Trabajo Colaborativo2 Melina

8/17/2019 Trabajo Colaborativo2 Melina

1/20

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

TRABAJO COLABORATIVO 2

ALGEBRA LINEAL

PRESENTADO POR:

Rosa Melina Muillo Co!unu"o

C#$i%o: &'(&)&*)&+

Tu,o

Juan Pa"lo Va%as

EL ESPINO

2'&-

DESARROLLO DE EJERCICIOS

1


2/20

&. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas lassoluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1.464

575

174

−=++−

=−−

=−−

z y x

z y x

z y x

[1−4−7∨15−7−1∨5−416∨−4 ] f 3 + 4 !" 3

[ 1−4−7∨1

5−7−1∨5

0−15−22∨0

] # + $% !" #

[ 1−4−7∨101334∨0

0−15−22∨0] !3 3 + !% #" 3

[1−4−7∨1

01334∨0

00224∨0 ] 3 & ##4" 3

[1−4−7∨101334∨000 1∨0 ] ! + ' 3" !

[ 1−4 0∨1

01334∨0

001∨0 ] !3 ! + 4 #" !

[1300∨13

01334∨0001∨0 ]

# + ($34) 3" #

[1300∨13

0130∨0

001∨0 ] ! & !3 " !2


3/20


4/20

*" !40 + 4%-

1" !0 + 3#-

x5 5 dependen de -, si - " t, t 6

*" !40 + 4%t1" !0 + 3#tes decir este sistema de ecuaciones tiene una ininidad de soluciones a7ue para cada 8alor de t, 9a/rá un 8alor para x, , -

1.3.

26

764

8575

11474

−=−−−

−=−++−

−=−−−

−=+−−

w z y x

w z y x

w z y x

w z y x

[1−4−74∨−115−7−1−5∨−8−416−1∨−76−1−1−1∨−2

] f2 + -5f1= f2

[

1−4−7 4∨−11

01334−25∨47

−416−1∨−76−1−1−1∨−2

] f3 + 4f1= f3

[ 1−4−74∨−1101334−25∨47

0−15−2215∨−516−1−1−1∨−2

] 4 + ($) !" 4

[

1−4−74∨−1101334−25∨47

0−15−2215∨−51

02341−25∨64

] # & !3 " #

[ 1−4−74∨−11

0134

13−

25

13∨

47

13

0−15−2215∨−5102341−25∨64

] ! + 4 #" !4


5/20

[

10 45

13−

48

13∨

45

13

0134

13−

25

13∨

47

13

0−15−2215∨−5102341−25∨64

] 3 + !% #" 3

[ 10

45

13−

48

13∨

45

13

01 34

13−

25

13∨

47

13

00224

13−

180

13∨

42

13

02341−25∨64] f 4 + $#3 # " 4

[ 10

45

13−

48

13∨

45

13

0134

13−25

13∨

47

13

00 224

13−

180

13∨

42

13

00−249

13

250

13∨−24913

] f 3 & 22413 " 3

[ 10

45

13−

48

13∨

45

13

0134

13−25

13∨

47

13

001−45

56∨0.1875

00−249

13

250

13∨−24913

] −4513 3 + !" !

5


6/20

[

100−51

56∨2.8125

0134

13−25

13∨

47

13

001

−

45

56∨0.1875

00−249

13

250

13∨−24913

]

−3413 3 + # " #

[

100−51

56∨2.8125

010 5

28∨3.125

001−45

56∨0.1875

00−24913

250

13∨−249

13

] −24913 3 + 4" 4

[

100−51

56∨2.8125

01 0 5

28∨3.125

001−45

56

∨0.1875

000 215

56∨15.5625

] 4 +

215

56 " 4

[

10 0−51

56∨2.8125

01 0 5

28∨3.125

001−45

56∨0.1875

0001∨−1743430

]

51

56 4 + ! " !

6


7/20

[

1000∨−189215

01 0 5

28∨3.125

001

−

45

56∨0.1875

0001∨−1743430

] −528 4 + #" #

[

1000∨−189215

0100∨331

86

001−45

56∨0.1875

0001∨−1743430

]

45

56 4 + 3 " 3

[

1 000∨−189215

0100∨331

86

0010∨−13243

0001∨−1743

430

]

esultado:

*" $189

215 "331

86 -"−132

43 ;"−1743430

1.4.

4164

275

34

−=+−

−=−

−=−

y x

y x

y x

7


8/20

[ 1−4∨−3

5−7∨−2

−416∨−4] # + ($%) ! " #

[ 1−4∨−3

013∨13

−416∨−4] 3 + 4 ! " 3

[1−4∨−3

013∨13

00∨−16 ]2e la tercera ila se tiene x +" $!, el sistema no tiene solución

2 esuel8a el siguiente sistema lineal, empleando para ello la actori-ación LU

26

764

8575

11474

−=−−−

−=−++−

−=−−−

−=+−−

w z y x

w z y x

w z y x

w z y x

(%)

Uniendo las ecuaciones (3) (4):$4x + + - $ ;" $' (3)

x$ $ - $;" $ # (4)

#x + %- $ #; " $0

#(x $ ;) + %- " $0

(x $ ;) " ($0 $ %-)?# ()

8


9/20

sustituendo los 8alores de () en (%):

3(x $ ; + ) $ - " $!>

3( ($0 $ %-)?# + ) $ - " $!>@ desarrollando

3( $0 $ %- + #)?# $ - " $!>

$#' $ !%- + $ #- " $3

$!'- + " $0 (')

=omando tam/ién las ecuaciones (#) (4):

%x $ ' $ - $ %;" $> (#) @ cam/iando el signo

x$ $ - $;" $ # (4)

$%x + ' + - +%; " >

x $ $ - $ ; " $#

x + + 4; " (>)

=omando nue8amente (3) (4), pero con signo cam/iado la primera:

4x $ $ - + ;" ' (3)

x$ $ - $;" $ # (4)

!x $ # $ '- " % (0)

=omando las ecuaciones (!) (#):x $ 4 $ '- + 4;" $!! (!)@ multiplicando por %

%x $ ' $ - $ %;" $> (#)@ multiplicando por 4

%x $ # $ 3%- + #; " $%%

#x $ #> $ 4- $ #; " $3#

#%x $ #> $ 30- " $>' (!)

Agrupando las ecuaciones ('), (0) (!)

$!'- + " $0 (')

!x $ # $ '- " % (0)

#%x $ #> $ 30- " $>' (!)

2esarrollando este sistema:

- " #!?!3

" '40?#

x " !43?%

9


10/20

). esuel8a el siguiente sistema lineal, empleando para ello la in8ersa (utilice

el método 7ue preiera para 9allar

1− A

)

764

9275

11743

=++−

−=−−

−=−−

z y x

z y x

z y x

[3−4−7

5−7−2

−416 ] x" [ x

y

z ] B" [−11

−9

7 ]

Matriz inversa= A. x= BX= A-1. B A-1= 1/ |A| . A! AA!A= Bt

"a##$ #a eter%inante &$r e# %'t$$ e sarr(s.

A=[3−4−75−7−2−416 ] [

3−4−7∨3−45−7−2∨5−7−416∨−4 1 ]

$!#$3#$3%$($!0 $ $!#)" !#0 CAC" !#0

Adunta de A

Dea B matri- de coactores de A

| A|=[3−4−7

5−7−2

−416 ] B=[b11b12b13b21b22b23

b31b32b33]

/!! " [−7−216 ] $4# –($#)" $4

/!#" [5−2−46] 3$(>)" ##

1)


11/20

/!3" [5−7−41] %$(#>)" $#3

/#!" [−4−716 ] $#4 –($')"$!'

/##" [3−4−41] !>$ (#>)" $!

/#3" [3−4−41] 3$ (!)"$!3

/3!" [−4−7−7−2 ] >$(40)"$4!

/3#" [3−75−2] $$($3%)" #0

/33" [3−45−7 ] $#!$($#)"$!

B=[b11b12b13b21b22b23

b31b32b33] " [−40−22−23

17−1013

−41−29−1 ] B transpuesta=[ −4017−41

−22−10−29

−2313−1 ]

11


12/20

Eatri- in8ersa A$!

A-1= 1/ |A| . A! A

A-1= 1/129 x

[ −4017−41−22−10−29−2313−1

]

*ee%azan$

X= A-1. B

[ x y

z ] " !?!#0 x [ −4017−41

−22−10−29

−2313−1 ].[−11

−9

7 ] " !?!#0 [

0

129

129] " [

0

1

1]

x" , " ! -"!

4 6ncuentre las ecuaciones simétricas paramétricas de la recta 7ue:

-.& Fontiene a los puntos

)1,4,8(−= P

)38,1( −−−=Q

6cuaciones paramétricas

*" x! + at

1" ! + /t

" -! + ct

6cuaciones simétricas

x− x 1a "

y− y1

b " z− z1

c

H "


13/20

H"


14/20


15/20

" 4>i + 34 + !#M

6ntonces utili-ando cual7uiera de los tres puntos eemplo I($!,$>,$3)

4> (x$ x!) + 34 ( – !) + !# ( -$-!)

4>( x – ($!)) +34 ( – ($>)) + !# ( - –($3))" I

4> ( x + !) + 34 ( + >) + !# ( - + 3) " I

4>x + 4> +34 + #'# + !#- + 3" I

4>x + 34 + !#- " $4> $#'# $3

4>x + 34 + !#- " $#

(.2 Fontiene al punto

)38,1( −−−= P

tiene como 8ector normal a

k jin ˆ5ˆ2ˆ3 −+−=

Dolución

$3(x + !) + #( +>) – %( - + 3) " I

$3x $3 + # +! $%- $!% " I

$3x + # $%- " 3 $! +!%

$3x + # $%- " #


16/20

# Di x" " - entonces # " # "2

−2 " $! ( , $!, )

3 Di " " -, entonces $3x " # x"2

3 (2

3 , ,)

6ncuentre todos los puntos de intersección de los planos:

π 1=9 x−2 y−8 z=10 y π

2=−5 x−7 y−8 z=2

( 9 −2 −8−5 −7 −8|102 ) R2+ 59 R1→

(9 −2 −80 −739

−1129 |

10

68

9 )(−973 ) R2

→

(9 −2 −80 1 11273

| 10

−6873

)16


17/20

y+112

73 z=

−6873

y=−6873

−112

73 z

9 x−2 y−8 z=10

9 x−2(−6873 −11273 z)−8 z=10

9 x+136

73+224

73 z−8 z=10

9 x=594

73+360

73

x=66

73+40

73 z

seaz=t

{ x=66

73+ 40

73t

y=−68

73−

112

73t

z=t

Solucion donde t puedetomar cualquier valor de los reales( R)

17


18/20

/ 2emuestre 7ue el conunto ormado por los 8ectores de

2 R

, constituen un

6spacio Hectorial

Nota: Euestre 7ue cada uno de los axiomas se satisace

Fonsidere 7ue el conunto de matrices reales # x #, donde tenemos el conuntocomo E## a se deinió las apariciones de adición multiplicación para escalar en

este conunto, esta orma un espacio 8ectorial De anali-aran algunos axiomas

para compro/ar esto

Usando la notación 8ectorial para indicar los elementos de m## sean:

u=(ac bd ) 1 V =(eg !)

2os matrices # x # cuales7uiera se tiene entonces 7ue:

Axioma !:

¿¿

a+¿ c+¿ egb+¿d+¿

!

u+V =(ac bd )+(eg !)=¿

U+H es una matri- de #x#


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20/20

2)

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