UNIVERDIDAD FERMIN TOROVICE-RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

Teoría de ErroresAnálisis Numérico

AlumnoVanessa Pombo

C.I.: 20.922.987

Cabudare, Noviembre del 2015

Esta ciencia, parte de la estadística, fue desarrollada por el matemático alemán Karl Friedrich Gauss a partir de sus estudios algebraicos y complementada luego por el inglés Sir Isaac Newton quien aplica su teoría del análisis matemático a la estadística y mas tarde por el francés Pierre Simon Laplace quien con su teoría de las probabilidades le da a la estadística y la teoría de errores carácter de ciencia.

CONCEPTO

Es una ciencia fundamental para todas las materias donde se manejan y analizan grandes volúmenes de datos provenientes de observaciones directas o mediciones realizadas en laboratorio o trabajos de campo, tales como los que se desarrollan en topografía, geodesia, física, química y sobre todo estadística.

PROCEDIMIENTOS PARA CUMPLIR LOS OBJETIVOS DE LA TEORIA DE ERRORES

Análisis Matemático

Integrales, Derivadas, Logaritmos Neperianos

Cuando se efectúa la medición de una distancia para conocer su magnitud, solo se obtiene un valor aproximado de la misma, debido a variadas causas y efectos que afectan a todas las mediciones por lo que es imposible conocer con certeza y perfección la verdadera magnitud medida y el error que se ha cometido al hacerlo. Es objetivo de la teoría de errores hallar el valor mas cercano posible al verdadero de la magnitud que medimos y el error que hemos cometido durante el trabajo de campo.

ERROR

Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el valor real. Vr y una aproximación a este valor Va:

e=Vr–Va

TIPOS DE ERROR

Error de Redondeo

Error por Truncamiento

Error Numérico Total

Error Humano

Error Inherente

Error AbsolutoError Relativo

Error de Formulación

Error de Redondeo

Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se este utilizando.

Ejemplo:Redondeando el número π =

3,141592 a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π=3,142 y a las diezmilésimas π=3,1416.

Error por Truncamiento

Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un numero infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylo r. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

Ejemplo:Dados los números reales:

3,1415926535897932,438191288

6,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal. El resultado es:

3,141532,43816,3444

Error Numérico Total

Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realiza para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.

Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Error Humano

Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar números erróneos por su funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.

Error InherenteEn muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud física.

Ejemplo:El diámetro de la sección de una varilla de acero presentará un error

según se haya medido con una cinta métrica o con un pie de rey.

Error Absoluto

Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado:

Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementa juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos.

Error absoluto = [exacto - calculado]

Error Relativo

Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos

Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]

Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para ponerlo en una base porcentual.

Error de Formulación

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto, ya que si se esta usando un modelo deficiente, ningún método numérico generara los resultados adecuados.