ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE INVARIANZA DE LAS PRECIPITACIONES MXIMAS PUNTUALES EN EL DEPARTAMENTO DE ANTIOQUIA

SANTIAGO WILCHES YEPES

Trabajo dirigido de grado presentado como requisito parcial para optar el ttulo de Magster en aprovechamiento de recursos hidrulicos

Director: I.C., Msc., Ph.D. OSCAR J. MESA S

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEDE MEDELLN

FACULTAD DE MINAS

POSGRADO EN APROVECHAMIENTO DE RECURSOS HIDRULICOS

2001

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A mi esposa Mercedes y a nuestro hijo

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AGRADECIMIENTOSAl Doctor Oscar Mesa S, asesor de este trabajo por sus enseanzas invaluables, la ayuda permanente y los continuos aportes.

A Hidramsa Ltda, por su apoyo y permanente colaboracin, especialmente al ingeniero Juan Carlos Correa J.

Al rea de hidrometra de Empresas Pblicas de Medelln, en especial a los Doctores Jaime Trujillo D, Hctor Pizarro y al Seor Gerardo Henao por su valiosa colaboracin y por el suministro de la informacin pluviogrfica.

A los estudiantes Juan Felipe lvarez Z y Vladimir Toro V. por su colaboracin en la recopilacin y procesamiento de la informacin.

A la profesora Mara Victoria Vlez por el suministro de la informacin recopilada en al trabajo de Hidrologa en Antioquia.

Al ingeniero Carlos Daniel Ruiz Carrascal por su colaboracin en el anlisis de homogeneidad de las series hidrolgicas.

A la ingeniera Gloria Jenny Meja por su aliento y apoyo incansable

A los Profesores Germn Poveda y Jaime Ignacio Vlez por sus ideas y aportes.

A mi esposa Mara Mercedes por el tiempo brindado

Y mis padres, hermanos y a todas a aquellas personas que de una u otra forma hicieron posible la culminacin de este trabajo

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TABLA DE CONTENIDO

1 1.1 1.2 1.3 2 2.1

INTRODUCCIN. ..................................................................................................1 OBJETIVOS GENERALES ....................................................................................4 OBJETIVOS ESPECFiCOS ..................................................................................4 ORGANIZACIN DEL INFORME ..........................................................................5 GENERALIDADES DE LAS CURVAS IDF. ...........................................................7 DIFERENTES TRABAJOS EFECTUADOS EN EL ESTUDIO DE LAS

PRECIPITACIONES MXIMAS. ..........................................................................10 3 3.1 3.2 3.3 3.4 ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO ........................................21 GENERALIDADES. ..............................................................................................21 ESCALAMIENTO SIMPLE. ..................................................................................21 ESCALAMIENTO MLTIPLE ...............................................................................23 CURVAS INTENSIDAD-DURACIN-FRECUENCIA A PARTIR DE LA TEORA DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO. .................................25 3.4.1 3.4.1.1 3.4.2 3.4.3 3.5 ESCALAMIENTO TEMPORAL.............................................................................26 ESCALAMIENTO SIMPLE ...............................................................................26 ESCALAMIENTO MLTIPLE ...............................................................................28 ESCALAMIENTO ESPACIAL ...............................................................................30 RESUMEN DE ALGUNOS TRABAJOS REALIZADOS APLICANDO LOS CONCEPTOS DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO EN EL ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS DE PRECIPITACIN. ............................31 3.5.1 3.5.2 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 PRECIPITACIONES MXIMAS AL NORTE DE ITALIA ......................................31 PRECIPITACIONES MXIMAS EN QUBEC (CANAD) ...................................32 RECOPILACIN, PROCESAMIENTO Y ANLISIS DE LA INFORMACIN ......35 GENERALIDADES DE LA ZONA EN ESTUDIO..................................................35 LOCALIZACIN ...................................................................................................35 DESCRIPCIN GENERAL DE LA ZONA (CLIMATOLOGA) ..............................36 RECOPILACIN DE INFORMACIN ..................................................................36 PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIN ........................................................42 ANLISIS DE LA INFORMACIN RECOPILADA. ...........................................44

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4.1.5.1 4.1.5.2 4.1.5.3

AO CALENDARIO VS. AO HIDROLGICO. ...............................................44 DESCRIPCIN DE LA INFORMACIN RECOPILADA ...................................46 RELACIN ENTRE LOS VALORES DE LAS PRECIPITACIONES MXIMAS OBTENIDAS DE UN PERODO CON REGISTROS CONTINUOS, CON LOS OBTENIDOS DE ALGUNAS TORMENTAS AISLADAS...................................49

4.1.5.4

RELACIN ENTRE LA PRECIPITACIN MXIMA EN 24 HORAS Y LA PRECIPITACIN MXIMA DIARIA. .................................................................57

4.1.5.5

ANLISIS DE HOMOGENEIDAD DE LAS SERIES DE PRECIPITACIONES MXIMAS .........................................................................................................59

4.1.5.6

RELACIONES ENTRE LA PRECIPITACIN MXIMA EN 60 MINUTOS DE DURACION Y LAS PRECIPITACIONES MXIMAS CON OTRAS

DURACIONES. .................................................................................................69 5 ANLISIS DE FRECUENCIAS DE LAS SERIES DE PRECIPITACIONES MXIMAS. ........................................................................................................72 5.1 5.2 5.3 FUNCIONES DE DISTRIBUCIN ....................................................................72 ESTIMACIN DE PARMETROS ...................................................................74 AJUSTE DE LOS DATOS OBSERVADOS A LAS DIFERENTES FUNCIONES DE DISTRIBUCIN. .........................................................................................76 6 CURVAS INTENSIDAD DURACIN FRECUENCIA A PARTIR DE LA TEORA DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO. .............................92 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.2.1 6.1.2.2 ANLISIS PUNTUAL ........................................................................................93 ESTIMACIN DE CURVAS IDF (METODOLOGA CONVENCIONAL) ...........93 ESCALAMIENTO TEMPORAL .......................................................................102 ESCALAMIENTO SIMPLE..............................................................................102 ALGUNAS PRUEBAS ESTADSTICAS PARA LA HIPTESIS DE

INVARIANZA DE ESCALA (ESCALAMIENTO SIMPLE) ...............................109 6.1.2.3 6.2 6.2.1 MODELO DE LOGNORMAL DE ESCALAMIENTO MLTIPLE .....................127 ANLISIS REGIONAL ....................................................................................135 VARIACIN ESPACIAL DE LOS PARMETROS OBTENIDOS EN EL ESCALAMIENTO TEMPORAL .......................................................................135 6.2.2 6.2.2.1 6.2.2.2 ESCALAMIENTO ESPACIAL .........................................................................142 TODO EL DEPARTAMENTO .........................................................................144 SUBDIVISIN DE LA ZONA EN ESTUDIO POR SUBREGIONES ...............150

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6.2.2.3 6.2.2.4

VALLE DEL ABURR (REGIN 4) ................................................................156 TODO EL DEPARTAMENTO (ESCALANDO CON LA INTENSIDAD MXIMA DIARIA). ..........................................................................................................159

6.3

CLCULO DE CURVAS IDF EN LA ZONA EN ESTUDIO, EN SITIOS DONDE NO SE CUENTE CON REGISTROS PLUVIOGRFICOS. ...............................160

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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .....................................................172

BIBLIOGRAFA ANEXOS

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LISTA DE FIGURAS Figura 1-1. Localizacin de estaciones pluviomtricas y pluviogrficas en el departamento de Antioquia operadas por el IDEAM y por Las Empresas Pblicas de Medelln..............................................................................................................2 Figura 2-1. Curvas IDF para una estacin del departamento de Antioquia, Estacin Aurr, tomada de Vlez y Smith, 1997. ........................................................................9 Figura 2-2. Relaciones entre la precipitacin mxima en una hora (Abscisas) y las precipitaciones mximas con las duraciones de 5, 15, 30 y 120 minutos (ordenadas), para diferentes perodos de retorno, tomado de Bell, 1969. ......15 Figura 3-1. Precipitaciones mximas en la estacin Bergamo (Escalamiento simple). Tomada de Bacchi, 1998. ................................................................................22 Figura 3-2 Funcin de estructura o Alejamiento del escalamiento simple en el

crecimiento de la pendiente nr en la ecuacin 3-4 para los caudales para Brandywie Creek, Pennsylvania- Tomada de Gupta and Waymire, 1990. .....24 Figura 4-1 Localizacin de la zona en estudio. ..................................................................35 Figura 4-2 Estaciones utilizadas en el estudio. ..................................................................39 Figura 4-3. Histograma del nmero de aos con registros en la estaciones utilizadas en el estudio..............................................................................................................42 Figura 4-4. Obtencin de la precipitacin mxima para una duracin d, en una tormenta especfica. ........................................................................................................42 Figura 4-5 Nmero de tormentas seleccionadas por ao en la estacin Aurr..................45 Figura 4-6 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duracin de la tormenta respectivamente, elaborado para todas las estaciones. ..................................46 Figura 4-7 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duracin de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera occidental. ..............................................................47 Figura 4-8 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duracin de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente oriental de la cordillera central. ........................................................................47 Figura 4-9 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duracin de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera central. ....................................................................48

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Figura 4-10 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duracin de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente oriental de la cordillera occidental. ...................................................................48 Figura 4-11. Precipitaciones mximas observadas en el departamento de Antioquia para diferentes duraciones. Los smbolos azules (Tringulo) corresponden las precipitaciones observadas durante toda la tormenta y los smbolos rojos (Crculos) corresponde a los valores de precipitacin mximos observados para una duracin especfica. ..........................................................................50 Figura 4-12 Comparacin de las precipitaciones mximas durante 1995 para diferente duraciones, obtenida de los registros continuos y con slo tres tormentas en el ao. a). Estacin El Tabor y b) Estacin Madreseca. En esta figura los smbolos vacos corresponde a los tres valores ms grandes de las

precipitaciones obtenidos de los registros continuos y los smbolos llenos corresponden a las intensidades mximas de las tres tormentas analizadas en la Hidrologa de Antioquia. ...............................................................................51 Figura 4-13 Comparacin de las precipitaciones mximas durante 1995 para diferente duraciones, obtenida de los registros continuos y tomando los das con mayor precipitacin diaria a). Estacin El Tabor y b) Estacin Madreseca. En esta figura los smbolos vacos corresponde a los tres valores ms grandes de las precipitaciones obtenidos de los registros continuos y los smbolos llenos y/o en color corresponden a las intensidades mximas obtenidas del anlisis de algunas tormentas en cada ao. ......................................................................53 Figura 4-14 Comparacin de la serie de precipitaciones mximas obtenidas de los registros continuos y del procesamiento de slo 3 tormentas para diferentes duraciones. a) 20 minutos b) 30 minutos. c) 45 minutos. d) 60 minutos. e)75 minutos y f) 120 minutos. .................................................................................55 Figura 4-15. Comparacin de los momentos de orden 1 y orden 2 lde a serie de precipitaciones mximas obtenidas de los registros continuos y del procesamiento de slo 3 tormentas para diferentes ecuaciones. a) Estacin El Bizcocho b) Estacin Inmarco..........................................................................56 Figura 4-16. a) Relacin entre las precipitaciones mximas en 24 horas y las precipitaciones mximas diarias. a) Estacin Inmarco b) Estacin El Bizcocho c) Santa Brbara d) El Sireno. e) Mande. ........................................................58

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Figura 4-17. Tipo de aparato registrador en cada una de las estaciones. En las estaciones que no se tiene smbolo no se dispuso de la informacin de los aparatos registradores. En la estacin San Cristbal hubo cambio de aparato registrador 2 veces...........................................................................................64 Figura 4-18. Anlisis exploratorio para la estacin el Retiro. Para la serie precipitaciones mximas de 20 minutos de duracin ...............................................................66 Figura 4-19. Comparacin de las series de precipitaciones mximas de la estacin Inmarco para diferentes duraciones. En esta estacin se tiene cambio de aparato registrador en el ao de 1983 de un Fuess95 a un Fuess95Y. Vase anexo 1 para el anlisis de homogeneidad......................................................67 Figura 4-20 Serie de precipitaciones mximas diarias en Caldas, Ayur, Ro Abajo y corrientes. ........................................................................................................68 Figura 4-21 Comparacin de las relaciones entre la precipitacin mxima de con una hora de duracin y la precipitacin mxima para otras duraciones para el mismo perodo de retorno. Cada smbolo corresponde a una estacin diferente y cada color corresponde a una duracin especfica, se muestran duraciones de 20, 30, 45, 90 y 120 minutos. Las lneas rectas corresponden a las relaciones empricas encontradas por Hershfield estimadas con la ecuacin 2-7. ...........70 Figura 5-1. Grafico Q-Q para la estacin el Bizcocho para la intensidad mxima en 20 minutos una distribucin lognormal de II parmetros. .....................................78 Figura 5-2 Comparacin de las intensidades mximas observadas con los valores ajustados a una funcin de distribucin estable para diferentes perodos de retorno y diferentes duraciones en las estaciones de; a) El Bizcocho, b) Mand y c) El Sireno. ...................................................................................................79 Figura 5-3 Intensidades mximas para diferentes duraciones y diferentes perodos de retorno en la estacin Mand...........................................................................87 Figura 5-4 Intensidades mximas para diferentes duraciones y diferentes perodos de retorno en la estacin El Sireno .......................................................................88 Figura 5-5 Intensidades mximas para diferentes duraciones y diferentes perodos de retorno en la estacin Santa Brbara ..............................................................89 Figura 5-6 Intensidades mximas para diferentes duraciones y diferentes perodos de retorno en la estacin Inmarco.........................................................................90

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Figura 5-7 Intensidades mximas para diferentes duraciones y diferentes perodos de retorno en la estacin El Bizcocho ...................................................................91 Figura 6-1. Valores del coeficiente k de la ecuacin 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamao del crculo es proporcional al valor del coeficiente k ...96 Figura 6-2. Valores del exponente m de la ecuacin 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamao del crculo es proporcional al valor del exponente m ..97 Figura 6-3. Valores del coeficiente b de la ecuacin 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamao del crculo es proporcional al valor del coeficiente b ...98 Figura 6-4. Valores del exponente n de la ecuacin 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamao del crculo es proporcional al valor del exponente n ...99 Figura 6-5 Escalamiento de los momentos de las intensidades mximas con la duracin para diferentes estaciones. a) Mand b)Santa Brbara c) El Sireno d) Inmarco y e)El Bizcocho. .............................................................................................105 Figura 6-6 Variacin del exponente de escalamiento del momento de orden 1 con la duracin .........................................................................................................106 Figura 6-7. Escalamiento de los momentos de las intensidades mximas con la duracin en la estacin El Sireno tomando dos rangos de duraciones. .......................107 Figura 6-8 Intensidades mximas vs duracin para la Estacin Mand. .........................108 Figura 6-9 Intervalos de confianza de CV para las diferentes estaciones. a) Mand b)Santa Brbara c) El Sireno d) Inmarco y e) El Bizcocho. ..........................111 Figura 6-10 Intervalos de confianza para el exponente nr para las estaciones (a) El Sireno y (b) Mand. ...................................................................................................112 Figura 6-11. Exponente de escalamiento 1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamao del crculo representa el valor real de la variable...........................................118 Figura 6-12. Coeficiente de variacin CV1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamao del crculo representa el valor de la variable .......................................................119 Figura 6-13. Valor esperado de I105 , E[I105] en mm/hr (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamao del crculo representa el valor de la variable ...................................120 Figura 6-14. Valor esperado de I1052 , E[I1052] en (mm/hr)2 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamao del crculo representa el valor real de la variable .........121 Figura 6-15. Exponente de escalamiento 2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamao del crculo representa el valor real de la variable...........................................122

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Figura 6-16. Coeficiente de variacin CV2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamao del crculo representa el valor real de la variable...........................................123 Figura 6-17. Valor esperado de I1440 , E[I1440] en mm/hr (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamao del crculo representa el valor real de la variable .........124 Figura 6-18. Valor esperado de I14402 , E[I14402] en (mm/hr )2(Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamao del crculo representa el valor real de la variable .........125 Figura 6-19 . Valor de l(2)1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamao del crculo representa el valor de la variable ...................................................................130 Figura 6-20 . Valor de l(2)2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamao del crculo representa el valor de la variable ...................................................................131 Figura 6-21 Histograma de frecuencia de la hora de inicio de las tormentas en la estacin Miguel de Aguinaga .......................................................................................136 Figura 6-22. Clasificacin de las estaciones de acuerdo con el perodo en el cual se presenta la mayor cantidad de tormentas (Diurno y Nocturno). ....................138 Figura 6-23 Hora con mayor nmero de tormentas mximas observadas (Hora local) ...139 Figura 6-24. Variacin de los exponentes 1 y 2 con la precipitacin media anual .......140 Figura 6-25. Variacin del exponente de escalamiento con la altura. ..............................141 Figura 6-26. Variacin de los coeficientes variacin CV1 y CV2 con la precipitacin media anual. .............................................................................................................141 Figura 6-27. Relacin entre el momento de orden 1 y orden 2 de las intensidades mximas en 105 minutos y 24 horas respectivamente. .................................142 Figura 6-28 Variacin de los momentos de las intensidades mximas en 45 minutos con la precipitacin media anual. .............................................................................145 Figura 6-29 Variacin del coeficiente de determinacin con la duracin, r2, para la

regresin lineal entre los momentos de la precipitacin promedio anual y los momentos de las intensidades mximas. ......................................................145 Figura 6-30 Intensidades mximas observadas vs intensidades mximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para todo el departamento de Antioquia. .......................................................................................................................146 Figura 6-31 Variacin del exponente de escalamiento con la duracin. ..........................148 Figura 6-32 Variacin del coeficiente E[Ipref] con la duracin. .......................................148 Figura 6-33 Variacin del coeficiente E[Ipref2] con la duracin. .....................................149 Figura 6-34 Variacin del exponente l(2) con la duracin. ...............................................149

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Figura 6-35 Localizacin de las cuatro subregiones en la cuales se subdividi la zona de estudio............................................................................................................151 Figura 6-36 Variacin de los momentos de las intensidades mximas en 45 minutos con la precipitacin media anual (Regin 1).............................................................152 Figura 6-37 Intensidades mximas observadas vs intensidades mximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la regin 1. ...................................152 Figura 6-38 Variacin de los momentos de las intensidades mximas en 45 minutos con la precipitacin media anual (Regin 2).............................................................154 Figura 6-39 Intensidades mximas observadas vs intensidades mximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la regin 2. ...................................154 Figura 6-40 Variacin de los momentos de las intensidades mximas en 45 minutos con la precipitacin media anual (Regin 3).............................................................155 Figura 6-41 Intensidades mximas observadas vs intensidades mximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la regin 3. ...................................156 Figura 6-42 Variacin de los momentos de las intensidades mximas en 45 minutos con la precipitacin media anual (Regin 4).............................................................157 Figura 6-43 Intensidades mximas observadas vs intensidades mximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la regin 3. ...................................158 Figura 6-44. Intensidades mximas observadas vs intensidades mximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para todo el Departamento, pero escalando con la precipitacin mxima diaria................................................161 Figura 6-45 Intensidades mximas observadas vs intensidades mximas calculadas con el modelo A. ...................................................................................................167 Figura 6-46 Errores mximos obtenidos con el modelo A ................................................168 Figura 6-47. Intensidades mximas observadas vs intensidades mximas calculadas con el modelo B. ...................................................................................................170

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LISTA DE TABLAS Tabla 4-1 Estaciones utilizadas en este estudio ................................................................40 Tabla 4-2 Tipos de pluvigrafos de flotador y de balanza .................................................62 Tabla 5-1 Prueba Smirnov-Kolmogorov de bondad del ajuste, error medio cuadrtico y coeficiente de correlacin del grfico q-q para las cinco estaciones con registros continuos, distribucin LognormalII (duraciones entre 20 y 1440

minutos). ..........................................................................................................82 Tabla 5-2. Intervalo de confianza para los perodos de retorno estimados de las precipitaciones mximas (Tomado de Bell, 1969) ...........................................84 Tabla 5-3 Calificacin de los mtodos de estimacin de parmetros ................................85 Tabla 6-1 Errores relativos promedios y mximos para las tres metodologas de clculo de parmetros. ......................................................................................................94 Tabla 6-2 Parmetros de las curvas IDF estimados por la metodologa III, errores relativos promedio y errores mximos obtenidos. ........................................................100 Tabla 6-3 Punto de cambio detectado en las diferentes estaciones ................................104 Tabla 6-4 Exponentes de escalamiento para diferentes cuantiles para las estaciones con registros continuos ( .......................................................................................109 Tabla 6-5 Intervalo de confianza para el exponente de escalamiento observado comparado con el exponente del escalamiento simple .................................113 Tabla 6-6 Parmetros para modelos IV y V de escalamiento simple. ..............................116 Tabla 6-7 Valor de los parmetros l(2)1 y l(2)2 de todas las estaciones para los dos rangos de duraciones.....................................................................................128 Tabla 6-8 Errores relativos, promedio y mximo entre las intensidades mximas

calculadas con los diferentes modelos analizados simple y las intensidades mximas observadas. ..................................................................................132 Tabla 6-9 Errores relativos promedios y mximos (en %) entre el modelo de curvas IDF (escalamiento espacial mltiple escalando con la precipitacin media anual) y los valores observados (ajustados a una distribucin logNormal). ................147 Tabla 6-10 Parmetros y errores relativos promedios y mximos del modelo de multiescalamiento, escalando con la Intensidad mxima diaria ....................160 Tabla 6-11 Relaciones observadas entre la intensidad mxima en 60 minutos y la intensidad mxima para la duracin indicada. ...............................................165

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Tabla 6-12 Relaciones observadas entre la intensidad mxima en 105 minutos y la intensidad mxima para la duracin indicada. ...............................................169

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RESUMEN Hoy en da las curvas intensidad duracin frecuencia (Curvas IDF), siguen siendo una de las herramientas ms utilizadas en la estimacin de caudales de mximos, especialmente en el diseo de obras de drenaje, alcantarillados pluviales en las zonas urbanas y rurales, y en general en el diseo de pequeas obras hidrulicas.

En la presente investigacin se analiza el comportamiento de los eventos mximos de precipitacin a la luz de las teoras invarianza de escala y multiescala, las cuales han sido utilizadas para el anlisis de gran variedad de fenmenos en hidrologa, en 61 estaciones localizadas en una amplia zona del departamento de Antioquia y su relacin con las curvas intensidad duracin frecuencia.

Inicialmente se realiza un anlisis detallado de la informacin disponible en la cual se observan deficiencias importantes en el registro de los eventos mximos de precipitacin, particularmente para las precipitaciones mximas de cortas duraciones, inferiores a los 45 minutos, las cuales son muy importantes en el diseo de alcantarillados y de pequeas estructuras hidrulicas. Se evalan tambin algunas prcticas comunes en ingeniera para la obtencin de la informacin para la estimacin de las curvas IDF.

Se muestra como a partir de las teoras de invarianza de escala pueden construirse modelos de curvas IDF cuyas formas son similares a las diferentes frmulas empricas propuestas a lo largo de la historia para la estimacin de intensidades mximas, para diferentes duraciones y perodos de retorno, estos modelos convencionales como lo afirman Burlando y Rosso consisten en procedimientos heursticos, basados en suposiciones an sin probar o suposiciones irreales relacionadas con la estructura espacio- temporal de la lluvia, (1996).

Se tiene pues que con la aplicacin de las teoras de invarianza de escala y multiescala es posible conclusiones importantes de diferentes fenmenos en la naturaleza.

En el caso particular de las intensidades mximas, es posible obtener modelos adecuados para estimar las curvas IDF, con resultados comparables a los obtenidos con la metodologa utilizada tradicionalmente. Con la diferencia de que con la aplicacin de

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estos modelos de escalamiento y multiescalamiento la estimacin de parmetro es mucho ms sencilla y obedece a un procedimiento ms racional que en los modelos convencionales el cual es un proceso netamente heurstico.

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INTRODUCCIN.

Hoy en da las curvas intensidad duracin frecuencia (Curvas IDF), siguen siendo una de las herramientas ms utilizadas en la estimacin de caudales de mximos, especialmente en el diseo de obras de drenaje, alcantarillados pluviales en las zonas urbanas y rurales, y en general en el diseo de pequeas obras de ingeniera, as como en la estimacin de las tormentas de diseo en sitios donde, debido a la falta de informacin de caudales, es necesario recurrir a los modelos lluvia escorrenta para el clculo de los caudales mximos.

El tipo de proyectos mencionados anteriormente, a pesar de tener un costo individual relativamente bajo, representa un porcentaje considerable del total de la inversin en infraestructura de un pas, incluso su costo puede llegar a ser superior que los costos de los proyectos grandes como los estudios y diseos de las grandes centrales hidroelctricas (Pilgrim, 1986).

En el caso particular del diseo de obras de drenaje urbano, de alcantarillados pluviales y de pequeas estructuras hidrulicas, es necesario conocer las intensidades mximas asociadas a diferentes perodos de retorno para duraciones relativamente pequeas, para obtener dicha informacin se requiere de registros continuos de precipitacin, los cuales no estn disponibles en muchos de los casos, o si se encuentran disponibles no se encuentra procesados, tal como sucede en el departamento de Antioquia.

En la Figura 1-1 se muestra la localizacin de pluvimetros y pluvigrafos, sin incluir estaciones climatolgicas, en el departamento de Antioquia operados por el IDEAM y por Las Empresas Pblicas de Medelln (EPM). En esta figura puede observarse que en gran parte del departamento se tiene una buena cobertura de estaciones registradoras de lluvia; de las 129 estaciones del IDEAM el 76 % son pluvimetros y de las 194 estaciones de EPM 32% son pluvimetros, es decir, de las 323 estaciones la mitad son pluvigrafos. De lo anterior pudiera concluirse que, desde el punto de vista prctico, de acuerdo con el

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criterio expuesto por Dixon (1964), en el Departamento se tiene una cobertura relativamente buena, sin embargo, gran parte de la informacin pluviogrfica existente se encuentra an si procesar.

GOLFO DE URAB

BOLIVAR

SANTANDER CHOC CONVENCIONES

RISARALDA

CALDAS

Figura 1-1. Localizacin de estaciones pluviomtricas y pluviogrficas en el departamento de Antioquia operadas por el IDEAM y por Las Empresas Pblicas de Medelln. En Antioquia, en la mayora de los casos, el Ingeniero dispone para sus diseos de las curvas IDF de las 69 estaciones procesadas en el estudio Obtencin de Curvas Intensidad Frecuencia Duracin en el Departamento ee Antioquia (Botero y Muoz,

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1997), las cuales se presentan en el trabajo hidrologa de Antioquia, (Vlez y Smith 1997), y de las 17 estaciones publicadas en el anuario hidrometeorolgico de las Empresas Pblicas de Medelln, (Empresas Pblicas de Medelln, 1993)

Por otro lado en la Figura 1-1 puede observarse tambin que la mayora de la informacin de precipitacin con la que cuenta el IDEAM proviene de registros pluviomtricos y ,adems, que en los sitios ms apartados no se tiene ninguna otra medicin de precipitacin diferentes a la pluviomtrica, por ejemplo en el Norte de Antioquia, el Bajo Cauca y el Urab Antioqueo.

Gracias a las nuevas tecnologas para el registro de precipitacin ha sido posible identificar las caractersticas no lineales del fenmeno y las estructuras de variabilidad temporal y espacial de la precipitacin. La observacin del fenmeno ha avalado el uso de modelos desarrollados en otros campos, como la mecnica de fluidos, para explicar la estadstica de la variabilidad espacial y temporal de la precipitacin; modelos como las cascadas multiplicativas las cuales estn relacionadas con las teoras de invarianza de escala y de multiescala, las cuales son el tema del presente estudio, son utilizadas para el anlisis de gran variedad de fenmenos en hidrologa, (vase Sposito, 1998), particularmente en eventos extremos de caudales y de precipitacin. Las teoras mencionadas ya han sido aplicadas por diferentes investigadores en el estudio de precipitaciones mximas en diferentes partes del mundo, entre otros pueden mencionarse Burlando and Rosso (1996) y NGUYEN V. T. V. , NGUYEN T. D. and WANG H (1998)

Una de las implicaciones prcticas ms importante de las teoras de escalamiento simple y de multiescalamiento es la posibilidad de, a partir de observaciones de un fenmeno en escalas grandes (pequeas), por ejemplo a nivel diario, es posible inferir las caractersticas estadsticas del mismo fenmeno en escalas muchsimo ms pequeas (ms grandes).

Por todo lo anterior se considera importante explorar, bajo este marco terico, el comportamiento de los eventos extremos de las precipitaciones mximas en diferentes escalas, con el nimo de mejorar el entendimiento y los procesos de estimacin de las

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precipitaciones mximas tanto en sitios con informacin pluviogrfica disponible como en sitios con poca informacin.

Es importante mencionar que el principal objetivo de este trabajo es principalmente prctico y antes que el desarrollo de un procedimiento cientfico complejo est orientado a explorar metodologas y procedimientos adecuados para obtener los valores de las precipitaciones mximas en una zona especfica. Dichas metodologas y procedimientos orientados tanto al estudio de las precipitaciones mximas en una estacin especfica, escala puntual, como al estudio de las precipitaciones mximas en una zona o regin, escala regional.

En el presente trabajo se presenta entonces, la aplicacin de las teoras de invarianza de escala y multiescala en el estudio de los eventos mximos de precipitacin.

1.1

OBJETIVOS GENERALES

El objetivo general de este trabajo consiste en el estudio de las propiedades de invarianza de escala o multiescala de las precipitaciones mximas con el fin de profundizar un poco en el entendimiento del comportamiento de las precipitaciones mximas a lo largo de diferentes escalas y utilizar los resultados en la determinacin de modelos que permitan la estimacin de los eventos mximos de precipitacin asociados a diferentes perodos de retorno.

1.2

OBJETIVOS ESPECFICOS

El objetivo especfico principal consiste en el estudio de las propiedades de invarianza de escala y de multiescala en 61 estaciones, operadas por las Empresas Pblicas de Medelln, localizadas dentro del departamento de Antioquia, y observar el comportamiento de las precipitaciones mximas a lo largo de diferentes escalas (tanto en escalas temporales y espaciales) e identificar caractersticas que permitan el paso de una escala a otra.

5

Con base en los resultados del prrafo anterior explorar modelos o relaciones que permitan estimar las precipitaciones mximas para menores duraciones con base en registros diarios de precipitacin con el fin de subsanar el constante problema de escasez de informacin a los que se ve enfrentado el ingeniero en el diseo de estructuras hidrulicas.

Adems del objetivo principal se pueden mencionar, entre otros, los siguientes objetivos especficos:

Realizar un anlisis juicioso de los datos disponibles, para de esta forma trabajar con datos que estn libres, en lo posible, de ruidos ocasionados por causas diferentes al fenmeno mismo.

Explorar metodologas diferentes a las utilizadas normalmente en el anlisis de frecuencias de los eventos mximos de precipitacin.

1.3

ORGANIZACIN DEL INFORME

El informe est compuesto por 7 captulos los cuales se resumen a continuacin.

En el captulo 2 se presentan las generalidades de las curvas IDF, los diferentes trabajos e investigaciones que se han realizado en el estudio de las precipitaciones mximas as como el estado del arte en el que se encuentra el estudio de los eventos mximos de precipitacin.

En el captulo 3 se presenta brevemente el marco terico del escalamiento simple y del escalamiento mltiple o multiescalamiento y su aplicacin al anlisis de eventos extremos de precipitacin as como un pequeo resumen de diferentes trabajos que se han realizado en este campo.

6

En el captulo 4 se muestra la informacin recopilada durante el estudio, el anlisis de la informacin bsica y algunas consideraciones y restricciones que se tiene en el estudio, relacionadas con la informacin disponible.

En el captulo 5 se muestran algunas consideraciones relacionadas con el anlisis de frecuencias necesarios para la estimacin de las intensidades mximas asociadas a los diferentes perodos de retorno.

En el captulo 6 se presenta la aplicacin de los modelos de escalamiento simple y multiescalamiento en la construccin de las curvas IDF en las estaciones disponibles para este estudio.

Y por ltimo en el captulo 7 se exponen algunas conclusiones y recomendaciones relacionadas con el estudio de eventos extremos de precipitacin en el departamento de Antioquia.

7

2

GENERALIDADES DE LAS CURVAS IDF.

Las lluvias intensas han sido analizadas desde hace mucho tiempo y los estudios que se han realizado han tenido diversos objetivos, sin embargo, en la mayora de ellos el objetivo ltimo es la determinacin de los caudales mximos para el diseo de diferentes estructuras hidrulicas.

A pesar de que los primeros estudios de precipitaciones mximas datan de finales del siglo XIX o comienzo del siglo XX y de que se han logrado avances significativos en las diferentes teoras y modelos para la representacin de los campos de precipitacin, la metodologa para su anlisis en mayora de los casos de diseo ha permanecido prcticamente invariable hasta la ltima dcada del siglo XX.

La metodologa tradicional que se ha venido utilizando a lo largo de la historia en el clculo de las curvas IDF consiste bsicamente en realizar un anlisis de frecuencia a cada una de las series de valores mximos de precipitacin obtenidas para cada duracin.

La serie a la cual se le realiza el anlisis de frecuencias puede ser seleccionada de tres formas, a saber:

Serie de mximas anuales, es aquella serie que est conformada por cada uno de los valores mximos de precipitacin observados en cada uno de los aos de registro.

Serie de duraciones parciales, en la cual la serie de datos est conformada por aquellos datos que sobrepasan un valor base predefinido. Serie de excedencias anuales, en la cual el valor base, de la serie anterior, es seleccionado de tal forma que el nmero de datos que conforman la serie sea igual al numero de aos de registros.

8

No existe un consenso entre los diferentes investigadores de cual tipo de serie de datos debera ser utilizada en los anlisis, sin embargo, algunos reportan que diferentes investigadores le han encontrado sentido terico al anlisis de series parciales, (Bonacci, 1984). Otros autores reportan que la utilizacin de cada uno de los tipos de series es determinada por cada proyecto especfico en el cual se vayan a utilizar los resultados del anlisis de los eventos extremos (Chow, 1964).

Pese a lo anterior, en muchos de los casos prcticos se utilizan las series mximas anuales, ya que en este tipo de serie no es necesaria la separacin de la serie de registros continua en eventos o tormentas estadsticamente independientes, lo que eventualmente puede complicar un poco el anlisis. Chow muestra que existe una relacin entre las series de mximas anuales y las series de duraciones parciales (1964).

Una vez seleccionada la serie de mximos el siguiente paso consiste en establecer el rango de duraciones para el cual se estimaran las curvas IDF. Algunos autores consideran que en un sitio especfico puede estimarse una sola familia de curvas para un amplio rango de duraciones, por ejemplo entre 5 minutos y 24 horas, mientras que la gran mayora consideran que para cada sitio especfico deben determinarse dos familias de curvas una para las duraciones ms cortas, entre 5 y 60 o 120 minutos y otro entre 60 o 120 minutos hasta 24 horas e incluso hasta varios das. A pesar de no tenerse ninguna demostracin rigurosa, diversos autores consideran que esta subdivisin debe realizarse ya que se tienen caractersticas fsicas muy diferentes en las lluvias de corta duracin, entre 0 y 1 o 2 horas, las cuales son debidas a fenmenos netamente convectivos, y las de larga duracin, mayores a dos horas (Bonacci 1984).

Luego de escoger el rango de validez de las curvas IDF, a cada una de las series obtenidas para cada duracin se le ajusta una funcin de distribucin, normalmente la distribucin Gumbel. Con la funcin de distribucin ajustada a los datos observados se construyen familias de curvas en las cuales pueden estimarse las intensidades mximas (o precipitaciones) para diferentes duraciones para diferentes probabilidades de ocurrencia, vase Figura 2-1.

9

350 300 Tr=2 aos 250 200 150I = 441,2Tr0, 208

Intensidad (mm/hr)

Tr=5 aos Tr=10 aos Tr=25 aos Tr=50 aos Tr=100 aos

(d + 0,25)0,748

100 50 0 0 20 40 60 80 100 120

Duracin (minutos)

Figura 2-1. Curvas IDF para una estacin del departamento de Antioquia, Estacin Aurr, tomada de Vlez y Smith, 1997. Usualmente para evitar la representacin grfica de las curvas, y poder automatizar su clculo, stas son ajustadas a diferentes expresiones matemticas de varios tipos, entre las ms comunes se encuentran las siguientes (Froehlich, 1995):

I=I=I=

a ( d + b) na dna (d + b )

(2-1)

(2-2) (2-3)

10

Donde I, es la intensidad de la lluvia a, b y n son parmetros de las ecuaciones que dependen del perodo de retorno y de la localizacin de la estacin y d es la duracin de la tormenta. Todas propuestas empricamente por diversos investigadores en estudios especficos de precipitaciones mximas.

De todo lo anterior puede resaltarse, que en el estudio de las precipitaciones mximas (obtencin de curvas IDF) , an se tienen gran cantidad de interrogantes que no han sido resueltos satisfactoriamente, a pesar de ser una herramienta de uso continuo en la ingeniera. Entre otros pueden mencionarse los siguientes: El tipo de serie a utilizar, separacin de los registros continuos en tormentas estadsticamente independientes, justificacin para la determinacin de los rangos de duracin, metodologas para el ajuste de los datos a una funcin de distribucin, estimacin de parmetros de la funcin de distribucin, etc.

2.1

DIFERENTES TRABAJOS EFECTUADOS EN EL ESTUDIO DE LAS PRECIPITACIONES MXIMAS.

A lo largo de la historia se han desarrollado un sinnmero de proyectos y trabajos relacionados con el estudio de las precipitaciones mximas, a continuacin se mencionan algunos de ellos.

Entre los primeros trabajos relacionados con el estudio de las precipitaciones se encuentran los realizados por Morgan y Meyer en 1917 (Bernard, 1932).

El primero realiz estudios en la zona Este de los Estados Unidos y estaba interesado en conocer los caudales mximos de crecientes; para tal efecto realiz un exhaustivo estudio de los registros de lluvias en la zona, los resultados de su estudio fueron presentados en una serie de mapas de los cuales se poda leer la intensidad de la lluvia para diferentes duraciones y frecuencias, en su estudio Morgan se concentr en precipitaciones con duraciones muy largas, entre 1 y cuatro das. Entre otras cosas Morgan concluye que la

11

relacin entre la intensidad de la lluvia y la duracin sigue una ecuacin parablica con la siguiente forma:

i=

a dn

(2-4)

Donde i es la intensidad de la lluvia con una duracin d, y a y n parmetros cuyo valor depende de la localizacin de la estacin y de la frecuencia de la lluvia.

Meyer por su lado estudi ms de 2.000 tormentas tambin al Este de los Estados Unidos y como resultado de su trabajo obtuvo una seria de frmulas empricas, que relacionan la profundidad de la lluvia, o la intensidad, con la duracin y la localizacin geogrfica. El trabajo de Meyer estuvo concentrado en tormentas con duraciones menores de 120 minutos.

Meyer expres la precipitacin por medio de una ecuacin de la siguiente forma:

i=

a (b + d )

(2-5)

Con a y b dependiendo de la localizacin de la estacin y del perodo de retorno. Este tipo de ecuacin haba sido propuesto ha comienzos del siglo, en 1904, por Talbot (Remeneiras, 1974).

Despus de los trabajos realizados por los investigadores mencionados se encuentra el trabajo realizado por Bernard, quien combinando los datos de los trabajos de los dos investigadores obtuvo una serie de mapas que permiten calcular los parmetros de las curvas intensidad frecuencia duracin, ecuacin 2-4, para duraciones iguales o mayores a 2 horas, es importante resaltar que para la obtencin de parmetros Bernard no cont con ningn tipo de informacin entre 2 y 24 horas.

Una de las conclusiones del trabajo de Bernard fue que la relacin entre la intensidad de la lluvia y la duracin de los datos observados se ajustaban mejor a ecuaciones del tipo

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de la ecuacin 2-4, por lo tanto los mapas que present permitan calcular los parmetros a y n en un sitio determinado para un perodo de retorno especfico. En su trabajo Bernard encontr que el exponente n permaneca prcticamente constante en una misma estacin, para los diferentes perodos de retorno, y que variaba muy poco para una mismo sitio y se encontraba alrededor de 0,77. Segn Powell, el exponente n puede ser tomado igual a 0,75 y el valor de a es funcin nicamente del perodo de retorno (Bernard, 1932).

En esta misma poca Sherman propone, al menos para los estudios de precipitaciones mximas que l realiz en Boston, la siguiente ecuacin para el clculo de las precipitaciones mximas (Bernard, 1932):

i=

a (b + t )n

(2-6)

Con el exponente n cercano a 0,70 aplicable a un amplio rango de duraciones de lluvia con una valor mximo de la duracin cercano a las 30 horas.

Adems de los trabajos mencionados, se han realizado gran cantidad de estudios para la determinacin de las curvas intensidad frecuencia duracin. Uno de los ms representativos, fue el realizado por Hershfield, quien desarroll para los Estados Unidos mapas de isoyetas de profundidad de la lluvia para diferentes duraciones y diferentes perodos de retorno, los cuales fueron publicados en el reporte Tcnico No 40 del U.S Weather Bureau en 1961, en este reporte se construyeron 49 mapas con las isoyetas de profundidad de lluvia para duraciones entre 30 y 1440 minutos y perodos de retorno entre 1 y 100 aos. El trabajo de Hershfield fue luego modificado parcialmente por el trabajo conocido como el Hydro 35 en el cual se presentan mapas similares a los del TP40 para algunas zonas de los Estados Unidos para precipitaciones mximas entre 5 y 60 minutos de duracin y perodos de retorno entre 2 y 100 aos,

Dentro del trabajo de Hershfield se recomiendan una serie de relaciones empricas derivadas de informacin disponible para lluvias de corta duracin, de acuerdo con las cuales las precipitaciones mximas (lminas) de una tormenta de d minutos de duracin

13

tiene una relacin constante con la precipitacin mxima de una tormenta de una hora de duracin para el mismo perodo de retorno, es decir Pd/P60=cte. Estas relaciones son de 0,29, 0,45 0,57 y 0,79 para las duraciones de 5, 10, 15 y 30 minutos respectivamente, con errores mximos entre el 5 y el 8% (Raudkivi 1979). En estudios posteriores Hershfield muestra que en realidad estas relaciones tienen gran variabilidad alrededor de la media y, adems, que dichas relaciones no permanecen constantes con el perodo de retorno, pero no descarta la posibilidad de su utilidad desde el punto de vista prctico (Hershfield, 1984).

Adems de los trabajos mencionados anteriormente, existe un sinnmero de trabajos de otros autores tanto en Estados Unidos como en otras partes del Mundo acerca de la estimacin de la precipitaciones mximas con diferentes duraciones, asociadas a diferentes perodos de retorno, sitios donde no se cuenta con informacin. En estos trabajos se ha interpolado la informacin de las estaciones disponibles en mapas, ya sea de las precipitaciones mximas para diferentes perodos de retorno (o intensidades mximas) o de los parmetros de las estaciones, y de esta forma posibilitar el clculo de las intensidades mximas, en sitios donde no se cuenta con informacin disponible.

Trabajos de este tipo se han realizado recientemente en nuestro pas y particularmente en el departamento de Antioquia, como fue el desarrollado para la Secretara de Obras Pblicas del Departamento (Vlez y Smith, 1997). Una de las partes de este trabajo consisti en la elaboracin de las curvas intensidad frecuencia duracin de 69 estaciones distribuidas en todo el Departamento, y en la regionalizacin de los diferentes parmetros para la estimacin de las curvas intensidad frecuencia duracin en la zona en estudio, la cual fue subdivida 17 en sub-zonas,

A pesar de que la metodologa de regionalizacin descrita anteriormente sigue siendo hoy en da muy utilizada para la estimacin de las curvas IDF en sitios en los cuales no se tiene medicin o cuando los perodos de registros son muy cortos, los investigadores tambin se han dado a la tarea de encontrar expresiones que permiten determinar, cuando se tienen pocos aos de registros, la precipitacin asociada a un perodo de retorno determinado a partir de una precipitacin mxima asociada a un perodo de retorno mucho menor, esto para una duracin especfica, o relaciones que permitan

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estimar la precipitacin en sitios donde no se tengan registros muy detallados para la estimacin de las curvas IDF, en funcin de precipitaciones con duraciones ms largas, las cuales son ms fciles de obtener.

Uno de los trabajos relacionados con este tema es el desarrollado por Bell en Generalized rainfall-duration-frecuency relationships (Bell 1969), en el cual se presenta una frmula generalizada para la estimacin de las precipitaciones de corta duracin, menores de 2 horas, que, segn el autor, podran ser aplicadas en muchas regiones del planeta, justificado por el hecho de que los mecanismos fsicos que producen las tormentas cortas son los mismos (Bell, 1969).

En este trabajo Bell muestra que los resultados obtenidos por trabajos de Hershfield de 1961, con respecto a las relaciones constantes mencionadas anteriormente han sido verificadas, por l mismo y por otros autores en diferentes regiones, como en Surfrica, en la antigua Unin Sovitica, Australia y Checoslovaquia, vase Figura 2-2.

Y encontr la siguiente expresin para estas relaciones:

PT PT

d 60

= 0,54d 0, 25 0,50

para 5 d 120

(2-7)

Donde: PTd: Es la precipitacin mxima en un intervalo de tiempo d, en minutos, con un perodo de retorno T aos. PT60 es la precipitacin mxima en un intervalo de tiempo de 60 minutos con un perodo de retorno T aos.

15

Figura 2-2. Relaciones entre la precipitacin mxima en una hora (Abscisas) y las precipitaciones mximas con las duraciones de 5, 15, 30 y 120 minutos (ordenadas), para diferentes perodos de retorno, tomado de Bell, 1969.

Despus de los trabajos de Bell diversos investigadores han verificado la expresin 2-7 para duraciones cortas, tal como puede observarse en el trabajo de Chen (1983) y del trabajo reciente de Varas en la cual se analiza la expresin 2-7 aplicada a diferentes

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zonas de Suramrica; Mendoza, Brasil, Sao Paulo y Chile, y se observan errores mximos del 24% entre los valores calculados para otras zonas y los valores calculados por Bell para duraciones entre 5 y 120 minutos (Varas 2001).

Otro aspecto importante que se menciona en el artculo de Bell es que la relacin que existe entre la lmina de agua de una lluvia de una duracin d para cualquier perodo de retorno, y la lmina de agua de una lluvia de una duracin d y un perodo de retorno de 10 aos es funcin nicamente del perodo de retorno, es decir PTd/ P10d =f(T). Del estudio de Varas puede concluirse que esta observacin se cumple en las diferentes zonas mencionadas en su estudio, y con respecto a la expresin obtenida por Bell para esta relacin, se obtienen diferencias mximas del orden del 11% para perodos de retorno entre 2 y 100 aos.

Lo anterior es muy importante, pues si esto fuera cierto, nicamente sera necesario la distribucin de probabilidades de las precipitaciones con una hora de duracin, y una vez obtenida la lmina de agua, para una hora de duracin, podra estimarse el valor de la precipitacin para otra duracin diferente y para el mismo perodo de retorno y/o para otro perodo de retorno diferente.

Con base en lo anterior Bell obtuvo una expresin general con la cual se podra estimar la lmina de agua para una lluvia de cualquier duracin y cualquier perodo de retorno, en funcin de la lmina de agua para una lluvia con perodo de retorno de 10 aos y una hora de duracin, la cual fue verificada satisfactoriamente en el estudio de Varas.

Diversas relaciones similares a las propuestas por Bell para el estudio de las lluvias intensas y de duraciones cortas se han encontrado en diferentes partes del mundo.

Otro trabajo importante dentro del estudio de las precipitaciones mximas fue el desarrollado por Chen (1983). El trabajo de Chen consisti en el estudio de precipitaciones mximas para rangos de duraciones entre 5 minutos y 24 horas, En Dicho trabajo utiliza para las duraciones cortas, las relaciones constantes entre las precipitaciones con una hora de duracin y las precipitaciones para duraciones ms cortas descritas por Hershfield en el TP 40, mostradas anteriormente.

17

Chen propone una frmula general para el clculo de las precipitaciones mximas en cualquier lugar de los Estados Unidos, en la cual esta puede ser calculada a partir de la relacin entre la precipitacin mxima con una hora de duracin y la precipitacin mxima con 24 horas de duracin, asociadas al mismo perodo de retorno, dicha relacin es independiente del perodo de retorno y de la relacin entre la precipitacin mxima con una hora de duracin y un perodo de retorno de 10 aos y la precipitacin mxima con una hora de duracin y un perodo de retorno de 100 aos. Segn Chen, con este par de relaciones podran ser descritos los patrones geogrficos de variacin de lluvia.

La expresin propuesta por Chen es la siguiente:10 a1 I 1 log 10 2 x T px 1

T Id =

(d + b )

(

)

c

(2-8)

Donde:T Id

: Intensidad (pulg/hr) promedio en una duracin 1 hora y un perodo de retorno de T aos.

10 I1

: Intensidad (pulg/hr) promedio en una duracin d y un perodo de retorno de T aos.

Tp x

: Perodo de retorno para series parciales en aos

Pd100 :Relacin , donde P es la precipitacin mxima (lmina). Pd10 P1T . Los parmetros T P24

a1, b y c son parmetros que dependen nicamente de la relacin

a1, b y c varan entre 4,58 y 40,01, entre 2.84 y 11,52 y entre 0,309 y ,087 y pueden ser estimados grficamente.

Adems de los trabajos mencionados anteriormente existen gran cantidad de estudios relacionados con el tema en los cuales, en la mayora de forma emprica, se busca expresar las curvas IDF en funcin de parmetros fcilmente obtenibles en zonas con

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poca informacin o con informacin muy limitada. Entre otros pueden mencionarse los Trabajos de, Cao (1974), Kothyari y Garde (1992), Froehlich (1995), Botero y Muoz (1997), Vargas y Granados (1998) y Varas y Faras (2000).

De estos trabajos es importante resumir los trabajos de Botero y Muoz (1997) y el de Vargas y Granados (1998), que fueron trabajos desarrollados en Antioquia y Colombia respectivamente.

Adems de la metodologa de regionalizacin de parmetros descrita anteriormente, en el trabajo de Botero y Muoz (1997), para el departamento de Antioquia se utiliz el Mtodo de Lria y Torres, el cual establece que existe una relacin entre el valor medio de las intensidades mximas anuales de una duracin cualquiera y el valor medio anual de las intensidades mximas diarias (24 horas), que es slo funcin de la duracin de la

tormenta, es decir, se cumple la siguiente relacin:

Id = f (d ) I 24escalamiento simple y multiescalamiento.

(2-9)

Como se muestra ms adelante esta relacin puede ser obtenida a partir de las teoras de

Este mtodo supone tambin que existe una relacin entre la intensidad mxima para una lluvia con duracin y perodo de retorno especfico y el valor promedio anual de las precipitaciones mximas para la misma duracin, dicha relacin tiene la siguiente forma:

I d ,T = I d (A + B(LogT

))

(2-10)

Puede observarse que la metodologa anterior coincide prcticamente con la metodologa de Bell, propuesta para lluvias cortas en las cuales el valor medio reemplaza el perodo de retorno de 10 aos utilizado en Bell, y la precipitacin mxima con 1 hora de duracin es reemplazada con la precipitacin mxima diaria, situacin que no parece lo ms aconsejable de acuerdo con los resultados obtenidos en los trabajos de Bell y Chen, (vase Bell 1969 y Chen 1983).

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Se encontraron entonces una serie de expresiones del tipo de la ecuacin (2-10) para las diferentes subregiones, 17 en total, estudiadas en el departamento de Antioquia. Con la aplicacin de esta metodologa se pueden obtener errores mximos hasta del 50 %, incluso en la mismas estaciones utilizadas para obtener la ecuaciones, valores superiores a los obtenidos con la regionalizacin de parmetros, (Vase Botero y Muoz, 1997).

En el estudio de Vargas y Granados, (1998) inicialmente se evala la aplicacin de varas de las metodologas descritas anteriormente en la obtencin de curvas IDF generalizadas en Colombia, de esta evaluacin se concluye que no es satisfactoria la aplicacin de metodologas como la propuesta por Bell y la propuesta por Chen. En dicho estudio se proponen 3 ecuaciones para el clculo de las curvas IDF en Colombia, la cual fue dividida en 5 subregiones, las expresiones son las siguientes:

I =a

Tb d I c 24 d Tb d I Ne c 24 d

(2-11)

I =a

(2-12)

Tb d I = a c I 24 N e PT dDonde: I T N PT

f

(2-13)

:Intensidad mxima (mm/hr) Perodo de retorno (aos) Nmero de das promedio con lluvia en el ao Precipitacin media anual (mm)

a, b, c, d, e

y f parmetros que dependen de la regin, estos parmetros fueron

estimados para cada una de las regiones en las cuales se subdividi el pas.

No obstante la validez de las metodologas descritas anteriormente y su aplicabilidad, desde el punto de vista prctico en muchas regiones del mundo en la obtencin de curvas IDF, se observa que gran parte ellas consisten en mtodos empricos, los cuales como lo

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afirman Burlando y Rosso consisten en procedimientos heursticos, basados en suposiciones an sin probar o suposiciones irreales relacionadas con la estructura espacio- temporal de la lluvia, (1996).

Otra forma con la que se ha tratado de enfrentar el estudio de los eventos de precipitaciones mximas, la cual no se profundiza en este trabajo, es por medio de la utilizacin de modelos estocsticos que representan la lluvia, con los cuales se realizan simulaciones de la precipitacin durante muchos aos y con la gran cantidad de datos generada es posible la construccin de las curvas IDF.

En algunos trabajos recientes se han empleado los conceptos de invarianza de escala para el estudio de las precipitaciones mximas y especficamente en el estudio de las curvas IDF. Dentro de estos trabajos puede mencionarse Rosso and Burlando (1996), Bacchi (1998) y Nguyen V.T.V., Nguyen T.D. and Wang, (1998).

Antes de presentar el resumen algunos de los trabajos realizados, as como la aplicacin de las teoras de escalamiento simple y multiescalamiento en la obtencin de las curvas IDF se expondrn de forma breve y sucinta en el captulo siguiente los conceptos fundamentales de invarianza de escala y de multiescalamiento.

21

3

ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO

3.1

GENERALIDADES.

Una de las preguntas que a lo largo de muchos aos han tratado de resolver la ciencia y la ingeniera es de qu manera pueden trasladarse las observaciones de un fenmeno en una escala determinada a otras escalas diferentes?. Se habla de invarianza de escala o de multiescala cuando es posible establecer algunas relaciones entre las variables de un fenmeno, de tal forma que stas se preserven ante los cambios de escala.

En el caso particular de la precipitacin se tienen dos incgnitas; Cmo es el escalamiento de las precipitaciones mximas en un sitio determinado para aguaceros de diferentes duraciones? (Escalamiento temporal), y cmo es el escalamiento de las precipitaciones mximas para una duracin especfica de un sitio a otro dentro de una misma regin? (Escalamiento espacial).

3.2

ESCALAMIENTO SIMPLE.

Se dice que un fenmeno presenta caractersticas de escalamiento simple para la variable aleatoria I, cuando para el factor de escala (>0) existe una funcin C() de tal forma que se conserve la siguiente relacin (Gupta and Waymire, 1990):

I (d ) = C ( ) I (d )

d

(3-1)

La anterior relacin es definida como escalamiento simple en sentido estricto (Gupta and Waymire, 1990): Donde la letra d encima del signo igual denota igualdad en la funcin de distribucin de probabilidad e indica que la distribucin de probabilidad del fenmeno es invariante con respecto a la escala, I es una variable aleatoria (Intensidad en el caso del estudio de intensidades mximas), d es el parmetro con el cual se escala la variable I

22

Puede mostrarse que la funcin C() necesariamente tiene la siguiente expresin (Gupta and Waymire, 1990):

C ( ) = Donde es cualquier nmero real, llamado exponente caracterstico.

(3-2)

La expresin (3-1) implica que los cuantiles tambin son invariantes con la escala y pueden relacionarse por medio de la siguiente expresin

I q (d ) = I q (d )Donde q es el q-simo cuantil de la variable I

(3-3)

Lo anterior implica una relacin lineal, en el espacio logartmico, entre el parmetro con el cual se escala y el valor de la variable I correspondiente al q-simo cuantil. En la grfica de esta ecuacin para diferentes cuantiles, se obtendr una familia de lneas rectas, en el espacio logartmico, para cada uno de los cuantiles, y la pendiente de esta familia de lneas es constante y es igual a , vase Figura 3-1.1000Tr=5 aos Tr=10 aos Tr=20 aos Tr=50 aos Tr=100 aos Tr=200 aos

Altura de precipitacin (mm)

h5=37.749d0,2715 h20=49,287d0,2715 h200=67,536d0,2715

100

10 1 10 100

Duracin (horas)

Figura 3-1. Precipitaciones mximas en la estacin Bergamo (Escalamiento simple). Tomada de Bacchi, 1998. La ecuacin (3-1) implica tambin, que siempre y cuando los momentos de la variable I existan, stos tambin son invariantes con la escala y se relacionan por medio de la siguiente expresin

23

M r (d ) = nr M r (d )Donde : Mr,() el momento de la variable I de orden r. y

(3-4)

n r = r

(3-5)

A lo anterior se le conoce como escalamiento en sentido amplio y es una propiedad ms dbil (menos rigurosa) que la expresada con la ecuacin (3-1) ya que depende de la existencia de los momentos.

La ecuacin (3-4) indica una relacin lineal entre el parmetro con el cual se escala y cada uno de los diferentes momentos de orden r, en el espacio logartmico.

Es decir, para estimar el momento de cualquier orden y cualquier valor de d, basta con conocer los valores de los momentos para un valor de d especfico y el valor del exponente .

3.3

ESCALAMIENTO MLTIPLE

En la naturaleza se han encontrado diversos fenmenos en los cuales a pesar de conservarse la relacin (3-4) para cada orden de los momentos, no se presenta la relacin lineal entre el orden de los momentos y las diferentes pendientes nr de la expresin 3-4, es decir, no se cumple la expresin (3-5), en la Figura 3-2 se muestra un ejemplo.

24

5

4Escalamiento Simple

3

nr

2

Escalamiento Multiple (Datos observados)

1

0 1 2 3 4 5 6

Orden del momento (r)

Figura 3-2

Funcin de estructura o Alejamiento del escalamiento simple en el crecimiento de la pendiente nr en la ecuacin 3-4 para los caudales para Brandywie Creek, Pennsylvania- Tomada de Gupta and Waymire, 1990.

De acuerdo con lo anterior la expresin (3-4) puede escribirse (Burlando and Rosso 1996):

M r (d ) = l ( r ) r M r (d )Donde: : r: l(r): corresponde al exponente de escalamiento del momento de orden 1 Es el orden del momento

(3-6)

es una funcin que describe el alejamiento de los valores de los exponentes de la expresin 3-4.

Como se mencion, en muchos fenmenos de la naturaleza se han observado estas caractersticas de multiescalamiento. Por ejemplo, en Gupta(1994), se muestra para caudales mximos debidos a fenmenos de lluvias, relaciones de multiescala entre el rea y los caudales mximos, diferente a lo que puede ocurrir cuando se presentan crecientes ocasionadas por deshielos, situacin en la que se presenta escalamiento simple.

Otro fenmeno en el cual se han observado estas caractersticas de multiescalamiento es la variabilidad espacial de la precipitacin, la cual ha sido posible identificar gracias a las mediciones de la precipitacin con instrumentos como los radares y los satlites, (vanse

25

Gupta et al, 1993 y Over et al, 1994), los cuales permiten una medicin prcticamente continua de esta variable.

Burlando and Rosso (1996), reportan que muchos autores han evidenciado la existencia de multiescalamiento en el estudio de eventos extremos de la precipitacin.

En general, el multiescalamiento parece incrementarse en aquellos sistemas fsicos que son gobernados por dinmicas altamente no lineales, como es el caso de la precipitacin, en particular para tormentas de duraciones muy cortas.

El hecho de conocer las propiedades que permanecen invariantes ante los cambios de escala, tiene implicaciones importantes en hidrologa, tanto desde el punto de vista terico como prctico. Un ejemplo de aplicacin prctica se tendra, si la identificacin de estas propiedades de invarianza hicieran posible encontrar relaciones entre las precipitaciones a diferentes escalas temporales, pues sera posible estimar las precipitaciones mximas asociadas a los diferentes perodos de retorno para cortas duraciones con base en el estudio de las precipitaciones diarias.

3.4

CURVAS INTENSIDAD-DURACIN-FRECUENCIA A PARTIR DE LA TEORA DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO.

En el presente trabajo se sigue prcticamente la misma metodologa mostrada en Burlando and Rosso, (1996).

Como se mencion al comienzo de este captulo con la aplicacin de los conceptos de escalamiento simple y escalamiento mltiple se busca, conocer como es el comportamiento de las intensidades mximas ante los cambios de escala, tanto en el sentido temporal como en el sentido espacial.

26

3.4.1 ESCALAMIENTO TEMPORALEn el escalamiento temporal el parmetro con el cual se escala las intensidades mximas es la duracin la lluvia, d. 3.4.1.1 ESCALAMIENTO SIMPLE Si se supone que existe escalamiento simple y, adems, que existen los diferentes momentos, escalamiento simple en sentido amplio, de las ecuaciones (3-4) y (3-5), tomando = (d / d ref ) se obtiene lo siguiente:

M r (d ) = (d / d ref ) r M r (d ref )

(3-7)

y para el momento y la varianza se tiene las siguientes expresiones

E [I d ] = (d / d ref ) E I dref Var [I d ] = (d / d ref2

[ ] ) Var [I ]dref

(3-8) (3-9)

Donde: Id: Idref: : Intensidad mxima para una duracin d Intensidad mxima una duracin de referencia Exponente de escalamiento

De las dos expresiones anteriores puede observarse que el coeficiente de variacin es constante cuando se tiene escalamiento simple.

CV =

Var I def Var [I d ] = 2 E [I d ] E 2 I dref

[ ] [ ]

(3-10)

Con las expresiones anteriores y utilizando la expresin del factor de frecuencia es posible calcular los cuantiles de la intensidad mxima de la siguiente forma:

27

I ( q ,d ) = E [I d ] + K q Var [I d ]Donde Kq es el factor de frecuencia y reemplazando en 3-11, 3-8 y 3-9 se obtiene

(3-11)

I ( q ,d ) = (d / d ref ) E I dref + K q (d / d ref ) 2 Var I dref I ( q ,d ) = (d / d ref ) E I dref (1 + K q CV

[ ]

[ ]

(3-12)

[ ]

)

(3-13)

Puede observarse que para una duracin de referencia la ecuacin 3-13 quedara de la forma de la ecuacin (2-2).

Si lo anterior se cumple es posible calcular las intensidades mximas a partir de un valor de referencia dado, conociendo tanto la funcin de distribucin de los valores extremos y el valor del exponente de escalamiento. El exponente puede estimarse a partir de los valores de precipitaciones mximas observadas para las diferentes duraciones. Este exponente puede calcularse de diferentes formas, una de ellas puede efectuarse calculando los momentos muestrales de diferentes rdenes y realizando, para el momento de orden 1, una regresin lineal entre los logaritmos de la duracin y los logaritmos de los momentos de orden 1.

Como puede observarse de la ecuacin (3-13) para definir el modelo es completamente necesario conocer la funcin de distribucin de los valores extremos de precipitacin. A continuacin se muestra un modelo empleando la distribucin lognormal de dos parmetros.

28

3.4.1.1.1 MODELO LOGNORMAL DE CURVAS IDF (Escalamiento Simple) Si se supone que los valores extremos de la precipitacin siguen una distribucin lognormal de dos parmetros la expresin (3-13) correspondiente al escalamiento simple quedara de la siguiente forma (Burlando and Rosso,1996)

I d ,q = E I dref

[ ]

exp q ln 1 + CV 2 d dref 1 + CV 2

[

(

)]

(3-14)

Donde q es el valor de la distribucin normal acumulada estndar inversa para una probabilidad de no-excedencia q y las dems variables tal como fueron definidas anteriormente.

Dado que para el escalamiento simple el coeficiente de variacin es constante, independiente de la duracin, la ecuacin (3-14) puede tambin ser expresada de la siguiente manera:

I d ,q =

E I dref

[ ]

2 2

E I dref

[

]

E I dref 2 q ln exp 2 E I dref

[ ]

(

)

d dref

(3-15)

3.4.2 ESCALAMIENTO MLTIPLEEs posible, como se vio en el numeral anterior, que para los datos de eventos extremos a pesar de que se cumple con la ecuacin (3-4), la ecuacin (3-5) no se mantiene, es decir, el exponente de escalamiento nr no vara linealmente con el orden de los momentos, vase Figura 3-2.

Los momentos para diferentes escalas se relacionan de acuerdo con la ecuacin (3-6) y los momentos de primer y segundo orden puede expresarse de la siguiente manera:

29

E [I d ] = (d / d ref ) E I dref E I 2 d = (d / d ref ) 2l ( 2)

[ ]

[ ] E [I

(3-16)2 dref

]

(3-17)

reemplazando estos dos momentos en la ecuacin del factor de frecuencia es posible obtener la siguiente expresin

I ( q ,d ) = (d / d ref ) E I dref + K q E I 2 dref (d / d ref ) 2l ( 2) E I dref (d / d ref ) 2l ( 2 )2

[ ]

[

]

([ ]

)

(3-18)

y reorganizado se obtiene:

I ( q ,d ) = (d / d ref ) E I dref 1 + K q E I 2 dref / E I dref (d / d ref ) 2 (l ( 2 ) 1) 12

[ ][

[

] [ ]

]

(3-19)

El valor del exponente puede ser estimado tal como se describi para el escalamiento simple. El valor de l(2) puede ser estimado, a partir de una regresin lineal entre los logaritmos de los momentos de orden 2 y los logaritmos de las diferentes duraciones y estimar de esta forma el exponente n2 y calcular l2=n2 /(2). Como el modelo depende del valor de estimado para el escalamiento simple todas las observaciones relacionadas con este exponente tienen validez tambin para escalamiento mltiple.

3.4.2.1.1 MODELO LOGNORMAL DE CURVAS IDF (multiescalamiento) Si se supone que los valores extremos de la precipitacin siguen una distribucin lognormal de dos parmetros y teniendo en cuenta la relacin que existe entre los momentos de orden r con la media y la varianza, la expresin 3-19 correspondiente al escalamiento mltiple quedara de la siguiente forma (Burlando and Rosso, 1996)

30

I d ,q =

E I dref

[ ]

2 2

E I dref

[

]

E I dref 2 q ln exp E I dref 2

[ ]

[

]

d dref

2 ( l ( 2 ) 1)

d dref

( 2 l ( 2 ))

(3-20)

3.4.3 ESCALAMIENTO ESPACIALComo se mencion anteriormente, adems del escalamiento temporal, es posible observar el escalamiento de las precipitaciones mximas a travs del espacio, es decir, el escalamiento espacial.

En general los modelos de escalamiento espacial son los mismos presentados en el numeral 3.4.1 de escalamiento temporal con la diferencia de que el parmetro de escala ya no es la duracin si no el parmetro que describa mejor la variacin espacial.

Por ejemplo si se supone la precipitacin media anual como parmetro para escalar las intensidades mximas, el modelo de escalamiento espacial mltiple est descrito por la ecuacin 3-20, en la cual el parmetro con el cual se escala ya no es la duracin, sino la precipitacin media anual, se tiene entonces para cada duracin la siguiente expresin.

I d ,q =

E I pref

[ ] exp ] E [I 2 2 pref

q

E I pref 2 ln 2 E I preff

[ ] P [ ] Pr ef

2 ( l ( 2 ) 1)

P Pr ef

( 2 l ( 2 ))

(3-21)

Donde:

E[Ipref]

: Valor esperado de la intensidad mxima para una duracin especfica en el

sitio con el valor de precipitacin promedio anual de referencia. E[Ipref2]

: Valor del momento de orden dos de la intensidad para una duracin especfica

en el sitio con el valor de precipitacin promedio anual de referencia.

31

P

: Precipitacin promedio anual en el sitio que se desea conocer la intensidad mxima

Pref.

: Precipitacin promedio anual de referencia

Simplificando, la ecuacin anterior quedara de la siguiente manera:

I d ,q

2 a a1 exp q ln 22 P 2( l ( 2 ) 1) = a a2 1

( 2l ( 2)) (P )

(3-21)

Los parmetros de la ecuacin (3-21) pueden ser estimados siguiendo el procedimiento descrito en el escalamiento temporal.

3.5

RESUMEN DE ALGUNOS TRABAJOS REALIZADOS APLICANDO LOS CONCEPTOS DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO EN EL ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS DE PRECIPITACIN.

A continuacin se resumen dos trabajos recientes relacionados con la aplicacin de los conceptos de escalamiento a los eventos extremos de precipitacin.

3.5.1 PRECIPITACIONES MXIMAS AL NORTE DE ITALIAEn algunos trabajos recientes realizados en Italia para el anlisis de lluvias intensas se emplean los conceptos de invarianza de escala. Estos trabajos fueron presentados por el Dr. Baldassare Bacchi Director del departamento de Ingeniera Civil de la Universidad de Brescia, durante su estada en Medelln en el mes de julio de 1998 en el curso de actualizacin "El riesgo hidrogeolgico y la proteccin hidrulica de los territorios fuertemente antropizados", Bacchi 1998.

La metodologa empleada fue prcticamente la descrita en los prrafos anteriores para el escalamiento temporal, con la diferencia que en el trabajo presentado por Bacchi se trabaj con alturas (lminas) de precipitacin y no con las intensidades mximas tal como

32

estn propuestas las ecuaciones en el numeral 3.4.1. Para este estudio se trabaj con precipitaciones mximas con duraciones entre 1 hora y 24 horas.

Despus de analizar los datos y realizar algunas pruebas estadsticas, para diferentes distribuciones de probabilidad, se observ un comportamiento de escalamiento simple de la precipitacin, en la mayora de las estaciones, alrededor del 80% de las estaciones.

Teniendo en cuenta que la ecuacin 3-19 puede ser expresada de la siguiente forma

I ( q ,d ) = C1 (d / d ref )

(3-22)

Y utilizando 1 hora como duracin de referencia, para diferentes funciones de probabilidad, se determinaron los valores de los exponentes y de c1 para diferentes estaciones localizadas al norte de Italia.

Una vez se analizaron todas las estaciones se identificaron las diferentes zonas homogneas desde el punto de vista del escalamiento simple, es decir, aquellas que presentaron unos coeficientes de variacin estadsticamente iguales. Los valores de los exponentes y C1 obtenidos para cada estacin fueron interpolados usando tcnicas de Kriging y de esta forma se obtuvieron ,mapas de todo el norte de Italia, en los cuales se muestran los valores de y c1 para cualquier lugar; con estos dos valores, y con la ecuacin (3-22) se puede estimar la precipitacin mxima para una duracin dada asociada a un perodo de retorno.

3.5.2 PRECIPITACIONES MXIMAS EN QUBEC (CANAD)Un estudio similar al anterior fue presentado por. Nguyen, Nguyen, and Wang, 1998. En este estudio se propone la aplicacin de un modelo de escalamiento simple a las precipitaciones mximas entre 5 minutos y 4 das, en 14 estaciones pluviogrficas localizadas en Qubec.

33

Con base en las ecuaciones (3-1) y (3-2) y (3-4) y suponiendo que los valores extremos de precipitacin siguen una distribucin de generalizada de valor extremo (GEV por sus iniciales en ingls) establecieron la relacin existente entre los parmetros calculados, para la funcin de distribucin, para una duracin especfica y los parmetros para cualquier distribucin.

Esta metodologa se resume a continuacin: Los cuantiles de la distribucin GEV pueden ser calculados de la siguiente manera:

Pq = +

1 [ ln (1 q )]

[

]

(3-23)

Donde q es q-simo cuantil , y son los parmetros de localizacin, de escala y forma respectivamente, dichos parmetros, suponiendo escalamiento simple, estn relacionados para dos escalas temporales diferentes de la siguiente manera:

k (d ) = k (d )

(3-24) (3-25) (3-26)

(d ) = (d ) (d ) = (d )Donde y d son el factor de escala y la duracin respectivamente.

De acuerdo con lo anterior es posible calcular las precipitaciones mximas para cualquier duracin a partir de los parmetros de cualquier duracin, siempre y cuando se conozca el valor de , en el caso particular de del estudio de Nguyen and Nguyen and Wang se propone calcular estos parmetros a partir de los registros diarios de precipitacin y el valor de obtenido a partir de la interpolacin de valores de obtenidos en estaciones pluviogrficas cercanas al sitio de inters.

Tal como se mencion al comienzo, la metodologa propuesta fue aplicada a 14 estaciones pluviogrficas en Qubec, encontrndose que los estimativos de las precipitaciones mximas para cortas duraciones son similares a los obtenidos con las tcnicas tradicionales.

34

En las 14 estaciones en las cuales se aplic la metodologa descrita, se observ la existencia de dos regmenes de escalamiento diferentes; uno para duraciones entre 5 y 60 minutos y el otro entre 60 minutos y 45 das.

35

4

RECOPILACIN, PROCESAMIENTO Y ANLISIS DE LA INFORMACIN

4.1

GENERALIDADES DE LA ZONA EN ESTUDIO

4.1.1 LOCALIZACINLa zona del estudio comprende un sector del departamento de Antioquia, vase Figura 4-1, abarca la zona centro-oriental del departamento, un sector de la zona norte, la zona centro (Valle del Aburr) y un sector de la zona centro-occidental.

GOLFO DE URAB

BOLIVAR

COLOMBIASANTANDER CHOC

ESTACIN PLUVIOGRFICA

RISARALDA

CALDAS

ANTIOQUIAFigura 4-1 Localizacin de la zona en estudio.

36

4.1.2 DESCRIPCIN GENERAL DE LA ZONA (CLIMATOLOGA)La zona de estudio es caracterizada por una gran variabilidad climtica, la cual est determinada por gran cantidad de factores dentro de los cuales pueden mencionarse la situacin tropical, la vecindad con los ocanos pacfico y atlntico, la presencia de dos de los tres ramales de la cordillera de los Andes, y la variabilidad de los diferentes procesos de la hidrologa superficial, Vlez, Poveda y Mesa (2000), para ms detalles vase Snow (1976), Mesa, Poveda y Carvajal. (1997) y. Vlez, Poveda y Mesa (2000).

Gran parte de la zona se encuentra en medio de la regin Andina, la cual desde el punto de vista de la subdivisin climtica realizada por Snow, (1976), pertenece a la categora de clima Montaoso. En esta zona se presentan situaciones extremas en cuanto al comportamiento de las precipitaciones se refiere, ya que estn influenciadas en gran parte por la topografa. Se tienen valores de la precipitacin promedio multianual, obtenidos del software Hidrosig, Velz, Poveda y Mesa, (2000), inferiores a los 1.000 mm en sectores como el valle del ro Cauca, la cual es la regin ms seca de la zona hasta, hasta valores superiores a los 5.000 mm en las estribaciones norte de las cordilleras, en la transicin entre la regin andina y la regin caribe, Mesa, Poveda y Carvajal, (1997).

Dentro de la zona en estudio se encuentra tambin parte de la regin Pacfica, costado occidental de la cordillera Occidental cuenca del ro Penderisco-Murr, de acuerdo con Snow, categora hmeda martima. En esta zona se tienen valores promedios de la precipitacin anual que pueden llegar hasta los 9000 mm

4.1.3 RECOPILACIN DE INFORMACINPara el presente estudio se cont con la informacin recopilada en el trabajo hidrologa de Antioquia mencionado anteriormente. Para este proyecto se recopilaron alrededor de 4.500 pluviogramas correspondientes a las tormentas registradas en 69 estaciones del Departamento, 67 de las cuales son propiedad de Las Empresas Pblicas de Medelln y 2 del IDEAM. Para cada una de las estaciones se recopilaron tres tormentas por ao, entre

37

el ao de instalacin de la estacin y el ao de 1995. Cada uno de los pluviogramas fue escaneado y posteriormente digitalizado.

Para el presente trabajo dirigido de grado se tom como informacin base las imgenes de los pluviogramas las cuales fueron digitalizadas nuevamente en su mayora.

La informacin de las precipitaciones obtenidas fue actualizada hasta abril de 1999 con ayuda de los registros continuos de precipitacin disponibles en el rea de Hidrometra de las Empresas Pblicas de Medelln.

Adems de la informacin recopilada para la Hidrologa de Antioquia se dispuso de la informacin de las tormentas de 16 estaciones utilizada por EPM para la estimacin de las curvas IDF, informacin procesada y suministrada por las Empresas Pblicas de Medelln, dichas estaciones estn localizadas en el Valle de Aburr y en el oriente cercano. Para cada uno de estas estaciones se dispuso entre 3 y 8 tormentas por ao, entre el ao de instalacin de la estacin y el ao de 1990, cada tormenta discretizada en intervalos de 5 min.

La informacin de las tormentas obtenidas de EPM fue actualizada hasta el ao de 1999 de dos fuentes diferentes: para el perodo entre 1990 y 1995 se obtuvieron las tormentas mximas procesadas en el estudio elaborado por Crdenas, Marn y Lpez (1995) en el cual se actualiz la informacin de las curvas IDF calculadas por EPM en 1990, en dicho estudio se tomaron 5 tormentas por ao.

Para el perodo entre 1995 y 1999 la informacin fue actualizada con la ayuda de los registros continuos de precipitacin disponibles en el rea de Hidrometra de las Empresas Pblicas de Medelln.

Inicialmente de las 84 estaciones disponibles se seleccionaron aquellas que tuviesen mnimo 20 aos de registros; sin embargo se observ que la mayora de las estaciones disponibles en la vertiente occidental de la cordillera Occidental tenan entre 18 y 19 aos de registros, por lo tanto no fueron descartadas, se observ tambin que las estaciones

38

Cachipay y Farallones, nicas sobre la vertiente oriental de la cordillera occidental tenan 18 aos de registros cada uno y por lo tanto tampoco fueron descartadas.

Finalmente se seleccionaron 61 estaciones que se muestran en la Figura 4-2. En la Tabla 4-1 se muestra un listado de las diferentes estaciones con algunas de sus caractersticas ms representativas y en la Figura 4-3 puede observarse la distribucin del nmero de aos de registros en cada una de las estaciones.

39

GOLFO DE URAB

BOLIVAR

SANTANDER CHOC

RISARALDA

CALDAS

Figura 4-2 Estaciones utilizadas en el estudio.

40

Tabla 4-1 Estaciones utilizadas en este estudio (Tabla4_1.xls)

41

42

14

12

Nmero de estaciones

10

8

6

4

2

0 menor que 20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 mayor que 50

Numero de aos de registros

Figura 4-3. Histograma del nmero de aos con registros en la estaciones utilizadas en el estudio.

4.1.4 PROCESAMIENTO DE LA INFORMACINUna vez recopilada la informacin se hallaron llas precipitaciones mximas. En la Figura 4-4 se muestra un esquema de la forma en que se obtuvieron las precipitaciones mximas para las diferentes duraciones, en cada una de las tormentas.

Precipitacin acumulada

Pj

Pi

Inicio de la tormenta Ti d Ti+d Tj d Tj+d T

Tiempo

Ventana mvil de longitud d

Figura 4-4. Obtencin de la precipitacin mxima para una duracin d, en una tormenta especfica.

43

Como se mencion anteriormente, para el perodo comprendido entre 1995 y 1999 se cuenta con registros continuos de precipitacin por lo tanto, para el clculo de las intensidades mximas, es necesario la separacin de los registros en tormentas independientes. En la literatura se mencionan intervalos entre eventos independientes entre 1 y 4,5 horas (Arnell et al, 1984).

RESTREPO AND EAGLESON (1982) presentan un metodologa para la estimacin del intervalo mnimo entre tormentas independientes donde proponen tambin una relacin que, como lo dicen en ellos, aunque emprica e inexacta, puede ser atractiva en muchas situaciones de diseo en la cual es posible calcular el intervalo mnimo entre tormentas independientes en funcin de la precipitacin media anual (o precipitacin promedio en la estacin lluviosa) y la duracin de la estacin lluviosa, se tiene entonces la siguiente relacin.1.59

m tb0 = 1523 PA m m Donde: tbo mPA m

(4-1)

:Tiempo mnimo entre tormentas independientes en horas : Precipitacin promedio en la estacin lluviosa en mm :Duracin de la estacin lluviosa en meses

Aplicando esta metodologa a la regin en estudio y tomando mPA igual a la precipitacin promedio anual y m igual a 12 meses se tienen valor de tbo que vara entre 1 hora para los sitios ms lluviosos y 10 para los sitios ms secos.

A pesar de lo anterior y teniendo en cuenta la limitaciones en las duraciones de la tormentas analizadas para este trabajo como criterio de intervalo mnimo para la separacin de eventos independientes se adopt Ad hoc un intervalo de 2 horas, como se ver ms adelante esta suposicin no afecta los resultados debido a que se tomaron series de valores mximos anual y no series parciales.

44

Una vez separados los registros continuos en tormentas independientes se estimaron las precipitaciones mximas para cada duracin siguiendo la metodologa descrita anteriormente.

Adicionalmente se obtuvieron las series de precipitaciones mximas diarias para las 61 estaciones.

4.1.5 ANLISIS DE LA INFORMACIN RECOPILADA.A continuacin se mencionan algunos aspectos importantes observados durante las diferentes etapas del estudio relacionados con el anlisis preliminar de la informacin r