Departamento deIngeniería Mecánica

CALCULO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS

TRABAJO PRACTICO N° 11

“Árboles y ejes”

Integrantes: Arévalo, JuliánCabo, PatricioColello, AgustínCornú, MatíasD´Archivio, Matías

Profesor a Cargo: Roberto Fernández

Fecha de Entrega: 06-11-2014

Universidad Nacional de

Mar del Plata

1) OBJETIVO

El objetivo de este práctico es diseñar y verificar el eje de ingreso del movimiento, que soporta el engranaje helicoidal de entrada y la polea III.

Datos.

Consideramos que solidarios al árbol se encuentran el engranaje helicoidal por el cual ingresa el movimiento y la polea III, que transmite la potencia a través de la correa ya seleccionada.Debemos determinar la posición de los componentes y la ubicación de los apoyos. De esta manera podemos realizar el cálculo de las solicitaciones generadas en el árbol.Como se requiere en la figura, el engranaje helicoidal se encuentra en voladizo, y la polea en una posición intermedia entre los dos apoyos del eje. En los engranajes en voladizo, la distancia entre apoyos debe ser el 70% del diámetro primitivo del engrane y la medida entre los mismos tiene que ser por lo menos el doble de la medida del voladizo.

Entonces: Diámetro primitivo: 17,03cm Largo del árbol: 415 [mm] Distancia del engranaje al primer apoyo: 60 [mm] Distancia entre apoyos: 303 [mm]

Potencia a transmitir=2,5HP a400 rpm

Montaje.

El montaje del engranaje helicoidal que como dijimos anteriormente se encuentra en voladizo se realizará de la siguiente manera con fijación axial y radial:

Fijación axial mediante tope y tuerca autofrenante. Fijación radial mediante una chaveta.

El montaje de la polea también se realizará de manera radial y axial pero esta vez la fijación axial es diferente:

Fijación axial mediante prisioneros sobre la chaveta. Fijación radial mediante chaveta.

Solicitaciones en el árbol.

Fuerzas del engranaje (TP Helicoidales):

F t=71620∗Nn∗R p

= 71620∗2.5 [HP ]1200 [rpm ]∗2.84 [cm ]

=52,56 [Kgf ]=515,1[N ]

Fa=tg (Ψ )∗F t=tg (20 )∗52,56 [Kgf ]=19,13 [Kgf ]=187,5[N ]

F r=Ft .tg (ϕn )cos (Ψ )

=52,56[Kgf ] . tg (20 )

cos (20 )=20,36 [Kgf ]=199,52[N ]

Fuerzas de la polea (TP Correas):

T=1281,7 [N ]t=361,05[N ]T 0=821,38 [N ]

Reacciones en los apoyos

Engranaje Helicoidal:

A= 303 [mm] B= 60 [mm]

C= Rp = 85 [mm]

Planteamos las ecuaciones de equilibrio:

∑ Fx=−RAx+Fx

∑ Fy=−RAy+RBy−Ft=0

∑ Fz=−RAz+RBz−Fr=0

∑Mz=−RBy∗A+Ft∗(A+B)=0

∑My=−RBz∗A+¿ Fr∗( A+B )+Fx∗C=0¿

Por lo tanto, las reacciones valen:

RAx=Fx=19 ,13[Kgf ]=187,5[N ]

RBy=Ft∗( A+B )A

=617,1[N ]

RBz=Fr∗( A+B )+Fx∗CA

=291,6[N ]

RAy=Ft∗( A+B )A

−Ft=Ft∗BA

=102[N ]

RAz=Fr∗( A+B )+Fx∗CA

−Fr=Fr∗B+Fx∗CA

=92,1[N ]

Polea:

La polea generará una fuerza sobre el eje en A/2, tal que

Fp z=2∗T 0=1642,76[N ]Por lo que

RBz=Fp z∗A(A+B)

=867,4[N ]

RAz=Fp z∗B(A+B)

=775,3 [N ]

Entonces aplicando superposición:

RAx=187,5[N ]

RBy=617,1[N ]

RBz=575,8[N ]

RAy=102[N ]

RAz=867,4[N ]

Diagramas característicos

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

Momento Flector en z

Posición del eje [cm]

Mom

ento

flec

tor [

N*cm

]

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-16000

-14000

-12000

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

Momento Flector en y

Posición del eje [cm]

Mom

ento

flec

tor [

N*cm

]

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Momento Flector Total

Posición del eje [cm]

Mom

ento

flec

tor [

N*cm

]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

-5000

-4500

-4000

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0Momento Torsor ZY

Posición del eje [cm]

Mom

ento

Tor

sor [

N*cm

]

Método de cálculo según ASME

Como primer paso se realiza el cálculo del diámetro tentativo en las secciones del árbol que deseamos determinar. Por eso, debemos analizar la sección más solicitada de cada uno de los tramos. En un primer paso se desprecia la carga axial, se obtiene un primer diámetro que se ingresa a la formula y se itera.

De≥3√ 32π∗σadm∗(1−λ4 )

∗√[C ¿¿ f∗M f+w∗Fa∗D∗(1+λ2 )

8¿]

2

+(CtM t)2 ¿¿

Donde:

: tensión admisible del acero IRAM 1045 = 0,35·σr = 2275 [kg/cm2]

por tratarse de un tubo macizo.

: coeficiente de flexión = 1,5, por tratarse de una carga súbita con choques ligeros.

: momento flector en la sección analizada.

: momento torsor en la sección analizada.

coeficiente de torsión = 1,2; por tratarse de una carga súbita con choques ligeros.

Sección árbol donde va la Polea:

Mf max=√16322+13878,42=13974 [N . cm ]

M t=−4378,35 [N .cm ]

De≥2,15 cm

Sección árbol donde van los rodamientos:

Mf max=√2988,62+3566,12=4652,8[N . cm ]

M t=−4378,35 [N .cm ]

De≥1,59cm

Sección arbol donde se coloca el engranaje en voladizo:

Mf max=√1545,32+2192,12=2682[N .cm ]

M t=−4378,35 [N .cm ]

De≥1,45 cm

Cálculo utilizando el método de Soderberg

d=3√ 32∗sπ √(Mt

σ f )2

+( K f∗M f

σ wc )2

s: coeficiente de seguridad, por ser una máquina herramienta que está sometida a choques

suaves; s = 3.

σ f : factor físico tensión de fluencia del acero

σ f=3900[ kgcm2 ]=38820 [ Ncm2 ] KT : factor teórico de concentración de tensiones

K f : factor teórico de concentración de tensiones

K f=1+q∗(KT−1)

q = coeficiente de sensibilidad a la entalla

q=0,65

σ w=σ r∗0,5=3250 [ kgcm2 ]=31850[ Ncm2 ] factor por superficie

Factor por tamaño

= Factor por Confiabilidad

Sección de montaje de polea – centro (máxima flexión):

CS=0,91 para eje rectificado.

CT=0,85para un diámetro menor que 50mm y mayor que 7.6 mm.

CC=0,81para una confiabilidad del 0,99.

factor teórico de concentración de tensiones. Sacado de tabla. Para nuestro caso

consideramos la concentración en los chaveteros teniendo en cuenta una flexión alternativa,

se le hará una corredera deslizable maquinada con fresa a disco, para lo cual corresponde un

.

σ wc=19971,6N /cm2

K f=1+q (K t−1 )=1,26

Entonces:

d=3√ 32∗sπ √(Mt

σ f )2

+( K f∗M f

σ wc )2

=3 [cm]

Sección de rodamientos –cálculo sobre rodamiento más solicitado

CS=0,91 para eje rectificado.

CT=0,85 para un diámetro menor que 50mm y mayor que 7.6 mm.

CC=0,81para una confiabilidad del 0,99.

K t=1,67 Consideramos una reducción de diámetro de D/d=1.5 y radio de acuerdo

r/D=0.1.

d=3√ 32∗sπ √(Mt

σ f )2

+( K f∗M f

σ wc )2

=2,21[cm ]

Sección de montaje de engranaje.

CS=0,91 para eje rectificado.

CT=0,85para un diámetro menor que 50mm y mayor que 7.6 mm.

CC=0,81para una confiabilidad del 0,99.

K t=2,2

En este caso se considera la concentración en chaveteros, y una reducción de diámetro de

d/D=1.1 y acuerdo r/D=0.1

d=3√ 32∗sπ √(Mt

σ f )2

+( K f∗M f

σ wc )2

=2[cm]

Rigidez a la torsión

Realizamos el cálculo de rigidez a la torsión mediante la siguiente ecuación:

β=180∗M t∗Lπ∗G∗J p

Donde

L es la separación entre las secciones G es el módulo de elasticidad transversal, en este caso el del acero es de

850.000 [kg/cm2]

Jp es el momento de inercia polar del eje. J p=π∗D 4

32

Debido a que eje presenta diferentes diámetros y el cálculo con la expresión anterior exige momento torsor y sección constante se dividió el eje en tres partes comenzando desde el engranaje y hasta el centro de la polea, destacamos que en el primer tramo se consideró el largo a partir del lugar de aplicación de la carga en el engranaje.

Primer tramo:

L2=3 [cm ]D2=2 [cm ]M t=4378,35 [N .cm ]

β1=

180∗M t∗Lπ∗G∗J p

=180∗4378,35 [N .cm ]∗3[cm ]

π∗8.500 .000[ Ncm2 ]∗π∗24

32[cm4]

=0,056 3°

Segundo tramo:

L2=4 [cm ]D2=2,2 [cm ]M t=4378,35 [N .cm ]

β2=

180∗M t∗Lπ∗G∗J p

=180∗4378,35 [N .cm ]∗4 [cm ]

π∗8.500 .000[ Ncm2 ]∗π∗2,24

32[cm4]

=0,0513 °

Tercer tramo:

L1=1 3,35 [cm ]D1=3 [cm ]M t=4378,35[N .cm]

β3=

180∗M t∗Lπ∗G∗J p

=180∗4378,35 [N .cm ]∗13,35[cm ]

π∗8.500 .000[ Ncm2 ]∗π∗34

32[cm4]

=0,0495 °

Sumando algebraicamente la deformación de cada tramo obtenemos la deformación desde el engranaje a la polea:

β t=β1 +β2+β3=0,157 °=9,42 '

Lo cual no verifica, ya que para transmisiones comunes y servicio ordinario βmax<4,067 para el largo que estamos analizando. Entonces se rediseñara el árbol modificando primeramente los diámetros.

Se recalcula la rigidez a la torsión con los nuevos diámetros:

Primer tramo:

L1=3 [cm ]D1=3 [cm ]M t=4378,35[N .cm ]

β1=

180∗M t∗Lπ∗G∗J p

=180∗4378,35 [N .cm ]∗3[cm ]

π∗8.500 .000[ Ncm2 ]∗π∗34

32[cm4]

=0,0111°

Segundo tramo:

L2=4 [cm ]D2=3,2 [cm ]M t=4378,35 [N .cm ]

β2=

180∗M t∗Lπ∗G∗J p

=180∗4378,35 [N . cm ]∗4 [cm ]

π∗8.500 .000[ Ncm2 ]∗π∗3,24

32[cm4]

=0,0114°

Tercer tramo:

L1=13,35 [cm ]D1=4 [cm ]M t=4378,35[N . cm]

β3=

180∗M t∗Lπ∗G∗J p

=180∗4378,35 [N .cm ]∗13,35[cm ]

π∗8.500.000[ Ncm2 ]∗π∗44

32[cm4]

=0,0156 °

β t=β1 +β2+β3=0,157 °=2,29 '

De esta forma verifica a la rigidez por torsión.

Rigidez a la Flexión

Ahora con la planilla de Excel obtenida de la página de la materia y la rigidez a la flexión,

calculamos la flecha máxima. La flecha máxima calculada es f max=0,035[mmm

] que

cumple con la siguiente recomendación fmáx recomendadas < 0,8 mm/m árboles comunes

Cálculo de las chavetas

Chaveta para polea:Se utiliza una chaveta cuadrada. Se calcula la longitud de la misma

mediante la siguiente ecuación:

L=143240∗N∗F s∗sn∗D∗a∗τ fl

=143240∗2,5 [HP ]∗3∗3

400 [rpm ]∗4 [cm ]∗1 [cm ]∗1100 [ kgcm2 ]

=1,83 [cm ]

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-0.04-0.03-0.02-0.01

00.010.020.030.04

Flecha

Largo [mm[

Axis

Title

Donde: potencia transmitida por el eje = 2.5 [HP] s = coeficiente de seguridad= 3 por ser choques moderados.

por ser choques moderados.

tensión admisible al corte

Chaveta para engranaje:

L=143240∗N∗F s∗sn∗D∗a∗τ fl

=143240∗2,5 [HP ]∗3∗3

400 [rpm ]∗3 [cm ]∗1 [cm ]∗1100 [ kgcm2 ]

=2,44[cm ]

Dimensiones y forma final del árbol

Más allá de que el cálculo por Soderberg haya concluido con determinados valores de diámetro, nos vimos obligados a aumentar la sección debido a que con los valores anteriores no se verificaba la rigidez a la torsión. A continuación vemos las dimensiones finales del árbol