Tfm grupo4

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TFM. GRUPO 04 1 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Ejercicio 1. a) Resuelva: 2 + 3 ≤5− 4 Solución: 6x + 4x 60 3x 10x + 3x 60 13x 60 b) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición. Justifique su respuesta. El conjunto solución de la inecuación 4 + 2 ≤ 0 , es ℝ − {− 1 2 }. Solución: 4x + 2 ≤ 0 4x ≤ -2 x ≤ −2 4 c) Resuelva: 5 − 3 −3 − 5 + 2 ≥ −1 3 Solución: 5 −3 3 3 −( −1 3 ) ≥ 5 − 2 3( 5 3 )−3( 3 3 )−3( 3 )+3( 1 3 ) ≥ 3(5) − 3(2) -5x 3 x + 1 ≥ 15x – 6 -3 + 1 + 6 ≥ 15x + 6x 4 ≥ 21x X 60 13 X ≤ −1 2 4 21

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TFM. GRUPO 04 1

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

Ejercicio 1.

a) Resuelva: 𝑥

2+𝑥

3≤ 5 −

𝑥

4

Solución:

6x + 4x ≤ 60 – 3x 10x + 3x ≤60 13x ≤60

b) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición. Justifique su respuesta.

El conjunto solución de la inecuación

4𝑥 + 2 ≤ 0 , es ℝ − {−1

2}.

Solución: 4x + 2 ≤ 0 4x ≤ -2

x ≤ −2

4

c) Resuelva: 5𝑥 − 3

−3− 5𝑥 + 2 ≥

𝑥 − 1

3

Solución: 5𝑥

−3− 3

3− (

𝑥 − 1

3) ≥ 5𝑥 − 2

3 (5𝑥

3) − 3 (

3

3) − 3 (

𝑥

3) + 3 (

1

3) ≥ 3(5𝑥) − 3(2)

-5x – 3 – x + 1 ≥ 15x – 6

-3 + 1 + 6 ≥ 15x + 6x 4 ≥ 21x

X ≤ 60

13

X ≤ −1

2

4

21 ≥ 𝑥

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TFM. GRUPO 04 2

d) Si −4 < −3𝑥 + 5 < 15, determine el intervalo a que pertenece 12𝑥 + 9

Solución: -4 < - 3x + 5 - 3x + 5 < 15

3x < 5 + 4 -3x < 15 - 5 3x < 9 -3x < 10

x < 3 3x > − 10

3

Hallar 12x + 9

− 10

3 < 𝑥 < 3

Por 12 (12) ( −10

3) < 12𝑥 < (3)(12)

-40 < 12x < 36 Mas 9 -40 + 9 < 12x + 9 < 36 + 9 -31 < 12x + 9 < 45 -31 45 C.S: [-31; 45]

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TFM. GRUPO 04 3

Ejercicio 2. Relacione cada una de las inecuaciones con su correspondiente conjunto solución

y justifique su respuesta en cada caso:

1 (2𝑥) ∈ ]2; 8[ A ∅

2 𝑥2 + 2𝑥 + 2 < 𝑥(𝑥 + 2) B ℝ

3 2𝑥 + 5 > 2(𝑥 + 1) C ]1; 4[

4 (2𝑥 + 4) ∈ ]0; 12[ D ]5; 18[

5 (20 – 𝑥) ∈ ]2; 15[ E ] − 2; 4[

Resolución:

1) (2x) ∈ ]2; 8[ 2< 2x <8 * Se calcula mitad 1< x <4 Entonces el conjunto solución. ]1; 4[

2) 𝑥2 + 2𝑥 + 2 < 𝑥(𝑥 + 2)

𝑥2 + 2𝑥 + 2 < 𝑥2 + 2

𝑥2 − 𝑥2 + 2𝑥 − 2𝑥 + 2 < 0 * Se calcula mitad

2 < 0 Entonces = 0

3) 2𝑥 + 5 > 2(𝑥 + 1)

2x + 5 > 2x + 2 2x – 2x > 2-5 0 > -3 Entonces R

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TFM. GRUPO 04 4

4) (2𝑥 + 4) ∈ ]0; 12[

0 < 2x +4 < 12 -4 < 2x + 4 -4 < 12 – 4 -4 < 2x < 8 -2 < x < 4 C.S:] -2; 4 [

----------−−−−

2--------------4---------------------

5) (20 – 𝑥) ∈ ]2; 15[ 2 < 20 – x < 15 * Lo multiplicamos por -1

-2 > -20 + x > 15 -2 + 20 > -20 + 20 + x > -15 + 20 18 > x > 5

----------−−−−

5--------------18---------------------

C.S ] 5; 18 [

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TFM. GRUPO 04 5

Ejercicio 3. Responda según el caso.

a) Considere que 𝒙 es la cantidad de termos Heat que un comerciante compra. Se sabe que el pago total fue de S/.3 500. Si Los vende a S/.82 cada uno perdería dinero, en cambio si los vende a S/.65 resultaría ganando.

Modele las inecuaciones que permita calcular la cantidad de Termos “Heat” que compró.

Modele el mínimo precio que deberá tener cada Termo “Heat” para obtener utilidades no menores de S/.500 soles.

Resolución:

Datos:

82x < 3500

65x > 3500

U ≥ 0

Sabemos: U = I – C

P = precio = x

q = cantidad = x

px – 3500 ≥ 500

px ≥ 4000

Hallando mínimo precio

82x < 3500

x < 42.68

65x < 3500

x < 53.84

Precio mínimo que cumple U ≥ 500

P ≥ 74.07

Px ≥ 4000

p (42) ≥ 4000

p ≥ 95.25

Px ≥ 4000

p (54) ≥ 4000

p ≥ 74.07

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TFM. GRUPO 04 6

b) En el puesto N° 101 del campo Ferial Polvos Rosados, las ventas

semanales de 𝒒 pares de zapatillas deportivas cuando su precio es 𝑝

dólares, guardan la siguiente relación 𝒑 = 𝟐𝟎𝟎 – 𝟑𝒒. El costo fijo es

$650 semanales y el costo de producción unitario de cada par de

zapatillas es de $5.

Modele las funciones ingreso, costo y utilidad.

¿Cuántas unidades (pares de zapatillas) deberán producirse y venderse de modo que la empresa tenga un mínimo de $2 500 de utilidad semanal?

Resolución:

a) q: cant. para zapatos

P = 200 – 3q p: precio

CF = $650

Cu = $5q CT= 650 + 5q

U ≥ $2500

I= (200 – 3q) q

I= 200q – 3𝑞2

U= 200q – 3𝑞2 – (650 + 5q) ≥ 2500

Resolución:

b) 200q – 3𝑞2 – (650 + 5q) ≥ 2500

200q – 3𝑞2 – 650 - 5q ≥ 2500

195q – 3𝑞2 – 650 ≥ 2500

195q–– 3150 ≥ 3𝑞2

0 ≥ 3𝑞2 – 195q +3150

𝑋1 = 35

𝑋2 = 30

Rpta. Deberán venderse y producirse entre 30 y 35 unidades.

I = p.q

U = I - C

CT = Cf + Cv

1

1

1

1

1

1

1

30 35 C.S. [30:35]

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TFM. GRUPO 04 7

Ejercicio 4.

Resuelva las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:

a) Maximiza la función

𝑍 = 4𝑥 + 7𝑦, y las restricciones

{

𝑥 ≤ 8𝑦 ≤ 𝑥

𝑦 − 2 ≥ 0𝑥 + 𝑦 ≤ 12𝑥, 𝑦 ≥ 0

A) Z máx.= 4x+7y

x y

0 12

12 0

A (0;12)= 4 (0) + 7 (12) = 84

B ( 8;4 )= 4 (8) + 7 (4) = 16

C ( 8;2 )= 4 (8) + 7 (2) = 46

D ( 0;2 )= 4 (0) + 7 (2) = 14

X + y = 12

8+y= 12

y = 4

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TFM. GRUPO 04 8

Ejercicio 5. Dada la figura:

a) Modele el conjunto de restricciones que determina la región factible.

Resolución:

a) 1 ≤ x ≤ 6

1 ≤ y ≤ 5

2x + 3y <4

b) Calcule el valor máximo de la función objetivo Z=3x+2y

* x=1 ; y=5 * x=6 ; y=1

Z= 3(1)+2(5)=13 Z= 3(6)+2(1)=20

* x=3 ; y=5 * x=1 ; y=1

Z= 3(3)+2(5)=19 Z= 3(1)+2(1)=5

* x=6 ; y=3

Z= 3(6)+2(3)=24 ∴ Zmx=24

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TFM. GRUPO 04 9

Ejercicio 6.

Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar carne, tipo l y tipo ll.

Durante el proceso de producción las parrillas requieren del uso de dos

máquinas, A y B. El número de horas que se requieren en cada una se señalan

en la tabla que aparece a continuación. Si puede utilizarse cada una de las

maquinas 24 horas al día, y las utilidades para la Tipo l y la Tipo ll son de $4 y

$6, respectivamente.

Tipo l Tipo ll

Máquina A 2 4

Máquina B 4 2

a) Plantear las restricciones del enunciado.

b) Determinar la función objetivo.

c) ¿Qué cantidad de cada tipo se debe fabricar diariamente para maximizar

las utilidades?

d) ¿Cuál es la utilidad máxima?

Resolución:

a) Restricciones:

2x + 4y <= 24

4x + 2y <= 24

X; y >= 0

b) Función objetivo:

B = 4x + 6y

c) 2x + 4y <= 24

2x + 4y = 24

Frontera

X Y

0 6

12 0

Frontera

X Y

0 12

6 0

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TFM. GRUPO 04 10

2x + 4y = 24

4x + 2y = 24

2x + 4y = 24

-8x – 4y = -48

-6x = -24

X = 4

Remplazando:

2(4) + 4y = 24

8 + 4y = 24

4y = 16

Y = 4

d) B = 4x + 6y

(0; 0) = 4(0) + 6(0) = 0

(0; 6) = 4(0) + 6(6) = 36

(4; 4) = 4(4) + 6(4) = 40

(6; 0) = 4(6) + 6(0) = 24

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TFM. GRUPO 04 11

Ejercicio 7. Justifique la verdad o falsedad de las proposiciones siguientes:

a) Si 𝑓(𝑥) = {

𝑥+1

𝑥−1si 𝑥 < 1

𝑥2 si 1 ≤ 𝑥 ≤ 4

√𝑥 − 1 si 𝑥 > 4

entonces, el valor de 𝑓(1)+𝑓(0)

𝑓(5) es

cero.

b) la función ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5, 𝑥 ∈]−∞; 2] es decreciente.

c) Dada la función 𝑓(𝑥) = −4𝑥2 + 6, luego el rango de la función 𝑦 ∈[6; −∞[

d) El dominio de la función 𝑓(𝑥) =

√𝑥

𝑥2−4 es ℝ− {−2; 2}.

Resolución: Reemplazando:

a) 𝑓(1)= 12=1

𝑓(1) + 𝑓(0) = 1 + (-1) = 0

𝑓(0)= 0+1/0-1=1 𝑓(5) 2

𝑓(5)=√5 − 1 = 2

∴ ES VERDADERO

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TFM. GRUPO 04 12

b) ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5

ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 1

(𝑥2 − 2)+1

ES DECRECIENTE

∴ ES VERDADERO

c) 𝑓(𝑥) = −4𝑥2 + 6 ; 𝑅𝑎𝑛(𝑓)= [6; −∞[

𝑅𝑎𝑛(𝑓)= ] − ∞; 6 ]

∴ ES FALSO

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TFM. GRUPO 04 13

d) El dominio de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥

𝑥2−4 es ℝ − {−2; 2}.

𝑥

𝑥2−4 ≥ 0

𝑥

(𝑋−2)(𝑋+2) ≥ 0

𝑥 ∈ ]−∞;−2]U ]2;∞[

∴ ES FALSO

1

1

1

1

1

1

1

2 -2

+ - +

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TFM. GRUPO 04 14

Ejercicio 8. Calcule el dominio de cada regla de correspondencia, justifique su respuesta en cada caso:

REGLAS DE CORRESPONDENCIA

DOMINIO DE LA FUNCIÓN

1. 𝑓(𝑥) =𝑥

(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥+3)

A. X € R – {1; 2; 3}

2. 𝑓(𝑥) =𝑥√𝑥−1

(𝑥−2) B. [1; ∞ [ - {2}

3. 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥2+2 C. Dom (f) : R

4. 𝑓(𝑥) =

√𝑥2 − 2𝑥 − 3

D. X € ] - ∞;-1] µ [3; 0]

Resolución:

𝟏. 𝒇(𝒙) =𝒙

(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑)

(x – 1) (x -2) (x – 3) ≠ 0 X ≠ 1, 2,3 Entonces: X € R – {1; 2; 3}

𝟐. 𝒇(𝒙) =𝒙√𝒙−𝟏

(𝒙−𝟐)

X ≠ 0 ; x – 1 ≥ 0 X € [1; ∞ [ - {2}

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TFM. GRUPO 04 15

3. 𝒇(𝒙) =𝒙+𝟏

𝒙𝟐+𝟐

𝑥2 + 2 ≠ 0 X € R : Dom (f) : R

𝟒. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑

𝑥2 − 2x − 3 ≥ 0 Por método del Aspa (x-3)(x+1) ≥ 0 X € ] - ∞;-1] µ [3; 0] P.C = -1; 3

----------−−−−

− 1--------------3-------------

----

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TFM. GRUPO 04 16

Ejercicio 9.

En la figura se muestra la gráfica de una

función polinómica f

a) Determine los intervalos donde la

función es positiva

] − 4 ; −4

3 [ 𝑈 ] 3; 4 [

b) Determine los intervalos donde la

función es negativa.

] −4

3 ; 3 [

c) Determine el intervalo donde es creciente.

] 2; 4 [

d) Determine el intervalo donde es decreciente.

] -2 ; -1 [

e) Determine los intervalos donde es constante.

] -4 ; -2 [ U ] -1 ; 2 [

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TFM. GRUPO 04 17

Ejercicio 10.

La ecuación de la oferta de cierto producto es 3p – 15q = 450, mientras

que la de la demanda es 2p + 20q = 2400, donde q es la cantidad y p el precio

en soles.

a) Graficar en un mismo plano cartesiano, las ecuaciones de oferta y

demanda.

b) Calcule el precio y la cantidad de equilibrio.

c) Explique, en el caso de la demanda, lo que sucede si el precio disminuye

en 10 soles.

Resolución:

O: 3p – 15q = 450

D: 2p + 20q = 2400

p – 5q = 150

p – 10q = 1200

15q = 1050

q = 70

a)

-30 -120

-150

q

p

1200

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TFM. GRUPO 04 18

b) P = 450 + 15q 900 + 30q = 7200 – 60q

3 90q = 6300

P = 2400 – 20q q = 70 => p = 500

2

880 + 30q = 7200 – 60q

90q = 6320

q = 70.22

D: 2p = 2400 – 20(70.22)

P = 497.8

c) O: 3p – 15q = 450 – 10

O: 3p – 15q = 440

D: 2p + 20q = 2400

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TFM. GRUPO 04 19

Ejercicio 11.

Una editorial pronostica que la ecuación de demanda para la venta de su

última novela de ficción será

𝑞 = −2 000𝑝 + 150 000, donde 𝑞 es la cantidad de libros que puede

vender, por un año, a un precio de $𝑝 cada uno.

a. Modelar la función de costo total en función de la cantidad de artículos producidos.

b. Modelar la función ingreso y utilidad. c. ¿Cuál es el ingreso máximo?

Resolución:

Demanda: q = -200p + 150000

P = -0.0005q + 75

Ingreso = (-0.0005q + 75) q

I = -0.0005q2 + 75q

a= -0.0005q2 b= 75 c= 0

h = −𝑏

2𝑎 =

−75

2(−0.0005)

h = 75,000

k = -0.0005 (75000)2 + 75 (75000)

k = 2´812,000

I máx. 2´812,000

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TFM. GRUPO 04 20

Ejercicio 12.

Cuando el precio de cierto producto es $20 se ofertan 100 unidades pero se

demandan 150. Si el precio aumenta en $6, se ofertan 160 unidades pero se

demanda 110 unidades.

a) Determine la ecuación de la oferta y la ecuación de la demanda.

b) Determine el punto de equilibrio.

c) Si se grava un impuesto de $3, ¿cuál es el nuevo punto de equilibrio?

d) Si se fija un subsidio de $4, ¿En cuánto varían el precio y la cantidad de equilibrio?

Resolución:

a)

Oferta Demanda

p q

20 100

26 160

m=160−100

26 −20=

60

6 m =

110−150

26 −20=

−40

6

m = 10 m = −20

3

q -100 = 10 (p – 20) q – 150 = −20

3 (p – 20)

O: q= 10p -100 D: q = −20

3 +

400

3 + 150

D: q = 850−20𝑝

3

p q

20 150

26 110

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TFM. GRUPO 04 21

Hallando el punto de equilibrio

O=D

10p -100 = 850−20𝑝

3

30p – 300 = 850 – 20p

50 p = 1150

p = 23

Reemplazamos p en D

D: q = 850−20(23)

3

q = 390

3

q = 130

*Si se grava un impuesto de $3, ¿cuál es el nuevo punto de equilibrio?

O: q= 10p – 100 + 3

q = 10p – 97

Hallando el punto de equilibrio

O=D

10p – 97 = 850−20𝑝

3

30p – 291 = 850 – 20p

50p = 1141

P = 22.82

Reemplazamos p en D

D: q = 850−20(22.8)

3

q = 131.3

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TFM. GRUPO 04 22

*Si se fija un subsidio de $4, ¿En cuánto varían el precio y la cantidad de

equilibrio?

O: q= 10p – 100 - 4

q = 10p – 104

Hallando el punto de equilibrio

O=D

10p – 104 = 850−20𝑝

3

30p - 312 = 850 – 20p

50p = 1162

P = 23.24

Reemplazamos p en D

D: q = 850−20(23.24)

3

q = 128.4