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ELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARES
Jaime Eduardo Guzmán Moreno
9524533
UNIVERIDDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACUALTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Bogotá, Septiembre de 2004.
ELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARES
Jaime Eduardo Guzmán Moreno
9524533
Director
Jorge Rodríguez Bejarano
Trabajo de grado como requisito para optar el titulo de licenciado en matemáticas
UNIVERIDDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACUALTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Bogotá, Septiembre de 2004.
ELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARES
INDICE
CAPITULO 1: TITULO. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. ANTE CEDENTES.
METODOLOGIA. OBJETIVOS.
1.1. Titulo 4
1. 2. Problema 4
1. 3. Descripción del problema 4
1. 4. Área problemática. Antecedentes. Investigaciones sobre el uso de la historia
para la enseñanza de la derivada en contextos escolares 8
1. 4. 1. Antecedentes bibliográficos 13
1. 4. 2. Fases de la investigación 14
1. 4. 3. Metodología 19
1.5. Objetivos 20
CAPITULO 2: FUNDAMENTO Y MARCO CONCEPTUAL
2. 1. Introducción 21
2. 2. Enfoque sistémico de la didáctica de las matemáticas 21
2. 2. 1. Funcionamiento del sistema didáctico bajo la óptica de Chevallard 23
2. 2. 2. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado 31
2. 2. 3. Transposición didáctica, epistemología e historia 32
2. 3. Noción de obstáculo en los procesos de enseñanza – aprendizaje de
las matemáticas 34
2. 3. 1. Noción de obstáculo epistemológico en Didáctica de las Matemáticas 38
2. 3. 2. Epistemología y teoría de las situaciones didácticas 41
2. 4. Enfoque epistemológico genético 43
2. 4. 1. Teoría del desarrollo cognitivo 43
2. 4. 2. Pensamiento formal y aprendizaje de las ciencias 45
2. 5. Enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas 47
2. 6. Critica a la epistemología actual, y la teoría de la Ontología histórica de
Michael Foucault 49
2. 7. Problemática curricular 59
1. 7. 1. Concepto de Currículum 59
CAPITULO 3: ANALISIS DEL QUE SOMOS ACTUAL, VISTO DE SDE EL
TRATAMIENTO QUE SE HA DADO DE LA DERIVADA DESPUES D E SU
INCLUSIÓN EN LOS PROGRAMAS OFICIALES.
3. 1. Introducción 62
3. 1. 1. Primer libro de texto destinado a la enseñanza del cálculo 63
3. 1. 2. Los años setenta, variedad de publicaciones y nuevos enfoques 64
3. 1. 3. Los ochentas, continuidad en la concepción utilitarista de la enseñanza
del concepto de derivada 66
3. 1. 4. Los noventas, el sueño de un país nuevo 70
3. 1. 5. Libros de texto usados para la enseñanza del Cálculo después de la
Ley general de educación y los Lineamientos curriculares 75
3. 2. Uso de la historia como apoyo didáctico en el currículo 78
CAPITULO 4: EPISTEMOLOGÍA DEL CONCEPTO DE DERIVADA
4. 1. Introducción 83
4. 2. Concepto de derivada actualmente 85
4. 2. 1. Concepto de derivada asociada al trazado de una recta tangente
a una curva 85
4. 2. 2. Interpretación física de la derivada 88
4. 3. Ontología del concepto derivada 91
CAPITULO5: DESARROLLO HISTORICO DE LAS PRACTICAS Y DISCURSOS
ASOCIADOS AL CONCEPTO DE DERIVADA
5. 1. Introducción 93
5. 2. Pensamiento matemático en la antigüedad 93
5. 2. 1. Problemática alrededor del concepto de continuidad 95
5. 2. 2. Continuidad en la antigüedad 96
5. 3. Noción de infinito en Grecia 97
5. 3. 1. Entre Dionisos y Apolo 98
5. 3. 2. Finito, infinito negativo e infinito positivo 100
5. 3. 3. Lucha dual finito Vs. infinito - infinito positivo Vs. infinito negativo 101
5. 4. Matemática griega 105
5. 4. 1. Pitágoras de Samos (580 – 500 a.C.) 105
5. 4. 2. Escuela Pitagórica 105
5. 4. 3. La sección Áurea 107
5. 4. 4. EUDOXO: Primera aproximación a la idea de límite 108
5. 4. 5. Euclides de Alejandría (s. IV-III a. C.): Separación entre la ciencia
de los números y la ciencia de las magnitudes 110
5. 4. 6. Aristóteles (384/383 – 322 a. C.): paradigma de la ciencia
antigua y medieval 111
5. 4. 7. ARQUÍMEDES (287 – 212 a. C.):
Segunda aproximación a la idea de límite 111
5. 5. Preestadios de la noción de función 117
5. 5. 1. Noción de función en las civilizaciones antiguas 117
5. 5. 2. Babilónicos 118
5. 5. 3. Griegos 123
5. 6. Pensamiento matemático en la Edad Media 123
5. 6. 1. Noción de infinito en la Edad Media 124
5. 6. 2. Neo platonismo 124
5. 6. 3. Cristianismo e infinito 124
5. 6. 4. Escolástica 125
5. 6. 4. Santo Tomás (1225 – 1274) 126
5. 7. Matemáticas del medioevo 126
5. 7. 1. Noción de función en la Edad Media 127
5. 7. 2. Nicolás Oresme (1320-1382) 130
5. 8. Pensamiento matemático en la Edad Moderna 134
5. 8. 1. Pensamiento moderno del infinito 134
5. 8. 3. Nicolás de Cusa (1401 – 1464) 135
5. 8. 4. Infinitismo en las matemáticas modernas 135
5. 8. 5. Rene Descartes (1596 – 1650) 136
5. 8. 6. Baruch Spinoza (1632 – 1677) 137
5. 8. 7. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 137
5. 9. Matemáticas modernas 138
5. 9. 1. Noción de función en los albores de la modernidad: (s. XV y XVI) 138
5. 9. 2. Galileo Galilei (1564-1642) 139
5. 10. La idea de límite en el siglos XVI 140
5. 10. 1.Francoise Viéte (1540 – 1603) 140
5. 10. 2. Ludolph Van Ceulen (1540 – 1610) 142
5. 10. 3. Stevin 142
5. 11. Introducción de la representación analítica. (s. XVII) 144
5. 12. La idea de límite en el s. XVII 147
5. 12. 1. Johannes Kepler (1571 – 1630) 147
5. 12. 2. Bonaventura Cavalieri 149
5. 12. 3. Fermat 150
5. 12. 4. Torricelli 153
5. 12. 5. James Gregory (1638 – 1675) 154
5. 12. 6. Isaac Barrow (1630 – 1677) 155
5. 12. 7. Newton: El primer intento de definición de límite 157
5. 12. 8. Gottfried Wilhem Leibniz (1647 -1716) 159
5. 13. Proceso de creación de las matemáticas variables 160
5. 13. 1. Método de Fluxiones de Newton 161
5. 14. Idea de Límite en el Siglo XVIII 164
5. 14. 1. La familia Bernoulli 164
5. 14. 2. Jacques Bernoulli (1554 – 1705) 165
5. 14. 3. Jean Bernoulli (1667 – 1748) 165
5. 14. 4. D´ Alembert 166
5. 15. El concepto de función se considera central en las matemáticas 168
5. 16. Problemática alrededor del concepto de continuidad incorporado
en las funciones discontinuas o mixtas 172
5. 17. Edad de oro en la matemática 174
5. 17. 1. Los inicios de la aritmetización 175
5. 17. 2. Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857) 175
5. 17. 3. Bolzano (1781 – 1848) 179
5. 17. 4. Dirichlet 179
5. 18. Aritmetización de los procesos infinitos 180
5. 18. 1. Weierstrass: Definición refinada del concepto de límite 181
5. 18. 2. Dedekind 182
CAPITULO 6: OBSTACULOS EPISTEMOLOGICOS PRESENTES EN EL
DESARROLLO HISTORICO DEL CONCEPTO DE DERIVADA
6. 1. Introducción 184
6. 2. Obstáculos de tipo epistemológico 184
CAPITULO 7: DINAMIZACIÓN DE LA HISTORIA CONTADA PAR A CREAR
ELMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LA NESEÑANZA DE LA
DERIVADA
7. 1. Introducción 190
7. 2. Proceso de materialización del concepto de derivada 192
7. 3. Incorporación de la historia al currículo de matemáticas 197
CAPITULO 8: COCLUSIONES
Conclusiones 204
INTRODUCCIÓN
Debido a su carácter modelador y practico, el concepto matemático de derivada se
constituye hoy día en uno de los conceptos más importantes en la escuela, estando
presente en los currículos escolares colombianos desde mediados de los años cincuenta del
siglo pasado. Pese a esto son escasas las investigaciones que sean hecho acerca de su
enseñanza. Más aun, cuando este es un concepto complejo, que por ser una amalgama
complicada de nociones y conceptos matemáticos y no matemáticos, genera muy distintos
niveles de abstracción.
Reiterando lo anteriormente dicho, son difíciles de encontrar investigadores y trabajos
dedicados a estudiar los diversos aspectos relacionados con los procesos de enseñanza -
aprendizaje de dicho concepto. Y más escasas son aun todavía las investigaciones que
abordan la problemática que aquí nos acucia, tal y como es; la ausencia de la historia y la
epistemología de las matemáticas para pensar los procesos usuales de enseñanza del
concepto de derivada.
Para la elaboración de este trabajo se tendrán en cuenta la teoría del funcionamiento del
sistema didáctico de Chevallard, la teoría de los obstáculos epistemológicos de Bachelard,
Brousseau y Sierpinska, y el enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas.
Y como eje fundamental el método historiográfico de Foucault.
La investigación se organizara inicialmente en las generalidades del proyecto (Titulo,
Problema, ...), posteriormente se llevara a cabo una recopilación de los insumos teóricos
necesarios para la misma, enseguida se llevara a cabo una revisión del como se ha venido
enseñando el concepto de derivada, desde el exponente fundamental de la enseñanza
tradicional (el libro de texto), para luego hacer una descripción del objeto derivada hoy día,
el cual en el marco de la presente investigación, permitirá la deconstrucción de dicho
concepto. Posterior a esto se indagara por las practicas y discursos que han estado
asociados a la evolución histórica del concepto de derivada, para luego, identificar los
obstáculo epistemológicos presentes en su devenir histórico, y así relacionándolo con el
uso de la historia en los currículos, proponer elementos de uso de la historia para la
enseñanza de la derivada en contextos escolares.
En el primer capitulo se muestran las imaginaciones que guían esta investigación.
En el segundo capitulo se compilan los insumos teóricos necesarios para el desarrollo de la
presente investigación.
En el tercer capitulo se busca esencialmente hacer patente la ausencia de la historia para
pensar los procesos usuales de enseñanza del concepto de derivada en la escuela.
En el cuarto capitulo a partir de la exposición del como es entendida actualmente la
derivada, se buscara hacer una deconstrucción de dicho concepto por medio de una
descripción antológica del mismo.
En el quinto capitulo, se hará una reconstrucción histórica de los conceptos y nociones que
históricamente dieron lugar al concepto de derivada como es entendido hoy día.
En el sexto capitulo se pondrán en consideración algunos momentos y situaciones en la
evolución histórica de algunos conceptos, asociados al de derivada, que dada su
importancia para la formulación del concepto de derivada, su retrazo o las concepciones
asociadas a ellas se constituyen en un obstáculo epistemológico para la aparición del
concepto que nos ocupa.
En el séptimo capitulo se buscara la articulación de dichas historias alrededor del concepto
de derivada por medio la búsqueda de paralelismos en entre la génesis del concepto de
derivada y los estadios del desarrollo cognitivo planteados por Piaget. Y la ordenación de
dichas historias para su administración curricular.
En el ultimo capitulo, se llegara a algunas conclusiones acerca de la investigación misma,
como también a recomendaciones al respecto del uso de historia como herramienta
didáctica para la enseñanza del concepto de derivada.
BIBLIOGRAFIA
ÁLVAREZ, C. * BARAHONA, C. La continuidad en las ciencias. Ediciones científicas
universitarias. Serie Texto Científico Universitario. Universidad Nacional Autónoma de
México. Fondo de Cultura Económica. México. 2002.
ARISTOTELES. Metafísica. Editorial Gredos. Madrid. 1994.
ARISTOTELES. Física. Editorial Gredos. Madrid. 1995.
AYRES J.R., Frank. Cálculo diferencial e integral, Serie de compendios Schaum,
Mc. Graw – Hill, 1980.
BACHELARD, G. La formación del espíritu científico. B. Aires: S.XXI, 1983.
BEDOYA, Hernando. Lecciones elementales de geometría y calculo quinto y sexto de
Bachillerato. Ed.: Bedout. Medellín. 1966.
BOYER, C. Historía de las matematicas. Alianza Editorial. Madrid. 1986.
CÁLAD, Julio A. Matemática una propuesta curricular. Ed.: Bedout. 1990
CARRO, L. Historia del debate. En: Ley general de educación, Alcances y Perspectivas.
Fundación Social. Área de educación / Tercer Milenio educación para la nueva época.
Colombia. 1996.
CHEVALLARD, Y. Transposición didáctica, Buenos Aires, Aique, 1997.
ESCOLANO, B. (dir.): Historia ilustrada del libro escolar en España del Antiguo
Régimen a la segunda República, Madrid, fundación G. S. Ruipérez / Pirámide, 1997.
FERRATER, J. El infinito: Esquema para una historia de su idea. Universidad Nacional
de Colombia. Revista trimestral de cultura moderna. N° 14. Abril. 1949.
FLAVELL * MILLER . Estadios del desarrollo cognitivo definidos por Piaget. [en línea]
http://www.uv.es/~marcor/Piaget/Estadios.html
FLAVELL, H. Jhon. Psicologías siglo XX, Editorial Paidos, España, 1982
FOUCAULT . <<Nietzsche la Genealogía y la historia>>, La Piqueta, Madrid, 1987.
FOUCAULT , M. Genealogía del racismo, Madrid, La Piqueta, 1992.
FOUCAULT . <<Genealogía del poder>>, Hermenéutica del sujeto, La Piqueta, Madrid,
1987.
FOUCAULT . <<Arqueología del saber>>, La Piqueta, Madrid, 1987.
FOUCAULT , M.: “Why Study Power. The Question of Subject” en Dreyfus, H. and
Rabinow, P. –Michel Foucault, Beyond Structuralism and Hermeneutic with an Afterword
by Michel Foucault, Chicago, University of Chicago Prees, 1982.
GARCÍA, B. Versión Castellana de: Ser, verdad y fundamento. Ensayos, Monte Ávila
Editores, Caracas, 1968.
GIL D. Y DE GUZMÁN, M. , Enseñanza de las ciencias y la matemática. Tendencias e
innovaciones, Madrid, Editorial Popular S.A., 1993.
HERNÁNDEZ, M. * PÉREZ, J. Un currículo para el estudio de la historia de la ciencia
en secundaria (la experiencia del seminario Orotova de historia de la ciencia). [en línea].
En: Historia y epistemología de las ciencias. Enseñanza de las ciencias. 2000. 18 (1). De:
http://www.bib.uab.es/pub/ensenanzadelasciencias/02124521v18n1p105.pdf
HURTADO, Valero Pedro M., MICHEL FOUCAULT (Un proyecto de Ontología
Histórica), Editorial Librería Ágora, S.A., España, 1994.
I.C.F.E.S., Historia general de las ciencia, Seminario de Historia de las ciencias,
Universidad del Valle - Cali, Con la colaboración del Instituto colombiano para el
fomento de la educación superior, Subdirección de fomento, División de fomento
Investigativo, Editora Guadalupe LTDA, Bogotá D.E. - Colombia,1990.
LA TORRE, A. Modelización del espacio y del tiempo. Ed. Universidad de Antioquia.
Ciencia y tecnología. 2003.
LATORRE, H. * SUÁREZ, P. Las matemáticas en la educación básica y media. Acción
pedagógica 12. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Centro de
Investigaciones Científicas y Extensión de la Facultada de Educación – CIEFED. Tunja.
1997.
LARSON, Roland. Cálculo: Undécimo grado, Mc Graw – Hill Latinoamericana, Bogotá,
1989.
LÓPEZ, N. Tendencias actuales del desarrollo curricular en Colombia. Instituto
Tecnologico Metropolitano. Serie los cuadernos de la escuela. Ediciones ITM de la
Tekhne. N° 2 * 1999.
LOSADA, Ricardo. * DE LOSADA, María. * MATEUS, Ricardo. Matemáticas en
acción 6. Ed.: Mc. Graw – Hill Latinoamericana, S.A. Bogotá. Colombia. 1976.
MARTÍNEZ, A. * CORTÉS, J. Diccionario de filosofía Herder. [CD – ROM].
Barcelona. ISBN 84 – 254 – 1991 – 3 ��Empresa Editorial Herder. S. A.
MONDOLFO, R. El infinito en el pensamiento de la antigüedad clásica. Ediciones
Imán. Buenos Aires. 1952.
MORENO, Vladimir. * RESTREPO, Mauricio. Alfa 11 Serie de Matemáticas para
educación básica secundaria y media vocacional. Ed.: Grupo editorial Norma educativo.
2000.
OSSENBACH, G. * SOMOSA, M. Los manuales escolares como fuente para la historia
d la educación en América latina. Universidad Nacional de Educación a Distancia.
Madrid. 2001.
PEÑA, Luis Bernardo. La importancia del libro de texto. Publicado en: El educador
(Bogotá), No.7 , (1986). P.14 –20.
PIAGET, J. Introducción a la Epistemología Genética, Vol.1 El Pensamiento Matemático,
Colección Paidos Psicología Evolutiva, Paidos, México D.F., 1987.
PLATÓN. Diálogos, V, Parménides, Teeteto, Sofista, Político, trad. Esp. Isabel Santa
Cruz, Álvaro Vallejo, Néstor Cordero. Editorial Gredos. Madrid, 1982.
PUPO, A. Manual de procedimiento metodológico y aplicación de técnicas de la
investigación, Universidad Libre, Seccional Cali, 1994.
RADA , Eloy. La polémica Leibniz – Clarke. Editorial Taurus. Madrid, 1980.
REY, P. Historia de la matemática, Editorial Gedisa, Barcelona, España, 1985.
RIVAUD, J. Del cálculo al análisis: Desarrollo del concepto de función. En:
Perspectivas en educación matemática. Centro de investigación y estudios avanzados de
IPN. Departamento de matemática educativa. Grupo editorial Iberoaméricana S. A. de C.
V. México. 1996.
ROMERO, L. * SERRANO, J. Desarrollo histórico del concepto de Límite. Un ensayo
de aplicación del análisis filogenético a la enseñanza. Universidad de Murcia 1994.
RUIZ, L. La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico, Universidad de Jaén.
Servicio de publicaciones e intercambio científico. 1998.
SALINAS, P. y col. Elementos del cálculo – Reconstrucción para el aprendizaje y su
enseñanza. Grupo editorial Iberoamérica, S. A. de C. V. México. 2000.
SANTOS, M. la enseñanza del cálculo – una cuestión de involucramiento, En: Educación
matemática. Vol. 7. N° 1. Abril 1995. p. 100 – 107.
SECRETARIA DE EDUCACIÓN DISTRITAL. [en línea] De:
http://www.redacademica.edu.co/redacad/export/REDACADEMICA/ddirectivos/inspeccio
n__vigilancia/archivos/COMPONENTE_PEDAGOGICO_ED_NO_FORMAL.doc
SPIVACK, M. Calculus, Cálculo infinitesimal. Editorial Reverté, s.a., Barcelona, España,
1975.
THUILLIER , P. De Arquimedes a Einstein, Las caras ocultas de la invención de la
ciencia, Ciencia y tecnología, El libro de bolsillo, Alianza E.d. Madrid, 1990.
TÉLLEZ, J. Claves de lectura y proyección de la nueva Ley general de Educación, En:
Ley general de educación, alcances y perspectivas, Fundación social área de educación /
Tercer Milenio Educación para la nueva época, Colombia, 1994.
VATTIMO, Gianni. Introducción a Nietzsche, Ediciones Península, NeXos, Barcelona,
1990.
VÁZQUEZ, P. Foucault: la historia como crítica de la razón. Ed. Montesinos. España.
1995. p. 16, 17.
VEGA, A. “Saber lo que pasa: lo particular. Apuntes sobre la semejanza entre las
investigaciones filosóficas y las investigaciones estéticas desde Wittgenstein" En: Textos,
N° 4. Revista de la Maestría de Historia y Teoría del Arte y la Arquitectura. Bogotá, 2000.
VEYNE, P. Cómo se escribe la historia. Foucault revoluciona la historia, Alianza
Editorial, Madrid, 1984.
VEYNE, P. “El planeta Foucault”, en: Revista Otras Quijotadas, No. 2, Medellín, 1985, pp.
82 – 83.
WUSSING, H. Lecciones de historia de las matemáticas. Ed. Siglo XXI. España. 1989.
ZULETA , Estanislao, Democracia y participación en Colombia. Revista foro (Bogotá) –
No. 6 (Jun. 1988). – p.103 – 107.
LISTA DE FIGURAS
pág.
Figura 1 85
Figura 2 86
Figura 3 87
Figura 4 87
Figura 5 88
Figura 6 89
Figura 7 107
Figura 8 114
Figura 9 116
Figura 10 132
Figura 11 132
Figura 12 133
Figura 13 143
Figura 14 146
Figura 15 149
Figura 16 152
Figura 17 153
Figura 18 156
Figura 19 173
Figura 20 174
Figura 21 176
Figura 22 178
Figura 23 178
LISTA DE ANEXOS
pág.
Anexo A 210
4
1. TITULO. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. ANTECEDENTES .
METODOLOGIA. OBJETIVOS
1. 1. TITULO
ELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARES
1. 2. PROBLEMA
AUSENCIA DE LA HISTORIA COMO REFERENTE PARA PENSAR LOS
PROCESOS USUALES DE ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE DERIVADA.
1. 3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Para comprender el problema que motiva la presente investigación, es necesario partir de
dos afirmaciones que hace Chevallard en su libro La transposición didáctica, del saber
sabio al saber enseñado, como son; primera, "Todo proyecto social de enseñanza y
aprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de unos
5
contenidos de saberes como contenidos a enseñar"1. Segunda, es la sociedad u entorno la
que al "devenir vieja (desgastada), a través de sus niños, en relación con el saber"2
presiona a la noosfera para que "a falta de poder cambiar a los alumnos, se ... [cambie]...
el saber."3
Ahora bien, que esta tarea recaiga sobre las noosferas se debe a que en el modelo de
Chevallard estas son las instituciones de transposición de los saberes y por tanto tienen la
finalidad de tomar un saber particular de las instituciones de producción de saber, para
hacerlo llegar a las instituciones didácticas a través del proceso de transposición
didáctica. Siendo aquí donde tiene origen el problema a tratar en la presente investigación,
como es la ausencia de la historia para pensar los procesos usuales de enseñanza del
concepto de derivada.
Ya que, cuando "un contenido de saber a enseñar, es designado a ser enseñado sufre a
partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto
para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza."4, siendo - como ya se dijo antes -
las instancias encargadas de procurar tales transformaciones, las noosferas. Las cuales en
el afán de modificar los saberes tomados del saber sabio para hacerlos aptos para ocupar
un lugar entre los objetos de enseñanza y así poder superar la "crisis de enseñanza"5,
"aísla ciertas nociones y propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su
origen, su sentido, su motivación y su empleo"6, teniendo esto como consecuencia, según
indica los Lineamientos curriculares, que sea eliminada completamente la historia de
esos conocimientos, es decir, la sucesión de dificultades y problemas que han provocado
la aparición de los conceptos fundamentales, su uso para plantear nuevos problemas, la
intromisión de técnicas y problemas nacidos de los progresos de otros sectores, el
1 CHEVALLARD, Y. Transposición didáctica, Buenos Aires, Aique, 1997. p. 45. 2 Ibid., p. 36. 3 Ibid., p. 37. 4 Ibid., p. 45. 5 Ibid., p. 37. 6 MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Lineamientos curriculares. Matemáticas. Cooperativa editorial Magisterio. 1998. p. 27
6
rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a equivocaciones, y las innumerables
discusiones al respecto.
De la misma forma, según Chevallard, para el docente las cosas ocurren de otro modo,
ya que el reconocimiento por parte de él, de la "transposición didáctica supone
resquebrajar su participación armoniosa en el funcionamiento didáctico"7 en tanto que;
primero, el sistema didáctico no es el efecto de su voluntad, y segundo, su
funcionamiento supone que la relación ternaria enseñante - alumnos - saber, en cada uno
de sus componentes y lugares determinados a ocupar satisfaga ciertos requerimientos
didácticos específicos. Además, - como ya se ha mencionado antes -, para que la enseñanza
de un determinado elemento de saber sea posible, ese elemento deberá haber sufrido
ciertas transformaciones, que lo harán apto para ser enseñado. Así pues, "El saber - tal -
como - es - enseñado, el saber enseñado, es necesariamente distinto del saber -
inicialmente - designado - como - el - que - debe - ser - enseñado, el saber a enseñar."8
Siendo éste - según Chevallard -, el terrible secreto que esconde el concepto de
transposición didáctica, que es en si una brecha necesaria entre el saber enseñado y el
saber a enseñar.
Ahora bien, que el saber enseñado sea necesariamente distinto al saber inicialmente
designado a ser enseñado, es una clara contradicción con uno de los precepto básico de la
enseñanza, como es; que "para que la enseñanza dada aparezca legitimada, es preciso que
afirme fervorosamente su adecuación con el proyecto que la justifica y que la explícita. [es
decir], El saber enseñado debe aparecer conforme al saber a enseñar."9, lo cual como se
sabe no corresponde al saber que produce la transposición didáctica, ya que como afirma
Chevallard “este es un saber exiliado de sus orígenes y separado de su producción
histórica en la esfera del saber sabio, legitimándose, en tanto saber enseñado, como algo
que no es de ningún tiempo ni de ningún lugar, y no legitimándose mediante el recurso a la
7 CHEVALLARD. Op. cit., p. 16. 8 Ibid., p. 17. 9 Ibid., p. 17.
7
autoridad de un productor, cualquiera que fuere."10. Lo que, puede considerarse, según este
mismo autor, como una aversión de los manuales hacia todo lo que anclaría en una
historia el saber que ellos promueven.
En efecto, desde lo anteriormente dicho, se ve claramente que la transposición didáctica
vista como teoría y como practica del docente, que la historia y la epistemología de la
matemática esta siendo negada para pensar los procesos usuales de enseñanza de las
matemáticas (y por ende cuando se enseña la derivada), debido al uso (desde la teoría de la
transposición didáctica) irresponsable11 de ella. De esto dan también cuenta los
Lineamientos curriculares, cuando al referirse a la transposición didáctica advierten: "Es a
la vez inevitable, necesaria y en un sentido deplorable. Debe mantenerse vigilada."12
En el mismo sentido con respecto a la formación de docentes en matemáticas, en los
Lineamientos Curriculares en la sección "Elementos conceptuales en la formación de
maestros", nuevamente se reconoce la ausencia de la historia y la epistemología de las
matemáticas para pensar su enseñanza, aunque, la afirmación que se hace al respecto no
versa acerca de esta problemática, sino que se hace en el marco de formación de docentes,
diciendo: "el futuro maestro debe recibir una formación intrínsecamente interdisciplinaria
distinta a la que se ha venido realizando ... Así pues, por ejemplo, un curso de cálculo
debe incluir su historia, su epistemología, su didáctica"13, lo cual, si bien no es evidencia
10 Ibid., p. 18. 11"El docente en su clase, el que elabora los programas , el que hace los manuales, cada uno en su ámbito,
instituyen una norma didáctica que tiende a constituir un objeto de enseñanza como distinto del objeto
al que da lugar. De ese modo, ejercen su normatividad, sin asumir la responsabilidad - epistemológica - de
este poder creador de normas. Si esperan, a veces, la aprobación o el rechazo del especialista, sitúan esa
apreciación como algo exterior a su proyecto, y ajeno a su lógica interna. Esta apreciación es considerada
posteriormente o puede acompañar a dicha lógica, pero raramente se integra en ella, por imposibilidad de
tomarla en cuenta en sus implicaciones epistemológicas. Posee valor estético o moral , interviene en la
recepción social del proyecto. No informa de ello a la estructura ni a los contenidos sino de una manera
mimética y en un intento de acreditarlos frente a los poderes institucionalmente investidos." Ibid., p. 45. 12 LINEAMIENTOS. Op. cit., p. 27. 13 Ibid., p. 124.
8
suficiente para afirmar que la enseñanza de la matemática escolar se ha hecho hasta ahora,
sin hacer uso de la historia y la epistemología de la misma, si da a pensar, dentro del
contexto en que se inscribe dicha cita14, que el maestro que se ha venido formando en
las facultades de ciencias y educación colombianas, es un maestro el cual, no hace uso
para la enseñanza de la matemática, de su historia y epistemología, debido principalmente
a que no fue formado en dichas áreas, por tanto, es un maestro que con dificultad puede
"Comprender y asumir los fenómenos de la transposición didáctica"15, que es uno de los
preceptos básicos de las nuevas concepciones acerca de las matemáticas escolares.
En síntesis, la carencia de la historia y la epistemología de las matemáticas para pensar
los procesos usuales de enseñanza de las matemáticas, es un fenómeno, el cual no solo
es puesto a la vista en el presente anteproyecto, sino que ha sido observado por las
Instituciones participantes en encuentros convocados por el grupo de matemáticas para
la construcción de los lineamientos, en sus distintas disertaciones en el ámbito de
referentes curriculares y elementos conceptuales en la formación de maestros, como
también, por teóricos de la transposición didáctica tales como Chevallard.
1. 4. Área problemática. Antecedentes. Investigaciones sobre el uso de la historia para
la enseñanza de la derivada en contextos escolares
Buscando hacer evidente la importancia de aportar algunos elementos de uso de la historia
de las matemáticas para los procesos de enseñanza aprendizaje del concepto de derivada,
en primer lugar, tratare de explicar qué busco con este estudio, el por qué y el como se va
a realizar dicha investigación. El objetivo de emprender un estudio epistemológico -
14 "Hacia una política de formación de maestros" 15 Ibid., p. 29.
9
histórico, es esencialmente el aportar información acerca de la evolución del concepto de
derivada, tratando de identificar las variables y factores condicionantes, es decir, las
discontinuidades que han determinado los distintos estadios de su desarrollo.
Por tanto, atañe al desarrollo mismo de esta investigación, el identificar las situaciones
problemáticas a las cuales las personas involucradas en su avance han dedicado sus
esfuerzos, así como también, los atributos, propiedades, características, el grado de
emergencia y las representaciones simbólicas asociadas al concepto en cuestión. De hecho
es necesario considerar cada momento histórico como definidor de una institución distinta,
un estudio de este tipo puede mejor ser definido como un análisis ecológico, en la
terminología de Chevallard (1989), o en otras palabras, cómo un estudio de la evolución del
concepto de derivada.
Con esta investigación, se pretende primordialmente identificar las concepciones alrededor
del concepto de derivada y de algunos otros conceptos que están en estrecha relación a él, y
que históricamente sean dado como resistentes a su evolución y generalización, y por tanto,
pueden describirse como obstáculos epistemológicos, en la noción de obstáculo
epistemológico de Bachelard (1983). Siendo pues claro el papel que juega este estudio
para la didáctica de las matemáticas, ya que buscará aportar conocimiento relevante para
comprender los factores funcionales del acto mismo de conocer y por ende de los procesos
de enseñanza aprendizaje de este concepto a lo largo de los distintos niveles de enseñanza
y de transposición didáctica correspondientes.
10
A favor del uso didáctico de la historia de las matemáticas para su enseñanza, en la
actualidad, existen trabajos como los de Santos (1995), en donde al referirse a la enseñanza
de la matemática dice;
la mejor percepción de cualquier área del conocimiento, se logra de manera
amplia cuando se tiene también una perspectiva histórica. Las matemáticas no son
la excepción como bien argumenta D.J. Struik [11]. En el caso del Cálculo, por las
razones ya mencionadas en la introducción16, las referencias a la historia se
tornan casi imperativas."17
Colocando esto ultimo en realce, que las referencias a la historia del Cálculo para su
enseñanza deben ser un imperativo, ya que el conocimiento más profundo del saber
designado a ser enseñado por parte del docente, lo faculta para "Comprender y asumir
los fenómenos de la transposición didáctica."18 y por ende, para poder recomponer los
lazos rotos por ella. Más aún, cuando el saber alrededor del cual gira la presente
investigación, teórica y filosóficamente poco ha cambiado en los últimos doscientos años,
según Santos (1995).
16 "el Cálculo es una de las disciplinas tradicionales que más ha preservado su estructura original"..."Sin duda, el reconocimiento casi inmediato de las aplicaciones del Cálculo, y el hecho de que desempeñado un papel dominante como lenguaje cuantitativo de la ciencia en la era moderna, son factores preponderantes de esta realidad tan "conservada. "..."Su misma concepción filosófica parece haberse mantenido igual desde sus inicios" etc.” SANTOS, M. La enseñanza del Cálculo – Una cuestión de involucramiento. En: Educación Matemática. Vol. 7 - N° 7 - Abril 1995 p. 100 - 107. 17Ibid., p. 100 - 107. 18 LINEMIENTOS. Op. cit., p. 29.
11
En lo concerniente al uso de la historia y la epistemología de las matemáticas para pensar
los procesos usuales de enseñanza de la matemática, su uso es adecuado principalmente por
tres motivos:
i. El hacer un uso didáctico de la historia para pensar los procesos usuales de
enseñanza de la matemática brinda la posibilidad al docente de hacer una
presentación dinámica del saber que enseña, pues el conocimiento de algunos
elementos de la historia de la matemática le "permite apreciar cómo sus
desarrollos han estado correlacionados con las circunstancias sociales y
culturales e interconectados con los avances de otras disciplinas”19 a su vez, esto
trae con consigo importantes implicaciones didácticas cómo la posibilidad para
el docente y para el estudiante que viene formándose bajo esta concepción
histórica de la matemática, de "conjeturar acerca de desarrollos futuros,
reflexión sobre limitaciones y alcances en el pasado, apreciación de las
dificultades para la construcción de nuevo conocimiento."20
ii. La visión histórica de la matemática es enriquecedora porque, como se indica
en Los lineamientos curriculares, hace la comprensión de ideas de una forma
significativa, por ejemplo, en lugar de abordar la derivada desde una
perspectiva netamente estructural a la cual se llegó después de casi cuatro siglos
de maduración, se podrían considerar aquellos momentos culminantes en su
desarrollo, logrando con esto, en el campo didáctico “proporcionar
19 Ibid., p. 30. 20 Ibid., p. 30.
12
aproximaciones más intuitivas a este concepto, poner de manifiesto formas
diversas de construcción y de razonamiento, enmarcar temporal y
espacialmente las grandes ideas y problemas junto con su motivación y
precedentes, señalar problemas abiertos de cada época, su evolución y
situación actual.”21
iii. Con el conocimiento de la historia y la epistemología de las matemáticas por
parte del docente y su consecuente uso para la enseñanza de la matemáticas, se
logra transformar "el conocimiento de áridos hechos y destrezas en
conocimiento ansiosa y tesoneramente buscado, constituido por seres humanos
que corren arduos y largos caminos, esto es, la perspectiva histórica conlleva
a concebir la matemática como una ciencia humana por ende no acabada
ni constituida por verdades infalibles, en ocasiones falible pero capaz de
corregir sus errores."22 Más aún, con el conocimiento de algunos elementos
de la historia y la epistemología de la matemática por parte del docente y su
posterior uso para la enseñanza de la derivada, se fomenta en el estudiante,
además, del aprendizaje del saber matemático derivada, el pensamiento
variacional, pues el pensamiento variacional:
presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos fragmentados
y compartimentalizados para ubicarse en el dominio de un campo
conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y
21 Ibid., p. 30. 22 Ibid., p. 30.
13
vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente
situaciones y problemas tanto de la actividad practica del hombre, como
de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se
encuentre como sustrato de ellas.23
Siendo esto ultimo precisamente lo que se busca con una visión histórica del saber
matemático derivada que pudiese ser llevado en alguna ocasión a la escuela como saber
escolar.
1. 4. 1. Antecedentes bibliográficos
En el marco de la consulta bibliográfica que se ha adelantado para la presente
investigación, se han encontrado algunos trabajos que guardan cierta relación con el
problema que nos ocupa. Por un lado están dos monografías de la licenciatura en
matemáticas de la Universidad Nacional como son La derivada desarrollo histórico y
algunas aplicaciones de Vargas Heredia Tito, y Ayuda histórica para el profesor de
matemáticas en el bachillerato: Cálculo de Cuellar Franco, Fanny.
Acerca de estas dos monografías, en líneas generales son un compilado de datos
históricos que tienen como referencia a la derivada, que no presentan ningún aparente
criterio teórico para la selección de los mismos, el cual justifique su inclusión como
23 Ibid., p. 72.
14
herramientas históricas para la enseñanza del Cálculo en contextos escolares. Situación
similar acaece con otra monografía presentada en la Universidad de la Salle aspirando a
obtener el titulo de licenciado; El concepto de derivada.
Sin embargo, y pese a estos tres últimos trabajos, existen dos investigaciones que sin
lugar a dudas pueden ser útiles para la presente investigación, pues aunque no versan
estrictamente sobre el tema que aquí nos concierne, de ellas se puede hacer uso, en primer
lugar; de sus resultados en el área de la educación matemática. Y segundo lugar; de la
metodología y criterios que en ellas se siguen para seleccionar las historias que allí postulan
como útiles para la enseñanza. La primera de dichas investigaciones es la tesis doctoral La
noción de función: Análisis epistemológico y didáctico de Luisa Ruiz Higueras, y la
segunda es el ensayo Desarrollo histórico del concepto de límite de Romero Leocadia
y Serrano José Manuel.
Haciendo frente a la escasez de trabajos que atiendan a la temática que aquí nos concierne,
se tendrán en cuenta para la realización de la presente investigación, estas y otras
disertaciones que guardan cierta afinidad con la historia del concepto de derivada y se
retomaran algunos textos que hablen acerca de la enseñanza del concepto mismo de
derivada o de la construcción de conceptos previos a ella.
1. 4. 2. Fases de la investigación
15
La presente investigación es fundamentalmente de tipo expositivo más que crítico. Pues
aunque en ella se haga uso de la ontología histórica foucaultiana que es una filosofía
crítica construida sobre el concepto contemporáneo de crítica24, esta investigación no
busca esencialmente el mismo objetivo que tiene la filosofía critica de Foucault, como es, el
dictaminar el presente, ni tampoco se llevará a cabo con la misma paciencia y rigor que
este autor imprimió a su obra; como bien reconoce el historiador Veyne (1985), a
propósito del segundo tomo de la Historia de la sexualidad; “Existe gente [refiriéndose a
Foucault] capaces de aprender en cinco años lo que otros aprenden en veinte...”25
Sin embargo, de este método historiográfico se seguirán algunos de sus postulados
básicos al pie de la letra como aquel que versa acerca de la anulación del presente, claro
esta, sin la radicalidad que exige la filosofía crítica, más bien este postulado tendrá el
papel de evidenciar la ausencia de la historia para la enseñanza de la derivada en
contextos escolares, al preguntarse acerca de la práctica que tiene como objeto al objeto
matemático derivada que es enseñado en la escuela como matemática escolar.
Con lo cual en manera alguna se buscará diagnosticar el presente lo que hoy somos, lo
que significa decir lo que decimos, que en términos chevarianos es diagnosticar a la
24El cual es también compartido por Marx, Weber, Nietzsche, Lukacs, Husserl y Heidegger, en tanto que es “una crítica del positivismo, de la tecnificación de la existencia, de la identificación del conocimiento con la ciencia. ... [Es decir] la filosofía consiste hoy necesariamente en preguntarse por la actualidad ... Dicho de otro modo, la tarea crítica de la filosofía se identifica hoy con un diagnostico del presente. ... [Que en si] ... se constituye cada vez más [en] la gran tarea filosófica. ... [en tanto que] ... hoy día el objetivo principal no es descubrir, sino negar lo que somos ... [en aras de] ... construir lo que podríamos ser.” VÁZQUEZ, P. Foucault: la historia como crítica de la razón. Ed. Montesinos. España. 1995. p. 16, 17. 25VEYNE, P. Cómo se escribe la historia. Foucault revoluciona la historia. Alianza Editorial. Madrid. 1985. p. 155.
16
escuela en uno de sus saberes “sensibles”, como evidentemente lo es la derivada. Más,
sin embargo, con ello se pretende dar inicio al proceso de ontología histórica, es decir, se
hará una lectura del cómo se ha venido tratando en la escuela el saber matemático
derivada negando el lo que somos por el tratamiento que damos en la escuela de uno de
nuestros saberes sensibles. Claro esta, y reiterando nuevamente, sin convertirse tal tarea en
la meta de la presente investigación, a cambio de ello en esta investigación se pretende a
través de la reactivación del pasado, al rastrear en la historia del concepto derivada desde
la antigüedad hasta prácticamente el presente, aquellos momentos de ruptura
epistemológica en las prácticas de las cuales él procede.
Así, la tarea consistirá en rastrear en la historia como antropólogo (en la teoría de la
transposición didáctica) o como historiador (en la ontología histórica) haciendo más que
una descripción positivista de la escuela y del tratamiento que allí se ha dado del objeto
matemático derivada, pretendiendo, utilizando términos foucaultianos, tratar la enfermedad,
es decir, el como se ha venido enseñando éste saber matemático.
Ya en un tercer momento, se buscará la anulación del presente el lo que somos hoy por
los saberes y la forma como los enseñamos en nuestras escuelas, sin significar esto que
en la búsqueda de algunos elementos de la historia de la derivada para su enseñanza, se
opte por la creación de una utopía, más bien se elegirá el camino sin fin de las
heterotopias, buscando la verdad que nos constituye desde uno de nuestros saberes
sensibles como es la derivada, al remover nuestro pasado para, como dice Deluze: pensar
el pasado contra el presente en aras de un tiempo futuro. Anhelo este que no es otro
17
diferente al que tiene Chevallard con su crítica de la epistemología actual por el olvido
sobre el que se ha constituido.
No obstante, esto solo se logrará a través de la creación de una ficción que invalide el
lo que somos, por las prácticas presentes y el tratamiento que damos de los saberes que
enseñamos en la escuela, creando así un tiempo futuro. Estando la existencia de tal
ficción supeditada a la terminación de la presente investigación, pues con ella se pretende
dotar de algunos elementos de uso de la historia de la derivada que sirvan a algún docente
como herramientas históricas que den la posibilidad de cambiar desde la práctica
didáctica el lo que somos actual por el tratamiento que damos en la escuela de uno de
nuestros saberes sensibles.
Así, la investigación requerirá esencialmente de cuatro momentos para su desarrollo:
1. Análisis de la enseñanza del concepto de derivada desde los libros de texto.
El estudio de la evolución de la practica de enseñanza del concepto de derivada (currículos
- manuales escolares) es una parte muy significativa de las múltiples facetas de las
relaciones institucionales que se mantienen con dicha noción. El cual nos permitirá
conocer las diferentes condiciones y restricciones del tratamiento dado por el sistema de
enseñanza a dicha noción, así como también nos suministrara información acerca del
tratamiento que es dado en la escuela a uno de sus saberes sensibles tal como es el de
derivada.
18
2. Análisis del concepto de derivada hoy día
El estudio del concepto derivada en su configuración actual tiene la finalidad, para el
presente trabajo, de proporcionar, en principio una visión general del concepto mismo y de
las practicas a las que este es asociado actualmente. Asimismo tiene el carácter de ser el
hecho mismo que la reconstrucción histórica, que aquí se emprende, busca explicar.
3. Análisis epistemológico del concepto de derivada y de algunos sus conceptos
fundamentales.
El estudio de la evolución de la noción de derivada a través de su génesis histórica nos
va a proporcionar una visión profunda acerca de la diversidad de practicas y discursos que
se han suscitado alrededor de ella a lo largo de su desarrollo. Ello, a su vez, servirá de base
para la determinación de los obstáculos de índole epistemológica, es decir, los constitutivos
del propio saber, proporcionando claves para la identificación de las diferentes
concepciones asociadas a dichos obstáculos, presentes en los alumnos.
4. Aportes a la practica de enseñanza del concepto de derivada a partir de la
historia de su desarrollo.
A partir de la identificación de algunos de los obstáculos epistemológicos presentes en la
evolución histórica del concepto de derivada, se buscara con ellos, a través de un uso
19
didáctico de la historia, incorporarlos a la practica de enseñanza como; en primer lugar,
auxiliares a la practica docente; y en segundo lugar, como saberes que presentados al
estudiante podrían ser utilizados por él para superar aquellas concepciones asociadas a
dicho concepto, que en algunas ocasiones se constituyen en obstáculos epistemológicos
para el aprendizaje del concepto de derivada.
1. 4. 3. Metodología
Se trata esencialmente de una investigación de tipo cualitativo - interpretativo, en la
terminología utilizada por Erickson (1984). Para Kirk y Miller (1986), el análisis de los
documentos y rastros físicos que describen la historia de las personas es una categoría de
la investigación cualitativa. Scott por su parte (1988) indica que cuando en lugar de
estudiar directamente a las personas se hace indirectamente a través del análisis de
documentos, se trata de una este investigación es de tipo cualitativa. Asimismo Goetz y
Lecompte (1988) incluyen dentro de los estudios cualitativos la descripción y
reconstrucción analítica de creencias compartidas, prácticas y conocimiento popular de
un grupo de personas en un momento histórico determinado.
El estudio de los diversos documentos será de tipo descriptivo. En términos de Goetz y
Lecompte (1988). Asimismo se hará uso del modelo historiográfico de Foucault expuesto
por Veyne (1985), el cual tiene la cualidad de permitir abordar la estructura teórica y
práctica del hecho matemático derivada, juzgando los diferentes elementos que han
incidido en su procedencia, su desarrollo y la configuración de las principales técnicas,
teorías y conceptos alrededor de él. De la misma forma, éste modelo histórico en el
20
contexto de la presente investigación, permitirá establecer con nitidez el efecto de las
distintas corrientes de pensamiento que se dieron alrededor del objeto matemático derivada,
descubriendo nexos con otras disciplinas y permitiendo responder a problemas
contemporáneos de la profesión de docente y hacer una proyección de la ciencia
matemática.
1. 5. Objetivos
Objetivo general
Identificar elementos de uso didáctico de la historia del concepto de derivada para los
procesos de enseñanza.
Objetivos específicos
• Discriminar cada uno de los objetos matemáticos que constituyen al objeto
matemático derivada
• Identificar historias particulares de cada uno de los objetos matemáticos que
constituyen al objeto matemático derivada.
• Poner de relieve las discontinuidades entre una historia particular de cada objeto
constitutivo del concepto matemático de derivada y la historia de la derivada.
• Crear a partir de la recomposición de una historia particular del objeto
matemático derivada, un ambiente que pueda ser propicio para su enseñanza.
21
2. FUNDAMENTO Y MARCO CONCEPTUAL
2. 1. Introducción
En este capitulo realizare una recopilación de los fundamentos teóricos utilizados para
esta investigación. En primer lugar se analizara la noción de sistema didáctico así como su
diferentes componentes, posteriormente, se estudiara el proceso de transposición didáctica
señalando la influencia que tienen los imperativos debidos a la epistemología y la historia
de los conceptos matemáticos en la Didáctica de las Matemáticas, para luego señalar los
plintos epistemológicos e históricos que se utilizaran para recrear una historia alrededor del
concepto matemático de derivada.
2. 2. Enfoque sistémico de la didáctica de las matemáticas
Desde hace relativamente pocos años y bajo la promoción de eminentes investigadores
tales como Brousseau, Chevallard, Vergnaud, Artigue, entre otros, se ha constituido un
grupo de investigación, que emprendió una reflexión teórica sobre el objeto y los
métodos de investigación específicos en Didáctica de las Matemáticas. Como característica
esencial de esta línea - llamada por su autores <<fundamental>>- puede reconocerse el
interés por establecer un marco teórico original, desarrollando sus propios conceptos y
métodos, así como su concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la
matemática y a las teorías especificas de aprendizaje. Acerca de los modelos que han
desarrollado, estos comprenden dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y tratan
de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber matemático, los
alumnos y el profesor dentro del contexto particular del aula.
22
Una característica notable de este marco teórico, aunque no es original ni exclusiva, es su
consideración de los fenómenos de enseñanza – aprendizaje bajo un enfoque sistémico.
Bajo esta perspectiva, el funcionamiento global de un hecho didáctico no puede ser
explicada por el estudio separado de cada uno de sus componentes. Así la Didáctica de las
Matemáticas se considera como “el estudio de la evolución de las interacciones entre un
saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos de
apropiación de este saber por el sujeto”26. Que no es más que el estudio de un sistema –el
sistema didáctico-.
Según cita Ruiz (1998) de Godino (1992), en Didáctica de las Matemáticas el enfoque
sistémico es visiblemente necesario, como ocurre en general en todas las ciencias sociales,
pues además del sistema de enseñanza de las matemáticas en su conjunto, y de los propios
sistemas conceptuales, hay que estudiar los sistemas didácticos materializados en el aula,
los cuales están constituidos por el profesor, los alumnos y el saber enseñado, así como
las interacciones entre ellos.
Para Chevallard (1991) “Los sistemas didácticos son formaciones que aparecen cada año
hacia el mes de septiembre: en torno a un saber (designado ordinariamente por un
programa); un contrato didáctico se constituye alrededor de un proyecto compartido de
enseñanza y de aprendizaje que agrupa al profesor y a los alumnos en un mismo lugar. El
entorno próximo de un sistema didáctico esta en principio constituido por un sistema de
enseñanza, que reúne el conjunto de sistemas didácticos, y presenta un conjunto
diversificado de dispositivos estructurales que permiten el funcionamiento didáctico.”27.
En el sistema de enseñanza interviene todo un sistema complejo que Chevallard (1991)
llama <<noosfera>> donde confluyen todas aquellas personas que, en la sociedad, piensan
sobre los contenidos y los métodos de enseñanza, influyendo, por tanto, directa o
26 BROUSSEAU, G. Utilidad e interés de la didáctica para un profesor (Segunda parte), citado por RUIZ, Luisa. La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de Jaén. Colección Juan Pérez de Moya. 1998. p. 18. 27 CHEVALLARD. Op. cit., p. 23.
23
indirectamente sobre ella. Así, la finalidad que en el sistema de enseñanza desempeñan las
noosferas o "instituciones de transposición de los saberes"28 es; el tomar un saber
particular de "las instituciones de producción"29 de saber, para hacerlo apto para llegar a
las instituciones didácticas a través del "proceso de transposición didáctica”30.
Según Chevallard (1991) es en la noosfera, donde se desarrollan los problemas que nacen
del encuentro entre la sociedad y sus exigencias, donde se defienden y discuten sus
doctrinas, se conducen las negociaciones y se buscan las soluciones. Existiendo a su
interior una constante producción y debate de ideas, sobre lo que podría cambiarse y
sobre lo que sería necesario hacer-. Sin embargo, él mismo reconoce, los sistemas
didácticos están inmersos en un entorno social, cultural, tecnológico y científico que
influye y condiciona su funcionamiento.
2. 2. 1. Funcionamiento del sistema didáctico bajo la óptica de Chevallard.
Como ya se ha dicho antes, en el sistema de enseñanza interviene todo un sistema complejo
que Chevallard (1991) llama <<noosfera>> donde confluyen todas aquellas personas que,
en la sociedad, piensan sobre los contenidos y los métodos de enseñanza, influyendo, por
tanto, directa o indirectamente sobre ella. Teniendo la finalidad en el sistema de enseñanza
las noosferas o instituciones de transposición de los saberes; la de tomar un saber
particular de las instituciones de producción de saber, para hacerlo apto para llegar a las
instituciones didácticas a través del proceso de transposición didáctica.
Sin embargo, dicho proceso que es adelantado por las noosferas, tiene visibles
consecuencias sobre el saber que es transpuesto con intención didáctica. En general. "El
28Ibid., 158. 29Ibid., 158. 30Ibid., 158.
24
saber - tal - como - es - enseñado, el saber enseñado, es necesariamente distinto del saber -
inicialmente - designado - como - el - que - debe - ser - enseñado, el saber a enseñar."31 .
Que si bien, debe y tiene que ser una característica del saber designado a enseñar: "Para
que la enseñanza de un determinado elemento de saber sea meramente posible, ese
elemento deberá haber sufrido ciertas deformaciones, que lo harán apto para ser
enseñado. Este es el terrible secreto que el concepto de transposición didáctica pone en
peligro"32. Que involucra al docente en dos tipos de dificultades. La primera; de
legitimidad epistemológica (acerca del saber que él enseña y que los manuales
promueven), y la segunda; de legitimidad ontológica, ya que es inevitable que el saber
designado a ser enseñado sea distinto del saber que es enseñado en la escuela como
matemática escolar.
Chevallard (1991) en su trabajo La transposición Didáctica: del saber sabio al saber
enseñado, siendo conciente de tal contrariedad, ahonda en las implicaciones epistemologías
y ontológicas que tiene sobre el saber y por ende sobre la cultura las distintas formas de
manipulación que se hace del saber. Ya que es de la opinión que la producción, enseñanza
y transmisión del saber tiene un carácter preeminente en la construcción de la sociedad.
31 Ibid., p. 17. 32 Ibid., p. 17.
25
En esta obra Chevallard iniciando tal empresa, ubica a la didáctica de las matemáticas en
el campo de la antropología33, siguiendo este esquema:
Puesto que la didáctica de la matemática, "no sale de la nada: es el efecto de un retraso
histórico; el vástago tardío y aislado desde el inicio, de la empresa antropológica"34, ubica
su habitad en el Continente Antropológico. Siendo su objeto Lo didáctico. Luego, sobre
el mapa del Continente Antropológico sitúa un sub-continente al cual llama Antropología
cognitiva, acerca del cual dice; que éste está constituido por sujetos (X), objetos(O),
instituciones (I), relaciones de sujetos con objetos R(X,O), relaciones de instituciones
con objetos Ri(O) y también, génesis, cambios y evoluciones.
Concibiendo al sub-continente de la Antropología cognitiva como un sistema vivo.
"Existe [...] una vida del conocimiento y de los objetos - que son necesariamente,
ontológicamente, objetos de conocimiento."35.
"Puesto que lo didáctico habita en todas partes en la materia antropológica, [...] Es
preciso aprender a verlo, puesto que la cultura no nos ayuda para nada en ese sentido:
la "sensibilidad didáctica" es aquí la esencia de un oficio nuevo, él de Antropólogo
didáctico"36.
33 Siguiendo el modelo de ontología histórica de Michael Foucault, el cual más adelante se presentara. 34 Ibid., p. 147. 35 Ibid., p. 149. 36 Ibid., p. 150.
26
Oficio éste que según Chevallard da ocasión en el seno de la Antropología cognitiva, a la
Didáctica cognitiva, que es donde el Antropólogo didáctico siente Lo didáctico, es decir,
la intención didáctica, precisamente37. Si bien, para Chevallard esto no es suficiente en su
propósito de definir el campo de la didáctica de la matemática, por ello, define en el
mismo estrato de la Didáctica cognitiva a la Antropología de los saberes o la
Antropología epistemología, en donde habitan los saberes, que no son más, que hipóstasis
improbables38. Y que a su vez son "un tipo de objetos que sirven para designar,
correlativamente, en el campo de la antropología, el espacio de una Antropología de los
saberes"39 o Epistemología.
Ahora bien esta Epistemología o Antropología de los saberes está constituida por la
relaciones institucionales con un saber determinado, o lo que Chevallard llama Ri(S)
(problemática de I en relación con S). Reconociendo cuatro grandes tipos de
problemáticas relativas a S como son:
1. Problemática de utilización (en el caso de un ingeniero que utiliza la matemática).
2. Problemática de enseñanza (cuando I manipula a S para enseñarlo).
3. Problemática de manipulación de S para producir el saber S.
37"Existe lo didáctico cuando un sujeto Y tiene la intención de hacer que nazca o que cambie, de cierta manera , la relación de un sujeto X con un objeto O." Ibid., p.150. 38 "La cuestión de su existencia no está jamás enteramente asegurada, es siempre discutible y también un espacio de conflictos." Ibid., p.152. 39 Ibid., 153.
27
Acerca de estas tres primeras problemáticas relativas a S, Chevallard cree que la
epistemología tal como existe actualmente se ha "consagrado hasta ahora con pasión al
estudio casi excluyente de la producción de saberes y al estudio de sus productores; [...]
olvidado tanto su utilización como su enseñanza. Sin embargo, éstas no pueden ser
expulsadas de un estudio antropológico de los saberes"40. Por ello define que en el cruce
entre la Antropología de los saberes y la Antropología didáctica del conocimiento, se
sitúa la Antropología didáctica de los saberes o Didáctica "Cuyo objeto es la
manipulación de los saberes con intención didáctica y, en particular, la enseñanza de los
saberes."41.
Inmediatamente de haber equiparado la Antropología didáctica de los saberes con la
Didáctica y a haber definido su objeto, recuerda al lector que "una de las más sólidas
lecciones provistas por la didáctica [tradicional] es que la enseñanza de un saber, más
ampliamente, su manipulación didáctica en general, no puede comprenderse en muchos
de sus aspectos si se ignoran sus utilizaciones y su producción [Además] Desde el punto
de vista de la antropología, un saber se presenta como una totalidad, cuyos diferentes
momentos son igualmente vitales"42. Lo cual da lugar, a que este mismo autor, a partir de
la critica al "olvido sobre el que se ha construido la epistemología actual"43
antropoligize a la epistemología, diciendo que este olvido no es más que un hecho cuya
40 Ibid., 155. 41 Ibid., 155. 42 Ibid., 158. 43 Ibid., 156.
28
explicación corresponde a la antropología de los saberes"44 pues ésta es la que debe
estudiar el efecto que tiene sobre la cultura la forma de tratar a los saberes. Cuando
valoriza y prioriza su producción. Mientras que su utilización permanece opaca, ignorada.
Su enseñanza, más visible culturalmente que su utilización, es sin embargo subestimada,
considerada como una empresa contingente y un mal necesario.
Dando esto ultimo, obvias luces acerca la intención de Chevallard con su modelo
antropológico, que no es más, que a través de una nueva concepción de la epistemología,
superar "el enclaustramiento cultural de los saberes en la esfera de su producción, al que
la epistemología contribuye, no permitiendo sino con dificultad que las instituciones en
las que esas prácticas sociales se desarrollan, identifiquen o reconozcan sus necesidades
de saberes, su naturaleza y grado. En este aspecto, al ubicarse de entrada en un punto que
la epistemología tradicional descuida porque la cultura lo ignora, la antropología
didáctica de los saberes - la didáctica- produce un nuevo sonido, que la teoría de la
transposición didáctica amplifica."45.
Por ello y con miras a dicho propósito, Chevallard caracteriza al antropólogo didáctico
como quien abra de dilucidar la pregunta "¿de dónde provienen los saberes presente
en una institución dada?"46, ya que él reconoce que "en la mayor parte de los casos,
especialmente en los de instituciones "utilizadoras" [...] Los saberes allí presentes son
claramente exógenos. Viven en la institución a través de los agentes de ésta, que han
44 Ibid., 156. 45 Ibid., 156.
29
debido formarse en la institución para adecuar a ella sus gestos. Estos agentes deberán
continuar su formación, formarse con arreglo a nuevos saberes, formar a otras
personas"47. Estando tal formación a cargo de lo que Chevallard denomina las escuelas
profesionales, que no son otras que las instituciones, que las instituciones utilizadoras
han suscitado en su entorno más o menos próximo para exclusivamente estar
"consagradas a la enseñanza de los saberes requeridos"48 definiéndose precisamente en
esta relación la pertinencia epistemológica de un saber a enseñar.
Pero no solamente ésta es la tarea del antropólogo didáctico, a él también corresponde
contestar los interrogantes: ¿de dónde provienen los saberes enseñados? y ¿Cómo llegan
ahora hasta las instituciones didácticas?, a estas preguntas Chevallard tiene como
respuesta, que provienen de las instituciones de producción y que llegan a las instituciones
didácticas a través del proceso de transposición didáctica, el cual dentro de la antropología
de los saberes da lugar al cuarto tipo de manipulación del saber, la manipulación
transpositiva, teniendo ésta lugar, como ya se dijo antes, en las noosferas, que son las
instituciones de transposición de los saberes.
Sobre este punto, nuevamente Chevallard muestra su preocupación acerca del estudio que
debe hacerse de los efectos que tiene sobre la sociedad, las manipulaciones del saber ya
que para él los procesos transpositivos son "el resorte esencial de la vida de los
46 Ibid., 157. 47 Ibid., 157. 48 Ibid., 157.
30
saberes"49, en tanto que ayudan a su diseminación y funcionalidad adecuadas. Recalcando
además, que "nunca se subrayaría lo suficiente en ese sentido hasta que punto la
manipulación transpositiva de los saberes es una condición sine qua num del
funcionamiento de nuestras sociedades, cuyo descuido, particularmente en provecho de
la pura producción de saber puede ser criminal" 50.
Sintetizando hasta este cuarto tipo de manipulación del saber, es evidente como así lo
muestra Chevallard, que cada una de ellas abandona o deja de lado la historia del
saber que es utilizado, enseñado, producido o transpuesto según sea el caso, y cómo de
una u otra forma los saberes y su enseñanza tienen un papel crucial en la formación de
nuestras sociedades, por ello es importante saber qué lugar ocupan estos en la
"antropología (didáctica) de los saberes"51 y en la antropología.
Con vista a esto Chevallard introduce el concepto de escuela general, que precede a la
escuela profesional en tanto que el saber que allí se imparte es anterior al saber
profesional, pues es evidente que "no se accede directamente a un saber, sin otra
formación [...] Ningún sistema de formación lo permite. Todos suponen una cierta
homogeneidad de sus públicos; y esa homogeneidad relativa debe ser creada por una
formación previa. Ese es el objetivo esencial de toda enseñanza general.”52.
49 Ibid., 158. 50 Ibid., 159. 51 Ibid., 159. 52 Ibid., 159.
31
De la misma forma, esta enseñanza se distingue de la profesional por su mayor
visibilidad cultural y en principio por la pertinencia cultural de los saberes que allí se
imparten, que son saberes enseñados de bajo perfil, careciendo casi siempre, como
sostiene Chevallard, de legitimidad epistemológica, adolecen del carácter de saber
autentico que le brinda su credibilidad. Por tal razón, la educación general no debe ser
una cuestión que le ataña "a una institución particular - la de una "profesión", por
ejemplo - sino a la sociedad en su conjunto; o al menos, en un momento dado de su
historia, a todo cuanto para ella es importante. La escuela no se autoriza a si misma, y
menos todavía el docente. [...] La sociedad está con ella (y con él) o bien contra ellos.”53.
2. 2. 2. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado.
El término transposición didáctica denota el conjunto de transformaciones que sufre un
saber sabio con el fin de ser enseñado54. Siendo - como ya se dijo antes - la instancia
encargada de procurar tales transformaciones, la noosfera. La cual en el afán de
modificar los saberes tomados del saber sabio, para hacerlos aptos para ocupar un lugar
entre los objetos de enseñanza, y así poder superar la "crisis de enseñanza"55, "aísla
ciertas nociones y propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su origen,
su sentido, su motivación y su empleo"56. Como consecuencia, “esta presentación elimina
completamente la historia de los saberes, es decir, la sucesión de dificultades y preguntas
53 Ibid., 164. 54 Cuando "un contenido de saber a enseñar, es designado a ser enseñado sufre a partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza.". Ibid., p. 45. 55 "Todo proyecto social de enseñanza y aprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de unos contenidos de saberes como contenidos a enseñar" (Ibid. p.36) y es la sociedad u entorno la que al "devenir vieja (desgastada), a través de sus niños, en relación con el saber" (Ibid. p.36) presiona a la noosfera para que "a falta de poder cambiar a los alumnos, se ... [cambie] ... el saber.”. Ibid., p. 37. 56M.E.N. Lineamientos. Op. cit., p. 27.
32
que han provocado la aparición de los conceptos fundamentales, su empleo para tantear
nuevos problemas, la introducción de técnicas y cuestiones nacidas de los progresos de
otros sectores, el rechazo de ciertos puntos de vista que han resultado falsos o
inadecuados y las innumerables discusiones que han ocasionado. Esta presentación
enmascara el verdadero funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar, para poner
en su lugar una génesis ficticia."57.
Sin embargo, según Chevallard (1991), "Para que la enseñanza de un determinado
elemento de saber sea meramente posible, ese elemento deberá haber sufrido ciertas
deformaciones, que lo harán apto para ser enseñado. ... [Siendo] ... Este es el terrible
secreto que el concepto de transposición didáctica pone en peligro"58. Y que - según él -,
es la brecha necesaria entre el saber sabio y el saber enseñado que es puesta al
descubierto por el concepto de transposición didáctica, y que a su ves, se constituye en
su primera herramienta para lograr el paso del saber sabio al enseñado.
“La existencia de estas transformaciones es un hecho conocido aunque aún muy poco
estudiado”59.
2. 2. 3. Transposición didáctica, epistemología e historia
Para Ruiz (1998) el estudio de la génesis de los conceptos constituye un método muy
fecundo en la Didáctica de las Matemáticas, donde no se plantea el reintroducir el método
histórico en la enseñanza, pero sí estudiar los procesos que han seguido los conceptos
matemáticos en su formación y desarrollo, los mecanismos de producción de estos saberes,
es decir, conocer las características de la actividad matemática.
57BROUSSEAU, Op. cit. p. 283, citadazo por RUIZ, Op. cit., p. 41. 58CHEVALLARD, Op. cit., p. 17. 59 ARSAC, G. La trasnposición didactique en Mathématiques, en phisique, et en Biologie, citado por RUIZ, Op. cit. p. 21.
33
A propósito de la necesidad que tiene el didacta de hacer un estudio epistemológico,
Artigue (1989) dice que radica en:
En un primer nivel el análisis epistemológico es necesario para el didacta puesto
que le ayuda a poner distancia y bajo control las <<representaciones
epistemológicas>> de las matemáticas inducidas por la enseñanza.
-ayudando a dar una historicidad a los conceptos matemáticos que la enseñanza
usual tiende a presentar como objetos universales tanto en el espacio como en el
tiempo.
-ayudando a dar igualmente una historicidad a nociones metamatemáticas que la
enseñanza usual cultiva con la ficción de un rigor eterno y perfecto en las
matemáticas.60
Precisamente, según anota Ruiz (1998), el estudio de la transposición didáctica tiene como
uno de sus objetivos poner de manifiesto todas las anteriores diferencias aspirando con
ello que el didacta tome conciencia de la distancia que separa la economía de los dos
sistemas: el sistema científico y el sistema de enseñanza. De la misma forma, el análisis
epistemológico permite también a la Didáctica “desprenderse de la ilusión de
transparencia de los objetos del saber que ella manipula, ayudando, con ello, al didacta a
liberarse de las representaciones epistemológicas erróneas que tiende a introducir su
practica de enseñanza”61.
De hecho, según Ruiz (1998), la epistemología se injiere asimismo de un modo muy
decisivo en la configuración de los elementos constitutivos de la significación de un
determinado concepto, analizando los diferentes sentidos con los que ha podido aparecer
y su adaptación más o menos eficiente a la resolución de distintos problemas.
60 ARTIGUE, M. Epistemologie et Didactique, citado por RUIZ, Op. cit., p. 41. 61 Ibid., p. 42.
34
Un análisis epistemológico de una establecida noción conducirá así, a la determinación
de toda una serie de concepciones históricas atadas a la misma, permitiendo ello, según
Artigue (1989), poner en evidencia:
toda la pluralidad de puntos de vista posibles que históricamente han estado
asociados, diferenciar las representaciones y modos de tratamiento que le han sido
asociados y observar su adaptación más o menos buena a la resolución de tal o
cual clase de problemas. ... Ayudará también al didacta a luchar contra la ilusión
de transparencia de la comunicación didáctica inducida por los modos empiristas
del aprendizaje, permitiéndole diferenciar el saber que la enseñanza quiere
transmitir y los conocimientos efectivamente construidos por los alumnos62.
2. 3. Noción de obstáculo en los procesos de enseñanza – aprendizaje de las
matemáticas.
Uno de los objetivos que apremia actualmente a la investigación en Didáctica de las
matemáticas es investigar las dificultades y los fracasos en la enseñanza. Intentando con
ello responder a las preguntas: ¿qué hay detrás de los errores de los alumnos?, ¿qué
tipo de errores se han de investigar?, ¿cuáles son los errores que tienen una importancia
significativa en una determinada población?.
Según cita Ruiz (1998) de Rico (1992):
Al cometer un error, el alumno expresa el carácter incompleto de su conocimiento,
... Los errores forman parte de las producciones de los alumnos durante su
aprendizaje de las Matemáticas. Los errores son datos objetivos que encontramos
62 Ibid., p. 42.
35
permanentemente en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas;
constituyen un elemento estable de dichos procesos.63
Pese a esto, no todos los errores han de investigarse, la Didáctica de las Matemáticas se
preocupa principalmente por aquellos que sus expresiones no son accidentales, sino
repetidas y resistentes y cuyo origen puede escapar al sujeto. En este caso se hablará de
obstáculo cognitivo.
Acerca de la naturaleza de los obstáculos que impiden al sujeto o al investigador un
conocimiento de las leyes que gobiernan los fenómenos naturales, esta fue planteada por
vez primera en la Instauratio Magna de Francis Bacon, quien se propuso elaborar una
critica de los diversos obstáculos, demostraciones y doctrinas y filosofías que impiden el
conocimiento de la naturaleza. Gaitán (1991). No obstante, la noción de obstáculo
epistemológico o cognitivo se debe a G. Bachelard. Quien al plantear el problema del
conocimiento en términos de obstáculos, quiso más que referirse propiamente a
obstáculos externos, tales como la complejidad de los fenómenos, la debilidad de los
sentidos o del espíritu humano, afirmar que en el acto mismo de conocer aparecen, por
necesidad funcional, entorpecimientos y confusiones. Lo cual “lleva a señalar que siempre
se conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal
adquiridos; a la base de esta idea, se encuentra una concepción de la ciencia como algo
que pertenece a lo construido, como una progresividad esencial que rompe con las
determinaciones de la experiencia cotidiana y de la utilidad.”64.
Más, sin embargo, la introducción de la noción de obstáculo en Didáctica de la
matemática se debe a Brousseau: “El error no solamente es efecto de la ignorancia, de la
incertidumbre, del azar, según se creía en las teorías empiristas o conductistas del
aprendizaje; sino el efecto de un conocimiento anterior, que tuvo su interés, su éxito, y que
63 RICO, L. Investigación sobre errores de aprendizaje en Educación Matemática, citado por RUIZ, Op. cit. p. 26. 64 GAITAN, C. Observaciones sobre la génesis de la noción de obstáculo epistemológico. En: Revista Facultad de Ciencias, Universidad Javeriana de Bogotá. Vol. 1 No. 4, 1991. p. 23.
36
ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son fortuitos e
imprevisibles, se constituyen en obstáculos”65.
Analizando esta definición, según Ruiz (1998), se perfilan las características
fundamentales de todo obstáculo cognitivo:
- se trata siempre de un conocimiento y no de una ausencia de conocimiento;
-este conocimiento permite al alumno producir respuestas correctas en
determinados problemas o dominios de problemas;
-este mismo conocimiento engendra respuestas erróneas para ciertos problemas o
dominios de problemas;
-los errores producidos no son esporádicos sino muy persistentes;
-este tipo de errores producidos es muy resistente a la corrección. 66
Los obstáculos que se presentan en nuestros alumnos, según Brousseau (1983), pueden
ser debidos a distintas causas, es decir, su origen puede ser diferente:
-de origen ontogenético: Son debidos a las limitaciones del sujeto en un momento
de su desarrollo, es decir, están ligados al desarrollo de las capacidades cognitivas
de los alumnos en su proceso de aprendizaje.
-de origen didáctico: Están ligados al sistema de enseñanza en que se encuentran
inmersos nuestros alumnos. Son debidos a las decisiones del sistema educativo o
a las del profesor en el aula. Resultan, pues, de las elecciones didácticas hechas
para establecer la situación de enseñanza.
65 BROUSSEAU, G. Les obstacles épistémologiques et les problemes en Mathématique, citado por RUIZ, Op. cit., p. 27. 66 RUIZ, Op., cit. p. 28.
37
-de origen epistemológico: Están ligados al conocimiento mismo . Se pueden
encontrar en la evolución histórica de los propios conceptos matemáticos, por lo
tanto deben ser considerados como parte del significado del concepto.67.
Según anota Brousseau (1983) en su teoría sobre los obstáculos en la Didáctica de las
Matemáticas, los alumnos poseen concepciones de una determinada noción que en algunas
ocasiones se revelan falsas, insuficientes, ineficaces o simplemente inadaptadas para la
solución de una situación problema, provocando errores repetitivos y resistentes. Estas
concepciones pueden hacer obstáculo a la emergencia de una nueva concepción.
El rechazo de una concepción y la adopción de una nueva no se hace por una
simple explicación del maestro, ... sino cuando el alumno se enfrenta a
situaciones especificas donde la nueva concepción aparece bien como solución
necesaria y única, bien como solución más económica, más segura, mejor
adaptada, óptima para su resolución.68
Para ello, según Ruiz (1998), es preciso que el alumno se encuentre ante un autentico
conflicto cognitivo y se produzca un salto informacional. Este decretara la existencia de
un obstáculo epistemológico poniendo de manifiesto los limites de una concepción
antigua.
Según las aportaciones de Artigue (1989), se pueden determinar diferentes procesos que,
tanto en historia de las matemáticas como en nuestros alumnos, se constituyen en
productores de obstáculos:
-la generalización abusiva: se manifiesta, por ejemplo, en ciertos errores de
nuestros alumnos cuando aplican propiedades de N a Q: entre 1,4 y 1,5 no existe
ningún numero;
67 Ibid., p.28.
38
-la regularización formal abusiva: Se identifica en los errores que presentan
los alumnos, tales como:
-la fijación sobre una contextualización o una modelización familiares: Lo
encontramos, por ejemplo, en la enseñanza cuando, de modo exclusivo, se
identifican las fracciones con el fraccionamiento de la unidad;
-la amalgama de nociones sobre un soporte común: es frecuente encontrarlo
en contextos geométricos, por ejemplo, los relativos a las medias de longitudes y
áreas: si el área de una superficie permanece constante, el perímetro también;
Si bien es verdad que estos procesos tiene consecuencias que pueden generar
obstáculos no podemos por ello atacar a los procesos en sí mismos ya que son
parte integrante del funcionamiento normal de la matemática ... y han sido
profundamente productivos en su evolución histórica.69
2. 3. 1. Noción de obstáculo epistemológico en Didáctica de las Matemáticas.
Para Ruiz (1998), el dispositivo de adquisición y evolución del conocimiento, tanto a nivel
cultural como personal, implican una constante interacción con los conocimientos
anteriores, sometiéndolos a examen, modificándolos o, incluso rechazándolos, hasta llegar
a formar conocimientos nuevos. “El mecanismo de adquisición de conocimientos, puede
aplicarse tanto a la epistemología o historia de las ciencias, como al aprendizaje o la
68 EL BOUAIZZAUI, H. Conceptions des eleves et des professeurs á propos de la notion de continuité d´une fonction, citado por RUIZ, Op. cit., p. 28. 69 ARTIGUE, M. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 28, 29.
39
enseñanza. Tanto en un caso como en el otro, la noción de obstáculo es fundamental para
plantear el problema del conocimiento científico.”70
Según afirma Ruiz (1998) hay una serie de investigadores que utilizan el análisis
epistemológico histórico, estableciendo concepciones y obstáculos ligados al desarrollo de
una noción matemática, como una herramienta para el análisis didáctico de las
concepciones y obstáculos que se pueden presentar en los alumnos. Entre los cuales
destaca a: Brousseau (1983), Sierpinska (1985,1989, 1992), Artigue (1984), Janvier y René
de Cotret (1989).
Así para Ruiz (1998), los obstáculos reconocidos en la génesis histórica de un concepto
son obstáculos epistemológicos: “tiene su origen en la propia constitución del
conocimiento. Se les puede encontrar en la propia historia del concepto.”71
Según cita Ruiz (1998) de Sierpinska (1992) se pueden distinguir varios niveles en el
origen de los obstáculos epistemológicos:
-nivel de actitudes, creencias y convicciones de nuestra visión del mundo: Este
tipo de conocimiento es explicito o explicable. Lo podemos siempre comunicar a
los demás, por ejemplo, cuando decimos afirmaciones tales como: las matemáticas
son el lenguaje de la ciencia. Pero esta clase de afirmaciones no exige ningún tipo
de justificación sino que más bien están autorizadas por la tradición o el sentido
común: es algo que todo el mundo reconoce.
-nivel de esquemas de pensamiento: Este tipo de conocimiento se usa, en su
mayor parte de forma inconsciente; está determinado por las diferentes formas
con las que podemos aproximarnos a la resolución de un problema, por la
manera de interpretar situaciones, por todo aquello que hemos aprendido en la
practica en el transcurso de nuestra socialización y educación.
70 BROUSSEAU, G. Op. cit., Los obstáculos epistemológicos y los problemas de las matemáticas, citado por RUIZ. Op. cit., p. 42.
40
-nivel de conocimiento técnico: Está formado por conocimientos explícitos,
lógicamente justificados, necesarios en diferentes profesionales; las personas que
lo poseen están asociadas, generalmente por un factor común, como puede ser
pertenecer a una misma profesión o a un mismo grupo social. 72
Según este mismo autor, citado por Ruiz, estos tres niveles no son independientes, los
diferentes enfoques técnicos con los que buscamos dar solución a un determinado
problema, pueden explicarse por los conocimientos que tenemos a nivel de nuestras
creencias o a nivel de esquemas de pensamiento, y dado el caso, nuestro conocimiento
técnico, en un cierto momento, puede mudar nuestras creencias e incluso, nuestros
esquemas de pensamiento.
“Si nuestras creencias son falsas creencias, y nuestros esquemas de pensamiento son
inconsistentes, pueden, muy bien, funcionar como obstáculos para nuestro pensamiento
en un nivel técnico.”73
Por ejemplo, según Ruiz (1998), la creencia de los matemáticos griegos y, principalmente
de los pitagóricos, en la inconmensurabilidad de todas las magnitudes geométricas se
constituyó en un obstáculo para el desarrollo de los números irracionales. La manifestación
de los obstáculos se hace a través de los errores que producen, pero estos errores no son
en ningún caso adjudicadles al azar, sino que son reproductibles y perseverantes durante
largo tiempo.
“Si un obstáculo no es propio de una sola persona, sino que es mucho más general ya que
puede estar presente en una cierta cultura durante algún período de tiempo, entonces se
llama obstáculo epistemológico”74. Convirtiéndose así la noción de obstáculo
epistemológico, en un útil primordial para plantear el problema del conocimiento
71 Ibid., p. 42. 72 SIERPINSKA, A. Un understanding the notion of function, citado por RUIZ. Op. cit., p. 43. 73 Ibid., p. 43. 74 SIERPINSKA, A. Op. cit., citado por RUIZ. OP. cit. p. 44.
41
científico. Y asimismo la noción de obstáculo epistemológico se convierte, luego, en un útil
concreto para el análisis de la matemática como ciencia en evolución.
No obstante según asevera Ruiz (1998) los obstáculos epistemológicos no se pueden
enumerar o precisar de un vez por todas. Ciertas ideas, ciertos esquemas pueden, a veces,
funcionar como obstáculos, o bien, pueden ser fuente de obstáculos en el desarrollo del
pensamiento científico, pero no se pueden considerar como obstáculos en el sentido
absoluto.
2. 3. 2. Epistemología y teoría de las situaciones didácticas
Según Artigue (1990), al didacta compete la construcción del conocimiento matemático
dentro de un medio constituido para este fin, por las noosferas. En este sentido, el se
enfrenta a un problema de elaboración (de tipo ingeniero - didáctica), donde su campo es el
análisis del génesis del conocimiento, por distinguirlo del génesis histórico, que a menudo
es calificado de génesis artificiales.
Ciertamente, según nos muestra la teoría de la transposición didáctica, las contradicciones
que gobiernan estos génesis no son idénticas a aquellas que han gobernado su génesis
histórica, pero este último permanece sin embargo, para el didáctico, como un punto de
anclaje del análisis didáctico, una clase de peñón de observación, del cual se sirve cuando
se preocupa por analizar un proceso de enseñanza dado.
Esto, por una razón evidente; como ya se ha dicho antes, puesto que los problemas que han
motivado la introducción de este u otro concepto, así como aquellos que han gobernado su
evolución, se constituyen, en si mismos como parte de la significación del concepto, el
didacta, mediante su análisis, esta necesariamente enfrentado a este problema de la
significación del concepto.
42
Mas allá del análisis conceptual, la epistemología, según Artigue (1990), interviene a este
nivel, sobre un plan más general porque aquello que dirige la enseñanza de las
matemáticas, no es simplemente la transmisión de conocimientos matemáticos, es mas
globalmente la transmisión de una cultura. Se ocupa de hacer entrar a los estudiantes
dentro del juego matemático. Pero, ¿qué es el juego matemático? ¿Cuáles son los procesos
generales de pensamiento que lo rigen? Es el análisis epistemológico (no necesariamente
histórico a este nivel, aun si la aproximación histórica permite entender el aspecto
necesariamente histórico o espacial de esta cultura) el que esta encabezando lo concerniente
a estas preguntas.
Ella propone al didacta, un cierto número de preguntas globales y fundamentales para guiar
la producción de ingenierías didácticas como el análisis de la enseñanza usual:
• ¿Qué transponer dentro de la enseñanza de los constituyentes de esta cultura y de sus
interrelaciones?
• ¿Existe una transposición mínima o un conjunto de transposiciones mínimas a respetar
para no desnaturalizar el sentido de esta cultura?
• ¿Es posible? ¿Bajo que condiciones?
• ¿En que pueden o deben las transposiciones depender de los públicos a los cuales se
dirige la enseñanza?
• ¿Cuáles son los inconvenientes que presentan sobre las transposiciones actuales?
¿Cuáles son sus efectos?
Dentro de esta perspectiva, según Artigue (1990) el trabajo del didacta no solo se limita a
integrar estas cuestiones de naturaleza epistemológica a su actividad. Este consiste además
en construir los campos teóricos permitiendo el trabajo sobre tales cuestiones y la
capitalización de las experiencias didácticas.
43
En mi opinión, la teoría de los obstáculos epistemológicos elaborada por G. Brousseau y
algunos de los aportes de la epistemología genética de Piaget, son justamente las
construcciones que responden a esas necesidades.
2. 4. Enfoque epistemológico genético.
Si bien, algunos de sus postulados iniciales han sido ampliamente cuestionados por las
investigaciones posteriores, la teoría de Piaget del desarrollo evolutivo constituye hoy día
un punto de referencia imprescindible para entender el desarrollo evolutivo y su influencia
en los límites del aprendizaje. En este apartado se revisan los elementos fundamentales de
esta influyente teoría.
2. 4. 1. Teoría del desarrollo cognitivo
Piaget concibe el desarrollo evolutivo como un proceso dinámico que pasa por diversos
estados de equilibrio. El desarrollo se origina en gran parte por la actividad del sujeto y
debido a su interacción con el medio que le rodea mediante dos mecanismos: acomodación
y asimilación. La asimilación implica la inclusión en la estructura cognitiva de los sujetos
de elementos externos ajenos a la misma. La acomodación implica una modificación de los
elementos existentes.
Según Piaget, cada una de las etapas por las que se pasa durante el desarrollo evolutivo está
caracterizada por determinados rasgos y capacidades. Cada etapa incluye a las anteriores y
se alcanza en torno a unas determinadas edades más o menos similares para todos los
sujetos normales. Piaget definió una secuencia de cuatro estadios o grandes periodos por los
que en su opinión todos los seres humanos atravesamos en nuestro desarrollo cognitivo. En
cada uno de esos periodos, nuestras operaciones mentales adquieren una estructura
44
diferente que determina como vemos el mundo. Precisamente, como fruto de sus
observaciones detalladas sobre el desarrollo del niño, Piaget había observado que:
• a) en todos los seres se dan unos cambios universales a lo largo del desarrollo
cognitivo, unos (por decirlo así) momentos claramente distintos en el desarrollo, y
que
• b) esos cambios están relacionados con la manera en que el ser humano entiende el
mundo que le rodea en cada uno de esos momentos.
A esos distintos momentos en el desarrollo es a lo que Piaget denomina estadios de
pensamiento o estadios evolutivos. En la siguiente tabla, Flavell, Miller y Miller (1993)
resumen los cuatro estadios de desarrollo cognitivo definidos por Piaget:75
PERIODO EDAD DESCRIPCION
Sensoriomotor 0-2 Los bebes entienden el mundo a través de su acción sobre el. Sus acciones
motoras reflejan los esquemas sensoriomotores - patrones generalizados
de acciones para entender el mundo, como el reflejo de succión.
Gradualmente los esquemas se van diferenciando entre si e integrando en
otros esquemas, hasta que al final de este periodo los bebes ya pueden
formar representaciones mentales de la realidad externa.
Preoperacional 2-7 Los niños pueden utilizar representaciones (imágenes mentales, dibujos,
palabras, gestos) mas que solo acciones motoras para pensar sobre los
objetos y los acontecimientos. El pensamiento es ahora mas rápido, mas
flexible y eficiente y mas compartido socialmente. El pensamiento esta
limitado por el egocentrismo, la focalización en los estados preceptúales,
el apoyo en las apariencias mas que en las realidades subyacentes, y por la
rigidez (falta de reversibilidad).
Operaciones 7-11 Los niños adquieren operaciones - sistemas de acciones mentales internas
75FLAVELL * MILLER. Estadios del desarrollo cognitivo definidos por Piaget. [en línea] http://www.uv.es/~marcor/Piaget/Estadios.html
45
Concretas que subyacen al pensamiento lógico. Estas operaciones reversibles y
organizadas permiten a los niños superar las limitaciones del pensamiento
preoperacional. Se adquieren en este periodo conceptos como el de
conservación, inclusión de clases, adopción de perspectiva. Las
Operaciones pueden aplicarse solo a objetos concretos-presentes o
mentalmente representados.
Operaciones
Formales
11-15 Las operaciones mentales pueden aplicarse a lo posible e hipotético
además de a lo real, al futuro así como al presente, y a afirmaciones o
proposiciones puramente verbales o lógicas. Los adolescentes adquieren el
pensamiento científico, con su razonamiento hipotético-deductivo, y el
razonamiento lógico con su razonamiento interporposicional. Pueden
entender ya conceptos muy abstractos.
Tabla 1.
Si bien las edades son aproximadas, y pueden darse diferencias considerables entre las
edades de cada estadio entre niños de distintas culturas. Piaget defiende que la secuencia
es absolutamente invariable. Ningún estadio se puede saltar y el niño va pasando por cada
uno de ellos en el mismo orden. Cada estadio subsume estructuralmente al anterior, lo
presupone; es por esto que no se pueden dar alteraciones de la secuencia.
Acerca de la etapa de las operaciones formales, esta etapa constituye el último peldaño en
el desarrollo evolutivo. Por su interés para el aprendizaje de las ciencias conviene analizarla
con más detalle.
2. 4. 2. Pensamiento formal y aprendizaje de las ciencias.
El último de los estadios identificados por Piaget, el ajustado a las operaciones formales, se
caracteriza por unas destrezas que tienen especial relación con procesos de pensamiento
habituales en la ciencia. Esta etapa corresponde a los alumnos adolescentes y a la edad
46
adulta. Las particulares que definen el pensamiento formal pueden clasificarse en
funcionales y estructurales. Las primeras se refieren a los enfoques y estrategias para
abordar los problemas y tareas, mientras los rasgos estructurales se refieren a estructuras
lógicas que sirven para formalizar el pensamiento de los sujetos (Carretero, 1980, p. 3).
A continuación se detallan las características funcionales del estadio de las operaciones
formales tal como fueron propuestas inicialmente por Piaget:
• Lo real se concibe como un subconjunto de lo posible: a diferencia de los sujetos
que están todavía en el estadio de las operaciones concretas, los que han alcanzado
el estadio formal pueden concebir otras situaciones distintas de las reales cuando
abordan las tareas a que son sometidos. Por tanto, son capaces de obtener todas las
relaciones posibles entre un conjunto de elementos.
• Carácter hipotético deductivo: la hipótesis es el instrumento intelectual que se
utiliza para entender las relaciones entre elementos. Ello es así porque muchas de
las relaciones que el sujeto concibe no han sido comprobadas. Los sujetos estarían
capacitados para comprobar estas hipótesis mediante las deducciones
correspondientes y ello podría hacerse con varias hipótesis a la vez, de manera
simultánea o sucesiva.
• Carácter proposicional: las hipótesis se expresan mediante afirmaciones y lo sujetos
pueden razonar sobre estas afirmaciones mediante el uso de la disyunción, la
implicación, la exclusión y otras operaciones lógicas. Mientras los sujetos en el
estadio de las operaciones concretas realizarían estas operaciones directamente a
partir de los datos de la realidad, los sujetos formales convierten los datos en
proposiciones y actúan sobre ellas.
Las características estructurales que definen el estadio de las operaciones formales son
las siguientes:
47
• La combinatoria: las posibles combinaciones de unos elementos determinados
constituyen una estructura que representa la capacidad de los sujetos para concebir
todas las relaciones posibles entre los elementos de un problema.
• El grupo de las cuatro transformaciones: esta estructura representa la capacidad de
los sujetos formales para operar simultáneamente con la identidad, la negación, la
reciprocidad y la correlación. Estas operaciones formarían una estructura de
conjunto, ya que cualquiera de ellas puede expresarse como una combinación de las
restantes.
La propuesta inicial de Inhelder y Piaget añadía unas suposiciones adicionales sobre el
desarrollo del pensamiento formal que son relevantes para el aprendizaje de las ciencias
(Pozo y Carretero, 1987, p. 37):
• El pensamiento formal es cualitativamente distinto de las operaciones concretas.
• El pensamiento formal se desarrolla de modo espontáneo y sería universal. Este tipo
de pensamiento estaría generalizado a partir de los 14 o 15 años.
El pensamiento formal sería uniforme y homogéneo y permitiría resolver todo tipo de
tareas con independencia del contenido de las mismas.
2. 5. Enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas
El enfoque que se tiene como apoyo para el aprendizaje de las Matemáticas es el
constructivismo. Bustos (1994) puntualiza el constructivismo desde tres niveles:
• Constructivismo Epistemológico: en este el sujeto conoce las manifestaciones
del objeto, mediante una construcción que surge de la interacción sujeto – objeto.
En este nivel la realidad es una especie de límite matemático que el sujeto busca
apropiar para que se constituya en una realidad conocida, una ESTRUCTURA.
48
• Constructivismo Psicológico: en este el sujeto construye el objeto de
conocimiento, haciéndolo significativo gracias a la ACCIÓN – REFLEXIÓN.
• Constructivismo Didáctico: en este la interacción sujeto – objeto en un proceso de
aprendizaje parte de las estructuras previas del sujeto, de manera que mediante
situaciones desequilibrantes cree relaciones, transforme y obtenga generalidades
para construir modelos. La didáctica tiene en cuenta tanto el desarrollo del sujeto
tanto la evolución del objeto de conocimiento, así como también las
particularidades del ambiente y del docente que orienta la interacción.
Dado que el ser humano construye acciones, operaciones y conceptos. Vale la pena
definir cada uno de estos conceptos en el seno de esta teoría. Según Bustos (1994) las
acciones son formas de obrar como respuesta a una demanda del medio, por tanto son
conscientes y tiene una intencionalidad, una transformación que se puede captar por los
sentidos, tiene una construcción interna que es comprensible; en tal sentido no son
simples habilidades y de ellas se deriva todo el conocimiento pues sobre ellas se
piensa, se instauran en esquemas y posteriormente se formalizan en estructuras.
Los esquemas de acción son conjuntos de acciones que se acopian como un todo con
estructura propia, se pueden reproducir y aplicar a situaciones nuevas. El acopio
acumulativo de esquemas de acción conforma el saber actuar; si bien ese saber actuar
se puede y debe aprender por razón de situaciones problemáticas que le propone el
medio y le conducen a actuar.
La construcción de operaciones atañe a un acto inteligente de abstracción a partir de las
acciones y los esquemas de acción, de tal forma que consigue movilidad en relación con
sus elementos, con la disponibilidad pronta y segura en el repertorio de los esquemas de
acción. La operación es la conciencia de la abstracción, que se caracteriza por su
movilidad, por no ser acabada, por ser asociativa y reversible.
La construcción de los conceptos concierne a los momentos de concreción de un proceso
y tienen características fundamentales o dimensiones que permiten diferenciar unos de
49
otros, le son relevantes e inherentes y lo describen exhaustivamente. Dentro de un
modelo de red, como el de Zubiria (1992), el concepto corresponde a un nudo que
constituye un utensilio para conocer el mundo; en esta forma el concepto se materializa
en un resultado aunque lo trasciende y así se constituye en un útil para conocer el
mundo.
2. 6. Critica a la epistemología actual, y la teoría de la Ontología histórica de Michael
Foucault.
En desarrollo de la critica que hace Chevallard a la epistemología actual y a la enseñanza
actual, este autor deja entre ver cierta simpatía por los planteamientos post-estructuralistas,
en particular los de Foucault76 y su teoría de la Ontología histórica, en la que con aires
genealógicos nietzscheanos se busca "diagnosticar, y diagnosticar el presente, decir lo
que hoy somos, lo que significa decir lo que decimos"77. Que en la teoría de la
transposición didáctica tiene su equivalente en el diagnosticar a la escuela
Porque la Escuela es ante todo una vitrina de la sociedad, en la que ésta expone
sus saberes "sensibles"; un habitad con una ecología particularmente,
prioritariamente organizada en torno a ellos y que, contra los modernos
adoradores de la Escuela - centrada - en - el - niño, nos recuerda que los individuos
somos antes que nada seres sociales y por ende "escolentes."78
De ahí que la figura del historiador a la que apela Foucault desde su teoría y Chevallard
que inspira la suya en la primera, pretenda en cada una, ser un sujeto sobre el que recaiga
una tarea que estará:
76Para ver un esquema del funcionamiento del sistema didáctico según Chevallard (1991), revisar anexo 1 77HURTADO, V. M., MICHEL FOUCAULT (Un proyecto de Ontología Histórica). Editorial Librería Ágora. S.A. España. 1994. p.14. 78 CHEVALLARD, Y. Op. cit., p. 166.
50
más próxima al tratamiento de enfermedades que a la descripción positivista de
hechos. [...Siendo...] útil esta reflexión en tanto que nos conduce a descubrir lo
que somos, no para que nos contemplemos de manera narcisista en la imagen
recreada, sino para que, descubiertas las estrategias que nos han producido,
rompamos nuestra legitimidad ontológica y se haga posible el paso a formas
inéditas de ser.79
La teoría critica del presente que somos foucaultiana, se establece en pura praxis, en
tanto que ésta, está encaminada a convertir lo actual en caducado por el acto mismo de
pensarlo (ser actual), siendo además en términos nietzscheanos una ontología genealógica,
una batalla donde "escribir es luchar, resistir, [...], devenir", voluntad de verdad, voluntad
de poder.”80 Más Foucault no espera que de esta anulación del presente, emerja la
creación de una utopía, que sea medida de nuestros parámetros y meta de la acción
transformadora. Más que ello, "el historiador genealógico, conocedor de que todo
programa definido para un futuro equivale a la legitimación previa del presente aún no
llegado, rehuye las teorías instauradoras de totalidad y elige el camino sin fin de las
heterotopias."81 Luego el modelo bélico de Foucault, donde saber y poder se articulan
en el seno de las practicas sociales, <<la ontología de nuestras practicas sociales y por
79FOUCAULT, M. <<El sujeto y el poder>>, citado por HURTADO, Michel Foucault (un proyecto de Ontología Historica). Editorial Librería Ágora. S.A. España. 1994. p. 14. 80 DELUZE, G. Foucault, citado por HURTADO, Op. cit. p. 14. 81 HURTADO, Op. cit. p. 14.
51
ende nuestro ser presente>> buscará la verdad que nos constituye, removiendo nuestro
pasado.
Para esto, el historiador genealógico debe pensar el pasado contra el presente como
afirma Deluze, en aras de un tiempo futuro, o lo que es lo mismo "convirtiendo al
pasado en algo activo y presente a fuera para que por fin surja algo nuevo."82 Que
sería el objetivo supremo de Chevallard en su critica de la epistemología actual y su forma
de tratar las problemáticas relativas a S.
Por otra parte, como señala Hurtado (1994) "La empresa de la genealogía es, por tanto,
Historia y política al mismo tiempo"83, pues se hace política con la verdad que se
investiga. Dejando esto ultimo ver que el proyecto histórico foucaultiano, es ajeno a la
búsqueda desinteresada de la verdad. Pues éste proyecto de genealogía histórica no es más
ya, una reconstrucción objetiva de la realidad, porque (de siempre) el historiador ejerce
el poder de controlar y administrar el pasado bajo la aséptica apariencia del investigador
científico. Luego, para Foucault la historia será praxis que implica efectos de poder, pues
al presentar con presunta imparcialidad y fidelidad a nuestra verdad pasada, establece y
crea nuestra verdad presente84. Con lo dicho hasta este punto, se ve un poco más claro por
que Chevallard en su teoría sistémica de la didáctica de las matemáticas considera que el
descuido de los procesos de transposición de los saberes en provecho de la pura producción
de saber, es criminal.
82DELUZE, G. Op. cit., citado por HURTADO. Op. Cit., p. 15. 83Hurtado, Op. cit., p. 15.
52
Ahora bien, puesto que voluntad de saber y voluntad de poder se articulan en la filosofía
de Foucault, al tomar éste de Nietzsche que:
la moral ha inventado valores para la utilidad de la vida; pero con ello,
pretendiendo imponer valores fundados en la << verdad >>, ha ocultado desde
siempre el sentido mismo de las posiciones de valor, o sea, su arraigo en la
voluntad de poder de individuos y grupos. [...] todo es voluntad de poder. 85
Y como obviamente Chevallard es consiente de tal relación, no resta más que preguntar en
perspectiva chevariana, ¿hacia donde van nuestras sociedades con el tratamiento actual de
los saberes?. La respuesta a este interrogante pide ser dada desde el objetivo mismo de
esta genealogía histórica, como es dictaminar el estado actual del qué somos, creando así
como respuesta a esta pregunta no más que una ficción que invalide el lo que somos para
crear un tiempo futuro. Tal cosa en primera instancia se da desde la escritura de
ficciones que visto desde la óptica de Hermeneutica del sujeto es escribir lo real en
cuanto que todo lo real es construcción y todo es real en el enunciado.
Dando inicio teóricamente a este proyecto, es legitimo equiparar los conceptos "verdad"
nietzcheano y "autenticidad" chevallariano pues, por lo mencionado antes, juntos remiten a
84FOUCAULT, M. Genealogía del racismo, parafraseado por HURTADO. Op. cit. p.16. 85 VATTIMO, G. Introducción a Nietzsche. Ediciones Península. NeXos. Barcelona. 1990. p. 115.
53
la voluntad de poder de un individuo o grupo, llámese cultura o sociedad, además tal
sinonimia también es común en el concepto corriente de verdad.86
Hecho este introito, ahora si se está en posibilidad de estudiar la legitimidad epistemología
que tienen nuestros saberes en la escuela general, pues ésta está dada por la "autenticidad"
que le confiere la autoridad de un autor o su inserción en la historia. Asimismo, de la
filosofía de Foucault sabemos que lo que es considerado como verdad, como autentico,
deja de lejos, de ser una mera propiedad posible en las proposiciones y ajena a los
avatares históricos, pues ésta remite a reglas y relaciones de fuerza que deciden que
proposiciones deben ser tenidas como verdaderas, sucediendo lo mismo con los saberes
que son designados a ser enseñados. Constituyéndose así, el juego de la verdad en
términos wittgestianos en un juego de lenguaje87.
86"¿Qué se entiende habitualmente por "verdad"? Esta palabra "verdad", elevada y al mismo tiempo desgastada y casi hueca, alude a aquello que hace verdadero lo verdadero. ¿Qué es algo verdadero? Decimos por ej.: "es una verdadera alegría colaborar en el éxito de esta tarea". Pensamos: es una alegría pura, real (wirklich). Lo verdadero es lo real. De acuerdo con esto hablamos de oro verdadero a diferencia del falso. El oro falso no es realmente lo que parece. Es sólo una "apariencia" y por tanto irreal (unwirklich). Lo irreal es tenido como lo contrario de lo real. Pero el oro aparente es también algo real. Por este motivo diremos más claramente que el oro real es el oro autentico. "Real" es uno y otro, el oro auténtico no menos que el circulante inauténtico.". GARCIA, E. Ser verdad y fundamento. Ensayos. Monte Ávila editores. Caracas. 1968. p. 62, 63. 87"En el análisis del lenguaje y en la formación de conceptos de las Investigaciones Filosóficas, Wittgenstein utiliza la analogía o comparación: el lenguaje es como una "caja de herramientas", no hay un lenguaje sino "juegos" de lenguaje; la relación de semejanza de los juegos entre sí es como los "parecidos de familia” ... Los juegos de lenguaje (y sus reglas) son "ciegamente aceptados" y se fundan en "formas de vida aprobadas socialmente.". VEGA, A. “Saber lo que pasa: lo particular. Apuntes sobre la semejanza entre las investigaciones filosóficas y las investigaciones estéticas desde Wittgenstein". En: Textos, N° 4. Revista de la Maestría de Historia y Teoría del Arte y la Arquitectura. Bogotá, 2000. p. 165.
54
Teniendo presente la definición de juego de lenguaje, en la escuela también será posible
crear nuevos juegos de verdad88 que brinden la necesaria legitimidad epistemología a los
saberes que allí se enseñan. ¿Pero como se hará esto?, para intentar dar respuesta a esta
pregunta, se debe mencionar que Nietzsche entendía en un segundo sentido la voluntad de
poder:
la voluntad de poder es hermeneutica: ella, en cuanto modo de ver el mundo como
juego de apariencia y perspectivas en lucha, es una teoría entre otras, es una
interpretación y nada más. ... [Además, y en contra del positivismo, que según él]
se detiene en los fenómenos: [les dice] "sólo hay hechos" - yo diría: no,
precisamente no hay hechos, sino sólo interpretaciones. No podemos constatar
ningún hecho "en si"; tal vez sea un absurdo querer algo por el estilo. "Todo es
subjetivo", decís: pero ésta ya es una interpretación, el "sujeto" no es nada dado,
sólo algo añadido por la imaginación, algo añadido después. ¿Es, en fin necesario
poner todavía al interprete detrás de la interpretación? Ya esto es invención,
hipótesis. >> (7 [60], VIII, 1, 229.)89
Lo que en interpretación de Foucault en Hermeneutica del sujeto será que ningún
enunciado remite a instancia trascendente, pues todo es interpretación. Habrá de apelarse
en la búsqueda de la legitimidad epistemológica de los saberes que se imparten en la
escuela a la verdad y política de verdad que tiene cada sociedad, en tanto que "la verdad
88"Wittgenstein muestra que el lenguaje contiene la posibilidad de otros juegos, de otras frases, de otros discursos: "no hay lenguaje completo, el lenguaje es como una ciudad, está abierto a nuevos usos"(IF 18)." Ibid., p. 166. 89VATTIMO. Op. cit. p. 177.
55
del sujeto hombre, no reside en un cuerpo de enunciados bendecidos por un presunto
criterio científico, sino en la voluntad de saber que los sustenta."90
El método formulado para tal proceso habrá de ser la ontología histórica de Foucault, la
cual no será aquella:
consagrada a instituir esencias formales o materiales - como proponía aún la
fenomenología de Husserl -, o a construir sistemas de conceptos aptos para
aprender las realidades del mundo dadas en su ser incuestionable, la ontología
realizada por Foucault indaga cómo son constituidos, en el seno de las practicas de
cada momento histórico, los objetos, los conceptos [...] y los sujetos mismos,
puestos en circulación por estas practicas.91
Por tanto:
La ontología no es ya reflexión sobre los entes en su verdad, sino << análisis de
los juegos de verdad, de los juegos de verdadero y falso a través de los cuales el ser
se constituye históricamente como experiencia, es decir, como poderse y deberse
ser pensado>>92
De ahí que para Foucault el investigar nuestro ser presente es buscar la política de
verdad, que en el ámbito de la escuela general habrá de ser con respecto a los saberes allí
enseñados, restituir la legitimidad ontológica de los saberes, pues esta tarea se
constituye en buscar la voluntad de verdad que atraviesa nuestra historia y por ende
90HURTADO. Op. cit., p. 18. 91 Ibid., p. 18.
56
indagar por los juegos de verdad o de autenticidad de los saberes y practicas que allí se
enseñan y promueven.
La ontología histórica tiene dos momentos a saber; una ontología del presente "que nos
revela lo que somos (y posiblemente lo que ya estamos dejando de ser)”93 y una ontología
del porvenir "en cuanto apertura ilimitada hacia nuevas posibilidades de ser llamadas
a diferir permanentemente de si mismas.”94 En el mismo sentido, como se ha mencionado
antes, en la filosofía de Foucault poder y saber se articulan, luego también se articulan la
arqueología y genealogía, pues “la arqueología viene a ser una genealogía histórica del
discurso, o sea, <<un método para una genealogía histórica que toma como dominio de
análisis los discursos, los discursos considerados como acontecimientos >>”95
Siendo en El uso de los placeres, donde mejor se ve tal relación, cuando comenta
Foucault que existe una "dimensión arqueológica, que analiza las formas como el
hombre se cuestiona sus propias experiencias de ser, y una dimensión genealógica, que
estudia las practicas discursivas, sociales, políticas, éticas [...] que las motivan y su
modificaciones "96. Y en What is Enlightenment? donde también se encuentra alusión a
esta relación cuando dice: "la ontología histórica es arqueología en su método, que se
92 Ibid., p. 18. 93 Ibid., p. 20. 94 Ibid., p. 20. 95 Ibid., p. 20, 21. 96 FOUCAULT, M. El uso de los placeres, citado por HURTADO. Op. cit., p. 21.
57
cierne sobre instancias discursivas, y genealógica en su objetivo, por abrirnos a la
posibilidad de ir más allá de lo que pensamos, hacemos y somos"97.
En efecto, la historiografía que pretende Foucault será aquella que apele aun
pensamiento sin contradicciones, sin dialéctica sin negación del sujeto, donde el cogito se
funde así "mismo en algo que no sea ni el pensamiento divino ni la conciencia ni la razón
universal"98 que ha sido como aparece en la versión castellana de Eduardo García
Belsuce de los Ensayos, Ser, verdad y fundamento, "El concepto corriente de verdad"
arraigada en una "explicación teológica". Que como consecuencia ha reducido al cogito a
un afuera tejido por reglas discursivas y relaciones de poder, que la arqueo-genealogía
pretende hacer explícitas. Para ello, ésta nueva historiografía se basará en un
pensamiento libre de categorías de identidad, abandonando el viejo principio
epistemológico "del ser consigo mismo y de un logos que pretende conjurar la diferencia
mediante el concepto"99, la cual dirá "si a la divergencia, a la multiplicidad dispersa no
limitada ni reducida por las acciones de lo Mismo."100
Siendo la discontinuidad histórica un resultado del método epistemológico, y no un
presupuesto de ella. En aras de esta tarea la arqueología se constituirá en aquella que
97 FOUCAULT, M. What is Enlightenment?, citado por Ibid., p. 21. 98 Ibid., p. 30. 99 Ibid., p. 30, 31. 100 Ibid., p. 31.
58
"sin miedo a la discontinuidad, destruye el ultimo refugio de la conciencia en cuanto
sujeto de saber y de toda practica histórica [...y al...] sujeto, pero no la historia."101
En síntesis la historiografía de Foucault será aquella que supere el prejuicio continuativo
donde se ofrece el pasado como origen que lleva inevitablemente al presente,
desligándose de los efectos de poder que el implica, todo es voluntad de poder, apuntando
a una historia "que conciba cual serie de cambios calidoscópicos, no disimule las
discontinuidades, sino, antes bien, ponga al descubierto el paso de uno a otro tipo de
saber , de poder y de ser"102. Para ello, la ontología histórica no reconocerá objetos
previos a las practicas que los constituyen sino practicas que en distintos momentos
históricos, acercan objetos que guardan discontinuidad con las practicas de otras épocas.
Rechazando la vía fenomenológica como dice Veyne (1984): volver a <<las cosas
mimas>> como correlato de una conciencia primitiva y constituyente, sin tener en
cuenta que la conciencia misma es constituida en el seno de las practicas sociales.103 Y en
cambio pretenderá “superar la vieja oposición sujeto/objeto para tomar como único dato
primigenio las prácticas históricas , donde se constituyen objetos y sujetos , donde se
constituye nuestro ser presente como sujeto y objeto de las mismas.”104
101 Ibid., p. 31, 32. 102 Ibid., p. 32. 103 VEYNE. Op. cit., p. 235, 236, 238. 104HURTADO. Op. cit., p. 41.
59
2. 7. Problemática curricular
Este concepto que se constituye en la columna vertebral del trabajo a desarrollar, tiene,
según López (1999), en todas sus manifestaciones, un carácter polisémico que le otorga
una impronta problemática.
2. 7. 1. Concepto de Currículum
Sin intentar ser exhaustivos es de anotar que el concepto de currículo hizo su aparición
por vez primera en 1918 con la obra de F. Bobbitt, The Currículo ; a partir de allí, según
López (1999), “la proliferación de análisis, definiciones, concepciones, argumentaciones,
ha sido la característica fundamental de este campo conceptual.”105
Pese a ello, según este mismo autor, en las diferentes explicitaciones con respecto al
concepto de currículum, se pueden observar lugares comunes en las mismas, entre otros,
los siguientes:
Asumen una visión socio – política específica sobre la educación.
Concretizan una concepción sobre el conocimiento y su intencionalidad.
Explicitan una posición frente al cambio.
Caracterizan al estudiante y obviamente a la escuela.
Comportan un discurso regulativo y un discurso instruccional.106
De hecho para este mismo autor, si analizamos la “intencionalidad del currículum” ,
podría señalarse:
105LÓPEZ, N. Tendencias actuales del desarrollo curricular en Colombia. Instituto Tecnológico Metropolitano. Escuela de pedagogía. Ediciones ITM de la tekhne. N° 2 * 1999. p. 43.
60
que toda estructura curricular comporta una estructura de poder y de control, que
con frecuencia se oculta, se ignora, pretendiendo negar su esencia histórica, social y
crítica.
Todo proceso curricular maneja relaciones de poder, principio de control, crea
divisiones, genera relaciones sociales, se establecen principios jerárquicos, se dan
principios de comunicación, entonces bien podría preguntarse ¿cuál es la
intencionalidad del currículo?.107
Según López (1999) estudiosos de la problemática curricular han intentado una
sistematización y clasificación de las intenciones curriculares. Las cuales él interpreta así:
Se afirma que el currículo tradicional se caracteriza por una obsesión marcada
por los contenidos, el currículo denominado tecnológico centra su atención en los
objetivos; Polán afirma que el currículo centrado en el estudiante puede
catalogarse como espontaneista; Magendzo habla de el currículo de re-
construcción social, toda vez que advierte el carácter problematizador del diseño,
desarrollo y de la evaluación curricular.108
De lo anterior y retomando algunas palabras de este autor, resulta importante preguntarnos
por las obsesiones o pasiones que cada uno de nosotros tiene acerca de lo qué es un
currículum, y desde donde las defendemos, ya que estas son las guías de nuestra practica
docente. Por ello y sin animo de tomar una postura particular al respecto, cito algunas
acepciones y definiciones de lo que es un currículo.
Caswel y Campbell (1935) dicen que el currículo es un conjunto de experiencias
que los alumnos llevan a cabo bajo la orientación de la escuela. Según Bestor (1958)
el currículo es un programa de conocimientos verdaderos, válidos, esenciales, que se
transmiten sistemáticamente en la escuela para desarrollar la mente y entrenar la
106 Ibid., p. 44. 107 Ibid., p. 22.
61
inteligencia. Inlow (1966) dice que el currículo es el esfuerzo conjunto y planificado
de toda la escuela, destinado a conducir el aprendizaje de los alumnos hacia
resultados de aprendizaje predeterminados. Jonson (1967) el currículo es una serie
estructurada de objetivos del aprendizaje que se aspira a lograr. Wheeler (1967) el
currículo son las experiencias planificadas que se ofrecen al alumno bajo la tutela de
la escuela. Stenhouse (1981) un currículo es una tentativa para comunicar los
principios y rasgos esenciales de un propósito educativo, de forma tal que
permanezca abierto a discusión crítica y pueda ser trasladado efectivamente a la
práctica. Dieuzeide (1983) el currículo una organización sistemática de actividades
escolares destinadas a lograr la adquisición de un cierto número de conocimientos.
Zabala (1987) el currículo es el conjunto de los supuestos de partida, de las metas
que se desea lograr y los pasos que se dan para alcanzarlas; es el conjunto de
conocimientos, habilidades, actitudes, que se considera importante trabajar en la
escuela año tras año.109
108 Ibid., p. 57. 109SECRETARIA DE EDUCACIÓN DISTRITAL. [en línea] http://www.redacademica.edu.co/redacad/export/REDACADEMICA/ddirectivos/inspeccion__vigilancia/archivos/COMPONENTE_PEDAGOGICO_ED_NO_FORMAL.doc
62
3. ANALISIS DEL QUE SOMOS ACTUAL, VISTO DESDE EL TR ATAMIENTO
QUE SE HA DADO DE LA DERIVADA DESPUES DE SU INCLUSIÓN EN LOS
PROGRAMAS OFICIALES.
3. 1. Introducción.
El texto escolar según Escolano (1997) es el objeto esencial de la escuela tradicional y la
representación de todo un modo de concebir y practicar la enseñanza, asimismo, según
él, es:
un espejo que refleja en sus marcos materiales los rasgos de la sociedad que
produce, la cultura del entorno en que circula y la pedagogía que a modo de
sistema autorreferente, regula sus practicas de uso. Acceder al examen de este
exponente de la cultura material de la escuela, de la clásica y de la moderna, es
pues introducirse en uno de los núcleos sistemicos de la organización de la
enseñanza.110
De hecho según advierten Peña (1986) en su ensayo La importancia del libro de
texto111, los textos son soportes del currículo, en tanto son una representación del
conocimiento académico que las instituciones transmiten, un modelo deductivo de la
ciencia y de la cultura dispuesto conforme a los órdenes y géneros textuales identificados.
Más aun, el texto escolar más que una estructura del currículo es “un espacio de
memoria del grupo social que lo produce, que recoge como en un espejo el imaginario
colectivo de la cultura dominante en una época determinada, y también como la huella
110 ESCOLANO, B. Historia ilustrada del libro escolar en España del Antiguo Régimen a la segunda República. Madrid. fundación G. S. Ruipérez / Pirámide. 1997. p. 1.
63
o señal de los modos y procesos de comunicación pedagógica, esto es, el simulacro de
la racionalidad didáctica que implemente la gestión de clase”112. En consecuencia, los
libros de texto son una representación del mundo que los escribe y de la cultura que se
los apropia, es decir de la cognición de sus autores y de sus usuarios.
Dado este carácter que guardan los libros de texto con los discursos y practicas que los
producen, daré inicio al presente trabajo a partir del análisis de algunos de los textos
escolares que han servido para enseñar el concepto de derivada a más de cinco
generaciones de colombianos.
3. 1. 1. Primer libro de texto destinado a la enseñanza del cálculo
El texto Lecciones elementales de geometría y calculo quinto y sexto de Bachillerato
de Hernando Bedoya Fernández, que apareció publicado bajo la casa editorial Bedout de
Medellín en 1966, es el primer libro de texto a nivel escolar de Colombia, reflejándose
ello significativamente en el rol que le otorga el autor, al enmarcarlo en el anhelo “de
redactar un texto simple que sirviera de orientación, tanto a profesores como
estudiantes de la nueva asignatura”. Anhelo este que distó mucho de ser original, más
que ello fue la realización de una idea que había lanzado el M.E.N. en el nuevo programa
de matemáticas, a mediados de 1962, a los estudiantes de la especialización en
matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Antioquia.
La cual, según dice el autor, fue recibida por los estudiantes de la especialización con gran
entusiasmo, pero por razones que él no explica, nunca se tornó en realidad, convirtiéndose
este hecho en la principal causa que llevó a Bedoya (1966) a escribir el mencionado texto,
donde él, según sus propias palabras, para poder satisfacer una necesidad del bachillerato
de la época da un enfoque sencillo de esta rama de las matemáticas, que a su criterio,
111 PEÑA, L. La importancia del libro de texto. En: El educador. Bogotá. N° 7. * 1986. p.14 –20. 112 ESCOLANO, Op. cit., p 1.
64
consiste en suprimir algunos apartes del cálculo que le parecen muy complicados para
los estudiantes regulares, a los cuales dirige el texto, e incluyendo algunos temas que
anteriormente había suprimido en apéndices que deja al criterio del profesor el ser o no ser
enseñados.
Con respecto a la estructura del texto, este consta de dos partes; en la primera se ocupa del
tema de la Geometría Analítica, correspondiente al programa de quinto año de bachillerato
de la época. Y en la segunda, del Cálculo Infinitesimal, correspondiente al programa de
sexto año. Las dos partes integrantes del texto guardan entre si, como dice el autor,
alguna independencia, ya que los contenidos presentes en cada una de ellas pueden ser
enseñados de forma independiente a los presentes en la otra. Sin embargo, esto no es del
todo cierto, baste para ello ver la primera parte del texto en el capitulo II, el cual se refiere
a funciones y sus gráficas para notar que este es un claro requerimiento para la segunda
parte del texto.
Con respecto al tratamiento que se da allí de los temas, estos están divididos en capítulos
que guardan entre sí una estrecha concatenación desde el punto de vista disciplinar, con una
notoria inclinación formal que se percibe en la forma en que son presentados los temas y en
la manera como el autor propone al docente evaluar los temas de cada capitulo,
sugiriendo ejercicios estrictamente del orden matemático y sin ninguna aparente aplicación
práctica.
De ahí la siguiente conclusión, en los primeros años de la enseñanza del cálculo a nivel
escolar fue innegable la ausencia de la historia y la epistemología de las matemáticas para
pensar los procesos de su enseñanza, ya que además de ser este texto el primero de su tipo
en Colombia, fue objeto de siete ediciones distintas, conocidas por el investigador, en las
cuales pocas cosas cambiaron más que su prologo.
3. 1. 2. Los años setenta, variedad de publicaciones y nuevos enfoques.
65
Acerca de la temática que nos ocupa, el decenio de los 70´s, fue especialmente interesante,
dado que en ella irrumpen gran variedad de nuevos títulos que tiene como fin la enseñanza
del Cálculo a nivel escolar, un ejemplo de ello son textos como; Cálculo 6º. Curso:
educación general básica, libro de consulta para el área de matemáticas (1971),
Curso de Cálculo programado (1975), Matemáticas en acción 6 (1976) y Lecciones de
Matemática para los cursos superiores del Bachillerato (1977). De estos títulos, hay
dos especialmente interesante, a saber; Matemáticas en acción 6 y Lecciones de
Matemática para los cursos superiores del Bachillerato.
Matemáticas en acción 6, es un texto que sobre sale, más que por su estrategia didáctica o
por el enfoque que allí es dado de la derivada, porque en su confección participó una de las
mujeres más conocedoras actualmente de la historia, la epistemología y de la filosofía de
las matemáticas María Falk de Losada. No obstante, este texto en el orden de la enseñanza
es un texto innovador, al introducirse allí un enfoque del Cálculo basado en una concepción
funcional, ya que, según palabras de los autores, desde esta perspectiva se puede
comprender mejor el Cálculo diferencial y el Integral, así como otros aspectos
fundamentales de las matemáticas.
Tal orientación es fácilmente reconocible a partir de la estructura que los autores imprimen
al texto, dedicando la primera unidad de esté al tema de funciones, la segunda a
sucesiones, tema este que al igual que el de funciones ven de suma importancia para el
estudio posterior de limites de funciones, la tercera unidad, por su parte tiene la finalidad,
como claramente es expuesto por los autores en el prólogo de dicho texto, de afianzar y
mecanizar el cálculo de las derivadas. Aspecto este último que pone al descubierto una
cierta tendencia utilitaria, al privilegiar allí un tratamiento puramente útil del concepto de
derivada, basado esencialmente, en como ellos mismos dicen; la mecanización del cálculo
de derivadas.
Por otra lado, el texto Lecciones de matemática para los cursos superiores del
bachillerato, de Hernando – Camargo, profesores de la Universidad Pedagógica Nacional
66
de Colombia, es un texto en el que, según sus propios autores, se hace énfasis en los
conceptos de relación, función y aplicación, utilizando una nomenclatura conjuntista a
todo lo largo del texto, simplificando al máximo la notación simbólica para facilitar su
lectura.
Acerca del tema del Cálculo, allí mismo se dice; que es solamente introductorio; se dan las
nociones de límite, continuidad, derivada e integral, de manera intuitiva y con aplicaciones
geométricas y físicas interesantes.
Si bien, estos dos textos marcan alguna diferencia con respecto al texto de Bedoya (1966),
al introducirse tanto en uno como en el otro algunas aplicaciones de la derivada como son:
el trazado de curvas y problemas de máximos y mínimos. También allí es sobre valorado el
carácter útil del Cálculo. Acerca de lo cual, esto permitiría pensar que la orientación
fundamental de estos dos textos es la formación de futuros estudiantes de ciencias
aplicadas, tecnológicas o ingeniería.
En relación con este ultimo aspecto, los dos textos comentados pese a introducir, cada uno
de ellos a su manera una presentación funcional del Cálculo que para la época era una
propuesta innovadora, y brindar un enfoque aplicado del concepto de derivada, debe
decirse; que en estos dos textos no se logra superar la presentación puramente disciplinar
de la derivada, cayendo en la misma dinámica que tuvo en la década anterior el libro de
Bedoya (1966), es decir, en estos dos no se apela a la historia o a la epistemología de los
conceptos allí explicados para su enseñanza. Esto tal vez a causa de que aún no se
reconocía en los contextos educativos colombianos la importancia que tiene en la
enseñanza de un saber particular su historia y epistemología.
3. 1. 3. Los ochentas, continuidad en la concepción utilitarista de la enseñanza del
concepto de derivada
67
Acerca de esta época antes de iniciar el comentario acerca de algunos de los textos
utilizados para la enseñanza de la derivada, debe señalarse como dato acerca del estado de
las publicaciones de cálculo a mediados de esta década, que la Biblioteca Luis Ángel
Arango de Bogotá en sus existencias de textos de Cálculo en la sala Colombia contaba con
apenas seis títulos de los cuales ninguno pertenecía a la década en cuestión y dos de ellos
eran el texto de Bedoya (1966) anteriormente comentado.
En este decenio en líneas generales no se presenciaron cambios significativos en la manera
como era enseñada la deriva en contextos escolares. Textos como Cálculo diferencial e
integral de Frank Ayres, JR. y Cálculo de Roland E. Larson y Robert P. Hostetler,
conservaron el espíritu que tuvo en la década pasada los textos de Falk (1976) y de
Hernando – Camargo (1977), siendo el ejemplo más excelso de dicha concepción el texto
Calculo diferencial e integral de Frank Ayres, Jr. el cual es un libro de teoría y
problemas resueltos que tiene como finalidad:
proporcionar a los alumnos que inician sus estudios de cálculo una serie de
problemas representativos, resueltos con todo detalle. Por sus características será
asimismo de gran utilidad para los estudiantes de ciencias e ingeniería que
necesiten consultar o repasar conceptos fundamentales de la teoría y encontrar el
modo de resolver ciertos problemas, relacionados con alguna aplicación practica.
Comentario este que Frank Ayres, JR. incluye en el prólogo de la segunda edición, y que
sintetiza muy bien la finalidad del mismo.
Que existan textos como este, <<con una marcada inclinación pragmática>>, se explica
en principio, posiblemente gracias a que el Cálculo como rama de las Matemáticas, nació y
se ha desarrollado a la par de sus aplicaciones practicas, y a que es una ineludible necesidad
de nuestras sociedades tecnológicas, el privilegiar el carácter puramente útil de algunos
saberes con altas potencialidades practicas. No obstante, el que estos textos sean tomados
en la escuela como libros de enseñanza lleva al extremo planteamientos como los de
68
Santos (1995), acerca de la utilidad para la enseñanza de un saber, de algunas de sus
aplicaciones. Trivializando los saberes que son presentados así, al dar mayor énfasis a su
aspecto practico en el orden disciplinar y al suprimir la infinidad de dificultades que
dieron sentido a la existencia de dicho saber.
En lo relativo al texto de Roland E. Larson y Robert P. Hostetler, este libro que es
escrito por dos maestros de The Pennsylvania State University, y que es traducido por
Eugenio Olmedilla, profesor titular de Métodos matemáticos de la universidad
Complutemse de Madrid, y que a su vez, es revisado y adaptado por Jorge E. Pérez
Alcázar Magister en matemáticas de la U. P. N., tal como se menciona en la nota del
editor reúne autores de trayectoria mundial en el ámbito de la enseñanza de las
matemáticas que Mc. Graw – Hill congregó buscando con ello más que dar
cumplimiento al programa del M. E. N. para undécimo grado, hacer que este programa
tenga las especificaciones técnicas, metodologías y pedagógicas que garanticen un
aprendizaje real, objetivo y con aplicaciones que posibiliten al estudiante la
interiorización y manipulación de las formulas matemáticas, que le permitan escoger
una carrera universitaria relacionada con la ciencia matemática sin que se vean
amenazados por ella.
Para tal fin, según se plantea allí mismo, se proyectan algunas innovaciones como el
enunciar las definiciones y teoremas de forma simple sin por ello sacrificar la
rigurosidad, incluyendo solo aquellas demostraciones que consideran útiles para el
estudiante que inicia el curso de Cálculo infinitesimal, la presentación de aplicaciones
las cuales buscan ser más integras con el tema al cual corresponden y que requerirán el
mínimo de conocimiento de otra disciplina, ejercicios que progresivamente van
aumentando su grado de dificultad, hasta demostraciones y aplicaciones acerca del
tema. Así como la inclusión de “Notas Históricas” las cuales pretenden mostrar al
estudiante las personas que intervinieron en el desarrollo del calculo infinitesimal y la
naturaleza de los problemas a que se enfrentó en cada momento.
69
Al respecto de esta ultima innovación, debe decirse, que el tipo de historia que es
utilizado allí es más de tipo enciclopédico y en algunos aspectos biográfica con las
consecuentes dificultades que tiene esta forma de presentar la historia con relación al
saber, pues como es bien sabido;
“<<La elección relativa del historiador se da siempre entre una historia
que informa más y explica menos y otra que explica más e informa
menos. La historia biográfica y anecdótica, que ocupa un lugar muy bajo
en la escala, es una historia débil que no contiene en sí misma su propia
inteligibilidad, pues la alcanza solamente cuando se transporta, en bloque,
al seno de una historia más fuerte que ella; sin embargo, nos
equivocaríamos si creyéramos que estos ajustes reconstituyen
progresivamente una historia total, pues, lo que se gana de una lado, se
pierde de otro. La historia biográfica y anecdótica es la menos explicativa,
pero es la más rica desde el punto de la información, puesto que considera
a los individuos en su particularidad y detalla, para cada uno de ellos, los
matices del carácter, los rodeos de sus motivos, las fases de sus
deliberaciones. Esta información se esquematiza, llegando a desaparecer,
cuando se pasa a historias cada vez más fuertes.>>”113
es decir, historia biográfica tiene la virtud de albergar un gran contenido de información,
a expensas de descuidar la especificidad, que es el campo en el cual es invocada en dicho
texto.
Asimismo, con respecto a la historia que es utilizada en este texto para develar la
naturaleza de los problemas a los cuales se enfrentó en su desarrollo el Cálculo
infinitesimal, en este texto se cae en la arbitrariedad de generalizar las practicas previas
al cálculo con la practica misma que se dio en llamar Cálculo, después de dos milenios
y medio de evolución.
70
Así pues, el enfoque que en este texto se hace de la historia como herramienta didáctica
para pensar la enseñanza del Cálculo es bastante precaria. Quedándose tan solo en el
ámbito de la pura información, al carecer de un hilo conductor claro que brinde un
perspectiva de su evolución histórica. Asimismo se queda en el mero afán de apoyar el
programa curricular de dicho año al olvidar la segmentación, los cortes, las
discontinuidades y las génesis ficticias que la transposición didáctica erige a su
alrededor para hacer posible la enseñanza en contextos escolares del saber matemático
derivada y de los conceptos asociados a ella.
3. 1. 4. Los noventas, el sueño de un país nuevo
La edición de libros de texto en el área del Cálculo en la década de los 90´s contrasta
significativamente con la de las dos décadas anteriores, textos como el de Julio A. Uribe
Cálad, Matemática una propuesta curricular, el cual como su nombre lo sugiere plantea
una propuesta curricular que tiene en cuenta las reformas que en 1990 venían
implementando el M.E.N. Si bien, como propuesta, este texto parte de una realidad a
todas luces evidente: “Una de las mayores dificultades que encontramos los profesores
de matemáticas es lo heterogéneo que son los grupos de estudiantes”, que, visto desde la
nota del autor, es un gran avance con respecto a textos de décadas anteriores, donde se
privilegiaba la enseñanza del concepto de derivada desde un enfoque básicamente
pragmático y utilitario, dejando de lado los intereses del estudiante en relación a los
saberes allí presentados.
113 VEYNE, Op. cit., p. 21.
71
En relación a este ultimo aspecto, aunque este autor desde la disciplina misma del Cálculo
brinda una estupenda herramienta tanto de enseñanza como de aprendizaje del mismo, su
visión acerca de los grupos de estudiantes es simplista, al concebir la heterogeneidad en los
grupos de estudiantes en términos de que hay estudiantes que les gusta la matemática y
otros a los que no, acentuando tal diferenciación al decir que su texto esta especialmente
dirigido a “algunos alumnos [que] traen buenas bases, les gusta la materia y están
motivados” cayendo en el mismo remedio que tuvo a bien tomar Bedoya (1966) en su ya
citado texto. De dejando para los otros, que por supuesto no tiene buena aptitud para las
matemáticas y no están motivados, “solo algunos contenidos – los estrictamente básicos -”,
o sea lo estrictamente exigido por el currículo.
Por otro lado, debe decirse acerca de la década en que se circunscribe este texto, que en
la primera parte de ella se asistió a un hecho de suma importancia en el orden social y
político de Colombia tal como fue la Carta Magna de 1991. Teniendo amplias
repercusiones en educación ya que ella “generó en torno al tema de la educación un
movimiento social nunca visto en la historia del país. La sociedad colombiana entendió
el papel de la educación en el desarrollo de los pueblos”114 y más en concreto en
aquellos momentos de cambio por los que atravesaba Colombia y aun sigue atravesando.
Teniendo como cúspide de dicho movimiento la sanción y promulgación, bajo el
gobierno de Cesar Gaviria, de la Ley general de educación el 8 de febrero de 1994.
114CARRO, L. Historia del debate. En: Ley general de educación, Alcances y Perspectivas. Fundación Social. Área de educación / Tercer Milenio educación para la nueva época. Colombia. 1996. p. 51.
72
Ley esta que cambió significativamente el ceño de las publicaciones en matemáticas a
nivel escolar y abrió otros escenarios de debate acerca de la educación en matemáticas
con las comisiones que redactaron los Lineamientos curriculares en matemáticas de
1998, en donde al igual que en la Carta magna y en la Ley general de educación se
reconoció que el estado de la educación de un país es el reflejo de lo que el país es y
viceversa. Es decir, a partir de estos tres hechos históricos acaecidos en la década pasada,
es priorizada la “intima relación existente entre sociedad y educación”115 y la
importancia estratégica que tiene la “educación como instrumento para la puesta en
práctica de un proyecto social” 116 que no es otro sino el que es propuesto en el preámbulo
de la nueva Carta magna.
Autores como Téllez (1996) interpretan dicho proyecto social como la ficción de “un país
diferente cimentado en valores, con base en la paz; solidaridad, la convivencia y la
participación” el cual tiene como ayudas en su consecución artículos como el 8° y el 10°
que atestiguan acerca de la riqueza cultural y natural de la nación idiomas, lenguas y
dialectos, el 27° acerca de la libertad de enseñanza y aprendizaje, investigación y cátedra,
el 67° acerca de la función social de la educación y el 366° la educación como objeto
fundamental del Estado así como otros en donde se reconoce el carácter multiétnico y
pluricultural del Estado colombiano.
115TÉLLEZ. J, Claves de lectura y proyección de la nueva Ley general de educación. En: Ibid., p. 64. 116 Ibid., p. 64.
73
La educación de hoy y del futuro somos nosotros mismos, cada uno de nosotros.
La educación no es sólo para los que vienen detrás, es para los que día a día
hacemos país. La educación no es un asunto ajeno; es un problema y un propósito
que nos concierne individual y socialmente porque somos nosotros mismos
quienes vivimos y sobre llevamos las lacras de este país, quienes lo hacemos
cotidianamente tal como es y quienes lo disfrutaríamos si fuera mejor.117
Así el papel que desde la ley es dado a la educación a partir de la década pasada es el de
ayudar a la construcción de este nuevo país. Para ello la ley pretende la humanización de la
educación a través del reconocimiento de la pluralidad y multidimencionalidad de la
persona humana, al privilegiar la formación en valores a la pura formación académica
pragmática y utilitaria de décadas anteriores.
Apartir de este momento en la historia de la educación en Colombia es reconocido el status
de sujetos históricos a los individuos beneficiarios de dicha Ley, que en este caso es todo el
pueblo colombiano, al pensarlos como sujetos que constituyen cultura y sociedad, y al
concebir a la educación como el proceso coayudante en la formación de la personalidad
del sujeto, por ello es quizás, parafraseando a Chevallard (1991), que el descuido por
parte de la sociedad de los saberes al privilegiar su pura producción se constituye en un
hecho criminal, de ello estaban ampliamente convencidos los integrantes e instituciones
participantes en la construcción de los Lineamientos curriculares en matemáticas.
117 RODRÍGUEZ, M. Para leer la Ley de educación. En: Ibid., p. 94.
74
Convencimiento este que se hace evidente en algunas secciones como la dedicada a
Elementos conceptuales en la formación de maestros, donde se al respecto se dice: "el
futuro maestro debe recibir una formación intrínsecamente interdisciplinaria distinta a la
que se ha venido realizando ... Así pues, por ejemplo, un curso de cálculo debe incluir
su historia, su epistemología, su didáctica"118, lo cual y aunado con los comentarios
anteriores de algunos libros de cálculo previos a la Ley general de educación y a los
Lineamientos mismos, permite afirma que la enseñanza de la matemática escolar hasta
dicho momento se ha hecho sin hacer uso de la historia y la epistemología de la misma, y a
su vez es presumible, dentro del contexto en que se inscribe dicha cita Hacia una política
de formación de maestros, que el docente que se ha venido formando en las facultades
de ciencias y educación colombianas es un maestro el cual no hace uso para la enseñanza
de la matemática, de su historia y epistemología.
En consecuencia es un docente que con dificultad puede "Comprender y asumir los
fenómenos de la transposición didáctica."119 Que es otro de los tópicos involucrados en el
uso didáctico de la historia en la enseñanza de las matemáticas y también uno de los
preceptos básicos de las nuevas "concepciones acerca de las matemáticas escolares."120
En síntesis, la carencia de la historia y la epistemología de las matemáticas para pensar
los procesos usuales de enseñanza de las matemáticas es un fenómeno el cual no solo es
118 M.E.N. Lineamientos, Op. cit., p. 124. 119 Ibid., p. 29.
75
puesto a la vista en el presente trabajo, sino que ha sido observado por las Instituciones
participantes en encuentros convocados por el grupo de matemáticas para la
construcción de los lineamientos121, en sus distintas disertaciones en el ámbito de
Referentes curriculares y Elementos conceptuales en la formación de maestros,
como también, por teóricos de la transposición didáctica tales como Chevallard.
3. 1. 5. Libros de texto usados para la enseñanza del Cálculo después de la Ley general
de educación y los Lineamientos curriculares
Teniendo presente el panorama observado en la enseñanza del Cálculo a nivel escolar en las
cuatro primeras décadas después de su inclusión en los programas de educación secundaria,
es apropiado estudiar que sucedió después de la publicación de la Carta magna, la Ley
115 y los Lineamientos curriculares en matemáticas, para ello analizaremos el texto Alfa
11, Serie de Matemáticas para educación básica secundaria y media vocacional de
Vladimir Moreno Gutiérrez y Mauricio Restrepo López. Del Grupo editorial Norma
educativo. 2000. Y el texto Elementos de Cálculo –Reconstrucción para el aprendizaje
y su Enseñanza de Patricia Salinas, Juan A. Alanis, Ricardo Pulido y Francisco Santos.
Del Grupo Editorial Iberoamericana, S.A. de C. V. 2000.
Acerca del primer texto, la presentación que se hace en este de las diferentes lecciones
se basa, como dicen los autores, en la relación concepto - aplicación. La cual vista desde
120 Ibid., p. 29. 121 Ibid., p. 3.
76
la didáctica de la matemáticas indiscutiblemente aporta en la enseñanza significativa de
los conceptos a enseñar. Sin embargo, el desarrollo que se hace en este texto de dicha
relación es precaria, pues solo se limitan a incluir para tal fin en la apertura de cada
unidad tres matices acerca del concepto a enseñar: ¿Cómo surgió?, Me preparo y ¿En
que se aplica?. Haciéndose en el primero, como dicen los autores, una “Lectura corta y
motivante que hace referencia a aspectos interesantes relacionados con la historia de
la matemática, que te ubica dentro de los temas a desarrollar en la unidad”. En el
segundo se presentan ejercicios matemáticos variados previos a los nuevos conceptos a
enseñar. Y en el tercero se resalta la importancia que tienen estos conceptos en la vida
diaria.
Lo cual recordando nuevamente el papel que tiene los libros de texto como reguladores
de los currículos permite fácilmente observar que no se esta haciendo un uso didáctico de
la historia y de la epistemología de las matemáticas para su enseñanza, en contradicción
con lo consagrado en la Ley. Cabria preguntarse ¿a qué se debe tal incongruencia entre
lo expuesto en la ley y lo que se hace en la escuela a través de los libros de texto y por
ende por los docentes?, tal contradicción puede ser contestada desde una frase
premonitoria de Estanislao Zuleta al llamado a asamblea constituyente:
No es lo que declaren en la carta constitucional sino las relaciones
sociales, la manera como vive la gente; una sociedad vale tanto como las
77
relaciones que tienen los hombres unos con otros y no tanto lo que diga
algún papel, así sea la Constitución."122
Acerca del segundo texto, según explican sus autores en la introducción a dicho texto:
La idea central que subyace a la elaboración de este texto es la siguiente:
ofrecer una presentación de los contenidos matemáticos que resulte ser una
manera más cercana a su surgimiento natural. Nos referimos a que
estamos buscando enfatizar el origen de los contenidos matemáticos en la
necesidad de resolver problemas reales. (p.1).
Para ello, como proponen sus autores, se acude al uso de situaciones problemáticas como
plataforma o pretexto para generar aquel ambiente propicio en el que el estudiante
pueda interactuar con las ideas fundamentales del Cálculo.
Las situaciones – problema que se utilizan para esto son:
Predecir la posición de un objeto que se mueve en línea recta con cierta
velocidad...
Deducir la formula de la distancia recorrida por un objeto en caída libre.
Calcular la masa de una varilla, conociendo su densidad...
122ZULETA, E. Democracia y participación en Colombia. En: Revista foro. Bogotá. N° 6 * Jun. 1988. p.106.
78
...Construir una fórmula para calcular longitudes de arco, o áreas de
regiones planos, o volúmenes de sólidos de revolución.
Optimizar valores de una magnitud de interés...
...Predecir el valor de una magnitud de interés. (p. 1-2).
Situaciones todas estas que como bien dicen los autores comparten algo en común, el
hecho de que su solución requiere de parte del estudiante captar la relación que guarda
una magnitud con su razón de cambio. Ofreciendo una amplia gama de aplicaciones
posibles para el contenido matemático que es allí tratado. Sin embargo, el éxito en la
construcción de los Elementos del Cálculo, según plantean sus autores, esta supeditado o
mediado a la realización de una reflexión y análisis sobre dichos problemas y sus
relaciones.
Al respecto debe decirse que la propuesta que plantea este texto para la enseñanza del
Cálculo es cercana al del uso didáctico de la historia para la enseñanza de la matemática.
3. 2. Uso de la historia como apoyo didáctico en el currículo
Teniendo presentes las anteriores consideraciones, es oportuno discurrir acerca del papel de
la historia en el currículo, más aun cuando es presumible, que en los textos, entes
reguladores del currículo no se hace un uso didáctico de la historia para la enseñaza del
Cálculo y por ende de la derivada.
El término currículo tiene y ha tenido numerosas acepciones y definiciones, por eso algunos
autores lo definen como un término polisémico. Como así lo indica las distintas
definiciones que se han dado de él a lo largo de su historia.
Pese a esto, hoy día esta consensuado en nuestro sistema educativo que:
79
El currículo es el conjunto de criterios, planes de estudio, metodologías y procesos
que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad
cultural nacional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos,
académicos y físicos para poner en practica las políticas y llevar a cabo el
proyecto educativo institucional.123
De hay que sea algo ambiguo disertar en materia de currículo en general, acerca de la
incorporación a éste de la historia de los saberes que están en el presentes. Sin embargo,
existe un valioso estudio realizado en el marco del Seminario Orotava de Historia de la
Ciencia, donde se plantea Un currículo para el estudio de la historia de la ciencia en
secundaria. Allí se realiza un diagnostico acerca de las consecuencias para el escolar del
como se ha venido tratando los saberes presentes en los programas académicos en la
actualidad. Por su importancia y pertinencia para la presente investigación citare en su
totalidad dicho texto.
Introducción
El estudio formalizado de los saberes científicos, tal y como se plantea en
los programas académicos en la actualidad, presenta una serie de graves
inconvenientes. En primer lugar, su desconexión, obliga al alumnado a
tratar las distintas materias como si fueran unidades aisladas en si
mismas. El saber aparece así desvertebrado y atomizado ante la mente del
estudiante sin que éste tenga, en ningún momento, la oportunidad de
entrever una visión global de conjunto.
A través de esta percepción, su intelecto se va organizando en parcelas
autónomas, carentes de la necesaria conexión y relación. La
disciplinariedad se convierte así en un ámbito deformado de entender la
123 Decreto 230 de 2002, febrero 11. Capitulo 1. Articulo 2.
80
cultura y la realidad, carente de coherencia y sentido global. Es lo que se
denomina el cierre de la mente moderna, caracterizado por la incapacidad
para trascender el aislamiento y las particularidades disciplinarias.
El segundo de los inconvenientes proviene de la tendencia a convertir las
ciencias en simples saberes operativos. El carácter funcional y practico
que el saber científico tiene en nuestras sociedades pivota sobre la
operatividad del mismo y, en correlación con ello, el profesor tiende a
que el alumno aprenda primariamente a operar y formular y sólo
secundariamente a comprender. Las consecuencias inmediatas de tal
quehacer generan en los estudiantes una carencia de flexibilidad y de
profundidad reflexiva y una abundancia de mecanización y memorización
cuyo resultado último es la perdida del sentido del aprendizaje, el alumno
pierde el sentido al carecer de una perspectiva global, aquí lo pierde al
carecer de los mecanismos de comprensión y explicación para su hacer. Se
convierte de este modo en un mero peón de resolución de problemas
concretos. Se ahonda aún más el cierre de su mente.
El tercero es que, si bien explícitamente no se enseña la historia de la
ciencia como tal, implícitamente aflora a través de los distintos contenidos
y lo hace, en la mayor parte de las ocasiones, de forma inconexa y errada.
Se transmiten así visiones deformadas difíciles de erradicar posteriormente
y que acaban consolidándose como estereotipos o concepciones
ideológicas alienantes.
El carácter dado, formalizado y terminal con el que es presentado el
corpus científico, junto a los atributos de certeza y objetividad atribuidos a
la ciencia, configuran ésta como algo absoluto y cerrado. Prestigio, verdad
y objetividad desliza hacia el dogmatismo. La ciencia se transforma así en
un sustitutivo de las religiones en las sociedades tecnificadas.
81
Finalmente, la parcelación de los conocimientos, la ausencia de
inteligibilidad y de sentido y esa perspectiva deformada coadyuvan a
impedir que el alumno adquiera una visión clara y comprensiva de lo que
es una ciencia. Una de las consecuencias más evidentes de tal impotencia
es el enorme auge y crecimiento, en nuestros días y especialmente entre la
juventud, de las creencias en las pseudociencias, los fenómenos
paranormales, la magia y el ocultismo. La mente del alumno busca
explicaciones de conjunto a preguntas que son explicables desde la
ciencia pero que habitualmente no se abordan. La formalización y el
mecanicismo no satisfacen la inquietud de los jóvenes. Sólo una
intelección viva, dinámica, cualitativa e imaginativa puede frenar el rápido
avance de aquellas.
El uso de la historia de la ciencia como modo de enseñar la ciencia.
El diagnostico hecho en la introducción exige diseñar una estrategia
terapéutica que parte de la convicción de que, por un lado, la única forma
de aprender (y enseñar) de modo significativo descansa en la aprehensión
de la génesis y evolución de los conceptos científicos y, por otro, de la
conciencia clara de que éstos pertenecen la mundo de la historia y de la
cultura (¿podría alguien mantener que la geometría griega no tiene nada
que ver con los ideales de belleza y armonía d esta sociedad?, ¿o que la
revolución científica culminada en Newton no tuvo impacto alguno en la
idea de progreso que abanderó la Ilustración?, ¿se atrevería alguien a
negar las repercusiones que sobre la ética, la economía, la política o la
filosofía de nuestro siglo tienen las revoluciones cuántica, relativista e
82
informática?). La aceptación de estas ideas no implica, sin embargo, que
sean utilizadas por el profesorado en su practica educativa diaria. Las
razones hay que buscarlas en su incapacidad para hacerlo porque él
mismo es un producto de una educación fragmentada y especializada.
Una aproximación histórica a las ciencias implica, pues, un giro radical en
la forma de concebir éstas y en el modo de presentarlas y plantearlas al
estudiante.124
124 HERNÁNDEZ, M. * PÉREZ. J. Un currículo para el estudio de la historia de la ciencia en secundaria (la experiencia del seminario Orotova de historia de la ciencia). [en línea]. En: Historia y epistemología de las
83
4. EPISTEMOLOGÍA DEL CONCEPTO DE DERIVADA
4. 1. Introducción
Las construcciones nociones y procedimentales, según Romero – Serrano (1994), no se han
sucedido a lo largo de la historia de las matemáticas de una forma fortuita, sino de
acuerdo a un patrón ortogenético que, si bien implica una vección no previsible del
origen, es susceptible de una reconstrucción a posteriori. Por ello, es quizás, que
universalmente es aceptado que, en cualquier disciplina y con más veras en las
matemáticas, resulta imposible alcanzar una significación completa de un sistema
nocional sin volver a trazar su formación. Puesto que la estructura total de un
conocimiento no se distingue hasta haber logrado distinguir las situaciones de hecho
que sus elaboradores eligieron en una determinada línea de acción en lugar de otra (las
practicas).
Así lo significativo del análisis histórico se encuentra, según Romero – Serrano (1994), en
volver a encontrar cómo procedieron aquellos que iniciaron el trabajo de base, qué
procedimientos o experiencias mentales llevaron a cabo los que prepararon su construcción
y bajo que sistema interpretativo llegaron a imaginar tales experiencias y, finalmente, que
pasos se tuvieron que dar y qué teorías se debieron reformular y/o descartar para llegar a
la constitución actual de la noción. O lo que es lo mismo, qué variables y factores
condicionantes, que han determinado los distintos estadios de su desarrollo.
ciencias. Enseñanza de las ciencias. 2000. 18 (1). De: http://www.bib.uab.es/pub/ensenanzadelasciencias/02124521v18n1p105.pdf
84
Por ello es menester para el desarrollo de este análisis, identificar las dificultades que
tuvieron que salvar las personas involucradas en el avance del concepto de derivada, así
como también, los atributos, propiedades, características, el grado de emergencia y las
representaciones simbólicas asociadas al concepto mismo. De hecho, es necesario
considerar cada momento histórico como definidor de una institución distinta. Pudiéndose,
inclusive definir un estudio de este tipo, mejor como un análisis ecológico en la
terminología de Chevallard (1989) o un proceso de ontología histórica en términos de
Foucault.
Un desarrollo histórico reconstituido bajo esta óptica supone, según interpreta Romero
– Serrano (1994), un método de análisis epistemológico que se conoce como histórico –
critico. Consistiendo desde esta perspectiva el método histórico critico en establecer lo
que ocurre cuando un sistema nocional o procedimental reemplaza a otro, puesto que
como sabemos, una nueva teoría no implica la abolición total de las adquisiciones
anteriores.
Viéndonos abocados:
a la realización de una reflexión que nos conducirá a un análisis critico,
inverso al desarrollo de las nociones matemáticas, que llevaría aparejado no
sólo la evolución de las creaciones científicas, sino también el de las
filosofías en las cuáles éstas se traducen. Seria como dice Brunschvicg
(1912), poner en correspondencia las etapas de la filosofía matemática
con las etapas de la matemática propiamente dicha.125
Por ello comenzare haciendo una ontología de la noción actual de derivada, para luego
realizar una reconstrucción de la historia de la filosofía que estuvo alrededor de este
concepto y de las concepciones alrededor del mismo que históricamente sean dado como
125ROMERO, L. * SERRANO, J. Desarrollo histórico del concepto de Límite. Un ensayo de aplicación del análisis filogenético a la enseñanza. Universidad de Murcia 1994. p. 12.
85
resistentes a su evolución y generalización, y que, por tanto pueden describirse como
obstáculos epistemológicos, en la noción de obstáculo epistemológico de Bachelard
(1983). Siendo pues claro el papel que juega este estudio para la didáctica de las
matemáticas, ya que buscará aportar conocimiento relevante para comprender los factores
funcionales del acto mismo de conocer y por ende de los procesos de enseñanza
aprendizaje de este concepto a lo largo de los distintos niveles de enseñanza y de
transposición didáctica correspondientes.
4. 2. Concepto de derivada actualmente
El cálculo infinitesimal tiene dos vertientes fundamentales a saber; de un lado, el estudio
de la variación de una función, que dio origen a la noción de derivada, y la determinación
de las tangentes a una curva, y por otro, el cálculo de áreas de regiones planas o
cuadraturas, que dio origen a lo que hoy se conoce como calculo integral.
Ahora bien, con respecto a los aspectos que dieron origen al concepto de derivada, estos
proceden de problemas físicos, así como de problemas matemáticos, esencialmente
geométricos, por ello comenzaremos analizando tales problemas, vistos desde la óptica
de la noción actual de derivada.
4. 2. 1. Concepto de derivada asociada al trazado de una recta tangente a una curva
En la actualidad la determinación de una recta tangente a una curva a sido objeto de
toda una línea de formalización que a llevado a reevaluar la definición misma de recta
tangente “como una línea que corta la grafica solamente una vez”; por ser, como dice
Spivak (1975), tal definición a la vez demasiado restrictiva y demasiado amplia.
Acogiéndose por ello a la definición de tangente a partir del constructo matemático
Fig. 1
86
que representa la pendiente de una recta secante a una grafica, que corta la grafica en los
puntos “distintos” (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)).
Fig. 2
Estando detrás de dicha definición la noción de incremento, entendido como:
El incremento ∆x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta,
desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
o bien
Si se da un incremento ∆x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 +
∆x), la función y = f (x) se verá incrementada en ∆y = f (x0 + ∆x) - f (x0) a partir del
valor y = f (x0). El cociente
87
recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo
comprendido entre x = x0 a x = x0 + ∆x.126
Así la “tangente” en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas “secantes”,
cuando h se aproxima a 0.
Fig. 3
Lo que da lugar a definir que: “La función f es derivable en a si
existe.
Fig. 4
126AYRES J.R., F. Cálculo diferencial e integral, Serie de compendios Schaum. Mc. Graw – Hill. 1980. p. 22.
88
En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a.
(Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de
f.)”.127
Es decir, “Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por
(a, f (a)) y tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está
definida si f es derivable en a.”128.
4. 2. 2. Interpretación física de la derivada
Consideremos una partícula que se mueve a lo largo de una recta
Fig. 5
sobre la cual hemos elegido un <<origen>> O, y una dirección en la cual las
distancias a partir de O se escribirán como números positivos, mientras que la
distancia a partir de O de los puntos de la otra dirección se escribirán como
números negativos. Sea s(t) la distancia de la partícula a O en el tiempo t ”129.
“Puesto que una distancia s(t) está determinada para cada número t, la situación física
nos suministra automáticamente cierta función s. La grafica de s indica la distancia de
127
SPIVACK, M. Calculus, Cálculo infinitesimal. Editorial Reverté. S. A. Barcelona. España. 1975. p. 185. 128 Ibid., p. 185. 129 Ibid., p. 185.
89
la partícula a O sobre el eje vertical, en términos del tiempo, indicado sobre el eje
horizontal.”130.
Fig. 6
El cociente
tiene una interpretación natural. Es la <<velocidad media>> de la partícula
durante el intervalo de tiempo a y a+h. Para cualquier partícula a, esta
velocidad media depende por supuesto de h. Por otra parte, el limite:
130 Ibid., p. 186.
90
depende solamente de a (así como de función particular s) y existen
importantes razones físicas para considerar este límite.131
Dado que:
la definición corriente de velocidad es en realidad una definición de
velocidad media; la única definición razonable de <<velocidad en el
tiempo a>> (la llamada <<velocidad instantánea>>) es el limite
Definimos así la velocidad (instantánea) de la partícula en a como s’(a).
Obsérvese que s’(a) puede muy bien ser negativa ; el valor absoluto recibe
a veces el nombre de rapidez (instantánea).132 (Ibid., p.187).
Siendo
importante darse cuenta de que la velocidad instantánea es un concepto
teórico, y una abstracción, que corresponde exactamente a ninguna
cantidad observable. Aunque no sería justo decir que la velocidad
instantánea no tiene nada que ver con la velocidad media, recuérdese que
s’(t) no es
para ningún h particular, sino únicamente el limite de estas velocidades
medias, cuando h tiende hacia 0. Así , pues , cuando las velocidades se
131 Ibid., p. 186. 132 Ibid., p. 187.
91
miden en física , lo que un físico mide realmente es una velocidad media
a lo largo de algún intervalo de tiempo (muy pequeño).133
4. 3. Ontología del concepto derivada
Etimológicamente, la ontología es el estudio del ente, entendiendo por tal lo existente en
cuanto existente. Se ocupa de la característica más común de todo cuanto existe, el ser, e
intenta responder a la pregunta de qué es necesario para que algo sea o exista y si hay
diversas maneras de existir o ser. Aunque pueda confundirse a veces con la metafísica y,
de hecho «el estudio del ente en cuanto ente» es la manera como Aristóteles define a la
filosofía primera, que la tradición llamó metafísica, la ontología ha conseguido su objeto
propio de estudio a lo largo de la historia.
En opinión de Martínez-Cortés (1991), con el positivismo lógico siguiendo una visión
iniciada por Hume, se considera falto de todo sentido cualquier supuesto enunciado
metafísico y, por ello mismo, y tras el auge de la filosofía analítica, las preguntas de tipo
ontológico no tienen, en muchos autores contemporáneos, más finalidad que plantearse qué
tipo de entidades son los referentes de las palabras usadas en un enunciado; son preguntas
acerca del significado. Siendo, según esto mismos autores, Quine quien en su ensayo
Acerca de lo que hay (1948), define a la ontología como el estudio de «lo que hay»,
hablando del compromiso ontológico que implica que toda teoría, y todo lenguaje, debe
decidir qué tipo de entidades o cosas constituyen sus referentes; en palabras suyas, «lo que
una teoría dice que existe». Que es el sentido del termino del cual se hará uso aquí.134
La derivada de una función [...] Junto con la integral constituye la fuente de la
cual deriva el cálculo su aroma particular. Si bien es verdad que el concepto de
133 Ibid., p. 187. 134 MARTÍNEZ, A. * CORTÉS, J. Diccionario de filosofía Herder. [CD – ROM]. Barcelona. ISBN 84 – 254 – 1991 – 3 Empresa Editorial Herder. S. A. Búsqueda bajo la palabra: ontología.
92
función es fundamental, que no puede hacer nada sin límites o continuidad, y que
las cotas superiores mínimas son esenciales, todo lo que hemos hecho hasta
ahora ha sido una preparación ... para las ideas verdaderamente luminosas que van
a venir, los penetrantes conceptos que son verdaderamente característicos del
cálculo infinitesimal.135
De este corto párrafo que Spivak extractado de introducción al capitulo 9 de su libro
“Calculus” (1975), se observa que él en esté otorga importancia capital a la construcción
previa de conceptos como; función, limite y continuidad, y cotas superiores mínimas. Esto
inclusive al punto de opacar, en un cierto sentido, lo que él llama las ideas verdaderamente
luminosas que van a venir (los conceptos de derivada e integral de una función). Sin
embargo, él allí mismo, restituye el vigor de dichos conceptos al decir; que lo que sea
hecho hasta ahora a sido una simple preparación para estos conceptos a los que el cálculo
debe su aroma particular.
Acerca de lo que Spivak allí llama; una preparación ... para las ideas verdaderamente
luminosas que van a venir (el concepto de función, el de límite, el de continuidad y las
cotas superiores mínimas), creo que, siguiendo la cadena de conceptos que plantea Spivak,
que un análisis histórico – critico de estos conceptos, nos situaría en el lugar más adecuado
para intentar plasmar el proceso de materialización seguido por el concepto de derivada a
través de los siglos.
Por ello iniciare tal análisis a partir del concepto de continuidad, que corre simultaneo al
de infinito, para en dado momento adentrarme al concepto de función, limite, al de derivada
de una función, al continuidad de funciones y finalmente al de limite de una función, hasta
llegar al concepto actual de derivada. Que me permitirá realizar un análisis histórico -
critico de tal concepto.
135 SPIVAK, Op. cit., p. 181.
93
5. DESARROLLO HISTORICO DE LAS PRACTICAS Y DISCURSO S
ASOCIADOS AL CONCEPTO DE DERIVADA
5. 1. Introducción
En este capitulo se realizara una breve exposición de de las practicas y discursos que han
estado ligados al desarrollo histórico del concepto de derivada. Para ello se recurrirá a la
historia de las distintas nociones y conceptos que actualmente dan la forma al concepto de
derivada. Identificando esencial mente cuatro periodos bien diferenciados en la evolución
histórica de la matemática, a saber; la Antigüedad, el Medioevo, la Modernidad y la época
Contemporánea.
5. 2. Pensamiento matemático en la antigüedad
A propósito del pensamiento matemático griego, La Torre (2003) plantea que tal y como
se manifiesta desde tiempos de Tales de Mileto y de Pitágoras, se adjudicó con claridad y
vigor una doble tarea intelectual: primero, fundamentar la matemática como un sistema
lógico deductivo; segundo, matematizar los fenómenos de la naturaleza, bajo el supuesto de
que ella está dotada de una estructura racional.
Para este mismo autor, la primera de dichas tareas alcanza su punto culminante con los
Elementos de Geometría, de Euclides, que no es más que una recopilación del
conocimiento matemático de su época (s. IV a.C.). En ella se toma como lugar de partida
una lista de diez proposiciones iniciales (postulados), complementada con las definiciones
que introduce al comienzo de cada libro. Los que utiliza para enunciar y demostrar
94
sucesivamente los teoremas y construir los distintos problemas, empleando para ello
exclusivamente el razonamiento deductivo.
La segunda tarea, por su parte, no consiste en una mera recopilación de datos de la
sensibilidad. Aunque indudablemente hay que recurrir a la observación y a la experiencia
para la recopilación de datos, esto apenas es el comienzo de la investigación natural. Una
vez recogidos los datos, es preciso ordenarlos mediante el entendimiento y, de manera
especifica a través del razonamiento matemático. Es decir, los datos sensibles deben ser
modelizados matemáticamente; colocando los conceptos matemáticos en la base de los
fenómenos observados.
En desarrollo de esta segunda tarea, según considera este mismo autor, los pitagóricos
consideraron a los números – que para ellos eran solamente los que hoy conocemos como
naturales- como añadidos de unidades, cada una de las cuales ocupaba una posición en el
espacio físico. Ordenando los puntos, obtenían las figuras geométricas. De esta manera,
concluyeron que los números eran los constituyentes últimos de las figuras geométricas.
Y estas, a su vez, eran para los pitagóricos los elementos últimos que constituyen las cosas
materiales y la naturaleza misma. Confundiendo así, según La Torre (2003), el mundo real,
el de los fenómenos y las sensaciones, con el mundo ideal de los conceptos de la
geometría.
Para los pitagóricos, la línea se compone de un número entero de unidades. Cuestión
esta que los llevo advertir, muy pronto, que no importaba cuán pequeña sea escogida la
unidad para medir el lado de un cuadrado, la diagonal no puede expresarse como un
arreglo de las mismas unidades que componen el lado. Quedando así claro que es
imposible encontrar un segmento tan pequeño que podamos tomarlo como unidad, de tal
forma que el lado del cuadrado y la diagonal del mismo puedan expresarse ambos como
múltiplos finitos de aquélla. Este descubrimiento, según La Torre (2003), puso en duda la
identificación pitagórica entre el reino de lo discreto, que es el número, y el reino de la
magnitud continua, que es la geometría.
95
No obstante, según este mismo autor, el intento de unificar estos dos reinos, ha persistido a
lo largo de la historia de las matemáticas, incluso entre los griegos. De esos intentos, son
de resaltar la teoría del atomismo matemático, creada posiblemente por Demócrito de
Abdera como una derivación de su doctrina materialista del atomismo físico. Según esta
concepción todas las cosas se componen de partículas indivisibles, cuya pequeñez las
hace imperceptibles por los sentidos y que exhibe variadas formas y tamaños.
El atomismo matemático intento explicar de nuevo la magnitud continua en términos de
lo discreto. Para ello, según La Torre (2003), planteaba la existencia de una mónada o
unidad tal que el lado del cuadrado y la diagonal del mismo estuvieran constituidos por
números indefinidos de tales mónadas. Con esta doctrina germinó la especulación acerca
de las magnitudes infinitesimales o infinitamente pequeñas, fijas e indivisibles, que sólo
pudieron ser expulsadas de la matemática en el siglo pasado cuando se construyeron los
conceptos rigurosos de derivada e integral.
5. 2. 1. Problemática alrededor del noción de continuidad
Según opina Álvarez – Barahona (2002), la continuidad entendida como propiedad de la
materia, de los fenómenos, o condición esencial de nuestra relación con el mundo, ha sido
desde la antigüedad una cualidad estudiada y al mismo tiempo aceptada y asumida por
distintas ciencias. Pese a ello no son pocos los dilemas que esta noción a originado al
interior de doctrinas como la filosofía y ciencias como las matemáticas y la física, -que sean
interesado en la problemática que está ofrece-, como para poder presumir que con ella se
denota un termino caduco.
En el mismo sentido, la aparente universalidad del dominio que caracterizamos como
<<continuo>>, en tanto, se refiere a una noción que ha aparecido en diversos dominios
del saber, bajo distintas formas, en las modalidades de aproximación a la naturaleza,
96
podría contrastarse a partir de la máxima aristotélica que “la naturaleza no da saltos”,
sobre la cual, según Álvarez – Barahona (2002), se modelaron las primeras ideas sobre
variación, los modelos cinemáticas elaborados hasta el s. XVII, los modelos ondulatorios
de la luz y la teoría Darwiniana de la evolución del s. XIX.
De hecho, a lo largo de la historia, la continuidad ha sido concebida como una propiedad
de la materia, del espacio y como una característica del tiempo, –de ahí también como
una cualidad de los procesos evolutivos-. Sin embargo, cómo anota Álvarez – Barahona
(2002) si ésta fuese la única diferencia señalada, de la naturaleza del <<continuo>>,
habría la necesidad de concluir que se trata en todos los casos del mismo problema: la
descripción de una cualidad que se manifiesta en distintos ámbitos. No obstante, es al
momento de identificar las propiedades que esta cualidad sugiere, cuando las diferencias
en los modos de abordarla se suscitan;
ya que si bien la caracterización aristotélica le asocia dos condiciones
intrínsecas –su vinculación con la contigüidad y con la divisibilidad ad
infinitud-, no parecen ser éstas las condiciones reclamadas necesariamente al
hablar de la continuidad en la historia o en los procesos de evolución.136
Más allá de intentar aquí mostrar la existencia de un debate con profundas raíces entre
continuistas y discontinuistas, entre continuistas y atomistas o entre mendelianos y
darwinistas, etc., al interior de distintas disciplinas científicas, la cuestión clave es aquí
exponer como este debate a dirigido, y, a resultado fundamental en la construcción de las
teorías y conceptos matemáticos vinculados al concepto actual de derivada.
5. 2. 2. Continuidad en la antigüedad
136 ÁLVAREZ, C. * BARAHONA, C. La continuidad en las ciencias. Ediciones científicas universitarias. Serie Texto Científico Universitario. Universidad Nacional Autónoma de México. Fondo de Cultura Económica. México. 2002. p. 8, 9.
97
Teóricamente la idea de continuo ha llevado a la de infinito. Esta relación se pone de
manifiesto ya con las primeras discusiones de la historia sobre los problemas del continuo:
la aparición de los números irracionales entre los pitagóricos, dada la inconmensurabilidad
entre la diagonal del cuadrado y su lado, y las paradojas de Zenón de Elea (ca. 450 a.C.),
que intentaban divulgar la noción de que el cambio era sólo aparente.
5. 3. Noción de infinito en Grecia
Llegará una época en la que una investigación diligente y prolongada sacará a la luz cosas que hoy están ocultas. La vida de una sola persona, aunque estuviera toda ella dedicada al cielo, sería insuficiente para investigar una materia tan vasta... Por lo tanto este conocimiento solo se podrá desarrollar a lo largo de sucesivas edades. Llegará una época en la que nuestros descendientes se asombrarán de que ignoráramos cosas que para ellos son tan claras... Muchos son los descubrimientos reservados para las épocas futuras, cuando se haya borrado el recuerdo de nosotros... La naturaleza no revela sus misterios de una vez para siempre.
Séneca.
Según Ferrater (1949) aunque el infinito pueda ser entendido de diversas formas, existen
dos de ellas que predominan sobre las otras, determinando de una forma substancial la
evolución histórica del concepto de infinito a partir de Grecia. Por un lado esta el infinito
entendido como algo negativo: como la ausencia de fin y termino. Y por otro el infinito
entendido como algo positivo: como el infinito completo, actual y enteramente dado.
Siendo el mayor o menor peso dado a cada una de estas nociones lo que a generado las
mayores discusiones acerca de lo que Grecia pensó acerca del infinito.
98
5. 3. 1. Entre Dionisos y Apolo
En interpretación de Ferrater (1949), mientras algunos autores como Heimsoeth (1946)
seducidos por el carácter “apolíneo”, cerrado y perfecto del arte griego, han supuesto, al
trasladar esta intuición a la filosofía, que Grecia nunca llego a poseer un concepto positivo
del infinito, otros autores como Mondolfo (1934) y Erich (1923) han señalado que no es
legitimo sostener todavía “la leyenda de una refracteriedad del genio helénico para la
comprensión del infinito”137 leyenda que según Mondolfo (1934), se debe a la ignorancia
de la esencia poliedricitá del genio griego.
Al respecto Erich (1923) advierte “cuán difícil resulta extirpar la falsa concepción según
la cual el espíritu griego se caracteriza, de manera singular, por su exigencia de la
limitación y la finitud, contrariamente a lo que pareciera ser el signo del espíritu
moderno transido, todo él, del concepto de infinito.”138 De hecho él a querido demostrar la
ilegitimidad de tan abstracta oposición en el terreno de los conceptos racionales, (la
historia de las matemáticas y la astronomía griegas), porque es en estos dos campos
donde precisamente le ha parecido griega la noción de infinito, así como lo son; el sistema
heliocéntrico y la intuición de la infinitud del universo, que son creaciones del
pensamiento antiguo, que luego la ciencia moderna se hizo adjudicar.
Con esto, como subraya Mondolfo (1934) en el prefacio de su libro L´infinito nel
pensiero dei Greci, Erich no pretende desconocer la característica esencial que
diferencia al espíritu moderno del espíritu griego como es su capacidad de comprensión
de lo infinito, aplicado no ya al concepto racional exacto, sino al del sentimiento subjetivo,
de la sensibilidad y de los valores estéticos.
137 MONDOLFO, R. L´ infinito nel pensiero dei Greci, citado por FERRATER, J. El infinito: Esquema para una historia de su idea. Universidad Nacional de Colombia. Revista trimestral de cultura moderna. N° 14. Abril. 1949. p. 9, 10. 138 ERICH, F. Plato und die sogenannten Pythagoreer, citado por MONDOLFO, R. El infinito en el pensamiento de la antigüedad clásica. Ediciones Imán. Buenos Aires. 1952. p. 13.
99
Así para Erich (1923) la idea muy difundida, de que en el genio griego hay por lo menos
un desvío entre la forma de vida, la concepción artística y la meditación filosófica, de tal
forma que las primeras se inclinarían a lo limitado, lo cerrado, lo perfecto, y la segunda
no dejaría de lado una meditación sobre el infinito y aun la afirmación de una supremacía
del infinito como algo actual y concluso, le parece inadmisible. Pues si en una misma
vida espiritual, el sentido de la medida y de la exigencia de un limite caracterizan al
espíritu griego, en el terreno de la intuición, de la valoración y la expresión artística, hasta
convertirse en una ineptitud para toda comprensión estética del infinito, resulta luego
evidente que dicho genio no puede ser caracterizado por una inmanente exigencia de
superación de todo limite, ni por la creación del concepto de infinito. Ya que la creación
de un concepto como este no puede ser obra de un espíritu que carezca de todo interés
con respecto de él, no pudiendo darse así una comprensión intelectual de lo infinito
desligada de toda comprensión estética del mismo. Luego, según Erich (1923 ) no puede
ser griego el concepto de infinito y no serlo a su vez139.
De opiniones como las de Erich (1923) o las de Mondolfo (1934) se ha llegado inclusive a
afirmar la congenialidad del espíritu griego con la idea del infinito, por lo que la primera de
las mentadas posiciones ha vuelto a insistir, en oposición a tan extrema concepción, en el
hecho de que, como indica Heimsoeth (1946), “por muchas criticas que merezcan algunas
teorías, harto simplistas, sobre el espíritu griego, la medula de esta observación , la de
que para el pensamiento y el sentimiento de la antigüedad, lo finito posee un valor
superior sobre lo infinito, permanece exacta.”140
Acerca de tal diferendo, Ferrater (1949) opina, por su parte, que no parece que pueda
sostenerse fácilmente que el pensamiento griego se inclinara hacia un extremo mientras
que el sentimiento se orientara hacia el otro, y que, por tanto, la solución a esta polémica
cuestión se halla en algo muy parecido al doble rostro - apolíneo – dionisiaco- que ya
Nietzsche, Rohde y Burckhardt habían descubierto en la existencia griega. Pues este
139 Ibid., p. 14.
100
doble rostro no significa que la tendencia hacia lo finito en la existencia griega sea
más o menos igual a su tendencia hacia lo infinito, lo que más bien ocurre es que hay
en cada una de las formas griegas, y primordialmente en las que conciernen al
pensamiento, una tendencia dual que permite alegar, según sea más o menos enfatizado,
uno de sus términos, la orientación hacia lo finito y lo infinito negativo o hacia el
infinito positivo.
5. 3. 2. Finito, infinito negativo e infinito positivo
Como señala Ferrater (1949), que la dualidad dionisiaco – apolínea quede en muchas
ocasiones encubierta por la primacía del carácter limitado del genio griego es porque al
trasparecer por todas partes la idea del infinito en la mente griega, es refrenada por la
concepción negativa y por la orientación hacia las formas limitadas, cerradas en sí
mismas, perfectas. Pues la carencia de límites fue entendida por la antigüedad griega como
una imperfección relacionada con la imposibilidad de la definición, la imposibilidad de
llegar a saber qué es una cosa, para los griegos el ser es un ser determinado y en
consecuencia la indeterminación del infinito relegaba al ser al reino negativo de lo
indeterminado existente. Y puesto que sólo lo finito tiene límite, proporción y medida, lo
infinito, siendo imperfecto se contrapone a la perfección de lo que puede ser abarcado
intelectualmente y formalmente delimitado. La tablilla pitagórica de las oposiciones ya
mostraba tal oposición.
Limite Ilimitado
Impar Par
Unidad Pluralidad
Derecho Izquierdo
Macho Hembra
En reposo En movimiento
140 HEIMSOETH, H. Los seis grandes temas de la metafísica occidental, citado por FERRATER, J. Op. cit., p. 10.
101
Recto Curvo
Bueno Malo
Cuadro Rectángulo.141
Sin embargo, la otra tendencia de la vida y del genio griego trasparece a cada instante,
en forma del infinito numérico, espacial, temporal y espiritual, a través del finito. Tras la
introducción del infinito matemático en los usos filosóficos, por los pitagóricos y eleatas.
Trasformándose bien pronto lo negativo del infinito en algo positivo, ineludible e
innegable, pasando a ser lo infinito, en rigor, sólo negativo por escapar a toda definición
y delimitación, al no poder ser mentalmente aprehendido, pero no porque no fuese
reconocido.
Así el infinito en la ultima época del helenismo paso a constituirse, en palabras de Ferrater
(1949), en el rasgo principal de ella, al en un primer momento concebir al infinito como el
fundamento del que emergen los seres finitos y más tarde como carácter de la realidad.
Dejando de ser considerado el infinito en Grecia en su aspecto negativo, y radicando lo
negativo, más bien, en la impotencia de la razón para abarcarlo. Que en la terminología
de Spengler, citada por Ferrater (1949), equivaldría a decir; que ya el alma antigua posee
una “tendencia apasionada, fáustica, hacia el infinito” 142.
5. 3. 3. Lucha dual finito Vs. infinito - infinito positivo Vs. infinito negativo
Tal y como lo interpreta Ferrater (1949) ésta ultima lucha es la que va a predominar en el
seno del platonismo y del neoplatonismo e incluso en el aristotelismo. Como ya de una
forma clara se advierte en Platón, y en la filosofía anterior de los pitagóricos, en aspectos
tales, como; que la comprensión acerca de la realidad tal y como se da a la intuición
inmediata es comprimida entre dos géneros: el infinito de la materia y del receptáculo
141 Aristóteles, Metafísica I, 5, 986ª. Gredos. Madrid.1994. p. 90. 142 FERRATER. Op. cit., p. 11.
102
vacío, indeterminado negativo, y el infinito de lo inteligible entendido como unidad, que
desborda toda determinada posición y sólo es asequible mediante una dialéctica
ascendente143 y acaso interminable.
El análisis aristotélico, según Ferrater (1949), por su parte tiende a eludir la dificultad que
plantea esta doble oposición, aunque sin éxito, pretendiendo encerrar la idea de infinito
dentro de los limites de una potencialidad. Teniendo aquí su lugar de origen las ideas de
infinito actual e infinito potencial, que tan decisiva importancia tendrá para la historia
posterior de la ciencia y la filosofía. Según Ferrater (1949), para Aristóteles el infinito
actual, completo, perfecto, no puede concebirse, mientras que el infinito potencial no puede
ser puesto en duda, al punto que Aristóteles inclusive pone en duda la idea de la serie
infinita, al sostener que todo tiene un fin, y que la serie de causas tiene su fin en un
primer principio incausado. Pues de no ser así el conocimiento seria imposible al haber
una serie infinita de causas.
El Estagirita, como ya se dijo antes, distinguía entre el infinito en potencia y el infinito en
acto, identificando al primero como el infinito posible, que se da, según Ferrater (1949),
en dos formas: el infinito por división, como ocurre con la línea, que es infinitamente
divisible, y el infinito por adición, que no puede terminar jamás de completarse.
Encontrándose ya aquí una idea en germen de lo que va a ser el cálculo diferencial e
integral. Y el segundo, como el infinito real, completo, terminado. Las precisiones que
Aristóteles realiza en el Physica muestran, por demás, de modo suficiente hasta que punto
el análisis del infinito no suprime a éste, pero si excluye su actualidad144. De hecho la
143 “En los primeros diálogos de Platón, la dialéctica aparece como el arte o esfuerzo de hallar definiciones, mediante el método socrático de preguntas y respuestas; en diálogos posteriores, la synagogé, la reunión, y la diáiresis, la separación, aparecen como los elementos definidores de la dialéctica platónica, en cuanto representa saber dividir por géneros y diferencias, hasta que Platón identifica su propia filosofía con la misma dialéctica: la última de las enseñanzas que recibe el filósofo-rey, o la visión de conjunto que adquiere quien logra ascender por todos los escalones de la opinión y la episteme hasta el conocimiento de las ideas.” MARTÍNEZ. * CORTÉS. Op. cit., búsqueda bajo la palabra: dialéctica . 144 “Ahora bien, el ser se dice o de lo que es en potencia o de lo que es en acto, mientras que el infinito es o por adición o por división. Y ya se ha dicho que la magnitud no es actualmente infinita, aunque es infinitamente divisible [...] Nos queda, entonces, por mostrar que el infinito existe potencialmente. [...]
103
definición que Aristóteles establece del infinito es; el infinito no es aquello más allá de
lo cual no hay nada, sino aquello más allá de lo cual hay algo, confirmando esto, según
Ferrater (1949), la tendencia a la consideración negativa, potencial, del infinito.
Sin embargo, Mandolfo (1934) señala algunos pasajes en que Aristóteles pareciera sostener
un significado positivo del infinito, por lo menos al referirse a la potencia causante de
Dios. A lo que agrega Ferrater (1949), que en la medida en que la potencia es susceptible
de una interpretación semejante, gracias a que no hay una unilateral interpretación estática
del Acto, no es justo el imputarle a Aristóteles demasiadamente la negatividad del infinito.
Siendo esto expresado por el mismo Aristóteles al referir, que el análisis del infinito no
equivale a suprimir la realidad de la que tratan los matemáticos, aun cuando éstos no
toman al infinito como actual y les basta postular una línea finita tan larga como se
quiera, haciendo clara referencia al segundo postulado del primer libro de Euclides.
Sin embargo, es innegable, según Ferrater (1949), que la negatividad del infinito prima en
Aristóteles sobre la positividad, a tal punto, que llega a negar al igual que la actualidad de
la serie infinita, la actualidad de la infinidad de puntos de una línea dada, ya que para que
sean infinitos deben ser contados. Siendo, la continua presencia de un alma, o sujeto
enumerante finito lo que hace, según Ferrater (1949), para Aristóteles evidente la
El infinito por adición es en cierto modo el mismo que el infinito por división. Pues en una magnitud finita el infinito por adición se produce en un proceso inverso al otro; porque en la medida en que una magnitud se ve dividida hasta el infinito, en la misma medida aparecen las adiciones con respecto a una determinada magnitud. Pues si en una magnitud finita tomamos una cantidad determinada, y tomamos luego otra en la misma proporción, aunque no en la misma cantidad del todo inicial, no lograremos recorrer la magnitud finita; pero si aumentamos la proporción de tal manera que las cantidades tomadas sean siempre iguales, entonces la recorreremos, porque toda magnitud finita puede ser agotada mediante la sustracción de una cantidad determinada. Así pues, el infinito no tiene otro modo de realidad que éste: en potencia y por reducción. Y existe actualmente en el sentido en que decimos que el día o la competición existen; y existe potencialmente, como la materia; pero no existe por sí mismo, como existe lo finito. Hay también un infinito potencial por adición, el cual, como hemos dicho, es en cierto sentido de la misma manera que el infinito por división, pues siempre se podrá tomar algo fuera de él; pero lo que se tome nunca superará toda magnitud finita, a diferencia del infinito por división, en el que toda magnitud finita es superada en pequeñez y siempre quedará una parte más pequeña. [...] Ahora bien, lo infinito resulta ser lo contrario de lo que se nos dice que es: no es aquello fuera de lo cual no hay nada, sino que el infinito es aquello fuera de lo cual siempre hay algo.” ARISTOTELES. Física. Libro III, 6, 206a-206b. Gredos. Madrid. 1995. p. 202-206.
104
imposibilidad del infinito actual, no obstante, a plantearse ineludiblemente la cuestión de
su existencia en el momento en que se llega a suponer un motor que engendra, aunque
sólo sea por imitación, las realidades anteriores.
Luego la negación del infinito que, según Ferrater (1949), adelanta Aristóteles se refiere
solamente a la magnitud: ya que el motor primero no puede ser ni infinito ni finito, pues,
primero, no hay magnitud infinita, y segundo, una cosa finita no puede poseer una
fuerza infinita, ni tampoco el movimiento impreso por ella puede subsistir un tiempo
infinito (Fisica. VIII 267b p.24- 25). Así pues, aunque negada la infinitud en la
magnitud no así queda negada como causa infinita. Con ello es evidente que el análisis
aristotélico contiene todos los problemas que, relativos al infinito actual, persistirán a lo
largo de la edad media y la moderna, Ferrater (1949).
“en ultimo termino, podría decirse que Aristóteles admitirá para la
realidad movida un infinito actual si supiera a la vez la presencia de un
alma con actualidad infinita para la cual la visión de una línea, por
ejemplo, representara la total y simultanea enumeración de sus infinitas
partes.”145
Para Ferrater (1949), a pesar de este continuo traslucirse del infinito en el genio griego,
con Aristóteles y sus seguidores, a habido una innegable tendencia a reducirlo a su ser
potencial, por parte de los que han aspirado a un conocimiento de la realidad menos
basado en la dialéctica que en análisis.
El imperio de la idea de infinito se consolido, sobre todo con el desarrollo de las
tendencias implícitas en el platonismo. “ Ya en la matemática ya esto se hacia cada vez
más evidente. El método de reducción al infinito en la determinación por Arquímedes del
área del circulo, así como el “método de Exhaustivo” de Eudoxio apuntaban a ese
145 FERRATER. Op. cit., p. 14.
105
desarrollo.”146 Aunque desde el punto de vista propiamente filosófico, ese se manifiesta
principalmente en el neo platonismo.
5. 4. Matemática griega
5. 4. 1. Pitágoras de Samos (580 – 500 a.C.).
Es poco lo que se sabe acerca del figura de Pitágoras, más que era un gran conocedor de la
geometría y astronomía de su época, y que fue el fundador de la Orden de los Pitagóricos.
Esto debido principalmente a que las bibliografías escritas sobre este pensador, entre ellas
la escrita por Aristóteles, se han perdido, y al carácter secreto y comunal de la Orden
fundada por él. Por tanto no se hablara tanto aquí de la obra de Pitágoras, sino de las
contribuciones de la Escuela Pitagórica.
5. 4. 2. Escuela Pitagórica
La Escuela Pitagórica presenta como característica más peculiar, junto con su
conservadurismo político y su estricto código de conducta, la confianza en la prosecución
de los estudios matemáticos como base moral para la dirección de la vida. Su lema
principal era “todo es número”y, de hecho, las palabras filosofía (amor a la sabiduría) y
matemática (aquello que se aprende) se deben a esta orden que las utilizo para describir su
actividad.
No es difícil entender el importante papel que jugo esta Escuela en el desarrollo de la
matemática griega, ni que sea precisamente en su seno donde se encuentre una primera
aproximación a procesos infinitos y a la idea de limite;
146 Ibid., p. 14.
106
debido a su familiar división de un segmento que denominaban,
simplemente, con el nombre de sección y por el cual, un segmento RS era
dividido en dos partes tales que la proporción entre el segmento y la parte
mayor era la misma, que la que existía entre la parte mayor y la parte
menor. Fue lo que, más tarde, más tarde se conocería como “la Sección
Áurea”.147
Como declaran Romero – Serrano (1994), una de las características más importantes de
este tipo de división es su capacidad de auto reproducción.
Así, si P1 divide al segmento RS en media y extrema razón, entonces R S /
R P1 = R P1 / P1 S. Si sobre R P1 tomamos un punto P2 tal que P1 P2 = P1
S, entonces el segmento R P1 queda subdividido a su vez en media y
extrema razón por el punto P2 , resultando de R P1 / R P2 = R P2 / P2 P1 .
Tomando de nuevo P3 sobre R P2 tal que RP3 = P2 P1 , se vuelve a repetir
el proceso.148
De hay según ellos, lo que se desgaja es que estamos ante un proceso iterativo, que por
ende se puede realizar cuantas veces se quiera, obteniendo como resultado un segmento
RPn cada vez más pequeño que quedará dividido por Pn+1 en media y extrema razón. Lo
que - según los autores- no podemos afirmar es si, verdaderamente, los pitagóricos se
dieron cuenta de que este proceso era perpetuo, deduciendo las consecuencias oportunas
del mismo. De cualquier manera, según Romero – Serrano (1994), y sea cual fuere el
grado de conciencia que tuvieran los pitagóricos acerca de esto, estamos ante un proceso
infinito que conduce a que la longitud del segmento RPn tendente a 0.
147 ROMERO * SERRANO. Op. cit. p. 28, 29. 148 Ibid., p. 29.
107
5. 4. 3. La sección Áurea
Es en esta época de la matemática griega es justamente cuando se descubrieron los
inconmensurables, y aun cuando los griegos no hubiesen reparado en ello, tal
descubrimiento lo que lleva implícito es nuevamente una aproximación a los procesos
infinitos, y a la noción de límite.
Se cree que los griegos llegaron al descubrimiento de este fenómeno por medio de lo que
ellos llamaron la Sección Áurea, consistente en una simple observación:
Si trazamos las 5 diagonales de un pentágono regular, estas diagonales
forman un pentágono regular más pequeño, cuyas diagonales forman, a su
vez, un tercer pentágono regular que es más pequeño aún149
Fig. 7
Este proceso según anota Romero – Serrano (1994) puede continuarse indefinidamente,
obteniéndose pentágonos que llegan a ser tan pequeños como se quiera y que llevan a la
conclusión que:
“la razón de la diagonal al lado en un pentágono regular no es un número racional.”150
149 Ibid., p. 31. 150 Ibid., p. 31.
108
La irracionalidad de esta razón es una consecuencia, según los autores, del proceso que
hemos visto al mostrar la aproximación al límite que realizo la Escuela Pitagórica a
través de la división de un segmente en sección, ya que aquí se demostraba que la
Sección Áurea se repetía una y otra vez. De haber sido así el hallazgo de los
inconmensurables, habría sido raíz de 5 y no de 2 como comúnmente se tiene entendido.
En este razonamiento, según apuntan Romero- Serrano (1994), vuelve a aparecer un
proceso infinito, propio de la noción de limite, que conduce a que, tras repetir el proceso
un número determinado de veces, el área del nuevo pentágono tienda a 0 y el pentágono a
un punto.
5. 4. 4. EUDOXO: Primera aproximación a la idea de límite.
Hacia el siglo IV a. C., los matemáticos griegos se agrupan en Atenas en la Academia de
Platón, convirtiéndose ésta en el médula matemática del mundo. De esta escuela brotaron
grandes hombres de ciencia, maestros e investigadores tales como Eudoxo que es preciso
destacar por su especial contribución a la idea de límite. Este eminente científico es más
conocido por lo que se ha venido a llamar la Reforma Platónica de la Matemáticas.
Entre sus principales aportaciones al campo de investigación que nos concierne esta; el
descubrimiento de un método que más tarde (s. XVII), sería denominado por Gregory de
Saint Vincente “Método de Exhausción” y al que Romero – Serrano (1994) consideran
como la primera aproximación a la idea de límite. Este método surge de la comparación
de las áreas de figuras curvilíneas y rectilíneas. Los matemáticos anteriores a Eudoxo ya
habían llegado a la conclusión de que era mejor inscribir y circunscribir las figuras
rectilíneas en curvilíneas, acrecentando indefinidamente el número de caras o lados, con lo
que las figuras rectilíneas se iban aproximando cada vez más a las curvilíneas. Sin
embargo, como anotan Romero – Serrano (1994), estos matemáticos no sabían, aún, cómo
cerrar el razonamiento por desconocer la noción de límite.
109
Según cuenta la historia, Arquímedes reconoció, que fue Eudoxo quien realmente
descubrió el lema que lleva su nombre y que sirvió de base al Método de Exhausción.
LEMA: Dadas dos magnitudes que tengan una razón (es decir que sean del
mismo tipo y ninguna de ellas sea cero) se puede encontrar un múltiplo de
cualquiera de ellas que exceda a la otra.151
Este lema, según Romero – Serrano (1994), constituye el equivalente griego del cálculo
integral. Además, a partir de este axioma el Método de Exhausción es simple de
demostrar.
MÉTODO DE EXAHUSCIÓN: Si de cualquier magnitud sustraemos una
parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no
menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción
terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier
magnitud del mismo tipo dada de antemano.152
Al punto, según Romero – Serrano (1994), que el método de Exhausción debe ser
considerado como la primera muestra en matemáticas de lo que en épocas posteriores de
ella habrá de recibir la denominación de límite.
Los griegos hicieron uso de este método para el cálculo de áreas y volúmenes de figuras
curvilíneas, de hecho es a Eudoxo a quien se le atribuye la primera demostración de que
el volumen de un cono es igual a 1/3 del volumen de un cilindro. Y aunque con
anterioridad se había sugerido que el área de un circulo se podía llegar a agotar
inscribiendo en él un polígono regular y aumentando indefinidamente el numero de lados,
fue Eudoxo, quién a partir de su Método, lo hizo de forma rigurosa.
151 Ibid., p. 33. 152 Ibid., p. 33.
110
5. 4. 5. Euclides de Alejandría (s. IV-III a. C.): Separación entre la ciencia de los
números y la ciencia de las magnitudes.
Matemático griego, del que no se tiene ningún conocimiento biográfico. Al parecer era
ateniense y posiblemente fue alumno de la Academia. Hacia el año 300 a.C. (bajo el
reinado del primer Ptolomeo), era profesor en la escuela matemática de Alejandría, de la
cual probablemente fue su fundador. Su obra fundamental fue la suma euclidiana más
conocida como: los Elementos de geometría. Actualmente se le considera como el gran
sistematizador de la matemática en el mundo antiguo, ya que en los trece libros de los
Elementos expone la geometría como un sistema formal axiomático-deductivo, que consta
de definiciones, postulados, y teoremas demostrados.
Acerca del continuo, según Álvarez – Barahona (2002), en su obra Euclides tiene la
necesidad de plantear, desde el segundo postulado del primer libro, la posibilidad de
prolongar de manera continua a un segmento de recta dado, dando así origen a la idea
de que la continuidad es, por esencia, una propiedad inherente a los segmentos de línea y,
por ende, se encuentra en la base misma de la geometría. Así aun cuando los Elementos
marco la diferencia aparentemente insalvable (hasta el s. XVII) entre la ciencia de los
números y la ciencia de las magnitudes –entre la teoría de las cantidades discretas y la de
las cantidades continuas, entre aritmética y geometría-, de igual forma es cierto que la
propiedad de la continuidad no se restringe a una figura que se traza y se vuelve
inteligible en el corpus euclidiano a través de la teoría de proporciones desarrollada en el
libro quinto. Asumiendo el papel que desempeñaron los axiomas o la intuición ahora una
definición: la de proporcionalidad entre cuatro magnitudes.
En interpretación de Álvarez – Barahona (2002) esta definición trae consigo un axioma
implícito, que es usado por vez primera por Euclides en este mismo libro quinto, y que
habría de constituirse con el tiempo en el signo que caracterizaría a las magnitudes
continuas, el axioma que garantiza la existencia, dadas tres magnitudes, de la cuarta
proporcional. Dejando con ello la posibilidad de expresar la propiedad de continuidad en
111
manos de la teoría de las proporciones, y a la aritmética la posibilidad de expresar tan
sólo las razones entre magnitudes conmensurables.
5. 4. 6. Aristóteles (384/383 – 322 a. C.): paradigma de la ciencia antigua y medieval
Según entiende Martínez – Cortes (1991), Aristóteles entendía el continuo como «lo
divisible en partes siempre divisibles», en oposición a los atomistas153 que consideraban
que la extensión se componía de átomos indivisibles, asimismo rechazó aquellas paradojas
e intentó comprender el problema que planteaban, pero no pudo darles solución
satisfactoria. Como ya se dijo antes, diferenció dos clases de infinito: por división y por la
distancia entre extremos; éste es el llamado, en su forma de pensar, infinito actual (real),
mientras que aquél es el infinito potencial (mental), y concibe la distancia y el tiempo
compuestos de una forma semejante, a saber, finitos en extensión pero infinitos en división.
La infinitud que esto supone es meramente «potencial», atribuible a la cosa por la mente
que enumera, pero no «actual», o real, aplicando aquí su teoría de acto y potencia. La
manera aristotélica de entender el infinito y el continuo fue la predominante en el
occidente, hasta la llegada de la ciencia moderna.
5. 4. 7. ARQUÍMEDES (287 – 212 a. C.): Segunda aproximación a la idea de límite.
Si bien Alejandría fue, sin lugar a dudas, el centro de la actividad matemática durante
toda la época helenística. No obstante, el matemático más importante de esa época vivió
y murió en Siracusa. Arquímedes se cree que nació cerca del año 287 a. C. Siendo su
primer maestro su propio padre quien era astrónomo. A Arquímedes, según Romero –
Serrano (1994), se le podría llamar el padre de la física matemática, no solo por su obra
153 “Los primeros atomistas fueron los filósofos presocráticos griegos Leucipo y Demócrito y, más tarde, los epicúreos y Lucrecio, que plantearon la hipótesis puramente especulativa de que la realidad material estaba compuesta de átomos y vacío.” MARTÍNEZ * CORTÉS. Op. cit., búsqueda bajo la palabra: atomistas.
112
Sobre el equilibrio de los planos, sino también por su tratado, en dos volúmenes,
Sobre los cuerpos flotantes.
Acerca de los grandes descubrimientos de Arquímedes, donde primero se observa la
existencia de un proceso iterativo que pueda llevar a la idea de limite, son sus trabajos
destinados a la estimación aproximada de la razón de una circunferencia a su diámetro.
Partiendo del hexágono regular inscrito en la circunferencia, Arquímedes calcula
los polígonos obtenidos duplicando sucesivamente el número de lados hasta
llegar al polígono regular de 96 lados. El procedimiento utilizado por Arquímedes
es un proceso iterativo relacionado con lo que se ha denominado Algoritmo de
Arquímedes: Considera dos sucesiones una la pn, p2n, p4n ...relativa a los
perímetros de los polígonos regulares inscritos y Pn, P2n, P4n, ... para los
perímetros de los polígonos regulares circunscritos. Comenzando con el tercer
término de la sucesión, podemos calcular cualquier término a partir de los dos
anteriores tomando, alternativamente, sus medidas armónica y geométrica.154
Aunque el método de Arquímedes para calcular raíces cuadradas al determinar el
perímetro del hexágono circunscrito y para hallar medias geométricas era muy semejante
al que utilizaron los babilónicos. Romero – Serrano (1994). No obstante, el resultado de
los cálculos de Arquímedes sobre el circulo fue una mejor aproximación para el valor
de Β que la obtenida por los egipcios y los babilónicos. Tal aproximación viene
formulada por la desigualdad:
3( 10 / 71 ) < Β < 3( 10 / 70).
Es de resaltar, que ni Arquímedes, ni ningún otro matemático de esta época, utilizaron la
notación de Β, ni tampoco la idea de número como razón de la circunferencia al diámetro
en un circulo. Este resultado, según Romero- Serrano (1994), aparece tardíamente en la
154 ROMERO * SERRANO. Op. cit., p. 34.
113
Proposición 3 del tratado Sobre medida del círculo, que llego a ser una de las obras más
populares de este autor en la Edad Media.
Según apuntan estos mismos autores, Arquímedes se vio atraído, al igual que sus
predecesores, por los tres famosos problemas geométricos (1.- La cuadratura del círculo.
2.– La duplicación del cubo. Y 3.– La trisección del ángulo.), dando solución a dos de ellos
por medio su conocida <<espiral>> . En este sentido, como recalcan Romero – Serrano
(1994), aunque la matemática griega suela caracterizarse como estática, por su escasa
atención a la idea de variabilidad, las soluciones dadas por Arquímedes, en su estudio de
la espiral, parecen haber determinado la solución a la tangente a la curva por medio de
consideraciones cinemáticas que recuerdan al cálculo diferencial. Más aun, en su libro
Sobre las espirales, al tratar sobre la cuadratura de la parábola Arquímedes tiene una clara
aproximación a la noción de limite.
A la época de Arquímedes las cónicas ya contaban con un siglo de ser conocidas y, sin
embargo, no se había adelantado en lo que al cálculo de sus áreas se refiere. Siendo
necesario el talento del mayor genio de la antigüedad para cuadrar una sección cónica,
concretamente un segmento de parábola. Eso según anotan Romero – Serrano (1994) se
encuentra recogido en la Proposición 17 de la obra dedicada a dicha cuadratura. La
demostración la hace por el método de Exhausción, llegando a demostrar rigurosamente
que el área K de un segmento parabólico APBQC es 4/3 del área de un triángulo con la
misma base y la misma altura.
114
Fig. 8
En las últimas siete proposiciones del mencionado libro de Arquímedes hay otra
demostración del mismo teorema.
Demuestra, en primer lugar, que el área del mayor triangulo inscrito en ABC con
base AC es igual a 4 veces la suma de las áreas de los correspondientes triángulos
inscritos con bases AB y BC. Llamando T al área de base AC y T1 y T2 a las
áreas de los triángulos con base AB y BC respectivamente, se verificaría según lo
anterior que:
T = 4(T1+ T2)
Y, por tanto,
T1 + T2 = T / 4.
Análogamente, el área del triangulo de base AB representado por T1 , sería igual
a cuatro veces la suma de las áreas de los triángulos de bases AP y PB, que
podíamos representar por T3 y T4 , respectivamente; y el área del triangulo de base
BC, representado por T2 , sería igualmente la suma de las áreas de los triángulos
115
de base BQ y QC, que podíamos representar por T5 y T6 , respectivamente.
Siendo:
T1 = 4 (T3 + T4 )
T2 = 4 (T5 + T6 )
T = 42 (T3 + T4 + T5 + T6)
Y, por tanto,
T3 + T4 + T5 + T6 = T / 42.
Continuando el procedimiento llegaríamos a que el área K del segmento
parabólico APBQC vendría dado por la siguiente suma:
T + T/4 + T/42 + ... + T/4n + ... .155
Como expresan Romero – Serrano (1994), evidentemente, Arquímedes no llego nunca a
calcular dicha suma, puesto que se trata de la suma de una serie infinita y “los procesos
infinitos no se aceptaban en su época.”156 No obstante, si llego a demostrar, por
reducción al absurdo, que dicha suma no podía ser mayor ni menor que 4T / 3 que es el
mismo valor que obtendría hoy día si se verificara la suma de esa expresión.
Según este mismo autor, donde más próximo estuvo Arquímedes a la noción de límite fue
en su obra Sobre conoides y esferoides. En este trabajo, Arquímedes dedica un apartado
al cálculo de volúmenes de los segmentos que se obtienen al cortar un elipsoide,
paraboloide o hiperboloide por un plano perpendicular al eje principal, para ello obra de
forma muy similar a como lo hace el método de integración que utilizamos hoy día.
Sea un segmento recto de paraboloide de revolución ABC, de eje CD.
155 Ibid., p. 37. 156 Ibid., p. 37.
116
Fig. 9
Consideremos el cilindro circunscrito al sólido, cuyo eje es también CD y
dividamos el eje en n parte iguales de longitud h, trazando por los puntos de
división planos paralelos a la base.
Construyamos sobre los círculos en que estos planos cortan el paraboloide
cilindros inscritos, tal como indica la figura.
Arquímedes demostró que la diferencia entre los volúmenes de los sólidos inscrito
y circunscrito es igual al volumen de la rodaja inferior de los cilindros
circunscritos; de este modo si se hace crecer el número n de subdivisiones del eje
CD, cada rodaja se irá haciendo más delgada con lo que la diferencia entre los
sólidos inscrito y circunscrito podrá hacerse menor que cualquier magnitud dada
de ante mano, consecuentemente coincidente con el volumen del paraboloide de
revolución.157
En realidad, según expresan Romero – Serrano (1994),
la diferencia principal que podemos encontrar entre el método de Arquímedes y
los procedimientos de nuestro cálculo integral estriba, fundamentalmente, en que
157 Ibid., p. 37, 38.
117
el primero carecía del concepto de límite de una función; concepto, éste, al que el
matemático griego se aproximo peligrosamente, sin que, no obstante, pudiera
llegar a formularlo.158
5. 5. Preestadios de la noción de función
“Del pasado queremos solamente el fuego, no las cenizas.”
Jean Jaurés
En interpretación de Wussing (1989) pese a poder considerarse las tablillas de cálculo de
las matemáticas babilónicas, algunos desarrollos de la teoría de las cónicas de Apolonio o
las tablas astronómicas del Almagesto como etapas previas en la formación del concepto
de función, al igual que la teoría de latitudes de formas de Nicolás Oresme en la Edad
Media Europea. No se debe olvidar, al considerar estos preestadios del concepto de
función, que la irrupción del concepto real de las misma pudo acontecer sólo tras el paso
de una matemática de magnitudes considerada de forma estática, a una matemática de las
variables, es decir, solo después de qué, en el transito del siglo XVI al siglo XVII, Vieta,
Fermat y Descartes distinguieran de manera consiente entre magnitudes constantes y
variables.
5. 5. 1. Noción de función en las civilizaciones antiguas
En esta época aunque se llevan a cabo diversos estudios sobre dependencias entre
cantidades de diferentes magnitudes, como ya se dijo antes, no se llegan a aislar las
noción generales de cantidad, variable y de función. Siendo especialmente las culturas que
más aportaron al concepto matemático de función, los babilónicos y los griegos.
158 Ibid., p. 37.
118
5. 5. 2. Babilónicos
El cuarto milenio de nuestra era fue un periodo de gran desarrollo cultural, en el cual se
presencio el nacimiento de la escritura, el uso de la rueda y de los metales. Al igual que en
Egipto durante la primea dinastía, también en el valle de Mesopotámica había un alto
nivel de civilización. Estas civilizaciones mesopotámicas de la antigüedad suelen
llamarse, de manera ambigua y genérica, babilónicas, aunque tal designación no es
estrictamente correcta, dado que la ciudad de Babilonia no existió, ni desde los inicios de
la civilización entre los valles del Eúfrates y el Tigris, ni tampoco existió siempre a lo
largo de estas civilizaciones. Romero – Serrano (1994).
Acerca de los matemáticos babilónicos debe decirse; que estos estaban más interesados
en el cálculo de regularidades que en la búsqueda de expresiones generales de los mismos
como así lo demuestran los cientos de tablillas de arcilla, que han llegado hasta nosotros,
donde los matemáticos babilónicos primariamente interesados en los cálculos
astronómicos realizaron una compilación de efemérides del sol, de la luna y de los
planetas. De ellas, según Romero – Serrano (1994), también se tiene evidencia, que los
matemáticos babilónicos igualmente se dedicaron a estudiar problemas de variaciones
continuas, tales como la luminosidad de la luna en intervalos de tiempo iguales, los
periodos de visibilidad de un planeta en relación con el ángulo que este forma con el sol.
Haciendo uso para sus cálculos de tablas sexagesimales de cuadrados y raíces cuadradas,
de cubos y raíces cúbicas, así como potencias sucesivas de un numero dado, de forma
análoga a las actuales tablas de logaritmos. Así mismo, en estas tablillas, sean encontrado
tabulaciones de valores de n 2 + n para valores naturales de n. Como otras en las cuales se
hace evidente que conocían la suma de la progresión geométrica 1 + 2 + 22 + ... , para
sucesivos términos, así como la suma de la serie 12 + 22 + 32 + 42 + ... +n2 par valores
distintos de n. Ruiz (1998).
Sin embargo como dice Boyer (1986):
119
El hecho de que no se haya conservado ninguna formulación general de estas
tablas no significa necesariamente que no existieran en el pensamiento antiguo
prehelénico conciencia de la generalidad de dichas reglas o principios. Si no
hubiera, de una manera u otra, una regla general subyacente, sería muy difícil de
explicar la analogía entre los distintos problemas del mismo tipo.159
Lo cual en opinión de Pedersen (1974) citada por Ruiz (1998), se traduce en que los
matemáticos babilónicos poseyeron un autentico Instinto de funcionalidad, dado que una
función no es sólo una formula sino una relación más general que tiene como objeto el
asociar elementos entre dos conjuntos, cuestión esta que si esta presente en las
numerosas tablillas de cálculos babilónicas.
Acerca de este llamado instinto de funcionalidad, según afirma Ruiz (1998), este se hizo
patente en los trabajos y métodos que emplearon los matemáticos y astrónomos
babilónicos, esencialmente, en el uso que hicieron de los métodos cuantitativos en un
intento por aritmetizar observaciones difícilmente medibles, ya que no se limitaron sólo a
una tabulación de datos empíricos sino que usaron interpolaciones y extrapolaciones en
la búsqueda de regularidades. Siendo esta búsqueda de regularidades en sus tabulaciones,
quizás su más importante característica, aunque existe, según este mismo autor, una
distancia muy grande entre el instinto de función y la noción de función.
5. 5. 3. Griegos
Aunque ideas tales como cambio y cantidad variable no eran extrañas al pensamiento
griego. Y los problemas del movimiento, de la continuidad, del infinito ya eran objeto de
estudio desde la época de Heráclito y de Zenón, y una gran parte de la filosofía natural
aristotélica desde tiempo atrás estaba ya consagrada al estudio de dichas cuestiones. No así,
según Ruiz (1998) se podría afirmar, que en el pensamiento griego existiera una idea
159 BOYER, C. Historia de las Matemáticas. Madrid. Alianza universidad. 1986. p. 66.
120
primitiva de función implícita en las nociones de cambio y las relaciones entre magnitudes
variables. Esto debido principalmente a que los filósofos griegos consideraban al cambio y
el movimiento como algo externo a las matemática, de hecho en el Cap. VII, libro XI de
Metafísica, Aristóteles concibe a la física como una ciencia estrictamente teórica: Los
objetos de la matemática no están sujetos al movimiento con la sola excepción de aquellos
a los que se refiere la astronomía. Asimismo, en los Elementos de Euclides los objetos
matemáticos y las relaciones son estáticas.
Siendo esta filosofía estática de las Matemática la razón por la que a lo largo de mucho
tiempo los matemáticos griegos pensaron y hablaron en términos de incógnitas e
indeterminadas, más que en términos de variables. Lo que condujo naturalmente, según
Ruiz (1998) a las proposiciones y ecuaciones, y no a las funciones. Asimismo esta actitud
hacia las matemáticas estuvo aferrada en la mente de los matemáticos durante mucho
tiempo.
Según Ruiz (1998), los matemáticos griegos consideraron a las magnitudes físicas y las
proporciones entre ellas como algo diferente a las igualdades estrictamente numéricas.
Esta idea de variabilidad como característica exclusiva de las magnitudes físicas, según él,
puede considerarse como un claro obstáculo para el desarrollo de la noción de función.
Dado que esta idea estuvo fuertemente arraigada en la mente de los matemáticos griegos y
fue perpetuada a través de todo el Renacimiento e inicio de la Modernidad por Oresme,
Galileo y Leibniz.
Sin embargo, según cita Ruiz (1998) de René de Cotret (1985), las nociones que tuvieron
un mayor influjo negativo en la avance del concepto de función irrumpieron en la
matemática desde los tiempo de Pitágoras, y fueron los conceptos de proporcionalidad,
inconmensurabilidad y la fuerte división existente, en el mundo, griego entre número y
magnitud. Así, según explica Ruiz (1998), un proceso tan natural hoy día como es asociar
a cualquier cantidad de una magnitud una cierta medida numérica, para el pensamiento
griego era imposible dado que magnitudes y números eran dos cosas bien distintas.
121
Sin embargo, Pitágoras, y en general la escuela pitagórica, cuya afinidad con el
pensamiento babilónico era muy fuerte, Ruiz (1998), creía que “todo es numero”160. De
hecho para los pitagóricos, un número podía ser asociado a cualquier magnitud.
Aunque estos dos conceptos eran bien distintos, el numero correspondía a la
aritmética y teoría de números, y la magnitud a la geometría, sin embargo, reinaba
una voluntad de unificar el numero y la magnitud en la escuela pitagórica.161
Muestra de ello es que intentaron relacionar los números y las magnitudes a través de las
proporciones, lo que les permitió resolver algebraicamente muchos problemas
geométricos. Entendiendo las proporciones como la razón numérica que se puede
establecer entre dos cantidades de un misma magnitud.
Según cita Ruiz (1998) de René de Cotret (1985): “Esta costumbre de expresar todas las
relaciones entre las cosas bajo forma de proporciones es un obstáculo al desarrollo de la
noción de función.”162, ya que cuando se ocupan con proporciones les era muy dificultoso
160 “...y aun antes que ellos, los denominados Pitagóricos, dedicándose los primeros a las matemáticas, las hicieron avanzar, y nutriéndose de ellas, dieron en considerar que sus principios son principios de todas las cosas que son. Y puesto que en ellas lo primero son los números, y creían ver en éstos -más, desde luego, que en el fuego, la tierra y el agua- múltiples semejanzas con las cosas que son y las que se generan, por ejemplo, que tal propiedad de los números es la Justicia, y tal otra es el Alma y el Entendimiento, y tal otra la Oportunidad y, en una palabra, lo mismo en los demás casos, y además, veían en los números las propiedades y proporciones de las armonías musicales; puesto que las demás cosas en su naturaleza toda parecían asemejarse a los números, y los números parecían lo primero de toda naturaleza, supusieron que los elementos de los números son elementos de todas las cosas que son, y que el firmamento entero es armonía y número. Y cuantas correspondencias encontraban entre los números y armonías, de una parte, y las peculiaridades y partes del firmamento y la ordenación del Universo, de otra, las relacionaban entre sí sistemáticamente. Incluso, si echaban en falta algo, deseaban ardientemente añadirlo, de modo que toda su doctrina resultara bien trabada; quiero decir, por ejemplo, que basándose en que el número diez parece ser perfecto y abarcar la naturaleza toda de los números, afirman también que son diez los cuerpos que se mueven en el firmamento, y puesto que son visibles solamente nueve, hacen de la antitierra el décimo.”. ARISTOTELES. Metafísica, Op. cit., p.89-90. 161 DE COTRET, R. Etude historique de la notion de fonction: Analyse epistemologique et experimetation didactique. Citado por RUIZ. Op. cit., p. 109. 162 RUIZ. Op. cit. p. 109.
122
distinguir la relación entre magnitudes distintas, pues siempre comparaban magnitudes de
la misma naturaleza.
Así, por ejemplo, las áreas de los círculos o los volúmenes de las esferas son
proporcionales al cuadrado y al cubo, respectivamente, de sus radios; no admitían
que esta proporción pudiese ser valida para los radios simplemente, pues
pertenecían a una magnitud diferente, la longitud.163
Impidiéndoles este modo de pensar observar las relaciones de dependencia entre
magnitudes diferentes lo que les hubiese aproximado a pensar relaciones funcionales.
Ahora bien, la razón por la que los griegos instauraban de forma homogénea sus
proporciones, según Ruiz (1998), debe ser buscada en el significado geométrico que para
ellos tenían las magnitudes variables. Una variable correspondía a la longitud de un
segmento rectilíneo; el producto de dos variables, al área de un rectángulo; y el producto
de tres variables, al volumen de un paralelepípedo rectangular. Así este uso sistemático y
riguroso de la geometría para representar relaciones entre variables, hizo que siempre al
construir proporciones, se compararan longitudes con longitudes, áreas con áreas, y
volúmenes con volúmenes, careciendo de sentido una razón entre magnitudes distintas.
Según René de Cotret: “la homogeneidad que conducía a comparar siempre magnitudes
de la misma naturaleza, pudo ser también un obstáculo al desarrollo de la noción de
función”164, dado que ensombrecía e impedía hallar, de forma significativa, dependencias
entre variables de disímiles magnitudes, lo que es el germen de toda relación funcional.
Recordando lo que se dijo un poco antes, para los pitagóricos todo es numero, lo que los
llevó a pensar que existía una unidad, y que el mundo estaba compuesto por una multitud
de unidades indivisibles. Así, según esta escuela, hay elementos indivisibles de tiempo y
163 Ibid., p. 109. 164 DE COTRET. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 109.
123
espacio, y una multitud de ellos componen el tiempo y el espacio. Asimismo imaginaban
que existía una unidad muy pequeña e indivisible, que era el elemento generador de todas
las magnitudes. Esta tesis, según Ruiz (1998), tuvo un fuerte oponente como fue Zenón
con sus paradojas. Más, sin embargo, su principal adversario fue el problema de la
inconmensurabilidad. Dado que en el se mostraba la existencia de caos donde es imposible
encontrar una medida común para dos magnitudes.
Desde entonces, según Ruiz (1998) es absurdo expresar la razón entre dos magnitudes por
medio de números enteros.
se abre un autentico cisma entre números y magnitudes...Desde este momento los
números dejan de ser considerados como entes continuos, y las magnitudes
dejan de ser asociadas a los números; a partir de ahora y, hasta la aparición de los
irracionales, los números son discretos, y todo lo que es continuo deja de ser
numérico. Así pues, es imposible tener variables numéricas que representen
magnitudes, pues los números son discretos y las magnitudes continuas.165
Así pues, se puede afirmar, que la “inconmensurabilidad y las paradojas son obstáculos a
la noción de función, puesto que discretizan los números y esto impide que se
establezcan relaciones generales numéricas entre las magnitudes.”166 Y por ende debe
decirse, por ser este un concepto que esta próximo al estudio del movimiento, que en el
siglo XVII dio origen al Cálculo diferencial, a través del método de Fluxiones de Newton,
el retrazo en la aparición de dicho concepto debido a las paradojas, se constituye en un
obstáculo para el posterior desarrollo del concepto de derivada.
5. 6. Pensamiento matemático en la Edad Media
165 Ibid., p. 110. 166 Ibid., p. 110.
124
Según Martínez – Cortés (1991), la forma aristotélica de entender el continuo y el infinito
fue la que predominó hasta la llegada de la ciencia moderna, ello debido principalmente a
que escuelas como el Neo platonismo que buscaban la renovación del pensamiento de
Platón (interpretado especialmente desde una perspectiva religiosa) adoptaron la teoría del
acto y potencia aristotélicos, para fundamentar sus concepciones cosmológico-religiosas.167
5. 6. 1. Noción de infinito en la Edad Media
5. 6. 2. Neo platonismo
Esta escuela respecto del infinito, según interpretación de Ferrater (1949), precisa la
anterior distinción entre lo infinito negativo, potencial, de la materia, y el infinito
positivo, actual, de lo Uno. Aquí, aunque, la realidad dada al ser finito sigue siendo
finita, no obstante, es una finitud que se construye por su “comprensión” dentro de dos
infinitos. Alcanzando en este período el infinito positivo su preponderancia sobre su
contrario. Constituyéndose la materia en el último término de la procesión cósmico –
divina, lo cual es que; aun el mismo infinito potencial es engendrado por el actual y
depende de él. Y ello hasta tal punto, que puede inclusive decirse que todo lo que existe,
es, en ultima instancia, infinito.
5. 6. 3. Cristianismo e infinito
Con el cristianismo, lo infinito, más bien ahora la infinitud, pasa a ser, por obra de los
padres de la Iglesia, el atributo propio y exclusivo de Dios. Dándose un análogo primado
del infinito. Más sin embargo, según anota Ferrater (1949), aquí no se reduce todo ser a
infinito, pues hay algo esencialmente finito: lo creado. Ello gracias a no haber
167 “el emanatismo neoplatónico mantiene el continuo entre lo Uno y la materia informe, en una jerarquía de seres que forman esta gradación sin saltos, una gran cadena del ser” MARTÍNEZ * CORTÉS. Op. cit.,
125
identificación entre Dios y las criaturas, puede entonces afirmarse la existencia de lo
finito y de lo infinito, pero, en todo caso, la infinitud constituye una de las
características esenciales de la persona divina. Siendo precisamente uno de los
caracteres que permiten al cristianismo comprender un poco la inconmensurabilidad del
Creador, la contraposición de la infinitud de Este con la esencial finitud de lo creado.
Solo Dios es infinito. Pues como Santo Tomas dice, el propio Dios, con toda su
omnipotencia, no podría crear algo absolutamente infinito. Lo cual no significa que haya
entre Dios y las criaturas un abismo insondable como así lo ha expuesto la teología
dialéctica y la teología negativa, de inspiración neo platónica, en oposición hay teología
positiva que se refiere más a la comunidad de las personas que a la estructura cósmico-
metafísica de los entes.
5. 6. 4. Escolástica
Según interpreta Ferrater (1949), el desarrollo de la idea de infinito en esta escuela muestra
evidentemente el primado de la contraposición entre la infinitud del creador y la finitud
de lo creado, sin que ella excluya en absoluto la presencia de la ultima. Pues “cuando el
pensamiento se atiene a Dios, el infinito prima, y la actualidad de este infinito no es en
ningún caso negada.”168 No obstante los escolásticos a la hora de referirse a las
criaturas y lo creado, esto lo hacían a la Luz del análisis aristotélico. “El ser se
determina por lo que tiene de positivo; por lo tanto el ser de una realidad es su ser
“cerrado”.”169 Más, sin embargo, el ser de Dios, determinado también por lo que tiene
de positivo, no puede ser “cerrado”, aunque, este cerrarse alude a la posibilidad de un
infinito “completo” y por ello “determinado”. De hecho, los escolásticos admitían para lo
creado el infinito potencial, más no el actual, pues este sólo corresponde a Dios.
búsqueda bajo la palabra: continuo . 168 FERRATER. Op. cit., p 15. 169 Ibid., p. 15.
126
5. 6. 4. Santo Tomás (1225 – 1274)
Como máximo exponente de la escolástica, sostenía que si bien los antiguos filósofos no
mentían al decir que el primer principio es infinito, si se equivocaron cuando
convirtieron a este ultimo en un cuerpo. Según Ferrater (1949), en una clara alusión a la
doctrina aristotélica del infinito. Para él la materia es por principio limitada por la
materia que la individualiza. Siendo sólo Dios, forma pura, infinito, pero no entendido al
modo del infinito material. Así la infinitud que corresponde a Dios es absoluta. Santo
Tomás de hecho niega formalmente la existencia de un infinito actual distinto de la
absoluta infinitud de la pura forma Divina, es decir, un infinito actual en extensión o
magnitud cualesquiera. Pues aun cuando se supusiera que un cuerpo es infinito en
extensión, esto no implicaría que lo fuese por esencia, porque la esencia se limita
siempre a una especie por la forma y a una individualidad por la materia. Más tampoco
las cosas creadas son infinitas en extensión.
Haciendo evidente desde esta perspectiva las distinciones escolásticas entre lo finito y lo
infinito, así como las distintas clases de infinito que ellos postularon. Sin embargo,
ninguna de estas distinciones anula la clásica distinción entre el infinito absoluto y los
demás infinitos, que siendo de alguna manera potenciales, pertenecen metafísicamente al
orden infinito.
Apareciendo el pensamiento del infinito actual sobre todo cuando se suponía posible la
prueba de Dios por las condiciones implícitas en su ser. Pues sin la posibilidad misma de
pensar el infinito actual no podría poseer sentido la prueba antológica y a su vez no
tendría sentido hablar de una edad media , tanto en las direcciones más aristotelizantes.
5. 7. Matemáticas del medioevo.
127
Después de la desaparición de la sociedad antigua, la floración de la ciencia en los países
de cultura árabe no aporta conocimientos nuevos y significativos al tema que aquí nos
concierne. Sin embargo, es de destacar de esta época la enorme y fundamental labor de
traducción de obras de astronomía, alquimia y geometría provenientes de India y de la
antigua Grecia (Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio). Y las interesantes
aportaciones que realizaron en otros campos de las matemáticas, que Romero-Serrano
(1994) resumen en:
1.- Desarrollo de una aritmética, proveniente de la india.
2.- Desarrollo de un álgebra de orígenes griegos, indios y babilónicos, a la que le
proporcionaron una nueva forma más sistemática.
3.- Desarrollo de una trigonometría de origen griego, a la que los árabes dieron
forma hindú y ampliaron con nuevas formas y relaciones.
4.- Desarrollo de una geometría que provenía , igualmente, de Grecia y a la que
contribuyeron con diversas generalizaciones y con estudios críticos, tales, como los
relativos al axioma de las paralelas.170
5. 7. 1. Noción de función en la Edad Media
Aunque, como ya se dijo antes, después de la desaparición de la sociedad antigua fueron
pocos los aportes que brindaron los países de cultura árabe a la noción de lo que
posteriormente habrá de ser llamado derivada, es de resaltar, dos aportes característicos
de la matemática árabe, a saber; la separación del álgebra y la trigonometría como ciencias
particulares dentro de la matemática. En álgebra los árabes además de realizar una
clasificación exhaustiva de todo tipo de ecuaciones, crearon las bases para la
formalización de una teoría de las ecuaciones. En trigonometría, hicieron de ella más que
un conjunto de medios auxiliares de la astronomía, un estudio serio de todo tipo de
170 ROMERO * SERRANO. Op. cit. p. 48.
128
triángulos planos y esféricos. Al punto según Ruiz (1998) que en ambas ciencias falto tan
solo un paso para que adquirieran el aspecto analítico que tienen hoy día.
En el Viejo mundo las matemáticas aún siguen manteniendo la disociación entre
numero y magnitud, legada de de la filosofía de la matemática antigua, reflejándose esto
en sus concepciones cualitativas y cuantitativas del universo. Ruiz (1998). En esta misma
época, la matemática se convierte en la ciencia racional modelo, esto gracias a la
recuperación gradual de la lógica de Aristóteles y de la matemática griega y árabe. Los
científicos, siguiendo las ideas de Platón, mantenían que los sentidos son engañosos, y
que solo a través de la razón se podía alcanzar la verdad.
En el campo del estudio de la naturaleza una de las mayores preocupaciones de la Edad
Media fue el análisis de los fenómenos sujetos a cambio y movimiento. “Se preguntaban
por qué los planetas brillan, por qué el viento sopla, por qué se forma el arco iris, por qué
la lluvia cae, mientras que el fuego sube. Trataban de encontrar un modelo de universo que
correspondiese a estas cuestiones”.171
Investigando los fundamentos filosóficos para dar respuesta a dichas cuestiones en las
ideas de Aristóteles y de Platón. Los cuales indagaban la causa de los cambios
cualitativos del movimiento. Platón por su parte sostenía que las matemáticas podían servir
para definir la causa, mientras que Aristóteles era de la creencia que física y matemática
eran dos cosa bien distintas, dado que las matemáticas eran la ciencia de la cantidad
abstracta, y las causas del cambio había que buscarlas en las cosas materiales. Ruiz (1998).
“La historia nos va a mostrar que es unificando, fundiendo las dos concepciones , como
se van a poner las bases de la noción de función”.172
171 DE COTRET. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 111. 172 Ibid., p. 111.
129
A partir del siglo XII la ingerencia de las matemáticas en las ciencias de la naturaleza es
cada vez más importante , al punto de que se va poniendo cada vez más en duda la estricta
demarcación aristotélica entre ellas y las ciencias físicas. Según cita Ruiz (1998) de
Crombie (1979), la historia de las ciencias europeas, del siglo XII al XVII, pude ser
pensada como la inserción progresiva de las matemáticas, junto con el método experimental
en el domino que se creía que pertenecía exclusivamente a las ciencias físicas. De hecho la
noción de función se beneficiara con los aportes muy significativos de las escuelas de
filosofía de Oxford y Paris. Filósofos tales como Grossetest y Bacón, aseguran que las
matemáticas son el principal instrumento para estudiar los fenómenos naturales.
En esta época fenómenos sujetos al cambio, tales como, el calor, la densidad, la distancia,
la luz, la velocidad, llamados cualidades o formas en la filosofía de Aristóteles, son
estudiados planteándose no solo por qué suceden los cambios sino fundamentalmente
cómo suceden los cambios.
Muestra de ello es la teoría de la intensidad de formas, llamada también teoría de las
calculaciones, y su parte más importante, la cinemática, que fue desarrollada por los
ingleses Heytesbury y Swineshead, quienes siguieron una orientación cinemática –
aritmética, en Francia el principal agente de tal tendencia fue Oresme, quien siguió una
dirección geométrica.
Así el movimiento, respecto del cual había sido impotente la geometría griega –
concebida estáticamente-, era estudiado por vez primera matemáticamente,
conduciendo así a la fundación de la ciencia de la cinemática, esto es, al análisis
del movimiento en términos de distancia y tiempo.173
De hecho, según Ruiz (1998), los métodos de la física matemática fueron desarrollándose
en unión con la idea de relación funcional.
130
Existía una concepción sistemática de las variaciones concomitantes entre causa
y efecto; expresando el fenómeno que debía ser explicado (la variable
dependiente como la llamamos ahora) como una función de las condiciones
necesarias y suficientes de su producción (las variables independientes), se puede
mostrar exactamente cómo están relacionados los cambios de la primera con los
de la segunda.174
Según explica Ruiz (1998) para que este método fuese eficaz en la practica, debían
hacerse medidas muy sistemáticas, que en el periodo anterior al s. XVII, fueron muy
pocas. De hecho, “En el s. XVI la idea de relaciones funcionales fue desarrollada sin
medidas efectivas y solamente en principio.”175 Más, sin embargo, en este periodo se
desarrollaron principalmente dos métodos para expresar las relaciones funcionales. Uno
fue el llamado “álgebra de palabras”, desarrollado por Bradwardino de Oxford, en el que
se obtenía la generalización empleando las letras del alfabeto, en lugar de números, como
sucedáneo de las cantidades variables, mientras que las operaciones usuales entre números,
que eran realizadas con estas cantidades, se describían con palabras en vez de representarlas
con símbolos. Y el otro fue un método geométrico que hacia uso de graficas. Método este
que se hizo común en Oxford y Paris a principios del s. XIV, siendo su principal
exponente Oresme.
5. 7. 2. Nicolás Oresme (1320-1382)
Este filósofo, teólogo, científico y economista galo perteneciente a la corriente ockamista.
Nacido cerca de Caen, en Normandía. Desarrolló una gran actividad intelectual en muchos
y distintos campos de interés: como traductor, como economista, como matemático y como
físico. No obstante, sus trabajos más destacados son los que versan sobre física.
173 CROMBIE, A. Historia de la Ciencia, citado por RUIZ. Op. cit., p. 112. 174 Ibid., p. 112.
131
Para afrontar el estudio de las velocidades «instantáneas» de un móvil, realizó un
procedimiento matemático basado en un método gráfico de figuras bidimensionales para
representar el tiempo (que se ha considerado precursor de las coordenadas cartesianas). Con
el cual a su ves, también podía estudiar la extensión de una cualidad y las cualidades
intensivas. En cuanto a la explicación del movimiento defendió la teoría del ímpetus y, con
su teorema de la velocidad media y su descripción matemática del movimiento acelerado,
se avanzó implícitamente a la formulación del principio de inercia, preparando el camino,
según Ruiz (1998), para la formulación de una física matemática y no ya metafísica.
El objetivo principal de Oresme, con su método grafico, era el representar por una figura
las intensidades de una cualidad de una magnitud continua que depende de otra magnitud
análoga. Oresme, según cita Ruiz (1998) de D’hombres (1987), distinguía tres tipos de
figuras o de configuraciones diferentes: 1) Uniformemente uniformes, 2) Uniformemente
deformes y 3) Deformemente deformes.
Las cuales en interpretación de Ruiz (1998) consisten en:
1). Si consideramos la representación de la velocidad con respecto al tiempo, podemos
asociar una figura uniformemente uniforme para el caso en que la velocidad sea constante.
Oresme dibujaba una grafica velocidad tiempo en la que los puntos de una recta
horizontal representaban los sucesivos instantes de tiempo (longitudes) y, para
cada uno de estos instantes, traza un segmento (latitud) perpendicular a la recta en
dicho punto, cuya longitud representa la velocidad en ese instante. En este caso se
obtiene un rectángulo:176
175 Ibid., p. 112, 113. 176 RUIZ. Op. cit., p. 114.
132
Fig. 10
2) Una figura uniformemente deforme corresponde a una velocidad con aceleración
constante. En tal caso, según explica Ruiz (1998), la línea borde es una recta, y la figura
puede ser un triangulo o un trapecio, según la intensidad inicial de la cualidad:
Fig. 11
Según cita Ruiz (1998) de Youschevikch (1976); Oresme expresaba esta cualidad
diciendo: “es aquella en la que si tomamos tres puntos de la recta considerada, la razón
de la distancia entre el primero y el segundo, a la distancia entre el segundo y el
tercero, es como la razón del exceso de la intensidad del primer punto sobre el segundo
al exceso del segundo sobre el tercero.”177 La intensidad, como se observa en la figura,
dice Ruiz (1998), está significada por la hipotenusa de un triangulo rectángulo o por el
lado superior inclinado de un cuadrilátero que tenga dos ángulos rectos en la base.
177 YOUSCHEVITCH, A. The concepto f function up to the middle of the 19th century, citado por RUIZ. Op. cit., p. 115.
133
3) Las figuras deformemente deformes, estas corresponden a las aceleraciones no
constantes de la velocidad. Correspondiendo a estas todos los casos en donde la línea borde
no sea una recta:
Fig. 12
Según Ruiz (1998), si bien los términos latitud y longitud que usaba Oresme podrían ser
similares a los actuales conceptos de ordenada y abscisa respectivamente, y a pesar de
que sus representaciones graficas se parecieran mucho a nuestra geometría analítica;
La longitud horizontal de Oresme no era estrictamente equivalente a la abscisa
de la geometría analítica cartesiana: no estaba interesado en describir la posición
de los puntos con respecto de coordenadas rectilíneas, sino en la figura misma. En
su obra no hay asociación sistemática de una relación algebraica con una
representación grafica, en la que la ecuación de dos variables determina la curva
especifica formada por valores variables simultáneamente de longitud y latitud, y
viceversa. Sin embargo, su obra fue un paso adelante hacia la idea de
movimiento de la que había carecido la matemática griega.178
No obstante, se puede decir, siguiendo a Ruiz (1998), que Oresme fue capaz de captar
el principio esencial de que una función de una variable puede representarse por una
curva. Así mismo se puede decir con respecto a las representaciones de Oresme que estas
fueron más cualitativas que cuantitativas. Al punto de no poder ser consideradas como la
expresión de una dependencia, en el sentido actual, ello solo seria posible, según Ruiz
(1998), si nos concentrásemos únicamente en la línea superior o de intensidades, en su
178 CROMBIE. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 115.
134
derivada, es decir, en la forma de la variación, analizando el trabajo de Oresme se observa
que esta línea no aparece aislada sino que el fenómeno se representa a través de toda la
figura, por su forma, como ya se menciono antes, y por la superficie que queda bajo la
curva, es decir, por la integral de la curva.
Más aun, como agrega Ruiz (1998), las relaciones funcionales no estaban dadas de forma
analítica. Y por esto las representaciones graficas no podían ser utilizadas adecuadamente
para describir los fenómenos físicos. Así pues, “Podemos decir que Oresme ha tallado
el árbol del bosque que permitirá más tarde a Descartes y Galileo confeccionar la
rueda.”179
5. 8. Pensamiento matemático en la Edad Moderna
5. 8. 1. Pensamiento moderno del infinito
Tal y como apunta Ferrater (1949), la noción de infinito a través de la época moderna se
abre paso sobre todo en las meditaciones de Nicolás de Cusa y Giordano Bruno en una
contraposición a lo creado de la infinitud que la escolástica había reservado al ser
primero.
5. 8. 2.Giordano Bruno (1548 – 1600)
En Bruno, por un lado, según Ferrater (1949), hay una negación del marco mismo dentro
del cual se había desarrollado hasta entonces la teoría de los infinitos, al hacer coincidir
potencia y acto en una misma unidad, así ser y poder se encuentran en la eternidad. De
allí que no haya distinción entre el principio infinito y los mundos infinitos, que son en
rigor, la misma realidad contemplada desde dos puntos de vista , el de la natura naturans
135
y el de la natura naturata. “Si Dios tiene que intervenir en el mundo ha de ser, según
Bruno, inmanente al mundo, pero ello quiere decir que este mundo ha de ser, a su vez,
infinito y divino.”180
5. 8. 3. Nicolás de Cusa (1401 – 1464)
Por su parte, Nicolás de Cusa, el los planteamientos de Ferrater (1949), intenta superar las
contradicciones de lo finito desde la idea de infinito. La coincidencia de los opuestos, la
identidad de los opuestos en el Uno infinito componen un modo de pensar para el que
inicialmente la infinitud de todo lo real es algo positivo. Dicha concepción de Cusa es
proporcionada por las matemáticas. Pero como dice Ferrater (1949) es una pura ilustración.
Las concepciones del universo como la explicación de lo implicado, al modo del
neoplatonismo, se conjuga con la idea del origen inmediato del universo en un primer
principio. Así para Cusa la realidad del mundo no es la mezcla del infinito positivo y
del negativo, sino algo que posee una positividad infinita.
La coincidentia oppositorum, de Nicolás de Cusa, y la afirmación por Giordano
Bruno de que “el Universo es uno, infinito, inmóvil”, constituye, así, los plintos
sobre los cuales se montarán las especulaciones modernas acerca del infinito.
Esta son de tal modo insistentes , que se ha podido hablar de un infinitismo en la
concepción moderna del universo.181
5. 8. 4. Infinitismo en las matemáticas modernas
El infinito en las concepciones moderna acerca del universo, se advierte desde luego en el
avance de las matemáticas; complementando métodos ya usuales en ella como el método
179 DE COTRET. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 116. 180 FERRATER. Op. cit., p. 16.
136
reductivo y el método de exhaustivo, con nuevos métodos que van, en opinión de Ferrater
(1949), desde los indivisibles de Pascal, al cálculo de fluxiones de Newton y al calcul
des infiniment petits de Leibniz, pasando por la Geometría de los indivisibles de
Cavalieri y por la Aritmética de los infinitos de Jhon Wallis, que muestra no solamente
un claro progreso de la idea del infinito, sino de las posibilidades racionales de
capturarlo.
Así mismo, según Ferrater (1949), el calculo de funciones trascendentes y su reducción a
funciones algebraicas represento un primer paso para una efectiva “matemática del
movimiento”, tal como la que adelantaron Leibniz o Newton. Sin embargo, este infinitismo
y el acompañamiento de su ley formal no se manifestó tan solo en las matemáticas, sino
que también y especialmente, en la filosofía de toda la época moderna y en particular
en la metafísica del siglo XVII.
Como el cálculo infinitesimal descubrió en el orden de los seres matemáticos la
“ley del infinito”, la filosofía descubre esta ley en el orden de lo real. Por lo
pronto, considerando lo infinito en todos los géneros no como una determinación ,
sino como lo único que puede determinar, dándole sentido positivo, a un ente.182
Así para ser, la substancia necesita ser infinita.
5. 8. 5. Rene Descartes (1596 – 1650)
Según apunta Ferrater (1949), para este filosofo francés lo finito no es concebido mediante
la negación de lo infinito, sobreponiéndose a toda negatividad del infinito, sino que el
pensamiento del infinito, pensamiento puesto por Dios en el ente finito del hombre, que
demuestra la existencia de Dios mismo, es “una verdadera idea clara y distinta”, que
181 Ibid., p. 16. 182 Ibid., p. 17.
137
encierra más realidad objetiva que ninguna otra. Asimismo, según Ferrater (1949),
Descartes al igual que Nicolás de Cusa concibe a Dios como actualmente infinito, es decir,
como lo infinito dado, de igual forma, otorga al ser creado, en cuanto posee realidad, una
participación efectiva en la infinitud. De hecho, para Descartes al igual que Cusa,
identifican la diferencia entre la infinitud divina y la cósmica, en la ausencia de partes de
la primera. Así, según Ferrater (1949), la distinción entre los dos infinitos no es ya
entonces la que corresponde al positivo y al negativo, sino la que se refiere al absoluto y
al concreto.
5. 8. 6. Baruch Spinoza (1632 – 1677)
Por otro lado, según Ferrater (1949), para este filosofo holandés quien decididamente niega
realidad a todo lo no finito infinito. La substancia absoluta es infinita, y son infinitos
sus atributos. Los modos pueden ser, en cambio, finitos o infinitos. Con este filosofó,
según Ferrater (1949), desaparece todo residuo de distinción entre potencialidad y
actualidad del infinito; habiendo solo el infinito actual, y todo lo que no posea actualidad
queda eliminado.
5. 8. 7. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)
Tal y como apunta Ferrater (1949), el temperamento conciliador de Leibniz intentó
solucionar estas dificultades, al; por un lado, radicalizar la idea de lo infinito
extendiéndola a lo pequeño, la monadología, la que esta vinculada esencialmente con los
problemas de lo infinito y de lo infinitamente divisible en la realidad no formal-
monadologica; y por otro, al idear un instrumento de reducción del infinito.
Leibniz forjó un instrumento de reducción del infinito. Tanto el cálculo integral –
que suma los infinitamente pequeños; tales las líneas infinitamente pequeñas que
138
forman una curva- como el cálculo diferencial –que establece relaciones entre
magnitudes infinitamente pequeñas; tales que ocurren en la resolución de una
curva en tangentes o en la construcción de curvas –están encaminados a dicho
propósito, que no se limita al campo de la matemática, porque lo infinito
matemático no es sino la expresión de las condiciones del infinito concreto.183
5. 9. Matemáticas modernas
5. 9. 1. Noción de función en los albores de la modernidad: (s. XV y XVI)
Este que es denominado por algunos historiadores de las matemáticas como <<siglos
auxiliares>>, esto debido esencialmente a que durante estos siglos no se introdujeron en
las matemáticas, al parecer, ideas brillantes, ni grandes descubrimientos, así como tampoco
transformaciones radicales. Sin embargo, en el, según apunta Ruiz (1998), se distinguen
dos direcciones fundamentales en el desarrollo de las matemáticas, por un lado esta el
perfeccionamiento serio del simbolismo algebraico, y por otro la constitución definitiva
de la trigonometría como ciencia independiente.
Acerca de estas dos direcciones, ellas van a beneficiar, según Ruiz (1998), el desarrollo
del concepto de función, la primera con respecto a la simbolización y la segunda respecto
al estudio de las funciones trigonométricas. De hecho los progresos en la notación
contribuyeron a desarrollar la formulación y expresión de lo que hoy se conoce como
<<variable>> en una función o <<incógnita>> en una ecuación. Igualmente se
elaboraron sistemas de símbolos muy versátiles para todas las operaciones matemáticas,
perfeccionando las notaciones sincopadas de Disfanto (250 d. C) – padre del Álgebra- y de
Brahmagupta (589 d. C).
183 Ibid., p. 18.
139
Para el caso de la trigonometría, según Ruiz (1998), los éxitos en dicha ciencia fueron
consecuencia del desarrollo de la astronomía legada de la Grecia antigua y de la ciencia
árabe posterior. Haciendo esto ya posible en el siglo XV las navegaciones lejanas, y que
se acrecentara el interés por la astronomía.
En el año de 1461, el matemático alemán Müller (1436 – 1476), escribió la obra Cinco
libros sobre triángulos de cualquier tipo, en el que definitivamente es separada la
trigonometría de la astronomía, al ser tratada esta como ciencia independiente de las
Matemáticas. Müller elaboro múltiples tablas de funciones trigonométricas, destacándose
entre ellas las que recibirían en el siglo XVII la denominación de tangente y cotangente.
Según cita Ruiz (1998) de Valirón (1976, p. 165) “está fuera de duda que estos hábiles
calculistas matemáticos, tenían una clara idea de lo que nosotros llamamos continuidad
de funciones trigonométricas, ya que era muy alto el grado de aproximación que tenían
los valores suministrados por sus tablas.”184
5. 9. 2. Galileo Galilei (1564-1642)
Otro gran Matemático de este periodo es Galileo, quien fue el principal iniciador de la
revolución científica y de la ciencia moderna. Que en oposición a la teoría acerca del
infinito y el continuo aristotélico defendió, la posibilidad de que el continuo estuviera
formado por infinidad de elementos materiales, que llamó minima y átomos, sin resolver las
dificultades matemáticas que tal afirmación implicaba.185
Así mismo, a este magnánimo matemático, se debe, en el campo de la evolución del
concepto de función, su empeño en buscar los resultados y las relaciones que proviene
184 VALIRON, G. Formación y evolución del concepto de función analítica de una variable, citado por RUIZ. Op. cit., p. 117. 185 MARTÍNEZ * CORTÉS. Op. cit., búsqueda bajo la palabra: continuo.
140
de la experiencia más que las que provienen de la sola abstracción. Sobre este punto,
según Ruiz (1998) reside su diferencia fundamental con Oresme, para quien la teoría
pura, libre de experiencia, era suficiente. Acerca de la época en que vivió, esta se
caracterizo por un especial interés en las mediciones, que se tradujo en nuevos y más
precisos instrumentos de medida. Lo cual facilito a Galileo la experimentación,
introduciendo con ello aspectos cuantitativos en campos en los que antes no se podía
hablar más que de forma cualitativa, verbo y gracia, el calor y el frió.
Según apunta Ruiz (1998), a diferencia de Oresme, los gráficos de Galileo proceden de la
experiencia y de la medida. Las relaciones de causa efecto están expresadas de forma
cuantitativa y verificable.
Puesto que el principal campo de estudio de Galileo fue el movimiento, él se preocupo
especialmente de problemas relativos a la velocidad, la aceleración y el desplazamiento.
Buscando relacionar estos diferentes conceptos a partir de leyes que están inspiradas por
la experiencia y la observación. Sin embargo, al momento de formular sus leyes volvió
al viejo estilo de las proporciones. No obstante, según R. De Cotret (1985), esta
insistencia de Galileo en estudiar los movimientos de forma cuantitativa, por medio de la
experimentación, contribuyo enormemente a la evolución de la noción de función. Ya
que la pretensión de Galileo de relacionar de forma funcional las causas y los efectos, es
un factor esencial en la construcción de la noción de variable independiente.
5. 10. La idea de límite en el siglos XVI
5. 10. 1.Francoise Viéte (1540 – 1603)
Según apuntan Romero – Serrano (1994), Francoise Viéte puede ser considerado como la
figura central y más brillante de la transición del Renacimiento al mundo Moderno,
aunque no fue lo que se podría llamar un profesional de la matemática -a la que solo
141
dedicaba su tiempo de ocio-, son destacables sus contribuciones en campos de la
aritmética, el álgebra, la trigonometría y la geometría.
“La obra de Viéte hunde sus raíces en dos hechos concretos:
a). la recuperación de los antiguos clásicos griegos y
b). los desarrollos, relativamente nuevos, del álgebra medieval y de comienzos de
la época moderna.”186
Este autor fue uno de los primeros en utilizar el termino análisis como sinónimo de
álgebra, a la par, que fue uno de los primeros analistas en el sentido actual del termino:
aquél que estudia procesos infinitos. Romero – Serrano (1994).
Antes de la época de Viéte, - como ya se he dicho-, se habían brindado aproximaciones
de la razón existente entre una circunferencia y su diámetro, algunas de las cuales
resultaban bastante acertadas. Sin embargo, es Francoise Viéte el primero que llega a
calcular Β con diez decimales exactos. No obstante, no es este valor calculado para Β su
aportación más importante, sino la expresión numérica, teóricamente exacta, que obtiene
para Β, bajo la forma de un proceso infinito que puede escribirse como:
2 / Β = (½)( ½) + (½)( ½)(½) + (½)( ½) + (½)( ½)
Este eminente matemático obtuvo su producto infinito inscribiendo un cuadrado en un
circulo dada y aplicando la siguiente formula recursiva:
a 2n = an sec Β/n
186 ROMERO * SERRANO. Op. cit., p. 52.
142
donde a es el área del polígono regular inscrito de n lados , y donde n se hace crecer
indefinidamente. Donde según Romero – Serrano (1994), nos volvemos a encontrar aquí
con un proceso infinito cuyo límite es el valor de Β.
5. 10. 2. Ludolph Van Ceulen (1540 – 1610)
Tal y como explica Romero – Serrano (1994), Ludolph Van Ceulen continua con los
trabajos de Viete , en busca de la obtención de una buena aproximación de Β, en una
senda en la que está implícita la noción de límite. Llegando a obtener un valor de Β con
20 decimales exactos, en una primera ocasión. Para ello partió del polígono regular de
quince lados y duplico sucesivamente el numero de lados por un total de treinta y siete
veces, hasta llegar al cálculo de treinta decimales exactos en un trabajo posterior, en el
que utilizo un número de lados aun mayor.
5. 10. 3. Stevin
A pesar de ser un gran admirador de los tratados teóricos de Arquímedes, este autor
era un matemático de mentalidad practica que creía de escaso interés los aspectos más
especulativos de la ciencia matemática. Por consiguiente, según apuntan Romero – Serrano
(1994), en toda su obra se refleja una corriente de tipo practico, más en concordancia con
las características renacentistas que con las propias de la antigüedad clásica.
De hecho este autor ejerció una gran influencia en la economía y la ingeniería de su
tiempo, y suscitó el uso de las notaciones matemáticas con su libro: De Thiende,
publicado en Leyden en 1585.
Stevin al igual que sucedería también con Kepler y Galileo, recurrió a los métodos
utilizados por Arquímedes para la solución de sus problemas, si bien intentando evitar a
143
toda costa las sutilezas del método de Exhausción. Lo cual, según Romero – Serrano
(1994), trajo con consigo interesantes modificaciones de los antiguos métodos
infinitesimales que desembocarían en la creación del Cálculo infinitesimal.
Viéndose esto claramente reflejado en el hecho de que casi un siglo antes de que Isaac
Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, publicaran sus versiones del Cálculo, Stevin, en su
obra Stática (1586), demostraba que el centro de gravedad de un triangulo está situado
sobre la mediana.
Fig. 13.
Método utilizado por Stevin:
Inscribía en el triángulo ABC un conjunto de paralelogramos todos de la misma
altura y cuyos lados eran, dos a dos, paralelos a uno de los lados del triangulo
(AB), y la mediana trazada desde el vértice opuesto a este lado (CD). Haciendo
uso del principio arquimediano según el cual las “figuras bilateralmente
simétricas están en equilibrio”, el centro de gravedad de la figura formada por la
reunión de todos los paralelogramos inscritos estará sobre la Mediana. Ahora
bien, como en el triangulo se pueden inscribir un numero infinito de
144
paralelogramos y como a mayor número de paralelogramos menor es la diferencia
entre la figura inscrita y el triangulo (diferencia que puede hacerse tan pequeña
como se quiera), el centro de gravedad estará sobre la mediana.187
Según Romero – Serrano (1994) el razonamiento anterior ofrece una aproximación a la
idea de Límite, en cuanto que lo que se pone de manifiesto en él es, que en el límite, el
área de la figura inscrita y el área del triangulo coinciden.
5. 11. Introducción de la representación analítica. (s. XVII)
El desarrollo de la teoría de funciones, que anuncia, según Ruiz (1998), el nacimiento de
las matemáticas variables, se basó fundamentalmente en tres pilares: 1) el crecimiento
vehemente de los cálculos matemáticos, 2) la creación del álgebra simbólico – literal, y
3) la extensión del concepto de número, no solo en el campo de los reales sino también de
los imaginarios y los complejos.
A principios del s. XVII, aflora una nueva concepción de las leyes cuantitativas de la
naturaleza, que incidirá notablemente en la noción de función (y por ende en la
construcción del concepto de derivada). A su vez, este poderoso instrumento algebraico
permitirá a Fermat (1601 – 1665) y a Descartes (1586 – 1650) el descubrimiento de la
representación analítica. Con la cual comenzó a configurarse la geometría analítica cómo
método para la expresión de las relaciones numéricas de las dimensiones, las formas y
propiedades de los objetos geométricos, haciendo uso básicamente del método de las
coordenadas. Ruiz (1998).
La importancia de este método -la geometría analítica- utilizado por Fermat y Descartes,
radica, según Ruiz (1998), en que permite traducir cualquier problema de la geometría
187 Ibid., p. 55.
145
plana en uno equivalente de tipo algebraico. Constituyéndose en el puente entre dos
áreas diferentes de las matemáticas. Que las rectas, los círculos y las cónicas de un plano
se pudieran llevar a ecuación, condujo de modo natural en matemáticas a que se fijara la
mirada en el estudio de ecuaciones de este tipo pero, como anota Ruiz (1998), sin reservas
de grado. Naciendo así la geometría analítica.
Como método, según apunta Ruiz (1998), esta nueva área de las matemáticas sirvió para
demostrar de forma más versátil los teoremas de la geometría a partir de la demostración
de un teorema equivalente de álgebra o análisis, trayendo esto consigo el descubrimiento
de resultados geométricos nuevos e insospechados.
Según Diudonné (1989) “El método de las coordenadas constituye también el fundamento
de los otros dos grandes progresos realizados en el s. XVII: la introducción de la noción
de función y el cálculo infinitesimal.”188
En interpretación de Ruiz (1998), la obra de Descartes fue de gran importancia en el campo
de la teoría de funciones. En su libro Discourse de la método pour bien conduire sa
raison et chercher la verita dans les sciences, Descartes inicia con una explicación de
algunos de los principios de la geometría analítica, demostrando, según Ruiz (1998), un
adelanto con respecto a los matemáticos griegos. Dado que para éstos, según se dijo
antes, una variable correspondía a la longitud de un segmento rectilíneo, el producto de
dos variables al área de un rectángulo y el producto de tres variables al volumen de un
paralelepípedo rectangular. No hiendo los griegos sobre este tema más lejos. Por el
contrario para Descartes un expresión como X 2 no sugería un área, sino el cuarto término
de la proporción 1 : X = X : X 2 y, como tal, puede representarse por un segmento de recta
que se construye fácilmente cuando se conoce X.
Con este concepto aritmético de la Geometría, según Ruiz (1998), Descartes, en La
Geometrie, toma X en un eje dado y después una longitud Y que forma un determinado
146
ángulo con dicho eje, tratando así de determinar puntos cuyos X e Y satisfagan una
relación dada.
Fig. 14.
Relacionando una curva plana algebraica con la ecuación entre las coordenadas de sus
puntos Descartes escribía; según toma Ruiz (1998) de Youschkevits (1976): “Tomando
sucesivamente infinitas diversas magnitudes para la línea X, encontraremos también
infinitas para la línea Y, y así tendremos una infinidad de diversos puntos por medio de
los cuales descubriremos la línea curva pedida.”189
Asimismo según cita Ruiz (1998) de Youschkevits (1979), es aquí donde por primera vez,
y, de manera completamente clara, se sostiene la idea de que una ecuación en X e Y es
un medio para introducir una dependencia entre dos cantidades variables, de tal forma
que permite el cálculo de valores de una de ellas con respecto a la otra.
El efecto que tuvo la introducción de funciones bajo la forma de ecuaciones, según
parafrasea Ruiz (1998) de Youschkevits (1976), fue revolucionario en el desarrollo de las
matemáticas. Al abrir nuevos horizontes totalmente nuevos a la matemática, con la
introducción y utilización de expresiones analíticas junto con las reglas para operar
entre ellas.
Según anota Ruiz (1998) de “Sierpinska (1989b):
188 DIUDONNÉ, J. En honor del espíritu humano, citado por RUIZ. Op. cit., p. 119. 189 YOUSCHKEVITS. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 120.
147
el desarrollo de la notación simbólica y de la resolución de ecuaciones fue tan
significativo que, por medio de él, se fue superando el obstáculo epistemológico
de la diferenciación existente entre números y magnitudes. Las letras usadas en
Álgebra van haciendo la noción de magnitud cada vez más abstracta, así para
las matemáticas, el hacer una distinción entre magnitudes y proporciones, por una
parte, y, números e igualdades, por otra, está cada vez menos justificada.190
5. 12. La idea de límite en el s. XVII
El hombre, si quiere ser realmente,
debe existir y limitarse hasta el fin.
Hegel.
Acerca de esta época, según mencionan Romero – Serrano (1994), hubo todo un
movimiento de matemáticos que iniciaron a resolver los problemas del infinito matemático
-los infinitesimales-, desarrollando los antiguos métodos de las «fluxiones» de los
matemáticos griegos, sobre todo de Eudoxo y Arquímedes. Contándose entre dichos
matemáticos Kepler, Cavalieri y Torricelli.
5. 12. 1. Johannes Kepler (1571 – 1630)
Mientras que Stevin -en el siglo anterior- se preocupo en las aplicaciones físicas de la
idea de infinitos elementos infinitamente pequeños, Kepler los necesito para aplicarlos a
la astronomía. En concordancia, se ve como en 1604 se vio forzosamente conducido al
estudio de las secciones cónicas en sus trabajos sobre óptica y sobre las propiedades de
los espejos parabólicos. Romero – Serrano (1994). Considerando cinco tipos de cónicas,
pertenecientes todas ellas a una misma familia o genero.
148
Con una sorprendente imaginación y un claro sentido pitagórico de la armonía,
este científico desarrollo en su obra Ad Vitellionem paralipomena, escrita en1604,
lo que podría ser llamado un principio de continuidad. A partir de la sección
cónica formada simplemente por un par de rectas que se cortan, en la que los
dos focos coinciden con el punto de intersección, se para gradualmente por un
conjunto infinito de hipérbolas, a medida que uno de los focos va alejándose
más y más del otro. Cuando el segundo foco se haya alejado infinitamente, no
existe ya una hipérbola con sus dos ramas, sino una parábola. Según el foco
móvil traspasa el punto del infinito y se va acercando de nuevo por el otro lado,
se va pasando por un conjunto infinito de elipses, hasta que, cuando los dos
focos coinciden de nuevo, se tiene una circunferencia como quinto y último tipo
de cónica.191
En su obra: Astronomía Nova (1609) Kepler proclama sus dos primeras leyes
astronómicas:
1. Los planetas se mueven alrededor del sol siguiendo órbitas elípticas uno de
cuyos focos es dicho astro.
2. El radio vector que va del sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos
iguales.192
En los problemas relativos a áreas, tales como el expuesto por Kepler en su segunda ley
astronómica, conjeturaba el célebre matemático que el área en cuestión estaba formada
por triángulos infinitamente pequeños, con un vértice en el sol y los otros dos vértices en
puntos infinitamente próximos a la orbita del planeta. De este modo Kepler aplicó un
calculo integral tosco mediante el que halló, el área del circulo del siguiente modo:
190 RUIZ. Op. cit., p. 120, 121. 191 ROMERO * SERRANO. Op. cit., p. 55.
149
Considero el circulo dividido en triángulos que tenían un vértice en el centro del
circulo y los otros dos vértices sobre la circunferencia y extremadamente
próximos el uno del otro; de este modo, al ser los triángulos muy estrechos,
tomaba las alturas de los triángulos iguales al radio del circulo. Llamando a las
bases extremadamente pequeñas: b1, b2 , ..., bn ,..., entonces el área del circulo
coincidirá con la suma de las áreas de todos los triángulos.
Fig. 15.
A(círculo) = Suma de las áreas de los triángulos.
Por haber tomado la altura igual al radio, dicha suma será:
½ b1 r + ½ b2 r + ... + ½ bnr = ½ r (b1 + b2 + ... + bn + ...) = ½ r C
por ser: b1 + b2 + ... + bn + ... = C (longitud de la circunferencia).193
5. 12. 2. Bonaventura Cavalieri
Este matemático que fue discípulo de Galileo, se sentía atraído, tanto por la
Estereometría de Kepler, como por las concepciones antiguas y medievales, lo que, junto
192 Ibid., p. 56. 193 Ibid., p. 56, 57.
150
con el animo que le infundirá Galileo para organizar sus ideas acerca de los infinitésimos
en forma de libro, le llevo a publicar en 1635 una obra con el titulo de Geometría
indivisibilibus continuorum. Este texto según sostienen Romero – Serrano (1994) se basa
en una idea fundamental: la de que un área se puede considerar formada por segmentos
rectilíneos o “indivisibles” y un volumen sólido por secciones o áreas que son
indivisibles o “volúmenes causi-atómicos”.
5. 12. 3. Fermat
Aunque no fue un matemático profesional, sino que, por el contrario, estudio derecho en
Toluse, incorporándose luego a las tareas del Parlamento local, he de decir que este fue
uno de los más grandes matemático del s. XVII y quien estuvo, según Romero – Serrano
(1994), más próximo a la noción de límite que hoy tenemos. Como es bien sabido, la obra
de Fermat no se publico sino hasta después de su muerte, circunstancia ésta que hizo que
muchos de sus descubrimientos fueran atribuidos inicialmente a otros autores, como por
ejemplo, la contribución de la Geometría a Descartes.
No obstante, es muy probable que Fermat estuviera ya en posesión de su geometría
analítica en 1629, dado que por esta época hizo importantes descubrimientos relacionados
con sus trabajos sobre lugares geométricos; uno de los cuales retomara posteriormente en
el tratado Methodus ad disquirendan maximam et miniman o método Para hallar
máximos y mínimos, en donde, según Romero – Serrano (1994), es posible apreciar una
estrecha relación con la actual conceptualización de límite.
Este autor descubrió un método muy ingenioso para hallar los puntos en los que
la función y = f(x) (siendo ésta una curva polinómica) toma un valor máximo o
un valor mínimo. Para ello comparaba el valor que tomaba f(x) en un cierto
punto con el valor de f(x+E) en un punto próximo; en general, estos valores han
de ser claramente distintos, pero en una “cumbre” o en el fondo de un “valle” de
151
una curva “lisa” la diferencia será prácticamente nula. De aquí que para hallar los
puntos correspondientes o valores máximos o mínimos de la función, Fermat
igualara f(x) a f(x+E), puesto que estos valores, pese a no ser iguales, son “casi
iguales”. Cuanto más pequeño sea el intervalo E entre los dos puntos, más cerca
estará dicha igualdad de ser una verdadera igualdad, por lo que Fermat divide todo
por E y hace E = 0.194
Los resultados obtenidos de este procedimiento le permitieron a Fermat calcular las
abcisas de los puntos máximos y mínimos de la función polinómica.
En este razonamiento, según Romero – Serrano (1994), se puede ver claramente la esencia
del concepto de diferenciación, razón ésta por la que Fermat es considerado como el
descubridor del Cálculo Diferencial. El procedimiento consistente en cambiar levemente
el valor de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido,
desde entonces, la verdadera esencia del Análisis Infinitesimal.
Por la misma época Fermat descubrió cómo aplicar su procedimiento de los valores
próximos de la variable al cálculo de la tangente a una curva algebraica de la forma
y = f(x). La línea de ideas era el siguiente:
Sea P un punto de la curva donde deseamos hallar la tangente, de coordenadas (a,
b), y sea P, un punto sobre la curva, de coordenadas (x,y) con x = a + E e y = f(a
+ E), este punto P´ estará tan próximo a la tangente que podemos considerarlo a
la vez situado sobre la curva y sobre la tangente, por aproximación.195
194 Ibid., p. 58. 195 Ibid., p. 59.
152
Fig. 16.
Otra de las aportaciones de Fermat a la construcción del Análisis se desprende del
camino utilizado para el cálculo de áreas. En el año 1629 Fermat descubrió un teorema
relativo al área encerrada bajo una curva del tipo y = x ,́ pudiéndose aplicar tanto para
valores enteros del exponente como para valores enteros como para valores
fraccionarios. Que Romero – Serrano (1994) describen de la siguiente manera:
Sea la curva la curva y = x´. Supongamos que queremos calcular el área
comprendida bajo la curva entre los valores x = 0 y x = a. Para ello, Fermat
subdividía el intervalo de x = 0 a x = a en un número infinito de subintervalos
tomando los puntos de abcisas a, aE, aE2, aE3, ..., aEn, ..., en donde E es un
número menor que la unidad; en estos puntos consideraba las ordenadas de los
correspondientes puntos de la curva, aproximando el área bajo la curva por medio
de los rectángulos circunscritos.
153
Fig. 17
La áreas de los rectángulos empezando por el mayor viene dadas por los
siguientes términos:
an(a-aE), anEn(aE- aE2 ), a2nE2n(aE2-aE3),...,
y así sucesivamente.196
5. 12. 4. Torricelli
Según Romero – Serrano (1994), Torricelli fue uno de los matemáticos más brillantes del
s. XVII. El cual se ocupo principalmente de aquellos problemas de la ciencia matemática
que necesitaban para su solución de métodos infinitesimales, cuestión en la que este autor
se destacó.
De entre su obras es de subrayar su obra De dimensione parabolas, donde presenta
veintiuna demostraciones diferentes de la cuadratura de la parábola, a partir de una serie
de razonamientos que se debaten entre el uso de indivisibles y el método de
Exhausción.
196 Ibid., p. 60, 61.
154
Según anotan Romero – Serrano (1994), si Torricelli hubiera aritmetizado sus métodos en
este contexto, habría estado sumamente cercano al concepto de limite moderno, sin
embargo, debido a la fidelidad que este guardo de la influencia de Cavalieri, que no dejó,
no logro avanzar en el descubrimiento del concepto de límite.
5. 12. 5. James Gregory (1638 – 1675).
Este matemático escocés mantuvo a través de toda su vida contactos con grandes
matemáticos de su tiempo tales como algunos seguidores de Torricelli, entre ellos, Angeli
del que fuera discípulo, estudiando con él varios años. La obra de Angeli trató
principalmente de los métodos infinitesimales, con un especial interés en la cuadratura de
espirales, parábolas e hipérbolas. De ahí, posiblemente, como apuntan Romero – Serrano
(1994), que Gregory llegase a advertir la potencia que muestran los desarrollos de
funciones en series infinitas y, en general, todos los procesos infinitos.
Como resultado inmediato de tales experiencias, a lo largo del año 1667, aparece en
Padua una publicación de Gregory, Vera circuli et hiperbolae cuadratura, que
muestra resultados en Análisis infinitesimal de gran importancia y donde se ponen de
manifiesto conexiones con la noción de límite.
Allí, según Romero – Serrano (1994), Gregory extendía el Algoritmo Arquimediano a la
cuadratura de elipses e hipérbolas del siguiente modo:
Consideraba un triangulo inscrito de área a0 y un cuadrilátero circunscrito de área
A0, duplicando el número de lados de estas figuras iba construyendo la sucesión:
a0, A0, a1, A1, a2, A2, ...,
155
de este modo se obtenían dos sucesiones, la de las áreas inscritas y la de las áreas
circunscritas, las cuales convergían al área del sector de la cónica en cuestión.197
Según Romero – Serrano (1994) este proceso en la actualidad podría quedar formalizado,
acudiendo a la noción de límite. Sin embargo, Gregory, aun obteniendo muy buenas
aproximaciones de sectores elípticos e hiperbólicos, no llegó nunca a expresar esta noción
pese a trabajar con procesos infinitos. Probablemente ello se debió a que Gregory
prefería expresarse en forma geométrica y no de forma analítica.
5. 12. 6. Isaac Barrow (1630 – 1677)
Este prelado que dedico su vida a la enseñanza de las matemáticas, ocupando importantes
puestos como el de profesor de geometría en el Gresham Collage de Londres (1662) y en
1964 lucasian profesor de esta misma disciplina en Cambridge, donde ocupó la cátedra
creada por Henry Lucas, que más tarde ocupara su sucesor Newton.
Como puede deducirse de su carrera docente, desde el punto de vista matemático, este
autor era conservador, partidario de la geometría, al que no degustaba usar el formalismo
propio del álgebra; lo que consideran Romero – Serrano (1994), funesto para sus
descubrimientos de carácter analítico. Asimismo, dada su gran admiración por los
geómetras antiguos, se ocupó de la edición de las obras de Apolonio, Euclides y
Arquímedes, tanto como de las suyas propias y, entre éstas ultimas es de resaltar
Lecciones opticae (1669) y Lectione geometricae (1670).
Acerca de sus temas de interés, los problemas que más lo preocupaban eran los relativos a
tangentes y cuadraturas, que eran los más trabajados por esa época, “de ahí que Barrow los
197 Ibid., p. 63.
156
tratase en su obra, mostrándose, para estos temas, más partidario de las concepciones
cinemáticas de Torricelli que de la aritmética estática de Wallis.”198
Barrow desarrollo un método para la determinación de tangentes, prácticamente idéntico
al que usado en el cálculo diferencial, siendo bastante parecido al de Fermat si bien, en este
nuevo método aparecen dos cantidades en lugar de la cantidad única que Fermat
representa por la letra E. Estas cantidades se concuerdan, en términos modernos, con
∆ x y ∆ y.
La explicación dada por Barrow era como sigue:
Si M es un punto de una curva dada por una ecuación polinómica f(x, y) = 0 (en
notación moderna) y T es el punto de intersección de la tangente buscada MT con
el eje X, entonces considera “un arco infinitamente pequeño MN de la curva”, las
ordenadas correspondientes a los puntos M y N, y el segmento MR de la curva”,
las ordenadas correspondientes a los puntos M y N, y el segmento MR paralelo al
eje X.
Fig. 18.
198 Ibid., p. 64.
157
Llamando m a la ordenada conocida de M, t a la subtangente buscada PT y a y e
a los catetos vertical y horizontal respectivamente del triangulo MNR, el autor
percibe que la razón de a a e es la misma que la de m a t:
a / e = m / t
lo que trasladado a nuestro lenguaje matemático actual seria equivalente a decir,
cuando los dos puntos estén infinitamente próximos, la razón de a a e es la
pendiente de la curva.199
Situando esta exposición a Barrow como el más cerca no predecesor del análisis que se
avecinaba. “En su obra se intuye el reconocimiento del carácter inverso de los problemas
relativos a tangentes y cuadraturas, que se vio frenado por su negativa a trabajar en el
campo algebraico.”200
5. 12. 7. Newton: El primer intento de definición de límite
Isaac Newton nació en Woolsthorpe en el año 1642, graduado de Cambridge, llegando a
formar parte del Trinity Collage en 1661. Estudio las obras de Euclides, Descartes,
Kepler, Vieta, Galileo, Fermat y Barrow, entre otros, en el año 1664 había alcanzado la
cima de los conocimientos matemáticos de su época y se encontraba en una posición
inmejorable para realizar una atribución en este campo del saber.
Las primeras aportaciones de este autor, datan del año 1665, donde trata de expresar
funciones en términos de series infinitas que era algo sobre lo cual estaba trabajando
Gregory (desarrollo en serie del arco tangente y cálculo del valor de Β). Asimismo
trabajó a lo largo de estos mismos años, sobre la velocidad de cambio o fluxión de
199 Ibid., p. 64, 65.
158
magnitudes que varían de manera continua o fluyentes, tales como longitudes, áreas,
volúmenes, distancias, etc., llegando Newton a asociar de manera conjunta e indisociable
estos dos problemas (series infinitas y velocidades de cambio) bajo el nombre común de
método.
Debido a la peste, durante la mayor parte del bienio 1665/1666, el Trinity College estuvo
cerrado, cuestión esta que, según Romero – Serrano (1994), Newton aprovecho para
dedicar mucho tiempo a sus investigaciones, siendo este, sin lugar a dudas, el periodo de
mayor fecundidad intelectual en su longeva vida. De este periodo, según explican Romero
– Serrano (1994), datan descubrimientos como:
1. El teorema binomial.
2. El cálculo.
3. La ley de gravitación.
4. La naturaleza de los colores.
Trabajando mediante ejemplos concretos Newton descubrió que el análisis mediante
series infinitas tenía la misma consistencia interna que el álgebra de cantidades finitas y
que estaba regido por las mismas leyes generales. En consecuencia, las series infinitas no
debería considerarse exclusivamente como recursos de aproximación, sino como formas
alternativas de las funciones a las que representan. Resultado también de estos intensos
años de trabajo será su obra De analysis per aequationes numero terminorum
infinitas (1669) sobre la base de ideas que venia madurando desde hacia cuatro años. En
esta obra es precisamente, según dicen Romero – Serrano (1994), donde Newton
descubre el cálculo al ser capaz de llegar a ver la relación inversa existente entre
pendiente y área a través de su análisis infinito.
En esta obra escribía:
200 Ibid., p. 65.
159
...y todo lo que el Análisis ordinario lleva a cabo por medio de ecuaciones con un
número finito de términos, este nuevo método puede siempre conseguirlo por
medio de ecuaciones infinitas, Así que no he tenido ningún inconveniente en
darle, por analogía, el mismo nombre de Análisis. Pues los razonamientos en este
no son menos seguros que en el otro, ni las ecuaciones menos exactas, aunque
nosotros los mortales cuya potencia de razonamiento está confinada dentro de
estrechos límites, no podemos ni expresar ni tampoco concebir todos los
términos de estas ecuaciones como para conocer exactamente a partir de ellas las
cantidades que queremos... para terminar, podemos considerar todo esto como
perteneciente con justicia al Arte Analítica, con cuya ayuda pueden ser
determinadas de manera exacta y geométrica las áreas, las longitudes, etc., de
curvas.201
A partir de ese mismo momento, en interpretación de Romero – Serrano (1994), los
matemáticos renunciarán ha evitar los procesos infinitos, que dando superada, de una vez
por todas, la antigua tradición griega y pasando a ser legitimo el uso de tales procesos
para el desarrollo de las teorías matemáticas.
5. 12. 8. Gottfried Wilhem Leibniz (1647 -1716)
Según afirman Romero – Serrano (1994) en la obra temprana de Leibniz, al igual que en
la obra de Newton, tuvieron un papel muy importante las series infinitas y en el caso
concreto de Leibniz, las numéricas. Más tarde Leibniz concentraría su atención en la
lectura de la obra de Pascal sobre el cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal.
Precisamente según anotan estos mismos autores, al leer la carta de Amos Dattonville
sobre el Traite de sinus du quart de cercle se da cuenta, hacia el año 1673, de que el
cálculo de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las
201 Ibid., p. 67.
160
ordenadas y las abcisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias, a la
par probó como las cuadraturas dependen de la suma de las ordenadas o de los
rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área. Advirtiendo, según Romero –
Serrano (1994), que son problemas inversos en geometría los de las tangentes y las
cuadraturas, siendo la conexión entre ambos el triangulo infinitesimal o “característico”
que ya habían usado Pascal, en la cuadratura del seno, y Barrow, en problema del trazado
de las tangentes.
La primera exposición del cálculo diferencial hecha por este autor tuvo lugar en 1648,
bajo el título de Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua
nec fractas hec irrationales quantitates moratur. En esta obra, según Romero – Serrano
(1994), Leibniz expone un conjunto de fórmulas para el cálculo de la diferencial de una
función, así como su aplicación geométrica. Dos años después, publicó en el Acta
Eruditorum una exposición del Cálculo Integral, en el que muestra que las cuadraturas,
con un caso especial, son un método inverso del de las tangentes; haciendo especial
énfasis en la relación inversa que existe entre diferenciación e integración. Según
Romero – Serrano (1994), en 1676 Leibniz ya había llegado a la conclusión a la que
Newton había llegado pocos años antes, como fue la de estar en posesión de un método
de gran trascendencia por su generalidad, si bien lo que hizo que los matemáticos de la
época se sintiesen más atraídos por la obra de Leibniz que por la de Newton fue,
esencialmente, su notación.
5. 13. Proceso de creación de las matemáticas variables
Acerca de esta época debe señalarse la existencia de una tendencia entre los filósofos y
matemáticos de esta época, a rechazar todo tipo de explicaciones fundamentadas en la
metafísica o que implicaran suposiciones arbitrarias o gratuitas. A la cual no fue inmune
el pensamiento de Newton. De hecho Newton interpretaba la imposibilidad de traducción
en formulas como un hecho desfavorable, mientras que se mostraba complacido con
161
cualquier concepción que, expresada en formulas permitiese abordar lo real de manera
eficaz.
Así mismo el deseo de precisión en las medidas cuantitativas tales como el calor o la
presión, que se vivió en esta época, con llevo a variadas experiencias y observaciones,
apoyadas en numerosos instrumentos científicos. Entre las ciencias de este periodo la
Mecánica se encuentra en un primer plano, y junto a ella, una de sus principales ramas, la
Dinámica. Siendo el estudio de la relación entre el movimiento curvilíneo y las fuerzas
que lo afectan, el principal problema de esta ciencia. Esto hizo que aparecieran algunos
nuevos problemas en el análisis infinitesimal que requerían de solución a través de
respuestas numéricas.
Asimismo la aparición en el campo de las matemáticas de la Geometría analítica estimulo
la formación del análisis infinitesimal. Ruiz (1998). Que se convirtió en un elemento
imprescindible en la construcción de la Mecánica de Newton , Lagrange y Euler. En el
campo de las matemáticas dicho adelanto significo el nacimiento del germen para el
universo del análisis de las variedades.
De hecho, según apunta Ruiz (1998) de Ribnikov (1974):
el nacimiento del Análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso,
cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación
teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de series.
Elementos que Ruiz identifica como: 1) existencia del álgebra, 2) la introducción
en las matemáticas de la variable y del método de las coordenadas y 3) la
asimilación de las ideas infinitesimales de los antiguos, fundamentalmente las de
Arquímedes. Las causas que motivaron este proceso fueron los problemas de la
mecánica, la astronomía y física. Estas ciencias no sólo planteaban a las
matemáticas problemas, sino que la enriquecían con sus representaciones de
magnitudes continuas y movimientos continuos y, sobre todo, con la esencia y
162
forma de las dependencias funcionales. En una estrecha interacción de las
matemáticas y las ciencias contiguas se elaboraron los métodos infinitesimales
que son la base de las matemáticas variables.202
Según Ruiz (1988) la primera etapa en la existencia del análisis fue la conformación del
calculo diferencial e integral. Surgiendo este ultimo como una parte independiente de las
matemáticas, casi simultáneamente de dos métodos diferentes, a saber; la teoría de
fluxiones de Newton y el cálculo de los diferenciales de Leibniz.
5. 13. 1. Método de Fluxiones de Newton
Según apunta Ruiz (1998), el principio sobre el cual Newton baso su método de fluxiones
es el siguiente:
No considero las magnitudes matemáticas como formadas por partes, por
pequeñas que sean, sino descritas por un movimiento continuo. Las líneas son
descritas y engendradas, no por yuxtaposición de sus partes, sino por el
movimiento continuo de puntos; las superficies por el movimiento de líneas; los
sólidos por el movimiento de superficies; los ángulos por la rotación de sus lados;
los tiempos por un fluir constante. Considerando, pues, que las magnitudes que
crecen en tiempos iguales son mayores o menores, según que crezcan con mayor
o menor velocidad, busqué un método para determinar las magnitudes por las
velocidades de los movimientos o crecimientos que los engendran; y llamando
fluxiones a las velocidades de estos movimientos o crecimientos , mientras que las
magnitudes engendradas toman el nombre de fluentes, dí con el método de
fluxiones. (Newton)203
202 RUIZ. Op. cit., p. 121, 122. 203 BRUNET, P. Ojeadas Sobre el pensamiento matemático de Newton, citado por RUIZ. Op. cit., p. 122.
163
Según Ruiz (1998) Newton en un parte de los Principios, consagrada al método de las
fluxiones, asevera que ha mezclado este método con el de las seres infinitas (desarrollos
en serie por medio de expresiones algebraicas convergentes). La idea sobre la cual se
basa es la de aproximación. Este método de aproximación, junto con el de interpolación
(método por el cual, una curva, por complicada que sea, siempre puede intercalarse entre
dos curvas más simples, cuyo conocimiento exacto permitirá calcular aproximadamente
la curva buscada) apoyaron de manera directa la creación del cálculo infinitesimal, y eran
esenciales para el pensamiento newtoniano.
Así pues, es evidente que la concepción mecanicista está presente en la invención del
Cálculo diferencial. Según sostiene Ruiz (1998), Newton, como su maestro Barrow,
eligieron al tiempo como noción universal e interpreto las variables dependientes como
cantidades que transcurren de forma continua y poseen una velocidad de cambio. Que en
su terminología es: la función es un fluyente, es decir, una cantidad que transcurre en el
tiempo, siendo la derivada, la velocidad o fluxión, sirviendo esta para estudiar las
variaciones de la fuente. Sin embargo, como ya hemos visto, es a Leibniz a quien se debe
la definición y las reglas del Cálculo Diferencial, situándose, bajo una concepción
geométrica; considero siempre elementos geométricos ligados a una curva. Es así como
describe la diferencial (dy) de una ordenada de una curva cualquiera como un segmento
cuya relación a (dx), es igual a la relación que existe entre la ordenada y la
subtangente,
dy / dx = y / S1
A Leibniz también se debe la idea general de dependencia funcional, y del termino
<<función>>, el cual introdujo por primera vez en sus manuscritos de 1673 Methodus
tangentium inversa, seu de functionibus. Si bien, en principio;
Leibniz no utiliza el termino función para designar la relación formal entre la
ordenada de un punto de una curva y su abscisa, en el sentido que le dan los
164
matemáticos actuales, sino más bien, en el sentido corriente que describe la
función de un órgano en un organismo, o en una maquina.204
Más tarde, según expresa Ruiz (1998), la noción de función dada por Leibniz en sus
manuscritos se identificará con ciertas longitudes tales como abscisas, ordenadas,
tangentes, normales, etc. asociadas con la posición de un punto en una curva. Noción esta
de la cual Jean Bernoulli (1664) se hará heredero.
5. 14. Idea de Límite en el Siglo XVIII
Los grandes descubrimientos llevados a cabo por Newton no pasaron automáticamente a
formar parte de la cultura y la conciencia matemática, si no que, y por infortunio,
permanecieron largo tiempo desconocidos fuera de Inglaterra, siendo necesario que otros
matemáticos se interesasen por ellos y los estudiasen desde distintos puntos de vista
clarificándolos, generalizándolos y extrayendo sus consecuencias.
Probablemente, según sostienen Romero - Serrano (1994), la causa de tal demora se debió
principalmente al carácter de Newton, el cual era poco dado a comunicar sus
descubrimientos. Todo lo contrario de lo que ocurrió con la obra de Leibniz, la cual
rápidamente encontró discípulos entusiastas que la aprendieron y difundieron
rápidamente. Entre estos discípulos es preciso hacer una mención especial de los
hermanos Bernoulli.
5. 14. 1. La familia Bernoulli
204 RUIZ. Op. cit. p. 123.
165
Como ya suficientemente se ha dicho antes, los descubrimientos llevados a cabo por
Leibniz encontraron en dos de los hermanos Bernoulli un amplio reflejo. Estos fueron
Jacques y Jean Bernoulli.
5. 14. 2. Jacques Bernoulli (1554 – 1705)
Este ilustre matemático perteneciente a una famosa casta de científicos, físicos y
matemáticos, fue el primero en destacar. De hecho su inquietud científica le convirtió
prontamente en un inagotable viajero en busca de contactos con estudiosos de otros
países.
Tras estudiar a Wallis y a Barrow, se intereso por la obra de Leibniz, llegando a dominar
los nuevos métodos. Aunque la mayoría de sus descubrimientos aparecieron publicados en
revistas como en el Acta Eruditorum , también escribió un tratado clásico, titulado Ars
conjectandi publicado en 1783, ocho años después de su muerte. En la segunda parte de
este tratado Jacques incluye una teoría general sobre permutaciones y combinaciones, en
la que, según sostienen Romero - Serrano (1994), se aproxima a la noción actual de
limite y que está relacionada con el desarrollo de (1 + 1/n)n; a partir de él, propuso
calcular el interés compuesto continuo, que no es otra cosa que hallar el límite cuando
n tiende a infinito de (1 + 1/n)n.
5. 14. 3. Jean Bernoulli (1667 – 1748).
Hermano menor de Jacques Bernoulli, escribió su tesis doctoral en 1690 sobre la
efervescencia y la fermentación. No obstante, al año siguiente empezó a interesarse por
el cálculo al punto que durante los años 1691 y 1692 escribió dos libros de texto sobre
cálculo diferencial e integral. También hizo una contribución al tema que nos ocupa. Según
cuentan algunos historiadores, durante su estancia en París en 1692, se dedico, entre otras
166
cosa, a la instrucción de un joven marqués francés llamado G. F. A. de L´ Hopital (1661 -
1704), con quien se comprometió, por un salario, a enviarle sus descubrimientos en
matemáticas. Como consecuencia de este acuerdo, el descubrimiento que hizo Jean
Bernoulli es hoy conocido como regla de L´ Hopital. Regla esta que se aplica para
límites indeterminados y que fue uno de los principales descubrimientos de este autor.
si f(x) y g(x) son funciones diferenciables en x = a, tales que f(a) = g(a) = 0 y
existe el límite para x ϖ a de f´(x) / g´(x), entonces existe el límite de f(x) / g(x)
para x ϖa y su valor es el mismo que el anterior205
Esto expresado en lenguaje matemático actual, ya que, por aquella época, aun no se
utilizaba el vocablo límite.
Esta regla, en la actualidad tan conocida, fue expresada por L´ Hopital en el primer texto
impreso de cálculo diferencial de la historia, denominado Analyse des infiniment petits
publicado en 1696.
5. 14. 4. D´ Alembert
Este matemático que es sin lugar a dudas el matemático francés más importante de
mediados del siglo XVIII. Es para el presente trabajo de enorme importancia, dadas sus
aportaciones, entre otras cosas, porque fue el primero en utilizar la palabra límite.
Según comentan Romero - Serrano (1994) en este virtuoso de las matemáticas converge
una “extraña combinación de prudencia y audacia en la forma de enfocar los problemas
matemáticos, no estando satisfecho con el uso que de las series divergentes hacía Euler.
D´Alembert tuvo la genial idea de que la verdadera metafísica del cálculo había que
hallarla en la idea de límite.”206
205 ROMERO * SERRANO. Op. cit. p. 78. 206 Ibid., p. 80.
167
En un articulo que D´Alembert escribió para la Encyclopédie o Dictionnaire raisonné
des Sciences, des Arts et des Métiers, titulado Diferencial, afirmaba que:
“La diferenciación de ecuaciones consistía simplemente en hallar los límites de las
razones de diferencias finitas de dos variables incluidas en la ecuación.”207
Resistiéndose a los puntos de vista de Leibniz y Euler, D´Alembert, insistía en sus criticas
en los siguientes términos:
“Una cantidad es algo o nada; si es algo aún no se ha desvanecido, si es nada ya se ha
desvanecido literalmente. La suposición de que existía un estado intermedio entre estos
dos es una pura quimera. ”208
Esta concepción terminaría por excluir la noción de las diferenciales como magnitudes
infinitamente pequeñas; sosteniendo D´Alembert que la notación de las diferenciales no
es más que una manera conveniente de hablar que depende, para su justificación, del
lenguaje de los límites.
En un articulo de la Enciclopedia que acabamos de mencionar, bajo la denominación de
Diferencial D´Alembert, haciendo referencia expresa a la obra de Newton De
quatratura curvarum , interpreta las expresiones razones primeras y últimas de
Newton con límites y no como una primera o última razón de dos cantidades que están
exactamente surgiendo (al ser) o desvanecerse.
En otro articulo escrito y publicado también para la Enciclopedia, bajo el titulo de Límite ,
D´Alambert llama a una primera cantidad límite de una segunda cantidad variable, si la
segunda puede aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier
207 Ibid., p. 80. 208 Ibid., p. 80.
168
cantidad dada (sin llegar nunca a coincidir con ella). En este enfoque existe, según
anota Romero - Serrano (1994), una grave imprecisión formal que vino a eliminarse
gracias a los matemáticos del siglo XIX.
No obstante, a la importancia de las aportaciones de D´Alambert en el campo del Cálculo
estas no fueron aceptadas por los matemáticos de su época, puesto que estos continuaron
con las concepciones de Leibniz y Euler. Esta actitud de falta de adhesión, e incluso de
rechazo, tuvo quizás su origen en la imprecisión lingüística de su formulación y a la falta
de exactitud para llegar a hacerlas operativas.
5. 15. El concepto de función se considera central en las matemáticas
Desde los últimos años del s. XVII, con Leibniz y Jean Bernoulli el concepto de función
es escindido de muchas consideraciones aledañas y toma una forma analítica que, pese a,
permanecer vaga en los escritos de Bernoulli, se precisa en gran parte de los de Euler.
La primera consideración de una función como expresión analítica tiene su paternidad en
un articulo de Jean Bernoulli que data de de 1718en donde este genio de la matemática
plantea: “llamamos función de una magnitud variable a una cantidad compuesta de
cualquier manera que sea de esta magnitud variable y de constantes.”209
En este mismo articulo, según plantea Boyer (1986), Bernoulli propone la letra griega f
para designar la característica de una función, termino debido a Leibniz, describiendo
todavía el argumento sin paréntesis: f x.
En interpretación de Youschkevitch (1976) que es citada por Ruiz (1998), pese a no verse
en la definición de Bernoulli el modo de constituirse las funciones a partir de la variable
independiente, en esta época se consideraba a las funciones como expresiones analíticas.
169
Lo cual esta en estrecha relación con la directriz que se dio en el análisis infinitesimal, que
aun conservando e, incluso, reforzando sus relaciones con la geometría, la mecánica y la
física, durante todo el s. XVIII, se va convirtiendo cada vez más en una disciplina
independiente de la matemática misma.
El avance posterior del concepto de función según tienen consensuado importantes
historiadores de la matemáticas tales como: Boyer (1986), Youschkevitch (1976) y
D´Hombres y col (1987), se considera obra exclusiva de Euler, quien fue discípulo de Jean
Bernoulli. En el Capitulo 1 del volumen 1 de su Introductio in análisis infinitorum , este
gran matemático analiza detenidamente el concepto de función. Empieza definiendo las
nociones primordiales que empleo en su definición su mentor Jean Bernoulli: una
constante es una cantidad definida que toma siempre un solo y único valor, mientras que
una variable puede tomar valores en un conjuntote números complejos.
Una cantidad variable es una cantidad indeterminada, o si se quiere, una cantidad
universal, que comprende todos los valores determinados... Una cantidad
variable comprende todos los valores en ella misma, tanto positivos como
negativos, los números enteros y fraccionarios, los racionales, trascendentes. No
debemos excluir ni el cero ni los números imaginarios.210
La influencia de Jean Bernoulli en la obra de Euler se ve claramente en la definición que
plantea Euler del concepto de función, la cual sigue en líneas generales la que dio su
maestro, con la diferencia que en la suya Euler remplaza el termino cantidad por el de
expresión analítica: “Una función es una expresión analítica compuesta de cualquier
forma que sea, de esta cantidad y de números o cantidades constantes.”211
Según afirma Ruiz (1998), Euler para dar a esta definición la mayor posibilidad de
generalidad, admitía tanto valores reales como imaginarios del argumento.
209 BOYER. Op. cit., p. 531. 210 D´HOMBRES, J. Mathematiques au fils des ages, citado por RUIZ. Op. cit., p. 126.
170
Según Euler una función conceptuada simplemente como una expresión analítica se forma
mediante una clase de operaciones admisibles en las que entran las operaciones
aritméticas, las potencias y raíces. Según Ruiz (1998) la clasificación que Euler realizaría
de las funciones la haría en correspondencia con la definición de este concepto:
Las funciones se dividen en algebraicas y trascendentes; las primeras están
formadas por operaciones algebraicas solamente, y las últimas necesitan para su
formación operaciones trascendentes. (...) Las funciones algebraicas se subdividen
en racionales e irracionales. En las ultimas la variable está afectada por radicales,
y en las primeras no está afectada(...). Las funciones racionales, por último se
dividen en enteras y fraccionarias.212
En interpretación de Ruiz (1998) la clasificación de las funciones realizada por Euler
significo una nueva etapa en la evolución de este concepto.
El lo que se dice al respecto de la notación del concepto de función, Euler fue el primero
en utilizar f(x), en los Comentarii de San Petersburgo de 1734. Según Boyer (1986), se
puede afirmar que nuestro presente sistema de notación en matemáticas se debe en gran
medida a Euler, más que a cualquier otro matemático a lo largo de toda la historia.
No obstante, el papel central del concepto de función en matemáticas, en entendimiento de
Ruiz (1998), se alcanzo cuando Euler apoyándose en el cálculo diferencial de Leibniz y en
el Método de Fluxiones de Newton, funda lo que desde entonces es conocido como
Análisis (el estudio de los procesos infinitos). Sus trabajos en este campo se encuentran
recogidos en Introductio in Anlysin infinitorum (1748), piedra angular del nuevo
Análisis. Desde ese momento, la idea de función pasó a ser la idea fundamental del
análisis.
211 Ibid., p. 127. 212 Ibid., p. 126.
171
Acerca también de la teoría y funciones, por esta misma época el matemático francés
Lagrange (1736 – 1813) contribuyó con dos grandes tratados sobre funciones: Teoría de
la funciones analíticas y Lecciones sobre el Cálculo de las funciones, donde según Ruiz
(1998), desarrolla una tentativa muy ambiciosa como es: dotar al Cálculo de un
fundamento sólido reduciéndolo al Álgebra. En la definición que propone Lagrange de
la noción de función; la identifica como toda expresión del calculo:
Llamamos función de una o varias cantidades a roda expresión del cálculo en
la cual estas cantidades entran de cualquier manera, mezcladas o no, con otras
cantidades que consideramos como valores dados e invariantes, mientras que
las cantidades de la función pueden recibir todos los valores posibles. Así, en las
funciones no consideramos más que las cantidades que suponemos variables, sin
ninguna consideración a las constantes que pueden ser mezcladas. (Lagrange)213
También por esta época, la noción de de función estaba estrechamente ligada a la noción
de curva. De hecho para Euler, según asegura Ruiz (1998), existían dos tipos de curvas
continuas y discontinuas o mixtas. Para Euler continuidad significaba persistencia,
invarianza de la ley de la ecuación determinante de la función en todo el dominio de
valores de la variable, mientras que la discontinuidad de una función significaba un cambio
de la ley analítica, la existencia de leyes diferentes sobre dos intervalos, o más, de su
dominio.
5. 16. Problemática alrededor del concepto de continuidad incorporado en las
funciones discontinuas o mixtas.
Según Ruiz (1998) toda la teoría de la continuidad desarrollada en el siglo XIX por
Cauchy, Riemann y Weiertrass, tiene sus raíces en los trabajos de Euler y D´Alembert.
213 GRATANN * GUINNESS. Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630 – 1910, citado por RUIZ. Op. cit., p. 127.
172
Si bien, en general los matemáticos del s. XVIII no dan ninguna definición de la
continuidad o de la discontinuidad de las funciones, esto se debió según Youschkevitch
(1976), a que no tenían necesidad de tal, porque la solían expresar de forma descriptiva;
verbo y gracia la descripción que hace Euler del comportamiento de la función
discontinua.
X = 1/ (1- x2)1/2
en la vecindad del punto x = 1 diciendo que un crecimiento muy pequeño de x produce un
cambio extremadamente grande de la función X, pero no utilizan nunca el termino
continuidad.
De hecho, según Ruiz (1998) no había nada más ambiguo en tiempos de Euler que la
expresión fonctio continua.
Prácticamente, desde Newton y Leibniz, los geometrías trabajaron con
expresiones analíticas (algebraicas y trascendentes) a las cuales aplicaban las
operaciones de derivación e integración y a las que podían representar por medio
de curvas continuas (salvo en ciertos puntos excepcionales). No concebían otras
funciones que aquellas que sabían definir y manejar de esta manera, a las que
llamaban fonctiones continuae, sin duda, para destacar el hecho de que eran
siempre perfectamente determinadas, indefinidamente derivables, desarrollables
por medio de una serie de Taylor, integrables y representables mediante una
curva algebraica o trascendente.214
Sin embargo, esta tendencia se vio afectada hacia finales del s. XVII, al hacerse evidente,
según Ruiz (1998), que la noción de correspondencia funcional abarcaba mucho más de
lo que implicaba la expresión analítica que, generalmente, la traducía.
214 RUIZ. Op. cit., p. 130.
173
Las primeras criticas al concepto de función mixta o discontinua de Euler las formulo
Charles en 1780 al ofrecer un ejemplo de funciones que están definidas por expresiones
analíticas diferentes en regiones diferentes de un intervalo, que pueden ser representadas
por una sola ecuación. Cauchy en 1844 propuso, al respecto, el siguiente ejemplo:
Consideremos la función:
Fig. 19.
sería discontinua en el sentido de Euler; pero al mismo tiempo, también puede ser
representada por una sola ecuación para todo – x +, de tal modo que sería así
<<continua>>. De esta manera tan simple Cauchy hizo insostenible la
discriminación de Euler entre funciones continuas y mixtas.215
Según Ruiz (1998), la critica a estas nociones eulerianas se hizo muy fuerte también en el
ámbito de la teoría de de las series trigonométricas. Siendo Fourier en 1822, quien
superando las tradiciones existentes en el s. XVIII, afirma que una serie trigonométrica
puede ser utilizada para representar toda una función mixta o no continua en el sentido
dado por Euler. El cual fue un resultado de un estudio mucho más profundo acerca de la
ecuación de las cuerdas vibrantes, que lo condujo a mostrar que ciertas funciones no
continuas pueden ser representadas por medio de una serie trigonométrica convergente de
la forma:
215 Ibid., p. 130.
174
Fig. 20.
donde los coeficientes a n y b n se pueden determinar.
Con este avance según interpreta Ruiz (1998), se logro un grado de generalidad aun mayor,
en cuanto al tipo de funciones que se pueden aplicar, que el que permite la serie de Taylor.
Incluso según afirma Ruiz (1998), si hay muchos puntos en los que no exista la derivada o
en los que la función no sea continua, la función puede tener un desarrollo en serie de
Fourier. Con esto las funciones ya no necesitaba de ser de tan buen comportamiento en
su forma como las que los matemáticos habían manipulado hasta entonces. Avance este
que según Ruiz (1998) planteo un nuevo interrogante: ¿en qué condiciones es convergente
la serie trigonométrica asociada a una función dada?. Interrogante este que implica,
según palabras de Dirichlet, la sustitución de las ideas del cálculo, y ante todo, una
definición de la correspondencia funcional independiente de toda forma de expresión
analítica.
5. 17. Edad de oro en la matemática
El siglo XIX es considerado es considerado en general por los historiadores de las
matemáticas como la Edad de Oro de las Matemáticas, siendo según Romero – Serrano
(1994), el rigor la característica esencial de este periodo.
5. 17. 1. Los inicios de la aritmetización
175
Con la llegada del siglo XIX se produce un proceso de cambio, que en interpretación de
Romero – Serrano (1994), conducirá a tres elementos básicos para el desarrollo de la
disciplina matemática el rigor, la aritmetización y la clarificación del concepto de función.
En este empeño, las figuras de Cauchy, Bolzano y Dirichlet, contribuyeron con los
elementos básicos que permitieron la consolidación del ulterior desarrollo.
5. 17. 2. Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857)
Cauchy fue un gran maestro que disfrutaba con la enseñanza. Practicó su profesión de
maestro en la Ecole Polytechnique, donde existía la tradición de que todo profesor debía
escribir su libro de texto, no estando exento de ello ni siquiera este gran matemático. De
esta época son sus Cours d’ analyse de l’ Ecole Politechnique (1829) y Resume des
lecons sur le calcul infinitesimel (1823) y Lecons sur le calcul differentiel (1829).
Donde Cauchy le dio al cálculo infinitesimal elemental la forma que tiene hoy día. Para
esto tomo como elemento fundamental el concepto de limite de D’Alambert, si bien lo
dotó de todos los matices necesarios para grabarle un carácter mucho mas aritmético que
pudiera contribuir a conseguir una mayor precisión conceptual. Para ello, según explican
Romero – Serrano (1994), prescindió tanto de la geometría como de los infinitésimos y de
las velocidades de cambio, llegando a generar una formulación de su definición casi tan
rigurosa y precisa como la que utilizamos actualmente.
Asimismo según Romero – Serrano (1994) hay que otorgar a Cauchy el gran paso de
pensar un infinitésimo, no como un número constante muy pequeño, sino como una
variable.
176
De hecho, según estos mismos autores, Cauchy en la construcción de su Cálculo toma
como elementos básicos y fundamentales los conceptos de función y límite de una
función, construyendo una rama de las matemáticas a partir de los mismos.
En relación a la noción de derivada crea una definición basada en el concepto de límite.
Siendo el proceso que desarrolla el siguiente:
Dada la función y = f(x), para hallar la derivada con respecto a x, le otorga a la
variable x un incremento x = i y forma el cociente
Fig. 21.
y al límite de este cociente de diferencias, cuando i tiende a cero, lo define como
la derivada f´(x) de y con respecto a x.216
Sin embargo, según apuntan Romero – Serrano (1994), y pese a saber que en el campo
operativo era de gran utilidad, Cauchy la deja en un segundo plano.
No obstante, el concepto de diferencial llegó a ser definido por Cauchy de la siguiente
manera:
Si dx es una cierta cantidad finita, entonces dy, siendo y = f(x), vendrá definida
por f´(x)dx.217
En el campo de la teoría de funciones, según explican Romero – Serrano (1994), Cauchy
adelanto una definición de función, que es similar a la de hoy día:
216 ROMERO * SERRANO. Op. cit., p. 131.
177
La función f(x) es continua entre límites dados de la variable x si , entre estos
límites, un incremento infinitamente pequeño de i de la variable x da lugar a un
incremento infinitamente pequeño f(x + i) – f(x) de la función misma.218
En lo referente a la integración, allí también Cauchy imprimió su sello personal, como ya
se ha mencionado antes, durante todo el siglo XVIII se la había considerado como la
operación inversa de la diferenciación, no obstante la definición dada por Cauchy acerca
de la derivada ponía en evidencia el hecho que aunque no existiese la derivada en punto
anguloso o en un punto donde la función fuese discontinua, existía la integral, es decir
esta no presentaba dificultad alguna.
Basándose en esta consideraciones, según Romero – Serrano (1994), Cauchy decidió
recuperar el significado geométrico de la integral como área y, para ello, conceptualizó la
integral definida en términos del límite de las sumas integrales, de un modo muy parecido
al que hoy día es utilizado en la mayor parte de los textos elementales;
Sea Sn = (x1 – x0)f(x0) + (x2 - x1)f(x1) +...+(xn – xn-1)f(xn-1), entonces el
límite S de estas sumas Sn , según las longitudes de los intervalos (xi - xi-1) que
disminuyen indefinidamente, es, por definición, la integral definida de la función
f(x) en el intervalo que va desde x = x0 a x = X.219
Esta interpretación geométrica de la integral definida, proporcionada por Cauchy, es la
base para las más numerosas generalizaciones modernas acerca de la idea de integral.
Según Romero – Serrano (1994), Cauchy precisaba demostrar la relación existente entre
esta concepción de la integral y la, hasta ese entonces vigente, concepción generada a
través de la antiderivada. Según estos mismos autores, la consecución de estas metas vino
217 Ibid., p. 87. 218 Ibid., p. 87. 219 Ibid., p. 87.
178
de la mano del teorema del valor medio, que no era más que una generalización del
Teorema de de Rolle, ya conocido desde hacia un siglo, y que según Romero – Serrano
(1994), pude ser enunciado de la siguiente manera:
Si f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo
abierto (a, b), entonces existe al menos un valor x0 tal que a < x0 < b y que220
Fig. 22.
Según Romero – Serrano (1994) a partir de Cauchy, el teorema del valor medio ha jugado
rol muy importante en el campo del Análisis, de tal manera que se ha venido a conocer
con el nombre de Teorema del valor medio de Cauchy a la forma más general:
Fig. 23.
con las restricciones necesarias y adecuadas sobre f(x) y g(x) en el intervalo abierto [a, b].
5. 17. 3. Bolzano (1781 – 1848)
220 Ibid., p. 88.
179
Con respecto a los fundamentos del cálculo, la obra de Bernhard Bolzano guarda ciertas
similitudes con los trabajos de Cauchy. Bolzano fue un sacerdote checoslovaco de ideas
poco ortodoxas, y cuya obra matemática, en términos generales, fue ignorada por sus
contemporáneos.
Hacia el año de 1817 Bolzano publicó un texto, denominado Rein analytischer Beweis,
donde dedica sus hojas a dar una demostración aritmética del teorema del valor medio para
funciones continuas. Planteamientos estos que exigían de parte de Bolzano, según Romero
– Serrano (1994), un planteamiento no geométrico de la idea de continuidad en una
función o de una curva.
Según este mismo autor, las semejanzas con la obra de Cauchy en su aritmetización del
cálculo, en sus definiciones de límite, derivada, continuidad y convergencia, fueron solo
una coincidencia. No obstante, existen determinados campos en los que Bolzano se
aproximo más a las matemáticas modernas que Cauchy. Tal y como es el caso, que
Bolzano hacia el año 1840 llegó a darse cuenta de la diferencia existente entre la
infinitud de los números reales y la infinitud de los números naturales. De hecho según
explican Romero – Serrano (1994), gran cantidad de los descubrimientos hechos por
Bolzano tuvieron que ser redescubiertos y por ende fueron adjudicados a otros grandes
matemáticos. Tal es el caso, de la construcción de la primera función continua pero no
diferenciable en ningún punto, atribuida a Weiertrass.
5. 17. 4. Dirichlet
Si bien Bolzano había intentado efectuar demostraciones puramente aritméticas de
ciertas proposiciones, no menos cierto es, según Romero – Serrano (1994), que la palabra
clave del análisis es la de función y es, precisamente en la clarificación de este concepto
que fue surgiendo la aritmetización. La contribución de Dirichlet de hecho se encuentra
en este rumbo, en el año 1837 expuso una definición de función que, coincide
180
prácticamente, con la actual, utilizando para sus demostraciones, tanto el vocablo límite,
como su significado.
5. 18. Aritmetización de los procesos infinitos
Nombres como los de Méray (1835 – 1911), Weiertrass (1815 – 1897), Heine (1821 –
1881), Cantor (1845 – 1918) y Dedekind (1831 – 1916). Representan según Romero –
Serrano (1994) la culminación de medio siglo de investigaciones alrededor de la idea de
función y la de número, que había iniciado, en el primer cuarto de siglo con el intento de
reducir todo el análisis a la aritmética efectuado por Matín Ohm (1792 – 1872), en su
obra Versuch eines vollständig Konsequenten Systems der Mathematik (1822).
Según Romero – Serrano (1994), existe dos razones manifiestamente diferenciadas que
contribuyen a explicar que se demorara este hecho:
1) En un primer lugar, la falta de confianza que experimentaban los
matemáticos cuando trabajaban con series infinitas (no parecían
tener nada claro, ni siquiera si una serie de funciones, por ejemplo,
de potencias o de senos y cosenos, convergía siempre o no hacia
la función de la que se había obtenido).
2) En segundo lugar, la falta de una definición precisa del concepto
de número real, que es la esencia de cualquier proceso de
aritmetización.221
5. 18. 1. Weierstrass: Definición refinada del concepto de límite
221 Ibid., p. 91.
181
Los aportes en el campo de la teoría de números y en la formalización del concepto de
límite debidos a este matemático no son pocos. Weiertrass quien se educo en el seno de
una familia católica, devota pero al mismo tiempo liberal, con un padre muy autoritario.
Estudio derecho en la Universidad de Bonn, aunque nunca llego a graduarse. Hecho este
que lo llevo a pensar en prepararse para ser profesor de enseñanza secundaria, haciéndolo
en Münster donde un instructor, Christph Gudermann (1798 – 1851), lo tomo bajo su
protección.
Gudermann era un matemático interesado especialmente en las funciones elípticas e
hiperbólicas, el cual logró persuadir a su discípulo de la conveniencia que tenia el
desarrollo de una función en serie de potencias, siendo en este dominio en el que
Weiertrass produjo, siguiendo la huella de Abel, su obra más importante.
Weiertrass trataba de separar el Análisis de la Geometría y basar el primero única y
exclusivamente en el concepto de número. En acuerdo con las ideas de Méray llegó a la
conclusión de que era necesario divorciar el concepto de número irracional del concepto
de límite, ya que, según Romero – Serrano (1994), hasta ese momento, la idea de límite
había supuesto la idea de número irracional. Para ello tuvo que resolver el error lógico
planteado por el razonamiento de Cauchy, para ello consideró el problema de la existencia
del límite de una sucesión convergente identificando la sucesión misma con el número
límite.
Pese a ser el esquema de Weiertrass demasiado complejo para ser expuesto aquí, de
cualquier manera, lo importante es que Weiertrass, en su tarea de la aritmetización del
Análisis, proporciono al mundo matemático:
1. Una definición satisfactoria de número real.
182
2. Una definición depurada del concepto de límite.222
5. 18. 2. Dedekind
La obra de Dedekind, es en algunas facetas muy parecida a la de Weiertrass, tras dedicar
grandes esfuerzos al estudio de los números racionales, llegó a la conclusión en 1858 de
que el concepto de límite había que desarrollarlo de una manera puramente aritmética, es
decir; sin referencia alguna a la Geometría, como era usual en su tiempo, si quería que este
concepto se constituyera en un concepto riguroso.
Tal reto es asumido por Dedekind en su libro titulado Stetigkeit und die
Irrrationalzahlen (continuidad y números racionales) de 1872, donde como nos lo
expone el propio titulo del libro, lo que pretendía era encontrar qué es lo que diferencia
a las magnitudes geométricas de los números racionales.
Pues como es de recordar, tanto Galileo como Leibniz habían pensaban que la
continuidad de los puntos de una recta era el resultado de su densidad, en otras palabras,
del hecho de que entre dos puntos distintos cualesquiera existe siempre otro. Sin
embargo, los racionales gozan de este propiedad a pesar, de cómo es bien sabido, no
formar un continuo.
Reflexionando sobre este problema, Dedekind llegó a la conclusión de que la particularidad
de la continuidad de un segmento no se debe a una más o menos vaga cohesión, sino a
una propiedad justamente opuesta a ésta: la de la posibilidad de división de un segmento
en dos partes por un punto del segmento. En efecto, en cualquier división de los puntos
del segmento en dos clases tales que cada punto pertenezca a una y sólo a una de las dos
clases, y tal todo punto de una de las dos clases de esté a la izquierda de cualquier
punto de la otra clase, hay uno y solo un punto que produce la división.
222 Ibid., p. 94.
183
Razonando en este sentido, Dedekind aprecio que podía extender el dominio de los
números racionales para formar un continuo de números reales, si se admite el axioma
conocido hoy día como el axioma de Cantor - Dedekind que afirma que los puntos de
una recta se pueden poner en correspondencia biunívoca con los reales.
Para esta elaboración, según Romero – Serrano (1994), necesito construir formalmente
los números reales a partir de lo que se conoce hoy día como Cortaduras de Dedekind.
Al respeto Dedekind, afirma que con esta nueva definición de número real es posible
probar los teoremas referentes a límites con todo rigor y sin hacer uso de la intuición
geométrica.
En este sentido, según apuntan Romero – Serrano (1994), es posible afirmar que si la
Geometría fue el instrumento que mostró el camino para una definición adecuada de la
idea de continuidad, al final del proceso quedó totalmente excluida de la definición
aritmética formal del concepto.
184
6. OBSTACULOS EPISTEMOLOGICOS PRESENTES EN EL DESARROLLO
HISTORICO DEL CONCEPTO DE DERIVADA
6. 1. Introducción.
En este apartado intentare llevar a cabo un análisis de los principales obstáculos
epistemológicos ligados al desarrollo histórico de la noción de derivada. Para ello, me
basare en algunas de las aportaciones teóricas que aparecen en el Capitulo 1: (1. 3. 1.) y las
disertaciones de Ruiz (1998) y Romero – Serrano (1994), que identifican, cada uno por
separado, distintos tipos de obstáculo cognitivos; el primero, asociados a la evolución
histórica de la noción de función y el segundó, alrededor del desarrollo histórico del
concepto de límite.
6. 2. Obstáculos de tipo epistemológico
Como ya se dijo antes, al estar estos ligados al conocimiento mismo, y al poder ser
encontrados en la evolución histórica de los propios conceptos matemáticos, estos deben
ser considerados como parte del significado del concepto mismo. En relación al concepto
matemático que nos ocupa, son diversos los obstáculos vinculados a conceptos que a
través de la historia de las matemáticas han dado forma al actual concepto derivada. Entre
los cuales están:
• A nivel de creencias
Concepción estática de las matemáticas
185
Aun que la idea más primitiva función estaba contenida en las nociones de cambio y
relación entre magnitudes variables. No obstante, según sostiene Ruiz (1998), la tradición
matemática después de Euclides, considero a los entes matemáticos como algo estático. De
hecho los matemáticos de esta época consideraron las magnitudes físicas y las proporciones
entre ellas como algo disímil a las igualdades estrictamente numéricas. “Esta concepción
de la <<variabilidad>> como característica exclusiva de las magnitudes físicas puede
considerarse como un claro obstáculo epistemológico para el desarrollo del concepto de
función.”223 Asimismo por la cercanía que guarda este concepto con el de derivada, tanto
en sus raíces históricas como en su constitución actual, evidentemente, la concepción
estática de la matemática que perduro hasta Leibniz (cofundador del cálculo) es también un
obstáculo epistemológico para el desarrollo del concepto de derivada.
La no aceptación de los procesos infinitos
Aunque bien pronto en la historia de la cultura matemática, matemáticos como Eudoxo y
Arquímedes se aproximaron a la idea de límite, a través; del lema de Arquímedes (el
equivalente griego del cálculo integral), el método de Exhausción y el Algoritmo de
Arquímedes. Sin embargo, no se estuvo más cerca a este concepto que lo que estuvieron los
estudios de Arquímedes acerca de la cuadratura de la parábola, expuestos en su libro
Sobre las espirales. No obstante, a recordar el método allí expuesto los actuales métodos
del cálculo integral, Arquímedes nunca llegaría a calcular el área de la parábola, puesto
que para ello debía calcular una suma de infinitos sumandos y los procesos infinitos no se
aceptaban en su época.
Disociación entre magnitudes y números
223 RUIZ. Op. cit., p. 142.
186
Aunque hoy por hoy asociemos de forma natural a cierta cantidad de una magnitud una
cierta medida numérica, para el pensamiento griego esto era inconcebible, ya que números
y magnitudes eran dos cosa bien distintas. Al respecto de dicha disociación, La Torre
(2003) afirma; la aceptación en la tradición matemática antigua de que los números son
una imagen de lo discreto y que la línea lo es del continuo, a partir del problema de la
inconmensurabilidad del lado del cuadrado con respecto a su diagonal “inició la
especulación acerca de las magnitudes infinitesimales o infinitamente pequeñas, fijas e
indivisibles, que sólo pudieron ser desterradas de la matemática en el siglo pasado
cuando se encontraron los conceptos rigurosos de derivada e integral.”224
Para Ruiz (1998) esta profunda disociación condujo a no observar las leyes físicas como
funciones matemáticas y por ende se constituye en un obstáculo epistemológico en el
desarrollo histórico del concepto de derivada.
• A nivel de esquemas de pensamiento
La inconmensurabilidad y las paradojas
La inconmensurabilidad y las paradojas, se constituyen en un obstáculo para el desarrollo
del concepto de función, puesto que discretizan los números y esto impide que se
establezcan relaciones generales numéricas entre las magnitudes.
El no haber reparado en el descubrimiento de los inconmensurables
Se cree que los griegos llegaron al descubrimiento de los inconmensurables, que lleva
implícito el concepto de límite, a través de la Sección Aurea, sin embargo, el que los
224 LA TORRE. Op. cit., p. 28, 29.
187
griegos no hubiesen reparado en tal descubrimiento se constituye en un obstáculo para
el desarrollo del concepto de límite.
El uso de las razones o proporciones
Según plantea Ruiz (1998) desde los griegos hasta el siglo XV, la proporción se escribía
de forma discursiva y no como un igualdad en forma de fracciones, con lo cual el aspecto
funcional de la proporción quedó completamente oculto por su carácter estrictamente
escalar. Por ello se le considera como un obstáculo epistemológico para el desarrollo de la
noción de variable, y en consecuencia para la noción de función.
La homogeneidad de las proporciones
La homogeneidad arrastraba siempre a comparar magnitudes de la misma naturaleza y
esto coartaba encontrar, de forma significativa, dependencias entre variables de
diferentes magnitudes, germen de la relación funcional.
La concepción geométrica de las variables.
En la geometría griega se fue configurando un obstáculo con una fuerte dependencia de la
geometría. El que hubiesen construido un Álgebra Geométrica cuyos elementos primarios
eran los segmentos de recta. Se explica, según Ruiz (1998) gracias al sentido geométrico
que para ellos tenían las variables. Así, una variable correspondía a la longitud de un
segmento rectilíneo; el producto de dos variables, al área de un rectángulo; y el producto de
tres variables, al volumen de un paralelepípedo rectangular.
El obstáculo creado con esta identificación solo llegaría a ser superado con Fermat y
Descartes. Para Descartes, el producto de dos o más cantidades variables no se identificaba
con áreas o volúmenes, sino que se establece un isomorfismo entre los segmentos y los
números reales. La suma, diferencia, producto o cociente de segmentos es siempre otro
188
segmento. El concepto de variable obtiene así otra significación diferente. Se comienza
a estudiar las propiedades de los puntos de una curva a través de las relaciones entre las
coordenadas de éstos.
El poner siempre en términos geométricos los resultados.
Que matemáticos como Gregory reconociendo la potencia que muestran los desarrollos
de funciones de series infinitas y, en general todos los procesos infinitos. Más aun pese ha
mostrar resultados en Análisis infinitesimal, donde se pone de manifiesto la noción de
limite, nunca llega a formalizar sus métodos, (próximos al actual cálculo integral) se debió
en primer lugar, a que careció de la noción de limite y en segundo lugar, porque aun
teniendo muy buenas aproximaciones de sectores elípticos e hiperbólicos, no llego a
expresar esta noción pese a trabajar con procesos infinitos. Probablemente ello se debió a
que no el gustaba expresarse de forma analítica, sino que prefería la forma geométrica.
Negativa de Barrow a trabajar en el campo algebraico.
Pese a haberse interesado por los problemas de las tangentes y las cuadraturas, y ha haber
hecho aportes interesantes al primer campo, con la complementación del cálculo diferencial
de Fermat, intuyendo en su obra el carácter inverso de los problemas relativos a tangentes
y cuadraturas, este se vio frenado por su negativa a trabajar en el campo algebraico.
• A nivel de conocimiento técnico
El mero interés en la parte practica del cálculo.
Una primera aproximación a la idea de límite se dio en el algoritmo para la extracción de
raíces cuadradas. Este algoritmo mesopotámico iterativo, que es conocido con el nombre
189
de Algoritmo de Newton, pudo haber servido para poner en contacto a los babilónicos
con los procesos infinitamente largos. Sin embargo, esto no fue así, porque a ellos, como a
los egipcios , sólo les llegó a interesar la parte practica del cálculo.
Concepción algebraica
Según Ruiz (1998) la simbolización algebraica hizo que apareciera un obstáculo en el
desarrollo del concepto de función, a saber; en el siglo XVII se define: Una función de
una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de alguna manera por esa
cantidad variable y números o cantidades constantes. Extremándose esta definición,
según apunta Ruiz (1998), se llego ha pensar que las únicas relaciones dignas de estudio
eran aquellas que podían ser descritas por medio de expresiones algebraicas y ecuaciones.
Concepción mecánica de la curva
Después de las aportaciones de Oresme en el campo del desarrollo del concepto de función,
dicho concepto estaría acompañado de la noción de curva. No obstante, en principio, las
curvas no fueron consideradas como gráficos de la relación funcional, sino, que fueron
tenidas como trayectorias de puntos en movimiento (curvas mecánicas), concepción esta
que estuvo presente en la mente de los más grandes matemáticos tanto del s. XVI como
del XVII. No permitiendo observar a dichas curvas como un conjunto de puntos que
satisfacen condiciones dadas por la relación funcional. Por un lado este obstáculo retrazo
la aparición del concepto de función y por otro evidentemente, sesgo los desarrollos del
cálculo al puro estudio del movimiento, no favoreciendo su desarrollo como ciencia
independiente de la física y la dinámica.
190
7. DINAMIZACIÓN DE LA HISTORIA CONTADA PARA CREAR ELEMENTOS
DE USO DE LA HISTORIA PARA LA NESEÑANZA DE LA DERIV ADA.
7. 1. Introducción.
Según Rivaud (1996) para un docente de matemáticas no sólo es interesante sino
conveniente conocer el desarrollo histórico de los conceptos matemáticos a través del
tiempo. Ello no sólo le proporciona buenos ejemplares, sino que también en muchas
ocasiones le permite darse cuenta del por qué de las dificultades de los alumnos en la
adquisición de algunos conceptos.
“Por ejemplo, en el caso del concepto de función, con frecuencia se introduce éste en toda
su generalidad, pero después se usa exclusivamente en el marco del cálculo diferencial e
integral”225 suprimiendo completamente la historia de dicho concepto, es decir, la sucesión
de dificultades y problemas que han provocado su aparición, su uso para plantear nuevos
problemas, la intrusión de técnicas y problemas nacidos de los progresos de otros
sectores, el rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a mal entendidos, y las
innumerables discusiones al respecto.
Con respecto a la temática que nos ocupa, según explica Wussing (1989):
A menudo, en una exposición superficial, se alude a Newton y Leibniz como
únicos inventores del cálculo diferencial e integral. Pero esta afirmación no se
corresponde con los hechos históricos: hubo, por el contrario, toda una larga lista
de precursores que prepararon el terreno, así como una gran cantidad de intentos
225 RIVAUD, J. Del cálculo al análisis: Desarrollo del concepto de función. En: Perspectivas en educación matemática. Centro de investigación y estudios avanzados de IPN. Departamento de matemática educativa. Grupo editorial Iberoaméricana S. A. de C. V. México. 1996. p. 117.
191
fallidos, antes de que los problemas que surgían en el estudio de las variables y
los límites fueran superados y presentados en forma manejable.226
Cuestión esta que, según creo, de alguna manera, debe estar ya bien clara, a partir de la
historia que se busco recrear en el Capitulo 5, donde se esbozo el desarrollo histórico de las
practicas y conceptos matemáticos que se encuentran alrededor del concepto de derivada y
que a su vez constituyen parte del desarrollo histórico del mismo.
Sin embargo, como el objetivo primordial de la presente investigación es el crear algunos
elementos de uso de la historia susceptibles de ser llevados al aula para la enseñanza del
concepto de derivada, la cuestión que se desarrollara aquí, es el cómo dinamizar dicha
historia alrededor del concepto de derivada para su administración en un contexto escolar.
Para ello, opino que es pertinente traer a colación algunos de los planteamientos que al
respecto hace Rivaud (1996) acerca de las practicas y problemas que vinieron a dar origen
a lo que en el s. XVII se dio en llamar Cálculo, y que, como es bien sabido de los trabajos
de Santos (1995), poco a cambiado hasta nuestros días.
Los últimos años del siglo XVII presenciaron el nacimiento del Cálculo
Diferencial e integral, cuyo desarrollo inicial estuvo a cargo de Isaac Newton y
Wilhelm Gottfried. Leibniz vino a unificar el tratamiento de buena parte de los
diversos problemas que ocupaban a los matemáticos de ese momento. Algunos
de éstos son:
• Calculo de longitudes, áreas, volúmenes y centros de gravedad.
• A partir de conocer la posición en cada momento, determinar la velocidad
instantánea y, recíprocamente, cuando se conoce la velocidad en cada momento,
calcular la distancia recorrida.
226 WUSSING, H. Lecciones de historia de las matemáticas. Ed. Siglo XXI. España. 1989. p. 137.
192
• Determinación de máximos y mínimos.
En ese momento, eran ya de conocimiento común entre los matemáticos, los
elementos indispensables para el desarrollo del cálculo, es decir:
• El álgebra y la trigonometría elemental.
• La geometría analítica.
Asimismo, eran usuales desde principios del siglo XVII los argumentos que
hacían uso de “infinitesimales” o “indivisibles.
Otro elemento relevante, que hay que señalar, es el rompimiento con la filosofía
de Aristóteles y el surgimiento de una nueva actitud en el que se tiene el
convencimiento de que la naturaleza está matemáticamente diseñada.”227
Problemas estos que a criterio de la presente investigación pueden resumir en buena
forma, la manera de llevar un desarrollo coherente de la evolución histórica y los
conceptos asociados al desarrollo histórico del concepto de derivada, que podrían ser
llevados a la escuela como elementos de uso didáctico de la historia para la enseñanza de
conceptos presentes en el concepto de derivada y para la enseñanza del concepto mismo.
7. 2. Proceso de materialización del concepto de derivada.
Como se ha insistido en la presente investigación, el análisis histórico critico de las
características del llevado a cabo aquí, nos sitúa en lugar más adecuado para intentar
plasmar el proceso de materialización del saber de derivada a través de los siglos.
Así proponiendo en el plano conceptual, ontogenético, se distinguen esencialmente en el
desarrollo histórico de la noción de derivada tres etapas bien diferenciadas:
193
1. Etapa geométrica
Esta primera etapa, hablando de forma general en el ámbito de las matemáticas, se
caracteriza por la resolución de ejercicios en el plano concreto. En ella podemos
diferenciar:
a) Un estadio inicial, donde la idea de límite y la de función muy ligada a la de límite,
aparecen unidas a la de aproximación y a la practica común en la época de la
observación concomitante de fenómenos enlazados por una relación aritmética,
como es el caso de los periodos de visibilidad de un planeta y la distancia angular
de un planeta al Sol. (Como hemos visto que sucedía en las civilizaciones antiguas
de Egipto y Mesopotámica).
b) Un segundo estadio, donde la noción de límite se encuentra más confeccionada,
aunque sigue siendo pensada como una aproximación, sería proporcionado por el
método de Exhausción que hace su incursión con la matemática griega.
Esta etapa abarco tanto la antigüedad así como también la edad media en la historia de las
matemáticas.
2. Etapa geométrico – aritmética.
Esta segunda etapa se caracteriza esencialmente por la incorporación de los antiguos
métodos utilizados por los griegos, si bien con algunas modificaciones que desembocaron
en esta época en la creación del Cálculo Infinitesimal; pasando de la resolución de los
ejercicios en lo concreto (plano geométrico) a la formalización de los conceptos, aunque
de manera poco rigurosa.
227 RIVAUD. Op. cit., p. 117.
194
En esta etapa, como en la anterior es posible diferenciar dos estadios:
a) El primer estadio se concerniría con los descubrimientos de diversos matemáticos,
fundamentalmente con; Stevin , Descartes, Fermat y Barrow, que trabajaron durante
el s. XVII. En sus trabajos aparece una constante que permite englobarlos en el
mismo estadio conceptual, se trata particularmente de llegar a la noción de límite a
partir de la elaboración de un método para calcular la tangente a una curva o el
área bajo una curva. Origen del actual cálculo Diferencial e Integral.
b) El segundo estadio estaría representado, primordialmente, ahora sí, por los trabajos
de Newton y Leibniz, quienes coincidían, como ya hemos visto, en el fondo aunque
hubieran diferencias en la forma de representar sus conclusiones. Es de recordar
como Newton hablaba de de fluxiones, mientras que Leibniz lo hacia de
diferenciales. Es precisamente a partir de estos dos autores que dejan de evitarse
los procesos infinitos y se comienza a trabajar con ellos, lo que fue esencial para
la definición de límite y por ende para el concepto actual de derivada. A este estadio
lo único que se le puede objetar es su vaguedad formal, que es claramente evidente
en expresiones utilizadas por Newton tales como razones primeras y últimas o
desvanecerse en sus exposiciones, que se corresponden más a un ámbito filosófico.
3. Etapa Aritmética.
Esta etapa se caracteriza por la formalización definitiva del concepto de derivada a través
de la formalización de conceptos que están en estrecha relación a este concepto, como
son; el concepto de límite y el de función, cuya definición se hará primero de manera
precisa y después de manera rigurosa.
Como en los casos anteriores, aquí también se distinguen dos estadios bien diferenciados.
195
a) En el primer estadio se asiste a la aparición de la palabra límite y , por tanto, a su
materialización. Consecuencia de la interpretación que hizo D´Alembert, de las
razones primeras y ultimas de Newton como límites, así como también de las
cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas. Sin embargo, es de
anotar, en esta época correspondiente a las aportaciones de D´Alembert, seguía
ignorándose el infinito completo y el actual, en la medida en que todavía se
pensaba en términos de magnitudes geométricas y no en términos de la teoría de
conjuntos.
b) En el segundo estadio, se asiste a la definición definitiva del concepto de límite,
por parte de Cauchy, y después, a la rigurización del mismo por parte de
Weiertrass. Que configuro el actual concepto de derivada.
Llegados a este punto, y recordando lo dicho en la introducción a este capitulo, como es;
que para un docente de matemáticas no sólo es interesante sino conveniente conocer el
desarrollo histórico de los conceptos matemáticos a través del tiempo. Ya que ello no sólo
le proporciona buenos ejemplares, sino que también en muchas ocasiones le permite
darse cuenta del por qué de las dificultades de los alumnos en la adquisición de algunos
conceptos. Podríamos intentar una ultima reflexión en nuestro análisis, posterior y
complementaria a la tarea que hizo en el Capitulo 6, de registrar los obstáculos
epistemológicos asociados al desarrollo histórico del concepto de derivada, tal y como es
una que busque identificar posibles paralelismos entre el desarrollo ontogenético y
filogenético de los conocimientos. En efecto, y sin que ello suponga aceptar, en ningún
momento el principio haeckeliano de que la ontogénesis recapitula la filigénesis228,
228
Principio formulado por el biólogo alemán y darwinista convencido Haeckel, Ernst (1834-1919), quien,
basándose en parte en los estudios embriológicos de Fritz Müller, formulo la ley biogenética según la cual la
evolución del individuo (ontogénesis) reproduce la evolución de la especie (filogénesis): “la ontogénesis, es
decir, el desarrollo del individuo, es una breve y rápida recapitulación de la filogénesis o evolución de la
estirpe a la que pertenece, de los precursores que forman la cadena de los progenitores del individuo mismo,
196
parece evidente que la evolución histórica de la noción de derivada, y de algunos de los
conceptos relacionados a él, sigue una línea paralela con su desarrollo en el campo del
saber matemático.
En este sentido, si designamos “representación” a la formación del concepto, tanto a lo
largo de su historia como en el sujeto, encontramos como en ambos casos, se siguen tres
etapas bien diferenciadas y muy similares desde el punto de vista estructural:
• En la primera etapa que llamaremos de iniciación – que se correspondería, en el
sujeto, con el pensamiento preoperacional- encontramos un primer estadio,
representado por las civilizaciones antiguas de Egipto y Mesopotámica, cuyo
razonamiento alrededor de nociones tales como función y límite presenta las
características propias del preconcepto; y un segundo estadio intuitivo,
representado por la matemática desarrollada en Grecia.
• En la segunda etapa, que llamaremos de formación y concretización se asiste, en la
filogénesis a transformaciones paralelas a las que se producen en el pensamiento
operacional concreto del niño. Durante esta etapa, un primer estadio se caracteriza
por la construcción del límite, representada por las aportaciones de matemáticos
como Stevin, Fermat, Barrow, por otro lado, y en esta misma etapa se introduce,
por parte de Descartes y Fermat, al mundo, en el universo de la representación
analítica, utilizando esencialmente el método de las coordenadas. Que como se
sabe constituye el fundamento de otros dos grandes descubrimientos del s. XVII.
La introducción de la noción de función y el cálculo infinitesimal. Mientras, en un
segundo estadio, encauzado a través de las aportaciones de Newton y Leibniz, se va
a producir la <<reorganización y generalización>> de lo construido previamente.
repetición que está determinada por las leyes de la herencia y de la adaptación”. MARTÍNEZ * CORTÉS. Op.
cit., búsqueda bajo la palabra: Haeckel.
197
• Finalmente, en una tercera etapa que llamaremos de formalización – y que
constituye el equivalente filogenético del pensamiento operacional formal
asistimos, en un primer estadio, a una nueva construcción del concepto, de límite,
representado por los trabajos de A´Lembert; y en un segundo estadio, a la
<<reorganización y generalización >> de estas construcciones previas, en manos de
Cauchy, Bolzano y Weierstrass, que dio lugar al concepto actual de derivada.
7. 3. Incorporación de la historia al currículo de matemáticas. (Creación de la ficción).
En efecto, el currículo no debe entenderse solamente como una etapa inicial,
operativa e instrumental, de distribuir contenidos a lo largo de un nivel, grado o
programa, sino como un proceso que se genera desde la cultura y la ciencia, lo cual
implica:
I. Comprender el currículo en si mismo como una investigación, como proceso de
evaluación permanente que lleven a la toma de decisiones enriquecedoras de
este proceso pedagógico.
II. Concebir en el diseño de la estructura curricular la articulación de los momentos
evolutivos de los estudiantes, los supuestos básicos, los énfasis, los ejes y los
temas.
III. Entender esta estructura con la máxima flexibilidad y movilidad, para que
siempre esté subordinada a los intereses y necesidades de la comunidad.
IV. Destacar en los temas que deben desarrollarse en cada período lectivo o
programa, la calidad, la profundidad y la pertinencia de los contenidos.
V. Elaborar las propuestas de trabajo para cada período lectivo, haciendo explícitos
las intenciones, los temas, las actividades, las metodologías y los recursos.
198
VI. Generar espacios y tiempos exclusivos al interior de la institución educativa.229
Por ello y en virtud de la autonomía escolar ordenada por el articulo 77 de la ley 115 de
1994, por la cual, los establecimientos educativos que ofrezcan la educación formal,
gozan de la autonomía para organizar las áreas obligatorias y fundamentales.
Propongo los siguientes criterios para la organización de un currículo en matemáticas:
Dado que el aprendizaje de las Matemáticas se orienta más a la adquisición del
pensamiento matemático, que al aprender contenidos, así sea el que aquí nos ocupa. La
cuestión estará más por el lado de cómo potenciar la adquisición de dicho pensamiento,
entendiendo a este como un proceso que “pretende la economía de los procesos lógicos
por medio de la capacidad de realizar transformaciones sobre los símbolos, sin necesidad
de llevara a cabo las acciones sobre los objetos.”230
Dentro de este enfoque y teniendo en cuenta la teoría de Piaget, los apuntes de Bustos
(1999) y algunos de los aportes de Chevallard (1991), el objeto que el estudiante edifica
son las herramientas del conocimiento, plasmadas por los conceptos matemáticos
centrales, y a través de la experiencia física y la experiencia lógico – matemática, por
cuanto:
• Una cosa es el discurso disciplinar que se dá en un campo de producción, éste se
mueve en un campo de producción discursiva, discurso que se debe a los grandes
teóricos que están trabajando los últimos avances de dicho saber, y otra cosa es el
discurso escolar de la matemática. De hay que la matemática pura no es el
conocimiento que se pretende a nivel escolar.
229 SECRETARIA DE EDUCACIÓN DISTRITAL. [en línea] De: http://www.redacademica.edu.co/redacad/export/REDACADEMICA/ddirectivos/inspeccion__vigilancia/archivos/COMPONENTE_PEDAGOGICO_ED_NO_FORMAL.doc
199
• Es propio a la matemática el aprendizaje en si mismo de las relaciones y
transformaciones que se pueden constituir entre conceptos y estructuras, de
manera que el estudiante elabore conexiones entre ellos.
• Los contenidos que sirven de mediadores para el ascenso al pensamiento
matemático, tiene estructuras similares a las estructuras de pensamiento y a redes
de conceptos.
Por todo lo anterior y recordando que la actividad matemática permite tomar conciencia
de las relaciones y las transformaciones en si mismas, independientemente del contexto
particular y ulteriormente permite comunicarlas. La primera fase de dicho proceso
comprende prolongaciones de las acciones reales; la segunda fase es una formalización
que exige simbolización, y no necesita realizar las acciones que soportan la actividad. De
hecho la actividad matemática, según palabras de Latorre- Suarez (1997);
avanza hacia el pensamiento matemático en la medida en que transita de lo
perceptual y activo hacia lo abstracto; en tal sentido si la verbalización de las
acciones se desprende muy rápidamente de estas, el símbolo carecerá del realismo
que lo sostiene y habrá de recurrir con frecuencia a las situaciones concretas y a
las acciones; de cualquier manera la comunicación es importante pues no solo
demuestra que se ha percibido y comprendido lo que se enuncia sino que
también permite un dialogo del que se obtiene nuevas relaciones.231
Según estos mismos autores, el Plan de Estudios para el aprendizaje de las Matemáticas
está constituido en sistemas. Siguiendo las aportaciones de Vasco (1994), en su articulo El
enfoque de sistemas en el nuevo programa de matemáticas, en Un nuevo enfoque
para la didáctica de las matemáticas Un SISTEMA MATEMÁTICO es una
estructura formada por un conjunto con elementos que se operan o transforman y entre
230 LATORRE, H. * SUÁREZ, P. Las matemáticas en la educación básica y media. Acción pedagógica 12. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Centro de Investigaciones Científicas y Extensión de la Facultada de Educación – CIEFED. Tunja. 1997. p. 19. 231 Ibid., p. 20
200
los que se establecen relaciones. La estructura matemática está conformada por los
sistemas numérico, geométrico, lógico, métrico, algebraico y de datos, y cada uno tiene
intrínsecamente un sistema concreto, otro conceptual y otro simbólico.
En el sistema concreto según Latorre- Suárez (1997) se tiene un estructura formada por
elementos que el estudiante ya ha apropiado y le son familiares; con ellos realiza acciones
y transforma los objetos, compone relaciones de semejanza y diferencia, introduce algunas
clasificaciones y una organización propia.
En el sistema conceptual se fabrican preguntas y se inquiere respuestas, generalidades y
particularidades, se discuten puntos de vista y las conclusiones que surgen. Es permite
una construcción grupal. Al pensarse sobre las acciones y las relaciones establecidas se
interioriza la acción, se construyen operaciones.
En el sistema simbólico se establecen formas comunes de representación, se generalizan
las propiedades que determinan los elementos así como las leyes que rigen las
operaciones y las relaciones construidas.
Teniendo presente esto y ultimo, y colocándolo en relación con los planteamientos
expuestos en 7.2. acerca de los posibles paralelismos entre la evolución histórica de la
noción de derivada, y de algunas de las nociones relacionadas a ella, con su desarrollo en
el campo del saber matemático. Pongo en consideración;
Ya que en el nivel PREESCOLAR, se pretende esencialmente, según palabras de Latorre-
Suárez (1997), “que los niños superen satisfactoriamente su etapa sensorio motriz e
inicien una fase preoperatoria”.232 Y dado que el énfasis de este nivel “se centra en la
adquisición de las nociones de clase y serie sobre conjuntos”.233 Aunque en el presente
trabajo no se contemple el uso de la historia para apoyar el paso satisfactorio del niño de la
232 Ibid., p. 21. 233 Ibid., p. 21.
201
etapa sensorio motriz a la fase preoperatoria, no obstante se podría pensar en un tipo de
historia que sirviese como apoyo a esta primera aproximación del niño a las nociones de
clase y serie sobre conjuntos, ya que de ellas dependerá de forma significativa tanto la
construcción del concepto mismo de número así como también su paso eficaz a la fase
preoperatoria, donde dichas nociones jugaran un papel fundamental en la construcción de
su pensamiento matemático.
Acerca de la BASICA PRIMARIA , ya que su objetivo es “propiciar el transito de un
pensamiento nocional a un pensamiento conceptual, para construir operaciones directas
e inversas, establecer relaciones de orden y parte y todo entre cantidades discretas y
continuas, favorecer la formación del concepto de proporcionalidad”.234 El papel que
jugara la historia en este nivel estará más por el lado de brindar al docente de matemáticas
buenos ejemplares para la introducción así como para el desarrollo de una temática de
clase en particular, verbo y gracia, algunos de los aportes de las civilizaciones antiguas de
Egipto y Mesopotámica, cuyo razonamiento, hablando de forma general en el ámbito de las
matemáticas, se caracterizo por la resolución de ejercicios en el plano concreto.
En un estadio inicial del desarrollo matemático de estas civilizaciones, la idea de límite y
la de función muy ligada a la de límite, aparecen sujetas a la de aproximación y a la
practica común en la época de la observación concomitante de fenómenos enlazados por
una relación aritmética, como es el caso de los periodos de visibilidad de un planeta.
(Como hemos visto que sucedía en las civilizaciones antiguas de Egipto y Mesopotámica).
En un segundo estadio, que podría articularse en la administración curricular con los cursos
finales de la BASICA PRIMARIA, podría trabajarse la noción de limite a partir de la
noción aproximación, a través de su equivalente filogenético el cual es proporcionado por
el método de Exhausción que hace su incursión con la matemática griega.
234 Ibid., p. 22.
202
Dado que en la BASICA SECUNDARIA se “pretende consolidar el pensamiento
conceptual y favorecer su desequilibrio para hacia la Educación Media ascienda a la
formación de redes conceptuales, para construir modelos, establecer hipótesis, y llevar a
cabo procesos de inducción y deducción.”235. El aporte que puede brindar la historia
alrededor del concepto que aquí nos ocupo, consiste en ayudar a la formación y
concretización de algunas de las nociones que en la BASICA PRIMARIA, se vieron de
forma intuitiva, tal y como es el caso de las relaciones funcionales, la noción de
convergencia y aproximación, que históricamente, luego de ser apoyadas a través de
herramientas tan valiosas como el Álgebra, permitieron en su época, en primer lugar; que
Descartes y Fermat, introdujeran al mundo, en el universo de la representación analítica,
utilizando esencialmente el método de las coordenadas. Que como bien se sabe constituye
el fundamento de otros dos grandes descubrimientos del s. XVII. La introducción de la
noción de función y el Cálculo infinitesimal. Lo que significo en el campo del desarrollo
histórico de la matemática el paso de la resolución de los ejercicios en lo concreto (plano
geométrico) a la formalización de los conceptos, aunque aun de manera poco rigurosa. En
un segundo estadio, que en la construcción curricular podría corresponderse con el ultimo
año de BASICA SECUANDARIA, encauzado por las aportaciones de Newton y Leibniz,
se va a producir la <<reorganización y generalización>> de lo construido previamente.
El objetivo como -ya se menciono antes- de la EDUCACIÓN MEDIA es “la formación
de redes conceptuales, para construir modelos, establecer hipótesis, y llevara a cabo
procesos iniciales de inducción y deducción.” Para ello la historia juega aquí un papel
fundamental, la etapa histórica que presumiblemente se corresponde con este nivel es la
Etapa Aritmetica, etapa esta que se caracteriza por la formalización definitiva del
concepto de derivada a través de la formalización de conceptos que están en estrecha
relación a este concepto, como son; el concepto de límite y el de función, cuya definición
se hará primero de manera precisa y después de manera rigurosa. En esta etapa, que aquí
235 Ibid., p. 22.
203
llamamos de formalización – y que constituye el equivalente filogenético del
pensamiento operacional formal-, se asiste en un primer estadio a una nueva construcción
del concepto, de límite, abandonando ya definitivamente las consideraciones intuitivas
anteriores acerca de el, representado por los trabajos de A´Lembert; y en un segundo
estadio, a la <<reorganización y generalización >> de estas construcciones previas, en
manos de Cauchy, Bolzano y Weierstrass, que dio lugar al concepto actual de derivada.
204
8. CONCLUSIONES
i. Desde los libros de texto revisados en desarrollo de la presente investigación, se
observa que no se hace un uso didáctico de la historia para la enseñanza de la
derivada, y en tanto, el texto escolar, como plantea Escolano (1997), es el objeto
esencial de la escuela tradicional y la “representación de todo un modo de
concebir y practicar la enseñanza”, es plausible que tampoco se este haciendo un
uso didáctico de la historia para la enseñanza del concepto de derivada en el aula.
ii. Bajo un enfoque tradicional del currículo, el concepto de derivada es visto como
un contenido al final de la educación media.
iii. Para la adecuada construcción del concepto de derivada por parte del estudiante,
su enseñanza debe ser pensada como un proceso que inicia en los primeros cursos
de básica primaria con: la introducción de problemas y actividades en el plano
concreto que lleven de manera natural a la idea de límite y función a través de la
observación de fenómenos sujetos a una relación aritmética. Que alcanzara su
culmen con la formalización de dicho concepto en el segundo año de
educación media tras haber: formalizado y concretizado algunas de las nociones
que en la BASICA PRIMARIA, se vieron de forma intuitiva, tal y como es el caso
de las relaciones funcionales, la noción de convergencia y aproximación, que
históricamente, luego de ser apoyadas a través de herramientas tan valiosas como el
Álgebra, permitieron en su época, en primer lugar; que Descartes y Fermat,
introdujeran al mundo, en el universo de la representación analítica, utilizando
esencialmente el método de las coordenadas. Que como bien se sabe constituye el
fundamento de otros dos grandes descubrimientos del s. XVII. La introducción de
la noción de función y el Cálculo infinitesimal.
205
iv. Este es un ejercicio conveniente para el docente, que debe involucrar en términos
de insumo teórico para el diseño de las actividades que lleva al aula para la
enseñanza del concepto de derivada.