Universidad Nacional Mayor de San Marcos

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

TORSIÓN Ing. César Campos Contreras

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AB

BdF

dF

dF

ρ =

B

C

= T

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: deformación (radianes) : ángulo de giro De la fig. para valores pequeños de γ: AA´ = Lγ … (1) También: AA´ = ρϕ … (2) De (1) y (2) : Lγ = ρϕ La deformación unitaria a corte en una flecha circular varía linealmente con la distancia desde el eje de la flecha. Si ρ = r :

γ

γ =

γmax =

γ = γmax

ϕ

γ

A´

A

ρ

L

Esfuerzos en el rango elástico

Aplicando la ley de Hooke:

= Gγ

G: módulo de rigidez

También:

γ = γmax

Multiplicando x G:

γG = Gγmax

τ = τmax

En la superficie:

τ = τmax

ρr

τ

Para un eje circular hueco:

τ min = τmax

También: dA = T

Reemplazando τ = τmax , en la ecuación anterior:

τmaxdA = ; Pero: I(momento de inercia) =

T =

Despejando: τmax =

Sustituyendo τmax :

τ: momento cortante a cualquier distancia del eje de la flecha.

Eje macizo: I = r4

Eje circular hueco: I =

τ =

ρr

τmin

r1 r2

τmax

Ángulo de giro en el rango elástico

γmax =

También: γmax = = Dentro del rango elástico, el ángulo de giro ϕ es proporcional al par de torsión T aplicado al eje.

=

Φ = ; Φ: radianes

ϕ

γ

A´

A

ρ

L

PROBLEMA: Si se aplica un momento torsor de 10000kg/cm sobre un árbol de 45mm de diámetro ¿cuál es la tensión cortante máxima producida? y ¿cuál es el ángulo de giro en una longitud de árbol de 1,20m?

El material es de acero, para el cual G = 8,4x105 Kg/cm2

Solución:

= r = 2,25cm

τmax = = 558,898 kg/cm2

Φ = = = 0,035 rad

PROBLEMA: Un árbol hueco de acero de 3m de longitud debe transmitir un par de 250000 kg/cm. El ángulo de torsión en esta longitud no debe exceder de 2,5° y la tensión cortante admisible es de 850 kg/cm2. Determinar los diámetros exterior e interior del árbol, si G es igual a 8,5x105 kg/cm2.

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Las especificaciones principales que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión son la potencia que debe transmitirse y la “velocidad de rotación del eje”.

La función del diseñador es seleccionar el “material” y la “sección transversal” del eje para que el esfuerzo máximo del material no sea excedido cuando el eje transmite la potencia requerida para la velocidad especificada. La potencia “P” asociada con la rotación de un cuerpo rígido sujeto a un par “T” es : P = Tw

w: velocidad de rotación (radianes/segundo)

Pero: w = 2πf; P = 2πfT = watts

f: frecuencia de rotación

T = ; De la torsión elástica: τmax =

Se tiene:

= ; I = ½πr4;

Si: c = r = ½πr3

PROBLEMA: ¿Qué tamaño del eje debe usarse para aportar un motor de 5 hp, que opera a 3600 revoluciones por minuto, si el esfuerzo cortante no debe exceder de 8500 psi en el eje.

Solución:

P = 5hp x = 33000In x

f = 3600 rpm x = 60 Hz = 60s-1

T = = = 87,54 lb . In

Mínimo valor permisible: = = = 10,30 x 10-3In3

Pero:

= r3 = 10,30 x 10-3In³

r3 = 10,30 x 10-3In3

r = 0,1872 In

d = 2r = 2 x 0,1872 In = 0,374 In

Debe usarse un eje de Φ = In

PROBLEMA: Un eje consta de un tubo de acero de 50 mm de diámetro exterior debe transmitir 100 kwatts de potencia mientras gira a una frecuencia de 20GHz. Determinar el espesor del tubo que deberá utilizarse si el esfuerzo cortante no debe exceder de 60 MPa.

Ejercicio:

Diámetro de flecha = 2 pulg

Determinar el ángulo de torsión de la polea “D” con respecto a la polea “A”.

G = 12x103 lb/pulg2

A B C D6 pulg 4 pulg 4 pulg

7 klb-pulg 4 klb-pulg 3 klb-pulg

Solución:

Φ =

AB:

Φ = = 2,23

BC:

Φ = = 2,33

CD:

Φ = = 1,7

= 2,23 + 2,33 + 1,7 = 6,26 rad

7 klb-pulg

A

11 klb-pulg

B

8 klb-pulg

C

Ejercicio: Un motor, mediante un conjunto de engranajes, mueve un eje a 10Hz, según la fig. El motor entrega 45 kW en A y 30 kW en C. Elegir una flecha maciza de sección circular del mismo diámetro a todo lo largo. El esfuerzo cortante admisible es de 40MPa y el ángulo de torsión admisible es de 1/12 radianes.

Solución: Para el diseño considerar el esfuerzo cortante admisible y el ángulo de torsión admisible.

Flecha AB:

P = 2πTf

T = = = 716 N.m

Flecha BC:

T = = = 478 N.m

A C

B

3m 7,5m

45kw 75kw30kw

Para tener en cuenta el esfuerzo cortante admisible solo se debe considerar flecha AB.

(El par en la flecha BC < que en flecha AB)

τ = => =

J = I ; C = ρ = r

= = 17,9x10-6m3 … (α)

= = … (β)

(α)= (β) :

= 17,9x10-6 D = 0,045m D = 45mm

Para la limitación del ángulo de torsión:

Flecha AB

ϴ = J = ; = D = 0,070m D = 0,7mm

Flecha AB

= D = 0,079m D = 79mm