UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

MAESTRÍA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

Entendimiento de la proporcional idad en

estudiantes de l icenciatura

Tesis

Que para obtener el grado de:

MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

PRESENTA:

Mar ía Anton ia Ramírez Be rna l

Dirigida por:

Dr. Fernando Barrera Mora

Dr. Aarón Reyes Rodríguez

Mineral de la Reforma, Hidalgo; Septiembre de 2012.

AGRADECIMIENTOS

Al Creador y Soberano del Universo, Jehová Dios, por

brindarme entendimiento para realizar esta investigación y permitirme culminar esta meta.

A mi esposo, Mariano Javier Pozas Cárdenas, por su apoyo económico y moral durante todo el proceso de esta maestría.

A los revisores de la tesis, Dr. Roberto Ávila Pozos y Dr. Raúl Temoltzi Ávila, por sus comentarios; los cuales contribuyeron a mejorar la calidad de este documento.

A mis asesores, Dr. Fernando Barrera y Dr. Aarón Reyes Rodríguez, por su guía, apoyo y experiencia brindados durante la realización de esta tesis.

A mis profesores de la maestría, Dr. Fernando Barrera Mora, Dr. Rubén Martínez Avendaño, Dr. Aarón Reyes Rodríguez, M. en C. Juan Homero Roldán Rojas, Dr. Carlos Rondero Guerrero y Dr. Rafael Villarroel Flores; por contribuir a mi formación profesional.

DEDICATORIAS

A mi mamita, Sra. María del Carmen Bernal Vda. de Ramírez, por ser una fuente de superación constante

en mi vida.

A mis hijos, Antares, Altair y Asahel, por ser la ilusión de

mi vida.

A mis hermanos, Nacho, Enri, Lolis y Elena, y a todos mis sobrinos, por tener confianza en mí.

A mis amigos y compañeros, Sra. Juanita de Magaña, Eren, Eli, Angelina, América, Armando,

Daniel, Vicente, Arturo, Fernando y Edgar; a quienes tuve presentes mientras realizaba esta investigación.

RESUMEN

En esta investigación se analizan y documentan las formas de razonamiento

desarrolladas por 102 estudiantes de nivel licenciatura al resolver problemas de

proporcionalidad. El análisis se centró en el nivel de funcionalidad que los estudiantes

otorgaron a la fracción, la influencia de diversos sistemas de representación en el

desarrollo de estrategias de solución, y el reconocimiento de las relaciones

multiplicativas básicas presentes al razonar proporcionalmente; así como la

identificación de algunas dificultades para resolver este tipo de problemas.

Considerando el papel fundamental de la fracción como sistema articulador de la red

de conceptos relacionados con la proporcionalidad, se consideraron teorías alrededor

de los sistemas de representación. En este sentido, las ideas de Lamon sobre la

existencia de una base de significados para la fracción como representación de los

números racionales, dio consistencia e influyó notablemente en el diseño e

interpretación de datos en este trabajo. Se incluyeron ideas complementarias en las

que se considera que la proporcionalidad, junto con los cocientes y otras formas de

relaciones multiplicativas, se establecen en el sistema matemático intuitivo del niño

aún antes que el símbolo mismo como notación formal.

Un resultado importante es que los estudiantes de licenciatura que participaron en la

investigación no fueron capaces de establecer comparaciones multiplicativas por

cociente; teniendo como una consecuencia directa de esto, que presenten dificultades

para transitar hacia el uso de estrategias formales de razonamiento proporcional y que

entre sus estrategias no integren el reconocimiento de nuevas relaciones

multiplicativas entre razones. Además, se obtuvo evidencia de que uno de los

principales obstáculos para el desarrollo del pensamiento proporcional de los

estudiantes de este nivel, es la falta de coherencia, articulación y sentido de las

distintas significaciones de la fracción.

ABSTRACT

In this research, we document and analyze the ways of reasoning developed by 102

undergraduate students while they solved proportionality problems. The analysis was

focused on levels of functionality of fraction interpretations, the influence of

representation on development of solution strategies, and recognition of basic

multiplicative relations present in proportional reasoning, as well as identification of

some epistemological obstacles that limited students’ development of proportional

reasoning. The conceptual framework was developed considering fractions as an

articulator of ideas that integrate a conceptual network around proportionality, and

Lamon’s conceptualization of many sources of meaning for fractions. Complementary

ideas were included, which considers that proportionality, together with the ratios and

other forms of multiplicative relationships are internalized into the child's intuitive

mathematical system, even before the symbol itself as a formal notation. The results of

this research provide evidence that students were not able to identify multiplicative

relationships using quotients and thus, they did not construct formal ways of thinking

during problem solving activity. A main epistemological obstacle that limited the

development of proportional reasoning was a lack of coherency and articulation among

several sources of meanings for fractions.

ÍNDICE

CONTENIDO

Página

CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Introducción…………………………………………………………………………….. 1

1.2. Revisión de la literatura……………………………………………………………… 4

1.3. Planteamiento del problema……………………………………………………..….. 7

1.4. Preguntas de investigación………………………………………………………….. 9

1.5. Hipótesis……………………………………………………………………………..….. 10

1.6. Objetivo general…………………………………………………………………….….. 10

CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL

2.1. Introducción…………………………………………………………………………….. 11

2.2. Construcción del marco………………………………………………………………. 12

2.2.1. Elementos básicos de Razonamiento Proporcional………………………….. 13

2.2.2. Construcción cualitativa de la noción de proporción……………………….. 17

2.2.3 Cuantificación de relaciones proporcionales………………………………….. 19

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

3.1. Introducción…………………………………………………………………………….. 23

3.2. Análisis Previos. Referente teórico/conceptual……………………………..….. 23

3.3. Descripción del Instrumento…………………………………………………….….. 24

3.4. Características de los participantes……………………………………………….. 30

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

4.1. Introducción…………………………………………………………………………….. 31

4.2. Análisis de resultados………………………………………………………………… 32

4.2.1. Ojos…………………………………………………………………………………. 32

4.2.2. Barda………………………………………………………………………………. 34

4.2.3. Gasolina…………………………………………………………………………… 35

4.2.4. Pastel……………………………………………………………………………….. 44

4.2.5. Planetas……………………………………………………………………………. 54

4.2.6. Edades……………………………………………………….…………………….. 58

4.2.7. Cuerpo……………………………………………………………………………… 60

4.2.87. Examen…………………………………………………………………………... 63

4.2.9. Naranjas…………………………………………………………………………… 66

4.2.10. Potrero……………………………………………………………………………. 70

CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

5.1. Introducción…………………………………………………………………………….. 79

5.2. Conclusiones……………………………………………………………………………. 80

5.3. Implicaciones Didácticas………………………………………………………...…… 83

5.4. Limitaciones…………………………………………………………………………….. 84

5.5. Trabajos futuros………………………………………………………………...……… 85

REFERENCIAS……………………………………………………………………………….. 87

APÉNDICES

Apéndice A. Hoja de trabajo de la prueba piloto……………………………………… 91

Apéndice B. Hoja de trabajo del instrumento final……..……………………………. 94

Apéndice C. Resultados cualitativos - cuantitativos de la prueba piloto……….. 97

Apéndice D. Resultados cualitativos del instrumento final………………………… 99

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 1

1

1.1. Introducción

La proporcionalidad es una idea central en las matemáticas de todos los niveles

escolares, la cual, además de facilitar el desarrollo del pensamiento formal del

adolescente (Piaget, citado en Beard, 1971), es considerada por muchos

investigadores educativos como una noción que permite la construcción de otros

conceptos fundamentales en el estudio y comprensión de las matemáticas (álgebra,

trigonometría, cálculo, probabilidad, estadística, etcétera). Además, el concepto de

proporcionalidad permite vincular a las matemáticas con otras áreas del

conocimiento como la Física, la Química, la Biología, la Geografía, la Economía o el

Arte; y constituye la base para resolver diversos problemas de la vida cotidiana.

En la vida diaria razonamos proporcionalmente cuando usamos dibujos a

escala, cuando determinamos cuánta gasolina será necesaria para conducir un número grande de millas si se conoce la razón de millas por galón para

distancias normales, o cuando se adapta una receta para alimentar a pocas o muchas personas. (Beckmann, Thompson y Austin, 2004, p. 257)

Esta relevancia de la proporcionalidad se ha plasmado en propuestas curriculares

como la de los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000)

en la que se le considera como uno de los ejes fundamentales del currículo y como

un elemento articulador de diversas ideas matemáticas. La proporcionalidad

constituye también un antecedente indispensable para comprender conceptos tales

como combinación lineal en álgebra lineal; densidad, velocidad, aceleración y fuerza

en física; o molaridad en química.

El razonamiento proporcional se emplea en las ciencias de la tierra para

entender la relación entre mapas y características geológicas en el mundo real, en química para resolver problemas de estequiometría, y en ingeniería

para crear y entender modelos a escala utilizados para evaluar el propósito y

apariencia de conceptos de diseño. (Boyer y Levine, 2012, p. 517)

Sin embargo, a pesar de la importancia de este concepto en el aprendizaje de la

disciplina y en la resolución de problemas en la vida diaria, por ejemplo al comprar

diversos productos, al cambiar divisas o determinar la cantidad de ingredientes en

Capítulo 1

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

2

una receta de cocina (Figueras, López y Mochón, 1994), la investigación en

educación matemática aporta evidencia de que los estudiantes muestran

dificultades para razonar proporcionalmente (Ben-Chaim et al., 1998). Incluso se ha

llegado a estimar que el 90% de los adultos no razonan proporcionalmente (Lamon,

2007) y se ha comprobado que las dificultades de comprensión de este concepto

persisten hasta el nivel universitario (Lawton, 1993). Estas dificultades se deben a

que, con frecuencia, en la enseñanza de este concepto se enfatiza el desarrollo de

habilidades de cálculo, centrando la atención en la representación algebraica de las

proporciones y las operaciones simbólicas, más que el entendimiento conceptual (Ye

y Perry, 1998; Resnick y Ford, 1998; Lamon, 2001).

¿Qué es la proporcionalidad? La proporcionalidad se refiere a una relación

matemática de naturaleza multiplicativa entre dos variables, x y y, la cual se puede

expresar mediante una función lineal de la forma 𝑦 = 𝑘𝑥, donde k es una constante,

llamada constante de proporcionalidad. Una relación de proporcionalidad directa

también se puede expresar diciendo que el cociente de las dos variables es

constante; es decir, y/x = k. Esta forma de considerar una relación de

proporcionalidad, permite resaltar que el concepto de fracción juega un papel

importante en el desarrollo del pensamiento proporcional, ya que este objeto

matemático captura los elementos esenciales de una comparación multiplicativa.

La estructura básica de las tareas de valor faltante que involucran proporcionalidad

incluye cuatro cantidades (a, b, c y d), de las cuales se conocen generalmente tres

de ellas y se tiene que encontrar la cuarta cantidad (Behr, Harel, Post y Lesh, 1992).

También existen problemas de comparación numérica en los que, dadas dos tasas o

razones, se debe determinar cuál de ellas es mayor o menor y, finalmente,

problemas de comparación cualitativa (ver Tabla 1) en los que se debe realizar una

comparación que no depende de valores numéricos específicos (Bem-Chaim et al.,

1998; Cramer y Post, 1993).

Entre las principales variables que afectan el desempeño de los estudiantes al

abordar problemas que involucran proporcionalidad se encuentran el contexto de la

tarea y la estructura de los números que intervienen en esta, es decir si en las

razones involucradas en la tarea intervienen números enteros o no o si las

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 1

3

magnitudes son discretas o continuas (Panizza y Sadovsky, 1992; Fernández,

Llinares, Modestou, Gagatsis, 2010).

Tabla 1: Tareas que involucran un razonamiento proporcional

Tipo de tarea Ejemplo

Valor faltante

En una reunión a la que asistieron 20 personas se

consumieron 5 pizzas. ¿Cuántas pizzas se deben comprar para

una reunión a la que asisten 35 personas?

Comparación

numérica

a) Carlos manejó durante 3 horas recorriendo una distancia de

180 km. Mario manejó durante 8 horas y recorrió una distancia

de 450 km. ¿Quién manejó más rápido?

b) Un paquete de 6 lápices de la marca A cuesta $20. Un

paquete de 15 lápices de la marca B cuesta $57. ¿Cuáles

lápices son más baratos?

Comparación

cualitativa

Luisa y Paty preparan agua de limón. Luisa utiliza menos

azúcar y más agua que Paty. El agua de Luisa es:

(a) más dulce que el agua de Paty

(b) menos dulce que el agua de Paty

(c) igual de dulce que el agua de Paty

(d) no hay suficiente información para decidir cuál agua es más

dulce.

Diversos investigadores coinciden en que la construcción de un pensamiento

proporcional es un proceso que se desarrolla a lo largo del tiempo a través de

diversos niveles, por lo que se han elaborado categorías para las diversas etapas a

través de las cuales evoluciona el pensamiento proporcional (Noelting, 1980a;

Bosch, 2005). En ese proceso, un conjunto importante de conceptos se construyen

simultáneamente con el concepto de proporcionalidad integrando una red

conceptual (ver Figura 1). Entre estos conceptos figuran los números racionales, el

reparto, la comparación, las magnitudes, la variación, la medida, y las

representaciones; y dentro de éstas, el concepto de fracción juega un papel

importante, particularmente en lo que se refiere a la construcción del concepto de

1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

4

proporción, porque una proporción es esencialmente una igualdad entre dos

razones.

Figura 1. Red de algunos conceptos relacionados con la proporcionalidad

Tradicionalmente se ha conceptualizado al entendimiento de la proporcionalidad

como la habilidad para resolver problemas de valor faltante (Cramer y Post, 1993);

sin embargo, el entendimiento de este concepto va más allá de saber determinar

proporciones y de poder resolver problemas de valor faltante o de comparación.

Entender la proporcionalidad o pensar proporcionalmente implica el identificar y dar

sentido a la dependencia lineal entre dos cantidades, discriminar entre relaciones

proporcionales y no proporcionales (Cramer y Post, 1993; Lo, et al., 2004; Modestou

y Gagatsis, 2009b), así como utilizar diversas formas de representación para pensar

acerca de las cantidades y sus relaciones (NCTM, 2000).

1.2. Revisión de la literatura

La literatura especializada en el análisis del pensamiento proporcional ha abordado

este aspecto desde diferentes perspectivas, por ejemplo existen líneas de

investigación interesadas en clasificar los problemas que involucran

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 1

5

proporcionalidad, analizar las diferentes estrategias que utilizan los estudiantes

para resolver problemas que requieren de un razonamiento proporcional (Harel et

al., 1987), clasificar las estrategias utilizadas por los estudiantes (Langrall y

Swafford, 2000) o determinar qué factores y en qué medida afectan el desempeño de

los estudiantes al resolver este tipo de problemas (Heller, Post y Beer, 1985).

El estudio de los conceptos de razón y proporción fue iniciado por Piaget e Inhelder,

quienes realizaron su análisis como parte del campo de la probabilidad y en el

estudio de las leyes físicas. Entre los resultados principales de estos estudios y

algunos estudios posteriores, se encuentra el descubrimiento de que el concepto de

proporcionalidad se adquiere en la adolescencia tardía (Beard, 1971; Noelting,

1980a).

El estudio de las proporciones se relaciona estrechamente con algunos trabajos que

analizan la construcción del concepto de fracción. Algunos de estos trabajos revelan

que los estudiantes son capaces de pensar en las fracciones como símbolos que

representan elementos del campo de los números racionales, pero que son

incapaces de adaptar la imaginación que los asocian con fracciones en procesos

(Herman et al., 2004).

Subramanian (2008) utiliza la representación de la línea de números dobles como

una herramienta para pensamiento y comunicación. En su trabajo destaca que esta

estrategia pictórica da soporte visual al razonamiento proporcional, al menos

cuando la razón “dentro” o la razón “entre” se refiere a magnitudes con espacios de

medida de números enteros, pero que al pasar de una proporción entera a una

racional, los estudiantes se encuentran con una barrera conceptual que limita la

construcción de nuevo conocimiento.

Ruiz y Valdemoros (2006) afirman que en diversos estudios, los estudiantes de

grados básicos, medios y avanzados usan un enfoque algorítmico para resolver

problemas de proporcionalidad, sin darles un verdadero sentido cualitativo y

cuantitativo a sus resultados. En su trabajo, las autoras implementan una

propuesta didáctica la cual resalta el fortalecimiento del pensamiento proporcional

en el terreno de la resolución de problemas.

1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

6

Resnick y Ford (1998), por su parte, refieren que el desarrollo del cálculo

proporcional requiere de ciertas habilidades tales como la percepción de los datos y

la abstracción del proceso.

Lamon (2001), con base en un estudio longitudinal realizado en 5 grupos de niños

de grados 5 a 8 en Estados Unidos, determinó que un entendimiento profundo de

los números racionales no necesariamente implica el manejo estricto de los modelos

presentacionales enseñados en cursos tradicionales. Su estudio se basó en una

revisión de las interpretaciones existentes para los números racionales, las

actividades de instrucción y los objetivos que se promueven en el salón de clases así

como algunas conexiones futuras con otros conceptos. Lamon midió y comparó en

su estudio el número de los buenos razonadores, el número de subconstructos

usados en problemas y tareas, el logro académico, las habilidades de cálculo y la

trasferibilidad de los conocimientos a problemas prácticos tanto de los estudiantes

de los 5 grupos como de los estudiantes del grupo de control.

Díaz, Soto y Martínez (2007) concluyen que los estudiantes desarrollan más el

razonamiento proporcional en los problemas intuitivos que en los problemas

numéricos y que existe una interacción entre el conocimiento formal y el

conocimiento intuitivo respecto de las proporciones. Además de caracterizar el

pensamiento intuitivo como evidente, flexible y vinculado con la memoria, los

autores exponen que un estudiante cuyo pensamiento es primeramente intuitivo, es

capaz tanto de construir estrategias nuevas para problemas, como de construir

conocimiento matemático.

Mencionan que el conocimiento intuitivo sobre las proporciones se ha estudiado con

el diseño de situaciones de mezcla, y hacen referencia al trabajo de Noelting (1980b),

cuyos resultados muestran el desarrollo conceptual que tiene una muestra de niños

de 6 a 16 años en términos de la Escala de Desarrollo de Ginebra. Este autor indica

que el proceso de “reestructuración adaptativa” participa en dos períodos del

desarrollo para pasar de una etapa a otra: el período de construcción del concepto

de razón y el período de construcción del algoritmo del común denominador.

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 1

7

Díaz, et al., encuentran relevante el trabajo de Chi y Glaser (1982) en cuanto a sus

resultados sobre razonamiento cualitativo y los vínculos que tiene con el

razonamiento intuitivo, en el cual se evidencia que los expertos razonan de manera

cualitativa sobre los componentes de un problema y las relaciones entre ellos antes

de describir estos componentes y relaciones en términos cuantitativos. Además, ese

razonamiento les permite crear representaciones del problema para determinar

cuándo es realmente necesario hacer un análisis cuantitativo del mismo o razonar

en términos cualitativos basados en principios científicos. Los novatos, por otra

parte, razonan únicamente sobre la estructura superficial del problema. Díaz y Soto

hacen un símil del razonamiento cualitativo de Chi y Glaser (1982) con el

razonamiento intuitivo señalado por Kieren (1988).

1.3. Planteamiento del problema

Con base en la revisión de la literatura se pudo identificar que existen dificultades

para entender la proporcionalidad en todos los niveles escolares, incluyendo el nivel

superior. Sin embargo, en el caso específico de México las investigaciones que

caracterizan esta problemática en las universidades del país son casi inexistentes.

Ante este panorama, el presente trabajo busca ofrecer un diagnóstico de las

dificultades que presentan estudiantes de licenciatura al abordar problemas de

proporcionalidad, así como identificar el origen de estas dificultades.

De acuerdo con diversos trabajos de investigación, la mayoría de los estudiantes de

los niveles preuniversitarios muestran limitaciones en sus respuestas cuando se

enfrentan a problemas de proporcionalidad. Por un lado, la mayoría de ellos no

argumenta las operaciones y resultados; y por otro, sus estrategias no siempre

conducen a resultados aceptables y se encuentran reducidas al uso de unas

cuantas reglas, al llenado de tablas con factores enteros, así como secuencias

encadenadas de multiplicaciones. También se ha identificado que los estudiantes

tienden a aplicar métodos proporcionales para resolver problemas que tienen una

estructura similar a la de los problemas de valor faltante, aunque estos métodos no

sean apropiados; es decir, existen dificultades para discriminar entre situaciones

proporcionales y no proporcionales (Figueras et al., 1994; De Bock et al., 1998; Van

Dooren et al., 2005; Van Dooren et al, 2006).

1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

8

Esta confirmación repetida de la validez de la proporcionalidad—junto con el

estatus intuitivo que el concepto recibe gradualmente y la simplicidad intrínseca de las situaciones proporcionales—puede ocasionar una falsa

creencia profundamente arraigada de que si hay una relación entre dos

variables, probablemente esta relación es proporcional y, en consecuencia, los métodos proporcionales obtienen el estatus de panacea para resolver

problemas matemáticos. (Van Dooren, et al., 2005, p. 61)

Las limitaciones mencionadas traen como consecuencia que los estudiantes no

desarrollen un pensamiento proporcional. Con la realización de este trabajo se

busca determinar si las dificultades mencionadas se encuentran presentes entre los

estudiantes universitarios o si existen problemáticas específicas para este nivel

educativo.

La mayoría de los investigadores coinciden en señalar que el concepto de

proporcionalidad comienza a desarrollarse desde etapas tempranas, aún en niños

que no están en edad escolar y que es un proceso largo que ocupa gran parte de su

desarrollo1, además, aseguran que la madurez del concepto se alcanza durante la

adolescencia. El niño, antes de ingresar a la educación escolarizada, exhibe un

sentido común regulado de los objetos del mundo que lo rodean gracias al tipo de

percepción intuitiva y empírica que le brindan sus sentidos (Hart, 1988; citado en

Ruíz y Valdemoros, 2006), y este conocimiento es la base para la construcción de

modos de pensamiento formalizado que se adquirirán en la escuela, lo cual coincide

con las ideas de Piaget e Inhelder (1959), para quienes el esquema de la

proporcionalidad se organiza de forma previa a que el niño ingrese a la escuela, a

partir de un pensamiento cualitativo, el cual es la base para la cuantificación de la

proporción. Este pensamiento o razonamiento cualitativo se caracteriza por el uso

de palabras de comparación, tales como más grande o más pequeño y más o menos,

para relacionar las cantidades involucradas en una tarea (Ruiz y Valdemoros, 2006;

Fernández, Llinares, Modestou y Gagatsis, 2010).

1 Clarkk y Manii (1996; citados en Bosch, 2007) afirman que el pensamiento multiplicativo aparece de

forma temprana, aunque se desarrolla lentamente y Mulligan y Mitchelmore citados en Bosch (2007)

han comprobado con numerosos estudios que gran cantidad de niños pueden resolver una variedad de

problemas multiplicativos mucho antes de la instrucción sobre la multiplicación y la división.

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 1

9

Considerando que los estudiantes de licenciatura ya han concluido (o están a punto

de concluir) los procesos graduales de madurez del concepto, y han revisado

durante su formación escolarizada conceptos y fundamentos en los que se basa la

proporcionalidad 2 , deberían ser capaces de resolver sin dificultad una amplia

variedad de problemas sobre este tema. Sin embargo, la experiencia docente de la

autora de esta investigación aporta indicios de que en este nivel existen deficiencias

de compresión y manejo de las fracciones, particularmente en lo que respecta a sus

diferentes interpretaciones. Lo anterior conduce a conjeturar que los estudiantes

universitarios en su mayoría tendrán dificultades para abordar problemas de

proporcionalidad, al no disponer en su estructura conceptual de la riqueza

multifacética de las diferentes significaciones de la fracción. Estas carencias

conducen al planteamiento de las siguientes preguntas de investigación, las cuales

orientan su desarrollo.

1.4. Preguntas de investigación

1.- ¿De qué manera se coordinan las representaciones mentales internas de los

estudiantes con las representaciones matemáticas institucionalizadas 3 al

resolver problemas que implican el desarrollo de un pensamiento proporcional?

Con esta pregunta se pretende determinar si el estudiante es capaz de razonar

proporcionalmente y si logra utilizar adecuadamente diferentes representaciones

para resolver problemas de proporcionalidad.

2.- ¿Cuáles son las principales dificultades u obstáculos a las que se enfrentan

los estudiantes al resolver problemas de proporcionalidad?

2 De acuerdo con Ruiz y Valdemoros (2006), “se hace referencia al pensamiento proporcional

cuantitativo del niño cuando puede hacer uso de las razones y proporciones y maneja indistintamente

razones internas y externas para enfrentar problemas matemáticos”. 3 Con este término se hace referencia al tipo de estructuras de conocimiento que contemplan los

contenidos programáticos de la educación básica. Esencialmente estos contenidos enfatizan el uso de

reglas y ocultan sus justificaciones; un ejemplo de ello es la regla de tres.

1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

10

La respuesta a esta pregunta será identificar cómo la falta de conocimiento y acceso

a las diferentes facetas de la fracción obstaculizan la resolución de problemas de

proporcionalidad.

La hipótesis general que se sostiene es la siguiente.

1.5. Hipótesis

Entre los factores que obstaculizan la comprensión de la proporcionalidad en

los estudiantes de licenciatura, está la falta de coherencia, articulación y

sentido de las distintas significaciones de la fracción, así como el

desconocimiento de las relaciones que estas significaciones guardan entre sí, y

un manejo limitado de los diferentes sistemas de representación alrededor de

la fracción.

1.6. Objetivo General

El objetivo general de este trabajo consiste en analizar y documentar las

características del pensamiento proporcional de estudiantes de nivel

licenciatura, particularmente analizar el nivel de funcionalidad que otorgan a la

fracción en la resolución de problemas de proporcionalidad, así como identificar

el origen de las dificultades que muestran al resolver este tipo de problemas.

Este trabajo de investigación es relevante porque pretende poner de manifiesto que

muchas de las dificultades de los estudiantes de nivel universitario para razonar

proporcionalmente se originan en el desconocimiento de las diferentes facetas y

significaciones de la fracción, y aporta evidencia empírica de que la falta de

compresión de la proporcionalidad en estudiantes mexicanos persiste hasta el nivel

universitario. Además, el diagnóstico de las problemáticas que enfrentan los

estudiantes para razonar proporcionalmente, puede ser de utilidad para elaborar

propuestas o sugerencias didácticas orientadas a resolver o enfrentar esta

problemática.

MARCO CONCEPTUAL 2

11

2.1. Introducción

En una investigación en educación matemática, uno de los elementos principales

consiste en establecer un marco de referencia que oriente en primer término el diseño

de la investigación y en segundo, la interpretación de los datos obtenidos, con la

finalidad de responder a las preguntas de investigación. Una premisa que se debe

considerar al desarrollar el marco, es que éste sea propositivo y delimite el proceso

investigativo. El marco conceptual ayuda a determinar un camino apropiado para

alcanzar los objetivos de la investigación, justificando porqué se han escogido ciertos

métodos y no otros, basándonos en experiencias de investigaciones previas y

destacando simultáneamente cuál es la base de pensamiento que orientará las

prácticas encaminadas a la exploración y descubrimiento de diversas variables que

influyen en los procesos de aprendizaje.

Al utilizar un marco conceptual, el investigador cuenta con una mayor flexibilidad para

desarrollar el trabajo de investigación, respecto de la utilización de un marco teórico o

un marco práctico (Lester, 2005). El uso de un conjunto estructurado de ideas teóricas

permite al investigador analizar de forma novedosa un problema, incluso desde puntos

de vista distintos pero complementarios. El contar con un marco de investigación,

permite también justificar la pertinencia de los métodos aceptables para construir

nuevo conocimiento y dar sentido a los datos que por sí solos, no proporcionan

información sobre el fenómeno de interés, sino que requieren de interpretación a la luz

de una aproximación teórica particular. A continuación se expresan los principios

teóricos principales que sustentan este trabajo de tesis.

Teniendo en cuenta el papel fundamental de la fracción en la red de conceptos

relacionados con el proceso de desarrollo de la proporcionalidad y razonamiento

Capítulo 2

MARCO CONCEPTUAL

2 MARCO CONCEPTUAL

12

proporcional 4 , se consideran teorías elaboradas alrededor de los sistemas de

representación. Goldin y Shteingold (2001) afirman que el desarrollo eficaz de sistemas

de representación interna en los estudiantes deberá tener una correspondencia

coherente y una buena comunicación con el sistema matemático establecido, es decir,

con las representaciones externas aceptadas en el ámbito académico. Al respecto, se

consideró necesaria una aproximación tanto al dominio de los números así como al

sistema de símbolos más frecuentemente usado en este campo. En este sentido, las

ideas de Lamon (2001, 2007) dan consistencia e influyen notablemente en el

desarrollo del presente trabajo de tesis junto con las ideas de Díaz et al. (2007).

2.2. Construcción del marco

Lamon (2001) reconoce que la enseñanza tradicional de las fracciones privilegia la

interpretación parte-todo de la fracción y que esta aproximación no proporciona un

punto de partida adecuado para la compresión de éste tipo de números. En su trabajo,

Lamon habla de una amplia base de significados para el símbolo de fracción, la cual se

oscurece cuando se opera mecánicamente con dichos símbolos. Ella defiende la idea de

que las múltiples formas de interpretar a las fracciones, favorecen el desarrollo de

significados y permiten establecer conexiones que hacen más robusto el entendimiento

de los estudiantes. Kieren (1976,1980; citado en Lamon, 2001) considera que hay 5

subconstructos diferentes e interconectados para el símbolo de fracción, a saber:

comparaciones parte-todo, operadores, tasas y razones, cociente y medida. Advierte

que cada uno de estos modelos captura algunas, pero no todas las características de

los números racionales.

4 Panizza y Sadovsky (1992) mencionan un conjunto de conceptos que desempeñan un papel importante

en la construcción del campo conceptual de la proporcionalidad, entre ellos figuran el tipo de números en

juego (naturales, enteros y racionales), la naturaleza de las magnitudes intervinientes (discretas o

continuas), la conceptualización acerca de la medida, la variedad de contextos de utilización (velocidad,

escala, porcentaje, mezcla, densidad), los conceptos derivados de dichos contextos, la comparación, el

reparto, la variación y las representaciones. Para Vergnaud (1990), la proporcionalidad es un concepto

inscrito en el campo conceptual de lo multiplicativo, de tal manera que la red de conceptos relacionados

incluye además a las funciones lineales y al análisis dimensional. Para Lamon (1999), entre las

componentes críticas para razonar proporcionalmente destacan además el desarrollo de pensamiento

relativo, la subitización y el sentido de la razón.

MARCO CONCEPTUAL 2

13

Por otra parte, se considera que los estudiantes desarrollan un razonamiento

proporcional en mayor medida al resolver problemas intuitivos que al resolver

problemas numéricos y que existe una interacción entre el conocimiento formal y el

conocimiento intuitivo respecto a las proporciones. Las funciones del sistema del

símbolo, incluyendo las proporciones, los cocientes y otras relaciones multiplicativas,

se establecen en el sistema matemático intuitivo del niño aún antes que el símbolo

mismo y las notaciones formales. Un estudiante cuyo pensamiento es primeramente

intuitivo, es capaz tanto de construir estrategias nuevas para problemas, como de

construir conocimiento matemático (Díaz et al., 2007).

El producto de una revisión amplia sobre la construcción de la noción de

proporcionalidad y el desarrollo de un pensamiento proporcional se plasma en los

diagramas siguientes, los cuales constituyen la base conceptual para el análisis e

interpretación de los datos en este trabajo de tesis.

2.2.1. Elementos básicos de Razonamiento Proporcional

El pensamiento proporcional es más que un concepto, es una forma de pensar en

relación con las proporciones. La mayoría de los estudiantes únicamente desarrolla un

pensamiento proporcional al nivel de uso de algoritmos y reglas, sin dar sentido a las

operaciones numéricas o a sus resultados. Esto implica que existe una desconexión de

los bloques básicos de este tipo de pensamiento y por lo tanto no es posible que

avancen en sus construcciones mentales cuando se enfrentan a problemas en los que

tienen que razonar proporcionalmente. De acuerdo con Cramer y Post (1993), la

componente crítica en situaciones donde está implicada la proporcionalidad, es la

relación multiplicativa que existe entre las variables involucradas en la situación.

El diagrama “Elementos básicos de Razonamiento Proporcional” tiene como objetivo

explicitar y estructurar los elementos fundamentales para la construcción del concepto

de proporcionalidad, y el desarrollo de un pensamiento proporcional, pero sin

considerar la multiplicidad de otros factores que intervienen en este tipo de

pensamiento; por ejemplo, el tipo de números que intervienen en las tareas, la

naturaleza de las magnitudes implicadas, la conceptualización acerca de la medida y

los contextos de utilización (Panizza y Sadovsky, 1992). Se considera también que la

2 MARCO CONCEPTUAL

14

comparación es la idea básica sobre la que se construyen los conceptos de la red

conceptual de la proporcionalidad (Figueras et al., 1994).

Se puede observar que en el diagrama se establece una diferenciación entre las

comparaciones multiplicativas y otro tipo de comparaciones numéricas (bloque A1).

Básicamente existen dos maneras de relacionar cualquier cantidad con una cantidad

base. La primera es encontrar qué tan mayor es la segunda cantidad comparada con la

cantidad base (bloque A2), y la segunda es encontrar cuántas veces es mayor la

segunda cantidad que la cantidad base (bloque A3). De acuerdo con Lo et al. (2004),

deben distinguirse las comparaciones aditivas de las comparaciones multiplicativas.

Por otra parte, los bloques A4 y A5 aluden al hecho de que cuando se comparan dos

cantidades por cociente, la cantidad considerada como la cantidad base, toma el lugar

del denominador en ese cociente; la única condición es que esa cantidad no sea igual a

cero, puesto que el cociente con denominador cero no está definido.

Las cantidades en los bloques A6 y A7 designadas para comparación multiplicativa por

cociente, tienen su dominio en los números racionales (bloque Q), ya que se reconoce

que en este campo puede darse solución a cualquier cociente5, incluso cuando la

cantidad representada por el bloque A7 no sea múltiplo entero de la cantidad

representada en A6, siendo ésta siempre distinta de cero. Así mismo, el resultado de

tal comparación, representado en el diagrama por el bloque A8, tiene su rango en los

números racionales6. Cabe destacar el hecho de que el término “racional” viene de

“razón” en el sentido matemático de cociente que expresa una comparación por

cociente sin residuo.

De acuerdo con diversos autores (Lo et al., 2004; Chapin y Canavan, 2003; Figueras et

al., 1994), las nociones más importantes relacionadas con el concepto de

proporcionalidad son las nociones de razón y variación. El término razón se utiliza

5 La faceta cociente de la fracción se vincula con la actividad de particionar un todo formado por un objeto

o varios del mismo tipo en un número de partes disjuntas del mismo tamaño, de tal forma que el todo está

incluido en una de las partes. 6 En Matemáticas, la idea central del concepto de conmensurabilidad no solo es la posibilidad de

comparación de dos números a y b, sino la existencia de un factor común que pueda ser expresado. En

este sentido, se llama número racional a cualquier número que puede expresarse como el cociente entre

dos números enteros. A su vez, dos números, a y b, se pueden medir (o mensurar) sólo cuando la razón,

a/b, es un número racional.

MARCO CONCEPTUAL 2

15

para referirse a una relación de carácter multiplicativo entre dos cantidades (bloque

A9). Además, ya que se asocia una fracción a una razón que va más allá de una simple

escritura (Figueras et al., 1994; Cramer y Post, 1993), se entiende que la razón, al

igual que la fracción, posee una cantidad infinita de posibilidades de representarla

(bloque A10). Lo más importante de esas representaciones, llamadas fracciones

equivalentes, es que el número racional o valor representado por ellas no varía (bloque

A8). Los bloques A11, A12 y A13, muestran términos relacionados entre sí: razón

entera simplificada, relación multiplicativa de base 1 y factor de proporcionalidad. Se

piensa en esta investigación, que estas características de las razones forman parte del

fundamento del pensamiento proporcional. Así mismo, se reconoce la importancia de

las relaciones multiplicativas presentes cuando se establece una equivalencia de

fracciones o igualdad de razones, llamada también una proporción (bloque A14). De

acuerdo con Freudenthal (1983; citado en Valverde y Castro, 2009), algunas de esas

relaciones importantes para desarrollo de pensamiento proporcional, son la relación

interna o escalar (bloque A15), y la relación externa o funcional (bloque A16). Además,

de acuerdo con Herman et al. (2004) y Lamon (1999), el concepto de proporcionalidad

no es estático, porque al establecerse una proporción, queda implicada la presencia de

una variación lineal la cual puede usarse para dar significado a una cantidad al

compararla con otra (ver bloque A14).

Otra característica de las razones es que representan una relación de los tamaños

relativos de los valores que toman las variables relacionadas linealmente (bloque A17),

y aunque al utilizar razones se puede perder información sobre los valores originales

de las magnitudes o variables, se gana generalidad y significado al expresar una

situación mediante una cantidad relativa que funge como referencia. “Así, un primer

acercamiento a la razón, debe tener ideas sobre su carácter relativo junto con el

significado de razones equivalentes” (Figueras et al., 1994, p. 87). En esta investigación

se considera que ésa es la razón por la cual autores como Lo et al. (2004) consideran

importante distinguir y conectar la razón misma con su valor.

No obstante que es importante no reducir siempre la razón a un valor unitario para no

romper las relaciones multiplicativas existentes dentro y entre las razones que forman

2 MARCO CONCEPTUAL

16

una proporción7, se piensa que la relación multiplicativa de base 1 (ver bloque A12), es

un medio de conexión para transitar entre las distintas representaciones numéricas de

la razón. Conceptualmente el factor de proporcionalidad (ver bloque A13), constituye

un medio para determinar si dos situaciones son proporcionales o bien, permite

extender la relación proporcional a otros pares de valores de las variables que estén

siendo analizadas; y si existe realmente una relación lineal implicada entre esas

variables, el factor de proporcionalidad hace explícito el sentido de dicha variación,

trátese de una variación proporcional directa o inversa. El factor de proporcionalidad

además constituye una medida del cambio que existe en la variación simultánea de las

variables que participan en la situación. De acuerdo con Rodríguez y Pérez (2003),

identificar diferentes patrones de cambio cuantitativo constituye una acción

precursora para el razonamiento proporcional. Por otro lado, las estrategias unitarias

para la resolución de problemas de proporcionalidad, derivadas del cálculo del valor de

la razón, constituyen estrategias intuitivas, por vincularse más con las situaciones y

experiencias que tienen los estudiantes en la vida real (Cramer y Post, 1993).

Se han resumido aspectos importantes que determinan el concepto de

proporcionalidad (ver bloque A18), el cual, es un concepto central en su campo,

alrededor del cual aparece una red de conceptos relacionados, los cuales se van

adquiriendo durante un período prolongado de tiempo. Se sabe que además de la

comprensión de esos conceptos (ver bloque A19), se precisa de experiencia en el

desarrollo de estrategias y heurísticas (ver bloque A20), así como de habilidades

matemáticas de cálculo para desarrollar pensamiento proporcional efectivo8 (ver bloque

A21).

7 Esencialmente una razón es una comparación de dos cantidades y puede considerarse como un índice

que transmite una idea que no puede expresarse con un solo número (Lamon, 1999). 8 Entendida la efectividad como una medida de la flexibilidad y la precisión en el desempeño de la

solución de problemas.

MARCO CONCEPTUAL 2

17

ELEMENTOS BÁSICOS DE RAZONAMIENTO PROPORCIONAL

2.2.2. Construcción cualitativa de la noción de proporción

El desarrollo del pensamiento proporcional cualitativo se origina durante los primeros

años de vida, y sin que el niño se encuentre en una etapa escolar (Piaget e Inhelder,

citados en Ruiz y Valdemoros, 2006). Además, las funciones del sistema del símbolo,

incluyendo las proporciones, los cocientes y otras relaciones multiplicativas, se

establecen en el sistema matemático intuitivo del niño aún antes que el símbolo mismo

y las notaciones formales (Díaz et al., 2007). De acuerdo con estos conocimientos, la

comprensión de la noción de proporción comienza con el desarrollo de comparaciones

cualitativas (ver bloque B1).

La comprensión es un proceso que se produce en la mente del estudiante, siendo la

generalización y la síntesis los procesos involucrados en la abstracción (ver bloque B2)

(Dreyfus, 1991; citado en Contreras, 2002). En este contexto, las componentes básicas

2 MARCO CONCEPTUAL

18

que sustentan los procesos de construcción y desarrollo de razonamiento proporcional,

son la interpretación mental de palabras que aluden a una situación de tipo

proporcional así como el papel de la percepción de relaciones de tipo multiplicativo

existentes en los datos, sin que se establezcan todavía operaciones formales para

describirlas.

De acuerdo con Piaget e Inhelder (citados en Ruiz y Valdemoros, 2006), un aspecto

importante para el desarrollo del pensamiento proporcional cualitativo, se encuentra

en la habilidad del estudiante para crear categorías de clases de palabras (ver bloque

B3), mediante reconocimiento lingüístico (ver bloque B4). En cuanto a la percepción de

relaciones multiplicativas en los datos (ver bloque B5), los aspectos intuitivos y

empíricos que brindan los sentidos (ver bloque B8), son importantes para la

asimilación de conocimiento. De acuerdo con Piaget y García (2004), estos aspectos

tienen su fuente tanto en formas biológicas como en procesos constructivos sociales.

Por ejemplo, algunos autores consideran pertinente el uso de expresiones tales como

“por cada”, “de cada” u otras que apoyen la unificación de referentes para favorecer la

percepción de algunas razones y su comparación9. Por otro lado, la relativización de las

comparaciones cualitativas se logra con el uso de expresiones como “relativamente…”,

“en relación con”, “con respecto a” y “si se compara con” (Puig y Fernández, 2002).

La percepción de cambios en las relaciones de los datos (ver bloque B6), se considera

como un elemento fundamental en la construcción cualitativa de la noción de

proporción, ya que representa la parte variacional existente en situaciones

proporcionales. En este elemento están implicados principalmente aspectos

perceptuales (ver bloque B9), derivados de procesos incipientes de reflexión y

significación que implican captar y abstraer dichos cambios.

9 Resnick y Ford (1998) y Lamon (1999) consideran que el proceso cognitivo de subitización ocurre

después de decidir sobre el tamaño de la unidad que determinará finalmente la magnitud una cantidad.

MARCO CONCEPTUAL 2

19

2.2.3 Cuantificación de relaciones proporcionales

Es deseable que la cuantificación de relaciones proporcionales (ver bloque C1), sea un

proceso posterior a la realización de un análisis cualitativo de la situación10 ya que de

acuerdo con Chi y Glaser (1982; citados en Díaz et al., 2007), los expertos razonan de

manera cualitativa sobre los componentes de un problema y las relaciones entre ellos,

antes de describir estos componentes y relaciones en términos cuantitativos (ver

bloque C7).

Este diagrama sugiere que el cálculo proporcional (refiérase al óvalo C2), sea el proceso

final de la construcción de un camino que da solución a una problemática, en el cual

10 Porque para Herrera (2009), el razonamiento permite al ser humano ampliar sus conocimientos y

resolver problemas sin apelar a la experiencia. Sin embargo, de acuerdo con Morel citado en Herrera

(2009) el hombre no siempre razona en forma deductiva y analítica debido a los límites presentes en la

racionalidad humana.

2 MARCO CONCEPTUAL

20

converjan elementos esenciales tales como estrategias de solución y métodos, (ver

bloque C5), habilidades numéricas, (ver bloque C3) y sobre todo que esté sustentado

en una visión global y particular de los estudiantes acerca de las relaciones

matemáticas existentes entre los datos y otros elementos que describen una situación

de carácter proporcional (ver bloque C4); ya que la noción de proporción y

proporcionalidad se construye no solamente trabajando con el patrón de

proporcionalidad, sino reconociéndolo dentro de un diverso rango de situaciones

problemáticas.

La adaptación y la representación de los datos, procesos representados en el óvalo C6,

pueden convertirse en procesos recurrentes más que cualquier otro proceso en el

diagrama, de acuerdo con la habilidad y grado de madurez académica que hayan

alcanzado los estudiantes en el uso de distintas representaciones, y hasta que adecúen

la más apropiada para determinar una posible vía de solución. Las flechas entrantes al

óvalo C6 indican que los procesos que allí se llevan a cabo, precisan de ciertos

elementos en la cognitiva individual del estudiante, tales como, el uso de estrategias

(ver bloque C5), métodos formales (ver bloque C8), conocimientos informales (ver

bloque C9), y la percepción de las relaciones existentes en los datos que representan la

situación (ver bloque C7).

MARCO CONCEPTUAL 2

21

En resumen, los diagramas detallan los elementos esenciales en la construcción del

concepto de proporcionalidad y los aspectos más relevantes conectados con el

desarrollo del pensamiento proporcional. Partiendo de la premisa de que existe una

desconexión de los bloques básicos de este tipo de pensamiento en los estudiantes de

licenciatura, se muestran los componentes teóricos de tipo matemático y cognitivo

entrelazados en el campo conceptual de la proporcionalidad y que sustentan a su vez,

la interpretación de los datos obtenidos en esta investigación.

METODOLOGÍA 3

23

3.1. Introducción

La investigación realizada es de corte cualitativo11, esto es, se pretende identificar

cualidades de la relación entre el pensamiento proporcional de los estudiantes y las

diferentes formas de interpretar una fracción, así como la forma en que estas se

estructuran, sin llevar a cabo un análisis estadístico. Con este fin, se realizaron

distintos análisis antes y después de recolectar evidencias que soporten la hipótesis

principal del trabajo de investigación.

3.2. Análisis Previos. Referente teórico/conceptual

Los primeros análisis necesarios para comprender la complejidad que entraña el

campo conceptual de la proporcionalidad fueron dos. El primero fue para averiguar

qué significa “razonar proporcionalmente” desde distintos puntos de vista12, es decir,

conocer las distintas concepciones acerca del razonamiento proporcional que tienen

autores mencionados en la literatura especializada 13 , así como otros aspectos

directamente relacionados con la estructura interna del “dominio del conocimiento”,

tales como definiciones formales y propiedades esenciales de la proporcionalidad. Este

primer análisis incluyó una revisión acerca de los tipos de problemas y tareas de

proporcionalidad más frecuentemente planteados en el ámbito académico, así como

una revisión de situaciones, principios y leyes de corte técnico y científico planteados

en el nivel universitario, las cuales alientan a los estudiantes a pensar y razonar

proporcionalmente; los posibles procedimientos de solución, los contextos de

utilización y los conceptos cercanos subordinados tales como el dominio numérico,

magnitudes, medida y variación.

11 Relativo a la cualidad, a las características propias de la naturaleza de las cosas. 12 Desde un punto de vista psicológico, razonar es la facultad intelectual humana mediante la cual se

obtienen conclusiones y se resuelven problemas. En el razonamiento lógico deductivo, para razonar se

entrelazan proposiciones o se conectan ideas de acuerdo con ciertas reglas o cierta lógica, que apoyan o

justifican una idea nueva o un pensamiento (Herrera, 2009). 13 En Matemática Educativa destacan los trabajos de Karplus et al. (1983), Behr et al. (1988) y

Freudenthal (1983) citados en Ben-Chaim et al. (1998), Cramer y Post (1993) y Lamon (1993).

Capítulo 3

METODOLOGÍA

3 METODOLOGÍA

24

El segundo análisis trató sobre los sistemas de representación más utilizados durante

el proceso de abstracción de las ideas matemáticas presentes en este tipo de

razonamiento, por ejemplo, el símbolo 𝑎

𝑏, comúnmente llamado fracción con sus

distintos significados funcionales.

3.3. Descripción del Instrumento

La selección de los problemas que integraron el instrumento de recolección de datos se

llevó a cabo después de los análisis descritos y con ellos se elaboró una prueba

piloto14, la cual consistió de 13 problemas incluyendo: un problema de opción múltiple,

uno de aproximación lineal y once problemas de razones, valor faltante y comparación

numérica. Este instrumento se aplicó a un grupo de estudiantes de la Licenciatura en

Sistemas Computacionales de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo.

Los problemas de la prueba piloto se seleccionaron atendiendo la sugerencia de

Resnick y Ford (1998) y Panizza y Sadovsky (1992) relacionada con el establecimiento

de un criterio general que posibilite la formulación o selección de una secuencia de

problemas de tal forma que una vez elaborada cubra las expectativas de la

investigación. Para cubrir los objetivos de esta investigación, se determinó que era

pertinente aislar o simplificar la complejidad implicada por el manejo de contextos,

sobre todo porque se planeaba explorar el pensamiento proporcional de estudiantes

universitarios sin introducir el sesgo ocasionado por el dominio de conocimientos

previos y lenguaje especializado de las diversas áreas del conocimiento.

Se determinó que el ámbito de los problemas a incluir en el instrumento debería

centrarse a la realidad cotidiana 15 , puesto que en este ámbito los estudiantes

reconocen fácilmente los términos lingüísticos empleados por resultarles familiares y

14 Consultar el apéndice A para conocer los problemas de la prueba piloto. 15 Para Streefland citado en Ruiz y Valdemoros (2006), la realidad cotidiana, es un campo donde se

aplican los modelos de enseñanza, notaciones y producciones escolares, además de ser éste un lugar donde

ocurre un intercambio de una parte de la información de la situación-problema abordada, posibilitando de

esa manera la construcción y reconstrucción de problemas por parte de todos los estudiantes, actividades

consideradas elementos esenciales para la comprensión de contenidos matemáticos.

METODOLOGÍA 3

25

además porque constituye una fuente rica de información para explorar todas las

facetas de la fracción.

El instrumento final16 se construyó después de adecuar la prueba piloto. Todos los

problemas del instrumento se eligieron de forma que estimularan y propiciaran que el

estudiante razone proporcionalmente, y todos ellos se refieren a proporcionalidad

simple y directa. El instrumento final se aplicó a tres grupos de estudiantes de

diferentes licenciaturas (Licenciatura en Sistemas Computacionales, Licenciatura en

Matemáticas Aplicadas y Licenciatura en Mecatrónica), a los cuales se les dio un

tiempo de dos horas para resolverlo.

En la siguiente tabla se organizan los aspectos más relevantes sobre los problemas que

forman el instrumento de recolección de datos. En la primera columna aparece la

identificación del problema, en la segunda, el propósito del mismo o aspecto a

averiguar en el pensamiento del estudiante, enseguida, la noción matemática que

subyace al problema, después su complejidad numérica y por último, la clasificación

que se hace con respecto a la base de significados funcionales de la fracción.

16 Consultar el apéndice B para conocer los problemas del instrumento final.

3 METODOLOGÍA

26

PROBLEMA

PROPÓSITO Analizar cómo el

estudiante:

NOCIÓN QUE SUBYACE

COMPLEJIDAD NUMÉRICA

CLASIFICACIÓN Razonamiento

Proporcional con fracciones:

OJOS Plantea una comparación multiplicativa entre dos cantidades que forman parte de un “total común”.

Cantidad relativa.

Carácter relativo de las razones.

Simplificación de fracciones.

Involucra cantidades discretas.

Parte-Todo

BARDA Establece las relaciones implicadas para la mitad, la tercera y la cuarta parte de una cantidad no necesariamente entera.

Noción precursora: Composición de multiplicación y división.

Representación simbólica con fracciones.

Solución de expresiones aditivas y multiplicativas fraccionarias.

Operador y Medida

GASOLINA Establece una comparación numérica por cociente. Representa una relación multiplicativa que implica decrecimiento. Plantea una proporción con una de las razones referidas a 100.

Fracciones equivalentes.

Comparaciones a la base 100.

Significado de los factores de proporcionalidad

Valor de una razón.

Vinculación de los

números enteros con los números racionales.

Razón

PASTEL

Resuelve cocientes fraccionarios.

Interpreta una relación constante entre 2 variables, determina su tipo.

Halla el factor de proporcionalidad de la relación.

Cociente sin

residuo Cociente

fraccionario. Cociente

METODOLOGÍA 3

27

PROBLEMA

PROPÓSITO

Analizar cómo el

estudiante:

NOCIÓN QUE SUBYACE

COMPLEJIDAD NUMÉRICA

CLASIFICACIÓN Razonamiento

Proporcional con fracciones:

PLANETAS Determina una cantidad base común como medida de comparación multiplicativa entre los tamaños relativos de 2 objetos diferentes.

Relaciones multiplicativas

Denominador común.

Simplificación de fracciones.

Cantidades discretas.

Medida y Razón

EDADES

Cuantifica la totalidad de partes que componen un conjunto o integran

una cantidad total. Interpreta una relación de cantidades relativas para determinar las

cantidades reales usando las condiciones del problema.

Cantidad relativa Carácter relativo

de las razones.

Cantidades discretas.

Parte-Todo, Operador y Razón

DINERO

Cuantifica la totalidad de partes que componen una cantidad total. Plantea proporciones para hallar: una cantidad real asociada a un

“todo” y las cantidades reales de cada uno de sus partes a partir de la cantidad real de uno de ellas.

Determina una cantidad base a partir de la cantidad real de una de sus partes.

Usa la cantidad base y la cantidad real de una de sus partes para hallar las cantidades reales del resto de los subconjuntos.

Usa la cantidad base para hallar una cantidad real asociada al “todo” y construye un operador fraccionario para determinar las cantidades reales correspondientes a cada parte.

Cantidades relativas y absolutas. Partición.

Cantidades discretas.

Parte-Todo, Operador, Medida y Razón

CUERPO

Construye una relación multiplicativa con cantidades de distintas magnitudes.

Plantea una proporción con las condiciones del problema. Da significado a las unidades de medida que cuantifican las cantidades

de una razón (tasa).

Equivalencia de fracciones.

Fracciones con números racionales decimales.

Tasa

3 METODOLOGÍA

28

PROBLEMA

PROPÓSITO Analizar cómo el

estudiante:

NOCIÓN QUE SUBYACE

COMPLEJIDAD NUMÉRICA

CLASIFICACIÓN Razonamiento

Proporcional con fracciones:

COSECHA Acumula cocientes fraccionarios.

Utiliza unidades porcentuales para expresar una fracción unitaria. Plantea una comparación proporcional entre razones.

Factor de proporcionalidad fraccionario.

Fracción unitaria

Cociente fraccionario.

Cociente, Operador y

Razón

EXAMEN

Integra el total de partes que conforman un “todo”. Determina el número de partes de un todo. Determina el tamaño real de cada parte. Establece una proporción entre relaciones multiplicativas que

comparan tamaños reales con tamaños relativos de cierto número de partes.

Relaciones multiplicativas.

Cantidad relativa

Fracción de un total.

Unidad múltiple.

Partición. Medida

relativa.

Cociente fraccionario y

fracción unitaria.

Medida, P-T, Razón

INSTALACIÓN

Construye proporciones para determinar las partes de un “todo”. Interpreta un “todo” como la suma de sus partes. Establece una relación multiplicativa del tipo “cuántas veces cabe”.

Cantidades relativas y absolutas.

Simplificación de fracciones.

Comparación multiplicativa.

Solución de expresiones aditivas y

multiplicativas fraccionarias.

Tasa, Parte-Todo y Medida

METODOLOGÍA 3

29

PROBLEMA

PROPÓSITO

Analizar cómo el

estudiante:

NOCIÓN QUE SUBYACE

COMPLEJIDAD NUMÉRICA

CLASIFICACIÓN Razonamiento

Proporcional con fracciones:

COBRE Utiliza una comparación multiplicativa relativa entre dos cantidades de la misma magnitud.

Comparaciones multiplicativas

relativas y absolutas.

Cantidades racionales

fraccionarias y decimales.

Operador y Razón

NARANJAS

Determina una variable común en 2 relaciones lineales. Correlaciona tres variables para obtener un propósito conjunto. Coordina el valor de 3 variables para producir un propósito conjunto.

Comparaciones lineales múltiples.

Cantidades discretas enteras y fraccionarias

Tasa o Densidad y Medida

POTRERO

Establece relaciones multiplicativas con las dimensiones relativas de

dos objetos. Construye una proporción de semejanza de dos objetos. Realiza un cambio de unidades para comparar longitudes. Hace la diferencia entre el concepto de factor de proporcionalidad y

factor de semejanza o escala.

Razón “dentro” y razón “entre”

Semejanza. Factor de

proporcionalidad.

Factor de semejanza.

Fracciones con números racionales decimales.

Razón

FERROCARRIL

Toma en cuenta las unidades de medida en las comparaciones

multiplicativas. Construye una proporción con cantidades de distintas magnitudes. Conforma un “todo” a partir de sus partes.

Razón unitaria.

Razón al total. Simplificación

de fracciones. Conversión de

unidades.

Números racionales

fraccionarios y decimales

Tasa, Operador y P_T

3 METODOLOGÍA

30

3.4. Características de los participantes

La prueba piloto, empleada como medio para determinar y ajustar entre otros aspectos

la pertinencia de los problemas, su grado de dificultad, el tipo de lenguaje en los textos

para describirlos y el tiempo requerido para concluir la prueba, se aplicó a un grupo de

38 estudiantes del cuarto semestre de la Licenciatura en Sistemas Computacionales de

la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo; cuyas edades oscilaron entre 18 y 22

años de edad, un caso de 23 y uno de 25. Los resultados de su evaluación cualitativa-

cuantitativa se muestran en el apéndice C.

El instrumento final se aplicó a 64 estudiantes cuyas edades oscilan entre los 18 y los

23 años; todos cursando distintos grados de nivel licenciatura y distribuidos en los

siguientes grupos disciplinarios.

8 estudiantes del séptimo semestre de la Licenciatura en Sistemas

Computacionales de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo.

20 estudiantes del segundo semestre de la Licenciatura en Matemáticas de la

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo.

36 estudiantes del quinto semestre de la Licenciatura en Mecatrónica de la

Universidad Politécnica de Tecamac.

Los resultados de evaluaciones cualitativas de las respuestas de estos grupos de

estudiantes se resumen en el apéndice D de este trabajo. Se aclara que los resultados

de los estudiantes que participaron en la prueba piloto también participaron en los

análisis llevados a cabo en la investigación, pero considerando únicamente los

problemas comunes al instrumento final.

RESULTADOS 4

31

4.1.Introducción

Con los resultados de las pruebas disponibles, el proceso de análisis consistió en

interpretar17 dichos resultados, tratando de hallar el sentido de las respuestas de los

estudiantes desde el referente conceptual considerado en esta investigación,

principalmente la base de significados para la fracción de Lamon (2001). Para tal

propósito, se llevaron a cabo sistemáticamente los siguientes análisis para cada

problema del instrumento:

1.- Un análisis de la relación entre las representaciones del estudiante y las

representaciones externas institucionalizadas.

2.- Un análisis cualitativo y cuantitativo de las estrategias empleadas por los

estudiantes para resolver los problemas propuestos.

3.- Un análisis cualitativo en torno a las posibles dificultades que presentan los

estudiantes al resolver problemas que requieren de un pensamiento proporcional.

En términos prácticos, el proceso general de análisis de resultados fue el siguiente: se

evaluaron las respuestas de los estudiantes 18, al mismo tiempo que se detectaron

casos particulares en cuanto a estrategias utilizadas, representaciones y resultados

numéricos o cualitativos inusuales. Se identificaron grupos de respuestas homogéneas

17 Al decir interpretar, se está en un plano psicológico, en el sentido de que el principal objetivo es

determinar cómo y porqué el estudiante contestó de la manera como lo hizo. 18 En la prueba piloto se utilizó una escala numérica bivalente con la siguiente clave: A para acierto y E

para error. Se indicaron los problemas sin contestar con SC. En cuanto a la evaluación del instrumento

final se utilizó una escala cualitativa con el fin de dar una visión amplia de las respuestas. Los indicadores

fueron: Ro para respuestas ilógicas o incipientes, es decir, con uso de estrategias o representaciones

inapropiadas, por ejemplo, estrategias aditivas, mal manejo de números y magnitudes, sin relaciones en

los datos y falta de comprensión del problema. Am para respuestas elementales con trabajo de apoyo

cualitativo o verbal y comprensión parcial del problema. Az para el tipo de respuestas lógicas,

reconocimiento intuitivo de las proporciones y relaciones multiplicativas mediante tabulaciones o dibujos.

Ve para respuestas acertadas que denotan dominio de la proporcionalidad, reconocimiento de relaciones

multiplicativas funcionales y/o escalares entre los datos del problema o dominio de estrategias formales en

trabajo de apoyo. SC se utilizó para indicar los problemas sin contestar.

Capítulo 4

RESULTADOS

4 RESULTADOS

32

y patrones de solución novedosos con respecto a lo que se reporta en la literatura. Se

separaron en esa primera etapa los casos de respuesta que aportaban aspectos de

interés en lo tocante a la caracterización que se hizo de cada problema del

instrumento, descrito en el apartado 3.3. Después de realizar los análisis citados en el

párrafo anterior, se procedió a detallar los aspectos relevantes de esas respuestas, los

cuales contestaron las preguntas planteadas en el apartado 1.4 y sustentaron la

hipótesis de esta investigación.

Se hace notar que para los fines que persiguió esta investigación, se consideró

prioritario analizar los problemas que involucraban distintas facetas funcionales de la

fracción y después aquellos problemas que dieron soporte a los primeros. Así se tiene

que fueron 10 los problemas sometidos a distintos análisis cualitativos detallados.

4.2. Análisis de resultados

4.2.1. Ojos

Este problema básico explora esencialmente la formación de una comparación por

cociente por parte de los estudiantes de licenciatura. La razón es uno de los conceptos

fundamentales para el pensamiento proporcional del estudiante (Figueras, López y

Mochón, 1994; Lo et al., 2004) junto con el concepto de variación y el reconocimiento y

discriminación de otros tipos de relaciones. Los análisis realizados a las respuestas de

los estudiantes de licenciatura a este problema revelan que tienen grandes deficiencias

en estos aspectos.

Evidencia que exhibe comparación por cociente.

La figura 4.1 muestra que el estudiante utiliza directamente los datos que se le

presentan en el enunciado del problema y que efectivamente los identifica como las

partes que componen un todo; sin embargo, es probable que una falta de comprensión

global lo induzcan a formar una fracción que no responde a la comparación parte-

todo19 solicitada. La respuesta mostrada es típica en la muestra y otras razones que

19 En la faceta parte-todo de la fracción, se concibe a ésta como un número que permite cuantificar las

partes de un todo. Es decir, una fracción es solo una parte de todo y para mostrar qué tan grande es, se

compara con ésta el número de partes necesarias para formar el todo.

RESULTADOS 4

33

explican el error son: la tendencia que tienen los estudiantes a operar directamente

con los datos proporcionados sin deducir ninguna información adicional dada en

forma implícita o bien, a una conceptualización no consolidada sobre la fracción en su

faceta parte-todo.

Figura 4.1. Comparación entre partes de un entero común.

Evidencia ilógica con pensamiento aditivo.

El pensamiento que denota cierto estudiante en la figura 4.2 al resolver este problema,

es claramente aditivo, una vez que determina con una diferencia el resultado de su

comparación entre dos cantidades. Después, es probable que el estudiante se vea

influenciado por el enunciado del problema, el cual le pide dar un resultado

fraccionario, y por ello intente representar con números fraccionarios su cálculo

previo, el cual fue concebido con números naturales o enteros; el resultado es una

representación fraccionaria con aritmética entera. La figura mostrada es peculiar

porque evidencia que algunos estudiantes usan estrategias centradas en el tipo de

respuesta que deben dar más que centradas en procesos lógicos que los conduzcan a

respuestas lógicas y coherentes. Se piensa que el estudiante desarrolló un

pensamiento absoluto20 respecto de los datos del problema, lo cual lo llevó a utilizarlos

directamente en cálculos. Es muy probable hablar de una barrera conceptual surgida

por una limitante en la percepción de los datos, en la cual, los datos se miran

simplemente como elementos aislados sin relación mutua.

20 El pensamiento absoluto es llamado también pensamiento aditivo por Lamon (2001) y se caracteriza

como el tipo de pensamiento que establece comparaciones sin referencia; en contraste se encuentra el

pensamiento relativo o comparativo, también llamado pensamiento multiplicativo. Lamon aclara que

ambos tipos de pensamiento son útiles dependiendo de la situación, pero que el pensamiento proporcional

va más allá del conteo y el pensamiento absoluto.

4 RESULTADOS

34

Figura 4.2. Pensamiento aditivo y absoluto.

4.2.2. Barda

Los análisis a las respuestas de este problema se caracterizan por una desorganización

de lo que los estudiantes extraen por reflexión mental de un plano precedente a uno

nuevo en el sentido de la abstracción reflexiva de Piaget21; se presume que la razón de

eso se debe en gran medida a un conocimiento limitado de las significaciones que los

estudiantes de licenciatura otorgan a la fracción.

Evidencia con desarrollo incompleto de las facetas de la fracción.

La figura 4.3 muestra que inicialmente el estudiante tiene una comprensión adecuada

global del problema, puesto que refleja bien las condiciones de éste en su hoja de

trabajo. Utiliza dos estrategias de solución, la primera de las cuales es estrictamente

aditiva y absoluta; es decir, el estudiante considera que los datos en el problema

reflejan directamente las porciones de barda que se pintan y que con cada acción de

pintar, el área de la barda sin pintura disminuye simbólicamente con la operación

aritmética de una resta. El estudiante abandona su estrategia cuando el resultado que

obtiene está fuera del rango concebido en su mente. Su estrategia ha fallado debido a

la incapacidad conceptual para plantear y utilizar expresiones para la mitad, la tercera

y la cuarta parte de una cantidad, las cuales son nociones precursoras para el

razonamiento proporcional; con eso se advierte una limitante en el dominio de la faceta

21 Piaget dice que la abstracción reflexiva tiene 2 componentes, una refleja y una reflexiva; la primera de

las cuales actúa como un espejo que deja pasar lo que hay en el mismo plano y equivale a pasar de la

acción a la representación sin que haya una reorganización de lo que es abstraído del plano precedente tal

como ocurre con la abstracción reflexiva debido a la cual se dan los procesos de construcción del

conocimiento.

RESULTADOS 4

35

operador de la fracción por parte del estudiante22. En una segunda estrategia que

utiliza, la cual es puramente multiplicativa, se nota una predominancia de la faceta

parte-todo de la fracción que no está consolidada; en este caso, el estudiante cuantifica

bien el tamaño de la partición final de la barda, el cual corresponde al denominador de

una fracción parte-todo; pero en cuanto al numerador, no visualiza las partes de la

barda que faltan por pintar en cada intento y no construye correctamente el

numerador de esa fracción. En general, se considera que no hay una buena percepción

de los datos implicados para cálculo, los cuales no se dan explícitamente en el

enunciado del problema, sino que deben encontrarse mediante operaciones

multiplicativas, en este caso, mediante operadores fraccionarios.

Figura 4.3. Acceso restringido a la faceta operador de la fracción y faceta parte-todo

incompleta.

4.2.3. Gasolina

El uso de la regla de tres es la estrategia predominante como estrategia de solución en

este problema de razones 23 . Otras estrategias de solución presentes fueron las

22 La relación significativa de la fracción en esta faceta, es la comparación entre la cantidad que resulta de

una operación y la cantidad sobre la que está actuando. Un operador fraccionario puede verse como una

función compuesta de una multiplicación y una división que actúa sobre una cantidad.

23 Esencialmente una razón es una comparación de dos cantidades y este tipo de relación, la razón, le da

significado a una cantidad al compararla con otra. Es decir, en esta faceta puede considerarse a la fracción

como un índice que transmite una idea que no puede expresarse con un solo número.

4 RESULTADOS

36

unitarias: litros por unidad porcentual y porcentaje por litro; este resultado es peculiar

por tratarse de un problema donde lo más natural es realizar comparaciones internas

de la situación proporcional antes que comparaciones funcionales24, las cuales son

más comunes en problemas que implican tasas o densidades. Sin embargo, éste es

uno de los problemas del instrumento de recolección de evidencias que muestran

mayor uso de estrategias ilógicas y aditivas y sin ningún sentido de la

proporcionalidad. Existe evidencia de un grupo de estudiantes que tiene problemas

con el manejo de los números enteros y racionales que dificultan el proceso de

solución.

Evidencias ilógicas.

La figura 4.4 presenta un factor que vale 0.2. Se establece la conjetura de que el

estudiante probablemente quiso comparar 40 litros con 2 litros y en lugar de

determinarlo con 40

2, lo hizo con 40 x 0.2. Si éste es el caso, entonces el estudiante

tiene un problema con los números, pues piensa que 1

2= 0.2. Su falta de reflexión lo

continúa al utilizar este resultado para transformar un porcentaje (100),

probablemente teniendo un pensamiento como el siguiente: “si 40 es 8 veces mayor 2,

entonces 100 debe ser 8 veces mayor que la cantidad porcentual que busco”. La figura

4.5 muestra que el estudiante también utiliza el factor 0.2, pero debido a la falta de

trabajo de apoyo, se concluye que su estrategia no tiene fundamento.

Figura 4.4. Estrategia ilógica por falta de entendimiento de las relaciones entre los

números fraccionarios y decimales.

24 Chaim, B. (1998) utiliza el término razón interna o escalar y razón externa o funcional para referirse a

la acción de comparar cantidades de la misma magnitud o de magnitudes diferentes. Refiere que esta

estrategia fue acuñada por Freudenthal en 1983 y es mencionada por autores como Tournaire y Pulos

(1985) y Lamon (1994).

RESULTADOS 4

37

Figura 4.5. Estrategia ilógica por pérdida del concepto de porcentaje.

La evidencia en la figura 4.6 no tiene sentido proporcional. Los estudiantes realizan

operaciones con factores y divisores sin propósito aparente y muchas veces sin

involucrar los datos del problema como se aprecia en la figura 4.7.

Figura 4.6. Estrategia ilógica por pérdida conceptual del concepto de porcentaje.

Figura 4.7. Pensamiento ilógico con asociación indebida de magnitudes, omisión de

datos y carencia de comparaciones multiplicativas.

4 RESULTADOS

38

Evidencias aditivas ilógicas:

Las evidencias en las figuras 4.8 y 4.9 muestran claramente una carencia de sentido

proporcional y además una carencia de sentido numérico y/o simbólico, ya que

asocian indistintamente números naturales con porcentajes y los operan

aritméticamente con sumas y restas.

Figura 4.8. Ausencia de comparación multiplicativa y asociación indebida de

magnitudes.

Figura 4.9. Ausencia de comparación multiplicativa y asociación indebida de

magnitudes.

Evidencias con rupturas en el pensamiento variacional :

El trabajo del estudiante mostrado en la figura 4.10 presenta un conflicto entre los

planteamientos que hace: primero plantea que se escapan 2 litros de cada 40 litros de

gasolina, pero enseguida rectifica su pensamiento y establece relaciones de

equivalencia entre distintas cantidades de litros presentes en el tanque y las

cantidades relativas porcentuales correspondientes. Por este planteamiento se

concluye que el estudiante no comprende lo que se le solicita en el problema, porque

RESULTADOS 4

39

de ser así habría razonado algo parecido a lo siguiente a partir de sus expresiones: “si

10 litros representan el 25% de la capacidad del tanque de gasolina, entonces 2 litros

representan el 5 % de la capacidad del tanque de gasolina puesto que 2 es la quinta

parte de 10 así como 5 es la quinta parte de 25”, o bien, mediante el manejo directo de

las relaciones internas o escalares presentes en la situación, como en el caso mostrado

en la figura 4.11. Finalmente el estudiante termina con una expresión multiplicativa

que no está relacionada con sus planteamientos, la cual no puede deducirse para

análisis por falta de argumentos y/o trabajo de apoyo de parte del estudiante.

Figura 4.10. Pensamiento variacional incompleto por falta de reconocimiento de

factor multiplicativo fraccionario.

Figura 4.11. Reconocimiento adecuado de relaciones multiplicativas invariantes por

método interno o escalar.

4 RESULTADOS

40

Evidencias con rupturas conceptuales en los sistemas de números enteros y

racionales.

Los resultados mostrados en las figuras 4.12 y 4.13 son evidencia de que los

estudiantes presentan un obstáculo en la solución del problema porque son incapaces

de encontrar un factor multiplicativo fraccionario (operador) que transforme un

número entero en otro, (de 40 a 38 y de 5 a 2), aún cuando los estudiantes desarrollan

relaciones de equivalencia correctas.

Figura 4.12. Desarrollo incompleto de relaciones equivalentes por la falta de

vinculación de los números enteros con los números racionales.

Figura 4.13. Desarrollo incompleto de relaciones equivalentes por la falta de

vinculación de los números enteros con los números racionales.

RESULTADOS 4

41

Los siguientes 3 grupos de evidencias, identifican la cantidad relativa porcentual como

una variable; es por eso que los estudiantes hacen comparaciones multiplicativas

funcionales en el sentido de Freudenthal citado en Ben-Chaim et al. (1998). El primer

grupo de estudiantes en esta categoría hizo planteamientos con un manejo de

propiedades multiplicativas de la proporcionalidad, el segundo mediante el uso directo

de la regla de tres y el tercero mediante estrategias unitarias. En estos tres grupos se

encuentra la mayoría de estudiantes que logró acierto en este problema.

Evidencias con estrategias funcionales multiplicativas.

Una evidencia que usa una estrategia funcional multiplicativa, sin planteamiento de

proporciones, es la que se muestra en la figura 4.14. Note que este estudiante, al igual

que otros, precisa todavía del establecimiento de una estructura para la regla de tres

para comprobación, aún cuando el resultado ya lo había establecido.

Figura 4.14. Estrategia funcional multiplicativa correcta.

4 RESULTADOS

42

Evidencias con la regla de tres como estrategia de solución.

Consultar las evidencias de las figuras 4.15 y 4.16 para conocer dos planteamientos

de la regla de tres que hicieron los estudiantes de licenciatura en el problema llamado

“Gasolina”.

Figura 4.15. Regla de tres para hallar el porcentaje del contenido del tanque.

Figura 4.16. Regla de tres para hallar el porcentaje de la pérdida de gasolina del

tanque.

RESULTADOS 4

43

La figura 4.17 muestra que el estudiante obtiene mediante manejo escalar distintas

relaciones de equivalencia, entre ellas, la relación unitaria de unidades porcentuales

por litro de gasolina y sin embargo, no extiende este resultado para determinar lo

correspondiente para dos litros de gasolina. El estudiante obtiene su resultado final

mediante el método con el cual muchos estudiantes se sienten más seguros: la regla de

tres.

Figura 4.17. Regla de tres para la pérdida porcentual de gasolina del tanque con

omisión del cálculo unitario porcentual por litro de gasolina.

Evidencias con estrategias unitarias.

Obsérvese que el autor de la evidencia mostrada en la figura 4.18 obtuvo la relación

unitaria de litros por unidad porcentual como estrategia de solución.

4 RESULTADOS

44

Figura 4.18. Estrategia adecuada basada en la relación unitaria de litros por unidad

porcentual.

4.2.4. Pastel

El análisis cognitivo-matemático a este problema reveló que los estudiantes de

licenciatura tienen problemas conceptuales con cocientes y el uso de símbolos los

cuales obstaculizan el razonamiento proporcional, y además no dominan las

operaciones numéricas básicas con números fraccionarios. Se hallaron casos

excepcionales de construcción de estrategias con significado.

Evidencia con respuesta que denota la existencia de obstáculo conceptual en el uso de

símbolos numéricos.

En la figura 4.19 se presenta evidencia que muestra que en el nivel de licenciatura,

existen estudiantes que confunden el símbolo que representa una cantidad con la

cantidad misma.

RESULTADOS 4

45

Figura 4.19. Caso de confusión del símbolo con la cantidad.

Evidencia que muestran el desarrollo de estrategia particular en problema de cociente.

La respuesta mostrada en la figura 4.20, destaca la cognitiva individual de un

estudiante al realizar repartos de cantidades fraccionarias. El estudiante buscó

expresar la cantidad sobrante de pastel (que se habría de repartir en 3 partes iguales)

en una forma tal que fuera igual a 3 veces una cierta unidad de medida25, para que al

repartirlo, el resultado fuera igual al tamaño de esa medida 26 . Para tal efecto, el

estudiante buscó fracciones equivalentes del sobrante de pastel que tuvieran

numerador 3; y ya que todos los sobrantes eran fracciones unitarias, para

amplificarlas sin que cambiaran su valor, le bastó al estudiante multiplicar por 3 tanto

el numerador como el denominador de esas fracciones. Con este proceso directo, el

estudiante encuentró además distintas particiones del pastel completo.

25 En la faceta medida de la fracción se introduce el concepto de unidades compuestas de más de un objeto

empacados como uno y con la posibilidad de que esa unidad puede dividirse en partes iguales; de tal

forma que un nuevo tipo de número, que es la fracción, se usa para referirse a las partes de esa unidad y a

las cuales Lamon (1999) conceptualiza como medidas, que en esencia son fracciones unitarias.

26 Se piensa que este caso de respuesta, pone de manifiesto lo dicho por Lamon (2001) acerca de que la

faceta de medida para la fracción junto con la faceta parte-todo unificada son particularmente útiles para

iniciar cambios en la instrucción de la fracción, ya que extienden los principios básicos de la medición con

los cuales los niños están familiarizados desde la primera infancia.

4 RESULTADOS

46

Figura 4.20. Uso de fracciones equivalentes para resolver problema de reparto.

Las figuras 4.21 y 4.22 muestran evidencia de que algunos estudiantes siguen la

tendencia de representar los sobrantes de pastel con tripletas de fracciones unitarias.

Figura 4.21. Uso de una representación simplificada para representar el

sobrante de pastel de una fiesta que se va a repartirse entre tres personas.

RESULTADOS 4

47

Figura 4.22. Uso de fracción unitaria para representar el sobrante de pastel.

La figura 4.23 muestra evidencia de que algunos estudiantes basan sus respuestas en

la observación de un patrón en la representación de cantidades fraccionarias, más que

en un análisis racional de particionamiento de esas cantidades.

La cuestión en este tipo de estrategias es saber cómo hubieran respondido estos

estudiantes si no hubiera sido unitaria la fracción a repartir.

Figura 4.23. Respuesta basada en observación del patrón numérico del denominador

de las fracciones consecutivas de sobrantes de pastel.

La evidencia en la figura 4.24 es muestra de que los estudiantes que identifican

patrones para responder las preguntas planteadas, no siempre son capaces de

4 RESULTADOS

48

extender la relación inversa del patrón observado, o bien, sus soluciones redundan en

casos ilógicos como el mostrado en la figura 4.25.

Figura 4.24. Respuesta parcial por no unificar la cantidad de pastel que sobró en la

fiesta a partir de lo que les tocó a cada uno, en las últimas columnas de la tabla.

Figura 4.25. Respuesta parcialmente basada en las relaciones multiplicativas

que existen en los denominadores de las fracciones consecutivas. Redunda en

un caso ilógico de solución.

Evidencias de respuestas de estudiantes con problemas numéricos en operaciones

básicas con fracciones.

Es probable que el estudiante cuya evidencia se muestra en la figura 4.26 tenga

dificultades para dividir fracciones, así que opta por transformar el sobrante de pastel

fraccionario a su notación decimal antes de realizar el reparto solicitado. Por otro lado,

después de que a cada uno de los amigos le tocara 1

33 del pastel, el estudiante muestra

RESULTADOS 4

49

incluso deficiencias con la división decimal. Salvo los errores de cómputo cometidos,

un aspecto que se rescata del pensamiento del estudiante, es que éste es capaz de

interpretar a la fracción en su aspecto funcional de cociente, una vez que unificado el

sobrante total de pastel plantea una expresión para realizar un reparto fraccionario

entre tres, aunque claro, esa respuesta no responde a lo solicitado en el enunciado del

problema.

Las evidencias mostradas en las figuras 4.27, 4.28, 4.29 y 4.30 despliegan una falta de

dominio total y parcial en las operaciones numéricas con fracciones.

Figura 4.26. Transformación de fracciones a notación decimal para realizar repartos.

4 RESULTADOS

50

Figura 4.27. Falta de dominio en la realización de cocientes fraccionarios.

Figura 4.28. División incipiente. Falta de vínculos entre la cognitiva individual del

estudiante y las operaciones aritméticas básicas con fracciones.

RESULTADOS 4

51

Figura 4.29. Falta de significado para la operación de multiplicación. Pensamiento

algorítmico erróneo.

Figura 4.30. Conceptualización errónea para la suma de fracciones con estrategia

ilógica.

Evidencias de estudiantes que interpretan mal partes del texto del problema, pero

cuyos procesos y resultados difieren dependiendo de sus cognitivas individuales.

4 RESULTADOS

52

Figura 4.31. Respuesta polarizada para el inciso b) por falta de comprensión en el

texto del problema.

Figura 4.32. Falta de comprensión del texto del problema con inclusión del concepto

de porcentaje y respuesta ilógica general.

La evidencia en la figura 4.33 indica una deficiencia en la comprensión de textos por

parte del estudiante. Su respuesta se limita a obtener el promedio aritmético de los

valores decimales de las 3 primeras columnas de la tabla. Es claro que en el contexto

del problema, no pueden sobrar 3 cantidades distintas de un pastel simultáneamente,

además por la organización de la tabla bidimensional, se entiende que cada columna

del primer renglón se relaciona con la misma columna del segundo renglón. De

RESULTADOS 4

53

cualquier manera, el estudiante omite los valores faltantes de las últimas dos

columnas de la tabla para su cálculo. Así el estudiante incurre en procesos ilógicos.

Figur 4.33. Falta de comprensión del texto del problema y falta de interpretación de

tablas bidimensionales para organizar la información del mismo.

Evidencias con respuestas ilógicas.

Figura 4.34. Respuesta ilógica en la cual el estudiante omite el uso de su propia

expresión.

4 RESULTADOS

54

Evidencia que muestra una respuesta coherente con la interpretación de cociente de la

fracción.

Figura 4.35. Respuesta coherente con la faceta cociente de la fracción.

4.2.5. Planetas.

Los análisis realizados a las respuestas de este problema revelan un desconocimiento

de los estudiantes para establecer una comparación multiplicativa, la cual es

considerada como la base del razonamiento proporcional27. El trabajo de apoyo que

realizan los estudiantes se distribuye en:

Evidencias que muestran carencias de los estudiantes tanto en el campo de lo

numérico como en el campo conceptual de la proporcionalidad.

Las evidencias en las figuras 4.36 y 4.37 muestran una incapacidad por parte de los

estudiantes para establecer un punto común de comparación entre dos cantidades, es

por eso que operan directamente con los datos sin considerar las relaciones que

27 Lo et al. (2004) identifican algunas ideas clave, introductorias al concepto de razón; éstas incluyen

distinguir una comparación multiplicativa de una aditiva, identificar una cantidad base para comparación

multiplicativa, así como tomar en cuenta las unidades de medida al formar razones significativas.

RESULTADOS 4

55

pudieran estar implicadas en el enunciado del problema. En la evidencia de la figura

4.36 se muestran además errores de cociente de fracciones.

Figura 4.36. Incapacidad para establecer una comparación por cociente de enteros.

Figura 4.37. Omisión de relaciones implicadas en el enunciado del problema.

Las respuestas en las figuras 4.38 y 4.39 no muestran indicios de una comprensión

profunda del problema. En la figura 4.38, el estudiante pretende encontrar una

cantidad, que denota como “x”, la cual satisfaga las condiciones del problema, sin

reflexionar en el objetivo del mismo. El trabajo mostrado en la figura 4.39 muestra que

no hay un reconocimiento de los tamaños relativos de los planetas y esto quizá se deba

a una mala interpretación lingüística de frases como “la cuarta parte de” y “es diez

veces tan grande como”. La razón para conjeturar de esa manera es que el estudiante

no hace la diferencia entre ¼ V y 4 V, tal como se aprecia en su trabajo de apoyo. El

acierto en su respuesta, sin embargo, conduce a pensar que el estudiante consideró

ciertamente el tamaño de venus como base de comparación y que se apoyó en

relaciones como S = 10V y N = 4V. En este caso puede conjeturarse que el estudiante

no representó fielmente sus pensamientos. Lamentablemente, una gran mayoría de los

estudiantes obtienen respuestas correctas por casualidad.

4 RESULTADOS

56

Figura 4.38. Influencia de representación simbólica para hallar el valor de una

comparación numérica.

Figura 4.39. Representación errónea de frases lingüísticas

La respuesta del estudiante mostrada en la figura 4.41 presenta una estrategia aditiva

de solución, denotando con eso que se encuentra en una etapa de reconocimiento

comparativo.

Figura 4.40. Mala interpretación frases lingüísticas que indican multiplicaciones de

enteros.

RESULTADOS 4

57

Evidencias con respuestas correctas y buen entendimiento.

Las evidencias en las figuras 4.41 y 4.42 son correctas y en la estrategia utilizada por

ambos estudiantes subyace la búsqueda de una unidad de medida que sirve como una

base común para comparación multiplicativa.

Figura 4.41. Búsqueda de una base común de comparación por Mínimo Común

Múltiplo.

Figura 4.42. Reconocimiento intuitivo de una base común para comparación

multiplicativa.

4 RESULTADOS

58

4.2.6. Edades.

Un examen exhaustivo a las respuestas de este problema muestra que la mayoría de

los estudiantes prefirió utilizar estrategias algebraicas en la solución del mismo. En

este problema no hay muestras de trabajo por parte de los estudiantes con la faceta

operador de la fracción; hay evidencia de que la razón principal de que eso suceda así

es la falta de reconocimiento y conexiones de la faceta parte-todo en la formación de

un operador fraccionario multiplicativo.

Evidencias con soluciones algebraicas.

Estudiantes que no reconocen que los datos del problema por sí mismos forman parte

de un “total común”, dado por una suma de cantidades, y que precisan relativizar

nuevamente los datos numéricos para introducir una literal, resolver algebraicamente

y usar el resultado para escalar las edades relativas a las edades reales. Consultar las

figuras 4.43 y 4.44 como evidencias correctas de esta estrategia. Un intento fallido es

el que se muestra en la figura 6.3, donde el estudiante relativiza erróneamente la parte

de Diego con respecto a Juan; usa 3

4 en vez de

4

3, lo cual pone de manifiesto que al

establecer una razón, sí importa el orden de las cantidades para comparación por

cociente.

Figura 4.43. Introducción de literal para determinar el tamaño real de cada parte de

un total.

RESULTADOS 4

59

Figura 4.44. Introducción de literal para relativizar entre sí las partes de un total.

Figura 4.45. Introducción de literal para relativizar entre sí las partes de un total.

Evidencias espontáneas.

La evidencia en la figura 4.46 ejemplifica a un grupo de estudiantes, el cual encuentra

la solución al problema mediante un factor que satisface las condiciones del problema.

No hay trabajo de apoyo y sus argumentos no son satisfactorios, una vez que utiliza la

palabra “razón” inadecuadamente.

4 RESULTADOS

60

Figura 4.46. Solución espontánea por reconocimiento de factor.

4.2.7. Cuerpo.

Las respuestas a este problema muestran que los estudiantes plantean relaciones

multiplicativas escalares entre los elementos que conforman una proporción; pero es

muy ocasional que ocurra un verdadero reconocimiento de las relaciones

multiplicativas funcionales entre esos elementos, debido probablemente a que no es

común que los estudiantes establezcan equivalencias entre tasas. El análisis de los

resultados de este problema revela que en general (salvo excepciones), los estudiantes

no dan el significado adecuado a las unidades de medida para cuantificar volúmenes.

En este trabajo de tesis, los resultados que se reportan sorprenden sobre todo por

tratarse de estudiantes de nivel licenciatura que están construyendo ya conocimiento

nuevo sobre bases poco sólidas.

Evidencias que muestran errores típicos de los estudiantes de la muestra.

Respuestas que evidencian la falta de dominio en la conversión de unidades

volumétricas. Consulte las figuras 4.47 y 4.48, donde además se plantean

equivalencias como medio de organizar los datos para su uso en el algoritmo de la

regla de tres y no necesariamente como medio de reconocer la existencia de relaciones

multiplicativas invariantes entre pares de datos.

RESULTADOS 4

61

Figura 4.47. Falta de dominio de unidades volumétricas.

Figura 4.48. Uso de equivalencias lineales en conversión de unidades de volumen.

Evidencias con procesos lógicos.

La estrategia de razón unitaria es común en problemas que involucran tasas o

densidades. Sin embargo, en una minoría de las respuestas analizadas se emplean

variantes de esta estrategia; y todas ellas vinculadas con la estrategia unitaria de peso

por unidad de volumen. Refiérase a las figuras 4.49 y 4.50 para observar estos

procesos.

4 RESULTADOS

62

Figura 4.49. Relaciones escalares adecuadas para obtener el peso de un cuerpo por

unidad de volumen.

Figura 4.50. Estrategia escalar directa para la obtención del peso de un cuerpo por

unidad de volumen.

Evidencias con planteamientos formales.

El trabajo mostrado en la figura 4.51 utiliza razones de equivalencia en una relación

proporcional formal, pero sin reconocimiento aparente de relaciones multiplicativas

invariantes y uso del algoritmo de la regla de tres.

RESULTADOS 4

63

Figura 4.51. Planteo formal de una proporción.

4.2.8. Examen

Evidencias con respuestas incorrectas.

La figura 4.52 ilustra un proceso que no tiene sentido: el estudiante establece un

cociente con los datos sin comprender realmente lo que representan; no muestra

preocupación en argumentar sus operaciones y tampoco valida su resultado. En

cambio, la figura 4.53 muestra indicios de un reconocimiento proporcional: el

estudiante cuantifica una totalidad de partes mediante la determinación de una

“unidad de medida” en el sentido de Lamon (2001) y enseguida encuentra el valor real

de cada parte, el cual usa para calcular la respuesta al problema.

Figura 4.52. Proceso ilógico.

4 RESULTADOS

64

Figura 4.53. Reconocimiento de una unidad de medida para cuantificar un total.

Evidencias con respuestas correctas.

La figura 4.54 ilustra el uso de la regla de tres, que es la estrategia más común en la

solución de este problema En el trabajo de apoyo se aprecia poca fluidez en las

habilidades de cálculo numérico y no se aprecia el reconocimiento de una unidad de

medida para cuantificar las partes de un total.

Figura 4.54. Estrategia de la regla de tres con poca fluidez numérica.

Evidencias sin respuesta.

El tipo de respuestas como el de la figura 4.55, es poco común en el instrumento de

recolección de datos y debido a su subjetividad no puede analizarse por sí misma; a

diferencia de las respuestas que se dejan sin contestar para las cuales se da por

entendido que el estudiante no es capaz de elaborar un plan de solución.

RESULTADOS 4

65

Figura 4.55. Respuesta subjetiva.

En la figura 4.56 no se reconoce una unidad base para cuantificar el número de partes

de un total, que junto con la información presente en la situación sirva para establecer

equivalencias entre pares de valores de las variables que intervienen; en consecuencia,

el estudiante sigue un algoritmo que le es familiar: la regla de tres. Sus errores de

cálculo numérico lo obstaculizan para dar una respuesta al problema.

Figura 4.56. Uso de la regla de tres para valor faltante.

4 RESULTADOS

66

4.2.9. Naranjas

Este problema ha sido uno de los problemas del instrumento más abordados por los

estudiantes, debido probablemente a que la comprensión de las magnitudes que

intervienen y la naturaleza de los números implicados son manejables por estudiantes

de este nivel educativo. Por otro lado, aunque existe gran número de evidencias con

respuestas incorrectas, el análisis lo centro principalmente en las respuestas correctas

para destacar aspectos de interés y el papel clave que tuvo el reconocimiento oportuno

de una unidad de medida en esos logros.

Evidencias con respuestas correctas.

En la figura 4.57, la expresión 2 x 4 = 8, se refiere a un proceso interno del estudiante

mediante el cual él seguramente razona: “si 2 vasos de jugo de naranja producen ¼ de

litro de jugo de naranja, entonces se necesita producir 4 veces la misma cantidad de

jugo porque un litro de jugo, tiene 4 veces ¼ de litro“. Obsérvese cómo el estudiante

simplifica el problema a las variables Naranjas y Litros en su estrategia.

Figura 4.57. Regla de tres para la relación Vasos-Naranjas.

1) La respuesta en la figura 4.58 no refleja el uso de una estrategia directa y formal

en la solución del problema; en cambio, el estudiante tiene cuidado de conservar

las relaciones estructurales entre los pares de valores de las dos relaciones que

RESULTADOS 4

67

intervienen en la situación. Su lógica, estrategia y el buen manejo de los

números, lo conducen a obtener una respuesta correcta.

Figura 4.58. Obtención de relaciones escalares para la situación proporcional.

La respuesta mostrada en la figura 4.59 es peculiar porque utiliza una cantidad recién

obtenida como unidad de medida (fraccionaria), para encontrar la solución correcta al

problema planteado. Mediante una simplificación de variables llega a una relación

Naranjas-Litros en donde determina que 16

3 es la cantidad de naranjas que se necesitan

para obtener ¼ de litro de jugo de naranja; por lo tanto, se necesitan tres veces cuatro

unidades de 16

3 naranjas para obtener tres litros de jugo de naranja.

Figura 4.59. Unidad de medida fraccionaria para la relación Naranjas-Litros.

Para el estudiante cuyo trabajo se muestra en la figura 4.60, el reconocimiento

oportuno de dos relaciones proporcionales entre pares de variables, le conduce

4 RESULTADOS

68

rápidamente a la solución del problema. La estrategia común es la regla de tres con

una ligera variante a la estrategia de producto cruzado.

Figura 4.60. Reconocimiento de doble relación proporcional.

El estudiante cuyo trabajo se muestra en la figura 4.61, realiza operaciones

multiplicativas internas con valores de las variables de la relación proporcional

Naranjas-Vasos; y determina que son necesarios 24 vasos de jugo para completar 3

litros. Después el estudiante razona algo como lo siguiente: “si por cada 3 vasos de

jugo se requieren 8 naranjas, entonces para un total de 24 vasos de jugo se

necesitarán 24

3 veces 8 naranjas”. En su razonamiento lógico, el estudiante utilizó como

unidad de medida (en el sentido de Lamon (2001)), el número de vasos de jugo de

naranja dado en la situación proporcional Vasos-Naranjas.

Figura 4.61 Unidad de medida entera para la relación Naranjas-Vasos.

RESULTADOS 4

69

Evidencias con rasgos particulares.

La figura 4.62 evidencia que todavía se encuentran estudiantes de nivel licenciatura

haciendo uso de estrategias que no se consideran apropiadas de un estudiante con un

pensamiento proporcional desarrollado28. Algunos autores han clasificado este tipo de

pensamiento como pensamiento ingenuo.

Figura 4.62. Uso de modelos pictóricos para la solución de situación proporcional.

28 Langrall y Swafford (2000; citados en Chapin y Canavan, 2003) clasificaron las estrategias de solución

de los estudiantes en 4 niveles y determinaron que los estudiantes de nivel 0 no usan estrategias

proporcionales sino que tienden a usar estrategias aditivas y métodos seleccionados aleatoriamente. Los

estudiantes de nivel 1 usan dibujos, modelos o materiales para resolver problemas de proporcionalidad y

no solamente para dar sentido a sus respuestas como lo hacen los estudiantes de nivel 2, quienes usan

principalmente cálculos con multiplicaciones y divisiones. Los estudiantes de nivel 3 usan estrategias

formales como productos cruzados y razones de equivalencia.

4 RESULTADOS

70

El proceso lógico mostrado en la figura 4.63 es un ejemplo que ilustra un desarrollo

proporcional incompleto debido probablemente a la falta de un manejo coordinado de

varias variables, a la pérdida del objetivo del problema, a la falta de estructuración

formal de la situación proporcional, o quizá al producto de los factores mencionados.

Al final, es probable que el estudiante se detenga en el camino porque crea que el resto

del problema es “asunto resuelto”, o bien, sea por la presencia de números

fraccionarios en los cálculos o porque crea erróneamente que la expresión resultante

no contiene las variables en juego.

Figura 4.63. Pensamiento proporcional incompleto.

4.2.10. Potrero

Las expectativas en la exploración de las razones multiplicativas en este problema han

quedado ocultas con los resultados de los estudiantes. Algunas investigaciones

reportan que los estudiantes tienen un conocimiento y un razonamiento proporcional

más intuitivo en la solución de problemas de semejanza debido a que pueden

visualizarse geométricamente y a que sus resultados son fácilmente comprobables;

Figueras et al. (1994). Otras investigaciones indican que los problemas de escalas son

un campo útil para que los estudiantes transiten hacia las estrategias formales de

proporcionalidad; Chapin y Canavan (2003). Estos resultados no se verificaron en las

respuestas de los estudiantes a este problema y en las evidencias se exploran algunas

posibles razones de ello. Un resultado general de los análisis de este problema es que

los estudiantes no fijan las unidades de medida a usar en sus procesos, cosa que es

necesario hacer, ya que el factor de escala queda determinado por esa elección; pero

RESULTADOS 4

71

tampoco reconocen al factor de escala como el operador multiplicativo que transforma

las medidas del modelo a las medidas reales, o viceversa.

Evidencias con estrategias multiplicativas

La figura 4.64 muestra trabajo con estrategia multiplicativa que no incluye

preocupación evidente por las unidades de medida. En cambio, el estudiante cuyo

trabajo se muestra en la figura 4.65 considera implícitamente el manejo de dichas

unidades, pero comete errores de cálculo con la aritmética decimal. Este estudiante no

reconoce al factor de escala como un valor numérico. La figura 4.66 ilustra una

estrategia multiplicativa con trabajo “dentro de la razón” por medio del cual se deduce

el factor de escala. En su trabajo el estudiante sí considera las unidades de medida

adecuadas.

Figura 4.64. Estrategia multiplicativa sin preocupación evidente de las unidades de

medida.

4 RESULTADOS

72

Figura 4.65. Estrategia multiplicativa con deficiencias en la aritmética decimal.

Figura 4.66. Estrategia multiplicativa con determinación y uso de factor de escala.

Evidencias con uso de la regla de tres como estrategia.

La figura 4.67 muestra que el estudiante calcula un factor de escala adecuado, pero no

es capaz de reconocerlo como un valor constante entre las medidas del modelo y el

terreno real; por eso no traslada ese conocimiento a los lados que determinan el ancho

del terreno y en su lugar utiliza la regla de tres para dar respuesta al problema. La

figura 4.68 muestra que aún los estudiantes en estos niveles no acostumbran verificar

sus resultados.

RESULTADOS 4

73

Figura 4.67. Regla de tres para problema de semejanza y factor de escala sin uso.

Figura 4.68. Regla de tres con errores de cálculo.

Evidencias con estrategias mecánicas del algoritmo de la regla de tres.

La evidencia en la figura 4.69 ilustra lo que realiza un grupo de estudiantes. Es muy

probable que ellos no hayan logrado una comprensión adecuada del algoritmo en

cuestión y hayan quedado en el nivel de la mecanización29; por lo tanto, al momento de

utilizarlo como una herramienta matemática, no reconocen el papel de los elementos

implicados, sus características ni las relaciones que guardan entre sí. La hipótesis que

29 Resnick y Ford (1998) aseguran que las mecanizaciones no son malas en sí, el problema que surge es

que el estudiante llega a creer que las matemáticas son un conjunto de algoritmos sin sentido para él.

4 RESULTADOS

74

se tiene es que este estudiante no comprenda lo suficiente acerca de la invarianza

multiplicativa y equivalencia de las razones que plantea, luego de que su trabajo así lo

sugiere. Los estudiantes en esta categoría no muestran interés en establecer relaciones

con sentido lógico para ellos ni en entender sus propios resultados.

Figura 4.69. Planteo de razones equivalentes sin reconocimiento de invarianza

multiplicativa.

Evidencias con procesos ilógicos

Las figuras 4.70, 4.71 y 4.72 muestran trabajo que no se encamina al establecimiento

de relaciones comparativas para semejanza 30 . Además, los estudiantes en esta

categoría no son cuidadosos para respetar los dominios de unidades de las magnitudes

que intervienen y esto equivale a decir que muestran confusión con las magnitudes de

longitud, área y conversiones dentro de un sistema de unidades; sin mencionar los

errores numéricos que cometen.

30 Freudenthal citado en Ben-Chaim et al. (1998) se refiere a la semejanza como a la comparación

multiplicativa que se hace de dos cantidades relacionadas conceptualmente pero que no forman parte de

un entero común.

RESULTADOS 4

75

Figura 4.70. Proceso ilógico con confusión de magnitudes.

Figura 4.71. Proceso ilógico con ausencia de relaciones comparativas de semejanza.

4 RESULTADOS

76

Figura 4.72. Proceso ilógico sin objetivo aparente.

Las evidencias de las figuras 4.73, 4.74 y 4.75 denotan un concepto reducido acerca

de las escalas geométricas. Es muy probable que los estudiantes piensen que éstas

tienen siempre un patrón de escalamiento en potencias de 10 o bien, que reduzcan el

problema a realizar únicamente un cambio de las unidades de medida para el modelo.

Lo ilógico de sus representaciones es que omiten información injustificadamente.

Figura 4.73. Entendimiento deficiente en los conceptos de cantidad numérica,

unidades de medida y escala.

RESULTADOS 4

77

Figura 4.74. Desconocimiento del concepto de escala con deficiencia en unidades de

medida lineales.

Figura 4.75. Ausencia de comparaciones multiplicativas por concepto reducido de

escala.

Chapin y Canavan (2003) creen que parte de la instrucción formal sobre

proporcionalidad debería encaminarse a lograr que los estudiantes establezcan

relaciones óptimas para lograr fluidez en sus cálculos. Éste no es el caso del

estudiante cuyo trabajo aparece en la figura 4.76, quien realiza gran cantidad de

operaciones multiplicativas porque en realidad no tiene un objetivo definido sobre lo

que busca.

4 RESULTADOS

78

Figura 4.76. Trabajo ilógico por falta de sentido proporcional y pérdida de objetivo.

Las figuras 4.73 y 4.77 muestran confusión con respecto a los conceptos de escalas y

porcentajes31, por eso se considera que el pensamiento de los estudiantes en estos

casos no se adecúa al sistema matemático establecido.

Figura 4.77. Porcentaje que esconde una relación errónea de la escala para esta

situación.

31 Ambas aplicaciones ya han merecido un estatus diferenciado como aplicaciones del concepto de

proporcionalidad según Panizza y Sadovsky (1992).

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES 5

79

5.1. Introducción

Al tema de la proporcionalidad y a su largo desarrollo conceptual en los estudiantes de

todos los grados académicos básicos, los teóricos e investigadores en educación

matemática le han concedido gran importancia, por lo que en torno a su enseñanza y

aprendizaje se han desarrollado diversos modelos teóricos desde la perspectiva

matemática-cognitiva-educativa. Sin embargo, a pesar de esos esfuerzos, hoy se

confirma que los resultados esperados de tales modelos no han sido alcanzados por

los estudiantes de licenciatura, al menos en lo que respecta a los estudiantes que

participaron en el estudio.

El proceder de los estudiantes de licenciatura muestra que ellos tienden a aplicar

métodos conocidos, los cuales aplican muchas veces sin otorgarles un sentido porque

al hacerlo, no utilizan sus capacidades de intuición y raciocinio. Por lo tanto, en este

apartado introductorio se reconoce de manera general, que no existe una coordinación

notoria entre las representaciones mentales internas de los estudiantes con las

representaciones matemáticas institucionalizadas al resolver problemas que requieren

de un pensamiento proporcional. Una conclusión general, la cual se detalla en el

apartado siguiente, es que los estudiantes que participaron en el estudio presentan

grandes deficiencias para conectar el concepto matemático de proporcionalidad con el

análisis y solución de problemas donde está implicado su uso.

En cuanto a las dificultades a las que se enfrentan los estudiantes al resolver

problemas de proporcionalidad, se encontró que sin duda, tres son las barreras

principales que obstaculizan a los estudiantes en sus objetivos. La primera está

relacionada con el lenguaje verbal, la comprensión de contextos, manejo de números,

medida y magnitudes; la segunda, está relacionada con la propia concepción

cualitativa de la proporcionalidad y sus representaciones cognitivas individuales; y la

tercera, con un acceso limitado al manejo y entendimiento del sistema de símbolo de

fracción.

Capítulo 5

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

5 DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

80

5.2. Conclusiones

No se conoce mucho acerca de la comprensión inicial de los estudiantes con respecto a

los problemas que les son planteados. Se observa que una minoría de los estudiantes

produce un planteamiento, sintetiza o elabora una representación sobre el contenido

de los problemas: la mayoría de ellos va directamente a la ejecución y a los resultados.

Es decir, no se encuentra un reflejo de las características de los problemas producido

en la primera etapa de abstracción en el sentido de Piaget32.

La mayoría de los estudiantes que participaron en esta investigación no identifica

relaciones multiplicativas invariantes que están presentes entre pares de datos.

Particularmente, no son capaces de establecer comparaciones multiplicativas por

cociente, llamadas razones en la literatura; las cuales forman parte de la red de

conceptos fundamentales para proporcionalidad directa. Una consecuencia inmediata

de esto es que ellos no transitan hacia el uso de estrategias formales para

razonamiento proporcional y tampoco elaboran sus propias estrategias mediante el

reconocimiento de nuevas relaciones multiplicativas entre razones. Por lo tanto, se

concluye que los estudiantes de licenciatura de la localidad no disponen de una base

conceptual sólida para pensamiento proporcional.

La estrategia más común entre los estudiantes de licenciatura para resolver los

problemas planteados, ha sido el método de la regla de tres. Se cree que este resultado

está vinculado estrechamente con la conclusión previa. El resultado que surge después

de realizar un análisis para determinar la presencia de pensamiento proporcional de

los estudiantes al usar este método, se separa en tres casos: correcto, cuando el

estudiante lo utiliza como un camino lógico para encontrar su respuesta al problema,

reconociendo las relaciones que tienen los elementos dentro de esta estructura

multiplicativa; incorrecto con respuesta correcta o incorrecta, cuando lo utilizan por

falta de otras opciones estratégicas y no hay reconocimiento real de los elementos que

participan en la estructura; en este caso se encuentra la mayoría de estudiantes que

32 Piaget dice que la abstracción reflexiva tiene 2 componentes, una refleja y una reflexiva; la primera de

las cuales actúa como un espejo que deja pasar lo que hay en el mismo plano y equivale a pasar de la

acción a la representación sin que haya una reorganización de lo que es abstraído del plano precedente tal

como ocurre con la abstracción reflexiva debido a la cual se dan los procesos de construcción del

conocimiento.

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES 5

81

hacen uso de este método y sus procesos son estrictamente procedimentales; y el caso

ilógico ocurrido principalmente cuando los estudiantes cometen errores de

representación aún dentro de la misma estructura de la regla de tres; la razón más

frecuente de esto se debe a que los estudiantes no usan su razonamiento sino

conocimientos erróneos extraídos de recuerdos imprecisos sobre el uso y relaciones

presentes en esta estructura.

Existe una desconexión entre lo que los estudiantes razonan y las estrategias que usan

al resolver los problemas de proporcionalidad debido en gran parte a que sus

representaciones externas no siempre representan lo que ellos piensan. Se distinguen

principalmente dos casos de esta situación, el primero ocurre cuando las

representaciones que producen los estudiantes no modelan adecuadamente las

propiedades de los datos y relaciones presentes en el problema, de tal forma que las

estrategias que desarrollan algunas veces son insuficientes para deducir la respuesta

esperada, y otras veces son inapropiadas e ilógicas. El segundo caso se presenta

cuando los estudiantes basan sus representaciones y procesos en el tipo de respuesta

que deben dar y no son el resultado de sus abstracciones ni de razonamientos lógicos.

En cualquiera de los casos descritos, se encontró que una razón importante de que

esto sea así es que los estudiantes no han otorgado al símbolo de fracción los

significados de los conceptos o ideas que representa y por lo tanto no son capaces de

realizar procesos coherentes, conscientes y lógicos que utilicen dicho símbolo.

Lamentablemente, además, se encontró que algunos estudiantes han perdido el interés

de abstraer su pensamiento mediante cualquier otro tipo de representación, incluso la

verbal. Estas razones constituyen indudablemente obstáculos para razonamiento

proporcional.

Los usos y conexiones que establecen los estudiantes de licenciatura a la faceta parte-

todo de la fracción, se encuentran limitados para desplegar un pensamiento

proporcional flexible. La faceta parte-todo de la fracción es fundamental además dentro

del resto de las facetas identificadas por Kieren (1976,1980; citado en Lamon, 2001);

por ejemplo, se encontró que los estudiantes tienen dificultades al construir un

operador multiplicativo fraccionario por la falta de consolidación de la parte-todo de la

fracción.

5 DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

82

Se presentan deficiencias en la adaptación de los datos para su uso en procesos donde

está implicada la proporcionalidad, debido a que los estudiantes de licenciatura se

encuentran con obstáculos conceptuales al construir operadores fraccionarios. Se

observó que los estudiantes de licenciatura no adaptan los datos que les son

proporcionados explícitamente en el enunciado del problema aunque éstos requieran

pequeños procesos antes de usarse. Ellos muestran además, una atención escasa al

rango de los números con que se representan algunos resultados parciales y finales; y

regularmente ellos no validan la pertinencia de sus respuestas.

Existe un pensamiento variacional incompleto en los estudiantes de licenciatura por la

falta de reconocimiento de factores multiplicativos fraccionarios. Existe fuerte

evidencia de que los estudiantes presentan dificultades en la solución de problemas de

proporcionalidad porque son incapaces de encontrar un factor multiplicativo

fraccionario que transforme un número entero en otro, particularmente cuando

desarrollan relaciones de equivalencia.

No existe una vinculación fuerte entre la representación fraccionaria y decimal de los

números racionales. Los resultados de los estudiantes de licenciatura muestran

deficiencias en el manejo de equivalencias y conversiones entre números fraccionarios

y decimales, el significado de factores decimales y relaciones de orden de números

fraccionarios y decimales; lo anterior dificulta, entre otras cosas, el reconocimiento de

patrones de regularidad multiplicativa, como es el caso de los factores o constantes de

proporcionalidad y por lo tanto su uso para extender relaciones, es casi nulo en

ambas formas: fraccionaria y decimal.

Los estudiantes utilizan el símbolo fraccionario como un medio para organizar los

datos del problema y así facilitar su utilización en el método de la regla de tres, no

para establecer ó reconocer la equivalencia de las razones o tasas que ellos plantean

con la forma de proporciones. Lo anterior concuerda con lo dicho por Chapin y

Canavan (2003), en cuanto a que los estudiantes que no analizan las relaciones entre

símbolos, no reconocen patrones y por eso no usan las relaciones dentro y entre

razones.

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES 5

83

La identificación oportuna de una cantidad base para comparación multiplicativa

constituye una dificultad para razonamiento proporcional en los estudiantes de

licenciatura. Ellos muestran poca flexibilidad para encontrar un punto común de

comparación entre dos cantidades, tanto si ese punto de comparación es numérico

como si es simbólico. La idea de la cantidad base o unidad de medida es considerada

un elemento clave para la formación de razones significativas en la literatura

especializada. Un análisis profundo de la faceta medida, del uso y significado de la

fracción en las respuestas de los estudiantes de licenciatura, reveló que esta faceta se

encuentra muy condicionada por el contexto de los problemas y tipo de números en

juego; así mismo, reveló que cuando la medida buscada se encuentra implícita en el

reconocimiento de las partes de un todo, la búsqueda es igualmente complicada para

ellos.

Los estudiantes de licenciatura no tienen el hábito de revisar sus construcciones, de

buscar información que no le es dada explícitamente, de validar sus resultados, de

crear nuevas estrategias de solución o buscar otras alternativas cuando no recuerdan

métodos conocidos.

Por las conclusiones previas, se ratifica la hipótesis general de esta investigación, es

decir, que uno de los principales obstáculos para el desarrollo del pensamiento

proporcional de los estudiantes es la falta de coherencia, articulación y sentido de las

distintas significaciones de la fracción, así como de las relaciones que guardan entre

sí.

5.3. Implicaciones Didácticas

Este trabajo puede apoyar a que los profesores de diversos niveles educativos

comprendan cómo piensan los estudiantes cuando abordan problemas de

proporcionalidad, además de que identifiquen las dificultades más comunes a las que

se enfrentan los estudiantes al resolver este tipo de problemas. El conocimiento

anterior puede ser de utilidad durante el diseño de acciones didácticas encaminadas a

solventar esas dificultades.

5 DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

84

Por otra parte, los resultados de este trabajo ofrecen la oportunidad de reflexionar

acerca de las prácticas docentes que no promueven el desarrollo de un aprendizaje con

entendimiento, y las razones por las cuales los estudiantes mantienen dificultades de

comprensión del concepto hasta el nivel educativo superior. Se conjetura que la

estructura del sistema educativo nacional no cuenta con elementos para evaluar el

desarrollo intelectual y cognitivo de los estudiantes en una forma efectiva. Asimismo,

que no existe continuidad y articulación entre los diferentes aprendizajes a lo largo de

los diferentes grados y niveles educativos.

Las conclusiones obtenidas en esta investigación pueden constituirse en el punto de

partida para diseñar y poner en práctica secuencias didácticas, que permitan a los

estudiantes adquirir una comprensión conceptual sólida de la proporcionalidad

mediante la inclusión de problemas, los cuales tomen sentido a partir del manejo de

las diferentes significaciones de la fracción; considerando este medio, la fracción, el

camino por el cual los estudiantes construyen gradualmente definiciones formales

para otros conocimientos, incluyendo la proporcionalidad.

5.4. Limitaciones

Una de las limitaciones de esta investigación es que la recolección de datos se basó

exclusivamente en pruebas escritas y aunque este recurso fue apropiado para

sustentar las conclusiones de este trabajo, no se contó con información suficiente para

verificar algunas conjeturas respecto de la actividad cognitiva que desarrollaron los

estudiantes al resolver los problemas. En un trabajo posterior se propone recolectar

información complementaria a la proporcionada por las pruebas escritas, por ejemplo,

mediante entrevistas no estructuradas o semi-estructuradas con los estudiantes.

Sobre los problemas que constituyeron el instrumento de recolección de datos, en esta

fase de la investigación se consideraron únicamente problemas de proporcionalidad

directa, sin embargo el instrumento podría extenderse para incluir problemas de

proporcionalidad inversa; los cuales no fueron considerados en esta investigación, con

base en algunas recomendaciones de investigaciones previas, y segundo, por algunas

limitaciones durante el proceso de implementación, debidas principalmente a la

disposición de los estudiantes para resolver los problemas. Sobre el tipo de

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES 5

85

representación para enunciar los problemas del instrumento, es deseable incluir

problemas gráficos o pictóricos que motiven la implementación de diversos tipos de

estrategias y una búsqueda exhaustiva de relaciones.

En una segunda fase de la investigación se propone el diseño e implementación de

secuencias didácticas que permitan obtener mayor cantidad de información, que la

obtenida a partir de las pruebas escritas, acerca de la forma en que los estudiantes

eligen los recursos, representaciones y estrategias para resolver problemas de

proporcionalidad. Se sabe que los factores psíquicos y emocionales que afectan el

desempeño de los estudiantes difieren en función del escenario en que se recolecta la

información; es por eso que los resultados derivados de pruebas escritas y de

actividades de instrucción podrían complementarse.

5.5. Trabajos Futuros

En este apartado se proporcionan algunas pautas que pudieran servir de guía para

profundizar el conocimiento sobre la forma en que los estudiantes dan sentido a la

proporcionalidad y sobre los medios al alcance del profesor para abordar las diferentes

dificultades de aprendizaje de este concepto. En primer lugar, se sugiere realizar

investigación relativa a la reconsideración de las bases del pensamiento comparativo

cualitativo y cuantitativo y las distintas maneras de representarlo; del pensamiento

numérico multiplicativo (propiedades y relaciones de los números enteros y racionales;

comparaciones multiplicativas con ambos tipos de números), del pensamiento

variacional proporcional (manejo de variables, relaciones y funciones lineales con

intercepciones al origen y fuera de él) y una vinculación de lo anterior con los distintos

tipos de representaciones para pensamiento proporcional incluyendo las multifacetas

de la fracción.

Tanto las propuestas didácticas como las tareas de instrucción, deberán enfatizar la

búsqueda consciente de relaciones numéricas comparativas, así como enfatizar la

realización de procesos lógicos deductivos para extender dichas relaciones. Otros

aspectos importantes enfocados al mismo fin, deberán incluir consideraciones sobre

las magnitudes, los contextos y manejo de situaciones.

5 DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

86

Se considera que este trabajo de tesis será útil solamente si los profesores son capaces

de enfrentar a los estudiantes con sus propios obstáculos, puesto que solamente así

serán capaces de vencerlos. Es por eso que se recomienda que los estudiantes

reafirmen su conocimiento proporcional intuitivo que se deriva de la percepción

empírica. Al respecto, valdría la pena dedicar cierto tiempo a analizar recursos visuales

que apoyen la reconstrucción de ideas para estimular el pensamiento multiplicativo

basado en números racionales (ver, por ejemplo, Subramanian, 2008).

Sería útil dedicar tiempo también para trabajo colaborativo o individual en donde se

inicie con la transición del pensamiento proporcional informal que ostenta la mayoría

de los estudiantes de licenciatura al pensamiento denominado formal en la literatura:

sobre todo porque se considera que esta forma de pensamiento es un camino seguro

que puede conducir a niveles de entendimiento y comprensión superiores para manejo

de situaciones más complejas como las que se presentan en los niveles de educación

superior y en el ámbito científico.

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psicológicos. Barcelona, España: Paidós.

Rodríguez, A., y Pérez, J. (2003). La noción de proporcionalidad. Ethos Educativo, 28, 91-

107. México, D.F.

Ruiz, E., y Valdemoros, M. (2006). Vínculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y

cuantitativo: el caso de Paulina. Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa, 9 (002), 299 – 324.

Subramanian, K. (2008). Visual support for proportional reasoning: the double number

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Proceedings of the Joint Meeting of PME 32 and PME-NA XXX of the International

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PME.

Valverde, G., Castro, E. (2009). Actuaciones de maestros en formación en la resolución de

problemas de proporcionalidad directa. En M. J. González, M. T. González, y J.

Murillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIII (pp. 523-532).

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Van Dooren, W., De Bock, D., Evers, M., y Verschaffel, L (2006). Pupils’ over-use of

proportionality on missing-value problems: How numbers may change solutions. En

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(vol. 5, pp. 305-312). Prague: PME.

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Vergnaud. G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des

Mathématiques, 10 (23): 133-170.

Ye, F.P., y Perry, B. (1998). Proportional reasoning and mathematical belief of student

teachers from Singapore and Australia. The Mathematics Educator, 3(2), 38-53.

APÉNDICES

91

APÉNDICE A. Hoja de trabajo de la prueba piloto

Nombre:______________________________________ Fecha:____________________

Instrucciones: Usa las hojas anexas para mostrar cálculos, procedimientos, explicaciones y

resultados. Contesta este cuestionario usando tinta (de preferencia negra).

Recomendaciones: Lee con atención. Haz tu mejor esfuerzo. Comprueba tus respuestas.

Tiempo de duración: 2 horas.

1. BICICLETA

Juan puede manejar su bicicleta recorriendo 8 kilómetros en 2 horas. La razón media de la

distancia recorrida por hora es:

a) 2:8 b) 4:1 c) 8:2 d) 1:4 e) ninguna

2. OJOS

Se tiene que en un salón de clases hay 10 estudiantes que tienen ojos cafés por cada 15 que tienen

ojos negros. ¿Qué fracción de los estudiantes tiene ojos cafés?

3. PLANETAS 1

Saturno es 10 veces más grande que Venus y Venus es ¼ del tamaño de Neptuno. ¿Qué tanto es

más grande Saturno que Neptuno?

4. PLANETAS 2

El planeta Plutón orbita al Sol en 248 años terrestres mientras que a Neptuno le toma 164 años.

¿Cuál es la fracción más simple (que involucra solamente los números 1, 2, 3 o 4 ya sea en el

numerador o el denominador de la fracción) que aproxime la razón del periodo de Neptuno al de

Plutón?

5. EDADES

a) Las edades de Raúl, Juan y Diego están en una proporción o razón de 2:3:4. Si sumo sus

edades el resultado es de 81 años, ¿qué edad tiene Juan?

b) Propón un ejemplo adicional de las edades de 3 personas que estén en la proporción 2:3:4.

APÉNDICES

APÉNDICES

92

6. FRIJOL

En el estado de Veracruz, el costo de producción del frijol es de $6.50 y el precio máximo a la

venta es de $26.00. ¿Cuál es el incremento máximo en porcentaje que sufre el frijol desde que se

produce hasta que se vende?

7. BARDA

El primer día Juan pintó la mitad de la barda de su casa; el segundo día pintó la tercera parte de lo

que faltaba y el tercer día pintó la cuarta parte de lo que faltaba. ¿Qué parte del total de la barda

le falta por pintar?

8. INSTALACIÓN

El maestro Luis hace una instalación sanitaria en 10 días. Su hijo Raúl hace el mismo trabajo en

15 días. ¿Cuántos días se demorarían en hacer la misma instalación trabajando juntos?

9. IMPRESIÓN

Un estudiante necesita imprimir un documento que consta de 60 hojas con imágenes a color. En

cualquier lugar de su ciudad cobran $5.00 por hoja impresa; sin embargo, le hacen distintos

descuentos.

Opción 1: Le hacen un descuento del 15% por cada 20 hojas que imprima.

Opción 2: Le imprimen 1 hoja gratis por cada 5.

Dile al estudiante cuántas hojas gratis le dan en cada opción, qué opción le conviene y cuánto

pagaría en cada caso. ¿Qué propones para que las opciones sean equivalentes?

10. NARANJAS

Si 8 naranjas producen 3 vasos de jugo y 2 vasos hacen un cuarto de litro. ¿Cuántas naranjas se

deberían exprimir para obtener 3 litros de jugo?

11. FERROCARRIL

Un ferrocarril viaja a una velocidad constante de 0.8 kilómetros por minuto desde un origen A

hasta un destino B que está a 300 kilómetros de distancia de A. Después de 1 hora y 15 minutos

de haber salido de A, le dicen al maquinista que regrese. ¿Cuántos kilómetros había recorrido?,

¿qué parte del camino le faltaba para llegar al destino B?

APÉNDICES

93

12. ELASTICIDAD

Se tiene una pieza de material plástico de 1 mm de longitud y se quiere probar su elasticidad. Se

estira a presión constante durante 17 minutos y se registra el estiramiento de la pieza en

milímetros. A continuación se da la tabla de los registros.

Minutos Estiramiento (mm)

0 0

5 30

7 42

10 60

17 102

Propón una expresión para determinar el estiramiento de la pieza con respecto al tiempo en que

se aplica la presión.

13. CARROS

Un conductor, “A”, manejó su carro un trayecto de 180 kilómetros en 3 horas. Otro conductor,

“B”, manejó su carro un trayecto de 400 kilómetros en 7 horas. ¿Qué conductor manejó más

rápido y por qué?

APÉNDICES

94

APÉNDICE B. Hoja de trabajo del instrumento final

Nombre:______________________________________

Fecha:____________________

Instrucciones: Usa las hojas anexas para mostrar cálculos, procedimientos, explicaciones y

resultados. Contesta este cuestionario usando tinta (de preferencia negra).

Recomendaciones: Lee con atención. Haz tu mejor esfuerzo. Comprueba tus respuestas.

Tiempo de duración: 2 horas.

1. OJOS

Se tiene que en un salón de clases hay 10 estudiantes que tienen ojos cafés por cada 15 que

tienen ojos negros. ¿Qué fracción de los estudiantes tiene ojos cafés?

2. BARDA

El primer día Juan pintó la mitad de la barda de su casa; el segundo día pintó la tercera

parte de lo que faltaba y el tercer día pintó la cuarta parte de lo que faltaba. ¿Qué parte del

total de la barda le falta por pintar?

3. GASOLINA

De un tanque de gasolina averiado se han escapado 2 litros y quedan 38. ¿A qué porcentaje

asciende la pérdida?

4. PASTEL Laura, Aníbal y Julieta se pusieron de acuerdo: al terminar la fiesta dividirían el resto del

pastel en tres partes iguales, una parte para cada uno. Completa la siguiente tabla que

relaciona la fracción del pastel que recibirá cada uno, según la cantidad de pastel que sobró

en la fiesta:

Fracción de

pastel que sobró

en la fiesta

1

2

1

3

1

4

Fracción de

pastel para cada

uno

1

15

1

30

a) Si cada amigo recibió 1

33 del pastel, ¿qué porción del pastel se repartieron?

b) ¿Qué expresión matemática utilizas para calcular la fracción de pastel que sobró en

la fiesta a partir de la fracción de pastel para cada uno?

APÉNDICES

95

5. PLANETAS

Saturno es 10 veces más grande que Venus y Venus es ¼ del tamaño de Neptuno. ¿Qué tanto

es más grande Saturno que Neptuno?

6. EDADES

Las edades de Raúl, Juan y Diego están en una proporción o razón de 2:3:4. Si sumo sus

edades el resultado es de 81 años.

c) ¿Qué edad tiene Juan?

d) Da un ejemplo adicional de las edades de 3 personas que estén en la proporción 2:3:4.

7. DINERO

Un padre reparte dinero en proporción 5:10:13 a sus tres hijos. Al que le toca menos le

corresponden $2,500, ¿cuánto le corresponde a los otros dos?

8. CUERPO

El peso de un cuerpo es de 1.5 kg., su volumen de 0.5 dm3.

a) ¿Cuánto pesan 150 cm3 del mismo cuerpo?

b) ¿Cuánto vale el factor de proporcionalidad de las relaciones y en qué unidades se expresa?

9. COSECHA

Un agricultor hizo un trato con 7 niños: les daría una quinta parte de la cosecha diaria de

naranjas para que la repartieran entre ellos por partes iguales.

a) ¿Qué fracción de la cosecha diaria recibe un niño?

b) ¿Qué porcentaje de la cosecha diaria recibe un niño?

c) Un cierto día se cosecharon 630 naranjas y un niño recibió 18, ¿cuántas naranjas recibiría

en un día que se cosecharon 945 naranjas?

10. EXAMEN

En un curso de matemáticas, 5

16 partes de él deben presentar examen. Los 22 alumnos

restantes ya se sienten de vacaciones. ¿Cuántos alumnos asistieron al curso?

11. INSTALACIÓN

El maestro Luis hace una instalación sanitaria en 10 días. Su hijo Raúl hace el mismo trabajo

en 15 días. ¿Cuántos días se demorarían en hacer la misma instalación trabajando juntos?

APÉNDICES

96

12. COBRE

El hierro pesa 88

100 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos.

¿Cuánto pesa una pieza de hierro del mismo tamaño?

13. NARANJAS

Si 8 naranjas producen 3 vasos de jugo y 2 vasos hacen un cuarto de litro. ¿Cuántas

naranjas se deberían exprimir para obtener 3 litros de jugo?

14. POTRERO

En un plano aparece un potrero con un largo de 7 cm. Y un ancho de 4.8 cm. Este terreno

en la realidad mide 105 m. de largo.

a) ¿Cuál es el ancho del potrero si los datos en el plano y en el terreno son

proporcionales?

b) ¿A qué escala está el plano?

15. FERROCARRIL

Un ferrocarril viaja a una velocidad constante de 0.8 kilómetros por minuto desde un origen

A hasta un destino B que está a 300 kilómetros de distancia de A. Después de 1 hora y 15

minutos de haber salido de A, le dicen al maquinista que regrese.

a) ¿Cuántos kilómetros había recorrido?

b) ¿Qué parte del camino le faltaba para llegar al destino B?

APÉNDICES

97

APÉNDICE C. Resultados cualitativos - cuantitativos de la prueba piloto

Clave Tipo de respuesta

A Acierto

e Error

SC Sin contestar

P R O B L E M A S

Estudiante P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13

Bicicleta Ojos Planetas

1 Planetas

2 Edades Frijol Barda Instalación Impresión Naranjas Ferrocarril Elasticidad Carros

E1 e e e A A e e e e A A A A

E2 A e e e A e e SC e e A SC e

E3 A e A e SC e e e e e A e A

E4 A A e e A e e A e A A A A E5 A e A SC A A A e A e E A A E6 A A e A A A A e e e A A e E7 A e e A SC e e e e e A A e E8 A A A e A e e e e e A A e

E9 A e e A e A A e SC e SC A A

E10 e e e e SC e e SC e A E A A

E11 A e A e A e A A e e A e A E12 A SC e e SC A e SC A e A e A E13 A e e e e e A e e e E A A E14 A A e e SC e e e e e E SC SC E15 e e A e A e e SC e e E SC SC

E16 A A e e e e e e e A E A A

E17 A e e e e e A e e e E e A

E18 A e e e A e e e e A A A A E19 A A e e A e A e e A A A A E20 A SC e e A e e e e A A A A E21 A A e SC A e A e e A A SC A

APÉNDICES

98

P R O B L E M A S

Estudiante P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13

Bicicleta Ojos Planetas

1 Planetas

2 Edades Frijol Barda Instalación Impresión Naranjas Ferrocarril Elasticidad Carros

E22 A e e SC A e A A e A A A A E23 A e e e SC e A e e A SC SC SC E24 A e A SC SC e e e A e A A A E25 A A e e A A A e A A A SC SC

E26 A A SC SC A SC A e SC e A A A

E27 e e e SC A SC A SC A e A SC A

E28 A e SC e e e e SC e A A e A

E29 e e A e A e e e A e SC SC A E30 A SC e SC e e e e e SC SC SC SC E31 A e A e A A e e e A A SC A E32 A e A SC SC SC e e e A A A A E33 A e A e e A e A e A A A A

E34 A e A e e e e e A e E A A

E35 A A e SC SC e A e e A A A A

E36 A e SC SC A e e SC A e e e A E37 A A e e A e e SC e e A e e E38 e e e e A e e e SC A A e A

APÉNDICES

99

APÉNDICE D. Resultados cualitativos del instrumento final

Clave Tipo de respuesta

Ro - Rojo Ilógica, incipiente

Am - Amarillo Elemental

Az - Azul Lógica

Ve - Verde Acertada

SC Sin contestar

P R O B L E M A S

Estudiante P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15

Ojos Barda Gasolina Pastel Planetas Edades Dinero Cuerpo Cosecha Examen Instalación Cobre Naranjas Potrero Ferrocarril

1 Ve Ve Ve Az Ro Ve Ve Am Ve Ve Ro Ve Am Ve Az

2 Ro Ro Ro Ro Ro Ro Am Ro Az Ro Ro Ve Am Az Az

3 Ro Ve Az Az Am Az Ro Am Ve Ve Ro Ro Ve Az Ve

4 Am Ro SC Ro Ro SC SC SC Ro SC SC SC Ve SC Ro

5 Ve Ro Ve Ro Am Ro Am Ro Am Ro Ro SC Am Am Az

6 Am Ro Ve Az Am Az Ve Am Ve Az Ve Ve Ve Ro Az

7 Ro Ro Am Am Ro SC SC Am Am Am SC Ro Ro Am Az

8 Ro Ro SC SC Ro SC SC SC Ro Ro Ro Ro Ve SC SC

9 Ve Ve Ve SC Ve Az Ve Ve Az SC SC SC SC SC SC

10 Ro Ro SC Az Ve SC SC SC Az SC SC SC SC SC SC

11 Ro Ve Az Az Az SC Ve Ro Az SC SC SC SC SC SC

12 SC Ve Ve Am Ro Am SC SC SC SC SC SC SC SC SC

13 Ro Ve Ro Ro SC SC SC SC Am SC SC SC SC SC SC

14 Ve Az SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC

15 Ro Ve Ve Az Ve Am SC Am Am SC SC SC SC SC SC

APÉNDICES

10

0

P R O B L E M A S

Estudiante P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15

Ojos Barda Gasolina Pastel Planetas Edades Dinero Cuerpo Cosecha Examen Instalación Cobre Naranjas Potrero Ferrocarril

16 Ve Am Ve Ro Ro Ve SC SC SC SC SC SC SC SC SC

17 Ro Ro Ro Ro SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC

18 Ve Ro Ve Az Ve Az Ve Ve Az SC SC SC SC SC SC

19 SC Ro Ve Ve Ve Am SC SC SC SC SC SC SC SC SC

20 Ve Ro Ve SC Am SC SC Az Az SC SC SC SC SC SC

21 Ve Ve Ve Am SC SC Ve SC Az SC SC SC SC SC SC

22 Ro Ro Ve Az Ro SC SC SC Ro SC SC SC SC SC SC

23 Ro Ro Ve Az SC Ro SC SC SC SC SC SC SC SC SC

24 Ro Ro Am Am Ro SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC

25 Ro Ve Ve Ve Ve Ve SC SC SC SC SC SC SC SC SC

26 Ro Am Am Am Am Az Ro SC SC SC SC SC SC SC SC

27 Ro Ve Am Ve Am Am Ro Ve Am SC SC SC SC SC SC

28 SC Ro Am Az Ro SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC

29 Am Am Ro Ro Ro Az Ro Ro SC Ro Ro Ve Am SC SC

30 Ve Ro Ve Az Am Az Az Ro Ro Az SC Az Ro SC SC

31 Am Ro Ro Ro Ro Ve Ro Ro Am Ro Ro SC Az SC SC

32 Ve Am Ro SC Ro Ve Ve Ro Az Ro SC SC Ve Az Az

33 Ve Ve Ro Ro Ro Am Ro Ro Am Ro Ro Az Am Ro SC

34 Ro Ro Ve Ro Ro Az Ve SC Am SC Ro Ro Ve Az SC

35 Ro Ro Ve Ve Ro Ro Am SC Az Ro Ro Am Ve Az Az

36 Am Ro Ro Ro Az SC Ro Ro Am Ro Am Ro Az Am Az

37 Am Am Ro Az Ro Ro Am Ro Ro Ro Am SC Ve Am Ro

38 Am Az Ve Ro Ro Ve Ve Am Az Am Am Ro Ve Ro Az

39 Ro Ro Ro Ro Ro Am Ve SC Ve Ro Am SC Az Ro Az

APÉNDICES

10

1

P R O B L E M A S

Estudiante P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15

Ojos Barda Gasolina Pastel Planetas Edades Dinero Cuerpo Cosecha Examen Instalación Cobre Naranjas Potrero Ferrocarril

40 Ro SC Ve SC Ro Az Am Az Az SC Am Ve Ve Ve Az

41 Ve SC Ro Ro Ro SC Ve Ro Az Ro Ro Ro Am Ro Az

42 SC Ro Am Ro Ro Ro Am Ro SC Ro Ro SC Am Ro Az

43 Ve Az Ve Az SC Az Ve SC Am Az SC Ro Az Ro Ro

44 Ve Am Az Az Ve Ve Ve Az Az Az Ro Ro Ve Ro Ro

45 Am Az Ve Sc Ve Am Ve SC Az Am Am SC SC Am SC

46 Ro Ve Ve Az Ve Az Ve Az Az Az SC Az Az Az Ro

47 Ro Ro Ro Sc Ro Am Ro SC Am Ro SC SC Az Az SC

48 Ve Am Ve Az Am Ro Ve Ro Az Ro SC SC Az Ro Ro

49 Ro Az Az Ro Ro SC Az SC Am SC Ro SC Am Az Az

50 Ve Am Ve Am Ro Am Ve Am Az Ro Ro Ve Az Ro Az

51 Ro Ro Ve Am Ro Am Az SC Am Ro Ro Ro Ro Am Az

52 Ro Am Ro Ro Ro Az Am Ro SC Ro Am Ro Am Ro Az

53 Am Ro Ro Ve Ro Az Am SC SC Ro Ro Am Ro Ro SC

54 Ve Ro Ro Ro Ro Am Ve SC Am Ro Ro SC Ro Ro SC

55 Ro Am Ro Ro SC Am Az SC Ro SC Ro SC Ve SC Az

56 Ro Am Ro Az Ro Az Am SC Ro Ro Am Ro Ve Am Az

57 Ve Ro Ro Ro Ro Am Ro Ro Am Ro Ro Am Ro Ro Ro

58 Am Az Ve Az Ro Am Ve Az Am Ro Am Am Ro Ve Az

59 Ve Ve Ve Az Am Az Ve Az Am Az Am Ve Ro Ve Ve

60 Ro Am Ro Ro Ve Ro Az Ro Am Ro Am Az Ve Am Az

61 Ro Az Ve Ro Ro Am Ro SC Az Ro Ro Ro Ro Ro Az

62 Ve Am Ro Ve Ro Az Am SC Ve Ro SC SC SC Az Az

63 Am Am Ve Ro Ro Az Ve Az Ro Ro Am Ro Ro Ro Ro

64 Ro Am Ro Am Ro Az Ve Ro Az SC SC Ve SC Am Ve