Facultad de Ingeniera Departamento de Industrias

APUNTES DEL CURSO MODELOS ESTOCASTICOS (INVESTIGACION DE OPERACIONES II) I parte PROBABILIDADES Y ESTADISTICA PROCESOS DE POISSON

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

PROFESOR IVAN DERPICH CONTRERAS

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Captulo 1. Probabilidades y estadstica 1.1. Variables Aleatorias: Ideas BsicasLa mayora de las aplicaciones que los ingenieros hacen de la teora de probabilidades envuelve variables aleatorias y resultados numricos. As por ejemplo La sobreventa, que es el nmero de personas que teniendo reservas de un vuelo, finalmente no lo toman. Este nmero es aleatorio y vara de un vuelo a otro, y da por da, y de una aerolnea a otra. Ciertamente esta variable es una variable numrica, por lo cual tiene sentido hablar del nmero promedio de sobreventa. El concepto de variable aleatoria es la idea central en el entendimiento de resultados numricos aleatorios. Informalmente una variable aleatoria es un resultado cuantitativo obtenido de un experimento aleatorio. Por ejemplo, considere el experimento de seleccionar a un administrador aleatoriamente desde un pool de administradores en una empresa. Definamos como Y el nmero de aos de escolaridad que ha tenido el administrador. Este resultado ser numrico, tal como 12 o 16 y no una categora como privado o publico. Luego, Y est sujeto a variacin aleatoria. Si el experimento se repite haciendo una nueva seleccin, el resultado ser distinto. Estas dos caractersticas resultados numricos y sujetos a aleatoriedad- son aspectos claves de la definicin de una variable aleatoria. Para especificar una variable aleatoria, necesitamos conocer sus posibles valores y sus probabilidades. Para los aos de escolaridad, por ejemplo, los valores pueden ser 0,1,2,hasta un mximo, quizs de 20. Las probabilidades pueden ser obtenidas de los registros de personal de la empresa. Por ejemplo si 284 de 500 administradores han completado exactamente 4 aos de universidad (despus de 12 aos de bsica y media) la probabilidad de que Y=16 debera ser 284/500=0,568. Las probabilidades para otros valores se pueden obtener de manera similar. Definicin 1 Variable aleatoria: (Definicin informal) Una variable aleatoria es cualquier resultado cuantitativo de un experimento que est sujeto a variabilidad aleatoria. Se determina fijando los posibles valores y la probabilidad asociada con cada valor. La probabilidad asociada con cada valor de una variable aleatoria, se obtiene sumando las probabilidades de todos los resultados que dan ese valor.

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Ejemplo 1.1: Suponga que una planta produce telfonos celulares en dos lneas de produccin. Se seleccionan aleatoriamente 3 telfonos al azar para ser inspeccionados destructivamente. Llamemos H y T las lneas de produccin. Encuentre la distribucin de probabilidades de Y, el nmero de telfonos muestreados producidos en la lnea H. Se tienen 8 resultados posibles. Resultado HHH Probabilidad 1/8 Valor de Y 3 HHT 1/8 2 HTH 1/8 2 THH 1/8 2 HTT 1/8 1 THT 1/8 1 TTH 1/8 1 TTT 1/8 0

Luego, por ejemplo para Y=2 se tiene:

Pr{Y = 2} = Pr{HHT } + Pr{HTH } + Pr{THH } =

1 1 1 3 + + = 8 8 8 8

Se acostumbra nombrar a las variables aleatorias con letras maysculas del final de alfabeto, as por ejemplo X,Y,Z. Ejemplo 1: Suponga que se toma una muestra aleatoria de dos personas de una gran poblacin que se compone de un 30% de subscriptores a una revista de negocios y 70% de no subscriptores. a) Lista de posibles resultados b) Asignar posibilidades c) Defina la variable cuantitativa Y como el nmero de subscriptores en la muestra. Especifique los valores posibles que la variable aleatoria puede asumir y determine cada uno de los valores de probabilidad. Solucin a) Si definimos como S a un subscriptor y N a un no subscriptor, entonces todos los resultados posibles del experimento de muestreo son : { (S,S), (S,N), (N,S), (N,N) } b) De la definicin del problema, sabemos que P(S)=0,3 y P(N)=0,7. Bajo el supuesto que los resultados de las dos personas son independientes, se tiene se tienen las siguientes probabilidades: P(S,S)= (0,3)2 =0,09 P(S,N)= (0,3)*(0,7)=0,21 P(N,S)= (0,7)*(0,3)=0,21 P(N,N)=(0,7)2 =0,49 1,00 c) Si la variable aleatoria Y es el nmero de subscriptores en una muestra de dos personas de la poblacin de inters, entonces los posibles valores de Y son 0, 1 y 2. Las probabilidades asociadas con estos valores se pueden determinar de las probabilidades de los resultados del experimentos correspondientes a cada valor numrico de la variable Y. 3

Resultado del experimento (N,N) (N,S) (S,N) (S,S)

Probabilidad 0,49 0,21 0,21 0,09

y 0 1 1 2

P(y) 0,49 0,42 0,09

V. A Discretas : Las variables aleatorias que hemos considerados hasta ahora son discretas, sus posibles valores han sido distintivos y separados, como 0 o 1 o 2 o 3. V. A. Continuas: Otras variables aleatorias que se consideran habitualmente son las continuas: sus posibles valores forman un intervalo o rango (o continuum) Por ejemplo, los retornos anuales por peso invertido en una accin comn podran estar en un rango desde 0 hasta un valor muy grande. En la practica, virtualmente todas las variables aleatorias asumen un conjunto de valores discretos; el retorno por peso de una inversin de un milln de pesos en una accin comn, podra ser 1,06219424 o 1,06219425. Pero cuando hay muchos valores posibles para una variable aleatorias a veces matemticamente til tratarla como continua. De hecho, una de las importantes especificaciones de probabilidades tericas, es -la bien formada distribucin normal- que formalmente solo se aplica a variables continuas. En este capitulo solo se definirn algn lenguaje y notacin para variables aleatorias continuas. 1.2. Distribuciones de Probabilidad: Variables aleatorias discretas Distribucin de probabilidades : La distribucin de probabilidades PY(y) de una variable aleatoria discreta Y asigna una probabilidad a cada valor y de la variable aleatoria. La distribucin de probabilidades para Y se puede expresar como una formula, un grfico o una tabla. Definicin 2 Propiedades de una Distribucin de Probabilidad Discreta 1.- La probabilidad PY(y) asociada con cada valor de Y debe cumplir: 0 PY ( y ) 1 2.- La suma de las probabilidades de todos los valores de Y es igual a 1. PY ( y ) = 1y

3.- Si los diferentes valores de Y son eventos mutuamente excluyentes, sus probabilidades son aditivas. Por lo tanto: P(Y = a oY = b) = PY (a) + PY (b) Para la variable Y= numero de lneas H de una muestra de tres telfonos, podemos definir Y a travs de una tabla, como sigue: y: PY(y): 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 3/8 4

O podemos usar una frmula: PY ( y ) = 3! 1 ( ) y!(3 y )! 8

Donde en general k!= k ( k 1)( k 2)...(1) y por convencin 0!= 1 . Sustituyendo y=0,1,2 y 3 en la formula anterior se tienen las mismas probabilidades listadas en la tabla anterior. 0 1 2 3

PY ( y = 0) :

3 2 1 1 1 = (1)(3 2 1) 8 8

3 2 1 1 3 = (1)(2 1) 8 8

3 2 1 1 3 = (2 1)(1) 8 8

3 2 1 1 1 = (3 2 1)(1) 8 8

Histograma de probabilidades

Un grfico de esta distribucin de probabilidades, llamado histograma de probabilidades, se muestra en la figura 4.2. La variable aleatoria discreta Y es el nmero de telfono de la lnea H en una muestra de tres.

Grfico de PY(y) para el experimento de muestreo de telefonos0,40 0,35 Pro b ab ilid ad es 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 1 2 3 4 nmero de fonos de la linea H

Funcin de distribucin acumulada

La funcin de distribucin acumulada es otra funcin que es particularmente apropiada cuando se calculan probabilidades y tiene aplicaciones en mtodos computacionales. En general la funcin de distribucin acumulativa FY(y) para una variable aleatoria discreta Y es una funcin que especifica la probabilidad de que Y y para todos los valores de y. Por la ley de la suma de probabilidades, todo lo que debemos hacer es sumar las probabilidades individuales para valores menores o iguales al valor especificado y. De este modo: FY ( y ) = P(Y y ) = PY (0) + PY (1) + ... + PY ( y ) Esto puede ilustrarse para el ejemplo de muestreo de telfonos discutido previamente: y: PY(y) FY(y) 0 1/8 1/8 1 3/8 4/8 2 3/8 7/8 3 1/8 8/8

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Como el nombre lo sugiere y el ejemplo ilustra, la funcin de distribucin acumulativa para un valor particular y suma todas las probabilidades para Y y . Por ejemplo: 1 3 3 7 FY (2) = P (Y 2) = + + = 8 8 8 8 y FY (3) = P(Y 3) = 1 La funcin de distribucin acumulativa (abreviada fda) se usa frecuentemente para construir tablas de probabilidad, de modo que el usuario no tenga que sumar muchos datos para encontrar las probabilidades. Como ilustracin, supongamos que Y es el nmero de casos de ataques coronarios que llegan en un da dado a un gran hospital de enseanza metropolitano. La funcin de distribucin de distribucin acumulada queda como sigue: y: FY(y): y: FY(y): 0 0,001 9 0,510 1 0,003 10 0,672 2 0,006 11 0,782 3 0,011 12 0,870 4 0,024 13 0,925 5 0,061 14 0,964 6 0,139 15 0,988 7 0,224 16 0,997 8 0,336 17 1,00

Suponga que el hospital tiene 14 camas de cuidados coronarios disponibles al comienzo de un da particular. La probabilidad de que el nmero de nuevos casos Y es menor o igual que 14 puede leerse directamente de la tabla 0,964. Es casi tan fcil como encontrar la probabilidad de Y sea 15 o mas;P (Y 15) = 1 P (Y 14) = 1 0,964 = 0,036 .

1.3. Valor esperado, Varianza y Desviacin estndar

En la seccin previa introducimos el lenguaje de variables aleatorias. Ya que las variables aleatorias tienen valores numricos, tiene sentido hablar de promedios y variabilidad. En esta seccin definiremos la media (o valor esperado) y la varianza de una cantidad aleatoria.Valor esperado

El valor promedio de una variable aleatoria debe tomar en cuenta todos los posibles valores de esa variable y sus respectivas probabilidades .El valor esperado de invariable aleatoria discreta Y con distribucin de probabilidad PY(y) es el promedio ponderado en probabilidad de sus posibles valores. Recordemos que un promedio ponderado es la suma de los valores ponderados dividido por la suma de los pesos ponderadores. El valor esperado de Y es tambin llamado media de Y , se denota E(Y) o y .Definicin 3 Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta

Para una variable aleatoria discreta Y con distribucin de probabilidad PY(y), el valor esperado de Y es: 6

y = E (Y ) = yPY ( y )y

Para encontrar E(Y) tome cada uno de los valores posibles de y, multiplquelo por su probabilidad PY(y) y sume todos los resultados.Ejemplo 2 Una firma est considerando dos posibles inversiones. Como aproximacin gruesa, la firma asigna probabilidades (subjetivas) para los resultados posibles de las inversiones, que son perder un 20% por peso invertido, perder 10%, mantenerse sin ganar o perder, ganar un 10% por peso invertido y ganar un 20%. Sea Y el retorno por peso invertido en el primer proyecto y Z el retorno por peso invertido. Las probabilidades de la firma son:

y: PY(y) Z: PZ(z)

-0,20 0,1 -0,20 0,01

-0,10 0,2 -0,10 0,04

0 0,4 0 0,1

0,10 0,2 0,10 0,5

0,20 0,1 0,20 0,35

Calcule los retornos esperados por peso invertido en cada proyecto. Cul inversin parece ser ms atractiva ? Solucin: El proyecto Y, parece menos atractivo que el Z, pero es as ? para ello calculemos el valor esperado de cada proyecto. y -0,20 -0,10 0 0,10 0,20 PY(y) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 y PY(y) -0,02 -0,02 0 0,02 +0,02 E(Y)=0 z -0,20 -0,10 0 0,10 0,20 PZ(z) 0,01 0,04 0,1 0,5 0,35 zPZ(z) -0,002 -0,004 0 0,050 +0,070 E(Y)=0,114

El valor esperado Y es menor que el de Z, por lo tanto el proyecto Z es preferible al proyecto Y. Estos clculos pueden ser hechos fcilmente con una hoja de clculo o un paquete estadstico. Liste los posibles valores en una columna, las probabilidades correspondientes en otra columna, multiplicar los valores correspondientes y luego sume.Interpretacin de E(Y)

El valor esperado (media) de una variable aleatoria Y puede ser interpretado i en varias formas. Primero, es simplemente un promedio ponderado de probabilidades, segundo se puede pensar como un promedio de largo plazo.Ejemplo 3: Suponga que una poblacin consta de los siguientes valores y frecuencias asociadas. Valor: 1000 2000 3000 4000 Frecuencia 80 60 40 20 (N=200)

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La media poblacional es 2000. sea Y una variable aleatoria de la poblacin. Encuentre PY(y) y E(Y). Solucin: Los posibles valores y sus probabilidades son: 1000 2000 3000 y: 80/200=0,4 60/200=0,3 40/200=0,2 PY(y) 4000 20/200=0,1

El valor esperado es: E (Y ) = 1000 * 0,4 + 2000 * 0,3 + 3000 * 0,2 + 4000 * 0,1 = 2000 E(Y) es la media de la poblacin.Varianza de una variable aleatoria

Hemos discutido las diferentes interpretaciones asociadas con el valor esperado de una variable aleatoria discreta. Otra caracterstica igualmente importante de una variable aleatoria discreta es la varianza y la desviacin estndar. La varianza de un conjunto de datos es el promedio de las desviaciones cuadrticas de la media. Similarmente, la varianza de una variable aleatoria Y, Var(Y), es el promedio ponderado por las probabilidad de las desviaciones cuadrticas con respecto a la media.Definicin 4 :Varianza y Desviacin Estndar de una Variable aleatoria discreta:

Si Y es una variable aleatoria discreta, entonces : 2 Y = Var (Y ) = ( y Y ) 2 PY ( y ) , donde Y = E (Y )y

La desviacin estndar de Y, denotada por Y = Var (Y ) . Para calcular Var(Y), tomar cada valor restar el valor esperado Y = E (Y ) , elevar al cuadrado esta diferencia , multiplicar por la probabilidad PY(y), y sumar.Ejemplo 4. Encuentre la varianza y desviacin estndar para Y y Z del ejemplo 3.

Solucin: En el ejemplo 3 se encontr y = E (Y ) = 0 y Z = E ( Z ) = 0,114 . y -0,20 -0,10 0 0,10 0,20 PY(y) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 (y- Y ) -0,20 -0,10 0 0,10 0,20 (y- Y ) 2 (y- Y ) 2PY(y) 0,04 0,004 0,01 0,002 0 0 0,01 0,002 0,04 0,004 2 Y = 0,012

z -0,20 -0,10 0 0,10 0,20

PZ(z) 0,01 0,04 0,1 0,5 0,35

(z- Z ) -0,314 -0,214 -0,114 0-,114 0,086

Y = 0,12 = 0,110 (z- Z ) 2 (z- Z ) 2PZ(z) 0,098596 0,000988596 0,045796 0,00183184 0,012996 0,00129960 0,00196 0,00009800 0,07396 0,002588608

2 Z = 0,006804

Z = 0,006804 = 0,082La distribucin Y tiene mayor variabilidad. El grueso de la distribucin Z est concentrado entre los valores mayores 0,1 y 0,2; mientras que las probabilidades Y estn mas repartidas entre todos los valores posibles. La varianza de una inversin se toma habitualmente como una medida de riesgo, en que mayores varianzas indican mayores niveles de riesgo. En este ejemplo la inversin Z tiene mayor valor esperado de retorno y menor riesgo. La computacin de la varianza y la desviacin estndar son fciles de hacer en una planilla electrnica o en un paquete estadstico. Se hace una columna (o una fila) con los valores y otra con sus probabilidades, tal como lo hicimos para calcular el valor esperado. Se construye una nueva columna restando la media de cada uno de los valores y se eleva al cuadrado el resultado. Luego se multiplican los valores cuadrticos por la probabilidad correspondiente y finalmente se suman todos los resultados para obtener la varianza. Luego se toma la raz cuadrada de la varianza para obtener la desviacin estndar. En la figura 1 se presenta un arreglo en Excel para calcular el valor esperado, la varianza y la desviacin estndar de la variable Y= nmero de cajas abiertas en un supermercado a las 8 AM.Figura 1 Valor esperado, Varianza y desviacin estndar con ExcelY P(y) yP(y) Valor Esperado y-uY (y-uY)2 Varianza Valor esperado= Varianza = Desviacin estndar= 00,1 0 SUMA(B3:L3)

10,15 0,15

20,25 0,5

30,2 0,6

40,1 0,4

50,08 0,4

60,05 0,3

70,02 0,14

80,02 0,16

90,015 0,135

100,015 0,15

90,9 SUMA((B7:L7)

40,6

10,25

00

10,1

40,32

90,45

160,32

250,5

360,54

490,735

2,935 4,715 2,171

La varianza y la desviacin estndar de una variable no pueden ser negativas. La varianza es 0 si todos los valores estn concentrados en un slo valor. Mientras mas repartida est la probabilidad entre todos los valores, mayor es su valor. Este hecho proviene de que la varianza es el promedio en probabilidad de las desviaciones cuadrticas. Si las mayores desviaciones cuadrticas estn en los extremos hay mayor probabilidad de que la varianza y la desviacin estndar sern grandes.1.4 Distribucin Conjunta de Probabilidad e Independencia

Hemos desarrollado un lenguaje bsico para variables aleatorias discretas. En esta seccin se extiende el lenguaje a distribuciones conjuntas de probabilidad para dos 9

variables aleatorias X e Y. Se hacen nuevas definiciones para el caso de 2 variables aleatorias discretas.Probabilidades Conjuntas

Cuando nos enfrentamos a dos variables aleatorias X e Y, es conveniente trabajar con probabilidades conjuntas. La distribucin conjunta de los eventos A y B es la probabilidad que ambos eventos ocurran, P(A y B). Sea A el evento X=x, y B el evento Y=y. Se define la probabilidad PXY(x,y) como la funcin que provee la distribucin conjunta para cada par de valores x e y.Ejemplo 5: Suponga que en la sala de emergencia de un pequeo hospital, la mayora de los casos que llegan son ataques cardacos y traumas (por accidentes o acciones de violencia). Definamos las llegadas de personas de una noche cualquiera de fin de semana como, X=nmero de ataques cardacos e Y=nmero de traumas. La distribucin conjunta de probabilidades PXY(x,y) se muestra a continuacin: Y X 0 1 2

0 2/82 4/84 6/84

1 3/84 6/84 9/84

2 4/84 8/84 12/84

3 5/84 10/84 15/84

Interprete el valor 10/84 en la tabla. Solucin: El valor 10/84 es la probabilidad conjunta PXY(1,3) , esto es, la probabilidad de que X=1 y Y=3 en una noche de fin de semana cualquiera. Dicho de otra forma es la probabilidad de que ocurra 1 caso de ataque cardaco y 3 traumas en una noche cualquiera de fin de semana.Probabilidades marginales

Una vez que se ha establecido la distribucin conjunta de probabilidad, las probabilidades marginales se pueden calcular, por suma.Ejemplo 6: Encontrar la distribucin de probabilidad conjunta de X y la distribucin de probabilidad conjunta de Y del ejemplo 3.

Solucin: Sume a travs de las columnas para obtener la probabilidad marginal de X y a travs de las filas para obtener la probabilidad marginal de Y.Y 2

x

0

1

3

PX(x) 14/84 28/84 42/84 PX(x) sume las 10

0 2/82 3/84 4/84 5/84 1 4/84 6/84 8/84 10/84 2 6/84 9/84 12/84 15/84 12/84 18/84 24/84 30/84 PY(y) Estas ideas se pueden expresar tambin en frmulas. Para encontrar probabilidades conjuntas de x para todo valor posible de y :

PX ( x) = P( x, y )y

En este ejemplo

P( X = 1) = PXY (1, y )y

= P (1,0) + P (1,1) + P (1,2) + P (1,3) XY xy xy XY

=

4 6 8 10 28 + + + = 84 84 84 84 84

En este ejemplo:

P(Y = 1) = PXY ( x,1)x

= PXY (0,1) + PXY (1,1) + PXY (2,1) = 3 6 9 18 = + + = 84 84 84 84En una planilla electrnica se pueden hacer estos clculos de manera muy sencilla. Por ejemplo suponga que una compaa de arriendo de automviles como parte de su sistema de crditos, recoge las probabilidades conjuntas de dos variables: X= nmero de muertes ocurridas e Y= nmero de tarjetas de crdito impagas, resultantes de una toma de datos aleatoria. El archivo Excel se muestra en la figura 2. A 1 Probabili 2 3 4 X 5 6 A 1 2 3 4 5 6Probabili dades Conjuntas

B

C y 0 0,06 0,13 0,08=SUMA(C3:C5)

Figura 2 D

E

F

G

dades Conjuntas

0 1 2

1 0,11 0,24 0,04=SUMA(D3:D5)

2 0,16 0,09 0,03=SUMA(E3:E5)

3 0,03 0,02 0,01=SUMA(F3:F5)

=SUMA(C3:F3) =SUMA(C4:F4) =SUMA(C5:F5)

B

C

D

E y

F

G

X

0 1 2

0 0,06 0,13 0,08 0,27

1 0,11 0,24 0,04 0,39

2 0,16 0,09 0,03 0,28

3 0,03 0,02 0,01 0,06

0,36 0,48 0,16 1

La frmula =SUMA calcula la probabilidad marginal inmediatamente. Se puede extender la notacin bsica de probabilidad a probabilidades condicionales. Para ello definamos la probabilidad condicional de B dado A como sigue: 11

P( B ) = ADistribucin condicional

P( A B) P( A)

Llamemos Probabilidad condicional de Y dado X=x a PY / X ( y / x) . As para cualquier valor de Y tenemos: P( X = x Y = y ) PXY ( x, y ) = P(Y = y / X = x) = P( X = x) PX ( x) La necesidad de esta notacin viene de la idea de independencia. Recordemos que tenemos dos definiciones de independencia para los eventos A y B:P( A / B) = P( B) P ( A B ) = P ( A) P ( B )

Definiciones equivalentes de independencia estadstica

Tenemos tambin dos definiciones equivalentes de independencia estadstica, para las variables aleatorias X e Y: PY / X ( y / x) = PY ( y ), para todo x,y

PXY ( x, y ) = PX ( x) PY ( y), para todo x, y Usualmente nosotros usaremos la segunda definicin de independencia.Ejemplo 7: Mostrar que X e Y de los ejemplos 4.9 y 4.10 son independientes

Solucin: En el ejemplo 4.10 encontramos PX(x) y PY(y). Al multiplicar adecuadamente ambos trminos se obtiene la siguiente tabla: x 0 1 2 0 (12/84)(14/84) (12/84)(28/84) (12/84)(42/84) 12/84 y 1 2 3 (18/84)(14/84) (24/84)(14/84) (30/84)(14/84) (18/84)(28/84) (24/84)(28/84) (30/84)(28/84) (18/84)(42/84) (24/84)(42/84) (30/84)(42/84) 18/84 24/84 30/84 PX(x) 14/84 28/84 42/84

Al reducir a fracciones los datos de esta tabla, se llegan a los datos de la tabla del ejemplo 4.9. De esta forma PXY(x,y)=PX(x)PY(y) para todo x e y; por lo que X e Y son independientes. El supuesto de independencia fue construido en forma matemtica para PXY(x,y). En la prctica, frecuentemente se supone que X e Y son independientes: una vez que especificamos PX(x) y PY(y), se calcula PXY(x,y) como el producto PX(x)PY(y). En el ejemplo 4.9 hay una situacin en la cual el supuesto de independencia parece razonable. El nmero de casos coronarios que llegan a la sala de emergencia no debera ser relevante para predecir el nmero de casos de trauma que llegan. Ejercicios :

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1.22.- Una empresa manufacturera de televisores vendo dos modelos principales. Defnase X=ventas del modelo A en Diciembre (cerca de 100.000) e Y=ventas del modelo B en Diciembre. El equipo de marketing estima que las probabilidades conjuntas son PXY(x,y) son: X 1 2 3 4 a. b. c. d. 1 0,03 0,055 0,07 0,075 y 2 0,055 0,07 0,075 0,07 3 0,07 0,075 0,07 0,055 4 0,075 0,07 0,055 0,030

Encontrar P(X=1,Y=2) Encontrar P ( X 2, Y 2) Encontrar PX ( x) y PY ( y ) Son X e Y independientes?

1.22.- El dueo de una pequea tienda de equipos musicales define las siguientes variables; X= nmero de amplificadores vendidos en un da de semana e Y= nmero de parlantes vendidos durante el mismo da. 0 1 2 3 x: 4 0,10 0,40 0,25 0,20 0,05 Px(x) a. Asuma que X e Y son independientes, calcula la distribucin conjunta PXY(x,y). b. Cheque su trabajo encontrando las probabilidades marginales. 1.23.- Cree ud. que la independencia es un supuesto razonable en el ejercicio 4.22.? Debera ser verdad que las ventas de amplificadores son irrelevantes para las ventas de parlantes ? 1.24.- Una pequea empresa consultora presenta propuestas orales y escritas en un esfuerzo por obtener nuevos contratos. Los registros indican que la distribucin de probabilidades PXY(x,y) de X=nmero de propuestas orales en una semana e Y=nmero de propuestas escritas en una semana est dada por la siguiente tabla: y x 0 1 2 3 4 0 0,01 0,020 0,030 0,040 0,050 1 0,015 0,030 0,045 0,060 0,075 2 0,030 0,045 0,100 0,045 0,030 3 0,075 0,060 0,045 0,030 0,015 4 0,050 0,040 0,030 0,020 0,010

a. Encuentre la probabilidad de que hayan dos propuestas orales y dos propuestas escritas en una semana. b. Encuentre la probabilidad de que hayan exactamente dos propuestas orales en una semana y dos o menos propuestas escritas en una semana.

13

1.25.-Refirase al ejercicio 1.24. a. Use las distribuciones de probabilidad para construir las distribuciones de probabilidad marginales de X e Y. b. Asumiendo estas probabilidades por usted calculadas, son X e Y independientes ? 1.26 Calcule la distribucin condicional de Y dado cada valor posible de X usando las distribuciones del ejercicio 4.24 son estas distribuciones de probabilidad condicionales independientes ?1.5. Covarianza y Correlacin de Variables Aleatorias

En la seccin previa se defini la nocin de independencia de una variable aleatoria. Ahora hablaremos sobre como medir el grado de dependencia entre dos variables aleatorias. Hay muchas medidas de dependencia que se pueden usar. Dos medidas, covarianza y correlacin, son particularmente importantes porque estn estrechamente relacionadas al concepto de varianza de una variable aleatoria. La correlacin, en particular, es una forma de saber en que medida dos variables aleatorias varan juntas. Comencemos, una vez mas, con un ejemplo: Un empleado de confianza de un banco supone las siguientes (subjetivas) probabilidades conjuntas para el porcentaje de retorno (inters mas cambio en valor de mercado) de dos bonos. Los retornos se muestran como X e Y. y X 8 9 10 11 12 8 0,03 0,04 0,02 0,00 0,00 0,09 9 0,04 0,06 0,08 0,04 0,00 0,22 10 0,03 0,06 0,20 0,06 0,03 0,38 11 0,00 0,04 0,08 0,06 0,04 0,22 12 0,00 0,00 0,02 0,04 0,03 0,09PX(x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10 1,00

Hay una relacin entre X e Y. Por ejemplo, dado x=8, las probabilidades de Y se concentran en los valores mas pequeos de y=8,9 y 10. En el otro extremo dado x=12, las probabilidades se concentran sobre los valores mayores de y=10, 11 y 12. En general hay tendencia para que X e Y varen juntos. La convergencia y correlacin de dos variables aleatorias miden la fortaleza de la tendencia. La covarianza de dos variables aleatorias se basa en el producto de las desviaciones con respecto a las medias, ponderadas por la probabilidad conjunta. Si un valor particular de x es menor que X y un valor de y est por debajo de Y , ambas desviaciones sern negativas y el producto ser positivo. Similarmente si ambas desviaciones estn por arriba de las correspondientes medias, el producto tambin ser positivo. En cambio, si la desviacin de una variable est por sobre la media y la desviacin de la otra est por debajo de la media, el resultado del producto ser negativo.Definicin 5 Covarianza de dos Variables Aleatorias X e Y. Si X e Y son dos variables aleatorias discretas con medias X y Y , y con distribucin de probabilidad conjunta PXY(x,y), la Covarianza de X e Y, denotada por Cov(x,y) se define como:

14

Cov( x, y ) = ( x X )( y Y ) PXY ( x, y )x y

Una frmula corta para calcular la covarianza es

Cov( x, y ) = xyPXY ( x, y ) X Y x y Ejemplo 8: Computar Cov(X,Y) para la distribucin conjunta dada en la discusin precedente. Use la definicin primera y luego cheque la frmula corta, verificando que ambos mtodos dan el mismo resultado. Solucin: De las probabilidades marginales PX (x) y PY ( y ) , se obtienen las medias o valores esperados:

x = 8 * 0,1 + 9 * 0,2 + 10 * 0,4 + 11 * 0,2 + 12 * 0,10 = 10

Y = 8 * 0,9 + 9 * 0,22 + 10 * 0,38 + 11 * 0,22 + 12 * 0,09 = 10Como se puede ver los nmeros de X estn igualmente distribuidos alrededor de 10, este valor es la media o valor esperado. Lo mismo ocurre con los valores de Y. La covarianza se puede ahora computar usando la definicin: Cov( x, y ) = ( x X )( y Y ) PXY ( x, y )x y

Cov ( X , Y ) = (8 10 ) * (8 10 ) * 0,3 + (8 10 ) * (9 10 ) * 0,04 + + (8 10 ) * (10 10 ) * 0,03 + (8 10 ) * (11 10 ) * 0,0`(8 10 ) * (12 10 ) * 0,0 + (9 10 ) * (8 10 ) * 0,04 + .... + (12 10 ) * (12 10 ) * 0,03 = 0,60

Similarmente, usando la frmula corta: Cov( x, y ) = ( x X )( y Y ) PXY ( x, y )x y

8 * 8 * 0,03 + 8 * 9 * 0,04 + 8 * 10 * 0,03 + ... + 12 * 12 * 0,03 10 * 10 = 100,6 100 = 0,60

En una planilla electrnica la covarianza se puede calcular ms fcilmente. 1 2 3 A Probabilidades Conjuntas B C D 9 0,04 E 10 0,03 F 11 0,00 G 12 0,00 H Total 0,10 15 I

8

0,03

4 5 6 7 8 Total 9 10 11 12 13 14 15 16

9 10 11 12

0,04 0,02 0,00 0,00 0,09 0,12 0,08 0,00 0,00 0,00

0,06 0,08 0,04 0,00 0,22 0,08 0,06 0,00 -0,004 0,00

0,06 0,20 0,06 0,03 0,38 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,04 0,08 0,06 0,04 0,22 0,00 -0,04 0,00 0,06 0,08

0,00 0,02 0,04 0,03 0,09 0,00 0,00 0,00 0,08 0,12

0,20 0,40 0,20 0,10 1,00

0,6 a su

La covarianza de dos variables aleatorias esta estrechamente relacionada correlacin.Definicin 6 Correlacin de dos Variables Aleatorias X e Y:

Si X e Y son dos variables aleatorias discretas con desviaciones estndares respectivas X y Y , su correlacin XY se define como :

XY =De aqu se concluye:

Cov ( X , Y )

XY

Cov( X , Y ) = XY X Y

La correlacin entre X e Y esta en el rango -1,00 y +1,00. Un valor -1,00 +1,00 indica prediccin lineal perfecta en la poblacin, mientras que un valor 0 indica que no existe ninguna prediccin lineal.Ejemplo 9: Encuentre XY para la distribucin discutida en el ejemplo 4.12 reciente. Solucin: En el ejemplo 4.12 se encontr Cov(X,Y)=0,6 . Para obtener XY se necesita las desviaciones estndar de X e Y, las cuales pueden ser computadas desde la perspectiva de probabilidades marginales. La frmula corta para una varianza puede 2 2 usarse para computar X y Y .2 2 X = x 2 PX ( x) Xx

= 8 (0,10) + 9 2 (0,20) + 10 2 (0,40) + 112 (0,20) + 12 2 (0,10) 10 = 101,20 100 = 1,202

y

X = 1,20 = 1,095 Similarmente se tiene

16

Y

=

y

y 2 PY ( y ) Y2 = 1 ,16

Y = 1,16 = 1,077Sustituyendo en la definicin de XY , se tiene :

XY =

Cov ( X , Y )

XY

=

0,60 = 0,509 1,095(1,077)

1.6 Contando los resultados posibles

Este captulo contiene una discusin sobre la distribucin de probabilidades que se aplican en varias situaciones comunes. La ms comn de estas es cuando se toma una muestra de una poblacin, y se usa la expresin:P (evento) = numero de resultados favorables nmero total de resultados

Para usar esta idea necesitamos un mtodo para contar posibles resultados sin el trabajo de listar explcitamente los resultados. Esta seccin contiene una seccin dedicada a frmulas de conteo. Estas frmulas son necesarias tambin para el desarrollo de la distribucin de probabilidad binomial que se aborda en la siguiente seccin. Los mtodos de conteo responden a las siguientes dos preguntas: 1. Cuntas secuencias de k smbolos se pueden formar de un conjunto de r distintos smbolos, usando cada smbolo no ms de una vez ? 2. Cuntos subconjuntos de k smbolos se pueden formar de un conjunto de r smbolos distintos, usando cada smbolo no mas de una vez ? La nica diferencia entre una secuencia y un subconjunto es que el orden importa para las secuencias y no para los subconjuntos. La secuencia ABC no es la misma que la secuencia CBA, pero el subconjunto {A,B,C} es el mismo que el subconjunto {C,B,A}. Como ejemplo considere secuencias y subconjuntos de tres de las primeras cinco letras del alfabeto. Hay 60 secuencias pero solo 10 subconjuntos. (Tabla 5.1)

{A,B,C} {A,B,D} {A,B,E} {A,C,D} {A,C,E} {A,D,E} {B,C,D} {B,C,E} {B,D,E} {C,D,E}

ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE

ACB ADB AEB ADC AEC AED BDC BEC BED CED

BAC BAD BAE CAD CAE DAE CBD CBE DBE DCE

CAB DAB EAB DAC EAC EAD DBC EBC EBD ECD

BCA BDA BEA CDA CEA DEA CDB CEB DEB DEC

CBA DBA EBA DCA ECA EDA DCB ECB EDB EDC 17

Nmero de secuencias =r(r-1)(r-k+1) Por ejemplo, elija una secuencia de k=3 letras de un total de k=5 letras, como en la tabla 5.1, tenemos 5 elecciones para la primera letra, y 4 elecciones para la segunda y 3 para la tercera. Por lo tanto hay 5x4x3=60 secuencias diferentes. La frmula de la secuencia aparece como un factorial (r!) excepto que est truncado en r-k+1 en vez de continuar hasta 1. Los nmeros de secuencias se llaman habitualmente nmero de permutaciones, de k tomados de r y se denotar

Pk y se expresa via factoriales como:r! = r (r 1)...(r k + 1) (r k )! nmero de combinaciones de k smbolos

r

Pk =

El nmero de subconjuntos es llamado r tomados de r y se denota como r Ck o k

r r! = k k!(r k )! Por ejemplo, para elegir un subconjunto de k=3 letras de un total de k=5 letras, como en la tabla 5.1, tenemos 5 5! 5 x 4 x3x 2 x1 = 3 3!(5 3)! = 3x 2 x1(2 x1) = 10 r El smbolo se lee r sobre k, sugiriendo la eleccin de un subconjunto de k cosas k de un conjunto de r cosas. La formula de combinaciones es particularmente til para muestreo aleatorio, porque elegir un tamao de muestra k sin reemplazo desde una poblacin de tamao r es exactamente lo mismo que un subconjunto de k cosas tomadas de un conjunto de r cosas. Habitualmente no nos importa el orden durante el muestreo de modo que la formula de permutaciones no es importante en este caso. Frecuentemente se deben contar el nmero de formas que se pueden obtener dos subconjuntos. Por ejemplo, si tenemos un total de 920 tems buenos y 80 tems malos, cuantas formas hay de elegir 12 buenos y 4 malos?

18

920 80 formas de elegir los tems buenos y formas de elegir los malos. Hay 12 4 Cualquier eleccin de tems buenos se puede juntar con la eleccin de tems malos, luego para encontrar el nmero de formas en que pueden ocurrir ambas cosas, es decir elegir 12 tems buenos y 4 tems malos, basta multiplicar ambas formulas. Luego hay 920 80 12 4 formas de hacer estas elecciones. Ejemplo 10 En una oficina de ventas, los 10 vendedores top de toda la fuerza de ventas, que alcanza las 612 personas, reciben un premio consistente en unas vacaciones de 5 millones de $. Cuntas listas de vendedores se pueden dar ? Solucin: Aqu el orden es relevante, as que aplicamos la frmula de la permutaciones:

Hay

612 10

P =

612! 6.800.000.000.000.000.000.000.000.000 602!

Ejemplo 11 Auditando 87 pagos de una pequea firma, se chequea una muestra de 10 cuentas. Cuntas muestras posibles hay ?Suponiendo que 13 de las cuentas contienen errores, cuantas muestras contienen exactamente 2 errores ? Solucin: Es necesario considerar la secuencia en la cual se leen las 10 cuentas, Por lo tanto podemos contar el nmero de combinaciones que se pueden dar.

87 87! Hay = 10 10!77! 4.000.000.000.000 muestras posibles. Para obtener todas las muestras posibles con 2 cuentas errneas , podemos combinar 13 74 cualquiera de las formas de elegir 2 errneas de 13 que hay, con las formas 2 8 de elegir las 8 cuentas restantes de entre las 74 correctas. 13 74 Entonces hay 1.200.000.000.000 muestras posibles con 2 cuentas errneas 2 8 y 8 cuentas correctas.

Lista de ejercicios propuestos N 1

1. En un cierto estado, una corte de apelaciones consta de 7 jueces. Para un caso de rutina, se eligen tres jueces aleatoriamente para escuchar un caso y emitir su decisin. Cuntos paneles distintos se pueden formar? 2. Suponga que 5 de los 7 jueces de la corte de apelaciones del ejercicio 5.1 son considerados potencialmente cercanos a un argumento legal particular. Cuntos 19

paneles se pueden formar teniendo exactamente 2 potenciales jueces cercanos a dicho argumento legal ? Cuantos paneles tienen a lo menos 2 de tales jueces ? 3 Una cadena de pastelera desea probar una bebida cola de fabricacin privada. A un probador se le dan 8 bebidas en vasos no marcados, 4 contienen la bebida privada fabricada por la pastelera y 4 contiene una cola de distribucin masiva. Al probador se le pide que identifique los 4 vasos que contienen la bebida privada. Cuantas elecciones diferentes puede hacer el probador ? 4. Cuntas de las elecciones del ejemplo 3 incluyen tres vasos correctos y tres vasos incorrectos?

1.7. Distribuciones Discretas de Probabilidad a) Distribucin Binomial

Es una de las distribuciones discretas ms tiles. Sus areas de aplicacin incluyen inspeccin de calidad, ventas, marketing, medicina, investigacin de mercados, etc. Para entender esta distribucin se debe imaginar un experimento en el que el resultado es la ocurrencia o la no ocurrencia de de un evento. Sin prdida de generalidad, llmese xito a la ocurrencia del evento y fracaso a la no ocurrencia del evento. Adems sea p la probabilidad de xito y 1-p la probabilidad de fracaso. Supngase que el experimento se repite n veces, y cada uno de estos experimentos es independiente de los dems, y sea X la variable aleatoria que representa el nmero de xitos en los n ensayos. El inters est en la probabilidad de obtener exactamente n ensayos. Los dos supuestos claves para la distribucin binomial son: 1. La probabilidad de xito p permanece constante para cada ensayo. 2. Los n ensayos son independientes entre si. Varios problemas parecen adherirse razonablemente a las suposiciones anteriores. Por ejemplo, un proceso de manufactura produce un determinado producto en el que algunas unidades se encuentran defectuosas. Si la proporcin de unidades defectuosas producidas por este proceso es constante durante un perodo razonable y si como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un determinado nmero de unidades, entonces el clculo de probabilidad puede hacerse con la distribucin binomial, de la siguiente forma: Sea p la proporcin de unidades defectuosas producidas. Entonces se sacan n artculos para ver cuantos salen defectuosos. Por ejemplo supongamos que se sacan 5 artculos y se quiere calcular la probabilidad de que 2 de estos 5 artculos sean defectuosos. Entonces si D es artculo defectuoso y N artculo no defectuoso, se tiene lo siguiente: D D N N N o D N D N N o D N N D N o D N N N D o 5 Entonces hay formas o combinaciones de sacar 2 artculos defectuosos en 5 2 artculos sacados. 20

La probabilidad de sacar 2 artculos defectuosos y 3 no defectuosos en cualquier orden es

p * p * (1 p ) * (1 p ) * (1 p) = p 2 * (1 p )

3

n En general si se quieren obtener k xitos en n ensayos, se tienen formas y cada caso k nk k tiene probabilidad p (1 p ) . Formalicemos ahora estas ideas sobre la distribucin binomial.Definicin 7 Distribucin Binomial

Sea X una variable aleatoria que representa el nmero de xitos en n ensayos y p la probabilidad de xito con cualquiera de stos. Se dice entonces que X tiene una distribucin binomial con funcin de probabilidad: n! n x p x (1 p ) x = 0,1,2,..., n p( x; n, p ) = (n x )! x! 0 para cualquier otro valor 0 p 1 Los parmetros de la distribucin binomial son n y p. Estos definen una familia de distribuciones binomiales.

Valor esperado de una variable X distribuida Binomial(n,p)

Si X Bin(n, p) E ( X ) = npVarianza de una variable X distribuida Binomial(n,p)

Si X Bin(n, p ) V ( X ) = np(1 p )Ejemplo 10 Supngase que para personas de cierta edad, la probabilidad de contagio de la influenza comn de invierno es de 0,001. Cul es la probabilidad de que se contagien el 30%?

El 30% puede entenderse como 30 de n=100. Luego lo que se pregunta es por una variable X que cuenta el nmero de infectados con la enfermedad invernal. Esta variable distribuye binomial, con parmetros p=0,01 y n=100. Es decir Pr{X = 30} = 100! 100 30 0,0130 (1 0,01) = 1,45E 35 (100 30)!30!

Si la pregunta se cambia a Cual es la probabilidad de que se contagien el 1% ? 21

Entonces Pr{X = 1} = 100! 100 1 0,011 (1 0,01) = 0,369 (100 1)!1!

b) Distribucin de Poisson

Esta distribucin se aplica cuando una sucesin de eventos ocurren aleatoriamente a travs del tiempo. Una instalacin elctrica enfrenta ocasionales tormentas que derriba las lneas de transmisin o daa los transformadores. Aunque la probabilidad de largo plazo de ocurrencia de una tormenta se puede determinar con total seguridad, el tiempo en que ocurrir la siguiente tormenta es impredecible. Un administrador de un centro computacional de una universidad enfrenta variaciones aleatorias, en los tiempos de llegadas de trabajos. La distribucin de Poisson es el modelo ms simple y mas ampliamente usado de eventos que ocurren en el tiempo. Esta distribucin es el resultado matemtico de una serie de supuestos. Si los supuestos no son correctos, a lo menos aproximadamente, para una situacin particular, la Distribucin de Poisson puede hacer un mal modelo de la situacin. Los supuestos cruciales son los siguientes: 1. Los eventos ocurren uno a la vez. No ocurre ms de un evento al mismo tiempo. 2. La ocurrencia del evento de inters en un perodo dado es independiente de la ocurrencia del evento en un perodo no traslapado de tiempo. Esto significa que la ocurrencia (o no ocurrencia) de un evento durante un perodo de tiempo no cambia la probabilidad de que ocurra un evento en algn perodo de tiempo posterior. 3. El nmero esperado de eventos en un perodo de tiempo se mantiene constante, de modo que, el nmero esperado de eventos durante un cierto perodo de tiempo es el mismo que el de otro perodo de tiempo del mismo largo. El tercer supuesto hace la matemtica ms fcil, pero se puede probar que es irrelevante. Con estos supuestos se llega a la siguiente distribucin de probabilidades.

Definicin 8 Distribucin de Poisson

Sea Y una variable con distribucin de Poisson. Esto lo denotaremos comoY Poisson ( )

Entonces :

22

e y PY ( y ) = y!Donde es el nmero esperado de eventos que ocurrirn en un perodo dado y adems e = 2,71828 .

1.8 Distribuciones Continuas de Probabilidad a) Distribucin Uniforme:

Se caracteriza porque todos los intervalos de igual tamao tienen la misma probabilidad de ocurrir. Es muy utilizada para modelar tiempos de ocurrencia de eventos, cuando no se tiene informacin adicional, que permita inferir alguna condicin sobre la frecuencia de ocurrencia de los valores que pueda tomar la variable.Definicin 9 Distribucin Uniforme

Sea X una variable con distribucin uniforme, con valores reales entre a y b. Entonces la funcin de densidad de probabilidad (fdp) de X es : 1 ; a xb (b a ) Con esto se puede obtener la Funcin de Probabilidad acumulada F (x ) . fdp X =

F (x ) = fdp X dx = a

x

Luego

1 1 1 dx = dx = (b a ) (x a ) (b a ) a (b a ) a 1 (x a ) ; a x b Pr{X x} = (b a )

x

x

23

Capitulo 2 : Procesos de PoissonUn proceso de eventos aleatorios es una coleccin de variables aleatorias con la misma distribucin de probabilidades y los mismos parmetros. Esta coleccin llamada proceso se denota con las llaves {} ,lo que queda dentro de las llaves es la variable aleatoria. Un proceso de Poisson es un proceso de conteo. Enseguida revisaremos la definicin precisa de un proceso de conteo, pero antes adelantemos una idea sobre la distribucin de Posisson.2.1. La Distribucin de Poisson

Este es el modelo de probabilidad ms simple y ms ampliamente usado, de entre los modelos de eventos que ocurren aleatoriamente en el tiempo. Esta distribucin es el resultado matemtico de una serie de supuestos. Los supuestos cruciales son los siguientes: 1. Los eventos ocurren de a uno a la vez. No ocurren dos o ms eventos al mismo tiempo. 2. La ocurrencia del evento de inters en un perodo dado es independiente de la ocurrencia del evento en un perodo no traslapado de tiempo. Esto significa que la ocurrencia (o no ocurrencia) de un evento durante un perodo de tiempo no cambia la probabilidad de que ocurra un evento en algn perodo de tiempo posterior. 3. El nmero esperado de eventos en un perodo de tiempo se mantiene constante, de modo que, el nmero esperado de eventos durante un cierto perodo de tiempo es el mismo que el de otro perodo de tiempo del mismo largo. Hay dos formas para establecer si una distribucin de Poisson es o no un modelo razonable, para una situacin dada. Una forma es ver si los supuestos parecen razonables, en un contexto dado; otra forma es ver si el histograma se parece a un histograma de una distribucin de Poisson.

Ejemplo 12

a) Una instalacin elctrica enfrenta tormentas que producen descargas ocasionales que daan las lneas de potencia o los transformadores. Aunque la probabilidad de largo plazo de tales descargas se puede determinar con seguridad, el momento de las descargas es impredecible. Una compaa que asegura tanques de combustible no puede predecir momento exacto de la siguiente descarga. b) El administrador de un centro computacional de una universidad enfrenta variaciones aleatorias en el tiempo de las solicitudes de trabajo. Es importante ser capaz de protegerse contra estas variaciones en tales situaciones. En estas situaciones los supuestos de la distribucin de Poisson se sostienen ? 24

2.2 Proceso Estocstico

Un proceso estocstico es un proceso de conteo en que la variable asociada al proceso es una variable aleatoria que vara en el tiempo.Ejemplo 13 Sea el nmero de personas presentes en una biblioteca, en el instante t. Para disear el tamao de la biblioteca se requiere conocer el comportamiento de la variable en todo instante de tiempo.

en que T constituye el horizonte de tiempo. Este conjunto se Entonces denomina proceso estocstico.

Estado de Rgimen :

Se denomina estado de rgimen en un cierto instante de tiempo t * , a un estado que a partir de ese instante, el estado no cambia.

tal

2.3 Procesos de Conteo

Un proceso estocsticos es un proceso de conteo si corresponde al nmero de eventos que ocurre en el intervalo [0, t ] .Un proceso de conteo tiene las siguientes propiedades: Si es un entero no negativo entonces y nmero de eventos que ocurren en el intervaloEjemplo 14 (Procesos de Conteo) : El centro de llamadas de emergencia de una empresa recibe un promedio de 42 llamadas por hora durante el perodo de mayor ocupacin. Durante las primeras 4 horas se tienen las siguientes llamadas contadas en lapsos de hora: 18, 21, 23, 24, 20, 16 y 20.

Sean [0, t ] .

nmero de llamada en el lapso i y

nmero de llamadas en el lapso de tiempo

Entonces se tiene:lapso i 1

20

20

25

2 3 4 5 6 7 8

18 21 23 24 20 16 20

38 59 82 106 126 142 162

Entonces , es decir entre el tiempo 0 y el tiempo 30 minutos. Tambien se , es decir en el intervalo que va dese el minuto 0 y el puede afirmar que minuto 120 han ocurrido 82 llamadas.Ejemplo 15 : El nmero de productos que llegan a un taller de produccin para ser procesados, se comportan segn la siguiente tabla de llegadas: Inscripcin en universidades locales, 2005Origen:Datosficticios,solamenteamododeilustracin

Llegada N1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hora llegada8:10 8:35 8:51 9:12 9:40 10:03 10:34 10:57 11:23 11:46 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ahora formalizaremos las propiedades que ya enunciamos de un proceso de Poisson.Propiedad de Orden (Idea intuitiva) : Los eventos ocurren uno a la vez. No ocurren dos o ms eventos al mismo tiempo Definicin 1: Sea el infinitsimo de orden h, se dice que la funcin f( ), es o(h) si f () tal que si . Esto quiere lim = 0 . Esto es que si h 0 h decir que f() tiende a 0 ms rpido que h.

Algunos ejemplos: 1.- La funcin cuadrtica =0 , luego 2.- La funcinluego

) ) )

26

Definicin 2 : El proceso de conteo {N t , h 0} tiene la propiedad de orden si:

P{N h = 1} = h + o(h) P{N h 2} = o(h)en que es una constante positiva esta definicin dice que en el intervalo [0, h] si h es pequeo la probabilidad de que ocurra un evento, es una proporcin lineal de h, mas un trmino de error o(h) . Adems dice que la probabilidad de que ocurran dos eventos ms en el intervalo [0, h] es despreciable para valores pequeos de h. De las definiciones anteriores relativas a la propiedad de orden , se concluye : y

P{N h = 0 N h= 1 N h 2} = 1 P{N h = 0} + P{N h = 1} + P{N h 2} = 1 P{N h = 0} = 1 ( P{N h = 1} + P{N h 2}) = 1 h + o(h) P{N h = 0} = 1 h + o(h)Luego se pueden dar solo dos casos en un lapso pequeo de largo h: ocurre un evento (con probabilidad h ) no ocurren eventos (con probabilidad 1 h )

Ejemplo 1.7: Sea el nmero de personas que ingresan al anden de una estacin de Metro en Santiago, en el lapso [0, t ] . El proceso cumple la propiedad de orden ? Propiedad de incrementos independientes

(La ocurrencia del evento de inters en un perodo dado es independiente de la ocurrencia del evento en un perodo no traslapado de tiempo)Definicin: El proceso estocstico { X (t ), t 0} cumple la propiedad de incrementos independientes si la variable aleatoriaX (t + s ) X (t ) es independiente del proceso {X (u ), u t}, t , s

27

Ejemplo 1.8: Volviendo con la variable X(t) del ejemplo 3, tiene el proceso {X (t ), t 0} incrementos independientes ?

Si la cantidad de personas que potencialmente pueden ingresar al anden es muy grande, el conocer cuantas personas han ingresado en un lapso de tiempo, no condiciona el nmero de personas que ingresarn en algn lapso de tiempo siguiente. Luego si la poblacin de origen es muy grande , el proceso {X (t ), t 0} tiene incrementos independientes.Ejemplo 1.9: El rey de un pas de ricas tradiciones ancestrales ha invitado a 1000 personas a una gran recepcin diplomtica en los jardines del palacio Luxor. La llegada de los invitados est prevista entre las 20 y 21 horas. Se puede asegurar que todos los invitados asistirn, ya que nadie osara desairar al Rey. Sin embargo, la administracin del evento nota con preocupacin que pasada media hora desde la hora de inicio, han llegado solo 50 personas.

Puede esta informacin influir en la cantidad de personas que llegarn en la segunda mitad de tiempo ? Tiene el proceso que cuenta el nmero de invitados que llagan entre la hora de inicio y un instante cualquiera, incrementos independientes ?

Propiedad de Incrementos estacionarios

(El nmero esperado de eventos en un perodo de tiempo se mantiene constante, de modo que, el nmero esperado de eventos durante un cierto perodo de tiempo es el mismo que el de otro perodo de tiempo del mismo largo)

Definicin: El proceso estocstico { X (t ), t 0} cumple la propiedad de incrementos estacionarios si la distribucin de probabilidades deX (t + s ) X (t ) tiempo t.

slo depende de lapso de tiempo s, pero no del instante de

Ejemplo 1.10: Volviendo con el ejemplo 3, en que X(t) es el nmero de personas que ingresan al anden de una estacin de Metro en Santiago, en el lapso [0, t ] . Supongamos adems que el proceso corre entre las 14 y las 16 horas. Solucin: Suponiendo que en el intervalo de tiempo, que va entre las 14 y las 16 horas las llegadas son relativamente constantes, se puede suponer que se cumple la propiedad de incrementos estacionarios.

28

1.6. Proceso de Poisson :El proceso estocstico { X (t ), t 0} es un PROCESO DE POISSON si cumple las tres propiedades siguientes : propiedad de orden propiedad de incrementos independientes propiedad de incrementos estacionarios

Definicin : Distribucin de probabilidades de Poisson

Sea Y una variable con distribucin de Poisson. Esto lo denotaremos comoY Poisson ( )

Entonces :

PY ( y ) =

e y y!

Donde es el nmero esperado de eventos que ocurrirn en un perodo dado y adems e = 2,71828 . Una variable aleatoria de Poisson Y, corresponde al nmero de eventos aleatorios que ocurrirn en un perodo fijo de tiempo. En principio no hay lmite para los valores de y. En la prctica valores muy grandes son extremadamente poco probables. Para encontrar para un perodo de tiempo agregado (por ejemplo un turno), es necesario multiplicar la tasa esperada por unidad de tiempo menor (por ejemplo para una hora) por el nmero de veces que la unidad de tiempo menor est contenida en la mayor (por ejemplo cuantas horas hay en un turno). En el caso del ejemplo en parntesis hay 8 horas en un turno, por lo tanto la tasa por hora hay que multiplicarla por 8, para obtener la tasa por turno.Ejemplo 1.11 En la maana del sbado los clientes entran a una boutique de un Mall a una tasa promedio de 0,5 personas por minuto. Sea Y= nmero de clientes que llegan en un intervalo de 10 minutos al Mall.

Encuentre las siguientes probabilidades : a) PY ( y = 3) b) PY ( y 3) c) P ( y 4) d) P (4 y 10) Y Y Solucin: Llamemos la tasa media del perodo de 10 minutos. = (0,5) * (10) = 5 llegadas/periodo a) PY ( y = 3) = e 5 (5)3 = 0,1404 3! 29

b)

PY ( y 3) = PY ( y = 0) + PY ( y = 1) + PY ( y = 2) + PY ( y = 3) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404 = 0,2650

c) PY ( y 4) = 1 P ( y 3) = 1 0,2650 = 0,7350 Y d)

PY (4 y 10) = PY ( y = 4) + PY ( y = 5) + PY ( y = 6) + PY ( y = 7) + PY ( y = 8) + PY ( y = 9) + PY ( y = 10) = 0,1755 0,1755 + ... + 0,181 = 0,7213

Como se indic en la definicin de la distribucin de Poisson, el valor esperado es E (Y ) = . Coincidentemente, la varianza de una variable aleatoria de Poisson es tambin .Definicin 1.5. Media y Varianza de la Distribucin de Poisson . Si Y tiene distribucin de Poisson en tonces: Y = E (Y ) =

2 = Var (Y ) = Volvamos ahora con nuestro proceso de conteo. Ahora trabajaremos con la variable aleatoria N (t ) , que mide el nmero de eventos en el intervalo [0,t]. Ya definimos que un proceso estocstico { X (t ), t 0} es un PROCESO DE POISSON si cumple la propiedad de orden, la propiedad de incrementos independientes y la propiedad de estacionariedad. Entonces aplicando la definicin de una variable distribuida segn Poisson a X(t) se tiene : P( X (t )) = n) = e t ( t ) n n!

Ejemplo 1.12. Supongamos que X(t) es una variable aleatoria que cuenta el nmero de vehculos que pasan por un cierto paradero, en el intervalo [0,t].

Entonces si la tasa de pasada de vehculos es 1 cada 2 minutos, el valor esperado de la tasa de pasada para un intervalo de 10 minutos es ()*10=5 vehculos/minuto Esto lo formalizaremos un poco ms. Llamaremos a la tasa de pasada de vehculos por minuto, algo as como una tasa por unidad de tiempo menor. Entonces si pasa un vehiculo cada 2 minutos, en un minuto en promedio, pasa vehiculo. Por esto la tasa unitaria (por minuto), llamada es igual a . Ahora en un intervalo de [0,t] si t=10 minutos cunto vale la tasa esperada ahora ? Vale la tasa unitaria por la extencin del intervalo que es (t-0), por lo tanto el valor esperado de pasadas de vehculos para el intervalo [0,t] es t. 30

Por lo tanto P ( X (t ) = n) =

e

1 *(10 ) 2

( )

((12 )*10)n!

n

Ntese que conociendo la tasa unitaria y luego definiendo t=10 minutos, se tiene una formula general para cualquier n, es decir para cualquier nmero de vehculos. En la tabla 1.5 se muestran las probabilidades para varios valores de n. Tabla 1.1 Probabilidades v/s n=n de vehculos en el intervalo [0,10]n=n de vehiculos en el intervalo [0,10] P(N(t)=n) 0 0,00674 1 0,03369 2 0,08422 3 0,14037 4 0,17547 5 0,17547 6 0,14622 7 0,10445 8 0,06528 9 0,03627 10 0,01813 11 0,00824 12 0,00343 n=n de vehiculos en el intervalo [0,10] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 P(N(t)=n) 0,00132 0,00047 0,00016 0,00005 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

La grfica de esta distribucin se muestra a continuacin: Grafico 1.1 Distribucin de PoissonDistribucin de Poisson0,20000 0,18000 0,16000 Probabilidad 0,14000 0,12000 0,10000 0,08000 0,06000 0,04000 0,02000 0,00000 0 2 4 6 8 10 12 14 N de vehculos en intervalo [0,10]

Se puede ver en la grfica, que la mediana (6) est a la derecha del valor esperado (5), lo que indica que tienen mayor probabilidad los valores bajos que los altos. En este caso el corrimiento hacia el origen (que est dado por la diferencia entre la mediana y la media) es una medida de la concentracin hacia el origen de los datos.

31

Ejercicios 1.2.

1.- Sea el proceso {X (t ), t 0}el proceso que cuenta el nmero de llamadas telefnicas a una central de emergencia. Adems se puede suponer que X(t) sigue una Proceso de Poisson con tasa media = 1 llamada por hora. a) Si se sabe que en las primeras 8 horas se recibieron 6 llamadas cul es la probabilidad de que en las primeras 5 horas se reciban 4 llamadas ? Solucin: lo que se pregunta se puede escribir formalmente comoP ( X (5) = 4 / X (8) = 6)

Para contestar esta pregunta hay dos formas de hacerlo, usando la frmula de probabilidad condicional o considerando el evento dado de manera que redefine el espacio muestral. Veamos ambas formas: i) Usando la frmula de la probabilidad condicional P( A / B) = luego: P ( X (5) = 4 / X (8) = 6) = P( X (5) = 4 X (8) = 6) P( X (5) = 4 X (8) X (5) = 6 4) = P( X (8) = 6) P( X (8) = 6) P( A B) P( B)

Dado que ahora los intervalos de tiempos son disjuntos y dado que X(t) cumple la propiedad de incrementos independientes, los eventos X (5) = 4 y X (8) X (5) = 2 son eventos independientes. P( X (5) = 4 / X (8) = 6) = P( X (5) = 4) * P( X (8) X (5) = 2) P( X (8) = 6)

Ahora, dado que X(t) cumple la propiedad de incrementos estacionarios se tieneP ( X (5) = 4 / X (8) = 6) = P ( X (5) = 4) * P ( X (3) = 2) P ( X (8) = 6)

Basta reemplazar ahora las frmulas de probabilidad :

e 5 ( 5) 4 e 3 ( 3) 2 e 5e 3 6! ( 5) 4 ( 3) 2 4! 2! = P ( X (5) = 4 / X (8) = 6) = *3 e 8 ( 8) 6 e 8 4!*2! ( 8) 6 6! El primer trmino es igual a uno, el segundo es una frmula combinatoria y el tercero se puede arreglar un poco. 6 4 2 5432 6 P( X (5) = 4 / X (8) = 6) = 6 4 2 = ( 5 ) 4 ( 3 ) 2 4 8 8 4 8 8 32

Esta corresponde a una distribucin binomial con parmetros n=6 y p=5/8. Reemplazando valores numricos se tiene: P ( X (5) = 4 / X (8) = 6) = 15 * 0,6254 * 0,3752 = 0,3219 b) Cul es la probabilidad de que en las primeras 8 horas se reciban 6 llamadas, en las primeras 15 horas se reciban 12 llamadas y en las primeras 64 horas de operacin se reciban 35 llamadas ? Solucin: lo que se pregunta se puede escribir formalmente comoP ( X (8) = 6, X (15) = 12, X (64) = 35) = ?

c) P(X(8)=6/X(5)=4)=?

1.7 Tiempos entre eventos de un Proceso de Poisson

Antes de seguir demos una revisin a la Distribucin exponencial. Esta es una distribucin de probabilidades que est presente en muchas situaciones cotidianas relacionadas con transporte, finanzas, marketing, operaciones, comunicaciones y otras.1.7.1 La distribucin exponencial

En estadstica la distribucin exponencial es una distribucin de probabilidad continua con un parmetro > 0 cuya funcin de densidad es

Un clculo inmediato nos dice que si x>0,

luego la funcin de distribucin acumulada es

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribucin exponencial son 33

Ejemplo

Ejemplos para la distribucin exponencial son los tiempos entre pasadas de un bus por la alameda, o los tiempos entre llamadas de una central telefnica de una empresa.Relaciones

La suma de k variables aleatorias independientes de distribucin exponencial con parmetro es una variable aleatoria de distribucin gamma.Forma GrficaFuncin de densidad de probabilidad

Funcin de distribucin de probabilidad

34

En esta grafica de la funcin de distribucin acumulada exponencial se puede ver que los valores bajos de la variable son mas probables. Por ejemplo observemos la curva de la distribucin en verde, que corresponde al valor de = 1,0 y se puede ver que para el valor 1 de la variable se tiene una probabilidad acumulada de 0,8. La distribucin acumulada complementaria FC de una variable exponencial:

F C ( x ) = 1 F ( x ) = P ( X x ) = e x Dado que FC es el complemento de F, cuando se busca la probabilidad de que los valores sean altos, estos son mas frecuentes.

1.7.2. Tiempos entre eventos de un Proceso de Poisson Proposicin: Sean {X (t ), t 0} un Proceso de Poisson con tasa y sean Ti los tiempos entre el evento i y el i-1, con i=1,2,Entonces se cumple:

Los tiempos T1 , T2 ,..., Ti , i = 1,2,... siguen una distribucin exponencial con media . Demostracin: pendiente1.8. Descomposicin de Procesos de Poisson

Supongamos que a un Taller de reparacin de equipos electrnicos, llegan dos tipos de equipos, unos con tecnologa mecnica y otros con tecnologa electrnica. Los equipos llegan al Taller para ser reparados de acuerdo a un Proceso de Poisson, con una cierta tasa que llamaremos . Cada vez que llega un equipo a reparacin, este es derivado segn su condicin. Si es de tecnologa mecnica se va a la Seccin 1 y si corresponde a tecnologa electrnica se va a la Seccin 2. La probabilidad de que un equipo cualquiera que llega sea de tecnologa mecnica es p, mientras que la probabilidad de que sea de tecnologa electrnica es 1-p. Cuando llega un equipo para ser reparado, este se asigna a la seccin correspondiente en forma independiente de los otros equipos ya asignados. Llamemos X(t) al proceso de conteo de las llegadas de equipos al Taller. Adems llamemos X1(t) la cantidad de equipos que llegan a la seccin 1 en el intervalo [0,t]. Anlogamente llamemos X2(t) a la cantidad de equipos que llegan a la Seccin 2 en el intervalo [0,t]. El diagrama ilustra la situacin descrita: p X(t) 1-p Seccin 2 X2(t)

Seccin 1

X1(t)

35

Una pregunta muy til para la administracin se refiere a cuantos equipos llegarn a reparacin en cada seccin. Sabemos que si X(t) es una variable aleatoria, X1(t) tambin lo ser, pero no es inmediato saber que tipo de variable es. La pregunta que nos hacemos es: Qu distribucin de probabilidades tiene X1(t) ? El siguiente teorema dice que X1(t) y X(t) tienen la misma distribucin de probabilidades, pero con tasa proporcionalTeorema 1.8.1: En un proceso de desagregacin como el descrito se cumple lo e pt (pt ) k e (1 p ) t ( (1 p)t ) k siguiente: P( X 1 (t ) = k ) = y P ( X 2 (t ) = k ) = k! k! Demostracin : pendiente

Discusin:

Supongamos que el proceso presenta una tasa promedio de 10 equipos por da y el 60% de los equipos que llegan son del tipo mecnico y por lo tanto son atendidos por la Seccin 1. Se observan las llegadas un da y se observa que llegan 8 equipos para reparacin a la Seccin 1, Cuntos equipos debieran llegar a la Seccin 2 en ese mismo da ? El siguiente resultado responde esta pregunta.Teorema 1.8.2: En un proceso de desagregacin como el descrito las variables aleatorias X 1 (t ) y X 2 (t ) son variables aleatorias independientes.

Demostracin: pendiente El teorema 1.8.1 demostr que X1(t) y X2(t) siguen una distribucin de Poisson con tasas p y (1 p ) respectivamente. Sin embargo esto no asegura que ambos sean Procesos de Poisson, para que lo sean deberan cumplir con las propiedades.

1.9. Suma de Procesos de Poisson

Teorema 1.9.1: Sean X 1 (t ), X 2 (t ),..., X n (t ) Procesos de Poisson independientes con tasas

1 , 2 ,..., n respectivamente. Entonces el Proceso dado por la expresin :

X 1 (t ) + X 2 (t ) + ... + X n (t ) es un Proceso de Poisson con tasa 1 + 2 + ... + nDemostracin : pendiente.

36

1.10. Distribucin Condicional de los Tiempos entre eventos

Hemos llamado T1 , T2 ,..., Ti ,... a los tiempos entre ocurrencias de los eventos correspondientes y hemos determinado que si la variable que cuenta el nmero de eventos entre cero y t sigue un Proceso de Poisson, esto tiempos Ti se comportan segn una distribucin exponencial, con la misma tasa media de ocurrencia de eventos. Estudiemos ahora otra situacin un tanto distinta, que sucede cuando el numero de eventos que ocurrirn est fijo, es decir a un cierto instante de tiempo, se sabe que ocurrirn N eventos. Ejemplo; En un cierto curso se asigna una tarea en grupos para desarrollar en la clase. Se forman 6 grupos y estos van entregando conforme van terminando la tarea asignada. Faltando 5 minutos para terminar la clase, solo 2 grupos han entregado la tarea, es decir T1 y T2 ya han ocurrido que pasa con los restantes T3, T4, T5 y T6 ? Tomemos una clase de 90 minutos, la informacin sobre T1 y T2 nos dice que en el intervalo [0,85] han ocurrido 2 eventos. Influye esta informacin sobre T4 y los siguientes tiempos ? Claro que si, porque podemos afirmar que T3 5 ,T 4 5, T5 5, T6 5 . Y que relacin tiene esto con el Proceso que genera los eventos, que sabemos que es un Proceso de poisson. Mas especficamente Con que propiedad del proceso de Poisson se relaciona este hecho? Se relaciona con la propiedad de incrementos independientes. Claro, ahora los eventos no son independientes. Ahora las ocurrencias de los eventos estn relacionadas. Como se comporta ahora, entonces el nmero de eventos que ocurren entre 0 y un tiempo menor a la duracin de la clase ? Sigue siendo un Proceso de Poisson ? No, ya no es un proceso de Poisson, ya que no cumple la propiedad de incrementos independientes.

37

Ejercicios Resueltos de Procesos de PoissonPregunta N1. Una fabrica de zapatos de exportacin, ha iniciado la fabricacin de un lote de 1.000 pares, de diferentes modelos y nmeros. Los tiempos de proceso en cada una de las etapas son variables aleatorias. Luego el tiempo total de fabricacin del lote es tambin aleatorio, y como ocurre generalmente en estos casos, los tiempos entre llegadas de pares terminadas a Envase sigue una distribucin exponencial con tasa promedio de 100 pares/hora. (Envase es la ltima estacin de la lnea de fabricacin). Bajo un sistema de turnos la planta trabaja 10 horas seguidas por da. Se sabe que el lote total se completar antes del trmino de la jornada, ya que existe capacidad suficiente en la fbrica. Sin embargo hay incertidumbre respecto a que se pueda producir congestin en envase en algn lapso del da y se quieren adelantar medidas. Por esta razn interesa saber a) Cul es la probabilidad de que lleguen ms de 100 pares por hora?

b) Cul es la probabilidad de que a 2 horas de terminar la jornada hayan llegado el 80% del lote o ms? Solucin: Sea X(t) : cantidad de pares de zapatos que llegan a envase en [0,t] y Sea Ti : Tiempo entre la transaccin i-sima y la transaccin i-1.

Ti exp( = 100 pares / hr )a) P(X (1) 100 X (10) = 1000) = ?? = A El enunciado dice que se completa el nmero de 1000 pares al final de la jornada. Como los pares llegan con tiempos con distribucin exponencial, entonces el nmero de pares de zapatos es un Proceso de Poisson. Se sabe que X (10) = 1.000 X (t ) est condicionado Luego X (t ) Binomial(1000, p ) con p =A = P ( X (1) 100 X (10) = 1000 ) = = 1 P[X (1) = k X (10) = 1000]99 k =0 99 1000 k 1000 k A = 1 k (0,1) (1 0,1) k =0 1000

1 = 0,1 10

k =100

P[X (1) = k X (10) = 1000]

38

Esta es una respuesta correcta, sin embargo el clculo del trmino correspondiente a la sumatoria, es muy difcil de calcular por la cantidad de trminos que deben sumarse. Por esta razn se aproximar por la distribucin normal. La Varianza de la distribucin de Poisson es y la desviacin estndar = 10 pares / hora Sea Y una distribucin normal equivalente a la distribucin de Poisson es

Y N (Y , Y )

Y = = 100 pares / hr Y = = 10 pares / hrConstruyamos la variable Z normalizadaZ= X 100 10

X 100 99 100 P = 10 10

1 P Z = ( 0,1) = 0,46 10

A = 1 ( 0,1) = 0,54

b) P[X (8) 800 X (10) = 1000] = ?? = BB=1000

k =800

P[X (8) = k X (10) = 1000] =X (8) Binomial (1000; 8 ) 10

B=

799 1000 1000 k 1000 k (0,8)k (1 0,8)1000 k = 1 = k (0,8) (1 0,8) k =800 k k =0 1000

Utilizando la misma variable Z normalizada. Ahora la media y varianza siguientes:

Y = t = 100 * 8 pares / hr = 800 pares / hr Y = t = 800 = 28,28 pares / hr 799 800 1 = 1 B = 1 = 1 ( 0,035) = 1 0,4858 = 0,5141 28,28 8 *100

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Pregunta N2. Un alumno de Ingeniera Industrial estaciona ilegalmente su vehculo en los alrededores de la Facultad dos veces al da por el perodo de una hora cada vez. La pasada de los inspectores municipales o Carabineros de Trnsito es un Proceso de Poisson con un promedio de pasadas por hora. Cul es la probabilidad de que no le pasen un parte? Solucin: Primero, no le dicen a que hora se estaciona, si no solamente que estaciona en dos segmentos de dos horas, lo que si sabe, es que un proceso de Poisson, por lo que, por los incrementos independientes, lo que pase en una hora, es independiente de lo que pase en el otro intervalo de tiempo. Sea N (t ) el nmero de partes en el intervalo [0, t ] . Si llamamos t1 = 1 , el primer intervalo de una hora, y t 2 = 1 el de la segunda hora, la probabilidad buscada es: P( No tener partes ) = P( N (t1 ) = 0) P( N (t 2 ) = 0) = e e = e 2 Por la misma razn anterior, la solucin es equivalente a calcular cero partes en dos horas continuas. Pregunta N3. En un da de verano, los buses con turistas que llegan a Curico lo hacen segn un proceso Poisson con un promedio de cinco autobuses por hora. El pueblo de Curico es famoso en el mundo por sus tortas y vinos. Cada bus espera una hora o dos horas en Curico con probabilidades iguales. Cada autobs trae 50, 75 o 100 turistas con probabilidades respectivas de , y . Calcule una aproximacin normal para la probabilidad que ms 1000 turistas hayan entrado a Curico hasta las 4 de la tarde, suponga que el da lo cuenta desde las 00:00 horas. Indicacin: Defina X como el nmero de turistas, Usted debe calcular . Solucin: El Proceso de Poisson est asociado con la llegada de Buses, pero el Nmero de Turistas no obedece a un proceso de conteo, pero dada la naturaleza de la llegada de los buses, el proceso que cuenta el nmero de turistas es un proceso compuesto. Sea N (t ) el nmero de turistas. Interesa calcular P ( N (16) 1000) . Dado que es proceso compuesto y nos dicen que debemos usar una aproximacin normal, para usarla debemos identificar el promedio y la desviacin estndar de N (t ) . Sea X i el nmero de turistas.

E ( N (t )) = E ( X i )tVar ( N (t )) = E ( X i2 )t

Calculamos los valores esperados de X i :

40

1 1 1 50 + 75 + 100 = 75. 4 2 4 1 1 1 E ( X i2 ) = 50 2 + 75 2 + 100 2 = 5937.5. 4 2 4E( X i ) =

E ( N (16)) = E ( X i )16 = 75 5 16 = 6000.Var ( N (16)) = E ( X i2 )16 = 5937.5 5 16 = 475000 .

( N (16)) = E ( X i2 )16 = 689.20.Entonces: N (16) 6000 1000 6000 5000 P( ) = 1 = 1 ( 7.25). 689.20 689.20 689.20

Pregunta N4. A un acto eleccionario llegan personas a votar de acuerdo a un Proceso de Poisson a tasa . Cada persona, independientemente de los dems, vota con probabilidad 0,5 por el candidato 1 y con probabilidad 0,5 por el candidato 2. Suponga que la votacin comienza en t=0 y que tiene duracin infinita. a) Si se sabe que llegaron 1000 personas a votar durante las primeras 5 horas. Cul es la probabilidad de que el candidato 1 reciba n de estos votos en el mismo perodo de tiempo ? b) Si se sabe que llegaron 1000 personas a votar en las primeras 5 horas. Cul es la probabilidad de que el candidato 1 reciba n de estos votos en las primeras 3 horas de votacin ? c) Sea H el instante de llegada de la primera persona a votar por el candidato 1. Encuentre la distribucin de probabilidades de H. d) Encuentre la distribucin de probabilidades del nmero personas que votan por el candidato 2, antes de que se complete el tiempo promedio en que llegue la primera persona que vota por el candidato 1. Desarrollo: a) Sea

N (t ) : n personas que llegan a votar entre 0 y t.

y Sea

N1 (t ) condicionado a N (t ) = 1000 , es binomial por lo tanto: N 1 (5) Binomial (1000;0,5) N (5) = 1000 (0,5)n (0,5)1000 n ; n 1000 Luego P N1 (5) = n N (5) = 1000 n

N 1 (t ) : n personas que llegan a votar entre 0 y t , por el candidato1. () = ? ; n 1000 P N 1 5 = n N (5) = 1000

41

b) P N1 (3) = n

= ? ; n 1000 N (5) = 1000

Sea p : probabilidad de que uno de las 1000 personas que llegaran a votar entre 0 y 5, lo hagan en el intervalo [0,3] y adems voten por el candidato 1.

p = 0,5 * 3 = 0,3 5

N1 (5)

N (5)

Binomial (1000; p)

() = 1000 p n (1 p )1000 n P N 1 3 = n N (5) = 1000 n () = 1000 (0,3)n (0,7 )1000 n P N 1 3 = n N (5) = 1000 n c)

; n 1000

; n 1000

Si N (t ) es Poisson con tasa , entonces T1 , T2 ,... tiempos entre llegadas de personas a votar, distribuyen exponencial con la misma tasa. Sea T11 tiempo de la primera persona que vota por el candidato 1. Luego

d)

E (T11 ) =

1 0,5 * 1 =1 0,5 *

P (N 2 (E (T11 ))) = 0,5 * *

Pregunta N 5. Se tiene una central telefnica que recibe llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa = 10 (llamadas/hora). Se define N (t1 ,t 2 ) como el nmero de llamadas que se han recibido entre t1 y t 2 . El servicio ha comenzado a operar a las 8:00 de la maana y se sabe que N (8,10) = 9. a) Si no se ha recibido ninguna llamada desde la 9:45 hrs. Cul es la probabilidad de que la siguiente llamada ocurra antes de las 10:20hrs. ? b) Cul es la probabilidad de que no se reciba ninguna llamada por ms de 40 minutos, comenzando a las 9:45 hrs.? c) Si la telefonista trabaja 8 horas en su turno cuantas llamadas recibir en promedio ? d) Cul es la probabilidad de que a las 11:00 hrs. se hayan recibido 30 llamadas en total ?

42

e) La telefonista ha estado muy ocupada durante las primeras 4 horas de su turno y le comenta a su compaero de trabajo en su hora de colacin: Este ser un da muy ocupado, en la maana casi no he podido descansar. Desarrollo: a) Fijando el t=0 en la hora 9:45 hr. Sea T1 el tiempo para el primer evento medido desde el instante t=0, luego:

P (T1 35 ) = 1 e *35 = 1 e 350 *40 = e 400 b) P (Ti 40 ) = e

c) Sea N: n de llamadas que recibe la telefonista en su turno.

E (N ) = * 8 = 80 llamadasd) P ( N (8,11) = 30 ) = P ( N (9,11) = 21) = e *2

( * 2)2121!

= e 20

20 21 0,084 21!

Pregunta N 6. Usando sus conocimientos del curso responda lo siguiente: El centro que recibe llamadas de emergencia de una ciudad recibe en promedio 42 llamadas por hora en la hora punta, comprendida entre las 9 y 13 horas AM. Cada llamada requiere alrededor de 2 minutos de la telefonista para atender y derivar la llamada al personal correspondiente (bomberos, carabineros o ambulancia). El centro debe tener un adecuado nmero de telefonistas, y se ha pedido a un consultor que determine el nmero adecuado de telefonistas. El consultor asume que las llamadas entran en un orden completamente aleatorio y por lo tanto aplica el Proceso de Poisson. Sin embargo, el telefonista actual puntualiza que entre las 10 y las 12 hrs. llegan muchas ms llamadas que en el resto del tiempo. Qu implica este hecho para el uso de la distribucin de Poisson ? Solucin: No se cumple la propiedad de incrementos estacionarios, por lo tanto es un proceso de Poisson No Homogeneo. La frmula de la probabilidad del proceso es : n m ( t1 ,t 2 ) [m (t1 , t 2 ) ] para n = 0,1,2,... P{ X (t1 , t 2 ) = n} = e n! 42 llamadas / hora si t1 12 y t 2 12 llamadas / hora si t 10 y t 12 1 2 1 42(10 t1 ) + 1 (t 2 10) si t1 10 y 10 t 2 12 m(t1 , t 2 ) = 1 (12 t1 ) + (t 2 12)42 si t1 10 y t 2 12 42(t1 10 + 1 (12 10) + 42(t 2 12) si t1 10 y t 2 12 42 llamada / hora si t1 10 y t 2 10

43

Pregunta N 7. En la Bolsa de Comercio de Santiago, se ha estudiado el comportamiento de las compras y ventas de acciones. En un da normal se van produciendo transacciones segn un proceso de Poisson a una tasa promedio de 10 operaciones por hora. Sin embargo un cierto da, una vez iniciada la jornada pasa una hora sin que se produzcan transacciones. Cul es la probabilidad de que pase otra hora sin transacciones? Desarrollo: Sea X(t) : cantidad de transacciones en la Bolsa de Comercio en [0,t]X (t ) Poisson ( = 10 tr / hora )

Sea Ti : Tiempo entre la transaccin i-sima y la transaccin i-1.

Ti exp( = 10tr / hr ) P Ti 2 2 = P[Ti 2 Ti 1] = P[Ti 2] = e = Ti 1 P[Ti 1] P[Ti 1] e

e = e 10 = 0,00004539Pregunta N 8. Considere una peluquera con dos peluqueras, que estn desocupadas cuando ingresan simultneamente tres personas desconocidas entre si X, Y y Z. Las personas X e Y son atendidas y Z espera. Cul es la probabilidad de que la persona X est an siendo atendida cuando Y y Z se hayan ido de la peluquera ? si: a) Los tiempos de servicio son no aleatorios de 10 minutos en cada atencin. b) Los tiempos de servicio son exponenciales con media 1 .

Los tiempos de atencin de cada peluquera son independientes. Desarrollo: a) Si el tiempo es no aleatorio al minuto 10 se desocupan las dos peluqueras y una de ellas atiende a Z, por lo tanto la probabilidad pedida es 0. b) Sea p la probabilidad pedida: el nmero de Llamemos peluquera 1 a una de ellas y peluquera 2 a la otra. Sean personas atendidas en el intervalo por la peluquera 1, y sea el nmero de personas atendidas por la peluquera 2. Dado que los tiempos de servicio son exponenciales con tiempo medio tanto el proceso como el proceso son Procesos de Poisson a tasa . Sea adems = peluqueras. Entonces el proceso el nmero total de personas atendidas por ambas es tambin un proceso de Poisson a tasa .

44

Luego

esto suponiendo que la peluquera 1 atendi a las

personas Y y Z mientras que la otra peluquera aun atiende a la persona X. El analisi es igual si se supone que la peluquera 2 atedi a las dos personas.

Pregunta N 9. Se tiene una componente, en la cual el nmero de fallas se designa por { N ( t ) ; t 0} . El proceso { N ( t ) ; t 0} es un proceso de Poisson a tasa . Esta tasa es tal que la componente falla en promedio 1 vez cada 500 horas. La componente ha operado correctamente (sin fallar) 500 horas. Se sabe, por especificaciones de fabrica, que la componente a lo ms puede durar un tiempo total 2500 horas. a) Obtenga la probabilidad de que la componente dure 1000 horas en total. b) Obtenga la probabilidad de que la componente dure 1500 horas ms. c) Obtenga el valor esperado de la vida de la componente. Desarrollo: Si no se considera de manera directa el comentario Se sabe, por especificaciones de fabrica, que la componente a lo ms puede durar un tiempo total 2500 horas la respuesta es:

a) Sea Ti el tiempo entre l falla i-sima y la anterior.

Ti exp( ) con = 1

500

fallas/hora

= P(Ti 1000 Ti 500 ) = P(Ti 1000 ) Se pide P Ti 1000 Ti 500 P(Ti 500 ) P(Ti 500 ) *500 e *1000 = e *500 = e 500 = e 1 = 0,36 *500 e 1

b) P(T1 1500) = e *1500 = e c) E (T ) =

1 *1500 500

= e 3 = 0,049

1

+ 500 = 500 + 500 = 1000 horas

II. Si se considera el comentario anterior la respuesta es :

45

= a) P Ti 1000 2500 Ti 500 es decir ocurre al menos una falla entre las 500 horas y las 2500 horas, con igual probabilidad. Por lo tanto Ti U (500,2500 )P(T i 1000) = 1 1000 1 = 1 = 0,5 2500 500 2

= 1 1500 = 1 3 = 0,25 b) P Ti 1500 2500 Ti 500 2000 4c) E (T ) = 2500 500 = 10002

Pregunta N 10. Sea {N(t),t 0 } un proceso de Poisson a tasa unid expresin para las siguientes probabilidades. a) P{N (6) = 9} b) P{N (6), N ( 20) = 13, N (56) = 27} c) P{N ( 20) = 13 / N (16) = 9} d) P{N (16) = 9 / N (20) = 13}Desarrollo

(

t

), escriba una

a) P{N (6) = 9} =

e 6 ( 6 ) 9 9!

b) P{N (6), N ( 20) = 13, N (56) = 27}

6N(6)=9

20

56

t

N(20)=13 N(56)=27

Utilizando la propiedad de Incrementos estacionarios se tiene: 46

= P{N(6) = 9, N(20 N(6) = 4, N(56 N(20 = 14 ) ) ) } = P{N (6) = 9, N (14) = 4, N (36) = 14} Luego utilizando la propiedad de Incrementos independientes = P{N (6) = 9} * P{N (14) = 4}P{N (36) = 14}

e 6 (6 ) 9 e 14 (14 ) 4 e 36 (36 )14 * * = 9! 4! 14! c) P{N ( 20) = 13 / N (16) = 9} Se sabe que P{ A / B} = P{ A, B} P{B}

Desarrollando la expresin se llega a: = P{N (20) = 13, N (16) = 9} P{N (16) = 9}

0N(16)=9

16 N(4)=4

20

t

N(20)=13

= P{N (20) N (16) = 4, N (16) = 9} P{N (16) = 9} = P{N (4) = 4, N (16) = 9} P{N (16) = 9} P{N (4) = 4} * P{N (16) = 9} = P{N (16) = 9} = P{N (4) = 4} =e 4 ( 4 ) 4 4!

I.E I.I

Se podra haber calculado inmediatamente ya que la interpretacin del ejercicio es: Se sabe que en un tiempo de 16, llegaron 9 unidades; calcule la probabilidad de que en un tiempo de 20, lleguen 13 unidades. Se Sabe que por la propiedad de incrementos independientes el nmero de eventos que ocurre despus de t=16, es independiente del numero de eventos que acontecen antes. Luego se puede interpretar esta probabilidad como la probabilidad de que en un lapso entre t 0 =16 y t1=20, lleguen 4 unidades. 47

d) P{N (16) = 9 / N (20) = 13} Esta probabilidad se interpreta como: La probabilidad de en las primeras 16 unidades de tiempo ocurran 9 eventos; si se sabe que en las primeras 20 unidades de tiempo ocurrirn 13 eventos.P{N (16) = 9 / N (20) = 13} se distribuye BIN ( n, p )

p: probabilidad que cualquier evento sucedido entre 0 t 20 , haya sucedido entre 0 t1 16 . n: nmero total de ensayos

0

16

20

t

N(20)=13

N(16)=9

. Los tiempos entre llegadas de distribuyen U(0,20) t p= 1 donde = 20 y t1 = 16 luego p =16 4 y n=13 = 20 5

n = p k (1 p )n k k donde k es el nmero de xitos BIN Finalmente9 4

13 4 1 P{N (16) = 9 / N (20) = 13} = 9 5 5

Pregunta N 11. En un taller de mquinas de control numrico computarizado se procesan varios tipos de piezas, los cuales van desde pernos, tuercas, planchas de acero, etc. En ste taller hay mquinas que pueden cumplir una tarea para varios tipos de piezas, ste es el caso de la mquina pulidora, la cul elimina residuos o astillas propios de la fabricacin. La mquina fue programada para procesar tuercas y tornillos al mismo tiempo. Estudios efectuados al interior de la fbrica mostraron que la fabricacin de 48

tornillos corresponde a un proceso de Poisson a tasa 1 unid fabrican segn un proceso de Poisson a tasa 2 unid

min usted la siguiente tarea ya que el encargado actualmente se encuentra estudiando otras mquinas al interior de la fbrica. a) Qu tipo de proceso es el que cuenta el nmero de piezas procesadas en la mquina pulidora? b) Si en un tiempo t llegaron n piezas correspondientes a tuercas, Cul es la probabilidad de que en ese tiempo t, llegaran k piezas correspondientes a tornillos? c) Dado que la mquina proces 10 unidades en un tiempo t, cul es la probabilidad que estas 10 unidades sean tornillos? d) Si la mquina proces un total de 100 unidades durante los primeros 5 minutos de trabajo, cul es la probabilidad que durante los primeros 7 minutos de operacin procese 150 unidades? Desarrollo: a) Se tiene el siguiente esquema del proceso:Poisson( 1 )

(

(

)

y que las tuercas se min . Se le ha encomendado a

)

N(t)?

Poisson( 2 )

min que llegan a ser procesados a la mquina pulidora. Sea N 2 (t ) : Proceso de Poisson a tasa 2 unid

Sea N1 (t ) : Proceso de Poisson a tasa 1 unid

(

) , que cuenta el nmero de tornillos )

, que cuenta el nmero de tuercas min que llegan a ser procesados a la mquina pulidora Los procesos N1 (t ) y N 2 (t ) son procesos independientes El proceso aqu descrito es una suma de procesos de Poisson, por lo tanto, el proceso N(t) es un proceso de Poisson a tasa (1 + 2 ) , el cul cumple con las propiedades de Incrementos Estacionarios, Incrementos Independientes y la Propiedad de Orden. Luego se tiene que:

(

49

Poisson( 1 )

Poisson( 1 + 2 )

Poisson( 2 )

b) Si se tiene que N1 (t ) y N 2 (t ) son procesos de Poisson independientes, la llegada de un determinado nmero de piezas de un producto como la tuercas, no condiciona la llegada de los tornillos. Luego se tiene que:

P[N1 (t ) = k / N 2 (t ) = n ] = P[N1 (t ) = k ] =Si se quiere ver de otra forma:

e 1t (1t ) k!

k

P[N1 (t ) = k / N 2 (t ) = n] =

P[N 1 (t ) = k , N 2 (t ) = n] P[N 2 (t ) = n]

Se sabe que ambos son dos procesos independientes, luego= P [N 1 ( t ) = k ]* P [N 2 ( t ) = n ] e 1 t (1t )k = P [N 1 ( t ) = k ] = P [N 2 ( t ) = n ] k!

c) P[N 1 (t ) = 10 / N (t ) = 10] =

P[N 1 (t ) = 10, N (t ) = 10] P[N (t ) = 10]

Se sabe que N (t ) = N1 (t ) + N 2 (t ) y se est condicionando a que N1 (t ) = 10 y N 2 (t ) = 0 , se tiene que:P[N 1 (t ) = 10, N (t ) = 10] P[N 1 (t ) = 10, N 1 (t ) = 10, N 2 (t ) = 0] P[N 1 (t ) = 10, N 2 (t ) = 0] = = P[N (t ) = 10] P[N (t ) = 10] P[N (t ) = 10]

Se sabe que ambos son dos procesos independientes, luego:e 1t (1 t ) e 2 t ( 2 t ) * P [N 1 ( t ) = 10 ] * P [N 2 ( t ) = 0 ] 10 ! 0! = (1 + 2 )t P [N ( t ) = 10 ] e [(1 + 2 )t ]10 10 !10 0

50

=c)

e (1 + 2 )t [(1 + 2 )t ]

e (1 + 2 )t (1t )

10 10

1 = 1 + 2

10

Se tiene la siguiente situacin:

0 N(5)=100

5

7

t

N(7)=150

P[N (7) = 150 / N (5) = 100] =

P[N (7) = 150, N (5) = 100] P[N (5) = 100]

= P[N (7 5) = 150 100, N (5) = 100] P[N (2) = 50, N (5) = 100] = P[N (5) = 100] P[N (5) = 100] = P[N (2) = 50]* P[N (5) = 100] = P[N (2) = 50] P[N (5) = 100]50

e ( 1 + 2 ) t [(1 + 2 )t ] = 50!

Pregunta N 12. Responda las siguientes preguntas, justificando con demostraciones analticas sus respuestas. a) Se tienen dos procesos de Poisson N1(t) y N2(t), independientes entre si, con tasas 1 y 2 respectivamente. Es N1(t) + N2(t) un proceso de Poisson con tasa 1+2? Justifique rigurosamente. b) N(t) es un proceso de Poisson con tasa que se separa en dos procesos de conteo N1(t) y N2(t), donde cada unidad de N(t) con probabilidad P pasa al proceso N1(t) y por ende con probabilidad 1-P al proceso N2(t). Son N1(t) y N2(t) procesos de Poisson a tasa P1 y (1-P)2 respectivamente? Justifique rigurosamente. Desarrollo : a) Sea : N(t) = N1(t) + N2(t)

51

N1(t)

N(t)

N2(t

Pr{ N(t) = n}=

k =0

Pr { N1(t) = k N 2(t) = (n k)}

n

Dado que N1(t) y N2(t) son procesos independientes: Pr{N(t)=n}= Pr { N1(t) = k} {N 2(t) = (n k)} =n k =0 1 t

k =0

n

(1 t ) *e k!n

( 2 t ) n k *e 2 t (n k )!

Factorizando : Pr{N(t)=n}= e ( 1 + 2 )t

n

k =0

(1 t ) n ( 2 t ) n k k! (n k )!

Multiplicando por n!/n! : Pr{N(t)=n}=e ( 1 + 2 )t n n!(1 t ) n ( 2 t ) n k n! k! (n k )! k =0 e ( 1 +2 )t n n (1 t ) n ( 2 t ) n k n! k =0 k

Pr{N(t)=n}=

Nos queda que la sumatoria es un binomio de Newton:e ( 1 + 2 )t [( 1 + 2 ) t ] n e ( 1 +2 )t n Pr{N(t)=n}= (1 t + 2 t ) = n! n!

De lo anterior se demuestra claramente que N(t) es un proceso de Poisson a tasa 1+2b) N1(t) esta condicionado (es dependiente) a N(t). => Pr{ N1(t) = k}= n=k

Pr { N1(t) = k/N(t) = n} Pr {N(t) = n}

e t ( t ) n Pr{ N1(t) = k}= Pr { N 1(t) = k/N(t) = n} n! n=k

52

Calculemos separadamente Pr { N 1(t) = k/N(t) = n} : Si miramos la figura nos podemos dar cuenta que N(t) sufre una dicotoma donde con probabilidad P y (1-P) cada unidad se dirige a al proceso N1(t) o N2(t) respectivamente.

N1(t)

N(t) P(1-P)

N2(t)

Al fijar el valor de N(t) en n, se puede hacer una analoga con la distribucin Binomial, en donde al presentarse la dicotoma (ya descrita) el valor n representara el numero de experimentos de Bernulli, P la probabilidad de xito, en donde xito se definira como la probabilidad de que ocurra que una unidad de N(t) pase a ser parte de N1(t). Entonces:Pr { N 1(t) = k/N(t) = n} ~ Binomial(n,P)

n k e t ( t ) n P (1 P ) n k Pr{ N1(t) = k}= n! n=k k

Factorizando :

nk e t ( t ) k P k n! n k ( t ) (1 P ) Pr{ N1(t) = k}= k! n! n = k ( n k )!

Ordenando y simplificando:

e t ( t ) k P k [(1 P ) t )] n k Pr{ N1(t) = k}= k! ( n k )! n=kMultiplicando por: 1 = e (1 P ) t e (1 P ) t

e t ( t ) k P k e (1 P ) t [(1 P ) t )] n k (1 P ) t e Pr{N1(t)=k}= ( n k )! k! n=kAgrupando y cambiando subndice de la sumatoria: j=n-k 1

53

Pr{ N1(t) = k}=

e P t ( P t ) k [(1 P ) t )] j e (1 P ) t k! j! j=o

Es la distribucin acumulativa de Poisson a tasa (1-P) desde 0 a infinito, por lo que tiene valor 1. e P t ( P t ) k k! N1(t) ~ Poisson (P) Pr{ N1(t) = k}=

De lo anterior queda demostrado que N1(t) es un proceso de Poisson a tasa(P). Anlogamente se puede demostrar que N2(t) es un proceso de Poisson a tasa (1- P).

Pregunta N 13. En una pequea localidad durante la eleccin de alcalde, se pone en funcionamiento como lugar oficial para sufragar el Colegio. Esta compuesta por dos mesas una para mujeres y otra para hombres. Los hombres llegan al colegio de acuerdo a un proceso de poisson a tasa h y las mujeres de acuerdo a un proceso de poisson a tasa m. Ambas llegadas se consideran independientes entre s. En un estudio poco comn se quiere saber la cantidad de parejas (en el sentido de nmero de parejas que se pueden formar mujer + hombre ) que se van retirando del lugar de sufragio, es decir, en orden de llegada ( el primer hombre con la primera mujer y as sucesivamente. Se asume que lugar de sufragio inicialmente esta vaco. Se considera un proceso que cuenta el nmero parejas en (0,t). N(t) Se quiere obtener la distribucin de probabilidades de N(t) En la primera media hora de iniciado el proceso llegaron 12 hombres y 18 mujeres cul es la probabilidad que a los 45 minutos de iniciado el proceso se formen 17 parejas? y cul es la probabilidad que a