1. DEFINICIÓN

Es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital, en una unidad de tiempo,

se capitaliza; es decir, se adiciona al capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente

unidad de tiempo y así sucesivamente durante el horizonte temporal.

El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple, en la que el monto

final de una de ellas constituye el principal de la siguiente.

Al final del primer periodo de capitalización, el monto de una operación a interés

compuesto coincide con el monto a interés simple; siempre y cuando sean iguales las tasas y los

principales respectivos.

2. FÓRMULAS

Donde:

P: Principal, capital, valor actual o stock inicial de efectivo.

I: Interés, rédito, beneficio, utilidad, ganancia o renta.

n: Tiempo, horizonte temporal, plazo o número de periodos de capitalización.

i: Tasa de interés compuesto o tasa efectiva de interés.

S: Monto, capital final, valor futuro o stock final de efectivo.

Observaciones

2.1 Para el buen uso de las fórmulas, las unidades temporales del tiempo (n) deben expresarse

de acuerdo a las unidades temporales de la tasa efectiva (i).

2.2 Dado que la tasa de interés compuesto o tasa efectiva de interés, puede referirse a

diferentes plazos; se designará con las siguientes siglas.

INTERÉS COMPUESTO

S = P + I = P + I

Tasa Efectiva SIGLASAnual TEASemestral TESCuatrimestral TECTrimestral TETBimestral TEBMensual TEMQuincenal TEQDiaria TED

2.3 En la fórmula: el término es llamado Factor Simple de Capitalización

Compuesto (FSC). Por lo tanto, la fórmula anterior puede representarse así:

y se lee: “El FSC a una tasa efectiva i de n periodos transforma una cantidad presente P en un

valor futuro S ”.

El FSC es el monto compuesto que genera un capital de 1 unidad monetaria durante “n”

periodos a una tasa “i” por periodo. Su función es llevar al futuro cualquier cantidad presente

o traer al presente cualquier cantidad del pasado.

2.4 En la fórmula: el término (1 + i)-n es llamado Factor Simple de Actualización

Compuesto (FSA). Por lo tanto, la fórmula anterior puede representarse así:

y se lee: “El FSA a una tasa efectiva i de n periodos transforma una cantidad futura S en un

valor presente P”.

El FSA es el valor presente compuesto que genera un capital de 1 unidad monetaria, ubicado

temporalmente “n” periodos en el futuro y a una tasa periódica “i”. Su función es traer al

presente cualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier cantidad presente.

S = P. FSC i; n

P = S. FSA i; n

0 1 año n

S S2

S1

1 100

1 000

Recta

Exponencial

3. DIFERENCIAS ENTRE EL INTERÉS SIMPLE Y EL INTERÉS COMPUESTO

Interés Simple Interés Compuesto

Al final de cada unidad de tiempo el

interés periódico es constante y no genera

nuevos intereses. Es decir, el incremento

generado en cada periodo siempre es la

misma cantidad.

Al final de cada unidad de tiempo el interés

periódico es variable (creciente) y genera

nuevos intereses, ya que pasa a formar

parte del capital para efecto de calcular los

intereses de los periodos posteriores. Es

decir, el interés periódico se capitaliza.

El horizonte temporal se aplica como un

factor.

El horizonte temporal se aplica como un

exponente.

El stock final o monto crece a lo largo del

tiempo en forma de progresión aritmética

y está representado por una línea recta.

El stock final de dinero crece a lo largo del

tiempo en forma de progresión geométrica

y está representado por una línea curva

cóncava hacia arriba (exponencial).

4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Para un capital P= $. 1000 y una tasa i = 10%.

SIMBOLOGÍA:

S1 : Monto SimpleS2 : Monto Compuesto

INTERPRETACIÓN

* S1 > S2 : Menor a un año* S1 = S2 : En un año* S1 < S2 : Mayor a un año

PROBLEMAS DE INTERES COMPUESTO1. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:

a) 30% anual capitalizable mensualmente?b) 16% anual capitalizable trimestralmente?c) 2% trimestral?d) 15% anual?

2. ¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del problema anterior?a) 30% anual capitalizable mensualmente?b) 16% anual capitalizable trimestralmente?c) 2% trimestral?

3. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000 en:a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual simple.b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto semestralmente.d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible trimestralmente.

4. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente:a) Al cabo de un añob) Al cabo de dos años

5. Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000 si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente?

6. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9% convertible mensualmente?

7. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses?

8. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye intereses a razón de 3% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año. ¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés de 12% convertible mensualmente?

9. Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un pagaré por $140 000 con vencimiento a 5 años que devenga intereses a razón de 10% anual convertible semestralmente. ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al cabo de un año descuenta el documento en su banco y éste le cobra 16% de interés anual?El pagaré produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del mismo en la fecha de

su vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con los siguientes:10. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés efectiva anual es de:

a) 10%?b) 20%?

11. Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de interés. ¿En cuánto tiempo lo triplicará?

12. Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1º de febrero. ¿En qué fecha valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15% compuesta mensualmente?

13. ¿A qué tasa de interés un capital quintuplica su valor en 10 años?14. ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha incrementado a $50

000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:a) mensualmente?b) trimestralmente?

15. Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9 meses. Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado si la capitalización es trimestral.

5. TASAS EFECTIVAS.

1. Cuando Paúl nació, su abuelo hizo un depósito inicial de $. 3 000 en una cuenta bancaria; con

la finalidad de que su nieto pueda solventar sus estudios universitarios al cumplir 18 años.

¿Cuánto recibirá Paúl suponiendo que el Banco paga una tasa a interés compuesto del 1,5%

trimestral? Rpta: $. 8 763,47

2. Calcule el monto acumulado al 17 de marzo, en una cuenta abierta el 2 del mismo mes, con un

principal de 30 000 um y una TET de 4%. Rpta: 30 196,75

3. Un pequeño negocio pide un préstamo de S/. 10 000 a una TEA del 10%, durante

12 cuatrimestres. Hallar el interés compuesto que se pagará por dicho préstamo.

Rpta: S/. 4 641

4. ¿Cuál será el capital que depositado a una TES del 3% durante un periodo de 2 años, origina un

monto de $. 1125,51 ? Rpta: $. 1 000

5. Hace 4 meses se colocó en un banco un capital que devenga una TEM de 0,03; lo que permitió

acumular un monto de S/. 2 000. ¿Cuál fue el importe de ese capital? Rpta: S/. 1 776,97

6. Un capital de S/. 1 000 impuesto a interés compuesto durante 2 bimestres, se convierte en

S/. 1 420. ¿A qué TEM se impuso? Rpta: TEM 9,16%

7. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido para que un capital de S/. 6 000 se haya convertido en

S/. 7 986; si ha estado impuesto a una TEB del 10%? Rpta: 1,5 Cuatrimestres

8. ¿Durante cuántos meses se debe imponer un capital de $ 100, a una tasa efectiva bimestral de

20%, para que se convierta en $ 172,8? Rpta: 6meses

PROBLEMAS DE APLICACIÓN I

PROBLEMAS DE APLICACIÓN II

1. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 80 000 para cancelarlo dentro de 120 días, a la

tasa efectiva mensual de mercado. Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva mensual ha sufrido

las siguientes variaciones: 5% durante 46 días; 4,5% durante 10 días y 4% durante 64 días.

¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento del crédito? Rpta: S/.

95 124

2. Calcular el valor presente de un monto de S/. 15 000 que se recibirá dentro de 30 días, si la

vigencia de la tasa efectiva mensual será 8 días al 2% y 22 días al 1,5%.

Rpta: S/. 14 758,97

3. Calcule el monto de una cuenta de ahorros sujeta a una TEA de 12% que se mantuvo

durante todo el horizonte temporal. La operación se inició el 2 de abril y se canceló el 30 del

mismo mes; en ese plazo se produjeron los siguientes movimientos:

Fecha 02/04 10/04 16/04 20/04 30/04

Operación Depósito Depósito Retiro DepósitoCierre de cuenta

Importe S/. 10 000 S/. 2 000 S/. 1 000 S/. 5 000

Rpta: S/. 16 112,51

6. TASAS NOMINALES CON PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN

Hasta aquí, en nuestro estudio del interés compuesto, hemos trabajado con una tasa

efectiva “i”, que se aplicaba periódicamente al capital o al monto, sin ninguna modificación o

proceso previo; solamente teníamos en cuenta que se trataba del interés compuesto y nos

fijábamos en que el tiempo “n” debía aplicarse como un exponente expresado en las mismas

unidades temporales de la tasa “i”.

Pero no siempre nos darán listo el valor de la tasa efectiva “i”, para procesar de inmediato

en las fórmulas que ya conocemos; podría ocurrir que nos diesen una tasa anual de 48% con la

condición que los intereses deben capitalizarse cada mes, cada bimestre, cada trimestre o cada

día.

Debido a estas complicaciones, en el interés compuesto algunas tasas serán aparentes (tasas

nominales); las cuales antes de aplicarlos al capital o monto habrá que procesarlas y

modificarlas para obtener las tasas efectivas. ¡En el interés compuesto al capital o monto se le

aplicará siempre la tasa efectiva!

1. Calcular el monto a pagar dentro de 4 meses por un préstamo bancario de S/. 8 000 a una TNA del

36% capitalizable mensualmente. Rpta: S/. 9 004,07

2. Calcule el monto que rindió un capital de 1 000 u.m en el plazo de medio año, el mismo que se

colocó a una TNM de 2% capitalizable cada quincena. Rpta: 1 126,83 u.m.

3. Calcule el interés compuesto generado, en un trimestre, por una inversión de S/. 3 000 colocado

a una tasa nominal del 18% anual con capitalización bimestral. Rpta: S/. 136,01

4. Un capital de 15 300 soles se depositó el 22 de mayo con una TNC del 9% capitalizable

diariamente. Hallar el monto logrado el 14 de agosto. Rpta: S/. 16 294,53

5. Un sobregiro bancario de 25 000 u.m que devenga una TNT de 4,5% capitalizable mensualmente

se canceló con un importe de 25 299,56 u.m ¿Durante cuantos días estuvo sobregirada la cuenta?

Rpta: 24 días

6. Una empresa solicitó a un banco un préstamo de S/. 8 000 cancelable dentro de 6 meses a una tasa

nominal anual del 36% con capitalización trimestral. La tasa es variable de acuerdo a las

condiciones del mercado.

En la fecha de vencimiento del contrato de crédito, se conocen las siguientes variaciones de tasas

anuales: 36% durante los dos primeros meses y 48% para el resto del periodo, ambas

capitalizables trimestralmente. ¿Qué monto deberá cancelar al vencimiento?

Rpta: S/. 9 855,19

PROBLEMAS DE APLICACIÓN III

7. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE A INTERÉS COMPUESTO

En el interés compuesto, dos capitales ubicados en diferentes momentos de un horizonte temporal

son equivalentes, si a una fecha determinada (inclusive fuera del horizonte temporal) sus

respectivos valores – calculados con una misma tasa de interés – son iguales.

Por ejemplo; considerando una tasa efectiva mensual del 5%, las cantidades de $.840 y $.926,1

ubicados al final del mes 1 y final del mes 3, son equivalentes, tal como se demuestra a

continuación:

Explicación:

a) Equivalencia financiera descontando los flujos (Momento 0)

Para $. 840:

Para $. 926,1:

b) Equivalencia financiera capitalizando los flujos (Momento 4)

Para $. 840:

Para $. 926,1:

c) Equivalencia financiera capitalizando uno y descontando el otro (Momento 2).

Para $. 840:

Para $. 926,1:

Conclusión:

Aplicando una misma tasa a interés compuesto, se tiene que:

0 1 2 3

$. 840 $. 882 $. 926,1

P=$800

P=$800

S=$972,405

S=$972,405

4 meses

Si dos capitales son equivalentes en una determinada fecha focal, también lo serán en

cualquier otra fecha.

Si dos capitales no son equivalentes en una determinada fecha focal, no lo serán en

cualquier otra fecha.

1) En la negociación sostenida por la empresa UNISA con el sectorista de crédito del Banco de

Fomento, se aprobó un contrato para sustituir las deudas de la empresa: S/. 8 000 y S/. 9 000

con vencimiento dentro de 2 y 4 meses, respectivamente; por un único pago con vencimiento a

tres meses a una tasa anual del 48% con capitalización mensual. ¿Cuál será el importe del pago

que deberá realizar UNISA en esa fecha? Rpta. S/. 16 973,85

2) El Sr. Figueroa tomó en préstamo S/. 5 000 para devolverlos dentro de 180 días pagando una

tasa nominal mensual del 2,5% con capitalización diaria. Si durante dicho periodo amortiza

S/. 2 000 el día 35 y S/. 1 000 el día 98. ¿Cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda?

Rpta. S/. 2

481,36

3) Hoy día se deposita $ 10 000 con el fin de acumular $ 20 000 dentro de 8 meses. El banco paga

una tasa nominal del 36% con capitalización mensual. ¿Qué importe se deberá depositar el

segundo mes para cumplir con el objetivo propuesto? Rpta. $ 6 140,69

4) José recibió un préstamo de S/. 3 750 por el cual deberá pagar 20% de interés mensual,

capitalizable mensualmente, durante medio semestre; pero, el segundo mes José decide

amortizar la deuda abonando “N” soles, de tal manera que en el tercer mes cancela la deuda

pagando “2N” soles. Calcular “N”. Rpta: S/. 2 025

5) Un préstamo de $. 1 100 se pagará con dos cuotas mensuales de $. 720 cada una. ¿Cuál es la

tasa de interés efectiva mensual cargada en este financiamiento?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN IV