Teoría del interés. Métodos cuantitativos para finanzas Tomo I. Eduardo Court

Teoría del interésMétodos cuantitativos para finanzas

Tomo I

EDUARDO COURT M.PROFESOR DE CENTRUM CATÓLICA LIMA-PERÚ

ERICK RENGIFO M.PROFESOR DE FORDHAM UNIVERSITY NY-USA

ENRIQUE ZABOS P.PROFESOR DE UNIVERSIDAD NACIONAL DE CUYO-ARGENTINA

Revisión técnica

RICARDO CRISTHIAN MORALES PELAGIO

FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Teoría del interésMétodos cuantitativos para finanzasTomo I

Teoría del interésMétodos cuantitativos para fi nanzas Tomo IEduardo Court M., Erick Rengifo M. y Enrique Zabos P.

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S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.

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Impreso en Perú

Court, Eduardo

Teoría del interés : métodos cuantitativos para fi nanzas

Eduardo Court ; Erick M. Rengifo ; Enrique Zabos.

1a ed. - Buenos Aires

Cengage Learning Argentina, 2013.

552 p.; 19 × 24.5 cm

ISBN 978-987-1486-99-1

1. Matemática Financiera. 2. Finanzas.

I. Rengifo, Erick M. II. Zabos, Enrique III. Título

CDD 332

Presidente de Cengage LearningLatinoaméricaFernando Valenzuela Migoya

Director editorial, de producción y de plataformas digitales para LatinoaméricaRicardo H. Rodríguez

Gerente de procesos para LatinoaméricaClaudia Islas Licona

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Gerente de proyectos especialesLuciana Rabuff etti

EditoresJavier Reyes Martínez

Gloria Luz Olguín Sarmiento

Diseño de portadaGerardo Larios García

Imagen de portadaDreamstime

Composición tipográfi caBaktun 13 Comunicación

Gerardo Larios García

Beatriz Mota Ramírez

ContenidoINTRODUCCIÓN xvii

CAPÍTULO I. APROXIMACIÓN A LA TEORÍA DEL INTERÉS MEDIANTE FUNCIONES 1

1.1. EL INTERÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. LA CAPITALIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. EL DESCUENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. FUNCIONES DE CANTIDAD Y ACUMULACIÓN 231.4.1. La función cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2. La función de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5. FUNCIONES DE ACUMULACIÓN LINEAL: EL INTERÉS SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5.1. Funciones de acumulación lineal y su relación

con el interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.5.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.6. CONVENCIONES DE FECHA BAJO INTERÉS SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.1. El método real/real: interés simple exacto . . . . 511.6.2. El método 30/360: interés simple ordinario . . 521.6.3. El método real/360: regla del banquero . . . . . 541.6.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.7. FUNCIONES DE ACUMULACIÓN EXPONENCIAL: INTERÉS COMPUESTO . . . . . . . . 581.7.1. Postulados sobre la relación entre el interés

simple y el compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Contenidox

1.7.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.8. TASA DE INTERÉS EFECTIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.8.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.9. VALOR PRESENTE Y FUNCIONES DE DESCUENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.9.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.10. TASA DE DESCUENTO EFECTIVA . . . . . . . . . . . . . . 851.10.1. Teorema sobre descuento compuesto . . . . . . . 901.10.2. Primer teorema sobre el descuento simple . . . 941.10.3. Prueba del teorema de descuento compuesto . 951.10.4. Segundo teorema sobre el descuento simple . . 981.10.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.11. TASAS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO NOMINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.11.1. Relación entre las tasas efectiva y nominal . . . 1031.11.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1.12. TASA DE INTERÉS CONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121.12.1. Definición de interés continuo . . . . . . . . . . . . . 1161.12.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1.13. TASAS DE INTERÉS VARIABLES EN EL TIEMPO . 1301.13.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

1.14. ECUACIONES DE VALOR Y DIAGRAMAS DE TIEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351.14.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351.14.2. Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361.14.3. Diagrama de tiempo-valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.14.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1.15. CÁLCULO DE UNA TASA DE INTERÉS DESCONOCIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411.15.1. El método directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411.15.2. El método analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421.15.3. Interpolación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441.15.4. Métodos de iteraciones sucesivas . . . . . . . . . . . . 146

1.15.4.1. El método de bisección . . . . . . . . . . . . . 1461.15.4.2. El método de Newton-Raphson . . . . . 148


1.16. CÁLCULO DEL TIEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501.16.1. La regla del 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1521.16.2. El método de tiempo equivalente . . . . . . . . . . . 1551.16.3. Teorema sobre tiempo equivalente . . . . . . . . . . 1581.16.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Contenido xi

1.17. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . 1601.17.1. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

CAPÍTULO 2. LOS FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA ANUALIDAD 173

2.1. ANUALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1772.1.1. Clasificación de las anualidades . . . . . . . . . . . . . 1772.1.2. Valores presente y acumulado

de una anualidad inmediata . . . . . . . . . . . . . . . . 1772.1.3. Valor acumulado de una anualidad inmediata 1812.1.4. Teorema de la anualidad inmediata . . . . . . . . . 1872.1.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

2.2. ANUALIDAD DE PAGO INMEDIATO . . . . . . . . . . . . 1932.2.1. Cálculo del valor presente de la anualidad

de pago inmediato en el tiempo 0 ( an�� ) . . . . . . 194

2.2.2. Cálculo del valor acumulado de una anualidad de pago inmediato al final de n periodos ( s

n�� ) 197

2.2.3. Teoremas sobre an�� y s

n�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2.2.4. Teorema de la anualidad de pago inmediato . . 2002.2.5. Primer teorema que relaciona la anualidad

inmediata con la anualidad de pago inmediato 2032.2.6. Segundo teorema que relaciona la anualidad

inmediata con la anualidad de pago inmediato 2062.2.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2.3. ANUALIDAD DIFERIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.3.1. Cálculo del valor presente de una anualidad

inmediata con una tasa de interés periódica i y (m + 1) periodos antes de la primera fecha de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.3.2. Cálculo del valor acumulado de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i, m periodos después de la última fecha de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

2.3.3. Valores actuales entre la primera y la última fechas de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216


2.4. ANUALIDADES CON PAGOS INFINITOS . . . . . . . . 2222.4.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

2.5. NÚMERO DE PAGOS DE UNA ANUALIDAD . . . . . 2312.5.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

2.6. TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD . . . . . . . 2392.6.1. Técnicas algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Contenidoxii

2.6.2. Método de la interpolación lineal . . . . . . . . . . . 2422.6.3. Método de iteración de Newton–Raphson . . . 2452.6.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

2..7 INTERÉS VARIABLE DE UNA ANUALIDAD . . . . . 2502.7.1. Cálculo del valor acumulado de una anualidad

de pago inmediato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512.7.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

2.8. ANUALIDADES DE DIFERENTES FRECUENCIAS CON INTERÉS CAPITALIZABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . 2572.8.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

2.9. ANÁLISIS DE ANUALIDADES DE MAYOR FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN A LAS FRECUENCIAS DE PAGO Y QUE LA TASA DE INTERÉS ES CONVERTIBLE . . . . . . . . . . . 2642.9.1. Caso de una anualidad inmediata . . . . . . . . . . . 2642.9.2. El caso de una anualidad de pago inmediato . 2672.9.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

2.10. ANÁLISIS DE LAS ANUALIDADES QUE SE PAGAN CON UNA FRECUENCIA MAYOR AL CASO EN QUE EL INTERÉS SEA CAPITALIZABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2792.10.1. Teorema sobre anualidades que se pagan

con más frecuencia que el caso en que el interés es capitalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288


2.11. ANUALIDADES CONTINUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2942.11.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

2.12. ANUALIDAD INMEDIATA VARIABLE . . . . . . . . . . . 3012.12.1. Pagos que varían en progresión aritmética . . . . 3012.12.2. Caso especial 1: Anualidad creciente . . . . . . . . 3022.12.3. Caso especial 2: Anualidad inmediata

decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3062.12.4. Perpetuidades inmediatas variables . . . . . . . . . 3092.12.5. Pagos que varían en progresión geométrica . . 3112.12.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

2.13. ANUALIDAD DE PAGO INMEDIATO VARIABLE . 3142.13.1. Anualidad de pago inmediato creciente. . . . . . 3142.13.2. Anualidad de pago inmediato decreciente . . . 3172.13.3. Perpetuidad de pago inmediato con pagos

que forman una progresión aritmética(P > 0 y Q > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

2.13.4. Pagos que varían en progresión geométrica . . . 3212.13.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Contenido xiii

2.14. ANUALIDADES VARIABLES CON PAGOS A UNA FRECUENCIA DIFERENTE EN RELACIÓN CON EL CASO EN QUE EL INTERÉS ES CONVERTIBLE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3262.14.1. Anualidades variables que se pagan

con menos frecuencia en relación con el caso en que el interés es convertible . . . . . . . . . . . . . . 326

2.14.2. Anualidades variables que se suceden al inicio de cada intervalo de k periodos de conversión de intereses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328


2.15. ANUALIDADES VARIABLES QUE SE PAGAN CON MÁS FRECUENCIA EN RELACIÓN CON EL CASO EN QUE EL INTERÉS ES CONVERTIBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3302.15.1. Anualidades que se pagan m-ésimamente . . . . 3302.15.2. Anualidades que se pagan por m-ésima

vez creciente por n-ésima vez . . . . . . . . . . . . . . . 3342.15.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

2.16. ANUALIDADES VARIABLES CONTINUAS . . . . . . . 3412.16.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

2.17. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . 348

CAPÍTULO 3. TASA DE RETORNO DE UNA INVERSIÓN 373

3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

3.2. EL FLUJO DE EFECTIVO DESCONTADO . . . . . . . . 3763.2.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

3.3. UNICIDAD DE LA TASA INTERNA DE RETORNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3853.3.1. Teorema sobre la tasa interna

de retorno única. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3883.3.2. Prueba del teorema sobre la tasa interna

de retorno única. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3903.3.3. Teorema de la unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.3.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

3.4. INTERÉS REINVERTIDO A UNA TASA DIFERENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3943.4.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

3.5. CÁLCULO DE INTERESES DE UN FONDO DE INVERSIÓN: TASA DE INTERÉS PONDERADA POR UNIDAD MONETARIA . . . . . . 4003.5.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Contenidoxiv

3.6. MEDICIÓN DE INTERESES DE UN FONDO: TASA DE INTERÉS PONDERADA POR TIEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4093.6.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

3.7. ASIGNACIÓN DE LOS INGRESOS DE INVERSIÓN: LOS MÉTODOS DE CARTERA Y DE INVERSIONES . . . . . . . . . . . . . . 4153.7.1. El método de cartera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4163.7.2. El método de inversión por año (IYM) . . . . . . . 4173.7.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

3.8. TASAS DE RETORNO EN EL PRESUPUESTO DE CAPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4233.8.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

3.9. OTROS CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PRESUPUESTO DE CAPITAL . . . . . . . . . . . . . . . 4273.9.1. Periodo de recuperación de la inversión . . . . . . 4273.9.2. Periodo de recuperación descontado . . . . . . . . 4303.9.3. Índice de rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4313.9.4. Relación beneficio–costo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4343.9.5. Método del valor anual equivalente . . . . . . . . . 4363.9.6. Tasa interna de retorno modificada . . . . . . . . . 4383.9.7. Proyectos mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4393.9.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

3.10. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . 4423.10.1. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

CAPÍTULO 4. METODOLOGÍAS DE REPAGO DE PRÉSTAMOS 451

4.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

4.2. SALDO DEL PRÉSTAMO UTILIZANDO LOS MÉTODOS PROSPECTIVO Y RETROSPECTIVO . . 4534.2.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

4.3. CRONOGRAMA DE AMORTIZACIÓN . . . . . . . . . . 4624.3.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

4.4. MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN . . . 4684.4.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

4.5. AMORTIZACIÓN CON DIFERENTES PLAZOS DE PAGO DE INTERESES Y PERIODOS DE CONVERSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4804.5.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

4.6. AMORTIZACIÓN CON DIFERENTES SERIES DE PAGOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4864.6.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Contenido xv

4.7. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN FRANCÉS . . . . . . . 4924.7.1. Cálculo de la cuota periódica . . . . . . . . . . . . . . . 4924.7.2. Cálculo del valor de la amortización en

un periodo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4974.7.3. Cálculo de los intereses

de un determinado periodo t . . . . . . . . . . . . . . . 5004.7.4. Cálculo de la deuda amortizada . . . . . . . . . . . . . 5014.7.5. Cálculo de la deuda pendiente

de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5024.7.6. Cálculo del saldo de la deuda si se efectúa

un pago anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5054.7.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

4.8. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN ALEMÁN. . . . . . . . 5094.8.1. Cálculo de la cuota periódica . . . . . . . . . . . . . . . 5094.8.2. Cálculo de los intereses de un determinado

periodo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.8.3. Cálculo del valor de la anualidad R

de un determinado periodo t . . . . . . . . . . . . . . . 5134.8.4. Variación de la cuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5144.8.5. Cálculo de la deuda amortizada . . . . . . . . . . . . . 5164.8.6. Cálculo de la deuda pendiente

de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5174.8.7. Cálculo del saldo de la deuda si se efectúa

un pago anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5184.8.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

4.9. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . 521

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

Aproximación a la teoría del interés mediante funciones

Contenido

1.1. EL INTERÉS1.1.1. Problemas propuestos

1.2. LA CAPITALIZACIÓN1.2.1. Problemas propuestos

1.3. EL DESCUENTO1.3.1. Problemas propuestos

1.4. FUNCIONES DE CANTIDAD Y ACUMULACIÓN 1.4.1. La función de cantidad

1C A P Í T U L O

1.4.2. La función de acumulación 1.4.3. Problemas propuestos

1.5. FUNCIONES DE ACUMULACIÓN LINEAL: INTERÉS SIMPLE1.5.1. Funciones de acumulación lineal y su relación con el

interés compuesto1.5.2. Problemas propuestos

1.6. CONVENCIONES DE FECHA BAJO INTERÉS SIMPLE1.6.1. El método real/real: interés simple exacto1.6.2. El método 30/360: interés simple ordinario1.6.3. El método real/360: regla del banquero1.6.4. Problemas propuestos

1.7. FUNCIONES DE ACUMULACIÓN EXPONENCIAL: INTERÉS COMPUESTO1.7.1. Postulados sobre la relación entre el interés simple y

el compuesto1.7.2. Problemas propuestos

1.8. TASA DE INTERÉS EFECTIVA1.8.1. Problemas propuestos

1.9. VALOR PRESENTE Y FUNCIONES DE DESCUENTO1.9.1. Problemas propuestos

1.10. TASA DE DESCUENTO EFECTIVA1.10.1. Teorema sobre descuento compuesto1.10.2. Primer teorema sobre descuento simple1.10.3. Prueba del teorema de descuento compuesto1.10.4. Segundo teorema sobre descuento simple1.10.5. Problemas propuestos

1.11. TASAS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO NOMINALES1.11.1. Relación entre las tasas efectiva y nominal1.11.2. Problemas propuestos

1.12. TASA DE INTERÉS CONTINUA1.12.1. Definición de interés continuo1.12.2. Problemas propuestos

1.13. TASAS DE INTERÉS VARIABLES EN EL TIEMPO1.13.1. Problemas propuestos

1.14. ECUACIONES DE VALOR Y DIAGRAMAS DE TIEMPO1.14.1. Definición1.14.2. Utilidad

1.14.3. El diagrama de tiempo–valor1.14.4. Problemas propuestos

1.15. CÁLCULO DE UNA TASA DE INTERÉS DESCONOCIDA1.15.1. Método directo1.15.2. Método analítico1.15.3. Interpolación lineal1.15.4. Métodos de iteraciones sucesivas

1.15.4.1. El método de bisección1.15.4.2. El método de Newton–Raphson

1.15.5. Problemas propuestos1.16. CÁLCULO DEL TIEMPO

1.16.1. La regla del 721.16.2. El método de tiempo equivalente1.16.3. Teorema sobre tiempo equivalente1.16.4. Problemas propuestos

1.17. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA1.17.1. Nomenclatura

Cap. 1 Aproximación a la teoría del interés mediante funciones4

El interés1.1

El interés es el costo de utilizar el capital. Sus antecedentes se encuentran en las primeras transacciones que registra la humanidad. En la antigüedad, el interés se pagaba en especies como semillas, que eran devueltas con un adicional después de haber sido usadas en la siembra.

Los agentes económicos, como las familias y las empresas, no prestan dinero de modo gratuito, sino que lo hacen a cambio de algo. Por ejemplo, si una institución financiera presta dinero a una persona o empresa, lo hace a cambio de recibir una renta. Por otro lado, cuando una persona o una empresa presta dinero a una insti-tución financiera, esta última también paga una renta por usarlo por un tiempo determinado. Esta renta se conoce como interés.

El interés es el monto de dinero que cobra un agente excedentario de fondos (prestamista) a un agente deficitario de fondos (prestatario) por el uso del dinero que le otorga por un cierto periodo de tiempo.

Por ejemplo, un prestatario devolverá 1.050 U.M.1 después de un año por un préstamo de 900 U.M. que recibió hoy. El beneficio de 150 U.M. que obtendrá el prestamista es el interés que gana por prestar su dinero.

El stock de dinero que presta el prestamista aumenta con el tiempo, es decir, gana un interés, situación que alude al concepto de valor del dinero en el tiempo.

Cuando se calculan intereses se consideran:

a) El principal (P )

b) El tiempo (t )

c) El interés (I )

d) La tasa de interés (i )

e) El valor acumulado (A)

Cuando el interés se calcula sólo sobre el principal original, se llama interés simple. En este caso, el interés acumulado de periodos previos no se utiliza en los cálculos de periodos posteriores. Por tanto, el valor acumulado A, en el periodo t, se obtiene de la siguiente expresión:

( ) (1 )A t P i t= × + × (1.1)donde A(t) Valor acumulado en t periodos P Principal T Tiempo i Tasa de interés

1 A lo largo de la obra, las siglas U.M. se refieren a unidades monetarias.

1.1 El interés 5

Ejemplo 1.1

Ejemplo 1.2

Sea A(t) el valor acumulado de una inversión en un plazo de t años.

a) Escriba una expresión que muestre el monto del interés ganado del periodo t al periodo t + s, únicamente en términos de A.

b) Utilice a) para determinar la tasa de interés anual (por ejemplo, la tasa de interés del tiempo t años al tiempo t + 1 años).

Juan Diego ha depositado 1.500 U.M. en el Banco La Caja. Un año después, la cuenta ha acumulado 2.000 U.M.

a) ¿Cuál es el principal de esta inversión?

b) ¿Cuánto es el interés ganado?

c) ¿Cuál es la tasa de interés anual?

Solución

Se desarrollan los siguientes pasos:

a) Se identifica la expresión para designar el interés que se ganó durante el periodo de t años y t + s años, que es:

= + −A t s A tInterés ganado ( ) ( ) (1.2)

donde A(t + s) Valor acumulado en t + s periodos A(t) Valor acumulado en t periodos

b) Se calcula la tasa de interés anual, que es:

= + −A t A t

A tTasa de interés anual

( 1) ( )

( ) (1.3)

donde A(t + 1) Valor acumulado en t + 1 periodos A(t) Valor acumulado en t periodos

El interés es el costo de solicitar dinero prestado por un tiempo, y éste considera el riesgo crediticio que surge de la posibilidad de que el prestatario no devuelva el préstamo. Este riesgo puede reducirse si los prestatarios otorgan una garantía, que se ejecutará si no cumplen con reembolsar el préstamo.

A continuación se analizan algunos ejemplo sobre el uso del interés simple.


Solución

Las respuestas son las siguientes:

a) El principal es 1.500 U.M., que corresponde al monto que inicialmente depo-sitó Juan Diego.

b) Para calcular el interés ganado se desarrollan los siguientes pasos:

1. Se identifica la expresión a utilizar, que es la ecuación (1.2).

2. Se sustituyen los valores en esta expresión y se obtiene:

= + −= −=

A t A tInterés ganado ( 1) ( )

Interés ganado 2.000 1.500

Interés ganado 500

El interés ganado es de 500 U.M.

c) Para obtener la tasa de interés se desarrollan los siguientes pasos:

1. Se identifica la expresión a utilizar, que es la ecuación (1.3).

2. Se reemplazan los valores en esta expresión y se obtiene:

= + −

= −

=

A t A t

A tTasa de interés anual

( 1) ( )

( )

Tasa de interés anual2.000 1.500

1.500

Tasa de interés anual 0,3333

La tasa de interés anual es de 0,3333 o 33,33%

Lo anterior se puede graficar de la siguiente manera:

Tasa de interés anual

0,6

0,4

0,2

2 4Tiempo

Figura 1.1. Relación entre la tasa de interés anual y el tiempo

Las tasas de interés suelen calcularse para periodos menores de un año, en cuyo caso se aplica la tasa proporcional por el tiempo utilizado del principal

1.1 El interés 7

Ejemplo 1.3

¿En cuántos años un capital de 2.000 U.M. alcanzará la suma de 2.300 U.M. si la tasa de interés simple anual es de 2%?

Solución

Se desarrollan son los siguientes pasos:

1. Se identifica la fórmula que se utilizará, que es la ecuación (1.1).

(1 )A P i t= × + ×

Después,

t1

i

A

P1

2. Se reemplazan los datos del enunciado en la determinación de la fórmula derivada en el inciso anterior y se obtiene:

t1

0,02

2.300

2.0001

t 7,5

Es decir, el monto de 2.300 U.M. se alcanza en siete y medio años.

La gráfica es la siguiente:

Años

1,5

1,0

0,5

Tasa de interés0,5 1,0

Figura 1.2. Relación entre tiempo y tasa de interés


1.1.1 Problemas propuestos

1. ¿Cuál es la tasa de interés anual que ha ganado un individuo al acumular 3.000 U.M. tras invertir 2.400 U.M. hace un año?

Respuesta: 25,00%

2. ¿Cuál es la tasa de interés semestral si el padre de Vanessa deposita 8.000 U.M. en una cuenta de ahorros el 1º de enero de 2010 y el monto acumulado al 30 de junio de 2010 es de 9.000 U.M.?

Respuesta: 12,50%

3. ¿Cuál es la tasa de interés semestral y el monto de interés que se pagaron sobre un préstamo de 15.000 U.M. a un año cuyo monto devuelto es 15.500 U.M.?

Respuesta: 3,33% y 500 U.M.

4. Michaela pide en préstamo 3.500 U.M. que devolverá en su totalidad en un año. El monto a devolver será de 4.000 U.M. Calcule el monto del interés pagado y la tasa de interés anual.

Respuesta: 500 U.M. y 14,29%.

5. Michael solicita a un banco un préstamo por 12.000 U.M., el cual será devuelto en un año. El monto a devolver será de 12.780 U.M. ¿Cuál es el monto del interés anual pagado y la tasa de interés semestral?

Respuesta: 780 U.M. y 3,25%.

6. Un banco paga 5% anual por los depósitos de ahorro que recibe. Mayla abre una cuenta de este tipo en esta entidad financiera a princi-pios del año por 100 U.M. Calcule el monto acumulado en la cuenta al final del año.

Respuesta: 105 U.M.

7. ¿A cuánto ascenderá el valor de un depósito de ahorro al cabo de seis meses si esta cuenta, abierta por Jean Paul en un banco, es creada con 300 U.M. y obtiene una tasa de 6% semestral?

Respuesta: 318 U.M.

8. Juan Diego abre una cuenta de ahorros en el banco Mundo Nuevo con 500 U.M. al inicio del año. Esta institución paga 10% anual por los depó-sitos de ahorro. ¿A cuánto ascenderá el valor acumulado de la cuenta al final del año?

Respuesta: 550 U.M.

1.1 El interés 9

9. Si la tasa de interés que cotiza un banco sobre sus depósitos de ahorro es de 1% mensual, ¿cuál es el valor de una cuenta a medio año abierta por Genevieve con 300 U.M. a inicios del año?

Respuesta: 318 U.M.

10. Si la tasa de interés que cotiza un banco sobre sus depósitos de ahorro es de 2% trimestral, ¿cuál es el valor de una cuenta al final del año que fue abierta con un monto de 240 U.M. a inicios del mismo año?

Respuesta: 259,2 U.M.

11. Usted tiene un depósito de 500 U.M. Si la tasa de interés que cotiza un banco sobre sus cuentas de ahorros es 4,5% semestral, ¿cuál es el valor de la cuenta al final del año?

Respuesta: 545 U.M.

12. El Banco de las Américas paga 4% semestral por los depósitos que recibe. Isabella deposita 700 U.M. en dicho banco. Calcule el valor de la cuenta al cabo de un año.

Respuesta: 756 U.M.

13. Ryan acude a un banco y efectúa un depósito de ahorro de 400 U.M. que paga 7% anual. ¿Cuál es el valor de la cuenta al cabo de un semestre?

Respuesta: 414 U.M.

14. Cecilia tiene un depósito de ahorro de 1.500 U.M. Si la institución financiera cotiza una tasa de interés de 6% anual sobre este tipo de depó-sito, calcule a cuánto asciende el valor de la cuenta al final del año.

Respuesta: 1.590 U.M.

15. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que una cuenta de ahorro crezca de 500 a 1.000 U.M. si la tasa de interés anual es de 5%?

Respuesta: 20 años.

16. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que 350 U.M. crezcan hasta 500 U.M. si la tasa de interés anual es de 4%?

Respuesta: aproximadamente en 10 años, 8 meses y 17 días.

17. ¿En cuántos años 1.000 U.M. acumularán 1.260 U.M. si la tasa de inte-rés anual es de 10%?

Respuesta: 2 años, 7 meses y 6 días.


La capitalización1.2

Existen dos tipos de capitalización: simple y compuesta.La capitalización simple es un tipo de capitalización en la que el interés no es

acumulable. En otras palabras, los intereses que se generan en cada periodo no se agregan al capital (o principal) para calcular los nuevos intereses del siguiente periodo.

La capitalización compuesta es un tipo de capitalización en la que el interés acumulado se agrega al principal. Para calcularla se utiliza la siguiente fórmula:

(1 )A P i t= × + (1.4)

donde A Valor acumulado i Tasa de interés P Principal t Tiempo (1 + i)t Factor de capitalización

El interés compuesto puede verse como un conjunto de contratos de interés sim-ple. El interés que se gana en cada periodo se agrega al principal del periodo previo para convertirse en el principal del próximo periodo.

Ejemplo 1.4

Se recibe un depósito de 5.000 U.M. y se paga una tasa de interés anual de 10% capitalizable semestralmente. Calcule:

a) El pago en seis meses.

b) El pago en un año.

Solución

a) Se desarrollan los siguientes pasos:

1. Primero se calcula la tasa de interés a 6 meses, dada la tasa de interés anual de 10% capitalizable cada seis meses. Esto implica que la tasa de interés de 10% es una tasa de interés nominal. Por tanto, para convertirla en una tasa a 6 meses se realiza lo siguiente:

Se plantea la ecuación:

26

12

iim

m

=

1.2 La capitalización 11

Se sustituyen los valores:

i

i

m

m

0,10

2

0,05

6

6

=

=

Para llegar a esta fórmula se aplica una regla de tres simple.

X

0,10 12 meses

6 meses

→→

Por lo que

X

X

X

0,10 6

120,10

20,05

= ×

=

=

2. Se identifican las expresiones que se utilizarán

A P I= + (1.5)

I P i= × (1.6)

donde

A Valor acumulado

P Principal

I Interés

i Tasa de interés

3. Se sustituyen los valores en las ecuaciones anteriores. Así,

5.000 0,05

250

I

I

= ×=

Después,

5.000 250

5.250

A

A

= +=

Al cabo de 6 meses, el saldo final será de 5.250 U.M.


b) Para calcular el pago a un año, se realizan los siguientes pasos:

1. Se identifica la expresión que utilizará, que es

( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) (1 )

A t i A t A t

A t A t i

+ = × ++ = × + (1.7)

donde

A(t) Valor acumulado en t periodos (t = 1, 2)

P Principal

i Tasa de interés

t Tiempo

2. Se reemplazan los valores en la ecuación anterior, como sigue:

(2)

(1) (1)

0,05 (5.250) 5.250

262,50 5.250

5.512,50

A A

A i A A

A

A

A

== × += × += +=

En el periodo de 1 año se habrán ganado 512,50 U.M. para alcanzar un monto final de 5.512,50 U.M.

La tasa de interés anual será:

=

=

Tasa de interés anual512,50

5.000

Tasa de interés anual 0,1025

La tasa de interés anual efectiva es de 0,1025, o 10,25%. Se advierte que esta tasa es mayor que la tasa de interés simple de 10% anual. Este será siempre el caso cuando el periodo de capitalización (en este caso semes-tral) sea menor que el periodo de la tasa de interés simple (en este ejemplo anual). Para entender mejor este tema, se parte de la ecuación (1.5) y se advierte que A(t) es igual a:

A t P I

A t P P i

A t P i

( )

( )

( ) (1 )

= += + ×= × +

Tasa de retorno de una inversión

Contenido

3.1. INTRODUCCIÓN3.2. EL FLUJO DE EFECTIVO DESCONTADO

3.2.1. Problemas propuestos3.3. UNICIDAD DE LA TASA INTERNA DE RETORNO

3.3.1. Teorema sobre la tasa interna de retorno única3.3.2. Prueba del teorema sobre la tasa interna de retorno

única3.3.3. Teorema de la unicidad3.3.4. Problemas propuestos

3C A P Í T U L O

3.4. INTERÉS REINVERTIDO A UNA TASA DIFERENTE 3.4.1. Problemas propuestos

3.5. CÁLCULO DE INTERESES DE UN FONDO DE INVERSIÓN: TASA DE INTERÉS PONDERADA POR UNIDAD MONETARIA3.5.1. Problemas propuestos

3.6. MEDICIÓN DE INTERESES DE UN FONDO: TASA DE INTERÉS PONDERADA POR TIEMPO3.6.1. Problemas propuestos

3.7. ASIGNACIÓN DE LOS INGRESOS DE INVERSIÓN: LOS MÉTODOS DE CARTERA Y DE INVERSIÓN3.7.1. El método de cartera3.7.2. El método de inversión por año (IYM)3.7.3. Problemas propuestos

3.8. TASAS DE RETORNO EN EL PRESUPUESTO DE CAPITAL3.8.1. Problemas propuestos

3.9. OTROS CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PRESUPUESTO DE CAPITAL3.9.1. Periodo de recuperación de la inversión3.9.2. Periodo de recuperación descontado3.9.3. Índice de rendimiento3.9.4. Relación beneficio-costo3.9.5. Método del valor anual equivalente3.9.6. Tasa interna de retorno modificada3.9.7. Proyectos mixtos3.9.8. Problemas propuestos

3.10. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA3.10.1. Nomenclatura

3.1 Introducción 375

Introducción3.1

En ocasiones utilizar la teoría del interés difiere de la realidad en que se vive. En este capítulo se presenta cómo se emplea la tasa de interés.

Se comienza por introducir el concepto de yield rate o tasa de retorno. El yield rate es la tasa de retorno de una inversión. Son los intereses o dividendos recibidos de una obligación que por lo general se expresan de manera anualizada como un porcentaje sobre el costo de la inversión, de su valor de mercado actual o su valor nominal.

La tasa interna de retorno (TIR) (en inglés, internal rate of return o IRR) es la tasa de rendimiento que mide la rentabilidad económica de un proyecto. También se conoce como tasa de retorno económica, y se calcula al igualar el valor presente de todos los aportes que constituyen la inversión con todos los flujos de efectivo recibidos por esta. Es decir, es la tasa de retorno que se obtiene cuando el valor presente neto (VPN) es cero.

VPN( ) 0iIRR = (3.1)

donde VPN Valor presente neto

iIRR Tasa interna de retorno (TIR)

Como se infiere de la ecuación (3.1), la tasa interna de retorno (TIR) es la tasa de descuento que iguala a cero el valor presente neto de todos los flujos de efectivo (o de caja) de un proyecto. Mientras más alta sea la TIR de un proyecto, más deseable será emprenderlo. Con esta tasa también es posible elaborar un ranking de los proyectos en cartera en la empresa. Sus posibles usos son los siguientes:

Para elegir alternativas entre proyectos. Un proyecto con una TIR más alta que otras opciones disponibles tendrá una mayor probabilidad de rendi-miento.

Para comparar rendimientos alternativos. La tasa de retorno también puede compararse con la tasa de rendimiento de los mercados financieros (de obliga-ciones) a los que en inglés se conoce como securities markets. Si una empresa no tiene proyectos que generen rendimientos mayores a los de los securities markets, elegirá invertir sus utilidades retenidas en estos. Como índices para ver qué tan favorable es o no una transacción particular, cuando son bajas, las tasas favorecen al prestatario y, cuando son altas, al prestamista. El efecto de los impuestos no se considera para proponer este enunciado.

Cap. 3 Tasa de retorno de una inversión376

El flujo de efectivo descontado3.2

Siempre que se proyecta una inversión se tiene que preguntar acerca de los flujos esperados y de la rentabilidad del proyecto.

En específico, se enfocará la atención en el VPN que se obtendrá como resul-tado de los flujos de efectivo que genere el proyecto. Un proyecto puede conside-rarse una serie de anualidades con algún patrón de pago y/o retiro. En el capítulo anterior se desarrollaron las anualidades que se definieron como series de pago regulares. Esto significa que se refieren a la manera de calcular el valor presente, objetivo para el cual se aplica la técnica del flujo de efectivo descontado (discounted cash flow, DCF). Se analizan dos formas del DCF: el VPN y la TIR.

Para esto se consida un proyecto de inversión donde:

a) Sus contribuciones (salidas) son: ; ; ;...;0 1 2C C C Cn en los momentos

t t t t tn...0 1 2 3< < < < < .

b) Sus retornos son R R R Rn; ; ; ...;0 1 2 al mismo tiempo.

Si se simboliza como c R Ct t t= − , es decir, el cambio neto (o flujo de efectivo neto) en el tiempo t, puede ser positivo o negativo, se puede analizar la situación desde el punto de vista del prestamista y del prestatario.

Desde el punto de vista del prestamista:

Si ct 0> , existe un depósito de efectivo neto de la inversión en el tiempo t.

Si ct 0< existe un retiro de efectivo neto de la inversión en el tiempo t.

Por ejemplo, si Michael deposita 1.000 U.M. en el tiempo 1 y, al mismo tiempo retira 2.000 U.M., luego c 1.000 2.000 1.0001 = − = − . En consecuen-cia, se produce un retiro de efectivo neto de 1.000 U.M. en el tiempo 1.

Desde el punto de vista del prestatario:

En este caso, los signos de la posición anterior cambian. Es decir, se produce una entrada de efectivo neta de 1.000 U.M.

El siguiente ejemplo demuestra estas definiciones.

Ejemplo 3.1

Con el propósito de desarrollar un nuevo producto y colocarlo en el mercado, una empresa:

Por el lado de las aportaciones:

a) Debe invertir 80.000 U.M. al inicio del año y 10.000 U.M. en cada uno de los siguientes tres años.

3.2 El flujo de efectivo descontado 377

Solución

a) Se elabora una tabla donde se aprecien los flujos de efectivo del proyecto.

Año Retorno (RRt) Contribuciones (Ct) Diferencial (ct)

0 0 80.000 −80.000

1 0 10.000 −10.000

2 0 10.000 −10.000

3 0 10.000 −10.000

4 12.000 20.000 −8.000

5 30.000 2.000 28.000

6 40.000 2.000 38.000

7 35.000 2.000 33.000

8 25.000 2.000 23.000

9 15.000 2.000 13.000

10 8.000 0 8.000

b) El producto estará disponible para su venta en el cuarto año. Para que ello sea posible deberá hacer una contribución de 20.000 U.M. en el cuarto año.

c) La empresa incurrirá en gastos de mantenimiento de 2.000 U.M. en cada uno de los próximos 5 años.

Por el lado de las entradas:

a) Se espera que el proyecto proporcione un retorno de inversión, al final de cada periodo, de 12.000 U.M. en el cuarto año, 30.000 U.M. en el quinto, 40.000 U.M. en el sexto, 35.000 U.M. en el séptimo, 25.000 U.M. en el octavo, 15.000 U.M. en el noveno y 8.000 U.M. en el décimo. Después de diez años, el producto será reti-rado del mercado.

Elabore un cuadro para describir los flujos de efectivo de este proyecto.

b) Ahora se supone que la tasa de interés por periodo es i, a la cual, en ocasiones, se le llama retorno requerido de la inversión o costo del capital. Se utiliza la técnica de flujo de efectivo descontado, por lo que el valor presente neto a una tasa i de la inversión estará definido por:

VPN( ) , donde (1 )

0

i v c v itt

t

ni ii

i∑= × = +=

− (3.2)


donde VPN Valor presente neto vti Factor de descuento i Tasa de interés ct Diferencial entre retorno y contribución en el periodo t n Número de periodos

Desde esta perspectiva, el valor presente neto de una serie de flujos de efectivo es el valor presente de los ingresos de efectivo menos el valor presente de las salidas de efectivo. Expresado de otra manera, el VPN es la suma de los valores presentes de los flujos de efectivo netos en n periodos.

El valor del VPN(i) puede ser positivo, negativo o cero, lo cual depende de la magnitud del valor de i.

Ejemplo 3.2

Encuentre el valor presente neto de la inversión que se estudió en el ejemplo anterior.

Solución

a) El valor presente neto es:

Como se puede apreciar, se han obtenido tres resultados distintos que hacen que el valor presente neto varíe respecto a cada uno de los resultados que se encontraron.

VPN(0,03) 1.488,70 0

VPN(0,032179786) 0

VPN(0,04) 5.122,13 0

= >=

= − <

La tasa a la cual VPN(0,032179786) 0= se le conoce también como tasa interna de retorno (TIR), que es la tasa que hace que la inversión alcance el equilibrio.

Con base en la ecuación VPN( ) 0i = , desde la perspectiva del prestatario la tasa interna de retorno es igual a la del prestamista que, como se observa, son deter-minadas por los flujos de efectivo de la transacción.

Las tasas de retorno se utilizan para medir cuán conveniente es realizar cierta actividad. De este modo, a un prestamista (el que otorga un préstamo), le conviene financiar una actividad si la tasa de retorno de ésta es más alta; por su parte, para el prestatario, una tasa de retorno más baja le favorace una transacción. En buenas

ii i i i i

i i i i i

VPN( ) 0 80.000(0 10.000)

(1 )

(0 10.000)

(1 )

(0 10.000)

(1 )

(12.000 20.000)

(1 )

(30.000 2.000)

(1 )

(40.000 2.000)

(1 )

(35.000 2.000)

(1 )

(25.000 2.000)

(1 )

(15.000 2.000)

(1 )

(8.000 0)

(1 )

2 3 4 5

6 7 8 9 10

)(= − + −+

+ −+

+ −+

+ −+

+ −+

+ −+

+ −+

+ −+

+ −+

+ −+


Ejemplo 3.3

Determine el valor presente neto del proyecto de inversión con el siguiente flujo de efectivo, a un costo de capital de 5%. Represente gráficamente los flujos del proyecto.

Tiempo 0 1 2 3 4 5

Flujo (U.M.) −500 30 30 30 30 530

Solución

a) La representación gráfica de los flujos del proyecto de inversión se muestra en la figura 3.1.

Figura 3.1. Flujos de fondos del proyecto

Flujo de fondos (U.M.)

Tiempo

–500

600

400

200

0

–200

–400

–600

30 30 30 30

530

0 1 2 3 4 5

cuentas, el prestamista aprecia esta tasa como un beneficio, y el prestatario como un costo.

Todos los proyectos con valor neto presente positivo son aceptables sobre la base de criterios estrictamente financieros, en tanto los que tienen un valor pre-sente neto negativo deben ser rechazados. Cuando tienen un valor presente neto igual a cero, la inversión no ganará ni perderá valor, sólo se recuperará la tasa de interés que se utilizó para el descuento de los flujos. Esto hace que sea indiferente la decisión de aceptar o rechazar un proyecto.

b) Se reemplazan los valores:

VPN(0,05) 50030

(1 0,05)

30

(1 0,05)

30

(1 0,05)

30

(1 0,05)

530

(1 0,05)

VPN(0,05) 21,65

1 2 3 4 5= − ++

++

++

++

++

=


Ejemplo 3.4

Ejemplo 3.5

Se supone que el flujo de efectivo de la construcción y venta de un edificio de ofi-cinas es el siguiente:

Año 0 1 2

Flujo (U.M.) −150 −100 300

Se conoce que el costo de capital es de 3%. Calcule el valor presente neto.

Un proyecto de inversión tiene los siguientes flujos de efectivo en U.M.:

Año Retornos Contribuciones

0 0 200

1 0 400

2 120 20

3 160 20

4 200 20

5 240 10

7 120 0

Solución

a) Se determina la expresión que se utilizará, que es la ecuación (3.2).

b) Se reemplazan los valores en dicha ecuación:

VPN(0,03) 150100

(1 0,03)

300

(1 0,03)

VPN(0,03) 35,69 U.M.

1 2= − −+

++

=

Para determinar la tasa interna de retorno se puede requerir utilizar varios métodos de aproximación, ya que las ecuaciones que deben resolverse pueden ser polinomios de alto grado.1

1 El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.


a) Calcule el valor presente neto a una tasa de 10%.

b) Calcule la tasa interna de retorno de esta inversión.

Solución

Para calcular el valor presente neto:

a) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (3.2).

b) Se reemplazan los valores:

VPN(10%) 200400

(1 0,10)

100

(1 0,10)

140

(1 0,10)

180

(1 0,10)

230

(1 0,10)

120

(1 0,10)

VPN(10%) 42,32

1 2 3 4 5 6= − −+

++

++

++

++

++

= −

Para calcular la tasa interna de retorno:

a) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (3.1).

b) Se aplica la fórmula:

200400

(1 )

100

(1 )

140

(1 )

180

(1 )

230

(1 )

120

(1 )0

7,49%

1 2 3 4 5 6i i i i i i

i

− −+

++

++

++

++

++

=

=

La tasa de retorno no tiene que ser única, como se demuestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.6

A cambio de recibir 230 U.M. al terminar un año, un inversionista paga hoy 100 U.M. y 132 U.M. dentro de dos años. Calcule la tasa interna de retorno.

Solución

a) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación siguiente:

VPN( )230

(1 )100

132

(1 )0

2ii i

=+

− −+

=

b) Se despeja el valor de la TIR, dada por la tasa i.

Se aplica el siguiente artificio: =+

Xi

1

1


Esta expresión se reemplaza en la ecuación del inciso a):

× − − × =X X230 100 132 02

Se reacomodan los términos:

− × + × − =X X132 230 100 02

Se multiplica por −1 y se divide entre 100:

× − × + =X X1,32 2,3 1 02

Se aplica la solución de una ecuación cuadrática con una incógnita:

Ejemplo 3.7

Una institución financiera presta hoy a Genevieve 5.000 U.M. Ella se compro-mete a devolver el préstamo en partes: desembolsará 600 U.M. al final de cada trimestre por un periodo de tres años. Calcule la tasa de retorno efectiva anual.

Solución

a) Se identifica la ecuación que se utilizará.

=+

+ ++i i

5.000600

(1 )...

600

(1 )1 12

b) Se emplea el comando de Excel = TIR(valores;estimar) y se obtiene:

TIR 6,11%=

Se debe tener presente que las tasas de retorno no tienen por qué ser positivas. Así, por ejemplo, si una tasa de retorno es igual a cero, ello significa que la inver-sión no genera ningún retorno; si la tasa es negativa, el inversor perdería dinero. Se asume que la tasa de retorno negativa cumple con la siguiente expresión:

− < <i1 0

Una tasa de retorno < −i 1 implica una pérdida total de la inversión.

X

X X

i i

2,3 2,3 4 (1,32) (1)

2 (1,32)

0,909090 0,833333

0,10 0,20

1,2

2

1 2

1 2

= ± − × ××

= == =


Ejemplo 3.8

Calcule las tasas de retorno del ejemplo 3.1.

Solución

a) Se determinan los datos y el comando de Excel que se usarán. Dicho comando es = TIR(valores;estimar), donde los valores son los datos que contiene la columna de datos diferencial, mientras que estimar se refiere a una tasa cual-quiera para que el programa inicie los cálculos.

b) Se aplica el comando a los datos identificados, y se obtiene:

≅i 3,22%

3.2.1 Problemas propuestos

1. Calcule el valor presente neto de un proyecto que requiere de una inver-sión de 50.000 U.M. y genera ingresos de efectivo de 10.000 U.M. al final de los años 3 a 7. La tasa de interés nominal convertible trimestral-mente es de 12%.

Respuesta: −21.928 U.M.

2. La tasa interna de retorno de una inversión con retornos de 5.000 U.M. en el tiempo 1 y de 6.000 U.M. en el tiempo 2 y con contribuciones de 5.000 U.M. en el tiempo 0 y 3.000 U.M. en el tiempo 1 se puede repre-sentar como 1 / n. Calcule el valor de n.

Respuesta: 3,2.

3. Jean Paul llega a un acuerdo para contribuir 5.000 U.M. ahora y 2.000 U.M. al término de 2 años a cambio de recibir 3.500 U.M. al final de un año y 4.500 U.M. al término de 3 años. Calcule el valor presente neto a una tasa de interés de 5%.

Respuesta: 406,54 U.M.

4. Un proyecto de inversión tiene los siguientes flujos de efectivo. Calcule:


0 200.000 0

1 10.000 0

2 8.000 20.000


3 4.000 20.000

4 0 40.000

5 0 80.000

6 0 120.000

7 0 160.000

a) El valor presente neto a una tasa de 10%.

b) La tasa interna de retorno de esta inversión.

Respuesta: a) −39.683,90 U.M. y b) 13,51%.

5. Usted es el director de la Fábrica XYZ y desea construir una nueva fábrica, la cual requerirá inmediatamente una inversión de 100.000 U.M., además de una inversión adicional de 15.000 U.M. al inicio del segundo año para iniciar la producción. Finalmente, los costos por mantenimiento de la fábrica serán de 5.000 U.M. por año desde el inicio del tercero al sexto años.

Se espera que la fábrica genere ganancias de 10.000 U.M. para finales del primer año, 15.000 U.M. al final del segundo, 20.000 U.M. a finales del tercero, y 30.000 U.M. a finales del cuarto al sexto años.

Calcule la tasa interna de retorno de la futura fábrica.

Respuesta: 0%

6. Un proyecto de inversión tiene los siguientes flujos de efectivo:


0 0 200.000

1 20.000 0

2 40.000 0

3 60.000 0

4 40.000 0

5 20.000 0

Calcule la tasa interna de retorno de esta inversión.

Respuesta: −3,425%.

3.3 Unicidad de la tasa interna de retorno 385

7. ¿Cuál es la tasa interna de retorno de un proyecto que requiere una inversión de 2.000.000 U.M., y 100.000 U.M. en retornos al final de cada año durante un periodo de 15 años?

Respuesta: −3,40%.

8. ¿Cuál es el valor presente neto de un proyecto que requiere una inver-sión de 10.000 U.M. ahora, y 1.000 × (9 − t) en retornos al tiempo t = 1, 2,…, 8? Suponga una tasa de descuento efectiva de 4%.

Respuesta: 21.681,38 U.M.

9. Calcule la tasa interna de retorno de un proyecto que requiere hoy una inversión de 5.000 U.M. y que retornará 2.000 U.M. en tres años y 8.000 U.M. en cinco años.

Respuesta: 16,46%.

10. Un proyecto tiene los siguientes ingresos y egresos en U.M.:

Egresos: 12.000 U.M. en t = 0; 6.000 U.M. en t = 3; 9.000 U.M. en t = 6 y 12.000 U.M. en t = 9.

Ingresos: 3.000 U.M. desde t = 2 hasta t = 14 más 12.000 U.M. en t = 15.

Si su tasa interna de retorno deseada era de 8%, ¿aceptaría este proyecto?

Respuesta: No.

Unicidad de la tasa interna de retorno3.3

Una tasa interna de retorno puede no ser única. En esta parte se revisan las condi-ciones bajo las cuales la ecuación (3.1) tiene sólo una solución.

Para facilitar el análisis se supone que el tiempo está igualmente espaciado, de modo que VPN( ) 0i = , lo que significa que la función del valor presente neto es un polinomio de grado n en v. Según el teorema fundamental del álgebra,2 VPN( ) 0i = tiene n raíces, entre ellas raíces repetidas y complejas.

2 El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y

con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus

multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación

p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.


Ejemplo 3.9

Considere una inversión con el siguiente flujo de efectivo en U.M.:

Tiempo 0 1 2

Contribuciones 0 0,7 2,00

Retornos 1 3,0 3,36

Flujo de efectivo 1 2,3 −1,36

Calcule la tasa interna de retorno.

Solución

a) Se plantea la ecuación con la que se trabajará:

VPN 12,3

(1 )

1,36

(1 )01 2i i

= ++

+ −+

=

b) Se calcula la tasa, para lo cual se realiza el siguiente artificio:

+=

iX

1

(1 )

Luego se reemplaza en la ecuación del inciso a) y se obtiene:

− × + × + =

− × − =

X X

X X

1,36 2,3 1 0

1,6912 0,7353 0

2

2

Se aplica la solución de una ecuación cuadrática y se obtiene:

( 1,69) 2,41

2 12,05

0,36

1,2

1

2

X

X

X

= − − ±×

== −

Se reemplazan X1 y X2 en +

=i

X1

(1 ), y resulta:

0,51% e 3,78%1 2i i= = −

3.3 Unicidad de la tasa interna de retorno 387

Ejemplo 3.10

Ejemplo 3.11

Considere una inversión de la cual se proporcionan los siguientes datos:

= = = = = =C C C R R R1; 0; 1,32; 2,3; 0; 00 1 2 0 1 2


Considere una inversión de la cual se proporcionan los siguientes datos:

= = = = = =C C C R R R1; 0; 1,2825; 0; 2,3; 00 1 2 0 1 2


Solución

Solución

a) Se determina el flujo de efectivo que se calculará:

Tiempo 0 1 2

Contribuciones 1 0,0 1,32

Retornos 0 2,3 0,00

Flujo de efectivo −1 2,3 −1,32

b) Se calcula la tasa:

VPN 12,3

1

1,32

102i i) )( (

= − ++

+ −+

=

Si se resuelve esta ecuación con la fórmula cuadrática, i1 = 20% o i2 = 10%, se obtendrán dos tasas internas de retorno.

a) El flujo de efectivo es el siguiente:

Tiempo 0 1 2

Contribución 1 0,0 1,2825

Retorno 0 2,3 0,0000

Flujo de efectivo −1 2,3 −1,2825

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Teoría del interés. Métodos cuantitativos para finanzas Tomo I. Eduardo Court

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