Teoría de la dualidad y análisis de sensibilidad Investigación de operaciones I

Alex Rengifo Rojas

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TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

3.1. Introducción

Uno de los descubrimientos más importante durante el desarrollo inicial de la programación lineal fue el concepto de dualidad y sus muchas e importantes ramificaciones. Este descubrimiento reveló que, asociado a todo problema de programación lineal, existe otro problema lineal llamado dual. Las rela-ciones entre el problema dual y el original (llamado primal) son en extremo útiles en una gran variedad de situaciones. Por ejemplo, se verá que de hecho la solución óptima del problema dual es la que pro-porciona los precios sombra.

Uno de los aspectos más importante de la teoría de dualidad es la interpretación y realización del análi-sis de sensibilidad. El análisis de sensibilidad constituye una parte esencial en casi todos los estudios de programación lineal, ya que, tiene el propósito principal de identificar los parámetros sensibles (esto es, aquellos que no pueden cambiar sin cambiar la solución óptima). Los parámetros sensibles son los parámetros que será necesario controlar muy de cerca conforme el estudio se ponga en práctica. Si se descubre que el valor verdadero de un parámetro sensitivo difiere de su valor estimado en el modelo, esto da la señal inmediata de que la solución debe cambiar.

3.2. El Modelo Primal y Dual.

El problema dual es una programación lineal definida en forma directa y sistemática a partir del modelo original (o primal) de programación lineal. Los dos problemas están relacionados en forma tan estrecha que la resolución óptima de un problema produce en forma automática la resolución óptima del otro.

En la mayor parte de las presentaciones de programación lineal, el dual se define para varias formas del primal, dependiendo del sentido de la optimización (maximización o minimización), tipos de restriccio-nes (≤, ≥ o =), y la orientación de las variables (no negativa o no restringida).

Construcción del problema dual: 1. Si es problema de minimización el dual será de maximización y viceversa. 2. En el dual habrá tantas variables como restricciones en el primal. 3. En el dual habrá tantas restricciones como variables en el primal. 4. Los coeficientes de la función objetivo del dual vendrán dados por los coeficientes del lado derecho

de las restricciones del primal. 5. Los coeficientes del lado derecho del dual vendrán dados por los coeficientes de la función objetivo

del primal. 6. Los coeficientes que acompañarán a las variables en una restricción del dual corresponderán a aque-

llos coeficientes que acompañan a la variable primal correspondiente a la restricción dual.

Propiedades:

1. Los valores óptimos, cuando existen, de ambos problemas son iguales. 2. La tabla final del método simplex, aplicado a cualesquiera de los problemas, proporciona soluciones

óptimas de los dos problemas, por lo cual, es suficiente resolver uno de ellos, por ejemplo, aquel que tenga el menor número de restricciones o la forma más sencilla, cuando este sea el caso.

3. Cómo se afecta o varía el valor óptimo del problema primal cuando se modifican los valores de las contantes de los lados derechos de las restricciones, esto es cuando se aumentan o disminuyen los recursos disponibles.

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3.3. El Método Dual – Simplex

Sea el problema primal Función objetiva (F.O):

2211 XcXcZMaximizar

Sujeto a (S.a):

1212111 bXaXa

2222121 bXaXa

3232131 bXaXa

0, 21 XX

En donde todas las restricciones tienen signo ≤ y las constantes b1, b2 y b3, son números arbitrarios. Se define el problema dual del primal mediante:

Sea el problema dual Función objetiva (F.O):

332211 YbYbYbWMinimizar

Sujeto a (S.a):

1331221111 cYaYaYa

2332222112 cYaYaYa

0,, 321 YYY

En donde todas las restricciones tienen el signo ≥. Se mencionan algunas características del problema dual:

1) Cada restricción (del problema) primal determina una variable dual, por ejemplo

1212111 bXaXa (1)→Variable dual 1Y

2) Los coeficientes o costos de función objetivo del problema dual son precisamente las constantes ib del

segundo miembro de las restricciones primales, de manera que la función objetivo dual es

332211 YbYbYb

3) Cada variable primal determina una restricción dual, por ejemplo, a la variable primal 1X le corres-

ponde la restricción dual:

1331221111 cYaYaYa

En donde los coeficientes 11a , 21a , 31a son los coeficientes de la variable 1X en las restricciones, y 1c

es el costo de 1X en la función objetivo.

Como se observa en la siguiente representación tabular, esta restricción dual se forma con los forma

con los coeficientes de la columna de 1X .

X1 X2 ≤

Y1 a11 a12 b1 Y2 a21 a22 b2 Y3 a31 a32 b3

≥ c1 c2 W Z

2211 XcXcZMaximizar

332211 YbYbYbWMinimizar

Se dice que la definición dada corresponde al caso simétrico, porque las formas de los problemas pre-sentan las siguientes particularidades:

1) Uno de los problemas es de maximización y tiene restricciones de desigualdades ≤. 2) El otro problema es de minimización y tiene restricciones de desigualdades ≥. 3) Las variables de ambos problemas son no negativas.

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3.4. Ejercicios de aplicación

Ejemplo 01: El problema primal

F.O: 21 30X50XZMax

S.a:

1000X2X 21

1200X4X 21

0X;X 21

Solución:

Estandarizando, el sistema de ecuaciones:

2121 0S0S0X350XZ

1000S2XX 121

1200X4X 221 S

Ordenando el sistema de ecuaciones, estandarizando:

00S0S0X350XZ 2121

1000S2XX 121

1200X4X 221 S

Llevando a la tabla simplex:

V.B Z X1 X2 S1 S2 Solución

1 -50 -30 0 0 0 F1

S1 0 1 2 1 0 1000 F2

S2 0 4 1 0 1 1200 F3

Primera iteración:

V.B Z X1 X2 S1 S2 Solución

1 0 -35/2 0 50/4 15000 F4=F6(50)+F1

S1 0 0 7/4 1 -1/4 700 F5=F6(-1)+F2

X1 0 1 1/4 0 1/4 300 F6=F3/4

Segunda iteración:

V.B Z X1 X2 S1 S2 Solución

1 0 0 10 10 22000 F7=F8(35/2)+F4

X2 0 0 1 4/7 -1/7 400 F8=F5(4/7)

X1 0 1 0 -1/7 8/28 200 F9=F8(-1/4)+F6

Por lo tanto, la solución óptima será: X1=200, X2=400 y Z=22000

El problema dual

F.O: 21 1200Y1000YWMin

S.a:

504 21Y Y

30 21 Y2Y

0; 21 YY

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Solución:

Estandarizando, el sistema de ecuaciones:

212121 MAMA0S0S1200Y1000YW

50 1121 AS4YY

30ASY2Y 2221

Ordenando el sistema de ecuaciones, estandarizando:

0 212121 MAMA0S0S1200Y1000YW

50 1121 AS4YY

30ASY2Y 2221

Llevando a la tabla simplex:

V.B W Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 Solución

1 -1000 -1200 0 0 -M -M 0 F1

A1 0 1 4 -1 0 1 0 50 F2

A2 0 2 1 0 -1 0 1 30 F3

Primera iteración:

V.B W Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 Solución

1 3M-1000 5M-1200 -M -M 0 0 80M F4=(F5+F6)M+F1

A1 0 1 4 -1 0 1 0 50 F5=F2

A2 0 2 1 0 -1 0 1 30 F6=F3

Segunda iteración:

V.B W Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 Solución

1 -700-(7/4)M 0 -300-M/4 -M 300-(5/4)M 0 15000+(35/2)M F7=F8(1200-5M)+F4

Y2 0 1/4 1 -1/4 0 1/4 0 50/4 F8=F5/4

A2 0 7/4 0 1/4 -1 -1/4 1 35/2 F9=F8(-1)+F6

Tercera iteración:

V.B W Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 Solución

1 0 0 -200 -400 200-M 400-M 22000 F10=F12(700-(7/4)M)+F7

Y2 0 0 1 -2/7 1/7 2/7 -1/7 10 F11=F12(-1/4)+F8

A2 0 1 0 1/7 -4/7 -1/7 4/7 10 F12=F9(4/7)

Por lo tanto, la solución óptima será: Y2=10, Y1=10 y W=22000

Ejemplo 02: El problema primal

F.O: 21 4X3XZMin

S.a:

12 21 X2X

192 21 X3X

0X;X 21

Solución:

Estandarizando, el sistema de ecuaciones:

21121 MAMA0S4X3XZ

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12AX2X 121

19SA2X3X 1221

Ordenando el sistema de ecuaciones, estandarizando:

0 21121 MAMA0S4X3XZ

12AX2X 121

19SA2X3X 1221

Llevando a la tabla simplex

V.B Z X1 X2 S1 A1 A2 Solución

1 -3 -4 0 -M -M 0 F1

A1 0 2 1 0 1 0 12 F2

A2 0 3 2 -1 0 1 19 F3

Primera iteración:

V.B Z X1 X2 S1 A1 A2 Solución

1 5M-3 3M-4 -M 0 0 31M F4=(F5+F6)M+F1

A1 0 2 1 0 1 0 12 F5=F2

A2 0 3 2 -1 0 1 19 F6=F3

Segunda iteración:

V.B Z X1 X2 S1 A1 A2 Solución

1 0 (M-5)/2 -M (3-5M)/2 0 18+M F7=F8(3-5M)+F4

X1 0 1 1/2 0 1/2 0 6 F8=F5/2

A2 0 0 1/2 -1 -3/2 1 1 F9=F8(-3)+F6

Tercera iteración:

V.B Z X1 X2 S1 A1 A2 Solución

1 0 0 -5 -6-M 5-M 23 F10=F12((5-M)/2)+F7

X1 0 1 0 1 2 -1 5 F11=F12(-1/2)+F8

X2 0 0 1 -2 -3 2 2 F12=F9(2)

Por lo tanto, la solución óptima será: X1=5, X2=2 y Z=23 Transformando el problema primal, antes de su transformación al problema dual:

F.O: 21 4X3XZMin

S.a:

1212 2121 X2XX2X

1212 2121 X2XX2X

192192 2121 X3XX3X

0X;X 21

El problema dual

F.O: 211 19YY12YWMax 12

S.a:

3 211 3Y2Y2Y

42 211 YYY

0Ysigno;enoirrestrict,Y 21 y 111 YYY

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Solución:

Estandarizando, el sistema de ecuaciones:

21211 0S0S19Y12Y12YW

3S3Y2Y2Y 1211

4S2YYY 1211

Ordenando el sistema de ecuaciones, estandarizando:

0 21211 0S0S19Y12Y12YW

3S3Y2Y2Y 1211

4S2YYY 1211

Llevando a la tabla simplex

V.B W Y1

+ Y1- Y2 S1 S2 Solución

1 -12 12 -19 0 0 0 F1

S1 0 2 -2 3 1 0 3 F2

S2 0 1 -1 2 0 1 4 F3

Primera iteración:

V.B W Y1

+ Y1- Y2 S1 S2 Solución

1 2/3 -2/3 0 19/3 0 19 F4=F5(19)+F1

Y2 0 2/3 -2/3 1 1/3 0 1 F5=F2/3

S2 0 -1/3 1/3 0 -2 1 2 F6=F5(-2)+F3

Segunda iteración:

V.B W Y1

+ Y1- Y2 S1 S2 Solución

1 0 0 0 7/3 2 23 F7=F9(2/3)+F4

Y2 0 0 0 1 -11/3 2 5 F8=F9(2/3)+F5

Y1- 0 -1 1 0 -6 3 6 F9=F6(3)

Por lo tanto, la solución óptima será:

6606 1111 --Y-Y5;Y -1

-12 YYYY 23W;

3.5. Papel de la teoría de dualidad en el análisis de sensibilidad.

3.6. Aplicaciones del análisis de sensibilidad.