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Seminario Temas Especficos de Fsica STEF-2015

Postulados de la Teora de Relatividad Especial

Fundamentacin

Supongamos tener una fuente luminosa en reposo respecto de un observador O1 en un sistema inercial, y otros dos observadores en movimiento relativo constante respecto del primero, tal que el O2 se acerca y el O3 se aleja, como muestra la figura.

Figura N 1

Los tres observadores miden la velocidad de la luz proveniente de S, Figura N1.

Asumiendo que estn en el vaco el observador O1 mide c (300.000 Km/seg). De acuerdo

a la Teora de Relatividad de Galileo, aplicando el teorema de adicin de velocidades, el observador O2 debera medir c+V, y el O3 medira c-V.

Una serie de experimentos pticos muy precisos, realizados con un interfermetro por los investigadores norteamericanos Michelson y Morley, dieron reiteradamente como resultado que los tres observadores miden la misma velocidad C.

Ante este hecho se plantean dos soluciones posibles:

1 La medicin est mal realizada.

2 Las transformaciones de Galileo son incorrectas.

Resulta obvio que los cientficos especialistas de la poca se inclinaron masivamente por la opcin 1, pues la otra implica la invalidez del soporte de la mecnica de Newton que consideraba como vlidas las transformaciones de coordenadas de Galileo.

Uno de los intentos ms elaborado que tuvo aceptacin parcial fue hecho por H. Lorentz (1853-1928), que propuso que dado que cualquier equipamiento que se use para medir velocidad debe inexorablemente medir espacio y tiempo, el movimiento relativo entre observadores, respecto del "ter" en un sistema de referencia "absoluto", provocaba modificaciones fsicas en sus respectivos equipos, tales que los espacios recorridos y los tiempos empleados se determinaban con error. Complet sus argumentos fundamentndolos con su Teora del electrn (publicada un tiempo despus) y haciendo el clculo de las modificaciones espaciales y temporales que deba sufrir el dispositivo,

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encontrando las relaciones de espacio y tiempo en funcin de la velocidad del observador respecto de la fuente V. Estas leyes se conocieron como Transformaciones de Lorentz.

No todos los cientficos compartan esta postura. Existe una ancdota atribuida al gran fsico matemtico francs Henri Poincar (1854-1912), que habra dicho: Es ms probable que sea un error de cuenta cada vez que la hicieron, que sea cierta la propuesta

de Lorentz de errores inteligentes.

En el ao 1900 Poincar hace conocer su anlisis sobre la proposicin de Lorentz, indicando que "si la Teora de Lorentz es correcta habra que abandonar probablemente algunos principios de la mecnica newtoniana".

Albert Einstein, que aparentemente desconoca las Transformaciones de Lorentz, eligi la

opcin 2.

En su trabajo cientfico "Sobre la Electrodinmica de Cuerpos en Movimiento", luego

rebautizado como Teora de Relatividad (por sugerencia de Max Planck), dedujo las transformaciones espacio temporales que vinculaban a dos sistemas inerciales, que paradjicamente resultaron ser las Transformaciones de Lorentz, aunque con una

interpretacin absolutamente diferente.

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Postulados de la Teora de Relatividad Especial

En su trabajo original Einstein hace inicialmente un anlisis sobre simultaneidad de eventos y lo vincula con la medicin de distancias y tiempos, detallando un mtodo adecuado para sincronizar relojes en distintos puntos de un sistema inercial, vlido bajo

condiciones de isotropa y homogeneidad del espacio y uniformidad del tiempo.

Aceptemos, por el momento, que en un sistema inercial la mtrica est establecida y el tiempo est sincronizado. Un objeto en reposo mide lo mismo en cualquier posicin del espacio y orientacin del objeto (homogeneidad e isotropa), y un evento o fenmeno bajo las mismas condiciones tarda lo mismo en cualquier lugar y momento en que ocurra

(uniformidad).

Los postulados de La Teora de Relatividad Especial enunciados por Einstein son:

1. Principio de Relatividad. Todas las leyes de la fsica (no solo las de la mecnica) son las mismas para sistemas de referencias inerciales. Todos y cada uno de los observadores, movindose a velocidad constante entre s, experimentan una armona de ley universalmente establecida.

2. Principio de invariancia de la velocidad de la luz (c)

Cualquier rayo de luz se mueve en el sistema estacionario con velocidad "c", tanto

si el rayo es emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento.

El primer postulado est indicando que en todos los sistemas inerciales todos los fenmenos ocurren de la misma forma, es decir que tienen el mismo comportamiento, por lo cual todos los sistemas inerciales resultan absolutamente equivalentes e indistinguibles. A esta conclusin ya haba arribado Galileo. No hay posibilidad alguna de determinar cual est en reposo o en movimiento. Sin duda, este enunciado hace innecesario e incluso contradictorio la existencia de un sistema de referencia absoluto. Asimismo, incorpora implcitamente el Principio de Inercia.

No debe confundirse lo anterior con que una magnitud fsica tomar el mismo valor en todos los sistemas inerciales, pues una magnitud no es una ley. Supongamos, por ejemplo, un fenmeno elctrico simple, una carga puntual en reposo en el origen de coordenadas de un sistema inercial. En este sistema un observador medir un campo elctrico E estacionario y un campo magntico B=0, dado que no hay corrientes ni imanes. Otro observador en movimiento relativo constante medir un campo elctrico E que no es estacionario, pues para este observador la carga se est moviendo, y un campo magntico B distinto de cero debido a que la carga que est en movimiento es una corriente. O sea, las magnitudes involucradas tienen diferente valor para dos

observadores en movimiento relativo.

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Sin embargo, las leyes (Ecuaciones de Maxwell) que describen el fenmeno son las mismas en los dos sistemas. Su aplicacin en cada uno de los sistemas dar el resultado

correcto, siendo diferente en cada sistema los valores de las magnitudes que intervienen.

El segundo Postulado acepta la constancia de la velocidad de la luz como un Principio Universal, sustentado en resultados experimentales, resultando la clave para vincular dos sistemas inerciales ya que permite encontrar las transformaciones de coordenadas

necesarias para que la velocidad de la luz sea la misma en ambos sistemas.

Espacio y Tiempo

La Teora de Relatividad no es un modelo sobre el movimiento de los cuerpos, o de la Mecnica o del Electromagnetismo, ni sobre alguna disciplina particular de la Fsica.

La Teora de Relatividad es una teora sobre el espacio y el tiempo, que trata sobre sus propiedades y de qu manera ellas inciden y regulan las leyes sobre el comportamiento

de los fenmenos naturales.

Tratemos de describir brevemente algunos aspectos de inters sobre la evolucin que

sufrieron estos conceptos bsicos fundamentales.

La experiencia mostr que el espacio fsico (tridimensional) posee una simetra particular

por la cual el tamao y la forma de los objetos materiales en reposo respecto de un observador no dependen de la posicin ni de la orientacin del objeto. Este simple hecho permite determinar empricamente una unidad de medida espacial e introducir el concepto de distancia, requisito necesario para reconocer la geometra correspondiente al espacio, que result la eucldea, vlida para todo observador. Estas propiedades se conocen hoy

como homogeneidad e isotropa del espacio.

Anlogamente, por observacin de los fenmenos naturales peridicos se asumi que el tiempo fsico, concepto que permite ordenar la ocurrencia de sucesos (antes y despus), era una magnitud unidimensional mensurable que admite una definicin similar a la de distancia, llamada intervalo o duracin. La experiencia mostr tambin que

el tiempo fsico posea una simetra particular por la cual la duracin de un dado evento causal, bajo idnticas condiciones, no dependa del lugar de ocurrencia ni del instante de

inicio.

Esta propiedad actualmente se denomina uniformidad del tiempo.

Hasta fines del siglo XIX se supona que el espacio y el tiempo eran magnitudes independientes con valores absolutos, por lo cual toda medicin de distancia o de intervalo era idntica para todo observador. Nuestro Universo era tridimensional, de geometra eucldea, y solamente su evolucin requera el anlisis temporal, sin que ello incidiera en las propiedades del espacio. La mtrica del espacio (eucldeo tridimensional)

era invariante, condicin que puede expresarse en coordenadas cartesianas mediante:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 Invariante

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Esta interpretacin, aceptada durante ms de dos milenios, puede ser entendida con un ejemplo cotidiano. Supongamos tener una dada secuencia de fotos de un mvil, obtenidas a intervalos conocidos y cmara fija, tal que el movimiento del objeto puede estudiarse por comparacin y as conocer la evolucin del fenmeno dinmico.

Cada foto ser distinta pero ellas siguen siendo bidimensionales, su mtrica espacial es la

misma (y su escala se conserva).

Los trabajos de Lorentz y Poincar, aparecidos alrededor del ao 1900, mostraron que las distancias e intervalos, medidos sobre un mismo fenmeno por observadores en movimiento relativo, daban resultados distintos y dependientes de la velocidad entre observadores. La geometra espacial segua siendo eucldea para cada observador (para cuerpos en reposo) pero las distancias y los intervalos medidos no eran idnticos (naca la relatividad post Galileo), es decir que la mtrica eucldea tridimensional no era invariante.

Con el advenimiento de la Teora de Relatividad de Einstein (1905) qued claramente establecido que para todo observador inercial el espacio y el tiempo conservaban las histricas propiedades, pero sus mtricas (espacial y temporal) diferan entre sistemas de referencia con movimiento relativo constante.

Dilatacin del tiempo

El hecho de que el tiempo no transcurre en forma igual para observadores distintos es una de las predicciones ms sorprendentes de la teora de Einstein. Nuestro sentido comn, basado en la prctica cotidiana, indica que los relojes funcionan de la misma forma, sin importar cmo se mueven. No es entonces absurdo pretender que el tiempo medido es relativo al observador? Es importante sealar que el efecto predicho por

Einstein slo es perceptible a velocidades cercanas a la de la luz.

Para ser ms precisos, supongamos que, en un cierto sistema de referencia, dos sucesos ocurren en el mismo lugar y con un intervalo de tiempo t. En otro sistema de referencia que se mueve con velocidad V con respecto al primero, los dos sucesos ocurren con un intervalo de tiempo t' dado por la frmula:

` =

1 2

2

(c: velocidad de la luz); es decir, el tiempo medido en el segundo sistema es mayor que el

medido en el primero. Qu tan mayor depende de la velocidad V; si V es muy pequea con respecto a la velocidad de la luz c, entonces la diferencia entre t y t' es prcticamente imperceptible. Por ejemplo, si V=10 000 kilmetros por hora, t y t' apenas difieren en una parte en cien mil millones; en el otro extremo, si V es cercano a la velocidad de la luz, entonces es mucho mayor que t (por ejemplo, si V es 0,997 veces la velocidad de la luz, entonces t' es 13 veces mayor que t).

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Hay que precisar que esta frmula es vlida slo para un sistema de referencia inercial que se mueve a una velocidad constante con respecto a otro sistema; en el caso de movimientos ms complicados, la frmula exacta ser, en general, distinta. La relacin entre los tiempos medidos en dos sistemas de referencia en movimiento relativo est determinada por el valor del llamado factor de Lorentz:

As, la razn por la que no percibimos variaciones de tiempo en nuestra experiencia diaria es que estamos acostumbrados a movernos a velocidades extremadamente pequeas con respecto a la velocidad de la luz. Si la velocidad de la luz fuera muchsimo menor de lo que es, estaramos acostumbrados a variaciones del tiempo, y no hubiera sido necesario un Einstein para convencernos de que el tiempo es relativo a quien lo mide.

Pero entonces, es imposible determinar en forma nica la duracin de un fenmeno?, nos condena la relatividad a perder el concepto del tiempo? Nada de eso. El tiempo que marca un reloj es un concepto perfectamente bien definido. De acuerdo con la teora de la relatividad, el tiempo de ese reloj no coincide con el que marca otro reloj que se mueve con respecto al primero, pero la relacin entre los dos tiempos se puede determinar

perfectamente.

En conclusin, si queremos medir el tiempo transcurrido entre dos sucesos, nos conviene hacerlo en un sistema de referencia en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto. Al tiempo as medido, los fsicos llaman tiempo propio. En otro sistema de referencia que

se mueve con respecto al primero, los dos sucesos no parecen ocurrir en el mismo sitio y

el tiempo transcurrido entre ellos difiere del tiempo propio por el factor de Lorentz.

Minkowski (1908) se percat que la prdida de invariancia de la mtrica eucldea espacial era debida a la relacin existente entre el espacio y el tiempo, por lo cual la mtrica

correcta deba contener al tiempo.

Especficamente se ha demostrado que si aceptamos que los fenmenos que ocurren en nuestro Universo responden a una mtrica cuadridimensional seudo eucldea del espacio-tiempo, entonces el Principio de Relatividad y la existencia de una velocidad tope y absoluta pueden ser obtenidos como consecuencias.

De acuerdo con el notable fsico ruso A. Logunov, la Teora de Relatividad queda rigurosamente establecida postulando que los fenmenos fsicos suceden en un

espacio cuadridimensional cuya geometra es seudo eucldea.

Esta formulacin moderna de la Relatividad Especial (Logunov, 1996) reviste una extraordinaria importancia ya que establece rigurosamente que las condiciones de validez de la teora dependen nica y exclusivamente de las propiedades del espacio y el tiempo asignadas.

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Es fundamental resaltar que la homogeneidad e isotropa del espacio, la uniformidad del tiempo, y la mtrica seudo eucldea invariante, que convalidan la Teora Especial de Relatividad, son exactamente los mismos postulados que fundamentan los llamados Principios Universales de conservacin (Teorema de Emmy Noether, 1915), por lo cual todas las leyes vlidas en esta teora poseen la misma jerarqua que las leyes de

conservacin de la energa, de la cantidad de movimiento y del momento angular.

En consecuencia, el extraordinario descubrimiento hecho por A. Logunov nos pone frente a una integracin histrica de las leyes relativistas de la Fsica y los Principios

Universales.

Contraccin de la longitud

Otra consecuencia sorprendente de la teora de Einstein es que el espacio, al igual que el

tiempo, tambin es relativo a quien lo mide.

Ms especficamente, si la longitud de un cuerpo en reposo es L, entonces su tamao en

movimiento, digamos L', ser menor, de acuerdo con la frmula:

Tal y como sucede con el tiempo, esta contraccin aparente de la longitud es

imperceptible si la velocidad del objeto es mucho menor que la velocidad de la luz.

Es importante, sin embargo, no confundir esta contraccin del tamao con la apariencia visual de un objeto en movimiento. Cuando vemos un objeto, percibimos en cada instante la luz que fue emitida por distintas partes del cuerpo a tiempos distintos, porque la luz no

se propaga instantneamente. Este efecto debe tomarse en cuenta, en combinacin con la contraccin mencionada ms arriba, para deducir la apariencia de un cuerpo en

movimiento. Volveremos a este tema en la clase siguiente.

Dado que la forma matemtica de una ley tiene implcita la geometra utilizada, las leyes que describen el comportamiento de los fenmenos sern distintas en marcos tericos

que usen diferentes mtricas.

Materia y Energa

Adems de la contraccin del tiempo y del espacio, la teora de la relatividad predice un efecto que, en un principio, pareca un resultado puramente formal, pero que algunos aos ms tarde modific fundamentalmente el curso de la historia. Einstein se dio cuenta de que la masa y la energa de un cuerpo aparecen siempre unidas de una manera muy conspicua en las ecuaciones de su teora. Esto le condujo a afirmar que existe una

equivalencia entre la masa y la energa expresada por la frmula:

E= m.c2

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donde E es la energa de un cuerpo, m su masa y c2 la velocidad de la luz elevada al

cuadrado.

En la mecnica newtoniana, un cuerpo de masa m que se mueve con velocidad V posee, en virtud de su movimiento, una energa igual a 1/2 m V2.

En la teora de la relatividad, la energa de movimiento del cuerpo resulta ser:

donde una vez ms aparece el factor de Lorentz.

Lo interesante de esta frmula es que, incluso cuando un cuerpo se encuentra en reposo (es decir, V = 0), posee una energa que es justamente mc2. Einstein concluy que un

cuerpo aun en reposo posee una energa almacenada en forma de masa.

La frmula de Einstein E = mc2 afirma que un solo kilogramo de materia equivale aproximadamente a toda la energa que se consume en la Tierra en una hora.

Obviamente surge la pregunta de si se puede extraer, en la prctica, la enorme energa almacenada en la materia. Al principio Einstein y los dems fsicos pensaban que eso era slo una ilusin; pero la situacin empez a cambiar en los aos treinta...

Algunas veces, la frmula de Einstein se interpreta en el sentido de que un cuerpo que se mueve aumenta su masa, adquiriendo una nueva masa m' (masa aparente relativista)

dada por la frmula:

Sin embargo, es ms conveniente interpretar esto como un aumento de energa del cuerpo, ya que en la prctica, la masa de un cuerpo en movimiento no se puede medir sin ambigedades.

Por ltimo, hay que notar que segn la frmula anterior la energa de un cuerpo aumenta

indefinidamente a medida que su velocidad v tiende a la velocidad luminosa.

Para que un cuerpo alcance la velocidad de la luz, se necesita una energa infinita. Por

esta razn, la velocidad de la luz es una barrera natural a todas las velocidades en la naturaleza: todo cuerpo masivo est restringido a moverse ms lentamente que la luz.

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Bibliografa:

1 A. Logunov (Curso de Teora de la Relatividad y de la Gravitacin, Lecciones 1 y 2, 1998)

2 N. Mermin ("Relativity without light", Am. J. Phys. 52 (2), 1984)

3 - S. Cacciatori, V. Gorini, A. Kamenshchik ("Special Relativity in the 21st century", 2008)

4 - Mitchell J. Feigenbaum ("The Theory of Relativity - Galileo's Child", 2008)

Extrado de:

http://www.fisica-relatividad.com.ar/sistemas-inerciales/postulados-de-la-teoria-de-relatividad/postulados-de-la-teoria-de-relatividad