CURSO DE MATEMATICAS ESPECIALES.

TRABAJO COLABORATIVO 2

Por:Diego Len Daz MolinaCC: 1020441426Grupo: 299010_11

Tutor: Ral Camacho Briez

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y DISTANCIA UNAD. CEAD MEDELLINIntroduccin

Con el siguiente trabajo se pretende demostrar las aplicaciones mostradas en la unidad 1 con respecto a las transformadas de Fourier y las series de Fourier, analizando matemticamente los fenmenos de las ondas o seales en circuitos electrnicos y sistemas de control anlogo/digital. La base de las series de Fourier es que toda funcin peridica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonomtrica de senos y cosenos del mismo periodo T, para ello hay ya establecidas una serie de tablas donde estn las funciones y sus transformaciones, la cuestin es tener la habilidad para aplicar los adecuados en los problemas que nos plantean. Las series de Fourier es una serie infinita converge puntualmente a unafuncin peridicaycontinuaa trozos (o por partes).Empleado para analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinita de funciones sinusoidales.

Esta rama de la matemtica tiene mucha aplicacin en muchas ramas de la ingeniera.

Las reas de aplicacin son: anlisis vibratorio, acstica, ptica, procesamiento de imgenes y seales, y compresin de datos. En ingeniera electrnica, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a travs del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una seal dada, se puede optimizar el diseo de un sistema para la seal portadora del mismo.

La contribucin de Fourier comenz en 1807 con sus estudios del problema del flujo del calor presentado a la academia de ciencias en 1811 y publicado en parte como la clebre teora analtica del calor en 1822. Fourier hizo un intento serio por demostrar que cualquier funcin diferenciable puede ser expandida en una serie trigonomtrica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada por Drichlet en 1829.

Objetivos

Demostrar la adquisicin de nuevos conceptos como son las transformadas de Fourier y series de Fourier Aplicar los procesos matemticos para darle solucin a problemas de ingeniera. Identificar los principales conceptos de las series de Fourier para aplicarlos en el campo de la electrnica o tratamiento de ondas. Conocer las secuencias trigonomtricas y desarrollar su clculo segn lo solicitado.

Tomando en cuenta el grfico de la figura 2, el grupo debe encontrar los siguientes elementos de la serie de Fourier:

a) Encontrar: aob) Encontrar: b2 c) Encontrar: a1d) Encontrar la serie para n=0, 1, 2, 3. Partiendo de la forma general:

Reemplazando

En la cual:

Seal rectificada de media ondaVdcVrmsVac

0

Se observa que la expresin no est definida para n=1, por lo que V01 se hallara por separado. Adems toma valores distintos para n par o impar

Si n es impar diferente de 1

Ahora calculamos para n=1

0

Esta expresin tampoco est definida para n=1

, resulta

0

n0123

00

----1000

-

Que representa la serie de Fourier en el estudio del comportamiento de la funcin?

El estudio de las teoras de Fourier tiene que ver con el comportamiento de la frecuencia y el periodo de las ondas electromagnticas, cuando se estudian y se analizan las funciones peridicas. Si la funcin fuera cos(t), cul sera el elemento de la serie de Fourier para n=2?

Con la tcnica lluvia de ideas, cada integrante del grupo debe proponer por lo menos tres (3) ideas sobre la importancia que tiene la serie de Fourier en el estudio de la funcin del circuito elctrico de la figura 2.

En la electrnica y telecomunicaciones se observan mucho este tipo de escenarios donde observamos el comportamiento de las seales y de los componentes elctricos que conforman un dispositivo o sistema de control y tratamiento de seales, en este tipo de caso hay un factor comn, son seales peridicas, es decir que son seales repetitivas que se repiten en el tiempo, y puede expresarse como una suma de senoides, tal representacin junto con el teorema de superposicin, permite encontrar la respuesta de circuitos a entradas peridicas arbitrarias utilizando tcnicas fasoriales.

Al poder identificar el comportamiento del sistema por medio de las grficas, podemos entrar a disear con nuestro propio criterio con el objetivo de explotar al mximo el sistema y poder tener un sistema ms eficiente, sea en rapidez, periodo, o capacidad de transmisin de informacin.

Puede utilizarse como tcnica para expresar una funcin peridica en trminos de senoides debido a que cuando la excitacin de la fuente se expresa en trminos de senoides, es posible aplicar el mtodo fasorial para analizar circuitos. Conociendo resultados como salida de la seal y comportamientos condensadores, bobinas y resistencias.

Identificar de forma grupal, los conceptos ms importantes de la serie de Fourier que se aplican en el comportamiento de una funcin de los circuitos elctricos.

Proponer de forma individual y en el foro, 2 alternativas de obtener la serie de Fourier.

En la prctica se encuentra que muchos circuitos son excitados por medio deFunciones peridicas no senoidales. Para determinar la respuesta en estado estable de un circuito a una excitacin peridica no senoidal se requiere la aplicacin de una serie de Fourier, al anlisis fasorial de ca y el principio deSuperposicin. El procedimiento suele implicar tres pasos.1. Se expresa la excitacin como una serie de Fourier.2. Se transforma el circuito del dominio temporal al dominio de la frecuencia.3. Se encuentra la respuesta de las componentes de cd y ca en las seriesde Fourier.4. Se suman las respuestas individuales de cd y ca utilizando el principiode superposicin.Una manera compacta de expresar la serie de Fourier en la ecuacin (17.3)consiste en ponerla en forma exponencial. Esto requiere que se representenlas funciones seno y coseno en la forma exponencial utilizando la identidadde Euler:(La serie exponencial de Fourier de una funcin peridica f (t) describe elespectro de f (t) en trminos de la amplitud y del ngulo de fase de las componentesde ca en las frecuencias armnicas positivas y negativas.Obsrvese que la serie de Fourier del ejemplo contena nicamente lostrminos del seno. Quiz se sorprenda si supiera que existe un mtodo por medio del cual es posible conocer con anticipacin que algunos de los coeficientes de Fourier seran cero y evitar as el trabajo innecesario en el proceso de calcularlos. Existe un mtodo con tales caractersticas; se basa en reconocer la existencia de la simetra. Aqu se analizarn tres tipos de simetra: (1) simetra par, (2) simetra impar, (3) simetra de media onda.Simetra parUna funcin f (t) es par si su grfica es simtrica con respecto al eje vertical; esto es,Simetra impar Se dice que una funcin f(t) es impar si su grfica es antisimtrica con respectoal eje vertical Simetra de media ondaUna funcin tiene simetra de media onda (impar) si lo cual significa que cada medio ciclo es la imagen espejo del siguiente medio ciclo. Obsrvese que las funciones y satisfacen la ecuacin) para valores impares de n, y en consecuencia poseen simetra de media onda cuando n es impar. La figura muestra otros ejemplos de funciones simtricas de media onda. Las funciones tambin son simtricas de media onda. Obsrvese que en cada funcin, un medio ciclo es la versin invertida del medio ciclo adyacente.