Miguel Prez Fontenla, (c) November 2011

Sistemas de numeracinEl concepto de nmero surge de la necesidad de contar, por ejemplo:

- Contar el nmero de cabezas de ganado.

- Contar el nmero de guerreros de una tribu.

- Contar el nmero de cestas de grano, etc.

Sistemas de numeracinInicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles, por ejemplo:

- Dedos

- Piedras

- Nudos de una cuerda

- Marcas en bastones

Sistemas de numeracinCada civilizacin ha desarrollado sus propios sistemas de numeracin, no slo en los smbolos, sino en los criterios usados para contar.

En esta unidad conocers distintos sistemas de numeracin y los podrs comparar con el sistema que actualmente usamos: es sistema de numeracin decimal.

Sistemas de numeracinSistema de numeracin egipcio (Tercer milenio a. C.)

Utiliza un sistema de base 10 con distintos smbolos para las sucesivas potencias de 10.

Sistemas de numeracinSistema de numeracin romano

(3000 a. C.)

Utiliza un sistema de base decimal (10).

Sistemas de numeracinSistema de numeracin babilnico(1900 a. C.) Utiliza un sistema de base sexagesimal (60).

Sistemas de numeracinSistema de numeracin maya

(s. IV d. C.)

Utiliza un sistema de numeracin vigesimal (20).

Sistemas de numeracinSistema de numeracin mapuche Se representa mediante palabras y su base es 10. 1 = kie 6 = kayu

2 = epu 7 = regle3 = kula 8 = pura 4 = meli 9 = aylla 5 = kechu 10 = mari

Sistemas de numeracinEl estudio de estos sistemas te permitir conocer el significado de importantes conceptos, tales como:

- Base. - Sistema posicional y no posicional.

Adems permitir apreciar las ventajas del sistema decimal posicional, que es el sistema que nosotros usamos actualmente.

Sistemas de numeracinSistemas binario, octal y hexadecimalSistemas de numeracin Sistema de numeracin decimal Sistema de numeracin binario Conversin entre nmeros decimales y binarios El tamao de las cifras binarias Conversin de binario a decimal Sistema de numeracin octal Conversin de un nmero decimal a octal Conversin octal a decimal Sistema de numeracin hexadecimal Conversin de nmeros binarios a octales y viceversa

Conversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversa

Sistemas de numeracinTeorema Fundamental Numeracin En un sistema de numeracin posicional de base b, la representacin de un nmero se define a partir de la regla:

(a3a2a1a0.a-1 a-2 a-3 )b= + a2b2+ a1b1+ a0b0+ a-1b-1+ a-2b-2+ a-3b-3+ Donde b es un entero no negativo mayor a 1 y donde los ai pertenecen al conjunto de enteros en el rango 0 ai< b El punto que aparece entre los dgitos a0 y a-1 se denomina punto fraccionario. Cuando b = 10 se lo llama punto decimal y cuando b = 2, punto binario.

Sistemas de numeracinSistema de numeracin decimal:

diez smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) valor dependiendo de la posicin

243 10 = 200 + 40 + 3 = 2 * 102 + 4 * 101 + 3 * 100

243.5110 = 2 * 102 + 4 * 101 + 3 * 100 + 5 * 10-1 + 1 * 10-22 centenas 4 decenas 3 unidades 5 dcimo 1 cntimo

Sistemas de numeracinSistema de numeracin binario:

dos smbolos o dgitos (0, 1) posicional

1011 2 = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110

Ejercicio 1: Expresa, en el sistema decimal, los siguientes nmeros binarios: 110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

Sistemas de numeracinSistema de numeracin octal:

ocho smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) posicional

273 8 = 2 * 82 + 7 * 81 + 3 * 80 = 128 + 56 + 3 = 18710

Ejercicio 2: Convierte al sistema decimal los siguientes nmeros octales: 458, 1258, 6258

Sistemas de numeracinSistema de numeracin Hexadecimal &H:Diecisis smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)

Posicional1A3F 16 = 1 * 163 + A* 162 + 3 * 161 + F * 160 = = 4096 + 10* 256 + 3*16 + 15*1 = 6719 10

Ejercicio 3:

Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516,

100 , 1FF16

16

Sistemas de numeracinConversiones entre sistemas de numeracinConversin entre nmeros decimales y binarios. Mtodo de los restos de cocientes

Ejercicio 4: Expresa, en cdigo binario, los nmeros decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276

Sistemas de numeracinConversiones entre sistemas de numeracinConversin entre nmeros decimales y octales.

Ejercicio 5: Convierte los siguientes nmeros decimales en octales: 63 , 513 , 11910 10

10

Sistemas de numeracinConversiones entre sistemas de numeracinConversin entre nmeros decimales y hexadecimales.

Ejercicio 6: Convierte al sistema hexadecimal los siguientes nmeros decimales: 351910, 102410, 409510

Sistemas de numeracinConversiones entre sistemas de numeracinConversin entre binarios a octales y viceversa.

DECIMAL

BINARIO

OCTAL

0 1 2 3 4 5 6 7

000 001 010 011 100 101 110 111

0 1 2 3 4 5 6 7

Ejercicio 7: Convierte los siguientes nmeros binarios en octales: 11011012, 1011102, 110110112, 1011010112 Ejercicio 8: Convierte los siguientes nmeros octales en binarios: 258, 3728, 27538

Sistemas de numeracinConversiones entre sistemas de numeracinConversin entre binarios a hexadecimales y viceversa.DECIMAL 0 1 2 BINARIO 0000 0001 0010 HEXADECIMAL 0 1 2

34 5 6 7

00110100 0101 0110 0111

34 5 6 7

89 10 11 12

10001001 1010 1011 1100

89 A B

CD E F

1314 15

11011110 1111

Ejercicio 9: Convierte a hexadecimales los siguientes nmeros binarios: 10101001010111010102, 1110000111100002, Convierte a binario los nmeros hexadecimales siguientes: 7A5D16, 101016, 8F8F16

Unidades de InformacionBit, Byte, Kilobyte, Megabyte, Gigabyte, Terabyte, Petabyte, Exabyte

Sistemas de numeracin

Cdigo ASCII

ASCII (American Standard Code for Information Interchange

Cdigo ASCII

Cdigo ASCII

Operaciones BinariasSUMA + 1 10011000 + 00010101 10101101 RESTA 0 1 0 0 1 1 1 10

11011001 - 10101011 00101110

100110011101 -010101110010 = 010000101011

1001 -0101 0100

1001 -0111 0010

1101 -0010 1011

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario

Operaciones BinariasMULTIPLICACION 10110 1001 10110 00000 00000 10110 11000110 0 1 0 0 0 1 0 1

11011001 - 10101011 00101110

DIVISION

Operaciones BinariasDIVISION Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

Operaciones BinariasACTIVIDADES Restar 110002 menos 100112 Restar 11001010012 menos 1101101102 Dividir 10100012 entre 112 Dividir 11101112 entre 10012

Operaciones BinariasEjercicio Completar la siguiente tabla

Binario

Factor binario

Hexadecimal

Octal

Decimal

0000 00100000 0100

0000 10000001 0000

0010 00000100 0000

1000 0000

Operaciones BinariasEjercicio Completar la siguiente tabla

Binario

Factor binario 2122

Hexadecimal

Octal

Decimal

0000 00100000 0100

24

24

24

0000 10000001 0000

2324

810

1020

816

0010 00000100 0000

2526

2040

40100

3264

1000 0000

27

80

200

128

Cambios de base fraccionariosPasar Binario a decimal (con parte fraccionaria) Pasar 110101,1012 a decimal

Ejercicio 10: Pasar 0,1010012 a decimal Pasar 0,1101112 a decimal

Cambios de base fraccionariosPasar decimal a binario (con parte fraccionaria) Pasar 0,3125 (decimal) a binario. Proceso: 0,3125 2 = 0,625 => 0 0,625 2 = 1,25 => 1 0,25 2 = 0,5 => 0 0,5 2 = 1 => 1 En orden: 0101 => 0,01012

Cambios de base fraccionariosPasar decimal a binario (con parte fraccionaria) Pasar 0,110 a binario. Proceso: 0,1 2 = 0,2 => 0 0,2 2 = 0,4 => 0 0,4 2 = 0,8 => 0 0,8 2 = 1,6 => 1 0,6 2 = 1,2 => 1 0,2 2 = 0,4 => 0 0 1 1 0,0 0011 0011 ... (binario peridico)Ejercicio 11: Pasar 5,510 a binario Pasar 6,8310 a binario

Cambios de base fraccionariosLas fracciones no siempre pueden ser convertidas en forma exacta

(0.3)3 = 2 * 3-1 = 2 + 1/3

En definitiva, las fracciones en una base slo pueden ser estimadas como una expresin finita en otra.

Actividades1. Efectuar 1101102 multiplicado por 1012 2. Convertir 437,4062510 en binario 3. Efectuar 111,000012 dividido entre 1,012 4. Efectuar 1110012 dividido entre 10012 y aproximar con dos posiciones decimales

Conversin de nmeros con signo Signed magnitude: El bit ms a la izquierda es usado como indicador de signo. 1 implica que el nmero es negativo, 0 que es positivo. Si usamos palabras de 8 bits, vamos a poder representar el rango [-(27-1), 27-1]. En general, sobre palabras de n bits podremos representar el rango [-(2(n1)-1), 2(n-1)-1]. La suma es igual que en el sistema decimal, incluyendo el concepto de acarreo:En caso de llegar con un acarreo al bit 8, nos encontramos en una situacin de overflow.

Conversin de nmeros con signo Sistemas de complemento: la idea es usar los nmeros ms altos como nmeros negativos. El complemento de un nmero se obtiene restndo dicho nmero al nmero ms grande que puede representarse con el tamao de palabra con que contamos. (-52)10 = (999)10 (52)10 = (947)10 (167)10 (52)10 = (167)10 + (947)10 = (114)10 + (1)10 = (115)10 El acarreo se suma al dgito menos significativo. El complemento a r en d dgitos del nmero N es (rd-1)-N.

Conversin de nmeros con signo Complemento a 1: La idea es igual a lo que vimos en base 10 slo que las operaciones se realizarn entre expresiones binarias: En este caso, el rango representado es el mismo que el que presentamos para signed magnitude.(-101)2 = (1111)2 (0101)2 = (1010)2

Ejercicio: convencerse de que tomar el complemento a 1 de un nmero binario es apenas invertir los dgitos.

Complemento a 2: La idea detrs de este mtodo es la misma que se present como Complemento a 1, salvo que realizaremos la resta sobre el menor nmero que resulta mayor a todos los nmeros representables con el tamao de palabra con el que contamos:(-101)2 = (10000)2 (00101)2 = (1011)2Ejercicio: convencerse de que complemento a 2 no es ms que complemento a 1, ms 1.El rango representable con complemento a 2 es [-(2n-1), 2n-1-1] El complemento a r en d dgitos del nmero N es rd-N si N != 0 y 0 en caso contrario.

Conversin de nmeros con signo

Representacin decimal de un nmero en complemento a 2 Para los positivos es trivial, se hace lo que vimos en transparencias anteriores evaluando el polinomio que corresponda a la expresin binaria. En el caso de los negativos debemos hacer el procedimiento inverso. Se invierten los bits, Se suma 1, Se convierte a decimal Se le coloca el signo adelante Esto es equivalente a obtener el complemento a 1 y sumarle 1.

Suma en complemento a 2 La suma se opera exctamente igual a la suma en complemento a 1. La resta, al igual que vimos antes se reduce a la suma del complemento del sustraendo. Detectando overflow: Si el acarreo sobre el bit de signo es igual al acarreo fuera de dicho bit, no hay overflow. En caso que sean distintos s lo hay.

Multiplicacin de enteros Hay casos en los que se cuenta con hardware que optimiza esta operacine, pero en el fondo son optimizaciones sobre el mtodo que nos ensearon en la primaria. Se basa en el simple hecho de que 0 multiplicando cualquier nmero es 0 y 1 multiplicando cualquier nmero es ese mismo nmero.

Multiplicando nmeros enteros

La clave del algoritmo es reproducir el desplazamiento que se produce antes de la adicin, que no es ms que un decalaje en una posicin.

Dividiendo nmeros enteros Al igual que en la multiplicacin, hay casos en los que se cuenta con hardware que optimiza esta operacin, pero nuevamente el mtodo es el ms intuitivo. Se basa en la sucesiva sustraccin del divisor al dividendo. En el caso de la divisin entera, el resultado es presentado como dos nmeros, cociente y resto.

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