Teora de Juegos

Conceptualizacin La teora de los juegos es una rama de la matemtica con aplicaciones a la economa, sociologa, biologa y psicologa, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados

(juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de accin. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de accin escogidos por el resto de los individuos.

La teora de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de

optimizacin interactiva. La teora de juegos tiene muchas aplicaciones en las

ciencias sociales. La mayora de las situaciones estudiadas por la teora de juegos

implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular inters son

las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los

agentes cooperan entre s, que cuando los agentes intentan maximizar slo su

utilidad.

La teora de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego,

John Nash, A.W. Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teora de

juegos.

JUEGO

Se denomina juego a la situacin interactiva especificada por el conjunto de

participantes, los posibles cursos de accin que puede seguir cada participante, y

el conjunto de utilidades.

ESTRATEGIA

Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para

realizar su eleccin, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia

es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se

explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisin que los

agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la informacin

disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.

RESULTADOS DE LOS JUEGOS

El resultado de un juego es una cierta asignacin de utilidades finales. Se

denomina resultado de equilibrio si ningn jugador puede mejorar su utilidad

unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias.

Un equilibrio estratgico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador

se mantiene en su estrategia, ningn jugador puede mejorar su utilidad

cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un

equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.

FORMA NORMAL VS FORMA EXTENSIVA DE LOS JUEGOS

En juegos de forma normal, los jugadores mueven simultneamente. Si el

conjunto de estrategias es discreto y finito, el juego puede ser representado por

una matriz NxM (ver abajo). Un juego en forma extensiva especifica el orden

completo de movimientos a travs de la direccin del juego, generalmente en un

rbol de juego.

JUEGOS NxM

Una forma de juegos de dos jugadores, en la cual un jugador tiene N acciones

posibles y el otro tiene M acciones posibles. En un juego as, los pares de

utilidades o pagos pueden ser representados en una matriz y el juego es

fcilmente analizable. Los juegos NxM dan una idea de cmo puede verse la

estructura de un juego mas complejo.

ESTRATEGIA DOMINANTE

Una estrategia dominante es aquella eleccin que realiza el jugador

independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la

matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir abajo, mientras que

la estrategia dominante para B es elegir izquierda. Estas estrategias

dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del

juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el

resultado del juego.

Tomado de: www.econlink.com.ar/.../teoriadejuegos.shtml

Juegos de suma cero Denominaremos a uno jugador fila y al otro jugador columna. El primero ha de elegir una de m estrategias y el jugador columna una de n estrategias. Se supondr que si el primero elige i y el segundo j habr una ganancia de aij para el primero y una prdida de aij para el segundo. Esto se conoce como juego de suma cero. Se podra decir que en un juego de suma cero con dos jugadores lo que gana uno proviene del otro sin posibilidad de cooperacin entre ellos. Cuando uno gana el otro pierde la misma cantidad. Todo esto puede representarse mediante una matriz de ganancias del jugador fila:

Se dice que el juego tiene punto silla y a este nmero se le llama valor (v) del juego para el jugador fila. Una forma sencilla de determinar este punto es buscar un numero de la matriz que sea el menor en su fila y el mayor en su columna.

EJEMPLO

Supongamos que los dos grandes productores de agendas electrnicas se proponen sacar al mercado un modelo nuevo con telfono mvil incorporado. Pueden establecer un convenio con cuatro de las compaas telefnicas y uno de los dos productores podra desarrollar una compaa telefnica propia. La matriz de ganancias sera:

Vemos que en 5 hay un punto silla y corresponde a la eleccin de Entfone por parte de la compaa CASIE y de Windtel por parte de la compaa PAM. Este es

un punto de equilibrio en el que ninguno de los jugadores puede beneficiarse con

un cambio unilateral de estrategia. En este caso el equilibrio se logra asumiendo CASIE una prdida de 5 como mal menor y PAM una ganancia segura de 5.

Juegos de suma cero para dos jugadores con estrategias aleatorizadas

Se analizarn ahora aquellos juegos que no tienen punto silla, que de hecho son mucho ms frecuentes en la prctica. Para ello supongamos que dos personas van a jugar a pares o impares solamente con la posibilidad de sacar uno o dos dedos cada uno. Si la suma de ambos es par el jugador A pagar un euro al jugador B. En caso contrario ser B el que pague a A. Por tanto la matriz de beneficios se puede expresar de la forma siguiente:

No hay punto silla. Eso significa que para cualquier decisin de estrategias hay un jugador que puede beneficiarse cambiando de estrategia unilateralmente. Si por ejemplo los dos sacan dos dedos el resultado sera par y ganara B. Pero al cambiar A de estrategia pasara a ganar A y por tanto a perder B.

Se determinarn ahora estrategias ptimas y el valor de este juego. Para ello se ampla el conjunto de estrategias posibles. Hasta ahora se ha supuesto que cada vez que un jugador participa en un juego utilizar la misma estrategia. Ahora se permitir que un jugador opte por una estrategia concreta en una proporcin determinada de casos, que llamaremos probabilidad. Este tipo de estrategias se denominan estrategias aleatorizadas o mixturas. En general podramos representar una estrategia aleatorizada de A de la forma (x1, x2) y una de B de la forma (y1, y2). Esto quiere decir que si el jugador A utiliza la estrategia (x1, x2) sacar un dedo en el 100x1 % de las veces que juegue y dos en el resto (100x2 %). Por supuesto ha de verificarse que

SOLUCIN GRFICA

En el ejemplo anterior la ganancia esperada de A cuando B escoge 1 sera:

y en el caso de que B elija 2 la ganancia esperada de A sera:

En la Figura 1 se representan graficamente ambas ganancias esperadas. Por tanto, suponiendo que el jugador B conoce la decision de A, (x1, 1 x1), la ganancia esperada de A vendr determinada por la linea gruesa. De este modo el punto de corte ofrece a A garantas de una ganancia media mnima de cero. Este punto proporciona la mejor estrategia para A, (1/2, 1/2). El caso de B es totalmente simetrico produciendo ahora la Figura sgte. Ambas grficas representan las ganancias medias de A. Por ese motivo B buscar minimizar la ganancia esperada de A, que conociendo de antemano la estrategia de B vendr representada por la lnea gruesa en la Figura 2. Se puede decir por tanto que en este juego el techo o nivel superior del jugador A coincide con el suelo o nivel inferior de B. Esto es algo general, de modo que siempre el suelo del jugador fila coincide con el techo del jugador columna. El valor comn de ambos se denomina valor del juego para el jugador fila. As, cualquier estrategia del jugador fila que garantice una ganancia esperada al menos igual al valor es una estrategia ptima para este jugador. Del mismo modo cualquier estrategia del jugador columna que garantice una prdida esperada a lo sumo igual al valor es una estrategia ptima para el jugador columna. En el ejemplo el valor es cero y (1/2, 1/2) ser una estrategia ptima para ambos. Adems es nica. Supongamos que el jugador A escoge la estrategia (1/3, 2/3). Entonces escogiendo B dos dedos garantiza que la ganancia media de A es negativa y por tanto su ganancia esperada es positiva. Sera una estrategia ptima para B, pero no para A.

Seleccin de la estrategia de A

Seleccin de la estrategia de B

En caso de que existan ms de dos estrategias por jugador, ser necesario el uso de la programacin lineal.

Tomado de: www.uclm.es/profesorado/jesuslopezfidalgo/juegos.pdf

Reduccin de estrategias

En ciertos casos existirn ciertas estrategias que son dominantes sobre otras, sto har posible que se puedan reducir en la medida de lo posible, para as reducir el juego con slo las estrategias que no sean dominantes sobre las dems.

Para tener una idea ms clara de ste concepto, se muestra el siguiente ejemplo de reduccin de estrategias: