Teorema del valor medio
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Teorema del valor medio
Grupo: 22
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Teorema del valor medioEn calculo diferencial, el teorema del valor medio o de Lagrange, es una propiedad de las
funciones derivables en un intervalo, se considera como uno de los teoremas mas
importantes del calculo.
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Este teorema no se usa para resolver problemas matemáticos de forma directa, sino que por lo general es utilizado para
determinar otros teoremas del calculo, de aquí radica su importancia.
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Definición del teorema del valor medio*“Si f es una función derivable en el intervalo
cerrado [a,b] y derivable en un intervalo
abierto (a,b), existe un numero c en el intervalo (a,b) tal que:”
*EL TERMINO MEDIO/PROMEDIO, HACE
REFERENCIA AL RITMO DE CAMBIO DE f EN EL INTERVALO [a,b]
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Existe una forma alternativa de la formula de
valor medio, el cual nos dice que f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) existe
un c en (a,b) en el cual: f(b) = f(a) + (b-a) f´(c)
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El teorema del valor medio tiene muchas implicaciones relativas en las diversas
interpretaciones de la derivada.Geométricamente garantiza la existencia de una recta tangente paralela a la secante, que
une a los puntos:
[a, f(a)] ⋂ [b, f(b)]
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Representación grafica del valor medio[b,(f(b)]
[a,f(a)]
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En términos de ritmos de cambio, el teorema del valor medio implica que debe haber u
punto en (a,b) en el que el ritmo de cambio sea igual al ritmo medio de cambio de [a,b].
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Ejemplo:Dada la funcion:
Hayar los valores en el intervalo (1,4) tal que
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Como la pendiente de una secante que pasa por los puntos [1,f(1)] y [4,f(4)] esta representada por:
Como f satisface las condiciones del teorema, existe por lo menos una C para la cual f´(c)=1
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Resolviendo tenemos que:
Y esto implica que existe una C=2
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Bibliografía“Cálculo” Roland E. Larson (et.al.), 6ta
Edición. Mc Graw-Hill, Mexico.