Trabajo Escrito Mate Video PDF

5/16/2018 Trabajo Escrito Mate Video PDF - slidepdf.com

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Universidad NacionalAutónoma de México

Colegio de Ciencias &Humanidades, Plantel “Azcapotzalco”

Matemáticas II

Raquel Trejo Martínez

Trabajo escrito

Solano Nava Karina

Flores Martínez Adai Brizeida

Panamá Méndez Gloria Magali



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Índice

Desarrollo:

• Contexto Histórico

• Doctrinas básicas

• Teoría de los números

• Astronomía

• Los números perfectos

• Los números triangulares

• Las números cuadrados y pentagonales

• Números amigos

• La armonía musical

• Teorema de Pitágoras



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Introducción

La demostración del teorema de Pitágoras así mismo como comprender el

funcionamiento o procedimiento de este, también el origen de Pitágoras de

Samos, quien fue el, que fue lo que descubrió, también nos profundizaremos

en el tema de congruencia y semejanza, mostraremos postulados, pero

Pitágoras es el centro de este trabajo.



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Desarrollo

Contexto Histórico:

Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (ca. 580 a. C. – ca. 495 a.

C.) fue un filósofo y matemático griego, considerado el primer matemático puro.

Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la

geometría y la aritmética derivada particularmente de las relaciones numéricas,

aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o

la astronomía. Es el fundador de la hermandad pitagórica, una sociedad que, si

bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en

medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas; el

pitagorismo formuló principios que influenciaron a tanto a Platón como a

Aristóteles, y de manera más general, al posterior desarrollo de la matemática y

la filosofía racional en Occidente.



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Doctrinas básicas

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los

enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de

consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del

autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración

del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido

Euforbo, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido

traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Teoría de los números

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se

encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números

primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este

punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser

para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el



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universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las

matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el

teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece

que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma

de los cuadrados de los otros dos lados.

Astronomía

La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el

pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la

tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego

central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos

moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad

sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos

celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a

longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas

da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.

Los números perfectos

- El número 496 es un número perfecto

- ¿Y qué quiere decir un número perfecto?, preguntó el poeta. ¿En qué

consiste la perfección del número?

- Número perfecto, explicó Beremiz, es el que presenta la propiedad de ser

igual a La suma de sus divisores, excluyéndose, claro está, de entre ellos elpropio número. Así, por ejemplo, el número 28 presenta 5 divisores menores

que 28; 1, 2, 4, 7, 14

La suma de esos divisores es precisamente igual a 28. Luego 28 pertenece a la

categoría de los números perfectos. El número 6 también es perfecto. Los

divisores de 6, menores que 6, son : 1, 2, 3, cuya suma también es 6. Al lado

del 6 y el 28 puede figurar el número 496, que también es perfecto.



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Los números triangulares

Los números triangulares se generan a partir de la serie de tos números

naturales puestos en línea, y por continuas adiciones de los términos

sucesivos, uno a uno, desde el principio, de manera que por sucesivas

combinaciones y adiciones de otro término a la suma, los números triangulares

se van completando en orden regular.

Los números triangulares son, pues, suma de La serie de Los naturales hasta

uno determinado: Por ejemplo 28 = 1 + 2 -e- 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Por eso decimos

que el 28 es número triangular de lado 7.

En lo que sigue designaremos abreviadamente Los números triangulares con

eL número de que se trate seguido de su lado entre paréntesis. Así eL 28, que

es número triangular de lado 7, se expresara como 28(7).

Otros números triangulares son: 120(15), 153(17), 276(23), 666(36).

Los números cuadrados y pentagonales

EL concepto es similar aL de los números triangulares. El 1, 4, 9, 16, el 25…

son números cuadrados, eL 1, 5, 12, 22, 35, ... son números pentagonales.



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Números Amigos

Cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios del otro, por

ejemplo 12 y 16, 220 y 284.

La Armonía Musical

Pitágoras descubrió que exisitía una estrecha relación entre la armonía musicaly la armonía de los números. Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una

nota, cuando la longitud se la cuerda se reduce a la mitad es decir en relacion

1:2 obtenemos 1/8. Si la longitud era 3:4 obtenemos la cuarta y si es 2:3

tenemos las quinta.

Teorema de Pitágoras:



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Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°) y pones un cuadrado sobre cada uno

de sus lados, entonces el cuadrado más grande tiene exactamente la misma

área que los otros dos cuadrados juntos.

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de

90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa

y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

De esta fórmula se obtienen las siguientes:

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus

lados homólogos son proporcionales.



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Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la

hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de

los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales:

todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por

ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia

dichos triángulos son semejantes.

• De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

• De la semejanza entre ABC y BHC:



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Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado

de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para

demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación

entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:



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Siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la

relación entre sus superficies:

Obtenemos después de simplificar que:

Pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al

cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH

tenemos que:



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Que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(1)

Y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

Pero según (1) , así que:

Y por lo tanto:

Quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas

equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda

demostrado.



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Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas

equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda

demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica

del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c,

y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se

construyen dos cuadrados diferentes:

• Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos,

más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.

• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro

triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el

área del cuadrado gris ( ) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul

( ), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Congruencia

En geometría, dos conjuntos de puntos son congruentes (o también, están

relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una

transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones.

Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño,

aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las



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figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. En la geometría

euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad en

números. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos

figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas

son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura,

la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los

puntos correspondientes en la segunda figura.

Una definición mas formal: dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo Rn

son llamados congruentes si existe una isometría f : Rn → Rn (un elemento del

grupo euclideo E(n)) con f(A) = B. Congruencia es una relación de

equivalencia. Se denomina ángulos congruentes a aquellos ángulos que tienen

la misma medida.

Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes.

Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice

congruentes.

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos

presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma

longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Los ángulos α y β son

congruentes y opuestos

por el vértice

Los ángulos opuestos de

un paralelogramo son

congruentes. En esta

imagen podemos ver

que están marcados por

el mismo color



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Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser

escrita matemáticamente así:

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes

correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la

congruencia de dos triángulos.

Criterios de congruencia de triángulosLas condiciones mínimas que deben

cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de

congruencia, los cuales son:

Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente

congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con

dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los

triángulos son congruentes.

Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente

congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos soncongruentes.

Criterio AAL: Si dos ángulos y el lado que no esta entre ellos son

respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son

congruentes.

Semejanza

Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitudentre ambos.



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Una semejanza, es la composición de una materia (una rotación y una posible

reflexión o simetría axial). En la rotación se puede cambiar el tamaño y la

orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el

caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero

cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del

cociente base / altura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus

ángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para

denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF,

donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se

corresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la

longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen /

longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los

triángulos semejantes:

Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientesson congruentes.

Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

Corolarios



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• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son

iguales.

Una semejanza es la composición de una isometría (una rotación y una posiblereflexión o simetría axial) con una homotecia. En la semejanza se puede

cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por

lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del

triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un

rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma

puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base /

altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes sisus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes

son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son

semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia

entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las

longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen /

longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los

triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los

lados correspondientes son congruentes Propiedad reflexiva, refleja o idéntica

Todo triángulo es semejante a sí mismo. Propiedad idéntica o simétrica Si un

triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero. Propiedad

transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un

tercero, el primero es semejante al tercero. Estas tres propiedades implican

que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de

equivalencia.

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice

opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un

triángulo semejante al dado.

H)

ABC; r || AC



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r corta AB en L

r corta BC en M

T)

D)

Podrán presentarse 3 casos:

Primer caso

r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.

Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos

(1):

por carácter reflejo

por ser correspondientes entre r || BC, secante AB

por ser correspondientes entre r || BC, secante AC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto

N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:



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Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN,

reemplazando en se obtiene:

De y se obtiene la consideración que llamaremos (2):

Luego de (1) y (2), resulta:

por definición de semejanza.

Segundo caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las

semirrectas de origen B que los contienen.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y

por el caso I de la demostración, es:

por carácter simétrico

Tercer caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a lassemirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y

por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la

recta de BC por O.

Quedan entonces por el caso I, semejanza que llamaremos .

Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:



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• BN=BM por construcción

• α=α' por ser opuestos por el vértice.

• β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante MN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer corolario de la definición.

De y , y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM BLM ~ BAC

La posibilidad de aumentar el tamaño de una figura sin modificar su forma es

tan obvia y natural que durante milenios se pensó que era una consecuencia

de los axiomas de la geometría, y se trató en vano de demostrarlo desde laGrecia antigua. Sin embargo, al estudiar otras geometrías, las no euclidianas,

los matemáticos del siglo XIX, entre ellos Bernhard Riemann y Nikolái

Lobachevski se dieron cuenta que esto sólo sucedía en los espacios euclídeos,

es decir, sin curvatura.

Se puede definir una geometría sobre la esfera, por

ejemplo: Los segmentos son los caminos más cortos que unen sus extremos y

las rectas son las líneas geodésicas, a semejanza de los ecuadores de la

esfera. El análogo de una homotecia se construye así: se escoge un punto O

de la superficie como centro de la homotecia, y para definir la imagen de otro

punto A se traza la geodésica que pasa por O y A (que es única si A no es el

punto diametralmente opuesto a O ), consideramos que O es el origen de esta

línea y A el punto de abscisa 1. La imagen A' será el punto de abscisa k , donde

k es la razón de la homotecia. En la figura se ha tomado k = 3 y se han

construido las imágenes de B y C también.

Se observa que la imagen del "triángulo" ABC es el "triángulo A'B'C', es decir

que los catetos A'B', A'C' y B'C' son segmentos de líneas geodésicas, y que

A'B'C' merece ser llamado triángulo semejante (por no decir homotético) al

triángulo ABC .



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Al aplicar la construcción precedente al pequeño triángulo ABC de la superfice

de la esfera (pequeño en comparación con el diámetro), la suma de sus

ángulos será ligéramente superior a π radianes (180º), pero el triángulo A'B'C'

tendrá ángulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que π

radianes, como se ve en la figura. El aumento de tamaño implica aquí

claramente un cambio de forma.

En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en que clase de

espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la

esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble

caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos y cocientes de los

lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.

Triángulos semejantes en la geometría de Riemann.

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