Densidad de la circulacion en un punto: El Rotacional

Dado un campo de velocidades F (x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j y el rectangulo D.

La circulacion antihoraria de F alrededor de la frontera de D es la suma de las razones de flujo

a lo largo de los lados. Para el borde inferior es aproximadamente

F (x, y) · i · 4x = P (x, y) ·∆x

Para el borde superior

F (x, y + ∆y) · −i · 4x = −P (x, y + ∆y) ·∆x

Para el borde derecho

F (x+ ∆x, y) · j ·∆y = Q(x+ ∆x, y) ·∆y

Para el borde izquierdo

F (x, y) · −j ·∆y = −Q(x, y) ·∆y

Sumando lados opuestos

− (P (x, y + ∆y) ·∆x− P (x, y) ·∆x) ≈ −∂P∂y

∆y

(Q(x+ ∆x, y)−Q(x, y)∆y) ≈ ∂Q

∂x∆y

Al sumar lo anterior obtenemos una estimacion de la densidad de circulacion.

Definicion 1. La densidad de circulacion o rotacional de un campo vectorial F = P i+Qj en

el punto (x, y) es:

rot F =∂Q

∂x− ∂P

∂y

1

Teorema 1. (Green) Sean F (P,Q) : D ⊂ R2 → R2 de clase C1 en D y α = Fr(D) una curva

cerrada entonces ∫α

F =

∫ ∫D

∂Q

∂x− ∂P

∂ydA

Si escribimos F = (P,Q, 0) entonces

rot F = ∇× F =

(∂Q

∂z,−∂P

∂z,∂Q

∂x− ∂P

∂y

)∴

rot F · k =

(∂Q

∂z,−∂P

∂z,∂Q

∂x− ∂P

∂y

)· (0, 0, 1) =

∂Q

∂x− ∂P

∂y

Asi el teorema de green puede quedar∫α

F =

∫ ∫D

∂Q

∂x− ∂P

∂ydA =

∫ ∫D

rot F · kdA

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes relaciona la integral de lınea de un

campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple

C ∈ R3, con la integral sobre una superficie de la cual

C es la frontera. Es decir, si se tiene S una superficie

orientada con vector normal unitario N y frontera una

curva cerrada C y un campo vectorial F de clase C1 se

cumple que ∫C

F · dR =

∫ ∫S

(rotF ·N)dS

Si la superficie S es la grafica de una funcion z = f(x, y) con (x, y) variando en una region D

del plano xy, que tiene derivadas parciales segundas continuas.

F (x, y, z) = φ1(x, y, z)i+ φ2(x, y, z)j + φ3(x, y, z)k donde φ1, φ2 y φ3 tienen parciales primeras

2

continuas y α(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k con a ≤ t ≤ b tenemos que∫C

F · dR =

∫ b

a

[φ1dx

dt+ φ2

dy

dt+ φ3

dz

dt

]dt =

∫ b

a

φ1dx

dt+ φ2

dy

dt+ φ3

[∂z

∂x

∂x

∂t+∂z

∂y

∂y

∂t

]dt =

=

∫ b

a

[(φ1 + φ3

∂z

∂x

)dx

dt+

(φ2 + φ3

∂z

∂y

)∂y

∂t

]dt =

∫C

(φ1 + φ3

∂z

∂x

)dx +

(φ2 + φ3

∂z

∂y

)dy =

(por Green)

=

∫ ∫D

[∂

∂x

(φ2 + φ3

∂z

∂y

)− ∂

∂y

(φ1 + φ3

∂z

∂z

)]dA =

=

∫ ∫D

(∂φ2

∂x+∂φ2

∂z

∂z

∂x+∂φ3

∂x

∂z

∂y+∂φ3

∂z

∂z

∂x

∂z

∂y+φ3∂

2z

∂x∂y

)−

(∂φ1

∂y+∂φ1

∂z

∂z

∂y+∂φ3

∂y

∂z

∂x+∂φ3

∂z

∂z

∂y

∂z

∂x+φ3∂

2z

∂y∂x

)dA =

=

∫ ∫D

[∂φ2

∂x+∂φ2

∂z

∂z

∂x+∂φ3

∂x

∂z

∂y− ∂φ1

∂y− ∂φ1

∂z

∂z

∂y− ∂φ3

∂y

∂z

∂x

]dA

Calculamos ahora

∫ ∫S

rotF ·NdS

rotF = ∇xF =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

φ1 φ2 φ3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

(∂φ3

∂y− ∂φ2

∂z,∂φ3

∂x− ∂φ1

∂z,∂φ2

∂x− ∂φ1

∂y

)

N =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0∂z

∂x

0 1 ∂z∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

(−∂z∂x

,∂z

∂y, 1

)

∴ rotF ·N =

(∂φ3

∂y− ∂φ2

∂z,∂φ3

∂x− ∂φ1

∂z,∂φ2

∂x− ∂φ1

∂y

)·(−∂z∂x

,∂z

∂y, 1

)=

= −(∂φ3

∂y− ∂y

∂z

)∂z

∂x+

(∂φ3

∂x− ∂φ1

∂z

)∂z

∂y+∂g

∂x− ∂φ1

∂y= −∂φ3

∂y

∂z

∂x+∂φ2

∂z

∂z

∂x+∂φ3

∂x

∂z

∂y− ∂φ1

∂z

∂z

∂y+

3

∂φ2

∂x− ∂φ1

∂y

∴∫ ∫

D

rotF ·NdS =

∫ ∫D

−∂φ3

∂y

∂z

∂x+∂g

∂z

∂z

∂x+∂φ3

∂x

∂z

∂y− ∂φ1

∂z

∂z

∂y+∂φ2

∂x− ∂φ1

∂y

∴∫ ∫

S

rotF ·NdS =

∫C

F · dα

Ejemplo: Comprobar Stokes calculando el flujo del rotacional del campo

F (x, y, z) = (y − 2x, yz2 − y2z) S = {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 = 4 , z > 1}.

Sol. Parametrizamos el casquete r : D ⊂ R2 → R3, r(x, y) = (x, y,√

4− x2 − y2) de esta

forma S = r(D) donde D = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 3} el vector normal es N(x, y) =∂r

∂xx∂r

∂y=(

x√4− x2 − y2

,y√

a− x2 − y2, 1

)

rotF = ∇xF =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

∂∂x∂

∂y

∂

∂z

y − 2x yz2 −y2z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−4yz, 0,−1)

∴∫ ∫

S

rotF ·Ndxdy =

∫ ∫D

(−4xy − 1)dxdy =

=

∫ √3−√3

∫ √3−y2

−√

3−y2(−4xy −

1)dxdy

∫ √3−√3

−2x2y − x

∣∣∣∣∣√

3−y2

−√

3−y2dy =

=

∫ √3−√3

−2(3 − y2)y −√

3− y2 −[−2(−

√3− y2)

]y −√

3− y2 =

=

∫ √3−√3

−2√

3− y2 = −2

∫ √3−√3

√3− y2dy = −2π

(√

3)2

2= −3π

Para comprobar Stokes calculamos la integral curvilinea.

4

∫α

(y − 2x)dx+ yz2dy − y2zdz Siendo α = r ◦ γ , γ(t) = (√

3cos(t),√

3sen(t) )

∴ α : [0, 2π]→ R3 con α(t) = r(γ(t)) = (√

3cos(t) ,√

3sen(t) , 1)

∴ la integral vale∫α

(y − 2x)dx+ yz2dy − y2zdz =

∫ 2π

0

F (α(t)) · α′(t)dt =

=

∫ 2π

0

(√

3sen(t)− 2√

3cos(t) ,√

3sen(t) , − 3sen2(t)) · (−√

3sen(t) ,√

3cos(t) , 0) =

=

∫ 2π

0

(−3sen2(t) + 9sen(t)cos(t)dt = −3π

5