Universidad Latina Campus de Costa Rica

Mecánica II

Proyecto Final

Vibraciones Mecánicas

Integrantes:

Jorge Peñaranda BolañosLeonardo Hidalgo HerreraFrancisco Mora Elizondo

Estefanny Guzmán MurilloLuis Andrés Moreno Mora

Profesor:

Ing. Andrés Arguedas Miranda

Fecha: 16 de diciembre del 2012

Índice

Introducción.............................................................................................2

Marco Teórico..........................................................................................3

Objetivo General.......................................................................................4

Objetivos específicos:...............................................................................4

Resumen ejecutivo...................................................................................5

Período Natural.....................................................................................9

Frecuencia Natural.............................................................................10

Resonancia..........................................................................................11

Metodología............................................................................................12

Memoria de Cálculo...............................................................................15

Viga Simplemente apoyada.................................................................15

Viga en Voladizo..................................................................................18

Análisis de Resultados............................................................................21

Viga Simplemente Apoyada:................................................................21

Viga en Voladizo:.................................................................................22

Conclusiones..........................................................................................23

Fuentes...................................................................................................25

Anexos....................................................................................................26

1

Introducción

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos

y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa

y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el

movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una

posición de equilibrio; se produce por lo general cuando un sistema se

desplaza en una posición de equilibrio estable. El sistema tiende a

retornar a su posición bajo la acción de fuerzas de restitución elástica o

gravitacional moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición

de equilibrio.

El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de

movimiento completo recibe el nombre de periodo de vibración. El

número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el

desplazamiento máximo del sistema a partir de su posición de equilibrio

se conoce como amplitud de vibración.

Cuando el movimiento se mantiene únicamente por medio de fuerzas

restauradoras, se dice q la fricción es una vibración libre. Cuando se

aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento resultante se

describe como una vibración forzada.

Todos los sistemas vibratorios están sometidos a cierto grado de

amortiguamiento puesto que la energía se disipa por fricción y otras

resistencias. Si el amortiguamiento es pequeño, tiene escasa influencia

sobre las frecuencias naturales del sistema y, por consiguiente, los

cálculos de las frecuencias naturales se hacen generalmente ignorando

el amortiguamiento. Por otra parte, el amortiguamiento es de gran

importancia como limitador de la amplitud de oscilación en resonancia.

Del movimiento vibratorio armónico existen las relaciones básicas entre

los valores de la aceleración, velocidad y desplazamiento.

2

Marco Teórico

Las vibraciones se originan en entre la energía cinética de las masas y

la potencial almacenada en la rigidez de los elementos. También

podemos definir la vibración como la propagación de ondas elásticas

produciendo deformaciones y tensiones sobre un el elemento en

equilibrio. Las vibraciones se refieren a los movimientos de los cuerpos

y a las fuerzas asociadas con ellos. Todo cuerpo con masa y elasticidad,

es capaz de vibrar. Esta se da cuando una partícula o cuerpo oscila

alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las estructuras

experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño

requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que

ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.

Podemos clasificar los sistemas oscilatorios como lineales o no lineales.

Para los sistemas lineales rige el principio de superposición o Ley de

Hooke y las técnicas matemáticas para su tratamiento. Existen dos

clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema

elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso

inicial, donde el movimiento es mantenido debido a las fuerzas de

restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará

en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la

distribución de su masa y rigidez.

También se debe tomar en cuenta que el factor de amortiguamiento

determina el decaimiento de las oscilaciones naturales y además el

comportamiento a las frecuencias de resonancia.

3

No debe confundirse una vibración con una oscilación o dicho en otras

palabras, una oscilación se puede considerar como un movimiento

repetitivo alrededor de una posición de equilibrio. La posición de

"equilibrio" es a la que llegará cuando la fuerza que actúa sobre él sea

cero. Este tipo de movimiento no involucra necesariamente

deformaciones internas del cuerpo entero, a diferencia de una

vibración.

Objetivo General

Estudiar las vibraciones y rigideces de vigas con diferentes tipos

de apoyos

Objetivos específicos:

Obtener el grafico de movimiento vibratorio de la viga apoyada y

de la viga en voladizo con diferentes pesos.

Evaluar la rigidez que provee las vigas con diferentes tipos de

apoyo y pesos

4

Resumen ejecutivo

El siguiente proyecto pretende determinar las ecuaciones de

movimiento para dos vigas con cargas dinámicas, por medio de un

experimento que demuestre el comportamiento real de una viga

sometida a diferentes cargas y posicionada sobre dos tipos de apoyo

diferentes. De manera que utilizando métodos experimentales y

teóricos se logre evidenciar la veracidad de los datos obtenidos.

Para desarrollar el experimento se utilizaron dos vigas modelo de

aluminio, las cuales fueron sometidas a cargas puntuales con el objetivo

de generar un desplazamiento. Una de las vigas estaba apoyada a un

rodillo y un apoyo simple, la otra se encontraba empotrada de un lado.

El experimento se desarrolló en el laboratorio de ingeniería civil de la

universidad Latina, los materiales utilizados fueron:

Una balanza digital.

Contrapesos de acero (cada uno con un peso de 5N).

2 vigas (una de 0.75m y la otra de 0.5m).

Una máquina para fallar elementos de concreto para simular el

empotramiento.

Un simulador de apoyos para la viga simplemente apoyada.

5

Un marcador.

Hojas de papel.

Para ambas vigas era necesario calcular la rigidez teórica y

experimental (K), el porcentaje de variación y posteriormente la

frecuencia circular natural (Wn), el periodo natural (Tn) y la frecuencia

natural (Fn). Una vez calculado esto se procedía a graficar las

vibraciones libres amortiguadas para determinar el amortiguamiento

seguido de la frecuencia circular amortiguada (Wd), el periodo de

amortiguamiento (Td) y finalmente la frecuencia amortiguada (Fd).

El experimento se dividió en 2 partes para ambas vigas. La primera

consistía en determinar la rigidez, Wn, Tn y Fn de forma experimental y

teórica. La parte teórica se ampliará en la memoria de cálculo, a

continuación se indica el método utilizado para la parte experimental:

Se midió la viga 3 veces y luego se pesó. Posteriormente se posiciono

en los apoyos y se le realizaron 5 desplazamientos aplicando diferentes

contrapesos, el primero de 2,5N y a los demás se les fue incrementando

2.5N. Una vez obtenidos los desplazamientos se procedió a graficar los

valores de Peso versus desplazamiento para obtener la k experimental.

Posteriormente se calculó el porcentaje de variación para garantizar la

veracidad de los resultados obtenidos y por último se calculó la Wn, Tn y

Fn.

En la segunda parte del experimento se determinaron las gráficas de

vibraciones libres amortiguadas para lo cual se amarró un marcador al

centro de la viga. Aplicamos la máxima carga que se utilizó por viga

para generar un amortiguamiento en el momento que esta entrara en

vibración. Una vez posicionadas las cargas y el marcador se generó un

desplazamiento a la viga para lograr generar la vibración, se empleó

una hoja de papel para que el marcador sujeto a la viga, dibujara las

ondas de la gráfica, para lograr esto se pasó la hoja durante los

6

segundos de vibración, intentando mantener una velocidad constante

para que la gráfica quedara lo más exacta posible. Una vez realizada la

gráfica se procedió a calcular los valores experimentales y teóricos de

Wd, Td y Fd. Finalmente se calculó el porcentaje de variación para el

periodo amortiguado utilizando los valores experimentales y teóricos.

De esta manera se concluyó el experimento y se procedió a realizar las

conclusiones del proyecto.

Vibración Libre No Amortiguada

7

Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su

posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de

fuerza externa alguna (p(t) = 0).

Las propiedades de vibración natural, wn, Tn y fn, dependen de la masa

y rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para

enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema

cuando éste está en estado de vibración libre.

El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, y la razón o relación de

amortiguamiento crítico, x, son parámetros que determinan el tipo de

movimiento del sistema.

Tipos de Movimiento:

8

La Figura ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del

movimiento u(t) debido a un desplazamiento inicial u(0) para tres

valores distintos de x :

Si c = ccr ó x=1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio

sin oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado

o sistema con amortiguamiento crítico.

Si c > ccr ó x>1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de

equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobre

amortiguado.

Si c < ccr ó x<1 El sistema oscila alrededor de la posición de

equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente, y es llamado

sistema sub-amortiguado.

Sistema sub-amortiguado:

9

Período Natural

El período de una oscilación (T) es el tiempo transcurrido entre dos

puntos equivalentes de la onda, se puede describir también como el

mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se

encuentra exactamente en el mismo estado: mismas velocidades,

mismas amplitudes, mismas posiciones. Así, el periodo de oscilación de

una onda es el tiempo empleado por la misma en completar una

longitud de onda. En términos breves es el tiempo que dura un ciclo de

la onda en volver a comenzar. Por ejemplo, en una onda, el periodo es

el tiempo transcurrido entre dos crestas o valles sucesivos. El periodo

(T) es inverso a la frecuencia (f) por lo que está definido de la siguiente

forma:

Debido a que el periodo siempre es inverso a la frecuencia, se puede

relacionar la longitud de onda con el periodo, mediante la fórmula de la

10

velocidad de propagación. En este caso la velocidad de propagación

será el cociente entre la longitud de onda y el período.

La frecuencia natural o de resonancia de un sistema es aquella

frecuencia que tiene una tendencia o facilidad para vibrar. Todo

sistema posee una o varias frecuencias naturales de forma que al ser

excitadas se producirá un aumento importante de vibración. La fórmula

de la frecuencia natural es:

En donde K la rigidez y m la masa. Es de esta fórmula que se deduce

que si la rigidez aumenta, la frecuencia natural también aumentará, y si

la masa aumenta, la frecuencia natural disminuye.

Frecuencia Natural

Si un objeto recibe ondas de choque, éste produce de forma natural una

resonancia, también podemos definir la frecuencia natural como el

proceso que de manera natural es producido por las ondas de choque

con los objetos.

Cuando la frecuencia de la fuente emisora de ondas coincide con la

frecuencia natural del resonador (objeto que oscila) se llega a una

condición conocida como resonancia. La resonancia se define como la

tendencia de un sistema físico a oscilar con una amplitud mayor en

algunas frecuencias. La amplitud del sistema oscilante depende de la

magnitud de la fuerza que se le aplique periódicamente al emisor de

ondas y también está relacionada con las frecuencias de ondas del

emisor y la frecuencia natural del sistema oscilante. Si la diferencia

entre la frecuencia del emisor y la frecuencia del resonador es grande

la amplitud del sistema resonador será mínima. Al igual que mientras

más diferentes sean las frecuencias entre el generador y el resonador,

11

se requerirá de mayor cantidad de energía para crear determinadas

amplitudes de oscilación. En condición de resonancia, una fuerza de

magnitud pequeña aplicada por el emisor puede lograr grandes

amplitudes de oscilación en el sistema resonador, creando con ello

perturbaciones marcadas en el sistema resonador.

Resonancia

La resonancia se da cuando una frecuencia de excitación se encuentra

cerca de una frecuencia natural de la estructura de la máquina. Cuando

sucede la resonancia y los niveles de vibración que resultan pueden ser

muy altos, esto puede causar serios daños muy rápidamente.

Es importante cuando se analiza los problemas de vibración de una

estructura poder determinar las frecuencias naturales del sistema, esto

porque, es necesario asegurarnos de que no existen frecuencias

forzadas cerca de las frecuencias naturales.

Existen 2 tipos de resonancia los cuales se puede clasificar:

Resonancia de equilibrio: Asociada a la frecuencia modos de

oscilación de la estructura. A estas frecuencias naturales o de

resonancia se denominan velocidades críticas. Si existe un elemento

rotativo que se aproxima a su velocidad crítica se produce un aumento

importante de los niveles de vibración, mientras que si se aleja de su

velocidad crítica se produce un descenso de la vibración. A este

fenómeno se le denomina "Resonancia armónica".

El análisis de vibraciones se puede utilizar para calcular el coeficiente

de Poisson y los módulos elásticos (módulo de Young, módulo de

cizallamiento) esto a partir de las frecuencias naturales de vibración del

elemento inicial, que no debe sufrir ningún daño por el llamado método

12

dinámico (ensayos no destructivos) a través de la velocidad del sonido,

llamado pulso-eco.

Existe una relación unívoca entre las frecuencias naturales de vibración

con las dimensiones y la masa de la muestra, parámetros fáciles de

medir con un pie de rey y una balanza. Conociendo el tamaño, la masa y

las frecuencias naturales de vibración, los módulos de elasticidad se

pueden calcular fácilmente utilizando herramientas matemáticas.

El módulo de Young se calcula a partir de las vibraciones longitudinales

o flexionales mientras que el módulo de cizallamiento y el coeficiente de

Poisson se pueden obtener mediante las vibraciones de torsión.

Resonancia estructural: Las frecuencias de excitación externas se

pueden transmitir a través de tuberías, estructuras de construcción,

cimentación, etc.

Análisis dinámico de estructuras

El análisis dinámico de estructuras se refiere al análisis de las

pequeñas oscilaciones o vibraciones que puede sufrir una estructura

alrededor de su posición de equilibrio. El análisis dinámico es

importante porque ese movimiento oscilatorio produce una

modificación de las tensiones y deformaciones existentes, que deben

tenerse en cuenta por ejemplo para lograr un diseño sísmico adecuado.

El análisis dinámico incluye estudiar y modelar al menos estos tres

aspectos:

Análisis modal de frecuencias y modos propios de vibración. Tanto las

frecuencias naturales de vibración de una estructura como los modos

principales de vibración dependen exclusivamente de la geometría, los

materiales y la configuración de un edificio o estructura resistente.

13

Metodología

Iniciamos acomodando cada viga en su posición requerida.

Viga simplemente apoyada: Se colocó la viga de aluminio apoyada

sobre 2 extremos, uno de estos restringiendo el movimiento en las

coordenadas X y Y, pero permitiendo rotaciones, en el segundo apoyo

se coloca solamente restringiendo movimiento hacia arriaba y abajo.

Posteriormente se le colocaron pesos de 2.5, 5, 7.5, 10, 12.5 Newton,

en donde medimos los datos de deflexiones con cada peso y midiendo

los desplazamientos, después realizamos los gráficos de

desplazamiento VS Pesos, como resultado de esto y con la ecuación de

la recta del grafico procedemos a obtener la constante k.

La longitud de viga que se utilizo con este tipo de apoyo es de 75 cm, ya

que si utilizamos una longitud mayor, el desplazamiento sería muy

grande, lo cual compromete el experimento.

Por último realizamos la gráfica de la vibración de cada elemento

utilizando para ello un marcador y una hoja de papel.

14

Viga en voladizo: Se colocó la viga de aluminio apoyada sobre 1

extremo, en el cual se restringe cualquier movimiento y quedando sin

apoyo alguno el otro. Posteriormente se le colocaron pesos de 2.5, 5,

7.5, 10, 12.5 Newton, en donde medimos los datos de deflexiones con

cada peso y midiendo los desplazamientos, después realizamos los

gráficos de desplazamiento VS Pesos, como resultado de esto y con la

ecuación de la recta del grafico procedemos a obtener la constante k.

Debemos tomar en cuenta que la medida de la longitud de la viga en

voladizo cambio y se utilizo de 50 cm, ya que al ser en voladizo el L que

se utiliza es menor, esto para que los desplazamientos no sean tan

grandes que comprometan el experimento.

Por último realizamos la gráfica de la vibración de cada elemento

utilizando para ello un marcador y una hoja de papel.

Una vez obtenidos estos datos procedemos al cálculo del coeficiente de

rigidez K inercia, porcentaje de error, Frecuencia Natural circular,

Periodo Natural y Frecuencia Natural

15

Memoria de Cálculo

Viga Simplemente apoyada

Datos:

Longitud de la Barra: 1m, utilizando 75cmAncho: 20mm Espesor: 5mm

Módulo de Elasticidad: 70Gp = KN

mm2 (Aluminio, Libro Solidos 1,

Hibeller)

Constante de Rigidez:

16

Método Experimental:

Y0 (mm) Peso ( N)1 2,5

2,5 54 7,5

5,2 106,8 12,5

Fuente: Propia

0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12

14

f(x) = 1.74560546875 x + 0.692138671875R² = 0.998486328125

Desplazamiento (mm)

Peso (N)

Constante de Rigidez: Valor de la pendiente de la ecuación de la recta obtenida.

K = 1,74 N.mm

Método Teórico:

Inercia: 20x 53

12=208,3mm4

K=48 xExI

L3

K=48 x70 x 208,3

7503x1000=1,65N .mm

17

% error=|1,65−1,741,65 |x 100=5%Frecuencia Natural circular, Periodo Natural, Frecuencia Natural

Datos:

Masa: 2,08kgK teórica: 1,65N.mmK experimental: 1,74N.mm

ωn=2√ kmT n=2π 2√mk f n= 1T

ωn=2√ 1,742,08

=0,92 rads

(Experimental)

ωn=2√ 1,662,08

=0,89 rads

(Teorica)

T n=2π2√ 2,081,74

=6,85 s(Experimental )

T n=2π2√ 2,081,66

=7,03 s (Teorica)

f n=16,85

=0,15Hz(Experimental )

f n=17,03

=0,14Hz (Teorica)

Vibraciones:

Relación de amortiguamiento: ξ= 12πj

lnuiui+ j

ξ=1

2π 16∈1.40.4

= -0.012

ωd=2√1−ξ2

ωd=0.412√1−0.0122 = 0.4

18

T d=T i+ j−T ij

T d=4.3−0.216

= 0.25

f d=1T

f d=10.25

= 3.9

Viga en Voladizo

Datos:

Longitud de la Barra: 1m, utilizando 50cmAncho: 20mm

19

Espesor: 5mm

Módulo de Elasticidad: 70Gp = KN

mm2 (Aluminio, Libro Solidos 1,

Hibeller)

Constante de Rigidez:

Método Experimental:

Y0 (mm)

Peso ( N)

7 2,513,5 522 7,528 1035 12,5

Fuente: Propia

5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10

12

14

f(x) = 0.35377358490566 x + 0.0353773584905648R² = 0.997641509433962

Desplazamiento (mm)

Peso (N)

Constante de Rigidez: Valor de la pendiente de la ecuación de la recta obtenida.

K = 0.353 N.mm

Método Teórico:

20

Inercia: 20x 53

12=208,3mm4

K=48 xExI

L3

K=3x 70 x208,3

5003x 1000=0,350N .mm

% error=|0,350−0,3530,350 |x 100=1%Frecuencia Natural circular, Periodo Natural, Frecuencia Natural

Datos:

Masa: 2,08kgK-teórica: 0,350N.mmK-experimental: 0,353N.mm

ωn=2√ kmT n=2π 2√mk f n= 1T

ωn=2√ 0,3532,08

=0,41 rads

(Experimental)

ωn=2√ 0.3502,08

=0,41 rads

(Teorica)

T n=2π2√ 2,080,353

=15,23 s (Experimental)

T n=2π2√ 2,080,350

=15,32 s (Teorica)

f n=1

15,23=0,07Hz(Experimental )

f n=1

15,32=0,07Hz(Teorica)

Vibraciones:

21

Relación de amortiguamiento: ξ= 12πj

lnuiui+ j

ξ=1

2π 10∈3.10.6

= 0.026

ωd=2√1−ξ2

ωd=0.92√1−0.0262 = 0.9

T d=T i+ j−T ij

T d=4.3−0.210

= 0.41

Td (Experimental) = 2.1f d=

1T

f d=10.41

= 2.43

%=Tteorico−texpteorico

x100

%=2.1−0.412.1

x100 = 80%

22

Análisis de Resultados

Viga Simplemente Apoyada:

Para esta viga, al obtener la pendiente de la recta se podría decir que el

procedimiento para hallar la ecuación de a recta fue hecha de manera

correcta ya que al obtener un R2 0,99 el cual es un porcentaje de 99%,

se podría decir que la regresión lineal hecha con los pesos y deflexiones

es la adecuada.

Al obtener la constante de rigidez teórica por medio de la formula dada,

con todas las variables para poder obtenerla y teniendo en el resultado

de la constante de rigidez, de esta forma pudimos determinar un

porcentaje de error, el cual fue de un 6%, los posibles errores para este

porcentaje, se podrían decir en los siguientes puntos:

Al colocar los pesos en medio de la viga, en el apoyo de rodillo,

este tenida a desplazarse unos cuantos centímetros, el cual

afectaba el cálculo teórico ya que no se utilizaba en si la longitud

de 75cm puesta en los datos.

Al colocar los pesos, el equipo que utilizamos brincaba un poco, el

cual de la misma manera del punto anterior, esta se desplazaba

de ya sea en cualquiera de los dos apoyos.

Las deflexiones al medirlas con regla de un posible error al

colocarlos en los datos del cuadro al hallar la gráfica.

Problemas de redondeo.

Al hallar las frecuencia circular natural, periodo y frecuencia

natural, comparando cada resultado teórico y experimental al

obtener un bajo % error en la constante de rigidez, se puede

comprobar que la diferente entre ellas es muy poca, obteniendo

resultados muy cercanos entre sí.

23

Debido a que la viga se encuentra simplemente apoyada esta presenta

restricciones en ambos lados de la viga, con lo cual ayuda a que las

vibraciones se minimicen, es por esto que las vibraciones son menores

en la viga simplemente apoyada que en la en voladizo y el

amortiguamiento aumenta.

Viga en Voladizo:

Para esta viga, al obtener la pendiente de la recta se podría decir que el

procedimiento para hallar la ecuación de a recta fue hecha de manera

correcta ya que al obtener un R2 0,99 el cual es un porcentaje de 99%,

se podría decir que la regresión lineal hecha con los pesos y deflexiones

es la adecuada.

Al obtener la constante de rigidez teórica por medio de la formula dada,

con todas las variables para poder obtenerla y teniendo en el resultado

de la constante de rigidez, de esta forma pudimos determinar un

porcentaje de error, el cual fue de un 1%, los posibles errores para este

porcentaje, se podrían decir en los siguientes puntos:

Al colocar los pesos, el equipo que utilizamos brincaba un poco, el

cual de la misma manera del punto anterior, esta se desplazaba

de ya sea en cualquiera de los dos apoyos.

Las deflexiones al medirlas con regla de un posible error al

colocarlos en los datos del cuadro al hallar la gráfica.

Problemas de redondeo.

Al hallar las frecuencia circular natural, periodo y frecuencia

natural, comparando cada resultado teórico y experimental al

obtener un bajo % error en la constante de rigidez, se puede

comprobar que los resultados son básicamente los mismos, con

algunos decimales de más.

24

Al tener la viga en voladizo un lado libre de restricciones causa que las

vibraciones aumenten, es por esto que los valores de vibración son

mayores que en la simplemente apoyada y el amortiguamiento

disminuye.

Conclusiones

Al finalizar el experimento concluimos que la rigidez esta modificada

por diferentes parámetros, como los son la sección transversal del

elemento a analizar, ya que entre más sección gruesa posea mas

costara deformarla, y como bien sabemos la rigidez es

Fuerza/Desplazamiento.

Además la longitud de la viga modifica el desplazamiento obtenido aun

con la misma fuerza, los desplazamientos y alargamientos son

proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la viga.

Al termino del proyecto observamos que otro factor que modifica la

rigidez del elemento es el modulo de Young (E), el cual varía de

acuerdo al material, con lo que podemos decir que el tipo de material

modifica la rigidez del elemento y también se ve modificado por el

módulo de Poisson.

Otro conclusión del experimento fue que el tipo de apoyo modifica los

desplazamientos resultantes, por ejemplo en la viga simplemente

apoyada, al tener restricción al movimiento en el eje Y en ambos lados y

movimiento lateral en uno, esto causa que la viga se pueda mover

menos con los cual tenemos menos desplazamientos, menos vibraciones

y esto para una misma longitud, razón por la cual en el experimento se

redujo la longitud de la viga empotrada para un mejor desarrollo del

mismo.

25

La masa con la que iniciamos la deflexión del elemento ayuda a

disminuir las vibraciones y funciona como amortiguamiento en donde la

amplitud decrece progresivamente, hasta llegar a su punto de origen,

también notamos que al aumentar la masa la amplitud aumenta, es

decir, el periodo aumenta y la frecuencia disminuye, ya que la masa

afecta directamente el periodo y la frecuencia.

Si bien las condiciones del laboratorio no eran las optimas para el

desarrollo del experimento, nos parece se pudo llevar acabo de manera

aceptable, ya que los porcentajes de error son mayoritariamente bajos y

nos fue muy difícil llevar a la vida real los apoyos teóricos de rodillo,

gozne y empotramiento, para su adecuada realización.

Debemos recordar que las vibraciones que obtuvimos son las del primer

modulo de oscilación de la viga, esto nos ayuda a entender de mejor

manera el comportamiento de la viga para los 2 tipos de apoyo.

Por último, los porcentajes de error de Td se pueden ver afectados por

el método en el q se obtuvieron las gráficas, debido a que el mover la

hoja de papel con la mano colabora con una gran imprecisión a pesar

de las repetidas veces q se intentó graficar. Por lo que se necesitaría de

equipo preciso y constante en su movimiento para minimizar el error.

26

Fuentes

Dinámica: Ingeniería Mecánica. Recapitulado el 9 de diciembre

2012 de: http://books.google.com/books?

id=Vq3HdDHRsz8C&pg=PA450&lpg=PA450&dq=vibraciones+amortig

uadas&source=bl&ots=IitBF04N8C&sig=WXDqlWVI4myUxMPB5vbGn

5HX6mw&hl=es&sa=X&ei=coLPUO3XGKu30AHbwYBw&ved=0CG4Q6

AEwCQ#v=onepage&q=vibraciones%20amortiguadas&f=false

Dinámica estructural: teoría y cálculo. Recapitulado el 9 de

diciembre 2012 de:http://books.google.com/books?id=FeOP4m-

27

oH2QC&pg=PA14&lpg=PA14&dq=frecuencia+circular+natural&sourc

e=bl&ots=3Fqko5KuUe&sig=658UwBWc7rvrrlPPFZtAyKV8bEs&hl=es

&sa=X&ei=u4LPUOejMKe30gGa5YHgCQ&ved=0CEMQ6AEwAg#v=on

epage&q=frecuencia%20circular%20natural&f=false

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. DINÁMICA. BEER,

JOHNSTON, EISENBERG. 8VA EDICIÓN

Anexos

28

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

29

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

30

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

31

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

32

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

33

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

34

Viga en Voladizo

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

35

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

36

Fuente: Grupo I Proyecto Final Mecánica II

37