Topologia de Vietoris
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Topolog´ ıa de Vietoris Arturo S´ anchez Gonz´ alez 1 , Dr. Fernando Mac´ ıas Romero 1 1 Facultad de Ciencias F´ ısico Matem´ aticas - Benem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla Introducci´ on Un continuo es un espacio m´ etrico, compacto y conexo y da lugar a la Teor´ ıa de Continuos, una rama de la Topolog´ ıa General que tiene numerosas aplicacio- nes en diversas ´ areas de la Matem´ atica. En el presente trabajo de investigaci´ on se presenta parte de la teor´ ıa elemental de hiperespacios, se comienza con el hiperespacio CL(X) y se dan algunos resultados sobre la topolog´ ıa de Vietoris relacionada con ´ este. Posteriormente se encuentra el hiperespacio 2 X , el cual posee propiedades fuertes que lo convierten en uno de los m´ as estudiados den- tro de esta ´ area. Una vez conocido 2 X , se analizan algunas propiedades m´ as de la topolog´ ıa de Vietoris y se culmina con el estudio de tres familias de dicho hiperespacio. Hiperespacios y la Topolog´ ıa de Vietoris Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico. Un hiperespacio de X es una colecci´ on espec´ ıfica de subconjuntos de X con la topolog´ ıa de Vietoris, y que, por conveniencia, tales hiperespacios no incluyen al conjunto ∅ y sus elementos son conjuntos cerrados en X. As´ ı, el hiperespacio m´ as grande de X es CL(X)= {A ∈ X : A 6= ∅∧ A es cerrado}. Necesitamos dar una topolog´ ıa para el hiperespacio m´ as grande que tenemos. Definici´ on 1. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico. La topolog´ ıa de Vietoris para CL(X) es la menor topolog´ ıa, τ V , para CL(X) que tiene la siguiente propiedad natural: {A ∈ CL(X): A ⊂ U } siempre que U ∈ τ ,y {A ∈ CL(C): A ⊂ B} es cerrado en τ V siempre que B es cerrado en τ . Se puede dar una base, B V , para τ V como sigue. Para ello, damos la notaci´ on siguiente: Para cualquier cantidad finita de subconjuntos S 1 ,...,S n de X, sea hS 1 ,...,S n i = {A ∈ CL(X): A ∈ n [ i=1 S i ∧ A ∩ S i 6= ∅ para cada i}. Estos conjuntos son conocidos como viet´ oricos. Con esta notaci´ on, enunciamos el siguiente: Teorema 2. Si (X, τ ) un espacio topol´ogico, entonces B V = {hU 1 ,...,U n i : U i ∈ τ para cada i y n< ∞} es una base para τ V (la topolog´ ıa de Vietoris). Ahora, el teorema nos permite pensar geom´ etricamente en la topolog´ ıa de Vietoris como se ve en la Figura 1, donde A y B son puntos del mismo miembro hU 1 ,...,U n i de la base B V . [1] Vista geom´ etrica de la topolog´ ıa de Vietoris. Ahora, supongamos que d es una m´ etrica que induce la topolog´ ıa τ sobre X. La figura 1 sugiere que se considere la “distancia de Vietoris” entre A y B como el menor n´ umero real r tal que: (i) para cada a ∈ A existe b ∈ B tal que d(a, b) <r; (ii) para cada b ∈ B existe A ∈ A tal que d(b, a) <r. Y se podr´ ıa definir tal distancia como el ´ ınfimo de todos los reales r que satisfacen (i) y (ii). Sin embargo, si A no es acotado y B s´ ı lo es, no existe ning´ un n´ umero real que cumpla (i). Este problema se puede resolver f´ acilmente suponiendo que d es una m´ etrica acotada que induce la misma topolog´ ıa para el espacio (p. e., sus- tituyendo la m´ etrica d por la m´ etrica acotada D = d 1+d ). Antes de mostrar que cuando d es acotada se tiene la “m´ etrica de Vietoris”, se definen dos conceptos m´ as. Definici´ on 3. Sean r> 0, p ∈ X y A ∈ CL(X) y d una m´ etrica para X, se definen: 1. La bola de radio r centrada en p como B(r, p)= {q ∈ X : d(p, q) <r} 2. La nube de radio r centrada en A como N (r, A)= {q ∈ X : existe x ∈ A tal que d(x, q) <r}. En ocasiones tambi´ en se le llama bola abierta generalizada en X sobre A de radio r. [2] Nube de radio δ. Es importante ver que, al usar (2) de la definici´ on anterior, (i) y (ii) de la “dis- tancia de Vietoris” significan que A ⊂ N (r, B)y B ⊂ B(r, A). As´ ı, tal como lo realiz´ o Haussdorf hace a˜ nos, ahora con las consideraciones ya hechas, se da el siguiente concepto. Definici´ on 4 (M´ etrica de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio m´ etrico acotado (es decir, d(X × X) es acotado). La m´ etrica de Hausdorff para CL(X) inducida por d es definida, para cualquier A, B ∈ CL(X), como H(A, B)= inf {r> 0: A ⊂ N (r, B) ∧ B ⊂ N (r, A)} Ahora consideremos hiperespacios formados por conjuntos que tengan una o m´ as de las propiedades topol´ ogicas m´ as comunes: conexidad, compacidad, etc. As´ ı, definamos algunos hiperespacios que satisfagan tales propiedades. Definici´ on 5. 1. CLC (X)= {A ∈ CL(X): A es conexo} 2. 2 X = {A ∈ CL(X): A es compacto} 3. C(X)= {A ∈ 2 X : A es conexo} Una vez dadas estas definiciones hay algunas aclaraciones pertinentes. La pri- mera es la relacionada con 2 X , ya que 2 X = CL(X) cuando X es compacto; y si X es Hausdorff, se tiene que 2 X = {A ⊂ X : A es no vac´ ıo y compacto}. Notemos un hecho importante, si X es un continuo no degenerado, esto es, X un espacio con una m´ etrica d, compacto, conexo y no vac´ ıo, entonces 2 X = {A ⊂ X : A es no vac´ ıo y compacto}, lo cual se tiene dado que X es m´ etrico entonces es Hausdorff, y como X es compacto, resulta que X es cerra- do. As´ ı, las definiciones son equivalentes. Ahora, veamos que si A, B ∈ 2 X se cumple que existe un n´ umero real r> 0 tal que A ⊂ N (r, B)y B ⊂ N (r, A), por ejemplo, r =1+ diam(A ∪ B). As´ ı, sin importar si d es acotada o no, la definici´ on de H(A, B) produce un real positivo siempre que A, B ∈ 2 X . Ahora, vemos que la hip´ otesis de que d era acotada, s´ olo se utiliza para mostrar que H toma valores reales, por lo tanto, se sigue que H es una m´ etrica para 2 X . Se cumple el siguiente Teorema 6. Sea (X, d) un espacio m´ etrico, entonces (2 X ,τ V ) es metrizable. Adem´as, τ V = τ H Adem´ as, el teorema se puede escribir de la siguiente manera. Teorema 7. Si (X, τ ) es un espacio topol´ogico metrizable, entonces (2 X ,τ V ) es metrizable; adem´as, si d es cualquier m´ etrica que induce τ , entonces τ V = τ H d . La notaci´ on H d se utiliza para referirse a la m´ etrica de Hausdorff con respecto a la m´ etrica d, pero cuando ´ esta es conocida o evidente, se reduce a H. A partir de ahora se considerar´ a que X es un continuo no degenerado con m´ etrica d, esto es, X tiene m´ as de dos puntos. Antes de dar un teorema m´ as, necesitamos dar otra Definici´ on 8. Dados A, B ⊂ X, denotamos por d(A, B) a la distancia de A a B, que se define como d(A, B)= inf {d(a, b): a ∈ A,b ∈ B}. Asimismo, la distancia de un punto p a un conjunto C es d(p, C)= d({p},C). Despu´ es de ´ esta, damos algunos resultados m´ as, los cuales son muy ´ utiles al trabajar con hiperespacios de continuos. Teorema 9. Si U es un subconjunto abierto de X y A ⊂ U , entonces existe ε> 0 tal que N (ε, A) ⊂ U . Teorema 10. Si X es un continuo, ε> 0 y A ∈ 2 X , entonces 1. A ⊂ N (ε, A), 2. N (ε, A)= S a∈A B(ε, a). As´ ı, N (ε, A) es un abierto en X, 3. N (δ, A) ⊂ N (ε, A) para cada δ> 0 tal que δ<ε,y 4. N (ε, A)= S {N (δ, A): δ> 0, δ<ε}. Ahora, definiremos tres familias de conjuntos en 2 X . Definici´ on 11. Sea A ⊂ X. 1. C (A)= {B ∈ 2 X : B ⊂ A}, 2. D(A)= {B ∈ 2 X : B ∩ A 6= ∅}, 3. E (A)= {B ∈ 2 X : A ⊂ B}. Se cumplen las siguientes propiedades de ellas. Teorema 12. Sea A un subconjunto de X. 1. Si A es abierto, entonces C (A) y D(A) son abiertos. 2. Si A es cerrado, entonces C (A),D(A) y E (A) son cerrados. Conclusiones La teor´ ıa de hiperespacios es una rama de la Topolog´ ıa general que resulta de sumo inter´ es en la Matem´ atica puesto que permite describir propiedades de varios conjuntos con suma sencillez, adem´ as, algunas de ellas resultan su- mamente agradables a la vista cuando son “dibujadas”, como ejemplo de ellos tenemos al Conjunto de Cantor, el c´ ırculo de Varsovia, el “Queso” (Esponja) de Menger, o el Arcoiris de Knaster. REFERENCIAS [1] Christenson, C. O. y Voxman, W. L., Aspects of Topology, BCS Associates, Idaho, USA, 2nd. ed., 1998. [2] C´ordova Salazar, Vianey, Elementos B´ asicos de Hiperespacios de Continuos, Tesis de licenciatura em Matem´ aticas por presentar en agosto de 2011 en la FCFM BUAP. [3] Galicia Hern´andez, Viridiana y Mac´ ıas Romero, Fernando, Experimentos en Topolog´ ıa, Memorias en Extenso del Programa La Ciencia en tus Manos IX, organizado por la VIEP de la Benem´ erita Universidad Aut´onoma de Puebla, p´ags. 1-8, mayo de 2009. [4] Illanes, Alejandro, y Nadler Jr., Sam B., Hyperspaces. Fundamentals and Recent Advan- ces, Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1982-4. [5] Mac´ ıas Prado, Mar´ ıa del Roc´ ıo y Mac´ ıas Romero, Fernando, El Teorema de Bolzano- Weirestrass, Memorias en Extenso del Programa J´ovenes Investigadores V, organizado por la VIEP de la Benem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla, p´ags. 1-8, mayo de 2010. [6] S´anchez Gonz´alez, Arturo y Mac´ ıas Romero, Fernando, Conjuntos Abiertos, Memorias en Extenso del Programa J´ ovenes Investigadores VI, organizado por la VIEP de la Be- nem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla, p´ ags. 1-8, mayo de 2011.
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Topologıa de VietorisArturo Sanchez Gonzalez1, Dr. Fernando Macıas Romero1
1Facultad de Ciencias Fısico Matematicas - Benemerita Universidad Autonoma de Puebla
Introduccion
Un continuo es un espacio metrico, compacto y conexo y da lugar a la Teorıade Continuos, una rama de la Topologıa General que tiene numerosas aplicacio-nes en diversas areas de la Matematica. En el presente trabajo de investigacionse presenta parte de la teorıa elemental de hiperespacios, se comienza con elhiperespacio CL(X) y se dan algunos resultados sobre la topologıa de Vietorisrelacionada con este. Posteriormente se encuentra el hiperespacio 2X , el cualposee propiedades fuertes que lo convierten en uno de los mas estudiados den-tro de esta area. Una vez conocido 2X , se analizan algunas propiedades mas dela topologıa de Vietoris y se culmina con el estudio de tres familias de dichohiperespacio.
Hiperespacios y la Topologıa de Vietoris
Sea (X, τ) un espacio topologico. Un hiperespacio de X es una coleccionespecıfica de subconjuntos de X con la topologıa de Vietoris, y que, porconveniencia, tales hiperespacios no incluyen al conjunto ∅ y sus elementos sonconjuntos cerrados en X. Ası, el hiperespacio mas grande de X es
CL(X) = {A ∈ X : A 6= ∅ ∧A es cerrado}.
Necesitamos dar una topologıa para el hiperespacio mas grande que tenemos.
Definicion 1. Sea (X, τ) un espacio topologico. La topologıa de Vietoris paraCL(X) es la menor topologıa, τV , para CL(X) que tiene la siguiente propiedadnatural: {A ∈ CL(X) : A ⊂ U} siempre que U ∈ τ , y {A ∈ CL(C) : A ⊂ B}es cerrado en τV siempre que B es cerrado en τ .
Se puede dar una base, BV , para τV como sigue. Para ello, damos la notacionsiguiente: Para cualquier cantidad finita de subconjuntos S1, . . . , Sn de X, sea
〈S1, . . . , Sn〉 = {A ∈ CL(X) : A ∈n⋃
i=1
Si ∧A ∩ Si 6= ∅ para cada i}.
Estos conjuntos son conocidos como vietoricos.Con esta notacion, enunciamos el siguiente:
Teorema 2. Si (X, τ) un espacio topologico, entonces BV = {〈U1, . . . , Un〉 :Ui ∈ τ para cada i y n <∞} es una base para τV (la topologıa de Vietoris).
Ahora, el teorema nos permite pensar geometricamente en la topologıa deVietoris como se ve en la Figura 1, donde A y B son puntos del mismo miembro〈U1, . . . , Un〉 de la base BV .
[1] Vista geometrica de la topologıa de Vietoris.
Ahora, supongamos que d es una metrica que induce la topologıa τ sobre X.La figura 1 sugiere que se considere la “distancia de Vietoris” entre A y Bcomo el menor numero real r tal que: (i) para cada a ∈ A existe b ∈ B tal qued(a, b) < r; (ii) para cada b ∈ B existe A ∈ A tal que d(b, a) < r. Y se podrıadefinir tal distancia como el ınfimo de todos los reales r que satisfacen (i) y (ii).Sin embargo, si A no es acotado y B sı lo es, no existe ningun numero real quecumpla (i). Este problema se puede resolver facilmente suponiendo que d esuna metrica acotada que induce la misma topologıa para el espacio (p. e., sus-tituyendo la metrica d por la metrica acotada D = d
1+d ). Antes de mostrar quecuando d es acotada se tiene la “metrica de Vietoris”, se definen dos conceptosmas.
Definicion 3. Sean r > 0, p ∈ X y A ∈ CL(X) y d una metrica para X, sedefinen:
1. La bola de radio r centrada en p como
B(r, p) = {q ∈ X : d(p, q) < r}2. La nube de radio r centrada en A como
N(r,A) = {q ∈ X : existe x ∈ A tal que d(x, q) < r}.En ocasiones tambien se le llama bola abierta generalizada en X sobreA de radio r.
[2] Nube de radio δ.
Es importante ver que, al usar (2) de la definicion anterior, (i) y (ii) de la “dis-tancia de Vietoris” significan que A ⊂ N(r,B) y B ⊂ B(r,A). Ası, tal como lorealizo Haussdorf hace anos, ahora con las consideraciones ya hechas, se da elsiguiente concepto.
Definicion 4 (Metrica de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio metrico acotado(es decir, d(X×X) es acotado). La metrica de Hausdorff para CL(X) inducidapor d es definida, para cualquier A,B ∈ CL(X), como
H(A,B) = inf{r > 0 : A ⊂ N(r,B) ∧B ⊂ N(r,A)}
Ahora consideremos hiperespacios formados por conjuntos que tengan una omas de las propiedades topologicas mas comunes: conexidad, compacidad, etc.Ası, definamos algunos hiperespacios que satisfagan tales propiedades.
Definicion 5. 1. CLC(X) = {A ∈ CL(X) : A es conexo}2. 2X = {A ∈ CL(X) : A es compacto}3. C(X) = {A ∈ 2X : A es conexo}
Una vez dadas estas definiciones hay algunas aclaraciones pertinentes. La pri-mera es la relacionada con 2X , ya que 2X = CL(X) cuando X es compacto; ysi X es Hausdorff, se tiene que 2X = {A ⊂ X : A es no vacıo y compacto}.Notemos un hecho importante, si X es un continuo no degenerado, esto es,X un espacio con una metrica d, compacto, conexo y no vacıo, entonces2X = {A ⊂ X : A es no vacıo y compacto}, lo cual se tiene dado que X esmetrico entonces es Hausdorff, y como X es compacto, resulta que X es cerra-do. Ası, las definiciones son equivalentes.Ahora, veamos que si A,B ∈ 2X se cumple que existe un numero real r > 0tal que A ⊂ N(r,B) y B ⊂ N(r,A), por ejemplo, r = 1 + diam(A ∪ B). Ası,sin importar si d es acotada o no, la definicion de H(A,B) produce un realpositivo siempre que A,B ∈ 2X . Ahora, vemos que la hipotesis de que d eraacotada, solo se utiliza para mostrar que H toma valores reales, por lo tanto,se sigue que H es una metrica para 2X .Se cumple el siguiente
Teorema 6. Sea (X, d) un espacio metrico, entonces (2X , τV ) es metrizable.Ademas, τV = τH
Ademas, el teorema se puede escribir de la siguiente manera.
Teorema 7. Si (X, τ) es un espacio topologico metrizable, entonces (2X , τV ) esmetrizable; ademas, si d es cualquier metrica que induce τ , entonces τV = τHd
.
La notacion Hd se utiliza para referirse a la metrica de Hausdorff con respectoa la metrica d, pero cuando esta es conocida o evidente, se reduce a H.
A partir de ahora se considerara que X es un continuo no degenerado conmetrica d, esto es, X tiene mas de dos puntos. Antes de dar un teorema mas,necesitamos dar otra
Definicion 8. Dados A,B ⊂ X, denotamos por d(A,B) a la distancia de Aa B, que se define como d(A,B) = inf{d(a, b) : a ∈ A , b ∈ B}. Asimismo, ladistancia de un punto p a un conjunto C es d(p, C) = d({p}, C).
Despues de esta, damos algunos resultados mas, los cuales son muy utiles altrabajar con hiperespacios de continuos.
Teorema 9. Si U es un subconjunto abierto de X y A ⊂ U , entonces existeε > 0 tal que N(ε,A) ⊂ U .
Teorema 10. Si X es un continuo, ε > 0 y A ∈ 2X , entonces
1. A ⊂ N(ε,A),2. N(ε,A) =
⋃a∈AB(ε, a). Ası, N(ε,A) es un abierto en X,
3. N(δ, A) ⊂ N(ε,A) para cada δ > 0 tal que δ < ε, y4. N(ε,A) =
⋃{N(δ, A) : δ > 0, δ < ε}.
Ahora, definiremos tres familias de conjuntos en 2X .
Definicion 11. Sea A ⊂ X.
1. C(A) = {B ∈ 2X : B ⊂ A},2. D(A) = {B ∈ 2X : B ∩A 6= ∅},3. E(A) = {B ∈ 2X : A ⊂ B}.
Se cumplen las siguientes propiedades de ellas.
Teorema 12. Sea A un subconjunto de X.
1. Si A es abierto, entonces C(A) y D(A) son abiertos.2. Si A es cerrado, entonces C(A),D(A) y E(A) son cerrados.
Conclusiones
La teorıa de hiperespacios es una rama de la Topologıa general que resultade sumo interes en la Matematica puesto que permite describir propiedadesde varios conjuntos con suma sencillez, ademas, algunas de ellas resultan su-mamente agradables a la vista cuando son “dibujadas”, como ejemplo de ellostenemos al Conjunto de Cantor, el cırculo de Varsovia, el “Queso” (Esponja)de Menger, o el Arcoiris de Knaster.
REFERENCIAS
[1] Christenson, C. O. y Voxman, W. L., Aspects of Topology, BCS Associates, Idaho, USA,2nd. ed., 1998.
[2] Cordova Salazar, Vianey, Elementos Basicos de Hiperespacios de Continuos, Tesis de
licenciatura em Matematicas por presentar en agosto de 2011 en la FCFM BUAP.[3] Galicia Hernandez, Viridiana y Macıas Romero, Fernando, Experimentos en Topologıa,
Memorias en Extenso del Programa La Ciencia en tus Manos IX, organizado por la VIEP
de la Benemerita Universidad Autonoma de Puebla, pags. 1-8, mayo de 2009.[4] Illanes, Alejandro, y Nadler Jr., Sam B., Hyperspaces. Fundamentals and Recent Advan-
ces, Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1982-4.
[5] Macıas Prado, Marıa del Rocıo y Macıas Romero, Fernando, El Teorema de Bolzano-Weirestrass, Memorias en Extenso del Programa Jovenes Investigadores V, organizado
por la VIEP de la Benemerita Universidad Autonoma de Puebla, pags. 1-8, mayo de 2010.
[6] Sanchez Gonzalez, Arturo y Macıas Romero, Fernando, Conjuntos Abiertos, Memoriasen Extenso del Programa Jovenes Investigadores VI, organizado por la VIEP de la Be-
nemerita Universidad Autonoma de Puebla, pags. 1-8, mayo de 2011.
