Teoria estadistica-2do-parcial

2012

Teoría del 2do Parcial

Folleto de Estadísticas

Autor: Edición y Mejora: Leonardo Hernández Mendoza Kevin Lucas Marcillo Jefferson Cunalata Soledispa Jonathan Vela Fajardo

Variables aleatorias conjuntas continuas: Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con ellas se

asocia una función denominada función de densidad conjunta entre X y Y la misma que

cumple con:

1)

2)

3)

4)

Distribuciones Marginales: Sean X y Y dos variables aleatorias conjuntas continuas con función de

densidad conjunta . La densidad marginal se define como:

Marginal de X

Marginal de Y

X y Y son independientes si y solo si

Valor esperado: Sean X y Y dos variables aleatorias conjuntas continuas con función de densidad

conjunta . El valor esperado de es:

Teorema: Sean n variables aleatorias y m variables aleatorias, si decimos

que

entonces:


Método de acumulada: Si entonces la distribución acumulada de es:

Derivando con respecto a se obtiene

Método de la función generadora de momentos: Si X es una variable aleatoria y su

generadora de momentos, y decimos que entonces:

Si son n variables aleatorias independientes y

entonces la generadora de momentos de Y es:

Si son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con

media y varianza entonces:


Población infinita

Población finita

; se debe multiplicar por el factor de corrección

Estadístico muestral: Una función definida en términos de las varibales aleatorias

que componen una muestra se denomina estadístico muestral si y solo si T no

depende de algún parámetro poblacional.

Estimador muestral: Se llama estimador muestral a un estadístico muestral si la razón para

construir dicha función es estimar un parámetro muestral.

Estimador incesgado: Sea un parámetro poblacional que deseamos estimar utilizando el

estimador muestral , diremos que es un estimador incesgado de si y solo si

Error cuadrático medio:

Si es un estimador incesgado de ( ) entonces se puede concluir que:

Eficiencia de un estimador: Sean y

dos estimadores de un parámetro poblacional , es

más eficiente que si y solo si ECM (

) ECM ( )

Convergencia en distribución: (Vamos a considerar una sucesión de variables aleatorias tales

como representadas sintéticamente como { } donde el subíndice n es un parámetro

entero positivo y deseamos conocer el comportamiento de la sucesión cuando n es grande,

formalmente ). Diremos que la sucesión de variables aleatorias { } cuya sucesión de

distribuciones acumuladas es { } converge en distribución a la variable aleatoria X si y solo si:

Para todo x donde es continua.

Ó


Teorema de continuidad: Sea { } una sucesión de variables aleatorias cuya correspondiente

sucesión de funciones generadoras de momentos es { } suponiendo que { } existe para

un intervalo , entonces si existe una variable aleatoria X con función generadora de

momentos la cual existe para y además entonces

decimos que

.

Teorema del límite central: Sea { } una sucesión de variables aleatorias que son independientes

e idénticamente distribuidas, cuyas funciones generadoras de momentos existen para todo

i en un intervalo que incluye t=0, como consecuencia de lo anterior y

existen y se exige que ambas sean finitas. Defínase también

y

bajo

estas condiciones

. Z es una normal estándar.

Si se desea realizar una estimación con un error máximo admitido de a con b% de

confianza se interpreta como siendo , de esto se obtiene

que

para poblaciones infinitas, para población finita se tiene que:

y

Sean Z y variables aleatorias independientes con distribución normal estándar y Ji- Cuadrado

con grados de libertad respectivamente. Se define la distribución de Student con grados de

libertad como:

Cuando

Sean ,

variables aleatorias independientes cada una con distribución Ji-Cuadrado con

grados de libertad respectivamente, se define la distribución de Fisher con grados de libertad

en el numerador y grados de libertad en el denominador como:


Teorema: Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal

con media y varianza y sean y la media y varianza de la muestra respectivamente, bajo

estas condiciones:

1.

2.

Distribución para diferencias de medias para muestras tomadas de poblaciones independientes

CASO 1: , conocidos;

CASO 2: Muestra tomada de población normal independiente con , desconocidos pero iguales

CASO 3: Muestra tomada de población normal independiente con , desconocidos pero

diferentes

Distribución para razón de varianzas para muestras tomadas de poblaciones independientes

Distribución para la proporción


Distribución para diferencia de medias para muestras tomadas de poblaciones dependientes

(con observaciones pareadas)

Estimación por intervalos de confianza

Estimación por intervalos: Es una estimación de parámetros poblacionales en la que utilizando

una muestra aleatoria se infiere acerca de pero en lugar de un solo punto se

define un conjunto de puntos cuyas cotas superior e inferior vienen dadas en términos de la

información contenida en la muestra.

Intervalos de confianza: lo más común es denominar al intervalo de estimación para

conjuntamente con el valor de su medida de confianza como un intervalo de

confianza para .

Intervalos con de confianza para la MEDIA

CASO 1: bajo condiciones del límite central

CASO 2: Muestra tomada de población normal y desconocido


Intervalo de confianza para la VARIANZA para muestras tomadas de poblaciones normales

Intervalo de confianza para la PROPORCIÓN

Intervalo de confianza para DIFERENCIAS DE MEDIAS para muestras tomadas de POBLACIONES

INDEPENDIENTES

CASO 1: conocidos y


CASO 2: Muestra tomada de población normal independiente con desconocidos e iguales.

CASO 3: Muestra tomada de población normal independiente con desconocidos y diferentes

Intervalo de confianza para DIFERENCIAS DE MEDIAS para muestras tomadas de POBLACIÓN

DEPENDIENTE (CON OBSERVACIONES PAREADAS)


Fundamentos de pruebas de hipótesis

Hipótesis: Es un supuesto o conjetura que se plantea tratando de explicar un proceso o fenómeno.

Hipótesis científica: Es un supuesto respecto al resultado de un experimento y una hipótesis

estadística es un supuesto que se plantea respecto a los parámetros o respecto a la distribución de

probabilidades de una población.

Prueba o ensayo de hipótesis: La idea central de la técnica de inferencia estadística que estamos

denominando prueba o ensayo o hipótesis es decidir en base a la información obtenida de la

muestra aleatoria , cual de 2 hipótesis estadísticas, que no pueden cumplirse simultáneamente

debe ser rechazada a favor de la otra.

Donde , siendo un espacio de parámetros y no es conjunto vacío

además está constituido por al menos 2 elementos.

Hipótesis nula: Se denomina hipótesis nula a una hipótesis estadística que postula que ,

siendo y además debe cumplirse que . La hipótesis nula se denota .

Hipótesis alterna: Es el supuesto que proclama que se denota .

Contraste de hipótesis: La contraposición de la hipótesis nula con la hipótesis alterna la

llamaremos contraste de hipótesis. Bajo las condiciones que se han planteado solo es posible

tomar dos decisiones.

1. es verdadera

2. es verdadera

Región crítica de la prueba: Dado un contraste de hipótesis , para efectos de decidir si la

hipótesis nula debe ser o no rechazada, es necesario particionar al subconjunto A no vacío de

en dos regiones. Una C a la que llamaremos región critica de la prueba definida como:

C( )={( ) debe ser rechazada} y otra que es el complemento de C en A que

llamaremos región de aceptación de la prueba.

Estadístico de prueba: Denotado por T es un estadístico cuya regla de correspondencia permite

decidir si debe ser rechazada o no.

Error tipo I: Dado un contraste de hipótesis se denomina error tipo I al evento en que se rechaza

siendo verdadero.

Error tipo II: Dado un contraste de hipótesis se denomina error tipo II al evento en que no se

rechaza siendo falso.


Probabilidad de error tipo I: Se denota por y es igual a

Probabilidad de error tipo II: Se denota por y es igual a

Potencia de prueba: La función cuya definición es es

definida como la función potencia de la prueba.

Valor P: El valor P o de la prueba es un estadístico de prueba que es igual al más pequeño nivel de

significancia a partir del cual un investigador que está utilizando el estadístico de prueba T

rechaza basado en los datos de la muestra observada X.

Valor p 0.05 0.5<Valor p<0.1 Valor p 0.1

Se elige la opción más cercana. Pero lo ideal sería tomar otra muestra.

Pruebas de hipótesis para la MEDIA

CASO 1: conocido; (bajo el teorema de limite central)

Con ( ) % de confianza rechace a favor de si:

Valor p=

Valor p=

Valor p=


CASO 2: desconocido; Muestra tomada de población normal.


Valor p=

Valor p=

Valor p=

Prueba de hipótesis para la VARIANZA


Valor p=

Valor p=

Valor p=

Prueba de hipótesis para DIFERENCIAS DE MEDIAS para muestras tomadas de POBLACIÓN

INDEPENDIENTE


CASO 1: , conocidos;


Valor p=

Valor p=

Valor p=

CASO 2 : , desconocidos pero iguales. Muestra tomada de población normal


Valor p=

Valor p=

Valor p=

CASO 3: , desconocidos y diferentes. Muestra tomada de población normal


Valor p=

Valor p=

Valor p=


Prueba de hipótesis para RAZÓN DE VARIANZAS


Valor p=

Valor p=

Valor p=

Prueba de hipótesis para DIFERENCIA DE MEDIA tomada de población DEPENDIENTE CON

OBSERVACIONES PAREADAS


Valor p=

Valor p=

Valor p=

Prueba de hipótesis para la PROPORCIÓN


Valor p=

Valor p=

Valor p=


Bondad de ajuste

1. Método de Kolmogorov-Smirnov


;

2. Método de la Ji-Cuadrado

Clases Oi Ei

=

Oi: Número de observaciones en la clase i.

Ei: Número de observaciones esperadas en la clase i si es verdadero


K: Número de clases.

P: Número de parámetros que se estiman


Tablas de contingencia o pruebas de independencia

X\Y Nivel 1 Nivel 2 Nivel c

Nivel 1

=

Nivel 2

=

Nivel r

=

= =

=

n

; ; Por lo tanto se necesitan mínimo 20 observaciones

: Número de observaciones en el i-esimo nivel de X y j-esimo nivel de Y

: Número de observaciones esperadas en el el i-esimo nivel de X y j-esimo nivel de Y si es

verdadero.



Desigualdad de Markov: Sea una función que toma valores no negativos y que esta

definida en términos de la variable aleatoria X cuya densidad o dist. De probabilidades es

. Si el existe entonces para cualquier constante positiva se cumple que:

Teorema de Chebyshev: Sea X una variable aleatoria con media y varianza ambas finitas. Sea

k > 1 entonces:

ó

Normal Bivariada

Si entonces:


Regresión lineal

Suma cuadrática del error

Regresión lineal simple

Datos para para la función

es constante

;

; para minimizar el error

;

Datos para el estimador de la funcion

; son estimadores propios de


Ecuaciones normales:

son estimadores incesgados de (Demuestre).

=

+

Suma cuadrática total

Suma cuadrática de regresión

Suma cuadrática del error

Coeficiente de correlación del modelo:

Poder de explicación del modelo: (100%)

Solamente en regresión lineal simple


Regresión lineal múltiple


Tabla Anova

Fuente de Variación

Grados de libertad

Sumas cuadráticas Medias

Cuadráticas F

Regresión p-1 SCR MCR=SCR/p-1

Error n-p SCE MCE=SCE/n-p

Total n-1 SCT

p: # de estimadores (en el caso matricial es el # de empleados para formar la regresion)


Valor p=


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