsecamente unido a la representacin grfica de rectas en el

plano y al concepto de semiplano. Por ello en un primer momento se planteara a

los alumnos actividades en las que tomen manejo de estos conceptos y

procedimientos.

Al abrir el software se puede ver en la ventana Graficas, elegir y

buscar Inecuaciones.

Con el botn derecho del ratn hacer clic sobre la palabra inecuacin,

y a continuacin introducir una inecuacin en la entrada de datos.

En entrada de datos escribir: +

Es aqu en donde escribiremos las

inecuaciones

27

Para poder hacer el ejemplo anterior introduciremos la inecuacin en el

espacio mencionado, nos podemos ayudar con los botones de la calculadora que

aparece del lado izquierdo en donde dice estndar, donde aparecen los signos ,

.

Luego de introducir la Inecuacin hacer clic en intro.

Por ltimo, hacer clic en el botn Grfica; Inmediatamente aparecer la grafica y los controles de la misma.

La Regin que aparece de color celeste es el conjunto solucin de la Inecuacin

A continuacin analizaremos:

Actividad N2

Observando la grafica. Responde.

1. Cules son los puntos de interseccin con los ejes cartesianos?

2. La recta x + y = 3 pertenece o no al conjunto solucin?

3. Cules de los siguientes puntos pertenecen al conjunto solucin?

a) (3,5)

b) (0,0)

Intro

c) (7,9)

d) (-4,9)

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Actividad N3

Inventa otra inecuacin realizando los pasos anteriores.

Compara tu grfica con la de tus compaeros.

Responde.

a) La regin que aparece sombreada es siempre la misma?

b) Cules son los cambios que notas?

c) En que cambia la grfica de acuerdo a los diferentes signos de las

desigualdades?

Institucionalizacin

Inecuaciones de primer grado con dos incgnitas En la siguiente grafica tienes indicados los signos que toman los valores de las

rectas segn sea su pendiente en funcin de la distancia al punto de corte con el eje

de las abscisas.

Hay que tener en cuenta las desigualdades, para hallar el conjunto solucin. Tendremos los siguientes casos

1. Semiplano abierto si la desigualdad es >, < , , . Una inecuacin lineal con dos incgnitas es una expresin de alguna de las siguientes formas:

ax+ by0, ax+ by0

Representan zonas del plano o dividen el plano en zonas.

y=mx+b

negativa Positiva negativa

positiva

mx0 b

xc

xc

b

29

2. Semiplano cerrado si la desigualdad es .

Tomo todos los puntos que pertenecen a la recta.

Para verificar a cual semiplano pertenece el conjunto solucin puedo remplazar un

determinado punto en la inecuacin y ubicarlo en que plano se encuentra.

Actividad N4

Graficar en la carpeta la inecuacin 2x+y>4.

Para lo cual pasamos a la ecuacin de la recta y=-2x+4, la cual dibujamos dando

valores a x e y.

Tabla de valores

x y

0 4

2 0

Con estos dos valores es suficiente, ya que por dos puntos pasa una sola recta.

Para verificar a cual semiplano pertenece el conjunto solucin puedo

remplazar un determinado punto en la inecuacin y corroborar si cumple o no

con la desigualdad.

Otra forma es trazar una recta vertical en un punto cualquiera del eje de las

abscisas el punto en que este corta a la recta a la ordenada cumple la

ecuacin de la misma, es decir y=r, uno por encima es mayor y uno por abajo

es menor.

Como la inecuacin est despejada en y, es y>-2x+4 los puntos que la cumplen son

el semiplano sombreado.

La recta no est incluida por ser una desigualdad estricta.

Luego graficar la funcin en tu computadora siguiendo los pasos mencionados

anteriormente y verifica si trazaste correctamente la inecuacin.

30

Actividad N5 Realiza en tu carpeta las siguientes inecuaciones y verifica

usando el software como en la actividad anterior.

a) 4

b) 2 + 6

c) > 3 1

Conclusin: Una inecuacin lineal de dos incgnitas de grado uno es una

desigualdad que separa el plano en dos zonas o regiones. La cual nos sirve para

resolver problemas cotidianos de aproximaciones.

Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las grficas

realizadas en el software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada

Trabajos Prcticos: Inecuaciones- Programacion lineal.

Pasos para guardar:

Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.

Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio,

hacer clic en enter.

Recursos: La pizarra como fuente principal para el logro de la comunicacin e

interaccin entre el docente y los alumnos. Computadora y uso de un software de

matemticas (Matemticas de Microsoft 3.0).Fotocopias de las actividades.

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31

CLASE N 3

Horas Ctedras: 2

Subtema: Sistemas de inecuaciones

Objetivo:

Entender y desarrolar mtodo matematicos para la resolucin de sistemas de

inecuaciones de primer grado con dos incgnitas.

.Sistema de Inecuaciones

Para comenzar con el tema de Sistema de Inecuaciones comenzaremos analizando

las siguientes definiciones y conceptos:

Actividad N 1

Dado el siguiente sistema de inecuaciones, hallar grficamente dichas intersecciones.

y1

2x + y 4 Representamos las rectas. Lo haremos utilizando el programa Matemticas de

Microsoft 3.0

Al abrir el programa, hacemos clic con el cursor en donde dice Grficas y luego en

donde aparece Inecuaciones.

Vista de la pantalla de Matemtica de Microsoft 3.0

Una inecuacin lineal con dos incgnitas es una expresin de alguna de las

siguientes formas:

ax+ by0, ax+ by0

Un sistema de inecuaciones lineales est formado por un conjunto de

inecuaciones lineales. Para resolverlo tendremos que resolver cada una de las

inecuaciones que lo forman y despus encontrar la interseccin de todos los

semiplanos solucin (regin factible). La regin factible, si es no vaca, siempre

ser un conjunto convexo (dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmento que

los une tambin est contenido).

Los puntos que verifican todas las inecuaciones forman el conjunto solucin

El conjunto solucin es la regin angular obtenida como interseccin

entre los semiplanos.

32

Para poder hacer el ejemplo anterior introduciremos las Inecuaciones de a una

en el espacio mencionado, nos podemos ayudar con los botones de la

calculadora que aparece del lado izquierdo en donde dice estndar, donde

aparecen los signos , .

Luego de introducir la primera Inecuacin la grafica quedar de la siguiente

manera.

La Regin que aparece de color celeste es el conjunto solucin de la primera

Inecuacin y1.

Al introducir la segunda Inecuacin quedara

Ahora bien si introducimos las dos inecuaciones la primera en donde dice 1, y la

segunda donde dice 2 el grfico nos quedara.

Es aqu en

donde

escribiremos las

inecuaciones

33

Donde nos aparece de color Azul la solucin de primera inecuacin y1 y de

color verde la inecuacin 2x+y4.

Por lo que se puede observar que el conjunto solucin ser la regin que

contenga ambos colores (azul y verde), que es la interseccin entre ambas

regiones.

A lo que corresponde a los alumnos se tendra que hacer especial hincapi en lo

que es cuando es una regin solucin o no, cuando los puntos que pertenecen a

las rectas son o no soluciones de las mismas.

Actividad N2

Resolver el sistema de inecuaciones siguiente:

{2 + 3 32 9 02 5 5 0

Para lo cual ocuparemos el programa Matemtica de Microsoft 3.0 y seguiremos

los pasos anteriormente mencionados.

En este sistema de inecuaciones se puede observar que el conjunto solucin

ser la regin que contenga los tres colores (azul, morado y verde), que es la

interseccin entre las regiones, que nos da un polgono cerrado (triangulo).

Institucionalizacin

Resolver un sistema de inecuaciones grficamente es encontrar el plano de

intercesin entre los planos solucin de cada inecuacin.

34

La regin comn a todas se la conoce como regin factible.

A continuacin se pedir a los alumnos que resuelvan otros sistemas de

inecuaciones y que hallen de manera grafica los conjuntos solucin de cada uno.

Actividad N2

Hallaremos grficamente dichas intersecciones.

3x1-y

1) x - y -3

x-y> 0

Terminados los ejercicios anteriores se realizara una puesta en comn.

Encontramos las regiones o conjunto solucin de los sistemas de inecuaciones?

Alguna tiene una forma en particular?

Conclusin

Saber resolver una situacin problemtica en donde aparecen desigualdades, es

encontrar el conjunto solucin de todos los nmeros reales que la hagan verdadera;

este conjunto solucin consta de un intervalo completo de nmeros o en algunos

casos, la unin de tales intervalos.

Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las grficas realizadas en

el software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada Trabajos

Prcticos: Inecuaciones- Programacion lineal.

Hay que tener en cuenta las desigualdades, para hallar el conjunto solucin.

1. Semiplano abierto si la desigualdad es >x+2

2) -2x < 4 - 2y

35

CLASE N 4

Horas Ctedras: 2

Subtema: Sistemas de inecuaciones - Situaciones Problematicas

Objetivo:

Plantear y resolver problemas con sistemas de inecuaciones de primer grado

con dos incgnitas

Situaciones problemticas con sistemas de inecuaciones.

En estos casos, se necesita saber cmo interpretar los datos del enunciado y

traducirlos al lenguaje coloquial.

Por ejemplo:

El camin admite una carga mxima de 2000kg.

Se traduce x2000kg y x0

Se coloca el x0 porque la carga no puede ser negativa y es igual a cero porque puede no llevar carga.

La carga excede los 1500kg

Se traduce x>1500kg

Debe vender por lo menos 20 vestidos.

Se traduce x20

Vendi a lo sumo 15 relojes.

Se traduce, x15 x0 (relojes).

A veces se dan dos datos relacionados entre s, que se traducen en un sistema de

inecuaciones con dos incgnitas.

a) Traducimos el problema al lenguaje simblico nos queda:

x2 Nmero de planchas x 6 y0 Nmero de cafeteras y3

b) Graficar utilizando lo aprendido cada una de las inecuaciones.

Actividad N1: Un comercio diariamente vende entre 2 y 6 planchas y a lo

sumo 3 cafeteras.

36

Grafico del sistema que indica el nmero de planchas

Grafico del sistema que indica el nmero de cafeteras

Grfico de ambos sistemas de inecuaciones

a

p

r

37

Representamos el sistema de Inecuaciones en coordenadas cartesianas el conjunto

solucin est representado por la figura convexa (cerrada o abierta) llamada

dominio. En este caso es el rectngulo abcd (cerrado). Los puntos del dominio

representan las distintas posibilidades de venta.

As por ejemplo:

Punto x y

a 2 planchas 0 cafeteras

b 2 planchas 3 cafeteras

c 6planchas 3 cafeteras

d 6 planchas 0 cafeteras

e 3 planchas 3 cafeteras

f 6 planchas 2 cafeteras

g 5 planchas 1 cafeteras

Institucionalizacin

Resolver un sistema de inecuaciones grficamente es encontrar el plano de

intercesin entre los planos solucin de cada inecuacin.

O sea vamos a dibujar la solucin de cada inecuacin, y la solucin del sistema

va a ser la zona de interseccin de las soluciones de cada inecuacin.

La regin comn a todas se la conoce como regin factible.

Cuando trabajemos en la carpeta para no complicar mucho el grafico solo vamos

a colorear la zona del conjunto solucin.

Encontrar la regin factible de los siguientes problemas.

Actividad N2

Encontrar las inecuaciones de los siguientes problemas.

a) Un camin puede transportar entre 8 y12 bolsas de cemento y a lo sumo

25 bolsas de cal. Cules son las distintas posibilidades de carga?

b) Una pastelera realiza dos tipos de tortas Vienesa y Real. En la pastelera

se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg, aunque por problemas de

maquinaria no pueden hacer ms de 125 tortas de cada tipo Cuntas

Vienesas y cuntas Reales se pueden realizar por da?

38

Conclusin

A modo de cierre se har un breve repaso de lo trabajado en clases para

recordar lo ms importante.

Luego realizar autocorreccin del ejercicio anterior graficando en la computadora

cada inecuacin en un Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las graficas realizadas en el

software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada trabajos practicos:

Inecuaciones- Programacion lineal.

Pasos para guardar:

Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.

Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio, hacer clic

en enter.

Recursos: La pizarra como fuente principal para el logro de la comunicacin e

interaccin entre el docente y los alumnos. Computadora y uso de un software de

matemticas (Matemticas de Microsoft 3.0).Fotocopias de las actividades.

Guardar

39

CLASE N5 Horas Ctedras: 2

Subtema: Programacin lineal

Objetivo: Introducir y aplicar el conceptos de programacin lineal en diferentes situaciones problemticas. Para empezar trabajaremos con el siguiente problema en donde recurriremos a la

programacin lineal.

Actividad N1

Resolucin: Como los productos X e Y requieren, cada uno, seis horas de trabajo

de fundicin por cada unidad producida, y hay 110 horas disponibles para tal trabajo

de fundicin que se utiliza debe satisfacer la relacin.

6 + 6 110

Donde representa el nmero de unidades del producto X procesadas e y el

numero de unidades del producto Y. Analogamente, las relaciones pertenecientes a

la capacidad de las maquinacion y acabado son respectivamente:

3 + 6 150

4 + 2 60

Aparte de las tres limitaciones a la produccion arriba mencionadas, hay dos

condiciones adicionales que cualquier combinacion de producciones debe satisfaser.

0 0

Una firma est planeando la produccin para la semana siguiente. Esta haciendo

dos, productos, X e Y, cada uno de los cuales requiere cierto nmero de horas de

fundicin, maquinacin y acabado de acuerdo a lo que se muestra en el cuadro.

Durante la semana se est planeando que el nmero de horas que se va a dispone

en cada rea es la siguiente: Fundicin: 110, Maquinacin: 150 y Acabado: 60

Graficar el sistema de desigualdades lineales que muestra las cantidades de X e

Y que pueden ser producidas.

40

Esto es, porque la produccin no puede ser negativa si realizamos las

inecuaciones el el programa Matemtica de Microsoft 3.0 nos quedara de la

siguiente manera.

Observamos que la parte sombreada con la combinacin de todos los colores es

la que satisface todas las restricciones.

En este caso no hay nigun tipo de restriccin, es decir, cualquier combinacin de

produccin que satisface las otras dos limitaciones satisfar tambien la

capacidad de maquinacin.

Actividad N2

Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea ofertar, a lo

sumo, 500 plazas de dos tipos: T (turista) y P (primera). La ganancia correspondiente

a cada plaza de tipo T es de $30, mientras que la ganancia del tipo P es de $40.

El nmero de plazas tipo T no puede exceder de 450 y el del tipo P, debe ser, como

mximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.

Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean

mximas.

41

1. Eleccin de las incgnitas.

x = nmero que se ofertan del tipo T

y = nmero que se ofertan del tipo P

2. Funcin objetivo Maximizar las ganancias F(x,y)=30x + 40 y

Si colocamos los datos en un cuadro nos quedara de la siguiente manera.

n Ganancia Turista x 30x

Primera y 40y

Total 500 30x +40y

Las restricciones:

{

+ 500 450

3

0 0

Si realizamos las inecuaciones el el programa Matemtica de Microsoft 3.0 como ecuaciones nos quedara de la siguiente manera.

En la grfica 1 podemos observar todas las inecuaciones en un mismo plano. Luego

analizando todas las regiones llegamos a la grfica 2 en donde aparece la regin

factible.

En este caso como existe una funcin objetivo que es maximizar las ganancias hay

que comprobar cual es la combinacin que logre este objetivo.

Grfica N1 Grfica N2

42

Analizamos las intersecciones entre las rectas obtenidas nos quedan

marcados los siguientes puntos: lo resolvemos como sistema de ecuaciones

con cada par de ellas.

Analizamos las intersecciones entre las rectas obtenidas nos quedan

marcados los siguientes puntos: lo resolvemos como sistema de ecuaciones

con cada par de ellas utilizando Matemticas de Microsoft.

A (0,0) interseccin entre x=0

y=0

B= (450,0) interseccin entre y=0

x=450

C= (450,50) interseccin entre x=450

x + y=500

D= (375,125) interseccin entre x + y=500

y= x/3

Entonces si analizamos los vrtices o sea si reemplazamos los valores de las

coordenadas de los puntos en la ecuacin a maximizar:

Maximizar las ganancias F(x,y)=30x + 40 y

Veamos los vrtices la Ganancia mxima

A= (0; 0) G=$0

B= (450; 0) G=$1350

C= (450; 50) G=$3350

D= (375; 125) G=$117500 Ganancia mxima.

Tambin podemos utilizar El Teorema Fundamental de la Programacin Lineal.

Para analizar el conjunto solucin o regin factible de un determinado problema que

requiera maximizar o minimizar un resultado.

43

Este procedimiento nicamente es vlido para problemas con regiones factibles

acotadas. Para resolverlo necesitamos conocer el siguiente teorema.

Institucionalizacin Programacin lineal

Es el conjunto de tcnicas matemticas que permiten Optimizar (maximizar o

minimizar) una funcin objetivo, funcin lineal de varias variables, sujeta a una

serie de restricciones, expresadas mediante inecuaciones lineales.

La programacin lineal es el estudio de modelos matemticos concernientes

a la asignacin eficiente de los recursos limitados en las actividades

conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como

maximizar beneficios o minimizar costos).

En un problema de programacin lineal intervienen

La funcin f ( x, y ) = a x + b y + c llamada funcin objetivo y que es

necesaria optimizar. En esa expresin x e y son las variables de decisin,

mientras que a, b y c son constantes

Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su nmero depende

del problema en cuestin.

El conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las

restricciones y que se lo denomina conjunto (o regin) factible es el conjunto

solucin del sistema.

La solucin ptima del problema ser un par de valores (x, y) del conjunto factible que haga que f( x, y ) tome el valor mximo o mnimo que corresponda. Clasificacin del conjunto solucin en una programacin lineal

Factible: si existe la regin factible. En este caso nos podemos encontrar:

Si un problema de Programacin Lineal tiene regin factible no

vaca, entonces, si existe el ptimo (mximo o mnimo) de la funcin

objetivo, se encuentra en un punto extremo (vrtice) de la regin

factible.

Si una funcin alcanza el valor ptimo en dos vrtices consecutivos

de la regin factible, entonces alcanza tambin dicho valor ptimo en

todos los puntos del segmento que determinan ambos vrtices.

44

ptimo finito y nico. La solucin ptima est formada por un nico punto

con coordenadas reales.

Mltiples ptimos. Un problema de Programacin Lineal puede tener ms

de un ptimo. Adems, o bien el problema tiene un nico ptimo, o bien, tiene

infinitos ptimos.

ptimo infinito. Un problema de Programacin Lineal puede tener un

ptimo no finito, es decir, la funcin objetivo puede tomar, un valor tan grande

o tan pequeo como se quiera sin abandonar la regin factible.

Tipos de regiones

Regin factible no acotada, ptimo finito. La no acotacin de la regin factible

no implica necesariamente ptimo infinito. Puede ocurrir que la funcin

objetivo alcance el ptimo en la zona acotada de la regin factible.

Regin factible no acotada, ptimo finito e infinito. Puede darse el caso que

todos los puntos de una de las semirrectas que determinan la regin factible

no acotada sean solucin del problema.

No factible. Regin factible vaca. El conjunto de restricciones de un problema

de Programacin Lineal puede ser incompatible, conduciendo a una regin

factible vaca.

Conclusin

A modo de cierre se har un breve repaso de lo trabajado en clases para

recordar lo ms importante.

Luego realizar autocorreccin del ejercicio anterior graficando en la computadora

cada inecuacin en un Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las graficas realizadas en el

software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada trabajos practicos:

Inecuaciones- Programacion lineal.

Pasos para guardar:

Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.

Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio, hacer clic

en enter.

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45

CLASE N6

Horas Ctedras: 2 Subtema: Programacin lineal

Objetivo: Aplicar el conceptos de programacin lineal en diferentes situaciones problemticas.

Actividad N1 Dada la siguiente situacin problemtica, identifica la funcin objetivo, las

restricciones y la solucin optima del problema.

Resolucin

El sistema de Inecuaciones nos quedara planteado de la siguiente manera.

Restricciones.

5x + 2y10

2x+4y12

x + 4y8

x0 y0

Funcin objetivo:

Minimizar el costo: C= 4x + 3y

Si lo graficamos en software de MATEMTICAS 3.0 DE MICROSOFT pero como

ecuaciones podemos observar las siguientes rectas.

Un animal requiere un promedio de 10 unidades de protenas

12 carbohidratos y 8 de grasa por da. Estos requerimientos los satisface con

dos tipos de alimentos. El alimento 1 le proporciona 5,2 y 1 unidades de

protenas, carbohidratos y grasa respectivamente cada 250g. El tipo de

alimento 2le proporciona 2,4 y 4 unidades de cada uno de los nutrientes cada

caso 250g.

Si cada unidad 1 cuesta $4y cada alimento 2cuesta $3,

Qu cantidad de cada alimento hay que utilizar para minimizar los

costos?

46

Observando las rectas y sus restricciones nos quedara sombrando en la carpeta

la regin factible.

Analizamos las intersecciones entre las rectas obtenidas nos quedan

marcados los siguientes puntos: lo resolvemos como sistema de ecuaciones

con cada par de ellas.

A= (0;5) Interseccin entre x=0

5x+2y=10

B= (1;2,5) Interseccin entre 5x+2y=10

2x+4y=12

47

C= (4;1) Interseccin entre 2x +4y=12

x +4y=8

D= (8;0) Interseccin entre x+4y=8

y=0

Entonces si analizamos los vrtices o sea si reemplazamos los valores de las

coordenadas de los puntos en la ecuacin del costo obtendramos:

Veamos los vrtices el costo menor

A= (0; 5) C=$15

B= (1; 2,5) C=$11,5 Menor costo

C= (4; 1) C=$19

D= (8; 0) C=$32

Respuesta al problema sera: Solucin Optima

El menor costo se produce con la ingestin de 1 cuarto kilo del alimento 1 y 2,5

cuartos kilos del alimento 2 o sea 250g del alimento 1 y 650g de alimento 2.

Dicho costo es de $11,5.

Actividad N2 Plantear y resolver utilizando Matemticas de Microsoft.

Dada la siguiente situacin problemtica, identifica la funcin objetivo, las

restricciones y la solucin optima del problema.

Problema 1

Unos almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la

temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B.

La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden

a $30.

La oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende

a $50.

No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

Cuntos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

48

Problema 2

Conclusin.

La Programacin Lineal tiene aplicaciones en la industria, la economa, la

estrategia militar, etc.

Conviene recurrir a ella cuando se presentan situaciones en las que se exige

optimizar (maximizar o minimizar) situaciones (funciones ) que se

encuentran sujetas a determinadas limitaciones ( restricciones)

Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las graficas realizadas en

el software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada trabajos

practicos: Inecuaciones- Programacion lineal.

Pasos para guardar:

Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.

Hacer clic en guardar, abrir la carpeta, la cual se ubicara en el escritorio, hacer

clic en enter.

Guardar

Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de

transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero slo dispone de

9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta $800 y el de uno pequeo

$600. Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la

excursin resulte lo ms econmica posible para la escuela.

49

CLASE N7 Horas Ctedras: 2 Objetivos: Verificar los conocimientos adquiridos en clase.

Se llevara a cabo a travs de un trabajo prctico evaluativo que se desarrollara en

clases y deber ser entregado en forma individual.

TRABAJO PRCTICO EVALUATIVO

Tema: Sistemas de inecuaciones de dos incgnitas de grado uno y

Programacin lineal

Nota: En todas las actividades se podr utilizar Matemticas de Microsoft 3.0 como

herramienta para realizar clculos, resolver inecuaciones o ecuaciones, verificar las

grficas obtenidas en sus carpetas, procurando guardar el trabajo realizado con el

formato TRABAJO EVALUATIVO-(nombre y apellido) y enviar una copia al

entregar el trabajo.

Actividad N1

Dada la siguiente inecuacin 4 + 2

Graficar en los ejes cartesianos y responder.

a) La recta y=-4x+2 pertenece al conjunto solucin?

b) Los puntos (0.0) , (3,5) , (-7,3) (4,8)

c) Cules son las intercesiones con los ejes?

Actividad N2

Encontrar la regin factible del siguiente sistema de inecuaciones.

(1) x + y 10 (2) 3x - y -2 (3) 2x + 3y 6 (4) x 6 (5) x 0 (6) y 0

Escribe en cada una de las rectas el nmero de la inecuacin para que sea fcil identificarlas posteriormente

Responde

50

a) Las rectas que enmarcan la zona sombreada pertenecen al conjunto

solucin?

b) Indica cuales son los vrtices de la regin factible.

Actividad N2 Dada la siguiente situacin problemtica, identifica la funcin objetivo, las

restricciones y la solucin optima del problema.

Grafica.

Actividad N 4

Calcular el mximo y el mnimo de la funcin F(x,y) = 3x + 4y sujeta a las restricciones:

(1) x - 2y 0 (2) 2x - y 0 (3) x + y 0

Antes de terminar con la clase se debe guardar todas las graficas realizadas en el

software Matemticas de Microsoft 3.0 en la carpeta denominada trabajos practicos:

Inecuaciones- Programacion lineal.

Pasos para guardar:

Identificar en la barra de herramientas la ventana de guardar.

Hacer clic en guardar, abrir la carpeta con el formato TRABAJO EVALUATIVO-

(nombre y apellido), la cual se ubicara en el escritorio, hacer clic en Enter.

En una empresa se fabrican diariamente dos tipos de aparatos. A y B. Como

mximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y obligatoriamente, al menos,

un aparato del tipo B.

Indicar todas las posibilidades de fabricacin si se quieren realizar ventas por

importe superior a 60 pesos, teniendo en cuenta que los precios de los artculos

A y B son, respectivamente, 30 pesos y 10 pesos.

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