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7/26/2019 TP 3 Prop en geometra.doc

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Matemtica. 2doaoTrabajo Prctico 3

Segmentos proporcionales

Supongamos que las figuras que se muestran a continuacin son las proyecciones de una mismadiapositiva, sobre pantallas paralelas, situadas a distinta distancia del observador (O)

Hemos marcado tres puntos en la figura 1 y sus correspondientes en la fig. 2.

a)ompletar la tabla!

MEDIDA OA' = OB' = OC' = A B' ' =

OA = OB = OC = AB =RAZN

=OA

OA'

=OB

OB'

=OC

OC'

=AB

BA ''

b)"Se puede encontrar una constante de proporcionalidad# Si la respuesta es afirmativa, indicarcu$l es.

c)omparar los resultados entre compa%eros. "&u' conclusin se puede etraer#

Defnicin

Se dice que n segmentos son proporcionales a otros n segmentos cuando entre susmedidas existe una funcin de proporcionalidad directa.

32

O

C

figura 2

A

A

B

B

C

figura 1

La proporcionalidad en geometra


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Teorema de Thales

Un poco de historia...Thales naci en la ciudad griega de Mileto (actualmente pertenece a Turqua). Vivi entre los

aos 6! a.". # $!% a.". &ue so're todo comerciante pero tam'in ingeniero astrnomo *ilso*o #matem+tico.

Aunque de su vida se sa'e mu# poco no ha# dudas acerca de su inteligencia. &ue el primero de los sietegrandes sa'ios griegos

.

Tam'in caus gran asom'ro cuando pronostic mediante c+lculos matem+ticos un eclipse total de ,olen el ao $%$ a.".

1.1. a)ompletar el dibuo tra*ando una recta transversal t+, no paralela a t, que corte a a, b y c en +, -+ y + respectivamente.

a A

b B

c C

t

Si tres o ms paralelas son cortadas por dos transversales, dos segmentoscualesquiera sobre una de ellas orman proporcin con sus correspondientes enla otra.En smbolos a!!b!!c, t " t# transversales

a t A a t A

b t B b t B

c t C c t C'

= =

= =

= =

{ }, ' { '}

{ }, ' { '}

{ }, ' { }

| |

| |

| ' ' |

| ' |

| |

| |

| ' ' |

| ' |

AB

AC

A B

A C' bien

AB

BC

A B

B C'= =

33

b)ompletar la tabla!

| |AB = | ' ' |A B =

| |BC = | ' ' |B C =

| |

| |

AB

BC=

| ' ' |

| ' |

A B

B C'=

a

b

ct t

A

B

C

A

B

C

Vivi muchos aos en -gipto donde recogitodos los conocimientos geomtricos de la poca.

&ue el primer matem+tico en utiliar el mtododeductivo para pro'ar propiedades. ,eg/n la le#endautili el teorema que lleva su nom're para medir la

altura de una pir+mide utiliando su propia altura lamedida de su som'ra # la de la som'ra de la pir+mide .

ambi'n se cumple que!Si tres rectas, de las cuales dos son paralelas son cortadas por dos transversales de

manera tal que dos segmentos cualesquiera sobre una de las transversales forman proporcincon sus correspondientes sobre la otra, entonces la tercera recta es paralela a las otras dos.

c) "&u' conclusin se puede sacar?


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2.2. Para construir con regla y comps

a) /ibuar un segmento cualquiera y dividirlo en 0 partes congruentes. ustificar.

b) /ibuar un segmento cualquiera y dividirlo en partes proporcionales a!

i) 20 ii) 03

c) /ado un segmento, dividirlo en tres partes tales que la ra*n entre la primera y la segundasea13 y entre la segunda y la tercera 40.

3.3. Hallar, si es posible, el valor de xen cada una de las siguientes situaciones, sabiendo queabc.

a) b)

c) d)

4.4. onsiderarel tri$ngulo -. 5 y & son puntos de ABy BCrespectivamente, tales que

34

a

b

5 x

4

x - 1

ab

x - 1

x -2 x + 1

x-2

a

b

3

2

x+ 3

x

c

1 2

x

+ 2

a b

c


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5& . Si | | | |A B=2

3 y | |BC = !2 , calcular | | | |B" # "C .

5.5. /adas las siguientes figuras, 6allar sabiendo que mnp.

a) b)

6.6. /adas a b c y t y t+ transversales, y sabiendo que!

7y7*814

u7v79821 v7y81

98 4.v

7.7. eniendo en cuenta el gr$fico, demostrar!

a) /:,

b) -/;,

c)-


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Figuras semejantes

;stas figuras son ampliaciones o reducciones de un mismo motivo. ;s decir conservan laforma pero no el tamao. >as figuras que tienen la misma forma se llaman semejantes. 5ara que laforma se conserve, la variacin del tama%o no puede ser arbitraria, las medidas de longitud debenvariar en forma proporcional. 5or eemplo, en el canguro la ra*n entre las medidas del largo de lascolas debe ser igual al la ra*n entre las medidas de las alturas. Si no se cumple con la condicin dela proporcionalidad, 6ay una ?deformacin@ de la imagen.

Polgonos semejantes

/os polAgonos son semeantes si y slo si tienen sus $ngulos congruentes y sus lados proporcionales.>a constante de proporcionalidad se llama ra*n de semean*a.5or eemplo!

=

=

=

=

===

|'|||

|'|||

|'|||

|'|||

|''|

||

|''|

||

|''|

||

|''|

||

''''-

11

""

BB

AA

A1

1A

1"

"1

"B

B"

BA

AB

1"BAAB"1

3.

AB

C

A

B

C

-/ y +-++/+ son semejantesya que

sus lados son proporcionales y sus$ngulos congruentes. ;l sAmbolo conque se indica la semean*a es! @B@

;stas figuras no tienen la mismaforma pues, por eemplo, laslongitudes de los mangos no sonproporcionales a los di$metros delas sombrillas


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8.8. /os tri$ngulos equil$teros cualesquiera, "son siempre semeantes# "5or qu'#C los polAgonos regulares de igual nDmero de lados, "son todos semeantes# "5or qu'#

9.9. >os rect$ngulos de la figura! "son semeantes# "5or qu'# Si la respuesta es afirmativa, "cu$les la ra*n de semean*a#

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Teorema fundamental de semejanza de tringulos

a)Earcar sobre un punto cualquiera y llamarlo 5.

b)5or 5, tra*ar m - , que corta a - en &. c)omparar los $ngulos del tri$ngulo - con los del

tri$ngulo 5&. ustificar.

d) nali*ar si eiste proporcionalidad entre los lados de ambos tri$ngulos. (Se puede tra*ar por &,la paralela a )

>as conclusiones son independientes de la ubicacin del punto 5 en la recta , por lo tantopodemos enunciar de manera general!

3!

B

Toda paralela a un lado de un tringulo determinacon las rectas que inclu"en a los otros dos lados untringulo seme$ante al dado.

A

C


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Condiciones suficientes para ue dos tringulos resulten semejantes

/e la misma forma que para asegurar que dos tri$ngulos son congruentes no es necesario probar lacongruencia de todos sus lados y todos sus $ngulos, para probar la semean*a de dos tri$ngulosalcan*a con probar la congruencia de algunos pares de $ngulos y o la proporcionalidad de algunospares de lados. >os tri$ngulos - y +-++ son semeantes!

5ara demostrarlo es suficiente probar que!

F.G tienen dos lados 6omlogos proporcionales y el $ngulo comprendido entre ellos congruente.

| |

| ' ' |

| |

| ' ' |

| | | ' |

' ' '

AB

A B

BC

B C

B B

ABC A B C=

=

FF.G tienen dos $ngulos 6omlogos congruentes

| | | ' |

| | | ' |' ' '

A A

B BABC A B C

=

=

FFF.G tienen sus tres pares de lados 6omlogos proporcionales.

| |

| ' ' |

| |

| ' ' |

| |

| ' ' |' ' '

AB

A B

BC

B C

CA

C AABC A B C= =

F.G tienen dos lados 6omlogos proporcionales y el $ngulo opuesto al mayor de ellos congruente.

| |

| ' ' |

| |

| ' ' |

| | | |

|

| |

' |

' ' '

AB

A B

BC

B C

BC AB

A A

ABC A B C

=

>

=

10.10. ;l tri$ngulo de la figura es rect$ngulo en B . B/ es la altura correspondiente a la6ipotenusa.

a) /emostrar que son semeantes los tri$ngulos que se indican en cada caso y escribir la serie de ra*ones entre los pares de lados 6omlogos !

i) ABC AHB

- ii) CHB AHB

- iii) ABC CHB

-

b) Suponiendo que BC AB= 2% calcular en cada caso, la ra*n de semean*a.

30

A

B

C A

B

C

A

BC

/


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11.11.

es rect$ngulo en S. Si la 6ipotenusa mide 10 cm y la medida de es I cm, calcular!

a)la medida de la altura correspondiente a la 6ipotenusa. b)la medida de la proyeccin de JS sobre la 6ipotenusa.

12.12. es rect$ngulo en S. Si las proyecciones de los catetos sobre la 6ipotenusa miden Kcm y

2 cm respectivamente, calcular! a)la medida del cateto mayor. b)la medida de la altura correspondiente a la 6ipotenusa.

13.13. /ado un tri$ngulo rect$ngulo, se pide calcular la medida de cada lado sabiendo que la alturacorrespondiente a la 6ipotenusa mide 4cm y la proyeccin de uno de los catetos sobre la

6ipotenusa mide 3cm.14.14. 5robar que!

a)si dos tri$ngulos son semeantes la ra*n de sus perAmetros es igual a la ra*n de un par delados 6omlogos cualesquiera.

b)si dos tri$ngulos son semeantes la ra*n de alturas 6omlogas es igual a la ra*n de un parde lados 6omlogos cualesquiera.

c) si dos tri$ngulos son semeantes la ra*n de sus $reas es igual al cuadrado de la ra*n de un par de lados 6omlogos cualesquiera.

15.15. Ln observador sobre la playa, ve un barco anclado fuera de la costa. 5ara encontrar ladistancia al barco., 6ace las mediciones mostradas en el dibuo. "&u' distancia 6ay de la playaal barco#

O 4Mm

20m EJ 5>C

20Mm

16.16. Sea ABC y 5 y & puntos de AB y BC respectivamente.

Si 12BP8AP y BQ GQC8QC, demostrar que 5&.

17.17. ;n el gr$fico es - y JS-, demostrar que!

AS.AB8 AC.AR.18.18. eniendo en cuenta el gr$fico

3

B

A

C

B C

E N

-


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y sabiendo que AM 8AN,

8

,

probar que! MB8NC

19.19. "u$l es la ra*n entre las $reas de dos tri$ngulos equil$teros cuyos lados midenrespectivamente 10 y 0 cm.

20.20. ;n un tri$ngulo de base BC8 4cm y altura AH8 Kcm, se tra*a un segmento paralelo a la

base, que corta a la altura en un punto H+ tal que AH '8 13AH. /eterminar las $reasde las dos partes en que queda dividido el tri$ngulo.

21.21. a) /os tri$ngulos issceles cualesquiera, "son siempre semeantes# "5or qu'#

b)Si dos tri$ngulos son congruentes "son semeantes#

c)"u$l es la ra*n entre $ngulos 6omlogos de polAgonos semeantes#

d)Si dos polAgonos son semeantes, "deben tambi'n ser regulares#

e)Si dos polAgonos con igual nDmero de lados no son semeantes "se puede concluir que los $nGgulos correspondientes no son congruentes#

f) >a semean*a entre polAgonos "es refleiva# "sim'trica#"transitiva#

g)"5ueden ser los lados de un tri$ngulo la mitad de los de otro# "C los $ngulos de un tri$ngulo, pueden ser la mitad de los de otro#

22.22. Lna fotografAa mide K,0 por 2,0 cmP se quiere amplificar de modo que el lado mayor mida

2Kcm. "cu$l es la longitud del perAmetro de la fotografAa amplificada#

23.23. >os lados de un polAgono son 4,0,Q,1M y 12 cm respectivamente. ;ncontrar las longitudes de loslados de un polAgono semeante cuyo lado mayor mide 10cm.

24.24. >os lados de un polAgono miden 3,0,K,Q, y 1Mcm, respectivamente. ;l perAmetro de un polAgonosemeante mide 4Mcm. alcular la longitud de cada uno de los lados del segundo polAgono.

25.25. /ados dos polAgonos semeantes, un par de lados 6omlogos miden 12cm y 10 cm. ;l perAmetrodel polAgono menor mide 3Mcm. ;ncontrar el perAmetro del otro polAgono.

26.26. >a ra*n de semean*a de dos paralelogramos es 23 y el $rea del primero mide KMcm 2. Hallarel $rea del segundo.

27.27. >os lados correspondientes de dos polAgonos semeantes miden respectivamente 10 y 20cmP el$rea del primero es de 10Mcm2. "u$l es el $rea del segundo#

28.28. Fndicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. ustificar.

4$


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a) Si dos cuadril$teros tienen sus cuatro lados respectivamente proporcionales, entonces sonsemeantes.

b) >a ra*n entre los perAmetros de dos polAgonos semeantes es igual a la ra*n entre un parde diagonales 6omlogas.

c) Si dos paralelogramos tienen un $ngulo congruente son semeantes.

d) Si dos paralelogramos tienen dos lados consecutivos proporcionales y el $ngulo comprendidocongruente, entonces son semeantes.

e) Si dos rombos tienen un $ngulo congruente, entonces son semeantes.

f) Si dos polAgonos cualesquiera tienen todos sus $ngulos respectivamente congruentes,entonces son semeantes.

g) >as diagonales de un trapecio se cortan en segmentos proporcionales.

!) Si la ra*n entre las $reas de dos polAgonos semeantes es"

#, entonces la ra*n de

semean*a es$

$%#

.

&'SP('ST)S*

+) a) K b) 0 c) , d) 2 -) %2,43 cmB3 =%0,20 cm3" =

#) a) 8 2 b) 8 I2M.) 12=0 52=# 50=. 10=u 53=v 512=2

/) /os tri$ngulos equil$teros cualesquiera son semeantes.>os polAgonos regulares de igual nDmero de lados son semeantes.

0) Son semeantes.>a re*n de semean*a es 34 o 43 .

$%) a) i)AB

A"

B4

B"

A4

AB

== ii)B4

"4

A4

B4

AB

"B

== iii)

B"

A"

4"

B"

B4

AB==

b) r 8 5 r 8 2 r 8 521

$$) a) R,2 cm1 b)I,K cm. $") a) %34 cm b)

%32 cm

$+) >os catetos miden 0 cm. C 2M3 cm. , y la 6ipotenusa 203 cm.

$#) %4$$ mB" = $0) I o 1I

"%) rea del rapecio 8 23

32cm rea del ri$ngulo 8 2

3

4cm

"$) a) No b) Si c) 1 d) No e) No f) Si g) Si. No

"") R2 cm. "+) 0 cm. K,20 cm. 1M cm. 12,0 cm.

"-) 3,R0 cm. K,20 cm. R,0 cm. 1M cm. 12,0 cm. "#) 3R,0 cm.".) 130 2cm "2) 41K,KR 2cm "/) a)

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