Teoría de Colas ICEF. Una historia conocida por muchos de nosotros… En el banco. En un hospital....
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Teoría de Colas
ICEF
Una historia conocida por muchos de nosotros…
• En el banco.• En un hospital.• En el supermercado.• …• Se necesitan respuestas a preguntas tales como• ¿Qué fracción de tiempo cada servidor está libre?• ¿Cuál es el número esperado de clientes en la cola?• ¿Cuál es el tiempo esperado que un cliente permanece en una cola?• ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de clientes presentes
en una cola ?• Si un gerente de un banco desea asegurar que únicamente el 1% de
todos sus clientes tengan que esperar más de 5 minutos para ser atendidos, cuántos cajeros debe emplear.
Teoría de Colas
• Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad del servicio.
• Se necesita conocer (predecir) el ritmo de entrada de los clientes y el tiempo de servicio con cada cliente.
• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares
Objetivo:• Equilibrar los costos de capacidad del servicio y el “costo” de
una espera larga.TEORÍA DE COLAS• Estudio matemático de las características de los sistemas de
colas.
Proceso en una cola
• 1. Entrada de clientes• 2. Sistema de colas cola o línea de espera mecanismo de servicio• 3. Salida de clientes
Algunos ejemplos
Clientes Servicio ServidoresClientes tienda Venta artículo DependienteClientes banco Operación financiera VentanillaClientes sulpermercado Cobro compra CajaAutomóvil llenar depósito SurtidorAutomóvil Reparación avería Operarios tallerAvión Aterrizaje/ despegue PistaLlamadas telefónicas Conversación CentralEnfermos Atención médica MédicoCajas Transporte Personal AlmacenamientoJuicios pendientes Juicio Jueces
Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
http://www.auladeeconomia.com
Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales
LlegadasSistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
Costos de un sistema de colas
1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar
• Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido
• Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad
Costos de un sistema de colas
2. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado
• Es más fácil de estimar– El objetivo de un sistema de colas es
encontrar el sistema del costo total mínimo
Entrada de clientesTAMAÑO Número total de clientes potenciales (población de entrada):• Finito (fuente limitada) (sistema cerrado)• Infinito (fuente ilimitada) (sistema abierto)Suposición habitual: tamaño infinito (es decir, el número de clientes en la cola NO afecta
el número potencial de clientes fuera de ella)ENTRADA O FUENTE• Unitaria• Por bloquesTIEMPO ENTRE LLEGADAS• Determinista• Probabilista (distribución de probabilidad exponencial)TASA MEDIA DE LLEGADA λ• Número medio de entrada de clientes por unidad de tiempo• Llegadas de clientes son independientes e idénticamente distribuidas (IID)
COLANúmero máximo de clientes admisible• Finito• Infinito• Suposición habitual: colas de longitud infinita (pérdida del
cliente o reintento). Muy común en centrales telefónicas Número de canales (carriles de una calle ante un semáforo) en la
cola e interferencia entre ellosDisciplina de la Cola
Orden de selección de sus miembros para ser atendidos• FIFO, FIFO con límite• LIFO• SIRO (Aleatorio)• Por prioridad (interruptora o no)
Mecanismo de ServicioSERVIDORES• Proporcionan el servicio al clienteNúmero de servidores:• Uno• Varios• Independencia o no entre servidoresTIEMPO DE SERVICIO• Determinista• Probabilista (distribución de probabilidad exponencial)TASA MEDIA DE SERVICIO µ• Número medio de clientes que son atendidos en un servidor por
unidad de tiempo.• Servicios a clientes son independientes e idénticamente
distribuidos (IID)
Especificación de un sistema de colasDistribución del tiempo entre llegadas / Distribución del tiempo de servicio / Número de servidores / Número máximo de clientes en el sistema / Disciplina de la cola
M exponencialD degenerada (tiempos constantes)E Erlang (Gamma)G generalEjemplos: M/M/s M/M/s/K/FIFO M/M/s/s M/G/1
David George Kendall
Medidas de Eficacia de un Sistema de Colas
l tasa media de llegadas 1/ l tiempo medio entre llegadas
m tasa media de servicio 1/ m tiempo medio de servicior factor de utilización (intensidad de tráfico): fracción esperada
de tiempo que están ocupados los s servidores
habitualmente r < 1
s
También puede interpretarse como número promedio de personas siendo atendidas
Si se tiene s=1
ρ: fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados.
El servidor está trabajando 4 de cada cinco minutos, es decir el 80% del tiempo
Notación
• Se utilizará la siguiente notación:N(t): Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t.s: número de servidores en el sistema de colas.λn :tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.μn: tasa media de servicio para todo el sistema cuando hay n clientes en el sistema (tasa combinada).
NotaciónLa condición estacionaria se produce cuando la distribución del número de clientes en el sistema se conserva a través del tiempo.
Notación
Notación
Ecuaciones en el sistema M/M/1
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Teoría fundamental
Cliente Servidor(es)
• Para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones
Suficiente mente realista
Suficientemente sencilla
Predicciones razonables
Matemáticamente manejable
Distribución exponencial
Ejercicios
Procesos de nacimiento y muerte
En Teoría de colas
No hay nacimientos ni muertes colectivas
Principio clave:
VFzgAKrW
Ejercicios:
Otros ejercicios
• El gerente de un banco desea determinar cuantos cajeros deben trabajar en Viernes. Por cada minuto que un cliente espera en la fila, el gerente cree que existe un costo de 5 centavos. Un promedio de 2 clientes por minuto llegan al banco. En promedio, le toma a un cajero 2 minutos atender a un cliente. El costo de contratar un cajero le representa al banco 9 dólares por hora. Los tiempos de servicio y entre llegadas son exponenciales. Para minimizar la suma de los costos de servicio y los costos de espera, ¿Cuántos cajeros deberían atender en el banco los días Viernes?
• Sugerencia: El costo esperado total es la suma del costo esperado del servicio por minuto mas el costo esperado de espera por minuto.