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UNIVERSIDAD MENDOZA FACULTAD DE INGENIERA

ANLISIS MATEMTICO

TRABAJO PRCTICO N 4: Limite y continuidad de funciones de dos variables

Objetivos:

Comprender el concepto de lmite doble en un punto del plano.

Reconocer las distintas formas indeterminadas y su forma de clculo utilizando lmites reiterados y lmites direccionales.

PARTE A

LIMITE DOBLE

Comenzamos nuestro estudio de lmite de una funcin de dos variables definiendo el anlogo bidimensional de un intervalo en la recta real.

Usando la frmula de la distancia ( >0 entre dos puntos (x, y) y (x0 , y0) del plano, definimos a (-entorno alrededor de (x, y), como el disco centrado en (x0, y0) con radio (:

{ (x, y): }

y

disco abierto

(x0, y0)

x

Un punto (x0, y0) de la regin plana R es un punto interior de R si existe un (-entorno alrededor de (x0, y0) que pertenezca totalmente a R . Si todos los puntos de R son puntos interiores, entonces decimos que R es una regin abierta. Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si cada disco abierto centrado en (x0, y0) contiene puntos del interior de R y puntos del exterior de R. Por definicin , una regin debe contener sus puntos interiores, pero no tiene por qu contener sus puntos frontera. Si una regin contiene todos sus puntos frontera, entonces decimos que la regin es cerrada. Una regin que contiene a algunos pero no a todos sus puntos frontera no es ni abierta ni cerrada

Ya podemos definir el lmite de una funcin de dos variables:

Analicemos el siguiente grfico:

Si bien la definicin de lmite de una funcin de dos variables va en total paralelismo con la definicin de lmite de una funcin de una variable, existe una diferencia crtica. Para determinar si una funcin de una variable tiene lmite, solamente necesitamos comprobar qu ocurre al aproximarnos por dos direcciones por la izquierda y por la derecha .

Si la funcin tiende al mismo lmite, podemos concluir que el lmite existe. Sin embargo, para una funcin de dos variables, al escribir que entendemos que el punto (x, y) se aproxima a en cualquier direccin. Si el valor del lmite para una funcin de dos variables no es el mismo, para todas las posibles formas de aproximarse, o trayectorias, a , entonces el lmite no existe.

Formas de clculo:

1) Sustitucin directa.

Para aplicar sustitucin directa tendremos en cuenta que para funciones de dos variables, son vlidas las propiedades sobre lmites vistas en funciones de una variable. Si al aplicar sustitucin directa, se presenta una forma indeterminada, recurrimos a:

Lmites direccionales:

Consiste en tomar una direccin particular para que el punto (x,y) se acerque al punto (a,b). Por ejemplo:

Consideramos el camino y = h (x) ( incluido en el dominio), al reemplazarlo en la funcin f(x,y), toma la forma f(x, h(x)), transformndose as en lmite de una variable. Calculamos:

lim f(x,y) = lim f(x, h(x))

x ( a x ( a

y = h(x)

Si al tomar distintas direcciones obtenemos distintos resultados, entonces podemos asegurar que No existe lmite doble.

Si dan resultados iguales No podemos asegurar nada

Si el dominio lo permite, se puede tomar un camino particular que consiste en hacer tender primero una variable y mantener la otra constante, y luego al revs. Estos lmites se llaman Lmites reiterados, y se anotan:

l 1,2 = lim lim f(x,y) = lim h (y) y ( b x ( a y ( b

l 2,1 = lim lim f(x,y) = lim g (x) x ( a y ( b x ( a

Importante:

Si los lmites reiterados dan distinto resultado, entonces podemos asegurar que NO existe lmite doble.

Pero si dan iguales, no podemos asegurar nada.

CONTINUIDAD

Analicemos los siguientes ejemplos:

a) lim (1,2) 5x2y / (x2 + y2) = b) lim (0,0) 5x2y / (x2 + y2) =

En a), si reemplazamos los valores de x e y obtenemos como lmite la constante 2

En b) , en este caso el lmite del denominador y del numeradores cero, por lo tanto no podemos afirmar la existencia o no existencia de un lmite, tomando los lmites del numerador y denominador separadamente y dividiendo. Sin embargo observando la grfica de la funcin vemos que el lmite es cero

Si comparamos los ejemplos a) y b) , vemos que en a) el lmite se puede obtener por sustitucin directa, en este caso decimos que la funcin es continua en (1, 2), sin embargo en el ejemplo b), la funcin es discontinua en (0, 0) . Pero como el lmite en este punto existe, podemos evitar la discontinuidad, redefiniendo la f en (0, 0) de forma que su valor sea igual a su lmite en ese punto. Tal tipo de discontinuidad se conoce como evitable.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES

Si k es un nmero real y f, g son continuas en (x0, y0), entonces las siguientes funciones son continuas en (x0, y0):

( Mltiplo escalar : k .f

( Suma y diferencia f + g

( Producto f.g

( Cociente f/g si g(x,y) (0

( Si h es continua en (x0, y0) y g es continua en h(x0, y0), entonces la funcin compuesta

dada por (hog)(x, y) = g(h(x, y)) es continua en (x0, y0). Es decir:

lim (xo, yo) g(h(x, y)) = g(h(x0, y0))

EJERCICIO N 1:

Hallar el lmite de las siguientes funciones ( si existe), si no puede salvar la indeterminacin algebraicamente, aplique lmites reiterados o direccional

a)

b) =

c)

d)

e)

f)

EJERCICIO N 2:

Verificar utilizando lmites reiterados y direccionales (tomar dos trayectorias), que las siguientes funciones tienen lmite cero en el punto (0,0)

a)

b)

EJERCICIO N3:

Verificar que los siguientes lmites no existen tomando los caminos indicados:a) lmites reiteradosb)

tomando y = mx y despus y = x 2c)

tomando reiteradosd)

tomando reiteradosEJERCICIO N4 :

Demostrar que la siguiente funcin es continua en (0,0)

si (x,y) ( (0,0)

f(x,y) =

1 si (x,y) = (0,0)

PARTE B

EJERCICIO N 1:

Determinar si existe o no el lmite de las siguientes funciones y analizar su continuidad

a) lim (2, 1) (x + 3y2) =

b) lim (2, 4) (x + y) / (x y) =

c) lim (0, 1) arcsen(x/y) : (1 + xy ) =

d) lim (0, 0) exy =

e) lim (1, 2 ) =

f) lim (0, 0) ((1 + senx) . ( 1- cosy) ( / y =

g) lim (1, 2) 2x(y 1) / (x + 1)y =

h) lim (0, 0) ( sen x + cos y ) =

i) lim (1, 3) (6x 2y) / ( 9x2 y2) =

l) lim (0, 0) ln( x + y)=

EJERCICIO N 2:

Verificar utilizando lmites reiterados y direccionales (tomar dos trayectorias), que la siguiente funcin tiene lmite cero en el punto (0,0)

f(x,y)= ( xy) / (x + y)

Sea f una funcin de dos variables definida, excepto posiblemente en (x0,y0), en un disco abierto centrado en (x0, y0). Entonces

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 f(x, y) = L EMBED Equation.3

si y slo para todo (>0 existe un correspondiente ( >0 tal que (f(x, y) - L(< ( siempre que EMBED Equation.3

z

x

y

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

L

EMBED Equation.3

Una funcin f de dos variables es continua en un punto interior (x, y) de una regin R si f(x, y) est definida y es igual al lmite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (x0,y0) Esto es:

Lm (x0, y0) f(x, y) = f(x0, y0)

F es continua en R si f es continua en cada punto de R. Las funciones que no son continuas en (x0, y0) se dice que son discontinuas

z

x

y

EMBED Equation.3

_1154640326.unknown

_1155489197.unknown

_1156370222.unknown

_1156370800.unknown

_1156371025.unknown

_1156370018.unknown

_1155976916.unknown

_1154641455.unknown

_1154643956.unknown

_1155488043.unknown

_1154641713.unknown

_1154641814.unknown

_1154641365.unknown

_1154641390.unknown

_1154641364.unknown

_1154640110.unknown

_1154640112.unknown

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_1154640099.unknown

_1154640102.unknown

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