TRABAJO FIN DE ESTUDIOS - Biblioteca de la Universidad de ... · de poder relacionar aspectos del...

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Visualización de suceciones

Josep Maynou I Terri

MÁSTER INTERUNIVERSITARIO EN INICIACIÓN A LA INVESTIGACIÓN EN

MATEMÁTICAS

Tutor: Oscar Ciaurri RamírezFacultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Curso 2011-2012

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Visualización de suceciones, trabajo fin de estudiosde Josep Maynou I Terri, dirigido por Oscar Ciaurri Ramírez (publicado por la Universidad

de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los

titulares del copyright.

Visualizacion de sucesionesMemoria para el trabajo final del master deIniciacion a la Investigacion en Matematicas

porJosep Maynou i Terri

tutorizado porOscar Ciaurri Ramırez

Agradecimientos

Antes de nada me gustarıa agradecer a todos los que me han ayudado, desdeambitos e implicaciones diversas, para que pudiera realizar este trabajo.

En primer lugar a Oscar Ciaurri, que no solo ha tutorizado el trabajo, sino queha sido el alma mater del mismo desde el inicio. Sabiendo que mi interes principaliba destinado al ambito de la Didactica de la Matematicas, pero dado que estaespecialidad no se contemplaba en el Master de Iniciacion a la Investigacion enMatematicas, me sugirio reconducir el trabajo que pretendıa escoger. Su propuestade poder relacionar aspectos del analisis referentes a convergencia de sucesiones consu visualizacion y representacion grafica me gusto. Aparte de ese primer impulsotambien debo agradecerle el tiempo que ha destinado a atenderme en horariosno lectivos y a sus valiosas correcciones e indicaciones. Probablemente sin sucolaboracion el resultado final no serıa ni tan amplio ni tan consistente. No quieroextenderme mas, no porque no haya motivos, sino por no hacerme pesado; de todosmodos “dos” palabras mas: ¡¡¡ Muchısimas gracias, Oscar !!!

En segundo lugar, agradecer a la UR, a mis companeros de Master y a todoslos profesores del Master del curso 2010–2011, tanto en Bilbao (Marisa Fernandez,

Marta Macho, Ma. Angeles de Prada, Oscar Ciaurri, Javier Duoandikoetxea, LuisEscauriaza, Oscar Garay, Juan Luis Varona y Luis Vega), como en Zaragoza (TomasAlcala, Julio Bernues, Jose Ignacio Cogolludo, Jose Antonio Cristobal, Jose E. Gale,Luis Javier Hernandez, Ma. Teresa Lozano, Pedro Miana, Luis Paris, Ana Pena, LuisUgarte), que me permitieron disfrutar de una segunda juventud y me mostraronnuevos horizontes en el conocimiento de las Matematicas. Permıtanme tambien unreconocimiento especial a Juan Luis Varona que me introdujo en el mundo del LATEXde forma totalmente desinteresada.

En tercer lugar agradecer a la direccion de la Escolapia Santa Anna de Mataro,donde trabajo, que me facilitaran la excedencia para poder realizar el Master. A mijefe de estudios, Nerea, que me ha permitido algunos dıas libres para presentar ydefender este trabajo. Sin olvidar a todos mis companeros de trabajo que se haninteresado y me han animado a llegar hasta el final.

En cuarto lugar, a tıtulo mas personal, a mi pareja Begona que ha soportado losmomentos de tension y derrota. Me ha animado, sostenido e impulsado para llegaral final.

Finalmente agradecer a mi madre el inculcarme el interes por aprender sin esperarnada a cambio y a mi padre el teson en el trabajo sin mirar la recompensa, que sibien solo he asimilado en parte, son la base de los pequenos exitos personales quehaya conseguido.

En conclusion y sabiendo que olvido personas y hechos dignos de agradecimiento:GRACIAS a TODOS.

Josep

Indice general

Introduccion 7

Prologo 111. Visualizacion con triangulos de la identidad

1− 12

+ 14− 1

8+ · · ·+

(−12

)k+ · · · = 2

311

2. Visualizacion con polıgonos de la identidad

1− 12

+ 14− 1

8+ · · ·+

(−12

)k+ · · · = 2

318

Capıtulo 1. Raıces anidadas 271. Raıces anidadas con sumas y un solo parametro 272. Raıces anidadas con restas y un solo parametro 43

Capıtulo 2. El numero de oro 531. El numero de oro y las raıces anidadas 532. El numero de oro y las fracciones continuas 543. Fracciones continuas, Φ y el hombre de Vitrubio 57

Capıtulo 3. Fracciones continuas y raıces anidadas con dos parametros 631. Raıces anidadas con sumas 642. Fracciones continuas positivas 653. Raıces anidadas con restas 694. Fracciones continuas negativas 71

Capıtulo 4. Explorando otras sucesiones 79

Epılogo 85

Bibliografıa 93

5

Introduccion

En este trabajo vamos a analizar desde un punto de vista geometrico y visualalgunos aspectos del analisis. Para ello tomaremos como punto de partida lasdemostraciones visuales desarrolladas por diversos autores como, por ejemplo, RogerB. Nelsen y Claudi Alsina recogidos en sus libros [1], [2] y [3]. Es necesario recordarque una demostracion “sin palabras” no es una prueba en si misma, es simplementeuna ayuda para alcanzar a comprender el resultado e intentar obtener una autenticademostracion.

Una primera muestra de este tipo de “demostraciones” la podemos encontraren los trabajos del matematico Musa al-Khwarizmi (780 – 850). Este matematicoislamico trabajo en la Casa de la Sabidurıa de Bagdad. Esta institucion fue fundadapor el califa Abbası al-Mamun en el primer cuarto del siglo IX y era a la vez centrode estudios, observatorio astronomico y biblioteca. Allı se recogıan y se traducıanlos conocimientos de la cultura griega y de otras culturas anteriores a la islamica.Se convirtio en centro de referencia cultural hasta el siglo XIII. Al-Khwarizmi esconsiderado el padre del algebra por su obra Hisab al-jabr w’al-muqabala. Otras desus contribuciones al desarrollo de las matematicas se pueden consultar en primerareferencia en la pagina web www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Khwarizmi.html. Entre sus trabajos podemos destacar el uso de construccionesgeometricas para resolver de forma sistematica ecuaciones de segundo grado consoluciones reales. Aprovecharemos que en capıtulos sucesivos trataremos el numerode oro para introducir la tecnica desarrollada por Al-Khwarizmi para resolver laecuacion que resulta al imponer la relacion aurea en la division de un segmento,mostrada en la figura 1. Esta relacion implica la igualdad de proporciones entre lalongitud total del segmento (la unidad) con la porcion de segmento de longitud x,y de esta ultima porcion con el segmento de longitud 1− x.

Figura 1. Division de un segmento en proporcion aurea.

7

8 INTRODUCCION

La igualdad que se establece es la siguiente

1

x=

x

1− x⇐⇒ 1− x = x2 ⇐⇒ x2 + x− 1 = 0.

Una de las soluciones de la ultima ecuacion es Φ − 1, que podemos obtener con laconstruccion detallada a continuacion. Empezamos reordenando la ecuacion de laforma x2 + x = 1, que podemos interpretar como la suma de un cuadrado de lado xy cuatro rectangulos de lados x y 1

4, como se ve en la figura 2.

Figura 2. Representacion grafica de la ecuacion x2 + x = 1 dondeimponemos que el area total de la figura sea 1.

Si imponemos que el area de la figura sea 1 y completamos la figura con loscuatro cuadrados de las esquinas para obtener otro cuadrado que incluye todos lospolıgonos anteriores. El area total del nuevo cuadrado completo es 1 + 4 · 1

16= 5

4.

Figura 3. Cuadrado completo con los cuatro cuadrados de area 116

.

El area total del nuevo cuadrado es 54.

INTRODUCCION 9

El lado del nuevo cuadrado es ` =√

54. Para obtener el valor de x, que es el lado

del cuadrado inicial, solo debemos restar 2 · 14

a `, es decir

x =

√5

4− 2 · 1

4=

√5− 1

2= Φ− 1.

El metodo puede adaptarse, como ya hemos comentado, para resolver otrasecuaciones cuadraticas con soluciones reales. Esta es una primera aproximacion a lavisualizacion de procesos relacionados con el calculo.

Antes del trabajo de al-Khwarizmi, Arquımedes de Siracusa (Sicilia, 287 – 212)ya habıa utilizado argumentos visuales en su trabajo “La cuadratura de la parabola”.En el demuestra que el area de un segmento de parabola es 4

3del triangulo inscrito,

para ello calcula la suma de la serie∑∞

k=0

(14

)k. La demostracion detallada se puede

encontrar en [9]. En ella combina los dibujos expositivos con el razonamiento logico,ambos conducen a la suma de la serie citada y, por tanto, a la determinacion delarea del segmento parabolico. Otro ejemplo, aunque ya posterior a al-Khwarizmi,lo podemos encontrar en la obra Questiones super geometriam Euclidis de Nicolasde Oresme (1323 – 1382). En su trabajo obtuvo la primera demostracion de quela serie armonica es divergente. Ademas, ayudandose de construcciones geometricassumo las series

∞∑n=1

n

2n= 2 y

∞∑n=0

3n

4n=

4

3.

En esta misma lınea, en el Prologo de esta memoria, vamos a presentar dosvisualizaciones propias diferentes de la identidad

1− 1

2+

1

4− 1

8+ · · ·+

(−1

2

)k+ · · · = 2

3.

La convergencia de la serie es bien conocida y no nos detendremos en ella. La primerade las visualizaciones la haremos usando triangulos encajados en un cuadrado y parala segunda construiremos una sucesion de polıgonos (hexagonos) semejantes que sevan encajando sucesivamente.

Tras este Prologo pasaremos a desarrollar el contenido principal de esta memoria.A lo largo de cuatro capıtulos, tomando como referencia el artıculo [12], haremosun ejercicio de visualizacion de las sucesiones de raıces anidadas√

a±√a±√a± · · · y

√a± b

√a± b

√a± · · ·.

En el Capıtulo 1 estudiaremos las raıces anidadas con un parametro. Primerocuando solo involucran sumas, Seccion 1.1, y posteriormente cuando solo involucranrestas, Seccion 1.2. Veremos las condiciones que aseguran su convergencia y haciaque valores convergen. En ambos casos observaremos que en caso de converger loharan a una de las soluciones positivas de una ecuacion de segundo grado. Eneste punto es interesante citar el hecho que para algunos valores del parametro losvalores lımite corresponden a los llamados numeros metalicos estudiados por VeraW. Spinadel, [11]. El mas famoso representante de esta familia de numeros es el

10 INTRODUCCION

llamado numero de oro, Φ. En la construccion grafica de las soluciones utilizaremosdos tecnicas, la primera basada en el teorema de la altura y que nos permite irencontrando las sucesivas aproximaciones al lımite. En la segunda trabajaremos contecnicas cercanas a los sistemas dinamicos. Con estas tecnicas veremos como lasucesion va acercandose al lımite en forma de escalera si la sucesion es monotonacreciente o decreciente y en forma de tela de arana cuando la sucesion va alternandovalores crecientes y decrecientes alrededor del lımite correspondiente.

En el Capıtulo 2 nos centraremos en el llamado numero de oro, Φ, queobtendremos de dos formas distintas. La primera como lımite de la sucesion asociadaa √

1 +

√1 +√

1 + · · ·y posteriormente como lımite de la sucesion asociada a la fraccion continua

1

1 + 11+ 1

1+···

.

Finalizaremos este capıtulo con la construccion de dos sucesiones, una decircunferencias y otra de cuadrados que se iran aproximando a la circunferencia y alcuadrado que aparecen en la figura de Leonardo da Vinci, el hombre de Vitrubio.

Aprovechando la relacion que observamos entre las raıces anidadas y lasfracciones continuas en el Capıtulo 2 vamos a estudiar con mas detalle laconvergencia de ambas expresiones cuando dependen de dos parametros. A lo largodel Capıtulo 3 nos extenderemos en este analisis. Observaremos que tanto√

a+ b

√a+ b

√a+ · · ·

comoa

b+ ab+ a

b+···

en caso de converger lo hacen a una de las soluciones de la misma ecuacion de segundogrado y de manera analoga para el caso en que ambas expresiones involucren restas.A lo largo de este capıtulo analizaremos la convergencia para valores diversos de losparametros.

Finalmente, en el Capıtulo 4 enunciaremos un resultado que generaliza la relacionexistente entre las raıces anidadas y las fracciones continuas. En dicho resultadoestablecemos una condicion para que dos sucesiones definidas por recurrencia tenganun mismo lımite. Ilustramos el resultado con una familia de sucesiones.

Para terminar esta memoria incluiremos un Epılogo donde vamos a intentarvisualizar la identidad

∞∑k=1

arctan2

k2=

3π

4.

Prologo

Como ya hemos comentado en la Introduccion vamos a presentar dosvisualizaciones distintas de la identidad

1− 1

2+

1

4− 1

8+ · · ·+

(−1

2

)k+ · · · = 2

3.

La convergencia de la serie es bien conocida y no nos extenderemos en ella.En primer termino usaremos triangulos y en segundo hexagonos que nos

permitiran observar como se va obteniendo la suma.

1. Visualizacion con triangulos de la identidad

1− 12

+ 14− 1

8+ · · ·+

(−12

)k+ · · · = 2

3

Vamos a representar sucesivamente las sumas parciales de la serie

Sn =n∑k=0

(−1

2

)k

para posteriormente dejar constancia visual de la identidad

∞∑k=0

(−1

2

)k=

2

3.

Comenzamos con un cuadrado de lado uno, cuya area se correspondera con S0 ysobre el marcamos un segmento que delimita una region de area 2

3. Esto se presenta

en la figura 4. En nuestro proceso de visualizacion observaremos como las sumasparciales Sn van oscilando alrededor de la region limitada por el segmento.

11

12 PROLOGO

Figura 4. Visualizacion de la suma parcial S0 = 1 con un cuadradode area 1.

En la figura 5 representamos la segunda suma parcial, para ello dividimos elcuadrado en dos triangulos por una de sus diagonales y eliminamos uno de ellos.

Figura 5. Suma parcial S1 = 12

y el triangulo que hemos eliminado.

El triangulo que permanece en el cuadrado representara S1 = 12. El triangulo

eliminado de area 12, lo dividimos en dos de area 1

4. Despreciamos uno de ellos y

conservamos el que encaja perfectamente en el cuadrado. Esto se muestra en lafigura 6.

1. VISUALIZACION CON TRIANGULOS 13

Figura 6. Suma parcial S1 = 12

y el triangulo que hemos conservado.

A continuacion unimos el triangulo de area 14

al que tenemos en el cuadrado y

obtenemos S2 = 1− 12

+ 14. Lo mostramos en la figura 7.

Figura 7. Suma parcial S2 = 1− 12

+ 14.

En el siguiente paso dividimos por la mitad el triangulo que hemos anadido y loseparamos. De esta forma en el cuadrado nos quedara representada S3 = 1− 1

2+ 1

4− 1

8

y el triangulo eliminado tendra area 18, ver figuras 8 y 9.

14 PROLOGO

Figura 8. En rosa el triangulo de area 18

que vamos a eliminar de S2.

Figura 9. Cuadrilatero que contiene la representacion de S3 = 58

y

el triangulo de area 18.

En el paso posterior dividimos el triangulo de area 18

en dos de area 116

,deshechamos uno de ellos y anadimos el otro al cuadrado para obtener S4. Estosdos pasos se visualizan en las figuras 10 y 11.


Figura 10. En tono rosado el triangulo de area 116

que anadiremos a S3.

Figura 11. Cuadrilatero que contiene la representacion de la quintasuma parcial S4 = 11

16.

Para obtener S5 restamos al cuadrilatero que contiene la representacion de S4

un triangulo de area 132

, que es el representado en tono rosado en la figura 12, y lodividimos nuevamente por la mitad, tal y como se muestra en la figura 13.

16 PROLOGO

Figura 12. S5 y el triangulo de area 132

.

Figura 13. Cuadrilatero que contiene la representacion de la sextasuma parcial S5 = 21

32y el triangulo de area 1

64.

En la figura 14 construimos S6 anadiendo el triangulo de area 164

.


Figura 14. Representacion de S6.

Ahora si reiteramos este proceso indefinidamente obtendremos

1− 1

2+

1

4− 1

8+ · · ·+

(−1

2

)k+ · · · = 2

3

el resultado que se ve en la figura 15 deja constancia de la identidad buscada.

Figura 15. Cuadrilatero que contiene la representacion de la suma∑∞k=0

(−12

)k= 2

3.

18 PROLOGO

2. Visualizacion con polıgonos de la identidad

1− 12

+ 14− 1

8+ · · ·+

(−12

)k+ · · · = 2

3

Como en el caso anterior comenzamos con un cuadrado de lado 1 que representaS0. En la figura 16 vemos la primera suma parcial S0 = 1 representada por uncuadrado de lado 1. En este caso senalamos con lıneas continuas los tres rectangulosde area 1

3en los que podemos descomponer el cuadrado. Sobre el rectangulo de

area 23

formado por los dos rectangulos inferiores contruiremos las sucesivas sumasparciales de la serie.

Figura 16. Suma parcial S0.

En la figura 17 podemos ver S1 obtenida, igual que en la construccion portriangulos, dividiendo el cuadrado inicial por la mitad. En este caso reordenamos eltriangulo restante para que el area que limita quede dentro de los dos rectangulosinferiores. Para ello procederemos como se visualiza en la figura 18. A continuaciondetallamos los pasos:

1. Recortamos el triangulo rectangulo T1, de catetos 13.

2. Rotamos T1 180o en sentido horario obteniendo T2.3. Trasladamos T2 a lo largo de la diagonal para obtener el triangulo T3 y

completar el rectangulo inferior.

2. VISUALIZACION CON POLIGONOS 19

Figura 17. La segundaaproximacion a la serie,S1 = 1− 1

2.

Figura 18.Reordenamos la figura17.

La figura 19 muestra el polıgono de area 12

que representa S1.En la figura 20 vemos representada la suma parcial S2. Hemos anadido un

cuadrado de area 14

al polıgono de area S1. En el siguiente paso, eliminaremos lamitad de este cuadrado y volveremos a reordenar el area coloreada en verde paraque quede dentro del rectangulo inferior de area 2

3.

Figura 19.Polıgono que representaS1 = 1 − 1

2despues

de la reordenacion de lafigura 18.

Figura 20.Representacion del tercertermino de la serie S2 =1− 1

2+ 1

4.

20 PROLOGO

En la figura 21 vemos representada el area correspondiente a S3, en principiobasta recortar la mitad del cuadrado superior por su diagonal, el area del trianguloeliminado es 1

8. A continuacion detallaremos el proceso que seguiremos para

reordenar la zona coloreada en verde para obtener un unico polıgono que quedesituado dentro de los dos rectangulos inferiores. El proceso que describiremose ilustraremos nos proporcionara un metodo iterativo para construir polıgonossemejantes que se iran encajando para rellenar el rectangulo inferior de area 2

3.

Es claro que al tratarse de una serie infinita el proceso no tiene fin pero visualmentese aprecia como se alcanza el resultado.

Empezaremos trabajando sobre el triangulo superior, en verde, de la figura 22 yal que llamaremos T . Sobre el lado derecho del cuadrado senalamos dos triangulosrectangulos de catetos 1

6. Son T1 y T3 en la figura 22.

Figura 21. Representacion del cuarto termino de la serieS3 = 1− 1

2+ 1

4− 1

8.

Los pasos que realizaremos para reordenar el triangulo T son:

1. Trasladamos T1 a lo largo de su hipotenusa hasta alcanzar la posicion T2.2. Rotamos T3 180o en sentido antihorario alrededor del vertice correspondiente

al angulo recto, obteniendo T4.3. Obtenemos el polıgono formado por T eliminando T1 y T3 y anadiendo el

cuadrado formado por T2 y T4, podemos verlo en la figura 23. Su area siguesiendo 1

8. Podemos observar que este polıgono, al que llamamos P en la figura

24, es una contraccion de la figura que representa S2 y encaja perfectamentesobre el.

4. Trasladamos P hasta la posicion P1.


Figura 22. Proceso de reestructuracion de la figura 21. En eltriangulo superior T recortamos los triangulos T1 y T3. A T1 leaplicamos una traslacion para obtener el triangulo T2, a T3 leaplicamos una rotacion antihoraria de 180o para obtener el trianguloT4.

Figura 23.Aquı vemos S3

reestructurada, endos piezas.

Figura 24.Traladamos el polıgono Pa P1 para obtener una solapieza de area S3.

En la figura 25 podemos ver el polıgono que representa la suma parcial S3 ubicadadentro de los dos rectangulos inferiores. En la figura 26 vamos a representar S4 =S3 + 1

16, para ello anadimos al polıgono anterior un cuadrado de lado 1

4, que situamos

en la parte superior.

22 PROLOGO

Figura 25. Polıgonoque representa la sumaparcial S3.

Figura 26.Representacion deS4 = 1− 1

2+ 1

4− 1

8+ 1

16.

En la figura 27 podemos ver la representacion de S5, como se ve hemos quitadola mitad de cuadrado anadido anteriormente, que corresponde a un triangulorectangulo isosceles de catetos 1

4. La superficie coloreada en verde corresponde a

S5. A partir de la figura 28 y hasta la figura 30 repetimos el proceso descritoanteriormente para reordenar el triangulo a un polıgono semejante al de la figura 23y que encaje con el polıgono que representa S3.

Figura 27.Representacion de S5 =1− 1

2+ 1

4− 1

8+ 1

16− 1

32.

Figura 28.Reestructuracion de lafigura 27.


Figura 29. Aquı vemos S5

reestructurada, en dospiezas.

Figura 30. Traslacion delpolıgono construido hastaencajar en el otro hexagono.

En la figura 31 podemos ver el polıgono que representa S5 reordenado sobre elcuadrado que nos sirve de referencia. S5 se aproxima mas a los 2

3marcados.

De aquı en adelante repetiremos este proceso para visualizar una suma parcialmas de la serie que queremos calcular. En la figura 32 representamos S6 = S5 + 1

64

anadiendo el cuadrado de lado 18.

24 PROLOGO

Figura 31.Representacion de lasuma S5 = 1− 1

2+ 1

4−

18

+ 116− 1

32.

Figura 32.Representacion de S6

anadiendo un cuadradode lado 1

8.

En las figuras siguientes, de la 33 a la 36, construimos S7 = S6 − 1128

, lareordenamos y obtenemos un polıgono similar al de la figura 31.

Figura 33.Representacion de lasumal S7 eliminando untriangulo rectangulo decatetos 1

8.

Figura 34.Reestructuramos el trian-gulo superior restantepara construir la piezahexagonal que encaje en S6.


Figura 35.Encajamos la nueva piezareestructurada.

Figura 36.Polıgono que representa eloctavo termino, S7.

Iterando este proceso obtenemos la sucesion de polıgonos que van rellenando elarea correspondiente a 2

3. En la figura 37 podemos verlo.

26 PROLOGO

Figura 37. Suma total S = 23.

Capıtulo 1

Raıces anidadas

En este capıtulo vamos a tratar de demostrar y visualizar la convergencia deuna sucesion de raıces anidadas dependiendo de un solo parametro, cuando vamossumando y restando, segun sea el caso, las sucesivas raıces. En particular en laprimera parte trabajaremos expresiones del tipo√

a+

√a+

√a+√a+ · · ·,

que dependen del parametro a y en las que solo intervienen sumas en los diferentespasos de calculo. En este caso se generara una sucesion con valor inicial

√a que

sera convergente si a > 0. Al final veremos que tomando valores iniciales distintosde√a y por iteracion de la funcion f (x) =

√a+ x, tambien se obtendran sucesiones

convergentes. En la segunda parte trabajaremos expresiones del mismo tipo dondesolo intervienen restas en el proceso de calculo; es decir,√

a−

√a−

√a−√a− · · ·.

En este caso descompondremos la sucesion en dos subsucesiones, una creciente y laotra decreciente, veremos que ambas convergen al mismo lımite. Para ambos tiposde sucesiones, tras analizar la convergencia, nos centraremos en la visualizacion desu comportamiento.

1. Raıces anidadas con sumas y un solo parametro

Como ya hemos comentado, comenzaremos tratando expresiones del tipo

(1)

√a+

√a+

√a+√a+ · · ·.

Es obvio que debemos considerar a > 0 puesto que en primer lugar debemos calcular√a, que solo existe en ese caso. Podemos pensar que estamos trabajando con una

27

28 1. RAICES ANIDADAS

sucesion, cuyos terminos son

α1 =√a

α2 =

√a+√a

α3 =

√a+

√a+√a

...

αn =

√a+

√a+

√a+ · · ·+

√a︸︷︷︸

n raıces

y que podemos expresar de forma recurrente como

αn =√a+ αn−1.

Se trata de una sucesion monotona creciente, puesto que la funcion raız cuadradalo es. Por otro lado podemos observar que

√a es una cota inferior. Para deducir

la convergencia distinguiremos dos casos 0 < a ≤ 14

y a > 14. En el primer caso

determinaremos una cota superior para la sucesion y en el segundo probaremos quela sucesion es contractiva, lo que implicara en ambos casos que es convergente.

Caso 1. 0 < a ≤ 14: Veamos que la sucesion αn esta acotada superiormente

por el valor c = 1+√

22

, para ello procederemos por induccion. Sabemos que0 < α1 =

√a < c y supongamos que 0 < αn < c, entonces

αn+1 =√a+ αn <

√1

4+ c = c

y en consecuencia αn esta acotada por c para n ≥ 1.Caso 2. a > 1

4: Para ver que es contractiva basta probar que existe k,

0 ≤ k < 1, tal que |αn+1 − αn| ≤ k |αn − αn−1| . En este caso tenemos

|αn+1 − αn| =∣∣√a+ αn −

√a+ αn−1

∣∣=

∣∣∣∣ αn − αn−1√a+ αn +

√a+ αn−1

∣∣∣∣ .Como sabemos que la sucesion αn es positiva podemos obtener la acotacion∣∣∣∣ αn − αn−1√

a+ αn +√a+ αn−1

∣∣∣∣ < 1

2√a|αn − αn−1| .

Puesto que a > 14

se verifica 2√a > 1⇒ 0 < 1

2√a< 1. Ası deducimos que αn

es contractiva y, por tanto, convergente.

Ya hemos comprobado que la sucesion αn =√a+ αn−1, generada a partir de (1) es

convergente, luego existe α tal que

α = lımn→∞

αn.

1. RAICES ANIDADAS CON SUMAS Y UN SOLO PARAMETRO 29

Puesto que la funcion f(x) =√a+ x es continua se tendra

α = lımn→∞

αn = lımn→∞

αn+1 = lımn→∞

√a+ αn =

√a+ lım

n→∞αn =

√a+ α,

luego el lımite debera ser solucion de la ecuacion

α =√a+ α⇒ α2 − α− a = 0.

Las soluciones de esta ecuacion son

ρ1 =1 +√

1 + 4a

2y ρ2 =

1−√

1 + 4a

2.

En nuestro caso la unica que puede ser lımite de la sucesion es ρ1, puesto que ρ2 < 0 ylas raıces anidadas dadas por (1) nunca pueden ser convergentes a un valor negativo.

Para ilustrar de manera grafica la sucesion de raıces anidadas que estamostratando, tomaremos a = 2. En este caso

αn =

√2 +

√2 +

√2 + · · ·

√2︸︷︷︸

n raıces

y sabemos que lımn→∞

αn = 2. Vamos a representar de forma geometrica la convergencia

de esta sucesion mediante dos tipos de construcciones:

1. La primera es puramente geometrica y utiliza un procedimiento, para calcularla raız cuadrada de la longitud de un segmento, basado en el teorema de laaltura.

2. La segunda, que desarrollaremos mas adelante, aprovecha ideas de la teorıade sistemas dinamicos.

A continuacion detallaremos el primero de estos procesos. El teorema de laaltura asegura que dado un triangulo rectangulo, si llamanos h a la altura sobrela hipotenusa y m y n a las proyecciones de los catetos sobre ella, vease la figura 1,se verifica que

h

n=m

h⇒ h2 = mn⇒ h =

√mn.

Si tomamos m = 1 tenemos que h =√n. Ası, dado un segmento de medida n se

puede construir otro segmento h de medida la raız de n siguiendo los siguientespasos:

1. Trazamos un segmento de longitud n.2. Extendemos, por uno de sus extremos, este segmento una unidad para

obtener un segmento de longitud n+ 1.3. Dibujamos la circunferencia de centro el punto medio del segmento de

longitud n+ 1 y que pasa por sus extremos.4. Llamamos h al segmento perpendicular al de longitud n, por el punto donde

se prolongo, hasta cortar a la circunferencia anterior. La longitud de h es√n.


Figura 1. Procedimiento geometrico basado en el teorema de laaltura para determinar un segmento de longitud

√m · n. El angulo

superior es recto puesto que el angulo inscrito en una circunferenciaes la mitad del angulo central.

En las figuras siguientes secuenciaremos la construccion de las raıces anidadas cona = 2 mediante este procedimiento. En las graficas se fija un segmento, m, delongitud 1 con origen en (−1, 0) y extremo (0, 0). El segmento de longitud n, elnumero del que queremos calcular la raız, quedara situado sobre la parte positivadel eje de abscisas con origen en (0, 0) y extremo en un punto de la semirrecta positivaque dependera del paso en que nos encontremos. En cada paso la raız quedara sobre eleje de ordenadas y se proyectara sobre el de abscisas para continuar. Empezaremoscon n = 2, representado en la figura 2. Designamos por M1 al punto medio delsegmento de longitud m + n. En las figuras 3 y 4 realizamos el calculo geometricopara obtener α1 =

√2 con la tecnica descrita y lo trasladamos al eje de abscisas.

Figura 2. Segmento de longitud n = 2, correspondiente al numerodel que queremos la raız, y segmento auxiliar, m, de longitud 1. Esteultimo nos servira para que la construccion del segmento de longitud√

2 quede situado sobre el eje de ordenadas.


Figura 3. M1 es el punto medio del segmento de longitud m+n. Elpunto α1 =

√2 corresponde a la interseccion del eje de ordenadas y

la circunferencia con centro en M1 que pasa por el punto extremo delsegmento de longitud m.

Figura 4. Proyeccion del valor α1 sobre el eje de abscisas. A partirde este punto sumamos 2 unidades y reiniciamos el proceso de calculode la raız.

Partiendo de α1 marcamos α1 + 2 para buscar el punto medio, M2, del segmentocon origen en −1 y extremo α1 + 2. Dibujamos la circunferencia con centro enM2 y extremo en el punto −1. El punto de corte de esta con el eje de abscisas es

α2 =√

2 +√

2 como podemos ver en la figura 5.


Figura 5. Este es el resultado de la construccion de α2 =√

2 +√

2,hemos procedido como se indica en el texto. Trasladamos α1 dosunidades, buscamos el punto medio del segmento con origen en −1y extremo en α1 + 2 al que llamamos M2. Finalmente dibujamos lacircunferencia con centro M2 y que pasa por el punto −1, el puntode corte de esta con el eje de ordenadas es α2, que corresponde alsiguiente termino de la sucesion.

En la figura 6 proyectamos esa magnitud sobre el eje de abscisas. Reiterandoel proceso se obtiene una familia de circunferencias pasando por el punto (−1, 0) ycortando al eje de ordenadas en la sucesion α1, α2, . . . En la figura 7 se aprecia laconvergencia a 2 de la sucesion de raıces anidadas.

Figura 6. En esta imagen trasladamos el punto construido en elsegundo paso sobre el eje de ordenadas al eje de abscisas. A partir deeste punto reiniciaremos el proceso para calcular la raız de α2 + 2.


Figura 7. Aquı podemos ver el resultado de la construccion delos seis primeros terminos de la sucesion correspondiente a la raıcesanidadas con a = 2. Podemos comprobar a simple vista como lospuntos αi se van aproximando a su lımite α = 2.

En la figura 8 ampliamos una pequena muestra de puntos sobre el eje deordenadas para poder observar la rapidez de convergencia de la sucesion. En elintervalo (1.4, 2) del eje vertical podemos encontrar los seis primeros terminos.Vemos, ademas, que a partir del tercer termino se encuentran en el intervalo (1.95, 2).En la figura 9 ampliamos este ultimo intervalo.

Figura 8. Ampliacion delos valores αi con i =1, 2, 3, 4, 5, 6, que se situanen el intervalo (1.4, 2).

Figura 9. Ampliacionde los terminos αi coni = 3, 4, 5, 6 en elintervalo (1.95, 2).Podemos apreciar comoconverge.

El procedimiento seguido anteriormente nos permite representar graficamentecualquier sucesion generada por raıces anidadas del tipo (1) para todo valor de


a > 0. En el archivo Geogebra, Raicesdedos.ggb, con el que se creo la construccion,podemos modificar a voluntad el parametro a.

En el caso particular de las raıces anidadas de 2 tambien tenemos una bonitainterpretacion en funcion de los cosenos de los angulos mitad. Podemos encontraruna breve referencia de esto en [12] y un analisis mas detallado en [5]. La idea partede que sabemos que

cosθ

2=

√1 + cos θ

2

y

cosπ

4=

√2

2⇒√

2 = 2 cosπ

4= α1.

Con el mismo razonamiento, tenemos

α2 =

√2 +√

2 = 2 cosπ

8

α3 =

√2 +

√2 +√

2 = 2 cosπ

16...

y, en general,

αn = 2 cos( π

2n+1

).

A continuacion, en la figura 10, podemos ver como se va generando la sucesionde segmentos de longitud αn, gracias a la sucesion de cosenos de los angulos π

2n+1

tomados en una circunferencia de radio 2.


Figura 10. Imagen que nos permite visualizar la convergencia a 2de los segmentos de longitud αn = 2 cos

(π

2n+1

).

De aquı en adelante desarrollaremos la otra manera de visualizar la convergenciade expresiones del tipo (1) con tecnicas cercanas a los sistemas dinamicos. Vamosa aplicar este procedimiento para el caso a = 5, pero antes comentaremos algunos

detalles generales del proceso. A partir de la expresion

√a+

√a+

√a+√a+ · · ·,

como ya hemos visto antes, podemos generar la sucesion de la forma αn =√a+ αn−1

donde estamos expresando cada termino de la sucesion en funcion del anterior. Ası lafuncion

f(x) =√a+ x

nos proporciona otra manera de construir la sucesion anterior empezando con x = 0.De hecho

f(0) =√a =α1

f(α1) =√a+ α1 =α2

f(α2) =√a+ α2 =α3

f(α3) =√a+ α3 =α4

...

f(αn) =√a+ αn =αn+1.

Como hemos demostrado que la sucesion αn es convergente con lımite α = 1+√

1+4a2

,y como ya sabemos que verificara f(α) = α, esto nos permitira identificar el lımite


de la sucesion como el punto de corte de las funciones{g(x) = x,f(x) =

√a+ x.

Iremos representando sobre las graficas de las funciones anteriores los puntos de lasucesion y observaremos la convergencia al punto de interseccion. Tomando, como

ya hemos comentado a = 5, tendremos f(x) =√

5 + x y α = 1+√

212

= 2.791 . . .En las graficas siguientes veremos como la sucesion generada por iteracion de la

funcion f converge. En la primera de las graficas, figura 11, vemos representadas lascurvas y = x, y =

√5 + x y el punto de interseccion de ambas.

Figura 11. Imagen de las curvas y = x e y =√

5 + x con su puntode interseccion α senalado en rojo.

En las figuras 12, 13 y 14 podemos ver como, a partir de α0 = 0 se vaconstruyendo la sucesion. En este proceso hemos abusado de la notacion, puestoque utilizamos αi tanto para denotar al punto sobre la grafica como al terminoi-esimo.

Detallamos ahora la construccion de αi a partir del valor αi−1. Supongamos quetenemos αi−1 representado en la recta y = x:

1. Trazamos la perpendicular al eje de abscisas por αi−1, la denotaremos porpvi−1.

2. Buscamos el punto de corte de pvi−1 con la curva y =√a+ x, este punto

sera αi.3. Para situarlo sobre la recta y = x trazamos la perpendicular a pvi−1 por αi,

la indicaremos por phi.4. Buscamos el punto de corte de phi con la recta y = x, ese punto sera αi sobre

la recta y = x.

Numericamente, en solo cinco pasos obtenemos precision hasta las centesimas. Enla figura 12, vemos representados los terminos hasta α3.


Figura 12. Aquı vemos la construccion de los primeros terminosde la sucesion, α0, α1, α2 y α3, donde ya podemos apreciar como losvalores tienden al lımite.

En la figura 13 hemos ampliado la imagen para ver mejor los terminos hasta α6 yen la figura 14 podemos observar una nueva ampliacion de la sucesion de puntos conα6, α7 y α8 que nos permite constatar como la sucesion se va acercando al lımite.

Figura 13. Ampliamos,en una primeraaproximacion, losterminos de la sucesioncorrespondiemtes aα3, α4, α5 y α6.

Figura 14. En estafigura vemos con masdetalle los terminos α6,α7 y α8, que aproximanα hasta lascienmilesimas.

La figura 15 nos muestra todos los terminos de la sucesion que hemos calculado.A partir de α4 los terminos de la sucesion se acumulan de tal forma que es imposibledistinguirlos visualmente. Esto nos permite visualizar la convergencia de la sucesion aα. Resulta interesante observar que la forma de escalera que aparece en las imageneses consecuencia del hecho de que la sucesion αn es monotona creciente.


Figura 15. Vision global de la sucesion. A simple vista desde α4

todos los terminos se aproximan tanto al valor α que se confundencon el.

Aunque la sucesion ya no tendrıa la misma forma, podemos tomar un valor inicialα0 6= 0 perteneciente al intervalo [−a,+∞) y la sucesion, definida por iteracion dela funcion f(x) =

√a+ x, tendera al mismo lımite.

Figura 16. Una nueva imagen de la sucesion αn+1 = f (αn) cuandoel punto inicial esta en el intervalo (−4.5,−4) . Observamos que lasucesion crece y que en pocos pasos los valores αn se confunden,visualmente, con el lımite.

En la figura 16 vemos que la sucesion es creciente hacia el lımite si tomamosvalores iniciales en el intervalo [−a, α). Para valores iniciales en la semirrecta(−∞,−a) no podemos iniciar el proceso iterativo, puesto que no pertenecen aldominio de f , y no podemos construir sucesion alguna.

En la figura 17 el valor inicial esta en la semirrecta (α,+∞), la sucesion generadatambien converge a α, pero decreciendo. Vamos a ver que realmente los terminosde la sucesion decrecen cuando tomamos un valor inicial en el intervalo (α,+∞).Para ello tomamos α0 en este intervalo y procederemos por induccion. Veamos que


α1 < α0, esta desigualdad es equivalente a 0 < α20−α0− a que se verifica si α0 > α.

Suponemos que αn < αn−1, demostraremos que αn+1 < αn. En efecto

αn+1 =√a+ αn <

√a+ αn−1 = αn ⇐⇒ αn+1 < αn

como querıamos demostrar. En estos casos la convergencia de la sucesion sigueestando asegurada por la contractividad si a > 1

4. En el caso 0 < a < 1

4, se puede

probar sin dificultad que αn > 1 lo que, igualmente, nos garantiza la convergencia.

Figura 17. Imagen de una perspectiva general de la sucesion cuandotomamos el punto inicial, α0, en el intervalo (α,+∞). Observamos eldecrecimiento de la sucesion hacia el lımite.

La situacion puede ilustrarse de manera analoga para cualquier otro valor dea ∈ R+ y tomando α0 ∈ [−a,+∞).

Aquı se nos plantea una situacion singular dependiendo del valor de a. A la vistade las soluciones ρ1 y ρ2 de la ecuacion α2 − α − a = 0, tendremos solucion realpara valores de a ≥ −1

4. Si analizamos, brevemente el comportamiento de la sucesion

segun en que subintervalo de la semirrecta se encuentre a, podemos distinguir cuatrosituaciones:

1. Si a ≥ 0 corresponde a la situacion que acabamos de estudiar.2. Si −1

4< a < 0 los valores ρ1 y ρ2 son positivos como podemos ver en la

figura 18.


Figura 18. Visualizacion de los valores ρ1 y ρ2 con los que nosencontramos cuando −1

4< a < 0.

En este caso se pueden distinguir tres posibilidades a la hora de escogerα0:a) α0 ∈ [−a, ρ2): en este caso la sucesion no se puede construir a partir

de una cierta iteracion. En la figura 19 podemos verlo para un ejemploconcreto, en esta imagen se ha tomado una ampliacion del intervalo parapoder ver mejor los puntos.

Figura 19. Cuando α0 ∈ [−a, ρ2) no podemos construir la sucesion,en algun momento αi+1 = f(αi) no esta definida.

b) α0 ∈ (ρ2, ρ1): en este caso la sucesion es creciente hacia el lımite α = ρ1.Lo vemos en la figura 20.


Figura 20. Cuando α0 ∈ (ρ2, ρ1) podemos construir la sucesion queconverge, creciendo, al lımite α = ρ1.

c) α0 ∈ (ρ1,+∞): tambien podemos construir la sucesion y en este caso esdecreciente hacia el lımite. Es lo que podemos ver en la figura 21.

Figura 21. Cuando α0 ∈ (ρ1,∞) podemos construir la sucesion queconverge, decreciendo, al lımite α.

Es necesario notar que falta estudiar los casos α0 = ρ1 y α0 = ρ2. En cadauno de estos casos se cumple αn = ρ1 y αn = ρ2 para todo n ∈ N.

3. Si a = −14: el punto de corte de ambas curvas se reduce a un unico punto

ρ1 = ρ2, si tomamos α0 > ρ1 la sucesion converge a ρ1, figura 22. Si α0 < ρ1

no podemos construir la sucesion, figura 23.


Figura 22. Cuando a = −14

podemos construir la sucesion, a partirde α0 > ρ1, que converge al lımite ρ1.

Figura 23. Cuando a = −14

vemos que no podemos construir lasucesion a partir de α0 < ρ1.

4. Si a < −14: ρ1 y ρ2 no existen, tomando α0 ∈ [−a,+∞) podemos iniciar la

sucesion pero a partir de una cierta iteracion no es posible continuar con laconstruccion de la misma. Podemos verlo en la figura 24.

2. RAICES ANIDADAS CON RESTAS Y UN SOLO PARAMETRO 43

Figura 24. Para a < −14, tomando α0 ∈ (−a,+∞) empezamos a

construir la sucesion pero a partir de una determinada iteracion nopodemos continuar.

2. Raıces anidadas con restas y un solo parametro

En esta seccion nos centraremos en el analisis de sucesiones definidas poriteracion de raıces con signos negativos. En concreto nos interesara conocer elcomportamiento de las raıces anidadas

(2)

√a−

√a−

√a−√a− · · ·.

Este caso se correspondera con el estudio del lımite de la sucesion definida por

α1 =√a

α2 =

√a−√a =√a− α1

α3 =

√a−

√a−√a =√a− α2

...

αn =

√a−

√a−

√a− · · · −

√a︸︷︷︸

n raıces

=√a− αn−1.

Veamos en primer lugar para que valores de a existe la sucesion:

1. Si a < 0,√a no es un numero real y no podemos generar ninguna sucesion

de numeros reales.2. Si a = 0, la sucesion es constante, αi = 0 para i ∈ N.


3. Si 0 < a < 1 se cumple que√a > a, entonces α2 =

√a−√a /∈ R y no es

posible definir αn real para n ≥ 2.4. Si a = 1, la sucesion verifica que α2i+1 = 1 y α2i = 0.5. Si a > 1 la sucesion esta bien definida. Veamos que efectivamente es ası y

que, ademas,√a ≥ αn > 0. Es obvio que 0 < α1 =

√a. Como a > 1

se verificara que 0 < α1 < a, ahora cambiando de signo la desigualdad ysumando a tenemos

a > a− α1 > 0⇒√a >√a− α1 > 0⇒

√a > α2 > 0.

Supongamos ahora que√a > αn > 0, observando de nuevo que a > αn > 0

y procediendo como en el caso anterior, deducimos que

a > a− αn > 0⇒√a >√a− αn > 0⇒

√a > αn+1 > 0.

A la vista de lo anterior, consideraremos unicamente a > 1. En este caso lasucesion generada a partir de (2) va tomando valores para los que se observa queαn > αn−1, si n impar, y αn < αn−1, si n par. Veamos que podemos escribirla de lasiguiente forma

α1 > α3 > α5 > · · · > α2k+1 > · · · > α2k > · · · > α6 > α4 > α2.

Tenemos dos subsucesiones:

1. los terminos de ındice impar α1, α3, α5, . . . , α2k+1, . . . , que llamaremossubsucesion S1.

2. los terminos de ındice par α2, α4, α6, . . . , α2k, . . . , que llamaremos subsucesionS2.

Las dos subsucesiones estan acotadas inferiormente por 0 y superiormente por√a,

como hemos visto anteriormente. Veamos que S1 es monotona decreciente y S2 esmonotona creciente.

S1 decreciente: es claro que α1 > α3, puesto que√a >

√a−

√a−√a es

equivalente a√a−√a > 0, que es cierto cuando a > 1. Supongamos que

α2k−1 > α2k+1, entonces

α2k+1 > α2k+3 ⇐⇒√a−√a− α2k−1 >

√a−√a− α2k+1

⇐⇒√a− α2k−1 <

√a− α2k+1

⇐⇒ α2k−1 > α2k+1,

lo que demuestra que S1 es decreciente.S2 creciente : α2 < α4 puesto que α1 > α3 ⇒ a−α1 < a−α3 y como la raızes una funcion creciente

√a− α1 <

√a− α3. Supongamos que α2k−2 < α2k,

entonces

α2k < α2k+2 ⇐⇒√a−√a− α2k−2 <

√a−√a− α2k

⇐⇒√a− α2k−2 >

√a− α2k

⇐⇒ α2k−2 < α2k,

esto demuestra que S2 es creciente.


A continuacion probaremos que los terminos impares de la sucesion son mayoresque los pares, es decir, α2k+1 > α2k+2. Para ello procederemos por induccion sobre

k. Es claro que α1 > α2, puesto que√a >

√a−√a cuando a > 1. Supongamos

que α2k−1 > α2k y veamos que α2k+1 > α2k+2:

α2k+1 > α2k+2 ⇐⇒√a−√a− α2k−1 >

√a−√a− α2k

⇐⇒√a− α2k−1 <

√a− α2k

⇐⇒ α2k−1 > α2k

Como S1 y S2 son monotonas y estan acotadas, tanto por encima como por debajo,son convergentes. Nos faltara ver que el lımite es el mismo para ambas sucesiones. Deesta forma lım

n→∞αn = lım

k→∞α2k = lım

k→∞α2k−1 = α. Para deducir este hecho usaremos el

principio de los intervalos encajados de Cantor. Teniendo en cuenta lo que acabamosde probar, los intervalos Jk = [α2k, α2k−1] verifican que Jk+1 ⊂ Jk, para k ≥ 1, comopodemos visualizar en la figura 25, y su interseccion es no vacıa. En estas condicionessi podemos demostrar que para cada ε > 0 existe k ∈ N tal que |α2k−1 − α2k| < ε,la interseccion se reduce a un punto.

Figura 25. Visualizacion de la sucesion de intervalos encajados Jk.

Veamos que

(3) |α2k−1 − α2k| ≤|α2k−3 − α2k−2|

4α22

, k ≥ 2.

En efecto,

|α2k−1 − α2k| =∣∣∣∣√a−

√a− α2k−3 −

√a−√a− α2k−2

∣∣∣∣


=|a−

√a− α2k−3 − (a−

√a− α2k−2)|√

a−√a− α2k−3 +

√a−√a− α2k−2

=|√a− α2k−2 −

√a− α2k−3|√

a−√a− α2k−3 +

√a−√a− α2k−2

=|α2k−3 − α2k−2|(√

a−√a− α2k−3 +

√a−√a− α2k−2

)(√a− α2k−2 +

√a− α2k−3)

=|α2k−3 − α2k−2|

(α2k−1 + α2k) (α2k−1 + α2k−2)≤ |α2k−3 − α2k−2|

4α22

,

donde la ultima desigualdad es consecuencia de α1 > αn ≥ α2, para todo n ≥ 2,puesto que podemos establecer la acotacion

2α1 > α2k−1 + α2k ≥ 2α2 ⇒1

2α1

<1

α2k−1 + α2k

≤ 1

2α2

y la analoga para 1α2k−1+α2k−2

. Llamamos L = 14α2

2y aplicamos esto k − 1 veces en

(3) y obtenemos

|α2k−1 − α2k| ≤ Lk−1 |α1 − α2| −→ 0

por ser L < 1, lo que es consecuencia de que α2 > 1. Resumiendo, tenemos unafamilia de intervalos encajados cuya longitud tiende a cero, aplicando el principiode los intervalos encajados de Cantor, la interseccion de estos es un unico punto. Enconsecuencia las dos subsucesiones S1 y S2 convergen al mismo lımite

α = lımk→∞

α2k = lımk→∞

α2k+1.

Esto nos conduce a la ecuacion que nos determina el lımite

lımn→∞

αn = lımn→∞

√a− αn−1 ⇒ α =

√a− α⇒ α2 + α− a = 0.

Las soluciones de esta ecuacion vienen dadas por las expresiones:

µ1 =−1 +

√1 + 4a

2y µ2 =

−1−√

1 + 4a

2,

donde µ1 > 0 y µ2 < 0. Como el lımite α de (2) tiene que ser positivo, sera µ1.Para representar graficamente la sucesion generada por (2) podemos volver a

utilizar las tecnicas descritas en la seccion anterior. La primera tecnica basada en elteorema de la altura, aplicada al caso a = 2, nos permite obtener la figura 31. Paraello realizaremos algunas modificaciones en el proceso detallado en la Seccion 1 deeste capıtulo. A continuacion vamos a detallarlos. Queremos representar la sucesionde valores que corresponde a√√√√

2−

√2−

√2−

√2−√

2− · · ·


estos son

α1 =√

2 = 1.414213...

α2 =

√2−√

2 = 0.765367...

α3 =

√2−

√2−√

2 = 1.234633...

α4 =

√2−

√2−

√2−√

2 = 0.874852...

...

El lımite de esta sucesion es α = 1, que corresponde a la raız µ1 como ya hemosvisto. A continuacion describimos en imagenes como se construyen los terminos dela sucesion. En el primer paso, figura 26, construimos

√2. Para ello marcamos,

en azul, un segmento de longitud a = 2 con origen en (0, 0) y extremo (2, 0).Despues marcamos, en verde, un segmento de longitud 1 con origen en el punto(2, 0). Marcamos, en marron, una recta donde iremos situando las raıces, queposteriormente proyectaremos sobre el eje de abscisas.

Figura 26. En azul el segmento de longitud 2 a partir del cualqueremos calcular

√2. En verde el segmento auxiliar, de longitud 1,

que nos permite calcular la raız deseada utilizando el teorema de laaltura. En marron la recta donde localizaremos las raıces.

Con centro en M1, que es el punto medio de la union de los segmentos azuly verde, y radio la distancia de M1 al extremo del segmento verde trazamos lasemicircunferencia C1, en rojo en la figura 27. El punto de corte de esta con la rectax = 2, en negro, es α1 =

√2.


Figura 27. El punto α1 corresponde a√

2.

En la figura 28 vemos el proceso seguido para proyectar α1 =√

2 sobre el eje deabscisas, representado por α1 en rojo. Para ello primero lo hemos proyectado sobreel eje de ordenadas y posteriormente lo hemos trasladado al eje OX usando unacircunferencia de centro (0, 0).

Figura 28. Proyeccion de√

2 sobre el eje de abscisas, α1 en rojo,previa proyeccion sobre el eje de ordenadas.

En el siguiente paso construimos√

2−√

2. En la figura 29, el segmentocomprendido entre α1 y x = 2 tiene longitud m = 2 −

√2, para calcular la raız

cuadrada encontramos M2 que es el punto medio del segmento que va de α1 a (0, 3)y trazamos la semicircunferencia C2. El punto de corte de esta con la recta x = 2 es

α2 =√

2−√

2.


Figura 29. Construccion de α2.

A partir de aquı volvemos a proyectar α2, en negro, sobre el eje de abscisas,senalado en rojo, como se ve en la figura 30.

Figura 30. Proyeccion de α2 sobre el eje de abscisas y el segmento

de longitud m = 2 −√

2−√

2. A partir de aquı iteramos el procesopara obtener la sucesion αn.

A continuacion iteramos el proceso seguido para obtener las sucesivas

aproximaciones de

√2−

√2−√

2− · · ·, que podemos ver en la figura 31. Se puedeobservar como los α2k son menores que el lımite y los α2k−1 son mayores.


Figura 31. Visualizacion de los seis primeros terminos de la sucesiondada por (2) para a = 2. Podemos ver como los valores pares e imparesse van alternando alrededor del lımite α.

La segunda tecnica, con base en los sistemas dinamicos, aplicada con a = 5, nosmuestra la sucesion por iteracion de la funcion

f (x) =√

5− x.

Si empezamos por α0 = 0, αn = f(αn−1). Para la representacion grafica de estasucesion utilizaremos el mismo procedimiento de la seccion anterior. En este casolas curvas son {

y = x,y =√

5− x,que podemos ver en la figura 32, el punto de corte de ambas es el lımite de lasucesion.

Figura 32. En esta imagen vemos las curvas y = x e y =√

5− xcon el punto de corte de ambas, α, senalado en rojo.


Aquı tenemos algunos de los primeros terminos de la sucesion

α1 =√

5 = 2.236067977

α2 =

√5−√

5 = 1.662507751

α3 =

√5−

√5−√

5 = 1.826880469

α4 =

√5−

√5−

√5−√

5 = 1.781325218

α5 =

√√√√5−

√5−

√5−

√5−√

5 = 1.794066549

...

Como ya sabemos los terminos impares forman una subsucesion monotonadecreciente, mientras que la de los pares es monotona creciente, esto hara queen la imagen se muestre algo similar a una tela de arana. Ambas estan acotadasinferiormente por 0 y superiormente por

√5, por tanto, las dos subsucesiones

son convergentes. La demostracion anterior nos ha permitido asegurar que ambassubsucesiones convergen al mismo lımite, α.

En la construccion de la figura 33, vemos como la sucesion va acercandose en

espiral hacia el punto de corte de las funciones, es decir al lımite, α = −1+√

1+202

.

Figura 33. Vista global de algunos puntos de la sucesion α0 = 0 ,αn =

√5− αn−1. Es difıcil poder observar los terminos de la sucesion

a partir de α3, puesto que se amontonan sobre α. Esto nos da unaligera idea de la rapidez con que converge al lımite.

En las figuras sucesivas, 34 y 35, ampliamos la imagen para observar con masdetalle como converge. Podemos apreciar algunos terminos de las dos subsucesiones;


por un lado α1, α3, α5 y α7 decrecen, por otro α2, α4 y α6 crecen, y ambas tienden aα.

Figura 34. Ampliacionde los terminosα2, α3, α4, α5, α6, α7 y α8 dela sucesion αn =

√5− αn.

Aquı podemos ver laalternancia entorno de α delos terminos de orden par ylos de orden impar con algomas de detalle.

Figura 35. Detalleampliado de losterminos α4, α5, α6, α7

y α8 donde podemoscorroborar lo queobservamos en la figura34. Otra vez notamosla alternancia de losterminos de la sucesiona ambos lados de α.

Para complementar lo expuesto en esta seccion, queremos dejar constancia visualde cual es el comportamiento de la sucesion si cambiamos el punto inicial α0 = 0 porotro punto sobre el eje de abcisas. Podemos visualizarlo si en el fichero rzN.ggb, dondese ha creado la construccion, arrastramos el valor inicial sobre el eje de abcisas. Loque se observa es que para α0 ∈ (−∞, a] la sucesion converge al lımite α, mientrasque si tomamos el punto inicial en el intervalo (a,+∞) no se puede generar sucesionalguna y, por supuesto, no hay convergencia. La figura 36 muestra la convergenciade la sucesion cuando tomamos α0 = 5.

Figura 36. Con a = 5, y tomando α0 = 5, aun podemos observarcomo la sucesion converge al punto de interseccion.

Capıtulo 2

El numero de oro

1. El numero de oro y las raıces anidadas

De entre todas las sucesiones generadas por raıces anidadas con un soloparametro que solo involucran sumas vamos a centrarnos en el caso a = 1.

Es decir

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + · · ·. Como hemos demostrado anteriormente esta

sucesion es convergente y el lımite corresponde a la solucion positiva de la ecuacionx2 − x− 1 = 0. Las soluciones de dicha ecuacion son

ρ1 =1 +√

5

2y ρ2 =

1−√

5

2

siendo ρ1 la solucion positiva que nos determina el lımite α. El valor del lımite eneste caso es el denominado numero de oro y lo denotaremos por Φ. Aprovecharemosla construccion de la Seccion 1 del capıtulo anterior para mostrar algunos terminosde la sucesion dada por αn =

√1 + αn−1. Los designaremos por Φn, puesto que

corresponden a la sucesion que converge a Φ:

Φ0 = 0

Φ1 = 1

Φ2 =√

2

Φ3 =

√1 +√

2

Φ4 =

√1 +

√1 +√

2

...

En la figura 1 vemos los primeros terminos de la sucesion. A partir de la graficapodemos intuir la convergencia de la sucesion a Φ. De hecho |Φ12 − Φ| < 0.000002,es decir, en solo doce terminos nos aproximamos por debajo de las cienmilesimas.

53

54 2. EL NUMERO DE ORO

Figura 1. Podemos ver como a partir de Φ0 = 0 vamos construyendolos terminos Φ1,Φ2,Φ3 y Φ4 de la sucesion. Vemos como se vanacercando a Φ.

2. El numero de oro y las fracciones continuas

En el apartado anterior hemos establecido una relacion entre las raıces anidadasy Φ. Ahora vamos a relacionar el numero de oro con las fracciones continuas. Enparticular nos centraremos en la fraccion continua

1 +1

1 + 11+ 1

1+···

,

que como veremos tambien converge a Φ. La sucesion vendra dada por los terminos

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +1

1

ϕ3 = 1 +1

1 + 11

ϕ4 = 1 +1

1 + 11+ 1

1

...

que podemos expresar de forma recurrente como

ϕ1 = 1 y ϕn = 1 +1

ϕn−1

.

Esta sucesion esta formada por dos subsucesiones, la de los terminos de ındice imparA1, que es creciente, y la de los terminos de ındice par A2, que es decreciente; esdecir

ϕ1 < ϕ3 < · · · < ϕ2k−1 < ϕ2k+1 < · · · < · · · < ϕ2k+2 < ϕ2k < · · · < ϕ4 < ϕ2.

2. EL NUMERO DE ORO Y LAS FRACCIONES CONTINUAS 55

Veamos este hecho

A1 creciente: es claro que ϕ1 < ϕ3, puesto que 1 < 1+ 11+ 1

1

= 32. Suponemos

que ϕ2k−1 < ϕ2k+1, vamos a ver que ϕ2k+1 < ϕ2k+3. Sabemos que

ϕ2k+1 = 1 +1

1 + 1ϕ2k−1

y ϕ2k+3 = 1 +1

1 + 1ϕ2k+1

y esto implica que ϕ2k+1 < ϕ2k+3 ⇐⇒ ϕ2k−1 < ϕ2k+1.A2 decreciente: es claro que ϕ2 > ϕ4, puesto que 2 > 1 + 1

1+ 1

1+11

= 53.

Suponemos que ϕ2k > ϕ2k+2, vamos a ver que ϕ2k+2 > ϕ2k+4. Sabemos que

ϕ2k+2 = 1 +1

1 + 1ϕ2k

y ϕ2k+4 = 1 +1

1 + 1ϕ2k+2

y esto implica que ϕ2k+2 > ϕ2k+4 ⇐⇒ ϕ2k > ϕ2k+2.

Veamos que ϕ2k+1 < ϕ2k+2, es claro que ϕ1 < ϕ2. Suponemos que ϕ2k−1 < ϕ2k,entonces

ϕ2k+1 < ϕ2k+2 ⇐⇒ 1 +1

1 + 1ϕ2k−1

< 1 +1

1 + 1ϕ2k

⇐⇒ ϕ2k−1 < ϕ2k.

A raız de lo que acabamos de demostrar, los intervalos Ik = [ϕ2k−1, ϕ2k], verificanque Ik+1 ⊂ Ik, para k ≥ 1, y su interseccion es no vacıa. Bajo estas condicionessi demostramos que para cada ε > 0 existe k ∈ N tal que |ϕ2k − ϕ2k−1| < ε, lainterseccion de todos ellos se reducira a un solo punto. Veamos que |ϕn − ϕn−1| <L |ϕn−1 − ϕn−2| para un 0 < L < 1 y para n ≥ 3. Es claro que

|ϕn − ϕn−1| =∣∣∣∣1 +

1

ϕn−1

− 1− 1

ϕn−2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 1

ϕn−1

− 1

ϕn−2

∣∣∣∣=|ϕn−2 − ϕn−1|ϕn−1ϕn−2

.

Como 32≤ ϕn ≤ 2 para todo n ≥ 2, tendremos la acotacion 4

9≥ 1

ϕnϕn+1≥ 1

4. Ası

|ϕn − ϕn−1| ≤4

9|ϕn−1 − ϕn−2| =⇒ |ϕn − ϕn−1| ≤

(4

9

)2

|ϕn−2 − ϕn−3| .

Con n = 2k y reiterando la acotacion

|ϕ2k − ϕ2k−1| <(

4

9

)2k−4

|ϕ4 − ϕ3| −→ 0, cuando k −→∞.

Tenemos una sucesion de intervalos encajados la longitud de los cuales tiende acero. Por el principio de los intervalos encajados de Cantor la interseccion de todosellos se reduce a un unico punto. Es decir, las subsucesiones A1 y A2 convergen almismo lımite

α = lımk→∞

ϕ2k+1 = lımk→∞

ϕ2k.


En consecuencia

lımn→∞

ϕn = lımn→∞

1 +1

ϕn−1

=⇒ 1 +1

α= α =⇒ α2 − α− 1 = 0

esta ecuacion cuadratica tiene por soluciones Φ y 1−Φ. Como la fraccion continuainicial solo involucra numeros positivos y sumas, Φ es el unico valor posible para ellımite y, por tanto,

1 +1

1 + 11+ 1

1+ 11+···

−→ Φ.

La imagen de la figura 2, muestra la funcion f(x) = 1+ 1x

que nos permitira construirla sucesion ϕn. A partir de ϕ1 = 1 se forma una espiral que va concentrandosealrededor de un cierto punto, que resulta ser Φ. Para calcular el valor del lımitedebemos resolver la ecuacion x = f(x), esta se corresponde con la ecuacioncuadratica x2 − x− 1 = 0.

Figura 2. Las graficas de las curvas y = x, en azul, e y = 1 + 1x, en

verde. Vemos los puntos de interseccion de ambas y marcado en rojo,el positivo, Φ. Con ellas iniciaremos las iteraciones que nos generan lasucesion ϕn.

En la figura 3 podemos ver los tres primeros terminos de la sucesion ϕn. A partirdel punto ϕ1 = 1 empezamos a construir la sucesion. A continuacion detallamos elproceso que seguimos en cada paso:

1. Trazamos la perpendicular al eje de abscisas por ϕ1.2. Marcamos el punto de corte de esta perpendicular con la curva y = 1 + 1

x.

3. Trazamos la perpendicular por el punto de corte anterior al eje de ordenadas.4. Marcamos el punto de corte de esta ultima perpendicular con la recta y = x,

este es ϕ2

Reiteramos este proceso empezando por ϕ2, para obtener ϕ3 y ası sucesivamentehasta obtener la sucesion {ϕn}n≥1.

3. FRACCIONES CONTINUAS, Φ Y EL HOMBRE DE VITRUBIO 57

Figura 3. Vista general de los tres primeros terminos de la sucesion.Ya se intuye que la construccion se aproximara en espiral al puntointerseccion de las dos curvas.

A continuacion mostramos ampliados algunos terminos de la sucesion.

Figura 4. Ampliacionde los primeros cincoterminos de {ϕn}n≥1.

Figura 5. Ampliacionde los terminos quintoal noveno de {ϕn}n≥1.

3. Fracciones continuas, Φ y el hombre de Vitrubio

Al hablar del numero de oro, Φ, en la seccion anterior, es inevitable recordarla imagen del hombre de Vitrubio, figura 6, dibujado por Leonardo da Vinci afinales del siglo XV . En esta obra se muestra una figura humana en dos posicionessobreimpresas:


Posicion 1: la figura humana esta inscrita en un cuadrado con brazosextendidos, segmento Sh, y piernas unidas, segmento Sv. Esto nos permiteconstatar que la altura del hombre coincide con su envergadura.Posicion 2: la figura humana esta inscrita en una circunferencia, con losbrazos ligeramente alzados y las piernas abiertas.

Figura 6. El hombre de Vitrubio.

En este dibujo se manifiesta la proporcion aurea a partir de medidas tomadas sobre elcuerpo humano. Considerando como centro el ombligo se traza la circunferencia quecircunscribe al hombre con las piernas abiertas y los brazos alzados que tendra unradio R. Si L es el lado del cuadrado en la posicion 1, resulta que L

R= Φ.

Ayudandonos de la tecnica desarrollada anteriormente para aproximar Φ a partirde la sucesion {ϕn}n≥1, generada por la fraccion continua 1 + 1

1+ 1

1+ 1

1+ 11+···

, vamos a

construir:

1. {Cn}n≥1: sucesion de circunferencias de radios crecientes, que converge a

la de radio 1. Para ello consideramos la suma infinita∑∞

n=1

(12

)n= 1, las

aproximaciones sucesivas de esta serie nos proporcionan la sucesion {cn}n≥1

de los centros de las circunferencias.


2. {Qn}n≥1: sucesion, no monotona, de cuadrados convergente al de lado Φ.Formada por dos subsucesiones, una monotona creciente y la otra monotonadecreciente, que se alternan. En este caso modificamos la sucesion ϕ1 =1, ϕn = 1 + 1

ϕn−1para que el lado horizontal del cuadrado este centrado

en el origen de coordenadas, para esto tomamos φ1 = 12, φn = 1

2+ 1

4φn−1

que converge a Φ2. En las graficas tomamos la funcion f(x) = 1

2+ 1

4|x| para

generar la sucesion de puntos {φn}n≥1. Cada φn se correspondera con lamitad del lado del cuadrado Qn; lo que por simetrıa nos permitira construirlos cuadrados.

En las imagenes siguientes detallamos el proceso de construccion:

Paso 1 En la figura 7:• Construimos el primer cuadrado de la sucesion a partir de φ1 = 1

2. El

lado de Q1 es el segmento que va desde el eje de abscisas al punto Dφ1

y es el doble de φ1.• Ademas construimos la primera circunferencia, C1, tomando como centroc1 = 1

2y radio la distancia desde este punto al origen de coordenadas.

Figura 7. Construccion del primer cuadrado y la primera circunferencia.

Paso 2 En la figura 8:• Construimos el segundo cuadrado a partir de φ2 que es la interseccion de

la recta paralela al eje de abscisas por f(φ1) con y = x. El lado de Q2 esel segmento que va del eje de abscisas al punto Dφ2 y es el doble de φ2.• La circunferencia C2 tiene centro en c2 = 1

2+ 1

4, que es el punto medio

de c1 y (0, 1).


Figura 8. Construccion del segundo cuadrado y la segunda circunferencia.

Paso 3 En la figura 9:• Construimos Q3 a partir de φ3 que es la interseccion de la recta paralela

al eje de abscisas por f(φ2) con y = x. El lado de Q3 es el segmento queva del eje de abcisas al punto Dφ3 y es el doble de φ3.• La circunferencia C3 tiene centro en c3 = 1

2+ 1

4+ 1

8, es decir el punto

medio de c2 y (0, 1).

Figura 9. Construccion del tercer cuadrado y la tercera circunferencia.


Repetiremos este proceso para construir la sucesion alternada de cuadrados yla creciente de circunferencias. Finalmente superponemos las constucciones sobreuna replica del dibujo de Leonardo para comprobar, de forma visual, como seajustan las sucesiones de elementos geometricos al cuadrado y a la circunferenciadel cuadro. Pudiendo constatar que efectivamente el lado del cuadrado y el radio dela circunferencia se encuentran en proporcion aurea.

Figura 10. El hombre de Vitrubio, las circunferencias {Cn}n≥1 y loscuadrados {Qn}n≥1.

Capıtulo 3

Fracciones continuas y raıces anidadas con dos parametros

A la vista de la relacion entre fracciones continuas y raıces anidadas que hemosobservado para Φ y siguiendo en la lınea de lo que estamos desarrollando, vamosa estudiar la relacion entre las fracciones continuas y las raıces anidadas cuandoen ambas dependemos de dos valores. Primero cuando solo involucran sumas yposteriormente cuando aparecen restas.

En el primer caso trabajaremos con expresiones del tipo:

(4)

√a+ b

√a+ b

√a+ b

√a+ · · ·

y

(5) b+a

b+ ab+ a

b+···

.

Ambas expresiones, cuando son convergentes, tienen como lımite una de lassoluciones de la ecuacion

x2 − bx− a = 0.

Las aproximaciones sucesivas de (4) podemos escribirlas como la sucesion recurrentexn+1 =

√a+ bxn. Para (5) la expresion recurrente asociada a la sucesion viene dada

por wn+1 = b+ awn

. Si ambas sucesiones convergen, cuando n→∞, obtenemos

x =√a+ bx

y

w = b+a

w,

que en ambas situaciones nos conducen a la ecuacion κ2 − bκ− a = 0.En el segundo caso las expresiones estudiadas son:

(6)

√a− b

√a− b

√a− b

√a− · · ·

y

(7) −b+a

−b+ a−b+ a

−b+···

.

En (6) podemos expresar las aproximaciones sucesivas como los terminos de lasucesion recurrente γn+1 =

√a− bγn. En (7) la expresion recurrente para la sucesion

63

64 3. FRACCIONES CONTINUAS Y RAICES ANIDADAS CON DOS PARAMETROS

viene dada por yn+1 = −b + ayn

. Si las sucesiones convergen, cuando n → ∞,

obtenemos

γ =√a− bγ

y

y = −b+a

y,

que en ambos casos nos conducen a la ecuacion ω2 + bω − a = 0.En las secciones siguientes desarrollaremos esto de forma mas precisa e

intentaremos ilustrarlo graficamente.

1. Raıces anidadas con sumas

Empezaremos con las raıces anidadas positivas (4). La sucesion que se genera alir calculando los primeros terminos es:

x1 =√a

x2 =

√a+ b

√a

x3 =

√a+ b

√a+ b

√a

...

que podemos expresar de forma recurrente como xn =√a+ bxn−1, con a y b

positivos. Esta sucesion es monotona creciente puesto que la funcion raız cuadradalo es en su dominio de definicion y en cada paso estamos sumando una cantidadpositiva al argumento de la raız. La convergencia de estas sucesiones viene dada porla convergencia de las expresiones del tipo (1) vistas en el Capıtulo 1. Para ello solotenemos que obsevar que

x1 =b

b

√a = b

√a

b2

x2 =b

b

√a+ b

√a = b

√a

b2+

√a

b2

x3 =b

b

√a+ b

√a+ b

√a = b

√√√√ a

b2+

√a

b2+

√a

b2

...

El valor A = ab2

es un numero real positivo puesto que a y b lo son. Entonces lasucesion se puede escribir como

xn = b

√A+

√A+√A+ · · ·

2. FRACCIONES CONTINUAS POSITIVAS 65

que solo difiere de las del tipo (1), que ya vimos eran convergentes, en un coeficientepositivo. En este caso el valor del lımite es

lımn→∞

xn = b1 +√

1 + 4A

2

=b+ b

√1 + 4 a

b2

2

=b+√b2 + 4a

2En la figura 1 podemos ver un ejemplo de como este tipo de sucesiones convergenal punto interseccion de las curvas y = x e y =

√a+ bx.

Figura 1. Ejemplo de la convergencia de una sucesion asociada araıces anidadas con dos parametros y que solo involucran sumas. En elarchivo Rab.ggb que se utilizo para crear la imagen podemos modificarlos parametros y el punto inicial.

2. Fracciones continuas positivas

Los objectos de estudio, seran ahora, las expresiones del tipo (5). La sucesionque se genera al ir calculando los primeros terminos es:

w1 = b

w2 = b+a

b

w3 = b+a

b+ ab

...


que podemos expresar de forma recurrente como wn = b+ awn−1

, con a y b positivos.

En esta expresion estamos sumando a cada termino una cantidad positiva paraobtener el termino siguiente, por tanto b es cota inferior. Ademas b + a

bes cota

superior. En efecto, puesto que wn−1 = b+ β con β > 0, tendremos que ab> a

wn−1y

b+ ab> b+ a

wn−1= wn lo que nos asegura que la sucesion esta acotada superiormente

por b+ ba.

Por otro lado podemos ver que la sucesion generada,

w1 = b, w2 = b+a

b, w3 = b+

a

b+ ab

, . . . , wn = b+a

wn−1

, . . . ,

contiene dos subsucesiones monotonas: la de los terminos de ındice impar, a laque denominamos F1, y la de los terminos de ındice par, a la que llamamos F2.Demostraremos que F1 es monotona creciente y que F2 es monotona decreciente.

La sucesion F1 empieza con w1 = b y es monotona creciente. Es claro quew1 < w3. Si suponemos que w2k−3 < w2k−1 queremos ver que w2k−1 < w2k+1.Sabemos que

w2k−1 = b+a

b+ aw2k−3

y w2k+1 = b+a

b+ aw2k−1

.

Por lo tanto

w2k−1 < w2k+1 ⇐⇒ b+a

w2k−3

> b+a

w2k−1

⇐⇒ w2k−3 < w2k−1.

La sucesion F2 empieza con w2 = b+ ab

y es monotona decreciente. Es claroque w2 > w4. Si suponemos que w2k−2 > w2k queremos ver w2k > w2k+2.Sabemos que

w2k = b+a

b+ aw2k−2

y w2k+2 = b+a

b+ aw2k

.

Por lo tanto

w2k > w2k+2 ⇐⇒ b+a

w2k−2

< b+a

w2k

⇐⇒ w2k−2 > w2k.

En la figura 2 podemos ver un ejemplo de este tipo de sucesiones. La imagen ha sidocaptada del fichero Geogebra FCPab.ggb, donde podemos modificar los valores de losparametros a y b para visualizar nuevos ejemplos. Esto no demuestra nada respecto ala convergencia de la sucesion pero es interesante para visualizar el comportamientode la misma.

2. FRACCIONES CONTINUAS POSITIVAS 67

Figura 2. Visualizacion del comportamiento de la sucesion asociadaa (5) con a = 5 y b = 1.

Veremos ahora que los terminos de ındice impar siempre son menores que los deındice par. Ya hemos visto que w1 < w2. Suponemos que w2k−1 < w2k y queremosver que w2k+1 < w2k+2:

w2k+1 < w2k+2 ⇐⇒ b+a

b+ aw2k−1

< b+a

b+ aw2k

⇐⇒ b+a

w2k−1

> b+a

w2k

⇐⇒ w2k−1 < w2k.

Tenemos dos subsucesiones que son monotonas y acotadas y, por tanto, convergentes.Si vemos que ambas convergen al mismo lımite habremos comprobado que la sucesiongenerada por (5) tiene lımite. Volveremos a utilizar el teorema de los intervalosencajados de Cantor para demostrar que el lımite de F1 y de F2 es el mismo. Paraello consideramos los intervalos Yk = [w2k−1, w2k], para k ≥ 1, que verifican Yk+1 ⊂Yk. En estas condiciones basta demostrar que dado ε > 0 existe k ∈ N tal que|w2k − w2k−1| < ε, para que la interseccion de todos los intervalos se reduzca a un


punto. Es claro que

|w2k − w2k−1| =

∣∣∣∣∣b+a

b+ aw2k−2

− (b+a

b+ aw2k−3

)

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣ aw2k−2

bw2k−2 + a− aw2k−3

bw2k−3 + a

∣∣∣∣=

a2 |w2k−2 − w2k−3|(a+ bw2k−2) (a+ bw2k−3)

≤ a2

(a+ b2)2 |w2k−2 − w2k−3| .

Veamos que la ultima desigualdad es consecuencia de que b ≤ wn para todo n:

b ≤ wn =⇒ b2 ≤ bwn =⇒ a+ b2 ≤ a+ bwn =⇒ 1

a+ bwn≤ 1

a+ b2.

Nos falta ver que 1 > a2

(a+b2)2, pero esto equivale a (a+ b2)

2> a2 ⇐⇒ 2ab2 + b4 > 0,

que se verifica si a > 0. Por tanto llamando L = a2

(a+b2)2se verifica

|w2k − w2k−1| ≤ L |w2k−2 − w2k−3|

y podemos asegurar que la longitud de los intervalos Yk tiende a 0.Una vez visto que la sucesion converge, se verificara la igualdad de lımites

lımn→∞

wn+1 = lımn→∞

(b+

a

wn

).

Si llamamos w al lımite

w = b+a

w=⇒ w2 − bw − a = 0.

Las soluciones de esta ultima ecuacion son

ν1 =b+√b2 + 4a

2> 0 y ν2 =

b−√b2 + 4a

2< 0,

el lımite de las expresiones (5) tiene que ser un numero positivo, puesto que a, b > 0y solo intervienen sumas. Como b2 + 4a > b2 y la funcion raız cuadrada es crecienteen su intervalo de definicion entonces

√b2 + 4a > b. La unica de las raıces que

sera positiva es ν1. En el ejemplo representado en la figura 2, hemos tomado a = 5y b = 1. En este caso la ecuacion que nos determina el lımite es w2 − w − 5 = 0 y

la solucion positiva ν1 = 1+√

212

.

3. RAICES ANIDADAS CON RESTAS 69

3. Raıces anidadas con restas

La sucesion que se genera al ir calculando los primeros terminos de la sucesion(6) es:

γ1 =√a

γ2 =

√a− b

√a

γ3 =

√a− b

√a− b

√a

...

que podemos expresar de forma recurrente como γn =√a− bγn−1, con a y b

parametros que, en principio, pueden tomar cualquier valor en R. Primero vamosa ver que valores nos permiten construir la sucesion por iteracion de la funcionf(x) =

√a− bx. Es necesario que el argumento de la raız sea positivo en cada paso,

lo que nos conduce a ciertas limitaciones. Si empezamos con γ1 =√a es necesario

que a ≥ 0, ademas γ2 =√a− b

√a exige que a − b

√a ≥ 0 que implica

√a ≥ b. El

caso b = 0 da lugar a una sucesion constante e igual a√a, por tanto supondremos

b 6= 0. Una vez descartados los casos triviales podemos centrarnos en el resto deopciones. Cuando sea convergente lo hara a un valor positivo y sera alguna de lassoluciones del sistema {

y =√a− bx

y = x

es decir, las raıces de la ecuacion

ω2 + bω − a = 0

que son

ω1 =−b+

√b2 + 4a

2y ω2 =

−b−√b2 + 4a

2.

Resulta sencillo observar que

a > 0 =⇒ b2 + 4a > b2

=⇒√b2 + 4a > |b|

=⇒ ω1 > 0 y ω2 < 0 para todo b ∈ R.

Por tanto, en caso de existir, ω1 sera el lımite de (6). En las figuras 3 y 4 podemosver un ejemplo de este tipo de sucesiones segun los valores que pueden tomar a y b.

Si a > 0 y b < 0: La condicion√a > b se cumple siempre y podemos

omitirla. Vemos en la figura 3, que la sucesion {γn}n≥1 crece al punto deinterseccion, marcado en verde, de las curvas.


Figura 3. En el caso de las raıces del tipo (6) cuando a > 0 y b < 0podemos contruir una sucesion creciente de puntos que converge a ω1.

Si a > 0, b > 0 y√

a > b: Vemos en la figura 4 que la sucesion toma valoresalternos a cada lado del punto interseccion, en verde, de las dos curvas.

Figura 4. En el caso de a > 0, b > 0 y√a > b tambien podemos

construir una sucesion que converge, en este caso en espiral, al lımiteω1.

4. FRACCIONES CONTINUAS NEGATIVAS 71

Ambos casos son similares al de las raıces anidadas con un solo parametro. Si b < 0la sucesion es equivalente a la generada cuando los dos parametros son positivos(notamos que −b > 0) y este lo hemos reducido al de las raıces con sumas y un soloparametro. Para asegurar la convergencia de (6) cuando a ≥ 0, b > 0 y

√a > b,

procederemos de forma parecida a la Seccion 1, es decir√a− b

√a− b

√a− · · · = b

√√√√ a

b2−

√a

b2−√a

b2− · · ·.

Si llamamos, de nuevo, A = ab2≥ 1 la convergencia de b

√A−

√A−√A− · · · es

consecuencia de la convergencia de la sucesion de restas dada en (2).

4. Fracciones continuas negativas

A continuacion nos centraremos en el estudio de las expresiones del tipo (7). Eneste caso la sucesion que se va generando al calcular aproximaciones sucesivas es:

y1 = −b

y2 = −b+a

−by3 = −b+

a

−b+ a−b

...

podemos expresarla como yn = −b+ ayn−1

, donde los parametros a y b pueden tomar

cualquier valor en R. Vamos a analizar primero que pasara dependiendo del signode estos parametros. Si b = 0 la sucesion no tiene sentido y para a = 0 tenemosyn = −b para todo n. Por tanto excluimos estos casos.

Si a > 0 y b > 0 todos los terminos de la sucesion anterior son negativos ypor tanto en caso de converger lo hara a un valor negativo, que sera una delas raıces de la ecuacion δ2 + bδ − a = 0, es decir,

δ1 =−b+

√b2 + 4a

2y δ2 =

−b−√b2 + 4a

2,

donde solo δ2 < 0.En este caso la convergencia viene dada como consecuencia de la

convergencia de la sucesion generada por (5), puesto que esta es la opuestade aquella

y1 = −b

y2 = −(b+a

b)

y3 = −(b+a

b+ ab

)

...


podemos, pues, aprovechar la demostracion realizada en la Seccion 2 paraconcluir que el lımite sera

−ν1 = −b+√b2 + 4a

2= δ2.

En la figura 5 podemos ver el punto que corresponde a la solucion negativa,en verde, en el centro de la tela de arana que se va formando a medida quecalculamos nuevos valores de la sucesion.

Figura 5. En verde, bajo las sucesivas aproximaciones encontramosel unico punto posible de convergencia de la sucesion asociada a (7)cuando a, b > 0, puesto que todos los terminos de la sucesion serannegativos.

Si a > 0 y b < 0 entonces B = −b > 0 y la sucesion de valores dada poryn = B+ a

yn−1es identica a (5) que ya hemos tratado con detalle en la Seccion

2. En la figura 6 podemos visualizar la situacion.


Figura 6. En esta imagen vemos que para a > 0 y b < 0 de las dossoluciones de la ecuacion, la unica valida es la positiva. La situaciones identica a la descrita en la figura 2 de la Seccion 2.

Para a < 0 y b < 0, si la sucesion yn = −b + ayn−1

es convergente, el lımite

sera una de las soluciones de la ecuacion δ2 + bδ−a = 0, que como ya hemosvisto son

δ1 =−b+

√b2 + 4a

2y δ2 =

−b−√b2 + 4a

2,

que solo existen si b2 + 4a ≥ 0 ⇐⇒ b2 ≥ −4a. En las dos figurassiguientes podemos observar, con un ejemplo, el comportamiento de lasucesion dependiendo de estos valores de los parametros. En la figura 7cuando se verifica la condicion b2 ≥ −4a, con una ampliacion en la figura 8,y en la figura 9 cuando b2 < −4a.


Figura 7. Vemos que en el caso a < 0 y b < 0 con b2 ≥ −4a lasucesion converge a un valor positivo, marcado en verde en la grafica.

Figura 8. Vista ampliada de algunos terminos de la sucesion cercadel lımite.


Figura 9. Vemos que en el caso a < 0 y b < 0 con b2 < −4a nohabra convergencia puesto que el lımite no es un numero real.

Vamos a estudiar como sera la sucesion en el caso que el posible lımiteexista, es decir para b2 ≥ −4a:

y1 = −b

y2 = −b+a

−by3 = −b+

a

−b+ a−b

...

Vemos, por induccion, que esta sucesion es, realmente, decreciente: y1−y2 =−b −

(−b+ a

−b

)= a

b> 0 =⇒ y1 > y2. Suponemos que yn−1 ≥ yn y veremos

que yn ≥ yn+1. En efecto

yn − yn+1 = −b+a

yn−1

−(−b+

a

yn

)= a

(1

yn−1

− 1

yn

)≥ 0

la ultima desigualdad es cierta puesto que a ≤ 0 y por hipotesis

yn−1 ≥ yn =⇒ 1

yn−1

≤ 1

yn=⇒ 1

yn−1

− 1

yn≤ 0.


Entonces {yn}n≥1 es decreciente y es claro que −b es cota superior. Podemosdemostrar que una cota inferior es −b

2, puesto que

yn ≥−b2

=⇒ −2

b≥ 1

yn=⇒ −2a

b≤ a

yn=⇒ −2a

b− b ≤ yn+1.

Ahora nos basta ver que

−2a

b− b ≥ −b

2⇐⇒ −2a

b≥ b

2⇐⇒ −4a ≤ b2 ⇐⇒ 0 ≤ b2 + 4a.

La sucesion es monotona decreciente y acotada superior e inferiormente−b > yn ≥ −b

2por tanto es convergente, siendo δ1 el lımite de la sucesion.

Si a < 0 y b > 0, entonces con el cambio de variable zn = −yn podemosobtener una nueva expresion para la sucesion

yn = −b+a

yn−1

=⇒zn=−yn

−zn = −b+a

−zn−1

=⇒ zn = b+a

zn−1

=⇒b=−BB<0

zn = −B +a

zn−1

,

y el caso se reduce al que hemos estudiado anteriormente con a < 0 y b < 0,

con la salvedad que el lımite en este caso sera negativo: δ2 = −b−√b2+4a

2y

solo existe cuando b2 ≥ −4a, por tanto es necesario distinguir dos subcasos:• Cuando b2 ≥ −4a podemos ver en la figura 10 que la sucesion converge

de forma creciente al lımite. En la imagen los primeros ocho terminosse acumulan muy rapidamente sobre el lımite, en verde, para ver mejorcomo converge ampliamos la imagen en la figura 11.


Figura 10. Vemos como la sucesion converge al lımite, en verde,cuando b2 ≥ −4a.

Figura 11. Ampliacion de la sucesion cerca del lımite.

• Cuando b2 < −4a entonces δ2 no es real, en la figura 12 podemos verque la sucesion no converge.


Figura 12. Visualizacion de la sucesion que se genera cuandob2 < −4a. Vemos como los terminos se comportan de forma anarquica.

Capıtulo 4

Explorando otras sucesiones

Analizaremos mas estrechamente la relacion entre las expresiones (4) y (5). Lasucesion asociada a (4) viene dada por

x1 =√a, xn+1 =

√a+ bxn

y la asociada a (5) por

y1 = b, yn+1 = b+a

yn.

Ya hemos comprobado en los apartados anteriores que ambas son convergentes y ellımite es la raız positiva de κ2 − bκ − a = 0. Vamos a estudiar este hecho con algomas de detalle. Tomando las funciones f(x) =

√a+ bx y g(x) = b + a

xpodemos

observar que

f(x) =√x

√a

x+ b =⇒ f 2(x) = xg(x).

Esto nos conduce al siguiente resultado:

Proposicion 1. Si x0 6= 0 y f 2(x) = xg(x), entonces

x0 = f(x0)⇐⇒ x0 = g(x0).

Demostracion. Si x0 = f(x0), usando que f 2(x) = xg(x), se verifica que

x0 = f(x0) =⇒ x20 = f 2(x0) =⇒ x2

0 = x0g(x0) =⇒ x0 = g(x0)

por ser x0 6= 0.Por otro lado si x0 = g(x0), de la identidad f 2(x) = xg(x) se deduce que

x0 = g(x0) =⇒ x20 = x0g(x0) =⇒ x2

0 = f 2(x0) =⇒ x0 = f(x0).

�

Esta proposicion nos sugiere que si tenemos dos sucesiones

xn+1 = f(xn) e yn+1 = g(xn),

ambas convergentes, y se cumple f 2(x) = xg(x) las dos tienden al mismo lımite.Queremos explorar otras parejas de sucesiones definidas por iteracion de funcionesque cumplen la condicion f 2(x) = xg(x). En esta lınea consideramos las funciones

g(x) =√a+ x y f(x) =

√x√a+ x con a > 0, que cumplen la condiciones de

la proposicion. La sucesion asociada con g(x) ya sabemos que es convergente y lasucesion asociada a f(x) viene dada por

(8) xn+1 =

√xn√a+ xn , x1 =

√a.

79

80 4. EXPLORANDO OTRAS SUCESIONES

Obviamente es una sucesion positiva y es creciente cuando se verifica la desigualdada+ xn − x2

n > 0. En efecto,

xn+1 ≥ xn ⇐⇒ xn√a+ xn ≥ xn

2 ⇐⇒√a+ xn ≥ xn ⇐⇒ a+ xn − xn2 ≥ 0.

Esto se cumple si ρ2 < xn < ρ1, siendo ρ1 = 1+√

1+4a2

> 1 y ρ2 = 1−√

1+4a2

< 0 lassoluciones de la ecuacion a+x−x2 = 0. Veamos que xn < ρ1. Es claro que x1 < ρ1,supongamos que xn−1 < ρ1, entonces

xn < ρ1 ⇐⇒√xn−1

√a+ xn−1 < ρ1,

como xn−1 < ρ1 tendremos que√xn−1

√a+ xn−1 <

√ρ1

√a+ ρ1 =

√ρ2

1 = ρ1

puesto que√a+ ρ1 = ρ1.

Hemos demostrado que la sucesion xn =√xn−1

√a+ xn−1 es creciente y acotada,

por lo tanto es convergente. Ademas por la Proposicion 1 podemos asegurar que

su lımite coincide con el de la sucesion definida por (4) y sera 1+√

1+4a2

. Debemosobservar que la convergencia de la sucesion definida por (8) tambien esta aseguradasi tomamos un valor x1 tal que 0 < x1 ≤ ρ1, la demostracion de este hecho esexactamente igual que la que acabamos de hacer.

En la figura 1 podemos ver un ejemplo de la convergencia de este tipo desucesiones, la imagen corresponde al caso a = 2.5 y se observa como partiendode x1 =

√2.5 la sucesion converge rapidamente al lımite marcado en verde.

Figura 1. Visualizacion de la sucesion xn+1 =√xn√a+ xn, con

a = 2.5. Vemos como en solo siete pasos se acerca claramente al lımitecoloreado en verde.

En la figura 2 mostramos otro ejemplo de la convergencia de esta familia desucesiones tomando a = 0.5.

4. EXPLORANDO OTRAS SUCESIONES 81


a = 0.5. Vemos como en once pasos se amontona en el lımite.

En el archivo creado con Geogebra, Ej1.ggb, podemos modificar a voluntad elvalor del parametro a y visualizar la convergencia en cada caso.

Es interesante comentar que en el caso a = 0, aunque si tomamos como valorinicial x1 =

√a = 0 la sucesion es constante (xn = 0 para todo n), si modificamos

ligeramente el valor inicial x1 = ε, con ε > 0, la sucesion converge a 1. Visualizamosesta situacion en la figura 3.


a = 0 y tomando x1 = 0.1, podemos ver como converge a 1.

82 4. EXPLORANDO OTRAS SUCESIONES

Mas en general podemos considerar las funciones

fk(x) = x1− 1

2k (a+ x)1

2k+1 , k ≥ 0.

Para cada una de estas funciones se cumple que f 2k+1(x) = xfk(x). Observamos que

f0(x) =√a+ x y la sucesion de las iteraciones de esta funcion se corresponde con

la sucesion (4). Es claro que si consideramos sucesiones del tipo

xn+1 = x1− 1

2kn (a+ xn)

1

2k+1 = fk(xn), k ≥ 1, con 0 < x1 ≤ ρ1,

y podemos asegurar su convergencia, por la Proposicion 1, tendremos que todas

ellas tenderan al mismo lımite 1+√

1+4a2

. De forma similar a lo hecho anteriormentepodemos ver que son crecientes cuando se cumple que a+xn−x2

n ≥ 0. Efectivamente,

xn+1 ≥ xn ⇐⇒x1− 1

2kn (a+ xn)

1

2k+1 ≥ xn

⇐⇒(a+ xn)1

2k+1 ≥ x1

2kn

⇐⇒a+ xn ≥ x2n

⇐⇒a+ xn − x2n ≥ 0.

Por tanto para asegurar la convergencia nos bastara con probar que xn ≤ ρ1. Porsupuesto se verifica que xn > 0.

Por definicion x1 ≤ ρ1. Supongamos que xn ≤ ρ1, entonces

xn+1 ≤ ρ1 ⇐⇒x1− 1

2kn (a+ xn)

1

2k+1 ≤ ρ1

pero como xn ≤ ρ1 se cumplira que

x1− 1

2kn (a+ xn)

1

2k+1 ≤ ρ1− 1

2k

1 (a+ ρ1)1

2k+1 = ρ1− 1

2k

1 (√a+ ρ1)

1

2k = ρ1− 1

2k

1 ρ1

2k

1 = ρ1

A continuacion en la figura 4 visualizamos un ejemplo de la convergencia de las

sucesiones de la familia xn+1 = x1− 1

2kn (a + xn)

1

2k+1 , cuando k = 2 y a = 2. Enel archivo creado con Geogebra Fam.ggb podemos modificar tanto los valores delparametro a como los de los ındices k.

4. EXPLORANDO OTRAS SUCESIONES 83

Figura 4. Visualizacion de como converge una de las sucesiones de

la familia xn+1 = x1− 1

2kn (a+ xn)

1

2k+1 , con k = 2 y a = 2.

Epılogo

A modo de epılogo vamos a dar una visualizacion de la identidad∞∑n=1

arctan2

n2=

3π

4.

La convergencia de esta serie es lenta, obtenemos una aproximacion hasta lascentesimas en la suma parcial S323. Si llamamos S a la suma total de la serie

S =3π

4= 2.35619449 . . . ,

observamos que

S1 = 1.10715 . . .

S2 =π

2= 1.5708 . . .

...

S323 = 2.35001 . . .

...

Esto hara que, a pesar de detallar el procedimiento para ir calculando las sucesivasaproximaciones a S, solo visualizemos las primeras veinte sumas parciales, figura 11.Antes de nada recordar la siguiente propiedad referente a la funcion arcotangente

arctanx− y1 + xy

= arctanx− arctan y.

Como podemos reescribir

2

n2=

n+ 1− (n− 1)

1 + (n+ 1)(n− 1),

entonces

arctan2

n2= arctan (n+ 1)− arctan (n− 1)

que nos conduce a

(9) Sk =k∑

n=1

arctan2

n2= Sk−1 + arctan (k + 1)− arctan (k − 1)

y tambien a

Sk = arctan k + arctan (k + 1)− arctan 1

85

86 EPILOGO

para k ≥ 1. Utilizaremos la primera de estas expresiones, (9), para ir construyendopaso a paso las sucesivas sumas parciales Sk. Para ello consideramos unacircunferencia de radio uno centrada en el origen de coordenadas. Esta circunferenciala denotaremos por C. De aquı en adelante detallamos el proceso de construccion.

Primero construimos S1 = arctan 2:1. Trazamos la tangente a la circunferencia en el punto (1, 0).2. Con centro en (1, 0) dibujamos una circunferencia de radio 2 que cortara a

la recta tangente en un punto P1 del primer cuadrante.3. Unimos el origen de coordenadas con P1 y obtenemos la recta R1 que

forma con la parte positiva del eje horizontal un angulo igual a S1. Losdetalles pueden verse en la figura 1.

Figura 1. Construccion de S1 = arctan 2.

Veamos como construir S2 = S1 + arctan 3− arctan 1:En primer lugar sumaremos arctan 3 a S1 con el siguiente procedimiento:

1. Por el punto de corte de R1 con la circunferencia C trazamos la tangentea C.

2. Con centro en dicho punto de corte trazamos una circunferencia de radio3 que cortara a dicha tangente en un punto P2 por encima de R1.

3. Unimos el origen de coordenadas con el punto P2 y obtenemos la rectaT2. El angulo formado por R1 y T2 sera α3 = arctan 3. Ver figura 2.

EPILOGO 87

Figura 2. Construccion de α3 = arctan 3 tomando como punto departida la semirecta R1.

Para restar α1 = arctan 1 haremos algo similar:1. Por el punto de corte de T2 con C trazamos la tangente a C.2. Con centro en el punto de tangencia construimos una circunferencia de

radio uno.3. Al punto de corte de la circunferencia con la recta tangente comprendido

entre T2 y R1 lo denotaremos por P3.4. Uniendo el origen de coordenadas con P3 obtenemos la recta R2.5. El angulo entre T2 y R2 sera α1 y el angulo entre R2 y R1 sera α3 − α1,

ver figura 3.6. Finalmente el angulo entre R2 y la parte positiva del eje horizontal

sera S2, ver figura 4.

Figura 3. Construccion de α1 = arctan 1 y de α3 − α1.

88 EPILOGO

Figura 4. Visualizamos los angulos S1 y S2.

En general veamos como anadir arctan (k + 1) − arctan (k − 1) a lasuma Sk−1. Por comodidad denotaremos αj = arctan j. Supongamos queRk−1 es la recta que delimita con la parte positiva del eje horizontal el anguloSk−1.Para sumar αk+1 :1. Por el punto de corte de Rk−1 con C trazamos la tangente a C.2. Con centro en el punto de tangencia dibujamos una circunferencia de

radio k + 1.3. Esta circunferencia cortara a la tangente en un punto P2k−2 por encima

de Rk−1.4. La recta que une el origen con P2k−2 la denotaremos por Tk y el angulo

comprendido entre Tk y Rk−1 sera αk+1.Para restar αk−1:1. Consideramos el punto de corte de Tk con C.2. En ese punto trazamos la tangente a C.3. Con centro en el punto de tangencia construimos la circunferencia de

radio k − 1.4. Al punto de corte de la tangente con la circunferencia comprendido entreTk y Rk−1 lo denotaremos por P2k−1.

5. Determinaremos la recta Rk uniendo P2k−1 con el origen de coordenadas.6. El angulo comprendido entre Rk y Tk sera αk−1.7. El angulo entre Rk y Rk−1 sera αk+1 − αk−1 y el angulo entre Rk y la

parte positiva del eje horizontal sera Sk.

EPILOGO 89

En las imagenes siguientes construimos S3 y S4 usando el procedimiento generaldescrito anteriormente.

Figura 5. Construccion de α4 = arctan 4.

Figura 6. Construccion de α2 = arctan 2 y α4 − α2.

90 EPILOGO

Figura 7. Visualizamos los angulos S1, S2 y S3.

Figura 8. Construccion de α5 = arctan 5.

Figura 9. Construccion de α3 = arctan 3 y α5 − α3.

EPILOGO 91

Figura 10. Visualizamos los angulos S1, S2, S3 y S4.

En la figura 11 podemos ver las primeras veinte sumas parciales de la serie. Enazul hemos trazado una recta S que forma un angulo de 3π

4con el eje horizontal.

Podemos observar que, a pesar de la lentitud de la convergencia las rectas Rk se vanaproximando a S y, por lo tanto, los Sk a 3π

4.

Figura 11. Representacion de las primeras veinte sumas parcialesde la serie

∑∞n=1 arctan 2

n2 .

Bibliografıa

[1] C. Alsina y R. B. Nelsen, Math Made Visual. Creating Images for Understandig Mathematics,The Mathematical Association of America, Washington, 2006.

[2] C. Alsina y R. B. Nelsen, When Less is More. Visualizing Basic Inequalities, The MathematicalAssociation of America, Washington, 2009.

[3] C. Alsina y R. B. Nelsen, Charming Proofs. A Journey Into Elegant Mathematics, TheMathematical Association of America, Washington, 2010.

[4] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 1968.

[5] Oscar Ciaurri, Emilio Fernandez, Rodolfo Larrea y Luz Roncal, Viete’s Product Proved inthe Finest Ancient Style, College Math. J., 43 (2012), 291–298.

[6] Javier Cilleruelo y Antonio Cordoba, La Teorıa de los Numeros, Ed. Mondadori, 1994.[7] Fernando Corbalan, La proporcion aurea. El lenguaje matematico de la belleza, Ed. RBA,

2011.[8] William Dunham, El Universo de las Matematicas, Ed. Piramide, Madrid, 1996.[9] T. L., Heath, The Works of Archimedes, Cambridge University Press, 1897.

[10] Tobias Oetiker, Hubert Partl, Irene Hyna y Elisabeth Schlegl, La introduccion no-tan-corta aLATEX 2ε,Fundacion de Codigo Libre, 2010.

[11] Vera W. Spinadel, La familia de numeros metalicos, Cuadernos del CIMBAGE no 6, 2003,17–44.

[12] Seth Zimmerman y Chungwu Ho, On infinitely nested radicals, Math. Mag., 81 (2008), 3–15.

93

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS - Biblioteca de la Universidad de ... · de poder relacionar aspectos del...

Documents

Transcript of TRABAJO FIN DE ESTUDIOS - Biblioteca de la Universidad de ... · de poder relacionar aspectos del...