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TECSUP - PFR Matemática II

UUNNIIDDAADD VV

CCÁÁLLCCUULLOO DDEE ÁÁRREEAASS

1. INTRODUCCIÓN

Si el problema del cálculo de la recta tangente llevó a los matemáticos del sigloXVII al desarrollo de las técnicas de la derivación, otro problema, el del cálculodel área encerrada por una curva, propició el desarrollo de las técnicas deintegración.

Se trataba, por ejemplo, de hallar el área encerrada bajo la curva f(x) entre lospuntos a y b:

Se conoc(rectangucurva no

El cálculo

2. ÁREA BA

Si f(x) escurva se

39

ían fórmulas para recintos de forma igual a figuras geométricaslares, triangulares, e incluso algunas de curvas específicas), pero si latenia forma regular, no se conocía, en general, su área exacta.

integral da respuesta a esta y otras cuestiones.

JO LA CURVA

tá definida en el intervalo [a;b] y además es continua, el área bajo ladetermina del siguiente modo.

b

a

b

a )a(F)b(F)x(Fdx)x(fÁrea

Matemática II TECSUP - PFR

Ejemplo

Calcule el área bajo la curva de la función: f(x)=x2, en el intervalo [1;3]

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La aplicación de la integral definida parsea la función en el intervalo concreto. Se

2.1 ÁREAS LIMITADAS POR UNA F

a) La función es siempre positiva

En este caso el área simplem

b

a

fÁrea

Donde a y b son los puntos eque habitualmente son los pu

Geométricamente:

a el calculo de áreas depende de comopueden presentar los siguientes casos:

UNCIÓN Y EL EJE X

en el intervalo:

ente viene dada por:

dx)x(

ntre los que queremos calcular el área, yntos de corte de la función con el eje x.

3

1

233

3

1

32 u

3

26

3

1

3

3

3

xdxxÁrea


b) La función es siempre negativa en el intervalo:

En este caso el área simplemente viene dada por:

b

a

dx)x(fÁrea

Geométricamente:

c) Si la fcalcul

En la

En cconvecon eintegrpara

41

unción es a veces positiva y a veces negativa en el intervalo, sean los puntos de corte y se calculan las integrales sucesivas:

figura sería:

b

d

d

c

c

a

dx)x(fdx)x(fdx)x(fÁrea

ualquier caso, y cuando calculemos áreas, siempre esniente comenzar por calcular los puntos de corte de la funciónl eje x para saber si es positiva o negativa y calcular lasales correspondientes, o bien utilizar siempre el valor absolutoasegurarnos de que el resultado es positivo.


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Ejemplo

Calcular el área que encierra con el eje x la gráfica de la función:

x10x7x)x(f 23

No hace falta dibujar la gráfica.Calculamos los puntos de corte con el eje x:

5x;2x;0x0)10x7x(x0x10x7x 223

Corta al eje x en (0;0), (2;0), (5;0)

Veamos como es la función entre 0 y 2. Tomamos un valor situado en eseintervalo y lo sustituimos en la función. Se obtiene:

4)1(10)1(7)1()1(f 23

Como 4 es positivo, significa que la función es positiva en ese intervalo,luego el área sería:

2

0

2342342

0

23423

2

0.10

3

0.7

4

0

2

2.10

3

2.7

4

2

2

x10

3

x7

4

xdx)x10x7x(Área

2u3

1620

3

564

En el otro intervalo, entre el 2 y el 5, tomamos otro valor para saber si lafunción es positiva o negativa:

6)3(10)3(7)3()3(f 23

La función es negativa en el intervalo, luego el área será:

2

2.10

3

2.7

4

2

2

5.10

3

5.7

4

5

2

x10

3

x7

4

xdx)x10x7x(Área

2342345

2

2345

2

23

2u4

63

4

63

3

16

12

125

En total el área pedida será:

22 u08,21u12

253

4

63

3

16Área


Gráficamente:

Obsersimple

Área

El res

Área

Que n

Desdela grá

2.2 ÁREA

Tambde rec

43

va lo importante que es diferenciar los dos intervalos, pues simente hubiésemos calculado, sin más:

5

0

23 dx)x10x7x(

ultado sería:

25

0

23 u42,10dx)x10x7x(

o es el área buscada sino la diferencia entre las áreas.

luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como vafica y determinar el área a calcular.

S LIMITADAS POR DOS FUNCIONES

ién es posible aplicar las integrales definidas para el cálculo de áreasintos limitados por dos curvas, por ejemplo el de la figura:


Si las curvascurvas en el i

b

a

)x(fÁrea

Siempre que

Si las curvasmenores, endeterminando

En todo casocurvas, que sfunciones:

f(x) = g(x)

Y resolviendo

Ejemplo

Calcular el áre

1x)x(f 2

Comenzamos

)x(g)x(f

Las funciones

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son f(x) y g(x) se cumple que el área limitada por las dosntervalo [a; b] es:

dx)x(g

f(x) esté por encima de g(x) en el intervalo [a; b]

se cortan en el intervalo, se subdivide el intervalo en otroscada uno de los cuales se aplican la integral anterior,que curva está por encima, y se suma el resultado.

siempre es necesario hallar los puntos de corte entre lase calculan igualando las expresiones algebraicas de ambas

la ecuación resultante.

a limitada por las curvas:

y 4x4)x(g

calculando los puntos de corte de las funciones:

3x1x03x4x4x41x 22

se cortan en los puntos 1 y 3.


Veamos que función está por encima y cual por debajo en ese intervalo.Dando un valor intermedio, por ejemplo el 2:

312)2(f 2 442.4)2(g

Como el valor de g(x) es mayor, significa que g(x) está por encima de f(x)en el intervalo, de modo que el valor del área sería el dado por la integraldefinida:

3

1

3

1

3

1

22 dx)3xx4(dx)1x()4x4(dx)x(f)x(gÁrea

22

3

1

32 u33,1u

3

4)

3

132()9918(x3

3

xx2

Gráficamente:

45


46

BLOQUE IV

Determina el área comprendida entre las gráficas de:

1.- 29 xy ; 12 xy

2.- 23 xxy ; xxy 2

3.- 223 23 xxxy ; 242 2 xxy

4.- 2xy ; 1y

5.- 42 yx ; 073 yx

6.- 0x ; xy tg ; xy cos3

2 . Indicación: Grafique.

7.- 3xy ; 0y ; 1x ; 3x

8.- 29 xy ; 0y ; 2x ; 1x

9.- xy ; xy ; 4x

10.- 4 xy ; 0y ; 0x

11.- Hallar el área de la región sombreada, donde la parábola tiene por ecuación:

xxy 42 y la recta es tangente a ésta en el punto (3,3). (Figura 1).

12.- Hallar el área de la región sombreada, donde la curva tiene por ecuación:

xy y la recta es tangente a ésta en el punto (4,2). (Figura 2).


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13.- Halle el área de la región sombreada en la Figura 3.

14.- Calcular el área de la figura limitada por las líneas cuyas ecuaciones son2y 2x 1 y x y 1 0 .

15.- Hallar el área de la figura comprendida entre la parábola2y x 4x 3 y las

tangentes a ésta en los puntos (0;-3) y (3;0).

16.- Calcular el área de la figura limitada por las parábolas2y x e y x .

x

y

y = x2

y = 2 - x2

y = x + 6

x

y

(3,3)

Fig. 1

x

y

(4,2)

Fig. 2

Fig.3


48

17.- Calcular el área de las figuras limitadas por las parábolas2y 8x 16 e

2y 24x 48 .

18.- Calcular el área de las figuras limitadas por las parábolas2y x e

3y x / 3 .

19.- La circunferencia2 2x y 8 está dividida por la parábola

2y x / 2 en dospartes. Hallar el área de la parte superior formada por ambas.

20.- Calcular el área de la figura comprendida entre la línea2y x(x 1) y el eje de

abscisas.

21.- Calcular el área de la figura limitada por el eje de ordenadas y la línea2x y (y 1) .

22.- Calcular el área de la figura limitada por las líneasxy e ,

xy e y la rectax 1 .

23.- Calcular el área de uno de los triángulos curvilíneos limitados por el eje de

abscisas y las líneas y senx e y cosx .

24.- Calcular el área de la figura limitada por el eje de abscisas y las líneasy arcsen(x) e y arc cos(x) .

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