Teoremas de Rolle y de Lagrange

Teorema de Rolle

Michael Rolle (1652-1719)

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el

intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre

a y b para el cual f'(c)=0.

H) f es continua en [a,b]

    f es derivable en (a,b)

    f(a)=f(b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0

Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo

valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en

algún punto intermedio.

Demostración:

f es continua en [a,b] => por teo. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M

y mínimo absoluto m en [a,b].

Para todo x perteneciente a [a,b] m <= f(x) <= M.

Existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1)=M.

Existe x2 perteneciente a [a,b] / f(x2)=m.

Si m = M => para todo x perteneciente a [a,b] f(x) = M => f'(x) = 0

Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al

interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo x2.

=> (a,b) se comporta como un entorno de x2.

Se cumple que para todo x perteneciente a (a,b) f(x2) <= f(x)

=> Por def. de mínimo relativo f presenta un mínimo relativo en x2. (1)

f es derivable por hipótesis. (2)

De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativos

f'(x2)=0

Teorema de Lagrange o del valor medio

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del

intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) =

(f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]

    f(x) es derivable en (a,b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la

secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con el eje

ox.

f'(c) es la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el

punto c, con el eje ox.

Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo

(a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

Demostración:

Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.

g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.

Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle

=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)

f(a) - f(b)

=> h = -----------

b - a

=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0

g'(x) = f'(x) + h

f(b) - f(a)

g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) = -----------

b - a

Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de

un automóvil desde su punto de partida a lo largo de cierto camino.

Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el

período b - a. (Recordar que velocidad = distancia/tiempo)

Por lo tanto f'(a)=limx->a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el

tiempo a.

Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio

fue de 100km. por hora.

Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento

durante esas dos horas, el auto tuvo una velocidad de exactamente

100km/h.

Teoremas de Cauchy

Teorema de Cauchy

Augustin Cauchy (1789-1857)

H) f(x) y g(x) continuas en [a,b]

    f(x) y g(x) derivables en (a,b)

    f'2(x) + g'2(x) distinto de 0 para todo x perteneciente a (a,b)

    (Las derivadas no se anulan en el mismo punto del intervalo.)

    g(a) distinto de g(b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)

Demostración:

Sea h(x) = f(x) + kg(x)

1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b].

2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b).

3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle.

=> f(a) + kg(a) = f(b) + kg(b)

k(g(a) - g(b)) = f(b) - f(a)

k = (f(b) - f(a))/(g(a) - g(b))

De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle existe c perteneciente a (a,b) / h'(c) =

0.

h'(x) = f'(x) + kg'(x)

h'(c) = f'(c) + kg'(c) = 0

f'(c)/g'(c) = -k

f'(c)/g'(c) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))