TEORIA DE JUEGOS

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÈCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÒN-PORLAMAR

REALIZADO POR:STALIN MEZAC.I:17.090.049

Teoría de Juego

La teoría de juego es un análisis dirigido a predecir el resultado de mayor probabilidad resultado cierto o el resultado más probable. Fue diseñada y elaborada por el matemático John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern en 1939, con el fin de realizar análisis económico de ciertos procesos de negociación. Von Neumann y Morgenstern escribieron el libro The Theory of Games and Economic Behaviour (1944).

A.W. Tucker es quien diseñó el famosísimo problema del “Dilema del Prisionero”. El matemático John Forbes Nash, Jr. (1928-) creó en 1950 la noción de "Equilibrio Nash", que corresponde a una situación en la que dos partes rivales están de acuerdo con determinada situación del juego o negociación, cuya alteración ofrece desventajas a ambas partes. Otros importantes representantes de la teoría de juegos fueron el húngaro nacionalizado estadounidense John Harsanyi (1920-) y el alemán Reinhard Selten. Nash, Harsanyi y Selten recibieron el Premio Nobel de Economía de 1994 por sus contribuciones a la Teoría de Juegos.

Identificar los elementos en la Teoría de JuegoUn juego en forma extensiva se compone de los siguientes elementos:

1. El conjunto de jugadores, quienes toman decisiones y son racionales (intentan maximizar su utilidad).

2. Un árbol del juego.3. La información que dispone un jugador en cada nodo en el que le toca

decidir.4. Las estrategias de cada jugador, las cuales guiarán al jugador hacia la

acción a elegir cuando llega a cada nodo (conjuntos de información).5. Los resultados de los jugadores, los cuales se muestran en los nodos

terminales del árbol del juego.

Establecer las herramientas de la Teoría de Juego

La conducta de un jugador

Se requiere tipificar la conducta de cada jugador, de manera que pueda saberse de qué forma probable o cierta se comportará el jugador. La regla de oro del análisis de juegos es la siguiente: “cada jugador buscará su máximo bienestar posible”. De esta forma, cuando estudiemos el proceder de un jugador, sabremos que éste deberá calificar cada situación y perseguir siempre las situaciones particulares que ofrezcan el mayor bienestar.

La función de utilidad Un concepto central es el de la función de utilidad. La función de utilidad convierte a los pagos en bienestar. Por ejemplo, si se consiguió un pago de veinticinco dólares, éste pago podría generar un bienestar de veinticinco unidades de bienestar, y estaríamos hablando de una función identidad.

La solución y el Valor de la solución de un juego La solución de un juego es la combinación de ganancias o pérdidas que da el juego con certidumbre o con alta probabilidad a los jugadores. Si el juego es suma cero, lo que ganan unos lo pierden otros.

Curvas de Reacción En la teoría de juegos, las curvas de reacción muestran, en un gráfico cartesiano, las combinaciones de decisiones (puede ser en las abscisas) y pagos (puede ser en las ordenadas).

Árboles de resultados sucesivos Un diagrama de árbol de resultados sucesivos se utiliza en juegos que implican secuencias de movimientos (un movimiento es un binomio decisión-acción). En este árbol, se define un punto de partida (por ejemplo, la posición inicial del jugador A). A partir del inicio, se extienden ramas que representan los diferentes movimientos que puede realizar el jugador que inicia la competencia.

Equilibrio Nash Dada una situación cualquiera definida por una elección de A y una elección de B, si ocurre que A supone que B no modificará su elección y opta por no modificar la suya propia y, simultáneamente, B supone que A no modificará su elección y opta también por no modificar la suya, se dice que tal situación es un equilibrio Nash. Como se ve, el equilibrio Nash es una situación que presenta ventajas para los dos jugadores, y en razón de tales ventajas, ni A ni B cambiarán de decisión.

Estrategias puras y estrategias mixtas Una estrategia pura es aquella decisión que se toma con certeza. En contraposición a tal concepto, una estrategia mixta es una combinación de decisiones tomada de acuerdo a una serie de probabilidades, la suma de las cuales debe necesariamente dar el 100%. Cuando un problema no alcanza una solución vía estrategias puras, con frecuencia puede ser enfocado desde una perspectiva de estrategias mixtas. Así, se dice que los problemas que no tienen solución vía estrategias puras pueden tenerla vía estrategia mixtas. Ambas situaciones pueden ser vistas como soluciones ciertas versus gamas de soluciones probables.

Fuente Teoría

El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las acciones de jugadores interdependientes. Un juego es cualquier situación en la cual compiten dos o más jugadores. El ajedrez y el póker son buenos ejemplos, pero también lo son el duopolio y el oligopolio en los negocios. La extensión con que un jugador alcanza sus objetivos en un juego depende del azar, de sus recursos físicos y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del juego y de los cursos de acciones que siguen los jugadores individuales, es decir, sus estrategias. Una estrategia es una especificación de la acción que ha de emprender un jugador en cada contingencia posible del juego.

Identificación de los jugadoresEn la teoría de los juegos, un “concepto de solución” para juegos con dos o más jugadores, el cual asume que:Cada jugador conoce y ha adoptado su mejor estrategia, yTodos conocen las estrategias de los otros.

Consecuentemente, cada jugador individual no gana nada modificando su estrategia mientras los otros mantengan las suyas. Así, cada jugador está ejecutando el mejor "movimiento" que puede dados los movimientos de los demás jugadores.

En otras palabras, un equilibrio de una situación en la cual todos los jugadores han puesto en práctica, y saben que lo han hecho, una estrategia que maximiza sus ganancias dadas las estrategias de los otros. Consecuentemente, ningún jugador tiene ningún incentivo para modificar individualmente su estrategia.

Formulación de juegos de dos personas con suma cero Para ilustrar las características básicas de un modelo de teoría de juegos, considérese el juego llamado pares y nones. Éste consiste nada más en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dedos. Si el número de dedos coincide, el jugador que apuesta a pares (por ejemplo, el jugador 1) gana la apuesta (digamos $l) al jugador que va por nones (jugador II). Si el número no coincide, el jugador 1 paga $l al jugador II.

Entonces, cada jugador tiene dos estrategias: mostrar uno o dos dedos. La tabla a continuación contiene el pago en dólares que resulta para el jugador 1 en una matriz de pagos.

Identificación de las estrategias del jugador I y II

  En general, un juego de dos personas se caracteriza por : 1. Las estrategias del jugador I. 2. Las estrategias del jugador II. 3. La matriz de pagos. Antes de iniciar el juego, cada jugador conoce las estrategias de que dispone, las que tiene su oponente y la matriz de pagos. Una jugada real en el juego consiste en que los dos jugadores elijan al mismo tiempo una estrategia sin saber cuál es la elección de su oponente. Una estrategia puede constituir una acción sencilla, como mostrar un número par o non de dedos en el juego de pares y nones.

Por otro lado, en juegos más complicados que llevan en sí una serie de movimientos, una estrategia es una regla predeterminada que especifica por completo cómo se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del juego. Por ejemplo, una estrategia de un jugador de ajedrez indica cómo hacer el siguiente movimiento para todas las posiciones posibles en el tablero, de manera que el número total de estrategias posibles sería astronómico.

  Dada una aplicación   y un elemento   del conjunto  , resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos   que verifican la expresión:  . Al elemento   se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento   que verifique  .El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto   son funciones y la aplicación   debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.La definición que se ha dado incluye las ecuaciones de la forma  , pues, si   es un grupo basta con definir la aplicación   y la ecuación se transforma en  .El método de programación dinámica rompe este problema de decisión en subproblemas más pequeños. Principio de Richard Bellman de optimalidad se explica cómo hacerlo:

Definición de las ecuaciones para la resolución del problema.

 Como sugiere el principio de optimalidad, consideraremos la primera decisión por separado, dejando de lado todas las decisiones futuras (vamos a empezar de nuevo de vez en 1 con el nuevo estado  ). La recogida de las futuras decisiones entre paréntesis a la derecha, el problema anterior es equivalente a:

sujeto a las restricciones:

Aquí estamos eligiendo  , Sabiendo que nuestra elección hará que el tiempo de 1 estado sea  . Ese nuevo estado será entonces afectar el problema de decisión de vez en 1. Todo el problema de decisión futura aparece dentro de los corchetes de la derecha.La ecuación de tiempo discreto correspondiente se refiere generalmente como la ecuación de Bellman. En tiempo continuo, el resultado puede ser visto como una extensión del trabajo a principios de la física clásica en la ecuación de Hamilton-Jacobi por William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi. 

Identificación de la estrategia punto de silla

 

El punto de silla consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al lado derecho de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna, luego se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos. Si el máximo de los mínimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de silla que se convertirá automáticamente en el valor del juego

MINMAX = 5MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = 5VALOR DE JUEGO 5VALOR DE + REsta es una de las técnicas para analizar y resolver un problema de juegos. No es

el caso más común en la teoría de juegos.

Desarrollo del Método Algebraico 

Este tipo de solución es aplicable cuando no existe un punto de silla y

preferiblemente cuando la matriz de consecuencias es cuadrada. Para una mejor comprensión, se considera un juego bipersonal en el cual cada uno de los oponentes maneja dos estrategias. La matriz de consecuencias es la siguiente

Desarrollo del método del sub – juego. 

Reinhard Selten demostró que cualquier juego que se pueda dividir en "subjuegos" contiene un subconjunto de todas las opciones disponibles en el juego principal y que por lo tanto tendrá una estrategia de equilibrio perfecto en subjuegos (posiblemente una estrategia mixta).3La perfección en subjuegos sólo se utiliza con juegos de información completa. El equilibrio perfecto en subjuegos puede utilizarse con juegos completos de forma extensiva, pero de información imperfecta.

El equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es normalmente deducido por "inducción hacia atrás" de los distintos resultados finales del juego, eliminando las ramas que impliquen cualquier jugador que hace un movimiento que no es creíble (porque no es óptimo) de ese nodo.

Desarrollo del método gráfico   El siguiente método gráfico que presentaremos para resolver un caso simple, de juego de dos personas, pierde eficiencia cuando aparecen dimensiones mayores. En este caso hay que recurrir a métodos más complicados de cálculo, dando lugar a posibilidades amplias de aplicación de métodos de la programación lineal.método gráfico. Supongamos que tenemos el siguiente juego:  para saber que probabilidades tenemos que asignarle a cada alternativa, se procede de manera separada para cada jugador, asi: :

Para el jugador renglón: p1: la probabilidad de elegir la estrategia Ip2: la probabilidad de elegir la estrategia II. p1 + p2 = 1 Ahora tenemos que hallar las ecuaciones que resultan al determinar los valores esperados por el jugador renglón, teniendo en cuenta lo que juega el jugador columna. Si el jugador columna elige la estrategia I, el valor esperado por en jugador renglón es:

 Pero tenemos que:

 Entonces nos queda:  

Método Grafico

Si el jugador columna juega la estrategia II:   

Ahora se procede a graficar las dos ecuaciones: Para la ecuación 1:Si p1 = 0, entonces Ve = -1Si p1 = 1, entonces Ve = 3 Para la ecuación 2:Si p1 = 0, entonces Ve = 5Si p1 = 1, entonces Ve = -2 

La gráfica queda de la siguiente manera