Trabajo Edo

8/16/2019 Trabajo Edo

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Series de potencias

1

SERIES DEPOTENCIAS

ENTERAS

Convergencia o divergencia

Radio de convergencia

Convergencia en losextremos del círculo deconvergencia Derivabilidad e

integrabilidad

Sumas de series denúmeros


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INTRODCCI!N

"emos visto anteriormente los criterios de convergencia #ara series de números reales #ositivos oalternados$ tili%ando toda esta ri&ue%a analítica vamos a ocu#arnos de investigar elcom#ortamiento de una serie de 'unciones( en #articular( de #otencias( cu)a convergencia va ade#ender del valor de la variable x$ Es así como #odremos introducir el conce#to de radio deconvergencia R$ Dentro del intervalo *+R( R, la serie ser- convergente( 'uera( divergente( ) en los#untos de 'rontera( es decir( en x.+R e ).R( deberemos estudiar las series num/ricas asociadas aestos dos #untos #ara determinar la convergencia o divergencia de la serie de #otencias en ellos$

Este 0at1bloc2 tambi/n tiene una #arte a#licada$ En ella illustramos la utilidad de las series de#otencias #ara el c-lculo de la suma de series num/ricas$ Derivando o integrando una serie de#otencias( cu)a suma analítica cono%camos( #odemos llegar a una ex#resi3n &ue( #orsubstituci3n de la variable( corres#onda a la serie num/rica cu)a suma buscamos$ De esta 'orma#odemos conseguir determinar la suma num/rica indirectamente$ Estas o#eraciones de

derivaci3n e integraci3n s3lo son #osibles dentro del radio de convergencia de las serie de#otencias$ A&uí radica la im#ortancia de determinar con exactitud el radio de convergencia$

CONOCI0IENTOS PRE4IOS

Previamente a la lectura de este 0at1bloc2 es recomendable el 1aber reali%ado un estudio detalladode los siguientes temas5

6 Sucesiones ) series de números reales$6 Derivaci3n e integraci3n$

Asimismo tambi/n es mu) aconse7able &ue se tenga un conocimiento mínimo del #rograma 0at1cad$

Por lo tanto( recomendamos &ue traba7/is los 0at1bloc2s5 8so b-sico del 0at1cad en An-lisis *I,5c-lculo simb3lico ) analítico9( 8:unciones de una variable9( 8Derivaci3n9( 8Integraci3n9( 8Sucesiones9 )8Series de números reales9 antes de em#e%ar con /ste$


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CONCEPTOS :NDA0ENTA;ES

6 ;as series de #otencias

na serie del ti#o5ax > a x ? @ x n @

ordenada #or #otencias enteras crecientes de la variable x ) con coe'icientesconstantes( inde#endientes de x ( recibe el nombre de serie de #otencias$

A menudo consideramos la serie de #otencias en una 'orma m-s general5

a< ( a= ( a> (@( an(@$

a< a= x a x a > a x a ? @ x a n @

donde a es otra constante$ De 1ec1o( #or el 0at1boc1 de 8A#licaciones de las derivadas9 sabemos&ue este ti#o de series reciben el nombre de series de 0ac;aurin ) de Ta)lor( res#ectivamente$ naserie de Ta)lor #uede ser reducida a una de 0ac;aurin mediante el siguiente cambio de variable5

x a B x

En lo &ue concierne a la convergencia de series( trataremos s3lo las series de 0ac;aurin #uesto &uelas de Ta)lor se reducen a las #rimeras mediante un sim#le cambio de variable$

6 Convergencia de una serie de #otencias

Investiguemos la convergencia de una serie de #otencias de 0ac;aurin cual&uiera$ Asignando unvalor num/rico #articular a la variable x ( se obtiene una serie &ue convergir- o divergir-de#endiendo del valor de la x $

4amos a demostrar &ue #ara cual&uier serie de #otencias existe un número 'inito o in'inito r llamado

radio de convergencia de la serie tal &ue si r B < ( entonces #ara x B r la serie converge ) #ara

x B r ( la serie diverge$ Para x B r ( es decir( #ara x B r ) x B r ( la serie converge o diverge$ El

intervalo abierto r(

r

recibe el nombre de intervalo o círculo de convergencia de la serie de

#otencias considerada$ Si r B ( el intervalo de convergencia es toda la recta real$ Por el contrario(si r B < ( la serie de #otencias converge s3lo en el #unto x B


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a< a= x a>

x > x ? @ a x n @


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Como mostramos en el 0at1bloc2 de 8Series de números reales9( si la serie &ue acabamos de escribirconverge( entonces la serie original ser- absolutamente convergente$ ;lamemos al *nG=,+/simot/rmino de la serie sn $ Hste ) el siguiente son iguales( res#ectivamente( a5

sn B an x sn = B x n =

:ormemos( a1ora( la ra%3n entre ambos con el 'in de a#licar el criterio de dAlembert5

sn = B xsn

Su#ongamos &ue el límite cuando n de esta ra%3n existe ) vale l $ Es decir &ue5

limn

an =B l

an

;uego( tenemos &ue5

limn

snsn

B l x

Obviamente( si x B=

( entonces l x B = ) la serie convergir-$ En consecuencia( la serie original *sinl

los valores absolutos( tambi/n ser- convergente ) adem-s ser- absolutamente convergente$ Por el

contrario( si

divergir-n$

x B=

( entoncesl

l x B = ) tanto la serie de valores absolutos como la original(

Por tanto( r B=

J < es el radio de convergencia de una serie de #otencias ) tenemos &ue5l

ar B lim

nn a n =

Kueda una #regunta sin resolver en el caso &ue r B < 5 LKu/ sucede en los #untos de 'rontera dellintervalo de convergenciaM Es decir( L&u/ sucede cuando x B r o x B r M Para anali%ar laconvergencia o divergencia en estos #untos( anali%aremos las dos series de números realesse#aradamente$

Ilustremos este #articular con un e7em#lo sencillo$ Tomemos la siguiente serie de #otencias5

x x >

= >

n

an+1

an


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x ? x n ? @

n @


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A&uí los coe'icientes n+/simo ) *nG=,+/simo son5

a B=

)nn

an = =

n =

;uego #odemos determinar el radio de convergencia calculando el siguiente límite5

=n B Br B lim n B lim

=B limB=

=B B =

n =

n =

n

n

nB n B

Así #ues( la serie en cuesti3n( converge #ara valores de la variable x en el intervalo =(= $ 4eamos

a1ora &u/ sucede en los #untos extremos( es decir( en x B = ) en x B =$

En x B =( obtenemos la serie arm3nica5

= = == @ @

> ? n

&ue sabemos( #or el 0at1bloc2 8Series de números reales9 &ue diverge$ Por el contrario( cuandox B =( la serie &ue obtenemos es alternada ) converge5

= = = n = @ > ? n

@

En virtud del criterio de convergencia de ;eibni% #ara series alternadas( sabemos &ue esta serieconverge$ asta con darse cuenta &ue el límite del valor absoluto del t/rmino general tiende a cero5

lim=

B


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en un intervalo abierto a r( a r ( se #uede demostrar &ue dic1a 'unci3n es continua en eseintervalo( ) su integral en cual&uier subintervalo cerrado #uede calcularse integrando la serie t/rminoa t/rmino$ En #articular #ara todo x de a r( a r ( tenemos5

x x a ' *t,dt B Q a 7 t a 7 dt B Q 7 x a 7 =a 7 B < a

7B

7 =

Se #uede demostrar &ue el radio de convergencia de las serie integrada es igual al de la serieoriginal$

Recí#rocamente( se demuestra &ue #ara toda 'unci3n

' * x, B Q a x a 7 de intevalo de

convergencia a r( a r ( entonces tenemos &ue5

=$ la 'unci3n derivada de dic1a serie existe ) es igual a5

7 B <

d' * x,B

dx

' * x, B Q 7a 7

7 B = x a

7 =

>$ su radio de convergencia( r ( es id/ntico al de la serie ' * x, $

En el #unto anterior vimos como la serie de números reales alternada5

= = = n

= @ > ? n

@

converge$ 4amos a1ora a determinar su valor num/rico$ Em#ecemos considerando la siguiente seriede #otencias

= x x > x ? @ x n

Esta serie corres#onde a una serie 'ormada a #artir de la #rogresi3n geom/trica de ra%3n x ( &ue

converge #arax B =( siendo su suma igual a =

$ Así( dentro del intervalo de convergencia(= x

#odemos escribir5

=B = x x >

= x

x?

@ x n @

Esta igualdad #uede ser considerada como la ex#ansi3n de la 'unci3n=

= x

en serie de #otencias$

j


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4amos a1ora a reem#la%ar la variable x #or % con lo &ue la ex#resi3n se convierte en5


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=

= % B = % % > % ? @ =

n% n @

Si tomamos < % x B = la igualdad &ue acabamos de escribir #uede ser integrada res#ecto a %

entre < ) x ( siguiendo las ex#resiones dadas al #rinci#io de este #unto$ Con ello #odemos escribir5

x=

d% Bx

=⋅ d%

x

%d%

x

% > d%

x% ? d% @ =

n x

% n d% @ = %

Integrando( obtenemos5

ln = % x

B%

%

x% ?

x%

x

@ = n % n = x

@

< < < < < n =

) 'inalmente5

ln = x Bx

x

x

x

@ = n

x n = @

= > ? n =

Esta ex#resi3n es v-lida siem#re &ue x B ) tambi/n #ara x B = #uesto &ue 1emos demostrado

antes &ue la serie num/rica asociada( converge$ Así #ues5

ln > B = = =

@ =

n @

> ? n

U la serie &ue nos ocu#aba tiene #or suma5

= =

=

> ?

@ =

n

n

@ B ln*>,

CASOS PRVCTICOS CON SO:TWAREX

6 Determinaci3n del radio de convergencia de una serie de #otencias YP

Con el #ro#3sito de ilustrar las #osibilidades de 0at1cad a la 1ora de determinar el intervalo deconvergencia ) la suma de series de números reales( vamos a estudiar la siguiente serie de #otenciasde Ta)lor5

Q x ?

n B =

0 0 0 0 0 0

x 2

3 4 01 2

23 4

n∞


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n?n


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En #rimer lugar vamos a calcular el radio de convergencia r $ r = con

l liman= 5

l n an

l lim= n = ?n= = lim n =

n =

n?n? n n = ?

Por tanto( r ? ( ) la serie ser- convergente #ara valores de la variable x tales &ue

decir( valores entre < ) Z * ) \ dondedebería encontrarse el intervalo deconvergencia$ En lugar de calcular

g*x,

Y<Q

n =

=


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n =n

&ue es divergente #uesto &ue es la serie arm3nica con un 'actor multi#licativo

intervalo de convergencia de la serie es


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6 Determinaci3n de la suma de una serie númerica mediante derivaci3n eintegraci3n de series de #otencias

Para ilustrar las #osibilidades &ue existen #ara sumar una serie num/rica in'inita a #artir de una seriede #otencias( demostraremos &ue la ex#resi3n siguiente es cireta mediante la construcci3n de unaserie de #otencias adecuada5

>

= ⋅ >>

? ⋅

>

Y ⋅ \

>] ⋅=Z

>

^ ⋅ ?>

@ ln > =

> =

Para demostrar esta igualdad basta con desarrollar el t/rmino de la i%&uierda #ara obtener el de la

derec1a$ Em#ecemos sim#li'icando cada uno de los t/rminos de la ex#resi3n a la i%&uierda5

>

= ⋅ >

>

? ⋅

>

Y ⋅ \

>

] ⋅=Z

>

^ ⋅ ?>

@

B=

= ⋅ >

=

? ⋅ >

=

> Y ⋅

=

> ] ⋅ \

=

> ^ ⋅=Z

@ >

= = = = =

@=⋅ >= > ? ⋅ >? > Y ⋅ >Y > ] ⋅ >] > ^ ⋅ >^ >

Esta serie num/rica #uede considerarse como la serie de #otencias de x5

s* x, x

x

x

x

= ? Y ]x^

^

@

evaluada en x B = > $ Si derivamos esta serie num/rica( vamos a #oder e'ectuar la suma de sus

in'initos t/rminos$ Derivando( obtenemos la serie de #otencias5

ds* x,B = x> x xZ x\ @

dx

cu)a suma( dentro del radio de convergencia de valor =( R.=( es( al tratarse de una serie geom/tricade ra%3n x>5

ds* x,B = x> x xZ x\

@

dx

== x>

Como

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x B = > est- dentro del radio de convergencia alrededor de x.


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Proyecto e-Math

Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MEC!

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s* x, =

= xdx

B = >

B = x= > B

Bdx B= x B

=

ln = x

=

ln = x C> >

Determinamos el valor de la constante C sustitu)endo la variable x #or < en esta ex#resi3n )com#arando con el valor &ue toma s*x, antes de la derivaci3n( suma e integraci3n( es decir5

s*

tili%ando las #ro#iedades de los logaritmos( #odemos reescribirla como5

= = B = x Bs* x, B ln = x ln = x lnB B

> > B = x B

o como5 = B = x B B= B = x B

s* x, ln lnB B> = x > = x B B B B

4eri'i&uemos este resultado analítico con 0at1cad utili%ando la instrucci3n desim#li'icaci3n S)mbolic Evaluation$

A di'erencia del resultado &ue nosotros 1emos obtenido( 0at1cad nos #ro#orciona unaex#resi3n &ue tanto sirve #ara valores negativos como #ositivos$ Para recu#erar laex#resi3n &ue 1emos obtenido nosotros( utili%amos la instrucci3n Assume &ue #odemosintroducir mediante el menú al 'inal de 4ie_ ` Toolbars ` S)mbolic$

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3 5 7

3 5 7

19


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>⋅n=

B B =B B B

> >

x = x = B x

= B *= B csgn*x,⋅ x, B= B *= B

⋅> ⋅ n = >

⋅

lnBB= B

sim#li') ⋅ csgn*x, ⋅ lnBB = > *= B csgn*x, ⋅x,

assumeB x B < ⋅ lnB> *= B x,

n B =

> >

B B B

>

>

x = x

Kueda solamente sustituirserie num/rica de #artida5

x= > #ara conocer el valor de la suma de los in'initos t/rminos de la

>B

>B

>B

>B > @ B s

= B ln

== >

=⋅ > ? ⋅ Y ⋅ \ ] ⋅=Z ^ ⋅ ?> > = = >

Sim#li'icando( obtenemos la igualdad a #robar5

>

= ⋅ >>

? ⋅ B

>

Y ⋅ \

>] ⋅=Z

B>

^ ⋅ ?>

@ B ln > =

> =

=

4eri'i&uemos este resultadonum/rico con 0at1cad utili%ando

>

=

= B=

⋅ > >

>

la instrucci3n de sim#li'icaci3n Q ⋅

n > =

S)mbolic Evaluation n B *>n =,> =

= >

⋅ > >

CONC;SIONES

∑


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Toda serie de #otencias viene caracteri%ada #or su radio de convergencia$ Para valores de la variabledentro de dic1o radio de convergencia( la serie converge( es decir( la suma de sus in'initos t/rminosconverge a un valor 'inito$ Determinar el radio de convergencia es 'undamental #ara #oder mani#ularla serie de #otencias como una 'unci3n dentro de su dominio de existencia$ :uera del intervalo o círculode convergencia determinado a #artir del radio de convergencia( la 'unci3n diverge )( #or tanto( suutili%aci3n matem-tica es #uramente 'ormal( en #rinci#io$

Derivar e integrar una 'unci3n de'inida como la suma in'inita de #otencias de la variable s3lo #uedereali%arse en el interior del intervalo de convergencia$ Es allí donde somos ca#aces Fcomo 1emosvistoF de sumar dic1a serie o su derivadaintegral a 'in de #oder indirectamente determinar el valorde la suma de una serie de números reales$ En este cam#o de las matem-ticas( donde lacom#robaci3n de resultados no es '-cil( 0at1cad nos #ro#orciona una inestimable a)uda$


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I;IORA:A

= $ 0$ Ortega *=^^ 4$A$ @udr)asvtsev and $P$ Demidovic1 *=^\=,5 8A brie' course o' "ig1er 0at1ematics9( 0ir

Publis1ers( 0oscú( #$ ]+Y^$

? T$A$ A#ostol *=^\=,5 8Calculus5 C-lculo con 'unciones de una variable( con una introducci3n al

-lgebra lineal9( Revert/( arcelona( #$ Y>+Y>$

0$ R$ S#iegel *=^]


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EN;ACES

W= 1tt#5___$satd$u m a $ esa X valverdeaula+calculocal cu lo$1t m lExcelente aula virtual con a#untes mu) com#letos de series 'uncionales$

W> 1tt#5___$ugr$es'7#ere % E7ercXsucXs e rX'uncXscre e n$#d' Z> #-ginas de a#untes ) e7ercicios de sucesiones ) series de 'unciones$

W? 1tt#5___$ m onogra'ias $ c o m traba7os==traa#roxt raa#rox$s1t m lf ter m #osit 0onogra'ía sobre a#roximaciones #olinomiales( sucesiones ) series in'initas$

W 1tt#5 m at1$u#r m $ edu7osedia%ser i es d e#otencias$docResumen conciso de las #ro#iedades de las series de #otencias$ Inclu)e derivaci3n eintegraci3n$

WY 1tt#5___$uni%ar$esanal i sis X m a t ematicoanalisis=a#untesA#untes de series de #otencias$

WZ 1tt#5___$uni%ar$esanal i sis X m a te maticoanalisis=#roblemasProblemas ) e7ercicios de series de #otencias$

W] 1tt#5#lane tmat1$orgenc ) clo#ediaPo_erSeries$1tml P-gina _eb de Planet0at1$org dedicada a las series de #otencias *en ingl/s,$ Adem-s de la

de'inici3n inclu)e como e7em#los las series de Ta)lor ) las series geom/tricas$

W\ 1tt#5#lane tmat1$orgMo#.getob7'rom.ob7ects n a m e .:or m a l Po_erSeriesP-gina _eb de Planet0at1$org dedicada a las series 'ormales de #otencias *en ingl/s,$Adem-s de la de'inici3n se reali%a una construcci3n 'ormal( se relacionan las #ro#iedades )se estudia su com#ortamiento como 'unciones$

W^ 1tt#5___$mat1+atl a s$orgContiene un m3dulo sobre 8Sucesiones( series ) sumabilidad9 *en ingl/s,$
http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.htmlhttp://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.htmlhttp://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.htmlhttp://www.ugr.es/~fjperez/Ejerc_suc_ser_func_screen.pdfhttp://www.ugr.es/~fjperez/Ejerc_suc_ser_func_screen.pdfhttp://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#termposithttp://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#termposithttp://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#termposithttp://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#termposithttp://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#termposithttp://math.uprm.edu/~josediaz/seriesdepotencias.dochttp://math.uprm.edu/~josediaz/seriesdepotencias.dochttp://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/problemas/http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/problemas/http://planetmath.org/encyclopedia/PowerSeries.htmlhttp://planetmath.org/encyclopedia/PowerSeries.htmlhttp://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=FormalPowerSerieshttp://www.math-atlas.org/http://www.math-atlas.org/http://www.ugr.es/~fjperez/Ejerc_suc_ser_func_screen.pdfhttp://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#termposithttp://math.uprm.edu/~josediaz/seriesdepotencias.dochttp://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/problemas/http://planetmath.org/encyclopedia/PowerSeries.htmlhttp://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=FormalPowerSerieshttp://www.math-atlas.org/http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.html

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