teoria

Introduccin a las

Redes de Petri

Redes de Petri

Notacin formal, operacional, grfica.

Sistemas asincrnicos y concurrentes.

Redes de Petri - Definicin

Una Red de Petri es un multigrafo bipartito dirigido representado por una cudrupla PN =

donde

P = {p1, p2, ..., pn} conjunto finito de lugares (places), n 0

T = {t1, t2, ..., tm} conjunto finito de transiciones, m 0

I: T P P denota los multisets o bolsas de P.

pi I(tj) si existe un arco de pi a tj

O: T P

pi O(tj) si existe un arco de tj a pi

Ejemplo 1

P = {p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7}

T = {t1, t2, t3, t4, t5, t6}

I(t1) = {p1} O(t1) = {p4}

I(t2) = {p2} O(t2) = {p5}

I(t3) = {p3, p4} O(t3) = {p6}

I(t4) = {p3, p5} O(t4) = {p7}

I(t5) = {p6} O(t5) = {p1, p3}

I(t6) = {p7} O(t6) = {p2, p3}

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

p4

Ejemplo 2

p1 p2

t1

P = {p1, p2}

T = {t1}

I(t1) = {p1, p1}

O(t1) = {p2, p2, p2}

Si un arco va desde un place a una

transicin, al place se lo llama input place

(lugar de entrada) de la transicin.

Si un arco va desde una transicin a un

place, al place se lo llama output place

(lugar de salida) de la transicin.

Redes de Petri

Marcacin y ejecucin

Una red de Petri recibe su estado marcando

sus places.

Una marcacin (marking) consiste en asignar un nmero entero no negativo de tokens a cada place.

En las redes tradicionales de Petri los tokens son indistinguibles y no representan informacin especfica.

p1 p2

t1

Ejemplo de red marcada

P = {p1, p2}

T = {t1}

I(t1) = {p1, p1}

O(t1) = {p2, p2, p2}

Marcacin

Una marcacin de una Red de Petri

PN = es una funcin:

: P {0, 1, 2, ...}

que asigna un nmero entero no negativo de

tokens a cada place de la red.

Marcacin

Una marcacin puede representarse como un vector de dimensin n (n es el nmero de lugares de la red).

p1 p2

t1

(p1) = 2 (p2) = 0

= (2,0)

Red de Petri marcada

Una Red de Petri marcada

M =

es un una estructura de Red de Petri

PN = y un marking .

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

P = {p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7}

T = {t1, t2, t3, t4, t5, t6}

I(t1) = {p1} O(t1) = {p4}

I(t2) = {p2} O(t2) = {p5}

I(t3) = {p3, p4} O(t3) = {p6}

I(t4) = {p3, p5} O(t4) = {p7}

I(t5) = {p6} O(t5) = {p1, p3}

I(t6) = {p7} O(t6) = {p2, p3}

= (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

Ejecucin de una Red de Petri

Durante la ejecucin de la red el nmero y

posicin de los tokens puede variar dando

lugar a una nueva marcacin.

Cada marcacin corresponde a un estado de

la red.

Reglas de Ejecucin

1. Una transicin puede disparar si est

habilitada.

2. Una transicin est habilitada si en cada uno

de sus input places existen al menos tantos

tokens como arcos existan desde el place a la

transicin.

p1 p2

t1

p1 p2

t1 no habilitada

t1

t1 habilitada,

puede disparar

Reglas de Ejecucin

3. Cuando una transicin dispara, en cada uno de sus

input places se remueven tantos tokens como arcos

existan desde el input place hacia la transicin, y en

cada uno de los output places de la transicin se

insertan tantos tokens como arcos existan desde la

transicin al output place.

p1 p2

t1

p1 p2

t1

Dispar t1

p3 p3 p4 p4

Reglas de Ejecucin

Formalmente, una transicin t T est habilitada en una red de Petri PN = sii

p I(t) : (p) #(p, I(t))

donde

#(p, I(t)) es el nmero de arcos desde p a t.

Reglas de Ejecucin

Formalmente, el disparo de una transicin t T con un marking resulta en un nuevo marking definido por:

p P : (p) = (p) #(p, I(t)) + #(p, O(t))

donde

#(p, I(t)) es el nmero de arcos desde p a t.

#(p, O(t)) es el nmero de arcos desde t a p.


0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

t1 y t2

estn

habilitadas.

p1 p2

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p4 p3

p5

p7 p6


secuencia de

disparos: (t1)

t2 y t3 quedaron

habilitadas.

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

1 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)


secuencia de

disparos: (t1,t2)

t3 y t4 quedaron

habilitadas.

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

1 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

2 = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0)


0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

1 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

2 = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0)

3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

secuencia de

disparos: (t1,t2,t4)

t6 qued

habilitada.

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6


0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

1 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

2 = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0)

3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

4 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

secuencia de

disparos: (t1,t2,t4,t6)

t2 y t3 quedaron

habilitadas. ...

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

Ejecucin de la Red de Petri

La secuencia de disparos dada es una de las

posibles secuencias, no la nica.

El modelo es no determinstico, en el sentido

que dado un marking inicial 0 distintas evoluciones de la red son posibles.


t1 siempre habilitada

t1 t3

t2

Modelado con Redes de Petri

Una transicin, usualmente, modela un evento o accin.

El disparo de la transicin representa la ocurrencia de tal evento o la ejecucin de la accin.

Una transicin est habilitada, si se satisfacen las condiciones necesarias para la ocurrencia de tal evento o accin.

La presencia de tokens en los input places modelan tales condiciones.


t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

t1 = proceso 1 solicita

recurso

t3 = proceso 1 toma

recurso

t5 = proceso 1 libera

recurso

Eventos del

proceso 1


t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

t2 = proceso 2 solicita

recurso

t4 = proceso 2 toma

recurso

t6 = proceso 2 libera

recurso

Eventos del

proceso 2


t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

p3 representa la

disponibilidad o

no de un recurso.


Transiciones concurrentes

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

t1 y t2 habilitadas y

el disparo de una

no deshabilita la

otra =>

concurrentes


Transiciones en conflicto

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6

t3 y t4 habilitadas y

el disparo de una

deshabilita la otra

=> en conflicto


Starvation

secuencia de

disparos:

(t2)

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6


Starvation

secuencia de

disparos:

(t2,t4)

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6


Starvation

secuencia de

disparos:

(t2,t4,t6)

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6


Starvation

secuencia de

disparos:

(t2,t4,t6,t2)

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6


Starvation

secuencia de

disparos:

(t2,t4,t6,t2,t4)

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6


Starvation

secuencia de disparos:

(t2,t4,t6,t2,t4,t6,...)

starvation de proceso 1

t1 t2

t3 t4

t5 t6

p1 p2

p4 p3

p5

p7 p6


Deadlock

t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2

t1: proc1 solicita ambos recursos

t3: proc1 toma un recurso

t3: proc1 toma otro recurso

t5: proc1 libera ambos recursos

t2: proc2 solicta ambos recursos

t4: proc2 toma un recurso

t4: proc2 toma otro recurso

t6: proc2 libera ambos recursos

Modelado con Redes de Petri Una posible ejecucin sin deadlock

secuencia de

disparos:

(t1) t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2


t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2

secuencia de

disparos:

(t1, t3)


t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2

secuencia de

disparos:

(t1, t3, t3)


t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2

secuencia de

disparos:

(t1, t3, t3, t5)

Modelado con Redes de Petri Una posible ejecucin con deadlock

secuencia de

disparos:

(t1) t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2


secuencia de

disparos:

(t1, t2)

t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2


secuencia de

disparos:

(t1, t2, t3)

t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2


secuencia de

disparos:

(t1, t2, t3, t4)

deadlock (ninguno

de los procesos

puede continuar)

t3 t4

t3 t4

t5 t6

p4 p5

p6

p3

p7

p9 p8

p1 p2

t1 t2

DTE para Productor-Consumidor

Primera aproximacin

(a) proceso productor; (b) proceso consumidor; (c) buffer.

Suponemos un buffer con capacidad para 1 mensaje.

PN para Productor-Consumidor

Primera aproximacin

p1 p2

produce

write

1

c1 c2

read

consume

0

write

read

DTE para Productor-Consumidor

PN para Productor-Consumidor

p1 p2

produce

c1 c2 read

consume

1 0

write

Limitaciones de las Redes de Petri

tradicionales y algunas extensiones

Limitacin: los tokens son annimos.

p.e. la presencia de un token en un place

puede denotar la presencia de un mensaje en

un buffer pero no lo que el mensaje dice.

Extensin: asignacin de valores a tokens

ms asociacin de predicados y acciones

a las transiciones.

t1 t2

p1

p2

p3

p5 p4

7

4 1 3 4

p1 < p2

p4:=p2+p1

p2 = p3

p4:=p3-p2

p5:= p2+p3

t1 habilitada: tuplas ready: (3,7) (3,4)

elecciones no determinsticas

t2 habilitada: tuplas ready: (4, 4)

t1 t2

p1

p2

p3

p5 p4

1

4 4

p1 < p2

p4:=p2+p1

p2 = p3

p4:=p3-p2

p5:= p2+p3

sec. de disparos: (t1)

t1 deshabilitada.

t2 habilitada: tuplas ready: (4, 4)

10

t1 t2

p1

p2

p3

p5 p4

1

p1 < p2

p4:=p2+p1

p2 = p3

p4:=p3-p2

p5:= p2+p3

sec. de disparos: (t1, t2)

10 8

0



Limitacin: no se pueden fijar polticas de

seleccin cuando varias transiciones estn

habilitadas.

Extensin: asignacin esttica o dinmica

de prioridades a las transiciones.

t1 t2

p1

p2

p3

p5 p4

prioridad = 2 prioridad = 1

t1 y t2 habilitadas, dispara t2 porque tiene mayor

prioridad.



Limitacin: Problemas con el manejo del tiempo.

p.e. un proceso enva mensajes a una cierta velocidad. Estos

son colocados en un buffer y procesados. Si un mensaje no

es tomado del buffer antes del arribo del prximo, es

sobrescrito por el nuevo.

Extensiones: Redes de Petri con tiempo donde a cada

transicin se le asocia un par que indica el

intervalo de tiempo dentro del cual debe disparar.

t1 t2

p1

p2

p3

p5 p4

prioridad = 2

tmin = 2

tmax = 3

prioridad = 1

tmin = 1

tmax = 4

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