CONJUNTOSEntendemos por conjunto; a una reunin, coleccin, agrupacin, clase, conglomerado o familia, de objetos bien definidos reales o abstractos llamados elementos.Los conjuntos se denotan con letras maysculas A, B, C, y los elementos del conjunto se simbolizan con letras minsculas a, b, c, d,, separados por comas encerrados entre llaves.

DETERMINACIN DE CONJUNTOS1. Por Extensin o de Forma Tabular o Enumerativa.- Es cuando se nombra uno a uno sus elementos.2. Por Comprensin o de Forma Constructiva.- Para expresar un conjunto de sta manera se seala una propiedad comn a todos los elementos.Ejemplo:

Determinar el conjunto de las vocales.

Determinar el conjunto de los nmeros naturales menores que 6.

Solucin:

Por Extensin:

A=(a, e, i, o, u(B=(1, 2, 3, 4, 5( Por Comprensin:

A=(x/x es una vocal(B=(x/x ( ( ( x ( 6(DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Son regiones planas cerradas, circulares, rectangulares, etc., que nos permitirn representar grficamente a los conjuntos.

A=(2, 4, 6, 8( B=(a, b, c(

A B Observacin: Otro diagrama para representar grficamente a los conjuntos es:

DIAGRAMAS DE CARROL

Con mayor utilidad en conjuntos disconjuntos.Ejemplo:HombresMujeres

Estudian 1 2

No estudian 3 4

Se observa que:

H=(1, 3(

H=(2, 4(E=(1, 2(

No E=(3,4(H.E=(1,(

M.E=(2(H no E=(3(

M no E=(4(RELACIN DE PERTENENCIA

Un elemento pertenece (() a un conjunto si forma parte o es un agregado de dicho conjunto. La relacin de pertenencia vinculada cada elemento con el conjunto.

A=(a, e, i, o, u( ( a ( A: elemento a pertenece al conjunto ATambin: e ( A ; i ( A ; o ( A ; u ( AAdems: b ( A ; c ( A (no pertenecen (()(Observacin: La relacin de pertenencia se utiliza entre elemento y conjunto.CARDINAL DE UN CONJUNTO

Viene a ser el nmero de elementos que posee un conjunto.

n (A) se lee: nmero de elementos del conjunto A.

A=(a, e, i, o, u( ( n (A) = 5

B=(12, 14,1 6( ( n (B) = 3RELACIONES CON CARDINALES

Si A y B son disjuntos:

n(A(B)=n(A)+n(B) Para 2 conjuntos cualesquiera A y B:

n(A(B)=n(A)+n(B)-n(A(B) Para 3 conjuntos cualesquiera A, B y C:

n(A(B(C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A(B)-n(A(C)-n(B(C)+n(A(B(C)RELACIONES ENTRE CONJUNTOS1. Inclusin.- Se dice que A est incluido en el conjunto B (A ( B) cuando todo elemento de A pertenece a B; tambin se interpreta como que A es parte de B, est contenido en B es subconjunto de B.Ejemplo:Si: A=(1, 2, 3, 4, 5( B=(1, 2( y C=(3, 4(Se observa que:B ( A: B est incluido en A.

C ( A

C est incluido en AB ( C: B no est incluido en C.

Graficando:

A

B C

Hay que tener presente que las relaciones de Pertenencia (() e inclusin (() tienen diferente funcin:Si. A=(a, b, c( a ( A ; (a( ( A2. Igualdad de Conjuntos A = B ( A y B tienen los mismos elementos3. Conjuntos Comparables A es comparable con B, si A ( B o B ( A

4. Conjuntos Disjuntos

Los conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

5. Conjunto Potencia ( P(A) (Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjunto dado.

Dado A=(a, b, c(, los subconjuntos de A son:(, (a(, (b(, (c(, (a; b(, (a; c(, (b; c(, (a; b; c(Entonces el conjunto potencia de A es:

P(A)=( (, (a(, (b(, (c(, (a; b(, (a; c(, (b; c(, (a; b; c((Nota: Si n(A) es el cardinal del conjunto A, se verifica que:

n (P(A)(=2n(A)Subconjunto Propio: Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado, no es igual a ste.

Ejemplo:Dado A=(a, b, c(, los subconjuntos de A son:

(, (a(, (b(, (c(, (a; b(, (a; c(, (b; c(, (a; b; c(Luego, sus subconjuntos propios son:

(, (a(, (b(, (c(, (a; b(, (a; c(, (b; c(Nota: Si n(A) representa el cardinal del conjunto A:

# de subconjuntos propios de A = 2n(A)-1PROPIEDADES DE CONJUNTO POTENCIA P(() = ((( P(A) ( P(B) ( A ( B P(A) = P(B) ( A = B P(A) ( P(B) ( P(A(B) P(A) ( P(B) = P(A(B) ( ( P(A) , A ( P(A) OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS1. Unin.- Dados dos conjuntos A y B, la unin de ellos es el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen por lo menos a uno de esos conjuntos A o B. Se denota A ( B y se define:A ( B = (x/ x( A ( x( B(Ejemplo: Dados A=(2; 6; 8( y B=(3; 7(

( A ( B = (2; 3; 6; 7; 8(Diagramas:A(B

A(B

Conjuntos Disjuntos

A(B Conjuntos comparables

2. Interseccin: Para dos conjuntos A y B, la interseccin de ellos es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B, se denota A ( B y se define: A ( B = (x/ x( A ( x( B(Ejemplo: Dados A=(1; 3; 5( y B=( 3; 4; 5; 7(

( A ( B = ( 3; 5(Diagramas:

A(B

A(B=( A B

Conjuntos Disjuntos

A(B=A

B A

Conjuntos comparables

3. Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden), es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, pero no a B. se denota por A B y se define:

A B = (x/ x( A ( x( B(Ejemplo: Dados A=(1; 3; 5( y B=( 3; 4; 5; 7(

( A - B = (1(Importante:

La diferencia de conjuntos no es conmutativa; esto es: si A BA B B - ADiagramas:

A-B

A-B=A

A B

Conjuntos Disjuntos

A-B=(

B A

Conjuntos comparables

4. Diferencia simtrica: Dado los conjuntos A y B, la diferencia simtrica de ellos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Se denota por A B y se define:

A B = (x/ x( (A B) ( x( (B-A)(Ejemplo: Dados A=(1; 3; 5( y B=( 3; 4; 5; 7(

( A B = (1; 4; 7(Diagramas:

A B

A B

Conjuntos Disjuntos

A B

B

A

Conjuntos comparables

5. Complemento: El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos del conjunto universal U que no pertenecen a A. Se denota por AC , BI , o C (A) y se define:

A = (x/ x( U ( x( A( = UAEjemplo: Dados U=(1; 3; 5; 7( y A=( 3; 5(

( A = (1; 7(Diagramas

A

A

6. Producto cartesiano: Llamado tambin conjunto producto de dos conjuntos A y B, es aquel conjunto cuyos elementos son pares ordenados donde las primeras componentes pertenecen a A y las segundas componentes pertenecen a B. Se denota por A x B y se define:

A x B= ((a, b)/ a ( A ( b( B(EJERCICIOS PROPUESTOS1. Sea A= {2; {a}; {2,a}; 5} Cuntos de las proposiciones son verdaderas?

- n[P(A)]= 2 - {2; {a}}

- {{a}} - {{5}; {2,a}}

- {2;5} -

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5e) 1

2. Indicar el nmero de relaciones verdaderas.

Si:

- -

- -

- -

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5e) 13. Si ; indicar el valor de verdad de cada uno.

I.- III.-

II.- IV.-

a) VFFF b) VFVF c) FVFV d) VVVV e) VVVF

4. Si: A={a2+1, 3a-1} y B={3x+y, x-y+8} son conjuntos unitarios, entonces (x + y + a) puede ser:a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 95. Dado el conjunto

Calcular el nmero de subconjuntos propios de A.a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 96. Se sabe que los sgtes conjuntos son unitarios: A={a+4, 4b-2, 2a-10}; B={6b-3, } y , determinar a + b + c + d.a) 101 b) 102 c) 103 d) 104 e) 105

7. Si: n(AUB)=14; n(AB)=6;Hallar n(A) + n(B)a) 24 b) 10 c) 20 d) 15 e) 25

8. Sean los conjuntos A={x/x(N; 2