Trabajo 1 de Fisica 1

7/24/2019 Trabajo 1 de Fisica 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y METALURGIA

ESCUELA DE FORMACION DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

RCTICA N 09

TEORIA DE ERROS Y MEDICIONES

ASIGNATURA : FISICA I

SIGLA : TA-341

DOCENTE : Ing.

INTEGRANTES : QUISPE PINEDA, Emerson

SERIE : 100 - II

PRACTICA DE LABORATORIO : VIERNES (1:00 m ! 3:00 m"

AYACUCHO PERU

2015


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INTRODUCCIN

Muchas de las decisiones tomadas en ingeniera se basan enresultados de medidas experimentales, por lo tanto es muyimportante expresar dichos resultados con claridad y precisin. Losconceptos de magnitud fsica, unidades y medida se han estudiado enla primera leccin de Fundamentos Fsicos de la Informtica y, comocomplemento, en este captulo se pretende aprender a estimar losposibles errores en las medidas, as como la propagacin de estoserrores a travs de los clculos a los resultados, a expresar losresultados y a anali!arlos. "ado #ue los contenidos de esta asignaturason fundamentalmente electricidad y magnetismo, en este cursoharemos ms hincapi en las medidas de magnitudes elctricas.

$ay otros parmetros para cuanti%car errores y expresar resultadosde las medidas, basados en conceptos estadsticos, #ue no setratarn en esta asignatura, pero #ue son igualmente importantes.

TEORA DE ERRORES Y MEDICIONES


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1) OBJETIVOS

&prender conceptos y parmetros de la teora de errores y

mediciones para obtener resultados precisos y exactos entraba'os de investigacin o estadsticos #ue nos brindenseguridad.

TEORA DE ERRORES

(e pretende en este captulo dar una explicacin de la )eora de*rrores, lo ms somera posible y fundamentalmente prctica, #uepueda servir al alumno cuando efect+e sus traba'os en el Laboratorio

de Fsica, tener en todo momento conciencia de la realidad de losvalores #ue va determinando y entre #ue lmites se est moviendocon relacin al valor verdadero de los valores #ue obtiene.

or mucha #ue sea la diligencia y cuidado al reali!ar cual#uierdeterminacin prctica fsica, y por muy sensibles y precisos #ue seanlos aparatos utili!ados, es prcticamente imposible el evitar errores,considerando a stos como la variacin entre los valores hallados y elreal o verdadero, el cual generalmente nos es desconocido.

)ampoco el error, aun#ue lo conociramos, nos dara una

medida cierta de su importancia, ya #ue sta depender no de lamagnitud de dicho error, sino de la magnitud de la medida a valorar yde la necesidad de aproximacin a su valor real. -na diferencia, pore'emplo, de ,/ mm en la medida del espesor de un cabello, no sepodr considerar como buena, pero esa misma diferencia en lamedida de la distancia entre )orrelavega y (antander podraconsiderarse como extraordinaria.

0o vamos a entrar en desarrollos comple'os matemticos enesta explicacin, sino #ue vamos a de%nir los errores #ue servirn al

alumno para saber en #ue grado de aproximacin se encuentra con elvalor verdadero, apoyndose en las mediciones obtenidas.

TIPOS DE ERRORES

Los errores pueden ser producidos, por la imprecisin de losaparatos de medida, #ue reciben el nombre de errores sistemticos, ocausa de agentes externos o del propio operador, #ue reciben elnombre de errores accidentales. Mientras #ue los primeros se repitenen el mismo sentido, siempre #ue se utili!a el mismo aparato demedida, los segundos varan de una experiencia a otra, tanto en valor

como en signo.


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CLASES DE ERRORES

*/ error en general podemos de%nirlo como la diferencia #uetenemos entre el valor obtenido y el verdadero.

& este error se le denomina 1error absoluto1 y si llamamos xa lamedicin y Xal valor verdadero, el error absoluto ser2

XxEa =

3tro tipo de error es el 1error relativo1, de%nido por el cocienteentre el error absoluto y el valor real, dado por la frmula2

X

EE

ar=

MEDIA ARITMTICA

Los errores sistemticos prcticamente se pueden hacerdesaparecer, pero no as los accidentales. La experiencia y tambin lateora con aplicacin del clculo de probabilidades, demuestra #uecuando hacemos una serie de mediciones, unos valores estarn porencima del valor verdadero y otros por deba'o, de modo #ue cuandoaumentamos el n+mero de estas observaciones las diferencias porms y por menos con el valor real al hallar la media aritmtica deestos valores, se van destruyendo las diferencias, y en generalpodemos tomar como valor ms probable de una serie de medicionesel de su media aritmtica, y sta ser tanto ms cercana al valorverdadero cuantas ms mediciones hagamos.

*s decir, si tenemos una serie de mediciones de una magnitud,x1, x2, x3,....... el valor ms probable es2

n

x

n.....xxxx

n

1i

i

321

=

+

=++

=

DESVIACIONES

0aturalmente #ue este valor ms probable as determinado, nocoincidir ni con e/ valor real, ni con la mayora de las medicioneshechas.


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& la diferencia entre cada una de las medidas obtenidas y elvalor ms probable se le llama 1desviacin1, la cual podr ser igual,mayor o menor #ue cero,

= xx i

DIFERENCIA MEDIA Y ERROR MEDIO

La desviacin, diferencia media, ser la media de lasdesviaciones, y es a su ve! la #ue nos de%ne el grado de precisin de

las observaciones.&hora bien, no es conveniente usar las desviaciones en s para

hallar la media aritmtica de las desviaciones, pues al ser estasvariables por ms y por menos se van contrarrestando, dndonosentonces un nivel falso de la precisin. or ello se toman los valoresde los cuadrados de las desviaciones, viniendo entonces la diferenciamedia de%nida por2

n

S

2

=

4/56a se puede comprender #ue al no ser un valor #ue mar#ue

la diferencia con el valor verdadero, esta diferencia ser un valoraproximado.

La verdadera diferencia media, a la #ue realmente se llamaerror medio estar de%nido por

n

dm

2

=

*n la #ue , si ser realmente la diferencia entre los valoresobtenidos y el verdadero. *sta frmula no es prctica por no conocer.

(e le suele denominar tambin diferencia cuadrtica media oerror cuadrtico medio de las desviaciones.

3bservemos #ue en 4/5 al hacer una +nica observacin, setendr #ue

02

=


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y como ! " #, el valor de S " $, por lo #ue en este caso tendramos#ue la precisin es in%nita con una sola medida, lo cual es absurdo.ara salvar este inconveniente se suele tomar como denominador enlugar de !, %!&1)y entonces la frmula a aplicar #uedar comosigue2

1n

S

2

=

7on lo #ue en el caso particular #ue estamos considerando #uedaraindeterminada, eliminando el absurdo anterior.

*sta frmula nos sirve para determinar el error medio de cadaobservacin.

ERROR MEDIO DE LA MEDIA CUADR'TICA

or brevedad se le llama error cuadrtico, y es el #ue nos de%neel error #ue tenemos con el valor verdadero al tomar como valor deeste +ltimo el ms probable, el cual ya di'imos era la mediaaritmtica.

(i llamamos ( a ste, su valor ser2

1)n(n

n

S

2

m

==

y por tanto podemos decir #uemxx =

ara me'or comprenderlo pongamos un e'emplo. *s convenientehacer siempre un cuadro, en el #ue la primera columna estnindicados los datos obtenidos.

Imaginemos #ue hemos hecho una serie de mediciones delperiodo de un pndulo, las cuales estn re8e'adas en la columnaprimera del cuadro siguiente2

M(*+ M(*+

/,9 ,: ;


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/,; ,/: ?@


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MEDIO

OBJETO INSTRU

MENTO

OPERADOR

F+-86( 9( *!-(6:*(!(! (! !+ (**;!

3b'eto &parato o instrumento -nidad o patrn de comparacin

3perador Medio

P68-88#8 ( (**;!Hara #u se mide 3b'etivo de la medicin.

HJu se mide *leccin de las magnitudes involucradas en acuerdo alob'etivo.

H7on #u se mide (eleccin del o de los instrumentos.

H7mo se mide asos a seguir para la determinacin de la magnitud

correspondiente. H7untas veces se mide 0o se medir una sola ve!ya #ue pueden desli!arse errores groseros.

H7mo se expresa el resultado de la medicin========E*xpresarfsicamenteG

*l resultado del experimento se expresa como Kxy launidad de medida

< x= :+#86 6(?6((!-+-*:8 ( #+ +!*-

Kx *!(6-(@+ +8#-+ ( #+ +!*-

CLASIFICACIN DE LAS MEDICIONES

(e pueden clasi%car en directas e indirectas.

M(**;! *6(-+a la operacin de lectura en un instrumentoaplicado a medir cierta cantidad de una magnitud. *'. 2 longitud conuna regla, corriente con un ampermetro, temperatura con untermmetro,...


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M(**;! *!*6(-+es la #ue resulta de vincular medicionesdirectas a travs de relaciones matemticas. *'.2 clculo de ladensidad de un cuerpo conocidas su masa y volumen, de laresistencia elctrica teniendo los valores de la intensidad de corrientey de la diferencia de potencial.

CLASIFICACIN DE INCERTEAS(istemticas2 son los #ue provienen de una imperfeccin o a'usteinadecuado del instrumento de medicin, de la accin permanente deuna causa externa, etc.

*'emplo2 desigualdad en la longitud de los bra!os de una balan!a,parala'e, despla!amiento del cero. &fectan a todas las medicionesprcticamente por igual y son del mismo signo. (i bien no puedehacerse una teora general para ellos, en casos particulares existen

mtodos para ponerlos de mani%esto o efectuar correcciones paraeliminarlos.

&ccidentales o casuales2 si una misma cantidad de una magnitud semide cierto n+mero de veces con el mismo instrumento y en lasmismas condiciones los valores di%eren entre s. &lgunas de estasdiferencias provienen del error de apreciacin, pero otras se puedenatribuir a pe#ueas variaciones en las condiciones ambientales4temperatura, presin,...5, cambios en el observador y en elinstrumento. ara mediciones de alta precisin es indispensable, para

su ponderacin, utili!ar la teora estadstica.

V+#86 6(?6((!-+-*:8 ( *!(6-(@+7uando se mide una variable continua slo se puede determinar uncon'unto de valores o fran'a de indeterminacin, entre los cuales seasegura se encuentra el EverdaderoG valor de esa magnitud.

or e'emplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido 4?


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/; //9/? />

/; //9/? />

/; //9/? />

M(**8!( 8?+6+#((e dicen #ue son comparables cuando al representar sus bandas deincerte!as tienen una fran'a de interseccin com+n.

(lo se pueden comparar medidas de la misma magnitud

C*/6+ *!*G+-*:+7omo los clculos tienen tendencia a producir resultados #ueconsisten en largas %las de n+meros, debemos de tener cuidado decitar el resultado %nal con sensate!.

or e'emplo2 si medimos un volta'e entre los extremos de unaelctrica como 4/,;,/5N y la corriente como 4/,:,/5&. podemoscalcular el valor de la resistencia con la relacin

O A NBI A


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/5)odos los dgitos distintos de cero son cifras signi%cativas. *'emplo2?,:> g tiene 9 cifras signi%cativas.

?5Los ceros #ue estn entre dos dgitos distintos de cero son cifrassigni%cativas.

*'emplos2 ? ,:@ g tiene ; cifrassigni%cativas ;,;: gtiene cifras signi%cativas.

95Los ceros situados a la derecha de la coma y despus de un dgitodistinto de cero son cifras signi%cativas.*'emplo2 .: g. tiene 9 cifras signi%cativas.

;5 Los ceros situados a la i!#uierda de la primera cifra distinta decero, no son cifras signi%cativas, slo indican la posicin del puntodecimal.

*'emplos2 ,> m tiene una cifrasigni%cativa ,??@ g tiene; cifras signi%cativas.

5 ara n+meros enteros, sin decimales, los ceros situados a laderecha del +ltimo dgito distinto de cero ?((! 8 !8 (6cifrassigni%cativas. (i se utili!a notacin exponencial se evita estaambigQedad. Las potencias de / se usan para marcar las cifrassigni%cativas. *'emplos2 a5 9 cm puede tener una 4n+mero 95, dos495 o tres 495 cifras signi%cativas. (i se escribe 9 x /? signi%ca#ue tiene una cifra signi%cativaR 9, x /? dos cifras signi%cativas y

9, x /? , tres cifras signi%cativas.

(i se dice #ue la distancia de la tierra al sol es /??/9: #ue sera unamedicin con engaosa exactitud en la medida.

Las conversiones de unidades no pueden modi%car el n+merode cifras signi%cativas. *'emplo2 ?,?; m A ??,; dm A??; cmA??;x/ mm A.??; Sm A??;x/; Tm A ??;x/: nm.

0ota2 Tm signi%ca micras o micrmetros y nm signi%cananmetros.

Ex?6(*8!( *!866(-+ Ex?6(*8!( 866(-+ 8! !+

*/6+ *!*G+-*:+ (! #+*!(6-(@+


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?;>:?


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La magnitud. *s decir U AKVBV, donde V se toma en valor absoluto,de forma #ue U es siempre positivo.

*l error relativo es un ndice de la precisin de la medida. 03 tiene unidades

La incerte!a absoluta no muestra si una medicin fue reali!ada conbuena precisin o no, pues compara al valor representativo con suincerte!a. (e tienen as los conceptos de incerte!a o error relativo U4 el error por cada unidad5 o el error relativo porcentual U C 4el errorpor cada cien unidades5. "ecimos #ue cuanto menor es el errorrelativo mayor es la precisin de la medicin, es decir de%nimos laprecisin W A /BU. odemos comparar errores relativos de distintasmagnitudes.

M(*+ *6(-+E6686 8 *!(6-(@+ ( !+ +!*- 9( ( *( !+ !*+ :(@*n este caso el me'or valor ser simplemente el valor medido y elerror se estimar como la mnima divisin del instrumento 4o la mitadde ella seg+n sea la medicin en cuestin5

E6686 8 *!(6-(@+ ( !+ +!*- 9( ( *( *6(-+(!-(! :((

-n experimentador #ue haga la misma medida varias veces noobtendr, en general, el mismo resultado, no slo por causasimponderables como variaciones imprevistas de las condiciones demedida2 temperatura, presin, humedad, etc., sino tambin, por lasvariaciones en las condiciones de observacin del experimentador.

(i la medida se repite 4cuando la sensibilidad del mtodo o de losaparatos utili!ados es pe#uea comparada con la magnitud de loserrores aleatorios5, 8#+(!-( (6H !((+6*8 (! (-( +8 +(6!+ 8#+ (*+

(i al tratar de determinar una magnitud por medida directareali!amos varias medidas con el %n de corregir los errores aleatorios,los resultados obtenidos son x/, x?, ... xnse adopta como me'or

estimacin del valor verdadero, el valor medio XxY, #ue viene secalcula como

"e acuerdo con la teora de Zauss de los errores, #ue supone #ueestos se producen por causas aleatorias, se toma como la me'orestimacin del error, el llamado (6686 +6H-*8 de%nido por


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0tese #ue a mayor n+mero de mediciones n menor ser la incerte!adel promedio.

Neamos dos criterios de aproximaciones de estas expresiones en dose'emplos2

(e han obtenido cuatro medidas, de las cuales tres estn repetidas.or e'emplo, en la medicin del dimetro de una pie!a, los valores son; cm, cm, ; cm, ; cm con un error de apreciacin de / cm. *lresultado de la medicin se expresar como 4; [ /5 cm. *s decir setoma la medida #ue ms se repite y se descarta la #ue es diferente.

"e las medidas reali!adas ninguna est repetida. or e'emplo, en lamedicin de una intensidad de corriente se obtuvieron los siguientesresultados2 /, &, /,; &, /,9 & y /, & con una incerte!a de ,/ &.

*n muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene,de acuerdo a una determinada expresin matemtica, a partir de lamedida de otras magnitudes de las #ue depende. (e trata de conocerel error en la magnitud derivada a partir de los errores de lasmagnitudes medidas directamente.

F!*8!( ( !+ 8#+ :+6*+#(

(upongamos #ue la magnitud cuyo valor #ueremos hallar, dependesolamente de otra magnitud x, mediante la relacin funcionalyAf4x5.

odramos aumentar inde%nidamente la resolucin instrumental paramedir ) aumentando el n+mero de periodos #ue incluimos en lamedida directa de t.

-n lmite est en nuestra paciencia y la creciente probabilidad decometer errores cuando contamos el n+mero de oscilaciones.

3tro lmite es #ue el oscilador no se mantiene con la misma amplitudinde%nidamente, sino #ue separa al cabo de un cierto tiempo, por lo

tanto de'a de valer el modelo fsico utili!ado.

F!*;! ( :+6*+ :+6*+#(La magnitud y est determinada por la medida de varias magnitudesp, #, r, etc., con la #ue est ligada por la funcin. La magnitud y es lavariable dependiente y las magnitudes p, #, r son las variablesindependientes.

yAf4p, #, r ...5.


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ara evaluar Ky se utili!a, como se di'o precedentemente, el dy. eroal depender de ms de una variable se reali!a la derivacin respectode una sola de las variables, considerando las otras como constantes4concepto de derivada parcial5.

*l error de la magnitud y se puede calcular por medio de la siguienteexpresin.

*'emplos2

(e midi una determinada longitud, para la #ue se necesit utili!ardos veces una regla milimetrada. Las medidas directas fueron a\ A/mm y b\A mm. *ntonces la medida de la longitud total ser2 a [ bA

4a\ [ Ka5 [ 4b\[ Kb5 A 4/ mm [ /mm5 [ 4 mm [/mm5 A / mm [? mm.

*n el caso de la sustraccin se procede de igual modo2 a = bA 4a\[Ka5 = 4b\[ Kb5A 4a\= b\5 [ 4Ka\[ Kb\5.

$allar el rea del rectngulo y el error de la medida indirecta. (i loslados miden aA4/,9,>5 cm, y bA4/,?,/5 cm

*l rea es & Aa. bA /.9]/,?A/.>> cm?

*l error absoluto del rea K& se obtiene con2

K & A 4 a K b5 ? [ 4 b K a5 ? A 4/,9^ ,/5? [

4/,? ^ ,>5 ? A ,>9@9cm? y en forma aproximada

K & A a K b [ b K a A ,:>cm?

*l error absoluto con una sola cifra signi%cativa es, para el primercaso ,>cm?, 4o ,:cm?si elegimos mayorar el truncamiento de laincerte!a5. 7on lo #ue A"%1K.>$.)2, o a lo sumoA"%1K.>$.)2

ara el caso aproximado ,@cm?, con lo #ue A" %1K.>$.)2

C*/6+ +?68?*++ ?+6+ !+ 8!-+!-(.7uando en una medicin indirecta aparece una constante se puededespreciar la in8uencia de su incerte!a en el resultado, eligiendo un

n+mero adecuado de cifras. *l criterio #ue se seguir es el siguiente2


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ser despreciado cuando su error relativo multiplicado por / seamenor o igual #ue la suma de los otros errores relativos.*'emplo2 H7on cuntas cifras se expresar _ para despreciar su erroren el clculo del volumen de un cilindro.

Las dimensiones medidas fueron el dimetro y la altura de la pie!a."e la frmula correspondiente N A _.d?.h, haciendo propagacin deerrores, el U 4N5 A U 4_5 [ ?. U 4d5 [ U 4h5.

(e despreciar el error de _ siempre #ue /. U 4_5 ` ?. U 4d5 [U 4h5.ara ello es conveniente confeccionar un cuadro como el siguiente2

_ K_ U 4_5 /. U 4_5

9 / /B9 /. / B 9

9,/ ,/ , /B9,/ /. ,/B9, /

9,/; ,/ ,/B9,/; /. ,/B9,/;

================ =============== ================ =================

*l resultado de la +ltima columna se compara con la suma de losotros errores. ara el primer valor #ue da menor o igual se observa laprimera columna. *se valor de _ es el #ue hay #ue tomar.

C6*-(6*8 ( (9*:+#(!*+ (!-6( 8 (6*( ( (**8!((i una magnitud fsica se mide con dos 4o ms5 mtodos o por

distintos observadores, es posible 4y muy probable5 #ue los resultadosno coincidan. *n este caso decimos #ue existe una discrepancia enlos resultados. (in embargo, lo importante es saber si la discrepanciaes signi%cativa o no. -n criterio #ue se aplica en el caso especial perofrecuente, en el #ue las mediciones se puedan suponer #ue siguenuna distribucin normal/, es el siguiente. (i los resultados de las dosobservaciones #ue se comparan son independientes 4caso usual5 ydieron como resultados2 Medicin / 2 V/ AV/ KV/

Medicin ? 2 V ? AV? KV ?

"e%nimos al promedio de las incerte!as como2 KVA4KV/[KV?5 B ?

"ecimos #ue con un lmite de con%an!a del >@C las mediciones sondistintas si2

V/ V ? XK V

y #ue con un limite de con%an!a del C lasmediciones son distintas si2 V/ V ? X ?.K V

/


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*sto #uiere decir #ue la diferencia entre las mediciones essigni%cativa si est fuera de estos intervalos, seg+n el lmite decon%an!a adoptado en cada caso, por lo tanto las mediciones no soncomparables.)ambin se aplican cuando se comparan valores obtenidos en el

laboratorio con valores tabulados o publicados.0tese la diferencia entre discrepancia y error o incerte!a, #ue enalgunos textos poco cuidadosos se confunde. *l error est relacionadocon la incertidumbre en la determinacin del valor de una magnitud.La discrepancia est asociada a la falta de coincidencia osuperposicin de dos intervalos de dos resultados

R(?6((!-+*8!( 6HG+La presentacin y anlisis de los resultados experimentales debeconsiderarse como parte integral de los experimentos.

Muchas veces es +til #ue los datos obtenidos se presenten en ungr%co, donde #uede resumida la informacin para su apreciacin yanlisis.

or e'emplo en los casos en #ue2

Los experimentos se llevan a cabo midiendo una variable 6 en funcinde otra V #ue se vara independientemente y se #uiere interpretar larelacin funcional entre ellas

7uando interesa estudiar si dos variables mantienen una correlacin

4causal o no5 y cmo es esta vinculacin o grado de interdependencia ara deteccin de posibles errores sistemticos 7omo elemento ordenador de la informacin colectada en un

experimento, un gr%co debe construirse sobre la base de unaeleccin adecuada tanto de las variables como de las escalas,

M5-88 6HG8(e tra!an dos rectas la de mxima pendiente amax y mnimapendiente amin#ue pasen por todos los rectngulos tra!ados,pivoteando en un punto seguro 4esto es un punto conocido #ue podrser, por e'emplo el valor medio de las variables gra%cadas5. (ecalcula gr%camente cada una de esas pendientes y representamoscomo me'or recta a a#uella cuya pendiente es la media aritmtica deambas.

&J-IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII **ML3

M5-88 ( +6+8 0!*8(ean dos magnitudes x e y relacionadas linealmente2 6A aV[b

(i se desea determinar experimentalmente los coe%cientes a4pendiente5 y b 4ordenada al origen5, ser necesario obtener un

con'unto de n pares de valores 4xi,yi5, como en el caso del e'emplo delgr%co x4t5 de la seccin anterior,


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&J-III **ML3(((((((((((((((((((((((((((((((((((((

2) CONCLUSIN

(e logr conocer conceptos y parmetros de la teora de errores

y mediciones para obtener resultados precisos y exactos entraba'os estadsticos o traba'os de investigacin.

3) BIBLIORAFA

Daird, ".7. , *xperimentacin. -na introduccin a la teora demediciones y al diseo de experimentos.. *ditorial rentice $all.

Mdulo de Fsica. Nolumen /2 )eora de la Medida, 7inemtica y"inmica Z"M*. 4>9./.??5 7*I, FI -D& /

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