Teoría de vectores

Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

SISTEMAS DE COORDENADAS

NOS PERMITEN RELACIONAR ALGUNOS ASPECTOS DE LA FÍSICA CON POSICIONES EN EL ESPACIO

EXISTEN VARIOS SISTEMAS DE COORDENADAS, EL QUE MÁS UTILIZAREMOS ES EL SISTEMA DE

COORDENADAS CARTESIANAS

EN ESTE SISTEMA ENCONTRAMOS TRES EJES COORDENADOS, EL EJE X, EL EJE Y Y EL EJE Z

OTRO SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO ES EL DE COORDENADAS POLARES PLANAS

EN ÉL, CUALQUIER PUNTO ESTÁ REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (X,Y,Z)

AQUÍ, UN PUNTO ES REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (r,θ)

ALGEBRA VECTORIAL

),( r

r

),,( zyx

x

y

z


1) CANTIDAD ESCALAR

ESTÁ ESPECIFICADA POR UN VALOR CON LA UNIDAD APROPIADA

EJEMPLOS: TEMPERATURA (T) – VOLUMEN (V) – MASA (m O M) – TIEMPO (t)

ESTE TIPO DE CANTIDADES PUEDEN TENER UN VALOR POSITIVO, UN VALOR NEGATIVO O PUEDEN SER CERO

SUS OPERACIONES MATEMÁTICAS SE REALIZAN UTILIZANDO LAS REGLAS DE LA ARITMÉTICA

ALGEBRA VECTORIALCANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

LA TEMPERATURA PUEDE SER POSITIVA (30 ºC), PUEDE SER NEGATIVA (-5 ºC) Y PUEDE SER CERO (0 ºC)

MIENTRAS QUE EL TIEMPO, PUEDE SER CERO O POSITIVO (3 min)


2) CANTIDAD VECTORIAL

ES AQUELLA QUE POSEE TANTO MAGNITUD COMO DIRECCIÓN Y SENTIDO. ES DECIR, ES UN VECTOR

EJEMPLOS: VELOCIDAD (v) – DESPLAZAMIENTO (Δr) – FUERZA (F)

(AQUÍ DENOTAREMOS A LOS VECTORES CON UNA LETRA EN AMARILLO O CON UNA LETRA Y UNA FLECHA ARRIBA)

ESTE TIPO DE CANTIDAD SE REPRESENTA CON UNA FLECHA

EJEMPLO:

A

ORIGEN

EXTREMO O PUNTA



CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:

a) MAGNITUD O MODULO: REPRESENTA EL TAMAÑO DEL VECTOR Y SIEMPRE ES UN VALOR POSITIVO

SE DENOTA CON LA LETRA DE LA MAGNITUD FÍSICA SIN LA FLECHA O CON LA NOTACIÓN DEL VECTOR, ENTRE BARRAS

DE VALOR ABSOLUTO

EJEMPLO:

F

VECTOR:

MAGNITUD O MODULO: F O F


F

F


CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

b) DIRECCIÓN: PUEDE SER HORIZONTAL, VERTICAL O INCLINADA

c) SENTIDO: PUEDE SER HACIA LA DERECHA, HACIA LA IZQUIERDA, HACIA ARRIBA, HACIA ABAJO, SALIENDO DE LA HOJA, ENTRANDO A

LA HOJA, ENTRE OTROS

GENERALMENTE, TANTO LA DIRECCIÓN COMO EL SENTIDO DEL VECTOR, SE ENGLOBAN EN UN SOLO TÉRMINO DENOMINADO DIRECCIÓN, Y ES REPRESENTADO POR UN ÁNGULO

ALGEBRA VECTORIAL

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:

X

SIMBOLO QUE INDICA QUE UN VECTOR ESTÁ SALIENDO DE LA HOJA

SIMBOLO QUE INDICA QUE UN VECTOR ESTÁ ENTRANDO A LA HOJA


¿DE QUÉ MANERAS PODEMOS REPRESENTAR A UN VECTOR?

EN ESTE CURSO, LO REPRESENTAREMOS DE 2 FORMAS:

1) CON SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN (ÁNGULO)

EJEMPLO:MAGNITUD: 3 NDIRECCIÓN: 65º EN SENTIDO ANTIHORARIO

A PARTIR DE +X

2) CON SUS COMPONENTES

ESTA REPRESENTACIÓN LA EXPLICAREMOS A CONTINUACIÓN

ALGEBRA VECTORIALCOMPONENTES DE UN

VECTOR


SI UN VECTOR ESTÁ REPRESENTADO A TRAVÉS DE SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN, ES POSIBLE REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE

COORDENADAS CARTESIANO DE LA SIGUIENTE MANERA:

AX Y AY SON LAS COMPONENTES DEL VECTOR A

LA FIGURA MUESTRA QUE AL TRAZAR LAS LÍNEAS PARA OBTENER LAS PROYECCIONES DEL VECTOR (LÍNEAS SEGMENTADAS), SE FORMAN

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CON CUALQUIERA DE LOS TRIÁNGULOS, ES POSIBLE DETERMINAR EL VALOR DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR.

A ESTE PROCEDIMIENTO LO LLAMAMOS “DESCOMPOSICIÓN DEL VECTOR”

EN ESTE CASO EL VECTOR ESTÁ EN EL PLANO, PERO PUEDE ESTAR EN EL ESPACIO, MÁS

ADELANTE EXPONDREMOS ESTA SITUACIÓN

A

xA

YA

x

y

θ


VECTOR


EN BASE AL TRIÁNGULO FORMADO POR A, AX Y LA LÍNEA SEGMENTADA VERTICAL, CALCULAREMOS LAS MAGNITUDES DE

LAS COMPONENTES DEL VECTOR A

ESTAS ECUACIONES DEPENDEN DEL ÁNGULO QUE SE CONOZCA, POR LO QUE ES MUY IMPORTANTE APRENDER A DEDUCIR DICHAS ECUACIONES, ANTES DE MEMORIZARLAS

A

A

h

OCSen Y

..

A

A

h

ACCos X

..


VECTOR

A

xA

YA

x

y

θ


COMPONENTES DE UN VECTOR

EL PROCEDIMIENTO QUE REALIZAMOS EN LA PARTE ANTERIOR NO ES MÁS QUE LA TRANSFORMACIÓN DE UN TIPO DE

REPRESENTACIÓN DEL VECTOR (MAGNITUD-DIRECCIÓN), A LA REPRESENTACIÓN DEL VECTOR A TRAVÉS DE SUS COMPONENTES

ALGEBRA VECTORIAL

TAMBIÉN ES POSIBLE REALIZAR EL PROCESO INVERSO; PASAR DE LAS COMPONENTES A LA MAGNITUD-DIRECCIÓN

LAS COMPONENTES DEL VECTOR AX Y AY,

REPRESENTAN LOS CÁTETOS DEL TRIÁNGULO, APLICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS:

A

xA

YA

x

y

θMAGNITUD:

DIRECCIÓN:

22 CACOh

X

Y

A

A

CA

COTg

22YX AAA

X

Y

A

ATg 1


LAS CANTIDADES VECTORIALES SUELEN REPRESENTARSE EN TÉRMINOS DE VECTORES UNITARIOS

UN VECTOR UNITARIO ES AQUEL QUE TIENE UNA MAGNITUD IGUAL A UNO, Y NO TIENE DIMENSIONES (ES ADIMENSIONAL)

ESTOS VECTORES SON UTILIZADOS PARA ESPECIFICAR UNA DIRECCIÓN DETERMINADA

EXISTEN TRES VECTORES UNITARIOS QUE SE ENCUENTRAN DIRIGIDOS HACIA LA PARTE POSITIVA DE LOS

EJES COORDENADOS X, Y, Z.

UN VECTOR REPRESENTADO CON SUS COMPONENTES, USA ESTOS VECTORES UNITARIOS, DE LA SIGUIENTE MANERA:

ALGEBRA VECTORIALVECTORES UNITARIOS

i

x

y

z

jk

SON DENOTADOS COMO ,COMO SE MUESTRAkji

,,

kAjAiAA ZYX


POR OTRA PARTE, A CUALQUIER VECTOR LE PODEMOS DETERMINAR SU VECTOR UNITARIO

ES DECIR, AQUEL VECTOR CON MAGNITUD UNO Y QUE APUNTARÁ HACIA DONDE APUNTE EL VECTOR

DE DONDE SE OBTUVO ESTE VECTOR UNITARIO

EL VECTOR UNITARIO DE CUALQUIER VECTOR SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE MANERA:

DADO EL VECTOR:

, DONDE

ALGEBRA VECTORIALVECTORES UNITARIOS

kBjBiBB ZYX

(VECTOR UNITARIO DEL VECTOR B), SE DETERMINA ASÍ:,Bu

B

BuB

222ZYX BBBB

222ZYX

ZYXB

BBB

kBjBiBu

Au

A


REPRESENTAN LOS COSENOS DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR UN VECTOR QUE SE ENCUENTRA EN EL ESPACIO

(TRIDIMENSIONAL), Y CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS

ESTOS COSENOS DIRECTORES ESTÁN RELACIONADOS DE LA SIGUIENTE MANERA:

RECUERDA QUE:

ALGEBRA VECTORIALCOSENOS DIRECTORES

222ZYX CCCC

1222 CosCosCos

C

CCos X

C

CCos Y

C

CCos Z

x

y

z

C


DOS VECTORES SON IGUALES SI Y SÓLO SI TIENEN:

LA MISMA MAGNITUD, LA MISMA DIRECCIÓN Y EL MISMO SENTIDO

DEL GRUPO DE VECTORES QUE SE MUESTRAN, ¿CUÁLES SON IGUALES ENTRE SI?

ALGEBRA VECTORIALIGUALDAD DE DOS

VECTORES

A

B

C

D

E

F

G

A = C, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO

D Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD

B Y F SÓLO TIENEN IGUAL LA DIRECCIÓN

D = G, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO

G Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD


EL VECTOR OPUESTO DE OTRO VECTOR, ES AQUEL QUE TIENE LA MISMA MAGNITUD Y LA MISMA DIRECCIÓN, PERO SENTIDOS CONTRARIOS

ALGEBRA VECTORIALVECTOR

OPUESTO

A Y C, SON VECTORES OPUESTOS

B Y F TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD

D = G, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO

A

B

C

D

E

F

G

D Y E TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD

E Y G TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD


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