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LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES EN LAINGENIERA

INDICE:-Generalidades. Pg (1-4)

-Etapas de resolucin del problema cientfico. Pg (5)

.Formulacin matemtica del problema cientfico.

.Solucin de las ecuaciones.

.Interpretacin cientfica de la solucin.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de orden superior. Pg (7-30)

1. Aplicaciones a la mecnica:1.1 Introduccin.1.2 Las leyes del movimiento de Newton.2. Aplicaciones a los circuitos elctricos:2.1 Introduccin.2.2 La ley de Kirchhoff.3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.5. El cable colgante.6. La deflexin de vigas.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales. Pg (31-50)

1. Movimiento vibratorio de sistemas mecnicos:1.1 El resorte vibrante (movimiento armnico simple).1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento amortiguado).1.3 El resorte con fuerzas externas.1.4 La resonancia mecnica.

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SU APLICACIN A LA INGENIERA

GENERALIDADES:

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas bsicas del clculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemticas, y ms importante fue, si cabe, la relacin que encontraron entre el clculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la fsica aplicada, dcese, la Ingeniera.El maestro de Newton, Isaac Barrow, conoca ya la existencia de la relacin entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el rea de una regin limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relacin.La derivada se utiliz, en principio, para el clculo de la tangente en un punto, y pronto se vi que tambin serva para el clculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variacin de una funcin.Desde los primeros pasos en el clculo diferencial, de todos es conocido que dada una

Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniera

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funcin y = f(x), su derivada

dy dx

f (x) , en forma de diferencial de una funcin de una

sola variable, es tambin una funcin que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Clculo Integral, que nos muestra la vinculacin entre la derivada de una funcin y la integral de dicha funcin ; si F(x) es la funcin integral quedebe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que a c b

tenemos que

xF (x) f (t)dtc

si a x b , existe entonces

F(x)

en cada punto x del

intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos quedando demostrado la relacin entre Integral y Derivada.

F(x)

f (x)

-La Derivada de la Integral de una funcin es la propia funcin:F(x) f (x)

-La Integral de la Derivada de una funcin es la propia funcin:

xf (x) f (x)dxa

Con lo antes mencionado, a lo que se une La Regla de Barrow (que no es ms que la aplicacin del teorema fundamental), es posible conseguir la funcin primitiva de la

funcin derivada

dy dx

f (x)

mediante la integracin de dicha funcin, que es lo que

necesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales, pero antes debemos definirlas.Hay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a partir de su coeficiente de variacin, o dicho de otra forma, queremos conocer cmo vara dicho elemento en funcin de una o varias variables.En definitiva, lo que se pretende es determinar una funcin desconocida mediante datos relacionados por una ecuacin que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la funcin desconocida.Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales y su estudio por parte de Newton, Leibniz y los Bernouilli para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales sencillas que se presentaron en geometra y mecnica, llevaron al conocimiento sobre la resolucin de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales; se conoce mediante la prctica que es difcil obtener teoras matemticas de gran generalidad para la resolucin de estas ecuaciones diferenciales, salvo para algunos tipos, como las ecuaciones lineales, muy extendidas para problemas de tipo cientfico.

Definimos:-Ecuacin diferencial (E.D.) a una ecuacin que relaciona una funcin (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas.Si la ecuacin contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria (E.D.O); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o ms variables independientes, se llama ecuacin en derivadas

parcialales (E.D.P.).Otro tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales de retraso (o retardo) que estn caracterizadas por la presencia de un desplazamiento en el argumento o variable (x-x0).

-Se llama orden de la ecuacin diferencial al orden de la derivada o derivada parcial ms alta que aparece en la ecuacin.Se dice que una ecuacin diferencial (de orden n) est expresada en forma implcita

cuando tiene la forma

F (x, y, y,...., y(n) ) 0 , siendo F una funcin

F : Rn2 R

siendo un subconjunto (generalmente abierto) de Rn+2Se dice que una ecuacin diferencial (de orden n) est expresada en forma explcita

cuando tenemos y(n)= f(x,y,y,.,y(n-1)) con

f : D Rn1 R

siendo la funcin definida

en el subconjunto D (generalmente abierto) de Rn+1 .

-Sedicequeunaecuacindiferencialeslinealsitienelaformad n yd n1 ydy

an (x) dxn

an1 (x) dxn1 ... a1 (x) dx a0 (x) y g(x)

y se llama lineal homognea si

adems g(x) = 0.

-Se dice que una funcin y = (x) definida en un intervalo I es solucin de una diferencial en el intervalo si, sustituida en dicha ecuacin, la reduce a una identidad.Una E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su solucin es expresable mediante integrales.En general, la solucin de la ecuacin diferencial de orden n depender de n parmetros. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparamtrica de soluciones de una E. D., una sencilla interpretacin geomtrica nos muestra que tambin la envolvente de la familia de curvas (si existe) es solucin de la E. D.

-Se define como problema de valor inicial y problemas de valor frontera a aquellos en que la ecuacin diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la funcin desconocida debe satisfacer.

Problema de valor inicial:Es un problema que busca determinar una solucin a una ecuacin diferencial sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Problemas de valor frontera:Es un problema que busca determinar una solucin a una ecuacin diferencial sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida, especificadas en dos o ms valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

-La funcin primitiva resultante, o funcin solucin de una ecuacin diferencial, puede tener por las condiciones iniciales o de frontera diversos valores, diferencindose una solucin de otra en el parmetro, definindose este conjunto de soluciones familia de soluciones de un parmetro (en el caso de existir slo un parmetro) o familia de soluciones de dos o ms parmetros (en el caso de existir ms de un parmetro)

ETAPAS DE RESOLUCIN DEL PROBLEMA CIENTFICO:

1) FORMULACIN MATEMTICA DEL PROBLEMA CIENTFICO:

Las leyes cientficas, que por supuesto estn basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificacin idealizada del problema fsico con el que nos encontramos, llamndose esta idealizacin Modelo Matemtico.Cada modelo es una aproximacin a la realidad del problema fsico, su aproximacin y uso del modelo slo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolucin.Si la intuicin o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por medio del modelo podremos determinar cuan til es ese modelo.

2) SOLUCIN DE LAS ECUACIONES:

Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incgnita o incgnitas involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solucin exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente para elaborar los clculos numricos se recurre al uso de la informtica. El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemtica que propician y propiciaron el avance de las susodichas matemticas.

3) INTERPRETACIN CIENTFICA DE LA SOLUCIN:

Con el uso de las soluciones conocidas, el matemtico o fsico puede ser capaz de interpretar lo que est sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer interpretaciones grficas y tablas para poder comparar la teora con lo obtenido de los experimentos. Puede, incluso, basar una investigacin posterior en las interpretaciones de experimentos previos. Por supuesto que, si encuentra que los experimentos u observaciones no estn de acuerdo con la teora, debe revisar el modelo matemtico y su formulacin matemtica hasta que se consiga un resultado cuyo margen de error lo marque la persona o personas encargadas de los experimentos. Cada una de estas etapas es importante en la solucin final de un problema aplicado.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR:

Tipos de aplicaciones:

1. Aplicaciones a la mecnica:1.1 Introduccin.1.2 Las leyes del movimiento de Newton.2. Aplicaciones a los circuitos elctricos:2.1 Introduccin.2.2 La ley de Kirchhoff.3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.5. El cable colgante.6. La deflexin de vigas.

1. Aplicaciones a la mecnica:

1.1 Introduccin:La fsica trata de la investigacin de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo fsico. Por universo fsico entendemos la totalidad de objetos a nuestro alrededor, no slo las cosas que observamos sino tambien las que no observamos, tales como los tomos y molculas. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecnica llamada dinmica formulada mediante las leyes del movimiento de Newton. Para los objetos que se mueven muy rpido, cerca de la velocidad de la luz, no podemos usar las leyes de Newton. En su lugar debemos usar una versin revisada de estas leyes, desarrolladas por Einstein y conocidas como mecnica relativista, o mecnica de la relatividad. Para objetos de dimensiones atmicas las leyes de Newton tampoco son vlidas. De hecho, para obtener descripciones precisas del movimiento de objetos de dimensiones atmicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes denominadas mecnica cuntica. La mecnica cuntica y la relativista son muy complicadas, no siendo objeto de estudio en este trabajo.

1.2 Las leyes del movimiento de Newton.

Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son:

1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una lnea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas acten sobre l.2. La tasa de variacin del momentum de un cuerpo en funcin del tiempo es proporcional a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo teniendo la misma direccin de la fuerza, (entendindose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por su velocidad v).3. A cada accin existe una reaccin igual y opuesta.

La segunda ley nos proporciona una relacin importante, conocindose como la ley de Newton.La tasa de cambio o variacin en el momentum en el tiempo es as d (mv) /dt.Si por F entendemos a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo, por la segunda ley tenemos:d (mv) F siendo el smbolo que indica proporcionalidad. Introduciendo la constantedtde proporcionalidad k, obtenemos:

d (mv) = kFdt

Si m es una constante, m dv kFdt

o ma = kF, dnde a = dv/dt es la aceleracin.

As vemos que

F mak

donde el valor de k depende de las unidades que deseemos usar.

Para el sistema CGS (o sistema Centmetro, Gramo, Segundo), k = 1 siendo la ley F = ma. En la simbologa del clculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al notar que la aceleracin a puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v (esto es, dv/dt), o como la segunda derivada de v de un desplazamiento s (esto es, d2s/dt2 ).

F m dvdt

d 2 smdt 2

Una vez conocido el problema fsico podemos aplicar estos conocimientos para obtener las formulaciones matemticas de varios problemas de la mecnica clsica que involucran los conceptos anteriores, y la solucin e interpretacin de tales problemas.

Ejemplo aclaratorio:

Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Vamos a establecer la ecuacin diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a solventarla.Diagrama de fuerzas:yPAt=0

xmgPit

TierraFormulacin matemtica:Sea A en la figura la posicin de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posicin de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de fsica que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleracin, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de direccin, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignacin de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo observamos que la variacin se realiza respecto del eje x.

La velocidad instantnea en P es v = dx/dt. La aceleracin instantnea en P es a = dv/dt o a = d2x/dt2. La fuerza que acta es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton tenemos:

m dv mgodt

dv g dt

Puesto que la masa cae desde el reposo, vemos que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabrasv(0) =0 .Nuestra formulacin matemtica es el problema de valor inicial v(t)dv(t )gv(0) =0dtAqu tenemos una ecuacin de primer orden y su condicin requerida. Otra manera de formular el problema es escribir:

2m d x mgo

d x g

2dt 2dt 2En tal caso tenemos una ecuacin de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en A).La formulacin matemtica es:

2d x g

x=0y

dx 0

en t = 0

dt 2dtCuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algn fenmeno o ley, siempre las acompaaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinacin de las constantes arbitrarias en la solucin general.

Solucin:

Empezando con

dv g dt

(separacin de variables) obtenemos por integracin v = gt + c1.

Puesto que v=0 cuandot = 0, c1 = 0, v = gt, esto es,

dx gt .dt

Otra integracin produce de la anterior ecuacin

1

x 1 gt 22 c2

. Puesto que x= 0 en t = 0,

c2 = 0. Por tanto

x gt 2 . Podramos haber llegado al mismo resultado al empezar con2

22m d x mgod x g .dt 2dt 2

2El signo ms indica que el objeto se est moviendo en la direccin positiva, esto es, hacia abajo. Se debera tener en cuenta que si hubiramos tomado la direccin positiva hacia

arriba la ecuacin diferencial hubiera sido m(dv/dt) = - mg, esto es,

dv g o

d x g

dtEsto conducira a resultados equivalentes a los obtenidos. Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma.

2. Aplicaciones a los circuitos elctricos:

dt 2

2.1 Introduccin.As como la mecnica tiene como base fundamental las leyes de Newton, la electricidad tambin tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos elctricos, conocida como la ley de Kirchhoff. Realmente, la teora de la electricidad est gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teora electromagntica como las ecuaciones de Maxwell. La ley de Kirchhoff es adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos elctricos. El circuito elctrico ms simple es un circuito en serie, en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual acta como una fuente de energa tal como una batera o generador, y una resistencia, la cual consume o usa energa, tal como una bombilla elctrica, tostador, u otro electrodomstico.En fsica elemental encontramos que la fem est relacionada con el flujo de corriente en el circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente instantnea I (en un circuito que contiene slo una fem E y una resistencia R) es directamente proporcional a la fem. Simblicamente: I E o I E de donde, E = IR donde R es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente, resistencia. La ecuacin anterior es conocida bajo el nombre de la ley de Ohm.

Circuitos ms complicados, pero para muchos casos ms prcticos, son circuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elementos importantes son inductores y condensadores. Un inductor se opone a cambios en corriente. Tiene un efecto de inercia en electricidad de la misma manera que una masa tiene un efecto de inercia en mecnica. Un condensador es un elemento que almacena energa.En fsica hablamos de una cada de voltaje a travs de un elemento.

En la prctica podemos determinar esta cada de voltaje, o como se llama comnmente, cada de potencial o diferencia de potencial, por medio de un instrumento llamado voltmetro.Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen:

1. La cada de voltaje a travs de una resistencia es proporcional a la corriente que pasa a travs de la resistencia.Si ER, es la cada de voltaje a travs de una resistencia e I es la corriente, entonces ER I o ER = IR donde R es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente resistencia.

2. La cada de voltaje a travs de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantnea de cambio de la corriente.

Si EL es la cada de voltaje a travs del inductor, entonces

E dIoLdt

dI EL L dt

donde L

es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductancia o simplemente inductancia.3. La cada de voltaje a travs de un condensador es proporcional a la carga elctrica instantnea en el condensador.Si Ec es la cada de voltaje a travs del condensador y Q la carga instantnea, entoncesQ

Ec Q

Ec donde hemos tomado 1/C como la constante de proporcionalidad,C

C se conoce como el coeficiente de capacitancia o simplemente capacitancia.

2.2 La ley de Kirchhoff.

El enunciado es uno de los de la ley de Kirchhoff:

La suma algebraica de todas las cadas de voltaje alrededor de un circuito elctrico es cero. [Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de las cadas de voltaje.]Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra:

Generador o batera

Resistencia

Inductor

Condensador

Interruptor

Como un ejemplo, considere un circuito elctrico consistente en una fuente de voltaje E (batera o generador), una resistencia R, y un inductor L, conectados en serie como se muestra en la figura:

-KEILR

Adoptamos la siguiente convencin: la corriente fluye del lado positivo (+ ) de la batera o generador a travs del circuito hacia el lado negativo (- ).

Puesto que, por la ley de Kirchhoff, la fem suministrada (E) es igual a la cada de voltaje atravs del inductor ( L dI ) ms la cada de voltaje a travs de la resistencia (RI), tenemosdtcomo la ecuacin diferencial requerida para el circuito:

L dI RI E dt

Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circuito elctrico consistente en una batera o generador de E en serie con una resistencia de R y un condensador de C.

-EICR

Aqu la cada de voltaje a travs de la resistencia es RI y la cada de voltaje a travs del

condensador es Q/C, de modo que por la ley de Kirchhoff

RI Q E C

tal como aparece

esto no es una ecuacin diferencial. Sin embargo al notar que la corriente es la variacin de

la carga con el tiempo, esto es, I = dQ/dt,

RI Q E

se convierte en

R dQ Q E , la

CdtCcual es una ecuacin diferencial para la carga instantnea. Acompaando a las ecuaciones diferenciales obtenidas estn las condiciones que se derivan, por supuesto, del problema especfico considerado.Ejemplo aclaratorio:

Un generador con una fem se conecta en serie con una resistencia y un inductor. Si el interruptor K se cierra en tiempo t = 0, establezca una ecuacin diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t.

Formulacin matemtica:

Llamando a Ila corriente o intensidad de corriente que fluye segn el primer circuito

descrito, tenemos, por la ley de Kirchhoff,

E RI L dIdt

Puesto que el interruptor se cierra en t = 0, debemos tener I= 0 en t = 0.

Solucin:

La ecuacin diferencial anterior

E RI L dIdt

es una ecuacin de primer orden lineal

Rt

exacta; buscando un factor integrante obtenemos

(t) e 2

. Multiplicado por este factor

RRR

RtR(2 )

laecuacin,da

Rt

ttt dIEe 2 RIe 2 Le 2,esdecirdt

td IeEe 2 dt

integrando

RtEe 2Ie 2 c10

Puesto que I= 0 en t =0 , podemos con estas condiciones obtener la constante c.

Otro mtodo. La ecuacin

E RI L dIdt

puede tambin resolverse por separacin de

variables. Los problemas de este tipo se resuelven todos de la misma forma.

3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.

Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, segn la figura, suponiendo que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor especfico, densidad, etc.

75C90C50CA

100C B

Considerando que los planos A y B se mantienen a 50 C y 100C, respectivamente, todo punto en la regin entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. As todos los puntos en el plano C entre A y B estarn a 75C,y en el plano E a 90C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no vara con el tiempo decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.Como otro ejemplo se considera un tubo de material uniforme, cuyo corte transversal aparece en la figura.

80C

40C60C

Se supone que la parte exterior se mantiene a 80C y la interna a 40C.

Habr una superficie (lnea punteada) en la cual cada punto estar a 60C. Sin embargo, sta no est en la mitad entre las superficies interna y externa.

Lneas paralelas a A y en un plano perpendicular a A (figura de la pared) se llaman lneas isotrmicas.

La curva punteada del tubo es una curva isotrmica.Los planos correspondientes de la pared y los cilindros se llaman superficies isotrmicas. En el caso general, las curvas isotrmicas no sern lneas o crculos, como en los ejemplos, pero pueden ser una familia de curvas como se muestra en la siguiente figura (curvas punteadas).

Las trayectorias ortogonales de la familia se llaman lneas de flujo.

Considere pequeas porciones de dos superficies isotrmicas contiguas separadas por una distancia n.

AnS2S1

Considerando que la temperatura correspondiente a la superficie S1 es T1 y la correspondiente a S2 es T2. Llamando a la diferencia de temperatura T1 - T2= T. Experimentalmente se encuentra que la cantidad de calor que fluye de S1a S2 por unidad de area y por unidad de tiempo es aproximadamente proporcional a T/n. La aproximacin llega a ser ms precisa a medida que n (y desde luego T) se hace ms pequeo. En el

caso lmite, a medida que n 0, T/ndT/dn lo cual se llama el gradiente de T (variacin de T en la direccin normal a la superficie o curva isotrmica). Si q es la cantidad de flujo de calor por unidad de rea y unidad de tiempo, tomamos como nuestra ley fsica:

qdTdn

q k dTdt

Si deseamos considerar a T como una cantidad vectorial (teniendo direccin y magnitud), el razonamiento es el siguiente. Considere como positiva la direccin de S1 a S2. Si dT/dn es positiva, entonces T aumenta y, por tanto, debemos tener T2 < T1. As, el calor realmente fluye de S1 a S2 (de mayor a menor temperatura); esto es, el flujo de calor est en la direccin negativa.De modo similar, si dT/dn es negativa, T disminuye, T2 > T1, y el flujo es de S2 a S1; esto es, el flujo de calor est en la direccin positiva.La direccin del flujo de calor puede tenerse en cuenta mediante un signo menos en

q k dTdt

esto es, cantidad de calor por unidad de tiempo que fluye a travs de un rea A,

est dada por q (cantidad vectorial) = kA dTdn

(proviene de la teora de campos).

La anterior constante de proporcionalidad k depende del material usado y se llamaconductividad trmica.

Ejemplo aclaratorio:

Un tubo largo de acero, de conductividad trmica k, tiene un radio interior ri y un radio exterior re. La superficie interna se mantiene a Ti y la superficie exterior se mantiene a Te.(a) Definir la temperatura como una funcin de la distancia r del eje comn de los cilindros concntricos.(b) Encuentre la temperatura en r.(c) Cunto calor se pierde por minuto en una parte del tubo de L de largo?

Formulacin matemtica:Es claro que las superficies isotrmicas son cilindros concntricos con los cilindros dados. El rea de tal superficie con radio riTf>Ti>Tc Formulacin matemtica:La diferencia de temperatura entre el agua y el cuarto es Te-Tc=T. La variacin en T es dT/dt. Tomando como base en la experiencia, uno espera que la temperatura cambie ms rpidamente cuando (T) es grande y ms lentamente cuando (T) es pequeo.Desarrollemos un experimento en el cual tomamos temperaturas en varios intervalos de tiempo, siendo T el cambio en temperatura y t el tiempo para producir este cambio. Tomando a t pequeo esperamos que T / t ser muy cercano a dT/dt.Si hacemos una grfica representando T / t y T, podramos producir un grfico similar al de esta figura.

Los puntos marcados estn determinados por el experimento. Puesto que el grfico es, aproximadamente, una lnea recta, asumimos que dT/dt es proporcional a T, esto es:

dT a(T )dt

donde a es una constante de proporcionalidad. Ahora dT/dt es negativo

cuando (T) es positivo, y as escribiremos a = -h donde h > 0. La ecuacin esdT h(T ) . Esta ecuacin se conoce en fsica como la ley de enfriamiento de Newton ydtes de importancia en muchos problemas de temperatura. Realmente, es slo una aproximacin a la situacin fsica. Las condiciones que acompaan esta ecuacin se obtienen de las condiciones iniciales dispuestas en el enunciado del ejemplo.Solucin:

Resolviendo la ecuacin por separacin de variables tenemos:

dTT

hdt

ln (T)= -ht + c1 T= ce

-ht

de la cual teniendo las condiciones

iniciales podemos calcular las constantes h y c, pudiendo dar contestacin al problema planteado.Ejemplo aclaratorio:

Por mtodos experimentales similares a los indicados en el problema anterior de temperatura obtenemos la siguiente ley:Ley de desintegracin radioactiva: La velocidad de desintegracin de una sustancia radioactiva es proporcional, en cualquier instante, a la cantidad de sustancia que est presente.Antes de formular matemticamente esta ley, consideremos el fenmeno de radioactividad con algn detalle. Cuando un elemento radioactivo como el radio o el uranio se desintegran, emiten partculas de una manera aleatoria. Cada una de estas partculas tiene una masa definida, la cual es pequea. Si empezamos con una masa de 1 g del material radioactivo y consideramos lo que sucede cuando se emiten las partculas, encontramos una situacin similar a la que muestra en la figura.

xPrdida departculas

1 u

t

Aqu, x es la cantidad de sustancia que queda despus de tiempo t, asumiendo que empezamos con 1u (unidad) en t = 0. Cada vez que hay una baja en el valor de x significa que se han emitido partculas; cuanto ms grande sea la baja, mayor ser el nmero de partculas emitidas. As, la cantidad de la sustancia radioactiva es, en realidad, una funcin discontinua en t. Entonces, qu se quiere decir con dx/dt?Para obviar esta dificultad matemtica, aproximamos la curva verdadera por una curva continua (punteada en la figura de arriba). As, no cometemos mucho error, y al mismo tiempo aseguramos tener un grfico para el cual dx/dt existir en todo el dominio. Aqu estamos construyendo una abstraccin matemtica de una situacin fsica. Las ideas presentadas aqu ocurren frecuentemente en fsica debido al tamao finito, aun de la partcula ms pequea, en otras palabras, debido a la teora atmica. Aun en los problemas de circuitos elctricos ocurre la abstraccin matemtica.Formulacin matemtica:

Sea A la cantidad de elemento radiactivo presente despus de t aos. Entonces dA/dt (la cual existe segn la abstraccin matemtica anterior) representa la tasa o velocidad de

desintegracin del compuesto. De acuerdo con la ley

dA A dt

dA A , donde es unadt

constante de proporcionalidad. Puesto que A > 0 y decreciente, entoncesdA/dt