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TECSUP - PFR Matemtica II

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UUNNIIDDAADD IIII

LLAA DDEERRIIVVAADDAA CCOOMMOO TTAASSAA DDEE VVAARRIIAACCIINN((OO RRAAZZNN DDEE CCAAMMBBIIOO))

1. INTRODUCCIN

La mayora de las cantidades que aparecen en la vida diaria cambian o varan enel tiempo. Esto es particularmente evidente en las investigaciones cientficas. Porejemplo un qumico puede estar interesado en la rapidez con la que ciertasustancia se disuelve en agua. Un ingeniero elctrico quiz necesita conocer laintensidad con la que la corriente vara en alguna parte de un circuito. Un bilogopuede saber la rapidez con la que las bacterias en un cultivo aumentan odisminuyen.

Veamos entonces el significado de razn promedio y razn instantnea.

2. TASA DE VARIACIN MEDIA

Se denomina as al cociente entre las variaciones de unas cantidades respecto deotras.

Ejemplo:

Al estudiar la potencia de arranque de un prototipo de automvil se ha obtenidola siguiente tabla:

v = velocidad (km/h) 0 15 30 50 75 100 130 160

t = tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7

Calcular la tasa de variacin media (aceleracin media) en cada intervalo detiempo de 1 segundo.

Solucin

En el intervalo 0,1 , m15 0 km /ha 151 0 s

En el intervalo 1,2 , m30 15 km /ha 15

2 1 s

En el intervalo 2,3 , m50 30 km/ha 20

3 2 s

En el intervalo 3,4 , m75 50 km/ha 25

4 3 s

Matemtica II TECSUP - PFR

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5 4 s


6 5 s


7 6 s

Ejemplo:

Un nadador ha nadado los 800 metros libres en una competicin. Uncronometrador ha registrado los siguientes tiempos cada 100 metros.

s = espacio (m) 0 100 200 300 400 500 600 700 800

t = tiempo (s) 0 56,4 113,5 171 229,2 288 346,6 405,6 463,7

Calcular la tasa de variacin media (velocidad media) cada 100 metros.

Solucin

En el intervalo 0,100 , m100 0v 1,773m/ s56,4 0

En el intervalo 100,200 , m200 100v 1,751m/ s

113,5 56,4


171 113,5


229,2 171


288 229,2


346,6 288


405,6 346,6


463,7 405,6


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El anlisis en la carrera indica que, a causa del cansancio, el nadador ha idodisminuyendo su velocidad media conforme transcurra la carrera, excepto en losltimos 100 metros, en que la velocidad ha aumentado ligeramente.

Ejemplo:

Calcular la tasa de variacin media de la funcin f(x) x 3 en los intervalos 3, 2 , 2, 1 , 1,0 , 0,1 , 1,2 y 2,3 .

Solucin

Tendremos

a,b b-a f(b) f(a) Tasa de variacin media

3, 2 1 1 1

2, 1 1 1 1

1,0 1 1 1

0,1 1 1 1

1,2 1 1 1

2,3 1 1 1

Tal como puede observarse, en este caso la tasa de variacin media es la mismaen todos los intervalos estudiados.

Ejemplo:

Calcular la tasa de variacin media de la funcin 2f(x) x en los intervalos 3, 2 , 2, 1 , 1,0 , 0,1 , 1,2 y 2,3 .

Solucin

Tendremos

a,b b-a f(b) f(a) Tasa de variacin media

3, 2 1 -5 -5

2, 1 1 -3 -3

1,0 1 -1 -1

0,1 1 1 1

Se define la tasa de variacin media de una funcin definida en un intervalo a,b

siendo a b como: f(b) f(a)b a


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1,2 1 3 3

2,3 1 5 5

Tal como puede observarse, en este caso la tasa de variacin media no es lamisma en los intervalos estudiados.

Ejemplo:

Calcular la tasa de variacin media de la funcin 2f(x) x en los intervalos 1;2 ,

1; 1,1 , 1; 1,01 , 1; 1,001 y 1; 1,0001 . Calcular a continuacin, la tasa devariacin instantnea de dicha funcin en el punto x 1 .

Solucin

Tendremos

a,b b-a f(b) f(a) Tasa de variacinmedia

1,2 1 3 3

1, 1,1 0,1 0,21 2,1

1, 1,01 0,01 0,201 2,01

1, 1,001 0,001 0,002001 2,001

1, 1,0001 0,0001 0,00020001 2,0001

Tal como puede observarse, la tasa de variacin media parece irse aproximandoa 2 conforme se reduce la longitud del intervalo considerado. Calculemos ahorala tasa de variacin instantnea de la funcin en el punto x 1 .

f '(x) 2x f '(1) 2 (1) 2

As, pues, la tasa de variacin instantnea coincide con la derivada de la funcinvaluada en x 1 .

Concluyendo lo discutido hasta aqu, tenemos que:

Por razn (tasa) promedio se entiende la relacin: f cambio de ordenadasx cambio de abscisas

y por razn (tasa) instantnea: dff 'dx

Se define la tasa de variacin instantnea de una funcin f en un punto a como:

b a

f(b) f(a)f '(a) limb a


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3. LA DERIVADA COMO MEDIDA DEL CAMBIO

La derivada es una medida de la rapidez con la que cambia la variabledependiente y con respecto a la variable independiente x.

Cuando la derivada es positiva, y crece con x tanto ms deprisa cuanto mayorsea la derivada. Si por el contrario es negativa, y disminuye al aumentar x.

Observa:

La magnitud y decrece en el punto a (rapidez negativa).

La magnitud y crece mas rpidamente, con respecto a x, en b que en c.

(rapidez positiva mayor en b que en c)

4. LA DERIVADA EN EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO

La descripcin del movimiento de los cuerpos es la aplicacin ms inmediata dela derivada en Fsica.

Un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta. Llamamos t al tiempo medido apartir de un cierto instante, y e a la distancia del objeto a un origen dado.

En estas condiciones, la distancia e es funcin del tiempo t, funcin quedesignamos por e(t).

Pues bien, la velocidad del mvil es la derivada de la funcin e(t):

dev(t) e '(t)dt

a b c

x

y = f(x)


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Hemos escrito v(t) para significar que la velocidad es, a su vez, funcin deltiempo. La derivada de la funcin velocidad es la aceleracin:

(2)dva(t) v '(t) e (t)dt

la aceleracin resulta as la segunda derivada de la funcin e(t).

Si v(t)>0 decimos que el objeto avanza y si v(t)0 y desacelera si a(t)


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BLOQUE I

1. Calcular la tasa de variacin media de las siguientes funciones:

a) f(x) 3x 2 en el intervalo 1, 2

b) f(x) 2x 3 en el intervalo 0, 0,1

c) 2f(x) x 1 en el intervalo 1, 1,5

d) 2f(x) x 2x 4 en el intervalo 2, 3

e) 2f(x) 2x 3 en el intervalo 0, 0,05

2. El espacio s, expresado en metros, recorrido por un mvil en un tiempo t,expresado en segundos, viene dado por la frmula s. Calcular la velocidadcuando:

a) t = 2 segundos, si s 3t 4

b) t = 1,5 segundos, si 3 2s 2t t 6

c) t = 1 segundo, si 3s 6t 5t 4

d) t = 6,1 segundos, si 3 2s t t 3

e) t = 3,02 segundos, si s 5t 4

3. Hallar la tasa de variacin media en el intervalo x,x 1 de las funciones:

a) f(x) x b) 2f(x) x c) 3f(x) x d) 4f(x) x

4. Hallar la tasa de variacin media de la funcin2f(x) x 1 en los intervalos:

a) 0,3 b) 3,5 c) 3, 1

5. Hallar la tasa de variacin media de la funcinxf(x)

x 2

en 1,1 .

6. El movimiento de un coche viene dado por la funcin2e 25t 5t , donde e

es el espacio recorrido en kilmetros durante el tiempo t (en horas). Hallar la

velocidad media entre 0t 1 y 1t 3 .


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7. Una torre mide 150m de altura. Se deja caer una bola de acero desde laazotea.

Hallar:

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo.

b) La velocidad con la que llega al suelo.

c) La velocidad con la que pasa por delante de una ventana que est a 50mdel suelo.

(Se supone que el rozamiento del aire es nulo. Considerar como valor de laaceleracin de la gravedad 2g 10m/ s .)

8. Sea: f(x) = x2-4x+7.

a) Halle la tasa instantnea de variacin de f(x) cuando x=3.

b) Halle la tasa media de variacin de f(x) entre x=3 y x=5.

9. La ley del movimiento de un punto es s = 2t2+3t+5, donde la distancia s seda en centmetros y el tiempo t, en segundos. A qu ser igual la velocidadmedia de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t=1 yt=5?

10. Consideremos una barra delgada de estructura heterognea AB cuyalongitud L = 20cm. La masa de un segmento AM aumentaproporcionalmente al cuadrado de la distancia entre el punto M y el punto A,siendo la masa del segmento AM = 2cm igual a 8gr.

Hallar:

a) La densidad media lineal del segmento AM = 2cm de la barra.

b) De toda la barra.

c) La densidad de la barra en el punto M.

11. La funcin posicin de un mvil es3 2e(t) t 9t , midiendo el espacio en

metros y el tiempo en segundos.

a) Determina la velocidad y la aceleracin, como funciones del tiempo.

b) Calcula la posicin, la velocidad y la aceleracin del mvil cuando t =2seg.

c) En qu instante la aceleracin es de 12m/s2?

d) En qu momento (o momentos) se anula la velocidad?


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12. Consideremos un mvil, dotado de una aceleracin constante a = 3m/s2,que parte del origen con una velocidad inicial de vo = 2m/s. Sabemos pornuestros estudios de Fsica que el espacio e recorrido al cabo de un ciertotiempo t viene dado por la funcin:

21e(t) 2t 3t2

a) Halla la velocidad y la aceleracin de este mvil en funcin del tiempo.

b) En qu momento la velocidad es de 15m/s?

13. La funcin s(t) de la figura representa la posicin de un mvil sobre unarecta en cada instante de tiempo t (se mide s en metros y t en segundos).

a) Dnde se encuentra el mvil cuando t = 3? y cuando t = 9?

b) Qu velocidad lleva en el momento t = 1? y en t = 2,5? y t = 6?

c) Durante qu intervalo de tiempo est detenido el mvil?

d) Durante qu intervalo tiene aceleracin no nula?

e) En el instante t = 7 cambia el signo de la derivada )(ts , qu significadofsico tiene este hecho?

14. Las grficas muestran tres movimientos distintos:

105t

s

6

t

s(t)

t

s(t)

t

s(t)

s(t) = t2 +1


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En cules lleva, el mvil, velocidad constante?, en cules es constante laaceleracin?

15. En la figura se muestran las distancias de un mvil a un punto A.

a) En qu intervalo el mvil retrocede y se acerca al punto de partida?

b) El mvil se ha detenido alguna vez, cundo?

c) En cul de los siguientes intervalos alcanz el mvil su mximavelocidad?

1 1 2 2 3 3 40,t , t ,t , t ,t , t ,t

16. La grfica representa la distancia al punto A de un mvil.

a) Hallar la velocidad media en todo el trayecto.

b) Si el mvil se hubiese desplazado constantemente con la velocidadmedia, habra llegado antes al punto 150km?

A t1 t2 t3 t4t

s(t)

At

s(t)

150 km

30 km

2h


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17. La grfica muestra el movimiento de un mvil.

a) Fue la velocidad del mvil mayor en t2 que en t3?

b) Independientemente del sentido del movimiento, en cul de los tresinstantes indicados fue mayor la velocidad?.

18. Un mvil se desplaza segn la ecuacin:2s(t) t 2t .

a) Calcula la velocidad media en 3;3,5 y 3;3,1 .

b) Halla la velocidad instantnea en t = 3.

19. El nmero de bacterias de un cultivo viene dado por la exponencial:tN(t) 1,2e . (t en horas N(t) en millares). Calcula la velocidad de crecimiento

(aumento del nmero de bacterias por unidad de tiempo) en t = 2.

20. La funcin espacio de un mvil es2

ts(t)t 1

. La grfica indica que se

detiene un instante en B y da la vuelta. En qu momento?

21. Sean 1s (t) 2t 3 , 2s (t) 2t 1 y

2

3ts (t) t2

las ecuaciones de tres mviles.Comprueba que al cabo de un segundo de iniciado el movimiento, lavelocidad de los tres coincide.

t

s(t)

t3t2t1

tt0

B

s(t)


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22. En la figura 1 se muestra la trayectoria rectilnea de un mvil que parte delpunto M. En la figura 2, la posicin respecto del punto A en funcin deltiempo.

a) A qu distancia de A se encuentra M?

b) Cunto vale 1s(t ) ?

c) En qu instantes pasa el mvil por A?

23. Un paseante, cuya altura es 1,7m se aleja de una farola de 8m de altura conuna velocidad constante de 1,5m/s. La sombra proyectada por el caminantealcanza en cada instante una posicin s(t), medida a partir de la base de lafarola. Calcule la velocidad con que se mueve el extremo de la sombra.

24. Un depsito cilndrico, de radio 50cm, se llena con un caudal de 4litros/minuto. Calcule la velocidad con la que el nivel de lquido asciende.

25. Dos barcos salen simultneamente de un puerto: uno viaja hacia el Sur auna velocidad de 20km por hora, el otro hacia el Este a una velocidad de3km por hora. Al final de 3 horas, cul es la velocidad de separacin de losdos barcos?

26. Una persona cuya altura es 1,7m, pasea por una rampa OB en direccin a Bcon una velocidad constante de 1,5m/s. Calcula la velocidad del extremo dela sombra producida por la farola F.

F

8m

1,7m

O1,5 t

B

s(t)

A M

1,5 x

t

s(t)

t1

3

2 7

Fig. 1 Fig. 2


21

27. Se desenrolla un cableunido a dos rodillossiguiendo trayectoriasperpendiculares y convelocidades constantesrespectivas de 3m/s y4m/s.

Calcula la velocidad conque aumenta la longituddel cable cuando t = 6seg.

28. Supongamos que simultneamente al mvil representado en la figura parteotro con velocidad constante e igual a la velocidad media del primero.

a) A partir de la grfica, prueba que en cierto instante t0 ),0( T los dosmviles coinciden en punto de la trayectoria.

b) Prueba asimismo que hay dos instantes en los que los mviles llevan lamisma velocidad.

29. Calcula la velocidad y la aceleracin en t = 5 de un mvil cuya funcin

espacio es s(t) t t .

30. Un petrolero accidentado pierde 500 litros/seg de crudo. La mancha depetrleo que aparece tiene forma circular y un grosor medio de 3mm.Calcula:

a) La velocidad con que aumenta el radio de la mancha.

b) La velocidad con que aumenta la superficie.

c) La velocidad con que aumenta el permetro.

v=4m/s

v=3m/s

4t

3t

l

T

t

s(t)


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31. La altura alcanzada por un proyectil disparado verticalmente supuesto

inexistente al efecto de frenado del aire viene dado por:

2gts(t) 400t2

; g= 9,8m/s2. Calcula:

a) La velocidad en cada instante, es negativa alguna vez?

b) La altura mxima del proyectil y el tiempo en que se alcanza.

c) El tiempo que tarda en caer y la velocidad con la que llega al suelo.

32. Las magnitudes ms usadas en Mecnica son: tiempo t; espacio e; velocidadv; aceleracin a; cantidad de movimiento p; fuerza F; trabajo W; energacintica K.

Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio con respecto del tiempo

lo que se expresa con la frmula:

dev(t) e '(t)dt

. Escribe las frmulascorrespondientes a las siguientes afirmaciones:

La aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto del tiempo. La fuerza es la derivada del trabajo respecto del espacio. La fuerza es la derivada de la cantidad de movimiento respecto del

tiempo. La cantidad de movimiento es la derivada de la energa cintica con

respecto a la velocidad.

33. El perodo T de un pndulo, segn sabemos por Fsica, es funcin de sulongitud L.

LT 2g

donde g es la constante de gravedad. Escriba la derivada del perodorespecto a la longitud.

34. Dos aviones parten de un mismo punto con velocidades de 600 y 800km/h.Sus trayectorias forman un ngulo de 30, a qu velocidad se separan?

35. Una escalera de mano de 7m de longitud se apoya en el suelo y en unapared. El pie resbala a una velocidad de 50cm/s.

30


23

Calcula la velocidad instantnea a la quedesciende el extremo superior de laescalera en el momento en el que el piedista dos metros de la pared.

36. Un atn ha picado un anzuelo y huye conl en la boca, a una velocidad de 3m/sen lnea recta y a 4m bajo la superficiedel agua. A qu velocidad se suelta elcarrete en el instante en que el atndista 10m del pescador?

37. Un globo esfrico de caucho, se est inflando a razn de 10cm3/min; conqu rapidez est creciendo el radio en el instante en que mide 1,5cm?

38. Sobre una lmina de caucho colocada sobre una mesa, se ha dibujado unacircunferencia. Si se estira la lmina, con qu rapidez crece el rea delcrculo si el radio cambia a una razn de 1,8cm/s cuando el radio vale 4cm?

39. Dos automviles A y B parten del origen O, con rutas que forman un ngulorecto. Si A va con una velocidad de 60km/h mientras que b va con unavelocidad de 70km/h, con qu rapidez se est alejando uno del otro al finalde dos horas de haber partido?

40. Una bomba de caucho de forma esfrica se desinfla a razn de 8cm3/seg,con qu rapidez decrece el radio de la bomba cuando el radio mide 4cm?

41. A una piscina cuyo fondo es un rectngulo de 10m de largo por 5m deancho, entra agua a razn de 5m3/hora, con qu rapidez aumenta la alturadel agua en la piscina?

42. A un cono recto circular invertido le entra agua a razn de 2cm3 por minuto.La altura del cono es dos veces su dimetro. A qu rapidez sube lasuperficie del agua cuando la misma alcanza una profundidad de 10cm en elcono?

43. Se arroja una piedra en un estanque de agua tranquila. El radio de la ondaexterior aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo, cuando el radio esde 10 pies. A qu velocidad aumenta el rea del crculo de aguaperturbada?

44. Una cometa est a 80 pies de altura sobre el nivel del suelo.Horizontalmente se aleja a una velocidad de 4 pies por segundo del nio quela sostiene. A qu velocidad el nio est soltando las cuerda, cuando lacuerda mide 100 pies?

TECSUP

4m


24

45. Una escalera de 3m descansa contra un muro sobre el nivel del suelo. Si sealeja el extremo inferior de la escalera a una velocidad de 1,20m/s. a quvelocidad desciende el extremo superior en el instante en que est a 2,40mdel suelo?

46. Un hombre de 1,80m de estatura se aleja a una velocidad de 3km por horade una luz que est a 4,5m sobre el nivel del piso. Cuando su distanciahorizontal de la luz es 3,6m:

a) A qu velocidad crece su sombra?

b) A qu velocidad se mueve la parte ms alejada de la sombra respecto ala luz?

47. Un hombre est parado en un muelle y hala un bote por medio de unacuerda. Sus manos estn a 3m por encima del amarre del bote. El bote esta 3,6m del muelle.

Si el hombre hala la cuerda a una velocidad de 90cm/s, a qu velocidad seaproxima el bote al muelle?

48. En una fbrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma unapila cnica cuya altura siempre es igual a los 4/3 del radio de la base.

a) Con qu rapidez aumenta el volumen cuando el radio de la base es de90cm y el cual aumenta a su vez a una velocidad de 1/8 cm por minuto?

b) Con qu rapidez aumenta el radio cuando tiene 1,80m y su volumenaumenta a una razn de 3m3 por minuto?

49. La longitud de una artesa horizontal es de 2,5m; su seccin transversal esun tringulo rectngulo issceles. Si se echa agua en la artesa a razn de1/8m3 por minuto, con qu rapidez sube la superficie del agua cuando elagua tiene m de profundidad?

50. Suponga que el puso de un individuo (en latidos/minuto) a los t segundos de

haber comenzado a corre, est dado por tt)t(P 2256 , para 70 t .

Calcule la tasa de cambio de P(t) con respecto a t en (a) t = 2, (b) t = 4 y(c) t = 6.

51. Demuestre que la tasa de cambio del volumen de una esfera con respecto alradio es igual al rea de la superficie.

52. Demuestre que la tasa de cambio del radio de una circunferencia conrespecto a su permetro es independiente de su tamao.

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