TEORIA DE ERRORES

TEORIA DE ERRORES

Fuentes De error

Error

Final

Definiciones Problema Matemtico: Es una descripcin clara de la conexin funcional entre los datos de entrada y de salida.

Problema Numrico: Es una descripcin clara de la conexin funcional entre los datos numricos de entrada y de salida. Debe implicar una cantidad finita de operaciones elementales realizables por computadora

Mtodo Numrico: Es un procedimiento para aproximar un problema matemtico con un problema numrico.

Algoritmo: Es una descripcin completa y bien definida de una cantidad finita de operaciones elementales a travs de las cuales es posible transformar los datos de entrada en los datos de salida.

Error absoluto, Error relativo y cota del errorSea

el valor de una cierta magnitud y sea el valor medido o calculado:

Decimales significativos

(k puede tomar el valor 1 o 0.5). Tomaremos k=0.5.Cuando el resultado de una operacin tenga ms de t decimales, escribiremos este valor con t decimales solamente siguiendo la regla: si el decimal que est en el lugar t+1 es menor que 5 dejamos los t decimales del numero como estn; si el decimal de la posicin t+1 es igual o mayor que 5 entonces le sumamos a nuestro valor y tomamos los primeros t decimales que quedan. Cuando realizamos este proceso decimos que nuestro resultado est escrito exactamente con sus decimales significativos.Propagacin de los errores inherentesSupongamos que tenemos un problema numrico donde , es decir las componentes del vector X son los datos de entrada y el vector Y representa los resultados, entonces:

Supongamos que conocemos Las operaciones que involucran al vector Y son derivables entonces desarrollando por Taylor en un entorno de tenemos:

Donde el segundo sumando indica el producto de la matriz Jacobiana por el vector que indica la variacin de los datos respecto de los valores que usamos para realizar los clculos y el tercer trmino es el resto del desarrollo de Taylor. Por lo tanto si

Podemos despreciar el trmino complementario resultando:

Propagacin del error en las operaciones elementalesSuma y resta

Producto

Divisin

Raz Cuadrada

Diremos que una operacin elemental es estable, si dada una cota para los errores inherentes relativos, los errores propagados relativos se mantienen acotados por un valor independiente de los datos de entrada.Representacin de nmerosSistemas de numeracinNuestro sistema de numeracin es posicional. Un sistema de numeracin posicional queda caracterizado por la base (B) que debe ser un numero natural mayor o igual a 2 y por un conjunto de B smbolos que determinan el alfabeto del sistema de numeracin, debiendo representar los mismos los enteros de 0 a B-1.

En nuestro sistema decimal: B=10, y los dgitos son: 0, 1,2,,9 la representacin de un numero racional es como sigue:

Las computadoras representan internamente los nmeros en sistema binario. Aqu los bits juegan el papel de los factores de las sucesivas potencias de 2 en la descomposicin de un numero:

Ejemplos

Representacin en sistemas de punto fijo

Se toman dos nmeros fijos tales que asignndose lugares a los dgitos enteros y lugares a los dgitos decimales.Ejemplos

Si n=10, =4 y =625.543 se representara 0025 543000

0.0673 se representara 0000 067300

En este tipo de representacin el numero 16537 no se representa a pesar de tener solo 5 dgitos.

Representacin en sistemas de punto flotante

En este sistema cada nmero real puede ser representado en la forma:

Donde el exponente: b indica la posicin del punto decimal con respecto al primer digito de la mantisa: a.

Se dice que un sistema es de punto flotante normalizado si imponemos a la mantisa la condicin que su primer digito despus del punto decimal sea distinto de cero, o sea:

Una computadora asigna una cantidad finita de t cifras para la mantisa y otra de e cifras para el exponente de modo que:

N=t+e

Ejemplos

Si n=6, t=4 y e=2

6385 se representara 6385 0425.5 se representara 2550 02

Nosotros consideraremos solamente sistemas de representacin de punto flotante normalizado y la correspondiente aritmtica de punto flotante.

Corte o truncamientoDado un nmero real dentro del rango de la maquina, procedemos a escribirlo en punto flotante normalizado:

Ser almacenado exactamente en la maquina como aproximacin de x por truncamiento.Redondeo o redondeo simtrico

Ser almacenado exactamente en la maquina como aproximacin de x por redondeo.Error relativo mximo de representacinSi x pertenece al rango de la maquina, de las dos formas de almacenamiento vistas anteriormente deducimos que:

EJEMPLOS1) Sean y se usa truncamiento a 5 cifras para los clculos aritmticos donde intervienen . Complete la siguiente tabla considerando como valor verdadero el valor de x e y que ofrece su calculadora.

resultadoValor realError absolutoError relativo

X+y

x-Y

X.Y

x/y

2) Evaluar en con aritmtica de tres cifras, considere valor exacto el numero que le da la calculadora con todos los decimales. Calcule los errores relativos usando truncamiento y redondeo.

exacto

truncamiento

redondeo

3) Repetir el procedimiento pero considerando que:

Observar que usando la ltima expresin los errores disminuyen.

Calculo de la propagacin de errores inherentes y de redondeo utilizando la grafica de un procesoGrafica de un procesoUna grafica de un proceso es la representacin de un algoritmo, con una convencin para identificar las flechas que aparecen en la grafica, de forma que sea fcil determinar el error relativo total (propagacin del inherente mas propagacin del de redondeo) en el resultado finalEjemplo de diagrama para las operaciones elementales

EMBED Visio.Drawing.11

EjemploQueremos efectuar la suma de tres nmeros:Y=a+b+c, usando el siguiente algoritmo

N=b+c

Y=a+n

Llamaremos a los errores relativos inherentes: y a los errores relativos de redondeo en cada suma .

Sabemos que

La grafica correspondiente es:

El error relativo total en n ser:

Y el error relativo final ser:

Si suponemos que r es una cota para los errores relativos inherentes, obtenemos una cota para el error relativo total:

El termino que multiplica a r se lo denomina condicin del problema () y es el factor de amplificacin de los errores relativos inherentes. La condicin del problema depende exclusivamente del problema numrico.

El termino que multiplica a se denomina termino de estabilidad () y depende del problema numrico y del algoritmo.

EstabilidadUn algoritmo es numricamente estable si y solo si:

Nmeros de condicinPodra ocurrir que los resultados de un problema tengan poca precisin esto puede deberse a dos cosas: el algoritmo puede no ser el mas conveniente en ese caso se dice que el algoritmo esta mal condicionado o el algoritmo es numricamente inestable; o tambin puede ser consecuencia del problema numrico mismo, es decir los resultados pueden ser muy sensibles a las perturbaciones de los datos de entrada, independientemente del algoritmo elegido, en ese caso diremos que el algoritmo es numricamente inestable o que el problema numrico es inestable.Nmero de condicin del problema

Supongamos que tenemos un problema numrico representado por:

Y el nmero de condicin del problema:

Definimos el vector de errores relativos inherentes:

Por lo tanto podemos decir que depende de los datos de entrada y es una cota del cambio relativo que el resultado exacto del problema puede tener si se producen perturbaciones relativas en los datos de entrada acotadas por r.Nmero de condicin del algoritmo.

Antes de hablar del numero de condicin del algoritmo, supongamos que la maquina opera con una unidad aritmtico-lgica con 2t dgitos y luego almacena en la memoria el resultado redondeado a t dgitos. De acuerdo a lo visto anteriormente en el apartadoError relativo mximo de representacin podemos escribir:

Donde representa una operacin elemental y es el error relativo de redondeo o representacin de la operacin

Simbolizamos por al algoritmo para resolver el problema:

. Si no existieran errores de redondeo ocurrira:

.

Pero nos interesa cuantificar la influencia de los errores de redondeo, por lo tanto utilizaremos la notacin para simbolizar el resultado considerando solo los errores de redondeo.

Ver grafico

A(x) es el valor exacto calculado con el algoritmo A.

es el valor calculado con una mquina.Sea . Si el clculo de implica L operaciones, efectuando un anlisis retrospectivo de errores tenemos:

Llamamos a los factores de amplificacin.

Definimos

Con estos valores definimos el nmero de condicin del algoritmo como:

Ejemplos1) Sea el problema de resolver: utilizando el algoritmo:

Como la nica operacin que hay que hacer es el producto resulta que :E=1Ahora debemos calcular =

Luego

2) Sea el problema de resolver: utilizando el algoritmo:

Definimos:

Un algoritmo es numricamente estable si y solo si Un algoritmo es aceptable si y solo si

Errores inherentes: (EI)

Son los errores que afectan a los datos del problema numrico y pueden tener distintos orgenes. Por ejemplo pueden ser el resultado de la incertidumbre en cualquier medicin, o por ejemplo cuando queremos ingresar en una calculadora los valores de EMBED Equation.DSMT4 , ya que usaremos solo una cantidad finita de dgitos para representarlos.

Errores de redondeo: (ER)

Son los posibles errores de representacin que se produzcan al realizar cada clculo de nuestro algoritmo.

Errores de discretizacin o truncamiento: (ED)

Son los que se producen al pasar del problema matemtico al numrico, por ejemplo cuando se desprecia el trmino complementario, suplantando una suma infinita por una finita.

Error inherente propagado: La forma en que se propaguen los errores inherentes quedara definida por el problema numrico.

Error de redondeo propagado: El error de redondeo final ser el producto de la propagacin de los errores de redondeo en los clculos y depender del algoritmo que elijamos.

Errores de discretizacin o truncamiento: Es cualitativa y cuantitativamente el que definimos para la fuente de error

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b

c

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