TEORIA DE CONJUNTOS ( I Bimestre Abril Agosto 2011)
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TEORÍA DE CONJUNTOS
ESCUELA:
NOMBRES:
CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Yofre Tene
BIMESTRE: Primero
MENCIÓN FISICO MATEMÁTICAS
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CONTEXTUALIZACIÓN
• Materia de primer ciclo de créditos de la carrera de CCEE-FIMA
• 5 créditos• Contine 4 unidades (2 por bimestre)• Evaluación a distancia automática
(Envío solo por el EVA, no por el centro universitario)
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MATEMÁTICAS
TEORÍA DE CONJUNTOS
TEORÍA DE CONJUNTOS
Estudia básicamente las propiedades y relaciones entre
conjuntos
TEORÍA DE CONJUNTOS
Estudia básicamente las propiedades y relaciones entre
conjuntos
Rama de las
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b c
d f
k h
j g
CONJUNTOAgrupación de objetos bien definida.
No repetidos.
No necesariamente ordenados.
a
e
i
a
e
i
AA
UU
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1 53
0 92
6 8
SUBCONJUNTOS
A B
AA
BB
Si todo elemento de A es elemento de B entonces
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0 92
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SUBCONJUNTOS
A B
AA
BB
Si todo elemento de A es elemento de B entonces
Nota: Si A B y B A A=B
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0 92
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SUBCONJUNTOS
A B
AA
BB
Si todo elemento de A es elemento de B entonces
Nota: Si A B y B A A=B
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S={nx+(n+1)y: x, y Z}=Z, n número entero
Demostración utilizando inclusión:
1. La suma o producto de dos números enteros nos da como resultado otro número entero.
2. Tomemos un elemento de S al que llamaremos z, el cual será igual a nx+(n+1)y. Entonces, nx es un número entero, n+1 es número entero. Luego, (n+1)y es número entero. Finalmente nx+(n+1)y es entero, lo cual es igual a z. Si z es entero, entonces pertenece a Z. Por lo tanto S Z
3. Debemos poder escribir todo entero como nx+(n+1)y. Tomemos x=-1 e y=1, reemplazando en nx+(n+1)y tenemos 1=n(-1)+(n+1)1. Por cada elemento z que pertenece a Z, multiplicando z(1)=n(-z)+(n+1)z, z=z, que termina siendo un elemento de S pues z y –z son enteros. Por lo tanto Z S.
Sabemos que S=Z si y solo si S Z y Z S
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Unión
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Intersección
Complemento
Diferencia
Producto cartesiano
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PRODUCTO CARTESIANO
OPERACIONES CON CONJUNTOS
abc
abc
123
123
A B AxB = {(a,1), (a,b),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}
Elementos x de A
Elementos y de B
AxB = {(x,y): xA e yB}
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CORRESPONDENCIA
246
246
345
345
A B “Regla” = a>b, aA y bB
“Regla” que asigna ciertos elementos de un primer conjunto, A, otros elementos determinados de un segundo conjunto B
Una correspondencia de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto arbitrario del producto cartesiano de AxB
AxB = {(2,3),(2,4),(2,5),(4,3),(4,4),(4,5),(6,3),(6,4),(6,5)}Correspondencia a>b = {(4,3), (6,3),(6,4),(6,5)}Correspondencia a>b AxB.
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APLICACIÓN
123-1
123-1
149
16
149
16
A B“Regla”: y=x2
Caso particular de correspondencia. A cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento en el conjunto de llegada.
A cada elemento de A le corresponde un único elemento de B
ff
Sea fAxB una correspondencia de A en B. f es una aplicación de A en B si para cada elemento x de A existe un único elemento y de B tal que (x, y) f
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TIPOS DE APLICACIÓN
Inyectivas. Uno a uno
Sobreyectivas. Todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de algún elemento del conjunto de partida
Biyectivas. Si son inyectivas y sobreyectiva.
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APLICACIONES INYECTIVAS
123
123
018
27
018
27
A B Sea f una aplicación de A en B. f es inyectiva si para cada par de elementos x, t de A, sus imágenes f(x) y f(t) son también elementos diferentes de B.
f
f(x)=x3
AxB = {(1,0),(1,1),(1,8),(1,27),(2,0),(2,1),(2,8),(2,27),(3,0),(3,1),(3,8),(3,27)}
f = {(1,1),(2,8),(3,27)}
Tomando x=1 y t=2 de A; f(1) f(2)
Tomando x=1 y t=3 de A; f(1) f(3)
Tomando x=2 y t=3 de A; f(2) f(3)
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APLICACIONES INYECTIVASSea f una aplicación de A en B. f es inyectiva si para cada par de elementos x, t de A, sus imágenes f(x) y f(t) son también elementos diferentes de B.
f(x)=x3 definida en R
Si tomamos dos elementos x1 y x2 de R y si f es inyectiva entonces f(x1)=f(x2), es decir x1 y x2 es el mismo elemento.
1.f(x1)=f(x2)
2.f(x1) = x13
3.f(x2) = x23
4.x13 = x2
3
5.x1 = x2
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APLICACIONES SOBREYECTIVAS
012
012
123
123
A B Sea f una aplicación de A en B. f es sobreyectiva, cuando cada elemento y de B es la imagen mediante f de algún elemento x de A, es decir Im(f)=B
f
f(x)=x+1
AxB = {(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}
f = {(0,1),(1,2),(2,3)}
Todos los elementos de B son imagen de un elemento de A
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APLICACIONES SOBREYECTIVASSea f una aplicación de A en B. f es sobreyectiva, cuando cada elemento y de B es la imagen mediante f de algún elemento x de A, es decir Im(f)=B
f(x)=x+1 definida en R. Debemos determinar que para todo x0 de R existe un y0 que pertenece a R tal que f(x0)=y0.
1.y0=x0 + 1
2.x0 = y0 – 1
3.f(x0) = y0
4.f(x0) = x0+1
5.f(x0) = y0 – 1 + 1
6.f(x0) = y0
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APLICACIONES BIYECTIVAS
024
024
012
012
A B Sea f una aplicación de A en B. f es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva
f
f(x)=x/2
AxB = {(0,0),(0,1),(0,2),(2,0),(2,1),(2,2),(4,0),(4,1),(4,2)}
f = {(0,0),(2,1),(4,2)}
Todos los elementos de A tienen un sola imagen en B
Todos los elementos de B son imagen de un elemento de A
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COMPOSICIÓN DE APLICACIONESSea f una aplicación de A en B y g una aplicación de B en C, entonces es posible encontrar una aplicación h de A en C.
h(x) = g(f(x)), Para todo x que pertenece a A
f gA B C
x f(x) g(f(x)) = h(x)
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COMPOSICIÓN DE APLICACIONESSea f una aplicación de A en B y g una aplicación de B en C, entonces es posible encontrar una aplicación h de A en C.
h(x) = g(f(x)), Para todo x que pertenece a A
f gA B C
x f(x) g(f(x)) = h(x)
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COMPOSICIÓN DE APLICACIONES
(gof)(x)=g(f(x))=g(x/2)=x3/8
Sea f(x)=x/2 y g(x)=x3 definidas en los N pares.
Para el diagrama tomaré algunos elementos en los que están definidas f y g
210-1.
210-1.
11/20
-1/2.
11/20
-1/2.
11/80
-1/8.
11/80
-1/8.
f g
gof
AB C
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Mayo 2011Consultas ingresando al EVA en
www.utpl.edu.ecTelf. 072570275 Ext. 2347
Gracias
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