Topologia.PDF

Indice General

1 Espacios Topologicos 51.1 Espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Base para una topologıa dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Conceptos topologicos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Generacion de una topologıa por una aplicacion . . . . . . . . . . . . . 461.5 Subespacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6 Practico 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2 Funciones continuas, abiertas y cerradas. Homeomorfismos 672.1 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2 Funciones abiertas y cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.4 Topologıa asociada a una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.5 Construccion de topologıas: topologıas asociadas a funciones . . . . . . 1022.6 Practico No 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3 Producto de espacios topologicos 1133.1 Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2 Producto topologico de una familia finita de espacios topologicos . . . . 1143.3 Funciones en el espacio producto de un numero finito de conjuntos . . . 1283.4 Secciones paralelas en el producto cartesiano de un numero finito de

conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.5 Producto topologico de una familia arbitraria de espacios topologicos . 1403.6 Funciones en el espacio producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.7 Secciones paralelas en producto cartesiano de un numero arbitrario de

conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.8 Aplicacion: curvas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.9 Practico No 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4 Espacios conexos, arco conexos y localmente conexos 1774.1 Espacios conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.2 Conjuntos conexos en el espacio euclıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.3 Producto de espacios topologicos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.4 Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054.5 Conjuntos conexos por arcos o arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . 2134.6 Componentes arco conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.7 Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

2 Topologıa General

4.8 Practico No 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5 Axiomas de separacion 2435.1 Axioma de Kolmogoroff o axioma T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2435.2 Axioma de Frechet o axioma T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.3 Axioma de Hausdorff o axioma T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.4 Espacios regulares o espacios T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575.5 Espacios normales o T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2655.6 Caracterizacion de Tietze de los espacios normales . . . . . . . . . . . . 2795.7 Espacios completamente normales o T5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2895.8 Espacios completamente regulares o de Tychonoff . . . . . . . . . . . . 2895.9 Practico No 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6 Convergencia en los espacios topologicos 2996.1 Sucesiones, conjuntos dirigidos y redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2996.2 Bases de filtro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3066.3 Espacios que verifican el primer y el segundo axioma de numerabilidad 3266.4 Filtros y ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3386.5 Practico No 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

7 Topologıa de identificacion 3537.1 Topologıa de identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3537.2 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3597.3 Teoremas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3617.4 Conexion en la topologıa de identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . 3667.5 Espacios con relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3697.6 Identificacion en los espacios Ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.7 Practico No7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

8 Axiomas de cubrimiento 3828.1 Cubrimientos de espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3828.2 Espacios paracompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3948.3 Particiones de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4088.4 Espacios segundo numerables. Espacios de Lindelof . . . . . . . . . . . 4168.5 Espacios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

9 Espacios compactos y localmente compactos 4329.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4329.2 Producto topologico de espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 443

Licenciatura en Matematica 3

9.3 Subespacios compactos de los espacios Ti . . . . . . . . . . . . . . . . . 4449.4 Compactos en el espacio euclıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4489.5 Propiedades especiales de los espacios compactos . . . . . . . . . . . . . 4539.6 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4609.7 Producto topologico de espacios localmente compactos T2 . . . . . . . . 4699.8 Compactacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4739.9 Compactacion de Stone-Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4809.10 Practico N o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

10 Espacios compactos numerables, pseudocompactos, σ-compactos, k−es-pacios y espacios de Baire 49510.1 Espacios compactos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49510.2 Espacios pseudocompactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50910.3 Funciones perfectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52210.4 Espacios σ-compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53610.5 k−espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54410.6 Espacios de Baire. Categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

11 Espacios metricos 56211.1 Metricas sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56211.2 Topologıa inducida por una metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56311.3 Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56511.4 Continuidad de la distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56711.5 Propiedades de las topologıas metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56911.6 Producto cartesiano de espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 57411.7 El espacio l2(A); Cubo de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57911.8 Metrizacion de espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58211.9 Espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

12 Espacios de funciones 59712.1 La topologıa compacta-abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59712.2 Continuidad de la composicion. La funcion evaluacion . . . . . . . . . . 61312.3 Productos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62112.4 Aplicacion a topologıas de identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 62312.5 Basicos de ZY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62612.6 Subconjuntos compactos de ZY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635


.

1 Espacios Topologicos

1.1 Espacios topologicos

Las nociones de punto de acumulacion, convergencia y funcion continua en un espa-cio metrico, se caracterizan por la familia de entornos abiertos, la cual satisface ciertaspropiedades que permiten abstraer la nocion de entorno a cualquier conjunto arbitrario,dando de esta manera origen al concepto fundamental de “espacio topologico”.

Definicion 1.1.1 Sea X un conjunto no vacıo, una topologıa en X es una familia desubconjuntos de X, τ = Aii∈I ⊆ P (X), que satisface los siguientes axiomas:

1. Si Aii∈J⊆I ⊆ τ , entonces⋃i∈J

Ai ∈ τ, esto es, cada union de elementos de τ es

tambien un elemento de τ.

2. SiAij

j∈In

⊆ τ , entoncesn⋂

j=1

Aij ∈ τ, esto es, cada interseccion finita de ele-

mentos de τ es tambien un elemento de τ.

3. ∅ ∈ τ, X ∈ τ

Definicion 1.1.2 Un espacio topologico es un par (X, τ ) siendo X un conjunto novacıo y τ una topologıa en X.

Los elementos del conjunto X se llaman puntos del espacio y los elementos de τ sellaman “conjuntos abiertos”del espacio topologico (X, τ ) o de la topologıa τ

Observacion 1.1.1

1. Si (X, τ ) es un espacio topologico y G ∈ τ , diremos que G es un τ−abierto o unabierto para τ , cuando no haya lugar a dudas sobre la topologıa τ diremos que Ges un abierto del espacio X.

2. No existe una idea preconcebida del significado de la palabra “abierto”.

Ejemplo 1.1.1 En un conjunto X no vacıo se pueden considerar distintas topologıas,de hecho siempre existen las mencionadas en los dos primeros ejemplos.

1. Topologıa caoticaEn X 6= ∅, la familia τ0 = ∅,X ⊆ P (X) es una topologıa para X.τ0 es la topologıa caotica o indiscreta para X.

2. Topologıa discretaEn X 6= ∅, la familia D = P (X) es una topologıa para X.D es la topologıa discreta y el espacio topologico (X,D) es el espacio discreto.En un espacio discreto (X,D), todo subconjunto de X es un conjunto abierto,esto es, A ∈ D para todo A ⊆ X.


3. El espacio discreto 2Con 2 se indica el espacio discreto (X,D) donde X tiene dos puntos, por ejemplo2 = (X,D) con X = a, b o 0, 1 y D = P (X).

4. El espacio de SierpinskiSea X un conjunto con dos elementos, por ejemplo X = a, b y seaτS = ∅,X, a o bien τS = ∅,X, b .τS es una topologıa para X y el espacio topologico (X, τS) es el espacio de Sier-pinski.

5. Topologıa euclıdea en IREn el conjunto de los numeros reales se introduce la nocion de “abierto” sin hacermencion a la topologıa considerada, G ⊆ IR es “abierto” si, y solo si, para cadax ∈ G existe ε > 0 tal que E(x, ε) ⊆ G donde E(x, ε) = y ∈ IR : |y − x| < ε =(x− ε, x+ ε) .De acuerdo a esta definicion la familia τε = G ⊆ IR : G es “abierto” ⊆ P (IR)es una topologıa para IR.En efecto:

(i) Si Aii∈J⊆I ⊆ τε, entonces⋃i∈J

Ai ∈ τε.

(1) Aii∈J⊆I ⊆ τε, esto es, Ai ∈ τε para todo i ∈ J [Hip.]

(2) Sea x ∈⋃i∈J

Ai, [Hip.]

(3) existe i ∈ J tal que x ∈ Ai, [(2)]

(4) existe ε > 0 tal que E (x, ε) ⊆ Ai, [(1), (3)]

(5) E (x, ε) ⊆⋃i∈J

Ai. [(4)]

(6) Para cada x ∈⋃i∈J

Ai existe ε > 0 tal que E (x, ε) ⊆⋃i∈J

Ai, [(2), (4), (5)]

(7)⋃i∈J

Ai ∈ τε. [(6)]

(ii) SiAij

j∈In

⊆ τε, entoncesn⋂

j=1

Aij ∈ τε.

(1) SeaAij

j∈In

⊆ τε, esto es, Aij ∈ τε para todo j = 1, ..., n. [Hip.]

(2) Sea x ∈n⋂

j=1

Aij , [Hip.]

(3) x ∈ Aij para todo j = 1, ..., n. [(2)]

(4) Para cada j = 1, ..., n existe εj > 0 tal que E (x, εj) ⊆ Aij , [(1), (3)]

(5) ε = mınεjj=1,...,n > 0, [(4)]


(6) E (x, ε) ⊆ Aij para todo j = 1, ..., n, [(4), (5)]

(7) E (x, ε) ⊆n⋂

j=1

Aij . [(6)]

(8) Para cada x ∈n⋂

j=1

Aij existe ε > 0 tal que E (x, ε) ⊆n⋂

j=1

Aij , [(2), (5),

(7)]

(9)n⋂

j=1

Aij ∈ τε. [(8)]

iii) ∅, IR ∈ τε

La familia τε = G ⊆ IR : G es “abierto” ⊆ P (IR) es la topologıa euclıdea ousual para IR y el espacio topologico (IR, τε) es el espacio euclıdeo.

Resulta ası que la topologıa euclıdea para IR es:τε = G ⊆ IR : para cada x ∈ G existe ε > 0 tal que E(x, ε) ⊆ G

6. Topologıa euclıdea en IRn

En IRn se define el concepto de conjunto “abierto”al igual que en el conjunto delos numeros reales:G ⊆ IRn es “abierto” si, y solo si, para cada x ∈ G existe ε > 0 tal que

B(x, ε) ⊆ G donde B(x, ε) = y ∈ IRn : |y − x| < ε , |y − x| =

(n∑

i=1

|xi − yi|2) 1

2

,

x = [xi]ni=1 e y = [yi]

ni=1.

La familia τε = G ⊆ IRn : G es “abierto” es la topologıa usual o euclıdea enIRn. El par (IRn, τε) es el espacio euclıdeo.

7. Topologıa metricaEn general, a todo espacio metrico se le puede asociar una topologıa inducida porla metrica.Sea (X, d) un espacio metrico, G ⊆ X es “abierto”en X si, y solo si, para cadax ∈ G existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊆ G donde B(x, ε) = y ∈ X : d(x, y) < ε.La familia τd = G ⊆ X : G es “abierto”en X es una topologıa para X llamadatopologıa metrica o topologıa inducida por la metrica d.

8. Topologıa cofinitaSea X un conjunto no vacıo y sea τC = A ⊆ X : Ac es finito ∪ ∅ , dondeAc = X \A es el complemento del conjunto A con respecto al conjunto X.La familia τC es una topologıa para X llamada topologıa cofinita o topologıa delos complementos finitos.

Ejercicio 1.1.1 Sea X un conjunto no vacıo, probar que τ = D si, y solo si, x ∈ τpara todo x ∈ X.


Orden en la familia de los espacios topologicos

Sobre un conjunto arbitrario X se pueden considerar distintas estructuras topolo-gicas, siempre existen al menos dos, la topologıa caotica y la discreta. Si se consideraque cada topologıa para X es un subconjunto de P (X) resulta que en la familiaF = τα : τα es topologıa para X 6= ∅ se puede definir la siguiente relacion de orden.

Definicion 1.1.3 Sea X 6= ∅ y sean τα1, τα2 topologıas para X, τα1 es menos fina queτα2 si, y solo si, τα1 ⊆ τα2.

Si τα1 es menos fina que τα2 se notara τα1 ≺ τα2

Observacion 1.1.2

1. Tambien se dice que τα2 es mas fina que τα1 si τα1 ⊆ τα2.

2. Sea X 6= ∅, en F = τα : τα es topologıa para X se satisface la relacion,τ0 ≺ τα ≺ D para todo τα ∈ F .

Ejemplo 1.1.2

1. En IRn las topologıas inducidas por las metricas d1 (x, y) = max16i6n

|xi − yi| y

d2 (x, y) =n∑

i=1

|xi − yi| , son iguales a la topologıa euclıdea.

2. En IR, las topologıas τ1 y τ2 definidas por:G ∈ τ1 si, y solo si, para todo x ∈ G existe b ∈ IR tal que [x, b) ⊆ G,G ∈ τ2 si, y solo si, para todo x ∈ G existe b ∈ IR tal que (b, x] ⊆ G,satisfacen las siguientes propiedades:

− La topologıa euclıdea en IR es estrictamente menos fina que τ1 (o τ2)

− τ1 y τ2 no son comparables.

Entornos

Definicion 1.1.4 Sean (X, τ ) un espacio topologico y x ∈ X, un subconjunto U de Xes un entorno de x si existe V ∈ τ tal que x ∈ V ⊆ U.

Con Ux se designa a la familia de entornos de un punto x, luegoUx = U ⊆ X : U es un entorno de x = U ⊆ X : existe V ∈ τ : x ∈ V ⊆ U .

Ejemplo 1.1.3

1. En el espacio discreto (X,D), cualquier subconjunto de X que contenga a x ∈ Xes entorno de x.


2. En el espacio caotico, el unico entorno de x ∈ X es X.

3. En el espacio euclıdeo (IR, τε) :

a) el intervalo [−3, 5) es entorno del punto −2.

b) un intervalo [a, b] es entorno de todo punto x ∈ (a, b).

Definicion 1.1.5 Sean (X, τ ) un espacio topologico y x ∈ X, un subconjunto U de Xes un entorno abierto de x si U ∈ τ y x ∈ U.

Con U(x) se simboliza a un entorno abierto de x ∈ X y con U(x) a la familia deentornos abiertos de un punto x, luego

U(x) = U(x) ⊆ X : U(x) es un entorno abierto de x= U(x) ⊆ X : U(x) ∈ τ y x ∈ U(x) .

Observacion 1.1.3

1. Un entorno de un punto no es necesariamente un conjunto abierto, sino que esun conjunto que contiene a un abierto al cual el punto pertenece.

2. Todo entorno abierto de un punto es un entorno de dicho punto, es decir,

U(x) ⊆ Ux.

3. Algunos autores definen como entorno a lo que en esta teorıa se ha denominadoentorno abierto.

Teorema 1.1.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico, las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) G ∈ τ ,

(ii) G es entorno de cada uno de sus puntos.

Dem. Sea (X, τ ) un espacio topologico

(i) ⇒ (ii)

(1) Sean G ∈ τ y x ∈ G, [Hip.]

(2) G ∈ U(x), [(1)]

(3) G ∈ Ux, [(2)]

(4) G es entorno de cada uno de sus puntos. [(1), (3)]


(ii) ⇒ (i)

(5) G es entorno de cada uno de sus puntos. [Hip.]

(6) Para cada x ∈ G existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ G, [(5)]

(7) Para cada x ∈ G existe U(x) ∈ τ tal que x ∈ U(x) ⊆ G, [(6)]

(8)⋃

x∈G

U(x)⊆G

U(x) ⊆ G. [(7)]

(9) Sea x ∈ G, [Hip.]

(10) existe U(x) ⊆ G tal que x ∈ U(x) ⊆⋃

y∈G

U(y)⊆G

U(y), [(9), (7)]

(11) x ∈⋃

y∈G

U(y)⊆G

U(y), [(10)]

(12) G ⊆⋃

x∈GU(x)⊆G

U(x), [(9), (11)]

(13) G =⋃

x∈G

U(x)⊆G

U(x), [(8), (12)]

(14) G ∈ τ . [(7), (13)]

2

Ejemplo 1.1.4 Sea (IR, τε) el espacio euclıdeo, el conjunto A = [2, 5) /∈ τε, esto es, Ano es abierto en IR.

En efecto:

Supongamos que A es entorno del punto 2, esto es,

(1) existe V ∈ τε tal que 2 ∈ V ⊆ A, [Hip.]

(2) existe r > 0 tal que 2 ∈ E(2, r) ⊆ V ⊆ A, [(1)]

(3) existe r > 0 tal que (2 − r, 2 + r) ⊆ [2, 5), [(2)]

absurdo. Por lo tanto

(4) A no es entorno del punto 2, [(1), (3)]

(5) A no es abierto en IR. [(4), T.1.1.1]


Propiedades de las familias de entornos: Ux y U(x)

Lema 1.1.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea x ∈ X, se satisfacen las siguientespropiedades:

U1) Ux 6= ∅, esto es, todo punto tiene por lo menos un entorno.

U2) x ∈ V para todo V ∈ Ux.

U3) Si V ∈ Ux y V ⊆ U , entonces U ∈ Ux.

U4) Si V1, V2 ∈ Ux, entonces V1 ∩ V2 ∈ Ux, esto es, la interseccion finita de entornosde un punto x es entorno de x.

U5) Si U ∈ Ux, entonces existe V ⊆ U tal que x ∈ V y V ∈ Uy para todo y ∈ V.

Ejercicio 1.1.2 Sea (X, τ ) un espacio topologico, investigar las propiedades que sa-tisface la familia de entornos abiertos de un punto x ∈ X.

Topologıa asociada a la familia de entornos Ux

Teorema 1.1.2 Sea X un conjunto no vacıo, si cada x ∈ X tiene asociodo una familiaBx que satisface las propiedades U1, U2, U3, U4 y U5, entonces existe una topologıa paraX tal que para todo x ∈ X, Bx es la familia de entornos de x.

La topologıa definida en el Teorema 1.1.2 se llama topologıa a partir del sistema deentornos.

Ejemplo 1.1.5 Sea (X,6) un conjunto ordenado y sea Σx = a ∈ X : x 6 a, paracada x ∈ X. Entonces Bx = N ⊆ X : Σx ⊆ N satisface las propiedades U1 − U5, yla estructura topologica asociada se denomina estructura topologica del orden.

1.2 Base para una topologıa dada

Como se sabe, un conjunto se puede definir por extension, indicando todoslos elementos que lo constituyen, o por comprension, enunciando una propiedad quelos caracterice. Puesto que, en general, en un espacio topologico no se pueden darexplıcitamente todos los abiertos se tiene que recurrir a definirlos en funcion de algunapropiedad, o dando, solo los conjuntos abiertos suficientes para “generar”a todos loselementos de la topologıa. Esto nos induce a pensar en la existencia de subfamiliasmas reducidas que la de los abiertos, con las que bastara realizar las demostraciones.


Definicion 1.2.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico, una familia B ⊆ τ es una basepara τ si cada elemento de τ es union de elementos de B.

B = Bii∈I ⊆ τ es una base para τ si, y solo si, para todo A ∈ τ existe J ⊆ I talque A =

⋃i∈J⊆IBi∈B

Bi

Observacion 1.2.1

1. Tambien se dice que “B es una base para el espacio X”o “B es una base deabiertos de X”y sus elementos se llaman abiertos basicos o basicos de la topologıaτ.

2. De la Definicion 1.1.1 y la Definicion 1.2.1 resulta inmediato que una base paraτ determina completamente a la topologıa τ.

Ejemplo 1.2.1

1. Sea (X, τ ) un espacio topologico, la familia B = τ es una base para τ, llamadabase trivial de τ .

En efecto, A = A ∪A para todo A ∈ τ, luego B = τ es base para τ

2. Sea D la toplogıa discreta sobre X, entonces B = x : x ∈ X es una base paraτ.

En efecto,

(1) B ⊆ D(2) A =

⋃a∈A

a =⋃

a∈A

a∈B

a para todo A ∈ D

(3) B es base para D [(1), (2)]

La Definicion 1.2.1 da un metodo para obtener la topologıa a partir de la base B,la cuestion es ¿toda familia B ⊆ τ es base para τ?. El siguiente teorema da respuestaa este planteo.

Teorema 1.2.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea B ⊆ τ , las siguientes condi-ciones son equivalentes:

(i) B es una base para τ.

(ii) Para cada G ∈ τ y para cada x ∈ G existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ G.


Dem. Sean (X, τ ) un espacio topologico y B ⊆ τ [Hip.]

(i) ⇒ (ii)

(1) Sea B ⊆ τ una base para τ , [Hip.]

(2) sean G ∈ τ y x ∈ G, [Hip.]

(3) G =⋃j∈J

Bj, Bj ∈ B para todo j ∈ J , [(1), (2)]

(4) existe jo ∈ J tal que x ∈ Bjo, [(2), (3)]

(5) existe Bjo ∈ B tal que x ∈ Bjo ⊆ G. [(3), (4)]

(ii) ⇒ (i)

(6) Para cada G ∈ τ y para cada x ∈ G existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ G [Hip.]

(7) Sea G ∈ τ , [Hip.]

(8)⋃

x∈GBx⊆G

Bx ⊆ G. [(6), (7)]

(9) Sea y ∈ G, [Hip.]

(10) existe By ∈ B : y ∈ By ⊆ G, [(6), (7), (9)]

(11) y ∈⋃

x∈GBx⊆G

Bx, [(10)]

(12) G ⊆⋃

x∈GBx⊆G

Bx, [(9), (11)]

(13) G =⋃

x∈GBx⊆G

Bx, Bx ∈ B para todo x ∈ G, [(8), (12)]

(14) B es base para τ . [(7), (13)]

2

Ejemplo 1.2.2

1. Sea (IR, τε) el espacio euclıdeo, la familia B = E (x, ε) : x ∈ IR, ε > 0 es basepara τε.En efecto:


(1) B ⊆ τε

(2) Para todo A ∈ τε y para todo x ∈ A existe E (x, ε) ∈ Btal que E (x, ε) ⊆ A [Ej.1.1.1]

(3) B es base para τε [(1), (2), T.1.2.1]

2. En general, si (X, d) es un espacio metrico y τd es la topologıa metrica, entoncesB = B (x, ε) : x ∈ X, ε > 0 es base para τd.

En general, dada una base de una topologıa todos los conjuntos abiertos puedengenerarse como union de los elementos de la base, sin embargo, hay una forma masconveniente para describir a los conjuntos abiertos.

Teorema 1.2.2 Sea B ⊆ τ una base para τ, las siguientes condiciones son equiva-lentes:

(i) A ∈ τ .

(i) Para cada x ∈ A existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ A.

Dem.

(1) Sea B ⊆ τ una base para τ [Hip.]

(i) ⇒ (ii)

Inmediato del Teorema 1.2.1

(ii) ⇒ (i)

(2) Para cada x ∈ A existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ A, [Hip.]

(3) A =⋃

x∈ABx⊆A

Bx, Bx ∈ B para cada x ∈ A, [(2)]

(4) A ∈ τ [(1), (3)]

2

Tambien se puede caracterizar una base por medio de la familia de entornos comolo muestra el siguiente teorema.

Teorema 1.2.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea B ⊆ τ, las siguientes condi-ciones son equivalentes:

(i) B es una base para τ .


(ii) Para cada x ∈ X y para cada U ∈ Ux existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U.

Se plantea ahora la siguiente cuestion:

¿toda subfamilia B ⊆ P (X) es base para alguna topologıa sobre X ?.

La respuesta es negativa, por ejemplo, la familia B = X, ∅, a, b , b, c no es basede ninguna topologıa sobre X = a, b, cSin embargo, es posible establecer el siguiente resultado al respecto.

Teorema 1.2.4 Sea X 6= ∅ y sea B = Bα : α ∈ A ⊆ P (X) una familia de subcon-juntos de X que satisface la siguiente condicion:

“para cada Bα, Bβ ∈ B y para cada x ∈ Bα ∩ Bβ existe Bγ ∈ B tal quex ∈ Bγ ⊆ Bα ∩Bβ,”

entonces B′ = B ∪ ∅,X es base de alguna topologıa sobre X.

Dem. Sean B = Bα : α ∈ A ⊆ P (X) y B′ = B ∪ ∅,X tales que:

(1) para cada Bα, Bβ ∈ B y para cada x ∈ Bα ∩ Uβ existe Uγ ∈ B tal que

x ∈ Bγ ⊆ Bα ∩Bβ. [Hip.]

(2) Sea τ =

A ⊆ X : A =

⋃α∈J⊆A

Bα, Bα ∈ B′

⊆ P (X)

i) Si Aii∈I ⊆ τ , entonces⋃i∈I

Ai ∈ τ

(3) Sea Aii∈I ⊆ τ [Hip.]

(4) Ai =⋃

α∈J

Biα, B

iα ∈ B′ para cada α ∈ J, i ∈ I [(3), (2)]

(5)⋃i∈I

Ai =⋃i∈I

⋃α∈J

Biα, B

iα ∈ B′ para cada α ∈ J, i ∈ I [(4)]

(6)⋃i∈I

Ai ∈ τ [(5), (2)]

ii) Si Aj ∈ τ y Ai ∈ τ , entonces Ai ∩Aj ∈ τ

(7) Sean Aj ∈ τ, Ai ∈ τ [Hip.]

(8) Aj =⋃

α∈J

Bjα, B

jα ∈ B′ para cada α ∈ J [(2), (7)]

(9) Ai =⋃t∈I

Bit, B

it ∈ B′ para cada t ∈ I [(2), (7)]


(10) Aj ∩Ai =⋃

α∈J

Bjα ∩

⋃t∈I

Bit =

⋃(α,t)∈J×I

(Bjα ∩Bi

t) [(8), (9)]

Se analizan cuatro casos:

Primer caso.

(11) Bjα ∩Bi

t = ∅ para cada (α, t) ∈ J × I

(12) Aj ∩Ai ∈ τ [(10), (11), (2)]

Segundo caso.

(13) existe (α, t) ∈ J × I tal que Bjα = X y Bi

t = X

(14) Bjα ∩Bi

t = X [(13)]

(15) Aj ∩Ai ∈ τ [(10), (14), (2)]

Tercer caso.

(16) Bjα 6= X y Bi

t 6= X para cada (α, t) ∈ J × I

(17) para cada x ∈ Bjα ∩Bi

t existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ Bjα ∩Bi

t [(16),(1)]

(18) Bjα ∩Bi

t =⋃

x∈Bjα∩Bi

t

Bx⊆Bjα∩Bi

t

Bx, Bx ∈ B [(17)]

(19) Aj ∩Ai ∈ τ [(10), (18), (2)]

Cuarto caso.

(20) existe αo ∈ J tal que Bjαo

= X ( o existe to ∈ I tal que Bito

= X)

(21) Aj ∩Ai =⋃t∈I

Bit, B

it ∈ B′ [(20)]

(22) Aj ∩Ai ∈ τ [(21), (2)]

iii) ∅,X ∈ τ

(23) ∅ = ∅ ∪ ∅, ∅ ∈ B′

X = X ∪ X,X ∈ B′

(24) ∅,X ∈ τ [(23), (2)]

(25) τ es topologıa para X [i), ii), iii)]

(26) B′ es base de τ [(2)]

(27) τ es una topologıa para X que tiene a B′ como base. [(26), (2)]

2

Ejercicio 1.2.1 Probar que la topologıa τ definida en el Teorema 1.2.4 es la topologıamenos fina que contiene a B.


Observacion 1.2.2 Si se considera que ∅ =⋃i∈∅Ui, Ui ∈ B, no es necesario incluir al

conjunto vacıo en la base de la topologıa. Si no se acepta esta convencion, ∅ ∈ B paracualquier base B de una topologıa.

Corolario 1.2.1 Si B ⊆ P (X) satisface las siguientes condiciones:

(i) ∅,X ∈ B

(ii) Para todo Uα, Uβ ∈ B y para todo x ∈ Uα ∩ Uβ existe Uγ ∈ B tal quex ∈ Uγ ⊆ Uα ∩ Uβ.

Entonces B es base de alguna topologıa para X.

Corolario 1.2.2 Si B ⊆ P (X) satisface las siguientes condiciones:

(i) Para todo x ∈ X existe Ux ∈ B tal que x ∈ Ux,

(ii) para todo Uα, Uβ ∈ B y para todo x ∈ Uα ∩ Uβ existe Uγ ∈ B tal quex ∈ Uγ ⊆ Uα ∩ Uβ.

Entonces B es base de alguna topologıa para X.

Lema 1.2.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea B ⊆ τ una base de τ , entonces Bsatisface las siguientes propiedades:

(i) Para todo x ∈ X existe Ux ∈ B tal que x ∈ Ux.

(ii) Para todo Uα, Uβ ∈ B y para todo x ∈ Uα ∩ Uβ existe Uγ ∈ B tal quex ∈ Uγ ⊆ Uα ∩ Uβ.

Dem.

(1) Sea B ⊆ τ una base de τ . [Hip.]

i)

(2) Para todo x ∈ X existe Ux ∈ B tal que x ∈ Ux [(1), T.1.2.1]

ii)

(3) Sean Uα, Uβ ∈ B y x ∈ Uα ∩ Uβ, [Hip.]

(4) Uα ∩ Uβ ∈ τ , [(1), (3)]

(5) existe Uγ ∈ B tal que x ∈ Uγ ⊆ Uα ∩ Uβ. [(3), (4), T.1.2.1]


(6) Para todo Uα, Uβ ∈ B y para todo x ∈ Uα ∩ Uβ existe Uγ ∈ B

tal que x ∈ Uγ ⊆ Uα ∩ Uβ [(3), (5)]

2

Lema 1.2.2 Si B es base de τ y de τ ′, entonces τ = τ ′.

Dem. Sea B ⊆ P(X) tal que

(1) B es base de τ ,

(2) B es base de τ ′. [Hip.]

(3) Sea A ∈ τ ,

(4) A =⋃i∈I

Bi con Bi ∈ B, [(1), (3)]

(5) B ⊆ τ ′, [(2)]

(6) A =⋃i∈I

Bi con Bi ∈ τ ′, [(4), (5)]

(7) A ∈ τ ′, [(6)]

(8) τ ⊆ τ ′, [(3), (7)]

(9) τ ′ ⊆ τ , [(1), (2)]

(10) τ = τ ′. [(8), (9)]

2

Corolario 1.2.3 Sea Σ ⊆ P(X) tal que⋃

Si∈Σ

Si = X, entonces la familia de interseccio-

nes finitas de elementos de Σ es base de una topologıa sobre X y es la topologıa menosfina que contiene a Σ.

Este corolario sugiere la siguiente definicion.

Definicion 1.2.2 Sea X un conjunto no vacıo y sea Σ ⊆ P(X) tal que⋃

Si∈Σ

Si = X,

la topologıa generada por Σ es la determinada en el Corolario 1.2.3.Σ es la sub-base de la topologıa.Los elementos de Σ se llaman sub-basicos de la topologıa.


Con τ (Σ) se simboliza a la topologıa generada por Σ.

Por lo tanto, τ (Σ) es la menor topologıa en el sentido de la inclusion, que contiene aΣ.

Observacion 1.2.3

1. De la Definicion 1.2.2 y el Corolario 1.2.3 resultan las siguientes propiedades dela topologıa τ (Σ):

a) τ (Σ) es la topologıa menos fina que contiene a Σ.

b) B =

n⋂

j=1

Bij : Bij ∈ Σ

es base de τ (Σ)

c) τ (Σ) = ∅ ∪A ⊆ X : A =

⋃i∈I

n⋂j=1

Bij , Bij ∈ Σ

2. Si⋃

Si∈Σ

Si 6= X, entonces τ (Σ) = ∅,X ∪

A ⊆ X : A =

⋃i∈I

n⋂j=1

Bij , Bij ∈ Σ

Ejemplo 1.2.3

1. En IR, la topologıa generada por Σ = (a,+∞) : a ∈ IR ∪ (−∞, b) : b ∈ IRcoincide con la topologıa euclıdea.

2. En X 6= ∅, la familia de los subconjuntos de X cuyo complemento es un punto esuna sub-base de la topologıa cofinita.

Lema 1.2.3 Si B ⊆ P(X) es base de τ , entonces τ = τ (B) .

Dem.

(1) Sea B ⊆ P(X) una base de τ , [Hip.]

(2) B ⊆ τ , [(1)]

(3) τ (B) ⊆ τ [(2), Def.1.2.2]

(4) Sea G ∈ τ [Hip.]

(5) G =⋃

Bi∈BBi =

⋃Bi∈B

(Bi ∩Bi) [(1), (4)]

(6) G ∈ τ (B) [(5)]


(7) τ ⊆ τ (B) [(4), (6)]

(8) τ (B) = τ [(3), (7)]

2

Observacion 1.2.4

1. Del Lema 1.2.3 resulta que si B es base de τ , entonces B es sub-base de τ. Larecıproca, en general, no vale, no toda sub-base es base de la topologıa que ellagenera.

Por ejemplo, para X = 1, 2, 3, 4 la familia Σ = 1, 2, 2, 3, 4 no es unabase de τ (Σ).

2. Si B ⊆ P(X) satisface la condicion:

“para cada Uα, Uβ ∈ B y para cada x ∈ Uα ∩ Uβ existe Uγ ∈ B tal quex ∈ Uγ ⊆ Uα ∩ Uβ,”

entonces B es base de τ (B)

3. Aunque B ⊆ P(X) es base de una unica topologıa, bases distintas pueden generaruna misma topologıa; por ejemplo, si B es base de τ , entonces la topologıa τ (B)tiene a B y a τ (B) como base.Esta observacion sugiere la siguiente definicion:

Definicion 1.2.3 Dos bases B y B′ de X son equivalentes si τ (B) = τ (B′)

Teorema 1.2.5 Sean B = Uαα∈A y B′ = Vββ∈C dos bases para ciertas topologıasen X, entonces B y B′ son equivalentes si, y solo si, se satisfacen las siguientes condi-ciones:

(i) Para cada Uα ∈ B y para cada x ∈ Uα existe Vβ ∈ B′ tal que x ∈ Vβ ⊆ Uα

(ii) Para cada Vβ ∈ B′ y para cada x ∈ Vβ existe Uα ∈ B tal que x ∈ Uα ⊆ Vβ

Ejemplo 1.2.4 En el espacio euclıdeo(IR2, τε

), las familias

− B =E (x, r) : x ∈ IR2, r > 0

− B′ = Rαα∈A siendo Rα un rectangulo de lados paralelos a los ejes coordenados,es decir, Rα =

(x, y) ∈ IR2 : aα < x < bα, cα < y < dα, aα, bα, cα, dα ∈ IR

son bases equivalentes:


Bases de entornos

Algunas propiedades topologicas se pueden caracterizar en funcion de una subfami-lia de Ux, lo cual permite simplificar la demostracion de ciertas propiedades particu-lares.

Definicion 1.2.4 Una base de entornos o sistema fundamental de entornos de x enun espacio topologico (X, τ ) es una familia Bx tal que:

1. Todo elemento de Bx es un entorno de x, esto es, Bx ⊆ Ux.

2. Todo entorno de x contiene un elemento de Bx, es decir, para todo U ∈ Ux existeB ∈ Bx tal que B ⊆ U.

La familia B =⋃

x∈X

Bx es una base de entornos o sistema fundamental de entornos.

La familia Bx tambien recibe el nombre de base local para la familia Ux.

Ejemplo 1.2.5

1. Un espacio discreto admite como base de entornos de x ∈ X la familia Bx formadapor el conjunto x como unico elemento.

2. En el espacio euclıdeo real, las siguientes familias son bases de entornos de x ∈ IR

(x− r, x+ r) : r > 0 ;(x− 1

n, x+ 1

n

): n ∈ IN

[x− r, x+ r] : r > 0 ; [x− r, x+ r) : r > 0

Este ejemplo muestra que en un espacio topologico se pueden encontrar bases deentornos cuyos elementos no son conjuntos abiertos.

Lema 1.2.4 En todo espacio topologico (X, τ ), la familia de los entornos abiertos deun punto x forman una base de entornos de dicho punto.

1.3 Conceptos topologicos elementales

En lo que sigue, y mientras no se indique lo contrario, se considera un espaciotopologico (X, τ ).

Conjuntos cerrados

Definicion 1.3.1 Un conjunto A ⊆ X es un conjunto cerrado en X si, y solo si,Ac = X \A es un conjunto abierto en X.


Ejemplo 1.3.1

1. En la topologıa caotica, los unicos cerrados son ∅ y X.

2. En la topologıa discreta, todo subconjunto de X es cerrado.

3. En el espacio euclıdeo (IR, τε),

a) los conjuntos [a, b],ZZ y x con x ∈ IR, son cerrados en IR

En efecto:

[a, b]c = (−∞, a) ∪ (b,∞) ∈ τε

ZZc =⋃

z∈Z

(z, z + 1) ∈ τε

xc = (−∞, x) ∪ (x,∞) ∈ τε

b) el conjunto de los numeros racionales IQ no es abierto ni cerrado en IR

En efecto:

(1) Supongamos que IQ es abierto [Hip.]

(2) Para todo q ∈ IQ existe E(q, r) tal que E(q, r) ⊆ IQ [(1)]

(3) existe i ∈ II tal que i ∈ E(q, r) e i /∈ IQ

(4) E(q, r) 6⊆ IQ [(3)]

(5) IQ no es abierto [(1), (2), (4)]

En forma analoga se puede demostrar que:

(6) II no es abierto

(7) Supongamos que IQ es cerrado [Hip.]

(8) IQc = II es abierto [(6)]

(9) IQ no es cerrado [(6), (7), (8)]

Luego, el conjunto de los numeros racionales no es abierto ni cerrado en latopologıa euclıdea.

En forma analoga, se demuestra que el conjunto de los numeros irracionales IIno es abierto ni cerrado en la topologıa euclıdea.

c) El conjunto (a, b] no es abierto ni cerrado en IR.


En efecto:

(1) (a, b] no es entorno de b

(2) (a, b] no es abierto [(1),T.1.1.1]

(3) (a, b]c = (−∞, a] ∪ (b,∞) no es entorno de a

(4) (a, b]c no es abierto [(3), T.1.1.1]

(5) (a, b] no es cerrado [(4)]

4. En el espacio euclıdeo (IR2, τε), el conjunto A =(x, y) ∈ IR2 : 2 < y < 4, x = 1

no es abierto ni cerrado.

En efecto:

(1) E((1, 3), r) 6⊆ A para todo r > 0

(2) A no es abierto [(1)]

(3) E((1, 2), r) 6⊆ Ac para todo r > 0

(4) Ac no es abierto, luego A no es cerrado [(3)]

5. En el espacio cofinito (X, τC) , F ⊂ X es cerrado si, y solo si, F es finito.

En efecto:

Las siguientes condiciones son equivalentes:

(1) F ⊂ X es cerrado

(2) F c ∈ τC y F c 6= ∅(3) (F c)

ces finito

(4) F es finito.

La familia de los conjuntos cerrados de un espacio topologico verifica las propiedadesduales de la familia de los conjuntos abiertos, como lo ratifica el siguiente lema:

Lema 1.3.1 Si Fαα∈A es una familia de cerrados en (X, τ ), entonces se satisfacenlas siguientes propiedades:

F1)⋂

α∈AFα es un conjunto cerrado en X.

F2)n⋃

i=1αi∈A

Fαi es un conjunto cerrado en X.


F3) ∅ y X son conjuntos cerrados en X.

Dem.

(1) Sea Fαα∈A una familia de cerrados en (X, τ ) [Hip.]

F1)⋂

α∈AFα es un conjunto cerrado en X

(2)

( ⋂α∈A

Fα

)c

=⋃

α∈A(Fα)c

(3) (Fα)c ∈ τ para todo α ∈ A [(1)]

(4)

( ⋂α∈A

Fα

)c

∈ τ [(2),(3)]

(5)⋂

α∈AFα es cerrado en X [(4)]

2 En general, la union arbitraria de conjuntos cerrados no es un conjunto cerrado

como lo muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.3.2 Sea τC la topologıa cofinita en el conjunto de los numeros naturales ysea F = Fnn∈N con Fn = x ∈ IN : x 6 n, x 6= 1 ⊆ P (IN) , F es una familia decerrados en (IN, τC) y

⋃n∈N

Fn no es cerrado en IN.

En efecto:

(1) Sea (IN, τC) el espacio cofinito [Hip.]

(2) Fn = x ∈ IN : x 6 n, x 6= 1 = 2, 3, 4, ..., n [Hip.]

(3) τC−cerr = IN ∪ F ⊆ IN : F es finito [(1), Ej.1.3.1]

(4) Fn ∈ τC−cerr para todo n ∈ IN [(2),(3)]

(5)⋃

n∈N

Fn = n ∈ IN : n ≥ 2 [(2)]

(6)⋃

n∈N

Fn /∈ τC−cerr [(3),(5)]

En general, toda propiedad enunciada con conjuntos abiertos tiene su dual con-siderando a los conjuntos cerrados. Luego, existe la posibilidad de definir una estruc-tura topologica a traves de las propiedades de la familia de los conjuntos cerrados. Elsiguiente teorema enuncia dicha propiedad.


Teorema 1.3.1 Sea X un conjunto no vacıo y sea F = Fαα∈A ⊆ P(X) una familiaque satisface las siguientes propiedades:

F1) Si Fαα∈J⊆A ⊆ F , entonces⋂

α∈JFα ∈ F ,

F2) SiFαj

n

j=1⊆ F , entonces

n⋃j=1

Fαj ∈ F ,

F3) ∅,X ∈ F ,

entonces existe una unica topologıa sobre X cuya familia de cerrados es F .

Dem.

(1) Sea F ⊆ P(X) una familia que satisface F1, F2 y F3 [Hip.]

(2) Sea τ = A ⊆ X : Ac ∈ F ⊆ P(X)

(3) Sea Aαα∈J ⊆ τ [Hip.]

(4) Acα ∈ F para todo α ∈ J [(2), (3)]

(5)⋂

α∈JAc

α ∈ F [(4), (F1)]

(6)

( ⋃α∈J

Aα

)c

∈ F , luego⋃

α∈JAα ∈ τ [(2), (5)]

(7) SiAαj

n

j=1⊆ τ , entonces

n⋂j=1

Aαj ∈ τ [(1),(2)]

(8) ∅,X ∈ τ [(2),(F3)]

(9) τ es topologıa para X [(3), (6), (7), (8)]

(10) Sea F ∈ F [Hip.]

(11) F = (F c)c ∈ F [(10)]

(12) F c ∈ τ [(11),(2)]

(13) F ∈ τcerr [(12)]

(14) F ⊆ τcerr [(10), (13)]

(15) Sea F ∈ τcerr [Hip.]


(16) F c ∈ τ [(15)]

(17) F ∈ F [(2), (16)]

(18) τcerr ⊆ F [(15), (17)]

(19) τcerr = F [(14), (18)]

(20) Si existe τ ′ tal que τ ′cerr = F , entonces τ = τ ′ [(2)]

(21) existe una unica topologıa sobre X cuya familia de cerrados es F [(9), (19), (20)]

2

Segun el teorema anterior, basta dar sobre un conjunto X una familia que cumplalos axiomas de los conjuntos cerrados para determinar una estructura topologica sobreX.

Clausura de un conjunto

El objetivo de esta seccion es caracterizar la nocion de conjunto cerrado por unapropiedad intrınseca del conjunto ya que se ha definido en funcion del complemento.

Sea A ⊆ X y sea C = F ⊆ X : F es cerrado en X y A ⊆ F, C es una familiano vacıa puesto que X ∈ C y como la interseccion arbitraria de conjuntos cerrados escerrado, tiene sentido dar la siguiente definicion.

Definicion 1.3.2 Se llama clausura de A ⊆ X, y se simboliza A, a la interseccion detodos los conjuntos cerrados que contienen al conjunto A.Esto es, A =

⋂Fα∈C

Fα =⋂F : F es cerrado y A ⊆ F

Tambien se puede definir la clausura de un conjunto como:

Definicion 1.3.3 La clausura de A ⊆ X es el menor conjunto cerrado, en el sentidode la inclusion, que contiene al conjunto A.Esto es, B es la clausura de A ⊆ X si satisface las siguientes condiciones:

(i) A ⊆ B,

(ii) B es cerrado en X,

(iii) si F es cerrado en X y A ⊆ F , entonces B ⊆ F.

Ejemplo 1.3.3

1. En (X, τ ), con X = 1, 2, 3, 4 y τ = ∅,X, 1, 2 , 3, 4 , se verifica que:


a) 1, 2 = 1, 2

b) 1, 2, 3 = X.

2. En (X, τ0) , A = X para todo A ⊆ X.

3. En (X,D) , A = A para todo A ⊆ X.

La Definicion 1.3.2 y la Definicion1.3.3 no son constructivas por lo que se dara unmetodo para determinar la clausura de un conjunto.

Teorema 1.3.2 Sea A ⊆ X, la clausura de A es el conjunto formado por todos lospuntos cuyos entornos abiertos contienen por lo menos un punto del conjunto A.Esto es, A = x ∈ X : U(x) ∩A 6= ∅ para todo U(x) ∈ U(x)

Dem.

(1) Sea B = x ∈ X : U(x) ∩A 6= ∅ para todo U(x) ∈ U(x) [Hip.]

i) A ⊆ B

(2) Sea x ∈ A y sea U(x) ∈ U(x) [Hip.]

(3) x ∈ U(x) [D.1.1.5]

(4) U(x) ∩ A 6= ∅ [(2), (3)]

(5) x ∈ B [(1), (2), (4)]

(6) A ⊆ B [(2), (5)]

ii) B es cerrado en X

(7) Sea y ∈ Bc [Hip.]

(8) existe U(y) : U(y) ∩ A = ∅ [(1), (7)]

(9) Sea z ∈ U(y) [Hip.]

(10) U(y) ∈ U(z) [(9)]

(11) existe U(z) = U(y) tal que U(z) ∩ A = ∅ [(8), (10)]

(12) z ∈ Bc [(1), (11)]

(13) U(y) ⊆ Bc [(9), (12)]

(14) para todo y ∈ Bc existe U(y) tal que U(y) ⊆ Bc [(7), (8), (13)]

(15) Bc ∈ τ [(14), T.1.1.1]

(16) B es cerrado en X [(15)]


iii) B es el menor cerrado que contiene al conjunto A

(17) Sea F cerrado en X tal que A ⊆ F [Hip.]

(18) Sea y ∈ F c

(19) F c = U(y) ∈ U(y) [(17), (18)]

(20) U(y) ∩A = F c ∩A = ∅ [(17), (19)]

(21) existe U(y) ∈ U(y) : U(y) ∩A = ∅ [(19), (20)]

(22) y ∈ Bc [(1), (21)]

(23) B ⊆ F [(18), (22)]

(24) B es el menor cerrado que contiene al conjunto A [(17), (23)]

(25) A = x ∈ X : U(x) ∩ A 6= ∅ para todo U(x) ∈ U(x) [(1), (6), (16), (24)]

2

Definicion 1.3.4 Sea A ⊆ X, un punto x ∈ X es un punto de clausura de A si, y solosi, U(x) ∩A 6= ∅ para todo U(x) ∈ U(x).

Luego, de la Definicion 1.3.4 y el Teorema 1.3.2 resulta que:

A = x ∈ X : x es punto clausura de A

Ejercicio 1.3.1 Sea A ⊆ X, probar que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) U ∩A 6= ∅ para todo U ∈ Ux

(ii) U(x) ∩A 6= ∅ para todo U(x) ∈ U(x)

En efecto:

(i) ⇒ (ii)

(1) U ∩A 6= ∅ para todo U ∈ Ux [Hip.]

(2) Sea U(x) ∈ U(x) [Hip.]

(3) U(x) ∈ Ux [(2), L.1.2.4]

(4) U(x) ∩A 6= ∅ [(1), (3)]

(ii) ⇒ (i)

(5) U(x) ∩A 6= ∅ para todo U(x) ∈ U(x) [Hip.]


(6) Sea U ∈ Ux [Hip.]

(7) existe V (x) ∈ U(x) : V (x) ⊆ U [(6), L.1.2.4]

(8) V (x) ∩A 6= ∅ [(5), (7)]

(9) U ∩ A 6= ∅ [(7), (8)]

Observacion 1.3.1 En virtud del Ejercicio 1.3.1 resulta inmediato que:

A = x ∈ X : U ∩A 6= ∅ para todo U ∈ Ux

Ejemplo 1.3.4

1. En cualquier espacio topologico (X, τ ), X = X y ∅ = ∅.

2. En el espacio euclıdeo (IR, τε) :

a) x = x

b) [a, b] = [a, b]

c) A =

1

n: n ∈ IN

= A ∪ 0

En efecto:

c) A =

1

n: n ∈ IN

= A ∪ 0

(1) Sea B = A ∪ 0

(2) Sea x ∈ B, entonces x ∈ A o x = 0

Primer caso.

(3) x ∈ A

(4) U(x) ∩A 6= ∅ para todo U(x) [(3)]

(5) x ∈ A [(4)]

Segundo caso. x = 0

(6) Sea U(0) ∈ U(0) [Hip.]


(7) existe r > 0 tal que E(0, r) ⊆ U(0) [(6)]

(8)

1

n

−−−→n→∞ 0

(9) existe n0(r) tal que1

n< r para todo n ≥ n0 [(8)]

(10)1

n∈ E(0, r) para todo n ≥ n0 [(9)]

(11)1

n∈ U(0) ∩ A para todo n ≥ n0 [(7), (10)]

(12) U(0) ∩ A 6= ∅ para todo U(0) ∈ U(0) [(6), (11)]

(13) x = 0 ∈ A [(12)]

(14) B ⊆ A [(2), (5), (13)]

(15) Sea x ∈ Bc [Hip.]

(16) x < 0 o x > 1 o 0 < x < 1 y x /∈ A [(15)]

Primer caso.

(17) x < 0

(18) existe U(x) = E(x, ε) con ε = |x| tal que U(x) ∩A = ∅ [(17)]

Segundo caso.

(19) x > 1

(20) existe U(x) = E(x, x− 1) tal que U(x) ∩A = ∅ [(19)]

Tercer caso.

(21) 0 < x < 1 y x /∈ A

(22) existe n ∈ IN tal que1

n+ 1< x <

1

n[(21)]

(23) existe U(x) =

(1

n+ 1,1

n

)tal que U(x) ∩ A = ∅ [(22)]

(24) x ∈ Ac

[(18), (20), (23)]

(25) Bc ⊆ Ac

[(15), (24)]


(26) A = B = A ∪ 0 [(14), (25)]

3. En el espacio euclıdeo(IR2, τε

),

a) A =

(x, y) : 0 6 x 6 1, y =

1

n, n ∈ IN

= A ∪ (x, y) : 0 6 x 6 1, y = 0

b) A =

(x, y) : 0 < x 6 1, y = sen

1

x

= A ∪ (x, y) : x = 0,−1 6 y 6 1

4. En (IR, τ ) con τ = ∅, IR ∪(−x, x) : x ∈ IR+

a) A = x = (−∞,−x]∪ [x,∞) si x > 0

b) A = 0 = IR

c) A = [a, b] = (−∞, b] ∪ [−b,∞) si a 6 b < 0

d) A = [a, b] = (−∞,−a] ∪ [a,∞) si 0 < a 6 b

e) A = [a, b] = IR si a 6 0 6 b

Propiedades de la clausura

Lema 1.3.2 Sea A ⊆ X, entonces A es cerrado si, y solo si, A = A.

Dem. Sea A ⊆ X [Hip.]

(⇒)

(1) A es cerrado en X [Hip.]

(2) A ⊆ A

(3) A ⊆ A [(1)]

(4) A = A [(2), (3)]

(⇐)

(5) A = A [Hip.]

(6) A =⋂

F : F es cerrado y A ⊆ F [(5)]


(7) A es cerrado en X [(6), L.1.3.1]

2

Las propiedades algebraicas de la clausura estan caracterizadas en el siguiente lema.

Lema 1.3.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico, el operador clausura satisface las si-guientes propiedades:

C1. ∅ = ∅, X = X

C2. A ⊆ A

C3. Si A ⊆ B, entonces A ⊆ B

C4. A ∪ B = A ∪ B

C5. A ∩ B ⊆ A ∩ B

C6. A = A

C7.⋃

α∈AAα ⊆

⋃α∈A

Aα

C8. Si⋃

α∈AAα es cerrado en X, entonces

⋃α∈A

Aα =⋃

α∈AAα

Observacion 1.3.2

1. La propiedad 4 del operador clausura se generaliza, por induccion, para cualquiernumero finito de factores.

2. Algunas de las propiedades enunciadas en el Lema 1.3.3 facilitan algunos calculosde proximidad. Por ejemplo, para determinar la clausura de un conjunto A bastaconsiderar los puntos que no estan en A y, en consecuencia, un conjunto escerrado si contiene todos sus puntos clausura.

3. Otra forma de caracterizar a los conjuntos cerrados es por medio de los puntosde acumulacion, como se vera a continuacion.

Conjunto derivado

Definicion 1.3.5 Un punto x ∈ X es un punto de acumulacion de A ⊆ X si, y solosi, cada entorno de x contiene al menos un punto de A distinto de x.El conjunto de todos los puntos de acumulacion de A ⊆ X se llama el conjunto derivadode A y se simboliza A′.Esto es, A′ = x ∈ X : U ∩ A \ x 6= ∅ para todo U ∈ Ux


Ejercicio 1.3.2 Sea A ⊆ X, probar que:

A′ = x ∈ X : U(x) ∩ A \ x 6= ∅ para todo U(x) ∈ U(x)

Definicion 1.3.6 Un punto x ∈ A ⊆ X es un punto aislado de A si no es un puntode acumulacion de A.Es decir, x es un punto aislado de A si, y solo si, x ∈ A \A′.

Ejemplo 1.3.5 En (X, τ ) con X = a, b, c, d, e , τ = ∅,X, c , d, e , c, d, e , elderivado de A = a, c, b es a, b y c es punto aislado de A.

En efecto:

(1) τ = ∅,X, c , d, e , c, d, e

(2) U(a) = X [(1)]

(3) U(a) ∩A \ a 6= ∅ para todo U(a) [(2)]

(4) U(b) = X [(1)]

(5) U(b) ∩A \ b 6= ∅ para todo U(b) [(4)]

(6) U(c) = X, c , c, d, e [(1)]

(7) existe U(c) = c tal que U(c) ∩ A \ c = ∅ [(6)]

(8) U(d) = X, d, e , c, d, e [(1)]

(9) existe U(d) = d, e tal que U(d) ∩A \ d = ∅ [(8)]

(10) U(e) = X, d, e , c, d, e [(1)]

(11) existe U(e) = d, e tal que U(e) ∩ A \ e = ∅ [(10)]

(12) A′ = a, b [(3),(5),(7),(9),(11)]

(13) c ∈ A \A′, luego c es punto aislado de A [(7)]

Se establece ahora la relacion que existe entre el derivado y la clausura de unconjunto:

Lema 1.3.4 A′ ⊆ A para todo A ⊆ X

Dem.

(1) Sea x ∈ A′ [Hip.]


(2) U(x) ∩A \ x 6= ∅ para todo U(x) [(1)]

(3) Sea U(x) ∈ U(x) [Hip.]

(4) U(x) ∩A \ x 6= ∅ [(2), (3)]

(5) U(x) ∩A \ x ⊆ U(x) ∩A

(6) U(x) ∩A 6= ∅ [(4), (5)]

(7) U(x) ∩A 6= ∅ para todo U(x) [(3), (6)]

(8) x ∈ A [(7)]

(9) A′ ⊆ A [(1), (8)]

2

Observacion 1.3.3 El Lema 1.3.4 pone de manifiesto que la nocion de punto declausura es mas amplia que la de punto de acumulacion. En general, todo punto aisladoes un punto de clausura que no es de acumulacion, el Ejemplo 1.3.5 muestra que elconjunto A tiene a c como punto aislado y que A 6⊆ A′.

Lema 1.3.5 Sea A ⊆ X. Entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

(i) A = A ∪A′,

(ii) A es cerrado si, y solo si, A contiene todos sus puntos de acumulacion, esto es,A′ ⊆ A.

Dem.

i)

(1) A ⊆ A [L.1.3.3]

(2) A′ ⊆ A [L.1.3.4]

(3) A ∪ A′ ⊆ A [(1), (2)]

(4) Sea x ∈ A

Primer caso.

(5) x ∈ A y x ∈ A

(6) x ∈ A′ ∪A [(5)]


Segundo caso.

(7) x ∈ A y x ∈ Ac

(8) A \ x = A [(7)]

(9) U(x) ∩A 6= ∅ para todo U(x) ∈ U(x) [(7)]

(10) U(x) ∩A \ x 6= ∅ para todo U(x) [(8), (9)]

(11) x ∈ A′ ⊆ A ∪A′ [(10)]

(12) A ⊆ A ∪A′ [(4), (6), (11)]

(13) A = A ∪A′ [(3), (12)]

ii)

(14) A es cerrado si, y solo si, A = A [L.1.3.2]

(15) A es cerrado si, y solo si, A ∪A′ = A si, y solo si, A′ ⊆ A [(14), L.1.3.5]

2

Se puede definir primero el derivado de un conjunto A ⊆ X, luego la clausura deeste como la union de A con su derivado A′ y, por ultimo, probar que este es el menorconjunto cerrado que contiene al conjunto A.

Ejemplo 1.3.6

1. En el espacio de Sierpinski, A′ = 0′ = 1 siendo τ = ∅, 0, 1 , 0En efecto:

(1) τ = ∅, 0, 1 , 0 y τcerr = ∅, 0, 1 , 1(2) A = 0, 1 y A′ ⊆ 0, 1 [(1)]

(3) U(0) = 0, 1 , 0 [(1)]

(4) existe U(0) = 0 : U(0) ∩A \ 0 = ∅ [(3)]

(5) U(1) = 0, 1 , [(1)]

(6) para todo U(1), U(1) ∩ A \ 1 6= ∅ [(5)]

(7) A′ = 1 [(4),(6)]

2. En el espacio euclıdeo real, A′ =

1

n: n ∈ IN

′

= 0

En efecto:


(1) A′ ⊆ A =

1

n: n ∈ IN

∪ 0 [Ej.1.3.4]

(2) Sea U(0) ∈ U(0) [Hip.]

(3) A \ 0 = A

(4) U(0) ∩A \ 0 = U(0) ∩A 6= ∅ [(1),(3)]

(5) U(0) ∩A \ 0 6= ∅ para todo U(0), esto es, 0 ∈ A′ [(2),(4)]

(6) Sea x ∈

1

n: n ∈ IN

Primer caso.

(7) existe n ∈ IN : x =1

n, x 6= 1

(8)1

n+ 1< x <

1

n − 1[(7)]

(9) existe U(x) =

(1

n + 1,

1

n− 1

)tal que U(x) ∩A \ x = ∅ [(7),(8)]

Segundo caso.

(10) x = 1

(11) existe U(x) =

(1

2,3

2

)tal que U(x) ∩A \ x = ∅ [(10)]

(12) x /∈ A′ para todo x ∈

1

n: n ∈ IN

[(6),(9),(11)]

(13) A′ = 0 [(1),(5),(12)]

Lema 1.3.6 El operador derivado satisface las siguientes propiedades:

D1. ∅′ = ∅.

D2. A′ ⊆ A.

D3. Si A ⊆ B, entonces A′ ⊆ B′.

D4. (A ∪ B)′= A′ ∪B′.

D5. (A ∩ B)′ ⊆ A′ ∩ B′.

D6.⋃

α∈AA′

α ⊆( ⋃

α∈AAα

)′

D7. (A′)′ ⊆ A ∪A′.


D8. Para cada x ∈ X : x /∈ x′ .

Interior de un conjunto

Sea A ⊆ X y sea V = G ⊆ X : G ∈ τ y G ⊆ A, V es una familia no vacıa puestoque ∅ ∈ V y como la union arbitraria de conjuntos abiertos es abierto, tiene sentidodar la siguiente:

Definicion 1.3.7 El interior de A ⊆ X es la union de todos los conjuntos abiertoscontenidos en A.El conjunto interior de A se simboliza I (A), luego,

I (A) =⋃

G∈V

G =⋃

G ⊆ X : G ∈ τ y G ⊆ A

Ejercicio 1.3.3 Probar que el interior de A ⊆ X es el mayor conjunto abierto, en elsentido de la inclusion, contenido en A. Es decir, I (A) = B si, y solo si, B satisfacelas siguientes condiciones:

(i) B ⊆ A,

(ii) B ∈ τ ,

(iii) si G ⊆ A y G ∈ τ , entonces G ⊆ B.

Definicion 1.3.8 Sea A ⊆ X, x ∈ A es punto interior de A si existe un entornoabierto de x contenido en A.Esto es, x ∈ A es punto interior de A si, y solo si, existe U(x) : U(x) ⊆ A

Ejercicio 1.3.4 Probar que las siguientes condiciones son equivalentes

(i) x ∈ A es punto interior de A,

(ii) A ∈ Ux (A es entorno de x),

(iii) existe U ∈ Ux tal que x ∈ U ⊆ A.

Ejemplo 1.3.7

1. En X = 1, 2, 3, 4, τ = ∅,X, 1, 2, 3, 4, se verifica que:

a) I (1, 2) = 1, 2

b) I (1, 2, 3) = 1, 2

2. En (X,D) , I(A) = A para todo A ⊆ X.


3. En el espacio de Sierpinski, X = 0, 1 , τ = ∅,X, 0 el conjunto A = 1 notiene puntos interiores y I (0) = 0

Teorema 1.3.3 Sea A ⊆ X, entonces el interior de A es el conjunto de todos lospuntos interiores de A, esto es, I (A) = x ∈ X : existe U(x) tal que U(x) ⊆ A .

Dem.

(1) Sea B = x ∈ X : existe U(x) tal que U(x) ⊆ A

i) B ⊆ A

(2) Sea x ∈ B [Hip.]

(3) existe U(x) tal que U(x) ⊆ A [(1), (2)]

(4) x ∈ A [(3)]

(5) B ⊆ A [(2), (4)]

ii) B ∈ τ

(6) Sea x ∈ B [Hip.]

(7) existe U(x) tal que U(x) ⊆ A [(1), (6)]

(8) Sea y ∈ U(x) [Hip.]

(9) U(x) ∈ τ

(10) U(x) ∈ U(y) [(8), (9)]

(11) existe V (y) = U(x) ∈ U(y) tal que V (y) ⊆ A [(7), (10)]

(12) y ∈ B [(1), (11)]

(13) U(x) ⊆ B [(8), (12)]

(14) para todo x ∈ B existe U(x) ∈ U(x) tal que U(x) ⊆ B [(6), (13)]

(15) B ∈ τ [(14), T.1.1.1]

iii) B es el mayor conjunto abierto contenido en A

(16) Sea G ∈ τ tal que G ⊆ A [Hip.]

(17) Sea x ∈ G [Hip.]

(18) existe U(x) = G : U(x) ⊆ A [(16), (17)]

(19) x ∈ B [(18)]

(20) G ⊆ B [(17), (19)]


(21) B es el mayor conjunto abierto contenido en A [(16), (20)]

(22) I (A) = B = x ∈ X : existe U(x), U(x) ⊆ A [(5), (15), (21)]

2

Ejemplo 1.3.8

1. En cualquier espacio topologico (X, τ ) , I (X) = X, I (∅) = ∅.

2. En (X, τ0) , I (A) = ∅ para todo A ⊂ X.

3. En (IR, τε) ,

a) I (A) = I

(1

n: n ∈ IN

)= ∅

En efecto:

(1) Supongamos que I (A) 6= ∅, es decir, existe x ∈ I(A) [Hip.]

(2) existe U(x) tal que U(x) ⊆ A [(1)]

(3) existe E(x, ε) tal que E(x, ε) ⊆ U(x) ⊆ A [(2)]

(4) E(x, ε) ⊆ A, lo cual es falso [(3)]

(5) I (A) = I

(1

n: n ∈ IN

)= ∅ [(1), (4)]

b) I (Q) = ∅

4. En (IR, τ2) siendo τ2 la topologıa definida en el Ejemplo 1.1.2, I ((a, b]) = (a, b]

En efecto:

(1) Sea x ∈ (a, b] [Hip.]

(2) existe (a, b] ∈ τ2 : x ∈ (a, b] ⊆ (a, b] [(1)]

(3) x ∈ I ((a, b]) [(2), T.1.3.3]

(4) (a, b] ⊆ I ((a, b]) [(2), (3)]

(5) Sea x ∈ I ((a, b]) [Hip.]

(6) existe U(x) tal que U(x) ⊆ (a, b] [(5), T.1.3.3]

(7) x ∈ (a, b] [(6)]


(8) I ((a, b]) ⊆ (a, b] [(5), (7)]

(9) I ((a, b]) = (a, b] [(4), (8)]

Propiedades del operador interior

Lema 1.3.7 Sea A ⊆ X, entonces A es abierto si, y solo si, I (A) = A

Dem. Sea A ⊆ X,

(⇒)

(1) A ∈ τ [Hip.]

(2) I (A) ⊆ A [E.1.3.1]

(3) A ⊆ I (A) [(1), E.1.3.1]

(4) A = I (A) [(2), (3)]

(⇐)

(5) A = I (A) [Hip.]

(6) A ∈ τ [(5), E.1.3.1]

2

Lema 1.3.8 Sea (X, τ ) un espacio topologico, el operador interior satisface las si-guientes propiedades:

I1. I (X) = X, I (∅) = ∅.

I2. I (A) ⊆ A.

I3. Si A ⊆ B, entonces I (A) ⊆ I (B) .

I4. I (A) ∪ I (B) ⊆ I (A ∪ B) .

I5. I (A) ∩ I (B) = I (A ∩ B) .

I6. I (I (A)) = I (A) .

I7. I (A) =(Ac)c

I8. A = (I (Ac))c


Dem.

I7.(Ac)c

= (⋂

F : F ∈ τcerr, Ac ⊆ F)c =

⋃F c : F c ∈ τ, F c ⊆ A = I (A)

I8. (I (Ac))c= (⋃

V : V ∈ τ, V ⊆ Ac)c=⋂

V c : V c ∈ τcerr, A ⊆ V c = A

2

Propiedades de los operadores interior y clausura

Sea (X, τ ) un espacio topologico, la clausura y el interior definen dos aplicaciones,

Cl : P (X) → P (X) tal que Cl(A) = A para cada A ∈ P(X)

Int : P (X) → P (X) tal que Int(A) = I(A) para cada A ∈ P(X)

llamadas, respectivamente, operadores clausura e interior.Las propiedades que caracterizan a estos operadores son, segun lo demostrado en

las secciones anteriores, las siguientes:

1. Los conjuntos vacıo y X son elementos fijos de los dos operadores, es decir,Cl(X) = Int(X) = X, Cl(∅) = Int(∅) = ∅

2. Los conjuntos cerrados (abiertos) son los elementos fijos o constantes del operadorclausura (interior).

3. Los dos operadores son idempotentes, esto es, Cl Cl = Cl, Int Int = Int

4. La imagen del operador clausura (interior) es la familia de los conjuntos cerrados(abiertos).

5. Sea C : P (X) → P (X) la aplicacion definida por C (A) = Ac = X \ A, entonceslos siguientes diagramas son conmutativos:

.................................................................................................................................................................................................................................... P(X)

P(X)Int

Cl

CC

.............................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................P(X)

P(X)

.............................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................... P(X)

P(X)Cl

Int

CC

.............................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................P(X)

P(X)

.............................................................................................................................................................


Es decir, C (Int(A)) = Cl (C (A)) y C (Cl(A)) = Int (C (A)) para todo A ⊆ X,por lo que el operador Cl conmuta con el operador Int a traves del operadorcomplementario C, y recıprocamente.

Frontera de un conjunto

Definicion 1.3.9 Sea A ⊆ X, x es un punto frontera de A si todo entorno abierto dex contiene puntos de A y puntos de Ac.Se llama frontera de A al conjunto de todos los puntos frontera de A y se simbolizaFr(A), es decir,

Fr(A) = x ∈ X : U(x) ∩A 6= ∅ y U(x) ∩Ac 6= ∅, para todo U(x) ∈ U(x) .

Definicion 1.3.10 Sea A ⊆ X, x es punto exterior de A si existe un entorno abiertode x contenido en X \A.Se llama conjunto exterior de A al conjunto de todos los puntos exteriores de A, y sesimboliza Ext(A).Luego, x ∈ Ext(A) si, y solo si, existe U(x) tal que U(x) ⊆ X \A.

Observacion 1.3.4 De la Definicion 1.3.10 resultan inmediatas las siguientes propiedades:

(i) Fr(A) = A ∩X \A = A ∩Ac,

(ii) Fr(A) = Fr(Ac),

(iii) Fr(A) es un conjunto cerrado,

(iv) Ext(A) = I(X \A) = (A)c.

Lema 1.3.9 En cualquier espacio topologico (X, τ ) , se satisfacen las siguientes propie-dades:

F1. Fr(∅) = Fr(X) = ∅

F2. Fr(A) = A \ I(A)

F3. Fr(A) ∩ I (A) = ∅

F4. I(A) = A \ Fr(A)

F5. A = I(A) ∪ Fr(A)


F6. X = I(A) ∪ I (Ac) ∪ Fr(A)

F7. Si I(A) 6= ∅, I (Ac) 6= ∅ y Fr(A) 6= ∅, entonces IP = I(A), I (Ac) , F r(A) esuna particion de X.

Dem.

F1. (1) Fr(∅) = ∅ ∩ ∅c = ∅(2) Fr(X) = Fr(∅) = ∅ [Obs.1.3.4]

F2. Fr(A) = A ∩ Ac = A ∩ (I ((Ac)c))c = A \ I (A) [L.1.3.8]

F3. Fr(A) ∩ I (A) =(A \ I (A)

)∩ I (A) = A ∩ (I (A))c ∩ I (A) = ∅ [2.]

F4. Fr(A) ∪ I (A) =(A \ I (A)

)∪ I (A) = A ∪ I (A) = A [2.]

F5. A \ Fr(A) = A ∩(A \ I (A)

)c= A ∩

((A)c ∪ I (A)

)

= A ∩ I (A) = I (A) [2.]

F6. I(A) ∪ I (Ac) ∪ Fr(A) = A ∪ I (Ac) = A ∪ (A)c = X [4., L.1.3.8]

F7. (3) I(A) 6= ∅, I (Ac) 6= ∅, F r(A) 6= ∅ [Hip.]

(4) I (Ac) ∩ I (A) = I (∅) = ∅ [L.1.3.8]

(5) Fr(A) ∩ I (A) = ∅ [3.]

(6) Fr(A) ∩ I (Ac) = Fr(Ac) ∩ I (Ac) = ∅ [L.1.3.9]

(7) I(A) ∪ I (Ac) ∪ Fr(A) = X [6.]

(8) IP = I(A), I (Ac) , F r(A) es una particion de X [(3), (4), (5), (6), (7)]

2

Conjuntos especiales en un espacio topologico

Conjuntos densos

Definicion 1.3.11 Sea (X, τ ) un espacio topologico, D ⊆ X es denso en X si, y solosi, D = X


Ejemplo 1.3.9

1. En (IR, τε), los conjuntos IQ e II son densos.

2. En(IR2, τε

), el conjunto IQ2 es denso.

3. En (IR, τ ) con τ =(−x, x) : x ∈ IR+

∪ ∅, IR , el conjunto [−2, , 3) es denso.

Formulaciones equivalentes para conjuntos densos

Teorema 1.3.4 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea D ⊆ X, las siguientes condi-ciones son equivalentes:

(i) D es denso en X.

(ii) Si D ⊆ F y F es cerrado en X, entonces F = X.

(iii) Si B ⊆ τ es base para τ , entonces B ∩D 6= ∅ para todo B ∈ B, B 6= ∅.

(iv) I (Dc) = ∅

Dem. Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea D ⊆ X [Hip.]

(i) ⇒ (ii)

(1) D es denso en X [Hip.]

(2) Sea F cerrado en X tal que D ⊆ F [Hip.]

(3) D ⊆ F [(2)]

(4) F = X [(1), (3)]

(ii) ⇒ (iii)

(5) Sea B ⊆ τ una base para τ tal que

(6) existe B ∈ B, B 6= ∅ y B ∩ D = ∅ [Hip.]

(7) D ⊆ Bc, Bc 6= X, B ∈ τ [(5), (6)]

(8) existe F = Bc cerrado tal que D ⊆ F y F 6= X [(7)]

(iii) ⇒ (iv)

(9) I (Dc) 6= ∅ [Hip.]


(10) existe x ∈ I (Dc) , I (Dc) ∈ τ [(9)]

(11) Sea B ⊆ τ una base para τ [Hip.]

(12) existe B ∈ B : x ∈ B ⊆ I (Dc) [(10), (11), T.1.2.2]

(13) existe B ∈ B, B 6= ∅ y B ⊆ Dc [(12), L.1.3.8]

(14) existe B ∈ B, B 6= ∅ y B ∩D = ∅ [(13)]

(iv) ⇒ (i)

(15) I (Dc) = ∅ [Hip.]

(16) I (Dc) = (D)c [L.1.3.8]

(17) D = X, luego D es denso en X [(15), (16)]

2

Definicion 1.3.12 Sea (X, τ ) un espacio topologico,

1. A ⊆ X es un conjunto ralo si, y solo si, I(A)

= ∅,

2. V ⊆ X es abierto regular si, y solo si, I(V)

= V,

3. F ⊆ X es cerrado regular si, y solo si, I (F ) = F,

4. A ⊆ X es perfecto si, y solo si, A es cerrado y no tiene puntos aislados, esto es,A = A y A \A′ = ∅.

Ejemplo 1.3.10

1. En (IR, τε) ,

(i) A = (0, 1) es abierto regular.

En efecto: I(A)

= I ([0, 1]) = (0, 1) = A

(ii) B = [0, 1] es cerrado regular y perfecto.

En efecto: I (B) = (0, 1) = [0, 1] = B

2. En (X, τ ) con X = a, b, c, d, e y τ = ∅,X, a , a, b , a, b, c ,

(i) A = a, b no es abierto regular pero es abierto.


En efecto: I(A)

= I (X) = X 6= A

(ii) B = c, d, e no es cerrado regular pero es cerrado.

En efecto: I (B) = ∅ = ∅ 6= B

3. En(IR2, τε

), A = (x, y) : y = 0, 0 < x < 1 es un conjunto ralo.

En efecto:

(1) A = (x, y) : y = 0, 0 6 x 6 1

(2) Supongamos que I(A)6= ∅, luego existe p ∈ I

(A)

[Hip.]

(3) existe E(p, r) tal que E(p, r) ⊆ I(A)⊆ A [(2)]

(4) p ∈ A, entonces p = (x, 0) , 0 6 x 6 1 [(1), (3)]

(5) Sea q =(x,r

2

)

(6) q ∈ E (p, r) y q /∈ A [(1), (4), (5)]

(7) E (p, r) 6⊆ A lo que contradice (3) [(6)]

(8) I(A)

= ∅, luego A es ralo [(2), (7)]

4. En (IR, τ ) con τ =(−x, x) : x ∈ IR+

∪ ∅, IR , el conjunto A = −2 ∪ [3, 4)

es ralo.

1.4 Generacion de una topologıa por una aplicacion

Cada uno de los conceptos discutidos en la seccion anterior (con excepcion de ladensidad) se pueden usar como conceptos primitivos para introducir una topologıaen un conjunto. Por ejemplo, si en un conjunto X se determina que es lo que seentiende por clausura de cada uno de los subconjuntos de X, entonces existe una unicatopologıa para X en la cual la clausura de cada conjunto es exactamente el conjuntopredeterminado.

Teorema 1.4.1 Sea X un conjunto no vacıo y sea µ : P (X) → P (X) una aplicacionque satisface las siguientes propiedades:

C1) µ (∅) = ∅,

C2) A ⊆ µ (A) para todo A ∈ P (X),

C3) (µ µ) (A) = µ (A) para todo A ∈ P (X),


C4) µ (C ∪D) = µ (C) ∪ µ (D) para todo C,D ∈ P (X),

entonces existe una unica topologıa para X tal que µ (A) = A para todo A ∈ P (X) .

Dem.

(1) Sea µ : P (X) → P (X) una aplicacion que satisface las

propiedades C1,C2,C3 y C4. [Hip.]

(2) µ es monotona creciente [(1), (C4), E.??]

(3) Sea τ = (µ (A))c : A ∈ P (X) ⊆ P (X)

i) τ es topologıa para X

(4) Sea Gii∈I ⊆ τ y sea G =⋃i∈I

Gi [Hip.]

(5) Gi = (µ (Ai))c, Ai ∈ P (X) para cada i ∈ I [(3), (4)]

(6) Gc =

(⋃i∈I

Gi

)c

=⋂i∈I

Gci =

⋂i∈I

µ (Ai) [(4), (5)]

(7) Gc ⊆ µ (Ai) para todo i ∈ I [(6)]

(8) µ (Gc) ⊆ µ (µ (Ai)) = µ (Ai) para todo i ∈ I [(7), C3, (2)]

(9) µ (Gc) ⊆⋂i∈I

µ (Ai) = Gc [(8), (6)]

(10) Gc ⊆ µ (Gc) [C2]

(11) Gc = µ (Gc) [(9), (10)]

(12) existe A = Gc tal que G = (µ (Gc))c,

luego G =⋃i∈I

Gi ∈ τ [(11), (3)]

(13) Sean G1, G2 ∈ τ

(14) G1 = (µ (A1))c, G2 = (µ (A2))

c, A1, A2 ∈ P (X) [(13), (3)]

(15) G1 ∩G2 = (µ (A1))c ∩ (µ (A2))

c = (µ (A1) ∪ µ (A2)) c

= (µ (A1 ∪A2))c [(14), C4]

(16) existe A1 ∪A2 ⊆ X tal que G1 ∩G2 = (µ (A1 ∪A2))c,

luego G1 ∩G2 ∈ τ [(15), (3)]

(17) SiGij

j∈In

⊆ τ , entoncesn⋂

j=1

Gij ∈ τ [(13), (16)]

(18) X = ∅ c = (µ (∅))c ∈ τ [C1]


(19) X ⊆ µ (X) [C2]

(20) X = µ (X) [(19)]

(21) ∅ = Xc = (µ (X))c ∈ τ [(20)]

(22) τ es topologıa para X [(4), (12), (17), (18), (21)]

ii) A = µ (A) para todo A ⊆ X.

(23) Sea A ⊆ X [Hip.]

(24) A ⊆ µ (A) [(23), C2]

(25) µ (A) ∈ τcerr [(23), (3)]

(26) Sea F cerrado en X tal que A ⊆ F [Hip.]

(27) F c ∈ τ [(26)]

(28) existe B ∈ P (X) tal que F = µ (B) [(27), (3)]

(29) µ (A) ⊆ µ (F ) [(26), (2)]

(30) µ (F ) = µ (µ (B)) = µ (B) = F [(28), C3]

(31) µ (A) ⊆ F [(29), (30)]

(32) A = µ (A) [(24), (25), (26), (31)]

iii) τ es la unica topologıa para X tal que A = µ (A) para cada A ⊆ X.

(33) Supongamos que existe τ ′ topologıa para X tal que

Aτ ′ = µ (A) para cada A ⊆ X. [Hip.]

(34) Sea G ∈ τ [Hip.]

(35) existe A ∈ P (X) : G = (µ (A))c = Ac

τ ′ [(3), (34), (33)]

(36) Aτ ′ ∈ τ ′cerr entonces Ac

τ ′ ∈ τ ′

(37) G ∈ τ ′ [(35), (36)]

(38) τ ⊆ τ ′ [(34), (37)]

(39) Sea G ∈ τ ′ [Hip.]

(40) Gc = Gcτ ′ = µ (Gc) [(39), (33)]

(41) existe A = Gc ⊆ X : G = (µ (Gc))c [(40)]

(42) G ∈ τ [(41), (3)]

(43) τ ′ ⊆ τ [(39), (42)]

(44) τ = τ ′ [(38), (43)]


Finalmente, τ = (µ (A))c : A ∈ P (X) es la unica topologıa para X tal queµ (A) = A para cada A ⊆ X. 2

Teorema 1.4.2 Sea X un conjunto no vacıo y sea η : P (X) → P (X) una aplicacionque satisface las siguientes propiedades:

I1) η (X) = X,

I2) η (A) ⊆ A para todo A ∈ P (X),

I3) (η η) (A) = η (A) para todo A ∈ P (X),

I4) η (C ∩D) = η (C) ∩ η (D) para todo C,D ∈ P (X),

entonces existe una unica topologıa para X tal que η (A) = I (A) para todo A ∈ P (X) .

1.5 Subespacios topologicos

En general, todo subconjunto de un espacio topologico hereda tambien una estruc-tura topologica.

Definicion 1.5.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X,GA ⊆ A es abiertoen A si, y solo si, existe G ∈ τ tal que GA = G ∩ A.Los conjuntos abiertos en A se llaman conjuntos relativamente abiertos o abiertosrelativos en A.

Lema 1.5.1 La familia de abiertos relativos en un subconjunto A de un espacio topolo-gico (X, τ ) es una topologıa para A. Es decir, si (X, τ ) es un espacio topologico yA ⊆ X, entonces la familia τA = GA ⊆ A : GA = G ∩A con G ∈ τ es una topologıapara A.

Dem.

(1) Sea (X, τ ) un espacio topologico, sea A ⊆ X y [Hip.]

(2) sea τA = GA ⊆ A : GA = G ∩A con G ∈ τ ⊆ P (A) [Hip.]

(3) Sea GiAi∈I ⊆ τA [Hip.]

(4) GiA = Gi ∩A con Gi ∈ τ para cada i ∈ I [(2), (3)]

(5)⋃i∈I

GiA =⋃i∈I

(Gi ∩ A) =⋃i∈I

Gi ∩A con⋃i∈I

Gi ∈ τ [(4), (1)]

(6)⋃i∈I

GiA ∈ τA [(5), ( 2)]


(7) SeaGijA

j∈In

⊆ τA [Hip.]

(8) GijA= Gij ∩A, con Gij ∈ τ para cada j = 1, ..., n [(2), (7)]

(9)n⋂

j=1

GijA=

n⋂j=1

(Gij ∩A

)=

n⋂j=1

Gij ∩A conn⋂

j=1

Gij ∈ τ [(8), (1)]

(10)n⋂

j=1

GijA∈ τA [(9), (2)]

(11) ∅ = ∅ ∩A, ∅ ∈ τ

(12) A = X ∩ A, X ∈ τ

(13) ∅, A ∈ τA [(2), (11), (12)]

(14) τA es una topologıa para A [(3), (6), (7), (10), (13)]

2

Definicion 1.5.2 Sean (X, τ ) un espacio topologico y A ⊆ X, τA es la topologıa rela-tiva al conjunto A y (A, τA) es un subespacio topologico de (X, τ ) .Tambien, τA recibe el nombre de topologıa relativa al conjunto A inducida por τ.

Definicion 1.5.3 Un subespacio topologico Y de (X, τ ) es abierto (cerrado) si el con-junto Y es abierto (cerrado) en (X, τ ) , respectivamente.(Y, τY ) es un subespacio discreto de X si τY es la topologıa discreta.

Ejemplo 1.5.1

1. En (X, τ ) con X = a, b, c, d, e y τ = ∅,X, a , c, d , a, c, d , b, c, d, e ,la topologıa relativa al conjunto Y = b, c, d es τY = ∅, Y, c, d

2. En (IR, τε) , los siguientes conjuntos son abiertos en Y = [−2, 5) ∪ 7 :

a) 7 ∈ τε/Y

7 = (6, 8) ∩ Y, con (6, 8) ∈ τε

b) [−2, 5) ∈ τε/Y

[−2, 5) = (−3, 5) ∩ Y, con (−3, 5) ∈ τε

c) [−2, a) ∈ τε/Ypara todo a 6 5

[−2, a) = (−3, a) ∩ Y, con (−3, a) ∈ τε


d) (a, b) ∈ τε/Ypara todo intervalo (a, b) ⊆ [−2, 5)

(a, b) = (a, b) ∩ Y, con (a, b) ∈ τε.

e) Todos los subconjuntos de Y que se pueden obtener como uniones arbitrariasde los conjuntos dados en a), b), c) y d).

Por otra parte, el conjunto [−2, 5) es cerrado en Y puesto [−2, 5) = CY 7 con7 ∈ τε/Y

.

Este ejemplo muestra que los conjuntos cerrados (abiertos) en Y no necesitan sercerrados (abiertos) en X.

3. En (IR, τε), la topologıa relativa inducida por τε en el conjunto de los numerosnaturales es la discreta.

En efecto

(1) Para todo n ∈ IN, n =

(n− 1

2, n+

1

2

)∩ IN, con

(n− 1

2, n+

1

2

)∈ τε

(2) n ∈ τε/Npara todo n ∈ IN [(1)]

(3) τε/N= D [(2), E.1.1.1]

(4) IN ∈ τε−cerr

(5)(IN, τε/N

)es un subespacio discreto y cerrado de (IR, τε) [(3), (4)]

4. En (IR, τε) , el subconjunto Y =

1

n: n ∈ IN

es un subespacio discreto que no

es abierto ni cerrado.

En efecto:

(1) Y = Y ∪ 0 6= Y [Ej.1.3.4]

(2) I (Y ) = ∅ 6= Y [Ej.1.3.8]

(3) Sea x ∈ Y entonces x = 1 o x =1

n, n > 1 [Hip.]

(4) Si x = 1, x =

(1

2,3

2

)∩ Y,

(1

2,3

2

)∈ τε

(5) Si x =1

n, n > 1, x =

(1

n+ 1,

1

n− 1

)∩ Y, con

(1

n+ 1,

1

n − 1

)∈ τε


(6) x ∈ τε/Ypara todo x ∈ Y [(3), (4), (5)]

(7) τε/Y= D [(6), E.1.1.1]

(8) Y es un subespacio discreto que no es abierto ni cerrado en IR[(1), (2), (7)]

5. Sean X 6= ∅, τC la topologıa cofinita paraX y sea Y ⊆ X. Entonces τC/Ycoincide

con la topologıa cofinita sobre el conjunto Y.

Esto es, τC/Y= τCY

con τCY= G ⊆ Y : Y \G es finito ∪ ∅

En efecto:

(1) Sea GY ∈ τC/Yentonces GY = G ∩ Y con G ∈ τC [Hip.]

(2) Y \GY = Y \ (G ∩ Y ) = Y ∩Gc ⊆ Gc con Gc finito [(1)]

(3) Y \GY es finito [(2)]

(4) GY ∈ τCY[(3)]

(5) τC/Y⊆ τCY

[(1), (4)]

(6) Sea G ∈ τCY, esto es, Y \G es finito [Hip.]

(7) Y \G = ((Y \G)c)c, luego H = (Y \G)

c ∈ τC [(6)]

(8) G = H ∩ Y con H ∈ τC [(7)]

(9) G ∈ τC/Y[(8)]

(10) τCY⊆ τC/Y

[(6), (9)]

(11) τCY= τC/Y

[(5), (10)]

Lema 1.5.2 Sean (X, τ ) un espacio topologico y (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ). Si lafamilia B = Bαα∈A ⊆ τ es una base para τ , entonces BY = Bα ∩ Y : Bα ∈ Bα∈Aes una base para τY .

Dem.

(1) Sean (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ), [Hip.]

(2) B = Bαα∈A ⊆ τ una base para τ y [Hip.]

(3) BY = Bα ∩ Y : Bα ∈ Bα∈A [Hip.]

(4) Sea BY ∈ BY [Hip.]

(5) BY = B ∩ Y con B ∈ B [(3), (4)]


(6) BY ∈ τY [(2), (5)]

(7) BY ⊆ τY [(4), (6)]

(8) Sea GY ∈ τY y sea x ∈ GY [Hip.]

(9) GY = G ∩ Y con G ∈ τ y x ∈ G [(8)]

(10) existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ G [(2), (9), T.1.2.1]

(11) existe B ∩ Y ∈ BY tal que x ∈ B ∩ Y ⊆ G ∩ Y = GY [(8), (9), (10)]

(12) Para cada GY ∈ τY y para cada x ∈ GY existe BY ∈ BY tal que

x ∈ BY ⊆ GY [(8), (11)]

(13) BY es base para τY [(7), (12), T.1.2.1]

2

Ejercicio 1.5.1 Sea τ la topologıa en IR = IR ∪ −∞,∞ que tiene como base lafamilia B =

[−∞, a) : a ∈ IR

∪(a,∞] : a ∈ IR

∪(a, b) : a, b ∈ IR

, probar que

(IR, τε) es un subespacio de(IR, τ

).

Lema 1.5.3 Sea (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ) , entonces H es cerrado en Y si, ysolo si, H = F ∩ Y con F cerrado en X.

Dem.

(1) Sea (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ) y sea H ⊆ Y [Hip.]

(⇒)

(2) H es cerrado en Y [Hip.]

(3) HcY ∈ τY , esto es, Hc

Y = G ∩ Y con G ∈ τ [(2),(1)]

(4) H = Y \HcY = Y \ (G ∩ Y ) = Y ∩ (Gc ∪ Y c) = Y ∩Gc [(3)]

(5) H = Gc ∩ Y con Gc cerrado en X [(3), (4)]

(⇐)

(6) H = Y ∩ F con F cerrado en X [Hip.]

(7) HcY = Y \H = Y ∩ (F c ∪ Y c) = Y ∩ F c, F c ∈ τ [(6)]


(8) HcY ∈ τY , [(7)]

(9) H es cerrado en Y [(8)]

2

Ejemplo 1.5.2

1. En el espacio cofinito (IR, τC), el conjunto FY = x ∈ ZZ : −2 6 x < 7 es cerradoen Y = [−2,∞).

2. En el espacio euclıdeo(IR2, τε

), el conjunto A ∩ Y es cerrado en Y donde A =

IR × 0 e Y es la esfera con centro en el origen y radio uno.

Ejercicio 1.5.2 Sean (X, τ ) un espacio topologico e Y ⊆ X. Probar que:

1. la familia de entornos de un punto x ∈ Y coincide con la familia de entornos dex relativos a Y , esto es, Ux/Y = U ∩ Y : U ∈ Ux

2. La restriccion sobre Y de una base de entornos de un punto y ∈ Y, es una basede entornos de y respecto de la topologıa relativa.

3. Dar un ejemplo donde se muestre la situacion planteada en los incisos 1 y 2.

Sean (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ) y A ⊆ Y ⊆ X, se puede calcular la clausurade A en Y (AY ) y tambien la clausura de A en X (A). Esto conduce a la necesidadde establecer relaciones entre los distintos operadores en el subespacio y en el espacio,ademas de distinguir las propiedades topologicas de A como subconjunto de Y y de X.

Teorema 1.5.1 Sean (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ) y A ⊆ Y ⊆ X, los operadoresclausura, derivado, interior y frontera satisfacen las siguientes relaciones:

1. AY = A ∩ Y

2. A′Y = A′ ∩ Y

3. I (A) ∩ Y ⊆ IY (A)

4. FrY (A) ⊆ Fr (A) ∩ Y

5. IY (A) = I (A ∪ Y c) ∩ Y

El siguiente ejemplo muestra que, en general, en las formulas 3 y 4 no se verifica laigualdad.

Ejemplo 1.5.3


1. En (IR, τε) , si Y = [−2, 5) ∪ 7 y A = [−2, 1), entonces I (A) ∩ Y ⊂ IY (A) yFrY (A) ⊂ Fr (A) ∩ YEn efecto:

(1) A = (−3, 1) ∩ Y con (−3, 1) ∈ τε entonces A ∈ τY y A /∈ τε

(2) IY (A) = A [(1)]

(3) I (A) ∩ Y = (−2, 1) ∩ Y = (−2, 1)

(4) I (A) ∩ Y ⊂ IY (A) [(2), (3)]

(5) AY = A ∩ Y = [−2, 1] ∩ Y = [−2, 1]

(6) FrY (A) = AY \ IY (A) = [−2, 1] − [−2, 1) = 1 [(2), (5)]

(7) Fr (A) = A\ I (A) = [−2, 1] − (−2, 1) = −2, 1

(8) FrY (A) ⊂ Fr (A) ∩ Y [(6), (7)]

2. En las condiciones del Ejemplo 1.5.2:

(i) el conjunto A ∩ Y es cerrado en Y y no es cerrado en IR2;

(ii) el conjunto Y ∩Z es abierto en Z y no es abierto en IR2 donde Z es la esferacerrada con centro en el punto (1, 0) y radio uno.

En el Ejemplo 1.5.3 los conjuntos considerados en el inciso 2 son abiertos o cerradosen el subespacio pero no lo son en el espacio, se determinan, en el siguiente teorema,las condiciones que se deben cumplir para que un conjunto que es abierto y/o cerradoen el subespacio sea abierto y/o cerrado en el espacio.

Teorema 1.5.2 Sea (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ). Se satisfacen las siguientes pro-piedades:

(i) Todo conjunto abierto en Y es abierto en X si, y solo si, Y es abierto en X.

(ii) Todo conjunto cerrado en Y es cerrado en X si, y solo si, Y es cerrado en X.

Dem.

(1) Sea (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ) [Hip.]

i)

(⇒)


(2) Todo conjunto abierto en Y es abierto en X [Hip.]

(3) Y ∈ τY [(1)]

(4) Y ∈ τ , esto es, Y es abierto en X [(2), (3)]

(⇐)

(5) Y ∈ τ [Hip.]

(6) Sea GY ∈ τY [Hip.]

(7) GY = G ∩ Y con G ∈ τ [(1), (6)]

(8) GY ∈ τ [(5), (7)]

(9) Todo conjunto abierto en Y es abierto en X [(6), (8)]

2

Ejercicio 1.5.3 Sea (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ) y sea A ⊆ Y ⊆ X, probar que:

(i) si A es abierto en X, entonces A es abierto en Y.

(ii) si A es cerrado en X, entonces A es cerrado en Y.

La relacion “ser subespacio de ” es transitiva como se muestra en el siguiente teo-rema:

Teorema 1.5.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico. Si (Y, τY ) es un subespacio de (X, τ )y(Z, τY/Z

)un subespacio de (Y, τY ), entonces

(Z, τY/Z

)es un subespacio de (X, τ ) .

Dem.

(1) Sean (Y, τY ) un subespacio de (X, τ ) y [Hip.]

(2)(Z, τY/Z

)un subespacio de (Y, τY ) [Hip.]

(3) Z ⊆ Y ⊆ X [(1), (2)]

(4) Sea GZ ∈ τY/Zentonces GZ = GY ∩ Z,GY ∈ τY [(2)]

(5) GY = G ∩ Y,G ∈ τ [(1), (4)]

(6) GZ = G ∩ Y ∩ Z = G ∩ Z,G ∈ τ [(3), (4), (5)]

(7) GZ ∈ τZ [(6)]


(8) τY/Z⊆ τZ [(4), (7)]

(9) τZ ⊆ τY/Z[(1), (2), (3)]

(10) τY/Z= τZ [(8), (9)]

2

Definicion 1.5.4 Sea X 6= ∅, una familia A = Aii∈I ⊆ P (X) de subconjuntos deX es un cubrimiento de X si X =

⋃i∈I

Ai.

Si τ es una topologıa para X y Ai ∈ τ (Ai ∈ τcerr) para todo i ∈ I, se dice queA = Aii∈I es un cubrimiento abierto (cerrado) de X.

Teorema 1.5.4 Si (X, τ ) un espacio topologico, A = Aii∈I un cubrimiento abiertode X y B ⊆ X, entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

(i) si B ∩Ai es abierto en Ai para todo i ∈ I, entonces B es abierto en X,

(ii) si B ∩Ai es cerrado en Ai para todo i ∈ I, entonces B es cerrado en X.

Dem.

(1) Sea A = Aii∈I un cubrimiento abierto de X y sea B ⊆ X [Hip.]

(2) X =⋃i∈I

Ai [(1)]

(3) Ai ∈ τ para todo i ∈ I [(1)]

i) (4) B ∩Ai es abierto en Ai para todo i ∈ I [Hip.]

(5) B = B ∩X = B ∩⋃i∈I

Ai =⋃i∈I

(B ∩Ai) [(1), (2)]

(6) B ∩Ai ∈ τ para todo i ∈ I [(3), (4), T.1.5.2]

(7) B ∈ τ, esto es, B es abierto en X [(5), (6)]

ii) (8) B ∩Ai es cerrado en Ai para todo i ∈ I [Hip.]

(9) Ai \ (B ∩Ai) es abierto en Ai para todo i ∈ I [(8)]

(10) Ai \ (B ∩Ai) = Bc ∩Ai

(11) Bc ∩Ai es abierto en Ai para todo i ∈ I [(9), (10)]

(12) Bc es abierto en X [(11), T.1.5.4]

(13) B es cerrado en X [(12)]


2

El siguiente ejemplo muestra que las propiedades enunciadas en el Teorema 1.5.4no se satisfacen si el cubrimiento es cerrado.

Ejemplo 1.5.4 En (IR, τε), la familia A = x : x ∈ IR ⊆ P (IR) satisface las si-guientes propiedades:

(i) A es un cubrimiento cerrado de IR

(1) IR =⋃

x∈R

x

(2) x es τε−cerrado para todo x ∈ IR

(ii) B ∩ x es abierto y cerrado en x, para cada B ⊆ IR.

(3) B ∩ x =

∅ si x /∈ Bx si x ∈ B

(4) ∅, x son conjuntos abiertos y cerrados en x

(5) B ∩ x es abierto y cerrado en x [(3), (4)]

Luego, A es un cubrimiento cerrado de IR tal que B ∩ x es abierto y cerrado en xpara cada x ∈ IR, y sin embargo, B ⊆ IR no es cerrado ni abierto en IR.

Definicion 1.5.5 Sea (X, τ ) un espacio topologico. Una familia A = Aii∈I ⊆ P (X)es localmente finita si para cada x ∈ X existe un entorno abierto de x que interseca, alo sumo, a un numero finito de conjuntos Ai ∈ A (eventualmente ninguno).

Ejemplo 1.5.5 En (IR, τε),

1. la familia A = Ann∈N = [n,∞) : n ∈ IN es una familia localmente finita.

En efecto:

(1) Sea x ∈ IR

(2) existe n0 ∈ IN tal que x < n0 [(1)]

(3) x ∈ (−∞, n0) , (−∞, n0) ∈ τε entonces (−∞, n0) = U (x) ∈ U(x) [(2)]

(4) U (x) ∩ An = (−∞, n0) ∩ [n,∞) 6= ∅ si n < n0

(5) U (x) ∩ An = (−∞, n0) ∩ [n,∞) = ∅ si n ≥ n0

(6) U (x) tiene interseccion no vacıa con un numero finito

de conjuntos An [(4),(5)]


(7) Para cada x ∈ IR existe U (x) tal que U (x) tiene interseccion

no vacıa con un numero finito de conjuntos An ∈ A [(1),(3),(6)]

(8) A es una familia localmente finita [(7)]

2. la familia A = Ann∈N =

1n

: n ∈ IN

no es una familia localmente finita.

En efecto:

(1)

1n

−−−→n→∞ 0

(2) para todo U (0) existe n0 tal que 1n ∈ U (0) para todo n ≥ n0 [(1)]

(3) U (0) ∩ An 6= ∅ para todo U (0) y para todo n ≥ n0 [(2)]

(4) Todo entorno abierto de 0 tiene interseccion no vacıa con

un numero infinito de elementos de A [(3)]

(5) A no es una familia localmente finita. [(4)]

Lema 1.5.4 Sea A = Aii∈I ⊆ P (X) una familia localmente finita de conjuntoscerrados de un espacio topologico (X, τ ), entonces

⋃i∈I

Ai es cerrado en X.

Dem.

(1) Sea A = Aii∈I ⊆ P (X) una familia localmente finita tal que [Hip.]

(2) Ai es cerrado en X para todo i ∈ I [Hip.]

(3) Sea x ∈(⋃

i∈I

Ai

)c

=⋂i∈I

Aci [Hip.]

(4) x ∈ Aci para todo i ∈ I [(3)]

(5) existe U (x) ∈ U (x) tal que U (x) ∩Aij 6= ∅ para j = 1, ..., n y

(6) U (x) ∩ Ai = ∅ para todo i 6= ij [(1)]

(7) U (x) ⊆ Aci para todo i 6= ij [(6)]

(8)n⋂

j=1

Acij∈ τ [(2)]

(9)n⋂

j=1

Acij

= V (x) ∈ U (x) [(4), (8)]


(10) Sea W (x) = U (x) ∩ V (x) ∈ U (x) [(5), (9)]

(11) W (x) ⊆⋂i∈I

Aci =

(⋃i∈I

Ai

)c

[(10), (7), (9)]

(12) Para todo x ∈(⋃

i∈I

Ai

)c

existe W (x) ∈ U (x) tal que

W (x) ⊆(⋃

i∈I

Ai

)c

[(3), (10), (11)]

(13)

(⋃i∈I

Ai

)c

∈ τ [(12), T.1.1.1]

(14)⋃i∈I

Ai es cerrado en X [(13)]

2

Teorema 1.5.5 Si (X, τ ) es un espacio topologico, B ⊆ X y A = Aii∈I es uncubrimiento cerrado localmente finito, entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

(i) si B ∩Ai es cerrado en Ai para todo i ∈ I, entonces B es cerrado en X;

(ii) si B ∩Ai es abierto en Ai para todo i ∈ I, entonces B es abierto en X.

Dem. Sean B ⊆ X y A = Aii∈I una familia tal que

(1) A = Aii∈I es localmente finita, [Hip.]

(2) X =⋃i∈I

Ai, [Hip.]

(3) Ai es cerrado en X para todo i ∈ I. [Hip.]

(i)

(4) B ∩ Ai es cerrado en Ai para todo i ∈ I [Hip.]

(5) B = B ∩X = B ∩⋃i∈I

Ai =⋃i∈I

(B ∩Ai) [(2)]

(6) B ∩ Ai es cerrado en X para todo i ∈ I [(3), (4), T.1.2.4]

− B = B ∩Aii∈I es una familia localmente finita.

(7) Sea x ∈ X entonces existe U (x) ∈ U (x) tal que


(8) U (x) ∩ Aij 6= ∅ para j = 1, ..., n

(9) U (x) ∩ Ai = ∅ para todo i 6= ij [(1)]

(10) U (x) ∩ B ∩ Ai = ∅ para todo i 6= ij [(9)]

(11) Para j = 1, ..., n, U (x) ∩B ∩Aij puede ser vacıo o distinto de vacıo [(8)]

(12) U (x) corta a lo sumo a un numero finito de B ∩Ai [(10), (11)]

(13) Para todo x ∈ X existe U (x) tal que U (x) corta a lo sumo

a un numero finito de B ∩ Ai [(7), (12)]

(14) B = B ∩ Aii∈I es una familia localmente finita [(13)]

(15)⋃i∈I

(B ∩ Ai) es cerrado en X [(6), (14), L.1.5.4]

(16) B es cerrado en X [(15), (5)]

2

Ejercicios teoricos

1. Probar la propiedad 2 del Ejemplo 1.1.2.

2. Probar las propiedades enunciadas en el Ejemplo 1.1.3.

3. Demostrar el Teorema 1.1.1 ( Sugerencia: utilice el Teorema 1.1.1 para definir latopologıa).

4. Demostrar el Teorema 1.2.3.

5. Demostrar los Corolarios 1.2.1 y 1.2.2.

5. Demostrar el Corolario 1.2.3.


7. Demostrar el Lema 1.2.4.

8. Completar la demostracion del Lema 1.3.1.

9. Probar que las Definiciones 1.3.2 y 1.3.3 son equivalentes.

10. 1) Demostrar el Lema 1.3.3.


2) Dar un ejemplo donde se muestre que, en general, A ∩ B 6= A ∩ B.

11. a) Demostrar el Lema 1.3.6.

b) Dar un ejemplo donde se muestre que X ′ 6= X.

12. a) Completar la demostracion del Lema 1.3.8.

b) Dar un ejemplo donde se muestre que, en general, I (A) ∪ I (B) 6= I (A ∪B) .

13. Demostrar el Teorema 1.4.2 (sugerencia: considere la aplicacionµ : P (X) → P (X) definida por µ(A) = CI (CA) y aplique el Teorema 1.4.1)


15. Completar la demostracion del Teorema 1.5.2.

16. Completar la demostracion del Teorema 1.5.5.


1.6 Practico 1

1. Sea X = 1, 2, 3, 4, 5. Analice si τ = ∅,X, 1, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 5 estopologıa para X.

2. Pruebe que τ es topologıa para X.

(a) τ = R,∅ ∪ (a,∞) : a ∈ R , X = R.(b) τ = G ⊆ R : para todo x ∈ G, existe b ∈ R tal que (b, x] ⊆ G ∪ ∅,

X = R.

(c) τ = R, ∅∪ (−x, x) : x ∈ R+ , X = R.

(d) τ = ∅ ∪ Gk : k ∈ R , X = R2, siendo Gk = (x, y) ∈ R2 : y < x+ k(e) τ = ∅ ∪ A ⊆ X : Ac es finito, X conjunto infinito.

3. Sea (X, τ ) un espacio topologico. Pruebe que τ = D si y solo si x ∈ τ , paratodo x ∈ X.

4. Pruebe que la topologıa cofinita es la discreta si y solo si el espacio es finito.

5. Indique siA = 1, 4 es entorno de cada uno de sus puntos en el espacio topologicodel ejercicio 1.

6. Determine

(a) Si V = [−7, 4] es entorno de x = 4 en la topologıa del apartado (2a).

(b) Si V =(x, y) ∈ R2 : − 7

36 x 6 4

es entorno de

(−1

2, 5

2

)en la topologıa

del apartado (2d).

(c) Si B =

3, 4 , 1, 3, 4

es base para la topologıa del ejercicio (1).

7. Halle una base para:

(a) La topologıa del ejercicio (2.a).

(b) La topologıa del ejercicio (2.d).

8. Pruebe que B= V (x, n) : x ∈ Z, n ∈ N0 es base de alguna topologıa para Z,siendo V (x, n) = y ∈ Z : existe k ∈ Z tal que y = x+ k · 2n.

9. En R, considere la familia B = [x, a) : x, a ∈ R, a > x

(a) Pruebe que esta familia es base para alguna topologıa para R.

(b) De un ejemplo de un abierto de la topologıa τ (B).


10. Pruebe que B = [a, b] : a < b, a, b ∈ Q no es base de ninguna topologıa paraR.

11. Sea (X, τ ) un espacio topologico y B ⊆ τ . Pruebe que B es una base de τ si y solosi para cada x ∈ X la familia V(x) = B ∈ B : x ∈ B es un sistema fundamentalde entornos de x en (X, τ ).

12. Sea X = a, b, c, d, e y Σ = a, a, b, c. Halle τ (Σ) .

13. Determine los basicos de la topologıa τ para R2 si los subbasicos son los conjuntosde la forma Uab = (x, y) : a < x < b y Uab = (x, y) : a < y < b, a, b ∈ R.

14. Sea Σ1 = rx : x ∈ R , donde rx = (x, t) : t ∈ R y Σ2 = Σ1 ∪ s siendos = (t, 1) : t ∈ R .

(a) Determine los basicos de las τ (Σ1) y τ (Σ2).

(b) Analice si A = (x, y) : 1 < x < 3, 2 < y < 4 es abierto en las topologıasτ (Σ1) y τ (Σ2) .

15. Sea Σ = rab : a, b ∈ R , rab = (x, y) : y = ax+ b.

(a) Determine la topologıa sobre R2 generada por esta familia.

(b) ¿Σ es base de la topologıa que genera?

16. Sea X = a, b, c, d, e con la topologıa

τ = ∅,X, a, b, a, ba, b, c, d, a, b, e .

Halle:

(a) b, c(b) I (a, b, c, e)

17. Sea τ = R, ∅ ∪ (−x, x) : x ∈ R+ topologıa para R. Halle la clausura y elinterior de los siguientes conjuntos:

(a) [−2, 1]

(b) y, y ∈ R

18. En el espacio topologico (R2, τε) , halle la clausura, interior y frontera de lossiguientes conjuntos:

(a) Q2 = (x, y) ∈ R2 : x, y ∈ Q


(b) A =

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1

19. Considere la topologıa τ = R, ∅ ∪ Gk : k ∈ R para R2. Halle el interior yclausura de A = (x, y) ∈ R2 : x− 2 6 y 6 x+ 1, 2 < x < 3 .

20. Sea R con la topologıa cofinita. Halle:

(a) (a, b) con a, b ∈ R y a < b.

(b) N(c) Fr(A), siendo A un subconjunto finito de numeros reales.

21. Sea (X, τ ) un espacio topologico. Pruebe que:

(a) G ∈ τ si y solo si G ∩A = G ∩A, para todo A ⊆ X.

(b) Sea G ∈ τ . Son equivalentes:

(i) Para todo M ⊆ X: G ∩M = ∅(ii) G ∩M = ∅.

22. Sea (X, τ ) un espacio topologico. Pruebe que:

(a) Todo conjunto ralo es residual.

(b) A es ralo si y solo si A ⊆(A)c.

(c) La frontera de un conjunto cerrado es un conjunto ralo.

(d) Para todo A ⊆ X se verifica A ∩ Ac y Ac ∩ A son conjuntos residuales.

23. Sea (X, τ ) un espacio topologico, A, B ⊆ X. Pruebe que:

(a) Fr(A) = ∅ si y solo si A es abierto y cerrado.

(b) A ∪ Fr(A) = A

(c) A es cerrado si y solo si Fr(A) ⊆ A.

(d) A es abierto si y solo si Fr(A) ∩A = ∅.

24. En (R, τc), halle:

(a) I(A), con A ⊆ R finito y no vacıo.

(b) Ext(G), con G ∈ τc y G 6= ∅.


(a) I(A \B) ⊆ I(A) \ I(B)

(b) Ext(∅) = X

(c) Ext(A ∪B) = Ext(A) ∩ Ext(B)

(d) A ∩ Ext(A) = ∅


(a) Si A es cerrado, entonces I(A) es abierto regular.

(b) La union finita de conjuntos cerrados regulares es un cerrado regular.

(c) Sea (X, τ ) un espacio topologico, A, B ⊆ X. Pruebe que:

(d) I(A) 6= ∅ si y solo si para todo D ⊆ X: D = X, entonces D ∩ A 6= ∅.(e) Si τ = D, entonces τA = P(A).

27. Sean τ1 = R, ∅∪(−x, x) : x ∈ R+ y τ2 = R, ∅∪(−∞, a) : a ∈ R topologıaspara R e Y = (−∞, 2] .

(a) Diga si [−3, 0] , (−5, 5) y 4 son abiertos o cerrados en Y .

(b) Halle clausura, interior y frontera con respecto a Y de A = [−5, 2) ∪ −7.

28. Considere la topologıa del ejercicio (2.d) y calcule FrB(A), siendo

B = (x, y) : −2 6 x 6 1 y A = (x, y) : −2 6 x 6 1, 2 6 y 6 4 .

29. Sea (X, τ ) un espacio topologico, A, B, C ⊆ X. Pruebe que:

(a) Si A ⊆ B ∪ C y A ∈ τB∪C

, entonces A ∩ B ∈ τB y A ∩ C ∈ τC.

(b) Si B es cerrado en A, entonces B es cerrado en X si y solo si B ⊆ A.

(c) Sea (X, τ ) un espacio topologico, Y ⊆ X. Pruebe que:

(d) I(M) = IY (M) ∩ I(Y ), para todo M ⊆ Y

(e) Si B ⊆ Y , entonces

(i) I(B) ⊆ IY (B)

(ii) FrY(B) ⊆ Fr(B)

30. Sea (X, τ ) un espacio topologico, A ⊆ B ⊆ X. Pruebe que:

(a) Si A es abierto en B, entonces para todo subconjunto S ⊆ X, A ∩ S esabierto en B ∩ S.

(b) Si A es denso en B, entonces A es denso en B.


2 Funciones continuas, abiertas y cerradas. Homeo-

morfismos

Hasta este punto se han considerado distintas topologıas sobre un conjunto no vacıo,

se desea ahora relacionar diferentes espacios topologicos.

Dados dos espacios topologicos (X, τX ) , (Y, τY ) , una funcion f : X → Y relaciona

a los conjuntos X e Y , e induce dos funciones:

gf : P (X) → P (Y ) definida por gf (A) = f (A) para todo A ∈ P (X)

gf −1 : P (Y ) → P (X) definida por gf −1 (A) = f −1 (A) para todo A ∈ P (Y )

En esta unidad se estudian en detalle aquellas funciones entre X e Y que inducen

funciones entre τX y τY .

2.1 Funciones continuas

En los primeros cursos de Analisis se trabaja con las funciones continuas definidas

entre dos espacios metricos y, por lo general, se definen de la siguiente manera:

“Sean (X, d) , (Y, d′) dos espacios metricos, una funcion f : X → Y es continua en

x ∈ X si, y solo si, para toda E (f (x) , ε) existe E (x, δ) tal que f (E (x, δ)) ⊆E (f (x) , ε)”.

Si se consideran las topologıas inducidas por las metricas d y d′ resulta que la

definicion anterior es equivalente a:

“f : X → Y es continua en x ∈ X si, y solo si, para todo W (f (x)) ∈ U (f (x))

existe U (x) ∈ U (x) tal que f (U (x)) ⊆ W (f (x))”.

Esto permite generalizar la definicion de continuidad a funciones definidas entre dos

espacios topologicos cualesquiera:

Definicion 2.1.1 Sean (X, τX) , (Y, τY ) dos espacios topologicos y f : X → Y una

funcion, f es continua en x0 ∈ X si, y solo si, para todo W (f (x0)) ∈ U (f (x0)) existe

U (x0) ∈ U (x0) tal que f (U (x0)) ⊆ W (f (x0)) .

Observacion 2.1.1 La definicion de funcion continua en un punto se puede enunciar

en terminos de entornos en lugar de entornos abiertos. Es decir,

f : X → Y es continua en x0 ∈ X si, y solo si, para todo W ∈ Uf(x0) existe U ∈ Ux0

tal que f (U) ⊆ W.

Resultando esta definicion equivalente a la Definicion 2.1.1.


Definicion 2.1.2 Sean (X, τX) , (Y, τY ) dos espacios topologicos, una funcion

f : X → Y es continua si, y solo si, f es continua en cada punto x ∈ X.

Ejemplo 2.1.1

1. Si (Y, τ0) es un espacio caotico, entonces toda funcion f : X → Y es continua

cualquiera sea el espacio topologico (X, τX ) .

2. Toda funcion constante es continua.

Definicion 2.1.3 Sean (X, τX ) , (Y, τY ) dos espacios topologicos y A ⊆ X, una funcion

f : X → Y es continua en A si, y solo si, f es continua en cada punto a ∈ A.

Definicion 2.1.4 Sean (X, τX ) , (Y, τY ) dos espacios topologicos, A ⊆ X y f : A→ Y

una funcion, entonces

(i) f es continua en a ∈ A si, y solo si, para todo W (f (a)) ∈ U (f (a)) existe

UA (a) ∈ UA (a) tal que f (UA (a)) ⊆ W (f (a)) .

(ii) f es continua si, y solo si, f es continua en cada punto a ∈ A.

La Definicion 2.1.4 es equivalente a :

“f : A → Y es continua en a ∈ A si, y solo si, para todo W ∈ Uf(a) existe

U ∈ Ua/A tal que f (U) ⊆ W ”.

Lema 2.1.1 Sean (X, τX) , (Y, τY ) dos espacios topologicos, A ⊆ X y f : X → Y una

funcion. Si f es continua en A, entonces f/A :(A, τX/A

)→ Y es continua.

Dem.

Sean

(1) A ⊆ X, f : X → Y una funcion continua en A, [Hip.]

(2) a ∈ A y W(

f/A (a)). [Hip.]

(3) f/A (a) = f (a) y W(

f/A (a))

= W (f (a)), [(2)]

(4) existe U (a) ∈ τX tal que f (U (a)) ⊆W (f (a)), [ (1), (2), (3)]


(5) U (a) ∩ A = VA (a) ∈ UA (a), [(4)]

(6) f/A (VA (a)) = f (VA (a)) = f (U (a) ∩A) ⊆ f (U (a)), [(5)]

(7) existe VA (a) ∈ UA (a) tal que f/A (VA (a)) ⊆ W(

f/A (a)), [(5), (6)]

(8) f/A es continua en a para todo a ∈ A, [(2), (7)]

(9) f/A :(A, τX/A

)→ Y es continua. [(8)]

2

La recıproca del Lema 2.1.1, en general, no se verifica como lo muestra el siguiente

ejemplo:

Ejemplo 2.1.2 Sean (IR, τε) , A = (−∞, 0] ⊆ IR y f : IR → IR definida por

f (x) = χA(x) =

1 si x ∈ A0 si x /∈ A

, entonces f/A es continua y f no es continua en A.

En efecto, sean

(1) A = (−∞, 0] ⊆ IR y f : IR → IR definida por f (x) = χA(x)

(2) f/A (x) = f (x) = 1 para todo x ∈ A. [(1)]

(3) f/A es una funcion constante [(1)]

(4) f/A es continua [(3), Ej.2.1.1]

(5) Sea W (f (0)) = W (1) = (0, 2) [Hip.]

(6) Sea U (0) ∈ U (0) [Hip.]

(7) existe E (0, δ) tal que E (0, δ) ⊆ U (0) [(6)]

(8) f (E (0, δ)) ⊆ f (U (0)) [(5)]

(9) f (E (0, δ)) = f ((−δ, δ)) = 0, 1

(10) 0, 1 ⊆ f (U (0)) [(8), (9)]

(11) 0 ∈ f (U (0)) y 0 /∈ W (1), esto es, f (U (0)) 6⊆W (1) [(5), (10)]

(12) existe W (f (0)) (W (f (0)) = (0, 2)) tal que

f (U (0)) 6⊆ W (f (0)) para todo U (0) [(5), (6), (11)]


(13) f no es continua en 0 ∈ A [(12)]

(14) f no es continua en A. [(13)]

Observacion 2.1.2 Sean (X, τX ) , (Y, τY ) dos espacios topologicos, A ⊆ X y

f : A→ Y una funcion. Si a ∈ A \A′, entonces f es continua en a.

En efecto, sean

(1) a ∈ A \A′ y W (f (a)). [Hip.]

(2) Existe U (a) ∈ U (a) tal que U (a) ∩A = a, [(1)]

(3) a = UA (a) ∈ UA (a) y

f (UA (a)) = f (a) ⊆ W (f (a)), [(2)]

(4) f es continua en a ∈ A \A′. [(1), (3)]

Formulaciones equivalentes de funciones continuas

Teorema 2.1.1 Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos y f : X → Y una funcion.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) f es continua,

(ii) f(A)⊆ f (A) para todo A ⊆ X,

(iii) f−1 (B) ⊆ f−1(B)

para todo B ⊆ Y ,

(iv) La imagen inversa de todo cerrado en Y es cerrado en X,

esto es, f−1 (F ) ∈ τX−cerr para todo F ∈ τY −cerr,

(v) La imagen inversa de todo abierto en Y es abierto en X,

esto es, f−1 (G) ∈ τX para todo G ∈ τY ,

(vi)) La imagen inversa de todo subbasico (basico) en Y es un abierto en X,

esto es, si ΣY (BY ) es una subbase (base) de Y , entonces f−1 (S) ∈ τX para todo

S ∈ ΣY (BY ) .


Dem. Sea f : X → Y una funcion [Hip.]

(i) ⇒ (ii)

(1) f : X → Y es continua [Hip.]

(2) Sean A ⊆ X y z ∈ f(A)

[Hip.]

(3) existe x ∈ A tal que f (x) = z [Hip.]

(4) Sea W (z) ∈ U (z) [(3)]

(5) W (z) = W (f (x)) [(3), (4)]

(6) existe U (x) ∈ U (x) tal que f (U (x)) ⊆ W (f (x)) [(1), (5)]

(7) f (U (x) ∩A) 6= ∅ [(3), (6)]

(8) f (U (x) ∩A) ⊆ f (U (x)) ∩ f (A) ⊆ W (f (x)) ∩ f (A) [(6)]

(9) W (f (x)) ∩ f (A) 6= ∅ [(7), (8)]

(10) W (z) ∩ f (A) 6= ∅ para todo W (z) [(4), (9)]

(11) z ∈ f (A) [(10)]

(12) f(A)⊆ f (A) [(2), (11)]

(ii) ⇒ (iii)

(13) f(A)⊆ f (A) para todo A ⊆ X [Hip.]

(14) Sea B ⊆ Y [Hip.]

(15) f(f −1 (B)

)⊆ f (f −1 (B)) ⊆ B [(13), (14)]

(16) f −1(f(f −1 (B)

))⊆ f −1

(B)

[(15)]

(17) f −1 (B) ⊆ f −1(f(f −1 (B)

))

(18) f −1 (B) ⊆ f −1(B)

[(16), (17)]


(iii) ⇒ (iv)

(19) f−1 (B) ⊆ f−1(B)

para todo B ⊆ Y [Hip.]

(20) Sea F ∈ τY −cerr [Hip.]

(21) f−1 (F ) ⊆ f−1(F)

= f−1 (F ) [(19), (20), L.1.3.2]

(22) f−1 (F ) ⊆ f−1 (F ) [L.1.3.3]

(23) f−1 (F ) = f−1 (F ) [(21), (22)]

(24) f−1 (F ) ∈ τX−cerr [(23), L.1.3.2]

(iv) ⇒ (v)

(25) f −1 (F ) ∈ τX−cerr para todo F ∈ τY −cerr [Hip.]

(26) Sea G ∈ τY [Hip.]

(27) f −1 (Gc) ∈ τX−cerr y f −1 (Gc) = (f −1 (G))c

[(25), (26)]

(28) f −1 (G) ∈ τX [(27)]

(v) ⇒ (vi)

(29) f−1 (G) ∈ τX para todo G ∈ τY [Hip.]

(30) Sea ΣY una subbase de τY y sea S ∈ ΣY [Hip.]

(31) ΣY ⊆ τY [(30)]

(32) S ∈ τY [(30), (31)]

(33) f−1 (S) ∈ τX [(32)]

(vi) ⇒ (i)

(35) Sea ΣY una subbase de τY tal que f−1 (S) ∈ τX para todo S ∈ ΣY [Hip.]


(36) Sea x ∈ X y sea W (f (x)) ∈ U(f (x)) [Hip.]

(37) W (f (x)) ∈ τY = τ (ΣY ) [(35), (36)]

Primer caso.

(38) W (f (x)) = Y

(39) X ∈ U (x) y f (X) ⊆ Y = W (f (x)) [(38)]

Segundo caso.

(40) W (f (x)) =⋃i∈I

ni⋂j=1

Sij , con Sij ∈ ΣY ,

(41)⋃i∈I

ni⋂j=1

f −1(Sij

)∈ τX [(35), (40)]

(42) x ∈⋃i∈I

ni⋂j=1

f −1(Sij

)[(40)]

(43)⋃i∈I

ni⋂j=1

f −1(Sij

)∈ U (x) [(41), (42)]

(44) f (U (x)) = f

(⋃i∈I

ni⋂j=1

f −1(Sij

))

=⋃i∈I

f

(ni⋂

j=1

f −1(Sij

))

⊆⋃i∈I

ni⋂j=1

ff −1(Sij

)⊆⋃i∈I

ni⋂j=1

Sij = W (f (x)) [(40), (43)]

(45) existe U (x) ∈ U (x) tal que f (U (x)) ⊆ W (f (x)) [(39), (43), (44)]

(46) f : X → Y es continua [(36), (39), (45)]

2

Ejemplo 2.1.3

(i) Si (X,D) es un espacio discreto, entonces toda funcion f : X → Y es continua

cualquiera sea el espacio topologico (Y, τY ) .


(ii) Sea f : (IN, τC) → (IN, τ ) la funcion definida por f (x) = 3x donde τC es la

topologıa cofinita para IN y τ = ∅, IN ∪ Bn : n ∈ IN siendo Bn el conjunto

x ∈ IN : x ≥ n , entonces f es continua.

En efecto:

(1) Sea U ∈ τ [Hip.]

(2) U = ∅ o U = IN o U = Bn para algun n ∈ IN [(1)]

(3) si U = ∅, entonces f −1 (U) = ∅ ∈ τC

(4) si U = IN, entonces f −1 (U) = IN ∈ τC

(5) Sea U = Bn para algun n ∈ IN [Hip.]

(6) f −1 (U) = f −1 (Bn) = x ∈ IN : f (x) ∈ Bn =x ∈ IN : x ≥ n

3

[(5)]

(7) (f −1 (U))c=x ∈ IN : x <

n

3

[(6)]

(8) (f −1 (U))c

es finito, entonces f −1 (U) ∈ τC [(7)]

(9) f −1 (U) ∈ τC para todo U ∈ τ [(3), (4), (5), (8)]

(10) f es continua [(9), T.2.1.1]

Definicion 2.1.5 Sean X un conjunto no vacıo y A ⊆ X,

(i) la funcion 1 : X → X definida por 1 (x) = x para todo x ∈ X, es la funcion

identidad,

(ii) la funcion i : A → X definida por i (a) = a para todo a ∈ A, es la funcion

inclusion de 1 en A.

Lema 2.1.2 Si es X un conjunto no vacıo y τ1, τ2 son topologıas para X, entonces la

funcion identidad 1 : (X, τ1) → (X, τ2) es continua si, y solo si, τ2 ⊆ τ1.

Lema 2.1.3 Sean (X, τ ) un espacio topologico y B ⊆ X, entonces la topologıa relativa

a B, τB, es la topologıa menos fina para B que hace continua a la funcion inclusion

i : B → X.

Dem.

(1) Sea i : B → X definida por i (x) = x para todo x ∈ B


(i) i : (B, τB) → (X, τ ) es continua

(2) Sea G ∈ τ [Hip.]

(3) i−1 (G) = x ∈ B : i (x) ∈ G = x ∈ B : x ∈ G = B ∩G [(1)]

(4) i−1 (G) ∈ τB [(2), (3)]

(5) i : (B, τB) → (X, τ ) es continua [(2), (4), T.2.1.1]

(ii) τB es la topologıa menos fina que hace continua a i : τB → X

(6) Sea τ ′ una topologıa para B tal que i : (B, τ ′) → (X, τ ) es continua, [Hip.]

(7) sea HB ∈ τB. [Hip.]

(8) HB = H ∩B con H ∈ τ [(7)]

(9) i−1 (H) = H ∩B [(3)]

(10) i−1 (H) ∈ τ ′ [(6), (8), T.2.1.1]

(11) HB ∈ τ ′ [(8), (9), (10)]

(12) τB ⊆ τ ′ [(7), (11)]

2

Propiedades elementales de las funciones continuas

Teorema 2.1.2 Sean f : (X, τX) → (Y, τY ) y g : (Y, τY ) → (Z, τZ) funciones conti-

nuas. Entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

(i) g f : (X, τX) → (Z, τZ) es continua,

(ii) f/A :(A, τX/A

)→ (Y, τY ) es continua, para todo A ⊆ X,

(iii) f : (X, τX) →(f (X) , τY/f(X)

)es continua.

Dem.

(1) Sean f : (X, τX ) → (Y, τY ) y g : (Y, τY ) → (Z, τZ) funciones continuas [Hip.]

(i) (2) Sea G ∈ τZ [Hip.]

(3) (g f)−1 (G) = f −1 (g−1 (G))


(4) g−1 (G) ∈ τY [(1), (2)]

(5) f −1 (g−1 (G)) ∈ τX [(1), (4)]

(6) (g f)−1 (G) ∈ τX [(3), (5)]

(7) g f : (X, τX) → (Z, τZ) es continua [(2), (6), T.2.1.1]

(ii) (8) Sea A ⊆ X y sea G ∈ τY [Hip.]

(9)(

f/A

)−1(G) = f −1 (G) ∩A

(10) f −1 (G) ∈ τX [(1), (8)]

(11)(

f/A

)−1(G) ∈ τX//A

[(9), (10)]

(12) f/A : A→ Y es continua [(8), (11), T.2.1.1]

(iii) (13) Sea G ∈ τY/f(X)[Hip.]

(14) G = U ∩ f (X) , U ∈ τY [(13)]

(15) f −1 (G) = f −1 (U ∩ f (X)) = f −1 (U) ∩ f −1 (f (X))

= f −1 (U) ∩ X = f −1 (U) [(14)]

(16) f −1 (G) = f −1 (U) ∈ τX [(1), (14), (15)]

(17) f : X → f (X) es continua [(13), (15), T.2.1.1]

2

Teorema 2.1.3 (funciones definidas a trozos)

Sea Aαα∈A un cubrimiento de un espacio topologico (X, τX) tal que o es abierto o

es cerrado y localmente finito. Para cada α ∈ A, sea fα :(Aα, τX/Aα

)→ (Y, τY ) una

funcion continua tal que fα/Aα∩Aβ= fβ/Aα∩Aβ

para cada (α, β) ∈ A × A, entonces

existe una unica funcion continua f : X → Y que es extension de cada fα.

Dem.

(1) Sea Aαα∈A un cubrimiento de un espacio topologico (X, τX )

tal que o es abierto o es cerrado y localmente finito, y


(2) sea fα :(Aα, τX/Aα

)→ (Y, τY ) una funcion continua, para

cada α ∈ A tal que

(3) fα/Aα∩Aβ= fβ/Aα∩Aβ

para cada (α, β) ∈ A×A [Hip.]

(4) fα = fβ en Aα ∩Aβ para cada (α, β) ∈ A×A [(3)]

1) Existencia de la funcion f.

(5) Sea f : X → Y definida por f (x) = fα (x) si, y solo si, x ∈ Aα

(6) Sea x ∈ X [Hip.]

(7) existe α0 ∈ A : x ∈ Aαo [(1), (6)]

(8) existe y ∈ Y tal que fαo (x) = y [(2), (7)]

(9) existe y ∈ Y tal que f (x) = fαo (x) = y [(5), (7), (8)]

(10) para cada x ∈ X existe y ∈ Y tal que f (x) = y [(6), (9)]

(11) Sean x1, x2 ∈ X tales que x1 = x2 [Hip.]

(12) existe α ∈ A tal que x1 ∈ Aα [(11), (1)]

(13) existe β ∈ A tal que x2 ∈ Aβ [(1), (11)]

(14) x1 ∈ Aα ∩Aβ [(11), (12), (13)]

(15) f (x1) = fα (x1) = fβ (x1) = fβ (x2) = f (x2) [(4), (5), (11), (12), (13), (14)]

(16) f (x1) = f (x2) [(15)]

(17) f : X → Y es funcion [(10), (11), (16)]

2) f : X → Y es una extension de cada fα

(18) Sea α ∈ A y sea x ∈ Aα [Hip.]

(19)(

f/Aα

)(x) = f (x) [(18)]

(20) f (x) = fα (x) [(5), (18)]

(21)(

f/Aα

)(x) = fα (x) para cada x ∈ Aα [(18), (19), (20)]


(22) f/Aα = fα [(21)]

3) Unicidad de la funcion f.

(23) Sea g : X → Y tal que g extiende a cada fα [Hip.]

(24) Sea x ∈ X, entonces existe α ∈ A : x ∈ Aα [(1)]

(25) g/Aα = fα [(23)]

(26) f (x) = fα (x) = (g/Aα) (x) = g (x) [(5), (24), (25)]

(27) f (x) = g (x) para cada x ∈ X [(24), (26)]

(28) f = g [(27)]

4) Continuidad de la funcion f


(30) f −1α (G) ∈ τX/Aα

para cada α ∈ A [(2), (29)]

(31) f −1α (G) =

(f/Aα

)−1(G) = f −1 (G) ∩ Aα [(22)]

(32) f −1 (G) ∩Aα es abierto en Aα para cada α ∈ A [(30), (31)]

(33) f −1 (G) ∈ τX [(1), (32), T.1.5.4, T.1.5.5]

(34) f es continua [(29), (33), T.2.1.1]

(35) existe una unica funcion continua que extiende a cada funcion fα

2

Funciones continuas sobre (IR, τε)

Lema 2.1.4 Sean (X, d) un espacio metrico, A ⊆ X (un conjunto fijo) y f : X → IR

la funcion definida por f (x) = d (x,A). Se satisfacen las siguientes propiedades:

(i) | d (x,A) − d (y,A)| 6 d (x, y) para todo x, y ∈ X

(ii) f : (X, τd) → (IR, τε) es continua.

Dem.

(1) Sea (X, d) un espacio metrico y sea A ⊆ X (un conjunto fijo). [Hip.]


(i)

Sean

(2) f : X → IR la funcion definida por f (x) = d (x,A), [Hip.]

(3) x ∈ X y W (f (x)) ∈ τε. [Hip.]

(4) Existe E (f (x) , ε) : E (f (x) , ε) ⊆W (f (x)) [(3)]

(5) E (x, ε) ∈ τd y x ∈ E (x, ε), entonces E (x, ε) = U (x) ∈ U (x) [(1)]

(6) Sea y ∈ f (U (x)) = f (E (x, ε)) [Hip.]

(7) existe z ∈ E (x, ε) : f (z) = y [(6)]

(8) d (x, z) < ε y d (z,A) = y [(1), (2), (7)]

(9) | y − f (x)| = |d (x,A)− d (z,A)| 6 d (x, z) < ε [(2), (8), L.2.1.4]

(10) y ∈ E (f (x) , ε) [(9)]

(11) f (U (x)) ⊆ E (f (x) , ε) ⊆W (f (x)) [(4), (6), (10)]

(12) Para todo x ∈ X, para todo W (f (x)) existe U (x) tal que

f (U (x)) ⊆W (f (x)) [(3), (5), (11)]

(13) f : (X, τd) → (IR, τε) definida por f (x) = d (x,A) es continua [(1), (12)]

2

En ciertas ramas de la Matematica, desempenan un papel esencial las funciones

f : X → IR, donde X es un espacio topologico cualquiera y IR es el espacio euclıdeo.

Se realiza un estudio detallado de las mismas.

Definicion 2.1.6 Sea f : (X, τ ) → (IR, τε) una funcion,

(i) f es semicontinua superior si, y solo si, x : f (x) < b = f −1 (−∞, b) es abierto

en X, para todo b ∈ IR.

(ii) f es semicontinua inferior si, y solo si, x : f (x) > b = f −1 (b,∞) es abierto

en X, para todo b ∈ IR.


Una consecuencia inmediata de la Definicion 2.1.6 y del Teorema 2.1.1 es:

Lema 2.1.5 Una funcion f : (X, τ ) → (IR, τε) es continua si, y solo si, es semicon-

tinua superior e inferior.

El siguiente ejemplo muestra que los dos tipos de semicontinuidad son necesarios

para asegurar la continuidad de una funcion.

Ejemplo 2.1.4 En (IR, τε), la funcion caracterıstica del conjunto A = (0, 1) , χA, es

semicontinua inferior pero no es semicontinua superior y no es continua.

(i) χA es semicontinua inferior

(1) Sean b ∈ IR y H = χ−1A (b,∞) [Hip.]

Primer caso.

(2) 1 6 b

(3) H = ∅ ∈ τε [(1), (2)]

Segundo caso.

(4) 0 6 b < 1

(5) H = (0, 1) ∈ τε [(1), (4)]

Tercer caso.

(6) b < 0

(7) H = IR ∈ τε [(1), (6)]

(8) H = χ−1A (b,∞) ∈ τε para todo b ∈ IR [(1), (3), (5), (7)]

(9) χA es semicontinua inferior [(8)]

ii) χA no es semicontinua superior y no es continua

(10) χ−1A

(−∞,

1

2

)= Ac = (−∞, 0] ∪ [1,∞)

(11) χ−1A

(−∞,

1

2

)/∈ τε [(10)]


(12) χA no es semicontinua superior y no es continua [(11), T.2.1.1]

Ejercicio 2.1.1 Sea f : (X, τ ) → (IR, τε) una funcion, probar que:

(i) f es semicontinua superior (inferior) si, y solo si, −f es semicontinua inferior

(superior).

(ii) f es continua si, y solo si, f y −f son semicontinuas superiores (inferiores).

(iii) f es continua si, y solo si, −f es continua.

Observacion 2.1.3 Sean f : X → IR, g : X → IR dos funciones reales, como IR

esta dotado de una estructura algebraica es posible definir nuevas funciones a partir de

ellas, por ejemplo:

(i) h : X → IR definida por h (x) = f (x) + g (x),

(ii) p : X → IR definida por p (x) = f (x) · g (x),

(iii) t : X → IR definida por t (x) = |f (x)|α,

(iv) s : X → IR definida por s (x) = f(x)g(x)

si g(x) 6= 0 para todo x ∈ X.

En el siguiente teorema se estudia la continuidad de las funciones h, p y t.

Teorema 2.1.4 La continuidad se preserva bajo las operaciones usuales del analisis.

Precisamente, si f : (X, τ ) → (IR, τε) y g : (X, τ ) → (IR, τε) son funciones continuas,

entonces las funciones siguientes tambien lo son:

(i) |f |α para todo α ≥ 0,

(ii) a f + b g para todo a, b ∈ IR,

(iii) f · g,

(iv)f

gsi g (x) 6= 0 para todo x ∈ X.

Dem.

(1) Sean f : X → IR y g : X → IR funciones continuas [Hip.]


(i) |f |α es continua para todo α ≥ 0.

(2) Sea b ∈ IR [Hip.]

(3) (|f |α)−1

(−∞, b) =

x ∈ X : |f (x)|α < b = ∅ si b 6 0

f −1(−b 1

α , b1α

)si b > 0

(4) f −1(−b 1

α , b1α

)∈ τ [(1), T.2.1.1]

(5) (|f |α)−1

(−∞, b) ∈ τ para todo b ∈ IR [(3), (4)]

(6) (|f |α)−1

(b,∞) =

x ∈ X : |f (x)|α > b = X si b < 0

f −1(b

1α ,∞

)∪ f −1

(−∞,−b 1

α

)si b ≥ 0

(7) f −1(b

1α ,∞

)∈ τ, f −1

(−∞,−b 1

α

)∈ τ [(1), T.2.1.1]

(8) (|f |α)−1

(b,∞) ∈ τ para todo b ∈ IR [(6), (7)]

(9) |f |α es semicontinua inferior y superior [(5), (8)]

(10) |f |α es continua [(9), L.2.1.5]

(ii) a f + b g es continua para todo a, b ∈ IR

− a f es continua para todo a ∈ IR.

Primer caso.

(11) a = 0

(12) (a f) (x) = 0 f (x) = 0 para todo x ∈ X [(11)]

(13) a f es continua si a = 0 [(12), Ej.2.1.1]

Segundo caso.

(14) a > 0

(15) (a f)−1 (−∞, b) = f −1

(−∞,

b

a

)∈ τ [(1), (14)]


(16) (a f)−1 (b,∞) = f −1

(b

a,∞)

∈ τ [(1), (14)]

Tercer caso.

(17) a < 0

(18) (a f)−1 (−∞, b) = f −1

(b

a,∞)

∈ τ [(1), (17)]

(19) (a f)−1

(b,∞) = f −1

(−∞,

b

a

)∈ τ [(1), (17)]

(20) a f es semicontinua superior e inferior si a 6= 0 [(15), (16), (18), (19)]

(21) a f es continua si a 6= 0 [(20), L.2.1.5]

(22) a f es continua para todo a ∈ IR. [(13), (21)]

− f + g es continua

(23) (f + g)−1 (b,∞) =⋃

λ∈R

(x ∈ X : f (x) > b− λ ∩ x ∈ X : g (x) > λ)

(24) (f + g)−1 (b,∞) ∈ τ para todo b ∈ IR [(1), (23)]

(25) f + g es semicontinua inferior [(24)]

(26) Si f y g son continuas, entonces f + g es semicontinua inferior [(1), (25)]

(27) −f,−g son continuas [(1), E.2.1.1]

(28) (−f) + (−g) = − (f + g) es semicontinua inferior [(26), (27)]

(29) f + g es continua [(25), (28), E.2.1.1]

(30) a f + b · g es continua para todo a, b ∈ IR [(22), (29)]

(iii) f · g es continua

(31) f · g =1

4

(|f + g|2 − |f − g|2

)

(32) f · g es continua [(31), T.2.1.4]

2


2.2 Funciones abiertas y cerradas

Definicion 2.2.1 Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion,

(i) f es abierta si, y solo si, la imagen de todo abierto en X es abierto en Y,

esto es, f (G) ∈ τY para todo G ∈ τX .

(ii) f es cerrada si, y solo si, la imagen de todo cerrado en X es cerrado en Y,

esto es, f (G) ∈ τY −cerr para todo G ∈ τX−cerr.

Ejemplo 2.2.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X, entonces la funcion

caracterıstica de A, χA : X → (IR, τε), es una funcion cerrada.

En efecto, sea

(1) F ∈ τcerr,

(2) χA (F ) =

0 si F ⊆ Ac,1 si F ⊆ A,0, 1 si F ∩ A 6= ∅ y F ∩ Ac 6= ∅.

(3) χA (F ) ∈ τε−cerr , [(2)]

(4) χA es una funcion cerrada. [(1), (3)]

En general, las nociones de funciones abiertas, cerradas y continuas son indepen-

dientes, como lo muestran los siguientes lemas.

Lema 2.2.1 Sean X un conjunto no vacıo y τ1, τ2 topologıas para X. Se satisfacen

las siguientes propiedades:

(i) Si τ1 ⊂ τ2 si, y solo si, 1 : (X, τ1) → (X, τ2) es abierta (cerrada) pero no continua.

(ii) Si τ2 ⊂ τ1 si, y solo si, 1 : (X, τ1) → (X, τ2) es continua pero no abierta (cerrada).

Dem.

i)

(1) τ1 ⊂ τ2 [Hip.]

(2) 1 (G) = G ∈ τ2 para todo G ∈ τ1 [(1)]


(3) 1 es abierta [(2)]

(4) existe G ∈ τ2 : 1−1 (G) = G /∈ τ1 [(1)]

(5) 1 no es continua [(4)]

2

Luego, queda demostrado que las nociones de funcion abierta (cerrada) y continua son

independientes. En el siguiente lema se analizan las funciones abiertas y cerradas.

Lema 2.2.2 Sean (X, τ ) un espacio topologico y A ⊆ X. Entonces la funcion inclusion

i : A→ X es abierta (cerrada) si, y solo si, A es abierto (cerrado) en X.

Dem.

(1) Sean (X, τ ) un espacio topologico y A ⊆ X [Hip.]

(⇒)

(2) i : A→ X abierta [Hip.]

(3) i (G) ∈ τX para todo G ∈ τX/A[(2)]

(4) A ∈ τX/A[L.1.5.1]

(5) i (A) = A ∈ τX [(3), (4)]

(6) A es abierto en X [(5)]

(⇐)

(7) A ∈ τX [Hip.]

(8) Sea GA ∈ τX/A[Hip.]

(9) GA = G ∩A, G ∈ τX [(8), L.1.5.1]

(10) i (GA) = GA

(11) GA ∈ τX [(7), (9)]

(12) i (GA) ∈ τX [(10), (11)]


(13) i es abierta [(8), (12)]

2

El Lema 2.2.2 muestra que una funcion puede ser abierta y no cerrada, por ejemplo,

i : (0, 1) → IR es abierta y no cerrada siendo (0, 1) un subespacio de (IR, τε) .

Lema 2.2.3 Sean (X, τX) , (Y, τY ) dos espacios topologicos y f : X → Y una funcion

biyectiva. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) f es abierta,

(ii) f es cerrada.

Dem.

(1) Sea f : X → Y una funcion biyectiva [Hip.]

(i) ⇒ (ii)

(2) f es abierta [Hip.]

(3) Sea F ⊆ X cerrado en X [Hip.]

(4) f (F c) ∈ τY [(2), (3)]

(5) f (F c) = (f (F ))c [(1)]

(6) f (F ) es cerrado en Y [(4), (5)]

(7) f es cerrada [(3), (6)]

(ii) ⇒ (i)

(8) f es cerrada [Hip.]

(9) Sea G ∈ τX [Hip.]

(10) f (Gc) = (f (G))c es cerrado en Y [(1), (8), (9)]

(11) f (G) ∈ τY [(10)]


(12) f es abierta [(9), (11)]

2

Formulaciones equivalentes para funciones abiertas y cerradas

Teorema 2.2.1 Sean (X, τX) , (Y, τY ) dos espacios topologicos y f : X → Y una fun-

cion. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) f es abierta,

(ii) f (I (A)) ⊆ I (f (A)) para todo A ⊆ X,

(iii) la imagen de todo basico de X es un conjunto abierto de Y, esto es,

si BX ⊆ τX es base de τX, entonces f (B) ∈ τY para todo B ∈ BX,

(iv) para todo x ∈ X y para todo entorno abierto de x, U (x) , existe un entorno

abierto de f (x) , W (f (x)), tal que W (f (x)) ⊆ f (U(x)).

Dem. Sea f : X → Y una funcion [Hip.]

(i) ⇒ (ii)

(1) f es abierta y A ⊆ X [Hip.]

(2) I (A) ∈ τX [E.1.3.3]

(3) f (I (A)) ∈ τY [(1), (2)]

(4) f (I (A)) ⊆ f (A) [L.1.3.8]

(5) f (I (A)) ⊆ I (f (A)) [(3), (4), E.1.3.3]

(ii) ⇒ (iii)

(6) f (I (A)) ⊆ I (f (A)) para todo A ⊆ X [Hip.]

(7) Sean BX ⊆ τX base de τX y B ∈ BX [Hip.]

(8) I (B) = B [(7)]

(9) f (B) = f (I (B)) ⊆ I (f (B)) [(6), (8)]


(10) I (f (B)) ⊆ f (B) [L.1.3.8]

(11) I (f (B)) = f (B) [(9), (10)]

(12) f (B) ∈ τY para todo B ∈ BX [(7), (11)]

(iii) ⇒ (iv)

(13) Sean BX ⊆ τX una base de τx tal que f (B) ∈ τY para todo B ∈ Bx, [Hip.]

(14) x ∈ X y U (x) ∈ U (x). [Hip.]

(15) Existe B ∈ Bx : x ∈ B ⊆ U (x) [(13), (14), T.1.2.3]

(16) f (B) ∈ τY y f (x) ∈ f (B) [(13), (15)]

(17) f (B) = W (f (x)) ∈ U (f (x)) y W (f (x)) ⊆ f (U (x)) [(15), (16)]

(18) para todo x ∈ X y para todo U (x) existe W (f (x)) tal que

W (f (x)) ⊆ f (U (x)) [(14), (17)]

(iv) ⇒ (v)

(19) Para todo x ∈ X y para todo U (x) existe W (f (x)) tal que

W (f (x)) ⊆ f (U (x)) [Hip.]

(20) Sea G ∈ τX , [Hip.]

(21) sea y ∈ f (G), esto es, y = f (x) para algun x ∈ G. [Hip.]

(22) G = U (x) ∈ U (x) [(20), (21)]

(23) existe W (f (x)) : W (f (x)) ⊆ f (U (x)) [(19), (22)]

(24) existe W (y) : W (y) ⊆ f (G) [(21), (22), (23)]

(25) Para todo y ∈ f (G) existe W (y) : W (y) ⊆ f (G) [(21), (24)]

(26) f (G) ∈ τY [(25), T.1.1.1]

(27) f : X → Y es abierta [(20), (26)]


2

Observacion 2.2.1 La condicion (iv) del Teorema 2.2.1 es equivalente a:

(iv’) para todo x ∈ X y para todo U ∈ Ux existe W ∈ Uf(x) tal que W ⊆ f (U).

Teorema 2.2.2 Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion, entonces f es cerrada si, y

solo si, f (A) ⊆ f(A)

para todo A ⊆ X.

Dem. Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion [Hip.]

(⇒)

(1) f cerrada y A ⊆ X [Hip.]

(2) A ∈ τX−cerr [(1)]

(3) f(A)∈ τY −cerr [(1), (2)]

(4) f (A) ⊆ f(A)

[L.1.3.3]

(5) f (A) ⊆ f(A)

[(3), (4)]

(⇐)

(6) f (A) ⊆ f(A)

para todo A ⊆ X [Hip.]

(7) Sea F ∈ τX−cerr [Hip.]

(8) F = F [(7)]

(9) f (F ) ⊆ f (F ) [(6), (8)]

(10) f (F ) ⊆ f (F ) [L.1.3.3]

(11) f (F ) = f (F ) [(9), (10)]

(12) f es cerrada [(7), (11)]

2

El siguiente teorema es de caracter tecnico y sera de gran utilidad en las secciones

posteriores:


Teorema 2.2.3 Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion. Entonces se satisfacen las

siguientes propiedades:

(i) Si f es cerrada, entonces para cada S ⊆ Y y para cada conjunto abierto U ⊆ X

que contiene a f −1 (S) existe un conjunto abierto V ⊆ Y tal que S ⊆ V y

f −1 (V ) ⊆ U, esto es,

“para cada S ⊆ Y y para cada U ∈ τX : f −1 (S) ⊆ U existe V ∈ τY tal que

S ⊆ V y f −1 (V ) ⊆ U”.

(ii) Si f es abierta, entonces para cada S ⊆ Y y para cada conjunto cerrado F ⊆ X

que contiene a f −1 (S) existe un conjunto cerrado H ⊆ Y tal que S ⊆ H y

f −1 (H) ⊆ F, esto es,

“para cada S ⊆ Y y para cada F ∈ τX−cerr : f −1 (S) ⊆ F existe H ∈ τY −cerr tal

que S ⊆ H y f −1 (H) ⊆ F”.

Dem.

(i)

Sean

(1) f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion cerrada, [Hip.]

(2) S ⊆ Y y U ∈ τX tales que

(3) f −1 (S) ⊆ U . [Hip.]

(4) f (U c) ∈ τY −cerr [(1), (2)]

(5) V = (f (U c))c ∈ τY [(4)]

(6) f (U c) ⊆ f (f −1 (Sc)) ⊆ Sc [(3)]

(7) S ⊆ V [(5), (6)]

(8) f −1 (V ) = f −1 ((f (U c))c) = (f −1f (U c))

c ⊆ U [(5)]

(9) f −1 (V ) ⊆ U [(8), (9)]

(10) existe V ∈ τY tal que S ⊆ V y f −1 (V ) ⊆ U [(5), (7), (9)]

2


2.3 Homeomorfismos

Entre dos espacios topologicos X e Y , se han definido distintos tipos de funciones,

a saber, continuas, abiertas, cerradas, dichas funciones preservan algunas de las carac-

terısticas de la estructura topologica de estos espacios.

Una funcion biyectiva, f : X → Y , induce una biyeccion gf : P (X) → P (Y )

definida por gf (A) = f (A) para todo A ∈ P (X), si ademas gf determina una co-

rrespondencia biunıvoca entre las topologıas τX y τY , entonces los espacios topologicos

(X, τX) e (Y, τY ) son identicos desde el punto de vista topologico.

En esta seccion se estudian este tipo de funciones.

Definicion 2.3.1 Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion biyectiva, f es un homeo-

morfismo si, y solo si, f : (X, τX ) → (Y, τY ) y f −1 : (Y, τY ) → (X, τX ) son funciones

continuas.

Observacion 2.3.1

(i) Si f : (X, τX ) → (Y, τY ) es un homeomorfismo se escribira Xf' Y

(ii) Tambien es comun decir que f : (X, τX ) → (Y, τY ) es un homeomorfismo si, y

solo si, f es una biyeccion bicontinua.

Ejemplo 2.3.1

1. El espacio euclıdeo (IR, τε) es homeomorfo al subespacio (−1, 1), mediante la fun-

cion f : IR → (−1, 1) definida por f (x) =x

1 + |x| .

En general, el espacio euclıdeo IRn es homeomorfo a la esfera unitaria E(0, 1)

mediante la aplicacion f : IRn → E(0, 1)

definida por f (x) =x

1+ ‖ x ‖

2. La recta real extendida IR es homeomorfa al intervalo [−1, 1] mediante la apli-

cacion f : IR → [−1, 1] definida por f (x) =

x

1 + |x| si x ∈ IR

1 si x = ∞−1 si x = −∞

3. En (IR, τε) , (a, b)f' (0, 1) siendo f : (0, 1) → (a, b) la funcion definida por

f (t) = (b− a) t+ a.


Lema 2.3.1 Si f : (X, τX) → (Y, τY ) es un homeomorfismo, entonces es una funcion

abierta.

Dem.

Sean

(1) f : (X, τX ) → (Y, τY ) un homeomorfismo, [Hip.]

(2) U ∈ τX . [Hip.]

(3) f −1 : (Y, τY ) → (X, τX ) es continua [(1)]

(4) (f −1)−1

(U) ∈ τY [(2), (3), T.2.1.1]

(5) f (U) ∈ τY [(4)]

(6) f es abierta [(2), (5)]

2

Definicion 2.3.2 Una propiedad topologica P es una propiedad sobre una estructura

topologica de modo que si un espacio topologico satisface la propiedad P , entonces todo

espacio homeomorfo a el tambien la cumple.

Se puede decir que las propiedades topologicas son aquellas que son invariantes por

homeomorfismos, cada propiedad topologica de X se verifica en cada espacio homeo-

morfo a X.

Observacion 2.3.2

1. La importancia de los homeomorfismos radica en que son funciones abiertas,

esto significa que toda propiedad de X expresada en terminos de operaciones de

conjuntos abiertos tambien se verifica en todo espacio homeomorfo a X.

2. El concepto de homeomorfismo es en Topologıa lo que el isomorfismo es en

Algebra, si dos conjuntos son isomorfos se los considera estructuralmente iguales,

si dos espacios topologicos son homeomorfos toda propiedad topologica que tenga

uno de ellos la tendra el otro.


3. Si se considera la familia de todos los espacios topologicos y se define la relacion

“ser homeomorfos”, esta es una relacion de equivalencia que particiona a dicha

familia en clases de equivalencia. Cada clase de equivalencia recibe el nombre

de “tipo de homeomorfismo”, eligiendo un representante de la clase y estudiando

sus propiedades se conocen las propiedades de todos sus homeomorfos.

4. La Topologıa se puede describir como el estudio de las propiedades invariantes

por homeomorfismos.

5. Una forma de demostrar que dos espacios no son homeomorfos es encontrar una

propiedad topologica que tenga uno de ellos y no el otro.

Ejemplo 2.3.2

1. Sean X = 1, 2, 3 , Y = a, b, c , τX = ∅,X, 1, 2 , 3 y τY = D, entonces

(X, τX) e (Y, τY ) no son homeomorfos.

En efecto, sean

(1) τX = ∅,X, 1, 2 , 3 y τY = D topologıas para X e Y ,

respectivamente [Hip.]

(2) y ∈ τY para todo y ∈ Y [(1)]

(3) 1 ∈ X y 1 /∈ τX [(1)]

(4) (X, τX) e (Y, τY ) no son homeomorfos [(2), (3)]

2. Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X, entonces la propiedad “x es un

punto aislado de A”es una propiedad topologica, es decir, es invariante por ho-

meomorfismos.

En efecto, sean

(1) f : (X, τX ) → (Y, τY ) un homeomorfismo, A ⊆ X, [Hip.]

(2) x ∈ A \A′. [Hip.]

(3) f (x) ∈ f (A) [(2)]

(4) existe U (x) tal que U (x) ∩A \ x = ∅ [(2)]

(5) f : (X, τX ) → (Y, τY ) es abierta [(1), L.2.3.1]


(6) f (U (x)) ∈ τY y f (x) ∈ f (U (x)) [(5)]

(7) f (U (x)) = W (f (x)) ∈ U (f (x)) [(6)]

(8) f (U (x) ∩ A \ x) = f (U (x)) ∩ f (A) \ f (x) = ∅ [(1), (4)]

(9) W (f (x)) ∩ f (A) \ f (x) = ∅ [(7), (8)]

(10) existe W (f (x)) tal que W (f (x)) ∩ f (A) \ f (x) = ∅ [(7), (9)]

(11) f (x) /∈ (f (A))′ [(3), (10)]

(12) f (x) ∈ f (A) \ (f (A))′ [(11)]

(13) f (x) es punto aislado de f (A) [(12)]

3. En (IR, τε) , IN y IQ no son homeomorfos como subespacios de IR.

En efecto, supongamos que

(1) existe un homeomorfismo f :(IN, τε / N

)→(IQ, τε /Q

)[Hip.]

(2) τε /N = D [Ej.1.5.1]

(3) Para todo n ∈ IN, n ∈ UN (n) y n ∩ IN \ n = ∅ [(2)]

(4) n /∈ IN ′ para todo n ∈ IN [(3)]

(5) f (n) ∈ IQ \ IQ′ para todo n ∈ IN [(1), (4), Ej.2.3.2]

(6) q ∈ IQ \ IQ′ para todo q ∈ IQ [(1), (5)]

(7) Para cada q ∈ IQ existe UQ (q), tal que UQ (q) ∩ IQ \ q = ∅ [(6)]

(8) UQ (q) = U (q) ∩ IQ con U (q) ∈ U(q) [E.1.5.2]

(9) existe r > 0, tal que E (q, r) ⊆ U (q) [(10)]

(10) E (q, r) ∩ IQ \ q ⊆ UQ (q) ∩ IQ \ q [(8), (9)]

(11) E (q, r) ∩ IQ \ q = ∅ [(7),(10)]

(12) para cada q ∈ IQ, E (q, r) ∩ IQ = q, [(11)]

lo cual es absurdo. Por lo tanto


(13) IN y IQ no son homeomorfos [(1), (12)]

4. Sea X = (0,∞) ⊆ IR con la topologıa inducida por la topologıa euclıdea, sea

f : X → X la funcion definida por f (x) =1

xy sea la sucesion ann∈N con

an =1

n, entonces:

(a) f es un homeomorfismo,

(b) ann∈N es una sucesion de Cauchy en X,

(c) f (an)n∈N = nn∈N no es una sucesion de Cauchy en X.

Luego, la propiedad “ser una sucesion de Cauchy”no es una propiedad topologica.

Formulaciones equivalentes para homeomorfismos

Teorema 2.3.1 Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion biyectiva. Entonces las si-

guientes condiciones son equivalentes:

(i) f es homeomorfismo,

(ii) f es abierta y continua,

(iii) f es cerrada y continua,

(iv) f(A)

= f (A) para todo A ⊆ X.

Dem.

(1) Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion biyectiva [Hip.]

(i) ⇒ (ii)

Inmediato del Lema 2.3.1

(ii) ⇒ (iii)

Inmediato de (1) y del Lema 2.2.3

(iii) ⇒ (iv)


Inmediato de los Teoremas 2.1.1 y 2.2.2

(iv) ⇒ (i)

(2) f(A)

= f (A) para todo A ⊆ X [Hip.]

(3) f es continua [(2),T.2.1.1]

(4) Sea B ⊆ X [Hip.]

(5) (f −1)−1 (B) = f (B) = f(B)

[(2)]

(6) f(B)

= (f −1)−1 (

B)

[(1)]

(7) (f −1)−1 (B) = (f −1)−1 (

B)

para todo B ⊆ X [(4), (6)]

(8) f −1 : Y → X es continua [(7), T.2.1.1]

(9) f es homeomorfismo [(1), (3), (8)]

2

Teorema 2.3.2 Sean f : (X, τX) → (Y, τY ) y g : (Y, τY ) → (X, τX) funciones conti-

nuas tales que g f = 1X y f g = 1Y , entonces f −1 = g y f es un homeomorfismo.

Dem.

(1) Sean f : (X, τX) → (Y, τY ) y g : (Y, τY ) → (X, τX ) funciones continuas [Hip.]

(2) g f = 1X y f g = 1Y [Hip.]

(3) Sean x, y ∈ X tales que f (x) = f (y) [Hip.]

(4) 1X (x) = g (f (x)) = g (f (y)) = 1X (y) [(2), (3)]

(5) x = y [(4)]

(6) f es inyectiva [(3), (5)]

(7) Sea y ∈ Y [Hip.]

(8) existe x ∈ X, g (y) = x [(7)]


(9) 1Y (y) = f (g (y)) = f (x) [(2), (8)]

(10) existe x ∈ X, f (x) = y [(8), (9)]

(11) f es sobreyectiva [(7), (10)]

(12) f es biyectiva [(6), (11)]

(13) f −1 = g [(2), (12)]

(14) f y f −1 son funciones continuas [(1), (13)]

(15) f es homeomorfismo [(12), (14)]

2

Corolario 2.3.1 Sean f : (X, τX) → (Y, τY ) un homeomorfismo y A ⊆ X, entonces

las funciones f/A : A→ f (A) y f/Ac : Ac → (f (A))c son homeomorfismos.

Dem.

Sean

(1) f : (X, τX) → (Y, τY ) un homeomorfismo y A ⊆ X. [Hip.]

(2) f : X → Y y f −1 : Y → X son continuas [(1)]

(3) f/A : A→ f (A) es continua [(2), T.2.1.2]

(4) f −1/f(A) : f (A) → A es continua [(2), T.2.1.2]

Sean

(5) h = f/A, g = f −1/f(A), [Hip.]

(6) x ∈ A. [Hip.]

(7) (g h) (x) = f −1/f(A)

(f/A (x)

)= f −1

/f(A) (f (x))

= f −1 (f (x)) = x [(1), (6)]

(8) g h = 1A [(6), (7)]

(9) Sea y ∈ f (A) [Hip.]


(10) (h g) (y) = f/A

(f −1

/f(A) (y))

= f/A ( f −1 (y))

= f (f −1 (y)) = y [(1), (5), (9)]

(11) h g = 1f(A) [(9), (10)]

(12) h−1 = g y h es homeomorfismo [(3), (4), (5), (8), (11), T.2.3.2]

(13) f/A : A→ f (A) es homeomorfismo para todo A ⊆ X [(5), (12)]

(14) f/Ac : Ac → f (Ac) es homeomorfismo para todo A ⊆ X [(1), (13)]

(15) f/Ac : Ac → (f (A))c es homeomorfismo para todo A ⊆ X [(1), (14)]

2

2.4 Topologıa asociada a una funcion

Topologıa inicial asociada a una funcion o topologıa imagen inversa.

Sean X un conjunto no vacıo, (Y, τY ) un espacio topologico y f : X → Y una fun-

cion, se desea determinar en X una topologıa que haga continua a f. Es claro que, siem-

pre existe al menos una topologıa para X que hace continua a f , a saber, τX = P (X) .

Pero esta topologıa no es interesante, mas precisamente se desea determinar la topologıa

menos fina que hace continua a f . Como f : X → Y debe ser continua, resulta que tal

topologıa, τf , para X debe satisfacer la condicion “f−1 (G) ∈ τf para todo G ∈ τY ”.

Luego, resulta natural definir τf como se describe en el siguiente lema:

Lema 2.4.1 Sean X un conjunto no vacıo, (Y, τY ) un espacio topologico y

f : X → Y una funcion, entonces τf = f−1 (G) : G ∈ τY es la topologıa menos

fina que hace continua a f.

Dem.

Sean

(1) (Y, τY ) un espacio topologico, f : X → Y una funcion, [Hip.]

(2) τf = f−1 (G) : G ∈ τY ⊆ P (X). [Hip.]


i) τf es topologıa para X

(3) f−1 (Gi)i∈I ⊆ τf [Hip.]

(4) Gi ∈ τY para todo i ∈ I [(2), (3)]

(5)⋃i∈I

Gi ∈ τY [(1), (4)]

(6)⋃i∈I

f−1 (Gi) = f−1

(⋃i∈I

Gi

)

(7)⋃i∈I

f−1 (Gi) ∈ τf [(2), (5), (6)]

(8)f−1

(Gij

)j∈In

⊆ τf [Hip.]

(9) Gij ∈ τY para todo j = 1, ..., n [(2), (8)]

(10)n⋂

j=1

Gij ∈ τY [(1), (9)]

(11)n⋂

j=1

f−1(Gij

)= f−1

(n⋂

j=1

Gij

)

(12)n⋂

j=1

f−1(Gij

)∈ τf [(2), (10), (11)]

(13) ∅ = f−1 (∅) con ∅ ∈ τY , luego ∅ ∈ τf [(1), (2)]

(14) X = f−1 (Y ) con Y ∈ τY , luego X ∈ τf [(1), (2)]

(15) τf es topologıa para X [(3), (7), (8), (12), (13), (14)]

ii) f : (X, τf ) → (Y, τY ) es continua


(17) f−1 (G) ∈ τf [(2), (16)]

(18) f : (X, τf ) → (Y, τY ) es continua [(16), (17), T.2.1.1]


iii) τf es la topologıa menos fina que hace continua a f .

Sean

(19) τX una topologıa para X tal que f : (X, τX) → (Y, τY ) es continua, [Hip.]

(20) G ∈ τf [Hip.]

(21) G = f−1 (H) con H ∈ τY [(2), (20)]

(22) f−1 (H) ∈ τX [(19), (21), T.2.1.1]

(23) τf ⊆ τX [(20), (21), (22)]

(24) τf es la topologıa menos fina que hace continua a f [(19), (23)]

2

Definicion 2.4.1 Sean X un conjunto no vacıo, (Y, τY ) un espacio topologico y

f : X → Y una funcion. La topologıa τf = f−1 (G) : G ∈ τY , recibe el nombre

de topologıa inicial para X asociada a f o topologıa imagen inversa de la topologıa τYasociada a f.

Ejercicio 2.4.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X. Probar que τA es la

topologıa inicial para A asociada a la funcion inclusion i : A→ X.

Topologıa lımite proyectiva de una familia de espacios topolo-gicos

Sean X 6= ∅, (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y

fα : X → Yαα∈A una familia de funciones. Para cada α ∈ A, la topologıa τα =

f−1α (G) : G ∈ τα es la topologıa menos fina para X que hace continua a fα. Se quiere

determinar en X la topologıa menos fina que haga simultaneamente continua a todas

las funciones fα.

Lema 2.4.2 Sean X 6= ∅, (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos,

fα : X → Yαα∈A una familia de funciones y Σ =⋃

α∈Aτα. Entonces la topologıa gene-

rada por Σ es la topologıa menos fina que hace simultaneamente continuas a todas las

funciones fα.

Dem.


Sean

(1) τα = G : G = f−1α (H) con H ∈ τα ,

(2) Σ =⋃

α∈Aτα = G : existe α ∈ A, G ∈ τα

= G : existe α ∈ A, G = f−1α (H) con H ∈ τα. [Hip.]

(i) fα : (X, τ (Σ)) → (Yα, τα) es continua para cada α ∈ A

Sean

(3) α ∈ A y Gα ∈ τα, [Hip.]

(4) f−1α (Gα) ∈ τα [(1), (3)]

(5) f−1α (Gα) ∈ Σ ⊆ τ (Σ) [(1), (4)]

(6) fα es continua [(3), (5)]

(7) fα : (X, τ (Σ)) → (Yα, τα) es continua para cada α ∈ A [(3), (6)]

(ii) τ = τ (Σ) es la topologıa menos fina que hace simultaneamente continuas a todas

las funciones fα

(8) Sea τX una topologıa para X tal que fα : (X, τX) → (Yα, τα)

es continua para todo α ∈ A [Hip.]

(9) Sea G ∈ Σ [Hip.]

(10) existe α ∈ A, G = f−1α (H) con H ∈ τα [(2), (9)]

(11) G = f−1α (H) ∈ τX [(8), (10), T.2.1.1]

(12) Σ ⊆ τX [(9), (11)]

(13) τ = τ (Σ) ⊆ τX [(12)]

(14) τ = τ (Σ) es la topologıa menos fina que hace simultaneamente


continuas a todas las funciones fα. [(8), (13)]

2

Definicion 2.4.2 Sean X 6= ∅, (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y

fα : X → Yαα∈A una familia de funciones. La topologıa τ = τ (Σ) = τ

( ⋃α∈A

τα

)

es el lımite proyectivo de los espacios topologicos (Yα, τα)α∈A con respecto a las

funciones fα o topologıa inicial para X asociada a la familia de funciones

fα : X → Yαα∈A.

Topologıa final asociada a una funcion o topologıa imagen

Sean (X, τX ) un espacio topologico, Y un conjunto no vacıo y f : X → Y una

funcion, es claro que existe una topologıa para Y que hace continua a f, a saber,

τY = τ0. Se desea determinar la topologıa mas fina para Y que haga continua a f.

Lema 2.4.3 Sean (X, τX) un espacio topologico, Y un conjunto no vacıo y f : X → Y

una funcion, entonces τ f = U ⊆ Y : f−1(U) ∈ τX es la topologıa mas fina para Y

que hace continua a f.

Definicion 2.4.3 Sean Y un conjunto no vacıo, (X, τX ) un espacio topologico y

f : X → Y una funcion. La topologıa τ f = U ⊆ Y : f−1(U) ∈ τX, recibe el nombre

de topologıa final para Y asociada a f o topologıa imagen de la topologıa τX asociada

a f.

2.5 Construccion de topologıas: topologıas asociadas a fun-

ciones

En esta seccion se presentan algunos metodos para construir topologıas a partir de

una o varias funciones dadas. Se distinguen principalmente dos: la topologıa inicial

y final, a partir de las cuales se pueden definir las topologıas producto, cociente o

identificacion, entre otras.

Topologıa inicial asociada a una funcion o topologıa imagen inversa.

Sean X un conjunto no vacıo, (Y, τY ) un espacio topologico y f : X → Y una

funcion, se desea determinar en X una topologıa que haga continua a f. Es claro que,

siempre existe al menos una topologıa para X que hace continua a f , a saber, τX =

P (X) . Pero esta topologıa no es interesante, mas precisamente se desea determinar la

topologıa menos fina que hace continua a f .


Como f : X → Y debe ser continua, resulta que tal topologıa, τf , para X debe

satisfacer la condicion

“f−1 (G) ∈ τf para todo G ∈ τY ”.

Luego, resulta natural definir τf como se describe en el siguiente lema:

Lema 2.5.1 Sean X un conjunto no vacıo, (Y, τY ) un espacio topologico y

f : X → Y una funcion, entonces τf = f−1 (G) : G ∈ τY es la topologıa menos

fina que hace continua a f.

Dem.

Sean

(1) (Y, τY ) un espacio topologico, f : X → Y una funcion, [Hip.]

(2) τf = f−1 (G) : G ∈ τY ⊆ P (X). [Hip.]

(i) τf es topologıa para X

(3) f−1 (Gi)i∈I ⊆ τf [Hip.]

(4) Gi ∈ τY para todo i ∈ I [(2), (3)]

(5)⋃i∈I

Gi ∈ τY [(1), (4)]

(6)⋃i∈I

f−1 (Gi) = f−1

(⋃i∈I

Gi

)

(7)⋃i∈I

f−1 (Gi) ∈ τf [(2), (5), (6)]

(8)f−1

(Gij

)j∈In

⊆ τf [Hip.]

(9) Gij ∈ τY para todo j = 1, ..., n [(2), (8)]

(10)n⋂

j=1

Gij ∈ τY [(1), (9)]

(11)n⋂

j=1

f−1(Gij

)= f−1

(n⋂

j=1

Gij

)


(12)n⋂

j=1

f−1(Gij

)∈ τf [(2), (10), (11)]

(13) ∅ = f−1 (∅) con ∅ ∈ τY , luego ∅ ∈ τf [(1), (2)]

(14) X = f−1 (Y ) con Y ∈ τY , luego X ∈ τf [(1), (2)]

(15) τf es topologıa para X [(3) ,(7), (8), (12), (13), (14)]

(ii) f : (X, τf ) → (Y, τY ) es continua


(17) f−1 (G) ∈ τf [(2), (16)]

(18) f : (X, τf ) → (Y, τY ) es continua (16), (17), T.2.1.1]

(iii) τf es la topologıa menos fina que hace continua a f .

Sean

(19) τX una topologıa para X tal que f : (X, τX) → (Y, τY ) es continua, [Hip.]

(20) G ∈ τf . [Hip.]

(21) G = f−1 (H) con H ∈ τY [(2), (20)]

(22) G = f−1 (H) ∈ τX [(19), (21), T.2.1.1]

(23) τf ⊆ τX [(20), (22)]

(24) τf es la topologıa menos fina que hace continua a f [(19), (23)]

2

Definicion 2.5.1 Sean X un conjunto no vacıo, (Y, τY ) un espacio topologico y

f : X → Y una funcion. La topologıa τf = f−1 (G) : G ∈ τY recibe el nombre

de topologıa inicial para X asociada a f o topologıa imagen inversa de la topologıa τYasociada a f.


Ejercicio 2.5.1 Sean (X, τ ) un espacio topologico y A ⊆ X. Probar que τA es la

topologıa inicial para X asociada a la funcion inclusion i : A→ X.

Topologıa lımite proyectiva de una familia de espacios topolo-gicos

Sean X 6= ∅, (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y fα : X → Yαα∈A

una familia de funciones. Para cada α ∈ A, la topologıa τα = f−1α (G) : G ∈ τα es

la topologıa menos fina para X que hace continua a fα. Se quiere determinar en X la

topologıa menos fina que haga simultaneamente continuas a todas las funciones fα.

Lema 2.5.2 Sean X 6= ∅, (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos,

fα : X → Yαα∈A una familia de funciones y Σ =⋃

α∈Aτα. Entonces la topologıa gene-

rada por Σ es la topologıa menos fina que hace simultaneamente continuas a todas las

funciones fα.

Dem.

Sean

(1) τα = G : G = f−1α (H) con H ∈ τα,

(2) Σ =⋃

α∈Aτα = G : existe α ∈ A, G ∈ τα

= G : existe α ∈ A, G = f−1α (H) con H ∈ τα. [Hip.]

(i) fα : (X, τ (Σ)) → (Yα, τα) es continua para cada α ∈ A

(3) Sean α ∈ A y Gα ∈ τα [Hip.]

(4) f−1α (Gα) ∈ τα [(3),(1)]

(5) f−1α (Gα) ∈ Σ ⊆ τ (Σ) [(1),(4)]

(6) fα es continua [(3),(5)]

(7) fα : (X, τ (Σ)) → (Yα, τα) es continua para cada α ∈ A [(3),(6)]


(ii) τ = τ (Σ) es la topologıa menos fina que hace simultaneamente continuas a todas

las funciones fα

(8) Sea τX una topologıa para X tal que

fα : (X, τX) → (Yα, τα) es continua para todo α ∈ A [Hip.]

(9) Sea G ∈ Σ [Hip.]

(10) existe α ∈ A tal que G = f−1α (H), con H ∈ τα [(2), (9)]

(11) f−1α (H) ∈ τX [(8), (10), T.2.1.1]

(12) Σ ⊆ τX [(9), (10), (11)]

(13) τ = τ (Σ) ⊆ τX [(12)]

(14) τ = τ (Σ) es la topologıa menos fina que hace simultaneamente

continuas a todas las funciones fα. [(8), (13)]

2

Definicion 2.5.2 Sean X 6= ∅, (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y

fα : X → Yαα∈A una familia de funciones. La topologıa τ = τ (Σ) = τ

( ⋃α∈A

τα

)

es el lımite proyectivo de los espacios topologicos (Yα, τα)α∈A con respecto a las

funciones fα o topologıa inicial para X asociada a la familia de funciones

fα : X → Yαα∈A.

Teorema 2.5.1 Sean (X, τ ) un espacio topologico, (Yα, τα)α∈A una familia de espa-

cios topologicos y fα : X → Yαα∈A una familia de funciones. Entonces las siguientes

condiciones son equivalentes:

(i) τ es la topologıa inicial paraX asociada a la familia de funciones fα : X → Yαα∈A,

(ii) para todo espacio topologico (Y, τY ) y para toda funcion g : Y → X se tiene que

g es continua si, y solo si, fα g es continua para todo α ∈ A.

Ejemplo 2.5.1 Supremo de una familia de topologıas.

Sean X un conjunto no vacıo y ταα∈A una familia de topologıas para X, el supremo

de la familia ταα∈A es la topologıa inicial para X asociada a la familia de funciones

1 : X → (X, τα)α∈A .


En la Seccion 3 estudiaremos con mas detalle un caso particular de topologıa inicial

asociada a una familia de funciones, la topologıa producto

Topologıa final asociada a una funcion o topologıa imagen

Se plantea ahora el siguiente problema:

“Sean (X, τX) un espacio topologico, Y un conjunto no vacıo y f : X → Y una

funcion, hallar la topologıa mas fina para Y que hace continua a f”.

Es claro que siempre existe una topologıa para Y que hace continua a f, a saber,

la topologıa caotica τ0. Se desea determinar la topologıa mas fina para Y que haga

continua a f.

Lema 2.5.3 Sean (X, τX) un espacio topologico, Y un conjunto no vacıo y f : X → Y

una funcion. Entonces τ f = U ⊆ Y : f−1(U) ∈ τX es la topologıa mas fina para Y

que hace continua a f.

Definicion 2.5.3 Sean Y un conjunto no vacıo, (X, τX) un espacio topologico y

f : X → Y una funcion, la topologıa τ f = U ⊆ Y : f−1(U) ∈ τX recibe el nombre de

topologıa final para Y asociada a f o topologıa imagen de la topologıa τX asociada a f.

Lema 2.5.4 Sean Y 6= ∅, (Xα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y

fα : Xα → Y α∈A una familia de funciones, entonces τ f = U ⊆ X : f−1α (U) ∈ τα

para todo α ∈ A es la topologıa mas fina para Y que hace simultanemente continuas

a todas las funciones fα.

Definicion 2.5.4 Sean Y 6= ∅, (Xα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos

y fα : Xα → Y α∈A una familia de funciones. La topologıa τ f = U ⊆ X :

f−1α (U) ∈ τα para todo α ∈ A, recibe el nombre de topologıa final asociada a la familia

de funciones fα : Xα → Y α∈A .

En el siguiente lema se determinan las condiciones que debe satisfacer una topologıa

para ser una topologıa final.

Lema 2.5.5 Sean Y 6= ∅, (Xα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y

fα : Xα → Y α∈A una familia de funciones. Si τ f es topologıa final asociada a la

familia de funciones fα : Xα → Y α∈A, entonces las siguientes condiciones son equi-

valentes:

(i) τY = τ f ,


(ii) para todo espacio topologico (Z, τZ) y para toda funcion g : Y → Z se tiene que

g es continua si, y solo si, g fα es continua para todo α ∈ A.

Ejemplo 2.5.2 Infimo de una familia de topologıas.

Sean X un conjunto no vacıo y ταα∈A una familia de topologıas para X, el ınfimo

de la familia ταα∈A es la topologıa final para X asociada a la familia de funciones

1 : (X, τα) → Xα∈A .

En la Seccion 4 estudiaremos con mas detalle un caso particular de topologıa final,

la topologıa de identificacion.


2.6 Practico No 2

1. Sean X = a, b, c e Y = 1, 2, 3, 4 y las topologıas τX = ∅,X, a, a, b y

τY = ∅, Y, 1, 1, 2, 3, 1, 2. Considere las funciones f y g de X en Y dadas

por f = (a, 1), (b, 2), (c, 3) y g = (a, 2), (b, 3), (c, 1).

(a) Analice si f es continua.

(b) Analice si g es continua en x = c.

2. Analice si las siguientes funciones son continuas:

(a) f : (R, τε) → (R, τε) definida por f (x) = x2

(b) f : (R, τ ) → (R, τε) definida por f(x) =

−x− 1 si x < −1x+ 1 si x ≥ −1

siendo τ = R, ∅ ∪ (−x, x) : x ∈ R+ .

(c) g : (Z, τε/Z) → (R, τε) definida por g(x) =x+ 2

3.

(d) h : (R, τ2) → (R, τε) definida por h (x) =

x si x < 0

x+ 1 si x ≥ 0

τ2 = ∅∪G ⊆ R : para todo x ∈ G existen a, b ∈ R tales que x ∈ (a, b] ⊆ G.

3. Demuestre que:

(a) La funcion f : (X, τ ) → (X, τ ) definida por f(x) = c es continua.

(b) Sea A ⊆ X y χA : (X, τ ) → (R, τε) la funcion caracterıstica de A. Entonces

se verifica que χA es continua si y solo si A es abierto y cerrado en (X, τ ).

(c) La funcion identidad 1 : (X, τ1) → (X, τ2) es continua si y solo si τ2 ⊆ τ1.

4. Sean (X, τX) e (Y, τY ) dos espacios topologicos, f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion

y A, B ∈ τX−cerr tales que X = A ∪ B. Pruebe que si f/A : (A, τX/A) → (Y, τY )

y f/B : (B, τX/B) → (Y, τY ) son continuas, entonces f : (X, τX) → (Y, τY ) es una

continua.

5. Sean f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion y M = Mi : i ∈ I es un cubrimiento

de X tal que:

(a) f/Mi :(Mi, τX/Mi

)→ (Y, τY ) es continua, para todo i ∈ I,

(b) Para todo x ∈ X existe i ∈ I: x ∈ I(Mi).


Pruebe que f es continua.

6. Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion continua y biyectiva. Pruebe que las

siguientes condiciones son equivalentes:

(a) f −1(f(A)) = A para todo A ⊆ X

(b) Si M = f−1(V ) : V ∈ τY , entonces τX = M

(c) f−1(B) = f−1(B) para todo B ⊆ Y

7. Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion. Pruebe que las siguientes condiciones son

equivalentes:

(a) f es abierta.

(b) Para todo x ∈ X y U ∈ U(x): f(U) ∈ U (f(x)) .

8. Pruebe que si f : (X, τX) → (Y, τY ) es abierta, entonces f/f−1(B),B : f−1(B) → B

es abierta, para todo B ⊆ Y .

9. Sean (X, τX) e (Y, τY ) dos espacios topologicos, f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion

y B ∈ τY tal que Im(f) ⊆ B. Pruebe que f es abierta si y solo si f : (X, τX ) →(B, τY/B

) es abierta.

10. Sean Bαα∈A un cubrimiento cerrado y localmente finito de (Y, τY ) y f : (X, τX) →(Y, τY ) una funcion tal que para cada α ∈ A se verifica que la restriccion

f/f−1(Bα) :(f−1 (Bα) , τX/f−1(Bα)

)→(Bα, τY/Bα

)es abierta. Pruebe que f es

abierta.

11. Sean f : (X, τX) → (Y, τY ) y g : (Y, τY ) → (Z, τZ) dos funciones. Pruebe que:

(a) Si f y g son funciones cerradas, entonces g f es cerrada.

(b) Si g f es una funcion abierta y f es continua y sobreyectiva, entonces g es

abierta.

12. Sean (X, τX ) e (Y, τY ) dos espacios topologicos y f : X → Y una funcion. Pruebe

que:

(a) f es continua y abierta si y solo si f−1(I(H)) = I(f−1(H)), para todo

H ⊆ Y .

(b) f es continua y cerrada si y solo si f(M) = f(M), para todo M ⊆ X.

13. Sea g : (R, τε) → (R, τε) una funcion. Pruebe que:

(a) Si g es estrictamente creciente y sobreyectiva, entonces g es un homeomor-

fismo.

(b) Si g es una biyeccion continua, entonces g es un homeomorfismo.

14. Sea (R, τε). Demuestre que:

(a) Si a < b, c < d, entonces la aplicacion g : (a, b) → (c, d) definida por

g(x) =d− b

c− a· (x− a) + b es un homeomorfismo.

(b) La aplicacion f : R → (−1, 1) dada por f(x) =x

1 + |x|.

(c) ¿Que conclusion puede enunciar de a) y b)?

15. Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion. Pruebe que las siguientes condiciones son

equivalentes:

(a) Si M = W ⊆ Y : f−1(W ) ∈ τX, entonces τY = M.

(b) F ∈ τY −cerr si y solo si f−1 (F ) ∈ τX−cerr.


3 Producto de espacios topologicos

Las nociones topologicas en el espacio euclıdeo IRn estan caracterizadas por la

topologıa euclıdea de IR. En general, un producto de espacios topologicos admite

una estructura topologica que esta caracterizada por la de sus factores. De todas

las topologıas que se pueden considerar en el producto cartesiano, una de ellas es de

fundamental importancia por razones que se estudiaran mas adelante.

3.1 Producto cartesiano de conjuntos

Definicion 3.1.1 Sea Aii∈Inuna familia de conjuntos no vacıos, el producto carte-

siano de los conjuntos Ai es el conjunto de todas las n−uplas (x1, x2, ..., xn) con xi ∈ Ai

para cada i ∈ In.

Si conn∏

i=1

Ai se denota al producto cartesiano de los conjuntos Ai resulta que:

n∏i=1

Ai = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ Ai para cada i ∈ In

Si A1 = A2 = ... = An = A, entoncesn∏

i=1

Ai = An si n > 1 y A0 = ∅ .

La n−upla x = (x1, x2, ..., xn) ∈n∏

i=1

Ai se denota tambien como [xi]i=1,...,n.

El elemento xi de la n−upla x = (x1, x2, ..., xn) es la i−esima coordenada de x.

Lema 3.1.1 Sean Aii∈Inuna familia de conjuntos no vacıos, A =

n∏i=1

Ai y

F =

f : In →

n⋃i=1

Ai : f(i) ∈ Ai para cada i ∈ In

. Entonces existe una funcion biyec-

tiva ϕ : F → A.

Dem.

(1) Sean F =

f : In →

n⋃i=1

Ai : f(i) ∈ Ai para cada i ∈ In

y A =

n∏i=1

Ai. [Hip.]

(2) Sea ϕ : F → A definida por ϕ(f) = (f(1), f(2), ..., f(n)) [Hip.]

(3) Para cada f ∈ F se verifica que f(i) ∈ Ai para cada i ∈ In [(1)]

(4) Para cada f ∈ F existe (f(1), f(2), ..., f(n)) ∈ A =n∏

i=1

Ai tal que

ϕ(f) = (f(1), f(2), ..., f(n)) [(3)]


(5) f es una funcion biyectiva [(4)]

2

Del Lema 3.1.1 resulta que cada n−upla del conjunton∏

i=1

Ai se puede identificar con

una funcion f : In →n⋃

i=1

Ai, esto motiva la definicion del producto cartesiano para una

familia arbitraria de conjuntos no vacıos.

Definicion 3.1.2 Sea Aii∈I una familia arbitraria de conjuntos no vacıos, el pro-

ducto cartesiano de los conjuntos Ai es el conjunto

∏i∈I

Ai =

f : I →

⋃i∈I

Ai : f(i) ∈ Ai para cada i ∈ I

.

Esto es, f ∈∏i∈I

Ai si, y solo si, f : I →⋃i∈I

Ai con f(i) ∈ Ai para cada i ∈ I.

Por extension del caso finito al elemento x ∈∏i∈I

Ai se lo notara como x = [x (i)]i∈I =

[xi]i∈I.

Lema 3.1.2 Sea Aii∈I una familia arbitraria de conjuntos no vacıos, entonces∏i∈I

Ai 6= ∅.

Dem.

(1) Sea Ai 6= ∅ para todo i ∈ I [Hip.]

(2) existe una funcion f : I →⋃i∈I

Ai tal que f (i) ∈ Ai para cada i ∈ I [(1)]

(3) f ∈∏i∈I

Ai [(2)]

(4)∏i∈I

Ai 6= ∅ [(3)]

2

3.2 Producto topologico de una familia finita de espacios topo-logicos

Topologıa producto

Lema 3.2.1 Sea (Xi, τi) : i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos y

sea Bπ =

G ⊆

n∏i=1

Xi : G =n∏

i=1

Ui, con Ui ∈ τi para i = 1, ..., n

, entonces existe una

unica topologıa paran∏

i=1

Xi respecto de la cual Bπ es una base.


Dem.

(1) Sean (Xi, τi) : i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos,

(2) Bπ =

G ⊆

n∏i=1

Xi : G =n∏

i=1


. [Hip.]

(3) Sean G,H ∈ Bπ y x ∈ G ∩H [Hip.]

(4) G =n∏

i=1

Ui con Ui ∈ τi para i = 1, ..., n [(3),(2)]

(5) H =n∏

i=1

Vi con Vi ∈ τi para i = 1, ..., n [(3),(2)]

(6) G ∩H =n∏

i=1

Ui ∩n∏

i=1

Vi =n∏

i=1

(Ui ∩ Vi) con Ui ∩ Vi ∈ τi para i = 1, ..., n

[(4),(5),(1)]

(7) G ∩H ∈ Bπ [(6),(2)]

(8) existe U = G ∩H ∈ Bπ tal que x ∈ U ⊆ G ∩H [(3),(7)]

(9) Para cada G,H ∈ Bπ y para cada x ∈ G ∩H existe U ∈ Bπ tal que

x ∈ U ⊆ G ∩H [(3),(8)]

(10) ∅,n∏

i=1

Xi ∈ Bπ [(2)(1)]

(11) existe una unica topologıa τ paran∏

i=1

Xi que tiene a Bπ

como base [(9),(10),C.1.2.1,L.1.2.2]

2

Definicion 3.2.1 Sea (Xi, τi) : i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos,

la topologıa producto, τπ, es la topologıa sobren∏

i=1

Xi que tiene como base a la familia

Bπ =

G ⊆

n∏i=1

Xi : G =n∏

i=1


,


el par

(n∏

i=1

Xi, τπ

)es el espacio producto topologico de los espacios topologicos (Xi, τi) ;

i = 1, ..., n.

Definicion 3.2.2 Sea X =n∏

i=1

Xi. Para cada i ∈ In, la la funcion pi :n∏

i=1

Xi → Xi

definida por pi (x) = x (i) = xi para cada x = (x1, x2, ..., xn) = [xi]ni=1, es la i-esima

proyeccion.

Lema 3.2.2 Sea (Xi, τi) ; i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos, enton-

ces la topologıa producto, τπ, es la topologıa lımite proyectivo de los espacios topologicos

(Xi, τi) ; i = 1, ..., n con respecto a la familia de funciones

pi :

n∏i=1

Xi → Xi

i=1,...,n

.

Dem.

(1) Sea τπ la topologıa producto paran∏

i=1

Xi [Hip.]

i) pi :

(n∏

i=1

Xi, τπ

)→ (Xi, τi) es continua para todo i = 1, ..., n

(2) Sea i = 1, ..., n y sea Gi ∈ τi [Hip.]

(3) p−1i (Gi) = X1 ×X2 × ...×Gi × ...×Xn =

n∏j=1

Hj con Hj =

Gi si j = iXj si j 6= i

(4) Hj ∈ τj para j = 1, ..., n [(3),(2)]

(5) p−1i (Gi) ∈ Bπ ⊆ τπ [(3),(4)]

(6) pi :

(n∏

i=1

Xi, τπ

)→ (Xi, τi) es continua para todo i = 1, ..., n [(2),(5)]

ii) Si pi :

(n∏

i=1

Xi, τ′)

→ (Xi, τi) es continua para todo i = 1, ..., n, entonces τπ ⊆ τ ′

(7) Sea τ ′ una topologıa paran∏

i=1

Xi tal que pi :

(n∏

i=1

Xi, τ′)

→ (Xi, τi)

es continua para todo i = 1, ..., n [Hip.]

(8) Sea B ∈ Bπ [Hip.]

(9) B =n∏

i=1

Ui con Ui ∈ τi para i = 1, ..., n [(8)]

(10) B =n⋂

i=1

p−1i (Ui) , p

−1i (Ui) ∈ τ ′ [(7),(9)]


(11) B ∈ τ ′ [(9),(10)]

(12) Bπ ⊆ τ ′ [(8),(11)]

(13) τπ ⊆ τ ′ [(12)]

(14) Si pi :

(n∏

i=1

Xi, τ′)

→ (Xi, τi) es continua para todo i = 1, ..., n,

entonces τπ ⊆ τ ′ [(7),(13)]

(iii) τπ es la topologıa lımite proyectivo de los espacios topologicos

(Xi, τi)i∈Incon respecto a la familia de funciones

pi :

n∏i=1

Xi → Xi; i = 1, ..., n

[(i),(ii)]

2

Observacion 3.2.1 Del Lema 3.2.2 resulta que la topologıa del producto cartesiano es

la topologıa menos fina que hace simultaneamente continuas a todas las proyecciones.

Subbase del espacio producto

Sea (Xi, τi) ; i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos, por el Lema 3.2.2 la

topologıa producto τπ es la topologıa generada por Σπ =n⋃

i=1

τi =n⋃

i=1

p−1

i (U) : U ∈ τi,

por lo tanto, V es un subbasico del espacio producto si, y solo si, existe i ∈ In tal que

V = p−1i (Ui) con Ui ∈ τi.

Si con 〈Ui〉 se simboliza al conjunto p−1i (Ui), resulta que los subbasicos del espacio

producto

(n∏

i=1

Xi, τπ

)son los conjuntos de la forma 〈Ui〉 con Ui ∈ τi.

Al conjunto 〈Ui〉 se lo llama cilindro en eln∏

i=1

Xi determinado por Ui.

Con Ui ×∏

j∈Inj 6=i

Xj se denota al conjunton∏

j=1

Gj siendo Gi = Ui y Gj = Xj para j 6= i.

Lema 3.2.3 Sea V ∈ Σ un subbasico del espacio producto

(n∏

i=1

Xi, τπ

), entonces existe

Ui ∈ τi tal que V = Ui ×∏

j∈Inj 6=i

Xj .


Dem.

(1) Sea V un subbasico del espacio producto

(n∏

i=1

Xi, τπ

)[Hip.]

(2) existe i ∈ In tal que V = p−1i (Ui) = 〈Ui〉 con Ui ∈ τi [(1)]

(3) x = [xj]nj=1 ∈ p−1

i (Ui) si, y solo si, pi (x) ∈ Ui y x = [xj]nj=1

(4) x = [xj]nj=1 ∈ p−1

i (Ui) si, y solo si, x = [xj]nj=1 con xi ∈ Ui y

xj ∈ Xj para j 6= i

(5) p−1i (Ui) = Ui ×

∏j∈Inj 6=i

Xj [(4)]

(6) V = Ui ×∏

j∈Inj 6=i

Xj con Ui ∈ τi [(2),(5)]

2

Ejemplos de subbasicos y basicos del espacio producto

1. En(IR2, τπ

)con τ1 = τ2 = τε ,

a) Los conjuntos:

V = (−4,−1) × IR = 〈(−4,−1)〉 = 〈U1〉,W = 〈(1, 3)〉 = 〈U2〉 = IR × (1, 3) son subbasicos del espacio producto

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

X1

Y1

........

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........................

................

V

U1

...........................................................................................................................

p1

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................

X1

Y1

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........................

................

................................................................................................................... ........

p2

U2

W

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( )

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b) Los conjuntos


B1 = (1, 3) × (2, 5)

B2 = (−4,∞) × (−2, 2) son basicos del espacio producto

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

X1

Y1

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........................

................

B1

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

X1

Y1

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B2

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2. En(IR3, τπ

)con τi = τε, para i = 1, 2, 3,

a) Subbasicos del espacio producto.

La figura 1 representa a V = (1, 5) × IR× IR que es un “cilindro” de altura

y largo infinito, y de ancho finito.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................

Y2

Y3

Y1

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..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

altura

ancho

largo

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..................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

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figura 1


La figura 2 representa a V = IR × U2 × IR que es un “cilindro” de altura y

ancho infinito, y de largo finito.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................

Y2

Y3

Y1

figura 2

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La figura 3 representa a V = IR × IR × U3 que es un “cilindro” de largo y

ancho infinito, y de altura finita.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................

Y2

Y3

Y1

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figura 3


b) Los conjuntos

B1 = G1 ×G2 ×G3

B2 = H1 × Y2 ×H3

son basicos del espacio producto.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................

Y2

Y3

Y1

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.................

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..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

B1

...................................................................................................................................................................................................

..............................................................................

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Y2

Y3

Y1

........

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........

........

........

........

........

........

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........

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................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................

B2

...................................................................................................................................................................................................

..............................................................................

........

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........

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Teorema 3.2.1 Sea (Xi, τi) ; i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos,

se satisfacen las siguientes propiedades:


i) Si Bi es una base de τi para cada i = 1, ..., n, entonces la familia

B∗ =

n∏

i=1

Bi : Bi ∈ Bi, para i = 1, ..., n

es una base del espacio producto

n∏i=1

Xi.

ii) Sea Ai ⊆ Xi para cada i = 1, ..., n y sea(Ai, τi/Ai

)i∈In

, entoncesn∏

i=1

Ai, como

producto cartesiano de espacios topologicos, tiene la misma topologıa que consi-

derado como subespacio del espacio producton∏

i=1

Xi.

Dem.

i)

(1) Sea Bi una base de τi para cada i = 1, ..., n [Hip.]

(2) B∗ =

n∏

i=1

Bi : Bi ∈ Bi para i = 1, ..., n

[Hip.]

(3) Bπ =

n∏

i=1

Gi : Gi ∈ τi para i = 1, ..., n

es una base del

espacio producton∏

i=1

Xi [L.3.2.1]

(4) Sea G ∈ B∗ [Hip.]

(5) G =n∏

i=1

Bi con Bi ∈ Bi para i = 1, ..., n [(2)]

(6) G =n∏

i=1

Bi, con Bi ∈ τi para i = 1, ..., n [(5),(1)]

(7) G ∈ Bπ ⊆ τπ [(6)]

(8) B∗ ⊆ τπ [(5),(7)]

(9) Sea G ∈ τπ y sea x = [xj]nj=1 ∈ G [Hip.]

(10) existe B =n∏

i=1

Gi, con Gi ∈ τi para i = 1, ..., n, tal que

x ∈ B ⊆ G [(9),(3),T.1.2.2]

(11) xi ∈ Gi para cada i = 1, ..., n [(9),(10)]


(12) para cada i = 1, ..., n existe Bi ∈ Bi tal que xi ∈ Bi ⊆ Gi [(10),(11),(1),T.1.2.2]

(13) x = [xj]nj=1 ∈

n∏i=1

Bi ⊆n∏

i=1

Gi = B [(12),(10)]

(14) existe B∗ =n∏

i=1

Bi ∈ B∗ tal que x ∈ B∗ ⊆ G [(13),(2),(10)]

(15) Para todo G ∈ τπ y para todo x ∈ G existe B∗ ∈ B∗ tal

que x ∈ B∗ ⊆ G [(9),(14)]

(16) B∗ es base de τπ [(8),(15),T.1.2.1]

ii)

(1) Sea Bi una base de τi para cada i = 1, ...n, y sea A =n∏

i=1

Ai [Hip.]

(2) B∗ =

n∏

i=1

Bi : Bi ∈ Bi, para i = 1, ..., n

es base de

n∏i=1

Xi [T.1.2.3]

(3) B∗A =

n∏

i=1

Bi ∩A : Bi ∈ Bi para i = 1, ..., n

es base de τπ/A

[(2),L.1.5.2]

(4) Para cada i = 1, ..., n, Bi/Ai= Bi ∩Ai : Bi ∈ Bi es base de τi/Ai

[(1),L.1.5.2]

(5) B∗∗A =

n∏

i=1

(Bi ∩Ai) : Bi ∩Ai ∈ Bi/Aipara i = 1, ..., n

es base de τπAi

[(4),T.1.2.3]

(6) B∗A = B∗∗

A [(3),(5)]

(7) τπ/A= τπAi [(3),(5),(6),C.1.2.2]

2

Ejercicio 3.2.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X, probar que x ∈ A′ si,

y solo si, x ∈ A− x

Teorema 3.2.2 Sea (Xi, τi) ; i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos y

sea Ai ⊆ Xi para cada i = 1, ..., n. En el espacio producto se satisfacen las siguientes

propiedades:


i)n∏

i=1

Ai =n∏

i=1

Ai, el operador clausura conmuta con el producto.

ii)

(n∏

i=1

Ai

)′

=(A′

1 ×A2 × ...×An

)∪(A1 ×A′

2 × ...×An

)∪...∪

(A1 ×A2 × ...×A′

n

)

iii) I

(n∏

i=1

Ai

)=

n∏i=1

I (Ai), el operador interior conmuta con el producto.

iv) Fr

(n∏

i=1

Ai

)=(Fr (A1) ×A2 × ...×An

)∪(A1 × Fr (A2) × ...×An

)∪ . . . ∪

∪(A1 ×A2 × ...× Fr (An)

)

Dem.

Sea (Xi, τi) ; i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos y sea Ai ⊆ Xi para

cada i = 1, ..., n [Hip.]

La demostracion de todas las propiedades se realiza por induccion sobre el numero de

factores.

i)

(1) Sea (x, y) ∈ A1 ×A2, [Hip.]

(2) U(x, y) ∩ (A1 ×A2) 6= ∅ para todo U(x, y) ∈ U ((x, y)) [(1)]

(3) Sean U(x) ∈ U(x) y U(y) ∈ U(y) [Hip.]

(4) U(x)× U(y) ∈ Bπ ⊆ τπ [(3)]

(5) U(x)× U(y) ∈ U ((x, y)) [(4),(3)]

(6) (U(x) × U(y)) ∩ (A1 ×A2) 6= ∅ [(2),(5)]

(7) (U(x) ∩A1) 6= ∅ y (U(y) ∩A2) 6= ∅ [(6)]

(8) (x, y) ∈(A1 ×A2

)[(3),(7)]

(9) A1 ×A2 ⊆ A1 ×A2 [(1),(8)]

(10) Sea (x, y) ∈(A1 ×A2

)[Hip.]

(11) x ∈ A1 y y ∈ A2 [(10)]

(12) Sea U(x, y) ∈ U ((x, y)) [Hip.]


(13) existe B ∈ Bπ tal que (x, y) ∈ B ⊆ U (x, y) [(10),T.1.2.3]

(14) B = G1 ×G2 con G1 ∈ τ1 y G2 ∈ τ2 [(11),L.3.2.1]

(15) x ∈ G1, y ∈ G2, [(13),(14)]

(16) G1 ∈ U(x) y G2 ∈ U(y) [(14),(15)]

(17) (G1 ∩ A1) 6= ∅ y (G2 ∩A2) 6= ∅ [(10),(15)]

(18) B ∩ (A1 ×A2) = (G1 ×G2) ∩ (A1 ×A2) = (G1 ∩A1)× (G2 ∩A2) 6= ∅

[(17),L.3.1.2]

(19) B ∩ (A1 ×A2) ⊆ U (x, y) ∩ (A1 ×A2) [(13)]

(20) U (x, y) ∩ (A1 ×A2) 6= ∅ [(18),(19)]

(18) (x, y) ∈ A1 ×A2 [(12),(20)]

(21) A1 ×A2 ⊆ A1 ×A2 [(10),(21)]

(22) A1 ×A2 = A1 ×A2 [(9),(22)]

ii)

(1) Sea (x, y) ∈ (A1 ×A2)′ [Hip.]

(2) (x, y) ∈ A1 ×A2 − (x, y) [E.3.2.1]

(3) A1 ×A2 − (x, y) = (A1 − x ×A2) ∪ (A1 ×A2 − y)

(4) A1 ×A2 − (x, y) = (A1 − x ×A2) ∪ (A1 ×A2 − y)

=(A1 − x ×A2

)∪(A1 ×A2 − y

)[(2),L.1.3.3,T.3.2.2]

(5)(x ∈ A1 − x y y ∈ A2

)o(x ∈ A1 y y ∈ A2 − y

)[(2),(4)]

(6)(x ∈ A′

1 y y ∈ A2

)o(x ∈ A1 y y ∈ A′

2

)[(5)]

(7) (A1 ×A2)′ ⊆(A′

1 ×A2

)∪(A1 ×A′

2

)[(1),(6)]

(8)(A′

1 ×A2

)∪(A1 ×A′

2

)⊆ (A1 ×A2)

′[E.3.2.1,(4)]

(9) (A1 ×A2)′ =(A′

1 ×A2

)∪(A1 ×A′

2

)[(1),(6)]


iii)

(1) I (A1) × I (A2) ∈ Bπ ⊆ τπ [L.3.2.1]

(2) I (A1) × I (A2) ⊆ A1 ×A2 [L.1.3.8]

(3) I (A1) × I (A2) ⊆ I (A1 ×A2) [(1),(2),E.1.3.3]

(4) Sea (x, y) ∈ I (A1 ×A2) [Hip.]

(5) existe B = G1 ×G2 ∈ Bπ tal que (x, y) ∈ B ⊆ A1 ×A2 [(4)]

(6) existe G1 ∈ τ1 tal que x ∈ G1 ⊆ A1 [(5)]

(7) existe G2 ∈ τ2 tal que y ∈ G2 ⊆ A2 [(5)]

(8) x ∈ I (A1) , y ∈ I (A2) [(6),(7),T.1.3.3]

(9) (x, y) ∈ I (A1) × I (A2) [(8)]

(10) I (A1 ×A2) ⊆ I (A1) × I (A2) [(4),(9)]

(11) I (A1 ×A2) = I (A1) × I (A2) [(3),(10)]

iv)

(1) Fr (A1 ×A2) = (A1 ×A2) ∩ (I (A1 ×A2))c

=(A1 ×A2

)∩ (I (A1) × I (A2))

c

=(A1 ×A2

)∩ (((IA1)

c × IA2) ∪ (IA1 × (IA2)c)∪

∪ ((IA1)c × (IA2)

c))

=((A1 ∩ (IA1)

c)×(A2 ∩ IA2

))∪((A1 ∩ IA1

)×(A2 ∩ (IA2)

c))

∪((A1 ∩ (IA1)

c)×(A2 ∩ (IA2)

c))

[L.1.3.9,T.3.2.2]

(2) Fr (A1 ×A2) = (Fr (A1) × IA2) ∪ (IA1 × Fr (A2))∪

∪((A1 ∩ (IA1)

c)× Fr (A2)

)

⊆(Fr (A1) ×A2

)∪(A1 × Fr (A2)

)∪(A1 × Fr (A2)

)

=(Fr (A1) ×A2

)∪(A1 × Fr (A2)

)[(1)]


(3) Fr (A1 ×A2) ⊆(Fr (A1) ×A2

)∪(A1 × Fr (A2)

)[(2)]

(4) Sea (x, y) ∈(Fr (A1) ×A2

)∪(A1 × Fr (A2)

)[Hip.]

(5) (x, y) ∈(Fr (A1) ×A2

)o (x, y) ∈

(A1 × Fr (A2)

)[(4)]

(6)(x ∈ Fr (A1) , y ∈ A2

)o(x ∈ A1, y ∈ Fr (A2)

)[(5)]

(7)(x ∈ A1, x /∈ I (A1) , y ∈ A2

)o(x ∈ A1, y ∈ A2, y /∈ I (A2)

)[(6)]

(8)((x, y) ∈ A1 ×A2, (x, y) /∈ I (A1) × I (A2)

)o

((x, y) ∈ A1 ×A2, (x, y) /∈ I (A1) × I (A2)

)[(6)]

(9) (x, y) ∈(A1 ×A2

)− (I (A1) × I (A2)) = Fr (A1 ×A2) [(8)]

(10)(Fr (A1) ×A2

)∪(A1 × Fr (A2)

)⊆ Fr (A1 ×A2) [(4),(9)]

(11)(Fr (A1) ×A2

)∪(A1 × Fr (A2)

)= Fr (A1 ×A2) [(3),(10)]

2

Corolario 3.2.1 Sea (Xi, τi) ; i = 1, ..., n una familia finita de espacios topologicos.

En el espacio producton∏

i=1

Xi se satisfacen las siguientes propiedades:

i) El producto cartesiano de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado en el espacio

producto.

ii) El producto cartesiano de conjuntos abiertos es un conjunto abierto en el espacio

producto.

Observacion 3.2.2

1. El producto cartesiano de un numero finito de espacios topologicos es esencial-

mente distinto al caso general, por esta razon es necesario tener en cuenta el

cardinal del conjunto de ındices cuando se enuncian las propiedades del espacio

producto.

2. Por lo expuesto en el Corolario 3.2.1 el producto cartesiano de un numero finito de

conjuntos abiertos es abierto en la topologıa producto τπ. La recıproca, en general,

no es verdadera, esto es, existe G ∈ τπ tal que G 6=n∏

i=1

Ui para todo Ui ∈ τi, un

ejemplo de esta situacion es el conjunto G =(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 < 1

que es

abierto en(IR2, τε

)y G 6= U × V para todo U, V ∈ τε.


3.3 Funciones en el espacio producto de un numero finito de

conjuntos

Teorema 3.3.1 Sea (Xi, τi)i∈Inuna familia de espacios topologicos, entonces para

cada i ∈ In (fijo) la funcion proyeccion pi :n∏

i=1

Xi → Xi es sobreyectica, continua y

abierta.

Dem.

(1) Sea (Xi, τi)i∈Inuna familia de espacios topologicos no vacıos [Hip.]

i) pi es sobreyectica

(2) Sea yi ∈ Xi [Hip.]

(3)n∏

j=1j 6=i

Xj 6= ∅ [(1)]

(4) existe z = [zj]j∈In−i ∈n∏

j=1j 6=i

Xj [(2)]

(5) existe x = [xj]j∈In ∈n∏

j=1

Xj tal que xj =

yi si j = izj si j 6= i

[(2),(4)]

(6) pi (x) = pi ([xj]j∈In) = xi = yi [(5)]

(7) pi es sobreyectiva [(2),(5),(6)]

ii) pi es continua

Resulta inmediato del Lema 3.2.2

iii) pi es abierta


(9) B =n∏

j=1

Gj con Gj ∈ τj para cada j = 1, ..., n [(8)]

(10) pi (B) = pi

(n∏

j=1

Gj

)= Gi [(9)]

(11) pi (B) ∈ τi [(9),(10)]


(12) pi es abierta [(8),(11),T.2.2.1]

2

En general, la funcion proyeccion pi :n∏

i=1

Xi → Xi no es una funcion cerrada como se

muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.3.1 Sea (IR, τε), la funcion proyeccion p1 : IR2 → IR no es cerrada.

En efecto.

(1) Sea A =(x, y) ∈ IR2 : x · y = 1

⊆ IR2

(2) A es un conjunto cerrado en IR2 [(1)]

(3) p1 (A) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) no es cerrado en IR

(4) existe A ⊆ IR2 cerrado tal que p1 (A) no es cerrado en IR [(2),(3)]

(5) p1 no es una funcion cerrada [(4)]

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

..................

................

p1

...................................................................................................................................

A

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................

Teorema 3.3.2 Sea (Xi, τi)i∈Inuna familia de espacios topologicos, sea (X, τ ) un

espacio topologico y sea f : (X, τ ) →n∏

i=1

Xi una funcion, entonces f es continua si, y

solo si, pi f : (X, τ ) → Xi es continua para cada i ∈ In.

Dem.

(1) Sea f : (X, τ ) →n∏

i=1

Xi una funcion [Hip.]


(⇒)

(2) f es continua [Hip.]

(3) pi :n∏

i=1

Xi → Xi es una funcion continua para todo i ∈ In [T.3.3.1]

(4) pi f es continua para todo i ∈ In. [(2),(3),T.2.1.2]

(⇐)

(5) pi f : (X, τ ) → Xi es continua para todo i ∈ In [Hip.]


(7) B =n∏

i=1

Gi =n⋂

i=1

p−1i (Gi) , Gi ∈ τi [(6),L.3.2.1]

(8) f−1 (B) = f−1

(n⋂

i=1

p−1i (Gi)

)=

n⋂i=1

f−1(p−1

i (Gi))

=n⋂

i=1

(pi f)−1

(Gi) [(7)]

(9) f−1 (B) ∈ τ [(5),(7),(8)]

(10) f es continua [(6),(9),T.2.1.1]

2

Corolario 3.3.1 Sean (X, τ ) un espacio topologico y (Xi, τi)i∈Inuna familia de espa-

cios topologicos. Sea fi : X → Xii∈Inuna familia de funciones y sea f : X →

n∏i=1

Xi

la funcion definida por f(x) = [fi (x)]i∈In, entonces f es continua si, y solo si, fi es

continua para cada i ∈ In.

Dem.

(1) Sea fi : X → (Xi, τi)i∈Inuna familia de funciones y sea

f : X →n∏

i=1

Xi la funcion definida por f(x) = [fi (x)]i∈In [Hip.]

(2) f es continua si, y solo si, pi f : (X, τ ) → Xi es continua para

todo i ∈ In [(1),T.3.3.2]

(3) (pi f) (x) = pi (f (x)) = fi (x) para todo x ∈ X y para todo i ∈ In [(1)]


(4) pi f = fi para todo i ∈ In [(3)]

(5) f es continua si, y solo si, fi es continua, para cada i ∈ In [(2),(4)]

2

Teorema 3.3.3 Sean (Xi, τi)i∈In, (Yi, τ

′i)i∈In

dos familias de espacios topologicos

y fi : (Xi, τi) → (Yi, τ′i)i∈In

una familia de funciones. Sea f :n∏

i=1

Xi →n∏

i=1

Yi la

funcion definida por definida por f(x) = f([xi]i∈In) = [fi (xi)]i∈In, f satisface las


i) Si fi es continua para todo i ∈ In, entonces f es continua.

ii) Si fi es abierta para todo i ∈ In, entonces f es abierta.

iii) Si fi es un homeomorfismo para todo i ∈ In, entonces f es un homeomorfismo.

Dem.

(1) Sea f :n∏

i=1

Xi →n∏

i=1

Yi definida por f(x) = f([xi]i∈In) = [fi (xi)]i∈In [Hip.]

i)

(2) fi es continua para todo i ∈ In [Hip.]

(3) f es continua si, y solo si, pi f es continua para todo i ∈ In [T.3.3.2]

.............................................................................................................................................................................................................................. ........ Yi

n∏i=1

Yi

f

fi

pipi

...............................................................................................................................................................

pi f

fi pi

.............................................................................................................................................................................................................................. ........

n∏i=1

Xi

Xi

...............................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................ ........

(4) (pi f) (x) = pi (f (x)) = pi ([fi (xi)]i∈In) = fi (xi) para cada x ∈n∏

i=1

Xi [(1)]

(5) (fi pi) (x) = fi (pi (x)) = fi (pi ([xi]i∈In)) = fi (xi) para cada x ∈n∏

i=1

Xi


(6) pi f = fi pi para cada i ∈ In [(4),(5)]

(7) fi pi es continua para cada i ∈ In [(2),T.3.3.1,T.2.1.2]

(8) pi f es continua para cada i ∈ In [(6),(7)]

(9) f es continua [(3),(8)]

ii)

(10) fi es abierta para todo i ∈ In [Hip.]

(11) Sea B ∈ Bπ un basico del espacio producto

(n∏

i=1

Xi, τπxi

)[Hip.]

(12) B =n∏

i=1

Gi, Gi ∈ τi para cada i ∈ In [(11)]

(13) f (B) =n∏

i=1

fi (Gi) , fi (Gi) ∈ τ ′i para cada i ∈ In [(12),(1),(10)]

(14) f (B) es un basico del espacio producto

(n∏

i=1

Yi, τπyi

)[(13)]

(15) f (B) ∈ τπyi [(14)]

(16) f es abierta [(11),(15),T.2.2.1]

2

Ejemplo 3.3.2

1. Una curva en un espacio topologico X es la imagen por una funcion continua de

cualquier intervalo cerrado I de IR, es decir, una curva en un espacio topologico

es el conjunto f (I) siendo f : I → X una funcion continua e I ⊆ IR un intervalo

cerrado.

2. La nocion usual de representacion parametrica de curvas es una aplicacion de los

resultados anteriores.

En efecto:

(1) Sea f : I → IR2 una curva en IR2 tal que f (t) = (x (t) , y (t))

con x : I → IR, y : I → IR funciones continuas.

(2) f es continua [(1),C.3.3.1]


(3) el sistema

x = x (t) con x : I → IR continuay = y (t) con y : I → IR continua

es una

representacion parametrica de una curva en IR2 [(1),(2)]

2. Sea ϕ : IRm → IRn una aplicacion afın, es decir, ϕ es una funcion definida por

ϕ (x1, x2, ..., xm) = (y1, ..., yn) donde yi =m∑

j=1

aij ·xj +bi con i ∈ 1, 2, ..., n donde

aij, bi son numeros reales. La funcion ϕ es una funcion continua con respecto a

las topologıas euclıdeas.

En efecto:

(1) Sea ϕij : IR → IR la funcion definida por ϕij (x) = aij x y

sea pj : IRm → IR la proyeccion j−esima [Hip.]

(2) ϕij y pj son funciones continuas para cada j ∈ 1, ..., n [(1),T.2.1.4,T.3.3.1]

(3) ϕij = ϕij pj : IRm → IR es continua para cada j ∈ 1, ..., n [(2),T.2.1.2]

(4) Sea ϕio : IRm → IR la funcion definida por ϕio (x1, x2, ..., xm) = bi,

para cada i = 1, ..., n

(5) La funcion ϕi = ϕi1 + ϕi2 + ...+ ϕim + ϕio : IRm → IR es

continua para cada i = 1, ..., n [(3),T.2.1.4]

(6) ϕi (x1, x2, ..., xm) =m∑

j=1

aij · xj + bi [(1),(5),(3)]

(7) ϕ (x1, x2, ..., xm) = [ϕi (x1, x2, ..., xm)]ni=1 [(6),(1)]

(8) ϕ es continua [(6),C.3.3.1]

Teorema 3.3.4 Sea (Xi, τi)i∈I3una familia de espacios topologicos, se satisfacen las


i) Los espacios topologicos (X1 × (X2 ×X3) , τπ) , ((X1 ×X2) ×X3, τπ) y

(X1 ×X2 ×X3, τπ) son homeomorfos.

Es decir, X1 × (X2 ×X3) ' (X1 ×X2) ×X3 ' X1 ×X2 ×X3

ii) Los espacios topologicos X1 ×X2 y X2 ×X1 son homeomorfos.

Es decir, X1 ×X2 ' X2 ×X1.

Teorema 3.3.5 Sean (X, τX ) , (Y, τY ) dos espacios topologicos, sea f : X → Y una

funcion y sea Γf = (x, f (x)) ∈ X × Y : x ∈ X la grafica de f , las siguientes condi-

ciones son equivalentes:


i) f : X → Y es continua

ii) la funcion ϕ : (X, τX ) →(Γf , τπ/Γf

)definida por ϕ (x) = (x, f (x)) es un homeo-

morfismo, donde τπ/Γfes la topologıa relativa al conjunto Γf inducida por τπ.

3.4 Secciones paralelas en el producto cartesiano de un numerofinito de conjuntos

Sea p0 = (a, b) ∈ IR2 un punto fijo y sean S (p0, 1) , S (p0, 2) las rectas paralelas a los

ejes y que contienen al punto p0, esto es,

S (p0, 1) =(x, y) ∈ IR2 : x ∈ IR, y = b

= IR × b

S (p0, 2) =(x, y) ∈ IR2 : y ∈ IR, x = a

= a × IR

Las representacion grafica de estos conjuntos se muestran en la figura:

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

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........

........

........

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........

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........

........

........

........

........

........

........

........

......................

................

S(po, 1) pob

a

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

........

........

........

........

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........

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........

........

........

........

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........

........

........

........

......................

................

S(po, 2)

pob

a

........

........

........

........

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........

........

........

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........

........

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........

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........

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........

......

........

.....

........

.....

........

.................. ............. .............

Se generaliza este concepto al producto cartesiano de n conjuntos arbitrarios.

Definicion 3.4.1 Sean Xii∈Inuna familia de conjuntos no vacıos y sea p0 = [y0

i ]ni=1

un punto fijo del conjunton∏

i=1

Xi, la seccion paralela al eje Xj que pasa por el punto p0

es el conjunto S (p0, j) =

x = [xi]

ni=1 ∈

n∏i=1

Xi : xj ∈ Xj, xi = y0i , i 6= j, i = 1, ..., n

.

Lema 3.4.1 Sea p0 = [y0i ]

ni=1 ∈

n∏i=1

Xi un punto fijo y sea j ∈ In, entonces la seccion

paralela al eje Xj que pasa por el punto p0 es el conjunto S (p0, j) = Xj ×n∏

i=1i 6=j

y0i =

y01 × y0

2 × ...×Xj × ...× y0n


Ejemplo 3.4.1 En IR3 las secciones paralelas a cada uno de los ejes, que pasan por el

punto p0 = (5, 3, 4) son los conjuntos:

S (p0,X) = X × 3 × 4 ,

S (p0, Y ) = 5 × Y × 4 y

S (p0, Z) = 5 × 3 × Z.

La representacion grafica es:

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................

Y

Z

X

........

........

........

........

........

........

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................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Po •

S(Po,X)

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................

Y

Z

X

........

........

........

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........

........

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........

........

........

........

........

........

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........

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........

........

........

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........

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.................

................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Po •

S(Po, Z)

........

........

........

........

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........

........

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........

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.......

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.....................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..................................................................................................................................

.....................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................

Y

Z

X

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

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........

........

........

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........

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.................

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Po •S(Po, Y )

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..................................................................................................................................

.....................................................................................................................


El subespacio (S (p0, j) , τS)

Sea (Xi, τi)i∈Inuna familia de espacios topologicos y sea p0 ∈

n∏i=1

Xi, al conjunto

S (p0, j) ⊆n∏

i=1

Xi se lo puede considerar un subespacio del espacio producto

(n∏

i=1

Xi, τπ

)

y, por lo tanto, asociarle la topologıa inducida por τπ.

En el siguiente lema se determina una base de la topologıa relativa al conjunto

S (p0, j) inducida por τπ.

Lema 3.4.2 Sea (Xi, τi)i∈Inuna familia de espacios topologicos y sea p0 = [y0

i ]ni=1 un

punto fijo del conjunton∏

i=1

Xi, entonces BS = ∅, S (p0, j)∪

Gj ×

n∏i=1i 6=j

y0i : Gj ∈ τj

es una base del espacio topologico(S (p0, j) , τπ/S

).

Dem.

(1) Sea p0 = [y0i ]

ni=1 ∈

n∏i=1

Xi y sea S (p0, j) la seccion paralela a Xj

que pasa por p0 [Hip.]

(2) Sea BS la base de la topologıa relativa τπ/Sdeterminada por Bπ [Hip.]

(3) BS ∈ BS si, y solo si, existe B ∈ Bπ tal que BS = B ∩ S (p0, j) [(2),L.1.5.2]

(4) B ∈ Bπ si, y solo si, B =n∏

i=1

Gi, Gi ∈ τi [L.3.2.1]

(5) BS =n∏

i=1

Gi ∩ S (p0, j) , Gi ∈ τi [(3),(4)]

(6) BS =n∏

i=1

Gi ∩

Xj ×

n∏i=1i 6=j

y0i

, Gi ∈ τi [(5),L.3.4.1]

(7) BS = (Gj ∩Xj) ×n∏

i=1i 6=j

(Gi ∩ y0i ) , Gi ∈ τi [(6)]

(8) BS = Gj ×n∏

i=1i 6=j

(Gi ∩ y0i ) , Gi ∈ τi [(7)]


Primer caso.

(9) y0i ∈ Gi para cada i 6= j.

(10) BS = Gj ×n∏

i=1i 6=j

y0i , Gj ∈ τj [(8),(9)]

Segundo caso.

(11) existe i 6= j tal que y0i /∈ Gi.

(12) BS = ∅ [(11),(8)]

(13) BS = Xj ×n∏

i=1i 6=j

y0i o BS = Gj ×

n∏i=1i 6=j

y0i , Gj ∈ τj o BS = ∅ [(10),(12)]

(14) BS = ∅, S (p0, j) ∪

Gj ×

n∏i=1i 6=j

y0i : Gj ∈ τj

[(13)]

2

Ejemplo 3.4.2 Sean (IR, τε) y p0 = (5, 3, 4) ∈ IR3, una base de la seccion paralela

S (p0, 2) es la familia BS = ∅, S (p0, 2) ∪ 5 ×G2 × 4 : G2 ∈ τε .La representacion grafica de algunos de los basicos del subespacio S (p0, 2) es:

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................

Y

Z

X

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........

........

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........

........

........

........

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........

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........

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........

........

........

........

........

........

........

.................

................

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Po •S(Po, Y )

( )U

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................

Y

Z

X

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

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........

........

........

........

........

........

........

........

........

.................

................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Po •S(Po, Y )

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(U

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..................................................................................................................................

.....................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..................................................................................................................................

.....................................................................................................................


En la grafica se puede apreciar que los conjuntos S (p0, Y ) y IR son topologicamente

equivalentes, esta propiedad se generaliza y se demuestra en el siguiente teorema.

Teorema 3.4.1 Sea (Xi, τi)i∈Inuna familia de espacios topologicos y sea p0 = [y0

i ]ni=1

un punto fijo del conjunton∏

i=1

Xi, entonces los espacios topologicos S (p0, j) y Xj son

homeomorfos para cada j = 1, ..., n.

Dem.

(1) Sea p0 = [y0i ]

ni=1 ∈

n∏i=1

Xi un punto fijo [Hip.]

(2) Sea j ∈ In y sea sj : Xj → S (p0, j) la funcion definida por

sj (xj) = [zi]ni=1 donde zi =

xj si i = jy0

i si i 6= j, esto es,

sj (xj) = (y01, y

02, ..., xj, ..., y

0n)

i) sj es inyectiva

(3) Sean y, z ∈ Xj tales que sj (y) = sj (z)

(4) sj (y) = [yi]ni=1 donde yi =

y si i = jy0

i si i 6= j[(2)]

(5) sj (z) = [zi]ni=1 donde zi =

z si i = jy0

i si i 6= j[(2)]

(6) zi = yi para todo i = 1, ..., n [(3),(4),(5)]

(7) z = y [(4),(5),(6)]

(8) sj es inyectiva [(3),(7)]

ii) sj es sobreyectiva

(9) Sea x = [xi]ni=1 ∈ S (p0, j) [Hip.]

(10) xj ∈ Xj y xi = y0i para todo i 6= j [(9)]

(11) sj (xj) = [zi]ni=1 donde zi =

xj si i = jy0

i si i 6= j[(2)]

(12) zj = xj y zi = xi para todo i 6= j [(10),(11)]


(13) sj (xj) = [xi]ni=1 = x [(11),(12)]

(14) existe xj ∈ Xj : sj (xj) = x [(13)]

(15) sj es sobreyectiva [(9),(14)]

iii) sj es continua

(16) Sea US un basico de(S (p0, j) , τπ/S

)

(17) US = ∅ o US = S (p0, j) o US = Uj ×n∏

i=1i 6=j

y0i , Uj ∈ τj [(16),L.3.4.2]

(18) s−1j (US) =

∅ si US = ∅Xj si US = S (p0, j)

Uj si US = Uj ×n∏

i=1i 6=j

y0i

[(17)]

(19) s−1j (US) ∈ τj [(17),(18)]

(20) sj es continua [(16),(19),T.2.1.1]

iv) s−1j : S (p0, j) → Xj es continua

(21) Sea x = [xi]ni=1 ∈ S (p0, j) , s

−1j (x) = zj si, y solo si, sj (zj) = [xi]

ni=1 si, y solo si,

xi =

zj si j = iy0

i si i 6= j[(2)]

(22) s−1j ([xi]

ni=1) = xj [(21)]

(23) s−1j ([xi]

ni=1) = xj para cada [xi]

ni=1 ∈ S (p0, j) [(22)]

(24) s−1j = pj/S(p0,j) [(23)]

(25) pj/S(p0,j) es continua [T.3.3.1,T.2.1.2]

(26) s−1j es continua [(24),(25)]

(27) sj es una funcion biyectiva y bicontinua [(8),(15),(20),(26)]

(28) sj es un homeomorfismo [(27)]

(29) S (p0, j) ' Xj para cada j = 1, ..., n [(28)]

2


3.5 Producto topologico de de una familia arbitraria de espa-

cios topologicos

Topologıa producto

Definicion 3.5.1 Sea Y =∏

α∈AYα, la funcion pα : Y → Yα definida por pα (x) =

x (α) = xα para cada x ∈∏

α∈AYα es la α−esima proyeccion.

Definicion 3.5.2 Sea (Yα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos y

sea τπ la topologıa lımite proyectivo de los espacios topologicos (Yα, τα) con respecto a

las proyecciones, el par

( ∏α∈A

Yα, τπ

)es el espacio producto topologico de los espacios

topologicos (Yα, τα) .

De la definicion 3.5.2 resulta que la topologıa del producto cartesiano de espacios

topologicos es la topologıa menos fina que hace simultaneamente continua a todas las

proyecciones.

Subbase del espacio producto

Sea (Xα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos, por la Definicion

3.5.2 la topologıa producto τπ es la topologıa generada por Σπ =⋃

α∈Aτα =

⋃α∈A

p−1α (U) : U ∈ τα, por lo tanto, V es un subbasico del espacio producto si, y solo

si, existe α ∈ A tal que V = p−1α (Uα) con Uα ∈ τα.

Si con 〈Uα〉 se simboliza al conjunto p−1α (Uα) resulta que los subbasicos del espacio

producto

( ∏α∈A

Xα, τπ

)son los conjuntos de la forma 〈Uα〉 con Uα ∈ τα.

Al conjunto 〈Uα〉 se lo llama cilindro en el∏

α∈AXα determinado por Uα.

Con Uα×∏β∈Aβ 6=α

Xβ se denota al conjunto∏

α∈AGα siendo Gα = Uα y Gβ = Xβ para β 6= α.

Lema 3.5.1 Sea V un subbasico del espacio producto

( ∏α∈A

Xα, τπ

), entonces

V = Uα ×∏

β∈Aβ 6=α

Xβ con Uα ∈ τα.


Dem.

(1) Sea V un subbasico del espacio producto

( ∏α∈A

Xα, τπ

)[Hip.]

(2) existe α ∈ A tal que V = p−1α (Uα) = 〈Uα〉 con Uα ∈ τα [(1)]

(3) x = [xα]α∈A ∈ p−1α (Uα) si, y solo si, pα (x) ∈ Uα

(4) x = [xα]α∈A ∈ p−1α (Uα) si, y solo si, x = [xα]α∈A con xα ∈ Uα

y xβ ∈ Xβ para β 6= α [(3)]

(5) p−1α (Uα) = Uα ×

∏β∈Aβ 6=α

Xβ [(4)]

(6) V = Uα ×∏

β∈Aβ 6=α

Xβ [(2),(5)]

2

Con V = Uβ ×∏

α6=β

Yα se indica al conjunto∏

α∈AGα siendo Gα =

Uβ si α = βYα si α 6= β

Base del espacio producto

Como Σπ =⋃

α∈Aτα =

⋃α∈A

p−1α (U) : U ∈ τα es una subbase de la topologıa producto,

τπ, B ⊆∏

α∈AYα es un basico del espacio producto si, y solo si, existen Uα1 ∈ τα1,

Uα2 ∈ τα2, ..., Uαn ∈ ταn tales que B =n⋂

i=1

p−1αi

(Uαi) .

Al basico del espacio producto determinado por los abiertos Uα1, Uα2, ..., Uαn se lo

simboliza 〈Uα1 , Uα2, ..., Uαn〉.Es decir, B ∈ Bπ si, y solo si, B = 〈Uα1, Uα2, ..., Uαn〉 =

n⋂i=1

p−1αi

(Uαi) con Uαi ∈ ταi,

i = 1, ..., n.

Conn∏

i=1

Gαi ×∏

α6=αo

Yα se indica al conjunto∏

α∈AHα, Hα =

Gαi si α = αi, i = 1, ..., nYα si α 6= αi

Lema 3.5.2 Sea B un basico del espacio producto

( ∏α∈A

Yα, τπ

), entonces existen

Uα1 ∈ τα1, Uα2 ∈ τα2, ..., Uαn ∈ ταn tales que B =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αo

Yα


Dem.

(1) Sea Bπ ⊆ τπ una base del espacio producto y sea B ∈ Bπ [Hip.]

(2) B = 〈Uα1, Uα2, ..., Uαn〉 =n⋂

i=1

p−1αi

(Uαi) con Uαi ∈ ταi, i = 1, ..., n [(1)]

(3) x = [xα]α∈A ∈ B si, y solo si, x ∈ p−1αi

(Uαi) para todo i = 1, ..., n [(2)]

(4) x ∈ p−1αi

(Uαi) si, y solo si, pαi (x) = x (αi) = xαi ∈ Uαi

(5) x = [xα]α∈A ∈ B si, y solo si, xαi ∈ Uαi para i = 1, ..., n

y xα ∈ Yα para α 6= αi [(3),(4)]

(6) B =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα [(5)]

2

Observacion 3.5.1 El producto en el caso finito es esencialmente distinto al caso

general como se muestra en las siguientes observaciones:

1. El producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos abiertos no es, en

general, un abierto en el espacio producto.

En efecto.

(1) Sea Gα ∈ τα tal que Gα 6= Yα y Gα 6= ∅ para cada α ∈ A [Hip.]

(2)∏

α∈AGα 6= ∅ [(1),L.3.1.2]

(3) Supongamos que∏

α∈AGα ∈ τπ [Hip.]

(4) para cada x ∈∏

α∈AGα existe B ∈ Bπ tal que x ∈ B ⊆

∏α∈A

Gα [(3),T.1.2.2]


α∈AGα existe 〈Uα1 , Uα2, ..., Uαn〉 =

n∏i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα ∈ Bπ

tal que x ∈n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα ⊆∏

α∈AGα con Uαi ∈ ται [(5),L.3.5.2]

(6) Yα = Gα para cada α 6= αi, lo que contradice (1) [(5)]

(7)∏

α∈AGα no es, en general, abierto en τπ [(3),(6)]


2. Si G 6= ∅ es un conjunto abierto en el espacio producto, entonces pα (G) = Yα

excepto para un numero finito de ındices.

En efecto:

(1) Sea G ∈ τπ tal que G 6= ∅ [Hip.]

(2) para cada x ∈ G existe B =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα ∈ Bπ tal que

x ∈ B ⊆ G con Uαi ∈ ται [(1),L.3.5.2]

(3) pα (B) = Yα para todo α 6= αi [(2)]

(4) pα (B) ⊆ pα (G) para todo α ∈ A [(2)]

(5) Yα ⊆ pα (G) para todo α 6= αi, i = 1, ..., n [(3),(4)]

(6) Yα = pα (G) para todo α 6= αi, i = 1, ..., n [(5)]

(7) pα (G) = Yα excepto para un numero finito de ındices [(6)]

De lo expuesto resulta que cuando se enuncian las propiedades en el espacio producto

se debe tener en cuenta el cardinal del conjunto de ındices.

Teorema 3.5.1 Sea card (A) arbitrario y sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios

topologicos, se satisfacen las siguientes propiedades:

i) Si Σα es una subbase de τα para cada α ∈ A, entonces Σ∗ =⋃

α∈A〈Vα〉 : Vα ∈ Σα

es una subbase del espacio producto∏

α∈AYα.

ii) Si Aa ⊆ Yα para cada α ∈ A, entonces∏

α∈AAα =

∏α∈A

Aα.

iii) Sea Aa ⊆ Yα para cada α ∈ A, entonces∏

α∈AAα, como producto cartesiano de

espacios topologicos, tiene la misma topologıa que considerado como subespacio

del espacio producto∏

α∈AYα.

iv) Sea y0 = [y0α]α∈A un elemento fijo del producto cartesiano

∏α∈A

Yα, entonces el

conjunto D formado por los puntos del producto∏

α∈AYα que difieren con y0 a lo

sumo en un numero finito de coordenadas es denso en∏

α∈AYα.


Dem.

i)

(1) Sean Σα una subbase de τα para cada α ∈ A,

(2) Σ∗ =⋃

α∈A〈Vα〉 : Vα ∈ Σα [Hip.]

a) τ (Σ∗) ⊆ τπ

(3) Sea U ∈ Σ∗ [Hip.]

(4) existe α ∈ A tal que U = 〈Vα〉 con Vα ∈ Σα [(2),(3)]

(5) Σα ⊆ τα [(1)]

(6) U = 〈Vα〉 = p−1α (Vα) con Vα ∈ τα [(4),(5)]

(7) U ∈ τα ⊆⋃

α∈Aτα [(6)]

(8) U ∈ Σπ ⊆ τπ [(7)]

(9) τ (Σ∗) ⊆ τπ [(3),(8)]

b) τπ ⊆ τ (Σ∗)

(10) Sea α ∈ A y sea Uα ∈ Σα [Hip.]

(11) U = 〈Uα〉 ∈ Σ∗ ⊆ τ (Σ∗) [(10),(2)]

(12) U = p−1α (Uα) ∈ τ (Σ∗) [(11)]

(13) pα :

( ∏α∈A

Yα, τ (Σ∗)

)→ Yα es continua para todo α ∈ A [(10),(12),T.2.1.1]

(14) τπ ⊆ τ (Σ∗) [(13)]

(15) τπ = τ (Σ∗) [(9),(14)]

ii)

(1) Sea Aa ⊆ Yα para cada α ∈ A [Hip.]

Primer caso.

(2) existe αo ∈ A tal que Aαo = ∅

(3)∏

α∈AAα = ∅ [(2)]


(4)∏

α∈AAα = ∅ = Aαo =

∏α∈A

Aα [(2),(3)]

Segundo caso.

(5) Aα 6= ∅ para todo α ∈ A

(6)∏

α∈AAα 6= ∅ y

∏α∈A

Aα 6= ∅ [(5)]

(7) Sea x = [xα]α∈A ∈∏

α∈AAα [Hip.]

(8) Sea α ∈ A y sea Uα (xα) ∈ Uα (xα) [Hip.]

(9) Uα ∈ τα y xα ∈ Uα [(8)]

(10) U = 〈Uα〉 = Uα ×∏

α6=β

Yβ ∈ Σπ ⊆ τπ [(9),L.3.5.1]

(11) pα (x) = xα ∈ Uα [(9)]

(12) x ∈ p−1α (Uα) = U [(11),(10)]

(13) U ∈ Uπ (x) [(10),(12)]

(14) U ∩∏

α∈AAα =

(Uα ×

∏α6=β

Yβ

)∩∏

α∈AAα

= (Uα ∩Aα) ×∏

α6=β

(Yβ ∩ Aβ) 6= ∅ [(13),(7)]

(15) Uα ∩Aα 6= ∅ [(14)]

(16) Uα ∩Aα 6= ∅ para todo Uα ∈ Uα (xα) [(8),(15)]

(17) xα ∈ Aα para cada α ∈ A [(8),(16)]

(18) x = [xα]α∈A ∈∏

α∈AAα [(17)]

(19)∏

α∈AAα ⊆

∏α∈A

Aα [(7),(18)]

(20) Sea x = [xα]α∈A ∈∏

α∈AAα [Hip.]

(21) xα ∈ Aα para cada α ∈ A [(20)]


(22) Sea U (x) ∈ U (x) [Hip.]

(23) existe B =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα ∈ Bπ tal que x ∈ B ⊆ U (x) con Uαi ∈ ται [(22)]

(24) xαi ∈ Uαi para cada i = 1, ..., n [(23)]

(25) Uαi ∈ U (xαi) para cada i = 1, ..., n [(23),(24)]

(26) Uαi ∩Aαi 6= ∅ para cada i = 1, ..., n [(21),(25)]

(27) B ∩∏

α∈AAα =

n∏i=1

(Uαi ∩Aαi) ×∏

β 6=αi

(Yβ ∩ Aβ)

=n∏

i=1

(Uαi ∩ Aαi) ×∏

β 6=αi

Aβ [(23)]

(28) B ∩∏

α∈AAα 6= ∅ [(26),(27),(5)]

(29) U (x) ∩∏

α∈AAα 6= ∅ [(28),(23)]

(30) U (x) ∩∏

α∈AAα 6= ∅ para todo U (x) ∈ U (x) [(29),(22)]

(31) x ∈∏

α∈AAα [(30)]

(32)∏

α∈AAα ⊆

∏α∈A

Aα [(20),(31)]

(33)∏

α∈AAα =

∏α∈A

Aα [(19),(32)]

iii)

(1) Sea Aa ⊆ Yα para cada α ∈ A [Hip.]

(2) Σπ =⋃

α∈Aτα/Aα

=⋃

α∈A

〈UAα〉 : UAα ∈ τα/Aα

es subbase de τπAα [D.3.5.2]

(3) Σ =⋃

α∈A

〈Uα〉 ∩

∏α∈A

Aα : Uα ∈ τα

es subbase de τπ/πAα

[(1)]

(4) Sea V ∈ Σ [Hip.]

(5) existe α ∈ A y Uα ∈ τα tal que V = 〈Uα〉 ∩∏

α∈AAα [(3),(4)]


(6) V =

(Uα ×

∏β 6=α

Yβ

)∩∏

α∈AAα = (Uα ∩Aα) ×

∏α6=β

(Yβ ∩ Aβ)

= (Uα ∩ Aα) ×∏

α6=β

Aβ [(5),L.3.5.1]

(7) V = UAα ×∏

α6=β

Aβ = 〈UAα〉 con UAα = Uα ∩Aα ∈ τα/Aα[(6),(5)]

(8) V ∈ Σπ [(2),(7)]

(9) Σ ⊆ Σπ [(4),(8)]

(10) Sea V ∈ Σπ [Hip.]

(11) existe α ∈ A y UAα ∈ τα/Aαtal que V = 〈UAα〉 [(10),(2)]

(12) UAα = Uα ∩ Aα con Uα ∈ τα [(11)]

(13) V = UAα ×∏

β 6=α

Aβ = (Uα ∩Aα) ×∏

α6=β

(Yβ ∩ Aβ)

=

(Uα ×

∏β 6=α

Yβ

)∩∏

α∈AAα [(11),(12)]

(14) V = 〈Uα〉 ∩∏

α∈AAα con Uα ∈ τα [(13),L.3.5.1]

(15) V ∈ Σ [(14),(3)]

(16) Σπ ⊆ Σ [(10),(15)]

(17) Σπ = Σ [(9),(16)]

iv)

(1) Sea y0 = [y0α]α∈A un elemento fijo del producto cartesiano

∏α∈A

Yα [Hip.]

(2) Sea D =[xα]α∈A : [xα]α∈A e [y0

α]α∈A difieren a lo sumo en un

numero finito de coordenadas

=[xα]α∈A : existe n ∈ IN tal que xαi 6= y0

αipara i = 1, ..., n

y xα = y0α para todo α 6= αi [Hip.]

(3) Sea B ∈ Bπ con B 6= ∅ [Hip.]


(4) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que B =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αo

Yα

con Uαi ∈ ται [(3),L.3.5.2]

(5) Uαi 6= ∅ para i = 1, ..., n [(3),(4)]

(6) para cada i = 1, ..., n existe zαi tal que zαi ∈ Uαi [(5)]

(7) Sea z = [zα]α∈A ∈∏

α∈AYα tal que zα =

y0

α para α 6= αi

zαi para α = αi, i = 1, ..., n

(8) z e y0 difieren a lo sumo en las coordenadas αi, i = 1, ..., n [(1),(7)]

(9) z ∈ D [(2),(8)]

(10) z ∈ B [(4),(6)]

(11) B ∩ D 6= ∅ [(9),(10)]

(12) B ∩ D 6= ∅ para todo B ∈ Bπ, B 6= ∅ [(3),(11)]

(13) D es denso en el espacio producto [(12),T.1.3.4]

2

Corolario 3.5.1 Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos, entonces el

producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos cerrados es cerrado en el

espacio producto.

Ejercicio 3.5.1 Sea Yαα∈A una familia de conjuntos no vacıos y sea Aα ⊆ Yα para

cada α ∈ A, se satisfacen las siguientes propiedades:

1.

( ∏α∈A

Aα

)c

=⋃

α∈A〈Ac

α〉 =⋃

α∈Ap−1

α (Acα)

2. 〈Aα〉c = 〈Acα〉

3.∏

α∈AAα =

⋂α∈A

〈Aα〉 =⋂

α∈Ap−1

α (Aα)

En efecto.

1.



(1) x = [xα]α∈A ∈( ∏

α∈AAα

)c

[Hip.]

(2) existe αo ∈ A tal que xαo /∈ Aαo [(1)]

(3) pαo (x) ∈ Acαo

[(2)]

(4) x ∈ p−1αo

(Ac

αo

)= 〈Ac

αo〉 [(3)]

(5) existe αo ∈ A tal que x ∈ 〈Acαo〉 [(4)]

(6) x ∈⋃

α∈A〈Ac

α〉 [(5)]

(7)⋃

α∈A〈Ac

α〉 =

( ∏α∈A

Aα

)c

[(1),(6)]

3.6 Funciones en el espacio producto

Se generalizan algunos de los resultados obtenidos en la seccion 3.3, las demostraciones

se dejan como ejercicio al lector.

Teorema 3.6.1 Sea (Yα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos, en-

tonces para cada α ∈ A (fijo) la funcion proyeccion pα :∏

α∈AYα → Yα es una funcion

sobreyectiva, continua y abierta.

Dem.

(1) Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos no vacıos

y sea α ∈ A [Hip.]

i) pα es sobreyectiva

(2) Sea yα ∈ Xα [Hip.]

(3)∏

β∈Aβ 6=α

Xβ 6= ∅ [(1)]

(4) existe z = [zβ]β∈A−α ∈∏

β∈A−αXβ [(3)]

(5) existe x = [xβ]β∈A ∈∏

β∈AXβ tal que xβ =

yα si β = αzβ si β 6= α

[(2),(4)]


(6) pα (x) = pα ([xβ]β∈A) = xα = yα [(5)]

(7) pα es sobreyectiva [(2),(5),(6)]

ii) pα es continua

Resulta inmediato de la Definicion 3.5.2

iii) pα es abierta


(9) B =n∏

j=1

Gαj ×∏

β 6=αj

Yβ con Gαj ∈ ταj para cada j = 1, ..., n [(8)]

(10) pα (B) = pα

(n∏

j=1

Gαj ×∏

β 6=αj

Yβ

)=

Gαj si α = αj para algun j = 1, ..., nYα si α 6= αj

[(9)]

(11) pα (B) ∈ τα [(9),(10)]

(12) pα es abierta [(8),(11),T.2.2.1]

2

Teorema 3.6.2 Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos, sea (Y, τ ) un

espacio topologico y sea f : Y →∏

α∈AYα una funcion, entonces f es continua si, y solo

si, pα f es continua para cada α ∈ A.

Corolario 3.6.1 Sean (Y, τ ) un espacio topologico, (Yα, τα)α∈A una familia de es-

pacios topologicos y fα : Y → Yαα∈A una familia de funciones y sea f : Y →∏

α∈AYα

la funcion definida por f (x) = [fα (x)]α∈A. Entonces f es continua si, y solo si, fα es

continua para cada α ∈ A.

Teorema 3.6.3 Sea card (A) arbitrario, sean (Xα, τXα)α∈A , (Yα, τYα)α∈A dos fa-

milias de espacios topologicos y fα : (Xα, τXα) → (Yα, τYα)α∈A una familia de fun-

ciones. Sea f :∏

α∈AXα →

∏α∈A

Yα definida por f (x) = f([xα]α∈A

)= [fα (xα)]α∈A , se

satisfacen las siguientes propiedades:

i) Si fα es continua para cada α ∈ A, entonces f es continua.

ii) Si fα es abierta para cada α ∈ A y salvo un numero finito de factores fα es

sobreyectiva, entonces f es continua.


iii) Si fα es homeomorfismo para cada α ∈ A, entonces f es homeomorfismo.

Dem.

(1) Sea fα : Xα → Yαα∈A una familia de funciones y sea

f :∏

α∈AXα →

∏α∈A

Yα la funcion definida por

f (x) = f([xα]α∈A

)= [fα (xα)]α∈A [Hip.]

ii)

(2) fα : (Xα, τXα) → (Yα, τYα) es abierta para todo α ∈ A [Hip.]

(3) existen a lo sumo m ındices β1, β2, ..., βm ∈ A tales que

para todo α 6= βi se verifica que fα : Xα → Yα es sobreyectiva [Hip.]

(4) Sea U ∈ Bπxα [Hip.]

(5) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tal que U =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Xα con Uαi ∈ τXαi[(4)]

(6) f (U) =n∏

i=1

fαi (Uαi) ×∏

α6=αi

fα (Xα) [(5)]

(7) fαi (Uαi) = Vαi ∈ τYαipara i = 1, ..., n [(2),(5)]

(8) f (U) =n∏

i=1

Vαi ×∏

α6=αi

fα (Xα) con Vαi ∈ τYαipara i = 1, ..., n [(6),(7)]

Primer caso.

(9) α1, α2, ..., αn ∩ β1, β2, ..., βm = ∅

(10) αi 6= βj para todo i, j con i = 1, ..., n; j = 1, ...,m [(9)]

(11) f (U) =n∏

i=1

Vαi × fβ1 (Xβ1) × fβ2 (Xβ2) × ...× fβm (Xβm) ×∏

α6=αiα6=βj

fα (Xα) [(8),(10)]

(12) Wβj = fβj

(Xβj

)∈ τYβj

para j = 1, ...,m [(2)]

(13) fα (Xα) = Yα para α 6= βj [(3)]


(14) f (U) =n∏

i=1

Vαi ×Wβ1 ×Wβ2 × ...×Wβm ×∏

α6=αiα6=βj

Yα

con Wβj ∈ τYβj, Vαi ∈ τYαi

[(8),(11),(12),(13)]

(15) f (U) ∈ Bπyα ⊆ τπyα [(14)]

Segundo caso.

(16) α1, α2, ..., αn ⊆ β1, β2, ..., βm

(17) para cada i = 1, 2, ..., n existe j = 1, 2, ...,m tal que αi = βj con n 6 m [(16)]

(18) f (U) =n∏

i=1

Vβi × fβn+1

(Xβn+1

)× fβn+2

(Xβn+2

)× ...× fβm (Xβm) ×

∏α6=βi

fα (Xα)

[(8),(17)]

(19) Wβj = fβj

(Xβj

)∈ τYβj

para j = n+ 1, ...,m y

fα (Xα) = Yα para α 6= βi [(2),(3)]

(20) f (U) =n∏

i=1

Vβi ×m∏

j=n+1

Wβj ×∏

α6=βi

Yα con Vβi ∈ τYβi, Wβj ∈ τYβj

[(18),(19)]

(21) f (U) ∈ Bπyα ⊆ τπyα [(20)]

Tercer caso.

(22) β1, β2, ..., βm ⊆ α1, α2, ..., αn

(23) para cada j = 1, ...,m existe i = 1, 2, ..., n βj = αi con m 6 n [(22)]

(24) f (U) =m∏

i=1

Vβi × Vαm+1 × Vαm+2 × ...× Vαn ×∏

α6=βiα6=αj

fα (Xα) [(8),(23)]

(25) fα (Xα) = Yα para α 6= βi [(3)]

(26) f (U) =n∏

i=1

Vαi ×∏

α6=αi

Yα con Vαi ∈ τYαipara i = 1, ..., n [(24),(25)]

(27) f (U) ∈ Bπyα ⊆ τπyα [(26)]

Cuarto caso.

(28) existen l, t tales que αl = βt


(29) existe j = 1, ...,m tal que αi 6= βj para cada i = 1, ..., n

(30) f (U) = Vα1 × Vα2 × ...× Vβt × ...× Vαn ×m∏

i=1i 6=t

fβi (Xβi) ×∏

α6=αiα6=βj

fα (Xα) [(8),(29)]

(31) f (U) =n∏

i=1

Vαi ×m∏

i=1i 6=t

fβi (Xβi) ×∏

α6=αiα6=βj

Yα [(30),(3)]

(32) f (U) ∈ Bπyα ⊆ τπyα [(31)]

(33) f (U) ∈ τπyα para todo U ∈ Bπxα [(15),(21),(27),(32)]

(34) f es abierta [(33),T.2.2.1]

2

Teorema 3.6.4 (Propiedad asociativa irrestricta)

Sea (Yα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos y sea Aµ : µ ∈ Muna particion del conjunto de ındices A. Sea Zµ =

∏α∈Aµ

Yα para cada µ ∈ M, entonces∏

α∈AYα '

∏µ∈M

Zµ.

Dem.

(1) Sea (Yα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos

siendo card (A) arbitrario,

(2) sea Aµ : µ ∈ M una particion del conjunto de ındices A y

(3) sea Zµ =∏

α∈Aµ

Yα para cada µ ∈ M [Hip.]

(4) Sea µ ∈ M y sea qµ :∏

α∈AYα → Zµ la funcion definida por

qµ

([yα]α∈A

)= [yα]α∈Aµ

Primer caso.

(5) Aµ : µ ∈ M = A

(6) qµ

([yα]α∈A

)= [yα]α∈A [(4),(5)]

(7) qµ = 1πyα [(6)]


(8) qµ es un homeomorfismo [(7),L.2.1.2]

Segundo caso.

(9) Aµ : µ ∈ M 6= A

i) qµ :∏

α∈AYα → Zµ es sobreyectiva

(10) Sea y = [yα]α∈Aµ∈ Zµ [Hip.]

(11) A−Aµ 6= ∅ [(2),(9)]

(12) existe w = [wα]α∈A−Aµ∈

∏α∈A−Aµ

Yα [(11)]

(13) Sea x = [xα]α∈A ∈∏

α∈AYα tal que xα =

wα si α ∈ A−Aµ

yα si α ∈ Aµ[(9),(12)]

(14) qµ (x) = qµ

([xα]α∈A

)= [xα]α∈Aµ

= [yα]α∈Aµ[(4),(13)]

(15) Para cada y ∈ Zµ existe x ∈∏

α∈AYα tal que qµ (x) = y [(9),(13),(14)]

ii) qµ es continua

Yβ

Zµ

qµ

pβpβ qµ

.............................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................

∏α∈A

Yα

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

(16) Sea β ∈ Aµ y sea y = [yα]α∈A ∈∏

α∈AYα [Hip.]

(17) (pβ qµ) (y) = pβ

(qµ

([yα]α∈A

))= pβ

([yα]α∈Aµ

)= yβ [(16),(4)]

(18) pβ (y) = pβ

([yα]α∈A

)= yβ

(19) (pβ qµ) (y) = pβ (y) para todo y ∈∏

α∈AYα [(17),(18)]

(20) pβ qµ = pβ para todo β ∈ Aµ [(16),(19)]

(21) pβ qµ es continua para todo β ∈ Aµ [(20),T.3.6.1]


(22) qµ :∏

α∈AYα → Zµ es continua y sobreyectiva para todo µ ∈ M [(15),(21),T.3.6.2]

iii) qµ es abierta

(23) Sea U ∈ Bπyα ⊆ τπyα un basico del espacio producto∏

α∈AYα [Hip.]

(24) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que

U =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα con Uαi ∈ τYαι[(23)]

(25) qµ (U) =

∏αi∈α1,...,αn∩Aµ

Uαi ×∏

α6=αiα∈Aµ

Yα si α1, ..., αn ∩ Aµ 6= ∅

Zµ =∏

α∈Aµ

Yα si α1, ..., αn ∩ Aµ = ∅[(4),(4)]

(26) α1, ..., αn ∩ Aµ = ∅ salvo un numero finito de ındices µ1,

µ2, ..., µm ∈ M [(2)]

(27) existen µ1, µ2, ..., µm ∈ M tales que qµ (U) = Zµ para µ 6= µj y

qµj (U) = Uµj siendo Uµj un conjunto abierto en Zµj para

cada µj , j ∈ 1, ...,m [(25),(26)]

(28) qµ :∏

α∈AYα → Zµ es abierta [(23, (27))]

(29) Sea q :∏

α∈AYα →

∏µ∈M

Zµ definida por q (y) = [qµ (y)]µ∈M

para cada y ∈∏

α∈AYα [Hip.]

iv) q es continua

(30) q es continua [ (22), (29),C.3.6.1]

v) q es abierta [(26),(32),T.2.2.1]

(31) Sea U ∈ Bπyα ⊆ τπyα un basico del espacio producto∏

α∈AYα [Hip.]

(32) q (U) =∏

µ∈Mqµ (U) = Uµ1 × ...× Uµm ×

∏µ6=µiµ∈M

Zµ siendo Uµj

un conjunto abierto en Zµj para cada j = 1, ...,m [(27),(29)]


(33) q (U) ∈ Bπzµ ⊆ τπzµ [(32)]

(34) q es abierta [(31),(33),T.2.2.1]

vi) q es sobreyectiva

(35) Sea z = [zµ]µ∈M ∈∏

µ∈MZµ [Hip.]

(36) zµ ∈ Zµ para todo µ ∈ M [(35)]

(37) para cada µ ∈ M existe y(µ) = [yµα]α∈A ∈

∏α∈A

Yα tal

que qµ

(y(µ))

= zµ [(15), (36)]

(38) Sea y = [yα]α∈A tal que yα = yµα si α ∈ Aµ para cada µ ∈ M

(39) qµ (y) = qµ

([yα]α∈A

)= [yα]α∈Aµ

= [yµα]α∈Aµ

= qµ

(y(µ))

= zµ [(4), (37),

(38)]

(40) q (y) = [qµ (y)]µ∈M = [zµ]µ∈M = z [(29),(35),(36),(38)]

(41) para todo z ∈∏

µ∈MZµ existe y ∈

∏α∈A

Yα tal que q (y) = z [(35),(38),(40)]

(42) q es sobreyectiva [(41)]

vi) q es inyectiva

(43) Sean x, y ∈∏

α∈AYα tales que q (y) = q

([yα]α∈A

)= q

([xα]α∈A

)= q (x) [Hip.]

(44)[qµ

([yα]α∈A

)]µ∈M =

[qµ

([xα]α∈A

)]µ∈M [(43)]

(45) qµ

([yα]α∈A

)= qµ

([xα]α∈A

)para todo µ ∈ M [(44)]

(46) [yα]α∈Aµ= [xα]α∈Aµ

para todo µ ∈ M [(4),(45)]

(47) yα = xα para todo α ∈ Aµ y para todo µ ∈ M [(46)]

(48) yα = xα para todo α ∈ A [(47)]

(49) x = y [(48)]

(50) q es inyectiva [(43),(49)]

(50) q :∏

α∈AYα →

∏µ∈M

Zµ es un homeomorfismo [(iii),(iv),(v),(vi)]

2


Corolario 3.6.2 Sea A un conjunto de ındices tal que cardA ≥ ℵ0 y sea Z =∏

α∈AYα

donde Yα = Y para todo α ∈ A. Si 1, 2, ..., k es finito o infinito numerable, entonces

Zk =k∏

i=1

Zi ' Z con Zi = Z para todo i = 1, ..., k.

Dem.

(1) Sea A un conjunto de ındices tal que cardA ≥ ℵ0 y

(2) sea Z =∏

α∈AYα donde Yα = Y para todo α ∈ A [Hip.]

(3) Sea 1, 2, ..., k un conjunto finito o infinito numerable [Hip.]

(4) Zk =k∏

i=1

Zi =k∏

i=1

( ∏α∈A

Yα

)=

k∏i=1

( ∏α∈A

Y

)=

k∏i=1

Y cardA,

con Zi = Z para todo i = 1, ..., k [(2)]

(5)k∏

i=1

Y cardA 'k cardA∏

i=1

Y [T.3.6.4]

(6) k cardA = cardA [(1),(3)]

(7) Zk 'k cardA∏

i=1

Y = Y cardA = Z [(4),(5),(6),(2)]

2

3.7 Secciones paralelas en producto cartesiano de un numero

arbitrario de conjuntos

Se generaliza el concepto de seccion paralela al producto cartesiano de un numero

arbitrario de conjuntos.

Definicion 3.7.1 Sean Xαα∈A una familia de conjuntos no vacıos y sea p0 = [y0α]α∈A

un punto fijo del conjunto∏

α∈AXα, la seccion paralela al eje Xβ que pasa por el punto

p0 es el conjunto:

S (p0, β) =

x = [xα]α∈A ∈

∏α∈A

Xα : xβ ∈ Xβ y xα = y0α para α 6= β, α ∈ A

.

Lema 3.7.1 Sea p0 = [y0α]α∈A ∈

∏α∈A

Xα un punto fijo y sea β ∈ A, entonces la seccion

paralela al eje Xβ que pasa por el punto p0 es el conjunto S (p0, β) = Xβ ×∏

α∈Aα6=β

y0α


Dem.

(1) Sea p0 = [y0α]α∈A ∈

∏α∈A

Xα un punto fijo y sea β ∈ A [Hip.]

(2) Sea x = [xα]α∈A ∈ S (p0, β)

(3) xβ ∈ Xβ y xα = y0α para α 6= β, α ∈ A [(2)]

(4) xβ ∈ Xβ, xα ∈ y0α para α 6= β, α ∈ A [(3)]

(5) x = [xα]α∈A ∈ Xβ ×∏

α∈Aα6=β

y0α [(4)]

(6) S (p0, β) = Xα ×∏

α∈Aα6=β

y0α [(2),(5)]

2

El subespacio (S (p0, β) , τS)

Sea (Xα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y sea p0 ∈∏α

Xα, en el siguiente

lema se determina una base de la topologıa del subespacio S (p0, β) inducida por τπ.

Lema 3.7.2 Sea (Xα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y sea p0 = [y0α]α∈A

un punto fijo del conjunto∏

α∈AXα, entonces BS =

Gβ ×

∏α∈Aα6=β

y0α : Gβ ∈ τβ

es una

base de τπ/S.

Teorema 3.7.1 Sea (Xα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y sea p0 =

[y0α]α∈A un punto fijo del conjunto

∏α∈A

Xα, entonces los espacios topologicos S (p0, β) y

Xβ son homeomorfos para cada β ∈ A.

Dem.

(1) Sea p0 = [y0α]α∈A ∈

∏α∈A

Xα un punto fijo, [Hip.]

(2) Sea β ∈ A y sea sβ : Xβ → S (p0, β) la funcion definida por

sβ (xβ) = [zα]α∈A donde zα =

xβ si α = βy0

α si α 6= β, esto es,

sβ (xβ) = (y01, y

02, ..., xβ, ..., y

0α, ...)


i) sβ es inyectiva

(3) Sean yβ, zβ ∈ Xβ tales que sβ (yβ) = sβ (zβ)

(4) sβ (yβ) = [yα]α∈A donde yα =

yβ si α = βy0

α si α 6= β[(2)]

(5) sβ (zβ) = [zα]α∈A donde zα =

zβ si α = βy0

α si α 6= β[(2)]

(6) zα = yα para todo α ∈ A [(3),(4),(5)]

(7) zβ = yβ [(4),(5),(6)]

(8) sβ es inyectiva [(3),(7)]

ii) sβ es sobreyectiva

(9) Sea x = [xα]α∈A ∈ S (p0, β) [Hip.]

(10) xβ ∈ Xβ y xα = y0α para todo α 6= β [(9)]

(11) sβ (xβ) = [zα]α∈A donde zα =

xβ si α = βy0

α si α 6= β[(2)]

(12) zβ = xβ y zα = xα para todo α 6= β [(10),(11)]

(13) sβ (xβ) = [xα]α∈A = x [(11),(12)]

(14) existe xβ ∈ Xβ tal que sβ (xβ) = x [(13)]

(15) sβ es sobreyectiva [(9),(14)]

iii) sβ es continua

(16) Sea US un basico de(S (p0, β) , τπ/S

)

(17) US = ∅ o US = S (p0, β) o US = Uβ ×∏

α∈Aα6=β

y0α , Uβ ∈ τβ [(16),L.3.7.2]

(18) s−1β (US) =

∅ si US = ∅Xβ si US = S (p0, β)Uβ si US = Uβ ×

∏α∈Aα6=β

y0α

[(17)]

(19) s−1β (US) ∈ τβ [(17),(18)]


(20) sβ es continua [(16),(19),T.2.1.1]

iv) s−1β : S (p0, β) → Xβ es continua

(21) Sea x = [xα]α∈A ∈ S (p0, β) [Hip.]

(22) s−1β (x) = zβ si, y solo si, sβ (zβ) = [xα]α∈A

si, y solo si, xα =

zβ si β = αy0

α si α 6= β[(2)]

(23) s−1β

([xα]α∈A

)= xβ [(22)]

(24) s−1β

([xα]α∈A

)= xβ = pβ(x) para cada x = [xα]α∈A ∈ S (p0, β) [(21),(23)]

(25) s−1β = pβ/S(p0,β) [(24)]

(26) pβ/S(p0,β) es continua [T.3.6.1,T.2.1.2]

(27) s−1β es continua [(25),(26)]

(28) sβ es una funcion biyectiva y bicontinua [(8),(15),(20),(27)]

(29) sβ es un homeomorfismo [(28)]

(30) S (p0, β) ' Xβ para cada β ∈ A [(29)]

2

3.8 Aplicacion: curvas de Peano

Se aplicaran los resultados obtenidos en las secciones anteriores a un tipo especial de

curvas, las llamadas curvas de Peano, para ello se estudia con cierto detalle al conjunto

triadico de Cantor.

Conjunto triadico de Cantor

En la recta existen conjuntos ralos con el mismo cardinal que IR, uno de los mas

importante es el llamado triadico de Cantor.

Sea I = [a, b], se indica con I ′ al tercio medio del conjunto I, esto es,

I ′ =

(a+

b− a

3, b− b− a

3

).


Se indica con I∗ an⋃

i=1

(Ii − I ′i) tal que cada Ii, i ∈ 1, . . . , n, es una sucesion finita de

intervalos disjuntos y I =n⋃

i=1

Ii

Se define inductivamente a la siguiente familia de conjuntos

(1) R0 = [0, 1]

(2) R1 = R∗0 = [0, 1] −

(1

3,2

3

)=

[0,

1

3

]∪[2

3, 1

]

(3) R2 = R∗1 =

([0,

1

3

]−[0,

1

3

]′)∪([

2

3, 1

]−[2

3, 1

]′)

=

[0,

1

9

]∪[2

9,1

3

]∪[2

3,7

9

]∪[8

9, 1

]

. . .

(n+1) Rn = R∗n−1.

De esta forma, cada Rn queda expresado como una union de 2n intervalos cerrados y

disjuntos, cada uno de longitud1

3n.

En general,

si Rn−1 =2n−1⋃k=1

[an−1

k , bn−1k

], entonces Rn =

2n−1⋃k=1

([an−1

k , an−1k + 1

3n

]∪[an−1

k + 23n , b

n−1k

]).

Luego, Rn es la union de 2n intervalos cerrados, [ank , b

nk ], disjuntos dos a dos, y de

longitud1

3n, siendo [an

k , bnk ] =

[an−1

k′ , an−1k′ + 1

3n

]o [an

k , bnk ] =

[an−1

k′ + 23n , b

n−1k′

]para

algun k′, 1 6 k′ 6 2n−1.

Estas observaciones nos permiten dar la siguiente definicion.

Definicion 3.8.1 El conjunto triadico de Cantor es C =⋂

n∈N

Rn.

Lema 3.8.1 Se satisfacen las siguientes propiedades:

i) ank =

n∑

i=1

xi

3icon xi = 0 o xi = 2

ii) Si n < m y amk′ =

m∑

i=1

x′i3i, entonces am

k′ ∈ [ank , b

nk ] si, y solo si, xi = x′i para

1 6 i 6 n.

iii) Si n < m y [ank , b

nk ] ∩ [am

k′ , bmk′ ] 6= ∅, entonces [amk′ , bmk′ ] ⊆ [an

k , bnk ] .


Desarrollo en base p ≥ 2 de un numero x ∈ (0, 1)

Lema 3.8.2 Sea p ∈ IN, p ≥ 2, para cada x ∈ (0, 1) existe una sucesion de numeros

enteros ann∈N tal que 0 6 an < p y x =∞∑

n=1

an

pn.

Dem.

(1) Sea x ∈ (0, 1) y sea p ≥ 2 [Hip.]

(2) existe a1 ∈ IN0 tal que a1 6 p · x < a1 + 1 [(1)]

(3) y1 =a1

p, a1 < p [(1),(2)]

(4) Sea x1 = x− y1 ≥ 0 [(2),(3)]

(5) existe a2 ∈ IN0 tal que a2 6 p2 · x1 < a2 + 1 [(4)]

(6) y2 =a2

p2, a2 6 p · (p · x− a1) < p [(4),(5)]

(7) Sea x2 = x1 − y2 = x− (y1 + y2) ≥ 0 [(5),(6)]

(8) existe a3 ∈ IN0 tal que a3 6 p3 · x2 < a3 + 1 [(7)]

(9) y3 =a3

p3, a3 6 p ·

(p2 · x1 − a2

)< p [(7),(8)]

Repitiendo este procedimiento resulta que:

(10) existe una sucesion de numeros naturales ann∈N tal

que 0 6 an < p y an 6 p · (pn−1 · xn−2 − an−1) < p para

todo n ≥ 1 con x−1 = x0 = x y a0 = 0 [(7),(8)]

(11) Sea xn = x−n∑

i=1

yi ≥ 0 con yn =an

pn[(10)]

(12) xn <1

pn+1+

1

pn<

2

pn[(10),(1)]

(13)

∣∣∣∣x−n∑

i=1

yi

∣∣∣∣ <2

pn[(11),(12)]

(14)∞∑i=1

yi = x [(13)]


(15) existe una sucesion de numeros naturales ann∈N tal

que 0 6 an < p y x =∞∑

n=1

an

pn[(10),(14)]

2

Definicion 3.8.2 La serie∞∑

n=1

an

pncon 0 6 an < p, es el desarrollo en base p o p−adico

de x.

Observacion 3.8.1 Los numerosq

pn∈ (0, 1) admiten dos representaciones en base p.

En efecto.

(1)q

pn=

r

pt+

s

pncon r, s < p y t < n

(2)q

pn=

∞∑

i=1

ai

picon ai =

0 si i < q o t+ 1 6 i < nr si i = ts− 1 si i = np− 1 si i ≥ n+ 1

Definicion aritmetica del conjunto ternario de Cantor

La representacion triadica o en base 3 de un numero real nos permite escribir a los

numeros:1

3,

2

3,

1

9,

2

9,

7

9,

8

9, como se detalla a continuacion:

1

3= 0, 1

2

3= 0, 2

1

9= 0 +

0

3+

1

32= 0, 01

2

9= 0 +

0

3+

2

32= 0, 02

7

9=

2

3+

1

32= 0, 2 + 0, 01 = 0, 21

8

9=

2

3+

2

32= 0, 2 + 0, 02 = 0, 22


Estas observaciones permiten demostrar que existe otra manera de caracterizar al

conjunto C, como se muestra en el siguiente lema

Lema 3.8.3 C =

∞∑

n=1

xn

3n: xn = 0 o xn = 2

Dem.

i)

∞∑

n=1

xn

3n: xn = 0 o xn = 2

⊆ C

(1) Sea y =

∞∑

n=1

xn

3ncon xn = 0 o xn = 2 y sea n ∈ IN [Hip.]

(2)m∑

i=1

xi

3i= am

k ∈ Rm para todo m ∈ IN, siendo xi = 0 o xi = 2 [L.3.8.1]

(3) Rm ⊆ Rn para todo m > n

(4)

m∑

i=1

xi

3i∈ Rn para todo m > n [(2),(3)]

(5) Rn es cerrado para todo n ∈ IN

(6) limm→∞

m∑

i=1

xi

3i∈ Rn = Rn [(4),(5)]

(7)∞∑

i=1

xi

3i∈ Rn [(6)]

(8)

∞∑

i=1

xi

3i∈ Rn para todo n ∈ IN [(7)]

(9) y ∈ C [(8),(1)]

ii) C ⊆

∞∑

n=1

xn

3n: xn = 0 o xn = 2

(10) Sea x ∈ C [Hip.]

(11) x ∈ Rn para todo n ∈ IN [(10)]


(12) para cada n ∈ IN existe k(n, x) tal que x ∈[an

k(n,x), bnk(n,x)

][(11)]

(13)[am

k(m,x), bmk(m,x)

]⊆[an

k(n,x), bnk(n,x)

]si m > n [L.3.8.1]

(14) amk(m,x) = an

k(n,x) +

m∑

i=n+1

xi

3icon xi = 0 o xi = 2 [(13)]

(15) x1 = 3 · a1k(1,x), xn = 3n ·

(an

k(n,x) − an−1k(n−1,x)

)[(13)]

(16) x− ank(n,x) <

1

3npara todo n ∈ IN [(12)]

(17) limn→∞

ank(n,x) = x [(16)]

(18) limn→∞

n∑

i=1

xi

3i= lim

n→∞an

k(n,x) [(15)]

(19) x =∞∑

i=1

xi

3icon xi = 0 o xi = 2 [(17),(18)]

2

Propiedades del conjunto ternario de Cantor

Algunas de las propiedades topologicas del conjunto C se demuestran en el siguiente

lema.

Lema 3.8.4 En el espacio euclıdeo, el conjunto ternario de Cantor es un conjunto

cerrado, ralo y perfecto (A′ = A).

Dem.

(1) C =⋂

n∈N

Rn [Hip.]

i) C es cerrado

(2) Rn es cerrado para todo n ∈ IN

(3) C es cerrado [(1),(2)]

ii) C es ralo


(4) supongamos que I(C) 6= ∅ [Hip.]

(5) existe x ∈ I(C) [(4)]

(6) existe E(x, ε) tal que E(x, ε) ⊆ C [(5)]

(7) (x− ε, x+ ε) ⊆ Rn para todo n ∈ IN [(6),(1)]

(8) Rn =2n⋃

k=1

[ank , b

nk ] , [an

k , bnk ] ∩ [an

k′ , bnk′] = ∅, long ([ank , b

nk ]) =

1

3n

para todo k = 1, ..., 2n

(9) para cada n ∈ IN existe k = 1, ..., 2n tal que (x− ε, x+ ε) ⊆ [ank , b

nk ] [(7),(8)]

(10) long (x− ε, x+ ε) = 2ε 6 1

3n, para todo n ∈ IN [(8),(9)]

(11) I(C) = ∅ [(4),(10)]

(12) I(C) = ∅ [(3),(11)]

(13) C es un conjunto ralo [(12)]

iii) C es perfecto

(14) Sea x ∈ C y sea E (x, r) [Hip.]

(15) x ∈ Rn para todo n ∈ IN [(14)]

(16) existe k = 1, 2, ..., 2n−1 tal que x ∈[an−1

k , an−1k + 1

3n

]o

x ∈[an−1

k + 23n , b

n−1k

][(15)]

(17) existe n0 tal que1

3n< r para todo n ≥ n0

(18)[an−1

k , an−1k + 1

3n

]⊆ E (x, r) o

[an−1

k + 23n , b

n−1k

]⊆ E (x, r) [(16),(17)]

(19) yn = an−1k +

1

3n=

n−1∑

i=1

xi

3i+

1

3n=

n−1∑

i=1

xi

3i+

∞∑

i=n+1

2

3icon xi = 0 o xi = 2

zn = an−1k +

2

3n=

n−1∑

i=1

xi

3i+

2

3ncon xi = 0 o xi = 2

(20) yn ∈ C, zn ∈ C [(19),L.3.8.3]


(21) existe yn 6= x ( zn 6= x ) tal que yn ∈ E (x, r) ∩ C − x [(18),(19),(20)]

(22) x ∈ C ′ [(1),(21)]

(23) C = C ′ [(22)]

(24) C es perfecto [(3),(23)]

2

Lema 3.8.5 El conjunto de Cantor, C ⊆ IR, satisface las siguientes propiedades:

i) C + C = [0, 2]

ii) no es numerable.

Dem.

i)

(1)1

2C =

∞∑

i=1

xi

3i: xi = 0 o xi = 1

[L.3.8.3]

(2)1

2C +

1

2C =

∞∑

i=1

xi + x′i3i

: xi = 0 o 1, x′i = 0 o 1

=

∞∑

i=1

yi

3i: yi = 0, 1 o 2

= [0, 1] [(1),L.L.3.8.2]

(3) C + C = [0, 2] [(2)]

ii)

(1) Supongamos que C es numerable [Hip.]

(2) [0, 2] es numerable, lo cual es una contradiccion [(1),i)]

(3) C no es numerable [(1),(2)]

2


Observacion 3.8.2

i) Sea 2 = (A,D) el espacio discreto con dos puntos siendo A = 0, 2. Sean

An =∏

n∈N

A, entonces la familia

B =

U ⊆

∏n∈N

A : U = an1 × ...× ank ×

∏n∈N−n1 ,... ,nk

A, anj ∈ 0, 2, k ∈ IN

es base del espacio producto (An, τπ) (τπ 6= D).

En efecto.

(1) Sean 2 = (A,D) siendo A = 0, 2, An =∏

n∈N

A, y τπ la

topologıa producto [Hip.]

(2) Sea U ∈ Bπ un basico no vacıo de τπ [Hip.]

(3) existen Un1 , Un2 , . . . , Unk∈ D tales que

U = Un1 × Un2 . . .× Unk×

∏n∈N−n1,... ,nk

A = 〈Un1 , Un2 , . . . , Unk〉 [(2)]

(4) D = ∅, 0, 2, 0, 2 [(1)]

(5) Unj = 0 o Unj = 2 para j = 1, ..., k [(3),(4)]

(6) Unj = anj, con anj ∈ 0, 2 para j = 1, ..., k [(5)]

(7) U = an1 × an2 . . .× ank ×

∏n∈N−n1,... ,nk

A

= 〈an1, an2, . . . , ank〉 = 〈an1 , an2, . . . , ank

〉

con anj ∈ 0, 2, j = 1, 2, . . . k [(3),(6)]

(8) Bπ ⊆ B [(2),(7)]

(9) Sea U ∈ B [Hip.]

(10) U = 〈an1, an2 , . . . , ank〉

= an1 × an2 . . .× ank ×

∏n∈N−n1,... ,nk

A

con anj ∈ 0, 2, j = 1, ..., k [(9)]

(11) U ∈ Bπ [(10),(4),L.3.5.2]


(12) B ⊆ Bπ [(9),(11)]

(13) B =

U ⊆

∏n∈N

A : U = an1 × . . .× ank ×

∏n∈N−n1,... ,nk

A,

anj ∈ 0, 2, k ∈ IN

es base de τπ [(8),(12)]

ii) De la observacion anterior resulta que U ∈ B si, y solo si, U = 〈an1 , an2, . . . , ank〉

es un conjunto con k coordenadas fijas siendo k variable.

iii) Sea ϕ :

( ∏n∈N

A, τπ

)→ [0, 1] la funcion definida por ϕ(a) =

∞∑

i=1

ai

3ipara cada

a = [ai]i∈N , ai ∈ 0, 2, entonces Imϕ = C, siendo C el conjunto triadico de

Cantor.

Teorema 3.8.1 Sea C ⊆ IR el conjunto triadico de Cantor, 2 = (A,D) con A = 0, 2

y ϕ :∏

n∈N

A → [0, 1] definida por ϕ(a) =∞∑

n=1

an

3npara cada a = [ai]i∈N , ai ∈ 0, 2.

Entonces ϕ es un homeomorfismo sobre C, donde C tiene la topologıa inducida por la

topologıa euclıdea.

Dem.

(1) Sean C ⊆ IR el conjunto triadico de Cantor y τ ε/Cla topologıa

inducida en C por la euclıdea, [Hip.]

(2) 2 = (A,D) con A = 0, 2 y τπ la topologıa del espacio

producto An =∏

n∈N

A [Hip.]

(3) ϕ :∏

n∈N

A→ [0, 1] definida por ϕ(a) =

∞∑

n=1

an

3npara cada

a = [an]n∈N , an = 0 o 2 [Hip.]

(4) ϕ : An → C es biyectiva [(3)]

i) ϕ es continua

(5) Sean a ∈∏

n∈N

A y UC(ϕ(a)) = E(ϕ(a), ε) ∩ C ∈ τε/C[Hip.]


(6) existe n0(ε) tal que para todo n ≥ n0(ε) se verifica que

∣∣∣∣∣∞∑

i=n+1

ai

3i

∣∣∣∣∣ 6

∣∣∣∣∣∞∑

i=n+1

2

3i

∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣∞∑

i=n+1

1

3i

∣∣∣∣∣ < ε [(1),(5)]

(7) Sea U = 〈a1, a2, . . . , aN〉, con N ≥ n0(ε) [Hip.]

(8) U ∈ U(a) [Obs.3.8.2,(7)]

(9) Sea b ∈ U [Hip.]

(10) bj = aj para todo j ∈ 1, . . . , N [(7),(9)]

(11) |ϕ(b)− ϕ(a)| =

∣∣∣∣∣∞∑

i=1

bi3i

−∞∑

i=1

ai

3i

∣∣∣∣∣ [(3)]

=

∣∣∣∣∣∞∑

i=1

bi − ai

3i

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∞∑

i=N+1

bi − ai

3i

∣∣∣∣∣ [(10)]

6

∣∣∣∣∣∞∑

i=N+1

2

3i

∣∣∣∣∣ [(2),(5),(9)]

< ε [(6),(7)]

(12) ϕ(U(a)) ⊆ E(ϕ(a), ε) ∩ C = UC(ϕ(a)) [(2),(5),(9),(11)]

(13) para todo UC(ϕ(a)) existe U(a) tal que ϕ(U(a)) ⊆ UC(ϕ(a)) [(5),(8),(12)]

(14) ϕ es continua [(13)]

ii) ϕ es abierta

(15) Sean a ∈∏

n∈N

A y UB(a) ∈ UB(a), siendo UB(a)

la familia de los entornos basicos de a [Hip.]

(16) UB(a) = 〈ai1 , ai2, . . . , aik〉 =k∏

j=1

aij ×∏

n∈N−n1,... ,nkA [(15),Obs.3.8.2]


(17) Sea N = i1 ∨ i2 ∨ . . . ∨ ik, ε =1

3Ny WC(ϕ(a)) = E

(ϕ(a),

1

3N

)∩ C [(16)]

(18) Sea c ∈ E(ϕ(a), ε) ∩ C [Hip.]

(19) existe b ∈∏

n∈N

A tal que ϕ(b) = c [(4)]

(20) Supongamos que b /∈ 〈ai1, . . . , aik〉

(21) existe j ∈ 1, . . . , k tal que bij 6= aij [(20)]

(22)

∣∣∣∣bij − aij

3ij

∣∣∣∣ =2

3ij[(15),(2),(19),(21)]

(23)

∣∣∣∣bij − aij

3ij

∣∣∣∣−∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

bi − ai

3i

∣∣∣∣∣ 6

∣∣∣∣∣bij − aij

3ij−

∞∑

i=1

bi − ai

3i

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

∞∑

i=1i 6=ij

bi − ai

3i

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∞∑

i=1

bi − ai

3i

∣∣∣∣∣

= |ϕ(b) − ϕ(a)| [(3)]

= |c− ϕ(a)| < 1

3N6 1

3ij[(19),(18),(17)]

(24)2

3ij<

∣∣∣∣∣∞∑

i=1

bi − ai

3i

∣∣∣∣∣+1

3ij<

1

3N+

1

3ij[(17),(18),(22),(23)]

(25)1

3ij<

1

3N, con ij 6 N , absurdo [(17),(21),(24)]

(26) bij = aij para todo j ∈ 1, . . . , k [(21),(25)]

(27) b ∈ 〈ai1, . . . , aik〉 [(26)]

(28) c ∈ ϕ(UB(a)) [(16),(19),(27)]

(29) E(ϕ(a), ε) ∩ C ⊆ ϕ(UB(a)) [(18),(28)]

(30) existe WC(ϕ(a)) = E(ϕ(a), ε) ∩ C ∈ UCB(ϕ(a)) tal que


WC(ϕ(a)) ⊆ ϕ(UB(a)), siendo UCB(ϕ(a)) la familia de

los entornos basicos de ϕ(a) en (C, τ ε/C) . [(17),(29)]

(31) ϕ es abierta [(15),(30)]

2

Teorema 3.8.2 Sean I = [0, 1] ⊆ IR, 2 = (A,D) con A = 0, 2 y ψ :∏

n∈N

A→ [0, 1]

la funcion definida por, ψ(a) =∞∑

n=1

an

2n+1para cada a = [ai]i∈N ∈

∏n∈N

A. Entonces ψ es

una suryeccion continua, donde I tiene la topologıa inducida por la topologıa euclıdea.

Definicion 3.8.3 Sea I = [0, 1] ⊆ IR y sea n ∈ IN, un n−cubo es el conjunto

In =n∏

i=1

I ⊆ Rn.

El cubo de Hilbert es el conjunto I∞ =∞∏i=1

I.

Lema 3.8.6 Para cada k 6 ∞ existe una suryeccion continua del conjunto de cantor

C sobre el k− cubo Ik, con I = [0, 1] ⊆ IR.

Dem.

(1) Sean C el conjunto triadico de Cantor, 2 = (A,D) con

A = 0, 2 y k 6 ∞ [Hip.]

(2) ϕ−1 : C →∏

n∈N

A es un homeomorfismo [(1), T.3.8.1]

(3)∏

n∈N

A ∼=∏

n∈N

A× · · · ×∏

n∈N

A ( k 6 ∞ factores) [T.3.6.3]

(4) existe un homeomorfismo h :∏

n∈N

A→∏

n∈N

A× · · · ×∏

n∈N

A [(3)]

(5) ψ :∏

n∈N

A→ [0, 1] definida por ψ(a) =∞∑

n=1

an

2n+1es

una suryeccion continua [(1),T.3.8.2]

(6) Sea Ψ =k∏

i=1

ψ :∏

n∈N

A× ...×∏

n∈N

A→ Ik la funcion definida


por Ψ(a) = [ψ(ai)]ki para cada a = [ai]

ki ∈

∏n∈N

A× ...×∏

n∈N

A [Hip.]

(7) Ψ :∏

n∈N

A× · · · ×∏

n∈N

A→ Ik es una suryeccion continua

[(5),(6),T.3.6.3]

(8) Ψ h ϕ−1 : C → Ik es una suryeccion continua [(2),(4),(7)]

2

Definicion 3.8.4 Sea (Y, τ ) un espacio topologico, una curva en Y es la imagen f(I)

de una funcion continua f : I → Y , con I = [0, 1] ⊆ IR.

A partir del Lema 3.8.6 se prueba facilmente la existencia de curvas que “cubren”

el espacio, esto es, las curvas de Peano.

Teorema 3.8.3 Sea I = [0, 1] ⊆ IR, entonces para cada k 6 ∞ existe una suryeccion

continua I → Ik (esto es, una curva que pasa por cada punto de Ik).

Dem.

(1) Sean I = [0, 1] ⊆ IR y C el conjunto triadico de Cantor [Hip.]

(2) existe una suryeccion continua f : C → Ik [(1),L.3.8.6]

(3) Sea pi : Ik → I la funcion proyeccion [Hip.]

(4) pi f : C → I es continua [(2),(3),T.3.6.2]

(5) C ⊂ I [(1)]

(6) Sea fi : I → I una extension continua de pi f ,

definiendo fi lineal sobre cada intervalo omitido [(4),(5)]

(7) Sea F : I → Ik definida por F (t) = [fi(t)]ki=1 [Hip.]

(8) F es continua [(6),(7),C.3.6.1]

(9) F/C = f [(6),(7)]

(10) F es sobreyectiva [(6),(7)]

2


3.9 Practico No 3

1. Sea (Xi, τi)i∈In una familia de espacios topologicos. Pruebe que si Bi base de

τi, para cada i ∈ In, entonces B∗ =

n∏

i=1

Bi : Bi ∈ Bi

es base de τπ.

2. Determine una subbase de la topologıa producto para los espacios topologicos

indicados en cada caso:

(a) X = a, b, c, τX = ∅,X, a, b, c ;

Y = 1, 2, τY = ∅, Y, 1 ;

Z = d, e, f, τZ = ∅, Z, e, e, f .

(b) (Xi, τi)i∈I3una familia de espacios topologicos tales que:

X1 = N, τ1 = N, ∅ ∪ Bnn∈N con Bn = x ∈ N : x 6 n;X2 = Z, τ2 = D;

X3 = 0, 1, τ3 = X3, ∅, 0.

3. Sean A = a, b, B = 1 y C = e subconjuntos de los espacios topologicos del

ejercicio (2.a). Determine una subbase de la topologıa producto para A×B×C.

4. Sean (X, τX) e (Y, τY ) espacios topologicos. Pruebe que I(A×B) = I(A)×I(B),

para todo A ⊆ X y B ⊆ Y .

5. Sea (X, τX) un espacio topologico. Pruebe que ∆ = (x, x) : x ∈ X es abierto

en X ×X si y solo si τX = D.

6. Sean (X, τX), (Y, τY ) y (Z, τZ) espacios topologicos y f : X×Y → Z una funcion

continua en el punto (x1, y1) ∈ X×Y . Pruebe que la funcion g : X → Z definida

por g(x) = f(x, y1) es continua en x1.

7. Sea (Xi, τi)i∈Inuna familia de espacios topologicos y Gi ⊆ Xi, para todo i ∈ In.

Pruebe quen∏

i=1

Gi es ralo si y solo si existe i0 ∈ In: Gi0 es ralo en Xi0 .

8. Sean (Xi, τi) : i ∈ I una familia de espacios topologicos y∏i∈I

Ai ⊆∏i∈I

Xi tales

que Ai = Xi, salvo un numero finito de factores. Pruebe que I

(∏i∈I

Ai

)=

∏i∈I

I (Ai) .

9. Sea f : X → Y una funcion continua y Gf = (x, f(x)) : x ∈ X. Pruebe que

(Gf , τπ/Gf) es homeomorfo a (X, τX).

10. Sea M = (x, y) ∈ R2 : y = x2. Demuestre que (M, τε/M ) es homeomorfo a

(R, τε).

11. Sea (Xi, τi)i∈I3 una familia de espacios topologicos y a2 ∈ X2. Pruebe que

X1 × a2 ×X3 es homeomorfo a X1 ×X3.

12. Sean fi : (Xi, τXi) → (Yi, τYi)i∈I una familia de funciones y F :∏i∈I

Xi →∏i∈I

Yi

dada por F

([ xi]i∈I

)=

[(fi pi)

([ xi]i∈I

)]

i∈I

. Pruebe que:

(a) F es continua si y solo si fi es continua, para cada i ∈ I.

(b) Si F es cerrada, entonces fi es cerrada, para todo i ∈ I.

13. Sean (X, τX ), (Y, τY ) y (Z, τZ) espacios topologicos. Pruebe que si A ∈ τX×Y y

B ∈ τY ×Z , entonces el conjunto

C = (x, z) ∈ X × Z : (x, y) ∈ A e (y, z) ∈ B, para algun y ∈ Y

es abierto en X × Z.

14. Sean (X, τX), (Y, τY ) y (Z, τZ) espacios topologicos. Pruebe que X × (Y × Z) y

(X × Y ) × Z son homeomorfos.

15. Sean (X, τX) e (Y, τY ) espacios topologicos. Pruebe que los espacios X × Y e

Y ×X son homeomorfos.


4 Espacios conexos, arco conexos y localmente co-

nexos

Uno de los fundamentos de la Topologıa es la nocion de continuidad, que habitual-

mente se asocia a la variacion de la posicion de una partıcula en un cierto espacio entre

los instantes t0 y t1. Su formalizacion matematica consiste en una funcion continua del

intervalo [t0, t1] en el espacio considerado. La idea primitiva de que un espacio esta

“fragmentado” la da, la existencia de puntos entre los que no se puede trazar una

trayectoria continua.

Otro modo de detectar los “fragmentos”de un espacio es por medio de los conjuntos

abiertos. Si un espacio X es la union de por lo menos dos abiertos y disjuntos, G y

H, esto indica que los puntos de G estan “totalmente separados”de los de H, y por lo

tanto, intuitivamente, no existe una continuidad entre los puntos de dicho espacio.

4.1 Espacios conexos.

Definicion 4.1.1 Un espacio topologico (X, τ ) es conexo si no se puede expresar como

union de conjuntos abiertos, no vacıos y disjuntos.

Es decir, (X, τ ) es conexo si, y solo si, para todo A, para todo B : X = A∪B, A ∈ τ,

B ∈ τ, A ∩B = ∅, entonces A = ∅ o B = ∅.

En otras palabras, (X, τ ) es conexo si, y solo si, X es union de dos abiertos disjuntos,

entonces necesariamente uno de los conjuntos debe ser vacıo.

Definicion 4.1.2 Un espacio topologico (X, τ ) es disconexo si no es conexo.

Es decir, (X, τ ) es disconexo si, y solo si, existen A ∈ τ, B ∈ τ tales que X = A∪B,A ∩B = ∅, A 6= ∅ y B 6= ∅.

De este modo, (X, τ ) es disconexo si, y solo si, X se puede expresar como union de dos

abiertos disjuntos no vacıos.

Ejemplo 4.1.1

1. Sea X = 1, 2, 3, 4 y sean τ1 = ∅,X, 1 , 1, 2 , τ2 = ∅,X, 1, 2 , 3, 4 ,entonces (X, τ1) es conexo y (X, τ2) es disconexo.

2. Sea (X,D) un espacio discreto con mas de un punto, entonces (X,D) no es

conexo.

En efecto:


(1) Sea (X,D) tal que |X| > 1

(2) existen x, y ∈ X, x 6= y [(1)]

(3) X = x ∪ (X − x) , x ∈ D,X − x ∈ D [(2)]

(4) x ∩ (X − x) = ∅, x 6= ∅,X − x 6= ∅ [(2)]

(5) (X,D) es disconexo [(3),(4)]

Definicion 4.1.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico, A ⊆ X es conexo en X si lo es

como subespacio de X.

Es decir, A ⊆ X es conexo si, y solo si, para todo U ∈ τA, para todo V ∈ τA : A =

U ∪ V,U ∩ V = ∅, entonces U = ∅ o V = ∅

Lema 4.1.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X, las siguientes condiciones

son equivalentes:

i) A es disconexo

ii) existen U, V abiertos en X, no vacıos, tales que:

a) A ⊆ U ∪ V

b) A ∩ U 6= ∅, A ∩ V 6= ∅

c) U ∩ V ⊆ Ac.

Dem. Sea (X, τ ) un espacio topologico [Hip.]

i) ⇒ ii)

(1) A es disconexo en X [Hip.]

(2) (A, τA) no es conexo [(1)]

(3) existen UA, VA abiertos en A tales que

(4) A = UA ∪ VA,

(5) UA ∩ VA = ∅,

(6) UA 6= ∅ y VA 6= ∅ [(2)]


(7) existen U, V ∈ τ tales que UA = U ∩ A, VA = V ∩A [(3)]

(8) A = (U ∪ V ) ∩A [(4),(7)]

(9) U ∩ V ∩A = ∅ [(5),(7)]

(10) A ∩ U 6= ∅, A ∩ V 6= ∅ [(6),(7)]

(11) existen U, V abiertos en X, no vacıos, tales que A ⊆ U ∪ V,

A ∩ U 6= ∅, A ∩ V 6= ∅ y U ∩ V ⊆ Ac [(7),(8),(9),(10)]

ii) ⇒ i)

(12) existen U ∈ τ, V ∈ τ, no vacıos tales que:

(13) A ⊆ U ∪ V,

(14) A ∩ U 6= ∅, A ∩ V 6= ∅ y

(15) U ∩ V ⊆ Ac [Hip.]

(16) A = (U ∪ V ) ∩A = (U ∩A) ∪ (V ∩ A) [(13)]

(17) U ∩ A = UA ∈ τA, V ∩A = VA ∈ τA [(12)]

(18) U ∩ V ∩A = (U ∩A) ∩ (V ∩ A) = UA ∩ VA = ∅ [(15)]

(19) existen UA, VA abiertos en A tales que A = UA ∪ VA,

UA ∩ VA = ∅, UA 6= ∅ y VA 6= ∅. [(14),(16),(17),(18)]

(20) (A, τA) no es conexo [(19)]

(21) A no es conexo en X [(20)]

2

Corolario 4.1.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X. Si existen dos abiertos

U, V en X, tales que:

a) A ⊆ U ∪ V,

b) A ∩ U 6= ∅, A ∩ V 6= ∅ y


c) U ∩ V = ∅,

entonces A no es conexo.

Ejemplo 4.1.2 En (IR, τε),

1. IQ ⊆ IR no es conexo.

En efecto:

(1) Sea i ∈ II un numero irracional y sean los conjuntos

U = x ∈ IR : x < i y V = x ∈ IR : x > i

que son distintos de vacıos

(2) U ∪ V = (−∞, i) ∪ (i,∞) = IR − i [(1)]

(3) IQ ⊆ U ∪ V [(1),(2)]

(4) IQ ∩ U 6= ∅, IQ ∩ V 6= ∅ [(1)]

(5) U ∈ τε, V ∈ τε [(1)]

(6) V ∩ U = ∅ [(1)]

(7) IQ no es conexo [(1)-(6),C.4.1.1]

2. el conjunto de los numeros irracionales, II ⊆ IR, no es conexo.

Formulaciones equivalentes de espacios conexos

Teorema 4.1.1 Un espacio topologico (X, τX) es conexo si, y solo si, no existen dos

subconjuntos cerrados no vacıos A y B tales que X = A ∪B y A ∩B = ∅.

Definicion 4.1.4 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sean A,B subconjuntos de X, A

y B son conjuntos separados en X si, y solo si, A ∩ B = ∅ y A ∩B = ∅.

Teorema 4.1.2 Un espacio topologico es conexo si, y solo si, no puede expresarse

como union de conjuntos separados no vacıos.

Es decir, (X, τ ) es conexo si, y solo si, para todo A, para todo B : X = A ∪ B, A y

B separados en X, entonces A = ∅ o B = ∅.



(⇒)

(1) existen A, B subconjuntos de X tales que X = A ∪B,

A y B separados en X , A 6= ∅ y B 6= ∅ [Hip.]

(2) A ∩B = ∅ y A ∩B = ∅ [(1)]

(3) A ∩B ⊆ A ∩B [(2)]

(4) A = Bc y B = Ac [(1),(3)]

(5) A ⊆ Bc, entonces A ⊆ A [(2),(4)]

(6) A es cerrado en X [(5)]

(7) B es cerrado en X [(2),(4)]

(8) A y B son abiertos en X [(6),(7),(4)]

(9) existen A, B tales que X = A ∪B, A ∈ τ , B ∈ τ ,

A ∩B = ∅, A 6= ∅ y B 6= ∅ [(1),(3),(8)]

(10) X es disconexo [(9)]

(⇐)

(11) X es disconexo [Hip.]

(12) existen A, B tales que X = A ∪B, A ∈ τ , B ∈ τ ,

A ∩B = ∅, A 6= ∅ y B 6= ∅ [(11)]

(13) A = Bc, B = Ac [(12)]

(14) A y B cerrados en X [(12),(13)]

(15) A ∩B = A ∩B = ∅ y A ∩B = ∅ [(12),(14)]


(16) existen A, B subconjuntos de X tales que X = A ∪B, A y B separados

en X, A 6= ∅ y B 6= ∅ [(12),(15)]

2

Teorema 4.1.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico, las siguientes condiciones son equi-

valentes:

i) X es conexo.

ii) Los unicos conjuntos abiertos y cerrados en X son ∅ y X.

iii) Toda funcion continua de X en un espacio discreto es constante.

iv) Toda funcion continua de X en el espacio discreto 0, 1 es constante, es decir,

toda aplicacion continua de X en el espacio discreto 0, 1 no es sobreyectiva.

v) Si f : X → (IR, τε) es una funcion continua y si a, b ⊆ f (X), entonces [a, b]

es un subconjunto de f (X) (a 6 b) (teorema de Bolzano).


i) ⇒ ii)

(1) existe A ⊂ X tal que A es abierto y cerrado en X,A 6= ∅, A 6= X [Hip.]

(2) X = A ∪ Ac, A ∈ τ, Ac ∈ τ, A ∩Ac = ∅, A 6= ∅, Ac 6= ∅ [(1)]

(3) X no es conexo [(2)]

ii) ⇒ iii)

(4) existe una funcion f : (X, τ ) → (Y,D) continua y no constante [Hip.]

(5) existen x, y ∈ X tales que f (y) = t 6= z = f (x) [(4)]

(6) x ∈ f−1 (z) [(5)]

(7) f−1 (z) es abierto y cerrado en X [(4)]

(8) f−1 (z) 6= X [(5)]

(9) existe A = f−1 (z) abierto y cerrado en X tal que A 6= ∅, A 6= X [(6),(7),(8)]


iii) ⇒ iv)

Se satisface trivialmente

iv) ⇒ v)

(10) Supongamos que existen una funcion continua, f : (X, τ ) → (IR, τε) ,

y dos numeros reales a, b, tales que a < b, a, b ⊆ f (X) y [a, b] 6⊆ f (X) [Hip.]

(11) existe t0 ∈ [a, b] y t0 /∈ f (X) [(10)]

(12) f (X) ⊆ IR − t0 [(11)]

(13) Sea 2 = (0, 1 ,D) y sea g : IR − t0 → 2 definida por

g (x) =

1 si x < t00 si x > t0

(14) g es continua [(13)]

(15) g f : X → 0, 1 es continua [(10),(14),T.2.1.2]

(16) existen x, y ∈ X tales que f (x) = a, f (y) = b [(10)]

(17) f (x) < t0 < f (y) [(16),(10),(11)]

(18) existen x, y ∈ X tales que (g f) (x) = 1 6= 0 = (g f) (y) [(13),(17)]

(19) existe g f : X → 0, 1 continua y no constante [(15),(18)]

v) ⇒ i)

(20) existen A, B ∈ τ tales que X = A ∪ B, A ∩B = ∅, A 6= ∅ y B 6= ∅ [Hip.]

(21) A = Bc [(20)]

(22) A es abierto y cerrado en X [(20),(21)]

(23) La funcion caracterıstica de A, f = χA : X → IR, es continua [(22)]

(24) 0, 1 ⊆ f (X) y [0, 1] 6⊆ f (X) [(23)]

(25) existe f = χA continua tal que 0, 1 ⊆ f (X) y [0, 1] 6⊆ f (X) [(23),(24)]

2


Ejemplo 4.1.3

1. Todo espacio caotico es conexo.

En efecto:

(1) Sea (X, τ0) un espacio caotico [Hip.]

(2) τ0 = ∅,X , τ0−cerr = ∅,X [(1)]

(3) (X, τ0) es conexo [(2),T.4.1.3]

2. El espacio de Sierpinski es conexo.

En efecto:

(1) Sea (X, τS) con X = a, b , τS = ∅,X, a [Hip.]

(2) τS−cerr = ∅,X, b [(1)]

(3) (X, τS) es conexo [(1),(2),T.4.1.3]

3. Sea X un conjunto infinito y sea τC la topologıa cofinita para X, entonces (X, τC)

es conexo.

En efecto:

(1) Sea X un conjunto infinito y sea τC = G ⊆ X : Gc es finito ∪ ∅ [Hip.]

(2) τC−cerr = F ⊆ X : F es finito ∪ X [(1)]

(3) (X, τC) no es conexo, esto es, existe G ⊆ X tal que

G ∈ τC, G ∈ τC−cerr , G 6= ∅, G 6= X [Hip.]

(4) Gc y G son conjuntos finitos [(1),(2),(3)]

(5) X es finito, lo que contradice (1) [(4)]

(6) (X, τC) es un espacio conexo [(3),(5),T.4.1.3]

Teorema 4.1.4 Sea (X, τ ) un espacio topologico, X es conexo si, y solo si, para cada

x, y ∈ X existe un conjunto conexo C tal que x, y ∈ C.


(⇒)



(⇐)

(1) X no es conexo [Hip.]

(2) existen A, B tales que X = A ∪B, A ∈ τ, B ∈ τ,

A ∩B = ∅, A 6= ∅ y B 6= ∅ [(1)]

(3) existen x ∈ A, y ∈ B [(2)]

(4) Sea C un conexo tal que x, y ∈ C [Hip.]

(5) C ⊆ A ∪B [(2)]

(6) C ∩A 6= ∅, C ∩B 6= ∅ [(3),(4)]

(7) C no es conexo, lo que contradice (4) [(2),(5),(6),C.4.1.1]

(8) X es conexo [(1),(7)]

2

Ejercicio 4.1.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sean C ⊆ D ⊆ X, probar que C

es conexo en D si, y solo si, C es conexo en X.

Propiedades de los espacios conexos

Teorema 4.1.5 La imagen por una funcion continua de un espacio conexo es un con-

junto conexo.

Dem.

(1) Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion continua y [Hip.]

(2) sea (X, τX) un espacio conexo [Hip.]

(3) Supongamos que f (X) no es conexo en Y [Hip.]

(4) existe g : f (X) → 2 tal que es continua y es sobreyectiva [(3),T.4.1.3]

(5) f : (X, τX) →(f (X) , τY/f (X)

)es continua [(1),T.2.1.2]

(6) g f : X → 2 es continua y sobreyectiva [(4),(5)]

(7) (X, τX) no es conexo, lo que contradice (2) [(6),T.4.1.3]


(8) f (X) es conexo en Y [(3),(7)]

2

Corolario 4.1.2 La imagen por una funcion continua de un conjunto conexo es un

conjunto conexo.

Dem.


(2) sea A ⊆ X un conjunto conexo en Y [Hip.]

(3) f/A :(A, τX/A

)→ (Y, τY ) es continua [(1),(2),T.2.1.2]

(4)(A, τX/A

)es un espacio conexo [(2)]

(5) f/A (A) = f (A) es conexo en Y [(3),(4),T.4.1.5]

2

Corolario 4.1.3 La conexidad es una propiedad topologica.

Teorema 4.1.6 Sea (X, τ ) un espacio topologico, se satisfacen las siguientes propie-

dades:

i) Si A ⊆ X es conexo en X, entonces A es conexo en X.

ii) Si A ⊆ B ⊆ A y A es conexo en X, entonces B es conexo en X.


i)

(1) Sea A ⊆ X conexo en X [Hip.]

(2) Sea f : A→ 2 una funcion continua, siendo 2= (a, b ,D) [Hip.]

(3) A ⊆ A [L.1.3.3]

(4) f/A : A→ 2 es continua [(2),T.2.1.2]

(5) f/A no es sobreyectiva [(1),(4),T.4.1.3]


(6) f/A (A) = f (A) = a [(5)]

(7) f (A) = a = a = f (A) [(6),(2)]

(8) f(B A

)⊆ f (B) para todo B ⊆ A [(2),T.2.1.1]

(9) f(AA

)⊆ f (A) [(3),(8)]

(10) AA = A ∩ A = A [T.1.5.1]

(11) f(A)⊆ f (A) = f (A) [(9),(10),(7)]

(12) f (A) ⊆ f(A)

[(3)]

(13) f(A)

= f (A) = a [(11),(12),(7)]

(14) f no es sobreyectiva [(13)]

(15) A es conexo en X [(2),(14),T.4.1.3]

ii)

(16) Sean A y B subconjuntos de X tales que A ⊆ B ⊆ A y

(17) A es conexo en X [Hip.]

(18) A ⊆ B ⊆ X [(16)]

(19) A es conexo en B [(17),(18),T.1.5.3]

(20) AB es conexo en B [(19),T.4.1.6]

(21) AB = A ∩B = B [T.1.5.1,(16)]

(22) B es conexo en B [(20),(21)]

(23)(B, τ/B

)es conexo [(22)]

(24) B es conexo en X [(23)]

2

Teorema 4.1.7 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea Aii∈I una familia de subcon-

juntos de X tal que:

i) Ai es conexo en X para cada i ∈ I,


ii) Ai ∩ Aj 6= ∅ para todo i, j ∈ I,

entonces⋃i∈I

Ai es conexo en X.


(1) Sea Aii∈I ⊆ P (X) tal que Ai es conexo en X para cada i ∈ I y [Hip.]

(2) Ai ∩ Aj 6= ∅ para todo i, j ∈ I [Hip.]

(3) Sea f :⋃i∈I

Ai → 2 , 2= (a, b ,D) una funcion continua y

sean x, y ∈⋃i∈I

Ai [hip]

(4) existen i, j ∈ I tales que x ∈ Ai, y ∈ Aj [(3)]

(5) Ai ∩ Aj 6= ∅ [(2),(4)]

(6) existe z ∈ Ai ∩Aj, esto es, z ∈ Ai y z ∈ Aj [(5)]

(7) f/Ai : Ai → 2 y f/Aj : Aj → 2 son funciones continuas [(2),T.2.1.2]

(8) f/Ai y f/Aj no son sobreyectivas [(1),(7),T.4.1.3]

(9) f/Ai (Ai) = f (Ai) = a [(7),(8)]

(10) f (z) = a [(6),(9)]

(11) f/Aj (Aj) = f (Aj) = a [(10),(6),(8)]

(12) f (x) = f (y) = f (z) = a [(4),(9),(10),(11)]

(13) f es una funcion constante [(12)]

(14)⋃i∈I

Ai es conexo [(3),(13),T.4.1.3]

2

Corolario 4.1.4 Sea (X, τ ) un espacio topologico, entonces la union arbitraria de sub-

conjuntos conexos en X, que tienen interseccion no vacıa, es conexo en X.


Esto es, si Aii∈I ⊆ P (X) es tal que:

i) Ai es conexo en X para cada i ∈ I,

ii)⋂i∈I

Ai 6= ∅,

entonces⋃i∈I

Ai es conexo en X.

Dem.

(1) Sea Aii∈I ⊆ P (X) tal que Ai es conexo en X para cada i ∈ I, [Hip.]

(2)⋂i∈I

Ai 6= ∅ [Hip.]

(3)⋂i∈I

Ai ⊆ Ai ∩ Aj para todo i, j ∈ I

(4) Ai ∩ Aj 6= ∅ para todo i, j ∈ I [(2),(3)]

(5)⋃i∈I

Ai es conexo en X. [(1),(4),T.4.1.7]

2

Ejemplo 4.1.4 Sea(IR2, τε

)y sea An =

(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 6 1, y =

x

n

para cada

n ∈ IN, es decir, An es una cuerda del cırculo unidad de pendientey

x=

1

n.

La representacion grafica de algunas de las cuerdas An se muestra en la figura 1.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

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........................................................................................................................................................................................

.......................

.................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

figura 1

A1

A2

A3

....................................................................................................................................................................................................................

...............................

..............................

...............................

..............................

...............................

..............................

...............................

.............................................

...............................................

..............................................

...............................................

...........................


Si B =⋃

n∈N

An ∪(

1

2, 0

),

(1

4, 0

), entonces B es conexo en IR2.

En efecto:

(1) An es conexo en IR2 para todo n ∈ IN

(2)⋂

n∈N

An = (0, 0) 6= ∅

(3) A =⋃

n∈N

An es conexo en IR2 [(1),(2),C.4.1.4]

(4) A =(x, 0) ∈ IR2 : −1 6 x 6 1

∪A

(5) A ⊆ B ⊆ A y A es conexo en IR2 [(3),(4)]

(6) B es conexo en IR2 [(5),T.4.1.6]

En general, la interseccion de conjuntos conexos no es un conexo como se muestra

en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.1.5

1. Sea(IR2, τε

)y sean las rectas R1, R2 y R3 indicadas en la figura 2.

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

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.................

................R1

R2 R3

p q

r

figura 2

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Los conjuntos A = R1 ∪ R2 y R3 son conjuntos conexos en IR2 y, sin embargo,

A ∩ R3 no lo es.

En efecto:

(1) R1, R2 y R3 son conjuntos conexos en IR2


(2) R1 ∩ R2 = p 6= ∅

(3) A = R1 ∪ R2 es un conexo en IR2 [(1),(2),C.4.1.4]

(4) A ∩R3 = r, q

(5) Sean ε =d (q, r)

2, E (r, ε) y E (q, ε)

(6) E (r, ε) ∈ τε y E (q, ε) ∈ τε

(7) E (r, ε) ∩ E (q, ε) = ∅

(8) A ∩R3 ⊆ E (r, ε) ∪ E (q, ε) [(4)]

(9) r, q ∩ E (q, ε) = q 6= ∅, r, q ∩ E (r, ε) = r 6= ∅

(10) A ∩R3 no es conexo en IR2 [(4),(6),(8),(9),C.4.1.1]

2. Sea (X, τ ) un espacio topologico, si Aini=1 ⊆ P (X) es una familia finita de

conjuntos conexos en X tales que Ai ⊆ Ai+1 para todo i = 1, ..., n (o Ai+1 ⊆ Ai

para todo i = 1, ..., n), entoncesn⋂

i=1

Ai es un conexo en X.

3. Sea (X, τ ) un espacio topologico, si Aii∈N ⊆ P (X) es una sucesion decreciente

de conjuntos conexos en X, entonces puede suceder que⋂

i∈N

Ai no sea conexo en

X, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Sea X = [0, 1]×[0, 1]−

(x, 0) :1

36 x 6

2

3

⊆ IR2 y sea τX la topologıa inducida

en X por la topologıa euclıdea en IR2.

Si Ann∈N ⊆ P (X) es tal que An =

(x, y) ∈ X : y 6

1

n

⊆ X, entonces An

es conexo en X, para todo n ∈ IN y⋂

n∈N

An no es conexo en X.

En efecto:

La representacion grafica del conjunto X y de algunos de los conjuntos An, n ∈ IN,

se muestra en la figura 3:


...................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

figura 3

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...................

................

13

23

1213

13

23

) )( (

X

1

1

1

1A1

A2

A3........................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................

........

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.................................................................................................................................. .................................................................................................................................

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...................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

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...................

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............. ........ ............. ..................

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(1)⋂

n∈N

An =

(x, 0) ∈ X : 0 6 x <

1

3

∪

(x, 0) ∈ X :2

3< x 6 1

(2) Sean U =

(x, y) ∈ IR2 : x <

1

3

y V =

(x, y) ∈ IR2 : x >

2

3

(3) U ∈ τε, V ∈ τε

(4)⋂

n∈N

An ⊆ U ∪ V [(1),(2)]

(5)⋂

n∈N

An ∩ U =

(x, 0) : 0 6 x <

1

3

6= ∅ [(1),(2)]

(6)⋂

n∈N

An ∩ V =

(x, 0) :

2

3< x 6 1

6= ∅ [(1),(2)]

(7) U ∩ V = ∅ [(2)]

.................................................................................................................................................................................................. ................

IR

IR

........

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.................

................

13

23

13

23

) ( ][1

figura 4

⋂n∈N

An

U V

.................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................ .................................... .................................................................................................................................................................................................. ................

IR

IR

........

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(8)⋂

n∈N

An no es conexo en IR2 [(3),(4),(5),(6),(7),C.4.1.1]


(9)⋂

n∈N

An ⊆ X ⊆ IR2 [(1)]

(10)⋂

n∈N

An no es conexo en X [(8),(9)]

4.2 Conjuntos conexos en el espacio euclıdeo

Teorema 4.2.1 La recta real es un espacio conexo, es decir, el espacio topologico

(IR, τε) es un espacio conexo.

Dem.

(1) (IR, τε) no es conexo [Hip.]

(2) existe A ⊆ IR tal que A es abierto y cerrado en IR y

(3) A 6= ∅, A 6= IR [(1),T.4.1.3]

(4) Ac 6= ∅ [(3)]

(5) existen p0, q0 ∈ IR tales que q0 ∈ A, p0 ∈ Ac [(3),(4)]

(6) p0 < q0 o q0 < p0 [(5)]

Primer caso.

(7) p0 < q0

(8) Sea M = q ∈ IR : q ∈ A y p0 < q ⊆ IR

(9) q0 ∈M [(5),(7),(8)]

(10) M 6= ∅ [(9)]

(11) p0 < q para todo q ∈M [(8)]

(12) M esta acotado inferiormente [(11)]

(13) existe r0 = ınf M [(10),(12),(8)]

(14) Sea U ∈ U (r0)

(15) existe (a, b) tal que r0 ∈ (a, b) ⊆ U (r0) [(14)]

(16) a < r0 < b [(15)]


(17) existe q ∈M : r0 < q < b [(13),(16)]

(18) q ∈ A y q ∈ (a, b) [(16),(17),(8)]

(19) A ∩ (a, b) 6= ∅ [(18)]

(20) U (r0) ∩ A 6= ∅ [(15),(19)]

(21) U (r0) ∩ A 6= ∅ para todo U (r0) ∈ U (r0) [(14),(20)]

(22) r0 ∈ A [(21)]

(23) r0 ∈ A [(2),(22)]

(24) existe (c, d) ∈ B tal que r0 ∈ (c, d) ⊆ A [(23),(2)]

(25) (c, r0) ⊆ A [(24)]

(26) Sea q ∈ (c, r0) , esto es, c < q < r0 = ınf M

(27) q /∈M [(26)]

(28) q ∈ A [(25),(26)]

(29) q 6 p0 [(27),(28)]

(30) q 6 p0 para todo q ∈ (c, r0) [(26),(29)]

(31) p0 es cota superior del conjunto (c, r0) , siendo r0 =sup (c, r0) [(30)]

(32) r0 6 p0 [(31)]

(33) p0 6 r0 [(11),(13)]

(34) p0 = r0 ∈ A ∩Ac, contradiccion [(32),(33),(5),(23)]

Segundo caso.

(35) q0 < p0

(36) q0 ∈ A ∩Ac, contradiccion [(35)]

(37) (IR, τε) es un espacio conexo [(1),(34),(36)]

2

Observacion 4.2.1 Sea A ⊆ IR, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A es un intervalo


2. Para todo x, y ∈ A se verifica que [x, y] ⊆ A.

3. Para todo x, y, z tales que si x, y ∈ A y x < z < y, entonces z ∈ A.

Teorema 4.2.2 Un subconjunto A del espacio euclıdeo (IR, τε), con mas de un punto,

es conexo si, y solo si, A es un intervalo en IR.

Dem. Sea (IR, τε) y sea A ⊆ IR tal que A tiene mas de un punto (|A| > 1) [Hip.]

(⇒)

(1) A ⊆ IR es conexo [Hip.]

(2) Sean a, b ∈ A tales que a < b [Hip.]

(3) La funcion inclusion i : A→ (IR, τε), es una aplicacion continua [L.2.1.3]

(4) i (A) = A [(3)]

(5) a, b ⊆ i (A) [(2),(4)]

(6) [a, b] ⊆ i (A) [(1),(3),(5),T.4.1.3]

(7) A es un intervalo en IR [(2),(4),(6),Obs.4.2.1]

(⇐)

(8) Sea A ⊆ IR un intervalo [Hip.]

Primer caso. A = (a, b)

(9) (a, b) ' (−1, 1)

(10) IR ' (−1, 1) [Ej.2.3.1]

(11) (IR, τε) es conexo [T.4.2.1]

(12) (−1, 1) es conexo [(11),(12),C.4.1.3]

(13) A = (a, b) es conexo [(10),(13),C.4.1.3]

Segundo caso. A = [a, b]

(14) A = (a, b) = [a, b]

(15) A = [a, b] es conexo [(14),(13),T.4.1.6]


Tercer caso. A = [a, b)

(16) (a, b) ⊆ [a, b) ⊆ (a, b)

(17) A = [a, b) es conexo [(13),(16),T.4.1.6]

Cuarto caso. A = (a, b]

(18) A = (a, b] es conexo [(13),T.4.1.6]

Quinto caso. A = (a,∞) o (A = (−∞, a))

(19) A = (a,∞) ' (0,∞)

(20) La funcion ϕ : IR → (0,∞) definida por ϕ (x) = ex es

un homeomorfismo

(21) (0,∞) es conexo [(20),(11),C.4.1.3]

(22) A = (a,∞) es conexo en IR [(19),(21),C.4.1.3]

Sexto caso. A = [a,∞) o (A = (−∞, a])

(23) A = [a,∞) = (a,∞)

(24) A = [a,∞) es conexo en IR [(23),(22),T.4.1.6]

(25) Cualquier intervalo en IR es conexo [(13),(15),(18),(17),(22),(24)]

2

Ejemplo 4.2.1

1. Sea(IR2, τε

)y sea A =

(x, y) : y = sen

1

x, x ∈ (0, 1]

(sinusoide topologica),

entonces A es conexo en IR2.


En efecto:

(1) Sean f : (0, 1] → IR2, f1 : (0, 1] → IR y f2 : (0, 1] → IR

las funciones definidas por f(x) =

(x, sen

1

x

), f1(x) = x

y f2 (x) = sen1

x(2) f1, f2 son funciones continuas [(1)]

(3) f es continua [(1),(2),C.3.3.1]

(4) (0, 1] es conexo en IR [T.4.2.2]

(5) A = f ((0, 1]) es conexo en IR2 [(3),(4),T.4.1.5]

(6) A = A ∪(0, y) ∈ IR2 : −1 6 y 6 1

es conexo en IR2 [(5),T.4.1.6]

2. Sea(IR2, τε

)y sea A =

(x, y) : y = cos

π

x, x ∈ (0, 1]

, entonces A es conexo en

IR2.

En efecto:

(1) Sea f : (0, 1] → IR la funcion definida por f(x) = cosπ

x(2) (0, 1] ⊆ IR es conexo [T.4.2.2]

(3) f es continua [(1)]

(4) A =graf(f) ⊆ (0, 1] × IR es conexo [(2),(3)]

3. Sea(IR2, τε

), sean m, b ∈ IR y sea A =

(x, y) ∈ IR2 : y = m · x+ b

, entonces A

es conexo en IR2.

En efecto:

(1) Sea f : IR → IR la funcion definida por f(x) = m x+ b.

(2) IR es conexo [T.4.2.1]

(3) f es continua [T.2.1.4]

(4) A =graf (f) ⊆ IR2 es conexo en IR2 [(2),(3)]


Propiedades de las funciones reales continuas definidas sobreun conjunto conexo

El siguiente resultado conocido como teorema de Bolzano o del valor intermedio es

una consecuencia directa del teorema 4.1.3.

Teorema 4.2.3 Toda funcion real continua definida sobre un espacio conexo toma

todos los valores intermedios entre otros dos para los cuales esta definida.

Esto es, si X es conexo, f : X → (IR, τε) es continua y f (a) < y < f (b) con a, b ∈ X,

entonces existe x0 ∈ X tal que f (x0) = y.

De los teoremas 4.2.1 y 4.2.3 resulta que toda funcion continua f : (IR, τε) → (IR, τε)

toma todos los valores intermedios entre otros dos para los cuales esta definida.

Corolario 4.2.1 (Teorema de Bolzano o del cambio de signo.)

Sean (X, τX) un espacio topologico conexo y f : X → (IR, τε) una funcion continua, si

f (a) y f (b) difieren en el signo, entonces existe x ∈ X donde la funcion se anula.

Dem.

(1) Sea (X, τX) un espacio topologico conexo, [Hip.]

(2) sea f : X → (IR, τε) una funcion continua y [Hip.]

(3) sean a, b ∈ X tales que f (a) , f (b) difieren en signo [Hip.]

(4) f (a) < 0 < f (b) o f (b) < 0 < f (a) [(3)]

(5) existe x0 ∈ X tal que f (x0) = 0 [(1),(2),(4),T.4.2.3]

2

El corolario 4.2.1 tambien es valido para toda funcion continua f : IR → IR, siendo

(IR, τε) el espacio euclıdeo.

4.3 Producto de espacios topologicos conexos

Lema 4.3.1 Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos conexos y sea

yo = [yoα]α∈A ∈

∏α∈A

Yα un punto fijo del espacio producto, entonces para cada x ∈∏

α∈AYα

que difiere en un numero finito de coordenadas con yo existe un conexo C (x, yo) que

los contiene.


Dem.

(1) Sea (Yα, τα) conexo para cada α ∈ A y

(2) sea yo = [yoα]α∈A ∈

∏α∈A

Yα un punto fijo del espacio producto [Hip.]

La demostracion de la propiedad:

“Si x ∈∏

α∈AYα difiere en n coordenadas con yo, entonces existe un conexo C (x, yo)

que los contiene ”

se hace por induccion sobre n

i)

(3) Sea x ∈∏

α∈AYα que difiere en 1 coordenada con yo [Hip.]

(4) existe α1 ∈ A, xα1 6= yoα1

y xα = yoα para todo α 6= α1 [(3)]

(5) x ∈ S (yo, α1) = Yα1 ×∏

β 6=α1

yo

β

[(4)]

(6) S (yo, α1) ' Yα1 [T.3.7.1]

(7) S (yo, α1) es conexo [(1),(6),C.4.1.3]

(8) existe un conexo C (x, yo) = S (yo, α1) tal que x, yo ∈ C (x, yo) [(4),(7)]

ii) Hipotesis inductiva

(9) Si x ∈∏

α∈AYα difiere en n− 1 coordenadas con yo, entonces

existe un conexo C (x, yo) que los contiene

iii)

(10) Sea x ∈∏

α∈AYα tal que difiere en n coordenadas con yo [Hip.]

(11) existen α1, α2, ..., αn ∈ A, xαi 6= yoαi

para i = 1, ..., n y


xα = yoα para todo α 6= αi, i = 1, ..., n [(10)]

(12) Sea z ∈∏

α∈AYα tal que zα1 = yo

α1y zα = xα para todo α 6= α1

(13) zα1 6= xα1 [(12),(11)]

(14) z y x difieren en una coordenada [(12),(13)]

(15) existe un conexo C (x, z) que contiene a z y a x [(14),i)]

(16) zαi 6= yoαi

para i = 2, ..., n y zα = yoα para todo α 6= αi, i = 2, ..., n [(11),(12)]

(17) z e yo difieren en n− 1 coordenadas [(16)]

(18) existe un conexo C (z, yo) que contiene a z y a yo [(17),(9)]

(19) Sea C (x, yo) = C (x, z) ∪ C (z, yo)

(20) C (x, z) ∩ C (z, yo) 6= ∅ [(15),(18)]

(21) C (x, yo) es un conexo que contiene a x y a yo [(15),(18),(19),(20),C.4.1.4]

(22) Si x ∈∏

α∈AYα difiere en n coordenadas con yo, entonces

existe un conexo C (x, yo) que los contiene [i),ii),iii)]

2

Teorema 4.3.1 Si (Yα, τα)α∈A es una familia de espacios topologicos, entonces el

espacio producto

( ∏α∈A

Yα, τπ

)es conexo si, y solo si, (Yα, τα) es conexo para cada

α ∈ A.

Dem. Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos [Hip.]

(⇒)

(1)∏

α∈AYα es conexo [Hip.]

(2) pα :∏

α∈AYα → Yα es continua y sobreyectiva [T.3.6.1]

(3) Yα es conexo para todo α ∈ A [(1),(2),C.4.1.2]


(⇐)

(4) Yα es conexo para todo α ∈ A [Hip.]

(5) Sea yo = [yoα]α∈A ∈

∏α∈A

Yα un punto fijo del espacio producto y

D =

x ∈

∏α∈A

Yα : x e yo difieren en un numero finito de coordenadas

[Hip.]

(6) Para cada x ∈ D existe un conexo C (x, yo) tal que x, yo ∈ C (x, yo)

[(5),L.4.3.1]

(7) D ⊆⋃

x∈D

C (x, yo) [(6)]

(8) D =∏

α∈AYα [(5),T.3.5.1]

(9)⋃

x∈D

C (x, yo) =∏

α∈AYα [(7),(8)]

(10)⋂

x∈D

C (x, yo) 6= ∅ [(6)]

(11)⋃

x∈D

C (x, yo) es un conjunto conexo [(6),(10),C.4.1.4]

(12)∏

α∈AYα es conexo [(9),(11),T.4.1.6]

2

Ejemplo 4.3.1

1. IR × IQ con la topologıa inducida de(IR2, τε

)no es conexo.

2. Los conjuntos:

A = [−3, 5] × (2, 4],

B =

(x, y) : (2 6 y 6 4 y − 3 6 x 6 4) o

(−1 6 y 6 2 y − 3 6 x < −1

2

),

son conexos en IR2

La representacion grafica de los conjuntos A y B se muestra en la figura 5.


.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

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.................

................

−3

2

4

5 −3−1

4

4

2

figura 5

A B.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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..................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................

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........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

IR

IR

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Corolario 4.3.1 Sea (IR, τε) el espacio euclıdeo, entonces IRn con la topologıa producto

es conexo.

Teorema 4.3.2 Sea n > 1 y sea B ⊆ IRn un conjunto a lo sumo numerable, entonces

IRn −B es conexo.

Dem.

(1) Sean n > 1, B ⊆ IRn un conjunto a lo sumo numerable, [Hip.]

(2) sea p0 = [y0i ]

ni=1 ∈ IRn −B un punto fijo y x ∈ IRn −B [Hip.]

(3) Sea pox = y ∈ IRn : y = p0 + λ pox, 0 6 λ 6 1

= (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn : yi = y0i + λ (y0

i − xi) , i = 1, ..., n; 0 6 λ 6 1,

el segmento que une los puntos p0 y x

(4) Sea L un segmento de longitud finita que interseca al segmento

pox en un punto p 6= x

(5) Sea z = [zi]ni=1 ∈ L un punto de L y sean los conjuntos:

poz = (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn : yi = y0i + λ (zi − y0

i ) , i = 1, ..., n; 0 6 λ 6 1

zx = (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn : yi = zi + λ (xi − zi) , i = 1, ..., n; 0 6 λ 6 1

(6) Sean f : [0, 1] → IRn, fi : [0, 1] → IR, i = 1, ..., n las funciones definidas por:


f (λ) = (f1 (λ) , f2 (λ) , ..., fn (λ)),

fi (λ) = y0i + λ (zi − y0

i ) para i = 1, ..., n

(7) fi es continua para i = 1, ..., n [(6),T.2.1.4]

(8) f es continua [(6),(7),C.4.1.4]

(9) f ([0, 1]) = p0z [(5),(6)]

(10) p0z y zx son conexos en IR2 [(8),(9),T.4.1.5,T.4.2.2]

(11) Sea lz = p0z ∪ zx ⊆ IRn

(12) lz ⊆ IRn es un conjunto conexo que contiene a los

puntos p0 y x [(10),(11),C.4.1.4]

(13) Supongamos que lz 6⊆ IRn −B para todo z ∈ L [hip]

(14) lz ∩B 6= ∅ para todo z ∈ L [(13)]

(15) Sean z1, z2 ∈ L con z1 6= z2, A1 = lz1 ∩ B 6= ∅ y A2 = lz2 ∩ B 6= ∅ [(14)]

(16) lz1 ∩ lz2 = p0, x si z1 6= z2 [(11)]

(17) A1 ∩ A2 = (lz1 ∩ lz2) ∩B = p0, x ∩B = ∅ [(16),(15),(2)]

(18) A1 ⊆ B,A2 ⊆ B [(15)]

(19) existen bz1 ∈ A1, bz2 ∈ A2 y bz1 6= bz2 [(15),(17)]

(20) existen bz1 ∈ B, bz2 ∈ B y bz1 6= bz2 [(18),(19)]

(21) Si z1, z2 ∈ L, z1 6= z2, entonces existen bz1 ∈ B,

bz2 ∈ B y bz1 6= bz2 [(15),(20)]

(22) B tiene, por lo menos, tantos puntos como tiene el segmento L [(21)]

(23) L no es numerable [(4)]

(24) B no es numerable, lo que contradice (1) [(22),(23)]

(25) existe z ∈ L tal que lz ⊆ IRn −B [(14),(24)]


(26) Para cada x, p0 ∈ IRn −B existe un conjunto conexo

lz ⊆ IRn −B tal que x, p0 ∈ lz [(2),(12),(25)]

(27) IRn −B es un conjunto conexo en IRn [(26),T.4.1.4]

2

Corolario 4.3.2 Si n > 1, entonces IR y IRn no son homeomorfos.

Dem.

(1) Sea n > 1 y supongamos que IR ' IRn [Hip.]

(2) existe h : IRn → IR homeomorfismo [(1)]

(3) Sea p0 ∈ IRn

(4) IRn − p0 es conexo en IRn [T.4.3.2]

(5) h (IRn − p0) es conexo en IR [(3),(2),C.4.1.2]

(6) h (IRn − p0) = h (IRn) − h (p0) = IR − y0 [(2)]

(7) IR − y0 es conexo en IR lo que contradice el teorema 4.2.2 [(5),(6)]

(8) IR no es homeomorfo a IRn [(1),(7)]

2

Ejemplo 4.3.2

1. Si n ≥ 2, entonces IRn −0

es un subconjunto conexo de (IRn, τε) .

2. Si n ≥ 1, entonces el conjunto Sn =

(x1, x2, ..., xn+1) ∈ IRn+1 :

n+1∑i=1

x2i = 1

es

conexo en(IRn+1, τε

).

En efecto:

(1) Sea f : IRn+1 −0→ Sn la funcion definida por

f (x) =x

|x| , donde |x|2 =n+1∑i=1

x2i

(2) f es una funcion continua y sobreyectiva [(1)]

(3) Sn es conexo en IRn+1 [(1),(2),Ej.4.3.2,T.4.1.5]


4.4 Componentes conexas

Lema 4.4.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea ∼ la relacion definida por x ∼ y

si, y solo si, existe un conjunto conexo B ⊆ X tal que x, y ∈ B, entonces ∼ es una

relacion de equivalencia en X.

Definicion 4.4.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea x ∈ X, la clase de equivalencia

de x por la relacion ∼ es la componente conexa de x.

Con C(x) se denota a la componente conexa de x ∈ X.

Observacion 4.4.1 De la definicion 4.4.1 y del teorema 4.1.4 resultan inmediatas las

siguientes propiedades de las componentes conexas:

1. x ∈ C(x), luego, C(x) 6= ∅ para todo x ∈ X

2. la componente conexa de x es un conjunto conexo,

3. la familia de las componentes conexas determinan una particion del espacio.

Lema 4.4.2 Sea (X, τ ) un espacio topologico, se satisfacen las siguientes propiedades:

i) La componente conexa de un punto x ∈ X es el mayor subconjunto conexo de X

(en el sentido de la inclusion) que contiene a x.

ii) Todo conjunto conexo esta contenido en una unica componente conexa.

iii) X es conexo si, y solo si, tiene una sola componente conexa.

Dem.

i)

(1) Sea x ∈ X y sea C(x) la componente conexa de x [Hip.]

(2) x ∈ C(x) [Obs.4.4.1]

(3) C(x) es un conjunto conexo en X [Obs.4.4.1]

− Si C ⊆ X es un conjunto conexo tal que x ∈ C, entonces C ⊆ C(x)

(4) Sea C ⊆ X un conjunto conexo tal que x ∈ C y

(5) Sea y ∈ C [Hip.]


(6) x ∼ y [(4),(5)]

(7) y ∈ C(x) [(6)]

(8) C ⊆ C(x) [(4),(7)]

(9) C(x) es el mayor subconjunto conexo que contiene a x [(2),(3),(4),(8)]

ii)

(10) Sea A ⊆ X un conjunto conexo y sea x ∈ A [Hip.]

(11) A ⊆ C(x) [(10),L.4.4.2]

(12) A esta contenido en una unica componente conexa [(11),Obs.4.4.1]

iii) Resulta inmediato de (9) y de la observacion 4.4.1.

2

Ejercicio 4.4.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico, probar que la componente conexa de

un punto x ∈ X es el conjunto C(x) =⋃

B : x ∈ B y B es conexo

Lema 4.4.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea C(x) la componente conexa de

x ∈ X, entonces C(x) es un conjunto conexo maximal en X.

Dem.

(1) Sea C(x) la componente conexa de x ∈ X y [Hip.]

(2) sea A ⊆ X un conjunto conexo tal que C(x) ⊆ A ⊆ X [Hip.]

Primer caso.

(3) X es conexo

(4) C(x) = A = X [(2),(3),L.4.4.2]

Segundo caso.

(5) X no es conexo

(6) x ∈ A [(2)]

(7) A ⊆ C(x) [(2),(6),L.4.4.2]


(8) A = C(x) [(7),(2)]

(9) C(x) es un conjunto conexo maximal en X. [(2),(4),(8)]

2

Ejemplo 4.4.1

1. Sea (IR, τε) y sea ZZ ⊆ IR el conjunto de los numeros enteros, entonces en (ZZ, τZ)

se verifica que C(x) = x para todo x ∈ ZZ.

En efecto:

(1) Supongamos que existe z ∈ ZZ tal que C(z) 6= z [Hip.]

(2) existe y ∈ ZZ tal que y 6= z e y ∈ C(z) [(1)]

(3) y < z o z < y [(2)]

(4) existe q ∈ IQ− ZZ tal que y < q < z ( o z < q < y ) [(3)]

(5) Sean U = (−∞, q) ⊆ IR y V = (q,∞) ⊆ IR

(6) U 6= ∅, V 6= ∅, U, V ∈ τε [(4),(5)]

(7) U ∪ V = IR − q [(5)]

(8) C(z) ⊆ U ∪ V [(4),(7)]

(9) C(z) ∩ V 6= ∅,C(z) ∩ U 6= ∅ [(2),(4),(5)]

(10) C(z) no es un conjunto conexo en Z [(5),(6),(8),(9),C.4.1.1]

(11) C(z) = z para todo z ∈ Z [(1),(10)]

2. Sea (X,D) un espacio discreto, entonces C(x) = x para todo x ∈ X.

3. Sea(IR2, τε

), sean An las cuerdas consideradas en el ejemplo 4.1.4 y sea

B =⋃

n∈N

An ∪(

1

2, 0

),

(1

4, 0

), entonces:

a) C(x) = B para todo x ∈ B

b) El conjunto Y = B − (0, 0) no es conexo en IR2.

c) Las componentes conexas del conjunto Y son:


C(x) =

An ∩ (IR+ × IR+) si x = (x1, x2) ∈ An ∩ (IR+ × IR+)

An ∩ (IR− × IR−) si x = (x1, x2) ∈ An ∩ (IR− × IR−)(

1

2, 0

)si x =

(1

2, 0

)

(1

4, 0

)si x =

(1

4, 0

)

Los dos primeros ejemplos de 4.4.1 sugieren la siguiente definicion:

Definicion 4.4.2 Un espacio topologico es totalmente disconexo si cada componente

conexa es un conjunto unitario.

Es decir, (X, τ ) es totalmente disconexo si, y solo si, C(x) = x para todo x ∈ X.

Ejemplo 4.4.2

1. Todo espacio discreto con mas de un punto es totalmente disconexo.

2. En (IR, τε) , los subespacios:

a) (IQ, τQ) ,

b) (ZZ, τZ) ,

c) X =

1

n: n ∈ IN

∪ 0 ,

son totalmente disconexos.

En efecto:

c) Sea x ∈ X, se presentan los siguientes casos:

Primer caso.

(1) x =1

npara algun n ∈ IN

(2) Supongamos que C(x) 6= x [Hip.]

(3) existe y ∈ X tal que y 6= x e y ∈ C(x) [(2)]

(4) y < x o x < y [(3)]

(5) existe r ∈ IR −X tal que y < r < x (o x < r < y ) [(4)]

(6) Sean U = (−∞, r) ⊆ IR y V = (r,∞) ⊆ IR

(7) U 6= ∅, V 6= ∅, U, V ∈ τε [(5),(6)]


(8) U ∪ V = IR − r [(6)]

(9) C(x) ⊆ U ∪ V, U ∩ V = ∅ [(5),(6),(8)]

(10) C(x) ∩ V 6= ∅,C(x) ∩ U 6= ∅ [(3),(5),(6)]

(11) C(x) no es un conjunto conexo en X [(7),(9),(10),C.4.1.1]

(12) C(x) = x =

1

n

para todo n ∈ IN [(2),(11)]

Segundo caso.

(13) x = 0

(14) Supongamos que C(x) 6= x

(15) existe no ∈ IN tal que y =1

no∈ X, y 6= x e y ∈ C(x) [(14)]

(16) Si n 6= 1,

1

n

=

(1

n+ 1,

1

n− 1

)∩X,

(1

n+ 1,1

n

)∈ τε

Si n = 1,

1

n

= 1 =

(1

2,∞)∩X,

(1

2,∞)

∈ τε

(17)

1

n

∈ τε/X

para todo n ∈ IN [(16)]

(18)

1

n

=

1

n

∩X,

1

n

∈ τε−cerr

(19)

1

n

∈ τε/X−cerr [(18)]

(20)

1

no

es abierto y cerrado en C(x) [(15),(17),(19)]

(21) existe un abierto y cerrado en C(x),

1

no

6= ∅,

1

no

6= C(x) [(15),(14),(20)]

(22) C(x) no es conexo en X [(21)]

(23) C(x) = x si x = 0 [(14),(22)]

Los ejemplos a) y c) muestran espacios totalmente disconexos y no discretos.

Lema 4.4.4 En un espacio topologico, las componentes conexas son conjuntos cerra-

dos. Si el numero de componentes conexas es finito, entonces son conjuntos cerrados

y abiertos.


Dem. Sea (X, τ ) un espacio topologico, se presentan los siguientes casos:

Primer caso.

(1) X es conexo.

(2) C(x) = X para todo x ∈ X [(1),L.4.4.2]

(3) C(x) es abierto y cerrado en X para cada x ∈ X [(2)]

Segundo caso.

(4) X no es conexo.

(5) Sea x ∈ X y sea C(x) la componente conexa de x [Hip.]

(6) C(x) es un conjunto conexo [(5),Obs.4.4.1]

(7) C(x) es un conjunto conexo [(6),T.4.1.6]

(8) C(x) ⊆ C(x) ⊆ X [L.1.3.3]

(9) C(x) = C(x) [(4),(7),(8),L.4.4.3]

(10) C(x) es un conjunto cerrado en X para todo x ∈ X [(9),(5)]

(11) Supongamos que existe un numero finito de componentes

conexas en (X, τ ) [Hip.]

(12) C(x) = (⋃

C(y) : y ∈ X, y 6∈ C(x))c

=⋂

(C(y))c : y ∈ X, y 6∈ C(x) [Obs.4.4.1]

(13) C(y) es cerrado para todo y ∈ X [(10)]

(14) (C(y))c es abierto para todo y ∈ X [(13)]

(15) C(x) es abierto, para todo x ∈ X [(11),(12),(14)]

(16) si el numero de componentes conexas es finito, C(x) es

abierto y cerrado en X [(10),(11),(15)]


2

Las componentes conexas no son necesariamente conjuntos abiertos, por ejemplo,

en el subespacio IQ de (IR, τε), la componente conexa de q ∈ IQ es C(q) = q y q no

es abierto en IQ.

Teorema 4.4.1 Si f : (X, τX ) → (Y, τY ) es continua, entonces f (C(x)) ⊆ C(f (x))

para todo x ∈ X

Dem.

(1) Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion continua, sea x ∈ X y [Hip.]

(2) sea C(x) la componente conexa de x [Hip.]

(3) C(x) es un conjunto conexo en X [(2),Obs.4.4.1]

(4) f (C(x)) es un conjunto conexo en Y [(3),C.4.1.2]

(5) f (x) ∈ f (C(x)) [(2),(1)]

(6) f (C(x)) ⊆ C (f (x)) [(5),L.4.4.2]

2

Teorema 4.4.2 El numero de componentes conexas de un espacio topologico se man-

tiene invariante por homeomorfismo.

Esto es, si h : (X, τX) → (Y, τY ) es un homeomorfismo, entonces h induce una corre-

spondencia biunıvoca entre las componentes conexas de X e Y. Ademas,

h (C(x)) = C (h (x)) para todo x ∈ X.

Dem.

(1) Sea h : (X, τX) → (Y, τY ) un homeomorfismo, sea x ∈ X y [Hip.]

(2) sea C(x) la componente conexa de x [Hip.]

(3) h (C(x)) ⊆ C (h (x)) [(1),(2),T.4.4.1]

(4) h−1 : (Y, τY ) → (X, τX ) es una funcion continua [(1)]

(5) h−1 (C(y)) ⊆ C (h−1 (y)) para todo y ∈ Y [(4),T.4.4.1]

(6) h−1 (C(h (x))) ⊆ C (h−1 (h (x))) [(5),(1)]


(7) h−1 (C(h (x))) ⊆ C (x) [(6),(1)]

(8) h (h−1 (C(h (x)))) ⊆ h (C (x)) [(7)]

(9) C(h (x)) ⊆ h (C (x)) [(8),(1)]

(10) C(h (x)) = h (C (x)) [(9),(3)]

(11) Sea H : C(x) : x ∈ X → C (y) : y ∈ Y la funcion definida

por H (C (x)) = C (h (x))

(12) H es una funcion biyectiva [(11)]

(13) X e Y tienen el mismo numero de componentes conexas [(11),(12)]

2

Componentes conexas en relacion con el producto cartesiano

Teorema 4.4.3 Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos y sea

y = [yα]α∈A un punto del espacio producto∏

α∈AYα, entonces la componente conexa

de y es C (y) =∏

α∈AC (yα) siendo C (yα) la componente conexa de yα ∈ Yα.

Dem.

(1) Sea y = [yα]α∈A ∈∏

α∈AYα y sea C (y) la componente conexa de y [Hip.]

(2) Sea K =∏

α∈AC (yα) siendo C (yα) la componente conexa de yα ∈ Yα [Hip.]

(3) C (yα) es conexo en Yα para cada α ∈ A [Obs.4.4.1]

(4) K es conexo [(2),(3),T.4.3.1]

(5) y ∈ K [(2)]

(6) K ⊆ C (y) [(4),(5)]

(7) Sea z = [zα]α∈A ∈ C (y) y sea pβ :∏

α∈AYα → Yβ la β− esima proyeccion [Hip.]

(8) pβ (z) = zβ ∈ pβ (C (y)) [(7)]

(9) C (y) es un conjunto conexo [(1)]


(10) pβ (C (y)) es un conjunto conexo en Yβ [(7),(9),C.4.1.2]

(11) yβ ∈ pβ (C (y)) [(1)]

(12) pβ (C (y)) ⊆ C (yβ) [(10),(11)]

(13) zβ ∈ C (yβ) para cada β ∈ A [(8),(12)]

(14) z ∈ K [(13),(2)]

(15) C (y) ⊆ K [(7),(14)]

(16) C (y) =∏

α∈AC (yα) [(6),(15),(2)]

2

Ejemplo 4.4.3

1. Sean X = 1, 2, 3, 4 , Y = a, b , τX = ∅,X, 1, 2 , 3, 4 , τY = D, entonces

C ((1, a)) = C (1) × C (a) = 1, 2 × a

2. En(IR2, τε

):

a) C ((q, 2)) = C (q)× C (2) = q × 2 para todo (q, 2) ∈ Q× IN

b) C ((x, 2)) = C (x) ×C (2) = IR × 2 para todo (x, 2) ∈ IR × IN

4.5 Conjuntos conexos por arcos o arco-conexos

Definicion 4.5.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico,

1. un arco en X es una funcion continua, f : I → X, donde I es el intervalo [0, 1]

con la topologıa euclıdea.

Los puntos x0 = f (0) , x1 = f (1) son los puntos inicial y final del arco, respecti-

vamente.

El arco f une los puntos x0 y x1.

2. una curva en X es la imagen del conjunto [0, 1] por una funcion continua. Es

decir, si f : [0, 1] → X es un arco, entonces f ([0, 1]) ⊆ X es una curva en X.

De la definicion 4.5.1 resulta que las nociones de arco y curva son diferentes.

Lema 4.5.1 Sea f : [0, 1] → X un arco que une los puntos x0 y x1, entonces la funcion

g : [0, 1] → X definida por g (t) = f (1 − t) es un arco que une x1 con x0.


Dem.

(1) Sea f : [0, 1] → X un arco que une los puntos x0 y x1 y [Hip.]

(2) sea g : [0, 1] → X la funcion definida por g (t) = f (1 − t) [Hip.]

(3) f es una funcion continua [(1)]

(4) f (0) = x0, f (1) = x1 [(1)]

(5) Sea h : [0, 1] → [0, 1] la funcion definida por h (t) = 1 − t

(6) h es una funcion continua [T.2.1.4]

(7) f h : [0, 1] → X es continua [(3),(6),T.2.1.2]

(8) g = f h [(2),(5)]

(9) g (0) = (f h) (0) = f (1) = x1 [(8),(4)]

(10) g (1) = (f h) (1) = f (0) = x0 [(8),(4)]

(11) g es un arco que une los puntos x1 y x0 [(7),(8),(9),(10)]

2

Lema 4.5.2 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea ∼ la relacion definida en X por

x ∼ y si, y solo si, existe un arco que une los puntos x, y, entonces ∼ es una relacion

de equivalencia en X.

Dem.

(1) Sea ∼ la relacion definida en X por “x ∼ y si, y solo si, existe un

arco f : [0, 1] → X tal que f (0) = x, f (1) = y” [Hip.]

i) ∼ es reflexiva

(2) Sea x ∈ X y sea f : [0, 1] → X la funcion definida por

f (t) = x para todo t ∈ [0, 1] [Hip.]

(3) f es continua [(2),Ej.2.1.1]

(4) f (0) = x, f (1) = x [(2)]


(5) x ∼ x para todo x ∈ X [(1),(2),(3),(4)]

ii) ∼ es simetrica

(6) Sean x, y ∈ X tales que x ∼ y [Hip.]

(7) existe un arco f : [0, 1] → X tal que f (0) = x, f (1) = y [(6),(1)]

(8) la funcion g : [0, 1] → X definida por g (t) = f (1 − t)

es un arco que une y con x [(7),L.4.5.1]

(9) y ∼ x [(8),(1)]

iii) ∼ es transitiva

(10) Sean x, y, z ∈ X tales que x ∼ y e y ∼ z [Hip.]

(11) existe un arco f : [0, 1] → X tal que f (0) = x, f (1) = y [(10),(1)]

(12) existe un arco g : [0, 1] → X tal que g (0) = y, g (1) = z [(10),(1)]

(13) Sea h : [0, 1] → X definida por h (t) =

f (2t) si 0 6 t 6 1

2

g (2t− 1) si 12

6 t 6 1

(14) Las funciones:

k :[0, 1

2

]→ [0, 1] definida por k (t) = 2t,

s :[

12, 1]→ [0, 1] definida por s (t) = 2t− 1

son continuas [T.2.1.4]

(15) f k :[0, 1

2

]→ X es continua [(11),(14),T.2.1.2]

(16) f k = h/[0, 12 ]

[(13),(14)]

(17) g s :[

12, 1]→ X es continua [(12),(14),T.2.1.2]

(18) g s = h/[ 12,1] [(13),(14)]

(19)[0, 1

2

]∪[

12, 1]

= [0, 1]

(20)[0, 1

2

],[

12, 1]

son conjuntos cerrados en [0, 1]

(21) h : [0, 1] → X es continua [(15)-(20)]


(22) h (0) = f (0) = x [(13),(11)]

(23) h (1) = g (1) = z [(13),(12)]

(24) x ∼ z [(21),(22),(23),(1)]

(25) ∼ es una relacion de equivalencia en X [(i), (ii), (iii)]

2

Definicion 4.5.2 Un espacio topologico (X, τ ) es arco conexo o conexo por arcos si

x ∼ y para todo x, y ∈ X.

Es decir, X es arco conexo si, y solo si, todo par de puntos de X puede ser unido por

un arco, esto es, si para todo x, y ∈ X existe f : I → X continua tal que f (0) = x y

f (1) = y.

De las definiciones precedentes resulta que un espacio es arco conexo si todo par de

puntos puede ser unido por una curva contenida en X.

Definicion 4.5.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico, A ⊆ X es arco conexo si lo es

como subespacio de X.

Esto es, A ⊆ X es arco conexo si, y solo si, (A, τA) es arco conexo.

Ejemplo 4.5.1

1. El espacio de Sierpinski es arco conexo.

En efecto:

(1) Sea (X, τS ) siendo X = 0, 1 y τS = ∅,X, 0 [Hip.]

(2) Sea f : [0, 1] → X definida por f (x) =

0 si 0 6 x < 11 si x = 1

(3) f−1 (∅) = ∅, f−1 (X) = [0, 1] [(2)]

(4) f−1 (0) = [0, 1) = (−1, 1) ∩ [0, 1] ∈ τε/[0,1][(2)]

(5) f−1 (G) ∈ τε/[0,1]para todo G ∈ τS [(3),(4)]


(7) f (0) = 0 y f (1) = 1 [(2)]

(8) f es un arco en 0, 1 que une los puntos 0 y 1 [(2),(6),(7)]

(9) (0, 1 , τS) es un espacio arco conexo [(8)]


2. Un espacio discreto con mas de un punto no es arco conexo.

En efecto:

(1) Sea (X,D) un espacio discreto con mas de un punto [Hip.]

(2) existen x, y ∈ X tales que x 6= y [(1)]

(3) Supongamos que (X,D) es arco conexo [Hip.]

(4) existe una funcion continua f : I → X tal que f (0) = x

y f (1) = y [(2),(3)]

(5) f (I) ⊆ X es un conjunto conexo en X [(4),T.4.1.5,T.4.2.2]

(6) x, y ∈ f (I) [(4)]

(7) f ([0, 1]) es un conjunto conexo con mas de un punto

en el espacio discreto (X,D) , esto contradice el ejemplo 4.1.1 [(1),(5),(6)]

(8) (X,D) no es arco conexo [(3),(7)]

3. Todo espacio caotico es arco conexo.

En efecto:

(1) Sea (X, τ0) un espacio caotico y sean x, y ∈ X [Hip.]

(2) Sea f : I → X la funcion definida por f (x) =

x si 0 6 t < 1y si t = 1

(3) f es una funcion continua tal que f (0) = x, f (1) = y [(2)]

(4) existe un arco que une x con y [(2),(3)]

(5) (X, τ0) es arco conexo [(1),(4)]

Como toda funcion f : I → (X, τ0) es continua, en este ejemplo, puede conside-

rarse cualquier funcion f : I → X tal que f (0) = x y f (1) = y.

4. Sea (IR, τε) y sea J ⊆ IR un intervalo, entonces J es arco conexo.

En efecto:

(1) Sean a, b ∈ J y sea f : I → J la funcion definida

por f (t) = (b− a) t+ a



(3) f (0) = a, f (1) = b [(1)]

(4) existe un arco f que une a con b, es decir, a ∼ b [(2),(3)]

(5) J es un conjunto arco conexo [(1),(4)]

Formulacion equivalente de espacio arco conexo

Teorema 4.5.1 Un espacio topologico (X, τ ) es arco conexo si, y solo si, dado un

punto fijo x0 ∈ X este puede ser unido por un arco con cualquier punto x ∈ X.


(⇒)

(1) Sea X arco conexo y sea x0 ∈ X un punto fijo [Hip.]

(2) x ∼ x0 para todo x ∈ X [(1)]

(3) existe un arco que une x0 con x, para todo x ∈ X [(2)]

(⇐)

(4) Sea x0 ∈ X un punto fijo

(5) Supongamos que x0 puede ser unido por un arco con

cualquier punto x ∈ X [Hip.]

(6) x0 ∼ x para todo x ∈ X [(5)]

(7) Sean x, y ∈ X [Hip.]

(8) x0 ∼ x, x0 ∼ y [(6),(7)]

(9) x ∼ y [(8),L.4.5.2]

(10) (X, τ ) es arco conexo [(7),(9)]

2

Teorema 4.5.2 Todo espacio arco conexo es conexo.

Dem.


(1) Sea (X, τ ) un espacio arco conexo [Hip.]

(2) Sea x0 ∈ X un punto fijo de X [Hip.]

(3) x0 ∼ x para cada x ∈ X [(1),(2),T.4.5.1]

(4) Para cada x ∈ X existe una funcion continua fx : I → X tal que

fx (0) = x0 y fx (1) = x [(3)]

(5) I = [0, 1] ⊆ IR es conexo en IR [T.4.2.2]

(6) para cada x ∈ X, fx (I) es conexo en X [(4),(5),T.4.1.5]

(7) Para cada x ∈ X existe fx (I) tal que fx (I) ⊆ X [(4)]

(8) X =⋃

x∈X

fx (I) [(7)]

(9) x0 ∈ fx (I) para todo x ∈ X [(4)]

(10)⋂

x∈X

fx (I) 6= ∅ [(9)]

(11) X es conexo [(6),(8),(10),C.4.1.4]

2

La recıproca del teorema 4.5.2 no es verdadera como se muestra en el siguiente

ejemplo.

Ejemplo 4.5.2 Sea A =

(x, y) ∈ IR2 : y = senπ

x, x ∈ (0, 1]

⊆ IR2, entonces A es un

conjunto conexo que no es arco conexo.

En efecto:

(1) A =

(x, y) ∈ IR2 : y = senπ

x, x ∈ (0, 1]

∪(0, y) ∈ IR2 : −1 6 y 6 1

es conexo [Ej.4.2.1,T.4.1.6]

i) Los puntos (0, 0) , (1, 0) ∈ X no pueden ser unidos por un arco

(2) Supongamos que los puntos (0, 0) , (1, 0) ∈ X pueden ser unidos

por un arco [Hip.]

(3) existe una funcion continua f : I → X tal que


f (0) = (0, 0) y f (1) = (1, 0) [(2)]

(4) las funciones f1 = p1 f : I → IR y f2 = p2 f : I → IR son continuas [(3)]

(5) f1 (0) = (p1 f) (0) = p1 (0, 0) = 0 [(3)]

(6) f1 (1) = (p1 f) (1) = p1 (1, 0) = 1 [(3)]

(7) f1 (0) = 0 <2

2n+ 1< 1 = f1 (1) para todo n ∈ IN [(5),(6)]

(8) para cada n ∈ IN existe xn ∈ [0, 1] tal que f1 (xn) =2

2n+ 1[(4),(7),T.4.2.3]

(9) f2 (xn) =

1 si n es par−1 si n es impar

[(8),(4)]

(10) f2 toma todos los valores entre −1 y 1 [(4),(9),T.4.2.3]

ii) f2 no es continua en 0

(11) f2 (0) = p2 (0, 0) = 0 [(3)]

(12) Sea W (f2 (0)) = W (0) =

(−1

2,1

2

)y sea V (0) ∈ τε/I

[Hip.]

(13) existe B ∈ B[0,1] tal que 0 ∈ B ⊆ V (0) [(12)]

(14) existe δ > 0 tal que B = E (0, δ) ∩ [0, 1] = [0, δ) [(13),L.1.5.2]

(15) existe xn0 ∈ [0, δ) tal que f1 (xn0) =2

2n0 + 1[(14),(8)]

(16) f2 (xn0) = 1 o − 1 [(15),(9)]

(17) f2 (xn0) /∈(−1

2,1

2

)[(16)]

(18) existe xn0 ∈ V (0) tal que f2 (xn0) /∈(−1

2,1

2

)[(13),(15),(17)]

(19) f2 (V (0)) 6⊆(−1

2,1

2

)[(18)]

(20) existe W (f2 (0)) tal que para todo V (0) ∈ τε/Ise verifica

f2 (V (0)) 6⊆ W (f2 (0)) [(12),(19)]


(21) f2 no es continua en 0 lo que contradice (4) [(20)]

(22) el punto (0, 0) no puede ser unido por un arco con

el punto (1, 0) ∈ X [(2),(21)]

(23) X no es arco conexo pero si es conexo [(1),(22)]

Este ejemplo muestra que el teorema 4.1.6 no es valido para los conjuntos arco conexos.

Teorema 4.5.3 La imagen por una funcion continua de un espacio arco conexo es un

conjunto arco conexo.

Dem.

(1) Sea (X, τX ) un espacio arco conexo y [Hip.]

(2) sea f : X → Y una funcion continua [Hip.]

(3) Sean y1, y2 ∈ f (X) [Hip.]

(4) existen x1, x2 ∈ X tales que f (x1) = y1, f (x2) = y2 [(3)]

(5) existe una funcion continua, h : I → X, tal que h (0) = x1, h (1) = x2 [(1),(4)]

(6) ff(X) : X → f (X) es continua [(1),T.2.1.2]

(7) ff(X) h : I → f (X) es continua [(5),(6),T.2.1.2]

(8)(ff(X) h

)(0) = ff(X) (h (0)) = ff(X) (x1) = f (x1) = y1 [(4),(5)]

(9)(ff(X) h

)(1) = ff(X) (h (1)) = ff(X) (x2) = f (x2) = y2 [(4),(5)]

(10) existe un arco, g = ff(X) h : I → f (X), que une los

puntos y1 e y2 [(7),(8),(9)]

(11) f (X) es un conjunto arco conexo en Y [(3),(10)]

2

Corolario 4.5.1 La imagen por una funcion continua de un conjunto arco conexo es

un conjunto arco conexo.

Dem.



(2) sea A ⊆ X un conjunto arco conexo en Y [Hip.]

(3) f/A :(A, τX/A

)→ (Y, τY ) es continua [(1),(2),T.2.1.2]

(4)(A, τX/A

)es un espacio arco conexo [(2)]

(5) f/A (A) = f (A) es arco conexo en Y [(3),(4),T.1.5.3]

2

Corolario 4.5.2 La arco conexidad es una propiedad topologica.

4.6 Componentes arco conexas

Definicion 4.6.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea x ∈ X, la clase de equiva-

lencia de x por la relacion ∼ definida en el Lema 4.5.2 es la componente arco conexa

de x.

Con A(x) se denota a la componente arco conexa de x ∈ X.

Propiedades de las componentes arco conexas

De la definicion 4.6.1 resultan inmediatas las siguientes propiedades de las compo-

nentes arco conexas:


i) x ∈ A(x), luego, A(x) 6= ∅ para todo x ∈ X.

ii) La componente arco conexa de x es un conjunto arco conexo.

iii) La familia de las componentes arco conexas determinan una particion del espacio.

Dem. Solo se demuestra la propiedad ii).

(1) Sea A(x) la componente arco conexa de x y sea y ∈ A(x) [Hip.]

(2) y ∼ x [(1)]

(3) existe una funcion continua, h : I → X, tal que h (0) = x, h (1) = y [(2)]

(4) Sea z ∈ h (I) [Hip.]


(5) existe t ∈ I : z = h (t) [(4)]

(6) La funcion g : I → I definida por g (s) = t s es continua [T.2.1.4]

(7) h g : I → X es una funcion continua [(3),(6)]

(8) (h g) (0) = h (g (0)) = h (0) = x [(3),(6)]

(9) (h g) (1) = h (g (1)) = h (t) = z [(3),(6)]

(10) existe un arco en X que une los puntos x y z [(7),(8),(9)]

(11) z ∈ A(x) [(10)]

(12) h (I) ⊆ A(x) [(4),(11)]

(13) existe un un arco en A(x) que une los puntos x e y [(3),(12)]

(14) A(x) es arco conexo [(13),(1)]

2

Lema 4.6.2 Sea (X, τX ) un espacio topologico, se satisfacen las siguientes propiedades:

i) La componente arco conexa de un punto x ∈ X es el mayor subconjunto arco

conexo en X (en el sentido de la inclusion) que contiene a x.

ii) Todo conjunto arco conexo A ⊆ X esta contenido en una unica componente arco

conexa.

iii) X es arco conexo si, y solo si, tiene una sola componente arco conexa.

Dem.

i)

(1) Sea x ∈ X y sea A(x) la componente arco conexa de x [Hip.]

(2) x ∈ A(x) [L.4.6.1]

(3) A(x) es un conjunto arco conexo en X [L.4.6.1]

− Si A ⊆ X es un conjunto arco conexo tal que x ∈ A, entonces A ⊆ A(x)

(4) Sea A ⊆ X un conjunto arco conexo tal que x ∈ A [Hip.]


(5) Sea y ∈ A [Hip.]

(6) existe h : I → A continua tal que h (0) = x, h (1) = y [(4),(5)]

(7) Sea h : I → X definida por h (t) = h (t) para todo t ∈ I

(8) h−1 (G) =

∅ si G ∩ A = ∅h−1 (G ∩A) si G ∩A 6= ∅ para todo G ∈ τX [(6),(7)]

(9) h−1 (G) ∈ τε/Ipara todo G ∈ τX [(6),(8)]

(10) h es continua [(9)]

(11) existe un un arco en X que une los puntos x e y [(6),(7),(10)]

(12) y ∈ A(x) [(11)]

(13) A ⊆ A(x) [(5),(12)]

ii)

(14) Sea A ⊆ X un conjunto arco conexo y sea x ∈ A [Hip.]

(15) A ⊆ A(x) [(14),L.4.6.2]

(16) Supongamos que existe A(y) tal que A ⊆ A(y) [Hip.]

(17) A ⊆ A(x) ∩ A(y) [(15),(16)]

(18) A(x) ∩ A(y) 6=∅ [(17)]

(19) A(x) = A(y) [(18),L.4.6.2]

iii) Inmediato de las definiciones 4.5.2 y 4.6.1

2

Ejemplo 4.6.1 Sea X el conjunto considerado en el ejemplo 4.5.2, X tiene dos compo-

nentes arco conexas: A(p) =

0 × [−1, 1] si p ∈ 0 × [−1, 1]A si p ∈ A

Lema 4.6.3 En un espacio topologico (X, τX) , la union de conjuntos arco conexos con

interseccion no vacıa es un conjunto arco conexo.

Esto es, si Aα ⊆ X : Aα es arco conexo en Xα∈A y⋂

α∈AAα 6= ∅, entonces

⋃α∈A

Aα es

arco conexo.


Dem. Sea Aαα∈A ⊆ P(X) tal que

(1) Aα es arco conexo en X para todo α ∈ A y

(2)⋂

α∈AAα 6= ∅ [Hip.]

(3) existe x0 tal que x0 ∈⋂

α∈AAα [(2)]

(4) Sea x ∈⋃

α∈AAα [Hip.]

(5) existe β ∈ A tal que x ∈ Aβ [(4)]

(6) x, x0 ∈ Aβ [(5),(3)]

(7) existe un arco en Aβ, fx : I → Aβ, tal que fx (0) = x, fx (1) = x0 [(1),(6)]

(8) Sea f : I →⋃

α∈AAα definida por f (t) = fx (t) [Hip.]

(9) f (I) = fx (I) ⊆ Aβ [(7),(8)]

(10) Sea V ∈ τX/∪Aα[Hip.]

(11) existe G ∈ τX tal que V = G ∩⋃

α∈AAα [(10)]

(12) G ∩⋃

α∈AAα = (G ∩Aβ) ∪

⋃α6=β

(G ∩Aα)

(13) f−1 (V ) = f−1

(G ∩

⋃α∈A

Aα

)= f−1 (G ∩Aβ) ∪

⋃α6=β

f−1 (G ∩Aα) [(12)]

(14) f−1 (Aα) = f−1 (Aβ ∩Aα) para todo α 6= β [(9)]

(15)⋃

α6=β

f−1 (G ∩ Aα) ⊆ f−1 (G ∩Aβ) [(14)]

(16) f−1 (V ) = f−1 (G ∩Aβ) = f−1x (G ∩ Aβ) [(13),(15)]

(17) G ∩Aβ ∈ τX/Aβ[(11)]

(18) f−1 (V ) ∈ τε/I[(16),(7),(17)]

(19) f : I →⋃

α∈AAα es continua [(10),(18)]

(20) f (0) = fx (0) = x0, f (1) = fx (1) = x [(7),(8)]


(21) para cada x ∈⋃

α∈AAα existe un arco, f : I →

⋃α∈A

Aα,

que une x0 con x [(19),(20)]

(22)⋃

α∈AAα es un conjunto arco conexo [(21),T.4.5.1]

2

Corolario 4.6.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico, entonces la componente arco conexa

de x ∈ X es el conjunto A (x) =⋃

B : B es arco conexo y x ∈ B

Ejercicio 4.6.1 Probar que la componente arco conexa de x ∈ X, es:

1. un conjunto arco conexo maximal

2. un conjunto conexo.

Lema 4.6.4 Sean IPA y IPC las particiones de X determinadas por las familias de las

componentes arco conexas y conexas, respectivamente, entonces IPA es un refinamiento

de IPC .

Dem.

(1) Sean IPA = A (x) : x ∈ X y IPC = C (x) : x ∈ X las familias

de las componentes arco conexas y conexas de X, respectivamente [Hip.]

(2) Sea C (x) ∈ IPC y sea y ∈ C (x) [Hip.]

(3) A (y) es un conjunto conexo tal que y ∈ A (y) [E.4.6.1]

(4) A (y) ⊆ C (y) = C (x) [(2),(3)]

(5) Para todo y ∈ C (x) existe A (y) tal que A (y) ⊆ C (x) [(2),(4)]

(6) C (x) =⋃

y∈C(x)

A (y) [(5)]

(7) Para todo C ∈IPC existe A ∈ IPA tal que A ⊆ C [(6)]

(8) IPA es un refinamiento de IPC [(7)]

2

En lo que sigue se establecen condiciones para determinar la equivalencia entre las

nociones de conexidad y arco conexidad.



valentes:

i) toda componente arco conexa es un conjunto abierto

ii) todo punto de X tiene un entorno arco conexo.

Dem.

i) ⇒ ii)

(1) Toda componente arco conexa es un conjunto abierto [Hip.]

(2) A (x) ∈ U (x) para todo x ∈ X [(1)]

(3) todo punto de X tiene un entorno arco conexo [(2)]

ii) ⇒ i)

(4) todo punto de X tiene un entorno arco conexo [Hip.]

(5) Sea A (x) una componente arco conexa y sea y ∈ A (x) [Hip.]

(6) y tiene un entorno arco conexo [(4),(5)]

(7) existe U ∈ Uy tal que y ∈ U y U es arco conexo [(6)]

(8) U ⊆ A (y) = A (x) [(7),(5),L.4.6.2]

(9) existe U ∈ Uy tal que y ∈ U ⊆ A (x) [(7),(8)]

(10) A (x) es entorno de cada uno de sus puntos [(5),(9)]

(11) A (x) es un conjunto abierto [(10),T.1.1.1]

(12) Toda componente arco conexa es un conjunto abierto [(11)]

2

Corolario 4.6.2 Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) las componentes arco conexas son conjuntos abiertos y cerrados

ii) todo punto de X tiene un entorno arco conexo.


Dem.

i) ⇒ ii)

Inmediato del teorema 4.6.1

ii) ⇒ i)

(1) Todo punto de X tiene un entorno arco conexo [Hip.]

(2) Sea A (x) la componente arco conexa de x [Hip.]

(3) A (x) =

⋃y∈X

y 6∈A(x)

A (y)

c

[L.4.6.1]

(4) A (z) es un conjunto abierto para todo z ∈ X [(1),T.4.6.1]

(5) A (x) es un conjunto cerrado [(3),(4)]

(6) A (x) es un conjunto abierto y cerrado para todo x ∈ X [(2),(4),(5)]

2


valentes:

i) (X, τ ) es arco conexo

ii) (X, τ ) es conexo y todo punto de X tiene un entorno arco conexo.

Dem.

i) ⇒ ii)

(1) (X, τ ) es arco conexo [Hip.]

(2) (X, τ ) es conexo [(1),T.4.5.2]

(3) X es un entorno arco conexo de cada uno de sus puntos [(1)]

ii) ⇒ i)

(4) (X, τ ) es conexo [Hip.]


(5) todo punto de X tiene un entorno arco conexo [Hip.]

(6) Sea x ∈ X y sea A (x) la componente arco conexa de x [Hip.]

(7) A (x) es un conjunto abierto y cerrado en X [(6),(5),C.4.6.2]

(8) Los unicos conjuntos abiertos y cerrados en X son ∅ y X [(4),T.4.1.3]

(9) A (x) = X [(7),(8)]

(10) A (x) = X para todo x ∈ X [(6),(9),L.4.6.1]

(11) X es arco conexo [(10)]

2

Corolario 4.6.3 Todo conjunto abierto de (IRn, τε) es conexo si, y solo si, es arco

conexo.

Dem. (1) Sea G ⊆ IRn un conjunto abierto [Hip.]

(⇒)

(2) G es conexo [Hip.]

(3) Sea x ∈ G [Hip.]

(4) existe E (x, r) tal que E (x, r) ⊆ G [(3),(1)]

(5) E (x, r) ∈ τε/G [(4)]

(6) E (x, r) es un conjunto arco conexo

(7) Para cada x ∈ G existe U (x) = E (x, r) ∈ UG (x) tal

que U (x) ⊆ G y U (x) es arco conexo [(3)-(6)]

(8) Todo punto de G tiene un entorno arco conexo [(7)]

(9) G es arco conexo [(2),(8),T.4.6.2]

(⇐)

Inmediato del teorema 4.5.2

2


4.7 Espacios localmente conexos

Localizar una propiedad en un espacio topologico es asegurar que se verfique por lo

menos en un entorno de cada punto del espacio o en la clausura del entorno.

Definicion 4.7.1 Un espacio topologico (X, τ ) es localmente conexo en un punto

x ∈ X si para todo entorno de x existe un entorno abierto y conexo contenido en el.

Es decir, (X, τ ) es localmente conexo en x ∈ X si, y solo si, para todo U ∈ Ux existe

V (x) ∈ U (x) tal que x ∈ V (x) ⊆ U y V (x) es conexo en X.

Ejercicio 4.7.1 Probar que (X, τ ) es localmente conexo en x ∈ X si, y solo si, para

todo U (x) ∈ U (x) existe V (x) ∈ U (x) tal que x ∈ V (x) ⊆ U (x) y V (x) es conexo en

X.

Definicion 4.7.2 Un espacio topologico (X, τ ) es localmente conexo si lo es en cada

uno de sus puntos.

Es decir, (X, τ ) es localmente conexo si, y solo si, para todo x ∈ X y para todo U ∈ Ux

existe V (x) ∈ U (x) tal que x ∈ V (x) ⊆ U y V (x) es conexo en X.

Formulaciones equivalentes de espacios localmente conexos

Teorema 4.7.1 Un espacio topologico (X, τ ) es localmente conexo si, y solo si, τ

admite una base de conjuntos conexos.


(⇒)

(1) (X, τ ) es localmente conexo [Hip.]

(2) para todo x ∈ X y para todo U ∈ Ux existe VUx ∈ U (x) tal que

x ∈ VUx ⊆ U y VUx es conexo en X [(1)]

(3) Sea B =⋃

x∈XU∈Ux

VUx : VUx ∈ U (x) , VUx ⊆ U y VUx es conexo en X ⊆ τ

(4) Sean G ∈ τ y x ∈ G [Hip.]

(5) G ∈ Ux [(4)]


(6) existe VGx ∈ U (x) tal que x ∈ VGx ⊆ G y VGx es conexo en X [(2),(5)]

(7) VGx ∈ B [(3),(6),(5)]

(8) existe VGx ∈ B tal que x ∈ VGx ⊆ G [(6),(7)]

(9) B es base de τ [(3),(4),(8)]

(10) τ admite una base formada por conjuntos conexos [(9),(3)]

(⇐)

(11) τ admite una base, B, formada por conjuntos conexos [Hip.]

(12) Sea x ∈ X y sea U ∈ Ux [Hip.]

(13) existe V ∈ B tal que x ∈ V ⊆ U [(12),(11)]

(14) V ∈ U (x) [(13),(11)]

(15) V es conexo en X [(13),(11)]

(16) existe V ∈ U (x) tal que x ∈ V ⊆ U y V es conexo en X [(13),(14),(15)]

(17) (X, τ ) es localmente conexo [(12),(16)]

2

Teorema 4.7.2 Un espacio topologico (X, τ ) es localmente conexo si, y solo si, las

componentes conexas de todo conjunto abierto son conjuntos abiertos.


(⇒)

(1) (X, τ ) es localmente conexo [Hip.]

(2) Sean U ⊆ X abierto

(3) x ∈ X y CU (x) la componente conexa de x en U [Hip.]

(4) Sea y ∈ CU (x) [Hip.]

(5) CU (x) ⊆ U [(3)]


(6) y ∈ U [(5),(6)]

(7) existe B = V ⊆ X : V es conexo en X ⊆ τ es base de τ [(1),T.4.7.1]

(8) existe V ∈ B tal que y ∈ V ⊆ U [(2),(6),(7)]

(9) V ⊆ U ⊆ X, V es conexo en X [(7),(8)]

(10) V es conexo en U, y ∈ V [(8),(9)]

(11) V ⊆ CU (y) [(10)]

(12) CU (x) = CU (y) [(4)]

(13) existe V ∈ B tal que y ∈ V ⊆ CU (x) [(8),(11),(12)]

(14) CU (x) es abierto en X [(4),(7),(13)]

(⇐)

(15) Toda componente conexa de todo conjunto abierto es un

conjunto abierto en X [Hip.]

(16) Sean U ∈ τ , BU la familia de las componentes conexas de U, esto es,

BU = CU (x) : x ∈ U y CU (x) componente conexa de U y

(17) B =⋃

U∈τ

BU =⋃

U∈τ

CU (x) : x ∈ U y CU (x) componente conexa de U

(18) Para todo U ∈ τ , para todo x ∈ U existe CU (x) tal que

x ∈ CU (x) ⊆ U [(16),(17)]

(19) B ⊆ τ es base de τ [(17),(18)]

(20) CU(x) ∈ B es conexo en X para todo U ∈ τ , para todo x ∈ U [(16)]

(21) B es una base de conexos de τ [(19),(20)]

(22) X es localmente conexo [(21),T.4.7.1]

2


Ejemplo 4.7.1

1. El espacio discreto (X,D) con mas de un punto, no es conexo pero si es localmente

conexo.

En efecto:

(1) B = x : x ∈ X es base de D

(2) x es conexo en X para todo x ∈ X

(3) D admite una base de conexos [(1),(2)]

(4) (X,D) es localmente conexo [(3),T.4.7.1]

2. El espacio euclıdeo (IRn, τε), n ≥ 1, es conexo y localmente conexo.

En efecto:

(1) B = E (x, r) : x ∈ IRn y r > 0 es base de τε [Ej.1.2.2]

(2) E (x, r) es conexo en IRn para todo x ∈ IRn, para todo r > 0

(3) B es una base de conexos de la topologıa euclıdea [(1),(2)]

(4) (IRn, τε) es localmente conexo [(3),T.4.7.1]

3. Sea X =⋃

n∈N

An∪

(x, 0) : 12 < x 6 1

⊆ IR2 siendo An el rayo que une el origen

(0, 0) con el punto(1, 1n

), entonces X es conexo y no es localmente conexo.

En efecto:

(1) Sea τX la topologıa relativa a X como subespacio del espacio

euclıdeo (IRn, τε)

(2) Sean p ∈ X tal que p = (x, 0) con 12 < x < 1 y

(3) U (p) el entorno de p en X indicado en la figura 1, esto es,

U (p) = E (p, r) ∩ X con r < 12


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IR

IR

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figura 1

12 1p

( ]

1 −A1

A2 A3

|

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figura 2

|p

U(p)V (p)

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(4) Cada rayo de la figura 2 es un abierto, no vacıo, en U (p)

(5) Sea V (p) un entorno de p tal que V (p) ⊆ U (p), por ejemplo,

el indicado en la figura 2

(6) V (p) es union de abiertos disjuntos no vacıos [(4),(5)]

(7) V (p) no es conexo [(6)]

(8) V (p) no es conexo para todo V (p) tal que V (p) ⊆ U (p) [(5),(7)]

(9) existen p ∈ X y U (p) tal que todo entorno de p,

V (p) ⊆ U (p), no es conexo [(2),(3),(8)]

(10) (X, τX) no es localmente conexo [(9)]

Teorema 4.7.3 Sea (Yα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos, las

siguientes condiciones son equivalentes:

i)∏

α∈AYα es localmente conexo.

ii) a) Salvo un numero finito de ındices Yα es conexo,

b) Yα es localmente conexo para todo α ∈ A.


Dem. Sea (Yα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos [Hip.]

i) ⇒ ii)

(1)∏

α∈AYα es localmente conexo [Hip.]

a)

(2) Para cada y ∈∏

α∈AYα, para cada U ∈ U (y) existe V ∈ U (y)

tal que y ∈ V ⊆ U y V es conexo [(1)]

(3) existe V ∈ τπ tal que x ∈ V ⊆∏

α∈AYα y V es conexo [(2)]

(4) pα (V ) = Yα salvo un numero finito de ındices [Obs.3.5.1]

(5) pα (V ) es conexo en Yα [(3),C.4.1.2]

(6) Yα es conexo salvo un numero finito de ındices [(4),(5)]

b)

(7) Sean α ∈ A, xα ∈ Yα y [Hip.]

(8) Uα ∈ U (xα) [Hip.]

(9) Uα ∈ τα y xα ∈ Uα [(8)]

(10) p−1α (Uα) = 〈Uα〉 ∈ τπ [(9)]

(11) Sea y = [yβ]β∈A ∈∏

α∈AYα tal que yα = xα

(12) y ∈ p−1α (Uα) [(9),(10),(11)]

(13) 〈Uα〉 ∈ U (y) [(10),(12)]

(14) existe V (y) ∈ U (y) conexo tal que y ∈ V (y) ⊆ 〈Uα〉 y

V (y) es conexo [(13),(1)]

(15) pα (V (y)) ⊆ pα (p−1α (Uα)) ⊆ Uα [(14),(10)]

(16) pα (V (y)) es conexo y abierto en Yα [(14),C.4.1.2]


(17) pα (y) = xα ∈ pα (V (y)) [(14),(11)]

(18) pα (V (y)) = V (xα) ∈ U (xα) [(16),(17)]

(19) existe V (xα) ∈ U (xα) tal que xα ∈ V (xα) ⊆ Uα

y V (xα) es conexo [(18),(16),(17),(15)]

(20) Yα es localmente conexo para todo α ∈ A [(7),(8),(19)]

ii) ⇒ i)

(1) Yα es localmente conexo para todo α ∈ A,

(2) salvo un numero finito de ındices Yα es conexo [Hip.]

(3) existen β1, β2, ..., βm ∈ A tal que Yα es conexo para

todo α 6= βj, j = 1, ...,m [(2)]

(4) Sean x ∈∏

α∈AYα y U = U (x) ∈ U (x) con x = [xα]α∈A [Hip.]

(5) existe B = Uα1 × Uα2 × ...× Uαn ×∏

α6=αi

Yα ∈ Bπ,

tales que x ∈ B ⊆ U y Uαi ∈ ταi para i = 1, ..., n [(4),L.3.5.2]

Primer caso.

(6) α1, α2, ..., αn ⊆ β1, β2, ..., βm

(7) para cada αi existe βj tal que αi = βj [(6)]

(8) B = Uα1 × Uα2 × ...× Uαn × Yβn+1 × ...× Yβm ×∏

α6=αi

Yα [(5),(7)]

(9) xαi ∈ Uαi y Uαi ∈ ταi [(5)]

(10) Uαi ∈ U (xαi) para i = 1, ..., n y Uβj = Yβj ∈ U(xβj

)

para j = n+ 1, ...,m [(5),(9)]

(11) existe Vαi = V (xαi) ∈ U (xαi) , Vαi ⊆ Uαi y Vαi es

conexo para i = 1, ..., n [(10),(1)]

(12) existe Vβj = V(xβj

)∈ U

(xβj

), Vβj ⊆ Uβj y Vβj es

conexo para j = 1, ...,m [(10),(1)]


(13) V = Vα1 × Vα2 × ...× Vαn × Vβn+1 × ...× Vβm ×∏

α6=αiα6=βj

Yα ∈ Bπ [(11),(12)]

(14) existe V ∈ U (x) tal que x ∈ V (x) ⊆ U y

V (x) es conexo [(3),(11),(12),(13),(8),(5),T.4.3.1]

Segundo caso.

(15) β1, β2, ..., βm ⊆ α1, α2, ..., αn

(16) para cada βi existe αj tal que βi = αj [(15)]

(17) B = Uα1 × Uα2 × ...× Uαn ×∏

α6=αi

Yα [(5),(16)]

(18) para i = 1, ..., n existe Vαi ∈ U (xαi) , Vαi ⊆ Uαi y Vαi es conexo [(5),(1)]

(19) V = Vα1 × Vα2 × ...× Vαn ×∏

α6=αiα6=βj

Yα ∈ Bπ [(18)]

(20) existe V ∈ U (x) tal que x ∈ V (x) ⊆ U y V (x) es conexo

[(18),(19),(3),(5),T.4.3.1]

Tercer caso.

(21) β1, β2, ..., βm ∩ α1, α2, ..., αn 6= ∅

(22) existe j tal que βj 6= αi para todo i [(21)]

(23) para j = 1, ..., k, βj 6= αi y para j = k + 1, ..., n, βj = αi para algun i [(21)]

(24) B = Uα1 × Uα2 × ...× Uαn × Yβ1 × Yβ2 × ...× Yβk×∏

α6=αiα6=βj

Yα [(5),(23)]

(25) existe V ∈ U (x) tal que x ∈ V (x) ⊆ U y V (x) es conexo [(24),(3),(1)]

Cuarto caso.

(26) β1, β2, ..., βm ∩ α1, α2, ..., αn = ∅

(27) para todo j = 1, ..., n y para todo i = 1, ...,m, αi 6= βj [(26)]

(28) B = Uα1 × Uα2 × ...× Uαn × Yβ1 × Yβ2 × ...× Yβm ×∏

α6=αiα6=βj

Yα [(5),(27)]

(29) existe V = Vα1 × Vα2 × ...× Vαn × Vβ1 × Vβ2 × ...× Vβm ×∏

α6=αiα6=βj

Yα ∈ Bπ

con Vαi ⊆ Uαi conexo para i = 1, ..., n y Vβj ⊆ Yβj conexo


para j = 1, ...,m [(28),(1)]

(30) existe V ∈ U (x) tal que x ∈ V (x) ⊆ U y V (x) es conexo [(29),(28),(5),T.4.3.1]


α∈AYα, para cada U ∈ U (x) existe V ∈ U (x)

tal que x ∈ V ⊆ U y V es conexo [(4),(14),(20),(25),(30)]

(32)∏

α∈AYα es localmente conexo [(31)]

2


4.8 Practico No 4

Ejercicio 4.8.1 Analice si X = a, b, c, d, e, f es un espacio conexo con la topologıa

siguiente:

τX =

∅,X, a, b, c, e, f, a, b, c, e, f, c, d, e, f, c, a, b, c, d, c, e, f

Ejercicio 4.8.2 Sea (X, τX) el espacio topologico del ejercicio 1. Analice si A =

a, b, c es conexo.

Ejercicio 4.8.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico y C ⊆ D ⊆ X. Demuestre que las

condiciones siguientes son equivalentes:

(a) C es conexo en D,

(b) C es conexo en X.

Ejercicio 4.8.4 Sea (X, τ ) un espacio topologico y A ⊆ X. Demuestre que si B ⊆ X

es conexo y B ∩ Fr(A) = ∅, entonces B ⊆ A o B ⊆ (X \A).

Ejercicio 4.8.5 Pruebe que un espacio topologico (X, τX) es conexo si y solo si Fr(A) 6=∅, para todo ∅ ⊂ A ⊂ X.

Ejercicio 4.8.6 Sea (X, τ ) un espacio topologico y Sii∈I una familia de subconjuntos

conexos de X. Pruebe que si existe i0 ∈ I tal que Si∩Si06= ∅, para todo i ∈ I, entonces⋃

i∈I

Si es conexo.

Ejercicio 4.8.7 Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topologicos conexos. Demuestre que

X × Y es conexo.

Ejercicio 4.8.8 Sea (X, τX) un espacio conexo, f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion

continua. Pruebe que Gf = (x, f(x)) : x ∈ X es conexo en X × Y .

Ejercicio 4.8.9 Sean (X, τX) un espacio topologico y 4 = (x, x) : x ∈ X. De-

muestre que si X es conexo, entonces 4 es conexo.

Ejercicio 4.8.10 Demuestre que Rn \ 0 es un conjunto conexo en (Rn, τε), para

todo n > 1.


Ejercicio 4.8.11 Sea Sn =

x ∈ Rn+1 :

n+1∑i=1

x2i = 1

la superficie esferica unitaria de

Rn+1 con n ≥ 1. Pruebe que Sn es conexo.

Ejercicio 4.8.12 Analice si H = a, b, e, f es conexo en el espacio topologico del

ejercicio 1 y halle la familia de las componentes conexas de H.

Ejercicio 4.8.13 Determine las componentes conexas de cada uno de los siguientes

espacios topologicos:

(a) X con la topologıa discreta.

(b) X con la topologıa cofinita.

(c) X con la topologıa caotica.

(d) X con la topologıa de Sierspinski.

Ejercicio 4.8.14 Sea (Y, τ ) un espacio topologico y ∅ ⊂ B ⊆ Y . Pruebe que si B es

conexo, abierto y cerrado en (Y, τ ), entonces existe x ∈ Y tal que C(x) = B.

Ejercicio 4.8.15 Sea (X, τ ) un espacio topologico y C ⊆ B ⊆ A ⊆ X. Pruebe que si

existe x ∈ A tal que C(x) = C, entonces existe y ∈ B tal que C(y) = C.

Ejercicio 4.8.16 Sea f : X → Y una funcion continua y C una componente conexa

de Y . Demuestre que f−1(C) es union de componentes conexas.

Ejercicio 4.8.17 Pruebe que R con la topologıa usual es un espacio arco conexo.

Ejercicio 4.8.18 Sean A, B y C arco-conexos en (X, τ ) tales que A∩C 6= ∅ y B∩C 6=∅. Pruebe que A ∪B ∪ C es arco conexo.

Ejercicio 4.8.19 Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos. Pruebe que∏α∈A

Xα es arco conexo si y solo si Yα es arco conexo, para todo α ∈ A.

Ejercicio 4.8.20 Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) un homeomorfismo. Pruebe que si x ∈ X,

entonces f(A(x)) = A(f(x)).

Ejercicio 4.8.21 Sea (Y, τY ) un espacio topologico localmente conexo y G ∈ τY . De-

muestre que si C es componente conexa de G, entonces G ∩ Fr(C) = ∅.

Ejercicio 4.8.22 Sea (X, τX ) un espacio topologico conexo y localmente conexo. De-

muestre que si f : (X, τX ) → (Y, τY ) es una funcion continua y abierta, entonces f(X)

es localmente conexo.

Ejercicio 4.8.23 Sean (X, τX) e (Y, τY ) espacios topologicos localmente conexos. Pruebe

que X × Y es localmente conexo.

Ejercicio 4.8.24 Sea (X, τ ) un espacio topologico localmente conexo. Pruebe que si

G ∈ τ , entonces G es localmente conexo.


5 Axiomas de separacion

Algunos espacios topologicos satisfacen propiedades de separacion, esto es, propie-

dades que permiten “separar” distintos tipos de conjuntos por medio de los conjuntos

abiertos.

5.1 Axioma de Kolmogoroff o axioma T0

Definicion 5.1.1 Sean (X, τ ) un espacio topologico y p, q ∈ X, p esta en contacto con

q si p ∈ q .

Si p esta en contacto con q se simboliza pk q

Ejercicio 5.1.1 Probar que la relacion de contacto entre dos puntos es reflexiva y

transitiva.

Definicion 5.1.2 Sean (X, τ ) un espacio topologico y p, q ∈ X, p es topologicamente

equivalente a q si pk q y q k p.

Si p es topologicamente equivalente a q se simboliza p ∼ q, es decir, p ∼ q si, y solo

si, p ∈ q y q ∈ p.


i) p ∼ q si, y solo si, q = p para todo p, q ∈ X,

ii) “∼ ”es una relacion de equivalencia.

Dem. Sea (X, τ ) un espacio topologico,

i)

Sean p, q ∈ X [Hip.]

(⇒)

(1) p ∼ q [Hip.]

(2) p ∈ q [(1)]

(3) p ⊆ q [(2)]

(4) p ⊆ q [(3)]


(5) q ⊆ p [(1)]

(6) p = q [(4),(5)]

(⇐)

(7) p = q [Hip.]

(8) p ∈ p ⊆ q [(7)]

(9) q ∈ q ⊆ p [(7)]

(10) p ∈ q y q ∈ p [(8),(9)]

(11) pk q y q k p [(10)]

(12) p ∼ q [(11)]

2

Definicion 5.1.3 Un espacio topologico (X, τ ) verifica el axioma T0 o de Kolmogoroff

si para cada p, q ∈ X tales que p ∼ q, entonces p = q.

Un espacio topologico que verifica el axioma T0 es un espacio T0.


valentes:

i) (X, τ ) verifica el axioma T0

ii) Si p = q, entonces p = q

iii) Si p 6= q, entonces p 6= q

iv) Si p 6= q, entonces existe al menos un abierto que contiene a uno de ellos sin

contener al otro.


i) ⇒ ii)

(1) (X, τ ) verifica el axioma T0 [Hip.]

(2) Sean p, q ∈ X tales que p = q [Hip.]

(3) p ∼ q [(2),L.5.1.1]


(4) p = q [(1),(3)]

ii) ⇒ iii)


iii) ⇒ iv)

(1) Sean p, q ∈ X tales que p 6= q [Hip.]

(2) p 6= q [(1),(iii)]

Primer caso.

(3) p 6⊆ q

(4) existe x tal que x ∈ p y

(5) x /∈ q [(3)]

(6) existe U(x) ∈ U(x) tal que U(x) ∩ q = ∅ [(5)]

(7) existe U(x) ∈ U(x) tal que q /∈ U(x) [(6)]

(8) U(x) ∩ p 6= ∅ [(4)]

(9) p ∈ U(x), U(x) ∈ τ [(8)]

(10) existe V (p) = U(x) ∈ U(p) tal que q /∈ U(p) [(7),(9)]

Segundo caso.

(11) q 6⊆ p

(12) existe V (q) ∈ τ tal que q ∈ V (q) y p /∈ V (q) [(11)]

(13) existe al menos un abierto que contiene a uno de

los puntos sin contener al otro [(10),(12)]

iv) ⇒ i)


(2) existe U(p) tal que q /∈ U(p) o existe V (q) : p /∈ V (q) [(1),(iv)]

Primer caso.


(3) existe U(p) tal que q /∈ U(p)

(4) U(p) ∩ q = ∅ [(3)]

(5) p /∈ q [(3),(4)]

(6) p 6∼ q [(5)]

Segundo caso.

(7) existe V (q) tal que p 6∈ V (q)

(8) p 6∼ q [(7)]

(9) X es un espacio T0. [(1),(6),(8)]

2

Ejemplo 5.1.1

1. Sea X = a, b, c y sean τ1 = ∅, a, a, b,X; τ0 = ∅,X, el espacio (X, τ1)

es T0 y (X, τ0) no lo es.

2. Todo espacio discreto (X,D) es T0.

3. IRn con la topologıa euclıdea es T0.

4. En general, todo espacio metrico (X, d) es T0.

5. El espacio caotico con mas de un punto no es T0.

5.2 Axioma de Frechet o axioma T1

Definicion 5.2.1 Un espacio topologico (X, τ ) verifica el axioma T1 si, y solo si,

x = x para cada x ∈ X.

Un espacio topologico que verifica el axioma T1 es un espacio T1.

Observacion 5.2.1

1. De la Definicion 5.2.1 resulta que un espacio topologico (X, τ ) es T1 si, y solo

si, todo conjunto unitario es cerrado, esto es, (X, τ ) es T1 si, y solo si, x es

cerrado para todo x ∈ X.

Es comun la expresion, (X, τ ) es T1 si, y solo si, los puntos son cerrados.


2. Existen varias formas equivalentes de formular el axioma T1 como se muestra en

el siguiente teorema.

Teorema 5.2.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico, las siguientes condiciones son equiva-

lentes:

i) (X, τ ) es T1.

ii) Si p, q ∈ X, p 6= q, entonces existe un entorno abierto de p que no contiene a q

y otro entorno abierto de q que no contiene a p.

Es decir, si p 6= q, entonces existen U(p), V (q) tales que q 6∈ U(p) y p 6∈ V (q)

(U(p) y V (q) no son necesariamente disjuntos).

iii) Todo punto del espacio es interseccion de sus entornos.

Es decir, p =⋂

U(p)∈U(p)

U(p) para todo p ∈ X


i) ⇒ ii)

(1) (X, τ ) es T1 [Hip.]

(2) Sean p y q tales que p 6= q [Hip.]

(3) p = p, q = q [(1)]

(4) q /∈ p y p /∈ q [(2),(3)]

(5) existe U(q) tal que U(q) ∩ p = ∅ y existe V (p) tal que V (p) ∩ q = ∅ [(4)]

(6) existen U(q) y V (p) tales que p /∈ U(q) y q /∈ V (p) [(5)]

ii) ⇒ iii)

(1) Sea p ∈ X [Hip.]

a) p ⊆⋂

U(p)∈U(p)

U(p)

(2) p ∈ U(p) para todo U(p) ∈ U(p)

(3) p ∈⋂

U(p)∈U(p)

U(p) [(2)]


(4) p ⊆⋂

U(p)∈U(p)

U(p) [(3)]

b)⋂

U(p)∈U(p)

U(p) ⊆ p

(5) Supongamos que⋂

U(p)∈U(p)

U(p) 6⊆ p [Hip.]

(6) existe q ∈⋂

U(p)∈U(p)

U(p) y q /∈ p [(5)]

(7) q 6= p y q ∈ U(p) para todo U(p) ∈ U(p) [(6)]

(8) existe U(p) tal que q /∈ U(p) y q ∈ U(p) para todo U(p) ∈ U(p),

lo cual es una contradiccion [(7),(ii)]

(9)⋂

U(p)∈U(p)

U(p) ⊆ p [(5),(8)]

(10)⋂

U(p)∈U(p)

U(p) = p [(4),(9)]

iii) ⇒ i)


(2) p ⊆ p [L.1.3.3]

(3) Sea x ∈ p [Hip.]

(4) p ∈ U(x) para todo U(x) ∈ U(x) [(3)]

(5) p ∈⋂

U(x)∈U(x)

U(x) [(4)]

(6) p ∈ x [(5),(iii)]

(7) x ∈ p [(6)]

(8) p ⊆ p [(3),(7)]

(9) p = p para todo p ∈ X [(2),(8)]

(10) (X, τ ) es T1 [(9)]

2


Lema 5.2.1 Se satisfacen las siguientes propiedades:

i) Todo espacio T1 es T0.

ii) Un espacio topologico es T1 si, y solo si, todo conjunto finito es cerrado.

iii) Si X es un conjunto finito, la unica topologıa que puede definirse sobre X que lo

hace T1 es la discreta.

iv) Un espacio infinito con la topologıa cofinita es T1.

Ejercicio 5.2.1

1. Probar que:

a) Si (X, τ ) es T1 y τ ⊆ τ ∗, entonces (X, τ ∗) es T1.

b) (X, τ ) es T1 si, y solo si, contiene la topologıa cofinita.

5.3 Axioma de Hausdorff o axioma T2

Definicion 5.3.1 Un espacio topologico (X, τ ) verifica el axioma T2 si para cada

p, q ∈ X, p 6= q existen U(p) y V (q) tales que U(p) ∩ V (q) = ∅.Un espacio topologico que verifica el axioma T2 es un espacio T2 o espacio de Hausdorff.

Es decir, un espacio topologico (X, τ ) es T2 si cada par de puntos distintos del espacio

admiten entornos abiertos y disjuntos.

Ejemplo 5.3.1

1. Todo espacio T2 es T1 y, por lo tanto, T0.

2. Todo espacio discreto es T2.

3. Si un espacio es finito, la unica topologıa que lo hace T2 es la discreta.

4. Todo espacio caotico con mas de un punto no es T2.

5. Todo espacio metrico (X, d) es T2.

6. IRn con la topologıa euclıdea es T2.

7. El espacio de Sierpinski no es T2.



valentes:

i) (X, τ ) es T2.

ii) Para todo p, q ∈ X tales que q 6= p existe un entorno U(p) ∈ U(p) tal que

q /∈ U(p).

iii) Todo punto del espacio es interseccion de la clausura de sus entornos, es decir,

p =⋂

U(p)∈U(p)

U(p), para todo p ∈ X.


i) ⇒ ii)

(1) (X, τ ) es T2 [Hip.]

(2) Sean p, q ∈ X tales que q 6= p [Hip.]

(3) existen U(p) y V (q) tales que U(p) ∩ V (q) = ∅ [(1),(2)]

(4) existe V (q) tal que V (q) ∩ U(p) = ∅ [(3)]

(5) q 6∈ U(p) [(4)]

(6) existe un entorno U(p) ∈ U(p) tal que q 6∈ U(p) [(3),(5)]

ii) ⇒ iii)

(1) Para todo p, q ∈ X tales que q 6= p existe

un entorno U(p) ∈ U(p) tal que q /∈ U(p) [Hip.]


a) p ⊆⋂

U(p)∈U(p)

U(p)

(3) p ∈ U(p) ⊆ U(p), para todo U(p) ∈ U(p)

(4) p ∈ U(p), para todo U(p) ∈ U(p) [(3)]

(5) p ⊆⋂

U(p)∈U(p)

U(p) [(4)]


b)⋂

U(p)∈U(p)

U(p) ⊆ p

(6) Sea q ∈ X tal que q 6= p [Hip.]

(7) existe un entorno U(p) ∈ U(p) tal que q /∈ U(p) [(6),(1)]

(8) q ∈(

⋂U(p)∈U(p)

U(p)

)c

[(7)]

(9) pc ⊆(

⋂U(p)∈U(p)

U(p)

)c

[(6),(8)]

(10)⋂

U(p)∈U(p)

U(p) ⊆ p [(9)]

(11)⋂

U(p)∈U(p)

U(p) = p para todo p ∈ X [(5),(10)]

iii) ⇒ i)

(1) p =⋂

U(p)∈U(p)

U(p) para todo p ∈ X [Hip.]


(3) p =⋂

U(p)∈U(p)

U(p) [(1),(2)]

(4) q 6∈⋂

U(p)∈U(p)

U(p) [(2),(3)]

(5) existe U(p) tal que q 6∈ U(p) [(4)]

(6) existe V (q) ∈ U(q) tal que V (q) ∩ U(p) = ∅ [(5)]

(7) existen V (q), U(p) tales que V (q) ∩ U(p) = ∅ [(6)]

(8) (X, τ ) es T2 [(2),(7)]

2

Ejercicio 5.3.1 Probar que, un espacio topologico (X, τ ) es T2 si, y solo si, el conjunto

4 = (x, y) ∈ X ×X : y = x es cerrado en X ×X.


Teorema 5.3.2

i) Los espacios T2 son invariantes por biyecciones cerradas (abiertas).

ii) Todo subespacio de un espacio T2 es T2.

iii) Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos,∏

α∈AYα es T2 si, y solo si,

Yα es T2 para cada α ∈ A.

Dem.

i)

(1) Sean (X, τX ) un espacio T2,

(2) f : (X, τX ) → (Y, τY ) una biyeccion cerrada (abierta) y

(3) sean y1, y2 ∈ Y tales que y1 6= y2 [Hip.]

(4) existen x1, x2 ∈ X tales que f(x1) = y1, f(x2) = y2, f(x1) 6= f(x2) [(2),(3)]

(5) existen x1, x2 ∈ X tal que x1 6= x2 [(2),(4)]

(6) existen U(x1), V (x2) tales que U(x1) ∩ V (x2) = ∅ [(1),(5)]

(7) f(U(x1)) ∈ τY , f(V (x2)) ∈ τY [(2),(6)]

(8) y1 = f(x1) ∈ f(U(x1)) [(4)]

(9) y2 = f(x2) ∈ f(V (x2)) [(4)]

(10) f(U(x1)) = U(y1) ∈ U(y1), f(V (x2)) = V (y2) ∈ U(y2) [(7),(8),(9)]

(11) U(y1) ∩ V (y2) = f(U(x1)) ∩ f(V (x2)) = f(U(x1) ∩ V (x2)) = ∅ [(6),(2)]

(12) existen U(y1), V (y2) tales que U(y1) ∩ V (y2) = ∅ [(10),(11)]

(13) (Y, τY ) es T2 [(3),(12)]

ii)

(1) Sea (X, τ ) un espacio T2 y sea A ⊆ X [Hip.]

(2) Sean p, q ∈ A tales que p 6= q [Hip.]


(3) existen U(p), V (q) ∈ τ tales que U(p) ∩ V (q) = ∅ [(1),(2)]

(4) p ∈ U(p) ∩ A = UA(p) ∈ τA

q ∈ V (q) ∩A = VA(q) ∈ τA [(2),(3)]

(5) UA(p) ∩ VA(q) = U(p) ∩ V (q) ∩A = ∅ [(3),(4)]

(6) existen UA(p), VA(q) tales que UA(p) ∩ VA(q) = ∅ [(4),(5)]

(7) (A, τA) es T2 [(2),(6)]

2

Ejercicio 5.3.2 Sea X un conjunto no vacıo y sean τ1, τ2 dos topologıas para X,

probar que si (X, τ1) es T2 y τ1 ⊆ τ2, entonces (X, τ2) es T2.

Teorema 5.3.3 Se satisfacen las siguientes propiedades:

i) En un espacio T2, todo conjunto finito es cerrado.

ii) Si (X, τ ) es T2 y A ⊆ X, entonces x es punto de acumulacion de A si, y solo si,

todo entorno de x contiene infinitos puntos de A.

Dem.

i)

Inmediato del Lema 5.2.1 y del Ejemplo 5.3.1.

ii)

(1) Sean (X, τ ) un espacio T2, A ⊆ X y x ∈ X [Hip.]

(⇒)

(2) Sea x ∈ A′ [Hip.]

(3) Supongamos que existe un entorno de x que contiene un numero

finito de puntos de A, esto es, existe U(x) tal que U(x) ∩ A es un

conjunto finito [Hip.]

(4) U(x) ∩A− x ⊆ U(x) ∩A


(5) U(x) ∩A− x = B es un conjunto finito [(3), (4)]

(6) B es un conjunto cerrado y x 6∈ B [(5),(1),T.5.3.3]

(7) Bc es abierto y x ∈ Bc [(6)]

(8) Bc ∈ U(x) [(7)]

(9) W (x) = Bc ∩ U(x) ∈ U(x) [(8)]

(10) W (x) ∩ A− x = Bc ∩ U(x) ∩A− x = Bc ∩B = ∅ [(9),(5)]

(11) existe W (x) tal que W (x) ∩A− x = ∅ [(9),(10)]

(12) x 6∈ A′, lo que contradice (2) [(11)]

(13) Todo entorno de x contiene infinitos puntos de A [(3),(12)]

(⇐)

(14) U(x) ∩A es un conjunto infinito para todo U(x) [Hip.]

(15) Sea U(x) ∈ U(x) [Hip.]

(16) U(x) ∩A− x es un conjunto infinito [(14),(15)]

(17) U(x) ∩A− x 6= ∅ [(16)]

(18) U(x) ∩A− x 6= ∅ para todo U(x) [(15),(17)]

(19) x ∈ A′ [(18)]

2

Observacion 5.3.1 En la demostracion del Teorema 5.3.3 se pone de manifiesto que

la propiedad:

“si todo entorno de x contiene infinitos puntos de A, entonces x es punto de acu-

mulacion de A”,

se satisface en cualquier espacio topologico, independientemente de que sea T2 o no.

Propiedades de las funciones continuas en los espacios T2

Teorema 5.3.4 Sean (X, τX) e (Y, τY ) dos espacios topologicos tales que Y es T2 y

sean f : (X, τX) → (Y, τY ) y g : (X, τX) → (Y, τY ) dos funciones continuas, se satis-

facen las siguientes propiedades:


i) x ∈ X : f(x) = g(x) es cerrado en X.

ii) Si D ⊆ X es denso y f/D = g/D, entonces f = g.

iii) Si f es inyectiva, entonces (X, τX) es T2.

iv) El grafico de la funcion f es cerrado en X × Y.

Dem. Sean (X, τX) e (Y, τY ) dos espacios topologicos tales que

(1) Y es T2 ,

(2) f : X → Y y g : X → Y son funciones continuas [Hip.]

ii)

(3) Sea D ⊆ X denso tal que

(4) f/D = g/D [Hip.]

(5) F = x ∈ X : f(x) = g(x) ⊆ X es cerrado en X [(1),(2),T.5.3.4]

(6) f(d) = g(d) para todo d ∈ D [(4)]

(7) D ⊆ F [(5),(6)]

(8) F = X [(3),(7),T.1.3.4]

(9) f(x) = g(x) para todo x ∈ X [(5),(8)]

(10) f = g [(9)]

iii)

(3) Sea f : X → Y inyectiva y [Hip.]

(4) sean x1 y x2 ∈ X tales que x1 6= x2 [Hip.]

(5) f(x1), f(x2) ∈ Y y f(x1) 6= f(x2) [(3),(4)]

(6) existen U = U(f(x1)) ∈ U(f(x1)) y V = V (f(x2)) ∈ U(f(x2))


(7) tales que U(f(x1)) ∩ V (f(x2)) = ∅ [(1),(5)]

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•

•

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X Y

f

U1

V1

x1

x2

f(x1)

f(x2)

U

V

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(8) U1 = f−1(U(f(x1))) ∈ τX y V1 = f−1(V (f(x2))) ∈ τX [(6),(2)]

(9) x1 ∈ f−1(U(f(x1))), x2 ∈ f−1(V (f(x2))) [(6)]

(10) U1 = U(x1) ∈ U(x1) y V1 = U(x2) ∈ U(x2) [(8),(9)]

(11) U1 ∩ V1 = f−1(U) ∩ f−1(V ) = f−1(U ∩ V ) = ∅ [(7),(8)]

(12) existen U1 y V1 entornos abiertos de x1 y x2, respectivamente,

tales que U1 ∩ V1 = ∅ [(10),(11)]

(13) X es T2 [(4),(12)]

iv)

(3) Sea Gf = (x, y) ∈ X × Y : y = f(x) = (x, f(x)) : x ∈ X el

grafico de la funcion f

(4) Sea (x, y) ∈ (Gf )c [Hip.]

(5) y 6= f(x) [(4)]

(6) existen U(y), V (f(x)) ∈ τY tales que U(y) ∩ V (f(x)) = ∅ [(5),(1)]


(7) f−1(V (f(x))) ∈ τX, x ∈ f−1(V (f(x)) [(6),(2)]

(8) V (x) = f−1(V (f(x))) ∈ U(x) [(7)]

(9) W (x, y) = V (x) × U(y) ∈ U(x, y) [(6),(8)]

(10) Supongamos que Gf ∩W (x, y) 6= ∅, esto es,

existe (z, t) ∈ Gf ∩W (x, y) [Hip.]

(11) (z, t) ∈ W (x, y) y (z, t) ∈ Gf [(10)]

(12) z ∈ f−1(V (f(x))), t ∈ U(y), t = f(z) [(11),(9),(8)]

(13) f(z) ∈ V (f(x)), t ∈ U(y), t = f(z) [(12)]

(14) t ∈ U(y) ∩ V (f(x)), lo que contradice (5) [(13)]

(15) Gf ∩W (x, y) = ∅ [(10),(14)]

(16) para cada (x, y) ∈ Gf existe W (x, y) ∈ U(x, y)

tal que W (x, y) ⊆ (Gf )c [(4),(9),(15)]

(17) (Gf )c es abierto [(16),T.1.1.1]

(18) Gf es cerrado en X × Y [(17)]

2

5.4 Espacios regulares o espacios T3

Definicion 5.4.1 Un espacio topologico (X, τ ) verifica el axioma de regularidad o

axioma T3 si, y solo si, para cada p ∈ X y para cada F ⊆ X cerrado tal que p 6∈ F

existen dos abiertos U y V tales que U ∩ V = ∅, p ∈ U y F ⊆ V .

Observacion 5.4.1 Un espacio topologico (X, τ ) puede verificar el axioma de regula-

ridad y no ser un espacio T2 como se muestra en el siguiente ejemplo.

Sea X = a, b, c, d y τ = ∅, a, b, c, d,X.

i) (X, τ ) verifica el axioma de regularidad

(1) τcerr = ∅, c, d, a, b,X

(2) Sea F1 = a, b cerrado en X y sea x 6∈ F1


(3) si x = c (o x = d), existen U = c, d ∈ τ y V = a, b ∈ τ tales que

c ∈ U (d ∈ U), F1 ⊆ V y U ∩ V = ∅ [(2)]

(4) Sea F2 = c, d cerrado en X y sea x 6∈ F

(5) Si x = a (o x = b), existen U = a, b ∈ τ y V = c, d ∈ τ tales que

a ∈ U (b ∈ U), F2 ⊆ V y U ∩ V = ∅ [(4)]

(6) (X, τ ) verifica el axioma de regularidad. [(2),...,(5)]

ii) (X, τ ) no es T2

(7) existen a, b ∈ X tales que U(a) ∩ V (b) 6= ∅. para todo U(a) y V (b)

Lema 5.4.1 Si (X, τ ) es un espacio topologico tal que:

i) X satisface el axioma de regularidad y

ii) x es cerrado en X, para todo x ∈ X,

entonces X es T2.

Dem.

(1) Sea (X, τ ) un espacio topologico que satisface las condiciones i) y ii) [Hip.]

(2) Sean x, y ∈ X tales que x 6= y [Hip.]

(3) x 6∈ y, y es cerrado en X [(2),(ii)]

(4) existen U, V ∈ τ tales que x ∈ U, y ⊆ V y U ∩ V = ∅ [(3),(i)]

(5) U = U(x) ∈ U(x) y V = V (y) ∈ U(y) [(4)]

(6) existen U(x) y V (y) tales que U(x) ∩ V (y) = ∅ [(4),(5)]

(7) (X, τ ) es T2 [(2),(6)]

2

Definicion 5.4.2 Un espacio topologico (X, τ ) es un espacio regular o espacio T3 si

es T1 y satisface el axioma de regularidad.

Es decir, un espacio topologico (X, τ ) es T3 si, y solo si, satisface las siguientes condi-

ciones:


1) (X, τ ) es T1.

2) Si F ⊆ X es cerrado en X y p 6∈ F , entonces existen U ∈ τ, V ∈ τ tales que

U ∩ V = ∅, p ∈ U y F ⊆ V

Observacion 5.4.2 Si un espacio topologico (X, τ ) verifica el axioma de regularidad

no implica necesariamente que sea T1, por ejemplo el espacio topologico (X, τ ) con

X = a, b, c, d y τ = ∅, a, b, c, d,X verifica el axioma de regularidad y no es

T1.

Ejemplo 5.4.1

1. Si (X, d) es un espacio metrico, entonces (X, τd) es T3.

2. (IRn, τε) es T3.

Ejercicio 5.4.1 Probar que todo espacio T3 es T2.

Observacion 5.4.3 La recıproca de la propiedad 2 enunciada en el Ejemplo 5.4.1 no

es valida como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5.4.2 Sea IR el conjunto de los numeros reales y sea τ la topologıa generada

por la familia Σ = (a, b) : a, b ∈ IR ∪ IQ, entonces (IR, τ ) es T2 pero no es T3.

En efecto:

La topologıa τ = τ (Σ) generada por la familia Σ = (a, b) : a, b ∈ IR ∪ IQ, tiene por

base a Bτ = (a, b) : a, b ∈ IR ∪ (a, b) ∩ IQ : a, b ∈ IR, es decir, Bτ esta formada por

los intervalos abiertos ordinarios y los intervalos abiertos racionales.

1. (IR, τ ) es T2

(1) Sea A ∈ τε y sea x ∈ A [Hip.]

(2) existe E(x, δ) : E(x, δ) ⊆ A [(1)]

(3) para cada x ∈ A existe B = E(x, δ) ∈ Bτ tal que x ∈ B ⊆ A [(2)]

(4) A ∈ τ [(3),T.1.2.2]

(5) τε ⊆ τ [(1),(4)]

(6) (IR, τε) es T2 [Ej.5.3.1]

(7) (IR, τ ) es T2 [(5),(6),E.5.3.2]


2. (IR, τ ) no satisface el axioma de regularidad

(8) IQ ∈ τ

(9) el conjunto de los numeros irracionales, II, es cerrado en (IR, τ )

e y = 1 6∈ II [(7)]

(10) Sea U ∈ τ tal que 1 ∈ U [Hip.]

(11) existe B1 ∈ Bτ tal que 1 ∈ B1 ⊆ U

Primer caso.

(12) B1 = (1 − ε, 1 + ε) ∩ IQ para algun ε > 0 [(11)]

(13) Sea V ∈ τ tal que II ⊆ V

(14) existe i ∈ II tal que i ∈ (1 − ε, 1 + ε)

(15) i ∈ (1 − ε, 1 + ε) ∩ II [(14)]

(16) i ∈ V y V ∈ τ [(13),(14)]

(17) existe δ > 0 tal que i ∈ (i− δ, i+ δ) ⊆ V [(16)]

(18) Sea δ′ 6 δ tal que 1 − ε < i− δ

′< i < i+ δ

′< 1 + ε

( ( | ( | | ) ) )1 − ε i− δ 1 i− δ′ i q i+ δ′ 1 + ε i+ δ

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(19) (i− δ′, i+ δ

′) ⊆ (i− δ, i+ δ) ⊆ V [(17),(18)]

(20) (i− δ′, i+ δ

′) ⊆ (1 − ε, 1 + ε) [(18)]

(21) existe q ∈ IQ : q ∈ (i− δ′, i+ δ

′)

(22) q ∈ (i− δ′, i+ δ

′) ∩ IQ ⊆ (1 − ε, 1 + ε) ∩ IQ ⊆ U [(20),(21),(12),(11)]

(23) q ∈ (i− δ′, i+ δ

′) ∩ IQ ⊆ (i− δ

′, i+ δ

′) ⊆ V [(21),(19)]

(24) q ∈ U y q ∈ V [(22),(23)]


(25) U ∩ V 6= ∅ [(24)]

(26) para todo V ∈ τ tal que II ⊆ V se verifica que U ∩ V 6= ∅ [(13),(25)]

Segundo caso.

(27) B1 = (a, b) para algun a, b ∈ IR

(28) 1 ∈ (a, b) ⊆ U [(11)]

(29) existe ε > 0 tal que 1 ∈ (1 − ε, 1 + ε) ⊆ (a, b) ⊆ U [(28)]

(30) Sea V ∈ τ tal que II ⊆ V

(31) existe i ∈ II tal que i ∈ (1 − ε, 1 + ε) ⊆ U [(29)]

(32) i ∈ U y i ∈ V [(30),(31)]

(33) U ∩ V 6= ∅ [(32)]

(34) U ∩ V 6= ∅, para todo V ∈ τ tal que II ⊆ V [(30),(33)]

(35) para todo U, V ∈ τ tales que 1 ∈ U, II ⊆ V se verifica

que U ∩ V 6= ∅ [(26),(34),(10)]

(36) (IR, τ ) no verifica el axioma de regularidad [(9),(35)]

(37) (IR, τ ) no es T3 [(36)]

Este ejemplo muestra que una topologıa mas fina que una topologıa T3 no es

necesariamente T3, puesto que (IR, τε) es T3, τε ⊆ τ y (IR, τ ) no es T3. En general, si

(X, τ1) es T3 y τ1 ⊆ τ no implica que (X, τ ) sea T3.

Formulaciones equivalentes para los espacios regulares

Teorema 5.4.1 Sea (Y, τ ) un espacio T1, las siguientes condiciones son equivalentes:

i) (Y, τ ) es T3.

ii) Para cada y ∈ Y y para cada U ∈ U(y) existe V ∈ U(y) tal que V ⊆ U.

iii) Para cada y ∈ Y y para cada cerrado A ⊆ Y tal que y 6∈ A existe V ∈ U(y) con

V ∩ A = ∅.


Dem. Sea (Y, τ ) un espacio topologico T1 [Hip.]

i) ⇒ ii)

(1) (Y, τ ) es T3 [Hip.]

(2) Sea y ∈ Y y sea U ∈ U(y) [Hip.]

(3) y ∈ U y U ∈ τ [(2)]

(4) y 6∈ U c y U c es cerrado en Y [(3)]

(5) existen abiertos V y W tales que:

(6) V ∩W = ∅

(7) y ∈ V

(8) U c ⊆W [(1),(4)]

(9) V ∈ U(y) [(5),(7)]

(10) V ⊆W c [(6)]

(11) V ⊆W c = W c ⊆ U [(10),(5),(8)]

(12) V ⊆ U [(11)]

(13) existe V ∈ U(y) tal que V ⊆ U [(9),(12)]

ii) ⇒ iii)

(1) Para cada y ∈ Y y para cada U ∈ U(y) existe V ∈ U(y) tal que

V ⊆ U [Hip.]

(2) Sea y ∈ Y y sea A ⊆ Y cerrado tal que y 6∈ A [Hip.]

(3) y ∈ Ac y Ac es abierto [(2)]

(4) Ac ∈ U(y) [(3)]

(5) existe V ∈ U(y) tal que V ⊆ Ac [(4),(1)]

(6) existe V ∈ U(y) tal que V ∩A = ∅ [(5)]

iii) ⇒ i)


(1) Para cada y ∈ Y y para cada cerrado A ⊆ Y tal que y 6∈ A

existe V ∈ U(y) con V ∩A = ∅ [Hip.]

(2) (Y, τ ) es T1

(3) Sea y ∈ Y y sea A ⊆ Y cerrado tal que y 6∈ A

(4) existe V ∈ U(y) : V ∩A = ∅ [(3),(1)]

(5) V ∈ U(y) ⊆ τ, y ∈ V [(4)]

(6) A ⊆ (V )c [(4)]

(7) Sea U = (V )c

(8) U ∩ V = (V )c ∩ V ⊆ (V )c ∩ V = ∅ [(7)]

(9) existen U y V ∈ τ tales que y ∈ V, A ⊆ U y U ∩ V = ∅ [(5),(6),(7),(8)]

(10) (Y, τ ) verifica el axioma de regularidad [(3),(9)]

(11) (Y, τ ) es T3 [(2),(10)]

2

Ejercicio 5.4.2 Probar que las condiciones enunciadas en el Teorema 5.4.1 son equi-

valentes a:

iv) Para cada y ∈ Y y para cada cerrado A ⊆ Y tal que y 6∈ A existe V ∈ τ tal que

A ⊆ V y y 6∈ V

Corolario 5.4.1 Sea (Y, τ ) un espacio topologico T1 y sea Σ una subbase de τ tal que

para cada y ∈ Y , para cada U ∈ Σ tal que y ∈ U existe V ∈ τ con y ∈ V ⊆ V ⊆ U .

Entonces (Y, τ ) es T3.

Dem.

(1) Sea (Y, τ )T1 y sea Σ una subbase de τ tal que

(2) para cada y ∈ Y , para cada U ∈ Σ tal que y ∈ U existe V ∈ Σ

con y ∈ V y V ⊆ U [Hip.]

(3) Sea y ∈ Y, U ∈ U(y) [Hip.]


(4) y ∈ Y, U ∈ τ [(3)]

(5) existe una subfamilia finita de Σ, Uii∈In ⊆ Σ, tal que

y ∈n⋂

i=1

Ui ⊆ U [(4),(1)]

(6) Ui ∈ Σ, y ∈ Ui, para todo i ∈ In [(5)]

(7) para cada i ∈ In existe Vi ∈ Σ tal que y ∈ Vi ⊆ Vi ⊆ Ui [(6),(2)]

(8) Sea V =n⋂

i=1

Vi ∈ τ [(7)]

(9) y ∈ V, V ∈ τ [(8),(7)]

(10) V =n⋂

i=1

Vi ⊆n⋂

i=1

Vi ⊆n⋂

i=1

Ui ⊆ U [(8),(7),(5)]

(11) existe V ∈ U(y) tal que V ⊆ U [(9),(10)]

(12) (Y, τ ) es T3 [(1),(3),(11),T.5.4.1]

2

Corolario 5.4.2 (IRn, τε) es T3.

Dem.

(1) Sea y ∈ IRn y sea U ∈ U(y) [Hip.]

(2) existe ε > 0 tal que E(y, ε) ⊆ U [(1)]

(3) existe V = E(y,ε

2) ∈ U(y) tal que V = E(y,

ε

2) ⊆ E(y, ε) ⊆ U [(2)]

(4) existe V ∈ U(y) tal que V ⊆ U [(3)]

(5) Para cada y ∈ IRn y para cada U ∈ U(y) existe V ∈ U(y)

tal que V ⊆ U [(1),(4)]

(6) (IRn, τε) es T1 [Ej.5.3.1]

(7) (IRn, τε) es T3 [(5),(6),T.5.4.1]


2

Ejercicio 5.4.3 Analizar si el Corolario 5.4.2 se puede generalizar a cualquier espacio

metrico (X, d).


i) Todo subespacio de un espacio T3 es T3.

ii) Los espacios T3 se mantienen invariantes por homeomorfismos.

iii) Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos,∏

α∈AYα es T3 si, y solo si,


5.5 Espacios normales o T4

Definicion 5.5.1 Un espacio topologico (X, τ ) verifica el axioma de normalidad si

todo par de conjuntos cerrados y disjuntos tienen entornos abiertos y disjuntos.

Es decir, si A y B son cerrados en (X, τ ) tales que A ∩ B = ∅, entonces existen

U ∈ τ, V ∈ τ con A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅

Definicion 5.5.2 Un espacio topologico (X, τ ) es un espacio normal o espacio T4 si

es T1 y verifica el axioma de normalidad.

Es decir, (X, τ ) es T4 si, y solo si, satisface las condiciones:

1. (X, τ ) es T1

2. Si A y B son cerrados en (X, τ ) tales que A ∩B = ∅, entonces existen U, V ∈ τ

con A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅

Observacion 5.5.1 El axioma de normalidad no implica necesariamente el axioma T1,

es decir, un espacio (X, τ ) que verifique el axioma de normalidad no necesariamente

es un espacio T1, por ejemplo, todo espacio caotico con mas de un punto verifica el

axioma de normalidad pero no es T1.

Ejemplo 5.5.1

1. Todo espacio discreto (X,D) es T4.

2. Todo espacio T4 es T3.


3. Todo espacio metrico (X, d) es un espacio T4.

Formulaciones equivalentes para los espacios normales


i) (Y, τ ) es T4.

ii) Para todo cerrado A ⊆ Y y todo abierto U ⊇ A existe un abierto V tal que

A ⊆ V ⊆ V ⊆ U.

iii) Para cada par de conjuntos cerrados disjuntos, A y B, existe un abierto U tal

que A ⊆ U y U ∩ B = ∅.

iv) Para cada par de conjuntos cerrados disjuntos, A y B, existen entornos abiertos

cuyas clausuras son disjuntas, es decir, si A y B son cerrados tales que A∩B = ∅,entonces existen U, V ∈ τ con A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅.

Dem.

Sea (Y, τ ) un espacio T1 [Hip.]

i) ⇒ ii)

(1) (Y, τ ) es T4 [Hip.]

(2) Sean A ⊆ Y cerrado y U ∈ τ tales que A ⊆ U [Hip.]

(3) A ⊆ Y es cerrado, U c cerrado y A ∩ U c = ∅ [(2)]

(4) existen V,W ∈ τ tales que:

(5) V ∩W = ∅

(6) A ⊆ V

(7) U c ⊆W [(1),(3)]

(8) V ⊆W c [(5)]

(9) V ⊆W c = W c ⊆ U [(8),(4),(7)]

(10) A ⊆ V ⊆ V ⊆ U [(6),(9)]

(11) existe V ∈ τ tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U. [(4),(10)]


ii) ⇒ iii)

(1) Para todo cerrado A ⊆ Y y todo abierto U ⊇ A existe V ∈ τ

tal que A ⊆ V y V ⊆ V ⊆ U [Hip.]

(2) Sean A ⊆ Y, B ⊆ Y cerrados tales que A ∩B = ∅ [Hip.]

(3) A es cerrado, Bc es abierto y A ⊆ Bc [(2)]

(4) existe U ∈ τ tal que A ⊆ U ⊆ U ⊆ Bc [(1),(3)]

(5) existe U ∈ τ tal que A ⊆ U y U ∩ B = ∅ [(4)]

iii) ⇒ iv)

(1) Para cada par de conjuntos cerrados disjuntos A, B existe

un abierto U tal que A ⊆ U y U ∩B = ∅ [Hip.]

(2) Sean A ⊆ Y, B ⊆ Y cerrados tales que A ∩ B = ∅ [Hip.]

(3) existe U ∈ τ tal que A ⊆ U y U ∩ B = ∅ [(1),(2)]

(4) B es cerrado, U es cerrado y U ∩B = ∅ [(3),(2)]

(5) existe V ∈ τ tal que B ⊆ V y V ∩ U = ∅ [(4),(1)]

(6) existen U, V ∈ τ tales que A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅ [(3),(5)]

iv) ⇒ i)

(1) Para cada par de conjuntos cerrados A y B tales que A ∩B = ∅

existen U, V ∈ τ con A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅ [Hip.]

(2) (Y, τ ) es T1 [Hip.]

(3) Sean A ⊆ Y, B ⊆ Y cerrados tales que A ∩B = ∅ [Hip.]

(4) existen U, V ∈ τ tales que A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅. [(1),(3)]

(5) U ∩ V = ∅ [(4)]

(6) (Y, τ ) verifica el axioma de normalidad [(3),(4),(5)]


(7) (Y, τ ) es T4 [(2),(6)]

2


i) Los espacios T4 son invariantes por suryecciones continuas y cerradas.

ii) Todo subespacio cerrado de un espacio T4 es T4.

iii) Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos. Si∏

α∈AYα es T4, entonces


Dem.

i)

(1) Sean (X, τX ) un espacio T4, [Hip.]

(2) f : X → Y una funcion sobreyectiva,

(3) continua y

(4) cerrada [Hip.]

a) (Y, τY ) es T1


(6) existe x ∈ X tal que f(x) = y [(5),(2)]

(7) (X, τX) es T1 [(1)]

(8) x es cerrado en X [(7)]

(9) y = f(x) = f(x) es cerrado en Y [(6),(8),(4)]

(10) (Y, τY ) es T1 [(5),(9)]

b) (Y, τY ) verifica el axioma de normalidad

(11) Sean A ⊆ Y, B ⊆ Y cerrados en Y tales que A ∩ B = ∅ [Hip.]

(12) f−1(A) ⊆ X, f−1(B) ⊆ X son cerrados en X y


f−1(A) ∩ f−1(B) = ∅ [(3),(11)]

(13) existen V,U ∈ τX tales que

(14) f−1(A) ⊆ U, f−1(B) ⊆ V

(15) U ∩ V = ∅ [(1),(12)]

(16) A ⊆ Y, f : X → Y cerrada, U ∈ τX y f−1(A) ⊆ U [(4),(13),(14)]

(17) existe U(A) ∈ τY tal que f−1(U(A)) ⊆ U y A ⊆ U(A) [(16),T.2.2.3]

(18) B ⊆ Y, f : X → Y cerrada, V ∈ τX y f−1(B) ⊆ V [(4),(13),(14)]

(19) existe V (B) ∈ τY tal que f−1(V (B)) ⊆ V y B ⊆ V (B) [(18),T.2.2.3]

(20) f−1(U(A) ∩ V (B)) = f−1(U(A)) ∩ f−1(V (B)) ⊆ U ∩ V [(16),(18)]

(21) f−1(U(A) ∩ V (B)) = ∅ [(20),(15)]

(22) U(A) ∩ V (B) = ∅ [(21),(2)]

(23) existen U(A), V (B) ∈ τY tales que A ⊆ U(A), B ⊆ V (B)

y U(A) ∩ V (B) = ∅ [(17),(19),(22)]

(24) (Y, τY ) verifica el axioma de normalidad [(11),(23)]

(25) (Y, τY ) es T4 [(10),(24)]

2

Caracterizacion de Uryshon de los espacios normales

En general, dado un espacio topologico arbitrario (X, τ ) no es posible definir una

funcion, f : (X, τ ) → (IR, τε), continua y no constante. Una de las razones por la

cual los espacios normales son importantes es, precisamente, porque siempre es factible

definir sobre ellos funciones reales de este tipo.

De lo expuesto, resulta que en los espacios T4 existe un gran numero de funciones

reales continuas y no constantes. El siguiente teorema asegura la existencia de este

tipo de funciones.

Teorema 5.5.3 Sea (Y, τ ) un espacio Hausdorff. Las siguientes condiciones son equi-

valentes:


i) (Y, τ ) es normal

ii) Si A,B ⊆ Y son cerrados y disjuntos, entonces existe una funcion continua

f : (Y, τ ) → (IR, τε)(funcion de Uryshon) tal que :

a) 0 6 f(y) 6 1 para todo y ∈ Y

b) f(a) = 0 para todo a ∈ A

c) f(b) = 1 para todo b ∈ B

Dem.

ii) ⇒ i)

(1) Sea (Y, τ ) un espacio T2 tal que [Hip.]

(2) (Y, τ ) verifica ii) [Hip.]

(3) (Y, τ ) es un espacio T1 [(1)]

(4) Sean A,B ⊆ Y cerrados en Y tales que A ∩B = ∅ [Hip.]

(5) existe la funcion de Uryshon f : (Y, τ ) → (IR, τε)

continua que satisface:


b)f(a) = 0 para todo a ∈ A

c) f(b) = 1 para todo b ∈ B [(1),(2),(4)]

(6) Sean U = f−1

(−∞,

1

2

)y V = f−1

(1

2,∞)

[Hip.]

(7)

(−∞,

1

2

)∈ τε,

(−∞,

1

2

)∈ τε

(8) U, V ∈ τ [(5),(6),(7)]

(9) A ⊆ U [(5)(b),(6)]

(10) B ⊆ V [(5)(c),(6)]

(11) U ∩ V = ∅ [(6)]


(12) existen U, V ∈ τ tales que U ∩ V = ∅, A ⊆ U y B ⊆ V [(8),(9),(10),(11)]

(13) (Y, τ ) es un espacio T4 [(3),(4),(12)]

i) ⇒ ii)

(I) Sea (Y, τ ) un espacio T4 [Hip.]

(II) Sean A,B ⊆ Y cerrados en Y tales que A ∩B = ∅ [Hip.]

(III) Sea A =

k

2n: k ∈ IN, 0 6 k 6 2n, n ∈ IN

=

k

2n: 0 6 k

2n6 1, k ∈ IN

A es el conjunto de las fracciones diadicas del intervalo [0, 1] [Hip.]

(IV) a cada r ∈ A es posible asociar un abierto de Y , Ur, tal que

(i) A ⊆ Ur y B ∩ Ur = ∅

(ii) Si r < r′, entonces Ur ⊆ Ur′, esto es, el orden en A es identico

a la inclusion (con clausura)

Se prueba por induccion sobre el exponente de la fraccion diadica.

Es decir, para cada n ∈ IN es posible determinar

Dn =U k

2n: k ∈ IN, 0 6 k 6 2n, U k

2n∈ τ y satisface (i), (ii)

(IV1) Sea n = 0 [Hip.]

(1) existe U ∈ τ tal que A ⊆ U y U ∩B = ∅ [(I),(II),T.5.5.1]

(2) existe U ∈ τ tal que A ⊆ U ⊆ U ⊆ Bc [(1)]

(3) U es cerrado en Y , Bc es abierto en Y y U ⊆ Bc [(II),(2)]

(4) existe V ∈ τ tal que U ⊆ V ⊆ V ⊆ Bc [(I),(3),T.5.5.1]

(5) Sean U0 = U y U1 = V [Hip.]

(6) U0, U1 ∈ τ [(2),(4),(5)]

(7) A ⊆ U0 y U0 ∩B = ∅ [(2),(5)]

(8) A ⊆ U1 y U1 ∩B = ∅ [(2),(4),(5)]

(9) U0 ⊆ U1 [(4),(5)]

(10) existe la familia

D0 =U k

2n: k ∈ IN, 0 6 k 6 20, U k

2n∈ τ y satisface i), ii)


= U0, U1 ∈ τ : U0, U1 satisfacen i), ii) [(5),(6),(7),(8)]

(IV2) es posible determinar la familia

Dn−1 =U k

2n−1: k ∈ IN, 0 6 k 6 2n−1, U k

2n−1∈ τ satisface (i), (ii)

[hipotesis inductiva]

(IV3) es posible determinar Dn

(1) Sean n ∈ IN y k ∈ IN tales que 0 6 k 6 2n [Hip.]

(2) k es par o k es impar [(1)]

Primer caso.

(3) k es par, es decir k = 2m, m ∈ IN [(2)]

(4)k

2n=

m

2n−1, 0 6 m 6 2n−1 [(1),(3)]

(5) U k2n

= U m2n−1

∈ Dn−1 [(4)]

(6) existe U k2n

∈ τ que satisface i), ii) [(IV2),(5)]

Segundo caso.

(7) k es impar [(2)]

(8) k − 1, k + 1 son numeros pares [(7)]

(9) U k−12n

∈ Dn−1, U k+12n

∈ Dn−1 [(IV2),(8)]

(10)k − 1

2n6k + 1

2n

(11) U k−12n

⊆ U k+12n

[(IV2),(9),(10)]

(12) U k−12n

es cerrado en Y , U k+12n

es abierto en Y

(13) existe un abierto V en Y tal que

U k−12n

⊆ V ⊆ V ⊆ U k+12n

[(I),(11),(12),T.5.5.1]

(14) existe U k2n

∈ τ que satisface i), ii) (U k2n

= V ) [(13),(7)]

(15) es posible determinar la familia Dn [(1),(2),(6),(14)]

(IV4) Dn existe para todo n ∈ IN [(IV1),(IV2),(IV3)]

− Determinacion de la funcion de Uryshon

(V) Sea f : Y → IR definida por f(y) =

1 si S = r ∈ A : y ∈ Ur = ∅inf S si S 6= ∅ [Hip.]

(VI) f es funcion



Primer caso.

(2) S = ∅

(3) 1 ∈ IR y f(y) = 1 (existe r ∈ IR, f(y) = r (r = 1))

Segundo caso.

(4) S 6= ∅

(5) 0 6 r para todo r ∈ S [(III)]

(6) existe z = inf S ∈ IR [(4),(5)]

(7) existe z ∈ IR tal que z = f(y) [(V),(6)]

(8) Para cada y ∈ Y existe un unico z ∈ IR tal que z = f(y) [(3),(7)]

(VII) f verifica las condiciones a), b), c) enunciadas ii)



(2) 0 6 t 6 1 para todo t ∈ r ∈ A : y ∈ Ur [(III)]

(3) 0 6 inf r ∈ A : y ∈ Ur 6 1 [(2)]

(4) 0 6 f(y) 6 1 [(V),(3)]

b) f(a) = 0 para todo a ∈ A

(5) Sea a ∈ A [Hip.]

(6) A ⊆ U0 [(IV)]

(7) 0 ∈ r ∈ A : a ∈ Ur [(6)]

(8) 0 6 f(a) = infr ∈ A : a ∈ Ur 6 0 [a),(V),(7)]

(9) f(a) = 0 [(8)]

(10) f(a) = 0 para todo a ∈ A [(5),(9)]

c) f(b) = 1 para todo b ∈ B

(11) Sea b ∈ B [Hip.]

(12) Ur ∩B = ∅ para todo r ∈ A [(IV)]

(13) b 6∈ Ur para todo r ∈ A [(11),(12)]

(14) r ∈ A : b ∈ Ur = ∅ [(13)]


(15) f(b) = 1 [(V),(14)]

(16) f(b) = 1 para todo b ∈ B [(11),(15)]

(VIII) f es continua

(1) Sea y0 ∈ Y [Hip.]

(2) Pueden presentarse los siguientes casos

(i) f(y0) = r0 con 0 < r0 < 1

(ii) f(y0) = 0

(iii) f(y0) = 1 [(1)]

Primer caso.

(3) f(y0) = r0 con 0 < r0 < 1

(4) Sea W (f(y0)) = W (r0) = (r0 − ε, r0 + ε), con ε > 0 [Hip.]

(5) existen r, r ∈ A tales que r0 − ε < r < r0 < r < r0 + ε [(3), A = [0, 1]]

(6) y0 ∈ Ur

(6.1) r0 < r [(5)]

(6.2) existe δ > 0 tal que r0 + δ = r [(6.1)]

(6.3) r0 = infr ∈ A : y0 ∈ Ur [(V),(VIII(3))]

(6.4) existe r′ ∈ r ∈ A tal que y0 ∈ Ur : r0 6 r′ < r0 + δ [(6.3)]

(6.5) existe r′ ∈ A tal que y0 ∈ Ur′ y r′ < r [(6.2),(6.4)]

(6.6) r′, r ∈ A y r′ < r [(5),(6.5)]

(6.7) Ur′ ⊆ Ur [(6.6),(IV)]

(6.8) y0 ∈ Ur [(6.5),(6.7)]

(7) y0 6∈ Ur [Hip.]

(7.1) Supongamos que y0 ∈ Ur [Hip.]

(7.2) existe r′ ∈ A tal que r < r′ < r0 [(5), A = [0, 1]]

(7.3) Ur ⊆ Ur′ [(7.2),(IV)]

(7.4) existe r′ ∈ A tal que r′ < r0 y y0 ∈ Ur′ [(7.1),(7.2),(7.3)]

(7.5) r0 6= infr ∈ A : y0 ∈ Ur [(7.4)]

(7.6) ro 6= f(y0) lo que contradice (VIII(3)) [(V),(7.5)]

(7.7) y0 6∈ Ur [(7.1),(7.6)]

(8) y0 ∈ Ur ∩ (Ur)c ∈ τ [(6),(7),(IV)]


(9) Ur ∩ (Ur)c = U(y0) ∈ U(y0) [(8)]

(10) f(U(y0)) ⊆ W (f(y0)) = W (r0) = (r0 − ε, r0 + ε)

(10.1) Sea x ∈ U(y0) [Hip.]

(10.2) x ∈ Ur y x 6∈ Ur [(9),(10.1)]

(10.3) r ∈ r ∈ A : x ∈ Ur [(10.2)]

(10.4) f(x) = infr ∈ A : x ∈ Ur 6 r < r0 + ε [(V),(10.3),(5)]

(10.5) Supongamos que r no es cota inferior de r ∈ A : x ∈ Ur [Hip.]

(10.6) existe r′ ∈ r ∈ A : x ∈ Ur tal que r′ < r [(10.5)]

(10.7) Ur′ ⊆ Ur [(IV),(10.6)]

(10.8) x ∈ Ur′ ⊆ Ur′ ⊆ Ur ⊆ Ur [(10.6),(10.7)]

(10.9) x ∈ Ur lo que contradice (10.2) [(10.8)]

(10.10) r es cota inferior de r ∈ A : x ∈ Ur [(10.5), (10.9)]

(10.11) r 6 infr ∈ A : x ∈ Ur = f(x) [(V),(10.10)]

(10.12) r0 − ε < f(x) [(5),(10.11)]

(10.13) f(x) ∈ (r0 − ε, r0 + ε) [(10.4), (10.12)]

(10.14) f(U(y0)) ⊆ W (y0) [(10.1),(10.13)]

(11) Si 0 < f(y0) < 1, entonces para todo W (f(y0)) existe un U(y0)

tal que f(U(y0)) ⊆ W (y0)) [(3),(4),(9),(10)]

Segundo caso.

(12) f(y0) = 0

(13) Sea W (y0) = W (0) = (−ε, ε) con 0 < ε < 1 [Hip.]

(14) existe r ∈ A tal que 0 < r < ε [(13),A = [0, 1]]

En forma analoga al primer caso se prueba que

(15) y0 ∈ Ur

(16) Ur = U(y0) ∈ U(y0) [(IV),(15)]

(17) f(U(y0)) ⊆ W (y0)

(17.1) Sea x ∈ U(y0) [Hip.]

(17.2) r ∈ r ∈ A : x ∈ Ur [(16),(17.1)]

(17.3) f(x) = infr ∈ A : x ∈ Ur 6 r [(V),(17.2)]

(17.4) f(x) < ε [(14),(17.3)]

(17.5) 0 6 f(x) 6 1 [(7)]


(17.6) −ε < f(x) < ε [(17.4),(17.5)]

(17.7) f(U(y0)) ⊆ W (0) [(17.1),(17.6),(13)]

(18) Si f(y0) = 0, entonces para todo W (f(y0)) existe U(y0) tal que

f(U(y0)) ⊆W (f(y0)) [(12),(16),(17)]

Tercer caso.

(19) f(y0) = 1

(20) Sea W (y0) = W (1) = (1 − ε, 1 + ε) con 0 < 1 − ε < 1 [Hip.]

(21) existe r ∈ A tal que 0 < 1 − ε < r < 1 [(20), A = [0, 1]]

En forma analoga al primer caso se prueba que

(22) y0 6∈ Ur

(23) Y − Ur = U(y0) ∈ U(y0) [(22)]

(24) f(U(y0)) ⊆W (y0)

(24.1) Sea x ∈ U(y0) [Hip.]

(24.2) x 6∈ Ur [(24.1),(23)]

(24.3) Supongamos que r no es cota inferior de r ∈ A : x ∈ Ur [Hip.]

(24.4) existe r′ ∈ r ∈ A : x ∈ Ur tal que r′ < r [(24.3)]

(24.5) Ur′ ⊆ Ur [(IV),(24.4)]

(24.6) x ∈ Ur′ ⊆ Ur′ ⊆ Ur ⊆ Ur [(24.4),(24.5)]

(24.7) x ∈ Ur lo que contradice (24.2) [(24.6)]

(24.8) r es cota inferior de r ∈ A : x ∈ Ur [(24.5),(24.7)]

(24.9) r 6 infr ∈ A : x ∈ Ur = f(x) [(V),(24.8)]

(24.10) 1 − ε < f(x) [(24.9),(21)]

(24.11) 0 6 f(x) 6 1 [(VII)]

(24.12) f(x) ∈ (1 − ε, 1 + ε) [(24.10),(24.11)]

(24.13) f(U(y0)) ⊆ W (y0) [(20),(24.1),(24.12)]

(25) Si f(y0) = 1, entonces para todo W (f(y0)) existe U(y0) tal que

f(U(y0)) ⊆W (f(y0)) [(19),(20),(23),(24)]

(26) f es continua [(1),(2),(11),(18),(25)]

2


Observacion 5.5.2

1. La funcion del Teorema 10.4.1 recibe el nombre de funcion de Uryshon.

2. Del Teorema 10.4.1 resulta una propiedad muy importante de los espacios T4:

“Toda funcion real continua definida sobre un subespacio cerrado (S = A ∪ B)

puede extenderse en forma continua a todo el espacio ”.

Es decir, el Teorema de Uryshon se puede enunciar en termino de extensiones

como sigue:

Sean (Y, τ ) un espacio T4, A ⊆ Y, B ⊆ Y conjuntos disjuntos y cerrados en Y y

f : A ∪ B → IR una funcion real continua que satisface :

1. f(a) = 0 para todo a ∈ A,

2. f(b) = 1 para todo b ∈ B,

entonces existe una extension continua F : Y → IR de la funcion f tal que

0 6 F (y) 6 1 para todo y ∈ Y.

Una representacion grafica de la situacion descripta es:

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

Y

IR

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........................

................

f

f

F

......................1

A B

..................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. [[ ]]

.......................................

.......................... ...... ..........

....................................................................

....................................................

............. ............. .............

En otras palabras, el Teorema de Uryshon nos asegura que dado un espacio T4

y un subespacio cerrado B del espacio T4, la funcion caracterıstica de B, χB,

admite una extension continua.

La siguiente figura ilustra esta propiedad de los espacios T4.


.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

Y

IR

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....................

................

1

[ ]

...................... ...........................................................................................................

B

χB : IR → IR

........................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................

f1 ...................... ...........................................................................................................

[ ]B

f/B = χB

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

Y

IR

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..........................

............................................. .............

.......................................

..........................

Consecuencia de la existencia de extensiones continuas

Teorema 5.5.4 Sean (X, τX ) un espacio T1 e (Y, τY ) un espacio T2 con mas de un pun-

to. Si para cada cerrado A ⊆ X y cada funcion continua f : A → Y existe una

extension continua F : X → Y , entonces el espacio (X, τX) es T4.

Dem.

(1) Sean (X, τX ) un espacio T1 e

(2) (Y, τY ) un espacio T2 con mas de un punto [Hip.]

(3) Para cada A ⊆ X cerrado y para cada funcion continua

f : A→ Y existe F : X → Y funcion continua tal que F /A = f [Hip.]

(4) Sean A ⊆ X, B ⊆ X cerrados con A ∩ B = ∅ [Hip.]

(5) A ∪ B es cerrado en X [(4)]

(6) existen y0, y1 ∈ Y con y0 6= y1 [(2)]

(7) Sea f : A ∪ B → (Y, τY ) definida por f(x) =

y0 si x ∈ Ay1 si x ∈ B


(9) existe F : X → Y continua tal que F /A∪B = f [(3),(5),(7),(8)]

(10) existen U(y0), V (y1) ∈ τY tales que U(y0) ∩ V (y1) = ∅ [(2),(6)]


(11) F−1(U(y0)) = U ∈ τX [(9),(10)]

(12) F−1(V (y1)) = V ∈ τX [(9),(10)]

(13) Sea x ∈ A

(14) F (x) = f(x) = y0 ∈ U(y0) [(7),(9),(13)]

(15) x ∈ F−1(U(y0)) = U [(14),(11)]

(16) A ⊆ U [(13),(15)]

(17) B ⊆ V [(7),(9),(12)]

(18) U ∩ V = F−1(U(y0)) ∩ F−1(V (y1)) = F−1(U(y0) ∩ V (y1)) = ∅ [(11),(12),(10)]

(19) existen U y V abiertos en X tales que A ⊆ U, B ⊆ V

U ∩ V = ∅ [(11),(12),(16),(17),(18)]

(20) (X, τX) verifica el axioma de normalidad [(4),(19)]

(21) (X, τX) es T4 [(1),(20)]

2

5.6 Caracterizacion de Tietze de los espacios normales

El Teorema de Uryshon puede considerarse como un caso especial del teorema gene-

ral de extensiones de Tietze.

Para que resulte clara la demostracion de este teorema vamos a demostrar el si-

guiente lema que es la herramienta principal de la demostracion.

Lema 5.6.1 Sean (X, τ ) normal, A ⊆ X cerrado y g : A → IR continua tal que

|g(a)| < c para todo a ∈ A, entonces existe una funcion continua h : X → IR tal que

i) |h(x)| 61

3c para todo x ∈ X

ii) |g(a) − h(a)| 62

3c para todo a ∈ A

Dem.

(1) Sean (X, τ ) un espacio T4,


(2) A ⊆ X cerrado y

(3) g : A→ IR continua tal que |g(a)| 6 c para todo a ∈ A [Hip.]

(4) Sean A+ =a ∈ A : g(a) ≥ c

3

= g−1

([c3,∞))

y

A− =a ∈ A : g(a) 6 − c

3

= g−1

((−∞,− c

3

])[Hip.]

(5) A+ y A− son cerrados en A [(3),(4)]

(6) A+ y A− son cerrados en X y A+ ∩A− = ∅ [(5),T.1.5.1]

(7) existe h : X → IR continua tal que

(i) h(x) =c

3para todo x ∈ A+

(ii) h(x) = − c3

para todo x ∈ A−

(iii) − c3

6 h(x) 6c

3para todo x ∈ X [(1),(6),T.10.4.1]

(8) |h(x)| 6c

3para todo x ∈ X [(7)]

(9) Sea x ∈ A+ [Hip.]

(10) h(x) =c

36 g(x) 6 c [(3),(7)(i),(9)]

(11) |g(x)− h(x)| 6 2

3c [(10)]

(12) Sea x ∈ A− [Hip.]

(13) −c 6 g(x) 6 − c3

= h(x) [(3),(7)(ii),(12)]

(14) |g(x)− h(x)| 6 2

3c [(13)]

(16) Sea x ∈ A \ (A+ ∪ A−) [Hip.]

(17) − c3< g(x) <

c

3y − c

3< h(x) <

c

3[(16),(4)]

(18) |g(x)− h(x)| 62

3c [(17)]


(19) |g(x) − h(x)| 6 2

3c para todo x ∈ A [(3),(4),(9),(11),(12),(14),(16),(18)]

(20) existe h : X → IR continua tal que

(i) |h(x)| 61

3c para todo x ∈ X

(ii) |g(a) − h(a)| 62

3c para todo a ∈ A [(7),(8),(19)]

2

En la demostracion del Teorema de Tietze tambien se utilizara el siguiente lema,

cuya demostracion se omite.

Lema 5.6.2 Si fn : X → IRn∈N es una sucesion de funciones continuas tales que

para todo x ∈ IR, |fn(x)| 6 Mn para todo n ∈ IN, siendo

∞∑

n=1

Mn una serie de numeros

reales convergente, entonces f : X → IR definida por f(x) =

∞∑

n=1

fn(x) existe y es

continua.

Teorema 5.6.1 (Teorema de Tietze)

Sea (X, τ ) un espacio T2, las siguientes condiciones son equivalentes:

i) X es normal

ii) Para todo A ⊆ X cerrado en X y toda funcion continua f : A → IR existe una

extension continua F : X → IR tal que si | f(a) |< c sobre A, entonces F puede

ser elegida tal que | F (x) |< c sobre X.

Dem. Sea (X, τ ) un espacio T2

ii) ⇒ i)

Resulta inmediata del Teorema 5.5.4

i) ⇒ ii)

(1) Sean X un espacio T4,

(2) A ⊆ X un conjunto cerrado y f : A→ IR una funcion continua [Hip.]

(3) Se presentan los siguientes casos:


(i) | f(a) |6 c para todo a ∈ A

(ii) | f(a) |< c para todo a ∈ A

(iii) f es una funcion no acotada

Primer caso.

(4) | f(a) |6 c para todo a ∈ A [(3)(i)]

(5) existe una funcion continua h0 : X → IR tal que

i) | h0(x) |6c

3para todo x ∈ X,

ii) | f(x) − h0(x) |62

3c para todo x ∈ A [(1),(2),L.10.5.1]

(6) Sea g : A→ IR definida por g(x) = f(x) − h0(x) [Hip.]

(7) g es continua y | g(x) |6 2

3c para todo x ∈ A [(2),(5),(6)]

(8) existe h1 : X → IR continua tal que

i) | h1(x) |61

3· 2

3c para todo x ∈ X y

ii) | f(x)− (h0(x)+h1(x)) |6(

2

3

)2

· c para todo x ∈ A [(1),(2),(6),(7),L.10.5.1]

Repitiendo este procedimiento resulta que

(9) para cada n ∈ IN existe hn : X → IR continua tal que

i) | hn(x) |6 1

3·(

2

3

)n

· c para todo x ∈ X y

ii)

∣∣∣∣∣f(x) −n∑

k=0

hk(x)

∣∣∣∣∣ 62

3·(

2

3

)n

· c para todo x ∈ A

(10) Sea F : X → IR definida por F (x) =∞∑

n=1

hn(x) [Hip.]

(11)

∞∑

n=1

1

3·(

2

3

)n

· c =

∞∑

n=1

c

3·(

2

3

)n

es una serie geometrica


de razon menor que 1 y, por lo tanto, es convergente

(12) F existe y es continua [(9),(10),(11),L.10.5.1]

(13)c

3·(

2

3

)n

−−→n→∞

0 [(11)]

(14) f(x) = F (x) =∞∑

n=1

hn(x) para todo x ∈ A [(9),(13)]

(15) |F (x)| 61

3c ·

∞∑

n=0

(2

3

)n

= c [(9),(10)]

(16) Si |f(a)| 6 c sobre A, f tiene una extension continua F : X → IR

tal que |F (x)| 6 c para todo x ∈ X [(12),(14),(15)]

Segundo caso.

(17) |f(a)| < c sobre A [(3)(ii)]

(18) f tiene una extension continua F : X → IR tal que

|F (x)| 6 c para todo x ∈ X [(17), analogo a (16)]

(19) Sea B = x ∈ X : F (x) = c [Hip.]

(20) B = F−1(c) [(19)]

(21) B es cerrado [(18),(20)]

(22) |F (x)| < c para todo x ∈ A [(17),(18)]

(23) B ∩A = ∅ [(19),(22)]

(24) existe una funcion continua ϕ : X → IR tal que

i) ϕ(x) = 1 para todo x ∈ A,

ii) ϕ(x) = 0 para todo x ∈ B y

iii) 0 6 ϕ(x) 6 1 [(1),(2),(21),(23),T.Uryshon]

(25) Sea G : X → IR definida por G(x) = ϕ(x) · F (x) [Hip.]


(26) G es continua [(18),(24),(25)]

(27) G(x) = F (x) = f(x) para todo x ∈ A (G/A = f) [(18),(24),(25)]

(28) |G(x)| = 0 si x ∈ B [(24),(25)]

(29) |G(x)| = |ϕ(x) · F (x)| = |ϕ(x)| · |F (x)| 6 |F (x)| < c para

cada x 6∈ B [(24),(25),(19)]

(30) |G(x)| < c para todo x ∈ X [(28),(29)]

(31) Si |f(a)| < c en A, f tiene una extension continua G : X → IR

tal que |G(x)| < c para todo x ∈ X [(26),(27),(30)]

Tercer Caso.

(32) f es una funcion no acotada [(3)(iii)]

(33) Sea h : IR → (−1, 1) definida por h(x) =x

1 + |x|[Hip.]

(34) h es un homeomorfismo [(33)]

(35) h f : A→ IR es continua [(2),(34)]

(36) |(h f)(x)| < 1 [(34)]

(37) h f tiene una extension continua F : X → IR tal que

|F (x)| < 1 para todo x ∈ X [(35),(36),(31)]

(38) Sea G = h−1 F [Hip.]

(39) G : X → IR es continua [(34),(37),(38)]

(40) G(x) = f(x) para todo x ∈ A [(37),(38)]

(41) f tiene una extension continua G [(39),(40)]

2


Observacion 5.6.1 Frecuentemente suele presentarse el siguiente problema:

“dada una funcion continua f : A → IR tal que A es cerrado y f(A) ⊆ (a, b) ⊆ IR,

determinar si existe una extension continua F : X → IR tal que F (X) ⊆ (a, b)”.

La respuesta a esta cuestion la da el teorema anterior mediante la traslacion del origen

aa+ b

2en IR.

Caracterizacion de los espacios normales por cubrimientos

Definicion 5.6.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y Aαα∈A un cubrimiento de X,

Aαα∈A es puntualmente finito (p−finito) si para cada x ∈ X,x ∈ Aα a lo sumo para

un numero finito de ındices α ∈ A.

Ejemplo 5.6.1 En (IR, τε) , el cubrimiento A = [z, z + 1]z∈Z es puntualmente finito.

En efecto.

(1) Sea r ∈ IR

Primer caso.

(2) r ∈ ZZ

(3) existe zo ∈ ZZ, r ∈ [zo − 1, zo] y r ∈ [zo, zo + 1] [(2)]

(4) r /∈ [zo, zo + 1] para todo z 6= zo y z 6= zo − 1

Segundo caso.

(5) r /∈ ZZ

(6) Sea zo la parte entera de r

(7) r ∈ [zo, zo + 1] r /∈ [z, z + 1] para todo z 6= zo [(5)]

(8) A = [z, z + 1]z∈Z , es un cubrimiento puntualmente finito [(1),(4),(7)]


i) (Y, τ ) es normal

ii) Para cada cubrimiento abierto y puntualmente finito, Uαα∈A , existe un cubri-

miento abierto Vαα∈A tal que Vα ⊆ Uα para todo α ∈ A y Vα 6= ∅ si Uα 6= ∅.


Dem.

(1) Sea (Y, τ ) un espacio T1 [Hip.]

i) ⇒ ii)

(2) (Y, τ ) es T4 [Hip.]

(3) Sea Uαα∈A un cubrimiento abierto y puntualmente finito de Y [Hip.]

Primer caso.

(4) cardA <∞

(5) A = 1, 2, 3, ..., n y Uαα∈A = U1, U2, ..., Un = Uini=1 [(4)]

(6) Sea W1 = Y −n⋃

j=2

Uj =

(n⋃

j=2

Uj

)c

(7) W1 es cerrado en Y [(3),(7)]

(8) W1 =n⋃

j=1

Uj ∩(

n⋃j=2

Uj

)c

= U1 ∩(

n⋃j=2

Uj

)c

⊆ U1 [(6),(3)]

(9) U1 es abierto en Y [(3)]

(10) existe un abierto V1 ⊆ Y tal que W1 ⊆ V1 ⊆ V1 ⊆ U1 [(2),(7),(8),(9),T.5.5.1]

i) La familia V1, U2, ..., Un es un cubrimiento de Y tal que V1 ⊆ U1

(11) Y = W1 ∪n⋃

j=2

Uj ⊆ V1 ∪n⋃

j=2

Uj ⊆ Y [(6),(10)]

(12) Y = V1 ∪n⋃

j=2

Uj [(11)]

(13) V1, U2, ..., Un es un cubrimiento de Y tal que V1 ⊆ U1 [(10),(12)]

(14) Sea W2 = Y −

(V1 ∪

n⋃j=3

Uj

)

(15) W2 es cerrado, W2 ⊆ U2 y U2 es abierto [(3),(14)]

(16) existe un abierto V2 ⊆ Y tal que W2 ⊆ V2 ⊆ V2 ⊆ U2 [(2),(15),T.5.5.1]


(17) La familia V1, V2, U3, ..., Un es un cubrimiento abierto de Y

tal que V1 ⊆ U1 y V2 ⊆ U2 [(15),(16)]

Aplicando n− 3 veces el procedimiento anterior resulta que:

(18) existe una familia V1, V2, V3, ..., Vn−1, Un que es un cubrimiento

abierto de Y tal que Vi ⊆ Ui para todo i = 1, 2, ..., n− 1

(19) Sea Wn = Y −

(n−1⋃j=1

Vj

)

(20) Wn es cerrado, Wn ⊆ Un y Un es abierto [(19),(18)]

(21) existe un abierto Vn ⊆ Y tal que Wn ⊆ Vn ⊆ Vn ⊆ Un [(2),(19)]

(22) La familia V1, V2, ..., Vn es un cubrimiento abierto de Y

tal que Vi ⊆ Ui para todo i = 1, 2, ..., n [(18),(21)]

ii) Si Ui 6= ∅, entonces Vi 6= ∅

(23) Ui 6= ∅ y Wi = Y −(

i−1⋃j=1

Vj ∪n⋃

j=i+1

Uj

)si i 6= n, Wn = Y −

(n−1⋃j=1

Vj

)[Hip.]

Primer caso.

(24) Wi 6= ∅ [Hip.]

(25) Wi ⊆ Vi [(21)]

(26) Vi 6= ∅ [(24),(25)]

Segundo caso.

(27) Wi = ∅

En este caso se reemplaza Wi por y con y ∈ Ui

(28) existe y ∈ Ui [(23)]

(29) y es cerrado en Y , y ⊆ Ui con Ui abierto [(1),(28)]

(30) existe un abierto Vi, y ⊆ Vi ⊆ Vi ⊆ Ui [(29),(2)]


(31) Vi 6= ∅ [(30)]

Segundo caso.

(32) cardA = ∞

La demostracion se realiza mediante el principio de induccion transfinita.

ii) ⇒ i)

(33) Para cada cubrimiento abierto y puntualmente finito, Uαα∈A ,

existe un cubrimiento abierto Vαα∈A tal que Vα ⊆ Uα para

todo α ∈ A y Vα 6= ∅ si Uα 6= ∅ [Hip.]

(34) Sean A ⊆ Y,B ⊆ Y conjuntos cerrados tales que A ∩ B = ∅ [Hip.]

(35) Ac ∪Bc = Y [(34)]

(36) Ac, Bc son conjuntos abiertos en Y [(34)]

(37) Ac, Bc es un cubrimiento abierto y puntualmente finito de Y [(35),(36)]

(38) existe un cubrimiento abierto de Y, V1, V2 , tal que V1 ⊆ Ac

y V2 ⊆ Bc [(33),(37)]

(39) A ⊆ V1c= U y B ⊆ V2

c= V [(38)]

(40) U ∩ V =(V1 ∪ V2

)c=(V1 ∪ V2

)c= (Y )c = ∅ [(39),(37)]

(41) existen U, V abiertos en Y tales que A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅ [(39),(40)]

(42) Y satisface el axioma de normalidad [(34),(41)]

(43) Y es T4 [(1),(42)]

2


5.7 Espacios completamente normales o T5

En esta seccion se desarrolla un propiedad mas importante que la de la normalidad.

Definicion 5.7.1 Un espacio topologico (X, τ ) satisface el axioma de completa norma-

lidad o axioma T5 si todo par de conjuntos separados admite entornos abiertos y dis-

juntos.

Esto es, si A ⊆ X, B ⊆ X son tales que A ∩ B = ∅ y A ∩ B = ∅, entonces existen

U, V ∈ τ, A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅.

Definicion 5.7.2 Un espacio topologico (X, τ ) es T5 o completamente normal si es T1

y verifica el axioma de completa normalidad.

Es decir, (X, τ ) es T5 si, y solo si, satisface las siguientes condiciones:

1. (X, τ ) es T1

2. si A ⊆ X, B ⊆ X son separados en X, entonces existen U, V ∈ τ, A ⊆ U, B ⊆ V

y U ∩ V = ∅.

Teorema 5.7.1 Todo espacio metrico (X, τd) es T5.

5.8 Espacios completamente regulares o de Tychonoff

Los subespacios de un espacio T4 no son necesariamente T4, pero pueden ser carac-

terizados directamente por una propiedad topologica, mas precisamente, ellos forman

una clase bien definida entre los espacios T3 y los T4.

Definicion 5.8.1 Un espacio topologico (X, τ ) satisface el axioma de completa regula-

ridad si para todo x ∈ X y para todo cerrado F ⊆ X,x /∈ F, existe una funcion continua

ϕ : X → [0, 1] tal que ϕ (x) = 1 y ϕ (y) = 0 para todo y ∈ F.

Definicion 5.8.2 Un espacio topologico (X, τ ) es completamente regular si es T1 y

verifica el axioma de completa regularidad.

Teorema 5.8.1 Sea (X, τ ) un espacio T1, las siguientes condiciones son equivalentes:

i) (X, τ ) es completamente regular

ii) para todo y ∈ X y para todo U (y) ∈ U (y) existe una funcion continua ϕ : X →[0, 1] tal que ϕ (y) = 1 y ϕ ((U (y))c) = 0 .



i) Todo subespacio de un espacio T4 es completamente regular.

ii) Todo espacio completamente regular es regular.

Dem.

i)

(1) Sea (Y, τ ) un espacio T4 y sea B ⊆ Y [Hip.]

(2) (B, τB) es T1 [(1)]

(3) Sean b ∈ B y C ⊆ B cerrado en B tales que

(4) b /∈ C [Hip.]

(5) C = F ∩B con F cerrado en Y [(3)]

(6) b /∈ F [(3),(4),(5)]

(7) b y F son conjuntos cerrados y disjuntos en (Y, τ ) [(1),(5),(6)]

(8) existe una funcion continua G : Y → [0, 1] tal que

(9) G (b) = 1

(10) G (x) = 0 para todo x ∈ F [(1),(7),T.de Uryshon]

(11) existe una funcion continua g = G/B : B → [0, 1] tal que g (b) = 1

y g (C) = 0 [(8),(5)]

2

De la propiedad i) del Teorema 5.8.2 resulta que los espacios completamente regu-

lares no son necesariamente normales.

Observacion 5.8.1 La importancia de los espacios completamente regulares radica en

lo siguiente:

1. Todo subespacio de un espacio compacto T2 es completamente regular o Tychonoff.


2. Todo espacio de Tychonoff es homeomorfo a un subespacio de un espacio compacto

T2.

Por lo tanto, los espacios de Tychonoff son desde el punto de vista de la Topologıa

una caracterizacion de los subconjuntos de los espacios compactos T2.

Teorema 5.8.3 Seafα : X → IR

α∈A una familia de funciones continuas, se satis-


i) la funcion M : X → IR definida por M (x) = sup fα (x) : α ∈ A es semiconti-

nua inferior.

ii) la funcion m : X → IR definida por M (x) = inf fα (x) : α ∈ A es semicontinua

superior.

iii) Si card (A) <∞, entonces las funciones m y M son continuas.

Dem.

(1) Seafα : X → IR

α∈A una familia de funciones continuas [Hip.]

i)


(3) x : M (x) > b =⋃

α∈Ax : fα (x) > b

(4) x : fα (x) > b es abierto para todo α ∈ A [(1),(2)]

(5) x : M (x) > b es abierto [(3),(4)]

(6) M es semicontinua inferior [(2),(5)]

ii)

(7) m (x) = inf fα (x) : α ∈ A = − sup −fα (x) : α ∈ A [Hip.]

(8)−fα : X → IR

α∈A es una familia de funciones continuas [(1)]

(9) sup −fα (x) : α ∈ A es semicontinua inferior [(8),T.5.8.3]

(10) m es semicontinua superior [(9),(7)]


iii)

(11) Sea card (A) <∞ [Hip.]


(13) x : M (x) < b =⋂

α∈Ax : fα (x) < b

(14) x : fα (x) < b es abierto para todo α ∈ A [(12),(1)]

(15) x : M (x) < b es abierto [(11),(13),(14)]

(16) M es semicontinua superior [(12),(15)]

(17) M es continua [(6),(16)]

(18) m es semicontinua inferior [(7),(1),(16)]

(19) m es continua [(10),(18)]

2

Las propiedades invariantes de los espacios completamente regulares estan dadas

en el siguiente teorema.

Teorema 5.8.4

i) Todo subespacio de un espacio completamente regular es completamente regular.

ii) Los espacios completamente regulares son invariantes por homeomorfismos.

iii)∏

α∈AYα es completamente regular si, y solo si, Yα es completamente regular para

todo α ∈ A.

Dem.

i)

(1) Sea (Y, τ ) un espacio completamente regular y sea B ⊆ Y [Hip.]

(2) (Y, τ ) es T1 [(1)]

(3) (B, τB) es T1 [(1),(2)]


(4) Sea p ∈ B y sea U ∈ UB (p) [Hip.]

(5) U = V ∩ B con V ∈ U (p) [(4)]

(6) existe una funcion continua ϕ : Y → [0, 1] tal que ϕ (p) = 1

y ϕ (V c) = 0 [(1),(4),(5),T.5.8.1]

(7) f = ϕ/B : B → [0, 1] es una funcion continua [(6)]

(8) f (p) = ϕ/B (p) = 1 [(4),(7)]

(9) f (B − U) = ϕ/B (B − U) = ϕ/B (B ∩ U c)

= ϕ/B (B ∩ (V ∩B)c) = ϕ/B (B ∩ V c) = 0 [(7),(6),(5)]

(10) f (U cB) = 0 [(9)]

(11) existe una funcion continua f = ϕ/B : B → [0, 1] tal que

f (p) = 1 y f (U cB) = 0 [(7),(8),(10)]

iii)

Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos

(⇒)

(1)∏

α∈AYα es completamente regular [Hip.]

(2) Sea yo ∈∏

α∈AYα un punto fijo [Hip.]

(3) Yα es homeomorfo al subsepacio seccion paralela S (yo, α) [(2),T.3.7.1]

(4) S (yo, α) es completamente regular [(1),T5.8.4]

(5) Yα es completamente regular [(3),(4),T.5.8.4]

(⇐)

(6) Yα es completamente regular para todo α ∈ A [Hip.]

(7) Yα es T1 para todo α ∈ A [(6)]

(8)∏

α∈AYα es T1 [(7)]


(9) Sea y = [yα]α∈A ∈∏

α∈AYα, sea U ∈ Bπ tal que y ∈ U [Hip.]

(10) existen α1, α2, ..., αn ∈ A y Uα1 ∈ τα1, Uα2 ∈ τα2, ..., Uαn ∈ ταn, tales

que U = 〈Uα1 , Uα2, ..., Uαn〉 [(9)]

(11) yαi ∈ Uαi para todo i = 1, ..., n [(9),(10)]

(12) Uαi ∈ U (yαi) para todo i = 1, ..., n [(10),(11)]

(13) para cada i = 1, ..., n existe una funcion continua

ϕi : Yαi → [0, 1] tal que ϕi (yαi) = 1 y ϕi ((Uαi)c) = 0 [(6),(12),T.5.8.1]

(14) Sea ϕ :∏

α∈AYα → [0, 1] definida por ϕ (y) = min (ϕi pαi) (y) : i = 1, .., n

(15) ϕ es continua [(13),(14),T.5.8.3]

(16) ϕ (y) = 1 y ϕ (U c) = 0 [(13),(14)]

(17)∏

α∈AYα es completamente regular [(8),(9),(14),(15),(16)]

2


5.9 Practico No 5

Ejercicio 5.9.1 Pruebe que si (X, τ ) es T1 y τ ⊆ τ ∗, entonces (X, τ ∗) es T1.

Ejercicio 5.9.2 Pruebe que las condiciones siguientes son equivalentes:

(a) (X, τ ) es T1,

(b) τC ⊆ τ .

Ejercicio 5.9.3 Sea (X, τ ) un espacio T2 y A ⊆ X. Demuestre que:

(a) A′ es un conjunto cerrado.

(b) (A′)′ ⊆ A′.

(c) (A)′ = A′.

Ejercicio 5.9.4 Sean (Y, τY ) un espacio T2, f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) y g : (Y, τY ) −→(X, τX) funciones continuas tales que g f = IdX. Pruebe las propiedades siguientes:

(a) (X, τX) es T2 .

(b) f (X) ∈ τY −cerr.

Ejercicio 5.9.5 Pruebe que si (Xi, τi)i∈I es una familia de espacios T2, entonces(∏i∈I

Xi, τπ

)es T2.

Ejercicio 5.9.6 Pruebe que si (Xi, τi)i∈In es una familia de espacios T2, entonces la

seccion paralela

S

([yi

o]i∈In , k

)=

[xi]i∈In ∈

∏

i∈In

Xi : xi = y0i , para todo i 6= k

es un cerrado en∏

i∈In

Xi.

Ejercicio 5.9.7 Pruebe que si (X, τ ) es T3, entonces es un espacio T2.

Ejercicio 5.9.8 Sea (X,D) el espacio discreto. Pruebe que (X,D) es T3.

Ejercicio 5.9.9 Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre que (X, τd) es T3.


Ejercicio 5.9.10 Pruebe que si (X, τ ) es T0 y verifica el axioma de regularidad, en-

tonces (X, τ ) es T2.

Ejercicio 5.9.11 Sea (X, τX) un espacio T3 e Y ⊆ X. Demuestre que (Y, τX/Y ) es T3.

Ejercicio 5.9.12 Pruebe que son equivalentes:

(a)∏

α∈AYα es T3

(b) Yα es T3, para cada α ∈ A.

Ejercicio 5.9.13 Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) un homeomorfismo y (X, τX) un espacio

T3. Demuestre que (Y, τY ) es un espacio T3.

Ejercicio 5.9.14 Sea (X, τ ) un espacio T1. Pruebe que las siguientes condiciones son

equivalentes:

(a) (X, τ ) es regular.

(b) Si F ∈ τcerr, entonces F =⋂

U∈τF⊆U

U .

Ejercicio 5.9.15 Sea (Y, τY ) un espacio T2. Pruebe que si para todo y ∈ Y existe

V ∈ U(y) tal que (V , τY/V ) es regular, entonces (Y, τY ) es regular.

Ejercicio 5.9.16 Sea (Y, τ ) un espacio T1. Pruebe que las siguientes condiciones son

equivalentes:

(a) Y es normal.

(b) Si G ∈ τ y H ∈ τ tales que Y = G ∪ H, entonces existen F ∈ τcerr y T ∈ τcerr

tales que F ⊆ G, T ⊆ H y F ∪ T = Y .

Ejercicio 5.9.17 Determine los axiomas de separacion que verifican los siguientes

espacios topologicos:

(a) (R, τ ), τ = R, ∅ ∪ (a,∞) : a ∈ R

(b) (R, τ ), τ = R, ∅ ∪ (−x, x) : x ∈ R+

(c) (R2, τ ), τ = ∅,R2 ∪ Gkk∈R con Gk = (x, y) ∈ R2 : y < x+ k

(d) (X, τC) con X un conjunto infinito.

Ejercicio 5.9.18 Sea (X, τ ) un espacio T1. Pruebe que son equivalentes:

(a) (X, τ ) es completamente regular.

(b) Para todo y ∈ X y U ∈ U(y) existe una funcion ϕ : X → [0, 1] tal que ϕ (y) = 1

y ϕ (X \ U) = 0 .

Ejercicio 5.9.19 Pruebe que todo espacio completamente regular es regular.

Ejercicio 5.9.20 Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) un homeomorfismo y (X, τX ) un espacio

completamente regular. Demuestre que (Y, τY ) es un espacio completamente regular.


6 Convergencia en los espacios topologicos

La nocion de convergencia de una sucesion de numeros reales esta completamente

asociada al orden definido sobre el conjunto de los numeros naturales y a la estructura

topologica de IR, de modo que ordenes distintos producen distintos lımites. Por ejem-

plo, si se consideran la sucesiones ϕ1 : IN → (IR, τε) y ϕ2 : IN → (IR, τε) definidas por

ϕ1 (n) = xn = n, ϕ2 (n) = yn =1

n, entonces

− si sobre IN se considera el orden natural “6”,

- ϕ1 no tiene lımite y

- el lımite de ϕ2 es 0;

− si sobre IN se considera el orden definido por “m n si n 6 m”,

- el lımite de ϕ1 es 1 y

- ϕ2 tiene a 1 como unico punto lımite.

De este modo, se pueden utilizar conjuntos mas generales como dominio de la

funcion, esto es, “conjuntos dirigidos” con los cuales tendremos la nocion de red que

extiende a la de sucesion y en los cuales se pueden consideran espacios topologicos

arbitrarios.

6.1 Sucesiones, conjuntos dirigidos y redes

Definicion 6.1.1 Sea Y un conjunto no vacıo, una sucesion en Y es una funcion

ϕ : IN → Y.

Una sucesion ϕ : IN → Y se notara por ynn∈N o (yn)n∈N siendo yn = ϕ (n) .

Definicion 6.1.2 Sea (Y, τ ) un espacio topologico, una sucesion ϕ : IN → Y converge

a y0 ∈ Y si, y solo si, para todo entorno de y0 existe n0 ∈ IN (que depende de dicho

entorno) tal que para todo n ≥ n0, ϕ (n) pertenece a dicho entorno.

Si una sucesion ϕ : IN → Y converge a y0 ∈ Y se simboliza ϕ→ y0.

En sımbolos, ϕ → y0 si, y solo si, para todo Uy0 ∈ Uy0 existe n0 (Uy0) ∈ IN tal que

ϕ (n) ∈ Uy0 para todo n ≥ n0

Ejercicio 6.1.1 Sea (Y, τ ) un espacio topologico, sea ϕ : IN → Y una sucesion en Y

y sea y0 ∈ Y, probar que las siguientes condiciones son equivalentes:


1. ϕ→ y0

2. para todo U (y0) ∈ U (y0) existe n0 (U (y0)) ∈ IN tal que

ϕ (n) ∈ U (y0) para todo n ≥ n0.

Ejemplo 6.1.1

1. En un espacio caotico (X, τ0), toda sucesion converge a tantos puntos como tiene

el espacio.

Esto es, (xn) → x para todo x ∈ X.

2. En un espacio discreto (X,D), una sucesion converge si, y solo si, es una sucesion

constante.

Esto es, (xn) → x si, y solo si, existe n0 ∈ IN tal que xn = x, para todo n ≥ n0.

3. En el espacio topologico (X, τN ) , siendo τN la topologıa conumerable, esto es,

τN = A ⊆ X : X \A es numerable ∪ ∅ , las unicas sucesiones convergentes

son las constantes

Definicion 6.1.3 Sea (Y, τ ) un espacio topologico. Una sucesion ϕ : IN → Y se aglo-

mera en un punto y0 ∈ Y si, y solo si, para todo entorno de y0 y para todo n ∈ IN

existe n′ ∈ IN tal que n′ ≥ n y ϕ (n′) pertenece a dicho entorno.

Si una sucesion ϕ : IN → Y se aglomera en y0 ∈ Y se simboliza ϕ y0.

En sımbolos, ϕ y0 si, y solo si, para todo Uy0 ∈ Uy0 y para todo n ∈ IN existe

n′ ∈ IN tal que n′ ≥ n y ϕ (n′) ∈ Uy0 .

Ejercicio 6.1.2 Sean (Y, τ ) un espacio topologico, ϕ : IN → Y una sucesion en Y e

y0 ∈ Y . Probar que las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ϕ y0,

2. para todo U (y0) ∈ U (y0) y para todo n ∈ IN existe n′ ∈ IN tal que n′ ≥ n y

ϕ (n′) ∈ U (y0) .

Lema 6.1.1 Sea ϕ : IN → Y una sucesion en Y . Si y0 ∈ Y y ϕ → y0, entonces

ϕ y0.

Dem. Sean ϕ : IN → Y una sucesion en Y e y0 ∈ Y tales que


(1) ϕ→ y0 [Hip.]

(2) Sea U (y0) ∈ U (y0) y sea n ∈ IN [Hip.]

(3) existe n0 (U (y0)) ∈ IN tal que ϕ (m) ∈ U (y0) para todo m ≥ n0 [(1),(2)]

(4) n ≥ n0 o n < n0 [(2),(3)]

Primer caso.

(5) n ≥ n0

(6) existe n′ = n tal que n′ ≥ n y ϕ (n′) ∈ U (y0) [(3),(5)]

Segundo caso.

(7) n < n0

(8) existe n′ = n0 tal que n′ ≥ n y ϕ (n′) ∈ U (y0) [(3),(7)]

(9) para todo U (y0) ∈ U (y0) y para todo n ∈ IN existe n′ ∈ IN

tal que n′ ≥ n y ϕ (n′) ∈ U (y0) [(2),(6),(8)]

(10) ϕ y0 [(9)]

2

Definicion 6.1.4 Sea ϕ : IN → Y una sucesion en Y . Si µ : IN → IN es una funcion

monotona creciente, la sucesion ϕ µ : IN → Y es una subsucesion de la sucesion ϕ.

Ejemplo 6.1.2 Sea ϕ : IN → IR definida por ϕ (n) = n2 + 3 una sucesion en IR.

Si µ : IN → IN esta definida por µ (n) = 2n + 1, entonces ϕ µ : IN → IR es una

subsucesion de ϕ.

La subsucesion esta definida por (ϕ µ) (n) = ϕ (2n + 1) = (2n+ 1)2 + 3.

Luego, Imϕ = 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, ... y Im(ϕ µ) = 12, 28, 52, ...

Observacion 6.1.1 El concepto de sucesion no es suficiente para los propositos del

analisis, un ejemplo que muestra esta situacion es la teorıa clasica de integracion ya

que la integral R

∫ b

a

f (x) dx no se puede calcular como el lımite de una sucesion.

En efecto, a cada una de las 2ℵ0 particiones finitas de un intervalo cerrado [a, b] se le

asocia una suma Riemann, como este conjunto no es numerable dicha funcion no es

una sucesion sino una “red ”.


Se realiza ahora un estudio mas detallado de esta situacion.

Sea f : IR → IR una funcion real no negativa, por ejemplo, f puede ser la representada

en la figura 1. Se desea calcular el area de la region limitada por el eje x, las rectas

x = a, x = b y el grafico de la funcion f.

Sea P = P : P es una particion finita de [a, b] , esto es, P ∈ P si y solo si

P = a = x0, x1, ..., xn = b tal que x0 < x1 < ... < xn y sean

∆xi = xi−1 − xi,

mi = ınf f (x) : x ∈ [xi−1, xi] y

Mi = sup f (x) : x ∈ [xi−1, xi] .

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................

IR

IR

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..................

................

A

figura 1

.......................................................

..........................................

..............................................................................

.................................................................................................

............................................

...............................

...............................................

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.....

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..

y = f(x)

a b

Sea mi ∆xi (Mi ∆xi) el area del rectangulo de base [xi−1, xi] y altura mi (Mi) y sean

SP =n∑

i=1

Mi ∆xi y sP =n∑

i=1

mi ∆xi.

De esta forma, a cada particion P ∈ P se le puede asociar dos numeros SP y sP , lo

cual induce dos funciones S y s:

S : P → IR definida por S (P ) = SP =n∑

i=1

Mi ∆xi

s : P → IR definida por s (P ) = sP =n∑

i=1

mi ∆xi.

Sea α el area de la region A, entonces α debe verificar que sP 6 α 6 SP para todo

P ∈ P y debe ser el unico real que satisfaga dicha condicion.

El par (P,⊆) es un “conjunto dirigido”y las funciones S : P → IR, s : P → IR son


“redes”.

Si la red S : P → IR satisface las condiciones:

1. Para todo ε > 0 existe P ∈ P tal que α < S(P ) < α + ε

2. Si P ⊆ P ′ y S(P ) ∈ (α,α+ ε), entonces S(P ′) ∈ (α,α + ε)

entonces la red S converge a α (S → α) .

Si la red s : P → IR satisface las condiciones:

1. Para todo ε > 0 existe P ∈ P tal que α− ε < s(P ) < α

2. Si P ⊆ P ′ y s(P ) ∈ (α− ε, α), entonces s(P ′) ∈ (α− ε, α)

entonces la red s converge a α (s→ α) .

Esta observacion permite dar la siguiente definicion:

Sea f : [a, b] → IR una funcion real no negativa, la integral definida entre a y b de

la funcion f es el numero real α al cual convergen las redes S y s.

Es decir, la integral definida

∫ b

a

f (x) dx existe si, y solo si, las redes S : P → IR,

s : P → IR son convergentes y convergen al mismo numero real α.

Se definen a continuacion algunos de los terminos utilizados en la Observacion 6.1.1.

Definicion 6.1.5 Una relacion binaria ≺ dirige a un conjunto no vacıo D si satisface:

(D1) a ≺ a, para todo a ∈ D (reflexiva),

(D2) si a ≺ b y b ≺ c, entonces a ≺ c (transitiva),

(D3) si a ∈ D, b ∈ D, entonces existe c ∈ D tal que a ≺ c y b ≺ c.

Es decir, una relacion binaria ≺ dirige a D si es un preorden para D que satisface D3.

Definicion 6.1.6 Sea D un conjunto no vacıo y ≺ una relacion binaria que dirige al

conjunto D, el par (D,≺) es un conjunto dirigido.

Ejemplo 6.1.3 Los siguientes son ejemplos de conjuntos dirigidos:

1. (IN,6) siendo 6 la relacion de orden natural en IN.

En general, cualquier conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido.


2. (P (X) ,⊆) siendo X 6= ∅.

3. (Uyo ,⊆) , (U (yo) ,⊆) siendo y0 ∈ Y, e (Y, τ ) un espacio topologico.

4. (B,⊆) siendo B = A ⊆ X : A es finito y X 6= ∅.

5. (D,6) siendo D = a, b, z y 6= (x, x) : x ∈ D ∪ (a, z), (b, z) .

6. (D,6) siendo D = an : n ∈ IN∪bn : n ∈ IN , donde los elementos an y bn son

todos distintos entre sı y “ 6 ” la relacion definida en D por:

− an 6 am si n 6 m,

− bn 6 am si n+ 1 6 m y

− bn 6 bn

Definicion 6.1.7 Una red en un espacio topologico (Y, τ ) es una funcion ϕ : D → Y,

siendo D un conjunto dirigido.

Ejemplo 6.1.4

1. Toda sucesion en un espacio topologico es una red en dicho espacio.

2. La funcion identidad 1 : (IR,6) → IR es una red en IR.

3. Sea D el conjunto dirigido del Ejemplo 6.1.3 6), la funcion ϕ : D → IR2 definida

por ϕ (an) =

(1

n, 0

), ϕ (bn) =

(1

n, 1 − 1

n

)es una red en IR2.

Definicion 6.1.8 Sea ϕ : D → Y una red en un espacio topologico Y, ϕ converge a

y0 ∈ Y si, y solo si, para todo U (y0) existe a ∈ D tal que si b ∈ D y a ≺ b, entonces

ϕ (b) ∈ U (y0) .

Si ϕ converge a y0 se simboliza ϕ→ y0.

Ejemplo 6.1.5

1. Toda red constante es convergente.

2. En (IR, τε) , la red del Ejemplo 6.1.4 2) no converge a ningun punto.

3. En(IR2, τε

), la red del Ejemplo 6.1.4 3) converge al origen y no converge a

ningun otro punto.


4. En un espacio caotico (X, τ0), cualquier red converge a tantos puntos como tiene

el espacio.

Definicion 6.1.9 Sea ϕ : D → Y una red en un espacio topologico Y, ϕ se aglomera en

un punto y0 ∈ Y si, y solo si, para todo U (y0) y para todo a ∈ D existe b ∈ D tal que

a ≺ b y ϕ (b) ∈ U (y0) .

Si ϕ se aglomera en y0 ∈ Y se simboliza ϕ y0.

Observacion 6.1.2

1. Las definiciones 6.1.8 y 6.1.9 se pueden enunciar en terminos de entornos y

probar que ambas definiciones son equivalentes.

2. Una red tambien recibe el nombre de sucesion generalizada o sucesion de Moore-

Schmidth.

3. El Ejemplo 6.1.5 muestra la existencia de redes no convergentes, convergentes a

un unico punto o a mas de un punto. Una propiedad importante de los espacios

T2 es que en ellos las redes convergentes solo pueden converger a un unico punto,

lo cual se demuestra a continuacion.

Lema 6.1.2 Un espacio topologico (X, τ ) es T2 si y solo si toda red convergente en X,

converge a un unico punto.

La definicion de convergencia de redes se puede formular directamente por medio

de una clase especial de conjuntos, los terminales, como se vera a continuacion.

Definicion 6.1.10 Sea (D,≺) un conjunto dirigido y sea a ∈ D, el conjunto terminal

asociado al elemento a es Ta = x ∈ D : a ≺ x

Ta tambien recibe el nombre de cola.

Lema 6.1.3 Sea ϕ : D → Y una red en un espacio topologico Y y sea y0 ∈ Y, entonces:

i) ϕ converge a y0 si, y solo si, para todo U (y0) existe a ∈ D tal que ϕ (Ta) ⊆U (y0) .

ii) ϕ se aglomera en y0 si, y solo si, para todo U (y0) y para todo a ∈ D se verifica

que ϕ (Ta) ∩ U (y0) 6= ∅.


Propiedades de los conjuntos terminales

Con U (ϕ) se simboliza a la familia de los transformados por ϕ de los conjuntos

terminales asociados a cada elemento del conjunto dirigido D, esto es,

U (ϕ) = ϕ (Ta) : a ∈ D

Lema 6.1.4 Sea ϕ : D → Y una red en un espacio topologico Y, la familia U (ϕ)

satisface las siguientes propiedades:

1. ϕ (Ta) 6= ∅, para todo a ∈ D

2. Para todo ϕ (Ta) , ϕ (Tb) ∈ U (ϕ) existe ϕ (Tc) ∈ U (ϕ) tal que

ϕ (Tc) ⊆ ϕ (Ta) ∩ ϕ (Tb)

6.2 Bases de filtro.

El Lema 6.1.4 conduce a la siguiente definicion.

Definicion 6.2.1 Sea Y 6= ∅, una familia U = Aαα∈A ⊆ P (Y ) de subconjuntos de

Y es una base de filtro (b.d.f.) en Y si satisface:

1. Aα 6= ∅, para todo α ∈ A

2. para cada Aα ∈ U y Aβ ∈ U existe Aγ ∈ U tal que Aγ ⊆ Aα ∩Aβ

Ejemplo 6.2.1

1. Sea ϕ : D → Y una red en un espacio topologico Y , entonces la familia U (ϕ) es

una base de filtro en el conjunto Y.

U (ϕ) recibe el nombre de b.d.f. asociada a la red ϕ.

2. Sea (Y, τ ) un espacio topologico y sea y0 ∈ Y, entonces las familias Uy0 y U (y0)

son bases de filtro en el espacio Y.

El algebra booleana de las bases de filtro esta dada en el siguiente lema.

Lema 6.2.1 Sea Y 6= ∅ y sean U = Aαα∈A ,B = Bγγ∈Γ bases de filtro en Y,

entonces:

i) U ∪ B = Aα ∪ Bγ : Aα ∈ U , Bγ ∈ B(α,γ)∈A×Γ es una base de filtro en Y.


ii) U ∩ B = Aα ∩Bγ : Aα ∈ U , Bγ ∈ B(α,γ)∈A×Γ es una base de filtro en Y si, y

solo si, Aα ∩ Bγ 6= ∅ para todo (α, γ) ∈ A× Γ.

iii) Si Aα1, Aα2, ..., Aαm ⊆ U es una subfamilia finita de U , entonces existe A ∈ Utal que A ⊆ Aα1 ∩Aα2 ∩ ... ∩Aαm.

Corolario 6.2.1 Si U es una base de filtro en Y y Aα1, Aα2, ..., Aαm ⊆ U es una

subfamilia finita de U , entonces Aα1 ∩Aα2 ∩ ... ∩Aαm 6= ∅.

Definicion 6.2.2 Sea U una base de filtro en un espacio topologico (Y, τ ) .U converge

a y0 ∈ Y si, y solo si, para todo entorno de y0 existe Aα ∈ U tal que Aα esta contenido

en dicho entorno.

Esto es, U → y0 si, y solo si, para todo Uy0 existe Aα ∈ U tal que Aα ⊆ Uy0 .

Definicion 6.2.3 Sea U una base de filtro en un espacio topologico (Y, τ ) .U se aglo-

mera en y0 ∈ Y si, y solo si, todo entorno de y0 interseca a todo elemento de UEsto es, U y0 si, y solo si, para todo Uy0 y para todo Aα ∈ U tal que Aα ∩ Uy0 6= ∅.

Las definiciones 6.2.2 y 6.2.3 se pueden enunciar en terminos de entornos y probar

que ambas definiciones son equivalentes.

Ejemplo 6.2.2

1. Sea X un conjunto infinito y sea (X,D) el espacio discreto, entonces la familia

U = A ⊆ X : Ac es finito es una b.d.f. que no es convergente y que no tiene

puntos de aglomeracion.

2. Sea ϕ : D → Y una red en el espacio topologico Y y sea U (ϕ) la b.d.f. asociada

a la red ϕ, entonces:

a) ϕ→ y0 si, y solo si, U (ϕ) → y0

b) ϕ y0 si, y solo si, U (ϕ) y0

3. Sea (0, 1 , τS) el espacio de Sierpinski, entonces U (0) → 0 y U (0) → 1.

El comportamiento de las las bases de filtros en los espacios T2 es analogo al de las

redes, si convergen lo hacen a un unico punto.

Teorema 6.2.1 Un espacio topologico (Y, τ ) es T2 si y solo si toda b.d.f. convergente

en Y, converge a un unico punto.


Dem. Sea (Y, τ ) un espacio topologico [Hip.]

(⇒)

(1) (Y, τ ) es un espacio T2 y [Hip.]

(2) Sea U una b.d.f. en Y convergente [Hip.]

(3) existe y0 ∈ Y tal que U → y0 [(2)]

(4) Supongamos que existe y1 ∈ Y tal que y1 6= y0 y U → y1 [Hip.]

(5) existen U (y1) , U (y0) tales que U (y1) ∩ U (y0) = ∅ [(1),(4)]

(6) existe Aα ∈ U tal que Aα ⊆ U (y0) [(3),(5)]

(7) existe Aβ ∈ U tal que Aβ ⊆ U (y1) [(4),(5)]

(8) Aα ∩Aβ 6= ∅ [(6),(7),C.6.2.1]

(9) U (y1) ∩ U (y0) 6= ∅, lo cual contradice (5) [(6),(7),(8)]

(10) U converge a un unico punto [(4),(9)]

(⇐)

(11) Toda b.d.f. convergente en Y, converge a un unico punto [Hip.]

(12) Supongamos que (Y, τ ) no es T2 [Hip.]

(13) existen y, z ∈ Y tales que z 6= y y U (y) ∩ U (z) 6= ∅ para

todo U (y) ∈ U(y) y para todo U (z) ∈ U(z) [(12)]

(14) Sea U = U (z) ∩ U (y)

(15) U es b.d.f. en Y [(13),(14),L.6.2.1]

(16) para todo U (y) existe U = U (y) ∩ Y ∈ U tal que U ⊆ U (y) [(14)]

(17) U → y [(16)]

(18) para todo U (z) existe U = Y ∩ U (z) ∈ U tal que U ⊆ U (z)

(19) U → z [(18)]


(20) existe una b.d.f. U en Y tal que U → z,U → y y z 6= y, [(13),(15),(17),(19)]

2

Lema 6.2.2 Sea U = Aαα∈A una b.d.f. en un espacio topologico X y sea x ∈ X,

entonces U x si, y solo si, x ∈⋂

α∈AAα.

Definicion 6.2.4 Sean U = Aαα∈A y B = Bγγ∈Γ dos bases de filtro en Y, B es

mas fina que U o B subordina a U si, y solo si, para cada Aα ∈ U existe Bγ ∈ B tal

que Bγ ⊆ Aα.

Si B subordina a U se simboliza B ` U .

Ejemplo 6.2.3

1. Sean(IR2, τε

), p0 = (x0, y0) ∈ IR2, U la familia de los rectangulos abiertos de

lados paralelos a los ejes coordenados que contienen al punto p0 y B la familia de

los cırculos que contienen al punto p0, entonces las familias U y B satisfacen las


a) U y B son b.d.f. en IR2,

b) B ` U ,U ` B,

c) U 6= B.

2. Sean (IN,6) con el orden natural, U la familia de los conjuntos terminales de los

numeros pares y B la familia de los conjuntos terminales, entonces se satisfacen


a) U = T2n : n ∈ IN ,B = Tn : n ∈ IN son b.d.f. en IN,

b) B ` U ,U ` B,

c) U 6= B y U ⊂ B.

Estos ejemplos muestran la existencia de bases de filtro distintas que se subordinan

mutuamente.

Teorema 6.2.2 Sean U y B bases de filtro en un espacio topologico (X, τ ) , se satis-



i) Si U ⊆ B, entonces B ` U .

ii) Si B ` U , entonces todo elemento de B interseca a todo elemento de U , esto es,

Bγ ∩Aα 6= ∅, para todo Bγ ∈ B y para todo Aα ∈ U .

iii) U → x si, y solo si, U ` U (x)

Dem. Sean U y B bases de filtro en un espacio topologico (X, τ ) [Hip.]

i)

(1) U ⊆ B [Hip.]

(2) Sea Aα ∈ U [Hip.]

(3) Aα ∈ B [(2),(3)]

(4) existe Aα ∈ B tal que Aα ⊆ Aα [(3)]

(5) B ` U [(2),(4)]

ii)

(6) B ` U [Hip.]

(7) Sean Aα ∈ U , Bγ ∈ B [Hip.]

(8) existe Bδ ∈ B tal que Bδ ⊆ Aα [(6),(7)]

(9) Bδ ∩Bγ 6= ∅ [(7),(8),C.6.2.1]

(10) Bδ ∩Bγ ⊆ Aα ∩Bγ [(8)]

(11) Aα ∩Bγ 6= ∅ [(9),(10)]

(12) Bγ ∩Aα 6= ∅ para todo Bγ ∈ B y para todo Aα ∈ U [(7),(11)]

iii)

Las siguientes condiciones son equivalentes

(13) U → x

(14) para todo U (x) ∈ U (x) existe Aα ∈ U tal que Aα ⊆ U (x)

(15) U ` U (x)


2

Ejercicio 6.2.1 Probar que se satisfacen las siguientes propiedades:

1. Sean U y B bases de filtro en X. Si U ∩ B es b.d.f. en X, entonces

U ∩ B ` U , U ∩ B ` B.

2. Sea A ⊆ X un conjunto no vacıo, entonces U = A es una b.d.f. en X.

Si U es una b.d.f. en X, A ⊆ X es un conjunto no vacıo y A ∩ U 6= ∅ para todo

U ∈ U , entonces con U ∩A se notara a la b.d.f. U ∩ A = U ∩ A : U ∈ ULa relacion usual que existe entre la convergencia de sucesiones y subsucesiones

puede extenderse para las bases de filtro de la siguiente manera:

Teorema 6.2.3 Sean U y B bases de filtro en un espacio topologico (X, τ ) y sea x ∈ X,

entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

i) Si U → x, entonces U x, y en los espacios T2, x es unico.

ii) Si B ` U , entonces:

a) Si U → x, entonces B → x,

b) si B x, entonces U x.

Dem.

(1) Sean U una base de filtro en (X, τ ) y x ∈ X tales que [Hip.]

i)

(2) U → x [Hip.]

(3) Sean U (x) ∈ U (x) y Aα ∈ U [Hip.]

(4) existe Aβ ∈ U tal que Aβ ⊆ U (x) [(2),(3)]

(5) Aα ∩ Aβ ⊆ Aα ∩ U (x) [(4)]

(6) Aα ∩ U (x) 6= ∅ [(3),(4),(5),C.6.2.1]

(7) U x [(3),(6)]

(8) Sea (X, τ ) un espacio T2 [Hip.]


(9) Supongamos que existe y ∈ X tal que x 6= y y U y [Hip.]

(10) existen U (y) , U (x) tales que U (y) ∩ U (x) = ∅ [(8),(9)]

(11) existe Aα ∈ U tal que Aα ⊆ U (x) [(10),(2)]

(12) Aα ∩ U (y) 6= ∅ [(9),(11)]

(13) Aα ∩ U (y) ⊆ U (x) ∩ U (y) [(11)]

(14) U (x) ∩ U (y) 6= ∅ lo cual contradice (10) [(12),(13)]

(15) si U y, entonces y = x [(9),(14)]

2

Corolario 6.2.2 Sea U una b.d.f. en un espacio topologico (X, τ ) y sea x ∈ X, se


i) U → x si, y solo si, para toda b.d.f. B ` U existe una b.d.f. C tal que C ` B y

C → x.

ii) U x si, y solo si, existe una b.d.f. B tal que B ` U y B → x.

Dem. Sea U una b.d.f. en un espacio topologico (X, τ ) y sea x ∈ X [Hip.]

i)

(⇒)

(1) U → x [Hip.]

(2) Sea B una b.d.f. tal que B ` U [Hip.]

(3) B → x [(1),(2),T.6.2.3]

(4) existe C = B tal que C ` B y C → x [(3)]

(5) para toda b.d.f. B ` U existe una b.d.f. C tal que C ` B y C → x [(2),(4)]

(⇐)

(6) Supongamos que U 6→ x [Hip.]


(7) existe U (x) ∈ U (x) tal que Aα 6⊆ U (x) para todo Aα ∈ U [(6)]

(8) Aα ∩ (U (x))c 6= ∅ para todo Aα ∈ U [(7)]

(9) Sea B = U ∩ (U (x))c = Aα ∩ (U (x))c : Aα ∈ U = U ∩ (U (x))c

(10) B es b.d.f. en X [(8),(9),E.6.2.1,L.6.2.1]

(11) B ` U [(9),(10),E.6.2.1]

(12) Sea C una b.d.f. en X tal que C ` B [Hip.]

(13) Aα ∩ (U (x))c ∩ U (x) = ∅, para todo U (x) y para todo Aα ∈ U

(14) Bα ∩ U (x) = ∅, para todo U (x) y para todo Bα ∈ B [(13),(9)]

(15) B 6 x [(14)]

(16) C 6 x [(15),(12),T.6.2.3]

(17) C 6→ x [(16),T.6.2.3]

(18) existe una b.d.f. B tal que B ` U y para toda b.d.f. C que

subordina a B se verifica que C 6→ x [(10),(11),(12),(17)]

ii)

(⇒)

(19) U x [Hip.]

(20) Aα ∩ U (x) 6= ∅, para todo U (x) y para todo Aα ∈ U [(19)]

(21) B = U (x) ∩ U es b.d.f. en Y [(20),L.6.2.1]

(22) B ` U , B ` U (x) [(21),E.6.2.1]

(23) B → x [(22),T.6.2.2]

(24) existe una b.d.f. B en Y tal que B ` U y B → x [(21),...,(23)]

(⇐)

(25) existe una b.d.f. B en Y tal que B ` U y B → x [Hip.]


(26) B x [(26),T.6.2.3]

(27) U x [(25),(26),T.6.2.3]

2

Clausura y continuidad en terminos de base de filtro

Algunas de las nociones topologicas se pueden caracterizar en terminos de las bases

de filtro, se comienza con la clausura de un conjunto

Teorema 6.2.4 Sea (Y, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ Y, entonces y ∈ A si, y

solo si, existe una b.d.f. en A que converge a y.

Dem. Sea A ⊆ Y [Hip.]

(⇒)

(1) y ∈ A [Hip.]

(2) U (y) ∩A 6= ∅ para todo U (y) ∈ U (y) [(1)]

(3) U = U (y) ∩ A = U (y) ∩A : U (y) ∈ U (y) ⊆ P (A) es

b.d.f. en A [(2),L.6.2.1]

(4) U ` U (y) [(3),E.6.2.1]

(5) U → y [(4),T.6.2.2]

(6) existe una b.d.f. U en A tal que U → y [(3),(6)]

(⇐)

(7) existe una b.d.f. U en A tal que U → y [Hip.]

(8) Sea U (y) ∈ U (y) [Hip.]

(9) existe Aα ∈ U tal que Aα ⊆ U (y) [(7),(8)]

(10) Aα ⊆ A y Aα 6= ∅ [(7),(9)]

(11) Aα ⊆ A ∩ U (y) [(9),(10)]

(12) A ∩ U (y) 6= ∅ [(10),(11)]


(13) U (y) ∩ A 6= ∅ para todo U (y) ∈ U (y) [(8),(12)]

(14) y ∈ A [(13)]

2

Ejercicio 6.2.2 Sea (Y, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ Y, probar que:

1. A es cerrado si, y solo si, todos los puntos de aglomeracion de cada b.d.f. en A

pertenecen a A.

2. b ∈ A′ si, y solo si, existe una b.d.f. en A− b que converge a b.

Es posible caracterizar a las funciones continuas en terminos de b.d.f., como se

muestra en el siguiente teorema.

Lema 6.2.3 Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion, se satisfacen:

i) Si U es b.d.f. en X, entonces f (U) = f (A) : A ∈ U es b.d.f. en Y.

ii) Si U y B son bases de filtro en X y U ` B, entonces f (U) ` f (B)

Teorema 6.2.5 Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion, las siguientes condiciones son

equivalentes

i) f es continua en x0 ∈ X,

ii) la b.d.f. de los transformados por f de los entornos abiertos de x0 converge a

f (x0) .

Es decir, f es continua en x0 ∈ X si, y solo si, f (U (x0)) → f (x0) .



(1) f es continua en x0

(2) para todo W (f (x0)) existe U (x0) ∈ U (x0) tal que

f (U (x0)) ⊆ W (f (x0))

(3) para todo W (f (x0)) existe f (U (x0)) ∈ f (U (x0)) tal que

f (U (x0)) ⊆ W (f (x0))


(4) f (U (x0)) → f (x0)

2

Teorema 6.2.6 Una funcion f : (X, τX ) → (Y, τY ) es continua si, y solo si, para cada

x ∈ X y para cada b.d.f. U en X que converge a x se tiene que f (U) converge a f (x) .


(⇒)


(2) Sea x ∈ X y sea U una b.d.f. en X tal que U → x [Hip.]

(3) U ` U (x) [(2),T.6.2.2]

(4) f (U) ` f (U (x)) [(3),L.6.2.3]

(5) f (U (x)) → f (x) [(1),(2),T.6.2.5]

(6) f (U) → f (x) [(4),(5),T.6.2.3]

(7) para cada x ∈ X y para cada b.d.f. U → x se tiene

que f (U) → f (x) [(2),(6)]

(⇐)

(8) para cada x ∈ X y para cada b.d.f. U → x se tiene

que f (U) → f (x) [Hip.]


(10) U (x) es una b.d.f. en X tal que U (x) → x [Ej.6.2.1]

(11) f (U (x)) → f (x) [(8),(9),(10)]

(12) f es continua en x [(11),T.6.2.5]

(13) f es continua [(9),(12)]

2


Teorema 6.2.7 (Teorema de extension de funciones continuas)

Sean (X, τX ) un espacio topologico, D ⊆ X denso en X, (Y, τY ) un espacio T3 y

f : D → Y una funcion continua, entonces f tiene una extension continua F : X → Y

si, y solo si, para cada x ∈ X, la b.d.f. f (D ∩ U (x)) converge en (Y, τY ) . Si F existe

es unica.

Dem.

(1) Sean (X, τX) un espacio topologico, D ⊆ X denso en X,

(2) (Y, τY ) un espacio T3 y

(3) f : D → Y una funcion continua [Hip.]

(⇒)

(4) existe una funcion continua, F : X → Y , tal que F/D = f [Hip.]


(6) U (x) ∩ D 6= ∅, para todo U (x) ∈ U (x) [(1),(5)]

(7) U (x) ∩D es b.d.f. en X [(6),L.6.2.1]

(8) U (x) ∩D ` U (x) [(7),E.6.2.1]

(9) U (x) ∩D → x [(8),T.6.2.2]

(10) F (U (x) ∩D) → F (x) [(4),(5),(9),T.6.2.6]

(11) U (x) ∩ D ⊆ D, para todo U (x) ∈ U (x)

(12) F (U (x) ∩D) = f (U (x) ∩D) , para todo U (x) ∈ U (x) [(11),(4)]

(13) F (U (x) ∩D) = f (U (x) ∩ D) [(12)]

(14) f (U (x) ∩D) → F (x) [(10),(13)]

(15) Para cada x ∈ X la b.d.f. f (D ∩ U (x)) converge en (Y, τY ) [(5),(14)]

(⇐)

(16) Para cada x ∈ X la b.d.f. f (D ∩ U (x)) converge en (Y, τY ) [Hip.]


(17) Para cada x ∈ X existe y ∈ Y tal que f (D ∩ U (x)) → y [(16)]

(18) (Y, τY ) es T2 [(2),Ej.5.4.1]

(19) Para cada x ∈ X existe un unico y ∈ Y tal que f (D ∩ U (x)) → y

[(17),(18),T.6.2.1]

(20) Sea F : X → Y definida por F (x) = y si, y solo si, f (D ∩ U (x)) → y

(21) F es funcion [(19),(20)]

i) F/D = f

(22) Sea x ∈ D [Hip.]

(23) U (x) ∩D es b.d.f. en D [(1),(6),L.6.2.1,(11)]

(24) U (x) ∩D → x [(8),T.6.2.2]

(25) f (U (x) ∩ D) → f (x) [(22),(23),(24),T.6.2.6]

(26) F/D (x) = F (x) = f (x) para todo x ∈ D [(20),(22),(25)]

ii) F es continua

(27) Sea x ∈ X y sea W (F (x)) ∈ U (F (x)) [Hip.]

(28) existe V ∈ U (F (x)) tal que V ⊆ W (F (x)) [(2),(27),T.5.4.1]

(29) f (U (x) ∩ D) → F (x) [(20)]

(30) existe U (x) ∈ U (x) tal que f (U (x) ∩ D) ⊆ V [(28),(29)]

(31) Sea z ∈ F (U (x)) [Hip.]

(32) existe y ∈ U (x) tal que F (y) = z [(31)]

(33) Sea By = V ∩ f (U (y) ∩ D) [Hip.]

(34) U (x) ∈ U (y) [(32)]

(35) B ∈ U (y) ∩D [(30),(34)]

(36) f (B) = A ∈ f (U (y) ∩D) [(35),(29)]

(37) Sea H ∈ f (U (y) ∩D) [Hip.]


(38) H ∩ A 6= ∅ [(36),(37),C.6.2.1]

(39) H ∩ A ⊆ H ∩ V [(29),(30),(38)]

(40) H ∩ V 6= ∅, para todo H ∈ f (U (y) ∩D) [(37),(39)]

(41) By = V ∩ f (U (y) ∩ D) es b.d.f. en V [(40)]

(42) By ` f (U (y) ∩D) [(41),E.6.2.1]

(43) f (U (y) ∩D) → F (y) [(20)]

(44) By → F (y) [(42),(43),T.6.2.3]

(45) F (y) = z ∈ V [(41),(44),T.6.2.4]

(46) F (U (x)) ⊆ V ⊆ W (F (x)) [(31),(45),(28)]

(47) Para todo x ∈ X, para todo W (F (x)) ∈ U (F (x)) existe

U (x) tal que F (U (x)) ⊆W (F (x)) [(27),(30),(46)]

(48) F : X → Y es continua [(47)]

iii) F es unica

(49) Supongamos que existe F1 : X → Y continua que extiende

a f : D → Y [Hip.]

(50) F1/D = f [(49)]

(51) F/D = f [(26)]

(52) F/D = F1/D [(50),(51)]

(53) F = F1 [(49),(48),(52),(1),(18),T.5.3.4]

(54) f : D → Y admite una unica extension continua [(i),(ii),(iii)]

2


Convergencia en el espacio producto

Teorema 6.2.8 Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos, sea

U = Aγγ∈Γ una b.d.f. en el espacio producto∏

α∈AYα y sea y0 = [y0

α]α∈A ∈∏

α∈AYα,

entonces U → y0 si, y solo si, pα (U) → y0α para cada α ∈ A.

Dem.

Sea U = Aγγ∈Γ una b.d.f. en el espacio producto∏

α∈AYα y

sea y0 =[y0

j

]α∈A un elemento del conjunto

∏α∈A

Yα [Hip.]

(⇒)

(1) U → y0 [Hip.]

(2) pα :∏

α∈AYα → Yα es continua para cada α ∈ A [T.3.6.1]

(3) pα (U) → pα (y0) para cada α ∈ A [(1),(2),T. 6.2.6]

(4) pα (U) → y0α para cada α ∈ A [(3)]

(⇐)

(5) pα (U) → y0α para cada α ∈ A [Hip.]

(6) Sea U (y0) ∈ U (y0) [Hip.]

(7) existe B ∈ Bπ tal que y0 ∈ B ⊆ U (y0) [(6),T.1.2.3]

(8) existen α1, α2, ..., αn ∈ A y Uαi ∈ ταi, i = 1, ..., n tales que

B =n∏

j=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα [(7)]

(9) y0αi

∈ Uαi para cada i = 1, ..., n [(7),(8)]

(10) Uαi ∈ U(y0

αi

)para cada i = 1, ..., n [(8),(9)]

(11) para cada i = 1, ..., n existe Bi ∈ pαi (U) tal que Bi ⊆ Uαi [(5),(10)]

(12) para cada i = 1, ..., n existe Aγi ∈ U tal que Bi = pαi (Aγi) [(11)]


(13) existe A ∈ U tal que A ⊆n⋂

i=1

Aγi [(12),L.6.2.1]

(14) A ⊆n⋂

i=1

Aγi ⊆n⋂

i=1

p−1αi

(pαi (Aγi)) =n⋂

i=1

p−1αi

(Bi)

⊆n⋂

i=1

p−1αi

(Uαi) =n∏

j=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα

[(13),(12),(11)]

(15) existe A ∈ U tal que A ⊆ B ⊆ U (y0) [(14),(8),(7)]

(16) U → y0 [(6),(15)]

2

Base de filtro de maximal

Definicion 6.2.5 Una base de filtro M es maximal si para toda base de filtro U que

subordine a M se verifica que M ` U .

Es decir, M es base de filtro maximal si no existe una base de filtro que la subordine

propiamente.

Lema 6.2.4 Una base de filtro M es maximal en Y si, y solo si, para todo subconjunto

A de Y existe un elemento de M contenido en A o en Ac.

Dem. Sea M una b.d.f. en Y [Hip.]

(⇒)

(1) M es maximal [Hip.]

(2) Sea A ⊆ Y [Hip.]

(3) Supongamos que M 6⊆ A, para todo M ∈ M [Hip.]

(4) para todo M ∈ M : M ∩ Ac 6= ∅ [(3)]

(5) M∩Ac es b.d.f. en Y [(4),L.6.2.1]

(6) M∩Ac ` M [(5),E.6.2.1]

(7) M ` M∩ Ac [(6),(1)]


(8) M ∩Ac ∈ M∩Ac,M ∈ M

(9) existe M1 ∈ M tal que M1 ⊆M ∩ Ac ⊆ Ac [(7),(8)]

(10) existe M1 ∈ M tal que M1 ⊆ Ac [(9)]

(11) Supongamos que M 6⊆ Ac, para todo M ∈ M [Hip.]

(12) existe M2 ∈ M tal que M2 ⊆ A [(11)]

(13) existe M ∈ M tal que M ⊆ A o M ⊆ Ac [(10),(12)]

(⇐)

(14) Para todo A ⊆ Y existe M ∈ M tal que M ⊆ A o M ⊆ Ac [Hip.]

(15) Sea U una b.d.f. en Y tal que U ` M [Hip.]

(16) Supongamos que M no subordina a U [Hip.]

(17) existe Aα ∈ U tal que M 6⊆ Aα para todo M ∈ M [(16)]

(18) existe M1 ∈ M tal que M1 ⊆ Acα [(14),(17)]

(19) existe Aδ ∈ U tal que Aδ ⊆M1 [(15),(18)]

(20) Aδ ∩ Aα ⊆M1 ∩ Aα ⊆ Acα ∩Aα = ∅ [(18),(19)]

(21) Aδ ∩ Aα = ∅ con Aδ, Aα ∈ U , lo cual es una contradiccion [(20),C.6.2.1]

(22) M ` U [(16),(21)]

(23) M es b.d.f. maximal en Y [(15),(22)]

2

Observacion 6.2.1

1. Si M es una b.d.f. en X, entonces no se puede determinar M1 ∈ M y M2 ∈ Mtales que M1 ⊆ A y M2 ⊆ Ac, puesto que si ello ocurriese M1 ∩M2 = ∅ lo cual

contradice el Corolario 6.2.1.

2. Las bases de filtro maximales siempre existen ya que si Y 6= ∅ e y0 ∈ Y es un

punto fijo, entonces la familia M = A ⊆ Y : y0 ∈ A es b.d.f. maximal en Y.


Teorema 6.2.9 Si B es una b.d.f. en Y , entonces existe una b.d.f. maximal M que

la subordina.

Dem.

(1) Sea B una b.d.f. en Y y [Hip.]

(2) sea A = U : U es b.d.f. en Y y U ` B [Hip.]

(3) B ∈ A [(1),(2)]

(4) A 6= ∅ [(1),(3)]

(5) Sea ≺ la relacion definida en A por U ≺ C si, y solo si, C ` U .

(6) (A,≺) es un conjunto preordenado [(5)]

i) (A,≺) es un conjunto inductivo superiormente

(7) Sea Uγγ∈Γ una cadena de elementos de A [Hip.]

(8) Uγ es b.d.f. en Y y Uγ ` B, para todo γ ∈ Γ [(7),(2)]

(9) Sea U =⋃

γ∈Γ

Uγ = A ⊆ Y : existe γ ∈ Γ, A ∈ Uγ [Hip.]

ii) U es b.d.f. en Y

(10) Sea A ∈ U [Hip.]

(11) existe γ ∈ Γ tal que A ∈ Uγ [(10),(9)]

(12) A 6= ∅ [(8),(11)]

(13) A 6= ∅ para todo A ∈ U [(10),(12)]

(14) Sean A,B ∈ U [Hip.]

(15) existen γ, β ∈ Γ tales que A ∈ Uγ y B ∈ Uβ [(14),(9)]

(16) Uγ ≺ Uβ o Uβ ≺ Uγ [(15),(7)]

Primer caso.

(17) Uγ ≺ Uβ


(18) Uβ ` Uγ [(17),(5)]

(19) existe C ∈ Uβ tal que C ⊆ A [(15),(18)]

(20) existe D ∈ Uβ tal que D ⊆ B ∩ C [(15),(19)]

(21) existe D ∈ U tal que D ⊆ B ∩A [(19),(20)]

Segundo caso.

(22) Uβ ≺ Uγ

(23) existe D ∈ U tal que D ⊆ B ∩A [(22)]

(24) Para todo A,B ∈ U existe D ∈ U tal que D ⊆ B ∩ A [(14),(21),(23)]

(25) U es b.d.f. en Y [(13),(24)]

iii) U ` B

(26) Uβ ⊆ U para todo β ∈ Γ [(9)]

(27) U ` Uβ para todo β ∈ Γ [(26),T.6.2.2]

(28) Uβ ` B [(8)]

(29) Uβ ≺ U ,B ≺ Uβ [(27),(28)]

(30) B ≺ U , esto es, U ` B [(29),(6)]

(31) U ∈ A [(25),(30)]

(32) Uβ ≺ U para todo β ∈ Γ [(27)]

(33) U es cota superior de la cadena Uγγ∈Γ[(32)]

(34) (A,≺) es un conjunto inductivo superiormente [(7),(31),(33)]

(35) A tiene elementos maximales [(34),L.de Zorn]

(36) existe M ∈ A tal que si U ∈ A y M ≺ U , entonces U ≺ M [(35)]

(37) existe M ∈ A tal que si U ∈ A y U ` M, entonces M ` U [(36)]

(38) Sea C una b.d.f. en Y tal que C ` M [Hip.]


(39) M ` B [(37),(2)]

(40) C ` B [(38),(39)]

(41) C ∈ A [(38),(40),(2)]

(42) M ` C [(41),(38),(37)]

(43) M es b.d.f. maximal en Y [(38),(42)]

(44) existe M es b.d.f. maximal en Y tal que M ` B [(37),(43),(2)]

2

Lema 6.2.5 Sea M una b.d.f. maximal en un espacio topologico (Y, τ ) y sea y ∈ Y,

entonces M → y si, y solo si, M y.

Dem.

(1) Sea M una b.d.f. maximal en un espacio topologico (Y, τ ) y sea y ∈ Y [Hip.]

(⇒)

Inmediato del Teorema 6.2.3

(⇐)

(2) M y [Hip.]

(3) Sea U (y) ∈ U (y) [Hip.]

(4) existe M1 ∈ M tal que M1 ⊆ U (y) o M1 ⊆ (U (y))c [(3),(1),L.6.2.4]

(5) M1 ∩ U (y) 6= ∅ [(2),(3),(4)]

(6) M1 ⊆ U (y) [(4),(5)]

(7) para todo U (y) existe M1 ∈ M tal que M1 ⊆ U (y) [(3),(6)]

(8) M → y [(7)]

2

Teorema 6.2.10 Sea f : X → Y una funcion y sea M una b.d.f. maximal en X,

entonces f (M) = f (M) : M ∈ M es b.d.f. maximal en Y.


Dem.

(1) Sea f : X → Y una funcion y

(2) sea M una b.d.f. maximal en X [Hip.]

(3) f (M) es b.d.f. en Y [(1),(2),L.6.2.3]

(4) Sea A ⊆ Y [Hip.]

(5) f−1 (A) ⊆ X [(1),(4)]

(6) existe M ∈ M tal que M ⊆ f−1 (A) o M ⊆ (f−1 (A))c

[(2),(5),L.6.2.4]

(7) f (M) ⊆ f (f−1 (A)) ⊆ A o

f (M) ⊆ f((f−1 (A))

c)= f (f−1 (Ac)) ⊆ Ac [(6)]

(8) existe f (M) ∈ f (M) tal que f (M) ⊆ A o f (M) ⊆ Ac [(6),(7)]

(9) para todo A ⊆ Y existe f (M) ∈ f (M) tal que

f (M) ⊆ A o f (M) ⊆ Ac [(4),(8)]

(10) f (M) es b.d.f. maximal en Y [(9),L.6.2.4]

2

6.3 Espacios que verifican el primer y el segundo axioma denumerabilidad

Como ya se ha visto anteriormente, algunas propiedades topologicas se pueden ca-

racterizar por medio de las bases de filtro, aunque existen espacios topologicos en los

que las sucesiones son suficientes para caracterizar dichas nociones.

Definicion 6.3.1 Sea (Y, τ ) un espacio topologico,

1. Y verifica el 1 axioma de numerabilidad si para cada y ∈ Y existe una base local

a lo sumo numerable de Uy

Esto es, (Y, τ ) verifica el 1 axioma de numerabilidad si, y solo si, para todo y ∈ Y

existe By = Unn∈N ⊆ Uy tal que para todo U ∈ Uy existe Un ∈ By : Un ⊆ U.


2. Y verifica el 2 axioma de numerabilidad o es 2−numerable si Y tiene una base

numerable.

Ejemplo 6.3.1

1. (IR, τε) verifica el 1 y el 2 axioma de numerabilidad.

En efecto:

a) Para cada y ∈ IR, la familia By =E (y, ε) : ε ∈ IQ+

es una base local numera-

ble de Uy.

b) la familia B =E (y, ε) : y ∈ IQ, ε ∈ IQ+

es una base numerable de IR.

2. Todo espacio metrico verifica 1 axioma de numerabilidad.

En efecto:

En el espacio topologico (X, τd), con τd la topologıa inducida por la metrica d,

la familia By =E (y, ε) : ε ∈ IQ+

es una base local numerable de Uy para cada

y ∈ X.

Teorema 6.3.1 Si (X, τ ) satisface el 2 axioma de numerabilidad, entonces satisface

el 1 axioma de numerabilidad.

Dem.

(1) Sea (X, τ ) un espacio topologico que satisface el 2 axioma de

numerabilidad y sea x ∈ X [Hip.]

(2) existe B = Bnn∈N una base numerable para τ [(1)]

(3) Sea Bx = Bn ∈ B : x ∈ Bn

(4) Sea U ∈ Bx [Hip.]

(5) existe n ∈ IN tal que U = Bn y x ∈ Bn [(3),(4)]

(6) Bn ∈ τ y x ∈ Bn [(2),(5)]

(7) Bn ∈ U (x) [(6)]

(8) U (x) ⊆ Ux [L.1.2.4]


(9) U ∈ Ux [(5),(7),(8)]

(10) Bx ⊆ Ux [(4),(9)]


(12) existe Bn ∈ B tal que x ∈ Bn ⊆ U [(11),(2),T.1.2.3]

(13) existe Bn ∈ Bx tal que Bn ⊆ U [(12),(3)]

(14) para todo U ∈ Ux existe Bn ∈ Bx tal que Bn ⊆ U [(11),(13)]

(15) para cada x ∈ X existe Bx base local a lo sumo numerable para Ux [(10),(14)]

(16) (X, τ ) verifica el 1 axioma de numerabilidad [(15)]

2

Lema 6.3.1 Sea (Y, τ ) un espacio topologico que verifica el 1 axioma de numerabi-

lidad, entonces para cada y ∈ Y existe By = Unn∈N base local a lo sumo numerable

de Uy tal que Un+1 ⊆ Un para todo n ∈ IN (... ⊆ Un+1 ⊆ Un ⊆ ... ⊆ U3 ⊆ U2 ⊆ U1).

Dem.

(1) Sea (Y, τ ) un espacio topologico que verifica el 1 axioma

de numerabilidad y [Hip.]

(2) sea y ∈ Y [Hip.]

(3) existe B′y = Vnn∈N base local numerable de Uy [(1),(2)]

(4) Sea By = Unn∈N tal que : U1 = V1,

U2 = V2 ∩ U1,......................Un = Vn ∩ Un−1

(5) Un+1 ⊆ Un y Un ⊆ Vn [(4)]

i) By ⊆ Uy

Se prueba por induccion sobre n

(6) U1 ∈ Uy [(3),(4)]


(7) Un−1 ∈ Uy [Hipotesis inductiva]

(8) Vn ∈ Uy [(3)]

(9) Un ∈ Uy [(7),(8),(4)]

(10) Un ∈ Uy para todo n ∈ IN [(6),(7),(9)]

(11) By ⊆ Uy [(10)]

(12) Sea U ∈ Uy [Hip.]

(13) existe Vn ∈ B′y tal que Vn ⊆ U [(12),(3)]

(14) existe Un ∈ By tal que Un ⊆ U [(13),(5)]

(15) para todo U ∈ Uy existe Un ∈ By tal que Un ⊆ U [(12),(14)]

(16) By es base local de Uy [(11),(15)]

2

Ejercicio 6.3.1 Sea (Y, τ ) un espacio topologico que verifica el 1 axioma de numera-

bilidad, probar que la familia By determinada en el Lema 6.3.1 satisface las siguientes

propiedades:

1. By es base de filtro,

2. By ` Uy y Uy ` By.

Las sucesiones y las subsucesiones, no solo se comportan correctamente en los es-

pacios que verifican el 1 axioma de numerabilidad, sino tambien son adecuadas para

caracterizar todas las nociones topologicas. Esto justifica su utilidad en los espacios

metricos del analisis elemental.

El Corolario 6.2.2 tambien es valido para sucesiones, como se demuestra a continua-

cion:

Teorema 6.3.2 Sea (Y, τ ) un espacio topologico, sea ϕ : IN → Y una sucesion en Y

y sea y ∈ Y se satisfacen las siguientes propiedades:

i) ϕ → y si, y solo si, para toda subsucesion ϕ′ de ϕ existe una subsucesion ϕ′′ de

ϕ′ tal que ϕ′′ → y.


ii) Si Y verifica el 1 axioma de numerabilidad, entonces ϕ y si, y solo si, existe

una subsucesion ϕ′ tal que ϕ′ → y.

Dem. Sea ϕ : IN → Y una sucesion en Y [Hip.]

i)

(⇒)

(1) Sea y ∈ Y tal que ϕ→ y y

(2) sea ϕ′ una subsucesion de ϕ [Hip.]

(3) ϕ′ → y [(1),(2)]

(4) existe ϕ′′ = ϕ′ subsucesion de ϕ′ tal que ϕ′′ → y [(3)]

(⇐)

(5) Supongamos que ϕ 6→ y [Hip.]

(6) existe U (y) tal que para todo n ∈ IN existe

nn ∈ IN, con nn ≥ n y ϕ (nn) /∈ U (y) [(5)]

(7) µ : IN → IN definida por µ (n) = nn es una funcion monotona creciente [(6)]

(8) ϕ′ = ϕ µ es una subsucesion de ϕ [(7)]

(9) ϕ′ (n) = ϕ (nn) [(7),(8)]

(10) ϕ′ (n) /∈ U (y) para todo n ∈ IN [(6),(9)]

(11) ϕ′ 6→ y [(6),(10)]

(12) Sea ϕ′′ una subsucesion de ϕ′ [Hip.]

(13) ϕ′′ (n) /∈ U (y) para todo n ∈ IN [(10),(12)]

(14) ϕ′′ 6→ y [(6),(13)]

(15) existe una subsucesion ϕ′ de ϕ tal que ϕ′′ 6→ y

para toda subsucesion ϕ′′ de ϕ′ [(8),(12),(14)]

ii)


(1) (Y, τ ) verifica el primer axioma de numerabilidad [Hip.]

(⇒)

(2) Sea y ∈ Y tal que ϕ y [Hip.]

(3) existe una base local numerable de Uy, By = Unn∈N , tal que

Un+1 ⊆ Un para todo n ∈ IN [(1),L.6.3.1]

(4) By ⊆ Uy [(3)]

(5) Un ∈ Uy para todo n ∈ IN [(3),(4)]

(6) para todo U ∈ Uy y para todo n ∈ IN existe n′ ≥ n tal que

ϕ (n′) ∈ U [(2)]

(7) para todo n ∈ IN existe nn ∈ IN tal que nn ≥ n y ϕ (nn) ∈ Un [(5),(6)]

(8) la funcion µ : IN → IN definida por µ (n) = nn es monotona creciente [(7)]

(9) la funcion ϕ′ = ϕ µ : IN → Y definida por ϕ′ (n) = ϕ (nn)

es una subsucesion de ϕ [(8)]

(10) ϕ′ (n) ∈ Un para todo n ∈ IN [(7),(9)]

(11) Sea U ∈ Uy [Hip.]

(12) existe Un0 ∈ By tal que Un0 ⊆ U [(11),(3)]

(13) Un ⊆ Un0 para todo n ≥ n0 [(3)]

(14) Un ⊆ U para todo n ≥ n0 [(12),(13)]

(15) ϕ′ (n) ∈ U para todo n ≥ n0 [(10),(14)]

(16) para todo U ∈ Uy existe n0 ∈ IN tal que ϕ′ (n) ∈ U para

todo n ≥ n0 [(11),(12),(15)]

(17) ϕ′ → y [(16)]

(18) existe una subsucesion ϕ′ de ϕ tal que ϕ′ → y [(9),(17)]


(⇐)

(19) existe una subsucesion ϕ′ de ϕ tal que ϕ′ → y [Hip.]

(20) ϕ′ y [(19),L.6.1.1]

(21) ϕ y [(19),(20)]

2

Teorema 6.3.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico que satisface el primer axioma de

numerabilidad y sea A ⊆ X, entonces x ∈ A si, y solo si, existe una sucesion en A,

ϕ : IN → A, tal que ϕ→ x.

Dem.

(1) Sea (X, τ ) un espacio topologico que satisface el primer axioma

de numerabilidad, sea A ⊆ X y sea x ∈ X [Hip.]

(⇒)

(2) x ∈ A [Hip.]

(3) existe una b.d.f. B = Bαα∈Γ ⊆ P (A) en A tal que B → x [(2),T.6.2.4]

(4) existe una base local numerable de Ux, Bx = Unn∈N ⊆ Ux,

tal que Un+1 ⊆ Un para todo n ∈ IN [(1),L.6.3.1]

(5) Un ∈ Ux para todo n ∈ IN [(4)]

(6) para cada n ∈ IN exite Bαn ∈ B tal que Bαn ⊆ Un [(5),(3)]

(7) Bαn 6= ∅ [(3),(6)]

(8) para cada n ∈ IN exite xαn ∈ Bαn ∈ B tal que Bαn ⊆ Un [(6),(7)]

(9) La funcion ϕ : IN → A definida por ϕ (n) = xαn es una sucesion en A [(3),(8)]

(10) ϕ (n) ∈ Un para todo n ∈ IN [(8),(9)]


(12) existe Un0 ∈ Bx : Un0 ⊆ U [(4),(11)]


(13) Un ⊆ Un0 para todo n ≥ n0 [(4)]

(14) ϕ (n) ∈ U para todo n ≥ n0 [(10),(12),(13)]

(15) para todo U ∈ Ux existe n0 ∈ IN tal que para todo n ≥ n0

ϕ (n) ∈ U [(11),(12),(14)]

(16) ϕ→ x [(15)]

(17) existe una sucesion en A, ϕ : IN → A, tal que ϕ→ x [(9),(16)]

(⇐)

(18) existe una sucesion ϕ : IN → A tal que ϕ→ x [Hip.]

(19) U (ϕ) = ϕ (Tn) : n ∈ IN → x [(18),Ej.6.2.2]

(20) ϕ (Tn) ⊆ A para todo n ∈ IN [(18)]

(21) U (ϕ) es una b.d.f. en A tal que U (ϕ) → x [(19),(20)]

(22) x ∈ A [(21),T.6.2.4]

2

Teorema 6.3.4 Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos tales que X verifica el pri-

mer axioma de numerabilidad y sea f : X → Y una funcion. Se satisfacen las siguientes

propiedades:

i) f (U (x)) → y si, y solo si, para cada sucesion (xn) en X que converge a x, se

verifica que (f (xn)) → y.

ii) f : X → Y es continua en x ∈ X si, y solo si, para cada sucesion (xn) → x se

verifica que (f (xn)) → f (x) .

iii) Si (Y, τY ) es regular, D ⊆ X es denso y g : D → Y es continua, entonces g tiene

una extension continua G : X → Y si, y solo si, para cada x ∈ X y para toda

sucesion (dn)n∈N ⊆ D que converge a x, las sucesiones (g (dn))n∈N convergen al

mismo lımite.

Dem.

Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos y f : X → Y una funcion tales que


(1) (X, τX) verifica el primer axioma de numerabilidad [Hip.]

i)

(⇒)

(2) Sea y ∈ Y tal que f (U (x)) → y [Hip.]

(3) Sea ϕ : IN → X definida por ϕ (n) = xn tal que ϕ→ x [Hip.]

(4) U (ϕ) = ϕ (Tn) : n ∈ IN → x [(3),Ej.6.2.2]

(5) U (ϕ) ` U (x) [(4),T.6.2.2]

(6) f (U (ϕ)) ` f (U (x)) [(5),L.6.2.3]

(7) f (U (ϕ)) → y [(2),(6),T.6.2.3]

(8) f (U (ϕ)) = f (ϕ (Tn)) : n ∈ IN [(4)]

(9) f (ϕ (Tn)) = f (ϕ (m)) : m ∈ Tn

= f (ϕ (m)) : n 6 m

= f (xm) : n 6 m

(10) Sea U (y) ∈ U (y) [Hip.]

(11) existe n0 ∈ IN tal que f (ϕ (Tn0)) ⊆ U (y) [(7),(10),(8)]

(12) existe n0 ∈ IN tal que f (xn) ∈ U (y) para todo n ≥ n0 [(9),(11)]

(13) f (xn) → y [(10),(12)]

(14) Si (xn) → x, entonces f (xn) → y [(3),(13)]

(⇐)

(15) Para cada sucesion (xn) ⊆ X, si (xn) → x, entonces f (xn) → y [Hip.]

(16) existe una base local numerable de Ux, Bx = Unn∈N ,


(17) Bx es b.d.f. en X [(16),E.6.3.1]


(18) Bx ` Ux y Ux ` Bx [(16),(17),E.6.3.1]

(19) U (x) ` Ux y Ux ` U (x)

(20) f (Bx) ` f (Ux) y f (Ux) ` f (Bx) [(18),L.6.2.3]

(21) f (U (x)) ` f (Ux) y f (Ux) ` f (U (x)) [(19),L.6.2.3]

(22) f (U (x)) → y si, y solo si, f (Ux) → y [(21)]

(23) f (Bx) → y si, y solo si, f (Ux) → y [(20)]

(24) f (U (x)) → y si, y solo si, f (Bx) → y [(22),(23)]

(25) Supongamos que f (Bx) 6→ y [Hip.]

(26) existe W (y) ∈ U (y) tal que f (Un) 6⊆W (y)

para todo n ∈ IN [(25)]

(27) existe W (y) ∈ U (y) tal que para cada n ∈ IN existe xn ∈ Un

y f (xn) /∈ W (y) [(26)]

(28) La funcion ϕ : IN → X definida por ϕ (n) = xn es una sucesion en X [(27)]

(29) f (xn) 6→ y [(27)]

(30) Sea U (x) ∈ U (x) [Hip.]

(31) existe n0 ∈ IN tal que Un0 ⊆ U (x) [(30),(16)]

(32) Un ⊆ Un0 para todo n ≥ n0 [(16)]

(33) xn ∈ U (x) para todo n ≥ n0 [(27),(31),(32)]

(34) para todo U (x) existe n0 ∈ IN tal que xn ∈ U (x)

para todo n ≥ n0 [(30),(31),(33)]

(35) xnn∈N → x [(34)]

(36) existe una sucesion en X, xnn∈N ⊆ X, tal que xnn∈N → x

y f (xn)n∈N no converge a y, lo cual contradice (15) [(28),(29),(35)]


(37) f (Bx) → y [(25),(36)]

(38) f (U (x)) → y [(37),(24)]

ii)


(39) f : X → Y continua en x ∈ X

(40) f (U (x)) → f(x) [T.6.2.5]

(41) para cada sucesion (xn) → x se verifica que f (xn) → f (x) [T.6.3.4]

iii)

(42) Sea (Y, τY ) regular,

(43) sea D ⊆ X denso en X y

(44) sea g : D → Y una funcion continua [Hip.]

(45) g tiene una extension continua G : X → Y si, y solo si,

para cada x ∈ X la b.d.f. g (D ∩ U (x)) converge en (Y, τY )

[(42),(43),(44),T.6.2.7]

a) para cada x ∈ X, la b.d.f. g (D ∩ U (x)) converge a y si, y solo si, para toda

sucesion (dn) ⊆ D que converge a x se verifica que g (dn) converge a y

(⇒)

(46) Sea x ∈ X tal que g (D ∩ U (x)) → y [Hip.]

(47) Sea ϕ : IN → D tal que ϕ (n) = dn y ϕ = (dn) → x [Hip.]

(48) U (ϕ) → x [(47),Ej.6.2.2]

(49) U (ϕ) ` U (x) [(48),T.6.2.2]

(50) U (ϕ) ` U (x) ∩ D [(47),(49)]

(51) g (U (ϕ)) ` g (U (x) ∩D) [(50),L.6.2.3]

(52) g (U (ϕ)) → y [(46),(51),T.6.2.3]


(53) U (ϕ) = ϕ (Tn) : n ∈ IN

(54) g (U (ϕ)) = g (A) : A ∈ U (ϕ) = (g ϕ) (Tn) : n ∈ IN [(53)]

(55) g (U (ϕ)) = U (g ϕ) = U (g (dn)) [(54)]

(56) U (g (dn)) → y [(52),(55)]

(57) g (dn) → y [(56),Ej.6.2.2]

(⇐)

(58) para toda sucesion (dn) ⊆ D, si (dn) → x, entonces g (dn) → y [Hip.]

(59) existe una base local numerable de Ux, Bx = Unn∈N ⊆ Ux,


(60) B′x = Bx ∩D es una b.d.f. en X tal que:

(61) g (Ux ∩D) ` g (U (x) ∩ D) y g (U (x) ∩ D) ` g (Ux ∩D)

(62) g (Ux ∩D) ` g (B′x) y g (B′

x) ` g (Ux ∩D) [(59),(43)]

(63) g (B′x) → y si, y solo si, g (U (x) ∩D) → y [(61),(62)]

(64) g (B′x) → y [(58)]

(65) g (U (x) ∩D) → y [(63),(64)]

(66) para cada x ∈ X, la b.d.f g (D ∩ U (x)) converge a y si, y solo si,

para toda sucesion (dn) ⊆ D que converge a x se verifica que

g (dn) converge a y [(46),...,(65)]

(67) g tiene una extension continua G : X → Y [Hip.]

(68) la b.d.f. g (U (x) ∩ D) → y para cada x ∈ X [(67),(45)]

(69) para toda sucesion (dn) ⊆ D, si (dn) → x, entonces g (dn) → y [(68),(66)]

(70) g tiene una extension continua G : X → Y si, y solo si,

para toda sucesion (dn) ⊆ D, si (dn) → x, entonces g (dn) → y [(67),(69)]

2


6.4 Filtros y ultrafiltros

Otras de las teorıas que se ocupa de la nocion de lımite es la que se apoya en el

concepto de filtro, definido por H. Cartan en 1937.

A continuacion, se indicaran algunas definiciones y propiedades elementales de los

filtros. Tambien, se estudiara su relacion con las bases de filtros.

Definicion 6.4.1 Sea X 6= ∅, una subfamilia de P (X), F ⊆/ P (X), es un filtro en X

si verifica las siguientes condiciones:

F1) F 6= ∅,

F2) si A,B ∈ F , entonces A ∩B ∈ F ,

F3) si A ∈ F y A ⊆ B, entonces B ∈ F .

Observacion 6.4.1

1. De la definicion anterior resulta que F ⊆/ P (X) es un filtro si, y solo si, satisface

las siguientes condiciones:

F0) ∅ /∈ F ,

F1) F 6= ∅,



En efecto:

(⇒)

(1) Sea F ⊆/ P (X) un filtro [Hip.]

(2) Supongamos que ∅ ∈ F [Hip.]

(3) ∅ ⊆ A para todo A ⊆ X

(4) A ∈ F para todo A ⊆ X [(2),(3),(F3)]

(5) F = P (X), lo cual contradice (1) [(4)]

(6) ∅ /∈ F [(2),(5)]


(⇐)

(7) F satisface F0), F1), F2) y F3) [Hip.]

(8) F ⊆/ P (X) satisface F1), F2) y F3) [(7)]

(9) F es un filtro en X [(8)]

2. Sea X 6= ∅, F ⊆/ P (X) es un filtro en X si, y solo si, satisface las siguientes

condiciones:

F ′1) X ∈ F ,



3. F ⊆/ P (X) es un filtro en X si, y solo si, F es un filtro propio en el algebra de

Boole (P (X) ,∪,∩, ∅,X) .

Ejemplo 6.4.1

1. Si (X, τ ) es un espacio topologico y x ∈ X, entonces

a) la familia de entornos de x, Ux, es un filtro.

b) la familia de entornos abiertos de x, U(x), no es un filtro.

2. Sea X un conjunto infinito y sea F = A ⊆ X : Ac es finito , entonces F es un

filtro.

3. Si (X, τ ) es un espacio topologico, A ⊆ X y x ∈ A, entonces la familia

F = A ∩ U : U ∈ Ux , es un filtro sobre X.

Ejercicio 6.4.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico, probar que si B es un filtro en X,

entonces B es una base de filtro en X.

Observacion 6.4.2

1. La recıproca del ejercicio 6.4.1, en general, no se verifica. Es decir, no toda base

de filtro es un filtro. Por ejemplo, la familia de entornos abiertos U(x) de un

punto x de un espacio topologico (X, τ ) es base de filtro en X y no es un filtro.


2. Sea X 6= ∅ y ∅ ⊆/ B ⊆ P (X), entonces no siempre existe un filtro F que contenga

a B, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Sea X 6= ∅ y sea B = ∅,X ⊆/ P (X) . Si B ⊆ F y F es filtro, entonces por F2

∅ = ∅ ∩X ∈ F , y por lo tanto F no es filtro.

Veamos que condiciones debe cumplir B ⊆ P (X) para que exista un filtro que lo

contenga.

Lema 6.4.1 Sean X 6= ∅, y B = Bαα∈A ⊆/ P (X) tales que se satisfacen

i) Bα 6= ∅ para todo Bα ∈ B,

ii) Si Bα, Bα′ ∈ B, entonces Bα ∩ Bα′ 6= ∅.

Entonces

F = A ⊆ X : existen Bα1, Bα2, ..., Bαn ∈ B tales que Bα1 ∩Bα2 ∩ ... ∩Bαn ⊆ A

es un filtro en X que contiene a B.

Dem.

(1) Sea B = Bαα∈A ⊆/ P (X) tal que Bα 6= ∅ para todo Bα ∈ B, y

(2) Bα ∩Bα′ 6= ∅ para cada Bα, Bα′ ∈ B [Hip.]

(3) Sea F = A ⊆ X : existen Bα1, ..., Bαn ∈ B tales que Bα1 ∩ ... ∩Bαn ⊆ A

[Hip.]

i) B ⊆ F

(4) Sea Bα ∈ B [Hip.]

(5) Bα ∩Bα ⊆ Bα

(6) Bα ∈ F [(3),(4),(5)]

ii) F es filtro

F0) ∅ /∈ F

(7) Supongamos que ∅ ∈ F

(8) existen Bα1, Bα2, ..., Bαn ∈ B tales que Bα1 ∩Bα2 ∩ ... ∩Bαn = ∅,


lo que contradice (2) [(7),(3)]

(9) ∅ /∈ F [(7),(8)]

F1) X ∈ F

(10) Bα ∩Bα ⊆ X para todo Bα ∈ B [(1)]

(11) X ∈ F [(3),(10)]

F2) Si A,B ∈ F , entonces A ∩B ∈ F

(12) Sean A,B ∈ F [Hip.]

(13) existen Bα1, Bα2, ..., Bαn ∈ B y Bγ1 , Bγ2, ..., Bγt ∈ B tales

que Bα1 ∩ Bα2 ∩ ... ∩Bαn ⊆ A y Bγ1 ∩Bγ2 ∩ ...∩ Bγt ⊆ B [(12),(3)]

(14) existen Bα1, Bα2, ..., Bαn, Bγ1, Bγ2 , ..., Bγt ∈ B tales que

Bα1 ∩ ... ∩Bαn ∩Bγ1 ∩ ... ∩Bγt ⊆ A ∩B [(13)]

(15) A ∩B ∈ F [(14),(3)]

F3) Si A ∈ F y A ⊆ B, entonces B ∈ F

(16) Sean A ∈ F y A ⊆ B [Hip.]

(17) existen Bα1, Bα2, ..., Bαn ∈ B tales que Bα1 ∩Bα2 ∩ ...∩ Bαn ⊆ A [(16),(3)]

(18) existen Bα1, Bα2, ..., Bαn ∈ B tales que Bα1 ∩Bα2 ∩ ...∩ Bαn ⊆ B [(16),(17)]

(19) B ∈ F [(18),(3)]

(20) F es un filtro en X que contiene a B [i),F0 − F1]

2

Corolario 6.4.1 Sean X 6= ∅ y B = Bαα∈A ⊆/ P (X). Las siguientes condiciones

son equivalentes:

i) existe un filtro F en X que contiene a B,

ii) B satisface las siguientes propiedades:

− Bα 6= ∅ para todo Bα ∈ B,


− si Bα, Bα′ ∈ B, entonces Bα ∩ Bα′ 6= ∅.

Corolario 6.4.2 Si B es una base de filtro en X, entonces existe un filtro F que

contiene a B

El Lema 6.4.1 conduce a la siguiente definicion.

Definicion 6.4.2 Si B ⊆ P (X) verifica:

i) Bα 6= ∅ para todo Bα ∈ B,

ii) si Bα, Bα′ ∈ B, entonces Bα ∩Bα′ 6= ∅.

Entonces el filtro generado por B, F (B) , es el menor filtro, en el sentido de la inclusion

que contiene a B.Esto es, F (B) verifica:

i) F (B) es un filtro,

ii) B ⊆ F (B)

iii) Si F ′ es un filtro en X tal que B ⊆ F ′, entonces F (B) ⊆ F ′.

Teorema 6.4.1 Si B ⊆ P (X) verifica las condiciones i) y ii) de la Definicion 6.4.2,

entonces el filtro generado por B es

F (B) = A ⊆ X : existen B1, B2, ..., Bn ∈ B tales que B1 ∩B2 ∩ ... ∩Bn ⊆ A .

Corolario 6.4.3 Si B ⊆ P (X) es una base de filtro en X, entonces

F (B) = A ⊆ X : existe B ∈ B tal que B ⊆ A .

Definicion 6.4.3 Sea F ⊆/ P (X) un filtro en X, una subfamilia B ⊆ F es una base

de F si para todo F ∈ F existe B ∈ B tal que B ⊆ F.

Ejemplo 6.4.2

1. Todo filtro F es base de si mismo.

2. Si F = F (B), entonces la familia B∗ que tiene por elementos todas las inter-

secciones finitas de B es una base de F .

3. Si B es base de filtro en X, entonces B es base del filtro F (B) .


Teorema 6.4.2 Sea B ⊆/ P (X), entonces B es base de algun filtro F en X si y solo

si B es base de filtro en X y el filtro F = F (B) .

Definicion 6.4.4 Sean F ,F ′ dos filtros en X, F ′ es mas fino que F si, y solo si,

F ⊆ F ′.

Si F ′ es mas fino que F se notara F ≺ F ′.

Ejercicio 6.4.2 Sea A la familia de todos los filtros en X, entonces la relacion ”≺ ”

es un orden para A.

Definicion 6.4.5 Sea U ⊆/ P (X) un filtro en X, U es un ultrafiltro si, y solo si, U es

maximal en (A,≺) .

Esto es, U ⊆ P (X) es un ultrafiltro si, y solo si, se satisfacen:

F0) ∅ /∈ U ,

F1) X ∈ U ,

F2) si A,B ∈ U , entonces A ∩ B ∈ U ,

F3) si A ∈ U y A ⊆ B, entonces B ∈ U ,

F4) si F ∈ A y U ≺ F , entonces U = F .

Observacion 6.4.3 De la Definicion 6.4.5 resultan las siguientes conclusiones:

1. Un filtro U ⊆/ P (X) es un ultrafiltro si no existe ningun filtro que lo contenga

propiamente.

2. U es un ultrafiltro en X si, y solo si, U es un ultrafiltro en el algebra de Boole

(P (X) ,∪,∩, ∅,X) .

Teorema 6.4.3 Sea F un filtro sobreX, entonces existe un ultrafiltro U tal que F ⊆ U .

Teorema 6.4.4 Un filtro U ⊆/ P (X) , es un ultrafiltro si, y solo si, A ∈ U o Ac ∈ Upara todo A ⊆ X.


Dem.

(1) Sea U ⊆/ P (X) un filtro [Hip.]

(⇒)

(2) Sea U ⊆/ P (X) un ultrafiltro [Hip.]

(3) Supongamos que existe A ⊆ X tal que A /∈ U y Ac /∈ U [Hip.]

(4) Sea F = F ⊆ X : A ∪ F ∈ U

i) F es un filtro

F0) ∅ /∈ F

(5) Supongamos que ∅ ∈ F

(6) A ∪ ∅ = A ∈ U lo que contradice (3) [(5),(4)]

(7) ∅ /∈ F [(5),(6)]

F1) X ∈ F

(8) A ∪ X = X ∈ U [(2)]

(9) X ∈ F [(8),(4)]

F2) si F,G ∈ F , entonces F ∩G ∈ F

(10) Sean F,G ∈ F [Hip.]

(11) A ∪ F ∈ U y A ∪G ∈ U [(10)]

(12) A ∪ (F ∩G) = (A ∪ F ) ∩ (A ∪ G) ∈ U [(11),(2)]

(13) F ∩G ∈ F [(4),(12)]

F3) si F ∈ F y F ⊆ B, entonces B ∈ F

(14) Sean F ∈ F y F ⊆ B [Hip.]

(15) A ∪ F ∈ U y A ∪ F ⊆ B ∪A [(14)]

(16) A ∪ B ∈ U [(15),(2)]


(17) B ∈ F [(16),(4)]

(18) F es un filtro en X [F0),F1),F2),F3)]

ii) U ⊆ F

(19) Sea U ∈ U [Hip.]

(20) U ⊆ U ∪A

(21) U ∪ A ∈ U [(19),(20),(2)]

(22) U ∈ F [(21),(4)]

(23) U ⊆ F [(20),(22)]

iii) U 6= F

(24) A ∪Ac = X ∈ U [(2)]

(25) Ac ∈ F [(24),(4)]

(26) U 6= F [(25),(3)]

(27) existe un filtro F en X tal que U ⊆ F y U 6= F [i),ii),iii)]

(28) U no es un ultrafiltro lo que contradice (2) [(27)]

(29) para todo subconjunto A de X se verifica que A ∈ U o Ac ∈ U [(3),(28)]

(⇐)

(30) para todo A ⊆ X se verifica que A ∈ U o Ac ∈ U [Hip.]

(31) Supongamos que U no es un ultrafiltro [Hip.]

(32) existe un filtro F en X tal que U ⊆ F y U 6= F [(31)]

(33) existe A ∈ F y A /∈ U [(32)]

(34) Ac ∈ U [(30),(33)]

(35) Ac ∈ F [(32),(34)]

(36) Ac ∩ A = ∅ ∈ F lo que contradice (32) [(32),(33),(35)]


(37) U es un ultrafiltro [(31),(36),(1)]

2

Corolario 6.4.4 Una base de filtro M es maximal si, y solo si, F (M) es ultrafiltro.

Dem.

(1) Sea M una base de filtro en X


(2) M es base de filtro maximal

(3) para todo A ⊆ X existe M ∈ M tal que M ⊆ A o M ⊆ Ac [(1),(2),L.6.2.4]

(4) A ∈ F (M) o Ac ∈ F (M) [(3),C.6.4.3]

(5) F (M) es ultrafiltro [(4),T.6.4.4]

2

Definicion 6.4.6 Sea F un filtro en un espacio topologico (X, τ ) , F converge a un

punto x ∈ X si, y solo si, U ∈ F para todo U ∈ Ux.

Esto es, F converge a x,F → x, si, y solo si, Ux ⊆ F .

Ejercicio 6.4.3 Probar que:

1. Si F es un filtro en (X, τ ) , entonces F → x si, y solo si, U (x) ⊆ F .

2. Si F es un filtro en (X, τ ) y B es base de F , entonces F → x si, y solo si, B → x.

Observacion 6.4.4 Sea ϕ : IN → X una sucesion tal que ϕ (n) = xn para todo n ∈ IN

y sea el filtro G = M ⊆ IN : M c es finito . Sea Fϕ = F (ϕ (G)) el filtro generado por

ϕ (G) , luego F ∈ Fϕ si, y solo si, xn ∈ F salvo un numero finito de valores de n.

En efecto.

(1) Sea ϕ : IN → X una sucesion tal que ϕ (n) = xn para todo n ∈ IN y

(2) sea el filtro G = M ⊆ IN : M c es finito [Hip.]

(3) Fϕ = A ⊆ X : existen M1,M2, ...,Mn ∈ G tales

que ϕ (M1) ∩ ϕ (M2) ∩ ... ∩ ϕ (Mn) ⊆ A [T.6.4.1]


(4) M1,M2, ...,Mn ∈ G si, y solo si, M c1 ,M

c2 , ...,M

cn son finitos [(2)]

(5) M1,M2, ...,Mn ∈ G si, y solo si,n⋃

i=1

M ci =

(n⋂

i=1

Mi

)c

es finito [(4)]

(6) Sea A ∈ Fϕ [Hip.]

(7) existen M1,M2, ...,Mn ∈ G tales que

ϕ (M1) ∩ ϕ (M2) ∩ ... ∩ ϕ (Mn) ⊆ A [(6),(3)]

(8) ϕ (IN) = ϕ

(n⋂

i=1

Mi ∪(

n⋂i=1

Mi

)c)

= ϕ

(n⋂

i=1

Mi

)∪ ϕ

((n⋂

i=1

Mi

)c)

⊆ A ∪ ϕ((

n⋂i=1

Mi

)c)[(7)]

(9) ϕ

((n⋂

i=1

Mi

)c)es finito [(5),(7)]

(10) salvo un numero finito de n, xn ∈ A (todos, algunos o ningun

elemento del conjunto ϕ

((n⋂

i=1

Mi

)c)) [(9),(8)]

El filtro Fϕ recibe el nombre de filtro asociado a la sucesion ϕ o filtro elemental.

Definicion 6.4.7 Sea ϕ : IN → X una sucesion tal que ϕ (n) = xn para todo n ∈ IN

y sea el filtro G = M ⊆ N : M c es finito . El filtro asociado a la sucesion ϕ o filtro

elemental, Fϕ, es el filtro generado por ϕ (G) , es decir, Fϕ = F (ϕ (G)) .

Ejercicio 6.4.4 Probar que

1. Si (xnk)k∈N es una subsucesion de (ϕ (n))n∈N = (xn)n∈N , entonces el filtro aso-

ciado a ella es mas fino que el filtro Fϕ.

2. Si (X, τ ) es un espacio topologico, entonces x ∈ X es un punto de aglomeracion

de la sucesion (ϕ (n))n∈N = (xn)n∈N si, y solo si, x ∈ F para todo F ∈ Fϕ.

Esto conduce a la siguiente:


Definicion 6.4.8 Si F es un filtro en un espacio topologico (X, τ ) , F se aglomera en

x ∈ X si, y solo si, x ∈ F para todo F ∈ F .

Si F se aglomera en x se notara F x.

Ejercicio 6.4.5 Probar que si F es un filtro en un espacio topologico (X, τ ) tal que

F → x, entonces F x.

El Teorema 6.3.2 para sucesiones admite la siguiente generalizacion:

Teorema 6.4.5 Sea F un filtro en un espacio topologico (X, τ ) , entonces F x si,

y solo si, existe un filtro F ′ mas fino que F que converge a x.

Esto es, F x si, y solo si, existe un filtro F ′ tal que F ⊆ F ′ y F ′ → x.

Corolario 6.4.5 Si U es un ultrafiltro en un espacio topologico (X, τ ), entonces U x

si, y solo si, U → x.


6.5 Practico No 6

Ejercicio 6.5.1 Sea τ = R, ∅ ∪ (a,∞) : a ∈ R. Pruebe que si x ∈ R, entonces

n →n→∞

x.

Ejercicio 6.5.2 Sea (X, τ ) un espacio topologico T2 y (xn)n∈N una sucesion en X que

no se aglomera en X. Pruebe que A = xnn∈N es un conjunto cerrado.

Ejercicio 6.5.3 Sea (X, τ0) el espacio caotico y (xn)n∈N una sucesion en X.

(i) Pruebe que xn →n→∞

x, para todo x ∈ X.

(ii) ¿Que conclusion obtiene?

Ejercicio 6.5.4 Sea (X,D) el espacio discreto.

(i) Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) Existe x ∈ X: xn →n→∞

x,

(b) existe n0 ∈ N: xn = x, para todo n ≥ n0.

(ii) ¿Que conclusion obtiene?

Ejercicio 6.5.5 Sean (X, τX) e (Y, τY ) espacios topologicos y f : (X, τX ) → (Y, τY )

una funcion. Pruebe que:

(a) Si U es una b.d.f. en X, entonces f(U) = f(A) : A ∈ U es una b.d.f. en Y .

(b) Si B es una b.d.f. en Y , entonces f−1(B) = f−1(B) : B ∈ B es una b.d.f. en

X si, y solo si, f−1(B) 6= ∅, para todo B ∈ B.

Ejercicio 6.5.6 Sea (R, τε) y X = [0, 1) × [0, 1]. Pruebe que

U =

[x, 1) × [0, 1] : x ∈ [0, 1)

es una b.d.f. en X.

Ejercicio 6.5.7 Sea (D,≺) un conjunto dirigido y Ta = x ∈ D : a ≺ x, para todo

a ∈ D. Pruebe que si ϕ : D → (Y, τ ) es una red y U(ϕ) = ϕ(Ta)a∈D, entonces se

verifica:


(a) U(ϕ) es una b.d.f.

(b) ϕ→ y1 si, y solo si, U(ϕ) → y1.

(c) ϕ y1 si, y solo si, U(ϕ) y1.

Ejercicio 6.5.8 Sea τ = (a,∞) : a ∈ R∪∅,R una topologıa para R y B = (q,+∞) : q ∈ Q.Pruebe que:

(a) B es una b.d.f. en R.

(b) B → x, para todo x ∈ R.

Ejercicio 6.5.9 Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topologicos y Bi una b.d.f.

en Xi, para todo i ∈ I. Pruebe que:

(a) B =

∏i∈I

Bi : existe J ⊆ I finito tal que Bi ∈ Bi, pt i ∈ J y Bi = Xi,

pt i /∈ J

es b.d.f. en el espacio producto.

(b) Si Bi → xi para todo i ∈ I, entonces B → [xi]i∈I.

Ejercicio 6.5.10 Sean (X, τ ) un espacio topologico, M ⊆ X y U =

U ∩ M :

U ∈ U(x)

. Demuestre que si x ∈ M , entonces U es una b.d.f. de X tal que M ∈ U

y U → x.

Ejercicio 6.5.11 Sea (X, τX ) un espacio topologico y U una b.d.f. en X. Pruebe que

si S = x ∈ X : U x, entonces S es un conjunto cerrado.

Ejercicio 6.5.12 Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) una biyeccion abierta. Pruebe que si

x ∈ X y V es una b.d.f. en Y tal que V → f(x), entonces existe una b.d.f. U en X tal

que U → x, f(U) ` V y V ` f(U).

Ejercicio 6.5.13 Sea (X, τ ) un espacio topologico y F un filtro en X. Pruebe que Fes una b.d.f. en X.

Ejercicio 6.5.14 Sea (X, τ ) un espacio topologico. Pruebe que las condiciones si-

guientes son equivalentes:

(a) G ∈ τ ,

(b) si x ∈ G y F es un filtro en X tal que F → x, entonces G ∈ F .

Ejercicio 6.5.15 Sea f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion biyectiva. Pruebe que si F es

un filtro en X, entonces f(F) = f (A) : A ∈ F es un filtro en Y .

Ejercicio 6.5.16 Sea B = Bαα∈A ⊆ P(X) una familia que verifica:

• Bα 6= ∅, para todo α ∈ A.

• Si α1, α2, · · · , αn ∈ A, entoncesn⋂

i=1

Bαi 6= ∅.

Pruebe que F(B) =

A ⊆ X : existen α1, α2, · · · , αn ∈ A tal que

n⋂i=1

Bαi ⊆ A

es un filtro en X.

Ejercicio 6.5.17 Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion y F un filtro en X. Pruebe

que las condiciones siguientes son equivalentes:

(a) f es continua,

(b) si x ∈ X y A es un filtro en X tal que A → x, entonces F (f (A)) → f (x),

siendo F (f (A)) =

B ⊆ Y : existe C ∈ f(A) tal que C ⊆ B

.

Ejercicio 6.5.18 Sea ϕ : D → X una red. Pruebe que

F = F ⊆ X : existe a ∈ D tal que ϕ(Ta) ⊆ F

es un filtro en X.


7 Topologıa de identificacion

En esta seccion se estudia un metodo para introducir una topologıa en un conjunto

que juega un rol muy importante en Topologıa. Este metodo utiliza una funcion de un

espacio topologico en un conjunto lo cual hace necesario realizar numerosas construccio-

nes como se vera a continuacion.

7.1 Topologıa de identificacion

Se plantea el siguiente problema:

“Sean (X, τX ) un espacio topologico, Y un conjunto no vacıo, p : X → Y una funcion,

hallar en Y la topologıa mas fina que hace continua a p”.

Siempre existe en Y una topologıa que hace continua a p, a saber la topologıa

caotica, pero se pretende determinar la mas fina de todas las que hacen continua a p.

Si tal topologıa, τ (p) , para Y existe, entonces la familia B = U ⊆ Y : p−1 (U) ∈ τXes una subfamilia de τ (p) .

Lema 7.1.1 Sean (X, τX ) un espacio topologico, Y un conjunto no vacıo y p : X → Y

una funcion, entonces la familia B = U ⊆ Y : p−1 (U) ∈ τX es la topologıa mas fina

para Y que hace continua a p.

Definicion 7.1.1 Sean (X, τX ) un espacio topologico, Y un conjunto no vacıo y

p : X → Y una funcion, la topologıa de identificacion en Y determinada por p es la

topologıa τ (p) = U ⊆ Y : p−1 (U) ∈ τX .

Observacion 7.1.1

1. Del Lema 7.1.1 y de la Definicion 7.1.1 resulta que la topologıa de identificacion

en Y determinada por p es la topologıa mas fina para Y que hace continua a

p : (X, τX) → Y.

2. De ahora en adelante se considera el caso, particularmente importante, en que p

es una suryeccion.

Ejemplo 7.1.1

1. Sea (Yα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos y sea

( ∏α∈A

Yα, τπ

)

el espacio producto, entonces la topologıa de identificacion τ (pα) en el conjunto

Yα determinada por la funcion proyeccion pα :∏

α∈AYα → Yα es la topologıa τα en

Yα.


2. Sea p : [0, 1] → 0, 1 la funcion caracterıstica del conjunto [12, 1], esto es,

p (x) =

1 si x ∈ [12, 1]

0 si x /∈ [12, 1]

La topologıa de identificacion τ (p) en 0, 1 lo transforma en el espacio de Sier-

pinski.

Ademas, p : ([0, 1], τ[0,1]) → (0, 1, τ (p)) no es cerrada ni abierta.

En efecto.

(1) Sea p : [0, 1] → 0, 1 la funcion caracterıstica del conjunto [12, 1] [Hip.]

i) τ (p) = τS

(2) τ (p) =U ⊆ 0, 1 : p−1 (U) ∈ τ[0,1]

(3) τ (p) = ∅, 0 , 0, 1 = τS [(1),(2)]

ii) p :([0, 1], τ[0,1]

)→ (0, 1 , τ (p)) no es cerrada ni abierta

(4) [15, 1

4] es cerrado en τ[0,1]

(5) p([

15, 1

4

])= 0 no es cerrado en τ (p) [(1)]

(6) p :([0, 1], τ[0,1]

)→ (0, 1 , τ (p)) no es cerrada [(4),(5)]

(7) existe G =(

35, 3

4

)∈ τ[0,1] tal que p (G) = 1 no es abierto en τ (p) [(1)]

(8) p :([0, 1] , τ[0,1]

)→ (0, 1 , τ (p)) no es abierta [(7)]

Observacion 7.1.2

1. Si p no es una suryeccion, entonces Y \ p (X) hereda la topologıa discreta.

En efecto.

(1) Sea p : (X, τX ) → (Y, τ (p)) una funcion que no es sobreyectiva [Hip.]

(2) Sea G ⊆ Y \ p (X) [Hip.]

(3) p−1 (G) = ∅ [(1),(2)]


(4) p−1 (G) ∈ τX [(3)]

(5) G es abierto en Y [(4)]

(6) G es abierto en Y \ p (X) [(2),(5)]

(7) τY \p(X) = D [(2),(6)]

2. Puede ocurrir que en lugar de un conjunto no vacıo Y , se tenga un espacio

topologico (Y, τY ) y una suryeccion continua p : (X, τX ) → (Y, τY ) , entonces no

siempre τY sera la topologıa mas fina que hace continua a p. Esto conduce a la

siguiente definicion.

Definicion 7.1.2 Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos y p : (X, τX) → (Y, τY )

una suryeccion continua, p es una identificacion si, y solo si, τ (p) = τY .

τ (p) recibe el nombre de topologıa de identificacion determinada por p.

Tambien, se dice que (Y, τY ) es una imagen continua del espacio (X, τX)

Observacion 7.1.3 No toda suryeccion continua es una funcion de identificacion, por

ejemplo la funcion identidad 1 : (X, τ1) → (X, τ2) es una identificacion si, y solo si,

τ1 = τ2.

Se plantea ahora el siguiente problema:

“Determinar un metodo que permita hallar todas las imagenes continuas, salvo

homeomorfismos, de un espacio topologico (X, τX)”

Este problema tambien se puede expresar de la siguiente manera:

“Dado un espacio topologico (X, τX ) se desea determinar todos los espacios topolo-

gicos (Y, τY ) para los cuales existe una suryeccion continua p : (X, τX) → (Y, τY ) siendo

τY la topologıa mas fina que hace continua a p”.

Para resolver este problema se deben tener presentes las siguientes observaciones:

1. Sean (X, τX ) un espacio topologico y p : X → Y una suryeccion, la relacion

“≡p”definida en X por x ≡p y si, y solo si, p (x) = p (y) , es una relacion de

equivalencia sobre X tal que la clase de equivalencia de un elemento x ∈ X es el

conjunto x = p−1 (y) siendo y = p (x) .

Sea X/≡p el conjunto cociente y q : X →X /≡p la aplicacion canonica definida

por q (x) = x, el espacio topologico(X/≡p , τ (q)

)recibe el nombre de espacio

cociente, siendo τ (q) la topologıa de identificacion en X/≡p determinada por q.


2. Bajo las mismas hipotesis que en la Observacion 1 resulta que existe una funcion

biyectiva p : X/≡p → Y definida por p (x) = p (x) y que satisface la igualdad

p q = p.

3. Se considera ahora un caso aparentemente mas general ( sin olvidar al conjunto

Y ). Sean (X, τX ) un espacio topologico, R una relacion de equivalencia definida

sobre X, X/R el conjunto cociente y q : X → X/R la aplicacion canonica.

Al espacio topologico(

X/R, τ (q))

se lo llama espacio cociente determinado por

la relacion R siendo τ (q) la topologıa de identificacion τ (q) en X/R determinada

por q.

Es claro que en los casos 2 y 3 el espacio cociente es una imagen continua del espacio

X y se probara que esta es la manera de hallar las imagenes continuas de un espacio.

Uno de los objetivos a cumplir es poder demostrar la siguiente propiedad:

“Sean p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion, ≡p la reacion de equivalencia defini-

da en la Observacion 1, entonces el espacio cociente(

X/≡p , τ (q))

es homeomorfo a

(Y, τY )”.

El concepto de funcion de identificacion contiene al concepto de suryeccion continua

y abierta (cerrada), como lo especifica el siguiente lema.

Lema 7.1.2 Si p : (X, τX) → (Y, τY ) es una suryeccion continua y abierta (cerrada),

entonces p es una identificacion.

A la topologıa de identificacion en Y determinada por p se la denota con τ (p, Y ) ,

es decir, τ (p) = τ (p, Y ) .

Definicion 7.1.3 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una suryeccion continua, la fibra del

elemento y ∈ Y es el conjunto p−1 (y) .

Ejemplo 7.1.2 Sean (X, τX) un espacio topologico, R una relacion de equivalencia

definida sobre X, y q : X → X/R la aplicacion canonica, la fibra del elemento x ∈ X/R

es el conjunto:

q−1 (x) = y ∈ X : q (y) = x = y ∈ X : y = x = y ∈ X : (y, x) ∈ R = x

Definicion 7.1.4 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una suryeccion continua, una seccion es

una funcion s : Y → X tal que s (y) ∈ p−1 (y) .A una seccion, s : Y → X, que es continua se la llamara seccion continua


Una condicion suficiente que se usa frecuentemente es la siguiente:

Lema 7.1.3 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una suryeccion continua que admite una seccion

continua s : (Y, τY ) → (X, τX ) tal que p s = 1Y , entonces p es una identificacion.

Es importante determinar cuando una identificacion p : (X, τX ) → (Y, τY ) es una

funcion abierta (cerrada), para ello se vera lo siguiente.

Definicion 7.1.5 Sea p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion, A ⊆ X es p− saturado

si existe B ⊆ Y tal que A = p−1 (B)

Lema 7.1.4 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una identificacion, A ⊆ X es p− saturado si,

y solo si, A = p−1 (p (A)) .

Ejemplo 7.1.3 Sea q : X → X/R la identificacion canonica, definida por q (x) = x,

entonces A ⊆ X es q− saturado si, y solo si, A =⋃

x∈A

y ∈ X : (y, x) ∈ R

En efecto.

(1) Sean q : X → X/R la identificacion canonica y

(2) A ⊆ X q− saturado [Hip.]

(3) q−1 (q (A)) = q−1

( ⋃x∈A

q (x))

= q−1

( ⋃x∈A

x)

=⋃

x∈A

q−1 (x)

=⋃

x∈A

y ∈ X : (y, x) ∈ R

(4) A =⋃

x∈A

y ∈ X : (y, x) ∈ R [(2),(3)]

Luego, A es q−saturado si, y solo si, A es union de clases de equivalencia.

Definicion 7.1.6 Sea p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion y sea A ⊆ X, el

p−saturado del conjunto A es el conjunto p−1 (p (A)) .

Observacion 7.1.4 Sea p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion y sea A ⊆ X

p−saturado, entonces el p−saturado de A es A.

En efecto.


(1) Sean p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion y

(2) A ⊆ X p− saturado [Hip.]

(3) A = p−1 (p (A)) [(1),(2),L.7.1.4]

(4) el p− saturado de A es A [(3)]

Lema 7.1.5 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una identificacion, entonces p es abierta (ce-

rrada) si, y solo si, el p− saturado de todo abierto (cerrado) es abierto (cerrado) en

X.

Corolario 7.1.1 Sea q : X → X/R la identificacion canonica, entonces q es abierta

si, y solo si, el conjunto⋃

x∈U

y ∈ X : (y, x) ∈ R es abierto en X para todo conjunto

abierto U ⊆ X.

Dem.

(1) Sea q : X → X/R la identificacion canonica


(2) q es abierta

(3) q−1 (q (U)) ∈ τX para todo U ∈ τX [L.7.1.5]

(4) q−1 (q (U)) = y ∈ X : q (y) ∈ q (U)

= y ∈ X : existe x ∈ U tal que q (y) = q (x)

= y ∈ X : existe x ∈ U tal que (y, x) ∈ R

=⋃

x∈U

y ∈ X : (y, x) ∈ R

(5)⋃

x∈U

y ∈ X : (y, x) ∈ R ∈ τX para todo U ∈ τX [(3),(4)]

2


7.2 Subespacios

Sea p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion y sea F ⊆ Y, entonces en F se pueden

definir por lo menos dos topologıas:

1. τF la topologıa inducida en F por τY = τ (p, Y )

2. τ (p, F ) la topologıa de identificacion determinada por la suryeccion

p : p−1 (F ) → F.

En general, la topologıa de identificacion no se comporta bien para los subespacios

de Y, en el sentido que las topologıas τ (p, F ) y τF no coinciden, como se muestra en el

siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.2.1 Sean X = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , Y = a, b, c, d , y las topologıas:

τX = ∅,X, 1 , 1, 3 , 1, 4 , 5, 6 , 1, 5, 6 , 2, 5, 6 , 1, 3, 4 , 1, 4, 5, 6 ,

1, 2, 5, 6 , 1, 3, 5, 6 , 1, 2, 4, 5, 6;

τY = ∅, Y, d , a, d , a, b, d , a, c, d.

Sean F = b, c, d y p : X → Y la funcion definida por p (x) =

a si x = 1 o x = 2b si x = 3c si x = 4d si x = 5 o x = 6

,

entonces τ (p, F ) 6= τF con p : p−1 (F ) → F.

En efecto.

(1) p : (X, τX) → (Y, τY ) es una identificacion

(2) τF = ∅, F, d , b, d , c, d

(3) p : p−1 (F ) → F esta definida por p (x) =

b si x = 3c si x = 4d si x = 5 o x = 6

(4) τp−1(F ) = ∅, p−1 (F ) , 3 , 4 , 5, 6 , 3, 4 , 4, 5, 6 , 3, 5, 6

considerando a p−1 (F ) un subespacio de (X, τX)

(5) τ (p, F ) =U ⊆ F : p−1 (U) ∈ τp−1(F )

= ∅, F, b , c , d , b, c , b, d , c, d [(4)]


(6) τ (p, F ) 6= τF [(4),(5)]

En el siguiente teorema se dan las condiciones para que las topologıas τ (p, F ) y τF ,

consideradas en el ejemplo 7.2.1, coincidan.

Teorema 7.2.1 Sea p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion y sea F ⊆ Y tal que:

(i) F es abierto o cerrado en Y o

(ii) p es abierta o cerrada,

entonces τ (p, F ) = τF

Observacion 7.2.1 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una identificacion y sea F ⊆ Y ,

la condicion de que se use la imagen completa inversa, p−1 (F ) , para determinar la

topologıa de identificacion es esencial, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.2.2 Sea p : IR2 → IR la funcion proyeccion y sea F = IR, entonces

τ (p/M , F ) 6= τε siendo M =(x, y) ∈ IR2 : y = x+ 1 si x ≥ 0, y = x− 1 si x < 0

En efecto.

Sean

(1) p : IR2 → IR la funcion proyeccion, [Hip.]

(2) M =(x, y) ∈ IR2 : y = x+ 1 si x ≥ 0, y = x− 1 si x < 0

. [Hip.]

(3) p/M : M → IR es una funcion sobreyectiva [(1)]

(5) IR es abierto en IR

(6) M ⊂ IR = p−1(IR) [(1), (2)]

(7) [0, x) ∈ τ (p/M , IR) [ (1), (2), (3) ]

(8) τ (p/M , IR) 6= τε [(7)]


7.3 Teoremas generales

Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos y p : X → Y una funcion continua, es

claro que la continuidad de cualquier funcion g : Y → Z implica la continuidad de

g p. La recıproca de esta propiedad se verifica para las funciones de identificacion.

Teorema 7.3.1 Sea p : X → Y una suryeccion continua, las siguientes condiciones

son equivalentes:

i) p es una identificacion,

ii) para todo espacio topologico Z y para toda funcion g : Y → Z , si g p es

continua, entonces g es continua.

Dem.

(1) Sea p : X → Y una suryeccion continua [Hip.]

i) ⇒ ii)

(2) p es una identificacion [Hip.]

(3) Sea (Z, τZ) un espacio topologico y g : Y → Z una funcion

tal que g p es continua [Hip.]

(4) Sea U ∈ τZ [Hip.]

(5) (g p)−1 (U) ∈ τX [(3),(4)]

(6) (g p)−1 (U) = p−1 (g−1 (U))

(7) p−1 (g−1 (U)) ∈ τX [(5),(6)]

(8) τY = τ (p, Y ) = G ⊆ Y : p−1 (G) ∈ τX [(2)]

(9) g−1 (U) ∈ τY [(7),(8)]

(10) g−1 (U) ∈ τY para todo U ∈ τZ [(4),(9)]

(11) g : Y → Z es continua [(10)]


ii) ⇒ i)

(12) para todo espacio topologico Z y para toda funcion g : Y → Z,

si g p es continua, entonces g es continua [Hip.]

(13) Sea 1Y : (Y, τY ) → (Y, τ (1Y p)) la funcion identidad. [Hip.]

a) τ (p, Y ) = τ (1Y p, Y )

(14) U ∈ τ (1Y p, Y ) si, y solo si, (1Y p)−1 (U) ∈ τX

(15) (1Y p)−1 (U) = p−1(1−1

Y (U))

= p−1 (U) [(14)]

(16) U ∈ τ (1Y p, Y ) si, y solo si, p−1 (U) ∈ τX [(14), (15)]

(17) U ∈ τ (1Y p, Y ) si, y solo si, U ∈ τ (p, Y ) [(16)]

(18) τ (1Y p, Y ) = τ (p, Y ) [(17)]

b) p es una identificacion

(19) 1Y p : (X, τX ) → (Y, τ (p, Y )) es una identificacion [(18)]

(20) 1Y p es continua [(19)]

(21) 1Y : (Y, τY ) → (Y, τ (p, Y )) es continua [(12),(20)]

(22) τ (p, Y ) ⊆ τY [(21), L. 2.1.2]

(23) τY ⊆ τ (p, Y ) [(1), O.7.1.1]

(24) τY = τ (p, Y ) [(22),(23)]

(25) p : (X, τX) → (Y, τY ) es una identificacion [(1),(24)]

2

Corolario 7.3.1 Sea p : X → Y una identificacion y sea “≡p”la relacion definida

en X por x ≡p y si, y solo si, p (x) = p (y) , entonces(

X/≡p , τ (q))

es homeomorfo a

(Y, τY ) , siendo q la identificacion canonica.

Dem.

Sean


(1) p : X → Y una identificacion, [Hip.]

(2) “≡p”la relacion definida en X por x ≡p y si, y solo si, p (x) = p (y), [Hip.]

(3) p : X/≡p → Y la funcion definida por p (x) = p (x). [Hip.]

i) p es continua

(4) q : X → X/≡p es la identificacion canonica

(5) (p q) (x) = p (x) = p (x) para todo x ∈ X [(3)]

(6) p q = p [(5)]

(7) p q es una identificacion [(1),(6)]

(8) p q es continua [(7)]

(9) p es continua [(4),(8),T.7.3.1]

ii) p−1 : Y → X/≡p es continua

(10) (p−1 p) (x) = p−1 (p (x)) = p−1 (p (x)) = x = q (x) para todo x ∈ X [(3)]

(11) p−1 p = q [(10)]

(12) p−1 p es continua [(11),(4)]

(13) p−1 es continua [(13),(1),T.7.3.1]

(14) p es inyectiva [(3)]

(15) p : X/≡p → Y es homeomorfismo [(9),(13), (14)]

(16)(

X/≡p , τ (q))

e (Y, τ (p, Y )) son homeomorfos [(15)]

2

Con el Corolario 7.3.1 queda resuelto el problema planteado anteriormente, esto

es, las imagenes continuas de un espacio dado se obtienen por los espacios cocientes a

menos de homeomorfismos.

Teorema 7.3.2 (Transgresion) Sea p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion y sea

h : (X, τX) → (Z, τZ) una funcion continua. Si h p−1 esta bien definida (h es

constante sobre cada fibra de y ∈ Y ), entonces se satisfacen las siguientes propiedades:


i) h p−1 : (Y, τY ) → (Z, τZ) es continua y el siguiente diagrama es conmutativo:

Z

Y

p

h p−1

h

.............................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................X...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ii) h p−1 : (Y, τY ) → (Z, τZ) es abierta (cerrada) si, y solo si, h (U) es abierto

(cerrado) en Z para cada p−saturado y abierto (cerrado) U .

Dem.

Sean

(1) p : (X, τX ) → (Y, τY ) una identificacion, [Hip.]

(2) h : (X, τX) → (Z, τZ) una funcion continua [Hip.]

(3) h p−1 esta bien definida [Hip.]

(4) h es constante sobre cada fibra p−1 (y) [(3)]

i) h p−1 : (Y, τY ) → (Z, τZ) es continua

(5) p−1 (p (x)) es la fibra que contiene a x, para cada x ∈ X

(6) h (x) = h (p−1 (p (x))) = (h p−1) (p (x)) para cada x ∈ X [(4),(5)]

(7) h = (h p−1) p [(6)]

(8) (h p−1) p es continua [(2),(7)]

(9) h p−1 es continua [(1),(8),T.7.3.1]

ii) (⇒)

(10) h p−1 : Y → Z es abierta [Hip.]

(11) Sea U ⊆ X p−saturado abierto [Hip.]

(12) U = p−1 (p (U)) [(11),L.7.1.4]

(13) p−1 (p (U)) ∈ τX [(11),(12)]


(14) p (U) ∈ τ (p, Y ) = τY [(13),(1)]

(15) h (U) = h (p−1 (p (U))) = (h p−1) (p (U)) [(12)]

(16) h (U) ∈ τZ [(10),(14),(15)]

(⇐)

(17) h (U) es abierto en Z para cada p−saturado y abierto U [Hip.]

(18) Sea V ∈ τY [Hip.]

(19) p−1 (V ) ∈ τX [(18),(1)]

(20) U = p−1 (V ) es p−saturado y abierto [(19)]

(21) h (U) = h (p−1 (V )) = (h p−1) (V ) es abierto en Z [(20),(17)]

(22) (h p−1) (V ) ∈ τZpara todo V ∈ τY [(18),(21)]

(23) h p−1 : Y → Z es abierta [(22)]

2

Teorema 7.3.3 (Transitividad) Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una identificacion y sea

g : (Y, τY ) → (Z, τZ) una suryeccion, se satisfacen las siguientes propiedades:

i) τ (g p) = τ (g) .

ii) g p es una identificacion si, y solo si, g es una identificacion.

Dem.

Sean

(1) p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion, [Hip.]

(2) g : (Y, τY ) → (Z, τZ) una suryeccion. [Hip.]

(3) g p es continua si, y solo si, g es continua [(1),(12),T.7.3.1]

(4) g p : (X, τX) → (Z, τ (g p)) es una identificacion

(5) g p : (X, τX) → (Z, τ (g p)) es continua [(4)]

(6) g p : (Y, τY ) → (Z, τ (g p)) es continua [(3),(5)]

(7) τ (g p) ⊆ τ (g) [(6)]

(8) g : (Y, τY ) → (Z, τ (g)) es continua


(9) g p : (X, τX) → (Z, τ (g)) es continua [(8),(3)]

(10) τ (g) ⊆ τ (g p) [(9)]

(11) τ (g p) = τ (g) [(7),(10)]

(12) g es una identificacion si, y solo si, τZ = τ (g, Z) [(2)]

(13) g p : (X, τX) → (Z, τZ) es una identificacion si, y solo si, τZ = τ (g p, Z)

(14) g p es una identificacion si, y solo si, g es una identificacion [(11),(12),(13)]

2

7.4 Conexion en la topologıa de identificacion

Cuando p : (X, τX) → (Y, τy) es una identificacion, los resultados sobre conjuntos

conexos y localmente conexos se enriquecen sustancialmente.

Lema 7.4.1 Sea p : (X, τX) → (Y, τy) una identificacion y sea F ⊆ Y abierto (cerrado).

Si p−1 (y) es conexo para todo y ∈ Y, entonces las siguientes condiciones son equiva-

lentes:

i) F es conexo,

ii) p−1 (F ) es conexo.

Dem.

Sean

(1) p : (X, τX ) → (Y, τy) una identificacion, [Hip.]

(2) F ⊆ Y abierto, [Hip.]

(3) p−1 (y) conexo para todo y ∈ Y [Hip.]

i) ⇒ ii)

(4) F es conexo [Hip.]


(5) Sea h : p−1 (F ) → 2 una funcion continua [Hip.]

(6) q = p/p−1(F ) : p−1 (F ) → F es una identificacion [(1),(3),T.7.2.1]

i) h q−1 esta bien definida

(7) Sea y ∈ F [Hip.]

(8) q−1 (y) =(

p/p−1(F )

)−1(y) = (p)−1 (y) ⊆ (p)−1 (F ) [(6),(7)]

(9) q−1 (y) es conexo [(2),(8)]

(10) h/q−1(y) : q−1 (y) → 2 es continua [(5),(8)]

(11) h/q−1(y) no es sobreyectiva [(9),(10)]

(12) h es constante sobre las fibras de q [(11)]

(13) h q−1 esta bien definida [(12)]

(14) h q−1 : F → 2 es continua [Hip.]

(15) h q−1 no es sobreyectiva [(4),(14)]

(16) (h q−1) q = h no es sobreyectiva [(15)]

(17) p−1 (F ) es conexo [(5),(16)]

ii) ⇒ i)

(18) p−1 (F ) es conexo [Hip.]

(19) p es una suryeccion continua [(1)]

(20) F = p (p−1 (F )) es conexo [(18),(19)]

2

Teorema 7.4.1 Si p : (X, τX) → (Y, τy) es una identificacion y (X, τX) es localmente

conexo, entonces (Y, τY ) es localmente conexo.


Sean

(1) p : (X, τX ) → (Y, τy) una identificacion, [Hip.]

(2) (X, τX) localmente conexo, [Hip.]

(3) U ⊆ Y abierto en Y , [Hip.]

(4) K ⊆ U componente conexa en U . [Hip.]

(i) p−1(K) es abierto en X

(5) Sea x ∈ p−1(K) [Hip.]

(6) p(x) ∈ K [(5)]

(7) K = C(p(x)) en p−1(U) [(4), (6)]

(8) Sea C(x) la componente conexa de x en p−1(U) [Hip.]

(9) C(x) es conexo en p−1(U) [(6)]

(10) C(x) es conexo en X [(9)]

(11) p(C(x)) es conexo en Y [(1), (10)]

(12) p(C(x)) ⊆ p(p−1(U)) [(8)]

= U [(1)]

(13) p(x) ∈ p(C(x)) y p(C(x)) ⊆ U es conexo [(8), (11), (12)]

(14) p(C(x)) ⊆ K [(7), (13)]

(15) C(x) ⊆ p−1(K) [(14)]

(16) C(x) es abierto en X [(2), (3), (8), T. 4.7.2]

(17) p−1(K) es abierto en X [(5), (15), (16) ]

(ii) K es abierto en Y

(18) K ∈ τY [(1) (τY = τ (p, Y )), (17)]

(iii) (Y, τY ) es localmente conexo

(19) Para todo U ⊆ Y abierto, las componentes conexas de U

son abiertas en Y [(3), (4), (18)]

(20) (Y, τY ) es localmente conexo [(19), T. 4.7.2].


7.5 Espacios con relaciones de equivalencia

Se continua con el estudio de los espacios donde estan definidas relaciones de equi-

valencia.

Ejemplo 7.5.1

1. Sea A ⊆ X, RA = (A × A) ∪ (x, x) : x ∈ X , entonces RA es una relacion de

equivalencia sobre X. Si A es abierto (cerrado), entonces X \A es homeomorfo

a X/RA\ A.

En efecto.

(1) Sean A ⊆ X, RA = (A×A) ∪ (x, x) : x ∈ X [Hip.]

(2) RA es una relacion de equivalencia sobre X [(1)]

(3) x =

A si x ∈ Ax si x /∈ A

[(1)]

i) Si A es abierto (cerrado), entonces a c y X \A son homeomorfos para cada

a ∈ A

(4) Sean A abierto y a ∈ A [Hip.]

(5) q : X →(

X/RA, τ (q)

)es una identificacion

(6) Sea q/X\A : X \A→ X/RA\ a definida por q (x) = x si,

y solo si, x ∈ X \A

(7) q/X\A es biyectiva [(6)]

(8) a ∈ τ (q) si, y solo si, q−1 (a) ∈ τX [(5)]

(9) q−1 (a) = A [(4)]

(10) q−1 (a) ∈ τX [(9),(4)]

(11) a ∈ τ (q) [(8),(10)]

(12) X/RA\ a = F es cerrado en X/RA

[(11)]

(13) τF es la topologıa de identificacion determinada por q/X\A [(12),T.7.2.1]


(14) q/X\A : X \A→ (F, τF ) es una identificacion biyectiva [(13),(7)]

(15) q/X\A : X \A→ (F, τF ) es un homeomorfismo [(14)]

(16) X \A y X/RA\ a son homeomorfos para cada a ∈ A [(12),(15)]

(17) X \A y X/RA\ A son homeomorfos [(16)]

2. Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea RC la relacion de equivalencia determinada

por sus componentes conexas, entonces X/RCes un espacio totalmente disconexo.

En efecto.

(1) Sea RC la relacion de equivalencia definida por

xRCy si, y solo si, C (x) = C (y) [Hip.]

(2) Sea K ⊆ X/RCuna componente conexa en X/RC

[Hip.]

(3) K es cerrado en X/RC[(2),L.4.4.4]

(4) q−1 (x) = C (x) [(1)]

(5) q−1 (x) es conexo para todo x ∈ X/RC[(4)]

(6) K es conexo si, y solo si, q−1 (K) es conexo [(3),(5),L.7.4.1]

(7) Sean x1, x2 ∈ K [Hip.]

(8) q−1 (x1) ⊆ q−1 (K) , x2 ⊆ q−1 (K) [(7)]

(9) C (x1) ⊆ q−1 (K) , C (x2) ⊆ q−1 (K) [(4),(8)]

(10) K es conexo en X/RC[(2)]

(11) q−1 (K) es conexo en X [(6),(10)]

(12) C (x1) = q−1 (K) = C (x2) [(9),(11)]

(13) x1 ∼ x2 [(12),(1)]

(14) x1 = x2 [(13)]

(15) K = x1 [(7),(14)]

(16) X/RCes totalmente disconexo [(2),(15)]


Teorema 7.5.1 Sean R una relacion de equivalencia sobre X y q : X → X/R la

identificacion canonica. Si B ⊆ X/R es abierto o cerrado, entonces B es homeomorfo

a q−1(B)/Ro siendo Ro = R/q−1(B).

Dem.

(1) Sean R una relacion de equivalencia sobre X,

q : X → X/R la identificacion canonica y

(2) B ⊆ X/R abierto o cerrado en X/R [Hip.]

(3) τB es la topologıa de identificacion determinada por

p = q/q−1(B) [(1),(2),T.7.2.1]

(4) p :(q−1 (B) , τq−1(B)

)→ (B, τB) es una identificacion [(3)]

(5) Sea h :(q−1 (B) , τq−1(B)

)→(

q−1(B)/Ro , τ (h))

la identificacion canonica

definida por h (x) = xRo y Ro = R/q−1(B)

i) h p−1 esta bien definida

(6) Sean b ∈ B y p−1 (b) la fibra de b y

(7) x, y ∈ p−1 (b) [Hip.]

(8) p (x) = p (y) = b [(7)]

(9) q (x) = q (y) = b [(8),(3)]

(10) x = y = b [(9)]

(11) (x, y) ∈ R, x, y ∈ q−1 (B) [(6),(10)]

(12) (x, y) ∈ Ro [(11),(5)]

(13) xRo = yRo[(12)]

(14) h (x) = h (y) [(13)]

(15) h es constante sobre cada fibra p−1 (b) [(6),(7),(14)]

(16) h p−1 esta bien definida [(15)]


(17) h : q−1 (B) →q−1(B) /Ro es continua [(5)]

(18) h p−1 es continua [(4),(16),(17),T.7.3.2]

(19) p h−1 es continua [(5), T.??]

En efecto,

(19.1) (p h−1) h = p

(19.2) (p h−1) h es continua [(19.1)]

(19.3) h es una identificacion [(5)]

(19.3) p h−1 es continua [(19.2), (19.3), T.7.3.3]

(20) h p−1 es la inversa de p h−1 y recıprocamente

(21) h p−1 es un homeomorfismo [(18),(19),(20),T.2.3.2]

(22) h p−1 : (B, τB) →(

q−1(B)/Ro, τ (h))

es un homeomorfismo [(4),(5),(21)]

(23) B y q−1(B)/Ro son homeomorfos [(22)]

2

Ejemplo 7.5.2

1. Sea I = [0, 1] ⊆ IR y sea R la relacion de equivalencia definida en I por:

(0, 1) ∈ R y (x, x) ∈ Rsi x 6= 0 y x 6= 1, entonces (x, 0) /∈ R y (x, 1) /∈ R,

entonces I/R es homeomorfo a la circunferencia unitaria S1.

En efecto.

(1) Sean q : I → I/R la identificacion canonica,

(2) h : I → S1 la funcion definida por h (x) = ei2πx = (cos 2πx, sen2πx) [Hip.]

i) h q−1 esta bien definida

(3) Sea x ∈ I/R y sea q−1 (x)

Primer caso: x 6= 0 y x 6= 1


(4) x = x(5) q−1 (x) = x [(4)]

(6) h (q−1 (x)) = h (x) = h (x) [(5)]

Segundo caso: x = 0 o x = 1

(7) x = 0, 1(8) q−1 (x) = 0, 1 [(7)]

(9) h (q−1 (x)) = h (0, 1) = (1, 0) [(8),(2)]

(10) h es constante sobre cada fibra q−1 (x) [(6),(9)]

(11) h q−1 esta bien definida [(10)]

ii) h q−1 es inyectiva

(12) Sean x, y ∈ I/R tal que (h q−1) (x) = (h q−1) (y) [Hip.]

Primer caso: x 6= 0 y x 6= 1

(13) 0 < x < 1, 0 < y < 1

(14) (h q−1) (x) = h (x) = (cos 2πx, sen2πx) 6= (1, 0) [(13)]

(15) (h q−1) (y) 6= (1, 0) [(12),(14)]

(16) q−1 (y) 6= 1, 0 [(15),(2)]

(17) q−1 (y) = y [(16),(5)]

(18) h (q−1 (y)) = h (y) = (cos 2πy, sen2πy) [(17)]

(19) (cos 2πx, sen2πx) = (cos 2πy, sen2πy) [(14),(12),(18)]

(20) cos 2πx = cos 2πy

sen2πx = sen2πy [(19)]

(21) x = y + 2kπ ∈ [0, 1] [(20)]

(22) k = 0 [(21)]

(23) x = y [(21),(22)]

(24) x = y [(23)]

Segundo caso: x = 0 o x = 1

(25) h (q−1 (x)) = (1, 0) [(9)]

(26) h (q−1 (y)) = (1, 0) [(25),(12)]

(27) q−1 (y) = 1, 0 [(26),(2)]

(28) y = 0 o y = 1 [(27)]


(29) x = y [(28)]

(30) h q−1 es inyectiva [(12),(24),(29)]

iii) h q−1 es sobreyectiva

(31) h es sobreyectiva [(2)]

(32) h q−1 es sobreyectiva [(31)]

iv) h q−1 es continua

(33) h es continua [(2)]

(34) h q−1 es continua [(1),i),(33),T.7.3.2]

v) h q−1 es cerrada

(35) I = [0, 1] es compacto [T.9.4.2]

(36) S1 es T2

(37) h es cerrada [(35),(36),(33)]

(38) Sea F un q−saturado cerrado en I [Hip.]

(39) h (F ) es cerrado en S1 [(37),(38)]

(40) h q−1 es cerrada [(1),i),(38),(39),T.7.3.2]

(41) h q−1 es homoeomorfismo [ii),iii),iv),v)]

(42) I/R y S1 son homeomorfos [(41)]

2. Sean I = [0, 1] ⊆ IR, I2 = [0, 1]×[0, 1] y sea R la relacion de equivalencia definida

en I2 por:

(0, y)R (1, y) y (x, y)R (x, y)si x 6= 0 y x 6= 1, entonces ((x, y) , (0, y)) /∈ R y ((x, y) , (1, y)) /∈ R,

entonces I2/R es homeomorfo a la circunferencia unitaria S1 × I.

En efecto, sean

(1) q : I2 → I2/R la identificacion canonica,

(2) h : I2 → S1 × I la funcion definida por h ((x, y)) = (ei2πx, y) [Hip.]

En forma analoga a lo demostrado en el Ejemplo 1. se puede probar que

(3) h q−1 es homoeomorfismo

(4) I2/R y S1 × I son homeomorfos [(3)]


7.6 Identificacion en los espacios Ti

Identificacion en los espacios T2

Lema 7.6.1 Sea p : (X, τX) → (Y, τy) una identificacion, entonces (Y, τ (p, Y )) es T2

si, y solo si, fibras distintas estan contenidas en p−saturados, abiertos y disjuntos.

Dem.

(1) Sea p : (X, τX ) → (Y, τy) una identificacion [Hip.]

(⇒)

(2) (Y, τ (p, Y )) es T2 [Hip.]

(3) Sean y1, y2 ∈ Y tales que y1 6= y2 [Hip.]

(4) existen U (y1) , V (y2) ∈ τ (p, Y ) tales que U (y1) ∩ V (y2) = ∅ [(2),(3)]

(5) y1 ∈ U (y1) , y2 ∈ V (y2)

(6) p−1 (y1) ⊆ p−1 (U (y1)) , p−1 (y2) ⊆ p−1 (V (y2)) [(5)]

(7) Sean W1 = p−1 (U (y1)) ,W2 = p−1 (V (y2))

(8) W1 y W2 son p−saturados [(7),(1)]

(9) W1 ∈ τX , W2 ∈ τX [(4),(7),(1)]

(10) W1 ∩W2 = p−1 (U (y1)) ∩ p−1 (V (y2)) = ∅ [(7),(4)]

(11) existen W1 y W2 p−saturados, abiertos y disjuntos tales que

p−1 (y1) ⊆ W1, p−1 (y2) ⊆ W2 [(6),(7),(8),(9),(10)]

(⇐)

(12) fibras distintas estan contenidas en p−saturados, abiertos y disjuntos [Hip.]

(13) Sean y1, y2 ∈ Y tales que y1 6= y2 [Hip.]

(14) existen A, B ⊆ X:

(14.1) A y B son p−saturados,


(14.2) A y B son abiertos,

(14.3) A y B disjuntos,

(14.4) p−1 (y1) ⊆ A, p−1 (y2) ⊆ B. [(12),(13)]

(15) A = p−1 (p (A)) , B = p−1 (p (B)) [(14.1),L.7.1.4]

(16) p−1 (p (A)) ∈ τX , p−1 (p (B)) ∈ τX [(1),(15)]

(17) p (A) ∈ τ (p, Y ) , p (B) ∈ τ (p, Y ) [(14.2),(16)]

(18) p (p−1 (y1)) ⊆ p (A) , p (p−1 (y2)) ⊆ p (B) [(14.4)]

(19) y1 ⊆ p (A) , y2 ⊆ p (B) [(18)]

(20) p (A) = U (y1) ∈ U (y1) , p (B) = U (y2) ∈ U (y2) [(18),(19)]

(21) p−1 (p (A)) ∩ p−1 (p (B)) = ∅ [(14.3),(15)]

(22) existen U (y1) ∈ U (y1) y U (y2) ∈ U (y2) tales que U (y1) ∩ U (y2) = ∅ [(20),(21)]

(23) (Y, τ (p, Y )) es T2 [(13),(22)]

2

Teorema 7.6.1 Sean (X, τX ) un espacio topologico, R una relacion de equivalencia

sobre X y q : X →(

X/R, τ (q))

la identificacion canonica. Si R es cerrado en X ×X

y q es abierta, entonces X/R es T2.

Lema 7.6.2 Sean (X, τX) un espacio topologico, R una relacion de equivalencia sobre

X. Si X/R es T2, entonces R es cerrado en X ×X y q es abierta.

Dem.

Sean

(1) (X, τX) un espacio topologico y R una relacion de equivalencia sobre X

[Hip.]

(2) X/R es T2 [Hip.]

(3) 4 =(x, x) : x ∈ X/R

es cerrado en X/R × X/R [(2), E. 5.4.1]


(4) Sea q : X → X/R la identificacion canonica,

(5) sea f : X ×X → X/R × X/R definida por

f (x, y) = (q (x) , q (y)) = (x, y). [Hip.]

(6) f es continua, [(4),(5), C. 3.3.1]

(7) R = f−1 (4), [(3),(5)]

(8) R es cerrado en X ×X. [(3),(5),(6),(7)]

2

Teorema 7.6.2 Sean (X, τX ) , (Y, τY ) espacios topologicos tales que (Y, τY ) es T2. Si

f : (X, τX) → (Y, τY ) es una funcion continua, entonces(

X/Rf, τ(q, X/Rf

))es T2.

Dem.

Sean

(1) (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos tales que (Y, τY ) es T2, [Hip.]

(2) f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion continua, [Hip.]

(3) Rf la relacion de equivalencia definida por

xRfy si, y solo si, f (x) = f (y), [Hip.]

(4) q : (X, τX) →(

X/Rf, τ(q, X/Rf

))la identificacion canonica . [Hip.]

(5) f es constante sobre las fibras de q, [(2), (3), (4)]

(6) f q−1 esta bien definida, [(5)]

(7) f q−1 es inyectiva, [(3), (4)]

(8) f q−1 es continua, [(2),(4),(6),T.7.3.2]

(9)(

X/Rf, τ(q, X/Rf

))es T2. (7),(8),(1),T.5.3.4]

2


Identificacion en los espacios T3

Teorema 7.6.3 Sean (X, τX) un espacio regular, R una relacion de equivalencia sobre

X y q : X → X/R laidentificacion canonica. Si q es cerrada, entonces R es cerrado en

X ×X.

Dem.

Sean

(1) (X, τX) un espacio T3, [Hip.]

(2) R ⊆ X ×X una relacion de equivalencia sobre X, [Hip.]

(3) q : X → X/R la identificacion canonica

tal que

(4) q es cerrada, [Hip.]

(5) (x, y) ∈ (X ×X) \R. [Hip.]

(6) q (x) = x 6= y = q (y) [(5)]

(7) x /∈ q−1 (q (y)) [(6)]

(8) y es cerrado en X [(1)]

(9) q (y) es cerrado en X/R [(4),(8)]

(10) q−1 (q (y)) es cerrado en X [(3),(9)]

(11) existen U, V ∈ τ tales que

(11.1) x ∈ U ,

(11.2) q−1 (q (y)) ⊆ V ,

(11.3) U ∩ V = ∅. [(1), (7),(10)]

(12) existe W ∈ τ tal que

(12.1) q (y) ⊆W ,

(12.2) q−1 (W ) ⊆ V . [(4),(11.2),T.2.2.3]


(13) y ⊆ q−1 (q (y)) ⊆ q−1 (W ) ⊆ V [(12)]

(14) q−1 (W ) ∈ τX [(3), (12)]

(15) q−1 (W ) = G (y) ∈ U (y) [(13),(14)]

(16) U (x, y) = U ×G (y) ∈ Bπ ⊆ τπ [(11),(15)]

(17) U (x, y) ∈ U (x, y) [(11.1),(16)]

(18) U (x, y) ∩R = ∅ [(11.3), (16)]

(19) existe U (x, y) ∈ U (x, y) tal que U (x, y) ⊆ (X ×X) \R [(17),(18)]

(20) (X ×X) \R es abierto en X ×X [(5),(19)]

(21) R es cerrado en X ×X [(20)]

2

Corolario 7.6.1 Sean (X, τX ) un espacio regular, R una relacion de equivalencia so-

bre X y q : X → X/R la identificacon canonica. Si q es abierta y cerrada, entoncesX/R es T2.

Sean

(1) (X, τX) un espacio regular, [Hip.]

(2) R una relacion de equivalencia sobre X, [Hip.]

(3) q : X → X/R la identificacon canonica: [Hip.]

(3.1) q es abierta,

(3.2) q es cerrada.

(4) R es cerrado en X ×X [(1), (2), (3.2), (4), T.7.6.3]

(5) X/R es T2. [(2), (3.1), (4), T.7.6.1]

7.7 Practico No7

Ejercicio 7.7.1 Sea (Yα, τα)α∈A una familia arbitraria de espacios topologicos. Pruebe

que τ (pα) = τα, para todo α ∈ A.

Ejercicio 7.7.2 Sea τ (p) la topologıa de identificacion en Y determinada por p : X →Y. Demuestre que F es cerrado en (Y, τ (p)) si y solo si p−1 (F ) es cerrado en (X, τX ) .

Ejercicio 7.7.3 Pruebe que si p : (X, τX) → (Y, τY ) es una suryeccion continua y

abierta, entonces p es una identificacion.

Ejercicio 7.7.4 Pruebe que si p : (X, τX ) → (Y, τY ) es una suryeccion continua que

admite una seccion continua s : (Y, τY ) → (X, τX) tal que p s = 1Y , entonces p es

una identificacion.

Ejercicio 7.7.5 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una identificacion. Demuestre que son

equivalentes:

(a) A es p−saturado en X

(b) A = p−1 (p (A)) .

Ejercicio 7.7.6 Sea p : (X, τX) → (Y, τY ) una identificacion. Pruebe que son equiva-

lentes:

(a) p es abierta

(b) El p−saturado de todo abierto es abierto en X.

Ejercicio 7.7.7 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una identificacion. Pruebe que si F ∈ τY ,

entonces τF = τ (F, p).

Ejercicio 7.7.8 Sea p : (X, τX ) → (Y, τY ) una identificacion. Pruebe que si p es

abierta, entonces τF = τ (F, p).


8 Axiomas de cubrimiento

8.1 Cubrimientos de espacios topologicos

Definicion 8.1.1 Sea (X, τX ) un espacio topologico. Una familia Aαα∈A de subcon-

juntos de X es un cubrimiento de X si X =⋃

α∈AAα.

Definicion 8.1.2 Un subcubrimiento de un cubrimiento Aαα∈A de un espacio topo-

logico (X, τX) es cualquier subfamilia Aββ∈B, con B ⊆ A, tal que X =⋃

β∈BAβ.

Definicion 8.1.3 Un cubrimiento Aαα∈A de un espacio topologico (X, τX) es local-

mente finito, si para cada punto del espacio X existe un entorno de dicho punto que

intersecta a lo sumo a una cantidad finita de Aα.

Es decir , Aαα∈Aes l.f. si para cada x ∈ X existen U(x) ∈ U(x) y α1, α2, ..., αn ∈ Atales que U(x) ∩Aαi 6= ∅ para todo i = 1, 2, ..., n y U(x) ∩Aα = ∅ para todo α 6= αi.

Definicion 8.1.4 Un cubrimiento Aαα∈A de un espacio topologico (X, τX) es pun-

tualmente finito si cada punto del espacio pertenece a lo sumo a una cantidad finita de

Aα.

Es decir, Aαα∈A es p.f. si para cada x ∈ X existen α1, α2, ..., αn ∈ A tal que x ∈ Aαi

para todo i = 1, 2, ..., n y x 6∈ Aα para todo α 6= αi.

Definicion 8.1.5 Un cubrimiento Aαα∈A de un espacio topologico (X, τX) es un

cubrimiento irreducible de X si X 6=⋃

α∈A\βAα, para todo β ∈ A.

Definicion 8.1.6 Sea Aαα∈A un cubrimiento de un espacio topologico (X, τX). Una

familia R ⊂ Aαα∈A se dice removible si Aαα∈A \R es cubrimiento de X.

Lema 8.1.1 Dado un espacio topologico (X, τ ) se verifica:

(i) Todo cubrimiento finito es localmente finito.

(ii) Todo cubrimiento localmente finito es puntualmente finito.


Dem.

(i) Sean

(1) Aii∈In un cubrimiento finito del espacio topologico X, [Hip.]

(2) x ∈ X. [Hip.]

(3) X ∈ U(x) [(1),(2)]

(4) X =n⋃

i=1

Ai [(1)]

(5) X ∩Ai 6= ∅ para todo i ∈ In [(4)]

(6) X ∈ U(x) intersecta a lo sumo a una cantidad finita de Ai [(1), (4), (5)]

(7) Aii∈In es un cubrimiento localmente finito [(2), (6)]

(ii) Sean

(1) Aαα∈A un cubrimiento localmente finito del espacio X, [Hip.]

(2) x ∈ X. [Hip.]

(3) existen U(x) ∈ U(x) y α1, α2, ..., αn ∈ A tales que:

(i) U(x) ∩Aαi 6= ∅ para todo i, 1 6 i 6 n,

(ii) U(x) ∩Aα = ∅ para todo α 6= αi, para todo i, 1 6 i 6 n [(1),(2)]

(4) U(x) ⊆ X \Aα para todo α 6= αi [(3)]

(5) x /∈ Aα para todo α 6= αi [(4), x ∈ U(x)]

(6) X =⋃

α∈AAα =

n⋃i=1

Aαi ∪⋃

α6=αi

Aα [(1)]

(7) x pertenece a lo sumo a una cantidad finita de Aα [(2), (5), (6)]

(8) Aαα∈A es un cubrimiento puntualmente finito [(5), (7)]

2

Lema 8.1.2 Sea (X, τ ) un espacio topologico. Si Aαα∈A ⊆ P(X) es una familia

localmente finita, entonces para cada x ∈ X existen U ∈ U(x) y α1, α2, ..., αn ∈ A tales

que U ⊆n⋃

i=1

Aαi


Dem.

(1) Sea Aαα∈A es una familia localmente finita, [Hip.]

(2) x ∈ X. [Hip.]

(3) Existen U ∈ U(x) y α1, α2, ..., αn ∈ A tales que:

(i) U ∩ Aαi 6= ∅ para todo i, 1 6 i 6 n,

(ii) U ∩ Aα = ∅ para todo α 6= αi, para todo i, 1 6 i 6 n. [(1), (2)]

(4) Sea z ∈ U [Hip.]

(5) existen α′1, α

′2, ..., α

′m ∈ A:

(i) z ∈ Aα′j

para todo j, 1 6 j 6 m, [(1), (4), L.8.1.1(ii)]

(ii) z 6∈ Aα para todo α 6= α′j, para todo j, 1 6 j 6 m.

(6) U ∩Aα′j6= ∅ para todo j, 1 6 j 6 m. [(4), (5)]

(7) Supongamos que α1, ..., αn ∩ α′1, ..., α

′m = ∅ [Hip.]

(8) αi 6= α′j para todo i, 1 6 i 6 n y para todo j, 1 6 j 6 m [(7)]

(9) U ∩Aα′j= ∅ para todo j, 1 6 j 6 m. [(3), (8)]

(9) contradice (6). Por lo tanto

(10) αi = α′j para algun i, 1 6 i 6 n y para algun j, 1 6 j 6 m [(8), (6), (9)]

(11) z ∈ Aαi para algun i, 1 6 i 6 n, [(5), (10)]

(12) z ∈n⋃

i=1

Aαi [(11)]

(13) U ⊆n⋃

i=1

Aαi [(4), (12)]

(14) existe U ∈ U(x): U ⊆n⋃

i=1

Aαi [(3), (13)]

2

Notacion 8.1.1 Notaremos con R al conjunto de todas las familias removibles.


Teorema 8.1.1 Sea Aαα∈A un cubrimiento puntualmente finito de un espacio topo-

logico Y . Entonces existe un subcubrimiento irreducible de dicho cubrimiento.

Dem.

Sean

(1) Aαα∈A un cubrimiento puntualmente finito de Y , [Hip.]

(2) R ordenada parcialmente por la relacion de inclusion, [Hip.]

(3) Rµµ∈U una cadena creciente de elementos en R, [Hip.]

(4) R =⋃

µ∈U

Rµ, [Hip.]

(5) Supongamos que R /∈ R [Hip.]

(6) Aαα∈A \R no es un cubrimiento de Y [(2), (5) Notac.8.1.1]

(7)⋃

Aα /∈R

Aα 6= Y [(6)]

(8) existe y ∈ Y : y /∈⋃

Aα /∈R

Aα [(7)]

(9) existen α1, α2, ..., αn ∈ A: y ∈ Aαi [(1), (8)]

(10) Aαi ∈ R para todo i, 1 6 i 6 n [(9), (8)]

(11) para cada i, 1 6 i 6 n, existe µi ∈ U : Aαi ∈ Rµi [(4), (10)]

(12) existe µ ∈ U : Aαi ∈ Rµ para todo i, 1 6 i 6 n [(3), (11)]

(13) Aαα∈A \Rµ es un cubrimiento de Y [(2), (3), (12)]

(14) existe Aα /∈ Rµ: y ∈ Aα [(13)]

(15) existe io, 1 6 io 6 n: Aα = Aαio[(9), (14)]

(16) existe io, 1 6 io 6 n: Aαio/∈ Rµ [(14), (15)]

(17) (16) contradice (12)

(18) R ∈ R y es cota superior de Rµµ∈U [(5),(4),(17)]

(19) existe Ro ∈ R: Ro es elemento maximal de R [(2),(3),(4),(18),L. de Zorn]


(20) Aαα∈A \Ro es subcubrimiento de Y [(2), (19)]

(21) Supongamos que Aαα∈A \Ro no es irreducible [Hip.]

(22) existe Aα′ ∈ Aαα∈A \Ro:

Aαα∈A \Ro \ Aα′ es subcubrimiento de Y [(21)]

(23) Sea R′ = Ro ∪ Aα′ [Hip.]

(24) Ro ⊂ R′ [(22), (23)]

(25) Aαα∈A \R′ es subcubrimiento de Y.

En efecto,

(25.1) Aαα∈A \R′ = Aαα∈A \ (Ro ∪ Aα′) [(23)]

= Aαα∈A \Ro \ Aα′

(25.2) Aαα∈A \R′ es subcubrimiento de Y [(25.1), (22)]

(26) R′ ∈ R [(2), (25)]

(27) Ro no es elemento maximal de R [(24), (26)]

(28) (27) y (19) se contradicen

(29) Aαα∈A \Ro es subcubrimiento irreducible [(21), (28)]

2

Ejercicio 8.1.1 La hipotesis de finitud puntual es esencial. El cubrimiento de IR por

los conjuntos An = (−n, n), n = 1, 2, ..., no tiene subcubrimientos irreducibles.

Observacion 8.1.1 La familia de todos los cubrimientos de un espacio dado tiene un

preorden natural.

Lema 8.1.3 Si Aαα∈A es una familia localmente finita de un espacio topologico

(X, τ ), entonces Aαα∈A es localmente finita.

Dem.

Sean

(1) Aαα∈A ⊆ P(X) una familia localmente finita, [Hip.]


(2) x ∈ X [Hip.]

(3) existe U ∈ U(x) y existen α1, α2, ..., αn ∈ A tal que:

U ∩ Aαi 6= ∅ para todo i = 1, 2, ..., n,

U ∩ Aα = ∅ para todo α 6= αi. [(1), (2)]

(4) Supongamos que existe αo 6= αi, i ∈ In: U ∩Aαo 6= ∅ [Hip.]

(5) existe z ∈ U y z ∈ Aαo [(4)]

(6) V ∩ Aαo 6= ∅ para todo V ∈ U(z) [(5)]

(7) U ∈ U(z) [(3), (5)]

(8) U ∩ Aαo 6= ∅ [(6), (7)]

(9) existe αo 6= αi, i ∈ In: U ∩Aαo 6= ∅ [(4), (8)]

(10) (3) y (9) se contradicen

(11) U ∩ Aα = ∅, para todo α 6= αi [(4), (10)]

(12) U ∈ U(x) interseca a lo sumo un numero finito de Aα [(3), (11)]

(13) Aαα∈A una familia localmente finita [(2), (12)]

2

Definicion 8.1.7 Sean Aαα∈A y Bββ∈B dos cubrimientos de un espacio topologico

(X.τ ). Decimos que Aαα∈A refina a (o que es un refinamiento de) Bββ∈B si para

cada α ∈ A existe β ∈ B tal que Aα ⊆ Bβ y lo simbolizamos Aα ≺ Bβ.

Lema 8.1.4 Si Aαα∈A es un cubrimiento de un espacio topologico (X.τ ), entonces

cualquier subcubrimiento de Aαα∈A refina a Aαα∈A.

Dem.

Sean

(1) Aαα∈A un cubrimiento de un topologico (X.τ ), [Hip.]

(2) Aββ∈B un subcubrimiento de Aαα∈A [Hip.]


(3) B ⊆ A, X =⋃

β∈BAβ [(2)]

(4) Sea β ∈ B [Hip.]

(5) existe α = β ∈ A: Aβ ⊆ Aα [(3), (4)]

(6) Aββ∈B ≺ Aαα∈A [(3), (5)]

2

Lema 8.1.5 Si Aαα∈A, Bββ∈B y Cγγ∈G son cubrimientos de un espacio topologico

(X.τ ) tales que Bββ∈B ≺ Aαα∈A y Cγγ∈G ≺ Bββ∈B, entonces Cγγ∈G ≺Aαα∈A.

Dem.

Sean

Aαα∈A, Bββ∈B y Cγγ∈G cubrimientos de (X.τ ) tales que

(1) Bββ∈B ≺ Aαα∈A [Hip.]

(2) Cγγ∈G ≺ Bββ∈B [Hip.]

(3) Sea γ ∈ G [Hip.]

(4) existe β ∈ B: Cγ ⊆ Bβ [(2), (3)]

(5) existe α ∈ A: Bβ ⊆ Aα [(1), (4)]

(6) existe α ∈ A: Cγ ⊆ Aα [(4), (5)]

(7) Cγγ∈G ≺ Aαα∈A [(3), (6)]

2

Definicion 8.1.8 Si Aαα∈A, Bββ∈B y Cγγ∈G son cubrimientos de un espacio

topologico (X.τ ) tales que Cγγ∈G ≺ Aαα∈A y Cγγ∈G ≺ Bββ∈B, entonces Cγγ∈G

se dice un refinamiento comun de Aαα∈A y Bββ∈B.


Ejercicio 8.1.2 Es facil ver que la relacion ≺ es un preorden en el conjunto de to-

dos los cubri-mientos de Y .Este no es un orden parcial: En IR, cada uno de los dos

cubrimientos An = x : x < n, n = 1, 2, ... y Bn = x : x < n+ 12, n = 1, 2, ... es un

refinamiento del otro y sin embargo An 6= Bn .

Lema 8.1.6 Sean Aαα∈A y Bββ∈B dos cubrimientos de Y . Entonces:

(a) Aα ∩ Bβ(α,β)∈A×B es un cubrimiento de Y .

(b) Aα ∩ Bβ(α,β)∈A×B es un refinamiento comun de Aαα∈A Bββ∈B.

(c) Si Aαα∈A y Bββ∈B son localmente finitos entonces Aα ∩ Bβ(α,β)∈A×B es

localmente finito.

(d) Si Cγγ∈G es un refinamiento comun de Aαα∈A y Bββ∈B entonces

Cγγ∈G ≺ Aα ∩ Bβ(α,β)∈A×B.

Dem.

(a)

Sean

(1) Aαα∈A y Bββ∈B dos cubrimientos de Y , [Hip.]

(2) y ∈ Y . [Hip.]

(3) Existen α ∈ A y β ∈ B: y ∈ Aα e y ∈ Bβ, [(1), (2)]

(4) existen α ∈ A y β ∈ B: y ∈ Aα ∩Bβ, [(3)]

(5) y ∈⋃

(α,β)∈A×BAα ∩Bβ, [(4)]

(6) Y ⊆⋃

(α,β)∈A×BAα ∩Bβ, [(2), (5)]

(7) Y =⋃

(α,β)∈A×BAα ∩Bβ, [(6)]

(8) Aα ∩ Bβ(α,β)∈A×B es un cubrimiento de Y . [(7)]

2


Definicion 8.1.9 Un refinamiento Bββ∈B de Aαα∈A se dice preciso si B = A y

Bα ⊂ Aα para cada α ∈ A.

Teorema 8.1.2 Si un cubrimiento Aαα∈A de un espacio topologico (Y, τ ) tiene un

refinamiento puntualmente (localmente) finito Bββ∈B entonces dicho refinamiento

tambien tiene un refinamiento preciso, puntualmente (localmente) finito Cαα∈A.

Ademas si cada Bβ es un conjunto abierto, entonces tambien se puede elegir cada

Cα como un conjunto abierto.

Dem.

Sean

(1) Aαα∈A un cubrimiento de Y , [Hip.]

(2) Bββ∈B un refinamiento localmente finito de Aαα∈A. [Hip.]

(3) Para cada β ∈ B existe α ∈ A tal que Bβ ⊆ Aα, [(2)]

(4) existe una funcion ϕ : B → A : ϕ(β) = α sii Bβ ⊆ Aα [(3)]

(5) Sea Lα = β ∈ B : ϕ(β) = α [Hip.]

(6) Para cada α ∈ A, sea Cα =

⋃β∈Lα

Bβ si Lα 6= ∅

∅ si Lα = ∅[Hip.]

(7) Cα ⊆ Aα, para todo α ∈ A.

(I) Lα = ∅

(7.1) Cα = ∅ [(I), (6)]

(7.2) Cα ⊆ Aα [(7.1)]

(II) Lα 6= ∅

(7.3) Bβ ⊆ Aα, para todo β ∈ Lα [(II), (4), (5)]

(7.4)⋃

β∈Lα

Bβ ⊆ Aα [(7.3)]

(7.5) Cα ⊆ Aα [(II), (6), (7.4)]


(8)⋃

α∈ACα = Y .

(8.1) Sea y ∈ Y [Hip.]

(8.2) Existe βo ∈ B : y ∈ Bβo [(2), (8.1)]

(8.3) Existe αo ∈ A: Bβo ⊆ Aαo [(2),(8.2)]

(8.4) Lαo 6= ∅ [(4), (5), (8.3)]

(8.5) Bβo ⊆ Cαo [(6), (8.4)]

(8.6) y ∈ Cαo [(8.2), (8.5)]

(8.7) y ∈⋃

α∈ACα [(8.6)]

(8.8) Y ⊆⋃

α∈ACα [(8.1), (8.7)]

(8.9) Y =⋃

α∈ACα [(1), (7), (8.8)]

(9) Cαα∈A es un refinamiento preciso de Aαα∈A [(7), (8)]

(10) Sea y ∈ Y [Hip.]

(11) existen U(y) ∈ U(y) y β1, β2, ..., βm ∈ B:

U(y) ∩Bβj 6= ∅ para todo j, 1 6 j 6 m [(2), (10)]

(12) existen α1, α2, ..., αm ∈ A: Bβj ⊆ Aαj para todo j, 1 6 j 6 m [(3), (11)]

(13) existen α1, α2, ..., αm ∈ A: ϕ(βj) = αj para todo j, 1 6 j 6 m [(4), (12)]

(14) Lαj 6= ∅ para todo j, 1 6 j 6 m [(5), (14)]

(15) Bβj ⊆ Cαj para todo j, 1 6 j 6 m [(14)]

(16) U(y) ∩Bβj ⊆ U(y) ∩ Cαj para todo j, 1 6 j 6 m [(15)]

(17) existen U(y) ∈ U(y) y α1, α2, ..., αm ∈ A:

U(y) ∩ Cαj 6= ∅ para todo j, 1 6 j 6 m [(11), (16)]

(18) Cαα∈A es localmente finito [(10), (17)]

(19) Bβ abierto en Y para todo β ∈ B [Hip.]

(20) Cα es abierto en Y para todo α ∈ A [(6), (19)]


2

Definicion 8.1.10 Decimos que un cubrimiento Aαα∈A de un espacio topologico

(Y, τ ) es abierto (cerrado) si Aα es abierto (cerrado), para todo α ∈ A.

Teorema 8.1.3 Sea Eαα∈A una familia arbitraria de conjuntos (no necesariamente

un cubrimiento) de un espacio topologico Y , y Bββ∈B cualquier cubrimiento local-

mente finito y cerrado de Y tal que cada Bβ intersecta a lo sumo un numero finito

de conjuntos Eα, entonces existe una familia de conjuntos abiertos y localmente finta

U(Eα)α∈A tal que Eα ⊆ U(Eα), para todo α ∈ A.

Dem.

Sean

(1) Eαα∈A una familia arbitraria de conjuntos en un espacio Y, [Hip.]

(2) Bββ∈B un cubrimiento cerrado, localmente finito de Y, [Hip.]

(3) cada Bβ intersecta a lo sumo a un numero finito de Eα, [Hip.]

(4) Para cada α ∈ A, sea Lα = β ∈ B : Eα ∩Bβ = ∅. [Hip.]

Consideremos,

(5) para cada α ∈ A, U(Eα) =

⋂β∈Lα

BCβ si Lα 6= ∅

Y si Lα = ∅[Hip.]

(6) Para cada α ∈ A, Bββ∈Lα es una familia localmente finita

de conjuntos cerrados [(2), (4)]

(7) Para cada α ∈ A,⋃

β∈Lα

Bβ es cerrado en Y [(6), L.1.5.4]

(8) Para cada α ∈ A,⋂

β∈Lα

BCβ es abierto en Y [(7)]

(9) Para cada α ∈ A, U(Eα) es abierto en Y . [(5), (8)]

(10) Para cada α ∈ A, Eα ⊆ U(Eα).

(10.1) α ∈ A. [Hip.]

(10.2) Eα ⊆ U(Eα) si Lα = ∅ [(5)]


(10.3) Sea Lα 6= ∅ [Hip.]

(10.4) para todo β ∈ Lα, Eα ∩Bβ = ∅ [(5), (10.3)]

(10.5) para todo β ∈ Lα, Eα ⊆ Bcβ [(10.4)]

(10.6) Eα ⊆⋂

β∈Lα

Bcβ [(10.5)]

(10.7) Eα ⊆ U(Eα) si Lα 6= ∅ [(5), (10.3), (10.6)]

(11) Sea y ∈ Y . [Hip.]

(12) existen U(y) ∈ U(y) y β1, β2, ..., βm ∈ B:

U(y) ⊆⋃

i∈Im

Bβj [(2), L.8.1.2]

(13) Eα ∩Bβ = ∅ si y solo si U(Eα) ∩Bβ = ∅.

(⇒)

(13.1) Supongamos que Eα ∩ Bβo = ∅ [Hip.]

(13.2) βo ∈ Lα [(5), (13.1)]

(13.3) U(Eα) ∩Bβo =

(⋂

β∈Lα

Bcβ

)∩Bβo

=

(⋂

β∈Lα−β0Bc

β

)∩ (Bc

βo∩ Bβo) [(13.2)]

= ∅

(⇐)

(13.4) Supongamos ahora que U(Eα) ∩ Bβ = ∅ [Hip.]

(13.5) U(Eα) ⊆ Bcβ [(13.4)]

(13.6) Eα ⊆ U(Eα) [(10)]

(13.7) Eα ⊆ Bcβ [(13.5), (13.6)]

(13.8) Eα ∩ Bβ = ∅ [(13.7)]

(14) cada Bβj interseca a lo sumo un numero finito de Eα [(3)]

(15) cada Bβj interseca a lo sumo un numero finito de U(Eα) [(13), (14)]

(16)⋃

j∈Im

Bβi interseca a lo sumo un numero finito de U(Eα) [(15)]



′2, ..., α

′m ∈ A:

(i)

(⋃

j∈Im

Bβj

)∩ U(Eα

′j) 6= ∅,

(ii)

(⋃

j∈Im

Bβi

)∩ U(Eα) = ∅, para todo α 6= α

′j [(16)]

(18) U(y) ∩ U(Eα) ⊆( ⋃

j∈Im

Bβj

)∩ U(Eα) [(12)]

= ∅, para todo α 6= α′j [(17)(ii)]

(19) U(y) ∈ U(y) interseca a lo sumo a un numero finito de U(Eα) [(12), (18)]

(20) U(Eα)α∈A es una familia localmente finita [(11), (19)]

2

8.2 Espacios paracompactos

Definicion 8.2.1 Un espacio topolgico (Y, τ ) es paracompacto si es Hausdorff y cada

cubrimiento abierto de Y tiene un refinamiento abierto y localmente finito.

Ejercicio 8.2.1 Cualquier espacio discreto es paracompacto.

Trataremos a continuacion de demostrar que todo espacio paracompacto es normal,

para ello nos valdremos de los siguientes resultados:

Lema 8.2.1 Si un espacio topolgico (Y, τ ) es paracompacto, entonces cada cubrimiento

abierto de Y tiene un refinamiento preciso, abierto y localmente finito.

Dem.

Sean

(1) Y un espacio paracompacto, [Hip.]

(2) Aαα∈A un cubrimiento abierto de Y . [Hip.]


(3) Existe un refinamiento de Aαα∈A abierto y l.f., Bββ∈B [(1), (2)]

(4) existe un refinamiento de Aαα∈A, abierto y l.f., Cαα∈A [(2), (3), T.8.1.2]

2

Teorema 8.2.1 Todo espacio paracomacto es regular.

Dem.

(1) Sea (Y, τY ) un espacio paracompacto. [Hip.]

(2) (Y, τY ) es espacio de Hausdorff o T2. [(1)]

(3) (Y, τY ) es T1. [(2), E. 5.3.1]

(4) Sean y ∈ Y , F ∈ τYcerr : y 6∈ F . [Hip.]

(5) Para cada x ∈ F existe Ux ∈ U(x): y 6∈ Ux [(4), (2), T.5.4.1]

(6) A = U(x)x∈F ∪ FC es un cubrimiento abierto de Y .

(6.1) Y = F ∪ F c [(4)]

⊆( ⋃

x∈F

Ux

)∪ F c [(5)]

(6.2) Y =

( ⋃x∈F

Ux

)∪ FC [(6.1)]

(6.3) A es cubrimiento de Y [(4), (5), (6.2)]

(7) existe un refinamiento de A abierto, localmente finito

y preciso,Vxx∈F ∪ G [(1), (6), L.8.2.1]

(8) Sea W =⋃

x∈F

Vx [Hip.]

(9) W ∈ τY y F ⊆ W [(7), (8)]

(9.1) Sea z ∈ F [Hip.]

(9.2) Y =⋃

x∈F

Vx ∪ G ⊆⋃

x∈F

Ux ∪ F c [(7)]

(9.3) G ⊆ F c [(9.2)]

(9.4) z /∈ G [(9.1), (9.3)]


(9.5) z ∈⋃

x∈F

Vx = W [(8), (9.2), (9.4)]

(9.6) F ⊆ W [(9.1), (9.5)]

(10) Vxx∈F es localmente finito. [(7)]

(11) Vxx∈F es localmente finito. [(10)]

(12) W =⋃

x∈F

Vx.

(12.1)⋃

x∈F

Vx ⊆⋃

x∈F

Vx [L. 1.3.3 ]

= W [(8)]

(12.2)⋃

x∈F

Vx ⊆⋃

x∈F

Vx [L. 1.3.3(C2)]

(12.3) W =⋃

x∈F

Vx [(8)]

⊆⋃

x∈F

Vx [(12.2)]

=⋃

x∈F

Vx [(11), L. 1.5.4]

(12.4) W =⋃

x∈F

Vx [(12.1), (12.3)]

(13) y ∈ Wc.

(13.1) Vx ⊆ Ux, para todo x ∈ F [(6), (7)]

(13.2) Vx ⊆ Ux, para todo x ∈ F [(13.1), L. 1.3.3(C3)]

(13.3) y 6∈ Vx, para todo x ∈ F [(5), (13.2)]

(13.4) y 6∈ W [(12), (13.3)]

(13.5) y ∈ Wc

[(13.4)]

(14) Existe W y Wc

abiertos en Y :

y ∈ Wc, F ⊆ W y W ∩W c

= ∅ [(8), (9), (13)]

(15) Y es regular [(3), (4), (14), D. 5.4.2]

2

Teorema 8.2.2 Todo espacio paracompacto es normal.


Dem.

(1) Sea Y un espacio paracompacto. [Hip.]

(2) Y es espacio Hausdorff. [(1)]

(3) Y es T1. [(2), E.5.3.1]

(4) Sean A y B cerrados en Y : A ∩B = ∅. [Hip.]

(5) Para cada a ∈ A existe Ua ∈ U(a): Ua ∩B = ∅ [(1), (4), T.8.2.1, T. 5.4.1]

(6) A = Uaa∈A ∪ Ac es un cubrimiento abierto de Y .

(6.1) A ⊆⋃

a∈A

Ua [(5)]

(6.2) A ∪Ac ⊆( ⋃

a∈A

Ua

)∪Ac [(6.1)]

(6.3) Y =

( ⋃a∈A

Ua

)∪ Ac [(6.2)]

(6.4) A = Uaa∈A ∪ Ac es un cubrimiento abierto de Y [(4), (5), (6.3)]

(7) existe un refinamiento de A abierto, localmente finito

y preciso, Vaa∈A ∪ G [(1), (6), L.8.2.1]

(8) W =⋃

a∈A

Va [Hip.]

(9) W ∈ τY , A ⊆W [(7), (8)]

(9.1) Sea z ∈ A [Hip.]

(9.2) G ⊆ Ac [(7)]

(9.4) z /∈ G [(9.1), (9.2)]

(9.5) Y =⋃

a∈A

Va ∪ G [(6), (7)]

⊆⋃

a∈A

Ua ∪ Ac [(7)]

(9.6) z ∈⋃

a∈A

Va = W [(8), (9.5)]

(9.7) A ⊆W [(9.1), (9.6)]

(10) W =⋃

a∈A

Va.


(10.1) Vaa∈A es localmente finito [(7)]

(10.2) Vaa∈A es localmente finito [(10.1), L.8.2.1]

(10.3)⋃

a∈A

Va ⊆⋃

a∈A

Va [ L.1.3.3]

=W [(8), L.1.5.4]

(10.4)⋃

a∈A

Va ⊆⋃

a∈A

Va [L.1.3.3(C3)]

(10.5) W =⋃

a∈A

Va [(8)]

⊆⋃

a∈A

Va [(10.4)]

=⋃

a∈A

Va [(10.2), L.1.5.4]

(10.6) W =⋃

a∈A

Va [(10.3), (10.5)]

(11) B ⊆ Wc.

(11.1) Va ⊆ Ua, para todo a ∈ A [(6), (7)]

(11.2) Va ⊆ Ua, para todo a ∈ A [(11.1)]

(11.3) B ∩ Va ⊆ B ∩ Ua, para todo a ∈ A [(11.2)]

(11.4) B ∩ Va = ∅, para todo a ∈ A [(5), (11.3)]

(11.5) B ∩W = B ∩( ⋃

a∈A

V (a)

)[(10)]

=⋃

a∈A

(Va ∩ B

)

= ∅ [(11.4)]

(11.6) B ⊆ Wc

[(11.5)]

(12) existen W y Wc

abiertos en Y :

A ⊆ W , B ⊆ Wc

y W ∩W c= ∅ [(8), (9), (10), (11)]

(13) Y es normal [(3), (4), (12), D. 5.5.1]

2


Daremos a continuacion un teorema de caracterizacion de los espacios paracom-

pactos.

Teorema 8.2.3 (E.Michael) Sea Y un espacio regular entonces las siguientes condi-


(i) Y es paracompacto.

(ii) Cada cubrimiento abierto de Y tiene un refinamiento abierto que puede descom-

ponerse en una sucesion a lo sumo numerable de familias localmente finitas de

conjuntos abiertos.

(iii) Cada cubrimiento abierto de Y tiene un refinamiento localmente finito formado

por conjuntos no necesariamente abiertos o cerrados.

(iv) Cada cubrimiento abierto de Y tiene un refinamiento cerrado localmente finito.

Dem.

(i) ⇒ (ii)

Sea (Y, τ ) un espacio topologico tal que

(1) Y es regular, [Hip.]

(2) Y paracompacto. [Hip.]

(3) Sea A = Aαα∈A un cubrimiento abierto de Y [Hip.]

(4) existe Vα,1α∈A refinamiento preciso de A, abierto y l.f. [(2),(3), L.8.2.1]

(5) Vα,1α∈A es cubrimiento abierto de Y [(4)]

(6) existe Vα,2α∈A refinamiento preciso de Vα,1, abierto y l.f. [(5), L.8.2.1]

(7) Vα,2α∈A es un refinamiento preciso de A, abierto y l.f. [(6),(4),(2)]

Siguiendo con este procedimiento obtenemos:

(8) existe Vα,nα∈A refinamiento preciso de A, abierto y l.f. [(4),(6),...]


(9) B = Vα,n(α,n)∈A×N [Hip.]

(10) B =⋃

n∈NVα,nα∈A [(3),(8)]

(11) (α, n) ∈ A× N [Hip.]

(12) existe α ∈ A: Vα,n ⊆ Aα [(3), (8), (11)]

(13) B es un refinamiento abierto de A [(8), (9), (11), (12)]

(14) Existe un refinamiento abierto que puede ser descompuesto

en una sucesion a lo sumo numerable de familias localmente

finitas de conjuntos abiertos. [(8), (9), (13)]

(ii) ⇒ (iii)

(1) Sea Y un espacio regular [Hip.]

(2) Cada cubrimiento abierto de Y tiene un refinamiento abierto

que puede ser descompuesto en una sucesion a lo sumo numerable

de familias localmente finitas de conjuntos abiertos [Hip.]

(3) Sea A = Aαα∈A un cubrimiento abierto de Y [Hip.]

(4) existe Vα,nα∈A refinamiento abierto de A tal que

Vα,nα∈A es una familia localmente finita, para todo n ∈ N [(2), (3)]

(5) Wn =⋃

α∈AVα,n, para todo n ∈ N [Hip.]

(6) Wn es abierto, para todo n ∈ N [(4), (5)]

(7)⋃

n∈NWn =

⋃n∈N

( ⋃α∈A

Vα,n

)[(5)]

(8) Bn = Wn ∩(

n−1⋂i=1

W ci

), para todo n ∈ N [Hip.]

(9) Bn ∩ Vα,n(α,n)∈A×N es un cubrimiento abierto de Y .


(9.1) Sea y ∈ Y , [Hip.]

(9.2) sea no el primer natural tal que y ∈ Wno [(7), (9.1)]

(9.3) y 6∈ Wni , para todo i ∈ 1, ..., no − 1 [(9.2)]

(9.4) existe no ∈ N: y ∈ Bno [(8), (9.2), (9.3)]

(9.5) existe αo ∈ A: y ∈ Vαo,no [(5), (9.2)]

(9.6) existe αo ∈ A y no ∈ N: y ∈ Bno ∩ Vαo,no [(9.4), (9.5)]

(9.7) y ∈⋃

(α,n)∈A×NBn ∩ Vα,n [(9.6)]

(9.8) Y ⊆⋃

(α,n)∈A×NBn ∩ Vα,n [(9.1), (9.7)]

(9.9) Y =⋃

(α,n)∈A×NBn ∩ Vα,n [(9.8)]

(10) (α, n) ∈ A× N [Hip.]

(11) Vα,n ⊆ Aα [(3), (4), (10)]

(12) Bn ∩ Vα,n ⊆ Aα [(11)]

(13) Bn ∩ Vα,n(α,n)∈A×N es un refinamiento de A [(3), (9), (10), (12)]

(14) Bnn∈N es una familia localmente finita.

(14.1) Sea y ∈ Y , [Hip.]

(14.2) sea no el primer natural tal que y ∈ Wno [Hip.]

(14.3) Wno ∈ U(y) [(6), (14.2)]

(14.4) n > no [Hip.]

(14.5) Wno ∩ Bn = Wno ∩Wn ∩( n−1⋂

i=1

W ci

)[(8)]

= Wno ∩Wn ∩( ⋂

i 6=no

W ci

)∩W c

no

= ∅ [(14.4)]

(14.6) Wno ∈ U(y) interseca a lo sumo a un numero

finito de Bn [(14.3), (14.4), (14.5)]

(14.7) Bnn∈N es una familia localmente finita [(14.1), (14.6)]


(15) Bn ∩ Vα,n(α,n)∈A×N es una familia localmente finita [(4), (14),T.8.1.2]

(iii) ⇒ (iv)

(1) Sea Y un espacio regular, [Hip.]

tal que

(2) cada cubrimiento abierto de Y tiene un refinamiento localmente

finito formado por conjuntos no necesariamente abiertos o cerrados. [Hip.]

(3) Sea A = Aαα∈A un cubrimiento abierto de Y . [Hip.]

(4) para cada y ∈ Y existe α(y) ∈ A: y ∈ Aα(y). [(3)]

(5) para cada y ∈ Y existe Vy ∈ τY : Vy ⊆ Aα(y). [(1), (3), (4), T. 5.4.1]

(6) Vyy∈Y es un cubrimiento abierto de Y . [(5)]

(7) Existe un refinamiento de Vyy∈Y localmente finito, Wyy∈Y [(2), (6)]

(8) Wy ⊆ Aα(y), para todo y ∈ Y .

(8.1) Wy ⊆ Vy, para todo y ∈ Y [(7)]

(8.2) Wy ⊆ Vy, para todo y ∈ Y [(8.1)]

(8.3) Wy ⊆ Aα(y), para todo y ∈ Y [(5), (8.2)]

(9) Wyy∈Y es un cubrimiento cerrado de Y [(7)]

(10) Wyy∈Y es un refinamiento cerrado de A [(8), (9)]

(11) Wyy∈Y es localmente finito [(7), L.8.1.3]

(iv)⇒ (i)

(1) Sea Y un espacio regular, [Hip.]

tal que

(2) cada cubrimiento abierto de Y tiene un refinamiento


cerrado y localmente finito [Hip.]

(3) Y es un espacio de Hausdorff [(1), E. 5.4.1]

(4) Sea A un cubrimiento abierto de Y [Hip.]

(5) existe un refinamiento B de A, cerrado y localmente finito [(2), (4)]

(6) para cada y ∈ Y existe Wy ∈ U(y) que intersecta a lo sumo

a un numero finito de elementos de B [(5)]

(7) Wyy∈Y es un cubrimiento abierto de Y [(6)]

(8) existe un refinamiento M de Wyy∈Y , cerrado y l.f. [(2), (7)]

(9) cada M ∈ M interseca a lo sumo un numero finito

de elementos de B.

(9.1) Sea M ∈ M. [Hip.]

(9.2) existe y ∈ Y : M ⊆W (y) [(8), (9.1)]

(9.3) existen B1, B2, ..., Bn ∈ B:

Wy ∩Bi 6= ∅, para todo i ∈ In,

Wy ∩B = ∅, para todo B 6= Bi [(6)]

(9.4) M ∩B ⊆M ∩Wy, para todo B ∈ B [(9.2)]

(9.5) M ∩B = ∅, para todo B 6= Bi, i ∈ In [(9.3), (9.4)]

(9.6) Cada M ∈ M interseca a lo sumo un numero finito de

elementos de B [(9.1), (9.5)]

(10) B′ = U(B)B∈B es localmente finita y abierta tal que:

B ⊆ U(B), para todo B ∈ B [(8), (9)]

(11) B′ es un cubrimiento de Y .

(11.1)⋃

B∈B

B ⊆⋃

B∈B

U(B) [(10)]

(11.2) Y ⊆⋃

B∈B

U(B) [(5), (11.1)]


(11.3) Y =⋃

B∈B

U(B) [(11.2)]

(12) U(B) ∩A es abierto, para todo B ∈ B y para todo A ∈ A [(10), (4)]

(13) B′ ∩ A es cubrimiento de Y [(4), (11), L. 8.1.2]

(14) B′ ∩ A es localmente finito.

(14.1) Sea y ∈ Y . [Hip.]

(14.2) existen U(y) ∈ U(y), B1, B2, ..., Bn ∈ B:

U(y) ∩ U(Bi) 6= ∅, para todo i ∈ In,

U(y) ∩ U(B) = ∅, para todo U(B) 6= U(Bi) [(14.1), (10)]

(14.3) U(y) ∩ U(B) ∩ A ⊆ U(y) ∩ U(B), para todo B ∈ B y A ∈ A

(14.4) U(y) ∩ U(B) ∩ A = ∅, para todo U(B) 6= U(Bi), 1 6 i 6 n[(14.3), (14.2)]

(14.5) Existe U(y) ∈ U(y) que intersecta a lo sumo a un numero finito

de U(B) ∩A [(14.4), (14.2)]

(14.6) B′ ∩ A es localmente finito [(10), (14.1), (14.5)]

(15) existe un refinamiento de A, B′ ∩ A, l.f. y abierto [(10), (12), (13), (14)]

(16) Y es paracompacto. [(3), (4), (15)]

2

Lema 8.2.2 Si un espacio topologico Y es paracompacto y A es un cubrimiento abierto

de Y , entonces existe un refinamiento de A abierto y localmente finito, Sαα∈A, tal

que Sαα∈A es un refinamiento de A localmente finito.

Dem.

Sean


(2) A = Uαα∈A un cubriminto abierto de Y . [Hip.]

(3) Existe un refinamiento Vαα∈A abierto, l.f. y preciso de A [(2), L.8.2.1]

(4) Existe un refinamiento Wαα∈A de Vαα∈A, cerrado y l.f., [(3), T. 8.2.3]


(5) Wα ⊆ Vα, para todo α ∈ A [(4)]

(6) X es normal [(1), T.8.2.2]

(7) existe Sα abierto en X tal que:

Wα ⊆ Sα ⊆ Sα ⊆ Vα, para todo α ∈ A [(3), (4), (5), (6), T. 5.5.1 ]

(8) X =⋃

α∈AWα ⊆

⋃α∈A

Sα [(2), (3), (4), (7)]

(9) X ⊆⋃

α∈ASα [(7), (8)]

(10) Sαα∈A y Sαα∈A son cubrimientos de Y [(8), (9)]

(11) Vα ⊆ Uα, para todo α ∈ A [(2),(3)]

(12) Sα ⊆ Uα y Sα ⊆ Uα, para todo α ∈ A [(7),(11)]

(13) Sαα∈A es un refinamiento abierto de A [(7), (10), (12)]

(14) Sαα∈A es un refinamiento de A [(10), (12)]

(15) y ∈ Y [Hip.]

(16) U(y) ∈ U(y) intersecta a lo sumo a un numero finito de Vα [(3), (15)]

(17) U(y) ∈ U(y) intersecta a lo sumo a un numero finito de

Sα y Sα [(7), (16)]

(18) Sαα∈A y Sαα∈A son localmente finitos [(15), (17)]

(19) existe un refinamiento de A abierto y localmente finito,

Sαα∈A tal que Sαα∈A es un refinamiento de A l.f. [(13), (14), (18)]

2

Observacion 8.2.1 Por el teorema de la buena ordenacion sabemos que en todo con-

junto se puede definir un relacion de orden tal que todo subconjunto no vacıo tiene

primer elemento. En lo que sigue consideraremos al conjunto de ındices A como con-

junto bien ordenado.


Lema 8.2.3 Si X es un espacio paracompacto, p : X → Y es una suryeccion continua

y cerrada y Uα : α ∈ A es un cubrimiento abierto del espacio Y , entonces para cada

n ∈ N existe un refinamiento Vα,nα∈A abierto y localmente finito de p−1(Uα)α∈A

tal que V α,nα∈A es un refinamiento localmente finito de p−1(Uα)α∈A y tal que para

todo β > α, p(V β,n+1) ∩ p(V β,n) = ∅.

Dem.

Sean

(1) X un espacio paracompacto, [Hip.]

(2) p : X −→ Y es una suryeccion continua y cerrada, [Hip.]

(3) Uαα∈A un cubrimiento abierto de Y . [Hip.]

(4) A = p−1(Uα)α∈A es un cubrimiento abierto de X [(2), (3)]

(5) existe un refinamiento Vα,1α∈A del cubrimiento A,

localmente finito y abierto tal que Vα,1α∈A es un

refinamiento localmente finito de A [(1), (4), L.8.2.2]

(6) Sea Wα,2 = p−1(Uα) − p−1

(p

(⋃

β<α

Vβ,1

))[Hip.]

(7) Wα,2 es abierto, para todo α ∈ A.

(7.1)⋃

β<α

Vβ,1 es cerrado [(5), L. 1.5.4 ]

(7.2) p

(⋃

β<α

Vβ,1

)es cerrado [(2), (7.1)]

(7.3) p−1

(p

(⋃

β<α

V 1β

))es cerrado [(2), (7.2)]

(7.4)

[p−1

(p

(⋃

β<α

V 1β

))]c

es abierto [(7.3)]

(7.5) Wα,2 es abierto [(4), (7.4)]

(8) Wα,2α∈A es un cubrimiento de X.


(8.1) Sea x ∈ X, [Hip.]

(8.2) sea αo ∈ A el primer ındice: x ∈ p−1(Uαo) [Hip.]

(8.3) x 6∈ p−1(Uβ), para todo β < αo [(8.2)]

(8.4) Vβ,1 ⊆ p−1(Uβ), para todo β < αo [(4), (5)]

(8.5) p(Vβ,1) ⊆ p (p−1(Uβ)) = Uβ, para todo β < αo [(2), (8.4)]

(8.6) p−1(p(Vβ,1)

)⊆ p−1(Uβ), para todo β < αo [(8.5)]

(8.7) x 6∈ p−1(p(Vβ,1)

), para todo β < αo [(8.3), (8.6)]

(8.8) x 6∈⋃

β<αo

p−1(p(Vβ,1

))= p−1

(p

(⋃

β<αo

V 1β

))[(8.7)]

(8.9) existe αo ∈ A: x ∈ Wαo,2 [(6), (8.2), (8.8)]

(8.10) x ∈⋃

α∈AWα,2 [(8.9)]

(8.11) X ⊆⋃

α∈AWα,2 [(8.1), (8.10)]

(8.12) X =⋃

α∈AWα,2 [(8.11)]

(9) existe un refinamiento de Wα,2 localmente finito y abierto,

Vα,2α∈A, tal que Vα,2α∈A es un refinamiento de Wα,2 l.f.

[(1), (7), (8), L.8.2.2]

(10) Wα,2 ⊆ p−1(Uα), para todo β < α [(6)]

(11) Wα,2 es un refinamiento de A [(8), (10)]

(12) existe un refinamiento de p−1(Uα) l.f. y abierto, Vα,2α∈A,

tal que Vα,2α∈A es un refinamiento de p−1(Uα) l.f. [(9), (11)]

(13) Sea γ > α [Hip.]

(14) Vγ,2 ⊆ Wγ,2 [(9)]

(15) Wγ,2 ⊆

[p−1

(p

(⋃

β<γ

Vβ,1

))]c

[(6)]


(16) p−1(p(V 1

α

))⊆ p−1

(p

(⋃

β<γ

V 1β

))[(14), (15)]

(17) Vγ,2 ⊆[p−1

(p

(⋃

β<γ

V 1β

))]c

[(14), (15)]

⊆[p−1

(p(Vα,1)

)]c[(16)]

(18) p(Vγ,2) ⊆ p[p−1

(p(V 1

α

)C)]

= p(Vα,1)c [(2), (17)]

(19) p(Vγ,2) ∩ p(Vγ,1) = ∅ [(18)]

(20) Para todo γ > α, p(Vγ,2) ∩ p(Vγ,1) = ∅ [(13), (19)]

Siguiendo con este procedimiento ...

(21) Para cada n ∈ N, existe un refinamiento de p−1(Uα)α∈A,

abierto y localmente finito, Vα,nα∈A tal que Vα,nα∈A

es un refinamiento de p−1(Uα)α∈A localmente finito y

para todo γ > α, p(Vγ,n+1) ∩ p(Vγ,n) = ∅

2

8.3 Particiones de la unidad

Las particiones de la unidad cumplen un rol importante en la Topologıa moderna. Una

de las razones por las que los espacios paracompactos son muy usados es que tales

particiones arbitrariamente finas existen sobre ellos.

Definicion 8.3.1 Para cualquier espacio topologico Y , el soporte de una funcion

f : Y → IR es el conjunto cerrado y : f(y) 6= 0.

Notacion 8.3.1 Indicaremos con sop(f) al soporte de una funcion f con dominio en

un espacio Y a valores en IR.

Observacion 8.3.1 Observemos que y 6∈ sop(f) si y solo si y tiene un entorno sobre

el cual f es identicamente nula.


Definicion 8.3.2 Sea Y un espacio Hausdorff. Una familia kα : α ∈ A de funciones

continuas kα : Y → I se dice una particion de la unidad sobre Y si:

(i) sop(kα) : α ∈ A es un cubrimiento localmente finito y cerrado de Y ,

(ii)∑

α∈A

kα(y) = 1 para cada y ∈ Y .

Observacion 8.3.2 En la Definicion 8.3.2 la suma (ii)∑

α∈A

kα(y) = 1 esta bien defini-

da puesto que cada y pertenece al soporte de a lo sumo un numero finito de kα. En

efecto, dado y ∈ Y , por (i), sop(kα)α∈A es un cubrimiento localmente finito de

Y , entonces existe U(y) ∈ U(y) que intersecta a lo sumo un numero finito de sop(kα).

Luego, existe U(y) ∈ U(y) y existen α1, α2, ..., αn tal que U(y) ∩ sop(kαi ) 6= ∅ para

todo i ∈ In y U(y) ∩ sop(kα) = ∅ para todo α 6= αi. De esto deducimos que

kαi(y) 6= 0 para un numero finito de ındices i menor o igual que n , por lo tanto∑α∈A kα(y) 6

∑ni=1 kαi(y) = 1.

Definicion 8.3.3 Dado un cubrimiento abierto Uβ : β ∈ B de Y , decimos que una

particion de la unidad kβ : β ∈ B es subordinada al cubrimiento Uβ : β ∈ B, si el

soporte de cada kβ esta contenido en el correspondiente Uβ.

Observacion 8.3.3 Sea Uβ : β ∈ B un cubrimiento abierto de un espacio Hausdorff

Y .

(i) Una particion de la unidad kβ : β ∈ B se dice subordinada a Uβ : β ∈ B si

para cada β ∈ B, sop(kβ) ⊆ Uβ.

(ii) Una particion de la unidad kβ : β ∈ B se dice subordinada a Uβ : β ∈ B si

sop(kβ)β∈B es un refinamiento cerrado y preciso de Uβ : β ∈ B.

(iii) Claramente todo espacio tiene una particion de la unidad subordinada al cubri-

miento formado por el propio espacio.

Teorema 8.3.1 Sea Y un espacio paracompacto. Entonces para cada cubrimiento

abierto Uα : α ∈ A de Y existe una particion de la unidad subordinada a Uαα∈A.

Dem.

Sean



(2) Uα : α ∈ A es un cubrimiento abierto de Y . [Hip.]

(3) Existe un refinamiento Gα : α ∈ A preciso, abierto y l.f. de Uα. [(1), (2)]

(4) Existe un refinamiento Wα : α ∈ A cerrado y l.f. de Gα. [(1), (3)]

(5) Wα ⊆ Gα para todo α ∈ A [(4)]

(6) Y es normal. [(1)]

(7) Para todo α ∈ A, existe Vα ∈ τY : Wα ⊆ Vα ⊆ Vα ⊆ Gα [(5), (6), T. 5.5.1]

(8) Y =⋃

α∈AWα [(2), (3), (4)]

⊆⋃

α∈AVα [(7)]

(9) Vα : α ∈ A es un cubrimiento abierto de Y [(7), (8)]

(10) Sea y ∈ Y [Hip.]

(11) existe U(y) ∈ U(y) que intersecta a lo sumo a un numero finito de Gα [(3), (10)]

(12) existe U(y) ∈ U(y) que intersecta a lo sumo a un numero finito de Vα [(7), (11)]

(13) Vαα∈A es un cubrimiento localmente finito de Y [(10), (11), (12)]

(14) para todo α ∈ A, Vα ⊆ Gα ⊆ Uα [(3), (7)]

(15) para todo α ∈ A, Wα ⊆ Vα [(7)]

(16) para todo α ∈ A, existe Wα ∈ τY : Wα ⊆ Wα ⊆ Wα ⊆ Vα [(6), (15), T. 5.5.1]

(17) Y =⋃

α∈AWα [(4)]

⊆⋃

α∈AWα [ (16)]

(18) Sea y ∈ Y [Hip.]

(19) Existe U(y) ∈ U(y) que intersecta a lo sumo a un numero finito de Vα

[(12), (18)]

(20) Existe U(y) ∈ U(y) que intersecta a lo sumo a un numero finito de Wα


[(16), (19)]

(21) Wαα∈A es un cubrimiento l.f. de Y : Wα ⊆ Vα para todo α ∈ A

[(16), (17), (18)]

(22) Wαα∈A y Vαα∈A son cubrimientos de Y abiertos y l.f.:

Wα ⊆ Vα ⊆ Vα ⊆ Uα para todo α ∈ A [(12), (14), (21)]

(23) para cada α ∈ A existe una funcion gα : Y → I continua: [Teo. de Uryshon ]

gα(y) =

1 si y ∈ Wα

0 si y ∈ V Cα

0 si Vα = ∅[(6), (22), T. 10.4.1]

(24) sop(gα) = Wα ⊆ Uα [(22), (23)]

(25) para todo α ∈ A , sop(gα) ⊆ Uα [(24)]

(26) Wαα∈A es un cubrimiento localmente finito de Y [(21)]

(27) Sea y ∈ Y . [Hip.]

(28) Existe U(y) ∈ U(y) que intersecta a lo sumo un numero finito de Wα

[(26), (27)]

(29) al menos una funcion gα, y a lo sumo un numero finito de funciones gα

no se anulan en y [(25), (28)]

(30) g : Y → IR : g(y) =∑

α∈A

gα(y) esta bien definida [(27), (29)]

(31) g(y) =∑

α∈A

gα(y) 6= 0 para todo y ∈ Y [(27), (29)]

(32) g =∑

α∈A

gα es continua sobre Y .

(32.1) Para cada y ∈ Y existe un entorno abierto U(y) tal que,

las funciones gα, salvo un numero finito, son identicamente

nulas sobre U(x). [(27), (29)]


(32.2) g =∑

α∈A

gα es continua sobre el entorno U(y) [(23), (32.1)]

(32.3) g =∑

α∈A

gα es continua para todo y ∈ Y [(32.1), (32.2)]

(32.4) g =∑

α∈A

gα es continua sobre Y [(32.3)]

(33) Sea kα/α ∈ A una familia de funciones tal que

kα(y) = gα(y)∑

α∈A

gα(y)para cada y ∈ Y [Hip.]

(34) Cada kα : Y → I esta bien definida y es continua [(31), (32)]

(35) Para cada α ∈ A,

sop(kα) = y ∈ Y : kα(y) 6= 0 [D.8.3.1]

=

y ∈ Y : gα(y)∑

α∈A

gα(y)6= 0

[(32)]

= Wα [(24)]

(36) la familia kα : Y → I : α ∈ A verifica:

(i) kα es continua para todo α ∈ A, [ (34)]

(ii) sop(kα)α∈A es un cubrimiento de Y , cerrado y localmente finito,

[(26), (35)]

(iii)∑

α∈A

kα(y) = 1 para cada y ∈ Y [(32),(33)]

(37) Y es un espacio de Hausdorff, [(1)]

(38) Existe particion de la unidad kαα∈A subordinada a Uαα∈A [(21), (36), (37)]

2


Observacion 8.3.4

(i) Observemos que en la demostracion del Teorema 8.3.1 se muestra que en un

espacio normal existe una particion de la unidad subordinada a cualquier cubri-

miento abierto y localmente finito. C.H.Dowker demostro que su existencia para

cada cubrimiento abierto es equivalente a la paracompacticidad de Y . Es decir

probo que:

Y es paracompacto si y solo si para cada cubrimiento abierto Uαα∈A existe una

particion de la unidad subordinada a el.

(ii) Para dar una aplicacion del Teorema 8.3.1, notemos que si kα : α ∈ A es

una particion de la unidad sobre Y , y ϕα : α ∈ A es una familia cualquiera

de funciones continuas ϕα : Y → IR, entonces la aplicacion Y → IR dada por

y →∑

α

ϕα(y)kα(y) tambien es continua.

En efecto, sean


(2) kα : α ∈ A una particion de la unidad sobre Y , [Hip.]

(3) ϕαα∈A una familia de funciones continuas ϕα : Y → IR . [Hip.]

(4) Consideremos φ : Y → IR dada por φ(y) =∑

α

ϕα(y)kα(y) [Hip.]

(5) la familia kα : α ∈ A satisface las siguientes propiedades: : [(1), (2)]

(5.1) kα : Y → I es continua para todo α ∈ A,

(5.2) sop(kα)α∈Aes un cubrimiento localmente finito y cerrado de Y ,

(5.3)∑

α∈A

kα(y) = 1 para cada y ∈ Y .


(7) existe U(y) ∈ U(y) que intersecta a lo sumo a un numero finito de sop(kα)

[(6),(5.2)]

(8) Existe al menos uno, y a lo sumo un numero finito de sop(kα) que contienen a y

[(2), (7)]


(9) Existe al menos un α ∈ A, y a lo sumo un numero finito de ındices α ∈ A

para las cuales kα(y) 6= 0 [(8)]

(10) kα(y) = 0, excepto para un numero finito de ındices α [(9)]

(11) ϕα(y)kα(y) = 0, excepto para un numero finito de ındices α, [(10)]

(12) φ : Y → IR dada por φ(y) =∑

α

ϕα(y)kα(y) es continua para todo y ∈ Y

[(3), (5), (6), (11)]

(13) φ : Y → IR dada por φ(y) =∑

α

ϕα(y)kα(y) es continua en Y . [(12)]

Teorema 8.3.2 (C.H.Dowker) Sea Y un espacio paracompacto. Si g es una funcion

a valores reales sobre Y semicontinua inferiormente y G es una funcion a valores reales

sobre Y semicontinua superiormente tales que G(y) < g(y) para cada y ∈ Y . Entonces

existe una funcion continua ϕ : Y → IR tal que G(y) < ϕ(y) < g(y) para cada y ∈ Y .

Dem.

Sean


(2) g : Y → IR una funcion semicontinua inferiormente, [Hip.]

(3) G : Y → IR una funcion semicontinua superiormente, [Hip.]

tales que:

(4) G(y) < g(y) para cada y ∈ Y . [Hip.]

(5) Para cada r racional, sea Ur = y : G(y) < r ∩ y : g(y) > r [Hip.]

(6) Para cada r racional, Ur es abierto en Y . [(2), (3), (5)]

(7) Para cada y ∈ Y existe q racional: G(y) < q < g(y) [(4), IQ = IR]

(8) La familia Urr∈IQ es un cubrimiento abierto de Y [(5), (6), (7)]

(9) Existe una particion de la unidad krr∈IQ subordinada a Urr∈IQ

[(1), (8), T. 8.3.1]


(10) Sea ϕ : Y → IR : ϕ(y) =∑

r∈IQ

r.kr(y). [Hip.]

(11) ϕ : Y → IR : ϕ(y) =∑

r

r.kr(y) es continua [(1), (9), (10), O. 8.3.4]

(12) Sea y ∈ Y [Hip.]

(13) existen kr1 , kr−2, ..., krn ∈ IQ tales que: [(9), (12)]

(13.1) y ∈ sop(kri), para todo i 1 6 i 6 n,

(13.2) y 6∈ sop(kr) para todo r ∈ IQ tal que r 6= ri, para todo i, 1 6 i 6 n.

(14) y ∈ Ur1 ∩ Ur2 ∩ ... ∩ Urn [(9), (13)]

(15) G(y) < ri < g(y) para cada i = 1, 2, ..., n. [(5), (7), (14)]

(16) G(y) = G(y).∑

r∈IQ

kr(y) [(9)]

= G(y).

n∑

i=1

kri(y) [(13)]

=n∑

i=1

G(y).kri(y)

<n∑

i=1

ri.kri(y) [(15)]

= ϕ(y) [(10)]

(17) ϕ(y) =∑

r∈IQ

r.kr(y) [(10)]

=n∑

i=1

ri.kri(y) [(13)]

<n∑

i=1

g(y).kri(y) [(15)]


= g(y).n∑

i=1

kri(y)

= g(y).∑

r∈IQ

kr(y) [ (13)]

= g(y). [(9)]

(18) G(y) < ϕ(y) < g(y) , para todo y ∈ Y [(12), (16), (17)]

2

8.4 Espacios segundo numerables. Espacios de Lindelof

En esta seccion estudiamos dos propiedades de los espacios, relacionadas con el com-

portamiento de sus cubrimientos abiertos. Esto produce que cuando cualquiera de ellos

esta presente, las propiedades debiles de separacion se vuelvan fuertes.

Definicion 8.4.1 Un espacio de Hausdorff es 2 numerable si tiene una base numer-

able.

Teorema 8.4.1

(i) Si p : X → Y es una suryeccion continua y abierta, X es un espacio 2 numerable

e Y es un espacio de Hausdorff, entonces Y es un espacio 2 numerable.

(ii) Todo subespacio de un espacio 2 numerable es 2 numerable.

(iii)∏

α∈AYα es 2 numerable si, y solo si, Yα es 2 numerable, para todo α ∈ A y salvo

un numero a lo sumo numerable, los conjuntos Yα son unitarios.

Dem.

(i)

Sean

(1) (X, τX) un espacio 2 numerable, (Y, τY ) un espacio de Hausdorff, [Hip.]

(2) p : (X, τX) → (Y, τY ) una suryeccion continua y abierta. [Hip.]

(3) Existe una base a lo sumo numerable Bnn∈N de τX . [(1)]

(4) p(Bn) es abierto en Y , para todo n ∈ N. [(2), (3)]


(5) p(Bn)n∈N ⊆ τY [(4)]

(6) Sea G ∈ τY e y ∈ G. [Hip.]

(7) p−1(G) ∈ τX . [(2), (6)]

(8) existe x ∈ X: p(x) = y. [(2), (6)]

(9) x ∈ p−1(G). [(6), (8)]

(10) existe n ∈ N: x ∈ Bn ⊆ p−1(G). [(3), (7), (9)]

(11) existe n ∈ N: p(x) ∈ p(Bn) ⊆ p(p−1(G)). [(10)]

(12) existe n ∈ N: y ∈ p(Bn) ⊆ G. [(2), (8), (11)]

(13) p(Bn)n∈N es base de τY [(5), (6), (12)]

(14) Y es un espacio 2 numerable [(1), (13)]

(ii)

Sean

(1) X un espacio 2 numerable, [Hip.]

(2) Y ⊆ X es un subespacio. [Hip.]

(3) X es un espacio de Hausdorff. [(1)]

(4) Y es un espacio de Hausdorff. [(2), (3), T. 5.3.2]

(5) existe una base a lo sumo numerable Bnn∈N de τX [(1)]

(6) Bn ∩ Y n∈N es base de τY [(2), (5), L. 1.5.2 ]

(7) Y es un espacio 2 numerable. [(4), (6)]

(iii)

(⇒)

Sea

(1)∏

α∈AYα un espacio 2 numerable [Hip.]

(2) pα :∏

α∈AYα → Yα es suryeccion continua y abierta, para todo α ∈ A

[T. 3.3.1]

(3)∏

α∈AYα es un espacio de Hausdorff [(1)]

(4) Yα es un espacio de Hausdorff, para todo α ∈ A [(3), T. 5.3.2]

(5) Yα es 2 numerable, para todo α ∈ A [(1), (2), (4), T. 8.4.1(i)]


(6) existe una base a lo sumo numerable B = Bnn∈N de τΠ [(1)]

(7) Sea B = α ∈ A : ℵ(Yα) ≥ 2, [Hip.]

(8) Para cada n ∈ N, sea Cn = α ∈ A : pα(Bn) 6= Yα. [Hip.]

(9) Cn es finito, para todo n ∈ N. [(6), (8), O. 3.5.1(2)]

(10)⋃

n∈NCn es a lo sumo numerable [(9)]

(11) Sea α ∈ B [Hip.]

(12) ℵ(Yα) ≥ 2 [(7), (11)]

(13) τα 6= τ0 [(4), (12), E. 5.3.1]

(14) Existe Uα ∈ τα: ∅ ⊂ Uα ⊂ Yα [(13)]

(15) p−1α (Uα) 6= ∅ y p−1

α (Uα) ∈ τΠ [(2), (14)]

(16) Existe n0 ∈ N: ∅ ⊂ Bn0 ⊆ p−1α (Uα) [(6), (15)]

(17) pα(Bn0) 6= Yα.

(17.1) pα(Bn0) ⊆ pα(p−1α (Uα)) [(16)]

= Uα [(2)]

⊂ Yα [(14)]

(17.2) pα(Bn0) 6= Yα [(17.1)]

(18) existe n0 ∈ N: α ∈ Cn0 . [(8), (17)]

(19) α ∈⋃

n∈NCn [(18)]

(20) B ⊆⋃

n∈NCn [(11), (19)]

(21) B es a lo sumo numerable. [(10), (20)]

(22) Salvo un numero a lo sumo numerable los espacios Yα son unitarios.

[(7), (21)]

(⇐)

Recıprocamente, supongamos que

(1) Yα es 2 numerable, para todo α ∈ A, [Hip.]

(2) B = α ∈ A : ℵ(Yα) ≥ 2 es a lo sumo numerable. [Hip.]

(3) Yα es espacio de Hausdorff, para todo α ∈ A. [(1)]

(4)∏

α∈AYα es espacio de Hausdorff. [(3), T. 5.3.2]

(5) Para cada α ∈ A, existe una base numerable Bα de τα, [(1)]

(6) Bα es subbase de τα, para todo α ∈ A. [(5), L. 1.2.3]

(7) Σ =⋃

α∈A< Uα >: Uα ∈ Bα es subbase de τΠ [(6), T. 3.5.1 ]


(8) Σ =⋃

α∈A< Uα >: Uα ∈ Bα y ℵ(Yα) ≥ 2 [(7)]

(9) Σ es a lo sumo numerable

En efecto,

(9.1) ℵ(Σ) 6 ℵ(Bα).ℵ(B) [(2), (8)]

6 ℵ0.ℵ0 [(2), (5)]

= ℵ0

(9.2) Σ es a lo sumo numerable. [(9.1)]

(10) B = A ⊆∏

α∈AYα : A es interseccion de un numero finito de

elementos de Σ es base de τΠ. [(7), C. 1.2.3 ]

(11) B es a lo sumo numerable.

Supongamos que

(11.1) Σ es numerable [Hip.]

(11.2) Σ ∼= N [(11.1)]

(11.3) A : A es interseccion de n elementos de Σ ⊆ Σn

(11.4) B =⋃

n∈NA : A es interseccion de n elementos de Σ [(10)]

=⋃

n∈NΣn [(11.3)]

(11.5) Σn ∼= Nn ∼= N [(11.2)]

(11.6) Σ ∼= N [(11.5), (11.4)]

(12)∏

α∈AYα es 2 numerable [(4), (10), (11)]

2

Teorema 8.4.2 (Lindelof) Si Y es un espacio 2 numerable, entonces cada cubri-

miento abierto de Y tiene un subcubrimiento numerable.

Dem.

Sean

(1) (Y, τY ) un espacio 2 numerable, [Hip.]

(2) A = Uαα∈A un cubrimiento abierto de Y . [Hip.]

(3) Existe una base numerable B de τY . [(1)]

(4) Sea C = B ∈ B : B ⊆ Uα para algun α ∈ A [Hip.]


(5) C ⊆ B [(4)]

(6) C es cubrimiento de Y

(6.1) Sea y ∈ Y . [Hip.]

(6.2) existe α ∈ A: y ∈ Uα [(2), (6.1)]

(6.3) existe B ∈ B: y ∈ B ⊆ Uα. [(2), (3), (6.2)]

(6.4) existe B ∈ C: y ∈ B [(4), (6.3)]

(6.5) y ∈⋃

B∈C

B [(6.4)]

(6.6) Y ⊆⋃

B∈C

B [(6.1), (6.5)]

(6.7) Y =⋃

B∈C

B [(6.6)]

(7) C es a lo sumo numerable. [(3), (5)]

(8) C = Bj ∈ B : Bj ⊆ Uαj , para algun αj ∈ A y j ∈ N [(4), (7)]

(9) Sea D = Uαjj∈N [Hip.]

(10) Y =⋃

j∈NBj [(6), (8)]

⊆⋃j∈N

Uαj [(8)]

(11) Y =⋃

j∈NUαj [(10)]

(12) D es un subcubrimiento numerable de A. [(2), (9), (11)]

2

Definicion 8.4.2 Un espacio de Hausdorff Y es un espacio de Lindelof, si cada cu-

brimiento abierto contiene un subcubrimiento numerable.


Teorema 8.4.3 (K.Morita) Sea Y un espacio de Lindelof, entonces las siguientes

condiciones son equivalentes

(i) Y es paracompacto,

(ii) Y es regular.

Dem.

(i) ⇒ (ii)

Demostrado en Teorema.8.2.1

(ii) ⇒ (i)

Sea

(1) Y un espacio de Lindelof, [Hip.]

tal que

(2) Y es regular. [Hip.]

(3) Sea Uαα∈A un cubrimiento abierto de Y . [Hip.]

(4) Existe un subcubrimiento numerable Vnn∈N de Uαα∈A. [(1), (3)]

(5) Vnn∈N es refinamiento de Uαα∈A. [(4)]

(6) Sea Wn,j =

Vn si n = j∅ si n 6= j

[Hip.]

(7)⋃

n,j∈NWn,j =

⋃n∈N

Vn = Y [(3), (4), (6)]

(8) Sea (n, j) ∈ N × N. [Hip.]

(9) Existe α ∈ A: Vn = Uα. [(4)]

(10) Existe α ∈ A: Wn,j ⊆ Uα

En efecto,

(10.1) para n 6= j, Wn,j = ∅ ⊆ Uα [(6)]

(10.2) para n = j, Wn,j = Vn = Uα. [(6), (9)]

(11) Wn,jn,j∈N es un refinamiento deUαα∈A. [(7), (8), (10)]

(12) Wn,j es abierto, para todo (n, j) ∈ N × N. [(3), (4), (6)]

(13) Wn,jn∈N = ∅, Vn, para todo j ∈ N. [(6)]

(14) Wn,jn∈N es localmente finito, para todo j ∈ N. [(13)]


(15) Vnn∈N =⋃

n∈INWn,jn∈N [(13)]

(16) Y es paracompacto.

[(2), (3), (11), (12), (14), (15), T. 8.2.3]

2

Teorema 8.4.4

(i) Si p : X → Y es continua y sobreyectiva, X es un espacio de Lindelof e Y es un

espacio de Hausdorff, entonces Y es espacio de Lindelof.

(ii) Un subespacio cerrado de un espacio de Lindelof es Lindelof.

(iii) Si∏

α∈AYα es un espacio de Lindelof, entonces Yα es un espacio Lindelof, para

todo α ∈ A.

Dem.

(i)

Sean

(1) X un espacio de Lindelof, [Hip.]

(2) p : X → Y una funcion continua y sobre, [Hip.]

(3) Y es un espacio de Hausdorff. [Hip.]


(5) p−1(Uα)α∈A un cubrimiento abierto de X. [(2), (4)]

(6) existe un subcubrimiento numerable p−1(Uαn)n∈N de p−1(Uα). [(1), (5)]

(7)⋃

n∈NUαn =

⋃n∈N

p(p−1(Uαn)) [(2)]

= p( ⋃

n∈Np−1(Uαn)

)

= p(X) [(5)]

= Y [(2)]

(8) Uαnn∈N es subcubrimiento de Uαα∈A [(4), (7)]

(9) Y es un espacio de Lindelof. [(3), (4), (8)]


(ii)

Sean

(1) X un espacio de Lindelof, [Hip.]

(2) Y ⊆ X es un subespacio cerrado, [Hip.]


(4) Uα = Vα ∩ Y , con Vα ∈ τX , para todo α ∈ A [(2), (3)]

(5) X = Y ∪ Y c [(2)]

= (⋃

α∈AUα) ∪ Y c [(3)]

= (⋃

α∈A(Vα ∩ Y )) ∪ Y c [(4)]

= (⋃

α∈A

Vα) ∪ Y c

=⋃

α∈A(Vα ∪ Y c)

(6) Vα ∪ Y cα∈A es un cubrimiento abierto de X. [(2), (4), (5)]

(7) Existe un subcubrimiento numerable Vαn ∪ Y cn∈N de Vα ∪ Y c [(1), (6)]

(8) X =⋃

n∈N(Vαn ∪ Y c) [(6), (7)]

(9) Y = (⋃

n∈NVαn) ∩ Y [(2), (8)]

=⋃

n∈N(Vαn ∩ Y )

=⋃

n∈NUαn [(4)]

(10) Uαnn∈N es un subcubrimiento numerable de Uαα∈A. [(3), (9)]


(12) Y es un espacio de Hausdorff. [(2), (11), T. 5.3.2]

(13) Y es un espacio de Lindelof. [(3), (10), (12)]

(iii)

(1)∏

α∈AYα es un espacio de Lindelof. [Hip.]

(2)∏

α∈AYα es espacio de Hausdorff. [(1)]

(3) Yα es espacio de Hausdorff, para todo α ∈ A. [(2), T. 5.3.2]


(4) pα :∏

α∈AYα → Yα es continua y sobre, para todo α ∈ A. [T. 3.3.1]

(5) Yα es espacio de Lindelof, para todo α ∈ A. [(1),(3),(4), T. 8.4.4(i)]

2

8.5 Espacios separables

Definicion 8.5.1 Un espacio de Hausdorff es un espacio separable si contiene un sub-

conjunto denso numerable.

Teorema 8.5.1

(i) Si X es un espacio separable, Y es un espacio de Hausdorff y f : X → Y es

continua, entonces f(X) es separable.

(ii) Un subespacio abierto de un espacio separable es separable.

(iii)∏

α∈AYα es separable si, y solo si, para todo α ∈ A, Yα es separable, y salvo 2ℵ0 ,

Yα es unitario.

Dem.

(i)

Sean

(1) X un espacio de separable e Y espacio de Hausdorff, [Hip.]

(2) f : X → Y continua. [Hip.]

(3) Existe D ⊆ X: D = X y D =⋃

n∈Nan [(1)]

(4) f(X) = f(D) [(3)]

⊆ f(D) [(2)]

(5) f(D) es denso en f(X)

En efecto,

(5.1) f(D)f(X) = f(D) ∩ f(X) [T. 1.5.1]

(5.2) f(D)f(X) = f(X) [(4), (5.1)]

(6) f(D) = f(⋃

n∈Nan) [(3)]


=⋃

n∈Nf(an)

=⋃

n∈Nf(an)

(7) f(D) ⊆ f(X) es denso en f(X) y numerable [(5), (6)]

(8) f(X) es separable. [(1), (7)]

(ii)

Sean

(1) X un espacio separable, [Hip.]

(2) A ⊆ X un subespacio abierto en X. [Hip.]

(3) Existe D ⊆ X denso numerable. [(1)]

(4) D = X y D =⋃

n∈Nan [(3)]

(5) A ∩D = A.

(5.1) Si G es abierto en X y S ⊆ X entonces G ∩ S = G ∩ S[Practico No 1, Ej. 21(a)]

(5.2) A ∩D = A ∩D [(2), (3), (5.1)]

= A ∩X [(4)]

= A [(2)]

(6) A ∩DA = A ∩D ∩A [T. 1.5.1]

= A ∩A [(5)]

= A

(7) A ∩D es denso en A [(6)]

(8) A ∩D es a lo sumo numerable [(3)]


(10) A es un espacio de Hausdorff. [(9), (2), T. 5.3.2]

(11) A es separable. [((7),(8), 10)]

(iii)

⇒

Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos tal que


(1)∏

α∈AYα es separable. [Hip.]

(2) pα :∏

α∈AYα → Yα es continua y sobreyectiva, para todo α ∈ A[T. 3.3.1]

(3) Yα es separable, para todo α ∈ AEn efecto,

(3.1)∏

α∈AYα es espacio de Hausdorff [(1)]

(3.2) Yα es espacio de Hausdorff, para todo α ∈ A [(3.1), T. 5.3.2]

(3.3) Yα es separable, para todo α ∈ A [(1), (2), (3.2), T. 8.5.1(i)]

(4) Sea B = α ∈ A : |Yα| ≥ 2 [Hip.]

(5) Existe D ⊆∏

α∈AYα: D es denso y numerable. [(1)]

(6) Para cada β ∈ B existen Uβ y Vβ ∈ τβ: Uβ ∩ Vβ = ∅ [(3.2), (4)]

(7) Para cada β ∈ B, sea Dβ = D ∩ < Uβ >, [Hip.]

Consideremos

(8) Φ : B → P(D) tal que Φ(β) = Dβ [Hip.]

(9) Φ es inyectiva.

En efecto, sean

(9.1) β, γ ∈ B: β 6= γ [Hip.]

(9.2) D ∩ < Uβ, Vγ >6= ∅ [(5)]

(9.3) Existe d ∈ D ∩ < Uβ, Vγ > [(9.2)]

(9.4) D ∩ < Uβ, Vγ >= D ∩ < Uβ > ∩ < Vγ >

(9.5) d ∈ Dβ [(7), (9.3), (9.4)]

(9.6) d ∈< Vγ >= p−1γ (Vγ) [(9.3), (9.4)]

(9.7) pγ(d) ∈ Vγ [(9.6)]

(9.8) pγ(d) 6∈ Uγ [(6), (9.7)]

(9.9) d 6∈ p−1γ (Uγ) =< Uγ > [(9.8)]

(9.10) d 6∈ Dγ [(7), (9.9)]

(9.11) Dβ 6= Dγ [(9.5), (9.10)]

(9.12) Φ(β) 6= Φ(γ) [(8), (9.11)]

(9.13) Φ es inyectiva. [(9.1), (9.12)]

(10) ℵ(B) 6 ℵ(P(D)) 6 2ℵ0 [(5), (8), (9)]


⇐

Recıprocamente, supongamos que

(1) Yα es separable, para todo α ∈ A. [Hip.]

(2) Sea B = α ∈ A : ℵ(Yα) ≥ 2, [Hip.]

(3) ℵ(B) 6 2ℵ0. [Hip.]

(4) Para cada α ∈ A existe Dα = y(n)α n∈N0 denso en Yα, [(1)]

(5) ℵ(A) 6 c

(6) existe φ : A → K biyectiva, con K ⊆ [0, 1]. [(5), IR ∼= [0, 1]]

(7) ℵ(A) = c y K = [0, 1] [Hip.]

(Suponemos esto ya que los demas casos son similares)

(8) Para cada k ∈ IN, sean

(8) Ck = Jn1, ..., Jnk : Jn1, ..., Jnk

son intervalos cerrados del [0, 1],

con extremos racionales, disjuntos dos a dos , [Hip.]

(9) Ek = n1, ..., nk : n1, ..., nk ⊆ N0. [Hip.]

(10) Ck es numerable [(8)]

(11) Ek es numerable [(9)]

(12)⋃

k∈IN

Ck × Ek es numerable [(10), (11)]

(13) Sea p :⋃

k∈IN

Ck × Ek →∏

α∈AYα, definida por

p((Jn1 , Jn2, ..., Jnk, n1, n2, ..., nk)) = [y

(sα)α ]α∈A tal que:

sα =

ni si φ(α) ∈ Ji

0 en otro caso[Hip.]

(14) Sea D = p((Jn1 , Jn2 , ..., Jnk, n1, n2, ..., nk)) : k ∈ N [Hip.]

(15) D ⊆∏

α∈AYα es numerable. [(12), (13), (14)]

(16) Sea B 6= ∅ un basico en∏

α∈AYα [Hip.]

(17) existen α1, . . . , αk ∈ A, Uα1 ∈ τα1, ..., Uαk∈ ταk

tal que

B =< Uα1, ..., Uαk> [(16)]

(18) Para cada i, 1 6 i 6 k, φ(αi) ∈ [0, 1]. [(6), (17)]

(19) Para cada i, 1 6 i 6 k, existe un intervalo cerrado Jni ⊆ [0, 1],

con extremos racionales:

(i) φ(αi) ∈ Jni ,


(ii) si i 6= j, entonces Jni ∩ Jnj = ∅. [(18)]

(20) Uαi ∩ Dαi 6= ∅, para todo i, 1 6 i 6 k [(4), (17)]

(21) Para cada i, 1 6 i 6 k, existe ni ∈ N0: y(ni)αi ∈ Uαi [(4), (20)]

(22) p((Jn1 , Jn2 , ..., Jnk, n1, n2, ..., nk)) = [y

(sα)α ]α∈A tal que

sα =

ni si α = αi

0 en otro caso[(13), (21)]

(23) p((Jn1 , Jn2 , ..., Jnk, n1, n2, ..., nk)) ∈< Uα1 , ..., Uαk

>

[(13), (21), (22)]

(24) D ∩ < Uα1 , ..., Uαk>6= ∅ [(14), (23)]

(25) D es denso en∏

α∈AYα [(16), (17), (24), T. 1.3.4]

(26) Yα es espacio de Hausdorff, para todo α ∈ A [(1)]

(27)∏

α∈AYα es espacio de Hausdorff [(26), T. 5.3.2]

(28)∏

α∈AYα es separable. [(15), (25), (27)]

2

Teorema 8.5.2 Si X es un espacio 2 numerable, entonces es separable.

Dem.

Sea

(1) (X, τX) un espacio 2 numerable. [Hip.]

(2) Existe una base numerable Bnn∈IN de τX . [(1)]

(3) Para todo Bn 6= ∅ existe xn ∈ Bn [(2)]

(4) Sea D = xn : xn ∈ Bn [Hip.]

(5) D es a lo sumo numerable [(2), (4)]

(6) D ∩ Bn 6= ∅, para todo Bn 6= ∅ [(3), (4)]

(7) D es denso en X [(2), (6), T. 1.3.4]

(8) X es espacio de Hausdorff [(1)]

(9) X es separable. [(4), (5), (7), (8)]

2


Corolario 8.5.1 Todo subespacio de un espacio 2 numerable es separable.

Dem.

Sean

(1) X un espacio 2 numerable, [Hip.]

(2) Y ⊆ X un subespacio. [Hip.]

(3) Y es 2 numerable [(1), (2), T. 8.5.1(ii)]

(4) Y es separable. [(3), T. 8.5.2]

2

Teorema 8.5.3 En un espacio paracompacto, separabilidad implica Lindelof.

Dem.

Sean

(1) X un espacio separable paracompacto, [Hip.]


(3) Existe un refinamiento Vββ∈B de Uαα∈A, abierto y l.f.,

con Vβ 6= ∅ para todo β ∈ B, [(1), (2)]

(4) Y tiene un subconjunto denso numerable, D = dnn∈IN [(1)]

(5) Vββ∈B es numerable


(5.1) Vββ∈B no es es numerable [Hip.]

(5.2) Para cada n ∈ IN existe β ∈ B: d ∈ Vβ, [(3), (4)]

(5.2) existe n ∈ IN tal que la familia β ∈ B : dn ∈ Vβ no es numerable

[(5.1), (5.2)]

(5.3) existe n ∈ IN tal que para todo U(dn) ∈ U(dn),

β ∈ B : U(dn) ∩ Vβ 6= ∅ no es numerable [(5.2)]

(5.3) contradice (3). Por lo tanto

(5.3) Vββ∈B es numerable [ (3), (5.1), (5.3)]

(6) Para cada β ∈ B, sexiste α(β) ∈ A : Uα(β) ⊃ Vβ. [(3)]

(7) Uα(β)β∈B es un subcubrimiento numerable de Uαα∈A [(3), (5), (6)]

(8) X es un espacio Hausdorff, [(1)]

(9) X es un espacio de Lindelof. [(2), (7), (8)]

2


9 Espacios compactos y localmente compactos

Por su naturaleza, los espacios compactos conservan algunas de las propiedades de

los conjuntos finitos, por ejemplo,

− toda funcion real continua definida sobre un compacto alcanza su ınfimo y su

supremo,

− en un espacio T2 dos subconjuntos compactos disjuntos se pueden separar por

dos abiertos disjuntos.

Se estudian, en este seccion, algunas de las propiedades mas relevantes de estos espacios

topologicos.

9.1 Espacios compactos

Definicion 9.1.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico, X es compacto si todo cubrimiento

abierto de X admite un subcubrimiento finito.

Es decir, X es compacto si, y solo si, para cada familia Aαα∈A ⊆ τ tal que X =⋃

α∈AAα existen α1, α2, ..., αn tales que X =

n⋃i=1

Aαi.

Definicion 9.1.2 Sea (X, τ ) un espacio topologico, A ⊆ X es compacto en X si, y

solo si, (A, τA) es compacto, siendo τA la topologıa inducida por τ en A.

Lema 9.1.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X, entonces A es compacto en

X si, y solo si, para cada familia Aαα∈A ⊆ τ tal que A ⊆⋃

α∈AAα existen α1, α2, ..., αn

tales que A ⊆n⋃

i=1

Aαi.

Dem. Sea (X, τ ) un espacio topologico y sea A ⊆ X [Hip.]

(⇒)

(1) Sea A compacto en X y

(2) sea Aαα∈A ⊆ τ tal que A ⊆⋃

α∈AAα [Hip.]

(3) A = A ∩⋃

α∈AAα =

⋃α∈A

(A ∩Aα) [(2)]

(4) Bα = A ∩Aα ∈ τA [(2)]


(5) Bαα∈A es un cubrimiento abierto de A [(3),(4)]

(6) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que A =n⋃

i=1

Bαi [(1),(5)]

(7) A =n⋃

i=1

(A ∩ Aαi) = A ∩n⋃

i=1

Aαi [(4),(6)]

(8) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que A ⊆n⋃

i=1

Aαi [(6),(7)]

(⇐)

(9) para cada familia Aαα∈A ⊆ τ tal que A ⊆⋃

α∈AAα

existen α1, α2, ..., αn tales que A ⊆n⋃

i=1

Aαi [Hip.]

(10) Sea Cαα∈A un cubrimiento abierto de A en (A, τA) [Hip.]

(11) A =⋃

α∈ACα con Cα ∈ τA para todo α ∈ A [(10)]

(12) Cα = Gα ∩A con Gα ∈ τ para todo α ∈ A [(11)]

(13) A =⋃

α∈A(Gα ∩A) =

⋃α∈A

Gα ∩A [(11),(12)]

(14) A ⊆⋃

α∈AGα, con Gα ∈ τ para todo α ∈ A [(13)]

(15) existen α1, α2, ..., αn tales que A ⊆n⋃

i=1

Gαi [(14),(9)]

(16) A =n⋃

i=1

Gαi ∩A =n⋃

i=1

(Gαi ∩ A) =n⋃

i=1

Cαi [(15),(12)]

(17) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que A =n⋃

i=1

Cαi [(16)]

(18) (A, τA) es compacto [(10),(17)]

(19) A es compacto en X [(18)]

2

Ejercicio 9.1.1 Probar que:


a) Sea C ⊆ D ⊆ X, entonces C es compacto en D si, y solo si, C es compacto en

X.

b) En un espacio topologico, ∅ y cualquier subconjunto finito de X es compacto.

c) Un espacio discreto (X,D) es compacto si, y solo si, X es finito.

d) Sea ϕ : IN → X una sucesion en X y sea x0 ∈ X tal que ϕ → x0, entonces el

conjunto B = ϕ(n)n∈N ∪ x0 es compacto en X.

El ultimo ejercicio muestra que existen conjuntos compactos que no son necesaria-

mente conjunto finitos.

Formulaciones equivalentes de los espacios compactos

Definicion 9.1.3 Sea X un conjunto no vacıo, una familia A de subconjuntos de X

tiene la propiedad de interseccion finita (P.I.F.) si toda subfamilia finita de A tiene

interseccion no vacıa.

Esto es, A = Aαα∈Γ ⊆ P (X) tiene la propiedad de interseccion finita sin⋂

j=1

Aαj 6= ∅

para todaAαj

n

j=1⊆ A.

Teorema 9.1.1 Sea (Y, τ ) un espacio topologico, las siguientes condiciones son equiva-

lentes:

i) Y es compacto.

ii) Toda familia de cerrados en Y que cumple la P.I.F. tiene interseccion no vacıa.

Esto es, si F = Fαα∈A es una familia de cerrados en Y tal quen⋂

j=1

Fαj 6= ∅

para todaFαj

n

j=1⊆ F , entonces

⋂α∈A

Fα 6= ∅.

O bien, si F = Fαα∈A es una familia de cerrados en Y tal que⋂

α∈AFα = ∅,

entonces existe una subfamilia finita de F ,Fαj

n

j=1⊆ F , de interseccion vacıa(

n⋂j=1

Fαj = ∅

).

iii) Toda base de filtro en Y se aglomera en algun punto de Y.

Es decir, si U es b.d.f. en Y , entonces existe y0 ∈ Y tal que U y0.


iv) Toda base de filtro maximal en Y es convergente.

Es decir, si M es b.d.f. maximal en Y , entonces existe y0 ∈ Y tal que M → y0.

Dem.

Sea (Y, τ ) un espacio topologico [Hip.]

i) ⇒ ii)

(1) (Y, τ ) es un espacio compacto [Hip.]

(2) Sea F = Fαα∈A una familia de cerrados en Y tal que

(3)⋂

α∈AFα = ∅ [Hip.]

(4)

( ⋂α∈A

Fα

)c

=⋃

α∈A(Fα)c = Y [(3)]

(5) (Fα)c ∈ τ para todo a ∈ A [(2)]

(6) (Fα)cα∈A es un cubrimiento abierto de Y [(4),(5)]

(7) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales quen⋃

j=1

(Fαj

)c= Y [(1),(6)]

(8) ∅ =

(n⋃

j=1

(Fαj

)c)c

=n⋂

j=1

((Fαj

)c)c=

n⋂j=1

Fαj [(7)]

(9) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales quen⋂

j=1

Fαj = ∅ [(7),(8)]

ii) ⇒ i)

(10) Toda familia de cerrados en Y que cumple la P.I.F. tiene

interseccion no vacıa [Hip.]

(11) Sea Uαα∈A un cubrimiento abierto de Y [Hip.]

(12) Y =⋃

α∈AUα [(11)]

(13) Uα ∈ τ para todo α ∈ A [(11)]

(14) ∅ =

( ⋃α∈A

Uα

)c

=⋂

α∈A(Uα)c siendo (Uα)c cerrado en Y para

todo α ∈ A [(12),(13)]


(15) (Uα)cα∈A es una familia de cerrados en Y tal que⋂

α∈A(Uα)c = ∅ [(14)]

(16) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales quen⋂

j=1

(Uαj

)c= ∅ [(10),(15)]

(17) Y =

(n⋂

j=1

(Uαj

)c)c

=n⋃

j=1

((Uαj

)c)c=

n⋃j=1

Uαj [(16)]

(18) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que Y =n⋃

j=1

Uαj [(16),(17)]

(19) (Y, τ ) es compacto [(11),(18)]

ii) ⇒ iii)

(20) Toda familia de cerrados en Y que cumple la P.I.F. tiene

interseccion no vacıa [Hip.]

(21) Sea U = Aαα∈A una b.d.f. en Y [Hip.]

(22) F =Aα

α∈A ⊆ P (Y ) es una familia de cerrados en Y [(21)]

(23) SeaAα1, Aα2, ..., Aαn

⊆ F [Hip.]

(24) Aα1 ∩Aα2 ∩ ... ∩Aαn ⊆ Aα1 ∩ Aα2 ∩ ...∩ Aαn [L.1.3.3]

(25)n⋂

j=1

Aαj 6= ∅ [(21),C.6.2.1]

(26)n⋂

j=1

Aαj 6= ∅ [(24),(25)]

(27) F es una familia de cerrados en Y que cumple la P.I.F. [(22),(23),(26)]

(28)⋂

α∈AAα 6= ∅ [(27),(20)]

(29) existe y ∈⋂

α∈AAα [(28)]

(30) existe y ∈ Y tal que U y [(29),L.6.2.2]

iii) ⇒ ii)

(31) Toda b.d.f. U en Y se aglomera en un punto de Y [Hip.]

(32) Sea F = Fαα∈A ⊆ P (Y ) una familia de cerrados en Y

que cumple la P.I.F. [Hip.]

(33) Sea B = Bγγ∈Γ ⊆ P (Y ) tal que Bγ es interseccion


finita de elementos de la familia F = Fαα∈A

a) Bγ 6= ∅ para todo γ ∈ Γ

(34) Sea Bγ ∈ B, entonces Bγ =n⋂

j=1

Fαj con Fαj ∈ F [(33)]

(35) Bγ 6= ∅ para todo γ ∈ Γ [(32),(34)]

b) Para todo Bβ, Bδ ∈ B existe Bγ ∈ B tal que Bγ ⊆ Bδ ∩ Bβ

(36) Sean Bβ, Bδ ∈ B [Hip.]

(37) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que Bβ =n⋂

j=1

Fαj con Fαj ∈ F [(36),(33)]


′2, ..., α

′m ∈ A tales que Bδ =

m⋂j=1

Fα′j

con Fα′j∈ F [(36),(33)]

(39)n⋂

j=1

Fαj ∩m⋂

j=1

Fα′j∈ B [(37),(38),(33)]

(40) existe Bγ =n⋂

j=1

Fαj ∩m⋂

j=1

Fα′j∈ B tal que Bγ ⊆ Bδ ∩Bβ [(37),(38),(39)]

(41) B es base de filtro en Y [(35),(36),(40)]

(42) existe y ∈ Y : B y [(31),(41)]

(43) y ∈⋂

γ∈Γ

Bγ [(42),L.6.2.2]

(44) y ∈ Bγ para todo Bγ ∈ B [(43)]

(45) F = Fαα∈A ⊆ B [(33)]

(46) y ∈ Fα para todo α ∈ A [(44),(45)]

(47) y ∈ Fα para todo α ∈ A [(46),(32)]

(48) y ∈⋂

α∈AFα [(47)]

(49)⋂

α∈AFα 6= ∅ [(48)]

(50) Toda familia de cerrados de Y que cumple la P.I.F. tiene

interseccion no vacıa [(32),(49)]

iii) ⇒ iv)

(51) Toda b.d.f. U en Y se aglomera en algun punto de Y [Hip.]

(52) Sea M una b.d.f. maximal en Y [Hip.]


(53) existe y ∈ Y tal que M y [(51),(52)]

(54) existe y ∈ Y : M → y [(52),(53),L.6.2.5]

(55) Toda b.d.f. maximal en Y es convergente [(52),(54)]

iv) ⇒ iii)

(56) Toda b.d.f. maximal en Y es convergente [Hip.]

(57) Sea U una b.d.f. en Y [Hip.]

(58) existe M b.d.f. maximal en Y tal que M ` U [(57),T.6.2.9]

(59) existe y ∈ Y : M → y [(56),(58)]

(60) M y [(58),(59),L.6.2.5]

(61) U y [(58),(60),T.6.2.3]

(62) Toda base de filtro en Y se aglomera en algun punto de Y [(57),(61)]

2

Ejemplo 9.1.1

1. Todo espacio caotico es compacto.

2. Todo espacio cofinito es compacto.

3. (IR, τε) no es compacto.

4. En (IR, τε) , cualquier intervalo abierto no es compacto.

Teorema 9.1.2 Un espacio topologico (X, τ ) es compacto si, y solo si, toda red en X

tiene un punto de aglomeracion.

Dem.

Sea (X, τ ) un espacio topologico

(⇒)

(1) Supongamos que (X, τ ) es compacto [Hip.]

(2) Sea ϕ : D → X una red en X [Hip.]


(3) Toda b.d.f. U en X se aglomera en algun punto de X [(1),T.9.1.1]

(4) U (ϕ) es b.d.f. en X [(2),Ej.6.2.1]

(5) existe x0 ∈ X tal que U (ϕ) x0 [(3),(4)]

(6) existe x0 ∈ X tal que ϕ x0 [(5),Ej.6.2.2]

(7) ϕ tiene un punto de aglomeracion [(6)]

(⇐)

(8) Toda red en X tiene un punto de aglomeracion [Hip.]

(9) Sea U = Aαα∈A una base de filtro en X [Hip.]

(10) D = (U ,⊇) es un conjunto dirigido [(9)]

(11) Aα 6= ∅ para todo α ∈ A [(9)]

(12) para cada α ∈ A existe xα ∈ Aα [(11)]

(13) La funcion ϕ : D → X definida por ϕ (Aα) = xα si y solo

si xα ∈ Aα, es una red en X [(12)]

(14) existe x0 ∈ X tal que ϕ x0 [(13),(8)]

(15) Sea U (x0) y sea Aα ∈ U [Hip.]

(16) existe Aβ ∈ U tal que Aβ ⊆ Aα y ϕ (Aβ) ∈ U (x0) [(14),(15)]

(17) existe β ∈ A tal que xβ ∈ U (x0) y xβ ∈ Aβ [(13),(16)]

(18) Aβ ∩ U(x0) 6= ∅ [(17)]

(19) Aα ∩ U(x0) 6= ∅ [(16),(18)]

(20) U x0 [(15),(19)]

(21) X es un espacio compacto [(9),(20),T.9.1.1]

2

Imagen de un compacto por una funcion continua

Teorema 9.1.3 La imagen por una funcion continua de un conjunto compacto es un

conjunto compacto.

Esto es, si f : (X, τX) → (Y, τY ) es una funcion continua y K ⊆ X es compacto en X,

entonces f (K) es compacto en Y.


Dem.

(1) Sea f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion continua y

(2) sea K ⊆ X compacto en X [Hip.]

(3) Sea Uαα∈A un cubrimiento abierto de f (K) en Y [Hip.]

(4) f (K) ⊆⋃

α∈AUα [(3)]

(5) Uα ∈ τY para todo α ∈ A [(3)]

(6) K ⊆ f−1 (f (K)) ⊆ f−1

( ⋃α∈A

Uα

)=⋃

α∈Af−1 (Uα) [(4)]

(7) f−1 (Uα) ∈ τX para todo α ∈ A [(5),(1)]

(8) f−1 (Uα)α∈A es un cubrimiento abierto de K en (X, τX) [(6),(7)]

(9) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que K ⊆n⋃

j=1

f−1(Uαj

)[(8),(2),L.9.1.1]

(10) f (K) ⊆ f

(n⋃

j=1

f−1(Uαj

))

=n⋃

j=1

f(f−1

(Uαj

))⊆

n⋃j=1

Uαj [(9)]

(11)Uαj

n

j=1es un subcubrimiento finito de f (K) [(9),(10)]

(12) f (K) es compacto en Y [(3),(12),L.9.1.1]

2

Corolario 9.1.1 La compacidad es una propiedad topologica.

Si f : X → Y es una funcion continua, sobreyectiva y X es compacto, entonces Y

es compacto. Sin embargo, la recıproca de esta propiedad no es valida; para obtener

la compacidad de X a partir de la de Y se debe considerar otra clase de funciones, las

propias. Este hecho se demuestra a continuacion.

Definicion 9.1.4 Sea f : X → Y una funcion, f es propia si es cerrada, continua,

sobreyectiva y f−1 (y) es compacto para todo y ∈ Y.

Teorema 9.1.4 Sean (X, τX ) , (Y, τY ) dos espacios topologicos tales que Y es compacto

y sea f : X → Y una funcion propia, entonces X es compacto.


Dem.

(1) Sea Y compacto y

(2) sea f : X → Y una funcion propia [Hip.]

(3) f es cerrada [(2)]


(5) f−1 (y) es compacto para todo y ∈ Y [(2)]

(6) f es sobreyectiva [(2)]

(7) Sea Wii∈I un cubrimiento abierto de X [Hip.]

(8) Wi ∈ τX , X =⋃i∈I

Wi [(7)]

(9) f−1 (y) ⊆⋃i∈I

Wi para cada y ∈ Y [(8)]

(10) para cada y ∈ Y existe un subcubrimiento finito Wjin(y)i=1 tal que f−1 (y) ⊆

n(y)⋃i=1

Wji [(9),(5)]

(11) para cada y ∈ Y existe V ∈ τY tal que y ⊆ V y f−1(V ) ⊆n(y)⋃i=1

Wji [(3),(10),T.2.2.3]

(12) para cada y ∈ Y existe V (y) tal que f−1 (V (y)) ⊆n(y)⋃i=1

Wji [(11)]

(13) V (y)y∈Y es un cubrimiento abierto de Y [(10),(12)]

(14) existen y1, y2, ..., yt tales que Y =t⋃

i=1

V (yi) [(13),(1)]

(15) la subfamiliaWij : j = 1, ..., n (ys) , s = 1, ..., t

es un

subcubrimiento finito de X [(12),(14)]

(16) X es compacto [(7),(15)]

2

Subespacio cerrado de un espacio compacto


Teorema 9.1.5 Todo subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.

Es decir, si (Y, τ ) es compacto y F ⊆ Y es cerrado, entonces F es compacto en Y.

Dem.

(1) Sea (Y, τ ) un espacio compacto y

(2) sea F ⊆ Y cerrado en Y [Hip.]

(3) Sea Uαα∈A un cubrimiento abierto de F en Y [Hip.]

(4) F ⊆⋃

α∈AUα [(3)]

(5) Uα ∈ τY para todo α ∈ A [(3)]

(6) Y = F ∪ (Y \ F ) ⊆⋃

α∈AUα ∪ (Y \ F ) ⊆ Y [(4)]

(7) Y =⋃

α∈AUα ∪ (Y \ F ) [(6)]

(8) Uαα∈A ∪ Y \ F es un cubrimiento abierto de Y [(2),(5),(7)]

(9) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que Y =n⋃

j=1

Uαj ∪ (Y \ F ) [(1),(8)]

(10) F ⊆n⋃

j=1

Uαj ∪ (Y \ F ) [(2),(9)]

(11) F ∩ (Y \ F ) = ∅

(12) F ⊆n⋃

j=1

Uαj [(10),(11)]

(13) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que F ⊆n⋃

j=1

Uαj [(9),(12)]

(14) F es compacto en Y [(3),(13),L.9.1.1]

2

Corolario 9.1.2 Sea (X, τ ) un espacio topologico, la interseccion arbitraria de con-

juntos cerrados y compactos en X es compacto en X.


9.2 Producto topologico de espacios compactos

El Teorema de Tychonoff

Teorema 9.2.1 Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos, entonces el es-

pacio producto

( ∏α∈A

Yα, τπ

)es compacto si, y solo si, (Yα, τα) es compacto para todo

α ∈ A.

Dem. Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos [Hip.]

(⇒)

(1)∏

α∈AYα es compacto [Hip.]

(2) Sea α ∈ A y sea pα :∏

α∈AYα → Yα la proyeccion α−esima [Hip.]

(3) pα es continua y sobreyectiva [(2),T.3.6.1]

(4) Yα es compacto para todo α ∈ A [(2),(3),T.9.1.3]

(⇐)

(5) Yα es compacto para todo α ∈ A [Hip.]

(6) Sea M una b.d.f. maximal en∏

α∈AYα [Hip.]

(7) pα (M) es b.d.f. maximal en Yα para todo α ∈ A [(6),T.6.2.10]

(8) para cada α ∈ A existe yoα ∈ Yα tal que pα (M) → yo

α [(5),(7),T.9.1.1]

(9) M → yo con yo = [yoα]α∈A ∈

∏α∈A

Yα [(8),T.6.2.8]

(10) existe yo ∈∏

α∈AYα,M → yo [(9)]

(11)∏

α∈AYα es compacto [(10),T.9.1.1]

2


9.3 Subespacios compactos de los espacios Ti

Subespacios compactos de un espacio T2

Teorema 9.3.1 Sea (X, τ ) un espacio T2 y sea K ⊆ X compacto en X, entonces para

cada y ∈ Kc existen abiertos disjuntos V,W tales que y ∈ W y K ⊆ V.

Es decir, para cada y ∈ Kc existen V ∈ τ,W ∈ τ tales que K ⊆ V, y ∈ W y V ∩W = ∅.

Dem.

Sean

(1) (X, τ ) un espacio T2, [Hip.]

(2) K ⊆ X compacto, [Hip.]

(3) y ∈ X \K. [Hip.]

(4) Para cada k ∈ K existen Uy (k) ∈ U (k) , Uk (y) ∈ U (y)

tales que Uy (k) ∩ Uk (y) = ∅ [(1),(3)]

(5) K =⋃

k∈K

k ⊆⋃

k∈K

Uy (k) , Uy (k) ∈ τ para cada k ∈ K [(4)]

(6) Uy (k)k∈K es un cubrimiento abierto de K en Y [(5)]

(7) existen k1, k2, ..., kn tales que K ⊆n⋃

i=1

Uy (ki) [(2),(6),L.9.1.1]

(8)n⋂

i=1

Uki (y) = W (y) ∈ U (y) yn⋃

i=1

Uy (ki) = V (K) ∈ τ [(7),(4)]

(9) W (y) ∩ V (K) =n⋂

i=1

Uki (y) ∩(

n⋃i=1

Uy (ki)

)

=n⋃

i=1

(n⋂

i=1

Uki (y) ∩ Uy (ki)

)

=n⋃

i=1

(Uk1 (y) ∩ Uk2 (y) ∩ ... ∩ Ukn (y) ∩ Uy (ki))

= ∅ [(8),(4)]

(10) existen W (y) ∈ τ, V (K) ∈ τ tales que y ∈ W (y) ,K ⊆ V (K)


y W (y) ∩ V (K) = ∅ [(7),(8),(9)]

2

Corolario 9.3.1 Todo subespacio compacto de un espacio T2 es cerrado.

Dem.

(1) Sea (Y, τ ) un espacio T2 y

(2) sea K ⊆ Y compacto [Hip.]

(3) Sea y ∈ Y \K [Hip.]

(4) existen V ∈ τ,W ∈ τ tales que K ⊆ V, y ∈ W y V ∩W = ∅ [(1),(2),(3),T.9.3.1]

(5) W ⊆ V c ⊆ Kc [(4)]

(6) para cada y ∈ Kc existe W (y) ∈ U(y) tal que W (y) ⊆ Kc [(3),(4),(5)]

(7) Kc es abierto en Y [(6),T.1.1.1]

(8) K es cerrado en Y [(7)]

2

Corolario 9.3.2 Sea (X, τ ) un espacio T2 y compacto. Entonces K ⊆ X es compacto

en X si, y solo si, K es cerrado en X.

Teorema 9.3.2 En un espacio T2 dos subconjuntos compactos disjuntos tienen en-

tornos abiertos y disjuntos.

Es decir, si (X, τ ) es T2 y A,B son subconjuntos compactos de X tales que A∩B = ∅,entonces existen abiertos U, V tales que A ⊆ U,B ⊆ V y U ∩ V = ∅.

Dem.

(1) Sea (X, τ ) un espacio T2 [Hip.]

(2) Sean A,B subconjuntos compactos de X tales que

(3) A ∩B = ∅, esto es A ⊆ X \B [Hip.]

(4) Para cada x ∈ X \B existen Ux ∈ τ, Vx ∈ τ tales que Ux ∩ Vx = ∅,


x ∈ Ux y B ⊆ Vx [(1),(2),T.9.3.1]

(5) Para cada x ∈ A existen Ux ∈ τ, Vx ∈ τ tales que Ux ∩ Vx = ∅,

x ∈ Ux y B ⊆ Vx [(3),(4)]

(6) A ⊆⋃

x∈A

Ux [(5)]

(7) existen x1, x2, ..., xn ∈ A tales que A ⊆n⋃

i=1

Uxi [(2),(5),(6),L.9.1.1]

(8) U =n⋃

i=1

Uxi ∈ τ, V =n⋂

i=1

Vxi ∈ τ [(5)]

(9) A ⊆ U, B ⊆ V [(5),(7),(8)]

(10) U ∩ V =n⋃

i=1

Uxi ∩n⋂

i=1

Vxi = ∅ [(5)]

(11) existen abiertos U, V tales que A ⊆ U, B ⊆ V y U ∩ V = ∅ [(8),(9),(10)]

2

Subespacios compactos de un espacio T3

Teorema 9.3.3 Sea (Y, τ ) un espacio T3 y A ⊆ Y compacto en Y . Entonces para todo

abierto U ⊆ Y que contiene al conjunto A (A ⊆ U) existe un abierto V ⊆ Y tal que

A ⊆ V ⊆ V ⊆ U.

Dem.

Sean

(1) (Y, τ ) un espacio T3,

(2) A ⊆ Y compacto en Y ,

(3) U ⊆ Y un abierto en Y tal que

(4) A ⊆ U . [Hip.]

(5) U ∈ U (a) para cada a ∈ A [(3),(4)]

(6) para cada a ∈ A existe V ∈ τ tal que a ∈ V ⊆ V ⊆ U [(1),(5),T.5.4.1]


(7) para cada a ∈ A existe V (a) ∈ U (a) tal que V ⊆ V ⊆ U [(6)]

(8) V (a)a∈A es un cubrimiento abierto de A en Y [(7)]

(9) existen a1, a2, ..., an ∈ A tales que A ⊆n⋃

j=1

V (aj) [(2),(8)]

(10) existe V =n⋃

j=1

V (aj) ∈ τ tal que A ⊆ V [(8),(9)]

(11) V =n⋃

j=1

V (aj) =n⋃

j=1

V (aj) ⊆ U [(7),L.1.3.3]

(12) existe V ∈ τ tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U [(10),(11)]

2

Espacios compactos T2

Teorema 9.3.4 Todo espacio compacto T2 es regular.

Dem.

(1) Sea (Y, τ ) un espacio compacto y T2. [Hip.]

(2) (Y, τ ) es T1 [(1)]

(3) Sea y ∈ Y y A ⊆ Y cerrado en Y tal que y /∈ A [Hip.]

(4) y ⊆ Y es cerrado en Y [(2)]

(5) A ∩ y = ∅ con A e y compactos en Y [(3),(4),(1),T.9.1.5]

(6) existen U, V ∈ τ tales que A ⊆ U, y ⊆ V, U ∩ V = ∅ [(5),(1),T.9.3.2]

(7) existen U, V ∈ τ tales que A ⊆ U, y ∈ V, U ∩ V = ∅ [(6)]

(8) (Y, τ ) es T3. [(2),(3),(7)]

2

Teorema 9.3.5 Todo espacio compacto T2 es normal.

Dem.


(1) Sea (Y, τ ) un espacio compacto T2. [Hip.]

(2) (Y, τ ) es T1 [(1)]

(3) Sean A,B cerrados en Y tales que A ∩B = ∅ [Hip.]

(4) A,B son compactos en Y [(1),(3),T.9.1.5]

(5) existen U, V ∈ τ tales que A ⊆ U,B ⊆ V y U ∩ V = ∅ [(1),(4),T.9.3.2]

(6) (Y, τ ) es T4. [(2),(3),(5)]

2

9.4 Compactos en el espacio euclıdeo

Teorema de Heine Borel.

Teorema 9.4.1 Todo intervalo [a, b] ⊆ IR es compacto en IR.

Dem.

(1) Sea [a, b] ⊆ IR y Uαα∈A un cubrimiento abierto de [a, b] en IR. [Hip.]

(2) [a, b] ⊆⋃

α∈AUα [(1)]

(3) Uα ∈ τε para todo α ∈ A [(1)]

(4) Sea S = x ∈ [a, b] : [a, x] puede ser cubierto por un numero finito de Uα

i) S 6= ∅

(5) a ∈ [a, b] y [a, a] puede ser cubierto por un numero finito de Uα [(2)]

(6) a ∈ S, luego S 6= ∅ [(5)]

ii) S es un conjunto abierto en [a, b]

(7) Sea x ∈ S, entonces x = a o x 6= a [Hip.]

(8) si x = a existe Uα tal que a ∈ Uα [(2)]

(9) existe ρ > 0 tal que [a, a+ ρ) ⊆ Uα y [a, a+ ρ) ⊆ [a, b] [(8),(3)]

(10) [a, a+ ρ) ⊆ S [(9)]


(11) existe [a, a+ ρ) ∈ τε/[a,b]tal que a ∈ [a, a+ ρ) ⊆ S [(10),(9)]

(12) Si x 6= a y x 6= b

(13) existe Uβ tal que x ∈ Uβ [(2)]

(14) existe δ > 0 tal que x ∈ (x− δ, x+ δ) ⊆ Uβ [(3),(13)]

(15) [a, x] puede ser cubierto por un numero finito de Uα [(7)]

(16) [a, z] puede ser cubierto por un numero finito de Uα para

todo z ∈ (x− δ, x+ δ) [(14),(15)]

(17) z ∈ S para todo z ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ [a, b] [(16),(4)]

(18) U[a,b] = (x− δ, x+ δ) ∩ [a, b] ∈ τ[a,b]

(19) existe U[a,b] ∈ τ[a,b] tal que x ∈ U[a,b] ⊆ S [(14),(17)]

(20) S es entorno de cada uno de sus puntos,

por lo tanto, S es abierto en [a, b] [(11),(12),(19)]

iii) S es cerrado en [a, b]

(21) Sea x ∈ S [a,b] ⊆ [a, b] con x 6= b

(22) existe Uβ tal que x ∈ Uβ, luego existe δ > 0

tal que x ∈ (x− δ, x+ δ) ⊆ Uβ [(21),(2),(3)]

(23) S ∩ (x− δ, x+ δ) 6= ∅, es decir,

existe y ∈ S ∩ (x− δ, x+ δ) [(21)]

(24) [a, y] puede ser cubierto por un numero finito de Uα [(23),(4)]

(25) [a, x] puede ser cubierto por un numero finito de Uα [(22),(23),(24)]

(26) x ∈ S [(25)]

(27) Si x = b ∈ S [a,b]

(28) existe Uα tal que b ∈ Uα, luego existe δ > 0

tal que (b− δ, b] ⊆ Uα [(2),(3)]

(29) S ∩ (b− δ, b] 6= ∅, esto es existe z ∈ S ∩ (b− δ, b] [(27)]

(30) [a, z] puede ser cubierto por un numero finito de Uα [(29)]

(31) [a, b] puede ser cubierto por un numero finito de Uα, luego b ∈ S [(28),(30)]

(32) S [a,b] = S, por lo tanto, S es cerrado en [a, b] [(21),(26),(27),(31)]


(33) S es cerrado y abierto en [a, b] [(20),(32)]

(34) [a, b] es conexo en IR [T.4.2.2]

(35) S = [a, b] [(33),(34),(6),T.4.1.3]

(36) [a, b] es compacto en IR [(35),(4)]

2

Teorema 9.4.2 Un conjunto A ⊆ IR es compacto si, y solo si, es cerrado y acotado.

Dem. Sea A ⊆ IR [Hip.]

(⇒)

(1) A es compacto en IR [Hip.]

(2) (IR, τε) es T2 [Ej.5.3.1]

(3) A es cerrado en IR [(1),(2),C.9.3.1]

(4) (−n, n)n∈N es un cubrimiento abierto de IR

(5) A ⊆⋃

n∈N

(−n, n) , (−n, n) ∈ τε [(1),(4)]

(6) existen n1, n2, ..., nk tales que A ⊆k⋃

j=1

(−nj, nj) [(1),(5),L.9.1.1]

(7)k⋃

j=1

(−nj, nj) = (−M,M) con M =max njkj=1

(8) A ⊆ (−M,M) = E (0,M) [(6),(7)]

(9) existe M > 0 tal que A ⊆ E (0,M) [(7),(8)]

(10) A es cerrado y acotado en IR [(3),(9)]

(⇐)

(11) A ⊆ IR es cerrado y

(12) acotado [Hip.]

(13) existen a = ınf A y b = supA [(12)]


(14) a 6 x 6 b para todo x ∈ A [(13),(11)]

(15) A ⊆ [a, b] ⊆ IR [(14)]

(16) A es cerrado en [a, b] [(11),(15)]

(17) [a, b] es compacto en IR [T.9.4.1]

(18) A es compacto en [a, b] [(16),(17)]

(19) A es compacto en IR [(15),(18),E.9.1.1]

2

Se generaliza el Teorema 9.4.2 al espacio euclıdeo IRn.

Teorema 9.4.3 Un conjunto A ⊆ IRn es compacto si, y solo si, es cerrado y acotado.

Dem. Sea A ⊆ IRn [Hip.]

(⇒)

(1) A ⊆ IRn es compacto en IRn [Hip.]

(2) IRn es T2 [Ej.5.3.1]

(3) A es cerrado [(1),(2),C.9.3.1]

(4) A ⊆⋃

x∈A

E (x, 1) , E (x, 1) ∈ τε

(5) existen x1, x2, ..., xn ∈ A tales que A ⊆n⋃

i=1

E (xi, 1) [(1),(4),L.9.1.1]

(6) Sea r = max d (x1, xi) : i ≥ 2

(7)n⋃

i=1

E (xi, 1) ⊆ E (x1, r + 1) [(6)]

(8) A ⊆ E (x1, r + 1) [(5),(7)]

(9) A es acotado en IRn [(8)]

(⇒)

(10) A es acotado en IRn [Hip.]


(11) A es cerrado en IRn [Hip.]

(12) A ⊆ [a1, b1]× [a2, b2] × ...× [an, bn] [(10)]

(13)n∏

i=1

[ai, bi] es compacto en IRn [T.9.4.2,T.9.2.1]

(14) A es compacto en IRn [(11),(12),(13),T.9.1.5,E.9.1.1]

2

Observacion 9.4.1

1. Se puede demostrar que todo conjunto abierto en IR es union a lo sumo numerable

de conjuntos conexos, abiertos y disjuntos.

2. Todo conjunto abierto en IR es union a lo sumo numerable de intervalos abiertos

y disjuntos.

En efecto:

(1) Sea G ⊆ IR abierto en IR [Hip.]

(2) G es union a lo sumo numerable de conjuntos conexos,

abiertos y disjuntos en IR [Obs.9.4.1]

(3) En IR, los conjuntos conexos y abiertos son los intervalos

abiertos [T.4.2.2]

(4) G =⋃

i∈N

(ci, di) , (cj, dj) ∩ (ci, di) = ∅ para i 6= j [(2),(3)]

En el siguiente teorema se determina en forma explıcita a los conjuntos compactos

en (IR, τε) .

Teorema 9.4.4 Sea K ⊆ IR compacto, entonces K puede expresarse como un inter-

valo cerrado menos una union a lo sumo numerable de intervalos abiertos y disjuntos.

Esto es, si K ⊆ IR es compacto, entonces K = [a, b]\⋃

i∈N

(ci, di) con (ci, di)∩(cj , dj) = ∅

para i 6= j.

Dem.

(1) Sea K ⊆ IR compacto en (IR, τε) [Hip.]


(2) K es cerrado [(1),T.9.4.2]

(3) K es acotado [(1),T.9.4.2]

(4) existen a, b ∈ IR tales que a = ınf K y b = sup K [(3)]

(5) a, b ∈ K [(2),(4)]

(6) a 6 x 6 b para todo x ∈ K, es decir, K ⊆ [a, b] [(4),(5)]

(7) C[a,b]K = [a, b] \K = (a, b) \K = C(a,b)K = (a, b) ∩ (IR \K) [(5)]

(8) C[a,b]K es abierto en IR [(2),(7)]

(9) C[a,b]K =⋃

i∈N

(ci, di) con (ci, di) ∩ (cj , dj) = ∅ para i 6= j [Obs.9.4.1]

(10) K = [a, b] \ C[a,b]K = [a, b] \⋃

i∈N

(ci, di) con

(ci, di) ∩ (cj, dj) = ∅ para i 6= j [(9)]

2

9.5 Propiedades especiales de los espacios compactos

En esta seccion se estudian algunas de las propiedades de los espacios compactos

que se usan con mayor frecuencia.

Un biyeccion continua no es necesariamente un homeomorfismo, una de las propiedades

mas importantes de las funciones continuas definidas sobre un compacto esta dada en

el siguiente teorema.

Teorema 9.5.1 Sean (X, τX) , (Y, τY ) dos espacios topologicos tales que X es compacto

e Y es T2 y sea f : X → Y una funcion, entonces:

i) Si f es continua, entonces es cerrada.

ii) Si f es una biyeccion continua, entonces es un homeomorfismo.

Dem.

(1) Sean (X, τX) un espacio compacto,

(2) (Y, τY ) un espacio T2 y sea f : X → Y una funcion [Hip.]


i)


(4) Sea F ⊆ X cerrado en X [Hip.]

(5) F es compacto en X [(1),(4),T.9.1.5]

(6) f (F ) es compacto en Y [(5),(3),T.9.1.3]

(7) f (F ) es cerrado en Y [(6),(2),C.9.3.1]

(8) f es cerrada [(4),(7)]

ii)

(9) f es una biyeccion continua [Hip.]

(10) f es cerrada [(9),T.9.5.1]

(11) f es un homeomorfismo [(9),(10)]

2

Teorema 9.5.2 Sea (X, τ ) un espacio compacto y sea f : X → (IR, τε) una funcion,

se satisfacen las siguientes propiedades:

i) Si f es semicontinua inferior, entonces f alcanza su ınfimo.

ii) Si f es semicontinua superior, entonces f alcanza su supremo.

Dem.

(1) Sea (X, τ ) un espacio compacto y sea f : X → IR una funcion [Hip.]

i)

(2) f es semicontinua inferior [Hip.]

(3) f (X) ⊆ IR es un conjunto acotado inferiormente [(1),(2)]

(4) existe m ∈ IR tal que m = ınf f (X) [(3)]

(5) Sea q > m y sea Fq = x ∈ X : f (x) 6 q = f−1(−∞, q]


(6) Fq es un conjunto cerrado para todo q > m [(2),(5)]

a) Fq 6= ∅ para todo q > m

(7) para todo q > m existe xq tal que m < f (xq) < q [(4)]

(8) para todo q > m existe xq tal que xq ∈ Fq [(7)]

(9) Fq 6= ∅ para todo q > m [(8)]

b) Fqq>m es una familia de cerrados que satisface la P.I.F.

(10) SeaFqj

n

j=1una subfamilia finita de Fqq>m

(11)n⋂

j=1

Fqj =n⋂

j=1

f−1(−∞, qj]

= f−1

(n⋂

j=1

(−∞, qj]

)

= f−1(−∞, b] con b = mın qini=1

(12)n⋂

j=1

Fqj = Fb con b = mın qini=1 [(11)]

(13)n⋂

j=1

Fqj 6= ∅ [(12),(9)]

(14) Fqq>m es una familia de cerrados en X que satisface la P.I.F. [(10),(13)]

(15)⋂

q>m

Fq 6= ∅ [(1),(14),T.9.1.1]

(16) existe x0 ∈⋂

q>m

Fq [(15)]

(17) f (x0) 6 q para todo q ∈ (m,∞) [(16)]

(18) f (x0) 6 ınf (m,∞) [(17)]

(19) f (x0) 6 m [(18)]

(20) m ≤ f (x0) [(4)]

(21) f (x0) = m [(19),(20)]


(22) ınf f (X) ∈ f (X) [(4),(19),(21)]

ii)

(23) f : X → IR es semicontinua superior [Hip.]

(24) −f : X → IR es semicontinua inferior [(23)]

(25) −f alcanza su ınfimo [(23),(1),T.9.5.2]

(26) existe x0 ∈ X tal que (−f) (x0) = ınf (−f) (X) [(25)]

(27) ınf (−f) (X) = −sup f (X)

(28) existe x0 ∈ X tal que f (x0) = sup f (X) [(26),(27)]

(29) sup f (X) ∈ f (X) [(28)]

(30) f alcanza su supremo [(29)]

2

Corolario 9.5.1 Sea (X, τ ) un espacio compacto y sea f : X → (IR, τε) una funcion

continua, entonces f alcanza su ınfimo y su supremo.

Dem.

(1) Sea f : X → (IR, τε) una funcion continua [Hip.]

(2) f es semicontinua superior e inferior [(1)]

(3) f alcanza su supremo y su ınfimo [(2),T.9.5.2]

2

En el espacio producto, las proyecciones son funciones continuas, abiertas y, en

general, no son cerradas. Sin embargo, la proyeccion paralela a un factor compacto es

cerrada, hecho que se demuestra en el siguiente teorema.

Teorema 9.5.3 Sea (X, τX) un espacio compacto y sea pY : X×Y → Y la proyeccion

paralela al factor X, entonces pY es una funcion cerrada.

Dem.


(1) Sean (X, τX) un espacio compacto,

(2) pY : X × Y → Y la funcion proyeccion y

(3) F ⊆ X × Y cerrado en X × Y [Hip.]

(4) Sea y0 ∈ (pY (F ))c [Hip.]

(5) (x, y0) /∈ F para todo x ∈ X [(4)]

(6) X × y0 ∩ F = ∅ [(5)]

(7) X × y0 ⊆ F c, F c es abierto en X × Y [(6),(3)]

(8) para todo (x, y0) ∈ X × y0 existe U (x, y0) = U (x)× Ux (y0) ∈ Bπ

tal que U (x, y0) ⊆ F c [(7)]

(9) U (x)× Ux (y0)x∈X es un cubrimiento abierto de X × y0 [(8)]

(10) X × y0 es compacto [(1),E.9.1.1,T.9.2.1]

(11) existen x1, x2, ..., xn ∈ X tales que X × y0 ⊆n⋃

i=1

(U (xi) × Uxi (y0)) [(9),(10)]

(12)n⋂

i=1

Uxi (y0) = U (y0) ∈ U (y0) [(11)]

(13) Supongamos que U (y0) ∩ pY (F ) 6= ∅ [Hip.]

(14) existe y ∈ Y tal que y ∈ U (y0) e y ∈ pY (F ) [(13)]

(15) existe (x, y) ∈ F tal que pY (x, y) = y [(14)]

(16) existe xi ∈ X tal que x ∈ U (xi) [(15),(11)]

(17) (x, y) ∈ U (xi) × U (y0) y

U (xi) × U (y0) ⊆ U (xi) × Uxi (y0)

⊆n⋃

i=1

(U (xi) × Uxi (y0)) ⊆ F c [(14),(16),(12),(8)]

(18) (x, y) ∈ F y (x, y) ∈ F c, absurdo [(15),(17)]

(19) U (y0) ∩ pY (F ) = ∅ [(13),(18)]


(20) para todo y0 ∈ (pY (F ))c existe U (y0) tal que

U (y0) ⊆ (pY (F ))c [(4),(12),(19)]

(21) (pY (F ))c es abierto en Y [(20)]

(22) pY (F ) es cerrado en Y [(21)]

(23) pY : X × Y → Y es una funcion cerrada [(3),(22)]

2

Corolario 9.5.2 Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos tales que Y es compacto y

sea A ⊆ X. Si U es un entorno de A×Y en X×Y , entonces existe un entorno V ⊇ A

tal que V × Y ⊆ U.

Dem.

(1) Sean (X, τX ) , (Y, τY ) tales que Y es compacto,

(2) A ⊆ X y U un entorno de A× Y en X × Y [Hip.]

(3) la proyeccion paralela al factor compacto Y , pX : X × Y → X,

es cerrada [(1),(3),T.9.5.3]

(4) p−1X (A) = A× Y [(2)]

(5) p−1X (A) ⊆ U,U es abierto en X × Y [(2),(4)]

(6) existe V ∈ τX tal que A ⊆ V y p−1X (V ) ⊆ U [(3),(5),T.2.2.3]

(7) p−1X (V ) = V × Y [(3)]

(8) existe V ∈ τX tal que A ⊆ V y V × Y ⊆ U [(6),(7)]

2

Ya se ha demostrado que el grafico de una funcion continua en un espacio T2 es un

conjunto cerrado, para las funciones continuas definidas sobre espacios compactos se

verifica el siguiente teorema.


Teorema 9.5.4 Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos tales que Y es compacto y

T2, entonces f : X → Y es continua si, y solo si, el grafico de f es cerrado en X × Y.

Dem. Sea f : X → Y una funcion tal que

(1) Y es compacto e

(2) Y es T2 [Hip.]

(⇒)

(3) f : X → Y es continua [Hip.]

(4) Graf (f) es cerrado en X × Y [(3),(2),T.5.3.4]

(⇐)

(5) Graf (f) es cerrado en X × Y [Hip.]

(6) Sea F ⊆ Y cerrado en Y [Hip.]

i) f−1 (F ) ⊆ pX

(p−1

Y (F ) ∩Graf (f))

(7) Sea x ∈ f−1 (F ) luego f (x) = y ∈ F [Hip.]

(8) (x, y) ∈ Graf (f) , y ∈ F [(7)]

(9) (x, y) ∈ Graf (f) , (x, y) ∈ p−1Y (F ) [(8)]

(10) (x, y) ∈ Graf (f) ∩ p−1Y (F ) [(9)]

(11) x ∈ pX

(Graf (f) ∩ p−1

Y (F ))

[(10)]

(12) f−1 (F ) ⊆ pX

(p−1

Y (F ) ∩Graf (f))

[(7),(11)]

ii) pX

(p−1

Y (F ) ∩Graf (f))⊆ f−1 (F )

(13) Sea z ∈ pX

(p−1

Y (F ) ∩Graf (f))

[Hip.]

(14) existe y ∈ Y tal que (z, y) ∈ p−1Y (F ) ∩ Graf (f) [(13)]

(15) pY (z, y) = y ∈ F y f (z) = y [(14)]

(16) f (z) ∈ F , luego z ∈ f−1 (F ) [(15)]


(17) pX

(p−1

Y (F ) ∩ Graf (f))⊆ f−1 (F ) [(14),(16)]

(18) pX

(p−1

Y (F ) ∩ Graf (f))

= f−1 (F ) [(12),(17)]

(19) pX : X × Y → X es cerrada [(1),T.9.5.3]

(20) pY : X × Y → Y es continua [T.3.3.1]

(21) p−1Y (F ) ∩Graf (f) es cerrado en X × Y [(5),(6),(20)]

(22) pX

(p−1

Y (F ) ∩ Graf (f))

es cerrado en X [(19),(21)]

(23) f−1 (F ) es cerrado en X [(18),(22)]

(23) f es continua [(6),(23)]

2

9.6 Espacios localmente compactos

Existen espacios topologicos que no son compactos pero que tienen propiedades

muy importantes, ellos son, los espacios localmente compactos.

Definicion 9.6.1 Sea (X, τ ) un espacio topologico, A ⊆ X es relativamente compacto

si A es compacto.

Definicion 9.6.2 Un espacio topologico (X, τ ) es localmente compacto si todo punto

del espacio tiene un entorno relativamente compacto.

Esto es, (X, τ ) es localmente compacto si, y solo si, para todo x ∈ X existe U ∈ Ux tal

que U es compacto.

Observacion 9.6.1

1. Tambien se puede definir espacio localmente compacto como se detalla a conti-

nuacion:

(X, τ ) es localmente compacto si, y solo si, todo todo punto del espacio tiene

un entorno abierto relativamente compacto, esto es, si para todo x ∈ X existe

U (x) ∈ U (x) , U (x) es compacto.

2. Algunos autores definen espacio localmente compacto como un espacio T2 en el

que todo punto del espacio tiene un entorno relativamente compacto.


Definicion 9.6.3 Sea (X, τ ) un espacio topologico, A ⊆ X es localmente compacto en

X si lo es como subespacio.

Es decir, A ⊆ X es localmente compacto en X si, y solo si, para todo a ∈ A existe

UA (a) ∈ UA (a) , UA (a)A es compacto en A.

Ejemplo 9.6.1

1. (IR, τε) no es compacto pero si es localmente compacto.

En efecto.

(1) IR no es compacto [T.9.4.2]

(2) Sea x ∈ IR y sea U (x) = E (x, ε) , ε > 0 [Hip.]

(3) U (x) = E (x, ε) = [x− ε, x+ ε] [(2)]

(4) U (x) es compacto [(3),T.9.4.1]

(5) para todo x ∈ IR existe U (x) = E (x, ε) tal que U (x) compacto [(2),(4)]

(6) (IR, τε) es localmente compacto [(5)]

2. (IRn, τε) no es compacto pero si es localmente compacto.

En efecto.

(1) IRn no es compacto [Ej.9.6.1]

(2) Sea x ∈ IRn y sea U (x) = E (x, ε) , ε > 0 [Hip.]

(3) U (x) = E (x, ε) = E (x, ε) [(2)]

(4) U (x) es compacto [(3),T.9.4.3]

(5) para todo x ∈ IRn existe U (x) = E (x, ε) , U (x) es compacto [(2),(4)]

(6) (IRn, τε) es localmente compacto [(5)]

3. El espacio discreto infinito (X,D) no es compacto pero si es localmente compacto.

4. El conjunto IQ no es es localmente compacto en (IR, τε)


En efecto.

(1) Sea q ∈ IQ y sea UQ (q) un entorno basico de q [Hip.]

(2) UQ (q) = U (q) ∩ IQ con U (q) un basico de τε [(1)]

(3) UQ (q) = E (q, ε) ∩ IQ = (q − ε, q + ε) ∩ IQ [(2)]

(4) UQ (q)Q = UQ (q) ∩ IQ = [q − ε, q + ε] ∩ IQ [(3)]

(5) existe i ∈ II tal que q − ε < i < q < q + ε

(6) Sea Un =[i− 1

n, i+ 1

n

]c ∩ IQ =[(−∞, i− 1

n

)∪(i+ 1

n,∞)]

∩ IQ ∈ τQ

(7) [q − ε, q + ε] ∩ IQ ⊆⋃

n∈N

Un [(5),(6)]

(8) Unn∈N es un cubrimiento abierto de UQ (q)Q [(4),(6),(7)]

(9) del cubrimiento Unn∈N no se puede extraer un

subcubrimiento finito [(6)]

(10) UQ (q)Q no es compacto en IQ [(8),(9)]

(11) para todo q ∈ IQ, para todo entorno basico de q, UQ (q) ,

se verifica que UQ (q)Q no es compacto en IQ [(1),(10)]

(12) para todo q ∈ IQ, para todo entorno de q, UQ (q) , se verifica

que UQ (q)Q no es compacto en IQ [(11)]

(13) (IQ, τQ) no es es localmente compacto [(12)]

Formulaciones equivalentes de espacios localmente compactos

Teorema 9.6.1 Sea (Y, τ ) un espacio T2, las siguientes condiciones son equivalentes

i) Y es localmente compacto

ii) para todo y ∈ Y para todo U ∈ U (y) existe V ∈ U (y) , V ⊆ U y V es compacto


iii) para todo compacto C ⊆ Y, para todo U ∈ τ tales que C ⊆ U existe V ∈ τ con

C ⊆ V ⊆ V ⊆ U y V es compacto

iv) τ tiene una base formada por conjuntos relativamente compactos.

Dem.


i) ⇒ ii)

(2) Y es localmente compacto [Hip.]

(3) Sea y ∈ Y y sea U ∈ U (y) [Hip.]

(4) existe W (y) ∈ U (y) tal que W (y) es compacto [(2),(3)]

(5) H (y) = U ∩W (y) ∈ U (y) [(3),(4)]

(6) H (y) ⊆ W (y) ⊆ W (y) [(5)]

(7) H (y) es abierto en W (y) [(5),(6)]

(8) W (y) es T2 [(1),T.5.3.2]

(9) W (y) es T3 [(4),(8),T.9.3.4]

(10) existe E = EW (y) ∈ UW (y) tal que EW ⊆ H (y) [(7),(9),T.5.4.1]

(11) E = G∩ W con G ∈ τ [(10)]

(12) y ∈ G [(10),(11)]

(13) G ∈ U (y) [(11),(12)]

(14) V = G∩ W ∈ U (y) [(4),(13)]

(15) V = G ∩W = G ∩W ∩W = E ∩W

⊆ E ∩W = EW ⊆ H (y) ⊆ U (y) [(14),(11),(10),(5)]

(16) V ⊆ EW ⊆W ⊆ Y [(15)]

(17) V es cerrado en W [(16)]


(18) V es compacto en W [(17),(4),T.9.1.5]

(19) V es compacto en Y [(18),(16)]

(20) existe V ∈ U (y) tal que V ⊆ U y V es compacto [(14),(15),(19)]

(21) para todo y ∈ Y para todo U ∈ U (y) existe V ∈ U (y)

con V ⊆ U y V es compacto [(3),(20)]

ii) ⇒ iii)

(22) para todo y ∈ Y para todo U ∈ U (y) existe V ∈ U (y)

con V ⊆ U y V es compacto [Hip.]

(23) Sean C ⊆ Y compacto y

(24) U ⊆ Y abierto en Y tales que C ⊆ U [Hip.]

(25) c ∈ U para cada c ∈ C [(24)]

(26) U ∈ U (c), para cada c ∈ C [(24),(25)]

(27) para todo c ∈ C existe V (c) ∈ U (c) tal que V (c) ⊆ U

y V (c) es compacto [(22),(26)]

(28) V (c)c∈C es un cubrimiento abierto de C [(27)]

(29) existe un subcubrimiento finito V (ci)ni=1 de C [(23),(28)]

(30) C ⊆n⋃

i=1

V (ci) [(29)]

(31) W =n⋃

i=1

V (ci) ∈ τ [(28)]

(32) W =n⋃

i=1

V (ci) ⊆ U [(31),(27)]

(33) W es compacto [(27),(32)]

(34) existe W ∈ τ tal que C ⊆W ⊆ W ⊆ U y W es compacto [(31),(32),(33)]


(35) para todo compacto C ⊆ Y, para todo U ∈ τ tales que

C ⊆ U existe W ∈ τ, C ⊆ W ⊆W ⊆ U y W es compacto [(23),(24),(35)]

iii) ⇒ iv)

(36) para todo compacto C ⊆ Y, para todo U ∈ τ

tales que C ⊆ U existe W ∈ τ, C ⊆ W ⊆W ⊆ U y W es compacto [Hip.]

(37) y es compacto para todo y ∈ Y

(38) para todo y ∈ Y, para todo U ∈ τ tales que y ⊆ U existe W ∈ τ,

con y ⊆W ⊆ W ⊆ U y W es compacto [(36),(37)]

(39) para todo compacto y ∈ Y, para todo U ∈ U (y) existe W (y) ∈ τ,

con y ∈ W ⊆ U y W (y) es compacto [(38)]

(40) B = W (y)y∈Y ⊆ τ es base de τ [(39)]

(41) B es una base de τ formada por conjuntos relativamente compactos [(39),(40)]

iv) ⇒ i)

(42) τ tiene una base, B, formada por conjuntos relativamente compactos [Hip.]

(43) Sea y ∈ Y [Hip.]

(44) Y ∈ U (y) [(43)]

(45) existe U ∈ B, y ∈ U ⊆ Y [(42),(44)]

(46) U ∈ U (y) y U es compacto [(42),(45)]

(47) para todo y ∈ Y existe U ∈ U (y) tal que U compacto [(43),(46)]

(48) Y es localmente compacto [(47)]

2


Teorema 9.6.2 Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos tales que X es localmente

compacto e Y es T2. Si f : X → Y es una funcion continua, sobreyectiva y abierta,

entonces Y es localmente compacto.

Dem.

Sean (X, τX) , (Y, τY ) espacios topologicos y f : X → Y una funcion tales que

(1) X es localmente compacto,

(2) Y es T2,

(3) f es continua,

(4) abierta y

(5) sobreyectiva [Hip.]


(7) existe x ∈ X tal que f(x) = y [(5),(6)]

(8) existe U (x) ∈ U (x) tal que U (x) es compacto [(7),(1)]

(9) f (U (x)) ∈ τY , y ∈ f (U (x)) [(8),(4),(7)]

(10) f (U (x)) = U (y) ∈ U (y) [(9)]

(11) f (U (x)) ⊆ f(U (x)

)

(12) f(U (x)

)es compacto en Y [(3),(8)]

(13) f(U (x)

)es cerrado en Y [(2),(12)]

(14) f (U (x)) ⊆ f(U (x)

)[(11),(13)]

(15) f(U (x)

)⊆ f (U (x)) [(3)]

(16) f (U (x)) = f(U (x)

)[(14),(15)]

(17) U(y) = f (U (x)) es compacto en Y [(10),(16),(12)]


(18) para todo y ∈ Y existe U (y) ∈ U (y) tal que U (y) compacto [(6),(10),(17)]

(19) (Y, τY ) es localmente compacto [(18)]

2

Corolario 9.6.1 La imagen por una funcion continua y abierta de un espacio local-

mente compacto en un espacio T2, es un conjunto localmente compacto.

Subespacio localmente compacto de un espacio T2

Teorema 9.6.3 Todo subespacio localmente compacto de un espacio Y T2 es de la

forma V ∩ F con V abierto en Y y F cerrado en Y.

Dem.

(1) Sean Y un espacio T2 y

(2) A ⊆ Y localmente compacto [Hip.]

(3) para todo a ∈ A existe VA (a) ∈ UA (a) tal que VA (a)A compacto [(2)]

(4) para cada a ∈ A existe V (a) ∈ U (a) tal que VA (a) = V (a) ∩ A [(3)]

(5) V (a) ∈ τ para cada a ∈ A [(4)]

(6) V (a) ∩ A = VA (a) = VA (a) ∩ VA (a)A = V (a) ∩ A ∩ VA (a)A

= V (a) ∩(A ∩ VA (a)A

)= V (a) ∩ VA (a)A [(4)]

(7) V (a) ∩ A = V (a) ∩ VA (a)A para cada a ∈ A [(6)]

(8) VA (a)A es cerrado en Y para cada a ∈ A [(1),(3)]

(9) V (a) ∩ A es cerrado en V (a) para cada a ∈ A [(7),(8)]

(10) A es cerrado en⋃

a∈A

V (a) [(5),(9),T.1.5.4]

(11) A = F ∩( ⋃

a∈A

V (a)

)con F cerrado en Y [(10)]

(12)⋃

a∈A

V (a) ∈ τ [(5)]

(13) A = V ∩ F con V abierto en Y y F cerrado en Y [(11),(12)]

2


Subespacio localmente compacto de un espacio localmente com-

pacto T2

Teorema 9.6.4 Un subespacio A de un espacio Y localmente compacto y T2 es local-

mente compacto si, y solo si, A = V ∩ F con V abierto en Y y F cerrado en Y.

Dem.

(1) Sea A ⊆ Y siendo Y un espacio T2 y

(2) localmente compacto [Hip.]

(⇒)

(3) A = V ∩ F con V abierto en Y y F cerrado en Y [(1),T.9.6.3]

(⇐)

(4) A = V ∩ F con V abierto en Y y F cerrado en Y [Hip.]

(5) Sea a ∈ A [Hip.]

(6) a ∈ V y a ∈ F [(4),(5)]

(7) V ∈ U (a) [(4),(6)]

(8) existe U (a) ∈ U (a) tal que U (a) ⊆ V y U (a) es compacto [(2),(7),T.9.6.1]

(9) U (a) ∩A = UA (a) ∈ UA (a) [(8)]

(10) UA (a) = U (a) ∩A ⊆ U (a) ⊆ V [(8),(9)]

(11) UA (a)A = UA (a) ∩A = UA (a) ∩ V ∩ F = UA (a) ∩ F [(4),(10)]

(12) UA (a) es cerrado en Y

(13) UA (a)A es cerrado en Y [(11),(12),(4)]

(14) UA (a)A = UA (a) ∩A ⊆ UA (a) ⊆ U (a) [(9)]

(15) UA (a)A es cerrado en U (a) [(13),(14)]

(16) UA (a)A es compacto en U (a) [(15),(8)]

(17) UA (a)A es compacto en Y [(16)]


(18) para todo a ∈ A existe UA (a) ∈ UA (a) tal que UA (a)A

compacto en A [(5),(9),(17)]

(19) (A, τA) es localmente compacto [(18)]

2

9.7 Producto topologico de espacios localmente compactos T2

Teorema 9.7.1 Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos T2, las siguientes


i) el espacio producto

( ∏α∈A

Yα, τπ

)es localmente compacto

ii) a) (Yα, τα) es localmente compacto para todo α ∈ A,

b) salvo un numero finito de ındices, Yα es compacto.

Dem.

(1) Sea (Yα, τα)α∈A una familia de espacios topologicos T2 [Hip.]

i) ⇒ ii)

(2)∏

α∈AYα es localmente compacto [Hip.]

(3) para cada α ∈ A, la α−esima proyeccion, pα :∏

α∈AYα → Yα,

es continua sobreyectiva y abierta [T.3.6.1]

(4) (Yα, τα) es localmente compacto para todo α ∈ A [(1),(2),(3),T.9.6.2]

(5) Sea y = [yα]α∈A ∈∏

α∈AYα [Hip.]

(6) existe U (y) ∈ U (y) tal que U (y) compacto [(2),(5)]

(7) existe B ∈ Bπ tal que y ∈ B ⊆ U (y) [(6)]

(8) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que B =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα con Uαi ∈ ταi [(7)]


(9) B ⊆ U (y) y B es cerrado en∏

α∈AYα [(7)]

(10) B es cerrado en U (y) [(9)]

(11) B es compacto en U (y) ⊆∏

α∈AYα [(10),(6)]

(12) B es compacto en∏

α∈AYα [(11)]

(13) B =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα con Uαi ∈ ταi [(8),T.3.5.1]

(14) Yα es compacto para todo α 6= αi, i = 1, ..., n [(12),(13),T.9.2.1]

(15) Yα es compacto salvo un numero finito de ındices [(14)]

ii) ⇒ i)

(16) (Yα, τα) es localmente compacto para todo α ∈ A,

(17) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que Yα es compacto

para todo α 6= αi, i = 1, ..., n [Hip.]

(18) Sea y = [yα]α∈A ∈∏

α∈AYα [Hip.]

(19) yα ∈ Yα para cada α ∈ A [(18)]

(20) para cada α ∈ A existe Uα = U (yα) ∈ U (yα) tal que Uα compacto [(16),(19)]

(21) U =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα ∈ Bπ ⊆ τπ [(20)]

(22) U ∈ τπ [(21)]

(23) y ∈ U [(20),(21)]

(24) U ∈ U (y) [(22),(23)]

(25) U =n∏

i=1

Uαi ×∏

α6=αi

Yα [(21),T.3.5.1]

(26) U es compacto [(17),(20),T.9.2.1]


(27) para cada y ∈∏

α∈AYα existe U ∈ U (y) tal que U compacto [(18),(24),(26)]

(28)

( ∏α∈A

Yα, τπ

)es localmente compacto [(27)]

2

Observacion 9.7.1 Del Teorema 9.7.1 resultan inmediatas las siguientes propiedades:

1. Si para cada α ∈ A, Yα es localmente compacto y salvo un numero finito de

ındices Yα es compacto, entonces∏

α∈AYα es localmente compacto.

2. Para el caso finito se puede enunciar de la siguiente manera:

“Sea (Yi, τi)i∈Inuna familia finita de espacios topologicos T2, entonces el espacio

producto

(n∏

i=1

Yi, τπ

)es localmente compacto si, y solo si, (Yi, τi) es localmente

compacto para todo i = 1, ..., n”.

3. IRn es localmente compacto.

Teorema 9.7.2 Todo espacio localmente compacto T2 es completamente regular.

Dem.

(1) Sea (Y, τ ) un espacio localmente compacto y

(2) T2 [Hip.]

(3) (Y, τ ) es T1 [(2)]

(4) Sean y ∈ Y, A ⊆ Y cerrado tales que y /∈ A, A 6= ∅ [Hip.]

(5) y ∈ Ac, Ac ∈ τ [(4)]

(6) Ac ∈ U (y) [(5)]

(7) existe V1 ∈ U (y) , y ∈ V1 ⊆ V1 ⊆ Ac, V1 es compacto [(6),(1),(2),T.9.6.1]

(8) V1 es compacto, Ac ∈ τ y V1 ⊆ Ac [(7)]

(9) existe V2 ∈ τ, V1 ⊆ V2 ⊆ V2 ⊆ Ac, V2 es compacto [(8),(1),(2),T.9.6.1]

(10) V2 es T2 [(2)]


(11) V2 es compacto y T2 [(9),(10)]

(12) V2 es T4 [(11),T.9.3.5]

(13) y ∈ V2 [(7),(9)]

(14) y es cerrado en V2 [(3),(13)]

(15) Sea B = V2 − V1 = V2 ∩ V c1

(16) V c1 es cerrado en Y [(7)]

(17) B es cerrado en V2 [(15),(16)]

(18) Sea B ∩ y = V2 ∩ V c1 ∩ y = ∅ [(7),(15)]

(19) existe una funcion continua f : V2 → [0, 1] tal que f (y) = 1 ,

f (B) = 0 y 0 ≤ f(x) 6 1 para todo x ∈ V2 [(12),(14),(17),(18),L.de Uryshon]

(20) Sea F : Y → [0, 1] la funcion definida por F (z) =

f (z) si z ∈ V2

0 si z ∈(V2

)c

(21) Sea C =V2, V

c1

⊆ P (Y ) [Hip.]

(22) V2, Vc1 son conjuntos cerrados en Y [(7)]

(23) Y = V2 ∪ V2c ⊆ V2 ∪ V1

c ⊆ V2 ∪ V c1 [(9)]

(24) Y = V2 ∪ V c1 [(23)]

(25) F/V2= f [(20)]

(26) F/V2es continua [(25),(19)]

(27) V c1 = Y − V1 =

(V2 ∪ V2

c)− V1 =(V2 − V1

)∪ V2

c[(7),(9)]

(28) F/V c1

(x) = F (x) si, y solo si, x ∈(V2 − V1

)∪ V2

c[(27)]

(29) F (x) = f (x) = 0 si x ∈ V2 − V1 [(20),(15),(19)]

(30) F (x) = 0 si x ∈ V2c

[(20)]

(31) F/V c1

(x) = 0 para todo x ∈ V c1 [(28),(29),(30)]

(32) F/V c1

es continua [(31)]


(33) F es continua [(21),(22),(24),(26),(32)]

(34) F (y) = f (y) = 1 [(20),(13),(19)]

(35) F (A) ⊆ F(V2

c)= 0 [(9),(20)]

(36) F (A) = 0 [(4),(35)]

(37) existe una funcion continua F : Y → [0, 1] tal que F (y) = 1

y F (A) = 0 [(20),(33),(36)]

(38) Y es completamente regular [(3),(4),(37)]

2

9.8 Compactacion

Existen espacios topologicos que no son compactos, pero sin embargo pueden ser

“introducidos”o “sumergidos”en un espacio compacto por medio de una funcion.

Definicion 9.8.1 Una compactacion de un espacio topologico (X, τ ) , es un par(X, h

)

tal que:

1. X es compacto,

2. h : X → X es una funcion tal que h : X → h (X) es un homeomorfismo,

3. h (X) es denso en X.

Frecuentemente, se identifica X con h (X) , y se dice simplemente que X es una com-

pactacion de X.

Ejemplo 9.8.1

1. IR = IR ∪ −∞,∞ es una compactacion de IR

En efecto.

i) IR es compacto

(1) IR es homeomorfo a [−1, 1]

(2) [−1, 1] es compacto [T.9.4.1]


(3) IR es compacto [C.9.1.1]

ii) existe una funcion h : X → IR tal que h : IR → h (IR) es un homeomorfismo

(4) existe g : IR → (−1, 1) homeomorfismo [Ej.2.3.1]

(5) existe un homeomorfismo f : [−1, 1] → IR [(1)]

(6) f g : IR → IR es homeomorfismo [(4),(5)]

(7) existe h = f g tal que h : IR → h (IR) es homeomorfismo [(6)]

iii) h (IR) es denso en IR

(8) h (IR) = IR = IR

(9)(IR, h

)es una compactacion de IR [i),ii),iii)]

2. IR2 = IC = IR2 ∪ ∞ es una compactacion de IR2.

En este caso, agregandole un solo elemento que no esta en IR2 se obtiene un

espacio compacto que lo contiene a IR2 como subconjunto denso.

Teorema 9.8.1

i) Todo espacio localmente compacto T2 puede ser sumergido en un espacio X, com-

pacto y T2, como subespacio denso tal que X−X esta formado por un solo punto.

ii) Si X e Y son espacios topologicos que satisfacen i), entonces son homeomorfos,

es decir, la compactacion es unica salvo homeomorfismos.

Dem.

(1) Sea (X, τX) un localmente compacto y

(2) T2 [Hip.]

(3) Sean ∞ /∈ X, X = X ∪ ∞ y

(4) τX = τX ∪ Cc ∪ ∞ : C ⊆ X es compacto , es decir,

U ∈ τX si, y solo si, U ∈ τX o U = Cc ∪ ∞ con C ⊆ X compacto en X [Hip.]

I)(X, τX

)es un espacio topologico


(5) X ⊆ X [(3)]

(6) X 6= ∅

a) Si Uii∈I ⊆ τX , entonces⋃i∈I

Ui ∈ τX

(7) Sea Uii∈I ⊆ τX [Hip.]

Primer caso.

(8) Ui ∈ τX para todo i ∈ I

(9)⋃i∈I

Ui ∈ τX [(8),(1)]

(10)⋃i∈I

Ui ∈ τX si Ui ∈ τX para todo i ∈ I [(9),(4)]

Segundo caso.

(11) Ui = Cci ∪ ∞, Ci ⊆ X compacto, para todo i ∈ I

(12)⋃i∈I

Ui =⋃i∈I

(Cci ∪ ∞) =

(⋂i∈I

Ci

)c

∪ ∞ [(11)]

(13) Ci es cerrado en X para todo i ∈ I [(2),(11),C.9.3.1]

(14)⋂i∈I

Ci es cerrado en X y⋂i∈I

Ci ⊆ Ci para todo i ∈ I [(13)]

(15)⋂i∈I

Ci es cerrado en Ci para todo i ∈ I [(14)]

(16)⋂i∈I

Ci es compacto en Ci para todo i ∈ I [(15),(11),T.9.1.5]

(17)⋂i∈I

Ci es compacto en X [(16)]

(18)⋃i∈I

Ui ∈ τX si Ui = Cci ∪ ∞, Ci ⊆ X compacto,

para todo i ∈ I [(12),(17),(4)]

Tercer caso.

(19) existen j, k ∈ I tales que Uj ∈ τX y Uk = Cck ∪ ∞ con

Ck ⊆ X compacto


(20) Sean K = k ∈ I : Uk = Cck ∪ ∞ con Ck ⊆ X compacto en X y

J = j ∈ I : Uj ∈ τX

(21) I = J ∪K [(20),(4)]

(22)⋃i∈I

Ui =⋃j∈J

Ui ∪⋃

k∈K

Ui = U ∪ V con U ∈ τX y

V = Cc ∪ ∞ con C ⊆ X compacto [(20),(21),(10),(18)]

(23) U ∪ V = U ∪ (Cc ∪ ∞) = (U c ∩ C)c ∪ ∞ [(22)]

(24) C y U c son cerrados en X [(22),(2),C.9.3.1]

(25) U c ∩ C ⊆ C es cerrado en C [(24)]

(26) U c ∩ C ⊆ C es compacto en C [(25),(22),T.9.1.5]

(27) U c ∩ C es compacto en X [(26)]

(28) U ∪ V ∈ τX [(23),(27),(4)]

(29)⋃i∈I

Ui ∈ τX si existen j, k ∈ I tales que Uj ∈ τX y

Uk = Cck ∪ ∞ con Ck ⊆ X compacto [(19),(22),(28)]

(30) Si Uii∈I ⊆ τX, entonces⋃i∈I

Ui ∈ τX [(7),(10),(18),(29)]

b) Si Ui1 , Ui2 ∈ τX , entonces Ui1 ∩ Ui2 ∈ τX

(31) Sean Ui1 , Ui2 ∈ τX [Hip.]

Primer caso.

(32) Ui1, Ui2 ∈ τX

(33) Ui1 ∩ Ui2 ∈ τX [(32),(1)]

(34) Ui1 ∩ Ui2 ∈ τX si Ui1 , Ui2 ∈ τX [(33),(4)]

Segundo caso.

(35) Ui1 ∈ τX y Ui2 = Cc ∪ ∞ con C ⊆ X compacto

(36) Ui1 ∩ Ui2 = Ui1 ∩ (Cc ∪ ∞) = (Ui1 ∩ Cc) ∪ (Ui1 ∩ ∞)


= Ui1 ∩ Cc [(35),(3)]

(37) C es cerrado en X [(35),(2)]

(38) Ui1 ∩ Cc ∈ τX [(35),(37)]

(39) Ui1 ∩ Ui2 ∈ τX [(36),(38)]

(40) Ui1 ∩ Ui2 ∈ τX si Ui1 ∈ τX y Ui2 = Cc ∪ ∞

con C ⊆ X compacto [(39),(4)]

Tercer caso.

(41) Ui1 = Cc1 ∪ ∞ , Ui2 = Cc

2 ∪ ∞ con C1 y C2 compactos en X

(42) Ui1 ∩ Ui2 = (Cc1 ∩ Cc

2) ∪ ∞ = (C1 ∪ C2)c ∪ ∞ [(41)]

(43) C1 ∪ C2 es compacto en X [(41)]

(44) Ui1 ∩ Ui2 ∈ τX si Ui1 = Cc1 ∪ ∞ , Ui2 = Cc

2 ∪ ∞

con C1 y C2 compactos en X [(42),(43),(4)]

(45) Si Ui1, Ui2 ∈ τX , entonces Ui1 ∩ Ui2 ∈ τX [(31),(34),(40),(44)]

c) ∅, X ∈ τX

(46) X = X ∪ ∞ = (∅)c ∪ ∞ , con ∅ compacto en X [(3)]

(47) X ∈ τX [(46),(4)]

(48) ∅ ∈ τX [(4)]

(49) ∅, X ∈ τX [(47),(48)]

(50)(X, τX

)es un espacio topologico [(30),(45),(49)]

II)(X, τX

)es un espacio compacto

(51) Sea Uαα∈A ⊆ τX un cubrimiento abierto de X [Hip.]

(52) X =⋃

α∈AUα [(51)]

(53) Uα ∈ τX para todo α ∈ A [(51)]


(54) ∞ ∈ X [(3)]

(55) existe αo ∈ A tal que ∞ ∈ Uαo [(52),(54)]

(56) existe Co ⊆ X compacto tal que Uαo = Cco ∪ ∞ [(55),(4)]

(57) Co ⊆⋃

α∈AUα [(56),(5),(52)]

(58) Co es compacto en X [(56),(5),(4)]

(59) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que Co ⊆n⋃

i=1

Uαi [(53),(57),(58)]

(60) X = X ∪ ∞ = Co ∪ (Cco ∪ ∞)

= Co ∪ Uαo ⊆n⋃

i=1

Uαi ∪ Uαo [(56),(59)]

(61) existen α1, α2, ..., αn ∈ A tales que X =n⋃

i=0

Uαi [(60)]

(62)(X, τX

)es un espacio compacto [(51),(61)]

III)(X, τX

)es un espacio T2

(63) Sean x1, x2 ∈ X tales que x1 6= x2 [Hip.]

Primer caso.

(64) x1, x2 ∈ X

(65) existen U (x1) , U (x2) ∈ τX ⊆ τX tales que

U (x1) ∩ U (x2) = ∅ [(64),(2)]

(66) existen U (x1) , U (x2) ∈ τX tales que U (x1) ∩ U (x2) = ∅ [(65)]

Segundo caso.

(67) x1 ∈ X, x2 = ∞ ( o x1 = ∞, x2 ∈ X)

(68) existe U1 (x1) ∈ τX tal que U1 (x1) es compacto [(67),(1)]

(69) U2 =(U1 (x1)

)c

∪ ∞ ∈ τX , ∞ ∈ U2 [(68)]


(70) U2 ∈ U (∞) [(69)]

(71) U1 (x1) ∩ U2 = U1 (x1) ∩((U1 (x1)

)c

∪ ∞)

=(U1 (x1) ∩

(U1 (x1)

)c)∪ (U1 (x1) ∩ ∞) = ∅ [(68),(69)]

(72) existen U1 (x1) , U2 (∞) tales que U1 (x1) ∩ U2 (∞) = ∅ [(68),(69),(71)]

(73)(X, τX

)es un espacio T2 [(63),(66),(72)]

IV) existe una funcion h : X → X tal que h : X → h (X) es homeomorfismo

(74) Sean i : X → X definida por i (x) = x para todo x ∈ X y

(75) τ ′ la topologıa inducida por τX en X [Hip.]

(76) i : (X, τ ′) →(X, τX

)es continua [(74),(75),L.2.1.3]

(77) τ ′ = τX [(75),(4)]

(78) i : (X, τX) →(X, τX

)es continua [(76),(77)]

(79) X ∈ τX [(4)]

(80) i : (X, τX) →(X, τX

)es abierta [(79),L.2.2.2]

(81) i : (X, τX) →(i (X) , τi(X)

)es continua, abierta y biyectiva [(78),(80)]

(82) i : (X, τX) →(i (X) , τi(X)

)es un homeomorfismo [(81)]

V) i (X) = X es denso en X

(83) Sea U ∈ τX tal que U 6= ∅ [Hip.]

Primer caso.

(84) U ∈ τX , U 6= ∅

(85) U = U ∩ X

(86) U ∩ X 6= ∅ [(84),(85)]

Segundo caso.


(87) U = Cc ∪ ∞ con C ⊆ X compacto en X

(88) U ∩X = (Cc ∪ ∞) ∩X = Cc ∩X = Cc [(87)]

(89) Cc 6= ∅ [(87)]

(90) U ∩X 6= ∅ [(88),(89)]

(91) i (X) = X es denso en X [(83),(86),(90)]

(92)(X, i

)es una compactacion de X tal que X −X = ∞ [I),...,V)]

ii)

(1) Sean X e Y espacios topologicos que satisfacen la

condicion i) del Teorema 9.8.1 [Hip.]

(2) X = X ∪ ∞x [(1)]

(3) Y = Y ∪ ∞y [(1)]

(4) la funcion h : X → Y definida por h (x) =

x si x ∈ X∞y si x = ∞x

es un homoeomorfismo

(5) X e Y son espacios topologicos homeomorfos [(4)]

2

9.9 Compactacion de Stone-Cech

Antes de definir dicha compactacion, demostraremos algunos resultados que se uti-

lizaran luego.

Para cualquier espacio Y , sean IY el conjunto de todas las funciones continuas

f : Y → I, If : f ∈ IY una familia de intervalos unitarios indexados por la familia

IY y P Y =∏

f∈IY

If cuyos puntos se notaran por [tf ]f∈IY

Teorema 9.9.1 Si (Y, τ ) es un espacio completamente regular, entonces puede ser

inmerso en P Y , por medio de la funcion ρ : Y → P Y definida por ρ(y) = [f(y)]f∈IY ,

que es un homeomorfismo de Y en ρ(Y ) ⊆ P Y .


Dem.

Sean,

(1) (Y, τ ) un espacio completamente regular, [Hip.]

(2) P Y =∏

f∈IY

If [Hip.]

(3) ρ : Y → P Y definida por ρ(y) = [f(y)]f∈IY [Hip.]

(i) ρ es inyectiva

(4) Sean x, y ∈ Y : x 6= y [Hip.]

(5) (Y, τ ) es T1 [(1)]

(6) x es cerrado, y /∈ x [(4),(5)]

(7) Existe f : Y → I continua: f(y) = 1 y f(x) = 0 [(6),(1)]

(8) ρ(y) 6= ρ(x) [(3),(7)]

(9) ρ es inyectiva.

(ii) ρ es continua

(10) Sea pf :∏

f∈IY

If → If la f -esima proyeccion

(11) pf ρ : Y → If , esta definida por

pf (ρ(y)) = pf ([f(y)]f∈IY ) = f(y) para todo y ∈ Y [(2),(3), (10)]

(12) pf ρ = f [(11)]

(13) pf ρ es continua [(12)]

(14) ρ es continua [(13), T. 3.6.2 ]

(iii) ρ es abierta

(15) La flia. B = Vf : Vf = f−1((0, 1]), f ∈ IY es una base para τ

En efecto, sea

(15.1) Vf ∈ B [Hip.]

(15.2) Vf = f−1((0, 1]) [(15.1),(15)]

(15.3) f : Y → I es continua [(15),(15.2)]

(15.4) (0, 1] ∈ τε/(0,1]


(15.5) f−1((0, 1]) ∈ τ [(15.4),(15.3)]

(15.6) Vf ∈ τ [(15.5),(15.2)]

(15.7) Si Vf ∈ B ⇒Vf ∈ τ [(15.1),(15.6)]

(15.8) B ⊆ τ [(15.7)]

(15.9) Sea U ∈ τ , p ∈ U [Hip.]

(15.10) (Y, τ ) es T3 [(1),T.1.4.4]

(15.11) U ∈ U(p) [(15.9)]

(15.12) Existe V ∈ U(x) : V ⊆ V ⊆ U [(15.11),(15.10),T.1.4.3]

(15.13) Exista f : Y → I continua: f(p) = 1 y f(Vc) = 0 [(15.12),(1),D.1.4.6]

(15.15) p ∈ f−1((0, 1]) y f(U c) = 0 [(15.12),(15.13)]

(15.16) Sea x ∈ f−1((0, 1]) y supongamos que x ∈ UC [Hip.]

(15.17) f(x) ∈ (0, 1] y f(x) = 0

Absurdo [(15.14),(15.15)]

(15.18) Si x ∈ Vf ⇒ x ∈ U [(15.15),(15.14),(15.16)]

(15.19) Vf ⊆ U [(15.17)]

(15.20) Existe Vf ∈ B: p ∈ Vf ⊆ U [(15.14),(15.18)]

(15.21) B es base de τ [(18.8),(15.9),(15.19), T.9.9.1]

(16) Sea Vf0 ∈ B [Hip.]

(17) ρ(Vf0) =∏

f∈IY

f(Vf0) =∏

f∈IY

f(f−10 ((0, 1]))) =[tf ]f∈IY : tf0 > 0∩ρ(Y )

[(16),(15),(3)]

En efecto,

[tf ]f∈IY ∈∏

f∈IY

f(f−10 ((0, 1])

⇔ tf ∈ f(f−10 ((0, 1]) para todo f ∈ IY

⇔ para cada f ∈ IY existe yf ∈ f−10 ((0, 1]) : f(yf) = tf

⇔ para cada f ∈ IY existe yf : f0(yf) ∈ (0, 1] y tf = f(yf ).

Tomemos el caso particular f = f0

tf0 = f0(yf ) y f0(yf) ∈ (0, 1], luego tf0 > 0.

(18) ρ(Vf0) es abierto en ρ(Y ) [(17)]

(19) ρ/ρ(Y ) es abierta [(16),(18),T.1.2.2]

(20) Y ≈ ρ(Y ) ⊆ Y [(i),(ii),(iii), T.1.2.3]


2

Como Y y ρ(Y ) son homeomorfos, es evidente que para cualquier espacio Z, cada

funcion continua h : Y → Z es unicamente de la forma g ρ con g : ρ(Y ) → Z

continua.

Si Z es completamente regular, entonces tenemos:

Corolario 9.9.1 Sean Y, Z dos espacios completamente regulares y sea h : Y → Z

un funcion continua. Entonces existe una funcion continua H : P Y → PZ tal que el

diagrama

P YH - PZ

ρ

?

ρ1

?

Yh - Z

es conmutativo.

Dem.

Sean

(1) Y, Z dos espacios completamente regulares, [Hip.]

(2) h : Y → Z continua [Hip.]

(3) IZ el conjunto de todas las funciones continuas de Z en I,

IY el conj. de todas las as funciones continuas de Y en I, [Hip.]

(4) g ∈ IZ [Hip.]

(5) g h : Y → I continua [(2),(4),(3)]

(6) g h ∈ IY [(5),(3)]

(7) Sea hg :∏

f∈IY

If → Igh definida por hg([tf ]f∈IY ) = tgh [Hip.]

(8) pgh :∏

f∈IY

If → Igh la g h−esima proyeccion

(9) Sea [tf ]f∈IY ∈∏

f∈IY

If [Hip.]


(10) hg([tf ]f∈IY ) = tgh = pgh([tf ]f∈IY [(8),(7),(9)]

(11) hg = pgh [(9),(10)]

(12) hg es continua para cada g ∈ IZ [(4),(11),D.1.3.2]

(13) Sea H : P Y → PZ definida por H([tf ]f∈IY ) = [hg([tf ]f∈IY ]g∈IZ [Hip.]

(14) H es continua [(12),(13),C.1.3.1]

(15) Sea y ∈ Y [Hip.]

(16) Existen ρ : Y → P Y y ρ1 : Z → PZ definidas por

ρ(y) = [f(y)]f∈IY ,

ρ1(z) = [g(y)]g∈IZ

homeomorfismos de el domonio en la imagen [T.2.1]

(17) (H ρ)(y) = H(ρ(y)) = H([f(y)]f∈IY ) = [hg([f(y)]f∈IY )]g∈IZ = [g h(y)]g∈IZ

[(13),(16),(8)]

(18) (ρ1 h)(y) = ρ1(h(y)) = [g(h(y))]g∈IZ [(16)]

(19) H ρ = ρ1 h [(15),(17),(18)]

(20) (H ρ)(y) = H(ρ(y)) = ρ1(h(y)) ⊆ ρ1(Z) [(19),(2)]

(21) H(ρ(Y )) ⊆ H(ρ(Y )) ⊆ ρ1(Z) [(20),(14),T.1.2.1]

2

Compactacion

Sabemos que IR es un espacio completamente regular, no compacto, que puede ser

inmerso en un espacio compacto por alguno de estos metodos:

(1) Haciendo IR ≈ (−1, 1) ⊆ [−1, 1] por h(x) =x

1 + |x|

(2) Haciendo homeomorfo a IR con S1 =(x, y) ∈ IR2 : x2 +y2 = 1 por la proyeccion

estereografica.


El primer proceso se puede considerar como una compactacion de IR por la suma

de dos nuevos puntos, mientras que el segundo solo por la suma de uno.

Abstraeremos esta situacion, y daremos una generalizacion en la siguiente definicion

Definicion 9.9.1 Una compactacion de un espacio X es un par (X, h) con X com-

pacto y T2 y h un homeomorfismo de X en un subconjunto denso de X.

Frecuentemente identificamos X con h(X) ⊆ X y diremos simplemente que X es

una compactacion de X.

Solo espacios completamente regulares pueden ser compactados, ya que un subcon-

junto de un espacio compacto y T2 es completamente regular.

En esta seccion consideraremos un metodo de compactacion que se aplica en los

espacios completamente regulares.

Observacion 9.9.1 Por el Teorema 9.9.1, si X es completamente regular, entonces

existe una inmersion ρ : X → PX , donde PX es el producto cartesiano de intervalos

unitarios y por lo tanto es compacto.

Definicion 9.9.2 Si X es un espacio completamente regular, ρ : Y → P Y esta definida

por ρ(y) = [f(y)]f∈IY , con IY el conjunto de todas las funciones continuas f : Y → I,

entonces el par (B(X), ρ) con B(X) = ρ(X) se lama la compactacion de Stone-Cech

de X.

La Compactacion de Stone-Cech de un espacio completamente regular X tiene las


Teorema 9.9.2 (M.Stone-E.Cech) Sea X un es‘pacio completamente regular. en-

tonces se verifican las siguientes propiedades:

(i) Para cada espacio compacto Y y para cada funcion continua f : X → Y , existe

una unica funcion continua F : B(X) → Y tal que f = F ρ.


(ii) (Unicidad) Cualquier compactacion (X, h) de X que tenga la propiedad (i) es

homoemorfa a B(X), ya que existe un homeomorfismo de X en B(X) que es la

identidad sobre X.

(iii) B(X) es la mayor compactacion de X, esto es, si X es cualquier compactacion

de X, entonces X es homeomorfa a el espacio cociente de B(X).

Dem.

(i) Sean

(1) X un espacio completamente regular, [Hip.]

(2) f : X → Y continua con Y compacto [Hip.]

(3) Existe ρ : X → PX continua tal que ρ(X) ≈ X [(1),T.2.1]

(4) Existe ρ0 : Y → P Y continua tal que ρ0(Y ) ≈ Y [(2),T.2.1]

(5) Existe ϕ : B(X) → B(Y ) continua tal que el siguiente diagrama es conmu-

tativo

B(X)ϕ - B(X)

ρ

?

ρ0

?

Yf - X

[(1),(2),C.2.1]

(6) Y ≈ B(Y )

(7) Sea F = ρ−10 ϕ : B(X) → Y continua [(5),(4),(6)]

(8) B(Y ) = ρ(Y ) es compacto y T2

(9) Sea G : B(X) → Y continua: G/ρ(X) = F/ρ(X) [hip]

(10) Y es T2 y es compacto [(6),T.1.4.2,T.1.5.2]

(11) F = G [(9),(10),T.1.4.1]

(12) F es unica

(ii) (13) Sea (X, h) una compactacion de X tal que tiene la propiedad (i). [Hip.]

Consideraremos a X como un subconjunto de X y de B(X)

(14) Sea i : X → X la funcion identidad

(15) Existe una unica F : B(X) → X con F/X = i/X [(13),(14)]


(16) Existe una unica G : X → B(X) con G/X = i−1/X [(13),(14)]

(17) F G/X = i/X y G F/X = i/X

(18) F G = iX y G F = iB(X) [(17),T.1.4.1]

(19) F y G son homeomorfismos [(18)]

(20) B(X) ≈ X [(19),(16),(15)]

(iii) (21) Sea (X, h) compactacion de X [Hip.]

(22) Existe una unica funcion continua F : B(X) → X tal que

F/X = i con i : X → X la funcion identidad [(i)]

(23) B(X) es compacto y X es T2

(24) F (B(X)) es un conjunto cerrado [(22),(23),T.1.5.2,T.1.5.3]

(25) h(X) ⊆ F (B(X)) [(22)]

(26) F es sobre [(25),(24),(21)]

(27) F es cerrada [T.1.5.1,(22)]

(28) F es identificacion [(27),(22),(26),T.1.6.2]

(29) B(X)/K(F ) ≈ X [(28),T.1.6.1]

2

Observemos que el metodo de demostracion usado en (ii) se puede aplicar si X e Y

son espacios homeomorfos y completamente regulares, entonces cada homeomorfismo

h : X → Y se puede extender a un homeomorfismo H : B(X) → B(Y ). En particular,

espacios homeomorfos tienen compactaciones de Stone-Cech homeomorfas.

Ejemplos

Brindaremos los siguientes ejemplos para aclarar los conceptos

( • ) [0,1] no es la compactacion Stone-Cech de (0,1], ya que la funcion continua

x → sen1

xen el espacio compacto Y = [−1, 1] no tiene una extension continua

sobre [0,1].


( • ) Analogamente, [-1,1] no es la compactacion de (-1,1).

( • )La funcion x→ arctgx demuestra que S1 no es la compactacion Stone-Cech

de IR.

Para dar alguna idea sobre la naturaleza de la compactacion Stone-Cech tomaremos

un espacio simple como IN, y demostraremos:

Teorema 9.9.3

(a) (B.Popisil) ℵ(B(IN)) = 2c con c = ℵ(IR)

(b) (J.Novak) Si A es cualquier subconjunto cerrado infinito de B(IN), entonces

ℵ(A) = 2c

Dem.

(a)

Sea Ic =2ℵ(IN0)∏

i=1

Ii, entonces ℵ(Ic) = cc = 2ℵ(IN0)c = 2c. Como Ic =2ℵ(IN0)∏

i=1

Ii =2ℵ0∏i=1

Ii,

y ademas Ii es separable, entonces por el Teorema 8.5.1, Ic es separable, de lo que

se sigue que Ic tiene un conjunto denso numerable D. Luego se puede definir una

suryeccion continua ϕ : IN → D, que por el inciso (i) del Teorema 9.9.2 tiene una

extension continua ϕ : B(IN) → Ic. Como B(IN) es compacto, por el Teorema 9.1.3,

ϕ(B(IN)) es un compacto en Ic, luego ϕ(B(IN)) es un cerrado que contiene al denso

D, y por lo tanto, por el Teorema 1.3.4, ϕ(B(IN)) = Ic, entonces ϕ es sobre y por

consiguiente ℵ(B(IN)) ≥ ℵ(Ic) = 2c.

Por otra parte, como B(IN) es un subespacio de Ic entonces ℵ(B(IN)) 6 ℵ(Ic) = 2c,

por lo tanto ℵ(B(IN)) = 2c.

(b)

Sea A un subconjunto infinito y cerrado de B(IN). Como B(IN) es compacto y T2

entonces existe una familia Vn : n ∈ IN de subconjuntos disjuntos y abiertos de B(IN)

tal que A ∩ Vn 6= ∅ para cada n ∈ IN.

Sea an ∈ A ∩ Vn y definamos A0 = an : n ∈ IN ⊆ A

Es claro que A0 ≈ IN y que B(A0) ≈ B(IN); y demostraremos que B(A0) ≈ A0.


Como A0 ⊆ A se tiene A0 ⊆ A y aplicamos (a).

Sea Y cualquier espacio compacto, y f : A0 → Y cualquier funcion continua.

Definimos g : IN → Y por g(x) =

f(an) si x ∈ Vn ∩ IN

y0 si x ∈ IN −∞⋃

n=1

Vndonde y0 es cualquier

punto de Y .

Esta funcion es extendible a G : B(IN) → Y continua, luego G tambien es una

extension de f .

Como IN es denso en B(IN), tenemos an ∈ Vn = Vn ∩ IN para cada n ∈ IN, tambien

G(an) ∈ G(Vn ∩ IN) ⊆ G(Vn ∩ IN) = g(Vn ∩ IN) = f(an).

Esto demuestra en particular, que f se extiende sobre A0, ya que A0 es denso en

A0 y por el inciso (ii) delTeorema 9.9.2, tenemos que A0 ≈ B(A0). 2

Probaremos que el espacio B(IN) verifica las propiedades enunciadas en la siguiente

proposicion

Proposicion 9.9.1

(c) Sea E ⊆ IN el conjunto de los numeros pares y N ⊆ IN el conjunto de los numeros

impares. Entonces E ≈ N ≈ B(IN), B(IN) = E ∪N , y E ∩N = ∅.

(d) Existe un homeomorfismo h : B(IN) → B(IN) que satisface h(IN) = IN, h h = 1

y h(x) 6= x para cada x ∈ B(IN).

Dem.

(c)

Como cualquier funcion continua de E en un espacio compacto se puede extender

sobre B(IN) (primero la extendemos sobre IN), sabemos que E ≈ B(E) ≈ B(IN) y que

N ≈ B(N) ≈ B(IN).

Sea f : IN → I tal que f(x) =

0 si x ∈ E1 si x ∈ N

Esta funcion admite una extension F : B(IN) → I y resulta que E ⊆ F−1(0),

N ⊆ F−1(1) y ası E ∩N = ∅, finalmente de IN = E ∪N tenemos que

B(IN) = IN = E ∪ N = E ∪N .

(d)

Por (c) el homeomorfismo h : E → N definido por h(2n) = 2n−1 se puede extender

a un homeomorfismo q : V → N . La funcion H : B(IN) → B(IN) definido por:


H(x) =

q(x) si x ∈ Eq(x)−1 si x ∈ N

cumple las propiedades requeridas. 2

Usaremos (b),(d) para construir un ejemplo dado por J.Novak de un espacio K

compacto numerable y completamente regular tal que K ∗K no es compacto numer-

able.

Sea F la familia de todos los subconjuntos infinito numerable de B(IN), como

ℵ(B(IN)) =2c tenemos ℵ(F) =2c. F es un conjunto bien ordenado y tomaremos a

Γ como el menor ordinal de cardinal 2c.

Usaremos el principio de induccion para constuir un conjunto P ⊆ BIN que contiene

un conjunto de puntos de cada miembro de F tal que H(P ) ∩ P = ∅.Sea B ∈ F . Asumimos que PA ha sido definido para todo A < B ,ℵ(PA)< 2c,

PD ⊆ PA siempre que D < A y que H(PA) ∩ PA = ∅ para cada A.

Sea QB = ∪PA : A < B, tenemos que ℵ(QB)< 2c siempre que ℵ(B − B) =2c

existe un x ∈ B −B ⊆ B∗ tal que x /∈ H(QB).

Definimos PB = QB∪xB entonces ℵ(PB)< 2c, de (a) tenemos que H H = 1

y H(x) 6= x, para todo x ∈ BIN y H(PB) ∩ PB = ∅, ası siguiendo nuestro conjunto

buscado es P = ∪PB : B ∈ F.Sea K = P ∪H(IN). Luego K es un subespacio de B(IN) compacto numerable, que

contiene a un conjunto de puntos de cada subconjunto infinito numerable de B(IN).

Ahora tomemos K ∗K y ∆ =(n,H(n)) : n ∈ IN cerrado en K ∗K, observando

que si x ∈ K \H(IN), entonces H(x) /∈ P , de aqui resulta que ∆ es la interseccion de

la imagen de H con K ∗K.

Ademas ∆ no contiene al conjunto de puntos tal que para cada n ∈ H, (IN) ⊆ B(IN)

tiene un cerrado que no contiene a cualquier n∗ 6= n, H es una funcion de H(IN) en sı

mismo y cada (n,H(n)) tiene un cerrado que no contiene cualquier otro elemento de ∆.

Ası ∆ es un cerrado en K ∗K no numerable, luego K ∗K no es compacto numerable.

En particular, K no es compacto. Si notamos que H(IN) es denso en K, el espacio

K es un ejemplo de un espacio separable completamente regular compacto numerable

que no es un espacio compacto.

Entre los espacios completamente regulares los localmente compactos se caracteri-

zan por la posicion que ellos tienen en cada compactacion.

Proposicion 9.9.1 X es localmente compacto si, y solo si, para cualquier compactacion

(X, h), h : X → X es una funcion abierta.


Dem.

(⇐)

(1) h(X) es abierto en X: h(X) = X

(2) X es localmente compacto y T2

(3) h(X) = h(X) ∩ h(X)

(4) h(X) es localmente compacto

(⇒)

(5) h(X) es localmente compacto

(6) h(X) = G ∩ F con G ∈ τX y F ∈ τXcerr

(7) h(X) ⊆ F

(8) h(X) ⊆ F

(9) X ⊆ F

(10) h(X) = G

(11) h es abierta

2


9.10 Practico N o 9

Ejercicio 9.10.1 Sean (X, τ1) y (X, τ2) espacios topologicos. Pruebe que si (X, τ1) es

compacto y τ2 ⊆ τ1, entonces (X, τ2) es compacto.

Ejercicio 9.10.2 Pruebe que (X, τC) es compacto.

Ejercicio 9.10.3 Sea Mii∈In una familia de conjuntos compactos en el espacio topologico

(X, τ ). Pruebe que⋃

i∈In

Mi es un conjunto compacto en (X, τ ).

Ejercicio 9.10.4 Sean (X, τ ) un espacio topologico y (xn)n∈N una sucesion en X.

Pruebe que si xn →n→∞

x0, entonces A = xnn∈N ∪ x0 es compacto en X.

Ejercicio 9.10.5 Sean (X, τ ) un espacio topologico conexo y T2 y ∅ ⊂ A ⊂ X. Pruebe

que si A ∈ τ , entonces A no es compacto.

Ejercicio 9.10.6 Sea τ = ∅,R ∪ (−∞, a) : a ∈ R y A ⊆ R. Pruebe que si A

tiene un elemento maximal, entonces A es compacto.

Ejercicio 9.10.7 Sean (X, τ ) un espacio topologico T2 y Kn ⊆ X : Kn, n ∈ N.Pruebe que si Kn 6= ∅ y Kn+1 ⊆ Kn, para todo n ∈ N, entonces:

(a)⋂

n∈NKn 6= ∅.

(b) Si (X, τ ) es compacto y G ∈ τ tal que⋂

n∈NKn ⊆ G, entonces existe n0 ∈ N:

Kn0 ⊆ G

Ejercicio 9.10.8 Sean (X, τ ) un espacio topologico T2, C compacto en (X, τ ) y F ∈τcerr. Pruebe que C ∩ F es un conjunto compacto.

Ejercicio 9.10.9 Sean (X, τ ) un espacio topologico T2 y C compacto en (X, τ ). Pruebe

que Fr(C) es un conjunto compacto.

Ejercicio 9.10.10 Sea (X, τ ) un espacio topologico T3 y A compacto en (X, τ ). Pruebe

que si U ∈ τ tal que A ⊆ U , entonces existe V ∈ τ tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U .

Ejercicio 9.10.11 Sean f : (X, τX ) → (Y, τY ) una funcion e (Y, τY ) un espacio

topologico compacto. Pruebe que si B es una b.d.f. en (X, τX ), entonces⋂

C∈Bf(C) 6= ∅


Ejercicio 9.10.12 Sea (X, τ ) un espacio topologico T2 y numerable. Pruebe que si

Y ⊆ X es compacto numerable, entonces Y ∈ τcerr.

Ejercicio 9.10.13 Pruebe las propiedades siguientes:

(a) Si B es relativamente compacto y A ⊆ B, entonces A es relativamente compacto.

(b) La union finita de conjuntos relativamente compactos, es un conjunto relativa-

mente compacto.

Ejercicio 9.10.14 Sea (X, τ ) un espacio localmente compacto. Pruebe que si A ⊆ X

es compacto, entonces existe G ∈ τ tal que A ⊆ G y G es relativamente compacto.

Ejercicio 9.10.15 Pruebe las propiedades siguientes:

(a) Si (X, τ ) es compacto, entonces es un espacio localmente compacto.

(b) Si X es infinito, entonces (X,D) es un espacio localmente compacto.

(c) Si (X, τ ) es localmente compacto y B ∈ τcerr, entonces B es localmente compacto.

(d) Si (Xi, τi) es localmente compacto, para todo i ∈ In, entonces

(∏i∈In

Xi, τπ

)es

localmente compacto.


10 Espacios compactos numerables, pseudocompactos,

σ-compactos, k−espacios y espacios de Baire

10.1 Espacios compactos numerables

En esta seccion se generaliza el concepto de espacio compacto.

Definicion 10.1.1 Un espacio topologico (Y, τ ) es compacto numerable si todo cubri-

miento abierto numerable de Y admite un subcubrimiento finito.

Observacion 10.1.1

1. Todo espacio compacto tiene la propiedad de que todo cubrimiento abierto, en

particular, los numerables, admite un subcubrimiento finito, luego todo espacio

compacto es compacto numerable. La recıproca, en general, no se verifica.

2. Los espacios compactos numerables estan caracterizados por el comportamiento

de las sucesiones en lugar de las bases de filtro, como se muestra a continuacion:


i) (Y, τ ) es compacto numerable

ii) Todo subconjunto infinito numerable de Y tiene al menos un punto de acumu-

lacion (Propiedad de Bolzano Weierstrass)

iii) Toda sucesion en Y tiene un punto de aglomeracion.

Dem.


i) ⇒ ii)

(2) Supongamos que existe A ⊆ Y tal que card (A) = ℵ0 tal que

(3) A′ = ∅ [Hip.]

(4) ai /∈ A′ para todo ai ∈ A [(3)]

(5) para todo ai ∈ A existe U (ai) tal que U (ai) ∩A− ai = ∅ [(4)]


(6) para todo ai ∈ A existe U (ai) : U (ai) ∩A = ai [(6)]

(7) A ⊆⋃

ai∈A

U (ai) [(6)]

(8) A′ ⊆ A, entonces A es cerrado en Y [(3),L.1.3.5]

(9) Y = A ∪Ac =⋃

ai∈A

U (ai) ∪Ac [(7)]

(10) U (ai)i∈N ∪ Ac es un cubrimiento abierto numerable de Y [(8),(9)]

(11) Cada ai ∈ A pertenece a un solo elemento de la familia

U (ai)i∈N ∪ Ac , precisamente a U (ai) [(6)]

(12) existe un cubrimiento abierto numerable de Y del cual no

se puede extraer un subcubrimiento finito [(10),(11)]

(13) Y no es compacto numerable [(12)]

ii) ⇒ iii)

(14) Todo subconjunto infinito numerable de Y tiene al menos

un punto de acumulacion [Hip.]

(15) Sea ϕ : IN → Y una sucesion en Y [Hip.]

(16) A =Imϕ = ϕ (n) : n ∈ IN ⊆ Y [(15)]

Primer caso.

(17) A es infinito numerable

(18) A tiene al menos un punto de acumulacion [(14),(16),(17)]

(19) existe y0 ∈ Y tal que y0 ∈ A′ [(18)]

(20) todo entorno de y0 contiene infinitos puntos de A [(19),(1),T.5.3.3]

(21) U (y0) ∩A es un conjunto infinito para todo U (y0) ∈ U (y0) [(20)]

(22) para todo U (y0) para todo n ∈ IN existe n′ ≥ n tal que


ϕ (n′) ∈ U (y0) [(21),(16)]

(23) existe y0 ∈ Y tal que ϕ y0 [(22)]

Segundo caso.

(24) A es un conjunto finito

(25) ϕ (n) : n ∈ IN es un conjunto finito [(24),(16)]

(26) existe y0 ∈ Y tal que ϕ (n) = y0 para un numero infinito de n ∈ IN [(25)]

(27) n ∈ IN : ϕ (n) = y0 es un conjunto infinito [(26)]

(28) para todo n ∈ IN existe n′ ≥ n tal que ϕ (n′) = y0 [(27)]

(29) para todo U (y0) para todo n ∈ IN existe n′ ≥ n tal que

ϕ (n′) ∈ U (y0) [(28)]

(30) existe y0 ∈ Y : ϕ y0 [(29)]

iii) ⇒ i)

(31) Toda sucesion en Y se aglomera en algun punto de Y [Hip.]

(32) (Y, τ ) no es compacto numerable [Hip.]

(33) existe un cubrimiento abierto numerable Unn∈N de Y

que no admite un subcubrimiento finito [(32)]

(34) Y 6⊆n⋃

i=1

Ui para todo n ∈ IN [(33)]

(35) para cada n ∈ IN existe yn ∈ Y −n⋃

i=1

Ui [(34)]

(36) Sea ϕ : IN → Y la sucesion definida por ϕ (n) = yn si y solo

si yn ∈ Y −n⋃

i=1

Ui [(35)]

(37) existe y0 ∈ Y tal que ϕ y0 [(31),(35)]


(38) y0 ∈⋃

n∈N

Un [(33),(37)]

(39) existe n0 ∈ IN tal que y0 ∈ Un0 [(38)]

(40) Un ∈ τ para todo n ∈ IN [(33)]

(41) Un0 ∈ U (y0) [(39),(40)]

(42) para todo n ∈ IN existe m ≥ n tal que ϕ (m) ∈ Un0 [(41),(37)]

(43) para todo n ∈ IN existe m ≥ n tal que ym ∈ Un0 [(42),(36)]

(44) existe m1 ≥ n0 tal que ϕ (m1) = ym1 ∈ Un0 [(43)]

(45) ym1 ∈ Y −m1⋃i=1

Ui =m1⋂i=1

(Ui)c [(36),(44)]

(46) ym1 /∈ Ui para todo i ≤ m1 [(45)]

(47) ym1 /∈ Un0 [(44),(46)]

(48) ym1 ∈ Un0 ∩ (Un0)c, absurdo [(44),(47)]

(49) (Y, τ ) es compacto numerable [(32),(48)]

2

Propiedades de los espacios compactos numerables

Algunas de las propiedades invariantes de los espacios compactos numerables estan

dadas en el siguiente teorema.

Teorema 10.1.2

i) La imagen por una funcion continua de un espacio compacto numerable es com-

pacto numerable.

ii) Un subespacio cerrado de un espacio compacto numerable es compacto numerable.

iii) Si (X, τ ) es un espacio T2 que verifica el primer axioma de numerabilidad y

A ⊆ X es compacto numerable, entonces A es cerrado.


Continuaremos con el estudio de las propiedades de los espacios compactos nume-

rables, para ello consideremos previamente la siguiente definicion.

Definicion 10.1.2 Un espacio topologico es metacompacto si todo cubrimiento abierto

del espacio tiene un refinamiento abierto puntualmente finito.

Teorema 10.1.1 Sea (Y, τ ) un espacio topologico. Entonces las siguientes condiciones

son equivalentes:

(i) (Y, τ ) es compacto,

(ii) (Y, τ ) es compacto numerable y metacompacto.

Dem.

(i)=⇒ (ii)

(1) Sea (Y, τ ) un espacio compacto. [Hip.]

(2) (Y, τ ) es compacto numerable. [(1)]


(4) Existe un subcubrimiento Uαini=1⊂Uαα∈A tal que Y =

n⋃i=1

Uαi, [(1), (3)]

(5) Uαini=1 es un refinamiento abierto finito de Uαα∈A, [(4)]

(6) Uαini=1 es un refinamiento abierto puntualmente finito de Uαα∈A, [(5)]

(7) (Y, τ ) es un espacio metacompacto. [(3), (6)]

(ii) =⇒ (i)

Sean

(1) (Y, τ ) un espacio compacto numerable y metacompacto, [Hip.]


(2) Uαα∈Aun cubrimiento abierto de Y . [Hip.]

(3) Uαα∈A tiene un refinamiento abierto puntualmente finito Vββ∈B, [(1), (2)]

(4) Vββ∈B es un cubrimiento abierto puntualmente finito de Y , [(2), (3)]

(5) Vββ∈B tiene un subcubrimiento irreducible, Vγγ∈G. [(4), Teorema 8.1.2 ]

(6) Para cada Vγ ∈ Vγγ∈G existe yr tal que:

(i) yγ ∈ Vγ ,

(ii) yγ /∈ Vβ para todo β ∈ G, β 6= γ.


(7) la familia Vγγ∈G no es finita. [Hip.]

(8) B = yγγ∈G no es finito [(6), (7)]

(9) B′ = ∅.

En efecto, sea

(9.1) y ∈ Y . [Hip.]

(9.2) Existe Vγ ∈ Vγγ∈G tal que y ∈ Vγ, [(5), (9.1)]

(9.3) Vγ ∈ U (y), [(5), (9.2)]

(9.4) Vγ ∩B = yγ, [(6)]

(9.5) Vγ ∩B es finito. [(8), (9.4)]

(9.6) Para todo y ∈ Y existe U (y) tal que U (y) ∩ B es

un conjunto finito. [(9.1), (9.3), (9.5)]

(9.7) Para todo y ∈ Y , y /∈ B′, [(1), (9.6), T.5.3.2(iii) ]

(9.8) B′ = ∅. [(9.7)]

(10) Existe B ⊆ Y infinito tal que B′ = ∅, [(8), (9)]

(11) (Y, τ ) no es compacto numerable. [(10), T.10.1.1]

(12) (11) y (1) se contradicen.


(13) Vγγ∈G es un conjunto finito, [(7), (12)]

(14) Vγγ∈G = Vini=1. [(13)]

(15) Para cada i ∈ In existeUαi tal que Vi ⊆ Uαi , [(3), (4), (5)]

(16) Y =n⋃

i=1

Vi ⊆n⋃

i=1

Uαi ⊆ Y , [(2), (5), (15)]

(17) Uαini=1 es un subcurimiento finito de Uαα∈A, [(16)]

(18) (Y, τ ) es compacto. [(1), (2), (17)]

2

Corolario 10.1.1 Sea (Y, τ ) un espacio paracompacto y Haussdorf. Entonces las si-

guientes condiciones son equivalentes:

(i) (Y, τ ) es compacto,

(ii) (Y, τ ) es compacto numerable.

Dem.

(i)⇒ (ii) es inmediato.

(ii)⇒ (i)


(1) (Y, τ ) un espacio es paracompacto, [(Hip.)]

(2) (Y, τ ) un espacio es Hausdorff, [Hip.]

(3) (Y, τ ) un espacio es compacto numerable. [Hip.]

(4) SeaUαα∈A un cubrimiento abierto de Y . [Hip.]

(5) Uαα∈A tiene un refinamiento abierto localmente finito Vββ∈B. [(1), (4)]

(6) Sea y ∈ Y . [Hip.]

(7) Existe U (y) ∈ U (y) y existen β1, β2, ..., βn ∈ B tal que:

(i) U (y) ∩ Vβi 6= ∅ para todo 1 6 i 6 n,


(ii) U (y) ∩ Vβ = ∅ para todo β 6= βi [(5), (6)]

(8) y /∈ Vβ para todo β 6= βi [(7)(ii)]

(9) Y =⋃

β∈BVβ [(4), (5)]

(10) Existe 1 6 j 6 n tal que y ∈ Vβj [(7), (8), (9)]

(11) Vββ∈B es una familia puntualmente finita [(6), (8), (10)]

(12) Vββ∈B es un refinamiento abierto puntualmente finito

de Uαα∈A [(5), (11)]

(13) Y es metacompacto, [(2), (4), (12)]

(14) Y es compacto. [(2), (3), T. 10.1.1]

2

Proposicion 10.1.1 Sea (Y, τ ) un espacio un espacio Lindeloff. Entonces las siguien-

tes condiciones son equivalentes:

(i) Y es compacto numerable,

(ii) Y es compacto.

Dem.

(ii) ⇒ (i) es inmediato.

(i)⇒(ii)

(1) (Y, τ ) un espacio Lindeloff. [Hip.]

(2) Y es Hausdorff, [(1)]

(3) Y es compacto numerable, [Hip.]

(4) Sea Uαα∈A un cubrimiento abierto de Y [Hip.]

(5) Uαα∈A tiene un subcubrimiento numerable Uαnn∈IN

(6) Uαnn∈IN es un cubrimiento abierto numerable de Y . [(5)]

(7) ExisteUαj

n

j=1⊆ Uαnn∈IN tal que Y =

n⋃j=1

Uαj , [(3), (6)]


(8) Uαnn∈IN tiene un subcubrimiento finito, [(7)]

(9) Y es compacto. [(2), (4), (8)]

2

Proposicion 10.1.2 Todo espacio compacto numerable y Hausdoff que verifica el primer

axioma de numerabilidad es regular.

Dem.


(1) (Y, τ ) es compacto numerable, [Hip.]

(2) (Y, τ ) es Hausdorff, [Hip.]

(3) (Y, τ ) verifica el primer axioma de numerabilidad. [Hip.]

(4) Sean y ∈ Y , U ∈ U (y). [Hip.]

(5) Existe una base a lo sumo numerable By = Vnn∈IN de la familia

de entornos Uy tal que Vn+1 ⊂ Vn para todo n ∈ IN, [(3), (4), L. 6.3.1]

(6) y =⋂

U∈Uy

U . [(2), (4)]

(7) Para cada U ∈ Uy existe Vn(U) ∈ By tal que Vn(U) ⊆ U , [(5)]

(8)⋂

U∈Uy

Vn(U) ⊆⋂

U∈Uy

U = y, [(6), (7)]

(9) y ⊆⋂

n∈INVn [(5), (By ⊆ Uy)]

⊆⋂

U∈Uy

Vn(U)

⊆ y, [(8)]

(10) y =⋂

n∈INVn [(9)]

(11) U⋃

Y \ Vn

n∈IN es un cubrimiento abierto numerable de Y .


En efecto,

Y = y⋃

(Y \ y)

⊆ U⋃

(Y \⋂

n∈INVn) [(4), (10)]

⊆ U⋃ ⋃

n∈IN(Y \ Vn).

⊆ Y .

(12) U⋃

Y \ Vn

tiene un subcubrimiento finito, [(1), (11)]

(13) existe n ∈ IN tal que Y = U⋃ n⋃

i=1

CVi, [(12)]

(14) Vn ⊆n⋂

i=1

Vi, [(5)]

(15) Vn 6⊆ Y \n⋂

i=1

Vi, [(14), (11)]

(16) Vn ⊆ U . [(13), (15)]

(17) Sea V = Vn. [Hip.]

(18) Existe V ∈ Uy tal que V ⊆ U , [(5), (16), (17)]

(19) (Y, τ ) es regular [(2), (17)]

2

Teorema 10.1.2 Sea (Xi, τi)i∈IN una familia numerable de espacios topologicos tal

que para todo i ∈ IN, (Xi, τi) es primero numerable. Entonces las siguientes condi-


(i)∞∏i=1

Xi es compacto numerable,

(ii) Xi es compacto numerable para todo i ∈ IN.

Dem.

(i)⇒ (ii)


(1) Sea (Xi, τi)i∈IN una familia numerable de espacios topologicos tal que: [Hip.]

(2)∞∏i=1

Xi es compacto numerable. [Hip.]

(3) pi :∞∏i=1

Xi −→ Xi es una funcion continua y sobreyectiva, [prop. proyecciones]

(4) pi

(∞∏i=1

Xi

)= Xipara todo i ∈ IN, [(3)]

(5) Xi es compacto numerable para todo i ∈ IN. [(3), (4), T.10.1.2 ]

(ii )⇒ (i)

(1) Sea (Xi, τi) una familia de espacios topologicos tales que:

(i) para todo i ∈ IN, (Xi, τi) es primero numerable,

(ii) para todo i ∈ IN, (Xi, τi) es compacto numerable. [Hip.]

Usaremos el proceso de diagonalizacion de Cantor para mostrar que cada sucesion

ϕ : IN −→∞∏i=1

Xi tiene un punto de aglomeracion.

Sean

(2) ϕ : IN −→∞∏i=1

Xi una sucesion en el∞∏i=1

Xi, [Hip.]

(3) pn :∞∏i=1

Xi −→ Xn la n-esima proyeccion .[Hip.]

(4) p1 ϕ : IN −→ X1 es una sucesion en X1 [(2), (3)]

(5) Existe x01 ∈ X1 tal que p1 ϕ x0

1 [(1)(ii), (4)]

(6) Existe una subsucesion ϕ1 de ϕ tal que p1 ϕ1 −→ x01.

En efecto,

(6.1) existe una subsucesion ϕ’1 de p1 ϕ1 tal que ϕ’1 −→ x01e [(1i), (5), T.6.3.2 ]


(6.2) Existe i1 : IN −→ IN monotona creciente talque p1 ϕ i1 = ϕ’1. [(6.1)]

(6.3) Sea ϕ1 = ϕ i1 [Hip.]

(6.4) ϕ1 : IN −→∞∏i=1

Xi es subsucesion de ϕ [(6.2), (6.3)]

(6.5) p1 ϕ1 −→ x01 [(6.1), (6.2), (6.3)]

(6.6) Exsiste una subsucesion ϕ1 de ϕ tal que p1 ϕ1 −→ x01 [(6.4), (6.5)]

(7) p2 ϕ1 : IN −→ X2 es una sucesion en X2

(8) Existe x2 ∈ X2 tal que p2 ϕ1 x02 [(7), (1)(ii)]

(9) Existe ϕ2 subsucesion de ϕ1 tal que p2 ϕ2 −→ x02 [(8), procedimiento analogo]

(10) Procediendo por induccion obtenemos una familia ϕnn∈IN tal que:

(i) para todo n ∈ IN, ϕn es subsucesion de ϕ,

(ii) para todo n ∈ IN, ϕn+1 es subsucesion de ϕn,

(iii) para todo n ∈ IN pn ϕn −→ x0n, para algun x0

n ∈ Xn.

(11) Sea ahora la sucesion ϕ : IN −→∞∏i=1

Xi definida por

ϕ (n) = ϕn (n) para todo n ∈ IN [Hip.]

(12) ϕ es subsucesion de ϕ [(11)]

(13) Sean U (ϕ) = ϕ (Tk)k∈IN, U (ϕn) = ϕn (Tk)k∈IN,

donde Tk = s ∈ IN : k 6 s, las bases de filtros asociadas

a ϕ y ϕ respectivamente. [Hip.]

(14) U (ϕ) ` U (ϕn) para todo n ∈ IN.

En efecto, sean

(14.1) n ∈ IN, A ∈ U (ϕn). [Hip.]

(14.2) Existe k ∈ IN tal que A = ϕn (Tk) [(13), (14.1)]

(14.3) ϕ (Tk) = ϕ(s) : k 6 s

= ϕs(s) : k 6 s


⊆ ϕk(s) : k 6 s [(k 6 s), (10)]

= ϕk (Tk)

(14.4) Se puede presentar:

(i) k ≥ n,

(ii) k < n.

Supongamos que

(14.5) k ≥ n [(14)(i)]

(14.6) ϕk es subsucesion de ϕn [(14.5)]

(14.7) ϕk(Tk) ⊆ ϕn(Tk) [(14.6)]

(14.8) ϕ(Tk) ⊆ ϕn(Tk) [(14.3), (14.7)]

Supongamos ahora que

(14.9) k < n [(14)(ii)]

(14.10) Tn ⊆ Tk [(14.9)]

(14.11) ϕn(Tn) ⊆ ϕn(Tk) [(14.10)]

(14.12) ϕ(Tn) = ϕ(s) : n 6 s

= ϕs(s) : n 6 s

⊆ ϕn(s) : n 6 s [ϕs es subsucesion de ϕn]

= ϕn(Tn)

(14.13) ϕ(Tn) ⊆ ϕn(Tk) [(14.11), (14.12)]

(14.14) Para todo A ∈ U (ϕn) existe B ∈ U (ϕ) tal que B ⊆ A, donde

A = ϕn(Tk),

B =

ϕ (Tk) si k ≥ n,ϕ (Tn) si k < n.

[(14.1), (14.8), (14.13)]

(14.15) U(ϕ) ` U (ϕn) para todo n ∈ IN [(14.1), (14.8), (14.13)]

(15) para todo n ∈ IN,

pn(U(ϕn)) y pn(U(ϕ)) son b.d.f. en Xn y

pn(U(ϕ)) ` pn(U(ϕn)) [(14), L.6.2.3]

(16) pn(U(ϕ)) = pn(A) : A ∈ U(ϕ)


= pn(ϕ(Tk)), k ∈ IN

= (pn ϕ)(Tk), k ∈ IN

= U(pn ϕ)

(17) pn(U(ϕn)) = pn(A) : A ∈ U(ϕn)

= pn(ϕn(Tk)), k ∈ IN

= (pn ϕn)(Tk), k ∈ IN,

(18) U(pn ϕ) ` U(pn ϕn), [(15),( 16), (17)]

(19) U(pn ϕn) −→ x0n para algun x0

n ∈ Xn , para todo n ∈ IN, [(10)(iii), E.6.2.2 ]

(20) U(pn ϕ) −→ x0n para todo n ∈ IN, [(18), (19), T.6.2.3(ii)]

(21) pn ϕ −→ x0n para todo n ∈ IN, [(20), E.6.2.2]

(22) ϕ −→ [x0n]n∈IN en

∞∏n=1

Xn, [(21), T.6.2.8]

(23) ϕ [x0n]n∈IN en

∞∏n=1

Xn, [(22), L.6.2.3]

(24) U(ϕ) ` U(ϕ), [(12) ]

(25) U(ϕ) [x0n]n∈IN, [(23), E.6.2.2]

(26) U(ϕ) [x0n]n∈IN, [(18), (25), T. 6.2.3]

(27) ϕ [x0n]n∈IN, [(26), E.6.2.2 ]

(28)∞∏

n=1

Xn es compacto numerable. [(2), (27)]

2


10.2 Espacios pseudocompactos.

Es claro que toda funcion real f : Y −→ IR continua definida sobre un eapacio

Y compacto numerable es acotada, ya que el cubrimiento abierto numerable de Y

formado por los conjuntos y ∈ Y : |f(y)| < n = f−1(−n, n), con n ∈ IN tiene un

subcubrimiento finito.

Este comportamiento de las funciones continuas reales en los espacios compactos

numerables motiva una extension de esta nocion a otros espacios.

Definicion 10.2.1 Un espacio Hausdorff (Y, τ ) se dice pseudocompacto si toda funcion

real continua definida sobre Y es acotada.

Ejemplo 10.2.1 Todo espacio compacto numerable es pseudocompacto.

Formulaciones equivalentes de la pseudocompacidad en espa-cios completamente regulares

Se puede esperar que la pseudocompacidad sea significativa en los espacios comple-

tamente regulares, donde hay suficientes funciones continuas no constantes.Para estos

espacios tenemos formulaciones equivalentes.

Teorema 10.2.1 Sea Y un espacio completamente regular. Las siguientes propiedades

son equivalentes:

(i) Y es pseudocompacto.

(ii) Si Vnn∈IN es una sucesion decreciente de conjuntos abiertos no vacıos, entonces⋂n∈IN

Vn 6= φ

(iii) Cada cubrimiento abierto numerable de Y tiene una subfamilia finita tal que las

clausuras de sus elementos cubren a Y .

Dem.

(i) ⇒ (ii)

Sea (Y, τ ) un espacio topologico tal que:

(1) (Y, τ ) es completamente regular, [Hip.]

(2) (Y, τ ) es pseudocompacto. [Hip.]


Supongamos que

(3) existe Vnn∈IN ⊆ P(Y ) :

(i) para todo n ∈ IN, Vn ∈ τ

(ii) para todo n ∈ IN, Vn 6= φ

(iii) para todo n ∈ IN, Vn+1 ⊂ Vn

(iv)⋂

n∈INVn = φ [Hip.]

(4) Vnn∈IN es una familia localmente finita.

En efecto,supongamos que

(4.1) Vnn∈IN no es localmente finita [Hip.]

(4.2) Existe un y ∈ Y tal que para todo U ∈ U(y)

existe una subfamilia infinitaVnj(U)

j∈IN

⊆ Vnn∈IN :

U⋂Vnj(U)

6= ∅ para todo j ∈ IN. [(4.1)]

(4.3) Sea n ∈ IN [Hip.]

(4.4) Existe j ∈ IN : n 6 nj(u) [(4.2)]

(4.5) Vnj(U)⊆ Vn [(3)(iii), (4.4)]

(4.6) Vnj(U)

⋂U ⊆ Vn

⋂U [(4.5)]

(4.7) U⋂Vn 6= φ para todo U ∈ U(y) [(4.2), (4.6)]

(4.8) y ∈ Vn para todo n ∈ IN [(4.3), (4.7)]

(4.9) y ∈⋂

n∈INVn [(4.8)]

(4.10)⋂

n∈INVn 6= φ [(4.9)]

(4.11) (4.10) contadice (3)(iv). Por lo tanto

(4.12) Vnn∈IN es localmente finita. [(4.1), (4.11)]

(5) Para todo n ∈ IN existe yn ∈ Vn [(3)(ii)]

(6) Para todo n ∈ IN existe una funcion continua gn : Y −→ I tal que:

(i) gn(yn) = 1,

(ii) gn(Y \ Vn) = 0. [(1), (5), (3.i)]

(7) Sea∞∑

n=1

gn : Y −→ IR [Hip.]

(8)∞∑

n=1

gn esta bien definida.


En efecto, sea

(8.1) y ∈ Y . [Hip.]

(8.2) Existe U ∈ U(y) y existe m(U) ∈ IN tal que

(8.2.1) U⋂Vj 6= φ para todo 1 6 j 6 m(U),

(8.2.2) U⋂Vn = φ para todo n 6= j, 1 6 j 6 m(U). [(3)(iii), (4), (8.1)]

(8.3) y /∈ Vn para todo n 6= j, con 1 6 j 6 m(U), [(8.2.2), (3)(iii)]

(8.4) gn(y) = 0 para todo n 6= j, con 1 6 j 6 m(U), [(8.3), (6)(ii)]

(8.5) para todo n ∈ IN,n∑

j=1

gn(y) =m(U)∑j=1

gnj (y)

6 m(U) [(6), (gn(y) 6 1)]

(8.6) Para cada y ∈ Y ,∞∑

n=1

gn(y) es una serie de

numeros reales convergente [(8.5)]

(8.7) para cada y ∈ Y existe un unico r ∈ IR :∞∑

n=1

gn(y) = r [(7.6)]

(8.8)∞∑

n=1

gn esta bien definida [(8.7)]

(9)∞∑

n=1

gn es continua.

En efecto, sean

(9.1) b ∈ IR, [Hip.]

(9.2) A =

y ∈ Y :

∞∑n=1

gn(y) < b

. [Hip.]

(9.3) Para cada y ∈ Y existe U(y) ∈ U(y) y existe m(U) ∈ IN :

(9.3)(i) U(y)⋂Vj 6= φ para todo 1 6 j 6 m(U),

(9.3)(ii) U(y)⋂Vn = φpara todo n 6= j, 1 6 j 6 m(U). [(3)(iii), (4)]

(9.4) gn(y) = 0 para todo n 6= j, con 1 6 j 6 m(U), [(9.3)(ii), (6)(iii)]

(9.5)∞∑

n=1

gn(y) =m(U)∑

j=1

y∈Vj

gj(y)

6 m(U) [(9.4)]

(9.6) Sea y ∈ A [Hip.]


(9.7) m(U) < b [(9.2), (9.5), (9.6)]

(9.8) Sea z ∈ U(y) [Hip.]

(9.9) U(y) ∈ U(z)

(9.10)∞∑

n=1

gn(z) 6 m(U) [(9.9)]

< b [(9.7)]

(9.11) U(y) ⊆ A [(8.2), (9.6), (9.10)]

(9.12) A ∈ τ [(9.3), (9.6), (9.11)]

(9.13) Sea B =

y ∈ Y :

∞∑n=1

gn(y) > b

[Hip.]

(9.14) Puede suceder:

(i) b < 0,

(ii) b ≥ 0.

(9.15) Sea b < 0 [(9.14)(i)]

(9.16) Para todo y ∈ Y ,∞∑

n=1

gn(y) ≥ 0 > b [(9.15)]

(9.17) B = Y [(9.15), (9.16)]

(9.18) B ∈ τ para todo b ∈ IR : b > 0 [(9.15), (9.17)]

Sean

(9.19) b ≥ 0, [(9.14) (ii)]

(9.20) y ∈ B. [Hip.]

(9.21)∞∑

n=1

gn(y) =m(U)∑

j=1

y∈Vj

gj(y)

> b [(9.13), (9.20)]

≥ 0 [(9.19)]

(9.22) Existe λ ∈ IR : b =m(u)∑j=1

gj(y) −λ [(9.21)]

(9.23)m(u)∑j=1

gj(y) es una funcion continua [(6), T.2.1.4]

(9.24) Sea V

(m(u)∑j=1

gj(y)

)=

(m(u)∑j=1

gj(y)− λ;m(u)∑j=1

gj(y) + λ

)[Hip.]

(9.25) Existe U(y) ∈ U(y) tal que


m(u)∑j=1

gj(U(y)) ⊆ V

(m(u)∑j=1

gj(y)

)[(9.23), (9.24)]

(9.26) Para todo z ∈ U(y),m(u)∑j=1

gj(y) >m(u)∑j=1

gj(y) -λ = b

[(9.25), (9.24), (9.22)]

(9.27) U(y) ⊆ B [9.26]

(9.28) B ∈ τ [(9.27)]

(10)∞∑

n=1

gn(y) : Y −→ IR no es acotada.


(10.1)∞∑

n=1

gn(y) es acotada [Hip.]

(10.2) Existe b ∈ IR :∞∑

n=1

gn(y) 6 b para todo y ∈ Y [(10.1)]

(10.3) Sea n0 = [b] + 1, con [b] = parte entera de b [Hip.]

(10.4) Existe n0 ∈ IN tal que∞∑

n=1

gn(y) 6 n0 para todo y ∈ Y, [(10.3), (10.2)]

(10.5) para cada y ∈ Y existe m(U) :∞∑

n=1

gn(y) 6 m(U) [(8.5)]

(10.6) m(U) 6 n0 [(10.2), (10.5)]

(10.7) y /∈ Vn para todo n ≥ n0 y para todo y ∈ Y [(10.6), (8.3)]

(10.8) y ∈ Y \ Vn para todo n ≥ n0 y para todo y ∈ Y [(10.7)]

(10.9) Y ⊆⋂

n≥n0

(Y \ Vn) = Y \⋃

n≥n0

Vn ⊆ Y [(10.8)]

(10.10) Y \⋃

n≥n0

Vn = Y [(10.9)]

(10.11)⋃

n≥n0

Vn = ∅ [(10.11)]

(10.12) Vn ⊆⋃

n≥n0

Vn si n ≥ n0

(10.13) Vn = ∅ para todo n ≥ n0 [(10.11), (10.12)]

(10.13) contradice (3)(ii). Por lo tanto

(10.14)∞∑

n=1

gn no es acotada [(3)(ii), (10.1), (10.13)]

(11) Y no es pseudocompacto. [(1), (7), (8), (9), (10)]

(11) y (2) se contradicen. Por lo tanto,


(12) para cualquier familia decreciente Vnn∈IN de conjuntos

abiertos no vacıos se verifica que⋂

n∈INVn 6= ∅ [(2), (3), (11)]

(ii)⇒ (iii)

Sea

(1) (Y, τ ) un espacio completamente regular y T2

que verifica la siguiente propiedad:

Si Vnn∈IN ⊆ P (Y ) y para todo n ∈ IN :

(i) ∅ ⊂ Vn ∈ τ ,

(ii) Vn+1 ⊆ Vn,

entonces⋂

n∈INVn 6= ∅. [Hip.]

(2) Sea Unn∈IN un cubrimiento abierto numerable de Y . [Hip.]

Supongamos que

(3) para todo n ∈ IN, Y 6=n⋃

i=1

Ui. [Hip.]

(4) Para cada n ∈ IN, sea Vn = Y \n⋃

i=1

Ui [Hip.]

(5) Vn ∈ τ para todo n ∈ IN [(4)]

(6) Vn 6= ∅ para todo n ∈ IN [(4)]

(7) Vn+1 ⊆ Vn para todo n ∈ IN [(4)]

(8)⋂

n∈INVn 6= ∅ [(1), (5), (6), (7)]

(9) Vn = Y \n⋃

i=1

Ui

= Y ∩ (Y \n⋃

i=1

Ui)

= Y ∩n⋂

i=1

(Y \ Ui)

=n⋂

i=1

(Y \ Ui) [(4)]


(10) Vn =n⋂

i=1

(Y \ Ui)

⊆n⋂

i=1

Y \ Ui

⊆n⋂

i=1

Y \ Ui

=n⋂

i=1

(Y \ Ui) [(9)]

(11) ∅ ⊂⋂

n∈INVn [(8)]

⊆⋂

n∈IN

n⋂i=1

(Y \ Ui) [(10)]

=⋂

n∈IN(Y \

n⋃i=1

Ui)

= Y \⋃

n∈IN

n⋃i=1

Ui

= Y \⋃

n∈INUn

(12)⋃

n∈INUn ⊂ Y [(11)]

(13) Unn∈IN no es un cubrimiento abierto de Y . [(12)]

(13) y (2) se contradicen. Por lo tanto,

(14) existe n ∈ IN tal que Y =n⋃

i=1

Ui [(2), (3), (13)]

(iii) ⇒ (i)

Sean

(1) (Y, τ ) un espacio completamente regular y T2 tal que

todo cubrimiento abierto numerable de Y tiene una

subfamilia finita tal que las clausuras de sus elementos

cubren a Y , [Hip.]

(2) f : Y → IR una funcion continua, [Hip.]


(3) para cada n ∈ IN, Un = y ∈ Y : |f (y)| < n. [Hip.]

(4) Un ∈ τ para todo n ∈ IN [(2), (3)]

(5) Unn∈IN es un cubrimiento abierto numerable de Y .

En efecto, sea

(5.1) y ∈ Y [Hip.]

(5.2) Existe r ∈ IR : f (y) = r [(2), (5.1)]

(5.3) Existe n ∈ IN : |r| < n

(5.4) Existe n ∈ IN : |f (y)| < n [(5.2), (5.3)]

(5.5) Existe n ∈ IN : y ∈ Un [(5.4)]

(5.6) y ∈⋃

n∈INUn [(3), (5.5)]

(5.7) Unn∈IN es un cubrimiento abierto numerable de Y . [(5.1), (5.6)]

(6) Existe m ∈ IN : Y =m⋃

i=1

Ui [ (1), (5)]

(7) f : Y → IR es acotada.

En efecto, sea

(7.1) y ∈ Y [Hip.]

(7.2) Existe i : 1 6 i 6 m : y ∈ Ui [(6), (7.1)]

(7.3) f (y) ∈ f(Ui

)⊆ f (Ui) [(2), (7.2)]

(7.4) f (Ui) = r ∈ IR : existe y ∈ Ui : f (y) = r= r ∈ IR : |f (y)| < i; f (y) = r [(3)]

= r ∈ IR : |r| < i = (−i, i)(7.5) f (Ui) = (−i, i) = [−i, i] [(7.4)]

(7.6) f (y) ∈ [−i, i] [(7.3), (7.5)]

(7.7) |f (y)| 6 i 6 m [(7.2), (7.6)]

(7.8) |f (y)| 6 m para todo y ∈ Y [(7.1), (7.7)]

(7.9) f es acotada [(7.8)]

(8) (Y, τ ) es pseudocompacto [(1), (2), (7)]

2

Observacion 10.2.1 La pseudocompacidad se reduce a la compacidad numerable en

una clase de espacios topologicos que incluye a los espacios normales.


Definicion 10.2.1 Un espacio completamente regular se llama debilmente normal si

todo par de conjuntos cerrados disjuntos, siendo uno de ellos numerable, tienen en-

tornos abiertos disjuntos.

Proposicion 10.2.1 Sea (Y, τ ) un espacio debilmente normal, entonces las siguientes


(i) (Y, τ ) es pseudocompacto,

(ii) (Y, τ ) es compacto numerable.

Dem.

(ii)⇒ (i)

(vale siempre, sin necesidad de que sean espacios debilmente normales)

Sea

(1) (Y, τ ) un espacio compacto numerable. [Hip.]

(2) (Y, τ ) es T2 [(1)]

(3) Sea Unn∈IN un cubrimienteo abierto numerable de Y [Hip.]

(4) Existe n ∈ IN : Y =n⋃

i=1

Ui [(1), (3)]

(5) Existe n ∈ IN : Y =n⋃

i=1

Ui [(4)]

(6) Y es pseudocompacto. [(2), (3), (5), T.10.2.1]

(i) ⇒ (ii)

Sea

(1) (Y, τ ) un espacio debilmente normal y T2, [Hip.]

(2) (Y, τ ) pseudocompacto. [Hip.]

Supongamos que

(3) Y no es compacto numerable. [Hip.]


(4) Existe D ⊆ Y infinito numerable tal que D′ = ∅ [(3), T.10.1.1 ]

(5) (D, τD) es un subespacio cerrado discreto

(6) (Y, τ ) es regular [(1)]

(7) Existe una familia numerable Unn∈IN de conjuntos tal que

(i) Un ∈ τ para todo n ∈ IN,

(ii) Ui ∩ Uj = ∅ para todo i 6= j

(iii) D ∩ Un 6= ∅ para todo n ∈ IN [(4), (6)]

(8) Para todo n ∈ IN, existe yn ∈ D ∩ Un [(7)(iii)]

(9) Sea E = ynn∈IN [Hip.]

(10) E es cerrado en (Y, τ ).

En efecto:

(10.1) E ⊆ D [(8), (9)]

(10.2) E es cerrado en (D, τD) [(5), τD es la discreta]

(10.3) E es cerrado en (T, τ ) [(5), (10.1), (10.2)]

(11) C∞⋃

n=1

Un es cerrado en (Y, τ ) [(7)(i)]

(12) E ∩ C∞⋃

n=1

Un = ∅.

En efecto, sea

(12.1) y ∈ E [Hip.]

(12.2) Existe n ∈ IN tal que y = yn [(9)]

(12.3) yn ∈ Un para todo n ∈ IN [(8)]

(12.4) yn ∈∞⋃

n=1

Un [(12.3)]

(12.5) E ⊆∞⋃

n=1

Un [(12.1), (12.2), (12.4)]

(12.6) E ∩ C∞⋃

n=1

Un = ∅ [(12.5)]

(13) Existen V,W ∈ τ tales que:

(i) E ⊆ W ,

(ii) C∞⋃

n=1

Un ⊆ V


(iii) W ∩ V = ∅ [ (1), (10), (11), (12)]

(14) V ∪ Unn∈IN es un cubrimiento abierto de Y .

En efecto:

(14.1) Y =∞⋃

n=1

Un ∪ C∞⋃

n=1

Un ⊆∞⋃

n=1

Un ∪ V ⊆ Y [(13ii)]

(15) V ∪ Unn∈IN no tiene una subfamilia finita

cuyas clausuras cubren a Y .

En efecto,

(15.1) para cada yn ∈ E , yn ∈ Un [(8)]

(15.2) Si m 6= n: Um ∩ Un = ∅ [(7)(ii)]

(15.3) yn ∈ Un [(15.1)]

(15.4) yn /∈ Um para todo m 6= n [(15.2)]

(15.5) yn ∈ W [(15.1), (13)(i)]

(15.6) W ∈ U (yn) [(13), (15.5)]

(15.7) yn /∈ V [(13)(iii), (15.6)]

(15.8) E no puede ser cubierto por una subfamilia finita de

V ∪ Unn∈IN [(15.1), (15.3), (15.4), (15.7)]

(15.9) Y no puede ser cubierto por una subflia. finita de

V ∪ Unn∈IN [(15.8), E ⊆ Y ]

(16) (Y, τ ) es completamente regular y T2 [(1)]

(17) (Y, τ ) no es pseudocompacto. [ (14), (15), (16)]

(17) contradice (2). Por lo tanto

(18) Y es compacto numerable [(2), (3), (17)]

2

Propiedades invariantes en los espacios pseudocompactos

Teorema 10.2.2

(i) La imagen de un espacio pseudocompacto en un espacio T2 por una funcion con-

tinua es pseudocompacto.


(ii) Aunque un subespacio cerrado de un espacio pseudocompacto no necesariamente

es pseudocompacto, se verifica que:

Si el espacio (Y, τ ) es pseudocompacto y completamente regular, entonces la

clausura de cada subconjunto abierto de Y es pseudocompacto.

Dem.

(i)

Sean

(1) (X, τX) un espacio pseudocompacto, [Hip.]

(2) (Y, τY ) un espacio T2, [Hip.]

(3) f : (X, τX) → (Y, τY ) una funcion continua, [Hip.]

(4) g :(f (X) , τf(X)

)→ (IR, τε) una funcion continua. [Hip.]

(5) g f : (X, τX) → (IR, τε) es continua [(3), (4)]

(6) g f es acotada [(1), (5)]

(7) Existe r ∈ IR : |(g f) (x)| 6 r para todo x ∈ X [(6)]

(8) Sea y ∈ f (X) [Hip.]

(9) Existe x ∈ X : f (x) = y [(8)]

(10) |g (y)| = |g (f (x))| = |(g f) (x)| 6 r [(7), (9)]

(11) |g (y)| 6 r para todo y ∈ f (X) [(8), (10)]

(12) g es acotada [(11)]

(13)(f (X) , τf(X)

)es T2 [(2), T.?? ]

(14) f (X) es pseudocompacto. [(4), (12), (13)]

(ii)

Sean

(1) (Y, τ ) un espacio topologico pseudocompacto, [Hip.]

(2) (Y, τ ) completamente regular, [Hip.]

(3) V ∈ τ . [Hip.]

(4)(V , τV

)es completamente regular. [(2)]


(5) Sea Unn∈IN tal que:

(i) Un ∈ τ para todo n ∈ IN,

(ii) V ⊆⋃

n∈INUn. [Hip.]

(6) Y = V ∪ (Y \ V )

⊆⋃

n∈INUn ∪ (Y \ V ) [(5)(ii)]

⊆ Y [(5)(i)]

(7) Unn∈IN ∪CV

es un cubrimiento abierto numerable de Y [(6)]

(8) Existe una subfamilia finitaUi

n

i=1tal que

Y =n⋃

i=1

Ui ∪ Y \ V [(1), (2), (7)]

(9) Y ⊆n⋃

i=1

Ui ∪ Y \ V [V ⊆ V , (8)]

=n⋃

i=1

Ui ∪ (Y \ V ) [ (3)]

Supongamos que

(10) V 6⊆n⋃

i=1

Ui [Hip.]

(11) Existe y ∈ Y tal que:

(i) y ∈ V ,

(ii) y /∈n⋃

i=1

Ui. [(10)]

(12) Existe U ∈ U (y) : U ∩n⋃

i=1

Ui = ∅ [(11)(ii), (2), comp. reg. ⇒ reg.]

(13) U ∩ V 6= ∅ [U ∈ U (y), (11)(i)]

(14) U 6⊆ Y \ V [(13)]

(15) Existe z ∈ U tal que z /∈ Y \ V [(14)]

(16) z ∈n⋃

i=1

Ui [(9), (15)]

(17) z ∈ U ∩n⋃

i=1

Ui [(15), (16)]


(18) z ∈ U ∩n⋃

i=1

Ui [(17), U ⊆ U ]

(19) U ∩n⋃

i=1

Ui 6= ∅. [(18)]

(19) y (12) se contradicen. Por lo tanto

(20) V ⊆n⋃

i=1

Ui [(10), (12), (19)]

(21)(V , τV

)es pseudocompacto [(4), (5), (20)]

2

10.3 Funciones perfectas

Definicion 10.3.1 Una funcion p : X → Y se llama perfecta (o propia) si es continua,

cerrada, sobreyectiva y cada fibra p−1 (y), con y ∈ Y , es compacto.

Teorema 10.3.1 Sean (X, τX) e (Y, τY ) espacios topologicos y p : X → Y una funcion

perfecta. Entonces se verifican:

(i) Si (X, τX ) es Hausdorff, entonces (Y, τY ) tambien lo es.

(ii) Si (X, τX ) es regular, entonces (Y, τY ) tambien lo es.

(iii) Si (X, τX ) es 2o numerable, entonces (Y, τY ) tambien lo es.

(iv) Si (X, τX ) es metrizable, entonces (Y, τY ) tambien lo es.

Dem.

(i)

Sean (X, τX) e (Y, τY ) espacios topologicos,

(1) p : X → Y una funcion perfecta, [Hip.]

(2) (X, τX) un espacio Hausdorff, [Hip.]

(3) y1, y2 ∈ Y tal que y1 6= y2 [Hip.]

(4) p−1 (y1) y p−1 (y2) son subconjuntos compactos, disjuuntos,

no vacıos de X [(1), (3)]

(5) Existen U1, U2 ∈ τX tales que


(5.1) p−1 (y1) ⊆ U1,

(5.2) p−1 (y2) ⊆ U2,

(5.3) U1 ∩ U2 = ∅. [(4), T.9.3.2 ]

(6) Existen V1, V2 ∈ τY tales que

(6.1) y1 ∈ V1,

(6.2) y2 ∈ V2,

(6.3) p−1 (yi) ⊆ p−1 (Vi) ⊆ Ui, i = 1, 2. [(5), (1) ,T.2.2.3]

(7) p−1 (V1 ∩ V2) = p−1 (V1) ∩ p−1 (V2) = U1 ∩ U2 = ∅ [ (5), (6)]

(8) V1 ∩ V2 = ∅ [(1), (7)]

(9) (Y, τY ) es Hausdorff [(3), ( 6), (8)]

(ii)



(2) (X, τX) un espacio regular, [Hip.]

(3) y ∈ Y , U ∈ U (y) [Hip.]

(4) p−1 (y) ⊆ p−1 (U), p−1 (y) es compacto en X,

p−1 (U) es abierto en X [(1), (3)]

(5) Existe V ∈ τX tal que p−1 (yi) ⊆ V ⊆ V ⊆ p−1 (U) [ (2), (4), T.9.3.3 ]

(6) Existe W ∈ U(y) tal que p−1 (y) ⊆ p−1 (W ) ⊆ V ⊆ V [(1), (5), T.2.2.3]

(8) Existe W ∈ U(y) tal que W = p (p−1 (W )) ⊆ p (V ) [(1), (6)]

(9) p(V)⊆ p (p−1 (U)) = U [(1), (5)]

(10) Existe W ∈ U (y) tal que W ⊆ p (V ) ⊆ U [(8), (9)]

(11) Existe W ∈ U (y) tal que W ⊆ W ⊆ p(V)

= p(V)⊆ U [(1), (10)]

(12) (Y, τY ) verifica el axioma de regularidad. [(3), (11)]

(13) (X, τX) es Hausdorff [(2)]


(14) (Y, τY ) es Hausdorff [(1), (13), (i)]

(15) (Y, τY ) es regular [(12), (14)]

(iii)

Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topologicos,


(2) (X, τX) un espacio 2 o numerable. [Hip.]

(3) Existe Unn∈IN ⊆ τX una base numerable para (X, τX ) [(2)]

(4) Sea Vi la familia de todas las uniones finitas de Un [Hip.]

(5) Vi ⊆ τX es numerable [(3), (4)]

(6) la familia formada por los conjuntos Wn = Y \ p (X \ Vn)

es una base para (Y, τY ).

En efecto,

(6.0) Y \ p (X \ Vn) es abierto en X para todo n ∈ IN. [(1)]

(6.1) Sea W un abierto en Y e y ∈ W [Hip.]

(6.2) p−1 (y) ⊆ p−1 (W ) [(6.1)]

(6.3) p−1 (W ) es abierto en X [(1), (6.1)]

(6.4) Para cada x ∈ p−1 (y) ⊆ p−1 (W ) existe Unx tal que

x ∈ Unx ⊆ p−1 (W ) [(3), (6.3)]

(6.5) p−1 (y) ⊆⋃

x∈p−1(y)

Unx [(6.4)]

(6.6) Existen x1, . . . , xk ∈ p−1 (y) tal que p−1 (y) ⊆k⋃

i=1

Unxi[(1), (6.5)]

(6.7) Llamemos Ui a Unxi[Hip.]

(6.8) Existen U1, . . . , Uk ∈ Unn∈IN tal que

p−1 (y) ⊆k⋃

i=1

Ui ⊆ p−1 (W ) [(6.4), (6.6), (6.7)]


(6.9) Existe Vk ∈ Vi tal que Vk =n⋃

i=1

Ui [(4),(6.8)]

(6.10) X \ Vk es cerrado en X [(4)]

(6.11) p (X \ Vk) es cerrado en Y [(6.10).(1)]

(6.12) Y \ p (X \ Vk) es abierto en Y [(6.11)]

(6.13) X \ p−1 (W ) ⊆ X \ Vk [(6.8),(6.9)]

(6.14) p−1 (Y \W ) ⊆ X \ Vk [(6.13)]

(6.15) Y \W = p (p−1 (X \W )) ⊆ p (XVk) [(1), (6.14)]

(6.16) Y \ p (X \ Vk) ⊆ W [(6.15)]

Ademas y ∈ Y \ p (X \ Vk)

(6.17) p−1 (y) ⊆ Vk [(6.8), (6.9)]

(6.18) X \ Vk ⊆ X \ p−1 (y) ⊆ p−1 (Y ) \ p−1 (y) [(6.16)]

(6.19) X \ Vk ⊆ p−1 (Y \ y) [(6.18)]

(6.20) p (X \ Vk) ⊆ Y \ y [(1), (6.19)]

(6.21) y ⊆ Y \ p (X \ Vk) [(6.20)]

(6.22) Wnn∈IN es una base para Y [(6.0), (6.1), (6.16), (6.21)]

(7) (Y, τY ) es un espacio Hausdorff [(1), (2)((X, τX ) es Hausdorff), (i)]

(8) (Y, τY ) es un espacio 2 o numerable [(6), (7)]

(iv)



(2) (X, τX) un espacio metrizable. [Hip.]

(3) (X, τX) es un espacio de Hausdorff, [(2)]

(4) (Y, τY ) es un espacio de Hausdorff, [(1), (3),(i)]

(5) (Y, τY ) es un espacio T0, [(4)]

(6) Sea d la metrica para X tal que τd = τX [(2)]


(7) Para cada n ∈ IN,B(x, 1

n

)x∈X

es un cubrimiento abierto de X,

donde B(x, 1

n

)=y ∈ X : d (x, y) < 1

n

. [(6)]

(8) (X, τX) es paracompacto [(6)]

(9) Para cada n ∈ IN existe un refinamiento Fn localmente finito cerrado

del cubrimientoB(x, 1

n

)x∈X

[(7),(8), T.8.2.3]

(10) Para cada n ∈ IN, sea Bn = p (F ) : F ∈ Fn [Hip.]

(11) p (F ) ∈ τY −cerr para todo F ∈ Fn [(1),(9)]

(12) Y = p (X) = p

( ⋃F∈Fn

F

)=

⋃F∈Fn

p (F ) [(1), (9)]

(13) Para cada n ∈ IN, Bn es un cubrimiento cerrado de Y . [(11),(12)]

(14) Para cada n ∈ IN, Bn es localmente finito.

En efecto, sean

(14.1) y ∈ Y , n ∈ IN fijo [Hip.]

(14.2) p−1 (y) es compacto en X [(14.1),(1)]

(14.3) Existe U ∈ τX tal que p−1 (y) ⊆ U y

U intersecta solo a una cantidad finita de conjuntos de Fn. Esto es,

existen F1, . . . , Fk ∈ Fn tal que

(i) U ∩ Fi 6= ∅ para todo i, 1 6 i 6 k,

(ii) U ∩ F = ∅ para todo F ∈ Fn tal que F 6= Fi, 1 6 i 6 k.

[Topology, J. Dugundji, Cap. XI, 1.5(d)]

(14.4) Existe W ∈ U (y) tal que p−1 (W ) ⊆ U [(1), (14.1), (14.3), T.2.2.3]

(14.5) W intersecta a lo sumo a una cantidad finita de conjuntos de Bn

(14.5.1) Supongamos que existe F ∈ Fn tal que

(i) F 6= Fi, para todo i, 1 6 i 6 k,

(ii) W ∩ p (F ) 6= ∅ [Hip.]

(14.5.2) Existe z ∈ W ∩ p (F ) [(14.5.1)]

(14.5.3) Existe x ∈ F tal que p (x) = z [(14.5.2)]

(14.5.4) x ∈ p−1 (W ) [(14.5.2), (14.5.3)]


(14.5.5) x ∈ U [(14.4), (14.5.4)]

(14.5.6) x ∈ U ∩ F [(14.5.3), (14.5.5)]

(14.5.7) existe F ∈ Fn tal que F 6= Fi, para todo i, 1 6 i 6 k y

U ∩ F 6= ∅ [(14.5.1), (14.5.6)]

(14.5.7) contradice (11.3). Por lo tanto

(14.5.8) Para todo F 6= Fi, 1 6 i 6 k, W ∩ p (F ) = ∅.[(11.3), (14.5.1), (14.5.7)]

Solo resta probar la propiedad:

“Para cada y ∈ Y y cada U ∈ U (y) existe n ∈ IN tal que St (y,Bn) ⊆ U”

(15) Sean y ∈ Y y U ∈ U (y) [Hip.]

(16) p−1 (y) es compacto en X [(1), (15)]

(17) Y \ U es cerrado en Y [(15)]

(18) p−1 (Y \ U) es cerrado en X [(1), (17)]

(19) p−1 (y)∩ p−1 (Y \ U) = p−1 (y ∩ (Y \ U)) = p−1 (∅) = ∅ [(15)]

(20) p−1 (y) es cerrado en X [(16)]

(21) d (p−1 (y) , X \ p−1 (U)) > 0 [P. 6.1]

(22) Consideremos la sucesion(

1n

)n∈IN y tomemos

ε = d (p−1 (y) , X \ p−1 (U)) > 0 [Hip.]

(23) Existe n0 (ε) ∈ IN tal

1n< d (p−1 (y) , X \ p−1 (U)) > 0 [(22)]

(24) St (p−1 (y) ,F2n0) ⊆ p−1 (U).

En efecto,

(24.1) sea x ∈ St (p−1 (y) ,F2n0) [Hip.]

(24.2) St (p−1 (y) ,F2n0) =⋃

F ∈ F2n0 : F ∩ p−1 (y) 6= ∅ [Def.]


(24.3) Existe F ∈ F2n0 tal que x ∈ F y F ∩ p−1 (y) 6= ∅ [(24.1), (24.2)]

(24.4) Existe w ∈ F ∩ p−1 (y) [(21.3)]

(24.5) w ∈ F y p (w) = y [(24.4)]

(24.6) Existe B(w, 1

2n0

)tal que F ⊆ B

(w, 1

2n0

)[(9), (24.5)]

(24.7) Sea z ∈ Cp−1 (U) [Hip.]

(24.8) d (z,w) 6 d (z, x) + d (x,w) [(6)]

(24.9) d (z, x) ≥ d (z,w) − d (x,w) [(24.8)]

> 1n0

− d (x,w) [(23), (24.4), (24.7)]

> 1n0

− 12n0

[(24.3), (24.6)]

= 12n0

(24.10) ınf d (x, z) : z ∈ Cp−1 (U) ≥ 12n0

[(24.7), (24.9)]

(24.11) d (x, Cp−1 (U)) > 0 [(24.10)]

(24.12) x /∈ Cp−1 (U) [(24.11)]

(24.13) x ∈ p−1 (U) [(24.12)]

(24.14) St (p−1 (y) ,F2n0) ⊆ p−1 (U) [(24.1), (24.13)]

(25) St (y,B2n) =⋃

p (F ) ∈ B2n : p (F ) ∩ y 6= ∅

= p (⋃

F ∈ F2n : F ∩ p−1 (y) 6= ∅)

= p (St (p−1 (y) ,F2n))

(26) p (St (p−1 (y) ,F2n0)) ⊆ p (p−1 (U)) ⊆ U [(1), (24)]

(27) St (y,B2n0) ⊆ U [(25), (26)]

(28) Para cada y ∈ Y y cada U ∈ U (y) existe n ∈ IN (n = 2n0) tal que

St (y ,Bn) ⊆ U [(15), (27)]

(29) (Y, τY ) es metrizable [(28), T. 6.13]

2

Teorema 10.3.2 Sean (X, τX) e (Y, τY ) espacios topologicos y p : X → Y una funcion

perfecta. Entonces se verifican:


(i) Si (Y, τY ) es paracompacto, entonces (X, τX) es paracompacto.

(ii) Si (Y, τY ) es compacto, entonces (X, τX ) es compacto.

(iii) Si (Y, τY ) es Lindelof, entonces (X, τX ) es Lindelof.

(iv) Si (Y, τY ) es compacto numerable, entonces (X, τX) es compacto numerable.

Dem.

(i)



(2) (Y, τY ) un espacio paracompacto, [Hip.]

(3) Wαα∈A un cubrimiento abierto de X. [Hip.]

(4) Para cada y ∈ Y , p−1 (y) es compacto [(1)]

(5) Existen α1, ..., αn ∈ A tal que p−1 (y) ⊆n⋃

i=1

Wαi [(1), (3), (4)]

(6) Existe V (y) ∈ U (y) tal que p−1 (V (y)) ⊆n⋃

i=1

Wαi [(1), (5), T.2.2.3 ]

(7) Sea U (y) un refinamiento abierto, preciso y

localmente finito del cubrimiento abierto V (y)y∈Y [(2), (6), L.8.2.1]

(8) Para cada y ∈ Y sea W(y, αi(y)

)= p−1 (U (y)) ∩Wαi(y)

[Hip.]

(9) La familiaW(y, αi(y)

)es un cubrimiento abierto de X que

refina a Wα [(1), (7), (8)]

(10)W(y, αi(y)

)es localmente finita.

En efecto,

(10.1) para cualquier x0 ∈ X existe un entorno W (p (x0)) que tiene

interseccion no vacıa a lo sumo con una cantidad finita de

conjuntos U (y) [(2)]

(10.2) p−1 (W (p (x0))) ∈ U (x0) [(1), (10.1)]


(10.3) p−1 (W (p (x0)))∩ W(y, αi(y)

)= p−1 (W (p (x0)))∩ p−1 (U (y)) ∩Wαi(y)

= p−1 (W (p (x0)) ∩ U (y)) ∩Wαi(y)

Esto es,

p−1 (W (p (x0))) ∩W(y, αi(y)

)=

∅ si W (p (x0)) ∩ U (y) = ∅,no ∅ en otros casos.

(10.4) p−1 (W (p (x0))) tiene interseccion no vacıa a lo sumo

con una cantidad finita de W(y, αi(y)

)[(10.1), (10.3)]

(11) (X, τX) es paracompacto [(3), (9), (10)]

(ii) Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topologicos,


(2) (Y, τY ) compacto, [Hip.]


(4) Para cada y ∈ Y existen α1, ..., αn(y) tal que

p−1 (y) ⊆n(y)⋃i=1

Wαi [(1), (3)]

(5) Para cada y ∈ Y existe V (y) ∈ U (y) tal que

p−1 (V (y)) ⊆n(y)⋃i=1

Wαi [(1), T. ??]

(6) V (y)y∈Y es un cubrimiento abierto de Y [(5)]

(7) Existen y1, ..., ym ∈ Y tal que Y =m⋃

j=1

V (yj) [(2), (6)]

(8) p−1 (V (yj)) ⊆n(yj)⋃i=1

Wαi para todo j = 1, ...,m [(5), (7)]

(9) X = p−1 (Y ) [ (1)]

= p−1

(m⋃

j=1

V (yj)

)[ (7)]


=m⋃

j=1

p−1 (V (yj))

⊆m⋃

j=1

n(yj)⋃i=1

Wαi [ (8)]

(10) (X, τX) es compacto [(3), (9)]

(iii)



(2) (Y, τY ) un espacio Lindelof, [Hip.]


(4) Para cada y ∈ Y existen α1, ..., αn(y) tal que p−1 (y) ⊆n(y)⋃i=1

Wαi. [(1), (3)]

(5) Para cada y ∈ Y existe V (y) ∈ U (y) tal que p−1 (V (y)) ⊆n(y)⋃i=1

Wαi.

[(4), T.2.2.3]

(6) V (y)y∈Y es un cubrimiento abierto de Y . [(5)]

(7) Existe una sucesion ymm∈IN ⊆ Y tal que Y =⋃

m∈INV (ym) [(2), (6)]

(8) Para todo m ∈ IN, p−1 (V (ym)) ⊆n(ym)⋃i=1

Wαi [(5), (7)]

(9) X = p−1 (Y ) [(1)]

= p−1

(⋃

m∈INV (ym)

)[(7)]

=⋃

m∈INp−1 (V (ym))


=⋃

m∈IN

n(ym)⋃i=1

Wαi [ (8)]

(10) (X, τX) es Lindelof [(3), (9)]

(iv)

Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topologicos,


(2) (Y, τY ) compacto numerable, [Hip.]

(3) Wnn∈IN un cubrimiento abierto numerable de X, [Hip.]

(4) Vn = Y \ p(X \

n⋃i=1

Wi

)para todo n ∈ IN. [Hip.]

(5) Vnn∈IN es un cubrimiento de Y .

En efecto, sea

(5.1) y ∈ Y [Hip.]

(5.2) p−1 (y) ⊆ X es compacto [(1)]

(5.3) Existe n1, ..., nk ∈ IN tal que p−1 (y) ⊆k⋃

i=1

Wni [(3), (5.2)]

(5.4) X \(

k⋃i=1

Wni

)⊆ X\ (p−1 (y)) [(5.3)]

(5.5) p

(X \

(k⋃

i=1

Wni

))⊆ p (X \ (p−1 (y))) ⊆ Y \ y [(5.4)]

(5.6) y /∈ p

(X \

(k⋃

i=1

Wni

))[(5.5)]

(5.7) y ∈ Y \ p(X \

(k⋃

i=1

Wni

))[(5.6)]

(6) Vnn∈IN es un cubrimiento abierto y numerable de Y . [(1), (4)]

(7) Para cada y ∈ Y existen n1, ..., nm ∈ IN tal que


(i) p−1 (y) ⊆m⋃

i=1

Wni ,

(ii) y /∈ p

(X \

(m⋃

i=1

Wni

)). [(1), (3)]

(8) Existen n1, ..., nk ∈ IN tal que Y =k⋃

i=1

Vni [(2), (5)]

(9) p−1 (Vni) ⊆ni⋃

j=1

Wj para cada i ∈ Ik.

En efecto,

(9.1) Vni = Y \ p

(X \

ni⋃j=1

Wj

)[(4)]

(9.2) p−1 (Vni) = p−1

(Y \ p

(X \

ni⋃j=1

Wj

))

= p−1 (Y ) \ p−1

(p

(X \

ni⋃j=1

Wj

))

= X \ p−1

(p

(X \

ni⋃j=1

Wj

))[(1), (9.1)]

(9.3) X \ni⋃

j=1

Wj ⊆ p−1

(p

(X \

ni⋃j=1

Wj

))[Prop.de func.]

(9.4) X \ p−1

(p

(X \

ni⋃j=1

Wj

))⊆

ni⋃j=1

Wj [(9.3)]

(9.5) p−1 (Vni) ⊆ni⋃

j=1

Wj [(9.1), (9.4)]

(10) Wnii∈Imes un subcubrimiento finito de X [(8), (9)]

(11) (X, τX) es compacto numerable [(3), (10)]

2

Corolario 10.3.1 Sea (X, τX ) un espacio compacto. Si (Y, τY ) es paracompacto o

Lindelof, o compacto numerable, entonces X × Y es tambien paracompacto o Lindelof,

o compacto numerable, respectivamente.


Dem.

Sean

(1) (X, τX) un espacio compacto, [Hip.]

(2) (Y, τY ) es paracompacto (o Lindelof, o compacto numerable). [Hip.]

(3) La funcion proyeccion p : X × Y → Y es perfecta.

En efecto,

(3.1) p es sobreyectiva y continua, [ T.3.3.1]

(3.2) p es cerrada, [(1), p proyec. paralela a X, T.9.5.3]

(3.3) para todo y ∈ Y , p−1 (y) = X × y, [Def. proyeccion]

(3.4) para todo y ∈ Y , p−1 (y) es compacto en X × Y [(1), (3.3), T. 9.2.1]

(3.5) p : X × Y → Y es perfecta. [(3.1), (3.2), (3.4)]

Por lo tanto,

(4) X × Y es tambien paracompacto

(o Lindelof, o compacto numerable, respectivamente). [(2), (3), T. 10.3.2]

2

Teorema 10.3.3 Sean (X, τX ), (Y, τY ) espacios de Hausdorff, p : X → Y una funcion

perfecta. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) (X, τX) es localmente compacto,

(ii) (Y, τY ) es localmente compacto.

Dem.

Sean

(1) (X, τX), (Y, τY ) espacios de Hausdorff, [Hip.]


(i)⇒ (ii)


Sean

(3) (X, τX) localmente compacto, [Hip.]

(4) y ∈ Y . [Hip.]

(5) p−1 (y) es compacto en X [(2), (4)]

(6) Existe U ∈ τX tal que

(i) p−1 (y) ⊆ U ,

(ii) U es compacto [(3), (5), T. 9.6.1]

(7) Existe V ∈ τY tal que

(i) y ∈ V ,

(ii) p−1 (V ) ⊆ U [(6), T.2.2.3 ]

(8) V ⊆ p (U), [(7)]

(9) V ⊆ p (U) ⊆ p(U), [(2), (8), T. 2.2.2]

(10) p(U)

es compacto en Y [(2), (6)]

(11) V es compacto en Y , y ∈ V . [(9), (10), (1)]

(12) Para todo y ∈ Y existe V ∈ U (y) tal que V es compacto [(4), (11)]

(13) (Y, τY ) es localmente compacto [(1), (12)]

(ii) ⇒ (i)

(3) (Y, τY ) localmente compacto. [Hip.]

(4) Existe U = Uαα∈A un cubrimiento abierto relativamente compacto de Y [(3)]

(5) Para cada α ∈ A, sea p/p−1(Uα

): p−1

(Uα

)→ Uα [Hip.]

(6) p/p−1(Uα

)es una funcion perfecta [(2), (5)]

(7) p−1(Uα

)es compacto en X [(2), (4), T.10.3.2 ]

(8) P = p−1 (Uα) es un cubrimiento abierto de X [(2), (4)]


(9) p−1 (Uα) ⊆ p−1(Uα

)[(2)]

(10) p−1 (Uα) es compacto [ (1), (7), (9)]

(11) X tiene un cubrimiento P de abiertos y relativamente compactos [(8), (10)]

(12) (X, τX) es localmente compacto [(1), (11)]

2

10.4 Espacios σ-compactos.

Definicion 10.4.1 Un espacio localmente compacto es σ-compacto si se puede expre-

sar como union de una cantidad a lo sumo numerable de espacios compactos.

Ejemplo 10.4.1

(1) Cualquier espacio discreto infinito numerable es σ-compacto. Un espacio discreto

no numerable es localmente compacto pero no es σ-compacto.

(2) Un espacio topologico que se puede expresar como union numerable de espacios

compactos no necesariamente es σ-compacto, como lo muestra el conjunto de

los racionales en los reales, es decir, la condicion de localmente compacto en la

definicion es esencial.

Teorema 10.4.1 Sea (Y, τ ) un espacio topologico. Entonces las siguientes condiciones

son equivalentes:

(i) Y es σ-compacto,

(ii) Y se puede representar por Y =∞⋃i=1

Ui, donde cada Ui es un conjunto abierto

relativamente compacto y Ui ⊆ Ui+1 para cada i ∈ IN,

(iii) Y es un espacio Lindelof localmente compacto.

Dem.

(i) ⇒ (ii)

(1) Y es σ-compacto, [Hip.]


es decir,

(1.1) Y es localmente compacto,

(1.2) Y =∞⋃

n=1

Cn con Cn . compacto

(2) Existe U1 ∈ τY relativamente compacto tal que C1 ⊆ U1

[(1.1), (1.2), T.9.6.1 ]

(3) C2 ∪ U1 es compacto [(1.2), (2)]

(4) Existe U2 ∈ τY relativamente compacto tal que C2 ∪ U1 ⊆ U2

[(1), (3), T.9.6.1]

Siguiendo inductivamente con este procedimiento tenemos:

(5) Existe Un ∈ τY relativamente compacto tal que Cn ∪ Un−1 ⊆ Un

[(1), T.9.6.1]

(6) Y =⋃

n∈INCn ⊆ C1 ∪

∞⋃n=2

(Cn ∪ Un−1

)⊆

∞⋃n=1

Un [(1.2), (2), (5)]

(7) Y =∞⋃

n=1

Un,

con Un abierto relativamente compacto para todo n ∈ IN [(5), (6)]

(8) Ui ⊆ Ci+1 ∪ Ui ⊆ Ui+1 para cada i ∈ IN [(5)]

(ii) ⇒ (iii)

(9) Y =∞⋃i=1

Ui y para todo i ∈ IN,

(9.1) Ui abierto relativamente compacto,

(9.2) Ui ⊆ Ui+1 [Hip.]

(10) Para todo y ∈ Y existe Ui ∈ U (y) relativamente compacto [(9.1)]

(11) Y es localmente compacto [(10)]

(12) Sea Vαα∈A un cubrimiento abierto de Y [Hip.]

(13) Vαα∈A es un cubrimiento abierto de Ui para todo i ∈ IN [(9), (12)]


(14) Existen α1, . . . , αn(i) ∈ A tal que Ui ⊆n(i)⋃k=1

Vαk[(9), (13)]

(15) Y =∞⋃i=1

Ui ⊆∞⋃i=1

Ui ⊆∞⋃i=1

n(i)⋃k=1

Vαk[(9), (13)]

(16) Y es Lindelof [(12), (15)]

(iii)⇒(i)

(17) Sea (Y, τ ) un espacio topologico tal que:


(17.2) Y es Lindelof. [Hip.]

(18) Y tiene una base formada por abiertos relativamente compactos

[(17.1), T.9.6.1]

(19) Y =⋃i∈A

Vi, con Vi abierto relativamente compacto para todo i ∈ A [(18)]

(20) Existe una sucesion inn∈IN ⊆ A tal que Y =⋃

n∈INVin [(17.2), (19)]

(21) Y =⋃

n∈INVin con Vin compacto para todo n ∈ IN [(20), (19)]

(22) Y es σ-compacto. [(17.1), (21)]

2

Teorema 10.4.2 Sea (Y, τ ) un espacio Hausdorff, las siguientes condiciones son equi-

valentes:

(i) Y es un espacio localmente compacto y paracompacto,

(ii) Y =∑α∈A

Xα tal que Xα es σ-compacto para todo α ∈ A.

Dem.

(i) ⇒ (ii)

(1) Sea Y un espacio de Hausdorff tal que:



(1.2) Y es paracompacto. [Hip.]

(2) Existe un cubrimiento U = U (y) : y ∈ Y de entornos

relativamente compactos [(1.1), L. 9.6.1]

(3) Existe un refinamiento preciso y localmente finito

V = V (y) : y ∈ Y del cubrimiento U [ (1.2), (2), L.8.2.1]

(4) Para todo y ∈ Y, V (y) es compacto [(1), (2), (3)]

(5) Existe un entorno G de V (y) que tiene interseccion no vacıa

con una cantidad a lo sumo finita de elementos del cubrimiento V

[(3), (4), Topology, J. Dugundji, Capıtulo XI, 1.5.(d) ]

(6) Existen y1, . . . , yk ∈ Y tal que:

(6.1) V (y) ∩ V (yi) 6= ∅ para todo i ∈ Ik,

(6.2) V (y) ∩ V (y′) = ∅ para todo y′ 6= yi [(5)]

(7) Sea R la rlacion definida como sigue:

“(x, y) ∈ R si y solo si existe una familia finita de conjuntos

V (y1) , ..., V (yn) ∈ V tal que

(7.1) x ∈ V (y1) , y ∈ V (yn),

(7.2) V (yi) ∩ V (yi+1) 6= ∅ para todo i = 1, ..., n− 1”

(8) R es una relacion de equivalencia en Y .

En efecto, sea

(8.1) y ∈ Y [Hip.]

(8.2) Existe V (y) ∈ V tal que y ∈ V (y) [ (3), (8.1)]

(8.3) (y, y) ∈ R [(7), (8.2)]

(8.4) R es reflexiva [(8.1), (8.3)]

(8.5) Sea (y, z) ∈ R [Hip.]

(8.6) Existen V (y1) , ..., V (yn) ∈ V tal que


y ∈ V (y1) , z ∈ V (yn) y

V (yi) ∩ V (yi+1) 6= ∅ para todo i = 1, ..., n− 1 [(8.5)]

(8.7) (z, y) ∈ R [ (7), (8.6)]

(8.8) R es simetrica [(8.5), (8.7)]

(8.9) Sean (y, z) , (z, t) ∈ R [Hip.]

(8.10) Existen V (y1) , ..., V (yn) ∈ V tal que

y ∈ V (y1) , z ∈ V (yn) y

V (yi) ∩ V (yi+1) 6= ∅ para todo i = 1, ..., n− 1 [ (7), (8.9)]

(8.11) Existen V ′ (y1) , ..., V′ (ym) ∈ V tal que

z ∈ V ′ (y1) , t ∈ V ′ (ym) y

V ′ (yi) ∩ V ′ (yi+1) 6= ∅ para todo i = 1, ...,m− 1 [ (7), (8.9)]

(8.12) V (yn) ∩ V ′ (yi) 6= ∅ [(8.10), (8.11)]

(8.13) Llamemos V (yn+i) = V ′ (yi) para todo i ∈ Im [Hip.]

(8.14) Existen V (y1) , ..., V (yn+m) ∈ V tal que

y ∈ V (y1) , t ∈ V (yn+m) y

V (yi) ∩ V (yi+1) 6= ∅ para todo i = 1, ..., n+m− 1 [(8.10), (8.11), (8.13)]

(8.15) (y, t) ∈ R [ (7), (8.14)]

(8.16) R es transitiva [(8.9), (8.15)]

(9) Sea D = Xa : α ∈ A la familia de todas las clases

de equivalencia determinadas por R [Hip.]

(10) D = Xa : α ∈ A cubre a Y y son disjuntos dos a dos [(8), (9)]

(11) Para todo α ∈ A, Xα es abierto.

En efecto, sea

(11.1) z ∈ Xα. [Hip.]

(11.2) Existe V (z) ∈ V : z ∈ V (z) [(3), (9), (11.1)]


Probemos que V (z) ⊆ Xα

(11.3) Sea y ∈ V (z) [Hip.]

(11.4) (y, z) ∈ R [ (7), (11.3)]

(11.5) y ∈ zR = Xα [(11.4)]

(11.6) V (z) ⊆ Xα [(11.3), (11.5)]

(12) (Xα, τ/Xα) es un espacio topologico, para todo α ∈ A [(1)]

Probemos que la topologıa debil determinada por la familia de

conjuntos Xα es igual a τ

(13) τ (D) = τ .

En efecto, las siguientes condiciones son equivalentes:

(13.1) G ∈ τ ,

(13.2) G ∩Xα ∈ τ/Xα ,

(13.3) G ∈ τ (D).

(14) Y =∑α∈A

Xα [(10), (12), (13)]

(15) Xα es localmente compacto, para todo α ∈ A [(1.1), (11)]

(16) Xα =⋃

n∈INCn con Cn compacto en Xα para todo n ∈ IN.

En efecto, sea

(16.1) V (y0) ⊆ Xα [Hip.]

(16.2) Definimos Q2 = V (y) : V (y) ∩ V (y0) 6= ∅

Q3 = V (y) : V (y) ∩Q2 6= ∅

Siguiendo inductivamente con este procedimiento, tenemos:

Qn = V (y) : V (y) ∩ Qn−1 6= ∅

(16.3) Para todo n ∈ IN, Qn es una union de una cantidad a lo sumo


finita de conjuntos V (y).

En efecto: (por induccion)

(16.3.1) Q2 es union de una cantidad a lo sumo finita de

conjuntos V (y) [ (6), (16.2)]

(16.3.2) Qn−1 es union de a lo sumo una cantidad finita

de conjuntos V (y) [Hip. Ind.]

(16.3.3) Supongamos que Qn =⋃i∈A

V (yi), donde A es un conjunto

de ındices infinito [Hip.]

(16.3.4) Para todo i ∈ A : V (yi) ∩ Qn−1 6= ∅ (16.2)]

(16.3.5) Existe V (y′) ⊆ Qn−1 tal que V (y′) tiene interseccion no vacıa

con una cantidad infinita de conjuntos V (y). Contradiccion.

(16.4) Qn =k⋃

i=1

V (yi) =k⋃

i=1

V (yi)para todo n ∈ IN [(16.3)]

(16.5) Qn es compacto para todo n ∈ IN [(4), (16.4)]

(16.6) Sea Cn = Qn para todo n ∈ IN [Hip.]

(16.7) Xα =⋃

n∈INCn.

En efecto,

(16.7.1) Cn = Qn =k⋃

i=1

V (yi) ⊆ Xα para todo n ∈ IN [(16.4), (16.6)]

(16.7.2)⋃

n∈INCn ⊆ Xα [(16.7.1)]

(16.7.3) Sea z ∈ Xα [Hip.]

(16.7.4) Existe y′ ∈ Xα tal que z ∈ V (y′) ⊆ Xα

(16.7.5) z ∈ V (y′) ⊆ Qm = Cm para algun m ∈ IN

(16.7.6) z ∈⋃

n∈INCn [(16.7.5)]

(16.7.7) Xα ⊆⋃

n∈INCn [(16.7.3), (16.7.6)]

(17) Para todo α ∈ A, Xα es σ−compacto [(15), (16)]

(18) Y =∑α∈A

Xα con Xα σ−compacto para todo α ∈ A [(14), (17)]


2

Definicion 10.4.2 Un cubrimiento abierto Uα de un espacio topologico Y se llama

finito estrella si cada Uα intersecta a lo sumo una cantidad finita de otros Uβ.

Observacion 10.4.1 Claramente, cualquier cubrimiento abierto finito estrella es lo-

calmente finito. El contrarecıproco no es cierto, por ejemplo:

Si Uα un cubrimiento abierto finito estrella y construımos Vα = Uα ∪ Y ,

entonces Vα es localmente finito y sin embargo no es finito estrella.

Corolario 10.4.1 Sea (Y, τ ) un espacio σ−compacto. Entonces cada cubrimiento

abierto tiene un refinamiento abierto finito estrella.

Dem.

Sean

(1) (Y, τ ) un espacio σ−compacto, [Hip.]


(3) Y =⋃

y∈Y

V (y), con V (y) abierto relativamente compacto [(1), (2), T.6.16]

(4) V (y) ⊆ Uα para algun α ∈ A [(2),(3)]

(5) (Y, τ ) es paracompacto [(4)]

(6) V (y)y∈Y tiene un refinamiento abierto y localmente finito Wβ [(5),(3)]

(7) Wβ ⊆ V (y) para algun y ∈ Y [(6)]

(8) Wβ ⊆ V (y) [(7)]

(9) Wβ es compacto [(8),(3)]

(10) Wβ tiene interseccion no vacıa a lo sumo con una cantidad

finita de Wα con α 6= β [(9), Y es Hausdorff]

(11) Wβ tiene interseccion no vacıa a lo sumo con una cantidad

finita de Wα con α 6= β [(10)]

(12) Wβ es un refinamiento abierto, finito estrella [(6), (4), (10)]

2


10.5 k−espacios

Estudiaremos una generalizacion de los resultados de los espacios localmente com-

pactos. Para ello consideraremos la siguiente definicion.

Definicion 10.5.1 Sean X un conjunto no vacıo y U=Aαα∈A una familia de sub-

conjuntos de X, tal que cada Aα tiene una topologıa. Supongamos que para cada

(α, β) ∈ Aα ×Aβ se verifica :

(i) Las topologıas de Aα y Aβ coinciden, en Aα ∩Aβ.

(ii) cada Aα ∩Aβ es abierto en Aα y en Aβ o

cada Aα ∩Aβ es cerrado en Aα y en Aβ.

Llamaremos topologıa debil para X determinada por U a la familia:

τ (U) = U ⊆ X : U ∩Aαes abierto en Aα para todo α∈A.

Proposicion 10.5.1 Sean (X, τ ) un espacio Hausdorff y U = C ⊆ X : C es compacto

en X, entonces τ (U) = U ⊆ X : U ∩ Aα es abierto en Aα para todo α∈A es una

topologıa para X.

Dem.

Sean

(1) (X, τ ) un espacio Hausdorff, [Hip.]

(2) U = C ⊆ X : C es compacto en X, [Hip.]

(3) τ (U) = U ⊆ X : U ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U ⊆ P(X). [Hip.]

(4) Si Aii∈I ⊆ τ (U), entonces⋃i∈I

Ai ∈ τ (U).

En efecto, sea

(4.1) Aii∈I ⊆ τ (U) [Hip.]

(4.2) Ai ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U , para todo i ∈ I. [ (3), (4.1)]

(4.3)⋃i∈I

(Ai ∩ C) es abierto en C para todo C ∈ U . [(4.2)]


(4.4)⋃i∈I

Ai ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U [(4.3)]

(4.5)⋃i∈I

Ai ∈ τ (U). [ (3), (4.4)]

(5) Si Aii∈In⊆ τ (U), entonces

⋂i∈in

Ai ∈ τ (U).

En efecto, sea

(5.1) Aii∈In⊆ τ (U) [Hip.]

(5.2) Ai ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U , para todo i ∈ In. [ (3), (5.1)]

(5.3)⋂

i∈In

(Ai ∩ C) es abierto en C para todo C ∈ U . [(5.2)]

(5.4)⋂

i∈In

Ai ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U . [(5.3)]

(5.5)⋂

i∈in

Ai ∈ τ (U). [(3), (5.4)]

(6) ∅, X ∈ τ (U) [(1), (3)]

(7) τ (U) es una topologıa para X. [(3), (4), (5), (6)]

2

Lema 10.5.1 Sea (X, τ ) un espacio Hausdorff localmente compacto. Las siguientes


(i) A es abierto en X,

(ii) A ∩ C es abierto en C para todo compacto C en X.

Dem.

(ii)⇒ (i)

Sean

(1) (X, τ ) un espacio Hausdorff localmente compacto, [Hip.]

(2) A ⊆ X, [Hip.]


(3) A ∩ C es abierto en C para todo compacto C en X, [Hip.]

(4) a ∈ A. [Hip.]

(5) Existe V (a) ∈ U(a) tal que es compacto. [(1), (4)]

(6) A∩ V (a) es abierto en V (a), [(3), (5)]

(7) A ∩ V (a) es abierto en V (a).

En efecto,

(7.1) A ∩ V (a) ∩ V (a) es abierto en V (a) ∩ V (a). [(6), E.1.30 ]

(7.2) A ∩ V (a) es abierto en V (a). [(7.1), Prop. de clausura]

(8) A ∩ V (a) es abierto en X. [(7), T.1.5.2]

(9) A ∩ V (a) ∈ U(a) y A ∩ V (a) ⊆ A [(4), (8)]

(10) para cada a ∈ A existe U(a) ∈ U(a) tal que U(a) ⊆ A. [(4), (9)]

(11) A es abierto en X. [(10)]

(i)⇒ (ii)

Sean A, C ⊆ X tales que

(12) A es abierto en X, [Hip.]

(13) C ⊆ X compacto. [Hip.]

(14) C ∩ A ⊆ C

(15) C ∩ A es abierto en C. [(12), (14)]

(16) C ∩ A es abierto en C para todo C ⊆ X [(13), (15)]

2

Corolario 10.5.1 Sea (X, τ ) un espacio Hausdorff y sea U = C ⊆ X : C es compacto,entonces τ (U) = A ⊆ X : A ∩ C es abierto en C para cada C ∈ U es la topologıa

debil determinada por U . Ademas se verifica que τ (U) = τ.


Dem.

Sean

(1) (X, τ ) un espacio Hausdorff, [Hip.]

(2) U = C ⊆ X : C es compacto , [Hip.]

(3) τ (U) = A ⊆ X : A ∩ C es abierto en C para cada C ∈ U. [Hip.]

(4) (C, τC) es un espacio topologico para cada C ∈ U [Def. de subespacio]

Probemos que

τ (U) es la topologıa debil determinada por los conjuntos compactos de X.

(i) τA y τB coinciden en A ∩ B para todo A,B ∈ U

Sean

(5) A,B ∈ U , [Hip.]

(6) C ∈ τA/A∩B. [Hip.]

(7) Existe C ′ ∈ τA : C = C ′ ∩ (A ∩ B) [(6)]

(8) Existe D′ ∈ τ : C ′ = D′ ∩ A [(7)]

(9) C = (D′ ∩B) ∩ (A ∩B) [(7), (8)]

(10) Existe D ∈ τB: C = D ∩ (A ∩ B), siendo D == D′ ∩B [(9)]

(11) C ∈ τB/A∩B[(10)]

(12) τA/A∩B⊆ τB/A∩B

[(6), (11)]

(13) τB/A∩B⊆ τA/A∩B

[analogo a (12)]

(14) τA/A∩B= τB/A∩B

. [(12), (13)]

(ii) Cada A∩B es abierto en A y en B.(o cada A∩B es cerrado en A y en B.)

(15) A,B son cerrados en X. [(1), (3), (5), C.9.3.1]

(16) A ∩B es cerrado en X [(15)]


(17) A ∩B es cerrado en A [(16), L.1.5.3]

(18) A ∩B es cerrado en B [(16), L.1.5.3]

(19) τ (U) es la topologıa debil detreminada por U [(i), (ii)]

(iii) τ = τ (U)

(20) Sea A ∈ τ [Hip.]

(21) A ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U [(20), L.1.5.3 ]

(22) A ∈ τ (U) [ (3), (21)]

(23) τ ⊆ τ (U) [((20), (22)]

(24) Sea B ∈ τ (U) [Hip.]

(25) B ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U [ (3), (24)]

(26) B ∈ τ [(1), (25)]

(27) τ (U) ⊆ τ [(24), (26)]

(28) τ = τ (U). [(23), (27)]

2

Concluimos que todo espacio Hausdorff localmente compacto tiene por topologıa a

la topologıa debil determinad por los subconjuntos compactos del espacio. Esto nos

conduce a dar la sigiente definicion:

Definicion 10.5.2 Un espacio Hausdorff, (X, τ ) es un k-espacio si tiene por topologıa

a la topologıa debil determinada por la familia de sus subconjuntos compactos.

Es decir, un espacio Hausdorff, (X, τ ), se dice un k-espacio, si

τ = τ (U) = A ⊆ X : A ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U, siendo

U = C ⊆ X : C es compacto en X.

Observacion 10.5.1 Si U = C ⊆ X : C es compacto en X., entonces

τ (U) = A ⊆ X : A ∩ C es cerrado en C para todo C ⊆ X compacto

Dem.



(1) A ∈ τ (U)cerr

(2) X \A ∈ τ (U)

(3) A ∩ C es abierto en C para todo C ⊆ X compacto

(5) C \ ((X \A) ∩ C) es cerraado en C para todo C ⊆ X compacto

(6) C ∩ (X \ (X \A) ∩ C) es cerradoen C para todo C ⊆ X compacto

(7) C ∩A es cerrado en C para todo C ⊆ X compacto

2

Lema 10.5.2 Todo espacio de Hausdorff que verifica el primer axioma de numerabi-

lidad es un k-espacio.

Dem.

(1) Sea (X, τ ) un espacio Hausdorff que verifica el primer axioma

de numerabilidad [Hip.]

(2) τcerr ⊆ τ (U)cerr.

En efecto, sean

(2.1) A ∈ τcerr, [Hip.]

(2.2) C ⊆ X compacto en X. [Hip.]

(2.3) C es cerrado en X. [(1), (2.2), C.9.3.1 ]

(2.4) A ∩ C es cerrado en X. [(2.1), (2.3), ]

(2.5) A ∩ C es cerrado en C [(2.4), E.1.5.3]

(2.6) A ∈ τ (U)cerr [(2.2), (2.5)]

(3) τ (U)cerr ⊆ τ .

En efecto, sea

(3.1) A ∈ τ (U)cerr. [Hip.]

(3.2) A ∩ C es cerrado en C para todo C ⊆ X compacto [(3.1), Def. τ (U)cerr]

(3.3) A ∩ C es compacto en C para todo C ⊆ X compacto [(3.2), T.9.1.5]


(3.4) A ∩ C es compacto en X para todo C ⊆ X compacto [(3.3), E.9.1.1]

(3.5) A ∩ C es cerrado en X para todo C ⊆ X compacto [(3.4), C.9.3.1]

Probemos que A ∈ τcerr, esto es, A = A

(3.6) Sea x ∈ A [Hip.]

(3.7) Existe una sucesion (an)n∈IN ⊆ A : an−→x [ (1), (3.6), T.6.3.3]

Puede ocurir que: ann∈IN es finito o

ann∈IN es infinito.

(3.8) Supongamos que ann∈IN es finito [Hip.]

(3.9) Existe n0 ∈ IN : an = an0 para todo n ≥ n0 [(3.8)]

(3.10) an0 = x para todo n ≥ n0 [(3.9)]

(3.11) x ∈ A [(3.10)]

(3.12) A ⊆ A [(3.6), (3.11)]

(3.13) Supongamos que ann∈IN es infinito. [Hip.]

(3.14) ann∈IN ∪ x es compacto en X [(3.7), (3.13)]

(3.15) A ∩(ann∈IN ∪ x

)es cerrado en ann∈IN ∪ x [ (3.1), (3.2), (3.13)]

(3.16) ann∈IN ∪ x es cerrado en X [(1), (3.14)]

(3.17) A ∩(ann∈IN ∪ x

)es cerrado en X [(3.15), (3.16)]

(3.18) A ∩(ann∈IN ∪ x

)= ann∈IN ∪ (A ∩ x)

es un subconjunto infinito de ann∈IN ∪ x [ (3.13)]

(3.19) existe una subsesion ank

k∈IN ⊆ ann∈IN tal que

si k 6= k′, entonces ank6= ank′ .

Ademas para cada n ∈ IN existe k(n) ∈ IN tal que an = ank(n)[(3.18)]

(3.20) ank−→x [(3.7), (3.19)]

(3.21) x ∈ (ann∈IN ∪ (A ∩ x))′ [(3.19), (3.20)]

(3.22) (ann∈IN ∪ (A ∩ x))′ ⊆ ann∈IN ∪ (A ∩ x) [(3.17)]

(3.23) x 6= an para todo n ∈ IN [(3.19), (3.20)]

(3.24) x ∈ A [(3.21), (3.22), (3.23)]

(3.25) A ⊆ A [(3.6), (3.24)]

(3.26) A = A [(3.12), (3.25)]


(4) τcerr = τ (U)cerr [(2), (3)]

(5) τ = τ (U) [(4)]

(6) X tiene por topologıa a la topologıa debil detrminada por la familia

de los subconjuntos compactos de X [(5)]

(7) (X, τ ) es un k-espacio. [(6)]

2

El siguiente resultado muestra la relacion entre los k-espacios y la compacidad local.

Teorema 10.5.1 (D. E. Cohen) Sea (X, τ ) un espacio Hausdorff. Las siguientes


(i) (X, τ ) es un k-espacio,

(ii) (X, τ ) es un espacio cociente de un espacio Hausdorff localmente compacto.

Dem.

(i) ⇒ (ii)

(1) (X, τ ) es un espacio de Hausdorff [Hip.]

(2) (X, τ ) es un k-espacio [Hip.]

(3) τ = τ (U) = A ⊆ X : A ∩ C es abierto en C para todo C ∈ U

donde U = A ⊆ X : A ∩ C es compacto en X [Hip.]

(4) (X, τ ) '∑α∈A

C ′α/R siendo

∑α∈A

C ′α la union libre de los compactos

C ′α = α ×Cα [Dugundji, Cap.VI, 8.5]

(5) Para cada α ∈ A, C ′α = α × Cα es compacto [(3), (4)]

(6) C ′α ∩ C ′

β = ∅ para todo α 6= β [(4)]

(7) Para todo α, β ∈ A, C ′α ∩ C ′

β es abierto en C ′β si α 6= β [(6)]

(8) Para todo α ∈ A, C ′α ∈ τ

(∑α∈A

C ′α

)[(4)]


(9)(C ′

α, τC′α

)

(∑α∈A

C ′α, τ

(∑α∈A

C ′α

))[Prop. de top. debiles]

(10) C ′α es compacto en

∑α∈A

C ′α [(5), (9)]

(11) C ′α es cerrado en

∑α∈A

C ′α [(10),

∑α∈A

C ′α es Esp.de Hausdorff]

(12) C ′α = C ′

α para todo α ∈ A [(11)]

(13) Sea y ∈∑α∈A

C ′α [Hip.]

(14) y ∈⋃

α∈AC ′

α [Hip.]

(15) Existe α ∈ A: y ∈ C ′α [(14)]

(16) C ′α ∈ U(y) y C ′

α es compacto [(4), (10)]

(17)∑α∈A

C ′αes localmente compacto [(13), (15), (16)]

(ii) ⇒ (i)

(1) Sea (X, τX) un espacio Hausdorff [Hip. ]

(2) (X, τX) es un espacio cociente de un espacio localmente compacto [Hip.]

(3) Existe un espacio Hausdorff localmente compacto (Y, τY ) [?]

(4) Existe una identificacion p : (Y, τY ) −→ (X, τX) tal que:

(5) (X, τX) ' (Y/R, τ (q)) [Dundji.cap.VI.8.5]

(6) τX ⊆ τ (U).

En efecto, sean

(6.1) A ∈ τX , [Hip.]

(6.2) C ⊆ X : C es compacto en X. [Hip.]

(6.3) A ∩ C es abierto en C [(6.2)]

(6.4) A ∈ τ (U) [(6.3)]


(7) τ (U) ⊆ τX .

En efecto, sea

(7.1) U ∈ τ (U). [Hip.]

(7.2) Para todo C ∈ τ (U), U ∩ C es abierto en C [def. de τ (U) ]

(7.3) Sea V ∈ τY tal que V es compacto [(3)]

(7.4) p( V ) es compacto en X [(4), (7.3), T.9.1.3]

(7.5) U ∩ p( V ) es abierto en p( V ) [(7.2), (7.4)]

(7.6) U ∩ p( V ) = G∩ p( V ), con G ∈ τX [(7.5)]

(7.7) p−1(U) ∩ p−1(p( V )) = p−1(G) ∩ p−1( p( V )) [(7.6)]

(7.8) p−1(U) ∩ p−1(p( V )) ∩ V = p−1(G) ∩ p−1( p( V )) ∩ V [(7.7)]

(7.9) p−1(U) = p−1(G) [(7.8)]

(7.10) p−1(G) ∈ τY [(4), (7.9)]

(7.11) p−1(U) ∩ V ∈ τY para cada V ⊆ Y relativamente compacto. [(7.3), (7.10)]

(7.12) existe un cubrimiento abierto relativamente compacto de Y ,

Vαα∈A [(3) (Y es L.C.)]

(7.13) Y =⋃

α∈AVα [(3), (7.12)]

(7.14) p−1(U) ∩ Y = p−1(U) ∩⋃

α∈AVα [(7.13]

(7.15) P−1(U) =⋃

α∈A(Vα ∩ P−1(U)) [(7.14)]

(7.16) Vα ∩ P−1(U) ∈ τY [(7.10), (7.12)

(7.17) P−1(U) ∈ τY [(7.16)]

(7.18) U ∈ τX [(4), (7.17), τX=τ (p) = U ⊆ X : P−1(U) ∈ τX]

(8) τX = τ (U) [(6), (7)]

(9) (X, τX) es un k-espacio [(8)]

2


Corolario 10.5.2 Sean (X, τX ) y (Z, τZ) espacios topologicos. Si (X, τX) es un k-

espacio y p : X → Z es una identificacion, entonces (Z, τZ) es un k-espacio.

Dem.

Sean (X, τX ) y (Z, τZ) espacios topologicos,

(1) (X, τX) un k-espacio, [Hip.]

(2) p : X → Z una identificacion, [Hip.]

(3) Y un espacio localmente compacto, [Hip.]

(4) g : Y → X una identificacion, [Hip.]

(5) p g : Y → Z una identificacion. [Hip.]

(6) (Z, τZ) es un espacio cociente de un espacio localmente compacto

[(2), (3), (5), prop. identificaciones]

(7) (Z, τZ) es un k-espacio [(6), T. 10.5.1]

2

10.6 Espacios de Baire. Categorıas

Los espacios localmente compactos verifican las siguientes propiedades.

Teorema 10.6.1 Sea (Y, τY ) un espacio localmente compacto. Entonces la intersec-

cion de cualquier familia numerable de subconjuntos abiertos y densos en Y es denso

en Y .

Dem.

Sean

(1) (Y, τY ) un espacio localmente compacto, [Hip.]

(2) Dnn∈IN ⊆ P(Y ) una familia numerable, [Hip.]

(3) Dn denso y abierto para cada n ∈ IN, [Hip.]

(4) U ∈ τY . [Hip.]


(5) U ∩ D1 6= ∅ [(3), (4), T.1.3.4]

(6) Existe B1 6= ∅ abierto relativamente compacto tal que

Bn ⊆ U ∩D1 [(1), T.9.6.1]

(7) B1 ∩D2 6= ∅ [(3), (6), T.1.3.4]

(8) Existe B2 6= ∅ abierto relativamente compacto tal que

B2 ⊆ B1 ∩ D2 [(1), T.9.6.1]

Continuando con este procedimiento, obtenemos.

(9) Bnn∈IN es una familia de conjuntos abiertos relativamente

compactos no vacıos tal que Bn ⊆ Bn−1 ∩Dn

(10)Bn

n∈IN es una familia de conjuntos compactos cerrados [(9)]

(11) Bn es cerrado en el compacto B1 para cada n ∈ IN [(9), (10)]

(12)⋂

n∈INBn 6= ∅ [(11), T.9.1.1]

(13)⋂

n∈INBn ⊆ U

⋂n∈IN

Dn.

(13.1) B1 ⊆ U ∩ D1 [(6)]

(13.2) Bn ⊆ Bn−1 ∩ Dn ⊆ Dn para todo n ∈ IN [(9)]

(13.3) Bn ⊆ Dn para cada n ∈ IN [(13.2)]

(13.4)⋂

n∈INBn ⊆

⋂n∈IN

Dn [(13.3)]

(13.5) B1 ∩⋂

n∈INBn ⊆ U ∩ D1 ∩

⋂n∈IN

Dn [(13.1), (13.4]

(14) U⋂

n∈INDn 6= ∅ [(13), (14)]

(15) Para todo U ∈ τY U⋂

n∈INDn 6= ∅ [(4), (14)]

(16)⋂

n∈INDn es denso [(15), T. 1.3.4]


2

Esto nos conduce a dar la siguiente definicion

Definicion 10.6.1 Un espacio topologico Y es un espacio de Baire si la interseccion

de toda familia numerable de conjuntos abiertos y densos en Y es denso en Y .

Observacion 10.6.1 En estos terminos cada espacio localmente compacto es un espa-

cio de Baire. Mas generalmente, cada espacio localmente compacto numerable regular

es un espacio de Baire ya que la demostracion del teorema anterior es claramente

aplicable a este caso tambien.

El significado caracterıstico de los espacios de Baire es:

Teorema 10.6.2 Sea (Y, τY ) un espacio de Baire. Si Ann∈IN es un cubrimiento

cerrado de Y , entonces por lo menos un An contiene un conjunto abierto no vacıo,

esto es, I(An) 6= ∅ por lo menos para algun n ∈ IN.

Dem.

Sean

(1) (Y, τY ) un espacio de Baire, [Hip.]

(2) Ann∈IN un cubrimiento cerrado de Y . [Hip.]

(3) Y =⋃

n∈INAn, [(2)]

(4) ∅ =

(⋃

n∈INAn

)c

=⋂

n∈INAc

n =⋂

n∈INI(Ac

n), [(3)]

(5) ∅ =⋂

n∈INI(Ac

n) = I

((⋃

n∈INAn

)c), [(4)]

(6)⋃

n∈INAn es denso, [(5), T. 1.3.4]

(7) Acnn∈IN es una familia numerable de abiertos, [(2)]


(8)⋂

n∈INAc

n no es denso.

En efecto,

I

((⋂

n∈INAc

n

)c)= I

(⋃

n∈INAn

)= I (Y ) = Y 6= ∅

(9) Existe algun n ∈ IN tal que Acn que no es denso.


(9.1) Acn es denso para todo n ∈ IN. [Hip.]

(9.2)⋂

n∈INAc

n =⋂

n∈INAc

n =⋂Y = Y , [(9.1)]

(9.3)⋂

n∈INAc

n es denso, [(9.2)]

(9.3) contradice (8).

(10) Acn 6= Y para algun n ∈ IN, [(9)]

(11)(Ac

n

)c 6= ∅ para algun n ∈ IN, [(10)]

(12) I (An) 6= ∅ para algun n ∈ IN. [(11)]

2

Definicion 10.6.2 Sea (Y, τY ) un espacio topologico , entonces:

(i) Un conjunto B ⊆ Y es nunca denso o ralo si su clausura no tiene interior, esto

es, I(B)

= ∅ o Bces denso.

(ii) Cualquier union numerable de conjuntos ralos o nunca densos se llama de primera

categorıa.

(iii) Cualqier conjunto que no es de primera categorıa se dice que es de segunda cate-

gorıa.

Teorema 10.6.3 Sea (Y, τY ) un espacio de Baire. Si B ⊆ Y es de primera categorıa,

entonces I(B) = ∅, es decir, B es de primera categorıa si tiene interior vacıo.


Dem.

Sean


(2) B ⊆ Y de primera categorıa. [Hip.]

(3) B =⋃

n∈INBn tal que I

(Bn

)= ∅ para cada n ∈ IN. [(2)]

(4) Sea U ∈ τY tal que U ⊆ B [Hip.]

(5) U ⊆⋃

n∈INBn ⊆

⋃n∈IN

Bn [(3), (4)]

(6)⋂

n∈INBn

c ⊆ U c [(5)]

(7) Para cada n ∈ IN Bnc

es abierto y denso [(3), T. 1.3.4]

(8) U c es denso.

En efecto,

(8.1)⋂

n∈INBn

ces denso en Y. [(1), (7)]

(8.2) U c es cerrado en Y [(4)]

(8.3)⋂

n∈INBn

c ⊆ Un [(6)]

(8.4) Y ⊆ U c ⊆ Y [(8.1), (8.3)]

(8.5) Uc= Y [(8.2), (8.4)]

(9) U c = Y [(8), (8.2)]

(10) U = ∅ [(9)]

(11) Para todo U ∈ τY : U ⊆ B se verifica que U = ∅ [(4), (10)]

(12) I(B) =⋃

U∈τ,U⊆B

U = ∅ [(11)]

2


Teorema 10.6.4 Sea (Y, τY )un espacio topologico. Las siguientes condiciones son

equivalentes.

(i) (Y, τY )es un espacio de Baire.

(ii) Si Ann∈IN es un cubrimiento cerrado numerable de Y , entonces por lo menos

un An contiene un conjunto abierto no vacıo, es decir, I (An) 6= ∅ por lo menos

para algun n ∈ IN.

Dem. (i)⇒ (ii)

Sean


(2) Ann∈IN :

(i) Y =⋃

n∈INAn,

(ii) An ∈ τY −cerr para cada n ∈ IN. [Hip.]

Supongamos que

(3) I (An) = ∅ para todo n ∈ IN. [Hip.]

(4) C (I (An)) = Y para todo n ∈ IN, [(3)]

(5) C(I (An)) = Y , [(4)]

(6) C (An) es denso para todo n ∈ IN, [(5)]

(7) C (An)n∈IN es una familia numerable de abiertos y densos, [(ii), (6)]

(8)⋂

n∈INC (An) = Y , [(1), (7)]

(9) C

(⋂

n∈INC (An)

)= ∅, [(8)]

(10) IC

(⋂

n∈INC (An)

)= ∅, [(9)]


(11) I

(⋃

n∈INAn

)= ∅, [(10)]

(12) I (Y ) = ∅, [(2)(ii), (11)]

(13) Y = ∅, [(12)]

(14) I(An) = ∅ para algun n ∈ IN. [(3), (13)]

2


11 Espacios metricos

En esta unidad estudiaremos espacios en el que la topologıa se deriva de la nocion

de distancia.

11.1 Metricas sobre conjuntos

Definicion 11.1.1 Sea Y un conjunto no vacıo. Una metrica sobre Y es una funcion

d : Y × Y → IR que satisface las propiedades:

(d1) d(x, y) > 0 para todo x, y.

(d2) d(x, y) = 0 si y solo si x = y.

(d3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y.

(d4) d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z,

se dice que d(x, y) es la distancia entre x e y.

Si d : Y × Y → IR es una metrica sobre Y , entonces el par (Y, d) se llama espacio

metrico.

Ejercicio 11.1.1 Si Y es un conjunto arbitrario, definiendo d(x, y)=

1 si x 6= y0 si x = y

,

tenemos una metrica sobre Y .

Ejercicio 11.1.2 En el conjunto de los numeros reales IR, d(x, y) = |x − y| es una

metrica. De modo mas general, en el conjunto IRn, do(x, y) = max|xi − yi| : 1 6 i 6

n

es una metrica.

Ejercicio 11.1.3 En el conjunto IRn, dp(x, y) = p

√n∑

i=1

|xi − yi|p es una metrica para

todo p ≥ 1.

Ejercicio 11.1.4 Sea Y un conjunto y C(Y ) =f : Y → IR: f es acotada

. En-

tonces d(f, g) = sup|f(y) − g(y)| : y ∈ Y

es una metrica sobre C(Y ).


11.2 Topologıa inducida por una metrica

A cada metrica d sobre un conjunto Y vamos asociarle una topologıa T (d) definida

sobre Y .

Definicion 11.2.1 Sea (Y, d) un espacio metrico. Para cada a ∈ Y y r > 0, el

conjunto Bd(a, r) =y : d(y, a) < r

se llama la d-bola de radio r y centro a.

Observacion 11.2.1 Claramente, Bd(a, r) ⊆ Bd(a, r′) si r 6 r′ y Bd(a, 0) = ∅.

En adelante, omitiremos la distincion d cuando la metrica sea clara para el contexto.

Lema 11.2.1 Sea (Y, d) un espacio metrico. La familia B =Bd(y, r) : y ∈ Y, r > 0

de todas las d-bolas en Y es base para una topologıa para Y .

Dem.

Sean

(1) B(xo, rx), B(yo, ry) ∈ B, [Hip.]

(2) a ∈ B(xo, rx) ∩B(yo, ry). [Hip.]

(3) Consideremos r = minrx − d(a, xo), ry − d(a, yo)

[Hip.]

(4) r > 0 [(3)]

(5) B(a, r) ∈ B [(4)]

(6) B(a, r) ⊆ B(xo, rx) ∩B(yo, ry)

(6.1) Sea x ∈ B(a, r) [Hip.]

(6.2) d(x, a) < r [(6.1)]

(6.3) d(x, xo) 6 d(x, a) + d(a, xo)

< r + d(a, xo) [(6.2)]

6 (rx − d(a, xo)) + d(a, xo) = rx [(3)]

(6.4) x ∈ B(xo, rx) [(6.3)]

(6.5) d(x, yo) 6 d(x, a) + d(a, yo)


< r + d(a, yo) [(6.2)]

6 (rx − d(a, yo)) + d(a, yo) = ry [(3)]

(6.6) x ∈ B(yo, ry) [(6.5)]

(6.7) x ∈ B(xo, rx) ∩B(yo, ry) [(6.4),(6.6)]

(6.8) B(a, r) ⊆ B(xo, rx) ∩B(yo, ry) [(6.1),(6.7)]

(7) B es base para alguna topologıa [(1),(2),(3),(6), U1]

2

El lema anterior nos conduce a la siguiente definicion.

Definicion 11.2.2 Sea Y un conjunto y d una metrica sobre Y . La topologıa T (d),

que tiene como base la familia B =Bd(y, r) : y ∈ Y, r > 0

de todas las d-bolas de Y ,

se llama la topologia para Y inducida por la metrica d.

Ejercicio 11.2.1 En el conjunto IRn, sea d la metrica del Ejemplo 11.1.1, entonces

T (d) es la topologia discreta.

Ejercicio 11.2.2 En el conjunto IRn, sea do la metrica del Ejemplo 11.1.2, entonces

T (do) es la topologia euclidea.

Ejercicio 11.2.3 La familiaBd(y, r) : y ∈ Y, r ∈ Q

es una base para T (d).

Dado un espacio topologico (Y,T ), nos podemos preguntar si existe una metrica d

sobre Y tal que T = T (d). La respuesta en general es no. Por ejemplo, es facil ver

que en el espacio de Sierpinski no existe ninguna metrica d tal que T (d) = TS .

Definicion 11.2.3 Un espacio topologico (Y,T ) es un espacio metrico o es metrizable

si su topologıa T es la inducida por una metrica sobre Y . Una metrica para un espacio

topologico Y es la que induce su topologıa.

Con esta terminologıa, el espacio euclideo IRn es un espacio metrico, y do es una

metrica para dicho espacio. En los espacios metricos, los conceptos topologicos pueden

ser expresados en terminos del analisis clasico, ε, δ. Por ejemplo:


Definicion 11.2.4 Sea T (d) una topologıa para X y T (ρ) una topologıa para Y . Una

funcion f : X → Y es continua si:

∀x, ∀ε > 0 ∃ δ(ε, x) > 0: d(ξ, x) < δ ⇒ ρ(f(ξ), f(x)) < ε,

esto es ,

∀x, ∀ε > 0 ∃ δ(ε, x) > 0: f(Bd(x, δ)) ⊆ Bd(f(x), ε).

11.3 Metricas equivalentes

En esta seccion nosotros daremos los criterios para determinar de antemano si dos

metricas diferentes sobre un mismo conjunto inducen la misma topologıa sobre este.

Definicion 11.3.1 Dos metricas d, ρ sobre un conjunto Y son equivalentes si T (d) =

T (ρ) y lo notaremos por d ∼ ρ.

Esta es claramente una relacion de equivalencia sobre el conjunto de todas las

metricas sobre Y .

Teorema 11.3.1 Sea ρ, d, dos metricas sobre Y . Una condicion necesaria y suficiente

para que ρ ∼ d es que para cada a ∈ Y y cada ε > 0, se verifiquen las condiciones

siguientes:

(i) ∃ δ1 = δ1(a, ε): ρ(a, y) < δ1 ⇒ d(a, y) < ε,

(ii) ∃ δ2 = δ2(a, ε): d(a, y) < δ2 ⇒ ρ(a, y) < ε.

Dem.

(1) Sean ρ, d dos metricas sobre Y tales que ρ ∼ d [Hip.]

(2) T (ρ) = T (d) [(1)]

(3) 1 : (Y,T (ρ)) → (Y,T (d)) es un homeomorfismo [(2), U2]

(4) Sea a ∈ Y y ε > 0 [Hip.]

(5) ∃ δ1 = δ1(a, ε): ρ(a, y) < δ1 ⇒ d(a, y) < ε [(4),(3),Def.11.2.4]

(6) ∃ δ2 = δ2(a, ε): d(a, y) < δ2 ⇒ ρ(a, y) < ε [(4),(3),Def.11.2.4]


2

Ejercicio 11.3.1 En el conjunto IRn, todas las metricas dp, p ≥ 1, son equivalentes

con la mtrica do y por lo tanto metrizan la topologıa euclıdea.

Corolario 11.3.1 Sea (Y,T (d)) un espacio metrico. Entonces para cada M > 0 existe

una metrica pM ∼ d tal que pM (x, y) 6 M para todo (x, y). Equivalentemente, cada

espacio metrico es homeomorfo a un espacio metrico acotado.

Dem.

Sean

(1) (Y,T (d)) un espacio metrico, [Hip.]

(2) M > 0, [Hip.]

(3) pM : Y × Y → IR, definida por pM (x, y) = minM,d(x, y)

. [Hip.]

(4) pM (x, y) es una metrica sobre Y tal que pM (x, y) 6 M [(3),(2),(1)]

(5) pM ∼ d

En fecto,

(5.1) sea x ∈ Y y ε > 0 [Hip.]

(5.2) d(x, y) < M o d(x, y) > M [(2)]

(i) d(x, y) < M

(5.3) pM (x, y) = d(x, y) [(i),(3)]

(5.4) ∃ δ1 = ε: si pM (x, y) < δ1⇒ d(x, y) < ε [(5.3)]

(ii) d(x, y) > M

(5.5) pM (x, y) = M [(ii),(3)]

(5.6) pM (x, y) 6 d(x, y) [(3)]

(5.7) ∃ δ2 = ε: si d(x, y) < δ2⇒pM (x, y) < ε [(5.6)]

(5.8) pM ∼ d. [(5.4),(5.7),T.11.3.1]

2


11.4 Continuidad de la distancia

Definicion 11.4.1 Sea (Y, d) un espacio metrico.

(1) La distancia de un punto yo a un conjunto no vacıo A es

d(yo, A) = infd(yo, a) : a ∈ A

.

(2) La distancia entre dos conjuntos no vacıos A y B es

d(A,B) = infd(a, b) : a ∈ A, b ∈ B

= inf

d(a,B) : a ∈ B

(3) El diametro de un conjunto no vacıo A es

δ(A) = supd(x, y) : x ∈ A, y ∈ A

Ejercicio 11.4.1 δ(Bd(a, r)) 6 2r. En efecto, sean x, y ∈ Bd(a, r), luego d(x, y) 6d(x, a) + d(a, y) < 2r y por lo tanto δ(Bd(a, r)) 6 2r.

Ejercicio 11.4.2 Por convencion δ(∅) = 0. Un conjunto A es acotado si δ(A) < ∞,

d es una metrica acotada si δ(Y ) <∞.

Ejercicio 11.4.3 d(A,B) 6= 0 ⇒ A ∩ B = ∅, la implicacion inversa es verdadera

cuando A y B son cerrados.

Lema 11.4.1

(a) d(y,A) = 0 si y solo si y ∈ A, donde A =y : d(y,A) = 0

.

(b) p ∼ d si y solo si para cada A ⊆ Y , d(y,A) = 0 ⇔ ρ(y,A) = 0.

Dem.

(a)

Las siguientes condiciones son equivalentes dos a dos

(1) y ∈ A

(2) ∀B(y, r) : A ∩B(y, r) 6= ∅

(3) ∀r > 0 ∃ ar ∈ A : d(y, ar) < r


(4) d(y,A) = 0

(b)

(⇒)

(1) ρ ∼ d [Hip.]

(2) d(y,A) = 0 [Hip.]

(3) y ∈ A =y : d(y,A) = 0 =

y : ρ(y,A) = 0 [(1),(2)]

(4) ρ(y,A) = 0 [(3)]

(⇐)

(5) d(y,A) = 0 ⇔ ρ(y,A) = 0 [Hip.]

(6) T (d) =CA : A ∈ P(Y )

[U3]

=Cy : d(y,A) = 0 : A ∈ P(Y )

[(a)]

=Cy : ρ(y,A) = 0 : A ∈ P(Y )

[(5)]

=CA : A ∈ P(Y )

= T (ρ) [U3]

(7) ρ ∼ d [(6)]

2

Teorema 11.4.1 Sean Y un espacio metrico, con metrica d, y A un subconjunto de

Y . Entonces la funcion f : Y → IR definida por f(y) = d(y,A) es continua.

Dem.

Sean

(1) Y un espacio metrico con metrica d, [Hip.]

(2) A ⊆ Y , [Hip.]

(3) f : Y → IR definida por por f(y) = d(y,A) para todo y ∈ Y , [Hip.]


(4) x, y ∈ Y . [Hip.]

(5) Para cada a ∈ A, d(x, a) 6 d(x, y) + d(y, a) [(1)]

(6) d(x,A) = infad(x,A) 6 d(x, y) + inf

ad(y, a) = d(x, y) + d(y,A) [(5)]

(7) d(x,A) − d(y,A) 6 d(x, y) [(6)]

(8) d(y,A)− d(x,A) 6 d(x, y) [(4),..,(7)]

(9) |d(x,A)− d(y,A)| 6 d(x, y) [(7),(8)]

(10) Sea ε > 0 [Hip.]

(11) ∃ δ = ε > 0: si d(x, y) < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε [(10),(9),(3)]

(12) f es continua. [(11)]

2

11.5 Propiedades de las topologıas metricas

En esta seccion, estudiaremos las propiedades mas importantes de las topologıas

metricas, salvo la del producto cartesiano que la veremos mas adelante.

Teorema 11.5.1

(a) La metrizabilidad es una propiedad topologica.

(b) Todo subespacio de un espacio metrico es tambien un espacio metrico. Precisa-

mente, dado (Y,T (d)) y A ⊆ Y , la topologıa inducida por T (d) sobre A es

exactamente la topologıa derivada de la metrica d/A ×A : A×A→ IR.

Dem.

(a)

Sean

(1) (Y,T (d)) un espacio metrizable, [Hip.]

(2) h : (X,T ) → (Y,T (d)) un homeomorfismo, [Hip.]


(3) ρ : X ×X → IR definida por ρ(x, x′) = d(h(x), h(x′)). [Hip.]

(4) ρ es una metrica sobre X, [(2),(3),(1)]

(5) T = T (ρ), [(2),(4)]

(6) (X,T ) es metrizable. [(4),(5)]

por lo tanto,

(7) la metrizabilidad es una propiedad topologica [(1),(2),(6)]

2

Definicion 11.5.1 Un espacio perfectamente normal es un espacio topologico normal

en el que todo subconjunto cerrado es un Gδ.

Lema 11.5.1 Todo espacio metrico es perfectamente normal.

Dem.

(1) Sea Y un espacio metrico [Hip.]

(2) Y es normal [(1),U5]

(3) Sea A un conjunto cerrado en Y [Hip.]

(4) f : Y → IR definida por f(y) = d(y,A) es una funcion continua [T.11.4.1]

(5) y ∈ A⇔ f(y) = 0 [L.11.4.1,(4)]

(6) f−1(0) = A [(5)]

(7) f−1(0) =y ∈ Y : f(y) = 0

=∞⋂

n=1

y ∈ Y : f(y) < 1

n

=∞⋂

n=1

f−1(−∞, 1n)

(8) f−1(−∞, 1n) es abierto en Y para todo n ∈ N [(4)]

(9) A es un conjunto Gδ [(6),(7),(8)]

(10) Y es perfectamente normal [(2),(3),(9)]


2

Teorema 11.5.2 (A. H. Stone) Todo espacio metrico es paracompacto.

Dem.

(1) Sea d una metrica para el espacio X [Hip.]

(2) para cada n ∈ N sea Bn =B(x, 1/n) : x ∈ X

[Hip.]

(3) Sea Uαα∈A un cubrimiento abierto y x ∈ X [Hip.]

(4) existe α ∈ A tal que x ∈ Uα [(3)]

(5) d(x, CUα) > 1/n > 0 para un n conveniente [(4)]

(6) tomemos V (x) = B(x, 1/3n) [Hip.]

(7) V (x) ⊆ Uα

(7.1) Sea a ∈ V (x) [Hip.]

(7.2) d(a, x) < 1/3n < 1/n [(7.1)]

(7.3) Supongamos que a /∈ Uα [Hip.]

(7.4) d(a, CUα) < 1/n [(7.2),(7.3)]

(7.5) (7.4) contradice (5)

(7.6) a ∈ Uα [(7.3),(7.5)]

(7.7) V (x) ⊆ Uα [(7.1),(7.6)]

(8) St(V (x),B3n) ⊆ Uα [(7)]

(9) X es paracompacto

2

Ejercicio 11.5.1 [0,∞] no es perfectamente normal (el conjunto cerrado ∞ no es

un conjunto Gδ); por lo tanto no es metrizable. En particular no todo espacio para-

compacto es metrizable.

Ejercicio 11.5.2 [0,∞) no es metrizable porque no es paracompacto.


Definicion 11.5.2 Un espacio Y es 1 numerable (o satisface el primer axioma de

numerabilidad) si para cada y ∈ Y existe una familia a lo sumo numerable Un(y)n∈N

de entornos abiertos de y con la propiedad: Para cada abierto G que contiene a y,

existe algun Un(y) ⊆ G ( expresado brevemente: si Y tiene una base numerable para

cada punto ).

Ejercicio 11.5.3 Claramente 2 numerable implica 1, pero no la recıproca ya que un

espacio discreto no numerable es 1 numerable, pero no es 2 numerable.

Ejercicio 11.5.4 R es 1 numerable, asignando a cada x ∈ R la familia de todos los

intervalos (rn, x], donde pra cada n ∈ IN, rn < x es racional. Recordemos que R no es

2 numerable por lo antes visto.

Ejercicio 11.5.5 [0,∞] no es 1 numerable, aunque su subespacio [0,∞) si lo es.

Lema 11.5.2 Todo espacio metrico es 1 numerable.

Dem.

(1) Sea d una metrica para un espacio Y [Hip.]

(2) T (d) es la topologıa inducida por d [(1)]


(4)Bd(y, r) : r es racional

es una base numerable [(2), Def.11.2.2]

(5) Y es 1 numerable [(3),(4), Def.11.5.2]

2

Ejercicio 11.5.6 Todo espacio metrico no es en general 2 numerable, como el espacio

discreto no numerable con la metrica dada en el ejemplo 11.1.1

Definicion 11.5.3 Un conjunto A ⊆ X es ε-denso si para cada x ∈ X d(x,A) < ε.

Teorema 11.5.3 En un espacio metrico X las siguientes condiciones son equivalentes.

(a) Y es separable,

(b) Y es 2 numerable,

(c) Y es Lindelof.


Dem.

(1) Sea Y un espacio metrico [Hip.]

(a) ⇒ (b)

(2) Y es separable [Hip.]

(3) Y es 2 numerable [(2)]

(b) ⇒ (a)

(4) Y es separable [Hip.]

(5) existe yii∈N denso numerable [(4)]

(6) BB(yi, r) : r es racional, i = 1, 2, ...

es una base numerable para Y

(6.1) Sea G ⊆ Y abierto e y ∈ G [Hip.]

(6.2) existe r > 0 racional tal que B(y, r) ⊆ G [(1),(6.1)]

(6.3) podemos encontrar un yn ∈ B(y, r/3) [(5)]

(6.4) y ∈ B(yn,2r3) ⊆ B(y, r) ⊆ G [(6.3),(6.2)]

(6.5) B es una base numerable para Y [(6.1),(6.4),U2]

(b) ⇒ (c)

(7) Y es 2 numerable [Hip.]

(8) Y es Lindelof [(7)]

(c) ⇒ (a)

(9) Y es Lindelof [Hip.]

(10) Sea ε = 1/n > 0 [Hip.]

(11)B(y, ε) : y ∈ Y

es un cubrimiento de Y [(1)]

(12) existeB(yi, ε) : i ∈ Z

subcubrimiento numerable [(9),(11)]


(13) Sea A(ε) =yi : i ∈ Z

[Hip.]

(14) D =∞⋃

n=1

A(1/n) es denso numerable en Y

(14.1) Sea y ∈ Y [Hip.]

(14.2) d(y, yi) < ε para algun i ∈ Z [(14.1),(12)]

(14.3) yi ∈ A(1/n) [(13)]

(14.4) d(y,A(1/n)) < ε [(14.2),(14.3)]

(14.5) A(1/n) es ε-denso para todo n ∈ N [(14.1),(14.4),Def.11.5.3]

(14.5) D es denso numerable [(14.5),(13)]

2

Ejercicio 11.5.7 R no es metrizable, es separable, pero no es 2 numerable.

11.6 Producto cartesiano de espacios metricos

En esta seccion, nosotros probaremos que el producto cartesiano es metrizable si

y solo si un numero de factores no triviales es a lo sumo numerable y cada uno es

metrizable.

Teorema 11.6.1 SeaYα

α∈A una familia de espacios, cada uno de los cuales tiene

mas de un punto. Si∏

α∈AYα es metrizable, entonces cada Yα es metrizable y |A| 6 ℵo.

Dem.

(1) SeaYα

α∈A una familia de espacios no triviales [Hip.]

(2)∏

α∈AYα es metrizable [Hip.]

(3) Yα es homeomorfo a S(yo, α), para todo α ∈ A [U3]

(4) S(yo, α) es un subespacio∏

α∈AYα [U3]

(5) S(yo, α) es metrizable para todo α ∈ A [(4),(2), T.11.5.1]

(6) Yα es metrizable para todo α ∈ A [(3),(5)]


(7) Supongamos que |A| > ℵo [Hip.]

(8) Sean y = [yoα]α∈A ∈

∏α∈A

Yα y [Hip.]

(9)Vnn∈Z una familia numerable de entornos abiertos de y [Hip.]

(10) para cada Vn le asociamos el conjunto finito R(n) =α1, ..., αi

⊆ A

tal que y ∈ 〈Uα1 , ..., Uαi〉 ⊆ Vn [(9)]

(11)⋃

n∈ZR(n) es a lo sumo numerable [(10)]

(12) existe β ∈ A tal que β /∈⋃

n∈ZR(n) [(7),(11)]

(13) escojamos Uβ ∈ U(yoβ) tal que Uβ 6= Yβ [(1)]

(14) y ∈ 〈Uβ〉 es abierto en∏

α∈AYα [(13),(8)]

(15) Vn 6⊆ 〈Uβ〉 para todo n ∈ Z [(13),(12),(10)]

(16)∏

α∈AYα no es 1 numerable [(14),(15)]

(17)∏

α∈AYα no es metrizable [(16),L.11.5.2]

(18) (17) contradice (2)

(19) |A| 6 ℵo [(7),(18)]

2

Teorema 11.6.2 SeaYn : n ∈ N

una familia infinita numerable de espacios metricos.

En cada Yn, elejimos una metrica dn con su topologıa, y δn(Yn) el diametro de Yn acorde

a dn. Para x = [xn

]n∈N, y = [yn

]n∈N definimos ρ(x, y) = sup

dn(xn, yn) : n ∈ N

.

Entonces:

(a) ρ es una metrica en el conjunto∏n∈N

Yn siempre que δn(Yn) este uniformemente

acotada para todo n.

(b) ρ metriza al espacio producto∏n∈N

Yn si y solo si δ(Yn) → 0.

Dem.


(a)

(1) δ(Yn) 6 M <∞ para todo n > no [Hip.]

(2) Definimos ρ(x, y) = supdn(xn, yn) : n ∈ N

[Hip.]

(3) ρ(x, y) > 0 para todo (x, y) ∈∏n∈N

Yn ×∏n∈N

Yn

(3.1) dn(xn, yn) > 0 para todo n ∈ N [dn metrica]

(3.2) ρ(x, y) > 0 para todo n ∈ N [(3.1),(2)]

(4) ρ(x, y) = 0 si y solo si x = y

(4.1) ρ(x, y) = 0 [Hip.]

(4.2) supdn(xn, yn) : n ∈ N

= 0 [(2),(4.1)]

(4.3) dn(xn, yn) = 0 para todo n ∈ N [(4.2)]

(4.4) xn = yn para todo n ∈ N [(4.3),dn metrica]

(4.5) x = y [(4.4)]

(5) ρ(x, y) = ρ(y, x)

(5.1) dn(xn, yn) = dn(yn, xn) para todo n ∈ N [dn metrica]

(5.2) ρ(x, y) = ρ(y, x) [(5.1),(2)]

(6) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z)

(6.1) ρ(x, z) = supndn(xn, zn)

6 supn

[dn(xn, yn) + dn(yn, zn)

]

6 supndn(xn, yn) + sup

ndn(yn, zn) = ρ(x, y) + ρ(y, z)

(8) ρ es una metrica [(3),(4),(5),(6)]

(b)

(⇒)

(1) Supongamos que δ(Yn) → 0 [Hip.]

i)


(2) Sea x ∈ 〈B(x1, r1), ..., B(xn, rn)〉 = U [Hip.]

(3) elijamos µ = minr1, ..., rn

[Hip.]

(4) µ > 0 [(3)]

(5) x ∈ Bρ(x, µ) ⊆ U

(5.1) Sea y ∈ Bρ(x, µ) [Hip.]

(5.2) ρ(x, y) < µ [(5.1)]

(5.3) supndn(xn, yn) < µ [(5.2)]

(5.4) dn(xn, yn) < rn para todo n [(5.3),(3)]

(5.5) yn ∈ B(xn, rn) para todo n [(5.4)]

(5.6) y ∈ U [(5.5),(2)]

ii)

(6) Sea x ∈ Bp(x, η) [Hip.]

(7) existe no tal que δ(Yn) <η2

para todo n ≥ no [(1)]

(8) x ∈ U = 〈B(x1, η/2), ..., B(xno, η/2)〉 ⊆ Bρ(x, η)

(8.1) Sea y ∈ U [Hip.]

(8.2) y ∈ p−1i (B(xi, η/2)) para todo 1 6 i 6 no [(8)]

(8.3) pi(y) ∈ B(xi, η/2) para todo 1 6 i 6 no [(8.2)]

(8.4) di(xi, yi) < η/2 para todo 1 6 i 6 no [(8.1),(8)]

(8.5) ρ(x, y) < η/2 [(8.4)]

(8.6) y ∈ Bρ(x, η) [(8.5)]

(9) la base de T (ρ) es equivalente a la del espacio producto [ i), ii)]

(10) ρ metriza al espacio producto [(9)]

(⇐)

(11) Supongamos que δn(Yn) 6→ 0 [Hip.]

(12) existe ε > 0 y existen infinitos indices in para los puntos xoin, y

oin ∈ Yin


que satisfacen din(xoin, yo

in) > ε [(11)]

(13) Sea xo = [xoin

]n∈N

(14) no existe U ∈ U(xo) tal que xo ∈ U ⊆ Bp(xo, ε)

(14.1) z ∈ U tiene por coordenadas zi = xoi (i 6= in), zin = yo

in[(13),(14)]

(14.2) ρ(xo, z) > ε [(12),(14.1)]

(14.3) z /∈ Bρ(xo, ε) [(14.2)]

(14.4) U 6⊆ Bp(xo, ε) [(14.1 ),(14.3)]

(15) ρ no metriza al espacio producto [(14)]

2

Corolario 11.6.1 SeaYα

α∈A una familia de espacios metrizables. Si |A| 6 ℵo,

entonces∏

α∈AYα es metrizable.

Dem.

(1) Supongamos que |A| = n < ℵo [Hip.]

(2) sea di una metrica para Yi [Hip.]

(3) Definamos ρ(x, y) = maxdi(xi, yi) : 1 6 i 6 n

[Hip.]

(4) ρ metriza al producton∏

i=1

Yi [(3),T.11.6.2]

(5) Supongamos que |A| = ℵo [Hip.]

(6) (Yi, di) es homeomorfo a un espacio metrico acotado para todo i [C.11.3.1]

(7)∏

α∈AYα es metrizable [(6),T.11.6.2]

2


11.7 El espacio l2(A); Cubo de Hilbert

Definicion 11.7.1 Sea A un conjunto de cardinal arbitrario, y IR|A| el producto carte-

siano de |A| factores de IR. El espacio metrico l2(A) tiene por elementos todo x =

[xα] ∈ IR|A| tal que xα 6= 0, a lo sumo para un numero infinito numerable de α ∈ A y tal

que∑α

x2α converge. Su topologıa es la inducida por la metrica d(x, y) =

√∑α

(xα − yα)2.

Debe verificarse que d(x, y) es de hecho una metrica. Su finitud y la desigualdad

triangular se sigue de la desigualdad de Minkowski’s: Dados x, y ∈ l2(A), entonces

sumando sobre una cantidad a lo sumo numerable de elementos de A, para que por lo

menos uno de los elementosx, y tenga una coordenada distinta de cero, tenemos que

para cada n finito√n∑

1=1

(xαi − yαi)2 6

√n∑

i=1

x2αi

+

√n∑

i=1

y2αi

6√∑

α

x2α +

√∑α

y2α <∞.

La suma parcial esta acotada, y es una sucesion monotona decreciente y por lo

tanto convergente, de estas dos conclusiones se sigue que:

√∑α

(xα − yα)2 6√∑

α

x2α +

√∑α

y2α,

Observacion 11.7.1 l2(A) es un ejemplo del espacio linear clasico llamdo espacio de

Hilbert.

Observacion 11.7.2 Es trivial verificar que l2(A) ∼= l2(B) sii |A| = |B|. Si |A| =

n < ℵo, es claro que l2(A) ∼= IRn.

Lema 11.7.1 l2(A) es separable ( y 2 numerable ) si y solo si |A| 6 ℵo.

Dem.

(⇒)

(1) Supongamos que |A| > ℵo y sea [Hip.]

(2) ynn∈N una sucesion de elementos de l2(A) donde yn = [ynα]α∈A [Hip.]

(3) sea β el indice para todos los miembros de la sucesion que

tienen coordenada 0 [(1),(2)]


(4) Sea x = [xα] =

1 si α = β0 si α 6= β

[Hip.]

(5) B(x, 1/2) es un entorno abierto de x [(3),(4)]

(6) yn /∈ B(x, 1/2) para todo n ∈ N [(2),(4),(5)]

(⇐)

(1) |A| 6 ℵo [Hip.]

(2) el conjunto de todos los puntos de l2(A) que tiene a lo sumo un numero

finito de coordenadas racionales y el resto cero es denso en l2(A)

(3) D es separable [(2)]

2

Definicion 11.7.2 El subespacio

[xn] ∈ l2(ℵo) : |xn| 6 1/n

se llama el cubo de

Hilbert y se denota por I∞.

Lema 11.7.2 El cubo de Hilbert I∞ es homeomorfo al producto cartesiano∞∏1

I de una

cantidad numerable de intervalos de la unidad.

Dem.

(1) I ∼= J = [−1, 1] [U3]

(2)∞∏1

I ∼=∞∏1

J [(1)]

(3) Definamos ϕ : I∞ →∞∏1

J por ϕ(x1, x2, x3, ...) = (x1, 2x2, 3x3, ...) [Hip.]

(4) ϕ es biyectiva y continua [(3),U4]

(5) ϕ−1 es continua

(5.1) Sea dn(xn, yn) =|xn − yn|n1/4

para cada n [Hip.]

(5.2) Definamos ρ(x, y) = supndn(xn, yn) [Hip.]

(5.3) ρ metriza al∞∏1

J [(5.1),(5.2),T.11.6.2]


(5.4)∞∑

n=1

1n3/2 es convergente

(5.5) Sea ε = δ.

√ ∞∑n=1

1n3/2 > 0 [(5.4)]

(5.6) Supongamos que ρ(x, y) < δ [Hip.]

(5.7) d(ϕ−1(x), ϕ−1(y)) =

√ ∞∑n=1

(xn

n− yn

n)2

=

√ ∞∑n=1

|xn−yn

n1/4 |. 1n3/2 [(3)]

< δ.

√ ∞∑n=1

1n3/2 = ε [(5.5),(5.6)]

2

Lema 11.7.3 El complemento de I∞ es denso en l2(ℵo) si I∞ no es abierto en l2(ℵo).

Dem.

(1) Sea xo = (x1, x2, ...) ∈ I∞ y [Hip.]

(2) sea B(xo, 2ε) un entorno abierto en l2(ℵo) [Hip.]

(3) ξn = (x1, ..., xn + ε, xn+1, ...) pertenece a B(xo, 2ε) para todo n [(1),(2)]

(4) existe n tal que ξn /∈ I∞

(4.1) Supongamos que ξn ∈ I∞ para todo n [Hip.]

(4.2) |xn + ε| 6 1/n para todo n [(4.1)]

(4.3) ε = 0 [(1),(4.2)]

(4.4) (4.3) contradice (2)

(4.5) existe n tal que ξn /∈ I∞ [(4.4),(4.1)]

(5) I∞ no es abierto en l2(ℵo) [(4),(2)]

2


11.8 Metrizacion de espacios topologicos

Teorema 11.8.1 (Nagata-Yu.M.Smirnov ) Un espacio topologico Y es metrizable

si y solo si es regular y tiene una base que puede ser descompuesta en una sucesion a

lo sumo numerable de familias localmente finitas.

Dem.

(⇒)

(1) Y es metrizable [Hip.]

(2) Y es paracompacto [(1),T.11.5.2]

(3) Y es regular [(2)]

(4) Bn =Bd(y, 1/n) : y ∈ Y

es un c.a. de Y para cada n ∈ N [(1)]

(5) para cada n existe Un,αrefinamiento abierto y l.f. de Bn [(2),(4)]

(6) Un,αn∈N es una base para Y

(6.1) Sea U ∈ U(yo) [Hip.]

(6.2) existe B(yo, 1/no) ∈ Bno tal que B(yo, 1/no) ⊆ U [(6.1),(1),U2]

(6.3) existe no tal que Uno,α ⊆ B(yo, 1/no) [(5)]

(6.4) yno ∈ Uno ,α ⊆ U [(6.2),(6.3)]

(7) existe una base que puede ser descompuesta en una sucesion

a lo sumo numerable de familias l.f. [(5),(6)]

(⇐)

(8) Y es regular [Hip.]

(9) existe un base U tal que U =⋃

n∈NUn, donde Un =

Un,α : α ∈ An

es una familia abierta localmente finita para cada n [Hip.]

(10) Y es paracompacto [(9)]


(11) Y es perfectamente normal

(11.1) Sea U un conjunto abierto en Y [Hip.]

(11.2) para cada y ∈ Y existe un basico Un(y),α(y) tal que

Un(y),α(y) ⊆ Un(y),α(y) ⊆ U [(8)]

(11.3) Definimos para cada k ∈ N: Fk =⋃

Un(y),α(y) : n(y) = k

[Hip.]

(11.4) Fk es cerrado en Y para todo k ∈ N [(9),(11.3)]

(11.5) U =⋃

k∈NFk [(11.2),(11.3)]

(11.6) U es un conjunto Fσ [(11.5)]

(11.7) CU es un conjunto Gδ [(11.1)]

(11.8) Y es perfectamente normal [(11.1),(11.7), Def.11.5.1]

(12) para cada par (n, α) existe una funcion continua ϕn,α : Y → [0, 1]

tal que ϕ−1n,α(0) = Y − Un,α [(11)]

(13) Sea fn,α(y) =1

n.

ϕn,α(y)√1 +

∑β

ϕ2n,β(y)

[Hip.]

(14) para cada y, [fn,α(y)] es un punto de l2(U)

(14.1) Sea y ∈ Y [Hip.]

(14.2) para cada no

Uno ,α es una familia puntualmente finita [(9)]

(14.3) existen α1, ..., αn tales que y ∈ Uno ,αi para todo i ∈ In

e y /∈ Uno ,α para todo α 6= αi [(14.1),(14.2)]

(14.4) ϕno ,α(y) = 0 para todo α 6= αi, i ∈ In [(14.3),(13)]

(14.5) fn,α(y) = 0 exepto para numero a lo sumo numerable de α [(14.4),(13)]

(14.6)∑n,α

f2n,α(y) =

∑n

∑α

f2n,α(y)

=∑n

1n2

∑α

ϕ2n,α(y)

1+∑β

ϕ2n,β(y)

6∑n

1n2 <∞ [

∑α

ϕ2n,α(y)

1+∑β

ϕ2n,β(y)

< 1]


(15) fn,α es funcion [(14)]

(16) fn,α es continua [(13),(12)]

(17) f(y) = [fn,α(y)] es inyectiva

(17.1) Sea x 6= y [Hip.]

(17.2) existe Un,α tal que x ∈ Un,α e y /∈ Un,α [(17.1)]

(17.3) ϕn,α(x) > 0 y ϕn,α(y) = 0 [(17.2),(12)]

(17.4) fn,α(x) > 0 y fn,α(y) = 0 [(17.3),(13)]

(17.5) f(x) 6= f(y) [(17.4)]

(18) f : Y → f(Y ) es una funcion cerrada

(18.1) Sea A ⊆ Y un conjunto cerrado e y /∈ A [Hip.]

(18.2) para algun (no, αo) tenemos que y ∈ Uno ,αo ⊆ Y −A [(18.1),(9)]

(18.3) ϕαo,no(a) = 0 para todo a ∈ A [(18.2),(12)]

(18.4) ϕαo,no(y) = k > 0 [(18.2),(18.3)]

(18.5) f(y) /∈ f(A) [(18.1)]

(18.6) d(f(y), f(A)) > k.1/no [(18.5),(18.4)]

(18.7) f(y) /∈ f(A) [(18.6)]

(19) f es continua

(19.1) Sea yo ∈ Y y ε > 0 [Hip.]

(19.2) elijamos no de manera que∑

n>no

1n2 <

ε2

4[Hip.]

(19.3) Sea W (yo) un entorno abierto que intersecta a lo sumo un numero

finito de conjuntos Un,α para n 6 no [Hip.]

(19.4) existe un numero finito N de funciones fn,α con primer indice

n 6 no [(19.3)]

(19.5) elijamos un entorno abierto V (yo) ⊆W (yo) donde las N funciones

continuas satisfacen: |fn,α(y) − fn,α(yo)| 6 ε√2N

[Hip.]

(19.6) para un y ∈ V (yo), podemos encontrar


∑n,α

n6no

|fn,α(y) − fn,α(yo)|2 6 ε2

2y

∑n,α

n>no

|fn,α(y) − fn,α(yo)|2 6 2∑

n>no

1n2 <

ε2

2[(19.5)]

(19.7) f(V (yo)) ⊆ B(f(yo, ε)) [(19.6)]

(20) f : Y → f(Y ) es un homeomorfismo [(14),...,(19)]

(21) Y es homeomorfo a un subespacio de l2(U) [(20)]

(22) Y es metrizable. [(21),Def.11.7.1,T.11.5.1]

2

Corolario 11.8.1 (P.Urysohn) En los espacios 2 numerables, regularidad es equi-

valente a metrizabilidad.

Dem.

(1) Sea Y un espacio 2 numerable [Hip.]

(⇒)

(2) Y es regular [Hip.]

(3) existe una base numerable B =Un : n ∈ Z

[(1)]

(4) B =⋃n

Bn, donde cada Bn =Un

[(3)]

(5) Y es metrizable [(2),(3),(4),T.11.8.1]

(⇐)


(7) Y es paracompacto [(6),T.11.5.2]

(8) Y es regular [(7)]

2

Corolario 11.8.2 Cada espacio regular 2 numerable es homeomorfo a un subconjunto

de el Cubo de Hilbert I∞.


Dem.

(1) Sea Y un espacio regular 2 numerable [Hip.]

(2) Y tiene una base numerable B [(1)]

(3) |B| = ℵo [(2)]

(4) Y es homeomorfo a un subespacio de l2(B) [(1),(2),T.11.8.1,(⇐)]

(5) l2(B) ∼= l2(ℵo) [(3),Obs.11.8.1]

(6) |fn| 6 1/n para cada n [T.11.8.1]

(7) f(Y ) ⊆ I∞ [(5)]

(8) Y es homeomorfo a un subconjunto de I∞ [(7),(4),(5)]

2

Lema 11.8.1 Sean Y un espacio regular y Un =Un,α : α ∈ An

una sucesion de cu-

brimientos abiertos localmente finitos tales que U =∞⋃

n=1

Un es una base. Entonces Y es

metrizable, y se puede seleccionar una metrica ρ de manera que Bρ(y, 1/n) ⊆ St(y,Un)

para cada n e y ∈ Y .

Dem.

(1) Sean Y un espacio regular y [Hip.]

(2) Un =Un,α : α ∈ An

una sucesion de cubrimientos abiertos

localmente finitos tales que U =∞⋃

n=1

Un es una base [Hip.]

(3) Sea fn,α =n−1 .ϕn,α√∑

βϕ2

n,β

[Hip.]

(4) Y es homeomorfo a un subespacio de l2(U) [(3), T.11.8.1]

(5) existe ρ metrica para Y [(1),(2),(3),T.11.8.1]

(6) St(y,Un) =⋃

Un,α : y ∈ Un,α

(7) Sea y ∈ Y y n ∈ N [Hip.]


(8) existen α1, ..., αk tales que y ∈ Un,αi para todo i ∈ In [(2),(7)]

(9) Un,αi con i ∈ In son conjuntos de St(y,Un) [(6),(8)]

(10) fn,α(y) 6= 0 si y solo si α ∈ α1, ..., αk [(3),(9)]

(11)k∑

i=1

f2n,αi

(y) = 1n2 [(3)]

(12) Supongamos que x /∈ St(y,Un) [Hip.]

(13) fn,α(x) = 0 si y solo si α ∈ α1, ..., αk [(9),(10),(12)]

(14) [ρ(x, y)]2 =∑n,α

|fn,α(x)− fn,α(y)|2

>k∑

i=1

f2n,αi

(y) = 1n2 [(11),(13)]

(15) ρ(x, y) > 1/n [(14)]

(16) x /∈ Bρ(y, 1/n) [(15)]

(17) Bρ(y, 1/n) ⊆ St(y,Un) [(12),(16)]

2

Lema 11.8.2 Sea (Y, d) un espacio metrico, yBn : n ∈ N

una sucesion de cu-

brimientos abiertos. Entonces existe un metrica equivalente ρ tal que para cada n,Bρ(y, 1/n) : y ∈ Y

refina a Bn.

Dem.

(1) Sea (Y, d) un espacio metrico [Hip.]

(2)Bn : n ∈ N

una sucesion de cubrimientos abiertos de Y [Hip.]

(3) para cada n ∈ N sea Gn un refinamiento comun del cubrimiento Bn y

Bd(y, 1/n) : y ∈ Y

[Hip.]

(4) Sea Un refinamiento abierto localmente finito de un

b.c. refinamiento abierto de Gn [Hip.]


(5) Un : n ∈ N es una base para Y [(4)]

(6) existe una metrica equivalente ρ tal que para cada y ∈ Y

Bρ(y, 1/n) ⊆ St(y,Un) ⊆ V para algun V ∈ Bn [L.11.8.1]

2

El Teorema de caracterizacion de Nagata-Smirnov para que espacios regulares

sean metrizables, pone una condicion a los cubrimientos por basicos. Usando otros

tipos de cubrimientos, se pueden caracterizar a los espacios metrizables T1 y To.

Teorema 11.8.2 Sea Y un espacio topologico arbitrario. Las siguientes condiciones

son equivalentes:

(a) Y es metrizable,

(b) (K. Morita) Y es un espacio To, y existe una sucesionFn : n ∈ N

de cubri-

mientos cerrados localmente finitos con la propiedad de: para cada y ∈ Y y cada

W ∈ U(y) existe un n tal que St(y,Fn) ⊆ W .

(c) (A. H. Stone) Y es un espacio To, y existe una sucesionUn : n ∈ N

de

cubrimientos abiertos con la propiedad: para cada y ∈ Y y cada W ∈ U(y) existe

V ∈ U(y) y n tal que St(V,Un) ⊆W .

(d) (A. Arhangel ′skii) Y es un espacio T1, y existe una sucesionUn : n ∈ N

de

cubrimientos abiertos localmente estrellado para todo cubrimiento abierto.

Dem.

(1) Sea Y un espacio arbitrario [Hip.]

(a) ⇒ (b)



(4) se verifica (b) [(3),A.C.]


(b) ⇒ (c)

(5) Y es un espacio To y existe una sucesionFn : n ∈ N

de cubrimientos

cerrados localmente finitos con la propiedad :

para cada y ∈ Y y cada W ∈ U(y) existe un n tal que St(y,Fn) ⊆ W . [Hip.]

(6) supongamos que Fn+1 ≺ Fn para cada n [Hip.]

(7) Sea Un =Int(St(y,Fn)) : y ∈ Y

, par cada n ∈ N [Hip.]

(8) cada Un es un cubrimiento abierto

(8.1) para cada y ∈ Y , sea Vn(y) = Y −⋃

F ∈ Fn : y /∈ F

[Hip.]

(8.2) cada Vn(y) es un conjunto abierto [(9)]

(8.3) y ∈ Vn(y) ⊆ St(y,Fn) [(9)]

(8.4) cada Un es un cubrimiento abierto [(7),(8.1),(8.2),(8.3)]

(9) F ∩ Vn(y) 6= ∅ si y solo si y ∈ F [(8.3)]

(10) Si x ∈ Vn(y), entonces St(x,Fn) ⊆ St(y,Fn)

(10.1) x ∈ Vn(y) [Hip.]

(10.2) Sea z ∈ St(x,Fn) [Hip.]

(10.3) existe F ∈ Fn tal que z ∈ F y x ∈ F [(10.2)]

(10.4) F ∩ Vn(y) 6= ∅ [(10.1),(10.3)]

(10.5) y ∈ F [(9),(10.4)]

(10.6) existe F ∈ Fn tal que z ∈ F e y ∈ F [(10.5),(10.3)]

(10.7) z ∈ St(y,Fn) [(10.6)]

(10.8) St(x,Fn) ⊆ St(y,Fn) [(10.2),(10.7)]

(11) Si St(z,Fn) ∩ Vn(y) 6= ∅, para algun z ∈ Y , entonces z ∈ St(y,Fn)

(11.1) St(z,Fn) ∩ Vn(y) 6= ∅, para algun z ∈ Y [Hip.]

(11.2) existe t ∈ St(z,Fn) ∩ Vn(y) [(11.1)]

(11.3) existe F ∈ Fn tal que t ∈ F y z ∈ F [(11.2)]

(11.4) t ∈ Vn(y) [(11.2)]


(11.5) y ∈ F [(9),(11.3),(11.4)]

(11.6) existe F ∈ Fn tal que z ∈ F e y ∈ F [(11.3),(11.5)]

(11.7) z ∈ St(y,Fn) [(11.6)]

(12) Sea W (y) un entorno abierto de y [Hip.]

(13) existe k ∈ N tal que St(y,Fk) ⊆W (y) [(12),(5)]

(14) Sea n > k [Hip.]

(15) Si St(z,Fn) ∩ Vn(y) 6= ∅, entonces z ∈ St(y,Fn) ⊆ Vk(y) [(11),(13),(8.1)]

(16) St(z,Fk) ⊆ St(y,Fk) ⊆ W (y) [(10),(13),(15)]

(17) St(z,Fn) ⊆ St(z,Fk) ⊆W (y) [(16),(6)]

(18) Int[St(z,Fn)] ⊆ St(z,Fn) ⊆ W (y) [(17)]

(19) St(Vn(y),Un) ⊆W (y) [(18),(7)]

(20) se verifica (c) [(8),(8.2),(5),(12),(19)]

(c) ⇒ (d)

(21) se verifica (c) [Hip.]

(22) Sean x, y ∈ Y tales que x 6= y [Hip.]

(23) existe W entorno abierto de x que no contiene a y [(21)]

(24) existe V entorno abierto de x y n ∈ N tal que St(V,Un) ⊆ W [(22),(21)]

(25) existe U ∈ Un tal que y ∈ U [(24),(23)]

(26) U ∩ V = ∅

(26.1) Supongamos que U ∩ V 6= ∅ [Hip.]

(26.2) U ⊆ St(V,Un) [(26.1)]

(26.3) U ⊆ W [(26.2),(24)]

(26.4) y /∈ U [(26.3),(23)]


(26.5) (26.4) contradice (25)

(26.6) U ∩ V = ∅ [(26.5),(26.1)]

(27) Y es T1 [(22),(24),(25),(26)]

(d) ⇒ (a)

(28) se verifica (d) [Hip.]


(30) para cada n sea Bn un refinamiento localmente finito de Un [Hip.]

(31)Bn : n ∈ N

es una base para Y

(31.1) Sea W abierto en Y e y ∈ W [Hip.]

(31.2) Y es regular [(29)]

(31.3) existe G abierto en Y tal que y ∈ G ⊆ G ⊆W [(31.1)]

(31.4) U =W,Y −G

es un cubrimiento abierto [(31.3),(31.1)]

(31.5) existe una sucesionUn : n ∈ N

de cubrimientos abiertos

localmente estrellado para U [(28),(31.4)]

(31.6) y ∈ W [(31.3),(31.4)]

(31.7) existe V (y) y n ∈ N tal que St(V,Un) ⊆W [(31.5),(31.6)]

(31.8) y ∈ St(y,Bn) ⊆ St(y,Un) ⊆ St(V,Un) ⊆ W [(30),(31.7)]

(31.9)Bn : n ∈ N

es una base para Y [(31.1),(31.8)]

(32) Y es metrizable. [T.11.8.1,(31),(29),(30)]

2

11.9 Espacios de medida

En esta seccion, consideraremos espacios donde la topologıa es inducida por una

pseudometrica o, mas general, por una familia de pseudometricas. Veremos que esta

propiedad caracteriza a los espacios completamente regulares.


Definicion 11.9.1 Sea Y un conjunto. Una funcion d : Y × Y → IR se llama

pseudometrica (o medida ) sobre Y siempre que verifique:

a) d(x, y) > 0 para todo x, y,

b) Si x = y, entonces d(x, y) = 0,

c) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y,

d) d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z.

La d-bola con radio ε centrada en y es el conjunto:

B(y; d, ε) =x : d(x, y) < ε

Ejercicio 11.9.1 Toda metrica es una medida, pero no vale la recıproca ya que d(x, y) =

0 no implica siempre que x = y.

Ejercicio 11.9.2 Para un conjunto Y y f : Y → IR, la funcion df : Y × Y → IR

definida por df (x, y) = |f(x) − f(y)| es una medida en Y, llamada la derivada de la

medida de f . No todas las medidas se derivan de funciones, por ejemplo la metrica

euclidea sobre I2 no es derivable de ninguna funcion f : I2 → IR.

Ejercicio 11.9.3 Una medida dβ sobre un factor Yβ del producto cartesiano∏Yβ

induce una medida d sobre∏Yα definida por d(x, y) = dβ[pβ(x), pβ(y)].

Ejercicio 11.9.4 Si dα : α ∈ A es una familia de medidas uniformemente acotadas

sobre Y , es simple verificar que d(x, y) = supdα(x, y) : α ∈ A es una medida sobre

Y . Ademas, para alguna medida d y una constante M > 0, la funcion min(M,d) es

siempre una medida.

Definicion 11.9.2 Una familia D =dα : α ∈ A

de medidas sobre Y se llama

separable si para cada par de puntos x 6= y existe una dα ∈ D tal que dα(x, y) 6= 0.

Definicion 11.9.3 Sea Y una conjunto y D =dα : α ∈ A

una familia separable

de medidas sobre Y . La topologıa T (D) que tiene por subbasicos la familia B(D) =B(y; dα, ε) : y ∈ Y, dα ∈ D, ε > 0

de todas las bolas se llama la topologıa sobre Y

inducida por la familia D.

Definicion 11.9.4 Una estructura de medida para un espacio topologico (Y,T ) es una

familia separable D de medidas tal que T = T (D). Un espacio topologico que admite

una estructura de medida se llama espacio de medida.


Si Y tiene una estructura de medida D, se puede obtener una base para esta

topologıa agrandando D:

Lema 11.9.1 Sea D =dα : α ∈ A

una familia separable de medidas sobre Y .

Sea D+ la familia de todas las medidas:

max(dα1 , ..., dαn) : de todos los subconjuntos

finitos α1, ..., αn ⊆ A. Entonces la familia B(D+) de todas las bolas es una base

para T (D).

Dem.

(1) d+ = max(dα1 , ..., dαn) [Hip.]

(2) B(y; d+, ε) =n⋂

i=1

B(y; dαi, ε) para cada ε > 0

(2.1) Sea ε > 0 [Hip.]

(2.2) Sea z ∈ B(y; d+, ε) [Hip.]

(2.3) d+(z, y) < ε [(2.2)]

(2.4) dαi(z, y) < ε para todo i = 1, 2, .., n [(1),(2.3)]

(2.5) z ∈n⋂

i=1

B(y; dαi, ε) [(2.4)]

(2.6) B(y; d+, ε) ⊆n⋂

i=1

B(y; dαi, ε) [(2.1),(2.5)]

(2.7) Sea w ∈n⋂

i=1

B(y; dαi, ε) [Hip.]

(2.8) dαi(w, y) < ε para todo i = 1, 2, ..., n [(2.7)]

(2.9) existe io ∈ In tal que d+ = dαio[(1)]

(2.10) d+(w, y) < ε [(2.8),(2.9)]

(2.11) w ∈ B(y; d+, ε) [(2.10)]

(2.12)n⋂

i=1

B(y; dαi, ε) ⊆ B(y; d+, ε) [(2.7),(2.11)]

(2.13) B(y; d+, ε) =n⋂

i=1

B(y; dαi, ε) [(2.6),(2.12)]

(3) los elementos de B(D+) son abiertos en T (D) [(2)]

(4) B(D+) es una base para T (D)

(4.1) Sean B(xo; d+, rx), B(yo; d

+, ry) ∈ B(D+) y [Hip.]


(4.2) a ∈ B(xo; d+, rx) ∩ B(yo; d

+, ry) [Hip.]

(4.3) Consideremos r = minrx − d+(a, xo), ry − d+(a, yo)

[Hip.]

(4.4) r > 0 [(4.3)]

(4.5) B(a; d+, r) ∈ B [(4.4)]

(4.6) B(a; d+, r) ⊆ B(xo; d+, rx) ∩ B(yo; d

+, ry). En efecto:

(4.6.1) Sea x ∈ B(a; d+, r) [Hip.]

(4.6.2) d+(x, a) < r [(4.6.1)]

(4.6.3) d+(x, xo) 6 d+(x, a) + d+(a, xo)

< r + d+(a, xo) [(4.6.2)]

6 (rx − d+(a, xo)) + d+(a, xo) = rx [(4.3)]

(4.6.4) x ∈ B(xo; d+, rx) [(4.6.3)]

(4.6.5) d+(x, yo) 6 d+(x, a) + d+(a, yo)

< r + d+(a, yo) [(4.6.2)]

6 (rx − d+(a, yo)) + d+(a, yo) = ry [(4.3)]

(4.6.6) x ∈ B(yo; d+, ry) [(4.6.5)]

(4.6.7) x ∈ B(xo; d+, rx) ∩B(yo; d

+, ry) [(4.6.4),(4.6.6)]

(4.6.8) B(a; d+, r) ⊆ B(xo; d+, rx) ∩B(yo; d

+, ry) [(4.6.1),(4.6.7)]

2

Teorema 11.9.1

(a) Sea Y un espacio que tiene una estructura D y A un subespacio de Y . Sea DA

la familia de medidas en D, cada una restringida a A×A. Entonces DA es una

estructura de medida para el subespacio A.

(b) Sea

(Yβ,T (Dβ)) : β ∈ B

una familia de espacios de medida. Para cada β ∈ B,

sea Dβ una familia de medidas inducida sobre∏Yβ por los elementos de Dβ.

Entonces la familiaDβ : β ∈ B

de medidas es una estructura de medida para

el producto cartesiano de los espacios de medidas.

Dem. Queda a cargo del lector. 2

Teorema 11.9.2 Un espacio Y es un espacio de medida si y solo si es completamente

regular.


Dem.

(⇒)

(1) Y es un espacio de medida. [Hip.]

(2) Y tiene una topologıa T (D), donde D es una familia separable de medidas. [(1)]

(3) Sea yo ∈ U , donde U es un conjunto abierto en Y , [Hip.]

(4) existe d+ ∈ D+ tal que B(yo; d+, ε) ⊆ U . [L.11.9.1,(3)]

(5) Sea f : Y → IR definida por f(y) = min[1, ε−1.d+(y, yo)], [Hip.]

(6) f es una funcion continua tal que f(yo) = 0, f(Y \ U) = 1, [(4), (5)]

(6) Y es completamente regular. [((3), (5), (6)]

(⇐)

(7) Y es completamente regular [Hip.]

2

Corolario 11.9.1 Un espacio completamente regular es metrizable si y solo si admite

una estructura de medida numerable.

Dem.

(1) Sea Y un espacio completamente regular. [Hip.]

(⇒)

(2) Y es metrizable, [Hip.]

(3) Y es un espacio de medida, [(2)]

(4) Y posee una estructura numerable. [(3), L.11.9.1]

(⇐)

(1) Sea D =dn : n ∈ N

una estructura de medida numerable. [Hip.]


(2) d(x, y) =∞∑

n=1

mindn(x, y), 2−n es una metrica,

(3) d induce la topologıa T (D),

(4) Y es metrizable. [(3)]

2


12 Espacios de funciones

La idea de construir una topologıa en el conjunto de las funciones continuas de

un espacio en otro juega un importante rol en la topologıa moderna. De las posibles

topologıas que se pueden definir en este conjunto, estudiaremos aquı una que se deriva

del concepto clasico de convergencia uniforme de funciones sobre conjuntos compactos.

12.1 La topologıa compacta-abierta

Sean X e Y espacios topologicos, denotaremos con Y X al conjunto de todas las

funciones continuas de X en Y . Deseamos definir proximidad entre dos funciones de

manera que si una funcion f satisface la condicion que f(A) ⊆ V , donde A ⊆ X es

compacto y V ⊆ Y es abierto, entonces las funciones proximas a f deben satisfacer esta

condicion. La topologıa mas pequena (en el sentido de inclusion) en Y X compatible

con este requerimiento se llama topologıa compacta-abierta o c−topologıa.

Definicion 12.1.1 Sean X e Y espacios topologicos. Para todo par de conjuntos A ⊆X, B ⊆ Y , sea (A,B) = f ∈ Y X : f(A) ⊆ B.

Lema 12.1.1 Sean X e Y espacios topologicos. Entonces ΣY X= (A,V ) : A ⊆ X es

compacto y V ⊆ Y es abierto es subbase de alguna topologıa para Y X .

Dem.

Sean

(1) X e Y espacios topologicos, [Hip.]

(2) ΣY X = (A,V ) : A ⊆ X es compacto y V ⊆ Y es abierto . [Hip.]

(i) Y X ∈ ΣY X

(3) ∅ es compacto en X e Y es abierto en Y [(1)]

(4) (∅, Y ) ∈ ΣY X [(2), (3)]

(5) (∅, Y ) = f ∈ Y X : f(∅) ⊆ Y [Def. (A,V )]


= f ∈ Y X : ∅ ⊆ Y

= Y X

(6) Y X ∈ ΣY X [(4), (5)]

(ii) ∅ ∈ ΣY X

(7) existe x ∈ X [Hip.]

(8) x es compacto en X y ∅ es abierto en Y [(1), (7)]

(9) (x, ∅) ∈ ΣY X [(8)]

(10) (x, ∅) = f ∈ Y X : f(x) ⊆ ∅ [Def. (A,V )]

= f ∈ Y X : f(x) ⊆ ∅

= ∅

(11) ∅ ∈ ΣY X [(9), (10)]

(12) ΣY X es subbase para alguna topologıa de Y X [(i), (ii)]

Definicion 12.1.2 Sean X e Y espacios topologicos. La c−topologia en Y X es aquella

que tiene como subbase la familia

ΣY X = (A,V ) : A ⊆ X es compacto y V ⊆ Y es abierto.

Lema 12.1.2 Si X, Y, L y M son espacios topologicos tales que X ' L e Y ' M ,

entonces Y X 'ML.

Dem.

Sean X, Y, L y M espacios topologicos tales que

(1) X ' L [Hip.]

(2) Y 'M [Hip.]

(3) existe un homeomorfismo h1 : X → L [(1)]


(4) existe un homeomorfismo h2 : Y →M [(2)]

(5) Sea ϕ : Y X →ML dada por ϕ(f) = h2 f h−11 [Hip.]

(i) ϕ esta bien definida

(6) Sea f ∈ Y X [Hip.]

(7) h2 f h−11 ∈ML [(3), (4), (6)]

(8) ϕ(f) ∈ML [(5), (6), (7)]

(ii) ϕ es inyectiva

Sea f1, f2 ∈ Y X tales que

(9) ϕ(f1) = ϕ(f2) [Hip.]

(10) h2 f1 h−11 = h2 f2 h−1

1 [(5), (9)]

(11) h−12 h2 f1 h−1

1 h1 = h−12 h2 f2 h−1

1 h1 [(3), (4), (10)]

(12) f1 = f2 [(11)]

(iii) ϕ es sobreyectiva

(13) Sea g ∈ML [Hip.]

(14) existe h−12 g h1 ∈ Y X: [(3), (4), (13)]

(15) ϕ(h−12 g h1) = h2 h−1

2 g h1 h−11 [(5), (14)]

= g

(iv) ϕ es continua

(16) Sea (A,V ) ∈ ΣML [Hip.]

(17) Sea f ∈ ϕ−1(A,V ) [Hip.]

(18) ϕ(f) ∈ (A,V ) [(2)]

(19) h2 f h−11 ∈ (A,V ) [(5), (18)]


(20) h2 f h−11 ∈ML y h2(f(h−1

1 (A))) ⊆ V [(16), (19)]

(21) f(h−11 (A)) = h−1

2 (h2(f(h−11 (A)))) [(4)]

⊆ h−12 (V ) [(20)]

(22) h−11 (A) es compacto en X [(3), (16)]

(23) h−12 (V ) es abierto en Y [(4), (16)]

(24) (h−11 (A), h−1

2 (V )) ∈ ΣY X [(22), (23)]

(25) f ∈ (h−11 (A), h−1

2 (V )) [(21)]

(26) ϕ−1(A,V ) ⊆ (h−11 (A), h−1

2 (V )) [(17), (25)]

(27) Sea f ∈ (h−11 (A), h−1

2 (V )) [Hip.]

(28) f ∈ Y X y f(h−11 (A)) ⊆ h−1

2 (V ) [(24), (27)]

(29) (ϕ(f))(A) = h2(f(h−11 (A))) [(5)]

⊆ h2(h−12 (V )) [(28)]

⊆ V

(30) ϕ(f) ∈ (A,V ) [(29)]

(31) f ∈ ϕ−1(A,V ) [(30)]

(32) (h−11 (A), h−1

2 (V )) ⊆ ϕ−1(A,V ) [(27), (31)]

(33) ϕ−1(A,V ) = (h−11 (A), h−1

2 (V )) [(26), (32)]

(34) ϕ−1(A,V ) ∈ ΣY X [(24), (33)]

(v) ϕ−1 : ML → Y X , definida por ϕ−1(g) = h−12 g h1, es continua

La demostracion es analoga a la realizada en (iv)

(35) ϕ es un homeomorfismo [(i), (ii), (iii), (iv), (v)]

(36) Y X 'ML [(5), (35)]

Lema 12.1.3 Si el espacio X tiene la topologıa discreta, entonces Y X '∏

x∈X

Yx, donde

para todo x ∈ X, Yx es copia de Y (i.e Yx es homeomorfo a Y ).


Dem.

(1) Sean (X, τX) e (Y, τY ) espacios topologicos: [Hip.]

(2) (X, τX) es un espacio discreto [Hip.]

(3) Sea (Yx, τx)x∈X una familia de espacios topologicos

homeomorfos a (Y, τY ) [Hip.]

(4) para todo x ∈ X, existe un homeomorfismo hx : Y → Yx [(3)]

(5) Sea ϕ : Y X →∏

x∈X

Yx, definida por la prescripcion

ϕ(f) = [hx(f(x))]x∈X. [Hip.]

(i) ϕ esta bien definida



(8) hx(f(x)) ∈ Yx [(4), (6), (7)]

(9) [hx(f(x))]x∈X ∈∏

x∈X

Yx [(7), (8)]

(10) ϕ(f) ∈∏

x∈X

Yx [(5), (9)]

(11) ϕ esta bien definida [(5), (6), (10)]

(ii) ϕ es inyectiva

Sean f, f ′ ∈ Y X tales que

(12) ϕ(f) = ϕ(f ′) [Hip.]

(13) [hx(f(x))]x∈X = [hx(f′(x))]x∈X [(5), (12)]

(14) para todo x ∈ X, hx(f(x)) = hx(f′(x)) [(13)]

(15) para todo x ∈ X, h−1x (hx(f(x))) = h−1

x (hx(f′(x))) [(4), (14)]

(16) para todo x ∈ X, f(x) = f ′(x) [(15)]

(17) f = f ′ [(16)]


(iii) ϕ es sobreyectiva

(18) Sea [ax]x∈X ∈∏

x∈X

Yx continua [Hip.]

(19) ex f : X → Y dada por f(x) = h−1x (ax) [(4), (18)]

(20) f ∈ Y X [(2), (19)]

(21) ϕ(f) = [hx(f(x))]x∈X [(5)]

= [hx(h−1x (ax))]x∈X [(19)]

= [ax]x∈X [(4)]

(23) existe f ∈ Y X : ϕ(f) = [ax]x∈X [(19), (20), (21)]

(iv) ϕ es continua

(24) Sea S ∈ Σ ∏x∈X

Yx [Hip.]

(25) existe x0 ∈ X y existe Ux0 ∈ τx0 : S = Ux0 ×∏

x∈X−x0Yx [(24)]

(26) Sea f ∈ ϕ−1(S) [Hip.]

(27) existe [sx]x∈X ∈ S: ϕ(f) = [sx]x∈X [(26)]

(28) [hx(f(x))]x∈X = [sx]x∈X [(5), (27)]

(29) para todo x ∈ X, hx(f(x)) = sx [(28)]

(30) hx0(f(x0)) = sx0 [(25), (29)]

(31) hx0(f(x0)) ∈ Ux0 [(25), (27), (30)]

(32) f(x0) ∈ h−1x0

(Ux0) [(31)]

(33) f ∈ (x0, h−1x0

(Ux0)) [(32)]

(34) ϕ−1(S) ⊆ (x0, h−1x0

(Ux0)) [(26), (33)]

(35) Sea f ∈ (x0, h−1x0

(Ux0)) [Hip.]

(36) f(x0) ∈ h−1x0

(Ux0) [(35)]

(37) hx0(f(x0)) ∈ Ux0 [(36)]

(38) [hx(f(x))]x∈X ∈ Ux0 ×∏

x∈X−x0Yx [(4), (35), (37)]


(39) ϕ(f) ∈ S [(5), (25), (38)]

(40) f ∈ ϕ−1(S) [(39)]

(41) (x0, h−1x0

(Ux0)) ⊆ ϕ−1(S) [(35), (40)]

(42) ϕ−1(S) = (x0, h−1x0

(Ux0)) [(34), (41)]

(43) x0 es compacto en X [(25)]

(44) h−1x0

(Ux0) es abierto en Y [(4), (25)]

(45) (x0, h−1x0

(Ux0)) ∈ ΣY X [(43), (44)]

(46) ϕ−1(S) ∈ ΣY X [(42), (45)]

(47) ϕ es continua [(24), (46)]

(v) ϕ−1 es continua

(48) ϕ−1 :∏

x∈X

Yx → Y X esta definida por:

ϕ−1([ax]x∈X) = f sii para todo x ∈ X, f(x) = h−1x (ax) [(5), (i), (ii)]

(49) Sea (A,V ) ∈ ΣY X [Hip.]


(51) V es abierto en Y [(49)]

(52) A = xini=1 ⊆ X es finito [(2), (50)]

(53) Sea [ax]x∈X ∈ (ϕ−1)−1(A,V ) [Hip.]

(54) ϕ−1([ax]x∈X) ∈ (A,V ) [(53)]

(55) existe f ∈ (A,V ) : ϕ−1([ax]x∈X) = f [(54)]

(56) f(A) ⊆ V [(55)]

(57) para todo x ∈ X, f(x) = h−1x (ax) [(48), (55)]

(58) Sea i ∈ In [Hip.]

(59) f(xi) ∈ V [(52), (56), (58)]

(60) h−1xi

(axi) ∈ V [(57), (59)]

(61) axi ∈ hxi(V ) [(60)]

(62) para todo i ∈ In, axi ∈ hxi(V ) [(58), (61)]

(63) [ax]x∈X ∈n∏

i=1

hxi(V ) ×∏

x∈X−A

Yx [(48), (53), (62)]


(64) (ϕ−1)−1(A,V ) ⊆n∏

i=1

hxi(V ) ×∏

x∈X−A

Yx [(53), (63)]

(65) Sea [ax]x∈X ∈n∏

i=1

hxi(V ) ×∏

x∈X−A

Yx [Hip.]

(66) para todo i ∈ In, axi ∈ hxi(V ) [(65)]

(67) para todo i ∈ In, h−1xi

(axi) ∈ V [(66)]

(68) existe f : X → Y dada por f(x) = h−1x (ax) [(4), (65)]

(69) ϕ(f) = [hx(f(x))]x∈X [(5), (68)]

= [hx(h−1x (ax))]x∈X [(68)]

= [ax]x∈X

(70) Sea y ∈ f(A) [Hip.]

(71) existe i0 ∈ In: f(xi0) = y [(52), (70)]

(72) existe i0 ∈ In: h−1x (axi0

) = y [(68), (71)]

(73) y ∈ V [(67), (72)]

(74) f(A) ⊆ V [(70), (73)]

(75) f ∈ (A,V ) [(74)]

(76) ϕ(f) ∈ ϕ(A,V ) [(75)]

(77) [ax]x∈X ∈ (ϕ−1)−1(A,V ) [(69), (76)]

(78)n∏

i=1

hxi(V ) ×∏

x∈X−A

Yx ⊆ (ϕ−1)−1(A,V ) [(65), (77)]

(79) (ϕ−1)−1(A,V ) =n∏

i=1

hxi(V ) ×∏

x∈X−A

Yx [(64), (78)]

(80) (ϕ−1)−1(A,V ) es abierto en∏

x∈X

Yx [(4), (51), (79)]

(81) ϕ−1 es continua [(49), (80)]

(82) ϕ es un homeomorfismo [(i), (ii), (iii), (iv), (v)]

(83) Y X '∏

x∈X

Yx [(5), (82)]

Lema 12.1.4 Sean X e Y espacios topologicos. Entonces se verifican las siguientes

propiedades:


(i)n⋂

i=1

(Ai,W ) = (n⋃

i=1

Ai,W ),

(ii)n⋂

i=1

(A,Wi) = (A,n⋂

i=1

Wi),

(iii)n⋂

i=1

(Ai,Wi) ⊆ (n⋃

i=1

A,n⋃

i=1

Wi).

Dem.

Sean


(2) A,Ai ⊆ X y W,Wi ⊆ Y para todo i ∈ In [Hip.]

(i) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(3) f ∈n⋂

i=1

(Ai,W ),

(4) f ∈ (Ai,W ) para todo i ∈ In,

(5) f ∈ Y X y f(Ai) ⊆W para todo i ∈ In,

(6)n⋃

i=1

f(Ai) ⊆W ,

(7) f(n⋃

i=1

Ai) ⊆W ,

(8) f ∈ (n⋃

i=1

Ai,W ).

(ii) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(3) f ∈n⋂

i=1

(A,Wi),

(4) f ∈ (A,Wi) para todo i ∈ In,

(5) f ∈ Y X y f(A) ⊆Wi para todo i ∈ In,

(6) f(A) ⊆n⋂

i=1

Wi,

(7) f ∈ (A,n⋂

i=1

Wi).


(iii) (3) Sea f ∈n⋂

i=1

(Ai,Wi) [Hip.]

(4) f ∈ (Ai,Wi) para todo i ∈ In [(3)]

(5) f ∈ Y X y f(Ai) ⊆ Wi para todo i ∈ In [(4)]

(6)n⋂

i=1

f(Ai) ⊆n⋂

i=1

Wi [(5)]

(7) f(n⋂

i=1

Ai) ⊆n⋂

i=1

Wi [(6)]

(8) f ∈ (n⋂

i=1

Ai,n⋂

i=1

Wi) [(7)]

(9)n⋂

i=1

(Ai,Wi) ⊆ (n⋂

i=1

Ai,n⋂

i=1

Wi) [(3), (8)]

Lema 12.1.5 Si X e Y son espacios topologicos, entonces para todo A ⊆ X y para

todo W ⊆ Y , (A,W ) ⊆ (A,W ).

Dem.

Sean


(2) A ⊆ X y W ⊆ Y , [Hip.]

(3) g ∈ Y X \ (A,W ). [Hip.]

(4) g /∈ (A,W ) [(3)]

(5) existe a ∈ A tal que g(a) ∈ Y \W [(4)]

(6) a es compacto en X e Y \W es abierto en Y [(1), (2), (5)]

(7) (a, Y \W ) ∈ U(g) [(5), (6)]

(8) (A,W )⋂

(a, Y \W ) = ∅ [(5), Def. (A,V )]

(9) g /∈ (A,W ) [(7), (8)]


(10) g ∈ Y X \ (A,W ) [(9)]

(11) Y X \ (A,W ) ⊆ Y X \ (A,W ) [(3), (10)]

(12) (A,W ) ⊆ (A,W ) [(11)]

Lema 12.1.6 Existe C ⊆ Y X tal que C ' Y .

Dem.

(1) Sean X e Y espacios topologicos [Hip.]

(2) para todo y ∈ Y , sea cy : X → Y tal que cy(x) = y [Hip.]

(3) para todo y ∈ Y , cy es constante [(2)]

(4) para todo y ∈ Y , cy es continua [(3)]

(5) C = cyy∈Y ⊆ Y X [(2), (4)]

(6) Sea ϕ : Y → C, definida por ϕ(y) = cy para todo y ∈ Y . [Hip.]

(7) ϕ es biyectiva [(2), (6)]

(i) ϕ es continua

(8) Sea (A′, V ′) ∈ ΣY X/C [Hip.]

(9) existe (A,V ) ∈ ΣY X : (A′, V ′) = (A,V ) ∩ C

(10) ϕ−1(A′, V ′) = y ∈ Y : ϕ(y) ∈ (A′, V ′)

= y ∈ Y : cy ∈ (A,V ) ∩ C [(6), (9)]

= y ∈ Y : cy ∈ (A,V ) [(5)]

= y ∈ Y : cy(A) ⊆ V

= y ∈ Y : y ∈ V [(2)]

= V

(11) ϕ−1(A′, V ′) es abierto en Y [(9), (10)]


(ii) ϕ−1 es continua

(12) ϕ−1 : C → Y dada por ϕ−1(cy) = y [(6), (7)]

(13) Sea V abierto en Y [Hip.]

(14) (ϕ−1)−1(V ) = cy ∈ C : ϕ−1(cy) ∈ V = cy ∈ C : y ∈ V [(12)]

(15) existe x ∈ X [(1)]

(16) x es compacto en X [(1), (15)]

(17) C ∩ (x, V ) = cy ∈ C : cy ∈ (x, V )

= cy ∈ C : cy(x) ⊆ V [Def. (A,V )]

= cy ∈ C : y ∈ V [(2)]

(18) (ϕ−1)−1(V ) = C ∩ (x, V ) , (x, V ) ∈ ΣY X [(13), (14), (16), (17)]

(19) (ϕ−1)−1(V ) ∈ ΣY X/C [(18)]

(20) (ϕ−1)−1(V ) es abierto en C [(19)]

(21) ϕ es un homeomorfismo [(7), (i), (ii)]

(22) existe C ⊆ Y X : C ' Y [(5), (6), (21)]

Lema 12.1.7 Sean X, Y espacios topologicos e Y0 ⊆ Y . Entonces Y X0 con su c−topologıa

es homeomorfo a S0 = f ∈ Y X : f(X) ⊆ Y0 como subespacio de Y X .

Dem.

Sean


(2) Y0 ⊆ Y , [Hip.]

(3) S0 = f ∈ Y X : f(X) ⊆ Y0 ⊆ Y X. [Hip.]


(4) Y X0 = S0 [(2), (3)]

(5) Sea 1 : Y X0 → S0, definida por 1(f) = f [Hip.]

(6) 1 es biyectiva [(4), (5)]

(i) para todo (A,V )Y X ∈ ΣY X , (A,V ∩ Y0)Y X0

= (A,V )Y X ∩ S0

(7) Sea (A,V )Y X ∈ ΣY X [Hip.]



(10) Y0 ∩ V es abierto en Y0 [(2), (9)]

(11) Sea f ∈ (A,V )Y X ∩ S0 [Hip.]

(12) f ∈ Y X y f(A) ⊆ V [(11)]

(13) f(X) ⊆ Y0 [(3), (11)]

(14) f(A) ⊆ Y0 [(8), (13)]

(15) f(A) ⊆ V ∩ Y0 [(12), (14)]

(16) f ∈ Y X0 [(12), (13)]

(17) f ∈ (A,V ∩ Y0)Y X0

[(15), (16)]

(18) (A,V )Y X ∩ S0 ⊆ (A,V ∩ Y0)Y X0

[(11), (17)]

(19) Sea f ∈ (A,V ∩ Y0)Y X0

[Hip.]

(20) f ∈ Y X0 y f(A) ⊆ V ∩ Y0 [(19)]

(21) f(X) ⊆ Y0 y f(A) ⊆ V [(20)]

(22) f ∈ S0 [(21)]

(23) f ∈ Y X [(20)]

(24) f ∈ (A,V )Y X ∩ S0 [(21), (22), (23)]

(25) (A,V ∩ Y0)Y X0

⊆ (A,V )Y X ∩ S0 [(19), (24)]

(26) (A,V ∩ Y0)Y X0

= (A,V )Y X ∩ S0 [(18), (25)]

(ii) 1 es continua


(27) Sea G ∈ ΣY X/S0[Hip.]

(28) existe (A,V )Y X ∈ ΣY X : G = (A,V )Y X ∩ S0 [(27)]

= (A,V ∩ Y0)Y X0

[(i)]

(29) G ∈ ΣY X0

[(28)]

(30) 1−1(G) ∈ ΣY X0

[(5), (29)]

(iii) 1−1 es continua

(31) Sea (A,V )Y X0

∈ ΣY X0

[Hip.]


(33) V es abierto en Y0 [(31)]

(34) existe W abierto en Y : V = W ∩ Y0 [(2), (33)]

(35) (A,W )Y X ∈ ΣY X [(32), (34)]

(36) (A,W )Y X ∩ S0 = (A,W ∩ Y0)Y X0

[(35), (i)]

= (A,V )Y X0

[(34)]

(37) (A,V )Y X0

∈ ΣY X/S0[(35), (36)]

(38) (1−1)−1(A,V )Y X0

∈ ΣY X/S0[(6)]

(39) 1 es un homeomorfismo [(6), (ii), (iii)]

(40) Y X0 con su c−topologıa es homeomorfo a S0 como

subespacio de Y X [(5), (39)]

El analogo para X0 ⊆ X es falso, no toda funcion ϕ : X0 → Y se puede extender

sobre X, de modo que Y X0 no es generalmente subespacio de Y X .

Si consideramos X = 1, 2 e Y = a, b, con la topologıa discreta en cada caso; y

tomamos X0 = 1 obtenemos:

Y X = a, b0,1 = (1, a), (2, a), (1, a), (2, b), (1, b), (2, a), (1, b), (2, b)Y X0 = a, b1 = (1, a), (1, b)


Por lo que Y X0 * Y X, y por lo tanto Y X0 no es subespacio de Y X .

Las propiedades de separacion de Y X son determinadas por las de Y .

Lema 12.1.8 Y X es un espacio T1 si y solo si Y es un espacio T1.

Dem.


(⇒)

(2) Y X es T1 [Hip.]

(3) Y es T1 [(2), Lema 12.1.6]

(⇐)

(2) Y es T1 [Hip.]

(3) Sean f, g ∈ Y X : f 6= g [Hip.]

(4) existe x0 ∈ X : f(x0) 6= g(x0) [(3)]

(5) existe U ∈ U(f(x0)) y V ∈ U (g(x0)) : f(x0) /∈ V y g(x0) /∈ U [(4)(2)]

(6) (x0, U) ∈ U (f) y (x0, V ) ∈ U (g) [(5)]

(7) f /∈ (x0, V ) y g /∈ (x0, U) [(5)]

(8) Y X es T1 [(3), (6), (7)]


Dem.


(⇒)



(3) Y es T2 [(2), Lema 12.1.6]

(⇐)

(2) Y es T2 [Hip.]

(3) Sean f, g ∈ Y X : f 6= g [Hip.]

(4) existe x0 ∈ X : f(x0) 6= g(x0) [(3)]

(5) existe U ∈ U (f(x0)) y V ∈ U (g(x0)) : U ∩ V = ∅ [(2), (4)]

(6) (x0, U) ∈ U (f) y (x0, V ) ∈ U (g) [(5)]

(7) (x0, U) ∩ (x0, V ) = (x0, U ∩ V ) [ Lema 12.1.4 (ii)]

= (x0, ∅) [(5)]

= ∅

(8) Y X es T2 [(3), (6), (7)]


Dem.


(⇒)


(3) Y es T3 [(2), Lema 12.1.6]

(⇐)

(2) Y es T3 [Hip.]

(3) Y es T1 [(2)]

(4) Y X es T1 [(3), Lema 12.1.8]



(6) Sea (A,V ) ∈ U (f) [Hip.]



(9) f(A) es compacto en Y [(5), (7)]

(10) f ∈ (A,V ) [(6)]

(11) f(A) ⊆ V [(10)]

(12) existe W abierto en Y : f(A) ⊆W ⊆ W ⊆ V [(2), (8), (9), (11)]

(13) existe (A,W ) ∈ U (f) : (A,W ) ⊆ (A,W ) [(7), (12), Lema 12.1.5]

⊆ (A,V ) [(12)]

(14) Y X es T3 [(5), (6), (13)]

Sabemos que si Y es un espacio normal, entonces el espacio producto∏

α∈AY no es

necesariamente normal. A su vez, por lo probado en el Lema 12.1.3, si X es un epacio

discreto, entonces∏

x∈X

Yx ' Y X , con Yx ' Y . Estas observaciones implican que existe

alguun espacio normal Y tal que Y X no es un espacio normal.

12.2 Continuidad de la composicion. La funcion evaluacion

Sean X, Y y Z tres espacios topologicos y consideremos la funcion T : Y X ×ZY → ZX , definida por T (f, g) = g f . Nos planteamos el problema de investigar la

continuidad de T .

Lema 12.2.1 Sea t : ZY → ZX , definida por t(g) = g f1 para todo g ∈ ZY , donde

f1 ∈ Y X es fija. Entonces la funcion t es continua.

Dem.


Sean

(1) X, Y y Z espacios topologicos, [Hip.]

(2) t : ZY → ZX dada por t(g) = g f1, donde f1 ∈ Y X fija, [Hip.]

(3) g ∈ ZY , [Hip.]

(4) (A,V ) un entorno abierto subbasico de g f1. [Hip.]

(5) A es compacto en X y V es abierto en Z [(2), (3), (4)]

(6) g f1 ∈ (A,V ) [(4)]

(7) g ∈ (f1(A), V ) [(6)]

(8) f1(A) es compacto en Y [(2), (5)]

(9) (f1(A), V ) ∈ U (g) [(5), (7), (8)]

(10) t(f1(A), V ) = t(g) : g ∈ (f1(A), V )

= g f1 : g(f1(A)) ⊆ V [(2)]

= (A,V )

(11) t es continua [(3), (4), (9), (10)]

Lema 12.2.2 Sea t : Y X → ZX, definida por la prescripcion t(f) = g1 f para todo

f ∈ Y X , donde g1 ∈ ZY es fija. Entonces la funcion t es continua.

Dem.

Sean

(1) X, Y y Z espacios topologicos, [Hip.]

(2) t : Y X → ZX definida por

t(f) = g1 f para todo f ∈ Y X , donde g1 ∈ ZY es fija [Hip.]

(3) f ∈ Y X , [Hip.]


(4) (A,V ) un entorno abierto subbasico de g1 f . [Hip.]

(5) A es compacto en X y V es abierto en Z [(2), (3), (4)]

(6) g1 f ∈ (A,V ) [(4)]

(7) g1(f(A)) ⊆ V [(6)]

(8) f(A) ⊆ g−11 (g1(f(A)))

⊆ g−11 (V ) [(7)]

(9) f ∈ (A, g−11 (V )) [(8)]

(10) g−11 (V ) es abierto en Y [(2), (5)]

(11) (A, g−11 (V )) ∈ U (f) [(5), (10)]

(12) Sea g ∈ t(A, g−11 (V )) [Hip.]

(13) existe h ∈ (A, g−11 (V )) : t(h) = g [(12)]

(14) h(A) ⊆ g−11 (V ) [(2), (13)]

(15) g(A) = (t(h))(A) [(13)]

= g1(h(A)) [(2)]

⊆ g1(g−11 (V )) [(14)]

⊆ V

(16) g ∈ (A,V ) [(15)]

(17) t(A, g−11 (V )) ⊆ (A,V ) [(12), (16)]

(18) t es continua. [(3), (4), (11), (17)]

En general T no es continua en ambas variables como veremos a continuacion:

Teorema 12.2.1 Sean X y Z espacios topologicos T2 e Y un espacio localmente com-

pacto. Entonces la funcion T : Y X × ZY → ZX es continua.


Dem.

(1) Sean X, Y y Z espacios topologicos: [Hip.]

(2) X es T2 [Hip.]


(4) Z es T2 [Hip.]

(5) Sea T : Y X × ZY → ZX dada por T (f, g) = g f [Hip.]

(6) Sea (f1, g1) ∈ Y X × ZY [Hip.]

(7) f1 ∈ Y X y g1 ∈ ZY [(6)]

(8) Sea (A,W ) un entorno abierto subbasico de g1 f1 [Hip.]

(9) g−11 (W ) es abierto en Y [(7), (8)]

(10) g1(f1(A)) ⊆W [(8)]

(11) f1(A) ⊆ g−11 (g1(f1(A)))

⊆ g−11 (W ) [(10)]

(12) f1(A) es compacto en Y [(7), (8)]

(13) existe V abierto y relativamente compacto en Y :

f1(A) ⊆ V ⊆ V ⊆ g−11 (W )

[(9), (11), (12), (3), Teorema 9.6.1]

(14) V es compacto en Y [(13)]

(15) (A,V ) ∈ U (f1) y (V ,W ) ∈ U (g1) [(8), (13), (14)]

(16) Sea h ∈ T ((A,V ) × (V ,W )) [Hip.]

(17) existe f ∈ (A,V ) y existe g ∈ (V ,W ):

T (f, g) = h [(16)]

(18) f(A) ⊆ V [(17)]


(19) g(V ) ⊆ W [(17)]

(20) g f = h [(5), (17)]

(21) h(A) ⊆ g(f(A)) [(20)]

⊆ g(V ) [(18)]

⊆ g(V )

⊆ W [(19)]

(22) h ∈ (A,V ) [(21)]

(23) T ((A,V ) × (V ,W )) ⊆ (A,V ) [(16), (22)]

(24) T es continua [(6), (8), (15), (23)]

La funcion evaluadora juega un importante rol en el espacio de funciones.

Definicion 12.2.1 Sean Y y Z espacios topologicos, la funcion ω : ZY × Y → Z

definida por ω(f, y) = f(y) es llamada la funcion evaluadora de ZY .

Teorema 12.2.2 Sean Y y Z espacios topologicos. Entonces se verican las siguientes

propiedades:

(i) Para todo y0 ∈ Y (fijo), la funcion ωy0 : ZY → Z dada por ωy0 (f) = ω(f, y0) =

f(y0) es continua.

(ii) Si Y es localmente compacto, entonces ω : ZY × Y → Z definida por ω(f, y) =

f(y) es coninua.

Dem.

(i) (1) Sean Y y Z espacios topologicos [Hip.]

(2) Sea y0 ∈ Y [Hip.]


(3) Sea ωy0 : ZY → Z dada por ωy0(f) = ω(f, y0) = f(y0) [Hip.]

(4) Sea f ∈ ZY [Hip.]

(5) Sea V ∈ U (f(y0)) [Hip.]

(6) f(y0) ∈ V [(5)]

(7) (y0, V ) ∈ U (f) [(2), (5), (6)]

(8) Sea z ∈ ωy0(y0, V ) [Hip.]

(9) existe h ∈ (y0, V ) : ωy0(h) = z [(8)]

(10) z = h(y0) ∈ V [(3), (9)]

(11) ωy0(y0, V ) ⊆ V [(8), (10)]

(12) ωy0 es continua [(4), (5), (7), (11)]

(ii) (1) Sean Y y Z espacios topologicos: [Hip.]


(3) Sea ω : ZY × Y → Z definida por ω(f, y) = f(y) [Hip.]

(4) Sea (f, y) ∈ ZY × Y [Hip.]

(5) Sea V ∈ U (f(y)) [Hip.]

(6) f(y) ∈ V , V abierto en Z [(4), (5)]

(7) y ∈ f−1(V ) , f−1(V ) es abierto en Y [(4), (6)]

(8) existe U ∈ U (y) relativamente compacto: U ⊆ f−1(V ) [(2), (7)]

(9) U es compacto en Y [(8)]

(10) f(U ) ⊆ f(f−1(V )) [(8)]

⊆ V

(11) (U, V ) ∈ U (f) [(6), (9), (10)]

(12) (U, V ) × U ∈ U (f, y) [(8), (11)]

(13) Sea z ∈ ω((U, V ) × U) [Hip.]

(14) existe h ∈ (U, V ) y existe u ∈ U : ω(h, u) = z [(13)]

(15) h(U) ⊆ V [(14)]

(16) h(u) = z [(3), (14)]


(17) z ∈ h(U) [(14), (16)]

(18) z ∈ V [(15), (17)]

(19) ω((U, V ) × U) ⊆ V [(13), (18)]

(20) ω es continua [(4), (5), (12), (19)]

El siguiente ejemplo muestra que la hipotesis de que Y es localmente compacto no

se puede suprimir:

Ejemplo 12.2.1

(1) Consideremos el espacio topologico (IQ, τε/IQ) [Hip.]

(2) (IQ, τε/IQ) no es localmente compacto

[Ejercicio 9.6.1–4]

(3) (IQ, τε/IQ) es completamente regular

(4) Sea I = [0, 1] [Hip.]

(5) Sea ω : IIQ × IQ → I la funcion evaluadora de IIQ [Hip.]

(6) existe f0 : IQ → I dada por f0(q) = 0 para todo q ∈ IQ [(4)]

(7) existe q0 ∈ IQ : U no es compacto para todo U ∈ U (q0) [(2)]

(8) existe W = [0, 1) ∈ τε/I [(4)]

(9) Sea U ∈ U (q0) [Hip.]

(10) Sea V =n⋂

i=1

(Ai, Vi) ∈ BIIQ

, Ai 6= ∅ para todo i ∈ In : f0 ∈ V [Hip.]

en caso de que existeAi = ∅, extraemos el subbasico sin consecuencias en la demostracion.

(11)n⋃

i=1

Ai es compacto en IQ [(10)]

(12) Supongamos que U ⊆n⋃

i=1

Ai [Hip.]


(13) U ⊆n⋃

i=1

Ai , U cerrado en IQ yn⋃

i=1

Ai compacto en IQ [(11), (12)]

(14) U es compacto en IQ [(13)]

(15) se contradicen (7) con (9) y (14) [(12)]

(16) existe q ∈ U : q /∈n⋃

i=1

Ai [(12), (15)]

(17) existe f : IQ → I continua: f(q) = 1 y f(n⋃

i=1

Ai) = 0 [(3), (11), (7), (10)]

(18) 0 = f0(Ai) ⊆ Vi, para todo i ∈ In [(6), (10)]

(19) 0 ∈ Vi, para todo i ∈ In [(18)]

(20) 0 ∈n⋂

i=1

Vi [(19)]

(21) para todo i ∈ In, f(Ai) ⊆ f(n⋃

i=1

Ai)

= 0 [(17)]

⊆n⋂

i=1

Vi [(20)]

⊆ Vi

(22) f ∈ (Ai, Vi), para todo i ∈ In [(21)]

(23) f ∈n⋂

i=1

(Ai, Vi) [(22)]

(24) f ∈ V [(10), (23)]

(25) ω(f , q) = f(q) = 1 /∈ W [(5), (8), (17)]

(26) ω(V × U) ⊆/ W [(16), (24), (25)]

(27) ω no es continua [(6), (7), (8), (9), (10), (25)]

Si hacemos X = x en el Teorema 12.2.1, T serıa la funcion evaluadora. Arens

probo que ω : IY × Y → I es continua si, y solo si, Y es localmente compacto


12.3 Productos cartesianos

Tomemos tres espacios X, Y y Z, una funcion α(x, y) = z puede ser considerada de

X×Y en Z, o de Y en Z, siendoX un espacio parametro. En esta seccion estudiaremos

el efecto que produce este cambio de punto de vista sobre la continuidad de la funcion.

Sea α : X × Y → Z, tal que para todo punto fijo x ∈ X, αx : Y → Z dada por

αx(y) = α(x, y) es continua. Consideremos la funcion α : X → ZY dada por α(x) = αx.

Recıprocamente, dada α : X → ZY , se puede definir una funcion α : X × Y → Z con-

tinua en y para todo punto fijo x ∈ X. Las funciones α : X × Y → Z y α : X → ZY

son llamadas funciones asociadas.

La caracterıstica mas importante de la c−topologıa es:

Teorema 12.3.1 Dados X, Y y Z espacios topologicos, se verifican:

(i) Si α : X × Y → Z es continua, entonces α : X → ZY es continua.

(ii) Si Y es Localmente Compacto y α : X → ZY es continua, entonces

α : X × Y → Z es continua

Dem.

(i) Sean

(1) X, Y y Z espacios topologicos [Hip.]

(2) α : X × Y → Z continua [Hip.]

(3) para todo x ∈ X, αx : Y → Z esta definida por

αx(y) = α(x, y), [Hip.]

(4) α : X → ZY , definida por α(x) = αx [Hip.]

α esta bien definida, ya que es facil probar que αx es continua para todo x ∈ X


(6) Sea (A,V ) entorno subbasico de α(x) = αx [Hip.]

(7) A es compacto en Y [(6)]


(8) V es abierto en Z [(6)]

(9) αx(A) ⊆ V [(6)]

(10) αx(A) = αx(y) : y ∈ A

= α(x, y) : y ∈ A [(3)]

= α(x ×A)

(11) α(x ×A) ⊆ V [(9), (10)]

(12) x ×A ⊆ α−1(α(x ×A))

⊆ α−1(V ) [(11)]

(13) α−1(V ) es abierto en X × Y [(2), (8)]

(14) existe U ∈ U (x) : U ×A ⊆ α−1(V ) [(7), (13), Resultado libro]

(15) Sea f ∈ α(U) [Hip.]

(16) existe u ∈ U : α(u) = f [(15)]

(17) αu = f [(4), (16)]

(18) f(A) = αu(A) [(17)]

= α(u ×A) [(3)]

= α(α−1(V )) [(12)]

⊆ V

(19) f ∈ (A,V ) [(18)]

(20) α(U) ⊆ (A,V ) [(15), (19)]

(21) α es continua [(5), (6), (14), (20)]

(ii) (1) Sean X, Y y Z espacios topologicos: [Hip.]

(2) Y es Localmente Compacto [Hip.]

(3) Sea α : X × Y → Z [Hip.]

(4) Sea para todo x ∈ X (fijo), αx : Y → Z dada por αx(y) = α(x, y) [Hip.]

(5) Sea α : X → ZY dada por α(x) = αx continua [Hip.]

(6) Sea ω : ZY × Y → Z dada por ω(f, y) = f(y) [Hip.]

(7) Sea (x, y) ∈ X × Y [Hip.]


(8) α(x, y) = αx(y) [(4)]

= ω(αx, y) [(6)]

= ω(α(x), 1(y)) [(5)]

= ω(α × 1(x, y))

(9) α = ω (α× 1) [(7), (8)]

(10) α × 1 es continua [(5)]

(11) α es continua [(2), (9), (10), Teorema ]

Notemos que aunque el espacio Z determina las propiedades de separacion de ZY ,

esto no juega ningun papel en las consideraciones generales de continuidad del teorema.

Notemos tambien que el inciso (ii) del Teorema 12.2.2 es verdadero para todo espacio

X siempre que el espacio Y sea localmente compacto.

12.4 Aplicacion a topologıas de identificacion

El Teorema 12.4.1 es muy fuerte, lo usaremos para deducir el teorema fundamental

de la topologıa de identificacion en el producto cartesiano.

Teorema 12.4.1 (J.H.C.Whitehead) Sean p : X → R una identificacion e Y un es-

pacio localmente compacto. Entonces la funcion p × 1 : X × Y → R × Y es una

identificacion.

Dem.

Sean

(1) Sean X, Y , Z y R espacios topologicos: [Hip.]

(2) Y es localmente compacto, [Hip.]

(3) p : X → R una identificacion, [Hip.]

(4) g : R × Y → Z una funcion: α = g (p× 1) : X × Y → Z es continua. [Hip.]

(5) α : X → ZY dada por α(x) = αx es continua [(4), Teorema 12.3.1 (i)]


(i) α es constante en toda fibra p−1(r)

Sean

(6) r ∈ R, [Hip.]

(7) a, b ∈ p−1(r). [Hip.]

(8) p(a) = r = p(b) [(7)]


(10) (α(a))(y) = α(a, y) [(5), Def. αx]

= g(p × 1(a, y)) [(4)]

= g(p(a), y)

= g(p(b), y) [(8)]

= g(p × 1(b, y))

= α(b, y) [(4)]

= (α(b))(y) [(5), Def. αx]

(11) α(a) = α(b) [(9), (10)]

(12) α p−1 : R → ZY es continua [(3), (5), (i), Teorema de Transgresion]

(ii) α p−1 = g

Sean

(13) r ∈ R, [Hip.]

(14) y ∈ Y . [Hip.]

(15) ((α p−1)(r))(y) = (α(p−1(r)))(y) [(5)]

= (αp−1(r))(y) [Def. αx]

= α(p−1(r), y) [(4)]

= (g (p× 1))(p−1(r), y)

= g(p× 1(p−1(r), y))

= g(p(p−1(r)), 1(y))


= g(r, y)

= (g(r))(y) [Def. g]

(16) (α p−1)(r) = g(r) [(14), (15)]

(17) α p−1 = g [(13), (16)]

(18) g : R→ ZY es continua [(12), (ii)]

(19) g : R× Y → Z es continua [(2), (18), Teorema 12.3.1 (ii)]

(20) p × 1 es continua y sobre [(3)]

(21) p × 1 es una identificacion

[(1), (4), (19), (20), Teorema Generales en Unidad 8]

Este teorema nos permite la extension del Teorema de la Transgresion al producto

cartesiano: Con la notacion del anterior teorema, si f : X × Y → Z es continua,

entonces f (p−1 × 1Y ) : R × Y → Z es continua siempre que f sea constante para

toda fibra de (p−1 × 1Y )(r, y).

Corolario 12.4.1 Si f : P → X y g : R → Y son identificaciones, tal que el rango

de una y el dominio de la otra son espacios localmente compactos, entonces f × g :

P ×R → X × Y es una identificacion.

Dem.

Sean

(1) P , X, R e Y espacios topologicos: [Hip.]

(2) R es localmente compacto, [Hip.]

(3) X es localmente compacto, [Hip.]

(4) f : P → X una identificacion, [Hip.]

(5) g : R → Y una identificacion, [Hip.]

(6) f × 1R : P ×R→ X ×R es una identificacion [(2), (4), Teorema 12.4.1]

(7) 1X × g : X ×R→ X × Y es una identificacion [(3), (5), Teorema 12.4.1]


(8) (f × 1R) (f × 1R) : P ×R→ X × Y es una identificacion [(6), (7)]

(9) f × g : P ×R → X × Y es una identificacion [(8)]

12.5 Basicos de ZY

En los subbasicos (A,V ) de la topologıa de ZY , los conjuntos abiertos V ⊆ Z y los

conjuntos compactos A ⊆ Y pueden ser restringidos a ciertas subfamilias, y la coleccion

resultante ser todavıa subbase de la c−topologıa.

Lema 12.5.1 Sean Y y Z espacios topologicos T2 y ΣZ = Wαα∈A subbase de Z.

Entonces se verifican las siguientes propiedades:

(i) (A,W ) : A ⊆ Y es compacto y W ∈ ΣZ es subbase de ZY .

(ii) Sea F = Cαα∈A una familia de conjuntos compactos en Y tal que si A es

compacto en Y y U es abierto en Y tal que A ⊆ U , entonces existe una cantidad

finita de Ci ∈ F tal que A ⊆n⋃

i=1

Ci ⊆ U . Entonces (C,W ) : C ∈ F , W ∈ ΣZ

es subbase de ZY .

Dem.

Sean

(1) Y y Z espacios topologicos T2, [Hip.]

(2) ΣZ = Wαα∈A subbase de Z, [Hip.]

(i)

(3) Ω = (A,W ) : A ⊆ Y es compacto y W ∈ ΣZ, [Hip.]

(4) (A,V ) ∈ ΣZY , [Hip.]

(5) f ∈ (A,V ). [Hip.]





(9) f(A) ⊆ V [(5)]

(10) V =⋃

γ∈Γ

k(γ)⋂j=1

Wγ,j , Wγ,j ∈ ΣZ , para todo γ ∈ Γ y para todo j ∈ Ik(γ)

[(2), (8)]

(11) A = A ∩ f−1(f(A))

⊆ A ∩ f−1(V ) [(9)]

⊆ A ∩ f−1(⋃

γ∈Γ

k(γ)⋂j=1

Wγ,j) [(10)]

⊆ A ∩⋃

γ∈Γ

f−1(k(γ)⋂j=1

Wγ,j)

⊆⋃

γ∈Γ

(A ∩ f−1(k(γ)⋂j=1

Wγ,j))

(12)k(γ)⋂j=1

Wγ,j es abierto en Z para todo γ ∈ Γ [(2), (10)]

(13) f−1(k(γ)⋂j=1

Wγ,j) es abierto en Y para todo γ ∈ Γ [(6), (12)]

(14) A ∩ f−1(k(γ)⋂j=1

Wγ,j) es abierto en A para todo γ ∈ Γ [(7), (13)]

(15) existe Wγi,j(i,j)∈In×Ik(γi)⊆ Wγ,j(γ,j)∈Γ×Ik(γ)

:

A ⊆⋃

i∈In

A ∩ f−1(k(γi)⋂j=1

Wγi,j) [(7), (11), (14)]

(16) A es normal [(1), (7)]

(17) existe Aini=1:

(17.1) Ai es compacto en Y para todo i ∈ In

(17.2) A =n⋃

i=1

Ai

(17.3) Ai ⊆ f−1(k(γi)⋂j=1

Wγi,j) para todo i ∈ In [(15), (16)]

(18) f(Ai) ⊆k(γi)⋂j=1

Wγi,j para todo i ∈ In [(17.3)]


(19) f ∈ (Ai,k(γi)⋂j=1

Wγi,j) para todo i ∈ In [(12), (17.1), (18)]

(20) f ∈k(γi)⋂j=1

(Ai,Wγi,j) para todo i ∈ In [(19), Lema 12.1.4 (ii)]

(21) f ∈n⋂

i=1

k(γi)⋂j=1

(Ai,Wγi,j) [(20)]

(22)n⋂

i=1

k(γi)⋂j=1

(Ai,Wγi,j) =n⋂

i=1

(Ai,k(γi)⋂j=1

Wγi,j) [ Lema 12.1.4 (ii)]

⊆ (n⋃

i=1

Ai,n⋃

i=1

k(γi)⋂j=1

Wγi,j) [Lema 12.1.4 (iii)]

⊆ (A,V ) [(10), (17.2)]

(23) Ω es subbase de ZY [(4), (5), (10), (17.1), (21), (22)]

(ii)

Sean

(3) F = Cαα∈A:

(3.1) Cα es compacto en Y para todo α ∈ A,

(3.2) si A es compacto en Y y U es abierto en Y : A ⊆ U ,

entonces existe Cαini=1 ⊆ F : A ⊆

n⋃i=1

Cαi ⊆ U , [Hip.]

(4) (A,W ) ∈ Ω, [Hip.]

(5) f ∈ (A,W ). [Hip.]



(8) W ∈ ΣZ [(4)]

(9) f(A) ⊆W [(5)]

(10) A ⊆ f−1(W ) [(9)]

(11) f−1(W ) es abierto en Y [(6), (8)]

(12) existe Cαini=1 ⊆ F : A ⊆

n⋃i=1

Cαi ⊆ f−1(W ) [(7), (11), (10), (3.2)]


(13) para todo i ∈ In , f(Cαi) ⊆ f(n⋃

i=1

Cαi)

⊆ f(f−1(W )) [(12)]

⊆W

(14) f ∈ (Cαi,W ) para todo i ∈ In [(13)]

(15) f ∈n⋂

i=1

(Cαi,W ) [(14)]

(16)n⋂

i=1

(Cαi,W ) = (n⋃

i=1

Cαi,W ) [Lema 12.1.4 (i)]

⊆ (A,W ) [(12)]

(17) Σ = (C,W ) : C ∈ F , W ∈ ΣZ es subbase de ZY

[(4),(5), (8), (3.1), (12), (15), (16)]

Corolario 12.5.1 Σ = (A×B,V ) : A es compacto en X, B es compacto en Y y V

es abierto en Z es subbase de ZX×Y con su c−topologıa.

Dem.

Sean

(1) X, Y y Z espacios topologicos T2 [Hip.]

(2) Σ = (A×B,V ) : A es compacto en X, B es compacto en Y y

V es abierto en Z, [Hip.]

(3) C,W ⊆ X × Y :

(3.1) C es compacto,

(3.2) W es abierto,

(3.3) C ⊆W . [Hip.]

(4) px(C) es compacto en X y py(C) es compacto en Y [(3.1)]

(5) px(C) × py(C) es compacto en X × Y [(4), Teorema de Tychonoff]

(6) (px(C) × py(C), τπ/px(C)×py(C)) es un espacio T4 [(1), (5)]


(7) (px(C) × py(C))⋂W es abierto en px(C) × py(C) [(3.2)]

(8) para todo c ∈ C, c ∈ (px(C)× py(C))⋂W [(3.3)]

(9) para todo c ∈ C, existe Uc × Vc ∈ Upx(C)×py(C)(c):

Uc × Vc ⊆ (px(C)× py(C))⋂W [(6), (8), (7)]

(10) para todo c ∈ C, Uc es compacto en px(C) y Vc es compacto en py(C) [(4), (9)]

(11) existe Uci × Vcini=1 ⊆ Uc × Vcc∈C:

C ⊆n⋃

i=1

(Uci × Vci) ⊆ W [(3.1), (9)]

(12) Σ es subbase de ZX×Y con su c−topologıa [(2), (3), (10), (11), Lema 12.5.1 (ii)]

Teorema 12.5.1 Sea Y un espacio localmente compacto tal que el cardinal de su base

BY , formada por abiertos relativamente compactos, es a. Sea Z un espacio topologico

arbitrario tal que el cardinal de su base BZ es b. Si al menos a o b no es finito,

entonces ZY tiene una base B tal que C(B)= a · b. En particular, Si Y y Z son 2o

numerables, entonces ZY es 2o numerable.

Dem.

Sean

(1) Y y Z espacios topologicos: [Hip.]


(3) BY base de Y formada por abiertos relativamente compactos:

C(BY ) = a, [Hip.]

(4) BZ, base de Z:

C(BZ) = b y [Hip.]

(5) a o b no es finito, [Hip.]

(6) A = (U, V ) : U ∈ BY , V ∈ BZ, [Hip.]


(7) A compacto en Y y U abierto en Y : A ⊆ U . [Hip.]

(8) Para todo x ∈ A, U ∈ U(x), [(7)]

(9) para todo x ∈ A, existe Ux ∈ BY :

x ∈ Ux ⊆ Ux ⊆ U , [(2), (3), (8)]

(10) A ⊆⋃

x∈X

Ux ⊆ U , [(9)]

(11) existe Uxini=1 ⊆ Uxx∈X:

A ⊆n⋃

i=1

Uxi ⊆ U , [(7), (10)]

(12) A es subbase de ZY , [(3), (4), (6), (7), (11), Lema 12.5.1 (ii)]

(13) C(A) = a · b ≥ C(IN), [(3), (4), (5), (6)]

(14) existe B= n⋂

i=1

Ai : Ai ∈ A base de ZY , [(12)]

(15) C(B) =a · b. [(13), (14)]

Observacion 12.5.1

Si a y b son finitos, entonces el teorema es falso: Si Y y Z son espacios discretos

con m > 2 y n > 1 elementos respectivamente, entonces ZY es tambien discreto,

con nm elementos y por ende, C(B) = nm > n ·m

Teorema 12.5.2 Sean X, Y y Z espacios topologicos tal que Y es localmente com-

pacto. Entonces la funcion ϕ : ZX×Y → (ZY )X dada por ϕ(α) = α es un homeomor-

fismo.

Dem.

Sean

(1) X, Y y Z espacios topologicos: [Hip.]



(3) ϕ : ZX×Y → (ZY )X dada por ϕ(α) = α. [Hip.]

(4) ϕ es biyectiva [(3), Teorema 12.3.1]

(i) ϕ es continua

Sean

(5) α ∈ ZX×Y , [Hip.]

(6) S entorno subbasico de ϕ(α) = α. [Hip.]

(7) S = (A, (B,W )), siendo:

(7.1) A compacto en X,

(7.2) B compacto en Y ,

(7.3) W abierto en Z. [(6), Lema ?? (i)]

(8) α(A) ⊆ (B,W ) [(6), (7)]

(9) A×B es compacto en X × Y

[(7.1), (7.2), Teorema de Tychonoff]

(10) (A×B,W ) es subbasico de ZX×Y [(7.3), (9)]

(11) α ∈ (A×B,W )

En efecto, sea

(11.1) t ∈ α(A×B) [Hip.]

(11.2) existe un r ∈ A y existe un s ∈ B: α(r, s) = t [(11.1)]

(11.3) αr ∈ α(A) [(11.2), Def. α]

(11.4) αr ∈ (B,W ) [(8), (11.3)]

(11.5) αr(B) ⊆W [(11.4)]

(11.6) αr(s) ∈ W [(11.2), (11.5)]

(11.7) α(r, s) ∈ W [(11.6), Def. αr]

(11.8) t ∈ W [(11.2), (11.7)]

(11.9) α(A×B) ⊆ W [(11.1), (11.8)]

(12) Sea ψ ∈ ϕ(A×B,W ) [Hip.]

(13) existe ψ ∈ (A×B,W ): ϕ(ψ) = ψ [(12)]


(14) ψ(A×B) ⊆W [(13)]

(15) Sea f ∈ (ϕ(ψ))(A) [Hip.]

(16) existe a ∈ A: (ϕ(ψ))(a) = f [(15)]

(17) existe a ∈ A: (ψ)(a) = f [(3), (16)]

(18) ψa = f [(14), Def. ϕ(ψ)]

(19) Sea z ∈ f(B) [Hip.]

(20) existe b ∈ B: f(b) = z [(19)]

(21) (a, b) ∈ A×B [(16), (20)]

(22) ψ(a, b) ∈ ψ(A×B) [ (13), (21)]

(23) ψa(b) ∈ W [(14), (22)]

(24) f(b) ∈ W [(18), (23)]

(25) z ∈ W [(20), (24)]

(26) f(B) ⊆ W [(19), (25)]

(27) f ∈ (B,W ) [(26)]

(28) ϕ(ψ)(A) ⊆ (B,W ) [(15), (27)]

(29) ϕ(ψ) ∈ (A, (B,W )) [(28)]

(30) ψ ∈ (A, (B,W )) [(3), (29)]

(31) ϕ(A×B,W ) ⊆ (A, (B,W )) [(12), (30)]

(32) ϕ es continua [(5), (6), (7), (10), (11), (31)]

(ii) ϕ−1 es continua

(33) ϕ−1 : (ZY )X → ZX×Y es dada por ϕ−1(α) = α [(3)]

Sean

(34) α ∈ (ZY )X , [Hip.]

(35) S entorno subbasico de ϕ−1(α) = α. [Hip.]

(36) S = (A×B,W ), siendo:

(36.1) A compacto en X,

(36.2) B compacto en Y ,


(36.3) W abierto en Z. [(35), Corolario 12.5.1]

(37) α(A×B) ⊆ W [(35), (36)]

(38) (B,W ) es subbasico en ZY [(36.2), (36.3)]

(39) (A, (B,W )) es subbasico en (ZY )X [(38), (36.1), Lema 12.5.1 (i)]

(40) α ∈ (A, (B,W ))

En efecto, sea

(40.1) h ∈ α(A) [Hip.]

(40.2) exista un r ∈ A : αr = h [(40.1), Def. α]

(40.3) Sea t ∈ h(B) [Hip.]

(40.4) existe un s ∈ B: h(s) = t [(40.3)]

(40.5) α(r, s) ∈ α(A×B) [(40.2), (40.4)]

(40.6) αr(s) ∈ W [(37), (40.5), Def. αr]

(40.7) h(s) ∈ W [(40.2), (40.6)]

(40.8) t ∈ W [(40.4), (40.7)]

(40.9) h(B) ⊆W [(40.3), (40.8)]

(40.10) h ∈ (B,W ) [(40.9)]

(40.11) α(A) ⊆ (B,W ) [(40.1), (40.10)]

(40.12) α ∈ (A, (B,W )) [(40.11)]

(41) Sea ψ ∈ ϕ−1(A, (B,W )) [Hip.]

(42) existe ψ ∈ (A, (B,W )): ϕ−1(ψ) = ψ [(41)]

(43) ψ(A) ⊆ (B,W ) [(42)]

(44) Sea z ∈ ψ(A×B) [Hip.]

(45) existe (a, b) ∈ A×B: ψ(a, b) = z [(44)]

(46) ψa(b) = z [(45), Def. ψa]

(47) ψ(a) ∈ ψ(A) [(45)]

(48) ψ(a) ∈ (B,W ) [(43), (47)]

(49) ψ(a)(B) ⊆ W [(48)]

(50) z ∈ ψ(a)(B) [(45), (46)]

(51) z ∈ W [(49), (50)]

(52) ψ(A×B) ⊆ W [(44), (51)]


(53) ψ ∈ ((A×B),W ) [(52)]

(54) ϕ−1(A, (B,W )) ⊆ ((A×B),W ) [(41), (53)]

(55) ϕ−1 es continua [(34), (35), (36), (39), (40), (54)]

(56) ϕ es un homeomorfismo. [(4), (32), (55)]

12.6 Subconjuntos compactos de ZY

En los espacios ZY antes considerados, la unica restriccion impuesta al espacio Z

es que sea un espacio T2. Ahora asumiremos el caso en que Z es un espacio metrico.

Saber que subconjuntos de ZY son compactos, usualmente tiene importantes apli-

caciones en Analisis. En esta seccion daremos un criterio de verificacion de estos.

Definicion 12.6.1 Sea (Z, d) un espacio metrico e Y un espacio arbitrario. F ⊆ ZY

es equicontinuo en y0 ∈ Y , si para cada ε > 0, existe U ∈ U(y0) tal que para todo

f ∈ F , se verifica que f(U) ⊆ E(f(y0), ε). A U se lo llama el entorno abierto de

ε−equicontinuidad de F .

Diremos que F es equicontinuo en Y si es equicontinuo en todo punto de Y .

Ejemplo 12.6.1

1. Todo subconjunto finito de ZY es equicontinuo en Y .

Sean

(1) Y espacio topologico, [Hip.]

(2) (Z, d) un espacio metrico, [Hip.]

(3) F= fini=1 ⊆ ZY , [Hip.]

(4) y ∈ Y , [Hip.]

(5) ε > 0. [Hip.]

(6) Para todo i ∈ In existe Ui ∈ U(y):

fi(Ui) ⊆ E(fi(y), ε), [(3), (4), (5)]


(7) existe U =n⋂

i=1

Ui ∈ U(y): para todo fi ∈ F ,

fi(n⋂

i=1

Ui) ⊆ fi(Ui)

⊆ E(fi(y), ε) [(3), (6)]

(8) F es equicontinuo en Y [(3), (4), (5), (7)]

2. Si (Y, τY ) = ([a, b], τε/[a,b]) y (Z, d) = (IR, ||), entonces F= f ∈ ZY : |f ′(y)| 6 M

para todo y ∈ (a, b) es equicontinuo en [a, b].

Sean

(1) (Y, τY ) = ([a, b], τε/[a,b]) y (Z, d) = (IR, ||), [Hip.]

(2) M > 0, [Hip.]

(3) F= f ∈ ZY : |f ′(y)| 6 M para todo y ∈ (a, b), [Hip.]

(4) y ∈ (a, b), [Hip.]

(5) ε > 0. [Hip.]

(6) U = E(y,ε

M)⋂

[a, b] ∈ U(y) [(1), (2), (4), (5)]

Sean

(7) f ∈ F , [Hip.]

(8) z ∈ f(U). [Hip.]

(9) Existe x ∈ U : f(x) = z [(8)]

(10) |y − x| < ε

M[(6), (9)]

(11)1

|y − x| >M

ε[(10)]

Supongamos que

(12) |f(y) − f(x)| ≥ ε [Hip.]

(13)|f(y) − f(x)|

|y − x| > εM

ε[(11), (12)]

(14)

∣∣∣∣f(y) − f(x)

y − x

∣∣∣∣ > M [(13)]

(15) existe p ∈ (x, y) ⊆ (a, b):

|f ′(p)| =

∣∣∣∣f(y) − f(x)

y − x

∣∣∣∣ > M [(4), (6), (9), (14), Teorema de Lagrange]


(3) y (7) se contradicen con (15). Por lo tanto [(12)]

(16) |f(y) − f(x)| < ε [(3), (7), (12), (15)]

(17) z ∈ E(f(y), ε) [(9), (16)]

(18) f(U) ⊆ E(f(y), ε) [(8), (17)]

(19) F es equicontinuo en (a, b) [(3), (4), (5), (6), (7), (18)]

(20) F es equicontinuo en a, b [(1), 1.]

(21) F es equicontinuo en [a, b] [(19), (20)]

3. Si (Y, τY ) = (IR, τε) y (Z, d) = (IR, ||), entonces F= f ∈ ZY : existe a ∈ IR+ tal

que f(y) = ay, para todo y ∈ Y no es equicontinuo en y, para todo y ∈ IR.

Sean

(1) (Y, τY ) = (IR, τε) y (Z, d) = (IR, ||), [Hip.]

(2) F= f ∈ ZY : existe a ∈ IR+ tal que f(y) = ay, para todo y ∈ Y [Hip.]

(3) y ∈ IR [Hip.]

(4) E(y, δ) ∈ U(y) [Hip.]

(5) existe a ∈ IR+: 0 <1

a< δ [(4)]

(6) existe x ∈ IR: y +1

a< x < y + δ [(3), (5)]

(7) a

(y +

1

a

)< ax [(5), (6)]

(8) ay + 1 < ax [(7)]

(9) existe f : IR → IR dada por f(y) = ay, para todo y ∈ Y [(5)]

(10) f ∈ F [(2), (5), (9)]

(11) existe x ∈ E(y, δ) ∈ U(y): f(x) /∈ E(f(y), 1) [(6), (8), (9)]

(12) f(E(y, δ)) ⊆/ E(f(y), 1) [(11)]

(13) 1 > 0 y para todo E(y, δ) ∈ U(y), existe f ∈ F :

f(E(y, δ)) ⊆/ E(f(y), 1) [(4), (10), (12)]

(14) F no es equicontinuo en y, para todo y ∈ IR [(3), (13)]


Lema 12.6.1 Sean ZY con la c−topologıa, F ⊆ ZY equicontinuo en Y , y para todo

y ∈ Y , la funcion evaluadora ωy : ZY → Z dada por ωy(f) = f(y). Sean U base de

filtro en F y ϕ : Y → Z tal que ωy(U)→ ϕ(y) para todo y ∈ Y . Entonces

(i) para todo y0 ∈ Y y para todo ε > 0, existe U ∈ U(y0), entorno abierto de

ε−equicontinuidad de F y existe Uα ∈ U tal que para todo y ∈ U , ωy(Uα) ⊆E(ϕ(y0), 2ε),

(ii) para todo y0 ∈ Y y para todo ε > 0, existe U ∈ U(y0), entorno abierto de

ε−equicontinuidad de F tal que ϕ(U) ⊆ E(ϕ(y0), 3ε),

(iii) ϕ es continua,

(iv) U→ ϕ.

Dem.

Sean

(1) ZY con la c−topologıa, [Hip.]

(2) F ⊆ ZY equicontinuo en Y , [Hip.]

(3) para cada y ∈ Y , ωy : ZY → Z la funcion evaluadora,

dada por ωy(f) = f(y) [Hip.]

(4) U b.d.f. en F y

para cada y ∈ Y , ϕ : Y → Z: ωy(U)→ ϕ(y). [Hip.]

(i) Sean

(5) y0 ∈ Y (fijo), [Hip.]

(6) ε > 0. [Hip.]

(7) Existe U ∈ U(y0):

para todo f ∈ F , f(U) ⊆ E(f(y0), ε), [(2), (5), (6)]

(8) ωy0(U)→ ϕ(y0), [(4), (5)]

(9) existe Uα ∈ U : ωy0(Uα) ⊆ E(ϕ(y0), ε) [(6), (8)]


Sean

(10) y ∈ U , [Hip.]

(11) f ∈ Uα. [Hip.]

(12) ωy0 (f) ∈ E(ϕ(y0), ε) [(9), (11)]

(13) f(y0) ∈ E(ϕ(y0), ε) [(3), (12)]

(14) d(f(y0), ϕ(y0)) < ε [(13)]

(15) f ∈ F [(4), (9), (11)]

(16) f(y) ∈ E(f(y0), ε) [(7), (10), (15)]

(17) d(f(y), f(y0)) < ε [(16)]

(18) d(f(y), ϕ(y0)) 6 d(f(y), f(y0)) + d(f(y0), ϕ(y0))

< ε+ ε [(14), (17)]

< 2ε

(19) f(y) ∈ E(ϕ(y0), 2ε) [(18)]

(20) ωy(f) ∈ E(ϕ(y0), 2ε) [(3), (19)]

(21) ωy(Uα) ⊆ E(ϕ(y0), 2ε) [(11), (20)]

(ii) Sean

(5) y0 ∈ Y (fijo), [Hip.]

(6) ε > 0. [Hip.]

(7) Existe U ∈ U(y0), entorno abierto de ε−equicontinuidad

de F y existe Uα ∈ U :

para todo y ∈ U , ωy(Uα) ⊆ E(ϕ(y0), 2ε). [(5), (6), (i)]

(8) Sea y ∈ U [Hip.]

(9) ωy(Uα) ⊆ E(ϕ(y0), 2ε) [(7), (8)]

(10) E(ϕ(y), ε)⋂ωy(Uα) 6= ∅ [(4), (6), (7), (8)]

(11) E(ϕ(y), ε)⋂E(ϕ(y0), 2ε) 6= ∅ [(9), (10)]

(12) d(ϕ(y), ϕ(y0)) < 3ε [(11)]

(13) ϕ(y) ∈ E(ϕ(y0), 3ε) [(12)]


(14) ϕ(U) ⊆ E(ϕ(y0), 3ε) [(8), (13)]

(15) para todo y0 ∈ Y y para todo ε > 0, existe U ∈ U(y0),

entorno abierto de ε−equicontinuidad de F :

ϕ(U) ⊆ E(ϕ(y0), 3ε) [(5), (6), (7), (14)]

(iii) (5) Sea y0 ∈ Y (fijo) [Hip.]

(6) Sea ε > 0 [Hip.]

(7) existe U ∈ U(y0): ϕ(U) ⊆ E(ϕ(y0), 3ε) [(5), (6), (ii)]

(8) ϕ es continua [(5), (6), (7)]

(iv) (5) Sea (C, V ) entorno subbasico de ϕ [Hip.]

(6) C es compacto en Y [(5)]


(8) ϕ(C) ⊆ V [(5)]

(9) ϕ(C) es compacto en Z [(6), (iii)]

(10) ϕ(C)⋂

(Y − V ) = ∅ [(8)]

(11) existe ε > 0: d(ϕ(C), Y − V ) = 5ε [(7), (9), (10)]

(12) para todo c ∈ C, existe U ′(c) ∈ U(c):

para todo f ∈ F , f(U ′(c)) ⊆ E(f(c), ε) [(2), (6), (11)]

(13) para cada c ∈ C, existe U ′′(c) ∈ U(c) y existe Uc ∈ U :

para todo y ∈ U ′′(c), ωy(Uc) ⊆ E(ϕ(c), 2ε) [(11), (i)]

(14) para cada c ∈ C, U(c) = U ′(c)⋂U ′′(c) ∈ U(c) [(12), (13)]

(15) C ⊆⋃

c∈C

U(c) [(14)]

(16) existe U(ci)ni=1 ⊆ U(c)c∈C: C ⊆

n⋃i=1

U(ci) [(6),(14), (15)]

(17) existe Uα ∈ U : Uα ⊆n⋂

i=1

Uci [(4), (13)]

(18) Sea f ∈ Uα [Hip.]


(19) para todo i ∈ In, f ∈ Uci [(17), (18)]

(20) Sea c ∈ C [Hip.]

(21) existe i0 ∈ In: c ∈ U(ci0) [(16), (20)]

(22) ωc(f) ∈ E(ϕ(ci0), 2ε) [(13), (16), (21), (19)]

(23) f(c) ∈ E(ϕ(ci0), 2ε) [(22), Def. ωc]

(24) d(f(c), ϕ(ci0)) < 2ε [(23)]

(25) E(ϕ(c), ε)⋂ωc(Uci0

) 6= ∅ [(4), (13), (11)]

(26) existe g ∈ Uci0: ωc(g) ∈ E(ϕ(c), ε) [(25)]

(27) g(c) ∈ E(ϕ(c), ε) [(26), Def. ωc]

(28) d(g(c), ϕ(c)) < ε [(27)]

(29) ωc(g) ∈ E(ϕ(ci0), 2ε) [(26), (13)]

(30) g(c) ∈ E(ϕ(ci0), 2ε) [(29), Def. ωc]

(31) d(g(c), ϕ(ci0)) < 2ε [(30)]

(32) d(f(c), ϕ(c)) 6 d(f(c), ϕ(ci0)) + d(ϕ(ci0), g(c)) + d(g(c), ϕ(c))

< 2ε+ 2ε+ ε [(24), (28), (31)]

< 5ε

(33) para todo c ∈ C, d(f(c), ϕ(c)) < 5ε [(20),(32)]

(34) f(C) ⊆ V [(11), (33)]

(35) f ∈ (C, V ) [(34)]

(36) Uα ⊆ (C, V ) [(18), (35)]

(37) U→ ϕ [(5), (17), (36)]

Lema 12.6.2 Sean ZY con la c−topologıa y F⊆ ZY equicontinuo en Y , entonces Fes equicontinuo en Y .

Dem.

Sean

(1) ZY con la c−topologıa, [Hip.]


(2) F ⊆ ZY equicontinuo en Y , [Hip.]

(3) y0 ∈ Y , [Hip.]

(4) ε > 0. [Hip.]

(5)ε

3> 0 [(4)]

(6) Sea ϕ ∈ F [Hip.]

(7) existe una b.d.f. U en F : U→ ϕ [(6)]

(8) ωy0(U)→ ωy0(ϕ) [(3), (7), Teorema 12.2.2 (i)]

(9) ωy0(U)→ ϕ(y0) [(8), Def. ωy0 ]

(10) existe U ∈ U(y0) entorno abierto deε

3−equicontinuidad de F :

ϕ(U) ⊆ E(ϕ(y0), ε) [(1),(2),(7),(3),(9),(5),(ii)]

(11) existe U ∈ U : ωy0 (U) ⊆ E(ϕ(y0), ε) [Hip.]

Falta terminar la demostracion.

Teorema 12.6.1 (Arzela-Ascoli) Sean (Z, d) un espacio metrico, Y un espacio ar-

bitrario y F ⊆ ZY equicontinuo en Y tal que ωy(F) es compacto para todo y ∈ Y .

Entonces F es compacto en Y .

Dem.

Sean

(1) (Z, d) un espacio metrico, [Hip.]

(2) Y un espacio topologico, [Hip.]

(3) F⊆ ZY equicontinuo en Y : [Hip.]

(4) ωy(F) es compacto para todo y ∈ Y , [Hip.]

(5) M b.d.f. maximal en F , [Hip.]


(6) y ∈ Y . [Hip.]

(7) ωy(F) es compacto en Z [(4), (6)]

(8) ωy(F)⊆ ωy(F) [(6), Teorema 12.2.2 (i)]

(9) ωy(M) es b.d.f. maximal en ωy(F) [(5), (8), (6), Teorema 12.2.2 (i)]

(10) existe zy ∈ Z: ωy(M) →zy [(7), (9)]

(11) existe ϕ : X → Y dada por ϕ(y) = zy [(6), (10)]

(12) M → ϕ [(3), (5), (10), (11), Lema 12.6.1(iv)]

(13) ϕ ∈ F [(5), (12)]

(14) ϕ ∈ F [(13)]

(15) F es compacto. [(5), (12), (14)]

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