OCTUBRE DE 2015

POPAYÁN

INTRODUCCIÓN

El cálculo de áreas limitadas por curvas puede ayudarnos a comprender las aplicaciones del Cálculo Integral y familiarizarnos con aspectos prácticos del mismo. Sirve además como introducción para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de la ciencia: Física, Biología, Ingeniería o Economía, en ellas la integral definida permitirá medir magnitudes a través del cálculo de áreas.

La finalidad de los ejercicios sobre las integrales indefinidas es comprender los conceptos básicos del Cálculo Integral, como también el adquirir destreza en las técnicas de integración. En este trabajo abordamos el marco conceptual sobre la integral indefinida, la integración con condiciones iníciales, las tablas de integrales, las técnicas de integración y el método de sustitución. La resolución de la actividad propuesta se realizara mediante el trabajo colaborativo planificado y sistemático de cada uno de los participantes y compañeros de foro del curso Cálculo Integral.

Ejercicio 1

Encuentre el área de la región comprendida entre la curva f ( x )=x3− x2−6 x y el eje X. Sugerencia: elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio

Solución

Gráfica de la función

Hallemos los límites de integración

x3−x2−6 x=0

x (x2−x−6 )=0

x (x−3 )(x+2)=0

x=0 x=3 x=−2

Ahora calculamos el área, pero la región la partimos en dos

Área 1

∫−2

0

[ f ( x )−g (x)] dx=∫−2

0

[ x3−x2−6 x−0 ] dx=¿

∫−2

0

[ f ( x )−g (x)] dx=∫−2

0

[ x3−x2−6 x ] dx=¿

∫−2

0

[ f ( x )−g (x)] dx=[ x4

4 −x3

3 −3 x2]−2

0

∫−2

0

[ f ( x )−g (x)] dx=( 04

4−03

3−3(0)2)−( (−2)4

4−

(−2)3

3−3(−2)2)

∫−2

0

[ f ( x )−g (x)] dx=(0 )−(4+ 83−12)

∫−2

0

[ f ( x )−g (x)] dx=163

Área 2

∫0

3

[ g ( x )−f (x) ]dx=∫0

3

[0−x3+x2+6 x ] dx=¿

∫0

3

[ g ( x )−f (x) ]dx=∫0

3

[−x3+x2+6 x ]dx=¿

∫0

3

[ g ( x )−f (x) ]dx=[−x4

4 +x3

3 +3 x2]0

3

∫0

3

[ g ( x )−f (x) ]dx=(−34

4+ 33

3+3(3)2)−(−(0 )4

4+

(0 )3

3+3 (0)2)

∫0

3

[ g ( x )−f (x) ]dx=(−814

+9+27)−(0 )

∫0

3

[ g ( x )−f (x) ]dx=634

Ahora reunimos el área 1 y área 2

Áreatotal=∫−2

0

[ f ( x )−g(x) ]dx−∫0

3

[g ( x )−f (x) ]dx

Áreatotal=163

−634

Áreatotal=25312

Ejercicio 2

y2=2 x y2

2=x

y=x−4 y+4=x DESPEJADO

y2/2=x y+4=x

x y x Y0 0 0 41 0.5 1 52 2 2 63 4.5 3 74 8 4 85 12.5 5 96 6 10

A=∫0

4

[ (2x )−( x−4 ) ]dx

A=2∫0

4

xdx−∫0

4

xdx+4∫0

4

dx

A=[ 2x2

2−x2

2+4 x ]

A=[ x2−x2

2+4 x ]

A=[42−42

2+4 (4 )]−[ 0 ]

A=24 RTA

Ejercicio 3

Volumen del solido

V=∫0

2

π [ f ( x )2 ]dx=T r 2dx

V=∫0

2

π 22dx

V=4 π∫0

2

dx

V= [ 4 πx ]^2

V= [ 4 πx ]−[ 0 ]

V=8π U3 RTA

4. Ejercicio.

Determine la longitud de la curva, y=Lncos (x ) en el intervalo [ 0 , π /4 ]

∫0

π3

Lncos ( x )dx

Sacar la constante,

∫ a∗f ( x )dx=a∗∫ f ( x )dx

¿ ln∫cos ( x )dx

Aplicando regla de integración,

∫cos ( x )dx=sen ( x )

¿ Lnsin(x)

Agregando la constante a la solución de la integral indefinida,

¿ Lnsin ( x )+C

Se calculan los límites: ∫0

π3

Lncos ( x )dx

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )=lim ¿x⟶b−¿ (F ( x ) )−lim ¿x⟶a+¿ (F ( x )) ¿ ¿¿¿

lim ¿x⟶0+¿ (Lnsin ( x ) )¿ ¿

¿0

lim ¿x⟶ π

3−¿ (Lnsin ( x ))¿

¿

¿ 12 √3nl

¿ 12 √3nl−0

Simplificando

¿ 12 √3nl

5. ejercicio

Encontrar el volumen de un sólido formado al girar la región acotada por f ( x )=2−x2 , y g ( x )=1 alrededor de la recta y=1. Sugerencia: utilice el método de las arandelas para hallar el volumen del sólido y elabore una gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

f ( x )=2−x2

X 0 1 2 3 -1 -2 -3Y 2 1 -2 -7 1 -2 -7

v=π∫0

1

[(2−x2)2−(1)2 ]dx

v=π∫0

1

[ 4−4 x2+x2−1 ] dx

v=π∫0

1

[ x4−4 x2−3 ] dx

v= 6215

πu3

Grafica

6. Ejercicio.

Halle el volumen del solido generado al rotar sobre el eje x = -1 la región encerrada por la parábola x= y2, y la recta x=2 y. Sugerencia: utilice el método de las arandelas para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

v=π R2h−π r2h

v=πh (R2−r2 )

dv=π∫a

b

(R2−r2 )dx

v=π∫0

4

¿¿

∫ y 4dy−∫4 y2dy⟹ y5

5−4 y3

3+C

lim ¿y⟶0+¿( y5

5 −4 y3

3 )=0¿¿

lim ¿y⟶4−¿( y5

5 −4 y3

3 )=179215 ¿

¿

⟹ 179215

−0=179215

=179215

π u3

7. Ejercicio.

Hallar el centroide (ȳ, x) de la región limitada por la curva y=x2, y la recta y=x+2

ȳ , x⟹ ( x , ȳ )

x= x2

y= y

dA=xdy

y=x+2⟹ x= y−2

x=∫A

❑

xdA

∫A

❑

dA=∫

0

h

( x2 ¿)xdy

∫0

h

xdy=∫

0

h x2

2dy

∫0

h

xdy¿

x=∫0

h

¿¿¿¿

⟹ x=12¿¿

¿

12 [(−8

3 )−( h3

3−6h2

3+12h

3−8

3 )][−h

2+2h]

=

12 [(−8

3 )−( h3

3−2h3+4 h−8

3 ) ][−h2

2 +2h]

¿

12 [−8

3−h3

3

+2h2−4h+ 83 ]

−h2

2+2h

=

12 [−h

3

3

+2h2−4h]−h2

2+2h

=

h3

6+h2 2h

h2

2+2h

¿h[−h2

6+h−2]

h[−h2 +2]

=

−h2

6+h−2

−h2

+2=

−2 (h2+h−2 )6 (h+2 )

¿−h2+h−23h+6

=(h−1 )2

3h+6

x=−(h−1 )2

3h+6⟹ (b−1 )2

3b+6

y=∫0

h

( y ) y2dy

∫0

h

y2dy=∫0

h

y3dy

∫0

h

y2dy=

[ y4

4 ]h

0

⌈ y2

2⌉h

0

¿[ 04

4−h4

4 ][02

2− h2

2

=

h4

4h2

2

=2h4

4h2 =h2

2h

⟹ y= h2

2h

⟹C=( (b−1 )2

3b+6, h

2

2h )

8. EjercicioUna varilla de longitud 60cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir: p(x )=Rx2 para R una constante. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7.200 g/cm, halle su masa total y centro de masa (Ce). p ( x )=¿, unidades de masa por unidad de longitud.

Desarrollo:Se pone la varilla en el eje positivo ⟹La masa total de la varilla es: ∫

0

60

Rx2dx

∫0

60

Rx2dx⟹R∫0

60

x2dx=k 72000

Se calcula el centro de gravedad con respecto con respecto al extremo de mayor densidad,

⟹Ce⟹ x=

7200gcm

72000k=0.1

¿0,1cm Desde el inicio

9. Ejercicio

La aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una recta es a (t )=π 2cos (πt )m2

seg. Si en el

instante inicial ( t=0 ), posición de la partícula es ( s=0 ) y la velocidad es v=8 mseg . Hallar s cuando t = 1

a (1 )=3.14162 cos (3.1416∗1 )m2

seg

a (1 )= 3.14162 cos (3.1416∗1 )m2

seg=9.8 m2

s

a=dvdt⟶dv=a∗dt

[v=∫adt ]v=ds

dt⟶ds=v∗dt

s=∫0

1

adt=a2

2

10. Ejercicio

Una fuerza de 40 N se requiere para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18 cm?

La fuerza es

F=kx

Remplazando

40 N=k (15cm−10cm)

40 N=k (5 cm )

40 N=k (0,05m)

El valor de la constante es

40 N0,05m

=k

800 Nm

=k

El trabajo será

W=∫15

18

Fdx

W=∫15

18

800 xdx

W=800 x2

2+c

400 x2

1 |15 cm

18 cm

Evaluando

[ 400 (18 cm )2 ]−[400 (15cm )2]

[ 400 ( 0.18m )2 ]−[400 (0.15m )2]

[ 12,96 Nm ]−[ 9Nm ]=3,96 Joules

11. EjercicioLas funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por S ( x )=52+2x y

D ( x )=100−x2 . Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado.

Punto de equilibrio

D ( x )=S (x )

100− x2=52+2x

0=x2+2 x−48

0=(x−6)(x+8)

x=6 x=−8

yB=52+2 (6 )=64

El punto es

P(6 ,64)

Determinando el excedente del consumidor

EC=∫0

6

D(x)dx−QP

EC=∫0

6

(100−x2)dx−(6)(64)

EC=∫0

6

(100−x2)dx−384

EC=[100 x− x3

3 ]0

6

−384

EC=(100 (6)−63

3 )−(100(0)−03

3 )−384

EC=144

Determinando excedente del productor

EP=QP−∫0

6

S ( x )dx

EP=(6)(64)−∫0

6

(52+2x )dx

EP=384−[52 x+2 x2

2 ]0

6

EP=384−(52 (6)+(6)2 )−(52(0)+02 )

EP=36

12. Ejercicio

El costo marginal de un artículo cuando se producen x unidades es −3 x2+60 x+4000 pesos por unidad. Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es $90000, ¿cuál es el costo total de producción de las 50 primeras unidades?

dcdx

=−3 x2+60 x+4000

dc (x )=(−3 x2+60x+4000 )dx

∫ dc (x )=∫ (−3 x2+60x+4000 )dx

c ( x )=−3x3

3+ 60 x2

2+4000 x+c

c ( x )=−x3+30x2+4000 x+c

90000=−¿

90000=−1000+3000+40000+c

c=90000−42000

c=48000

c ( x )=−x3+30 x2+4000 x+48000

c (50 )=−¿c (50 )=125000+75000+200000+48000

c (50 )=198000

CONCLUSIONES

Se pusieron en práctica los conceptos previamente adquiridos sobre métodos de integración aplicables a diferentes situaciones.

Se ampliaron los conocimientos con los aportes de cada uno de los compañeros.

Se logró consolidar un documento con los ejercicios que individualmente se desarrollaron por parte de los integrantes del curso.

Bibliografía

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Universidad Nacional Abierta y a Distancia. (2015). Guía momento cuatro evaluación intermedia unidad 3, planeación diseño y entrega del producto final (trabajo colaborativo fase tres). De Universidad Nacional Abierta y a Distancia