Teorema de Rolle (o teorema sobre las raíces de la derivada) 

 Sea una función que cumple las condiciones siguientes:

1. es continua sobre un intervalo cerrado

2. es derivable sobre un intervalo abierto

3.

Entonces existe por lo menos un número real tal que .

O sea para cierto .

Interpretación geométrica

Este teorema puede interpretarse geométricamente de la manera siguiente:

Si una curva continua interseca al eje en y tiene una recta tangente en

cada uno de los puntos del intervalo , entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje .

Gráficamente se tiene:

El teorema también es válido para una función derivable que aunque en los extremos del

intervalo no interseque al eje , sí tome valores iguales para "a" y "b", es decir,

.

Es necesario que la función posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la función sea continua en el intervalo, si no es derivable en algún punto, puede

suceder que no exista ningún valor "c" para el que sea igual a cero.

Por ejemplo, la función con ecuación es continua en el intervalo y

además se cumple que , pero la derivada de no está definida

para , y se tiene que no se hace cero en el intervalo dado.

La representación gráfica de esta función en el intervalo es la siguiente:

Ejemplos:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuación, verificar que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

1.

2.

3. Ejercicio para el estudiante

4. Ejercicio para el estudiante

Solución:

1. Por ser una función polinomial es derivable y por lo tanto continua para todo

. se cumplen entonces las dos primeras condiciones en el intervalo

Además por lo que la curva interseca al eje y se cumple la tercera condición.

Luego, debe existir por lo menos un número tal que

Como si y solo si entonces puede tomarse

Luego en el punto la recta tangente es paralela al eje

 

2. De nuevo, es una función polinomial y por tanto es derivable, y continua para

toda . En particular, en el intervalo se cumplen las dos primeras condiciones.

Además verificándose la tercera condición.

Luego, el teorema es válido en el intervalo y existe tal que

. Como entonces si y solo si

. Note que ambos valores pertenecen al intervalo

.

Luego, en los puntos , la recta tangente tiene pendiente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje .