Ecuaciones Diferenciales en la Ingeniera Civil

Ao de la Inversin para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria

INGENIERIA CIVIL

ALUMNOS:Baca Saba, Rosa MiriamCalle Marchena, KeivinCabrera Luzardo, Joel

CURSO:Matemtica III

TEMA:Aplicaciones de las E.D en la Ingeniera Civil

PROFESOR:Lic. Burgos Namuche, Graciela

2013

INTRODUCCINLas ecuaciones diferenciales aportan modelos matemticos a las ciencias aplicadas, y a la propia ingeniera. Muy a menudo se les ve resolviendo situaciones, que si no hubiese existido el clculo de ecuaciones diferenciales, entonces quedaran sin base fundamental, y con ello sin comprobacin, las soluciones que les dan las ecuaciones a la mecnica, a la aviacin, a la nutica, a estudio del conocimiento humano, y el desarrollo econmico de cualquier nacin.Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias fsicas, biolgicas y sociales. A partir de la formulacin matemtica de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados. Dentro de los diversos campos de accin de la ingeniera civil, una de las mltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales est relacionada con el estudio de las flexiones.

Problemtica

PROBLEMTICA

Con los avances tecnolgicos que se han ido presentando a lo largo del tiempo, la construccin ha adquirido un papel muy importante en todos los mbitos sociales, culturales, etc.Debido a estos avances que se han producido, tambin han surgido mejoras en cuanto a construccin y sus elementos, por este motivo se han creado muchas opciones que podramos utilizar para evitar de manera anticipada, una construccin de poca calidad y asegurar un tiempo de vida ms largo. Por lo tanto les presentaremos un problema que ataca a todo construccin ya sea de pequea, mediana o gran magnitud la obra que vayamos a realizar siempre se presentaran inconvenientes a los que debemos hacerles frente con teoras que sustenten las hiptesis que realizaremos para darle solucin al problemaLa flexin en las vigas, todos sabemos que un elemento estructural en una obra siempre va a ser sometidos a esfuerzos de todo tipo, sin embargo hay esfuerzos que pueden ser soportados por estas y otros a los que les cuesta ms trabajos; lo que quiere evitarse aqu es el colapso de dichas estructuras es por eso que nosotros como ingenieros buscaremos la manera adecuada, usando la ciencia, de disminuir la flexionen las vigas para asegurar la mejor calidad en cuanto a la obra.

OBJETIVOS

Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver diferentes problemas que se presenten en el amplio campo de la Ingeniera Civil

Recurrir al denominado mtodo de equilibrio o mtodo de los desplazamientos, que consiste en expresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en funcin de los desplazamientos.

Sistematizar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas.

Estudiar el comportamiento de vigas frente a cargas axiales, problemas de flexin, momento flector y finalmente el de torsin.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERA CIVIL

I. GENERALIDADES:

A) VIGA Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para disearlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes x , y que se ejercen a lo largo de su longitud.El esfuerzo de flexin provocatensionesdetraccinycompresin, producindose las mximas en el cordn inferior y en el cordn superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando elmomento flectory elsegundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzoscortantes. Tambin pueden producirse tensiones portorsin, sobre todo en las vigas que forman el permetro exterior de unforjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo deprisma mecnico.

B) LA FLEXINEningenierase denominaflexinal tipo de deformacin que presenta un elemento estructural alargado en una direccin perpendicular a sueje longitudinal. El trmino "alargado" se aplica cuando una dimensin es dominante frente a las otras.

Un caso tpico son lasvigas, las que estn diseadas para trabajar, principalmente, por flexin. Igualmente, el concepto de flexin se extiende a elementos estructurales superficiales comoplacas o lminas.El rasgo ms destacado es que un objeto sometido a flexin presenta una superficie de puntos llamadafibra neutratal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no vara con respecto al valor antes de la deformacin. El esfuerzoque provoca la flexin se denominamomento flector.

II. DEFLEXIN EN VIGAS Cuando es importante estudiar las deflexiones: En estructuras metlicas. Sistemas de tuberas. Ejes/ arboles para maquinas. En el estudio de una viga, ella podr flectar de acuerdo a ciertos factores tales como: Distancia entre apoyos. Materiales de la viga. La carga aplicada. Propiedades geomtricas de las vigas. Tipos de vinculacin (apoyos).

La figura muestra una viga con perpendiculares al eje y ubicada en el plano de simetra de la seccin. En elemento de la viga mostrado en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto en una seccin transversal entre apoyos se desplaza prcticamente paralelo a las cargas. Estos desplazamientos se denomina las deflexiones o flechas del momento. Al estar las cargas ubicadas en el Eje Principal de Inercia, hace que las secciones transversales se desplacen verticalmente.

Antes de aplicar las cargas, la superficie neutra se encuentra ubicada en un plano horizontal; luego de aplicadas las cargas la superficie neutra se transforma en una curva.

Como las deformaciones verticales, en la seccin transversal son sensiblemente menores que las deformaciones longitudinales, todos los puntos de la seccin transversal tienen prcticamente el mismo desplazamiento vertical.

Por lo tanto, el desplazamiento de la Superficie Neutra permite representar el desplazamiento de todo el elemento. El desplazamiento , por lo que no existe movimiento horizontal dentro de una seccin transversal. Podemos elegir una curva dentro de la superficie neutra que represente la deformacin de la viga. Matemticamente, la Lnea Elstica se representa por su ecuacin en el Plano Principal.

Para obtener las ecuaciones, definimos ciertas hiptesis : Viga perfectamente recta. Material homogneo. Comportamiento elstico (ley de Hooke)Tenemos:

Esfuerzo: Es la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma, generalmente con base en la fuerza por unidad de rea

Deformacin: Describe el cambio de forma resultante. Si el esfuerzo y la deformacin son pequeas, es comn que sean directamente proporcionales y llamamos a la constante de proporcionalidad modulo de elasticidad.

A) DE LA GEOMETRA DE LA FIGURA TENEMOS:

Si designa la fuerza infinitesimal, responsable de la fraccin o compresin del tramo de barra, y por la ley de Hooke tenemos:

E = Es modulo de Elasticidad. = Es la deformacin de una fibra de rea del corte transversal = rea transversal del elemento paralelo a la zona neutra. = Distancia desde la zona neutra hasta el elemento infinitesimal de la barra. = Radio de cobertura hasta la zona neutra. = Longitud natural del elemento de barra, del arco a lo largo de la zona neutra. El momento de esta fuerza infinitesimal relativa a la lnea neutra ser:

Por lo tanto el momento flector de la barra ser:

Donde se ha definido el momento de inercia de la seccin transversal como:

De donde se deduce:

En esta parte E representa el mdulo de rigidez o mdulo de Young del materia.El producto E * I se conoce como el coeficiente de rigidez a la flexin de la barra.

Ahora por clculo elemental, la curvatura de una curva plana es un punto de esta:

Como la curvatura de la viga es muy ligera la pendiente de la primera derivada es pequea por lo tanto:

Por ende la ecuacin diferencial de la Curva Elstica es:

B) RELACION ENTRE CARGAS Y ESFUERZOSSi se escoge arbitrariamente un trozo diferencial de viga, se puede obtener:

De lo que se deduce que es siempre un grado mayor que la carga transversal . Adems, si , entonces .

De lo que se deduce que es siempre un grado mayor que el esfuerzo de corte.En detalle: Cuando el corte es por la derecha :

Cuando el corte es por la izquierda:

Si se deriva la ecuacin diferencial de la Curva Elstica se tiene:

Al integrar sucesivamente estas ecuaciones, van apareciendo constantes que deben calcular con las condiciones de borde del problema. Resultando al final lo siguiente:

C) EJEMPLO VIGA SIMPLEPara la viga indicada en la figura, se pide determinar la ecuacin de la lnea elstica, la flecha mxima y el giro en los apoyos.

Solucin:

a) Condiciones de Borde:

1.- Desplazamiento vertical en el Apoyo A vale cero 2.- Momento flector en el Apoyo A vale cero (rotula).3.- Desplazamiento vertical en el Apoyo B vale cero.4.- Momento flector en el Apoyo B vale cero (rotula)

De 1. De 2. De 3. De 4.

Ecuacin de la Lnea Elstica de una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.

b. Flecha Mxima Para encontrar el mximo desplazamiento de la viga debemos derivar la ecuacin de la Lnea Elstica e igualar a cero. Con lo anterior estaramos encontrando un mximo o un mnimo, es decir, la derivada representa a la tangente a la curva y al hacerla cero encontramos el punto donde la recta tangente es horizontal.

Flecha mxima al centro de la viga

c. Giro en los apoyos El Giro de la viga, con respecto a su plano horizontal, queda representado por la derivada de la ecuacin de la Lnea Elstica. Es decir:

Giro en el Apoyo A:

Giro en el Apoyo B:

D) EJEMPLO VIGA VOLADIZAPara la viga indicada en la figura, se pide determinar la ecuacin de la lnea elstica, mxima y el giro en los apoyos.

Solucin:

Tenemos 2 constantes de integracin, por lo que necesitamos 2 Condiciones de Borde para encontrar el valor de dichas constantes.a. Condiciones de Borde:1.- Desplazamiento vertical en el empotramiento A.2.- Giro en el empotramiento A.De 2. De 1.

Ecuacin de la Lnea Elstica de una viga empotrada y en voladizo con carga uniformemente repartida.

b. Flecha mxima

Flecha mxima en el Extremo Libre

c. Giro en los Apoyos:El Giro de la Viga, con respecto a su plano Horizontal, queda representado por la derivada de la ecuacin de la Lnea elstica, es decir:

Giro en el Apoyo A:

Giro en el Apoyo B:

Demostracin de la Ecuacin diferencial de la gravedadEn ese marco de posibilidades, vamos a conocer una ecuacin diferencial fundamental para quienes estudian las matemticas, y las aplican en la fsica. La Ecuacin Diferencial de la Gravedad, basada en los principios del Sir Isaac Newton.Partimos de la segunda Ley de Newton, que dice que:

FuerzaAceleracin del objeto

Masa

Ecuac. ILa aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Y la velocidad es la derivada de la posicin con respecto al tiempo, entonces podramos sustituir fielmente estos trminos en nuestra ecuacin. Y tendramos que:

VelocidadAceleracin

Tiempo

Ecuac. IIReemplazamos la Ecuac. II en Ecuac. I:

PosicinComo la velocidad es la primera derivada de la posicin h, con respecto al tiempo t, entonces la aceleracin sera la segunda derivada de la posicin con respecto del tiempo.

Entonces: Si sabemos que la fuerza F, es tambin mg (suponiendo que la fuerza acta sobre el cuerpo es solo la de la gravedad, por lo tanto de atraccin), podemos sustituirla en nuestra ecuacin de la siguiente forma:

Como m es igual en ambos lados de la ecuacin podemos suprimirla, sabiendo que ya no cumple ninguna funcin. Incluso podramos pasarla al lado derecho de la ecuacin, y tambin se eliminara, quedndonos:

ECUACION DIFERENCIAL DE LA GRAVEDAD

En algn momento alguien pensara en resolver esta ecuacin diferencial, y efectivamente podramos hacerlo integrando para eliminar, por el teorema fundamental del clculo, las derivadas de la posicin con el diferencial de tiempo.

As encontramos la posicin de cualquier objeto en un tiempo dado, en el espacio, donde solo acta la fuerza de la gravedad.

1

Para la condicin inicial h (0) =0, vamos a encontrar una solucin particular de la ecuacin diferencial que nos permita encontrar el valor incognito de la constante.

C2 = 0Sustituyendo este valor nos quedaria:

Con el segundo valor inicial h (0)=1, podemos encontrar la solucin particular, en la sustitucin de la constante. C1 = 0

Mecnica de FluidosSuponga que el agua sale de un depsito por un orificio circular de rea Ak en su fondo. Cuando el agua sale por el orificio, la friccin y la contraccin de la corriente cerca del orificio reducen el volumen de agua que sale del depsito por segundo a , donde es una constante emprica. Determine la ecuacin diferencial para la altura h del agua en el instante t para el depsito que se muestra a continuacin. El radio del orificio es de 2 pulg y g=32. Solucin: El volumen del agua en el tanque en el instante t es Con esa ecuacin podemos plantear una diferencial entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua en el recipiente:

Hemos conseguido una ecuacin diferencial en base a los parmetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta ecuacin.Usando: ; ; g = 32

Sustituyendo estos valores para las condiciones establecidas:

CircuitosUn circuito en serie contiene un resistor y un capacitor que se muestra en la figura de al lado. Determine una ecuacin diferencial para la carga q(t) en el capacitor, si la resistencia es R, la capacitancia C y el voltaje impreso es E(t).

Solucin: Sabemos que la capacitancia sobre un circuito en serie se calcula como el inverso de la suma de los inversos. Y la resistencia como una simple suma algebraica. As el resultado en voltaje de este circuito est determinado por la Segunda Ley de Kirchoffs.

Gravitacin Universal

Segn la ley de la gravitacin universal de Newton la aceleracin a de cada libre de un cuerpo, como el satlite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la superficie terrestre no es la constante g. Adems, la aceleracin a es inversamente proporcional la cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra, , donde k es la constante de proporcionalidad. Utilice el hecho de que en al superficie de la Tierra r=R y a=g, para determinar k. Si la direccin positiva es hacia arriba, utilice la segunda ley para deducir la ecuacin diferencial para la distancia r.MATEMATICASEcuaciones Diferenciales en la Ingeniera Civil

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Solucin:

Lo primero a conocer aqu, es a que es igual la fuerza gravitacional en m:

Sin embargo M de la tierra podemos escribirla como:

Sustituyendo y reduciendo en la ecuacin de la fuerza gravitacional:

La Ley de la Gravitacin Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partcula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

Segn la segunda ley de Newton tenemos que, la fuerza es el producto de la masa y la aceleracin, donde esta ultima tambin puede expresarse como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo:

Dinmica de cadaCuando un cuerpo, como el paracaidista que aparece en la figura, descendiendo antes de que se abra el paracadas se mueve con gran rapidez en el aire, la resistencia del mismo es ms cerca a una cierta potencia de la velocidad instantnea v(t). Determine una ecuacin diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m, que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantnea.

La segunda ley de Newton podra describir muy bien este principio.Ya dijimos que la fuerza podra llevarse a una diferencial simple:

Y aplicando la misma ley a la fuerza que provee la sustentacin tendramos:

En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a la condicin de la ecuacin, as debera fluctuar la cada para unos valores de v(t) de 0 a 140 m/s.

CONCLUSIONES Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con sus correspondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros de un elemento de viga aislado.

Las ecuaciones diferenciales son de importancia en ingeniera civil porque muchas de sus leyes fsicas y relaciones se establecen como una ecuacin diferencial.

Esta nota dar particular atencin a los mtodos de solucin de ecuaciones diferenciales y, particularmente, su interpretacin de modelado en el campo de la Ingeniera Civil.