Universidad Técnica Particular de Loja

Explicación y Aplicación del Teorema del Valor Medio

CÁLCULO

Teorema del Valor Medio Es uno de los Teoremas más importantes dentro del

Calculo Diferencial.

En el lenguaje geométrico el teorema del Valor Medio es fácil de establecer y de comprender. Dice que si la gráfica de una función continua tiene una tangente no vertical en todo punto comprendido entre A y B, entonces hay por lo menos un punto C en la gráfica comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la recta secante AB

A

B

C

Demostración del Teorema

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en su interior (a, b), entonces existe al menos un número c en cada (a, b).

Observación: El teorema de Rolle es similar, se diferencian porque aqui no se exige f (a) = f (b). Si esto se diera se reduce al teorema de Rolle.

ab

afbfcf

)()(

)('

DemostraciónLa expresión es la pendiente de la

recta Secante que une los puntos (a, f (a)) y (b f (b)).

Queremos probar que un punto x = c en la recta tangente tiene esa misma pendiente, o sea, es paralela a esa recta secante.

ab

afbf

)()(

a c bx

y

y=f(x)m=f’(c)

En primer lugar la recta secante que une a (a,

f (a)) y (b f (b)) tiene pendiente .La ecuación de la recta es por lo tanto,

Definimos la función inclinada g como la diferencia entre los valores de f y la secante.

Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), también g lo es. Además

)()( axmafy

ab

afbfm

)()(

)]()([)()( afaxmxfxg

0)](0[)()( afafag

Y porque

Al ser g (a) = g (b), el teorema de Rolle existe un c en (a, b) tal que g’(c) = 0. Derivamos

Luego despejamos f’(c) y llegamos al resultado antes mencionado:

0)]()()([)(

)]()([)()(

afafbfbf

afabmbfbg

ab

afbfm

)()(

mcfcg

afaxmxfxg

)(')('

)]()([)()(

ab

afbfmcf

)()(

)('

Mediante el siguiente ejemplo, vamos a demostrar más detalladamente, en que consiste este teorema:

Hallar el valor c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para

En el intervalo [0, 2]

1)( 23 xxxxf

102

13)('

cf

Para hallar el número c haremos:

Despejando

Aplicando la formula general resolvemos:

1123)(' 2 cccf

0223 2 cc

)3(2

)6(442

2

42

a

acbb

3

71

6

722

6

2442

Myriam Sarango

Karla Espinosa