Teorema de Pitágoras TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo ...
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TEOREMA DE PITÁGORAS
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego quien hizo la formulación del Teorema de Pitágoras:
“En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos cuadrados es igual a la hipotenusa cuadrada”
222 CCH
Un triángulo rectángulo es un triángulo con un
ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se
llama hipotenusa y los otros dos lados se
llaman catetos.
OBSERVACIÓN: LOS CATETOS VAN A CAMBIAR EN FUNCIÓN AL ÁNGULO QUE VOY A UTILIZAR.
Geométricamente, el teorema de Pitágoras quiere decir que si dibujamos tres cuadrados, de forma que cada uno tenga el lado igual a uno de los tres lados de un triángulo rectángulo, se cumple que el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los otros dos.
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las relaciones trigonométricas es la razón entre los lados y ángulos de un triángulo
rectángulo. Son seis y reciben el nombre de: seno, coseno, tangente, cotangente secante y
cosecante. Estás, tienen como variable independiente un ángulo. Este ángulo que denotaremos
como , puede estar expresado en grados o en radianes. Para definir relaciones trigonométricas consideremos un sistema de ejes coordenados, el radio vector y el ángulo que
forma este con el eje de abscisas (x).
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RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las relaciones trigonométricas es la razón entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Son seis y reciben el nombre de: seno, coseno, tangente, cotangente secante y cosecante. Estás, tienen como variable independiente un ángulo. Este ángulo que denotaremos como , puede estar expresado en grados o en radianes. Más adelante analizaremos algunos sistemas de medición de ángulos.
Para definir relaciones trigonométricas consideremos un sistema de ejes coordenados, el radio vector y el ángulo que forma este con el eje de abscisas (x).
Para este radio vector nos quedaran las dos primeras funciones definidas anteriormente como:
PMopuestocateto sen =y
OMadyacentecateto cos =x
Observa que con el radio vector, la ordenada y la abscisa del punto queda determinado un triángulo rectángulo, donde:
= radio vector =hipotenusa del triángulo.
x= abscisa = cateto adyacente al ángulo y= ordenada = cateto opuesto al ángulo
r=radio vector = magnitud del segmento OP ,
determinando el extremo de radio vector el punto
P(x,y), x es la abscisa del punto e y la ordenada del
punto, es el ángulo que forma el radio vector con el eje horizontal x.
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Mediante cocientes entre estos tres segmentos se definen las siguientes funciones trigonométricas del ángulo: Importante: Si te fijas en tu calculadora en ella solo aparecen las tres primeras funciones o funciones principales. Las otras tres llamadas co-funciones las tendrás que obtener a partir de las principales utilizando la última igualdad de la definición anterior. Tracemos una circunferencia trigonométrica con centro en el origen de coordenadas y radio
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En función de los lados de un triángulo ubicado en una circunferencia trigonométrica. Según el cuadrante donde se encuentre el ángulo, serán los signos de las funciones trigonométricas que tendrán que ver con los signos de la abscisa o de la ordenada. α
Relaciones trigonométricas principales:
hipotenusa
opuestocatetoy
sen
hipotenusa
adyacentecatetox
cos
cos
sentg
adyacentecateto
opuestocateto
x
y
Relaciones trigonométricas secundarias o co-funciones
sen
1cos
opuestocateto
hipotenusa
yec
cos
1sec
adyacentecateto
hipotenusa
x
sen
cos
tg
1cot
opuestocateto
adyacentecateto
y
xg
O M
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GRÁFICO DE LOS SEGMNETOS TRIGONOMÉTRICOS PARA UN ÁNGULO
PERTENECEINTE AL PRIMER CUADRANTE
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA SEGÚN EL CUADRANTE
α
α
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Cuadrante seno coseno tangente cotangente secante cosecanteI + + + + + +II + - - - - +III - - + + - -IV - + - - + -
Cálculo de lados y ángulos agudos de triángulos rectángulos
Estas razones trigonométricas nos permiten calcular distintos problemas.
1. Calcular las longitudes aproximadas de un triángulo rectángulo si se conocen las medidas de un ángulo agudo y un lado.
Ejemplo: Sea el triángulo ABC rectángulo en
=31°
=12 cm
=?
=?
=?
Los lados , y el ángulo B pueden relacionarse mediante la relación trigonométrica:
Reemplazando los datos conocidos en esta fórmula tendremos:
Despejando de las dos últimas igualdades obtendremos: = .
Para calcular el lado se usa la relación trigonométrica:
Reemplazando los datos conocidos tendremos
Despejando de las dos últimas igualdades obtendremos:
Â
B̂
AC
AB
BC
Ĉ
AB AC
AB
ACB ˆtg
AB
cm126009,031tg
AB AB cmcm
97,196009,0
12
BC
BC
ACB ˆsen
BC
cm125104,031sen
BC
cmcm
BC 2992,235104,0
12
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El ángulo se obtiene al aplicar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo
que debe ser 180°. , como conozco y se tendrá:
Nota: Siempre que sea posible deberás usar los datos que te dan en el problema y no los datos que
fuiste calculando en los diversos pasos del problema, ya que estos últimos generalmente están sujetos
a errores.
2. Calcular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si se conocen las longitudes de dos lados.
Ejemplo: Sea el triángulo ABC rectángulo en
=15
=25
=?
=?
?
En este caso para obtener el lado podemos usar el Teorema de Pitágoras. ,
despejando el lado desconocido se obtiene:
Para encontrar el ángulo usamos la relación trigonométrica que nos vincula el ángulo buscado con
los lados conocidos, esta relación es:
Con la calculadora podemos hallar =37°. (usando shift sen y luego ° ’ ”)
Una vez conocidos dos ángulos el tercero se obtiene igual que en el ejemplo anterior.
180°-90°-37°=53°
ACTIVIDADES:
1. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos
Ĉ
180ˆˆˆ CBA 90 31B̂
59|3190180Ĉ
Â
AB
BC
CA
Ĉ
B̂
AC222
ABACCB
cmABCBAC 2015252222
Ĉ
6,025
15ˆsen cm
cm
BC
ABC
Ĉ
180ˆˆˆ CBA
B̂
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Respuestas: a-
b-
c-
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2. Lee atentamente y resuelve
3. Calcule los ángulos interiores, su perímetro y superficie de un triángulo rectángulo que tiene de
base
124.68 m y altura 86.13 m.
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4. Encuentre el perímetro de un campo rectangular que tiene la diagonal de 100 m; y forma con uno
de sus lados un ángulo de 30°.
5. En la Avenida de Circunvalación un niño remonta un barrilete empleando un hilo de 150m.
Encuentre: ¿a qué altura de la tierra se encuentra el barrilete cuando el hilo esta tenso y forma un
ángulo de 45º respecto de la horizontal?
6. Una escalera de 6m de largo no debe inclinarse más de 60º. ¿a cuántos m del muro la debemos
poner en su base? y ¿qué altura alcanzará sobre el muro?
7. Una torre proyecta una sombra de 10metros cuando el sol está a 30° sobre el horizonte. Calcule la
altura de la torre.
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8. Hallar la proyección de la fuerza “F” sobre eje “Y” y el eje “X”
BIBLIOGRAFÍA:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA -Tercera edición 2012- Dennis G. Zill Jacqueline M. Dewar
PRE-CÁLCULO GRÁFICO, NUMÉRICO, ALGEBRAICO- Demana Waits Foley Kennedy- Séptima Edición - Editorial Pearson.
PRECÁLCULO ENFOQUE DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS - Editorial Pearson- Prado -Santiago Aguila- Rodriguez -Quezada - Gomes –Ruiz- Florido.
ACTIVADOS 1 MATEMÁTICA -Puertos de Palo – Año 2013