Teoria de Cola 1-2-16
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7/25/2019 Teoria de Cola 1-2-16
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Facultad de Ciencias e IngenierasDepartamento de Computacin
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' %os Modelos de Lneas de Esperason de gran utilidad tantoen las .reas de anuactura como en las de &er4icio
' %os Anlisis de Colasrelacionan)
5la lon&itud de la lnea de espera(5el pro#edio de tie#po de espera otros actores como)5 la conducta de los usuarios a la llegada en la cola,
%os Anlisis de Colasaudan a entender el comportamientode estos sistemas de ser4icio la atencin de las ca+eras deun ,anco( acti4idades de mantenimiento reparacin dema7uinaria( el control de las operaciones en planta( etc8
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' Desde la perspecti$ade la In4estigacin de #peraciones( lospacientes 7ue esperan ser atendidos por el odontlogo o lasprensas da/adas esperando reparacin( tienen muco en
com:n' Am,os gente m.7uinas8 re!uieren de recursos hu#anos 'recursos #ateriales co#o e!uipospara 7ue se los cure o selos aga uncionar nue4amente
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!"#$IA D" C#%A&
Costos de &er4icio Costos de "spera' %os Administradores reconocen el e!uili"rio7ue de,e a,er
entre el COS(O DE proporcionar "uen SERVICIO elCOS(Odel tie#po DE ESPERA del cliente o de la m.7uina
7ue de,en ser atendidos' %os Administradores desean 7ue las colas sean losu)iciente#ente cortas con la inalidad de 7ue los clientesno se irriten e incluso se retiren sin llegar a utili*ar elser4icio o lo usen pero no retornen m.s
' &in em,argo los Administradores contemplan tener unalongitud de cola ra*ona"le en espera, 7ue sea ,alanceada(para o,tener aorros signiicati4os en el COS(O DELSERVICIO
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E!uili"rio entre Costos de Espera ' Costos de Ser$icio
Ni4el
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Costos de &er4icio 4s Ni4el de &er4icio' %os COS(OS DE SERVICIOse incre#entansi se me+ora el
NIVEL DE SERVICIO% %os Administradores de ciertoscentros de ser4icio pueden $ariar su capacidad teniendo
personal o m.7uinas adicionales 7ue son asignadas aincre#entar la atenci+n cuando crecen e>cesi4amente losclientes
5 "n supermercados se a,ilitan caas adicionales cuando
es necesario5 "n ,ancos puntos de ce7ueo de aeropuertos( se
contrata personal adicional para atender en ciertas?pocas del da o del a/o
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' Cuando el ser$icio #eora( dis#inu'e el costo de tie#poperdidoen las lneas de espera
' "ste costo puede rele+ar p-rdida de producti$idadde los
operarios 7ue est.n esperando 7ue compongan sus e7uipos opuede ser simplemente un estimado de los clientes perdidosa causa de mal ser4icio colas mu largas
' "n ciertos ser4icios I"&&( ancos( Cedulacin8 el costo dela espera puede ser intolera"le#ente alto
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COLAS MAS COM.NESSI(IO ARRI/OS EN COLA SERVICIO
&upermercado Compradores ago en ca+as
ea+e Veculos ago de pea+e
Consultorio acientes Consulta
&istema de Cmputo rogramas a sercorridos
roceso de datos
Compa/a de tel?onos %lamadas "ectuar comunicacin
anco Clientes Depsitos Co,ros
antenimiento .7uinas da/adas $eparacin
uelle arcos Carga descarga
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!"#$IA D" C#%A&Caractersticas de una %IN"A D" "&"$A
' Una cola de espera est. compuesta de tres elementos)1 Arri,os o ingresos al sistema2 Disciplina en la cola
3 &er4icio
' "stos tres componentes tienen ciertas caractersticas 7uede,en ser e>aminadas antes de desarrollar el aspecto
matem.tico de los modelos de cola
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!"#$IA D" C#%A&Caractersticas de una %IN"A D" "&"$A
' 0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)' %a )uente de in&reso7ue genera los arri,os o clientes para
el ser4icio tiene tres caractersticas principales)
a% (a#a1ode la po,lacin 7ue arri,a"% Patr+nde llegada a la colac% Co#porta#ientode las llegadas
0%a%(a#a1o de la Po"laci+n2"l tama/o de la po,lacin puede ser)in)inito 3ili#itado4 oli#itado 3)inito4%
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!"#$IA D" C#%A&Caractersticas de una %IN"A D" "&"$A
0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)
0%a% (a#a1o de la Po"laci+n2In)inito 3ili#itado42 Cuando el n:mero de clientes oarri,os en un #o#ento dadoes una pe7ue/a parte de losarri,os potenciales ara propsitos pr.cticos
po,laciones ilimitadas pueden considerarse a los4eculos 7ue se acercan a un caseta de pea+e( losaicionados a un partido del mundial de F:t,ol( clientesen un supermercado
%A A#$EA D" %#& #D"%#& A&U"ARRI/O
INFINI(O%Po"laci+n de arri"o li#itada o )inita2cuando se tienen mupocos ser4idores el ser4icio es restringido "+) lospacientes en un consutorio m?dico
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!"#$IA D" C#%A&Caractersticas de una %IN"A D" "&"$A
0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)' 0%"% Patr+n de arri"o al siste#a2
5 %os clientes arri,an a ser atendidos de una manerapro&ra#ada un paciente cada 1; minutos8 o de una
manera aleatoria5 &e consideran 7ue los arri,os son aleatorios cuando ?stosson independientes de otros su ocurrencia no puede serpredecida e>actamente
5 Frecuentemente en pro,lemas de colas( el n:mero de
arri,os por unidad de tiempo pueden ser estimados pormedio de la Distri"uci+n de Poisson 7ue es unadistri,ucin discreta de pro,a,ilidad
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!"#$IA D" C#%A&Caractersticas de una %IN"A D" "&"$A
0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)' DIS(RI/.CION DE POISSON2
' >8 ro,a,ilidad de > arri,os' > n:mero de arri,os por unidad de tiempo rata promedio de arri,o
e 2=1@2@
( ) ,...4,3,2,1,0_
!==
xparax
exP
x
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!"#$IA D" C#%A&DI&!$IUCI#N D" #I&N
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!"#$IA D" C#%A&Caractersticas de una %IN"A D" "&"$A
0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)0%c% Co#porta#iento de los arri"os)
%a maora de los modelos de colas asume 7ue los clientesson pacientes o sea 7ue esperan en la cola hasta ser
ser$idos no se pasan entre colas Desaortunadamente( la4ida es complicada la gente se reniega A7uellos 7ue seimpacientan por la espera( se retiran de la cola sincompletar su transaccin
"sta situacin sir$e para acentuarel estudio de la teora decolas el an.lisis de las lneas de espera( a 7ue un cliente noser4ido es un cliente perdido ace mala propaganda de esenegocio
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!"#$IA D" C#%A&2% CARAC(ERIS(ICAS DE LA LINEA DE ESPERA)
' %a LINEA DE ESPERA es el segundo componente de unsistema de colas %a longitud de la cola puede ser tam,i?nLIMI(ADA oILIMI(ADA
5 Cola LIMI(ADA es a7uella 7ue por aspectos sicos nopuede incrementarse a tama/os ininitos uede ser elcaso de una pelu7uera 7ue tiene pocos ,ar,eros sillaspara atender
5 "studiaremos los modelos de colas asumiendo colas delon&itud in)inita Una cola es ILIMI(ADA cuando sutama/o no tiene restriccin como es el caso de una casetade pea+e 7ue sir4e a los 4eculos 7ue arri,an
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!"#$IA D" C#%A&2% CARAC(ERIS(ICAS DE LA LINEA DE ESPERA)
' Una se&unda caracterstica de las lneas de espera sereiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual losclientes reci,en el ser4icio %a maora de los sistemas usan
la regla Primero "n Entrar Primero "n Salir First In FirstOut8 G"& FIF#8H &e denomina tam,i?n FIF& First InFirst Ser4ed8
' "n las .reas de emergencia de ospitales sin em,argo seomite esta regla dependiendo de la gra4edad de las lesiones
de las personas 7ue arri,an por au>ilio m?dico' "n supermercados( personas con menos de 10 artculos tienenla ca+a e>press 7ue atiende a este tipo de clientes ero en lacola se les atiende con la poltica "&
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!"#$IA D" C#%A&CARAC(ERIS(ICAS DE LA LINEA DE ESPERA
5% Caractersticas del Ser$icio
"l tercer ele#entode un sistema de colas es el SERVICIO "n?l son importantes dos propiedades ,.sicas)1 %a con)i&uraci+ndel sistema de ser4icio
2 "l patrn de tie#pos de ser$icio
5%0% CONFI6.RACIONES /ASICAS PARA EL SERVICIO2%os sistemas para el ser4icio son clasiicados en uncin delnumero de canalesser4idores8 el n:mero de )asesn:merode paradas 7ue de,en acerse durante el ser4icio8
Siste#a de cola de un solo canal2 tiene un soloser4idor "+emplos de ello son los ca+eros paraautomo4ilistas o los esta,lecimientos de comida r.pida
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!"#$IA D" C#%A&CARAC(ERIS(ICAS DE LA LINEA DE ESPERA
5%0% Con)i&uraciones "sicas para el Ser$icio5 Siste#a de cola #ulti7canal2 &on principalmente los
ca+eros de un ,anco en los cuales a una sola cola 4arias personas atendiendo a los clientes en di4ersas ca+as
5 Siste#a de una sola )ase2 es a7uel en el cual el clientereci,e el ser4icio de una sola estaci+n luego a,andona elsistema Un restaurant de comida r.pida en el cual lapersona 7ue toma la orden tam,i?n le entrega el alimento co,ra( es un sistema de una sola ase
5 Siste#a #ulti)ase2 cuando se pone la orden en unaestacin( se paga en una segunda se retira lo ad7uirido enuna tercera
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!"#$IA D" C#%A&Coniguraciones .sicas de &istemas de Colas
5%0% Con)i&uraciones "sicas para el Ser$icio
SERVIDOR
COLA
&"$VICI#FA&" 2
COLA
A$$I#&
&"$VICI#FA&" 1 &A%IDA&
SIS(EMA .N CANAL, .NA FASE
A$$I#&
.N SOLO CANAL, M.L(IFASE
&A%IDA&
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!"#$IA D" C#%A&Coniguraciones .sicas de &istemas de Colas
5%0% Con)i&uraciones "sicas para el Ser$icio
SIS(EMA M.L(ICANAL .NA FASE
A$$I#&
COLA CANA% 1
CANA% 2
CANA% 3
&A%IDA&
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SIS(EMA M.L(ICANAL M.L(IFASE
A$$I#&
COLA FA&" 2CANA% 1
FA&" 1CANA% 2
FA&" 2CANA% 2
&A%IDA&
FA&" 1CANA% 1
!"#$IA D" C#%A&Coniguraciones .sicas de &istemas de Colas
5%0% Con)i&uraciones "sicas para el Ser$icio
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!"#$IA D" C#%A&Coniguraciones .sicas de &istemas de Colas
5%8% Distri"uci+n del (ie#po de Ser$icio' %os patrones de ser$icio son similares a los patrones de
llegada ueden ser constantes o aleatorios%I &i el tiempo de ser4icio es constante( toma la #is#a
cantidad de tie#po atender a cada cliente "s com:n conser4icios dados por medio de m.7uinas %a4adoraautom.tica de carros8
II &i el tie#po de ser$icio es distri"udo aleatoria#ente 57ue es el caso m.s com:n 5 se lo representa por la
DIS(RI/.CION DE PRO/A/ILIDAD E9PONENCIALNE6A(IVA de la orma e7: para : ;% "sta es unaiptesis matem.tica mu con4eniente( cuando los arri"ossiguen la distri,ucin de Coisson1
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!"#$IA D" C#%A&edicin del $endimiento de las Colas
' %os modelos de colas audan a los administradores a tomardecisiones para "alancear los costos de ser$icio desea"les conlos costos de espera en la lnea%
' %os principales actores 7ue se e4al:an en estos modelos son)
0% (ie#po pro#edio 7ue cada cliente u o,+eto permanece en lacola8% Lon&itud de cola pro#edio5% (ie#po pro#edio !ue cada cliente per#anece en el siste#a
tiempo de espera tiempo de ser4icio8% Pro"a"ilidadde 7ue el ser4icio se 7uede 4aco?% Factor de utili*aci+ndel sistema@% Pro"a"ilidad de la presencia de un espec)ico n=#ero de
clientesen el sistema
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!"#$IA D" C#%A&Notacin de los odelos de Colas
' $econociendo la di4ersidad de los sistemas de colas( Jendall1B;38 propuso un siste#a de notaci+n para sistemas deser4idores paralelos 7ue a sido adoptado uni4ersalmente
' Una 4ersin resu#idade esta con4encin est. ,asada en elormato A/cNB "stas letras representan las siguientescaractersticas del sistema)5 A Distri,ucin de tiempo entre arri,os5 / Distri,ucin del tiempo de ser4icio
%os siguientes son sm,olos comunes para A /) e>ponencial o arKo4 304D constante o determinstica
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!"#$IA D" C#%A&Notacin de los odelos de Colas
' "K "rlang de orden K' L !ipo ase' L Lipere>ponencial
' M Ar,itrario o general' MI Meneral independiente
5 c n:mero de ser4idores paralelos5 N Capacidad del sistema
5 B !ama/o de la po,lacinNota3042 A causa de las suposiciones de distri,ucin
e>ponencial en los procesos de arri,o( estosmodelos son llamados MARBOVIANOS
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!"#$IA D" C#%A&Notacin de los odelos de Colas
' or e+emplo) MM0 signiica un solo ser$idor(capacidad de cola ili#itada po"laci+n in)inita de arri,ospotenciales %os tiempos entre arri,os los tiempos de
ser4icio son distri"udos e:ponencial#ente' Cuando N B son in-initos( pueden ser descartados de lanotacin 1es reducido a MM0
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!"#$IA D" C#%A&Variedad de odelos de Colas
' ">iste una cantidad enorme de odelos de Colas 7ue puedenutili*arse Nos 4amos a concentrar en < de los #odelos #susados odelos m.s comple+os pueden ser desarrollados
mediante el uso de la &imulacin se los encuentra en te>tosespeciali*ados so,re el tema' %os 9 modelos de colas a estudiar asumen)
o Arri,os seg:n la Distri,ucin de oissono Disciplina "&
o Una sola ase de ser4icio5 odelo A) Un canal( Arri,os seg:n la Distri,ucin de
oissonO !iempos de &er4icio e>ponenciales
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!"#$IA D" C#%A&Variedad de odelos de Colas
5 odelo /) ulticanal5 odelo C) !iempo de &er4icio constante5 odeloD) o,lacin %imitada
' Modelo A2 Modelo de Colas de un solo canal, con arri"os!ue si&uen la distri"uci+n de Poisson ' (ie#pos deSer$icio E:ponenciales2 3Modelo MM04
'%os casos m.s comunes de pro,lemas de colas incluen lalnea de espera de canal :nico o ser4idor :nico "n este casolos arri"os crean una sola cola a ser ser$ida por una solaestaci+n
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!"#$IA D" C#%A&odelo A) 1
' Asumimos 7ue e>isten las siguientes condiciones)1 %os clientes son ser4idos con una poltica PEPS cada
arri"o espera a ser ser$idosin i#portar la lon&itud de
la lnea o cola%2 %os arri"os son independientes de arri,os anteriores(pero el promedio de arri,os( no ca#"iacon el tiempo
3 %os arri"os son descritos mediante la distri,ucin depro,a,ilidad de Poisson proceden de una po"laci+n
#u' &rande o in)inita%9 %os tie#pos de ser$icio$arande cliente a cliente sonindependientes entre s( pero su rata pro#edio esconocida%
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!"#$IA D" C#%A&odelo A) 18 5 odelo ) &8
; %os tie#pos de ser$iciose representan mediante ladistri"uci+n de pro"a"ilidad e:ponencial ne&ati$a
6 %a rata de ser4icio es #s rpida7ue la rata de arri,o
(a"la >%5 Render P&% 08' Modelo /2 Modelo de cola #ulticanal 3MMS4' Dos o #s ser$idores o canales est.n disponi,les para
atender a los clientes 7ue arri,an' %os clientes orman una sola cola se los atiende de
acuerdo al ser$idor !ue !ueda li"re' Asumimos 7ue los arri"os siguen la distri"uci+n de
pro"a"ilidad de Poisson los tie#pos de ser$icio sondistri"udos e:ponencial#ente
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!"#$IA D" C#%A&odelo ) &8 odelo C) D18
' %os ser4icios se los ace de acuerdo a la polticapri#ero enlle&ar pri#ero en ser ser$ido"&8 todos los ser4idoresatienden a la misma rata
' Modelo C2 Modelo de (ie#po de Ser$icio Constante3MD04' Algunos sistemas tienen tie#pos de ser$icio constantes en
lugar de e>ponencialmente distri,udos Cuando los clientesson atendidos o e7uipos son procesados con un ciclo i+o
como es el caso de una la4adora de carros automati*ada ociertos entretenimientos en los par7ues de di4ersiones( elasumir ser4icio constante es adecuado
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!"#$IA D" C#%A&odelo D) o,lacin limitada
' Modelo D2 Modelo de Po"laci+n li#itada%7' "ste modelo puede ser usado por e+emplo si estamos
considerando reparaciones de e7uipo en una .,rica 7ue tiene
; m.7uinas "ste modelo per#ite cual!uier n=#ero dereparadoresa ser considerados' %a ra*n por la cual este modelo diiere de los otros tres es
7ue aora a una relacin de dependencia entre la lon&itudde la cola ' la rata de arri"o %a situacin e>trema sera si
en la .,rica tenemos ; m.7uinas( todas se an da/ado necesitan reparacinO siendo en este caso la rata de arri,oCERO "n general( si la lnea de espera crece( la rata dellegada tiende a cero
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$"&U"N D" %#& #D"%#& D" C#%A&D"&C$I!#&
MODELO NOM/RE N DECANAL
ES
N DEFASES
PA(RNDE
ARRI/O
PA(RNDE
SERVICIO
(AMAO DELA PO/LACIN
DISCIPLINADE COLA
A &I%"1
UN# UNA #I&N "P#N"NCIA%
INFINI!A "&
U%!I-CANA%&
U%!ICANA%
UNA #I&N "P#N"NCIA%
INFINI!A "&
C &"$VICI#C#N&!AN!"D18
UN# UNA #I&N C#N&!AN!"
INFINI!A "&
D #%ACI#N%II!ADA
UN# UNA #I&N "P#N"NCIA%
FINI!A "&
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F#$U%A& A$A C#%AD"%# D) #%ACI
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UNAN-anagua 93
F#$U%A& A$A C#%AD"%# D) #%ACI
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Ejemplo
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UNAN-anagua99
Suponga que en una estacin con un solo servidor llegan en promedio
45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60
clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3
minutos en la cola. Se solicita: a) iempo promedio que un cliente pasaen el sistema. b) !"mero promedio de clientes en la cola. c) !"mero
promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.
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Ejemplo
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UNAN-anagua9;
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Ejemplo
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Tarea
Facultad de Ciencias e UNAN-anagua 9=
Suponga un restaurante de comidas r#pidas al cual llegan en promedio $00
clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a $50 clientes
por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio % minutos en la cola
&alcule las medidas de desempe'o del sistema a) (&u#l es la probabilidad
que el sistema este ocioso b) (&u#l es la probabilidad que un cliente llegue *tenga que esperar, porque el sistema est# ocupado c) (&u#l es el n"mero
promedio de clientes en la cola d) (&u#l es la probabilidad que ha*an $0
clientes en la cola