UNIVERDIDAD FERMÍN TORO

VICE-RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

TRABAJO

INTEGRANTES:

JORGE MOGOLLON

CI: 21.459.583

SECCION:

SAIA “B”

Cabudare, 05 de Junio del 2015.

INTRODUCCIÓN

De acuerdo al estudio de la estadística entre sus objetivos implica

conocer de manera cuantitativa determinada parte de la realidad, por esto se

hace necesario construir un modelo particular del objeto de estudio; en este

sentido la probabilidad se caracteriza en la forma medible de diferentes

valores donde se asigna a cada posible resultado de un experimento

aleatoriodeterminada probabilidad.

Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con la distribución

de frecuencias; debido a que la distribuciones tratan sobre expectativas de

que algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y tomar

decisiones de incertidumbre una distribución; por ello la distribución de

frecuencias teórica es una distribución de probabilidades que describe la

forma en que se espera que varíen los resultados.

A continuación se presentará diferentes probabilidades entre ellas, la

continua, gamma, erlang, exponencial, weibull con el objetivo de conocer sus

uso, la grafica que representa y un ejemplo de cada una de ellas.

Distribución de Probabilidad Continua

Una distribución de probabilidad es continua, es decir, de variables

cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente

del proceso de medición.

Continuas se refierecuando los resultados posibles del experimento son

obtenidos de variables aleatorias puede asumir un número infinito de valores,

que son resultado de unamedición.

Por ejemplo, el valor de la temperatura media del aire en intervalos

dadosde tiempo. Por supuesto que las variables aleatorias continuas

dependen de la exactituddel instrumento de medición en este caso del

termómetro.

Usos:

La distribución continua de probabilidad más importante en todoel campo

de la estadística es la distribución normal, describe aproximadamente

muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la

investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos

meteorológicos, estudios de la lluvia y mediciones de partes fabricadas a

menudo se explican más adecuadamente con la distribución normal.

Además, los errores en las mediciones científicas se aproximan

extremadamente bien mediante una distribución normal.

Grafica: Distribución de probabilidad para una variable aleatoria continúa,

su gráfica, quese denomina curva normal, es la curva con forma de campana

El modelo probabilístico para la distribución de frecuencias de una variable

aleatoria continua implica la selección de una curva, generalmente regular o

aislada, a la que se llama distribución de probabilidad o función de densidad

de probabilidad de una variable aleatoria. Si la ecuación de esta distribución

de probabilidad continua es f(x), entonces la probabilidad de que x esté en el

intervalo a < x < b es el área bajo la curva de distribución para f(x) entre los

dos puntos a y b.

Una vez que conocemos la ecuación f(x) de una distribución de

probabilidad particular se pueden encontrar probabilidades específicas, por

ejemplo, la probabilidad de que x esté en el intervalo a < x <b, de dos

maneras. Podemos graficar la ecuación y utilizar métodos numéricos para

aproximar el área sobre el intervalo a < x < b. Este cálculo puede realizarse

utilizando métodos muy aproximados o una computadora para obtener

cualquier grado de precisión. O bien, si f(x) tiene una forma particular,

podemos usar el cálculo integral para encontrar P(a <x< b).

Afortunadamente, no hay que utilizar en la práctica, ninguno de estos

métodos, porque se han calculado y tabulado las áreas bajo la mayoría de

las distribuciones de probabilidades continuas más empleadas.

Distribución de Probabilidad Gamma

La distribución Gamma es una distribución de probabilidad continua. La

distribución Gamma modela la suma de múltiples variables independientes,

distribuidas exponencialmente. Se puede ver como un caso especial de

distribución exponencial; pero otras distribuciones, como la Chi – Cuadrado,

se basan en ella.  

Asimismo para un valor de alfa 1, la distribución Gamma equivale a la

distribución exponencial. Cuando el valor de alfa es un número entero, la

distribución Gamma se convierte en la distribución Erlang. Para un valor de

alfa entero y uno de beta equivalente a 2, la distribución Gamma se convierte

en distribución de chi-cuadrado con 2 grados de libertad de alfa.

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se

está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de

Poisson (número de ocurrencias de un evento, llegadas, en un intervalo de

tiempo) de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta

obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con

parámetros a= n´lambda(escala) y p=n (forma). Se denota

Gamma(a,p).

Ejemplo, en la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio

de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).

Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de

memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad,

mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica

“tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).

Campo de variación:

0 <x < ¥

Parámetros:

a: parámetro de escala, a > 0

p: parámetro de forma, p > 0

Usos: Estas distribuciones juegan un rol fundamental en los problemas de

confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y

tiempos de fallas de partes componentes y sistemas eléctricos,

frecuentemente son bien modelados mediante la distribución exponencial.La

velocidad del viento horaria y media diaria no se ajusta a una distribución

normal, se emplean distribuciones de extremos, para ajustar las

distribuciones de velocidades de viento.La precipitación diariano tiene una

distribución normal. Usualmente se emplea una distribución de extremos

Gamma, para ajustar las distribuciones delluvias diarias.

Tiene aplicaciones en tiempos de espera y teoría de la confiabilidad;

define una familia de la que otras distribuciones son casos especiales; la

densidad gamma se puede desarrollar con el proceso de poissont

La fórmula para la distribución Gamma es la siguiente:

Gráfica:

Ejemplo

El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una

distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la

probabilidad de que transcurra menos deuna hora hasta la llegada del

segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre

hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)

a : Escala 6,0000

p : Forma 2,0000

Punto X 1,0000

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826

Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174

Media 0,3333

Varianza 0,0556

Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el

segundo pacientees 0,98.

Se destaca que con valores iguales a cero no es posible el cálculo del

valor A pues ellogaritmo de cero es infinito. En el caso de que aparezcan

valores nulos hay que crear unafunción mixta compuesta de la probabilidad

del valor nulo y la probabilidad del valor nonulo: “q” y “p” = 1-q.

Ejemplo:

Con los datos de precipitación del mes de Julio se pide calcular los

percentiles 20, 40, 60 y 80 mediante el empleo de la ley de distribución

Gamma.

00009.46.00.010.5

44.88.710.02.812.33.9

3.22.58.237.116.74.8

2.868.671.29.772.913.8

0.05.64.037.92.6

Solución.

El número de datos de la serie es de 29. Podemos observar que en algunos

años durante el mesde Julio no hubo precipitación. Como con los valores

iguales a cero no es posible el cálculo delvalor A pues el logaritmo de cero es

infinito. Hay que crear una función mixta compuesta de laprobabilidad del

valor nulo “q” y la del valor no nulo “p = 1-q”.

Distribución de Probabilidad Exponencial

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución

geométrica discreta.

Esta ley de distribución describe procesos en los que interesa saber el

tiempo hasta queocurre determinado evento; en particular, se utiliza para

modelar tiempos de supervivencia.

Un ejemplo es el tiempo que tarda una partícula radiactiva en

desintegrarse. El conocimientode la ley que sigue este evento se utiliza, por

ejemplo, para la datación de fósiles o cualquiermateria orgánica mediante la

técnica del carbono.

Una característica importante de esta distribución es la propiedad

conocida como “falta dememoria”. Esto significa, por ejemplo, que la

probabilidad de que un individuo de edad tsobreviva x años más, hasta la

edad x+t, es la misma que tiene un recién nacido de sobrevivirhasta la edad

x. Dicho de manera más general, el tiempo transcurrido desde

cualquierinstante dado t0 hasta que ocurre el evento, no depende de lo que

haya ocurrido antes delinstante t0.

La distribución exponencial se puede caracterizar como la distribución del

tiempo entresucesos consecutivos generados por un proceso de Poisson;

por ejemplo, el tiempo quetranscurre entre dos heridas graves sufridas por

una persona. La media de la distribución dePoisson, lambda, que representa

la tasa de ocurrencia del evento por unidad de tiempo, es elparámetro de la

distribución exponencial, y su inversa es el valor medio de la distribución.

También se puede ver como un caso particular de la distribución

gamma(a,p), con a=lambda yp=1.

El uso

El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos

de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado

no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que

pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es

que no tienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo.

Supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala

quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas

siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si

hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la

distribución exponencial supone que los tiempos de servicio tienen una gran

variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su

cirugía era mucho más simple que la anterior.

Gráfica: Su gráfica es un modelo apropiado a vida útil de objetos.

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial

con parámetro

Ejercicio

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos

sigue una distribuciónexponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la

probabilidad de que a una persona a la que sele ha implantado este

marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si elmarcapasos

lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la

probabilidadde que haya que cambiarlo antes de 25 años?

La variable aleatoria “tiempo de vida del marcapasos” sigue una

distribución exponencial deparámetro lambda=1/16=0,0625

Resultados

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Exponencial (lambda)

Lambda : Tasa 0,0625

Punto X 20,0000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,7135

Cola Derecha Pr[X>=k] 0,2865

La probabilidad de que se le tenga que implantar otro marcapasos antes de

los 20 años sesitúa en un entorno a 0,71.

Teniendo en cuenta la propiedad de “falta de memoria” de la exponencial, la

probabilidadde tener que cambiar antes de 25 años un marcapasos que lleva

funcionando 5 es igual a laprobabilidad de cambio a los 20 años, es decir,

P(X<25/X>5) = P(X<20) = 0,71.

Distribución de Probabilidad Erlang

La distribución de Erlang es una distribución de probabilidad continua con

amplia aplicabilidad principalmente debido a su relación con las

distribuciones exponencial y gamma. La distribución de Erlang fue

desarrollado por AK Erlang para examinar el número de llamadas telefónicas

que pudieran ser realizados al mismo tiempo para los operadores de las

estaciones de conmutación. Este trabajo de ingeniería de tráfico telefónico ha

sido ampliado para tener en cuenta los tiempos de espera en los sistemas de

formación de colas en general. La distribución se utiliza ahora en el campo

de los procesos estocásticos y de biomatemáticas.

La distribución es una distribución continua, que tiene un valor positivo

para todos los números reales mayores que cero, y viene dada por dos

parámetros: la forma, que es un entero positivo, y la tasa, que es un número

real positivo. La distribución se define a veces utilizando la inversa de la tasa

parámetro, la escala. Es la distribución de la suma de las variables

exponenciales independientes con media.

Cuando el parámetro de forma es igual a 1, la distribución se simplifica a

la distribución exponencial. La distribución Erlang es un caso especial de la

distribución Gamma, donde el parámetro de forma es un número entero. En

la distribución Gamma, este parámetro no se limita a los números enteros.

UsosSe utiliza en modelos de sistemas de servicio masivo, para describir

el tiempo de espera hasta el suceso, son aleatorias.

Gráfica

La distribución gamma, cuando a es un entero positivo se conoce con el

nombre de Erlang. Existe una asociación entre los modelos de probabilidad

de Poisson y de Erlang. Si el número de eventos aleatorios independientes

que ocurren en un lapso específico es una variable aleatoria de Poisson con

frecuencia constante de ocurrencia igual a 1/ q, entonces, para una a dada,

el tiempo de espera hasta que ocurre el a-ésimo evento de Poisson sigue

una distribución de Erlang.

Cuando a=1, la distribución de Erlang se reduce a una distribución

exponencial negativa. Nótese que la variable aleatoria de una distribución

exponencial negativa puede pensarse como el lapso que transcurre hasta el

primer evento de Poisson. De acuerdo con esto, la variable aleatoria de

Erlang es la suma de variables aleatorias independientes distribuidas

exponencialmente.

Otro caso especial del modelo de probabilidad gamma es la distribución

chi-cuadrado.

Si se hace a= u /2 y  q=2 , se obtiene:

Donde u recibe el nombre de grados de libertad.

La media y varianza de la distribución chi-cuadrado se obtienen de los de la

gamma.

E[X]= u  y  Var[X]=2. u  

Weibull

La distribución Weibulles una distribución de probabilidadcontinua; queda

totalmente definida mediante dos parámetros, forma (a) y escala (b). En el

caso particular de que a=1, se tiene la distribución exponencial, y si a = 2 y b

= recibe el nombre de

2 σdistribución de Rayleigh.

Usos:

Esta distribución se utiliza para modelar situaciones del tipo tiempo fallo,

modelar tiempos de vida o en el análisis de supervivencia, aparte de otros

usos como, por ejemplo, caracterizar el comportamiento climático de la lluvia

en un año determinado.Se ha usado para modelar situaciones del tipo

tiempo- falla, ó bien puede indicar la vida útil de cierto artículo, planta o

animal, confiabilidad de un componente.

Gráficas Obsérvense a continuación las gráficas de algunas de las formas

que adquiere la distribución.

Ejercicio

Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de

vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de

este modelo viene dada por:

Que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es

un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona

una gran flexibilidad a este modelo).La función de distribución se obtiene por

la integración de la función de densidad y vale:

CONCLUSION

Una vez desarrollado el tema sobre probabilidades se puede llegar a las

siguientes conclusiones:

A través de esas construcciones teóricas, se podrá experimentar sobre

aquello que la realidad no permitía;se usa extensamente en áreas como la

estadística, la física, la matemática, la ciencia para lograr conclusiones sobre

la probabilidad de sucesos potenciales en sistemas complejos.

Debido a la necesidad de modelar lo observable laprobabilidad constituye

un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades

obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango

estadístico; un modeloresulta extremadamente útil, siempre que se

corresponda con la realidad que pretende representar o predecir; por ello es

necesario conocer cada distribución de la probabilidad en el casos

especifico, sus usos y formas de aplicarlas.

Asimismo la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un

resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento

aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones

suficientemente estables; en este sentido se recurre a diferentes

distribuciones de probabilidad como weibull, erlang, exponencial, gamma,

continua según el caso y uso.

BIBLIOGRÁFIA

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