Capítulo 1

Matrices Semejantes yDiagonalización

1.1 Definiciones

Definición 1.1 (Semejanza). Sean A y B dos matrices de orden n× n con elementossobre el campo F. Si existe una matriz P de orden n× n invertible tal que

B = P−1AP

decimos que A y B son semejantes sobre el campo F

Daremos a continuación algunos ejemplos de matrices semejantes

Ejemplo 1.1. Sea A,B, P definidos por

A =

(2 1

0 −1

)B =

(2 2

0 −1

)

P =

(1 1

0 −1

)

se puede verificar que que

B = P−1AP

por lo que tenemos que A y B son semejantes.

1

Ejemplo 1.2. Sea A,B, P definidos por

A =

(2 i

0 −1

)B =

(2 3− i0 −1

)

P =

(1 1

0 −1

)

se puede verificar que que

B = P−1AP

por lo que A y B son semejantes en el campo de los complejos

1.1.1 Matrices Semejantes a una Matriz Diagonal

Uno de los hechos que mas centran nuestra atención son las matrices semejantes a una

matriz diagonal, en particular cuando la matriz diagonal esta formado por los valores

propios de la otra matriz.

Ejemplo 1.3. Sea A la matriz definida por

A =

(2√2√

2 1

)

tiene como valores y vectores propios correspondientes

λ1 = 0→ v1 =

(−√2

2

)

λ2 = 3→ v2 =

( √2

1

)

si definimos la matriz

D =

(0 0

0 3

)y P =

(−√2√2

2 1

)

entonces se cumple que

D = P−1AP

lo cuál es facilmente verificable.

2

Ejemplo 1.4. Sea A definido por

A =

3 2 4

2 0 2

4 2 3

el cuál tiene como valores y vectores propios correspondientes

λ1 = λ2 = −1 (m.a = 2)→ {v1, v2} =

−10

1

,

−120

λ3 = 8→ v3 =

2

1

2

entonces si definimos

P =

−1 −1 2

0 2 1

1 0 2

y D =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 8

entonces puede uster verificar que

D = P−1AP

Observación 1.1. La matriz P es invertible y esta formado por los vectores propios

de A colocados en columnas.

Observación 1.2. El número de vectores propios de A es igual al orden de la matrizA

Esto nos conduce a una nueva definición, la de matrices diagonalizables

Definición 1.2 (Matriz Diagonalizable). Una matriz cuadrada A es diagonalizable siexiste una matriz diagonal D del mismo orden tal que A es semejante a D

Como hemos visto en los ejemplos previos, si la matriz A tiene el número de vectores

propios igual a su orden entonces es diagonalizable, lo cual es enunciado por el teorema

siguiente

Teorema 1.1. Una matriz A de orden n es diagonalizable si y solo si A tiene n vectorespropios linealmente independientes

Observación 1.3. Los valores propios pueden ser repetidos

3

Observación 1.4. Si todos los valores propios son diferentes es evidente que A es

diagonalizable.

Otra forma de ver que una matriz es diagonalizable es conociendo sus multiplici-

dades aritmeticas y geométricas.

Teorema 1.2. Una matriz cuadrada A es diagonalizable si y solo si la multiplicidadaritmetica y geométrica de cada valor propio son iguales.

Esto es, si A es una matriz cuadrada de orden n con valores propios λ1, λ2, · · · , λm,tal que

m.a (λ1) = r1 = m.g (λ1)

m.a (λ2) = r2 = m.g (λ2)...

m.a (λm) = rm = m.g (λm)

entonces A es diagonalizable

Ahora enunciaremos un teorema que relaciona los polinomios carateristicos de dos

matrices semejantes

Teorema 1.3. Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracteristico

Ejemplo 1.5. las matrices A y B definidos por

A =

(2 −1−1 1

)B =

(1 1

1 2

)

son semejantes pues para

P =

(1 1

0 −1

)se tiene que

B = P−1AP

si calculamos su polinomio caracteristico de A y de B tenemos

pA (λ) = λ2 − 3λ+ 1pB (λ) = λ2 − 3λ+ 1

es decir tienen el mismo polinomio caracteristicos y por ende los mismos valores pro-

pios.

Observación 1.5. Lo contrario no siempre es cierto, es decir si dos matrices tienen

4

el mismo polinomio carateristicos no siempre son semejantes. Veamos la matriz

A =

(4 1

0 4

)

tiene como polinomio caracteristico

pA (λ) = λ2 − 8λ+ 16

y la matriz

B =

(4 0

0 4

)tiene como polinomio caracteristico

pB (λ) = λ2 − 8λ+ 16

es decir A y B tienen el mismo polinomio caracteristico y por lo mismo los mismos

valores propios, sin embargo no son semejantes pues la matriz A no es diagonalizable,

ya que un cálculo de sus valores y vectores propios nos da los siguientes resultados.

Los valores y vectores propios de A son

λ1 = λ2 = 4→ v =

{(1

0

)}m.a(4) = 2 y m.g (4) = 1

no es diagonalizable, sin embargo la matriz B tiene como valores y vectores propios

λ1 = λ2 = 4→ {v1, v2} ={(

1

0

),

(0

1

)}

es decir B es diagonalizable. Esto es si dos matrices tienen el mismo polinomio carac-

teristico pero uno es diagonalizable y el otro no lo es, entonces estas matrices no son

semejantes.

Una forma de probar que las matrices A y B definidas previamente no son seme-

jantes, es suponiendo que si lo es, y encontrar una contradicción.

Si suponemos que si lo es, es decir existe una matriz invertible

P =

(a b

c d

)talque B = P−1AP

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esto es

PB = AP(a b

c d

)(4 0

0 4

)=

(4 1

0 4

)(a b

c d

)(4a 4b

4c 4d

)=

(4a+ c 4b+ d

4c 4d

)

por igualdad de matrices se tiene que

c = 0 y d = 0

es decir P es no-invertible, lo cuál contradice el hecho de que P es invertible, por tanto

A y B no son semejantes.

1.2 Matrices Simétricas y Diagonalización Ortogo-

nal

En esta sección veremos algunas propiedades que tienen las matrices simétricas reales.

La primera de ellas es que toda matriz simétrica real tiene valores propios reales.

Teorema 1.4. Sea A una matriz simétrica real de orden n. Entonces A tiene solo

valores propios reales

Sabemos que vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son lin-

ealmente independientes, en las matrices simétricas además de ser linealmente inde-

pendientes son ortogonales.

Teorema 1.5. Sea A una matriz simétrica real. Si u, v son vectores propios corre-

spondientes a valores propios diferentes λ1 y λ2. Entonces los vectores propios u, v son

ortogonales.

Ejemplo 1.6. Sea A la matriz simetrica definida por

A =

5 4 2

4 5 2

2 2 2

Calculamos su polinomio caracteristico

pA (λ) = λ3 − 12λ2 + 21λ− 10 = (λ− 10) (λ− 1)2

6

determinando sus vectores propios tenemos

λ = 1 (m.a = 2)→ λ

u = −11

0

, v =

−102

λ = 10 (m.a = 1)→

w = 2

2

1

como podemos notar

u · w = 0 y v · w = 0

esto es vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son ortogonales.

Observación 1.6. Notar que los vectores u, v correspondientes al mismo valor propioson linealmente independientes, pero no son ortogonales.

Estos dos teoremas dan lugar al siguiente teorema fundamental en el algebra lineal

Teorema 1.6. Sea A una matriz simetrica real. Entonces existe una matriz ortogonalP talque D = P TAP es una matriz diagonal.

Ejemplo 1.7. Sea

A =

(2 −2−2 5

)entonces calculando sus valores y vectores propios tenemos

λ1 = 1→ v1 =

(2

1

)

λ2 = 6→ v2 =

(−12

)

entonces si formamos P,

P =

(2 −11 2

)→ P TAP =

(5 0

0 30

)

entonces tenemos que es semejante a una matriz diagonal, si embargo si queremos que

la matriz diagonal este formada por los valores propios de A, bastara con normalizar

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los vectores propios, esto es

u1 =v1‖v1‖

=1√5

(2

1

)

u2 =v2‖v2‖

=1√5

(−12

)

entonces formando P,

P =

(2√5−1√5

1√5

2√5

)→ P TAP =

(1 0

0 6

)

como vemos la matriz diagonal coincide con los valores propios de A, es más

P TP =

(1 0

0 1

)

Ejemplo 1.8. ea A la matriz simetrica definida por

A =

5 4 2

4 5 2

2 2 2

con valores y vectores propios dados por

λ = 1 (m.a = 2)→ λ

u = −11

0

, v =

−102

λ = 10 (m.a = 1)→

w = 2

2

1

claramente u, v no son ortogonales, podemos ortogonalizar y normalizarlos usando el

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proceso de Gram-Schdmidt

u1 =u

‖u‖ =1√2

−110

=

−12

√2

12

√2

0

v2 = v − 〈v, u1〉u1 =

−102

− 1√2

1√2

−110

v2 =

−12

−12

2

→ u2 =v2‖v2‖

=

−16

√2

−16

√2

23

√2

Ahora que se aplico el proceso de Gram-Schmidt al espacio propio correspondiente al

valor propio λ = 1, hacemos lo mismo con el espacio propio correspondiente al valor

propio λ = 10, es suficiente tomarle la norma

u3 =w

‖w‖ =1

3

2

2

1

=

232313

entonces formamos la matriz P

P =

−12

√2 −1

6

√2 2

312

√2 −1

6

√2 2

3

0 23

√2 1

3

→ P TAP =

1 0 0

0 1 0

0 0 10

Esto nos lleva a presentar el algoritmo siguiente para obtener la matriz P que

diagonaliza ortogonalmente a la matriz A

Algoritmo 1. 1. Encontrar una base para cada espacio propio de A

2. Ortonormalizar cada base utilizando el proceso de Gram-Schdmidt

3. Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores ortonormalizados en el paso

anterior.

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